小专题(二) 全等三角形的基本模型PPT课件
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∴△ABC≌△DEF(SSS)．
(2)∵△ABC≌△DEF，
∴∠A＝∠EDF.∴AC∥DF.
类型2 对称模型
2．如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD＝BC，CE⊥AB， DF⊥AB，垂足分别是E，F，那么CE＝DF吗？
解：CE＝DF.理由： ∵AC⊥BC，AD⊥BD， ∴∠ACB＝∠BDA＝90°.
AF＝DE， ∠A＝∠D， AC＝DB，
∴△AFC≌△DEB(SAS)．
(2)在图2，3中结论依然成立． 证明：在图2中，∵DE∥AF， ∴∠A＝∠D. 在△AFC和△DEB中，
AF＝DE， ∠A＝∠D， AC＝DB，
∴△AFC≌△DEB(SAS)．
在图3中，∵AB＝CD， ∴AB－BC＝CD－BC，即AC＝BD. ∵AF∥DE，∴∠A＝∠D. 在△AFC和△DEB中，
∴∠A＝∠D. 在△AOB和△DOC中，
∴△AOB≌△DOC(AAS)．
∠AOB＝∠DOC， 【思考】你还能用其他解法解决此题吗？
∠A＝∠D， AB＝DC，
试试看．
类型3 旋转模型
5．如图，四边Байду номын сангаасABCD的对角线相交于点O，AB∥CD， O是BD的中点．
(1)求证：△ABO≌△CDO； (2)若BC＝AC＝4，BD＝6，求△BOC的周长． 解：(1)证明：∵AB∥CD， ∴∠BAO＝∠DCO，∠ABO＝∠CDO. ∵O是DB的中点，∴BO＝DO. 在△ABO和△CDO中，
3．我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图， 四边形ABCD是一个筝形，其中AD＝CD，AB＝CB.
(1)求证：∠ABD＝∠CBD； (2)设对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足 分别是E，F.请直接写出图中的所有全等三角形(△ABD≌△CBD 除外)．
解：(1)证明：在△ABD和△CBD中，
AD＝CD，
AB＝CB，
BD＝BD，
∴△ABD≌△CBD(SSS)． ∴∠ABD＝∠CBD. (2)△ABO≌△CBO，△OAD≌△OCD，
△OAE≌△OCF，△EBO≌△FBO.
4．某产品的商标如图所示，O是线段AC，DB的交点，且
AC＝BD，AB＝CD，小华认为图中的两个三角形全等，他的
思考过程是：∵AC＝DB，∠AOB＝∠DOC，AB＝DC，
AF＝DE， ∠A＝∠D， AC＝DB，
∴△AFC≌△DEB(SAS)．
平移＋对称模型：
8．如图1，点A，B，C，D在同一直线上，AB＝CD， DE∥AF，且DE＝AF.
(1)求证：△AFC≌△DEB； (2)如果将BD沿着AD边的方向平行移动至图2，3的位置 时，其余条件不变，(1)中的结论是否依然成立？如果成立， 请予以证明；如果不成立，请说明理由．
解：(1)证明：∵AB＝CD， ∴AB＋BC＝CD＋BC，即AC＝BD. ∵DE∥AF，∴∠A＝∠D. 在△AFC和△DEB中，
证明：∵∠QAP＝∠BAC， ∴∠QAP＋∠PAB＝∠PAB＋∠BAC， 即∠QAB＝∠PAC. 在△ABQ和△ACP中，
AQ＝AP，
∠QAB＝∠PAC，
AB＝AC，
∴△ABQ≌△ACP(SAS)． ∴BQ＝CP.
类型4 一线三等角模型
7．如图1所示，在△ABC中， ∠ACB＝90°，AC＝BC，过点 C点在M((△21，A))求如BBNC证图外⊥：2，作MM若N直N于(理∴∵过线＝2)点由CM点(MA1MNNM：)NC中＝(＝＋作，A同的BMC直BA(NN1结＞NM线)，－中；论⊥BMACN证不MMMN)明，N成与＝，于可(立线C1∴点)N得，中段M.M△结的ANA，B＝论结C相BMA为论N交M≌⊥M是－，△NM否CBA＝NB仍NM于NA.⊥然M，点M成－NN立B.于N？. 说明理由． 解：(1)证明：∵∠ACB＝90°，∴∠ACM＋∠BCN＝90°.
∴△ABO≌△DCO.
