同济大学 高数 三重积分ppt课件
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高等数学《三重积分》课件
3
注: 1．可积性: f 连续 可积
2．物理意义
如果f(x,y,z)表示某物体在点(x,y,z)处的体密度，Ω 是该物体所占的空间闭区域，f(x,y,z)在Ω上连续， 则
物体的质量 M f ( x, y, z)dv 3．几何意义
的体积 V dxdydz
4．性质 同二重积分 4
8.3.2、直角坐标系下的三重积分的计算法
f (z, x,
y)]dV
若为球面x 2 y 2 z 2 R2所围，则
x 2dV
y 2dV
z2dV
1 3
[ x 2
y2
z 2 ]dV
13
例 3 利用对称性简化计算
z ln( x2 y2 z2 1)
x2 y2 z2 1 dxdydz 其中积分区域 {(x, y, z) | x2 y2 z2 1}.
其中A(z)是Dz的面积
习题8.3.1
20
o
y
或D(z)，即
x
{( x, y, z)( x, y) Dz ,c1 z c2}
f ( x, y, z)dv c2 dz f ( x, y, z)dxdy (3)
c1 Dz
15
f (x, y, z)dv c2 dz
z
f ( x, y, z)dxdy
c1
Dz
上式的适用范围：
其中在每vi表个示v第i上i个任小取闭一区点域(，i ,也i表, 示i)它，的作体乘积积。f ( i ,
i,
i)
vi
(i=1,2,…
n
,n)
，
并作和 f (i ,i , i )vi。
如果当各i 1小闭区域直径的最大值 趋于零时
这个和的极限总存在, 则称此极限为函数
高数同济六版D103三重积分
通过选取特定的节点和权系 数，使得数值积分具有更高 的代数精度和更好的稳定性。
数值方法在求解复杂三重积分中应用
1 2 3
适应性网格划分
根据被积函数的特性，自适应地划分积分区域， 使得在函数变化剧烈的区域采用更细的网格，提 高计算精度。
蒙特卡罗方法
通过随机抽样估计三重积分值，适用于高维、复 杂积分区域的计算，但计算结果的精度与抽样次 数和随机数生成质量有关。
通过投影法或截面法，可以将三重积分转化为二重积分进行计算。
二重积分与三重积分在解决实际问题时常常相互转换，如计算物体体积、质量等。
与曲线曲面积分关系及转换方法
三重积分与曲线积分、曲面积分 之间有着密切的联系，它们都是 研究多元函数积分学的重要内容。
在一定条件下，三重积分可以转 化为曲线积分或曲面积分进行计
划分微元
将积分区域Ω划分为n个小立方体，每个小立方体的边长分 别为dx, dy, dz，小立方体的体积为dV=dx×dy×dz。
三重积分表达式
对于被积函数f(x,y,z)，其在积分区域Ω上的三重积分可以表 示为∭f(x,y,z)dV，其中积分号∭表示三重积分，dV表示体积 微元。
计算步骤
先对z进行积分，再对y进行积分，最后对x进行积分。即 ∭f(x,y,z)dV=∫[a,b]dx∫[c,d]dy∫[e,f]f(x,y,z)dz，其中[a,b]、 [c,d]、[e,f]分别为x、y、z的积分上下限。
高维数值积分方法
将高维积分转化为一系列一维积分的组合，利用 一维数值积分方法进行计算，降低计算复杂度。
误差分析和收敛性判断
误差来源分析
分析数值积分过程中产生的各种误差来源，包括截断误差、 舍入误差、模型误差等，为后续的误差控制和收敛性判断 提供依据。
三重积分ppt
0 2
在球面坐标下 x2 y2 z2 2, 因此
1. 若被积函数形如 f (x2 y2 z2);
2. 积分区域是由球面、锥面或平面所围成. 常用球面坐标计算
球面坐标下的三坐标面分别为
z
动点M(ρ, ,)
ρ=常数: 球面S
=常数:
M
S
ρ
0
x y
动点M(ρ, ,)
ρ=常数: 球面S
f
( x,
y, z)dxdy.
例4 计算三重积分 zdxdydz, 其中为三个坐
标面及平面x y z 1所围成的闭区域.
