2018届绵阳一诊理科数学答案1023
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绵阳市高2015级第一次诊断性考试
数学(理工类)参考解答及评分标准
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． DCDAC BACBD BC
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．3
14．)2
1()23
(∞+--∞，， 15．97
-
16．3935
三、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．解：（Ⅰ）△ABD 中，由正弦定理
BAD
BD
B AD ∠=
∠sin sin ， 得21
sin sin =∠⨯=∠AD B BD BAD ， …………………………………………4分
∴ 6
6326
π
ππππ
=--
=∠=
∠ADB BAD ，， ∴ 6
56
π
π
π=
-
=∠ADC ． ……………………………………………………6分 (Ⅱ)由（Ⅰ）知，∠BAD =∠BDA =
6
π
，故AB =BD =2． 在△ACD 中，由余弦定理：ADC CD AD CD AD AC ∠⋅⋅-+=cos 2222， 即)2
3
(32212522-
⋅⋅⨯-+=CD CD ， ……………………………………8分 整理得CD 2+6CD -40=0，解得CD =-10（舍去），CD =4，………………10分 ∴ BC =BD +CD =4+2=6． ∴ S △ABC =
332
36221sin 21=⨯⨯⨯=∠⨯⨯⨯B BC AB ．……………………12分 18．解：（Ⅰ）设{a n }的公差为d (d >0)，
由S 3=15有3a 1+
d 2
2
3⨯=15，化简得a 1+d =5，① ………………………2分 又∵ a 1，a 4，a 13成等比数列，
∴ a 42=a 1a 13，即(a 1+3d )2=a 1(a 1+12d )，化简得3d =2a 1，② ……………4分 联立①②解得a 1=3，d =2，
∴ a n =3+2(n -1)=2n +1． ……………………………………………………5分
∴
)3
21
121(21)32)(12(111+-+=++=+n n n n a a n n ，
∴ )
32(3)32131(21)]321121()7151()5131[(21+=
+-=+-+++-+-=n n
n n n T n ． ……………………………………………………7分 (Ⅱ) ∵ n n a tT <+11，即
122)
32(3+<+n n tn
，
∴ 90)9(12)36304(3)32)(122(32++=++=++ n n n n n n n t ，………………9分 又n n 9 + ≥6 ，当且仅当n =3时，等号成立， ∴ 90)9(12++n n ≥162， ……………………………………………………11分 ∴ 162 19． 解 ：（Ⅰ）由图得，2=A ． …………………………………………………1分 4 3125343π ππ= +=T ，解得π=T ， 于是由T = πω π =2，得2=ω．…………………………………………………2分 ∵ 2)32sin( 2)3 (=+=ϕππ f ，即1)3 2sin(=+ϕπ ， ∴ 2232ππϕπ+=+k ，即62ππϕ-=k ，k ∈Z ，又)22(ππϕ，-∈，故6 π ϕ-=， ∴ )6 2sin(2)(π -=x x f ． ……………………………………………………3分 由已知56)62sin(2=- π α，即5 3 )62sin(=-πα， 因为)3 0(πα，∈，所以)26(6 2π π π α，- ∈- ， ∴ 5 4 )6 2(sin 1)6 2cos(2= - -=- π απ α． ∴]6 )6 2sin[(2sin π π αα+ - = 6 sin )6 2cos(6 cos )6 2sin(π π απ π α- +- = =2 1542353⨯+⨯ = 10 3 34+． ………………………………………………………6分 (Ⅱ)由（Ⅰ）知，)3 4cos()(2)(π λ- +=x x f x g =)3 4cos()6 2sin(4π π λ- +-x x =)]6 2(sin 21[)6 2sin(42π π λ- -+- x x =12])6 2[sin(222++-- -λλπ x ，…………………8分 ∵ x ∈]12512[ ππ ，，于是0≤6 2π -x ≤ 32π， ∴ 0≤)6 2sin(π - x ≤1．………………………………………………………9分 ①当0<λ时，当且仅当)6 2sin(π - x =0时，)(x g 取得最大值1，与已知不符． ②当0≤λ≤1时，当且仅当)6 2sin(π -x =λ时，)(x g 取得最大值122+λ， 由已知得122+λ= 23，解得λ2 1 =． ③ 当λ>1时，当且仅当)6 2sin(π -x =1时，)(x g 取得最大值4λ-1， 由已知得4λ-1=23，解得λ=8 5 ，矛盾． 综上所述，λ2 1 = ．……………………………………………………………12分 20．解：（Ⅰ）23)(x ke x f x -='． 由题知方程23x ke x -=0恰有三个实数根， 整理得x e x k 2 3=．………………………………………………………………1分