你认为小华的思考过程对吗？如果正确，指出他用的是判
别三角形全等的哪个条件；如果不正确，写出你的思考过程． 解：小华的思考不正确，因为AC和BD不是这两个三角形的边．
正确的解答是：连接BC，
在△ABC和△DCB中，
AB＝DC，
AC＝DB，
BC＝CB，
∴△ABC≌△DCB(SSS)．
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
BC＝AD，
AB＝BA，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)． ∴AC＝BD，∠CAB＝∠DBA.
∵CE⊥AB，DF⊥AB， ∴∠AEC＝∠BFD＝90°. 在△ACE和△BDF中，
∠CAE＝∠DBF， ∠AEC＝∠BFD， AC＝BD，
∴△ACE≌△BDF(AAS)． ∴CE＝DF.
第十二章 全等三角形 小专题(二） 全等三角形的基本模型
类型1 平移模型
1．如图，AC＝DF，AD＝BE，BC＝EF.
求证：(1)△ABC≌△DEF；
(2)AC∥DF. 证明：(1)∵AD＝BE，
∴AD＋DB＝BE＋DB，即AB＝DE.
在△ABC和△DEF中，
AC＝DF， AB＝DE， BC＝EF，
∠BAO＝∠DCO，
∠ABO＝∠CDO，
BO＝DO，
∴△ABO≌△CDO(AAS)． (2)∵△ABO≌△CDO，∴AO＝CO＝12AC＝2.
∵BO＝1BD＝3， 2
∴△BOC 的周长为 BC＋BO＋OC＝4＋3＋2＝9.
6．复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“ 如图1，已知在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC内任意一点，将AP 绕点A顺时针旋转至AQ，使∠QAP＝∠BAC，连接BQ，CP，则 BQ＝CP.”小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图1的分析，证明 了△ABQ≌△ACP，从而证得BQ＝CP.之后，他将点P移到等腰 △ABC外，原题中其他条件不变，发现“BQ＝CP”仍然成立，请你 就图2给出证明．
∵AM⊥MN，BN⊥MN，∴∠AMC＝∠CNB＝90°. ∴∠BCN＋∠CBN＝90°.∴∠ACM＝∠CBN. 在△ACM和△CBN中，
∠ACM＝∠CBN，
∠AMC＝∠CNB，
AC＝CB，
∴△ACM≌△CBN(AAS)． ∴MC＝NB，MA＝NC. ∵MN＝MC＋CN， ∴MN＝AM＋BN.
类型5 综合模型 平移＋旋转模型：
(2)∵△ABC≌△DEF，
∴∠A＝∠EDF.∴AC∥DF.
类型2 对称模型
2．如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD＝BC，CE⊥AB， DF⊥AB，垂足分别是E，F，那么CE＝DF吗？
解：CE＝DF.理由： ∵AC⊥BC，AD⊥BD， ∴∠ACB＝∠BDA＝90°.
AF＝DE， ∠A＝∠D， AC＝DB，
∴△AFC≌△DEB(SAS)．
(2)在图2，3中结论依然成立． 证明：在图2中，∵DE∥AF， ∴∠A＝∠D. 在△AFC和△DEB中，
AF＝DE， ∠A＝∠D， AC＝DB，
∴△AFC≌△DEB(SAS)．
在图3中，∵AB＝CD， ∴AB－BC＝CD－BC，即AC＝BD. ∵AF∥DE，∴∠A＝∠D. 在△AFC和△DEB中，
∴∠A＝∠D. 在△AOB和△DOC中，
∴△AOB≌△DOC(AAS)．
∠AOB＝∠DOC， 【思考】你还能用其他解法解决此题吗？
∠A＝∠D， AB＝DC，
试试看．
类型3 旋转模型
5．如图，四边Байду номын сангаасABCD的对角线相交于点O，AB∥CD， O是BD的中点．
(1)求证：△ABO≌△CDO； (2)若BC＝AC＝4，BD＝6，求△BOC的周长． 解：(1)证明：∵AB∥CD， ∴∠BAO＝∠DCO，∠ABO＝∠CDO. ∵O是DB的中点，∴BO＝DO. 在△ABO和△CDO中，
3．我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图， 四边形ABCD是一个筝形，其中AD＝CD，AB＝CB.
(1)求证：∠ABD＝∠CBD； (2)设对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足 分别是E，F.请直接写出图中的所有全等三角形(△ABD≌△CBD 除外)．
解：(1)证明：在△ABD和△CBD中，
AD＝CD，
AB＝CB，
BD＝BD，
∴△ABD≌△CBD(SSS)． ∴∠ABD＝∠CBD. (2)△ABO≌△CBO，△OAD≌△OCD，
△OAE≌△OCF，△EBO≌△FBO.