解 截面法(先二后一法)
zdxdydz
1
0
zdz
dxdy
Dz
Dz {(x, y) | x y 1 z}
z
1 x yz1
1O
x
Dz
1y
1
dxdy 2(1 z)(1 z)
z
• M (x, y, z)
z
O
Ax x
y
•P
y
向xOy平面投影, 记投影向量与x轴正方向的
夹角为 , 称 ( , , ) 为点M 的球面坐标. 规定: 0 , 0 , 0 2 .
直角坐标与球面坐标的关系为
x sin cos
y
sin
sin
z cos
0 0
z
C
=常数: 锥面C
=常数: 半平面P
M
S
P
0
x
y
球面坐标下的体积元素
z
元素区域由六个坐标面围成：
圆锥面
球面ρ+dρ
半平面 及+d ； ρsind
半径为ρ及ρ+dρ的球
在球面坐标下 x2 y2 z2 2, 因此
1. 若被积函数形如 f (x2 y2 z2);
2. 积分区域是由球面、锥面或平面所围成. 常用球面坐标计算
球面坐标下的三坐标面分别为
z
动点M(ρ, ,)
ρ=常数: 球面S
=常数:
M
S
ρ
0
x y
动点M(ρ, ,)
ρ=常数: 球面S
f
( x,
y, z)dxdy.
例4 计算三重积分 zdxdydz, 其中为三个坐
标面及平面x y z 1所围成的闭区域.
解 截面法(先二后一法)
zdxdydz
1
0
zdz
dxdy
Dz
Dz {(x, y) | x y 1 z}
z
1 x yz1
1O
x
Dz
1y
1
dxdy 2(1 z)(1 z)
z
• M (x, y, z)
z
O
Ax x
y
•P
y
向xOy平面投影, 记投影向量与x轴正方向的
夹角为 , 称 ( , , ) 为点M 的球面坐标. 规定: 0 , 0 , 0 2 .
直角坐标与球面坐标的关系为
x sin cos
y
sin
sin
z cos
0 0
z
C
=常数: 锥面C
=常数: 半平面P
M
S
P
0
x
y
球面坐标下的体积元素
z
元素区域由六个坐标面围成：
圆锥面
球面ρ+dρ
半平面 及+d ； ρsind
半径为ρ及ρ+dρ的球
三重积分.ppt
小结: 三重积分的计算方法
方法1. “先一后二”
dxdy z2 (x, y) f (x, y, z)d z
D
z1( x, y)
方法2. “先二后一”
b
a d zDz f (x, y, z)dxdy
方法3. “三次积分”
bd x y2 (x) d y z2 (x, y) f (x, y, z)d z
（也表示体积）
n
作和式 f (i ,i , i )Vi i 1
记作
f (x, y, z)dV
存在, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在 上的三重积分.
dv 称为体积元素, 在直角坐标系下常写作 dxdydz.
三重积分的性质与二重积分相似.
