小学奥数2017年希望杯培训一百题六年级第71题
(完整)“希望杯”全国小学六年级数学大赛决赛题附答案[C]
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-1-/7“希望杯”全国数学大赛决赛题（小六）附答案题号-一--二二 其中：总分13141516得分（时间：90分钟满分：120分）3 3 3 3 3 34 + 16 + 64 + 256 + 1024 + 409613.若 10.5 x — 10 = 36 — 3y = 14 + 4 -x 则 x =4.有一类自然数，从第四个数字开始每个数字都恰好等于它前面三个数字的和，直到不能再写为止，如 2169, 21146等等。
那么这类数中最大的 一个数是 _____________________ 。
5.卜面是一串字母的若干 F 次变换。
A B C D E F G H IJ 第一次变换后为 B C D A F G H I J E 第二次变换后为C D A B G H IJ E F得分评卷人（每题6分，共72分。
）1 •计算:14.5 — 3 X 8.13.62•计算: _______ , y= _________第三次变换后为D A B C H I J E F G 第四次变换后为A B C D I J E F G H至少经过 ________________ 次变换后才会再次出现“ A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、I 、J ”。
6.把一个棱长为 2厘米的正方体在同一平面上的四条棱 的中点用线段连接起来（如右图所示），然后再把正方体所有顶点上的三角锥锯掉。
那么最后所得的立方体 的体积是 _________________________ 立方厘米。
7.有一列数，第一个数是 5，第二个数是2，从第三个数起每个数都等于它前面两个数中较大数减去较小数的差。
则这列数中前100个数之和等8在钟面上，当指针指示为6 : 20时，时针与分针所组成的较小的夹角为________________ 度。
9. 小明把五颗完全相同的骰子拼摆成一排（如右图所示），那么 这五颗骰子底面上的点数之和少于14人，那么这四个房间里的总人数至少有 __________________________ 人。
2017新希望杯六年级初赛试题(含答案解析)
2017年新希望杯全国数学大赛六年级试题·初试试卷（A 卷）一、填空题（每小题7分，共70分）1.计算11(1)(1775%)_____.132+⨯-+=【答案】18【解析】1431=(171342⨯-+原式14651134236218=⨯+==2.按照轨道交通第四期建设规划，在未来9年内，武汉将新建14条地铁线路，其中12号线为武汉首条地铁环线，全线长度约为59.4km ，其中高架线长度约为11.1km ，则在12号线中，高架线占全长的______%。
（结果保留一位小数。
）【答案】18.7【解析】11.159.418.7%÷≈3.如图，将一张正方形纸片连续折叠3次，在折叠所得的长方形纸片边缘剪下一个半圆形的部分，将纸片完全打开后，圆形小孔共有______个。
【答案】4【解析】如下图所示，4个4.把1332的分子加上a ，分母减去a ，分数的值就变为23，则a =________。
【答案】80人【解析】13+2323a a =-，解得：5a =5.某地区参加“枫叶新希望杯”全国数学夏令营的代表队由领队老师和学员组成，每名领队老师带5名低年级学员或者10名高年级学员。
若地区派出的代表队一共118人，其中领队老师13人，那么高年级学员由_______人。
【答案】80【解析】设有x 个老师带低年级，则有(13)x -个老师带高年级510(13)11813510(135)80()x x x +-=-=⨯-=人6.如图，14个相同的小方块堆积在一起，对于每个小方块，若其底面悬空的部分不超过一半，这个小方块就不会动，在保证阴影小方块不动的前提下，最多可以拿掉______个小方块。
【答案】9【解析】第二层可取两个，第三层可取7个（如图阴影部分），最多可取9个7.港口有一些集装箱，数量在200到250个之间。
如果用一艘大船运输，每趟能装25个，且最后一趟只装20个；如果用一艘小船运输，每趟能装15个，且最后一趟只装10个，这些集装箱一共有_______个。
2017六年级希望杯100题答案--全无水印
第十五届（2017 年）希望杯 100 题 · 六年级
Байду номын сангаас