4．某产品的商标如图所示，O是线段AC，DB的交点，且
AC＝BD，AB＝CD，小华认为图中的两个三角形全等，他的
思考过程是：∵AC＝DB，∠AOB＝∠DOC，AB＝DC，
AF＝DE， ∠A＝∠D， AC＝DB，
∴△AFC≌△DEB(SAS)．
平移＋对称模型：
8．如图1，点A，B，C，D在同一直线上，AB＝CD， DE∥AF，且DE＝AF.
(1)求证：△AFC≌△DEB； (2)如果将BD沿着AD边的方向平行移动至图2，3的位置 时，其余条件不变，(1)中的结论是否依然成立？如果成立， 请予以证明；如果不成立，请说明理由．
解：(1)证明：∵AB＝CD， ∴AB＋BC＝CD＋BC，即AC＝BD. ∵DE∥AF，∴∠A＝∠D. 在△AFC和△DEB中，
证明：∵∠QAP＝∠BAC， ∴∠QAP＋∠PAB＝∠PAB＋∠BAC， 即∠QAB＝∠PAC. 在△ABQ和△ACP中，
AQ＝AP，
∠QAB＝∠PAC，
AB＝AC，
∴△ABQ≌△ACP(SAS)． ∴BQ＝CP.
类型4 一线三等角模型
7．如图1所示，在△ABC中， ∠ACB＝90°，AC＝BC，过点 C点在M((△21，A))求如BBNC证图外⊥：2，作MM若N直N于(理∴∵过线＝2)点由CM点(MA1MNNM：)NC中＝(＝＋作，A同的BMC直BA(NN1结＞NM线)，－中；论⊥BMACN证不MMMN)明，N成与＝，于可(立线C1∴点)N得，中段M.M△结的ANA，B＝论结C相BMA为论N交M≌⊥M是－，△NM否CBA＝NB仍NM于NA.⊥然M，点M成－NN立B.于N？. 说明理由． 解：(1)证明：∵∠ACB＝90°，∴∠ACM＋∠BCN＝90°.
∴△ABO≌△DCO.
你认为小华的思考过程对吗？如果正确，指出他用的是判
别三角形全等的哪个条件；如果不正确，写出你的思考过程． 解：小华的思考不正确，因为AC和BD不是这两个三角形的边．
正确的解答是：连接BC，
在△ABC和△DCB中，
AB＝DC，
AC＝DB，
BC＝CB，
∴△ABC≌△DCB(SSS)．
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
BC＝AD，
AB＝BA，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)． ∴AC＝BD，∠CAB＝∠DBA.
∵CE⊥AB，DF⊥AB， ∴∠AEC＝∠BFD＝90°. 在△ACE和△BDF中，
∠CAE＝∠DBF， ∠AEC＝∠BFD， AC＝BD，
∴△ACE≌△BDF(AAS)． ∴CE＝DF.
第十二章 全等三角形 小专题(二） 全等三角形的基本模型
类型1 平移模型
1．如图，AC＝DF，AD＝BE，BC＝EF.
求证：(1)△ABC≌△DEF；
(2)AC∥DF. 证明：(1)∵AD＝BE，
∴AD＋DB＝BE＋DB，即AB＝DE.
在△ABC和△DEF中，
AC＝DF， AB＝DE， BC＝EF，
∠BAO＝∠DCO，
∠ABO＝∠CDO，
BO＝DO，
∴△ABO≌△CDO(AAS)． (2)∵△ABO≌△CDO，∴AO＝CO＝12AC＝2.
∵BO＝1BD＝3， 2
∴△BOC 的周长为 BC＋BO＋OC＝4＋3＋2＝9.
6．复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“ 如图1，已知在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC内任意一点，将AP 绕点A顺时针旋转至AQ，使∠QAP＝∠BAC，连接BQ，CP，则 BQ＝CP.”小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图1的分析，证明 了△ABQ≌△ACP，从而证得BQ＝CP.之后，他将点P移到等腰 △ABC外，原题中其他条件不变，发现“BQ＝CP”仍然成立，请你 就图2给出证明．
∵AM⊥MN，BN⊥MN，∴∠AMC＝∠CNB＝90°. ∴∠BCN＋∠CBN＝90°.∴∠ACM＝∠CBN. 在△ACM和△CBN中，
∠ACM＝∠CBN，
∠AMC＝∠CNB，
AC＝CB，
∴△ACM≌△CBN(AAS)． ∴MC＝NB，MA＝NC. ∵MN＝MC＋CN， ∴MN＝AM＋BN.
类型5 综合模型 平移＋旋转模型：