沪科版-数学-九年级上册- 二次函数 知识点解读

《二次函数》知识点解读

知识点1 二次函数的概念

二次函数的概念：形如y=ax 2+bx+c （a≠0，a,b,c 为常数）的函数是二次函数。

若b=0，则y=ax 2+c ；

若c=0，则y=ax 2+bx ；

若b=c=0，则y=ax 2。

以上三种形式都是二次函数的特殊形式，

而y=ax 2+bx+c 是二次函数的一般式。

在二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0，a,b,c 为常数）中，其中ax 2叫做二次项，a 叫做二次项的系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项的系数；c 叫做常数项。

为什么要规定二次项的系数a≠0？当a=0时，函数为y=bx+c 是一次函数，由此可见，一次函数是二次函数的特例。

（1）a≠0是保证y 是x 的二次函数的重要条件，不能缺少。b 、c 可以为0.

（2）因为解析式是整式，所以自变量x 的取值范围是全体实数。

（3）确定二次函数的解析式就是确定待定系数a ，b ，c ，一般需要三个条件。

（4）识别二次函数的条件：必须是整式，自变量的最高次数为2，即必须有二次项。 例1 下列函数中，哪些是二次函数？

（1）y=2+5x 2 （2）3

22+=x y （3）y=3x （x+5） （4）225x y = （5）y=x 2-4（4-x ）2

分析：二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0，a,b,c 为常数）是整式函数，二次函数不一定是一般式，通过化简变形可以化成一般式，注意隐含条件a≠0。

解：（1）（3）（4）（5）是二次函数；（2）不是。

例2 已知，函数

22)2(-+=k x k y 是关于x 的二次函数，你能确定k 的值吗？请说明

理由。

分析：要想确定k 的值，可由二次函数的定义来求解。 解：由题意，得{22022=-≠+k k

解得k=2。

所以，当k=2时，函数22)2(-+=k x k y 是关于x 的二次函数。

知识点2 二次函数在实际问题中的应用

例3 某商场第一个月销售额为50万元，第三个月的销售额y （万元）与月平均增长率x 之间的函数关系如何表示？

解析：函数关系式是y=50（1＋x ）2，即y=50x 2+100x+50。

点评 由上例，归纳出函数解析式均为整式（这表明这种函数与一次函数有共同的特征）。自变量的最高次数是2（这与一次函数不同）。

例4 篱笆墙长30m ，靠墙围成一个矩形花坛，写出花坛面积y （m 2）与长x 之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围。

分析：由矩形面积公式，写出二次函数关系式。

解答：篱笆墙长30m ，一边长为x ，则另一边长为（30－x ），

面积y （m 2）与长x 之间的函数关系式：

Y=x （15-x ）=-x 2+15x 。

其自变量x 的取值范围：0＜x ＜15。