2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 5 1 7 1 9 1 99 1 2 2 2 2 = 48 4 6 6 8 8 10 98 100 1 1 1 1 1 1 1 1 = 48 4 6 6 8 8 10 98 100 1 1 = 48 4 100 6 = 48 ． 25 27 3 9．（1） 0.2 7 = = ． 99 11 1206 12 199 = （2） 0.12 0 6 = ． 9900 1650 428571 571428 999999 = =1． 10．原式 = 999999 999999 999999 3 4 7 1 ， 0.571428 = ，所以 0.4 28571 0.5 71428 = 1 ． 另解 0 . 4 2 8 5 = 7 7 142857 1 35 = 35 = 5 ． 11．原式 = 999999 7 4 7 12．原式 = = 1 ． 7 4 16 1 2 999 16 1 = 13．原式 = 2 16 1 19 34 999 20 999 2 22 90 90 90 2000 16 2 90 10 = = ． 999 2014 111 234 2 84 232 168 400 495 = 990 990 = 990 = 10 ． 14．原式 = 990 568 56 56 512 112 400 11 900 450 900 900 900 15．原式 = 1 2 3 9 0.12 0.23 0.34 0.90 0.01 90 1 12 23 34 = 45 99 99 99 99 99 495 = 45 = 45 5 = 50 ． 99 3 n 11 3 n 11 27 33 3 1 16． ，即 72 72 72 ， 27 4n 66 ， n ， 6 n 16 ，所以满 8 18 12 8 18 12 4 2 4 2 3 n 11 足 的自然数 n 有 7 ， 8 ， 9 ， 10 ， 11 ， 12 ， 13 ， 14 ， 15 ， 16 ，共 10 个． 8 18 12 = 1
希望杯培训题精编打印版六年级.pdf
2017年第十五届小学“希望杯”全国数学邀请赛六年级培训题1．计算：671⨯672⨯673-670⨯672⨯674．2．若a ，b 是非0的自然数，并且a <b ，则b b a +的值（填序号)A ．是0和1之间的数．B ．是1和2之间的数．C ．可以是2．D ．可以大于23．若p ，q 是非0的自然数，并且p <q ，则四个式子：q p ，p p q -，p q p +，qq p +中，值在1和2之间的是哪一个？4．求三个分数2015201520142014201420142013201320132013，20122012 ，中值最大的．5．计算：2.016⨯1123+2⨯20.16⨯112.4+2⨯201.6⨯11.25+2⨯2016⨯1.126+20160⨯0.1127．6.计算10981 (5431)43213211⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯7.计算20182017201620162016+÷8.计算1-99199......1-9191-7171-51522222222+++++++9.化循环小数为分数：（1）∙∙72.0（2）∙∙6012.010.计算∙∙∙∙+871425.0128574.011.计算35742851.0⨯∙∙12.计算75.1871425.0⨯∙∙13.计算⎪⎭⎫⎝⎛+÷∙∙∙2019261.20610.214.计算45056-856.049584432.0∙∙∙+15.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙+++++++++10.909.898.787.676.565.454.343.232.121.012111883<n<n 有几个？17.已知20162016,20182014,20172015⨯=⨯=⨯=c b a ，将a,b,c 从大到小排列。
18．在9个数：52，7，8，45，1，1.2，15，3.75，0.7中取一个数作被除数，再取另外两个数，用它们的和作除数，使商为整数，请写出3个算式．（答案不唯一）19．定义：a ☆b =ba 1+，求2☆(3☆4)．20．若n 个互不相同的质数的平均数是15，求n 的最大值．21．若一位数c (c ≠0)是3的倍数，两位数bc 是7的倍数，三位数abc 是11的倍数，求所有符合条件的三位数abc 的和．22．用a ，b ，c 能组成6个无重复数字的三位数，如abc ，acb 等，且这6个数的和是4662，问：这6个数部是3的倍教吗？23．已知n !=1⨯2⨯3⨯..........⨯ n ，计算：1!⨯ 3 - 2!⨯ 4 + 3!⨯ 5 - 4!⨯ 6 +......+ 2015!⨯ 2017 - 2016!．24．一串分数：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，132131101....108109.....10310210171727374757675747372714142434241求第2016个分数．25．在不大于循环小数12.9的自然数中有几个质数？26．设n !=1⨯2⨯3⨯.........⨯ n ，问： 2016! 的末尾连续有多少个 0 ？27．四位数abcd ,若abcd -10(a +b +c +d )=1404，求a +b +d ．28．A，a，b都是自然数，且A+50=a2，A+97=b2，求A 29．求72016的十位数字．30．若A是B的1，B是C的352，求CA．31．求17个自然数的平均数，结果保留两位小数，甲得到11.28，这个数百分位上的数字错了，求正确答案．32．从100以内的25个质数中任取两个构成其分数，这样的其分数有几个？假分数有几个。
小学“希望杯”培训100题(六年级)及解析
