同济大学 高数 三重积分ppt课件

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二、三重积分的计算
1. 利用直角坐标计算三重积分
z z2 (x, y)
z
方法: 方法1 . (“先一后二”)
z z1(x, y)
方法2 . (“先二后一”)
假设平行于 z 轴且穿过区域
x D .P y
内部的直线与闭区域 的边界曲面相交不多于两点.
方法1 . (“先一后二”)
a
Dz
z
b
z Dz
a
O
y
x
适用范围: ① 被积函数 只与 一个变量 有关，且 截面 的面积 易 计算.
或
② Dz f (x, y, z)dxd y 易计算.
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当被积函数在积分域上变号时, 因为
f (x, y, z)
f (x, y, z) f (x, y, z)
f (x, y, z) f (x, y, z)
步骤：① 把 往 xoy 面作投影得积分区域 D
② 在 D 内任取一点 P ,过 P 作平行于 z 轴的直线
交 的边界曲面 于两点 z1(x, y) 和 z2 (x, y) 6
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则
Ω
:
z1 ( x, (x,
y) y)
z D
z2 ( x,
y)
z z2 (x, y)
及平面 z 5 所围成的闭区域 .
解:
(
x2
y2
)dxdydz
5
0
dz
(x2
y
2
)dxdy
Dz
2z
5
dz
2
d
2z
5 r2 rdr
2
5 r4
5
dz
0
0
0
04
0
8 1 z5 5 8
54 5 0
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V 上连续,
V
关于xoy 面
对称,
V1 为对应V 的 z 0 部分，则
0 f (x, y, z) f (x, y, z)
V
f
(x,
y,
z
)
d
v
2V1
f
(x, y, z)dV
f (x, y, z) f (x, y, z)
② 关于 x, y, z 有 轮换对称性，(即当 (x, y, z) 时，则
z
f (x, y, z)d v
z2 (x,y) f (x, y, z)dz dxdy
D z1( x, y)
记作
dxd y z2 (x,y) f (x, y, z)dz
D
z1( x, y)
z z1(x, y)
O
x D .P
y
若 D (x, y) y1(x) y y2(x), a x b 则
1 48
z 1
1
O
2
y
x1
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例4. 计算三重积分
c z Dz
z
c zc
O a
by
解: :
Dz
:
x2 a2
y2 b2
1
z c
2 2
x
用“先二后一 ”
z2 d xd yd z c z2 d z d xd y
x2
2
y
c c
2
z
2
z
π
2
a
c
b(1
z c
2 2
)d
存在, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在 上的三重积分.
dv 称为体积元素, 在直角坐标系下常写作 dxdydz.
性质:
三重积分的性质与二重积分相似.
1dv V ( 的体积）
f (x, y, z)dv 0 ( 为曲面） 3
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①
对称 的性质 在有界闭域
0 0
y x
112 (1
x)
1
O
2
y
x d x d y d z
x1
1x2 y
0 d z
1
xdx
12(1x) (1 x 2 y)d y
0
0
1
1
(x
2x2
x3
)dx
1
40
48
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例3.
（法二） x d x d y d z
1
0 xdx dydz Dx
1 x 1(1 x)2 dx 04
2
2
f1(x, y, z) f2 (x, y, z)
均为为非负函数 根据重积分性质仍可用前面介绍的方法计算.
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例3. 计算三重积分 xdxdydz, 其中 为三个坐标
面及平面 x 2 y z 1 所围成的闭区域 .
z 1
解: （法一）
0 z 1 x 2y
:
第三节 三重积分
一、三重积分的概念 二、三重积分的计算
第十章
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一、三重积分的概念
引例: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的
物质, 密度函数为(x, y, z) C,求分布在 内的物质的
质量 M .
解决方法: 类似二重积分解决问题的思想, 采用
“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”
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例1
P182 1(1)
例2 (x y z)dxdydz ,其中 为三个坐标 面及平面 x y z 1 所围成的闭区域 .
解: 关于 x, y, z 有 轮换对称性， 则
xdxdydz ydxdydz zdxdydz
故 (x y z)dxdydz 3 xdxdydz
将 x, y, z 任意 互换 得到的点也 属于 ) 则
f (x, y, z)dxdydz f (y, x, z)dxdydz f (y, z, x)dxdydz 等
f (x)dxdydz f (y)dxdydz f (z)dxdydz
( f (x) f (y) f (z))dxdydz 3 f (x)dxdydz
Dz
z
4 15
π
abc3
(a2 b2 c2 )dxdydz ？
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例5. (x2 y2)dxdydz ,其中 由曲面
4z2 25(x2 y2 ) 及平面 z 5 所围成的闭区域 .
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例5.
(x2 y2 )dxdydz ,其中 由 曲面 4z2 25(x2 y2)
可得
n
M lim (k ,k , k )vk 0 k 1
vk
(k ,k , k )
2
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定义. 设 f (x, y, z) , (x, y, z) Ω , 若对 作任意分割:
任意取点
下列
积和式” 极限
“乘
n
lim
0
k 1
f
( k
,k
,
k
)vk
记作
f (x, y, z)dv
f (x, y, z)d v
b
dx
y2 (x) dy
z2 (x,y) f (x, y, z)dz
a
y1 ( x)
z1 ( x, y)
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方法2. (“先二后一”) 若
ab Dz f (x, y, z) d x d y dz
记作
b
dz
f (x, y, z)dxdy