旋转体的体积试题解析——高数常考题目

§2由平行截面面积求体积
一、平行截面面积为已知的立体的体积 二、旋转体的体积
三、小结
一、已知平行截面面积的立体的体积
设一立体在x轴上的投影区间为[a, b] ，过x点垂直于x轴 的截面面积S(x)是x的连续函数，求此立体的体积。 (1) 在[a, b]内插入分点： a=x0<x1<x2< ⋅⋅⋅ <xn−1<xn=b，
2π
π
− π ∫ a 2 ( t − sin t ) 2 ⋅ a sin tdt
0
π
= πa
3
∫0
2π
( t − sin t ) 2 sin tdt = 6 π 3 a 3 .
例 7 求由曲线 y = 4 − x 2 及 y = 0 所围成的图形 绕直线 x = 3 旋转构成旋转体的体积. 旋转构成旋转体的体积
O
y
y=f (x)
a
b
x
旋转体的体积怎样求？
一般地， 一般地，如果旋转体是由连续曲线 y = f ( x ) 、 直线 x = a 、 x = b 及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周而成的立体，体积为多少？ 轴旋转一周而成的立体，体积为多少？
取积分变量为 x ，
y
y = f ( x)
x ∈ [a , b ] 在[a , b]上任取小区 间[ x , x + dx ]，
2 2
∫a
b
[f(x)]2dx。
y b
b y= a2 − x2 a
O
a x
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例 4
的直线、 连接坐标原点 O 及点 P ( h, r ) 的直线、直线
x = h及 x 轴围成一个直角三角形．将它绕 x 轴旋 轴围成一个直角三角形．
的圆锥体， 转构成一个底半径为 r 、高为 h的圆锥体，计算圆 锥体的体积． 锥体的体积．
2a 2a
y
B x = x2 ( y ) 2a C x = x1 ( y ) A o 2πa x
轴旋转构成旋转体的体积之差. 分别绕 y 轴旋转构成旋转体的体积之差
V y = ∫ π x 2 ( y )dy − ∫ π x 12 ( y )dy 0 0
2
= π ∫ a 2 ( t − sin t ) 2 ⋅ a sin tdt
∑ S ( x ) = ∫ S ( x)dx
i i =1 a
n
b
的圆柱体的底圆中心， 例 1 一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中心， 并与底面交成角α ，计算这平面截圆柱体所得立 体的体积. 体的体积 解 取坐标系如图 −R
底圆方程为
o
2
α
y
x +y =R
2 2
x
R
垂直于 x 轴的截面为直角三角形 1 2 截面面积 A( x ) = ( R − x 2 ) tanα , 2 1 R 2 2 3 2 立体体积 V = (R − x ) tanαdx = R tanα . 2 −R 3
R 2 2
2
1 2 R − x dx = πR h. 2
二、旋转体的体积
旋转体就是由一个平面图形饶这平面内 旋转体就是由一个平面图形饶这平面内 一条直线旋转一周而成的立体． 一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做 旋转轴． 旋转轴．
圆柱
圆锥
圆台
旋转体： 旋转体： 由连续曲线 y=f (x)、直 线 x=a 、a=b 及 x 轴所围成 的曲边梯形绕 x轴旋转一周 而成的立体。 讨论： 讨论：
a x
旋转体的体积
V = ∫ π a − x −a
2 3
32 3 dx = πa . 105
类似地，如果旋转体是由连续曲线
x = ϕ ( y)、直线 y = c 、 y = d 及 y 轴所围
轴旋转一周而成的立体， 成的曲边梯形绕 y 轴旋转一周而成的立体 ， y 体积为
2
2
3 h
例 5 求星形线 x + y = a ( a > 0) 绕 x 轴旋转 构成旋转体的体积. 构成旋转体的体积
y
2 3 2 3 2 3
2 3
2 3
2 3
解 Qy =a −x ,
∴ y = a − x
2 2 3
a 2 3
2 3

3
x ∈ [− a , a ]
3
−a
oቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
o
x x + dx
x
取以dx 为底的窄边梯形绕 x 轴旋转而成的薄 片的体积为体积元素， 片的体积为体积元素， dV = π[ f ( x )]2 dx
旋转体的体积为 V = π[ f ( x )]2 dx ∫
a
b
曲线y=f(x)绕 x 轴旋转而成的立体体积： =π V y x + 2 =1 例 3 求椭圆 2 a b 绕x轴旋转产生的旋转体的体 积。 解：椭圆绕 x 轴旋转产生 的旋转体的体积： 2 a b a Vx =2⋅π ∫ y2dx =2π ∫ 2 (a 2 −x 2 )dx 0 a 0 b2 2 x3 a 4 2 = 2π ⋅ 2 (a x − ) 0 = πab 。 3 3 a
O a
x1
xi−1 xi
xn b
x
(2)过xi(i=1, 2, ⋅⋅⋅ , n−1)且垂直于x轴的平面，把立体分割成 n个小薄片，第i个小薄片体积的近似值S(xi)∆xi。 将n个小薄片体积的近似值相加得立体体积的近似值
V ≈ ∑ S(ξ i)∆xi。
i =1 n
(3) 立体体积为
V = lim
T →0
V = ∫ π [ϕ ( y )]2 dy
c
d
d
x = ϕ ( y)
c
o x
例 6 求摆线 x = a ( t − sin t )，y = a (1 − cos t ) 的
y 一拱与 y = 0 所围成的图形分别绕 x 轴、 轴旋转
构成旋转体的体积. 构成旋转体的体积
y(x)
πa
2πa
解 绕 x 轴旋转的旋转体体积
x
∫
例2
的圆为底、 求以半径为 R 的圆为底、平行且等于底圆
直径的线段为顶、 的正劈锥体的体积. 直径的线段为顶、高为 h 的正劈锥体的体积
y
解 取坐标系如图 底圆方程为
x 2 + y 2 = R2 ,
o
2
x
R
x
垂直于 x 轴的截面为等腰三角形
截面面积 A( x ) = h ⋅ y = h R − x 立体体积 V = h∫ −R
Vx = ∫
0
2 πa
0
π y 2 ( x )dx
= π ∫ a 2 (1 − cos t ) 2 ⋅ a(1 − cos t )dt = πa
3
2π
∫0
2π
(1 − 3 cos t + 3 cos 2 t − cos 3 t )dt = 5 π 2 a 3 .
绕 y轴旋转的旋转体体积
可看作平面图OABC 与OBC
解
取积分变量为 y , y ∈ [0,4]
体积元素为
P
dy
Q
M
dV = [ π PM − πQM ]dy
2
2
3
= [ π( 3 + 4 − y ) 2 − π( 3 − 4 − y ) 2 ]dy
= 12π 4 − ydy ,
∴V = 12π ∫
4 0
4 − ydy = 64π. π
三、小结
旋转体的体积 y轴旋转一周 绕
绕 x轴旋转一周
平行截面面积为已知的立体的体积
y
P
解 直线 OP方程为
r
o
r y= x h
h
x
取积分变量为 x ， x ∈ [0, h]
在[0, h]上任取小区间[ x , x + dx ]，
以 dx 为底的窄边梯形绕 x 轴旋转而成的薄片的 体积为
r x dx dV = π h
圆锥体的体积
2
y
P
r
o
h
x
V =∫
h
0
2 r x πhr x dx πr π . = 2 = 3 h 3 0 h