二.三重积分的性质
1. k f (x, y, z)dV k f (x, y,) dV ( k 为常数)
同样也有轮换对称性，如
x2
dV
y 2 dV
z 2 dV
1 3
(x2
y2
z2 )dV
第四节 三重积分的计算
1. 利用直角坐标计算三重积分 方法:
方法1 . 投影法 (“先一后二”) 方法2 . 截面法 (“先二后一”)
方法1. 投影法 (“先一后二” )
设区域 :
(
x,
y)
D
:
y1
(
x) a
y x
y2 b
(
x)
利用投影法结果 , 把二重积分化成二次积分即得:
投影法
b
dx
y2 (x) dy
高数同济10.3三重积分
S2 : z z2 ( x , y ),
z
f ( x , y, z )dxdydz
z z2 ( x , y )
z2 S 2
z1 S1
z z1 ( x , y )
过点 ( x , y ) D 作直线 从 z1 穿入， 从 z2 穿出
b
a
o
( x, y)
D
y
y y2 ( x )
o
D
f ( x , y , z )dz ]d . [ x z z ( x, y) f ( x , y , z )dv 先z 后y 再x 顺序的积分（三次积分） b y ( x) z ( x, y) dx dy f ( x , y , z ) dz . y ( x) z ( x, y) a
x
y y1 ( x )
先将 x , y 看作定值， 将 f ( x , y , z ) 只看作 z 的函数，
二、三重积分的计算
f ( x , y, z )dxdydz
z
z z2 ( x , y )
1. 在直角坐标系中三重积分的计算 如图， 闭区域 在xoy面上 的投影为闭区域为D。
2
2
2
z x2 2 y2 解 由 , 2 z 2 x 2 2 得投影区域 x y 1,
1
x1
2
y
2 1 x y 1 x
-1
o
1 x
x 2y
2
2
z 2 x
2
例 2 化三重积分 I
f ( x , y , z )dxdydz 为三
先一后二法
D z1 ( x , y )
z
f ( x , y, z )dxdydz
z z2 ( x , y )
z2 S 2
z1 S1
z z1 ( x , y )
过点 ( x , y ) D 作直线 从 z1 穿入， 从 z2 穿出
b
a
o
( x, y)
D
y
y y2 ( x )
o
D
f ( x , y , z )dz ]d . [ x z z ( x, y) f ( x , y , z )dv 先z 后y 再x 顺序的积分（三次积分） b y ( x) z ( x, y) dx dy f ( x , y , z ) dz . y ( x) z ( x, y) a
x
y y1 ( x )
先将 x , y 看作定值， 将 f ( x , y , z ) 只看作 z 的函数，
二、三重积分的计算
f ( x , y, z )dxdydz
z
z z2 ( x , y )
1. 在直角坐标系中三重积分的计算 如图， 闭区域 在xoy面上 的投影为闭区域为D。
2
2
2
z x2 2 y2 解 由 , 2 z 2 x 2 2 得投影区域 x y 1,
1
x1
2
y
2 1 x y 1 x
-1
o
1 x
x 2y
2
2
z 2 x
2
例 2 化三重积分 I
f ( x , y , z )dxdydz 为三
先一后二法
D z1 ( x , y )
同济大学 高数 三重积分ppt课件
对应雅可比行列式为 J (x, y, z) (u, v, w)
直角坐标与柱面坐标的关系:
x cos y sin zz
J (x, y, z)
(,, z)
x y
x y
xz cos sin 0
yz sin cos 0
z z zz
0
01
dv J dddz dddz
x2 y2 2
z
h
解: 在柱面坐标系下
原式 =
2π 2
d
0
0
h
1
2
d
h
2 d z
xO y
4 dv d ddz
2
2π
0
h
1
2
(h
2
4
)
d
22
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3. 利用球坐标计算三重积分
设 M (x, y, z) R3, 其柱坐标为(, , z), 令 OM r,
zOM ,则(r,, ) 就称为点M 的球坐标.
16
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f (x, y, z)dxdydz
d d dz
d
d 2 ( )
z2 (, ) F(, , z)dz
1 ( )
z1 ( , )
其中 F(, , z) f ( cos , sin , z )
(,, z) , 1( ) 2( ), z1(, ) z z2(, )
就称为点M 的柱坐标. 直角坐标与柱面坐标的关系:
x cos y sin
zz
坐标面分别为
00z2π
z z
M (x, y, z)
常数 常数
z 常数
圆柱面 半平面 平面
高数同济六版D10_3三重积分
, , ) , 体积, 则存在 ( 使得 f ( , , ) V ,y ,z )d v f(x
在有界闭域 上连续, V 为 的 f( x ,y ,z ) 中值定理. 设
二、三重积分的计算
1. 利用直角坐标计算三重积分
( x , y , z ) 0 ,并将它看作某物体 先假设连续函数 f
x cos y sin z z
坐标面分别为
0 0 2π z
圆柱面 半平面
z
z
M ( x ,y ,z )
常数 常数
z 常数
平面
x
O y (x , y,0 )
如图所示, 在柱面坐标系中体积元素为 z d v d d d z z
M lim
( , , ) v k k k k 0
k 1
n
vk
( k) k, k,
( x , y , z ) , ( x , y , z ) Ω , 若对 作任意分割: 定义. 设 f ,k ,k ) v , 下列 任意取点 ( v ( k 1 , 2 , , n ), k k k “乘 积和式” 极限
0
0
0
2 π 8 2 4 a 3 2 a cos d 9 0 3
d v d d d z
例4. 计算三重积分
dx dydz
2 2
2 2 x y 4 z与平面 z h ( h 0 ) 所围成 .
1x y
4
2
, 其中 由抛物面
z
h
z
b
方法3. “三次积分”
高等数学课件--D103三重积分精品
D
z2 (x,y) f (x, y, z)dz dxdy
z1( x, y)
记作
dxd y z2 (x,y) f (x, y, z)dz
D
z1( x, y)
微元线密度≈
f (x, y, z) dxdy
2019/9/1
同济版高等数学课件
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方法2. 截面法 (“先二后一”)
0
0
0
Oy 2 x 2cos
2019/9/1
4a2 3
π 2 cos3 d
0
8a2 9
同济版高等数学课件
dv d ddz
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例4. 计算三重积分
其中 由抛物面
x2 y2 4z 与平面 z h (h 0)所围成 .
z
h
解: 在柱面坐标系下
z1 ( x, (x,
y) y)
z D
z2 ( x,
y)
细长柱体微元的质量为
z z2 (x, y)
z
z2 (x,y) f (x, y, z)dz dxdy
z1( x, y)
z z1(x, y)
该物体的质量为
O
y
f (x, y, z)d v
xD
dxd y
y
其中
F(, , z) f ( cos , sin , z )
x d
d
d d d
适用范围:
1) 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 ;
2) 被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离.
2019/9/1
同济版高等数学课件
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1 48
z 1
1
O
2
y
x1
11
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例4. 计算三重积分
c z Dz
z
c zc
O a
by
解: :
Dz
:
x2 a2
y2 b2
1
z c
2 2
x
用“先二后一 ”
z2 d xd yd z c z2 d z d xd y
x2
2
y
c c
2
z
2
z
π
2
a
c
b(1
z c
2 2
)d
a
Dz
z
b
z Dz
a
O
y
x
适用范围: ① 被积函数 只与 一个变量 有关，且 截面 的面积 易 计算.
或
② Dz f (x, y, z)dxd y 易计算.
8
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当被积函数在积分域上变号时, 因为
f (x, y, z)
f (x, y, z) f (x, y, z)
f (x, y, z) f (x, y, z)
及平面 z 5 所围成的闭区域 .
解:
(
x2
y2
)dxdydz
5
0
dz
(x2
y
2
)dxdy
Hale Waihona Puke Dz2z5
dz
2
d
2z
5 r2 rdr
2
5 r4
5
dz
0
0
0
04
0
8 1 z5 5 8
54 5 0
14
4
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例1
P182 1(1)
例2 (x y z)dxdydz ,其中 为三个坐标 面及平面 x y z 1 所围成的闭区域 .
解: 关于 x, y, z 有 轮换对称性， 则
xdxdydz ydxdydz zdxdydz
故 (x y z)dxdydz 3 xdxdydz
0 0
y x
112 (1
x)
1
O
2
y
x d x d y d z
x1
1x2 y
0 d z
1
xdx
12(1x) (1 x 2 y)d y
0
0
1
1
(x
2x2
x3
)dx
1
40
48
10
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例3.
（法二） x d x d y d z
1
0 xdx dydz Dx
1 x 1(1 x)2 dx 04
Dz
z
4 15
π
abc3
(a2 b2 c2 )dxdydz ？
12
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例5. (x2 y2)dxdydz ,其中 由曲面
4z2 25(x2 y2 ) 及平面 z 5 所围成的闭区域 .
13
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例5.
(x2 y2 )dxdydz ,其中 由 曲面 4z2 25(x2 y2)
步骤：① 把 往 xoy 面作投影得积分区域 D
② 在 D 内任取一点 P ,过 P 作平行于 z 轴的直线
交 的边界曲面 于两点 z1(x, y) 和 z2 (x, y) 6
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则
Ω
:
z1 ( x, (x,
y) y)
z D
z2 ( x,
y)
z z2 (x, y)
2
2
f1(x, y, z) f2 (x, y, z)
均为为非负函数 根据重积分性质仍可用前面介绍的方法计算.
9
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例3. 计算三重积分 xdxdydz, 其中 为三个坐标
面及平面 x 2 y z 1 所围成的闭区域 .
z 1
解: （法一）
0 z 1 x 2y
:
第三节 三重积分
一、三重积分的概念 二、三重积分的计算
第十章
1
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一、三重积分的概念
引例: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的
物质, 密度函数为(x, y, z) C,求分布在 内的物质的
质量 M .
解决方法: 类似二重积分解决问题的思想, 采用
“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”
可得
n
M lim (k ,k , k )vk 0 k 1
vk
(k ,k , k )
2
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定义. 设 f (x, y, z) , (x, y, z) Ω , 若对 作任意分割:
任意取点
下列
积和式” 极限
“乘
n
lim
0
k 1
f
( k
,k
,
k
)vk
记作
f (x, y, z)dv
存在, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在 上的三重积分.
dv 称为体积元素, 在直角坐标系下常写作 dxdydz.
性质:
三重积分的性质与二重积分相似.
1dv V ( 的体积）
f (x, y, z)dv 0 ( 为曲面） 3
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①
对称 的性质 在有界闭域
V 上连续,
V
关于xoy 面
对称,
V1 为对应V 的 z 0 部分，则
0 f (x, y, z) f (x, y, z)
V
f
(x,
y,
z
)
d
v
2V1
f
(x, y, z)dV
f (x, y, z) f (x, y, z)
② 关于 x, y, z 有 轮换对称性，(即当 (x, y, z) 时，则
f (x, y, z)d v
b
dx
y2 (x) dy
z2 (x,y) f (x, y, z)dz
a
y1 ( x)
z1 ( x, y)
7
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方法2. (“先二后一”) 若
ab Dz f (x, y, z) d x d y dz
记作
b
dz
f (x, y, z)dxdy
将 x, y, z 任意 互换 得到的点也 属于 ) 则
f (x, y, z)dxdydz f (y, x, z)dxdydz f (y, z, x)dxdydz 等
f (x)dxdydz f (y)dxdydz f (z)dxdydz
( f (x) f (y) f (z))dxdydz 3 f (x)dxdydz
5
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二、三重积分的计算
1. 利用直角坐标计算三重积分
z z2 (x, y)
z
方法: 方法1 . (“先一后二”)
z z1(x, y)
方法2 . (“先二后一”)
假设平行于 z 轴且穿过区域
x D .P y
内部的直线与闭区域 的边界曲面相交不多于两点.
方法1 . (“先一后二”)
z
f (x, y, z)d v
z2 (x,y) f (x, y, z)dz dxdy
D z1( x, y)
记作
dxd y z2 (x,y) f (x, y, z)dz
D
z1( x, y)
z z1(x, y)
O
x D .P
y
若 D (x, y) y1(x) y y2(x), a x b 则
z 1
1
O
2
y
x1
11
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例4. 计算三重积分
c z Dz
z
c zc
O a
by
解: :
Dz
:
x2 a2
y2 b2
1
z c
2 2
x
用“先二后一 ”
z2 d xd yd z c z2 d z d xd y
x2
2
y
c c
2
z
2
z
π
2
a
c
b(1
z c
2 2
)d
a
Dz
z
b
z Dz
a
O
y
x
适用范围: ① 被积函数 只与 一个变量 有关，且 截面 的面积 易 计算.
或
② Dz f (x, y, z)dxd y 易计算.
8
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当被积函数在积分域上变号时, 因为
f (x, y, z)
f (x, y, z) f (x, y, z)
f (x, y, z) f (x, y, z)
及平面 z 5 所围成的闭区域 .
解:
(
x2
y2
)dxdydz
5
0
dz
(x2
y
2
)dxdy
Hale Waihona Puke Dz2z5
dz
2
d
2z
5 r2 rdr
2
5 r4
5
dz
0
0
0
04
0
8 1 z5 5 8
54 5 0
14
4
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例1
P182 1(1)
例2 (x y z)dxdydz ,其中 为三个坐标 面及平面 x y z 1 所围成的闭区域 .
解: 关于 x, y, z 有 轮换对称性， 则
xdxdydz ydxdydz zdxdydz
故 (x y z)dxdydz 3 xdxdydz
0 0
y x
112 (1
x)
1
O
2
y
x d x d y d z
x1
1x2 y
0 d z
1
xdx
12(1x) (1 x 2 y)d y
0
0
1
1
(x
2x2
x3
)dx
1
40
48
10
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例3.
（法二） x d x d y d z
1
0 xdx dydz Dx
1 x 1(1 x)2 dx 04
Dz
z
4 15
π
abc3
(a2 b2 c2 )dxdydz ？
12
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例5. (x2 y2)dxdydz ,其中 由曲面
4z2 25(x2 y2 ) 及平面 z 5 所围成的闭区域 .
13
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例5.
(x2 y2 )dxdydz ,其中 由 曲面 4z2 25(x2 y2)
步骤：① 把 往 xoy 面作投影得积分区域 D
② 在 D 内任取一点 P ,过 P 作平行于 z 轴的直线
交 的边界曲面 于两点 z1(x, y) 和 z2 (x, y) 6
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则
Ω
:
z1 ( x, (x,
y) y)
z D
z2 ( x,
y)
z z2 (x, y)
2
2
f1(x, y, z) f2 (x, y, z)
均为为非负函数 根据重积分性质仍可用前面介绍的方法计算.
9
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例3. 计算三重积分 xdxdydz, 其中 为三个坐标
面及平面 x 2 y z 1 所围成的闭区域 .
z 1
解: （法一）
0 z 1 x 2y
:
第三节 三重积分
一、三重积分的概念 二、三重积分的计算
第十章
1
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一、三重积分的概念
引例: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的
物质, 密度函数为(x, y, z) C,求分布在 内的物质的
质量 M .
解决方法: 类似二重积分解决问题的思想, 采用
“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”
可得
n
M lim (k ,k , k )vk 0 k 1
vk
(k ,k , k )
2
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定义. 设 f (x, y, z) , (x, y, z) Ω , 若对 作任意分割:
任意取点
下列
积和式” 极限
“乘
n
lim
0
k 1
f
( k
,k
,
k
)vk
记作
f (x, y, z)dv
存在, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在 上的三重积分.
dv 称为体积元素, 在直角坐标系下常写作 dxdydz.
性质:
三重积分的性质与二重积分相似.
1dv V ( 的体积）
f (x, y, z)dv 0 ( 为曲面） 3
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①
对称 的性质 在有界闭域
V 上连续,
V
关于xoy 面
对称,
V1 为对应V 的 z 0 部分，则
0 f (x, y, z) f (x, y, z)
V
f
(x,
y,
z
)
d
v
2V1
f
(x, y, z)dV
f (x, y, z) f (x, y, z)
② 关于 x, y, z 有 轮换对称性，(即当 (x, y, z) 时，则
f (x, y, z)d v
b
dx
y2 (x) dy
z2 (x,y) f (x, y, z)dz
a
y1 ( x)
z1 ( x, y)
7
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方法2. (“先二后一”) 若
ab Dz f (x, y, z) d x d y dz
记作
b
dz
f (x, y, z)dxdy
将 x, y, z 任意 互换 得到的点也 属于 ) 则
f (x, y, z)dxdydz f (y, x, z)dxdydz f (y, z, x)dxdydz 等
f (x)dxdydz f (y)dxdydz f (z)dxdydz
( f (x) f (y) f (z))dxdydz 3 f (x)dxdydz
5
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二、三重积分的计算
1. 利用直角坐标计算三重积分
z z2 (x, y)
z
方法: 方法1 . (“先一后二”)
z z1(x, y)
方法2 . (“先二后一”)
假设平行于 z 轴且穿过区域
x D .P y
内部的直线与闭区域 的边界曲面相交不多于两点.
方法1 . (“先一后二”)
z
f (x, y, z)d v
z2 (x,y) f (x, y, z)dz dxdy
D z1( x, y)
记作
dxd y z2 (x,y) f (x, y, z)dz
D
z1( x, y)
z z1(x, y)
O
x D .P
y
若 D (x, y) y1(x) y y2(x), a x b 则