小学“希望杯”培训100题（六年级）一、解答题（共100小题）1．计算：=．2．计算：2012×2014×（）．3．．4．计算：（0.+0.3）×0.×0.7×=．5．计算：=．6．计算：=7．兄弟俩都有点傻，一位只有自己过一年长一岁而别人不会长．某天，哥哥对弟弟说：”再过3年我的年龄就是你的2倍．”弟弟说：”不对，再过3年我和你一样大．”今年，他们俩分别是岁，岁．8．有一堆黑白棋子，黑棋的粒数是白棋的2倍，每次从中取出白棋3粒黑棋5粒，白棋恰好取完时黑棋还剩20粒．则原来这堆棋子共有粒．9．如图，边长12cm的正方形与直径为16cm的圆部分重叠，若没有重叠的两空白部分的面积分别是S1，S2，则S1﹣S2=．（π取3）10．有一列数：8，18，24，49，55，60，65，77，81，98，100．它们的最小公倍数是．（以乘方形式表示，不用写出计算结果）11．王老师将200块糖分给了甲乙丙三个小朋友，甲比乙的2倍还要多，乙比丙的3倍还要多，那么甲最少有块糖，丙最多有块糖．12．建军路小学有钢琴，小提琴这两个兴趣班，这两个班的学员都是来自A班或者B班的．钢琴班有来自A班，小提琴班有来自B班，并且钢琴班的总人数是小提琴班总人数的倍，那么这两个兴趣班中来自B班的人数与总人数的比值是．13．定义：”如果一个数有12个约数，那么称这样的数为’好数’”．则将所有的”好数”由小到大依次排列，第三个是．14．有一口枯井，用一根绳子测井口到井底的深度，将绳对折后垂到井底，绳子超过井口9米；将绳子三折后垂到井底，绳子超过井口2米，则绳长米，井深米．15．将100个梨分给10个同学，每个同学的梨个数互不相同．分得梨个数最多的同学，至少得到个梨．16．31500的约数中与6互质的共有个．17．如图2，S△ABC=24，D是AB的中点．E在AC上，AE：EC=2：1．DC交BE于点O．若s△DBO=a，S△CEO=b，则a﹣b=．18．已知有三个连续的自然数，它们中最小的一个是9的倍数，中间一个是7的倍数，最大的一个是5的倍数，那么这些自然数最小分别是．19．快速公交3号线行驶于安定门与宏福苑小区之间，已知它的发车间隔时间是相等的，苏老师开车从宏福苑小区到安定门，每过3分钟她的迎面就驶来一辆快速公交，每隔12分钟她就超过一辆快速公交．快速公交全程是45分钟，假设公交车和苏老师开车的速度都不变，那么苏老师开车从宏福苑小区到安定门需要分钟．20．将自然数1，2，3，…，依次写下去，组成一个数：12345678910111213…，当写到2054时，这个大数除以9的余数是．21．地震时，地震中心同时向各个方向传播出纵波和横波．纵波的传播速度是3.96km/s，横波的传播速度是2.58km/s，某次地震，地震监测点用地震仪接收到地震的纵波之后，隔了18.5s，接收到这个地震的横波，那么这次地震的地震中心距离地震监测点km．22．对于非零自然数n，如果能找到非零自然数a，b使得n=a+b+ab，则称n是一个”联谊数”，如：3=1+1+1×1，则3就是一个”联谊数”，那么从1到20这20个自然数当中，”联谊数”共有个．23．甲乙丙丁四个人去购物，付账时每人都拿出一些钱，已知，乙丙丁三人付钱的总和是甲的5倍，甲丙丁三人付钱的总和是乙的4倍，甲乙丁三人付钱的总和是丙的3倍，丁付了46元，那么四个人共花了元．24．一个自然数，在3进制中的数字和是24．它在9进制中的数字和最小是，最大是．25．设N=1×2×…×209×210，则：（1）N的末尾一共出现个连续的数字”0”；（2）用N不断除以12，知道结果不能被12整除为止，一共可以除以次．26．如果长方形，正方形，正三角形分别有a，b，c条对称轴，则（a+b+c）2=．27．在数4，11，19，73，93，118，125，238中相邻若干个数之和是3的倍数而不是9的倍数的数组共有组．28．A，B两校的男、女生人数的比分别为8：7和30：31，两校合并后男、女生人数的比是27：26，则A，B两校合并前人数比是．29．甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，赛后猜测他们之间的考试乘绩情况是：甲说：“我可能考的最差．”乙说：“我不会是最差的．”丙说：“我肯定考的最好．”丁说：“我没有丙考的好，但也不是最差的．”成绩公布后，只有一人猜错了，则此四人的实际成绩从高到低的次序是．30．若在同一斜坡上往返，上坡速度为5m/s，下坡速度为7m/s，则往返一次的平均速度是________米/秒．31．若三个连续偶数的最小公倍数是1008，则这三个自然数的和是．32．某数除以7余4，除以9余6，除以11余2，那么这个数的最小可能是．33．某店原来将一批羽绒服按100%的利润定价出售，淡季，商家按38%的利润重新定价，这样售出了其中的40%．旺季价格有所回升，售出了余下的全部羽绒服．结果，实际获得的总利润是原定利润的45.2%，那么旺季的价格是原定价格的%．（注：”按100%的利润定价”指的是”利润=成本×100%”）34．统计局统计了664座城市，按空气污染情况可分为三类：良好，轻度污染和严重污染．其中，空气质量良好的城市数比严重污染城市数的3倍多52座，轻度污染城市数是严重污染城市数的2倍．则空气严重污染城市有座．35．如图中三个正方形的边长分别为10，20，30，那么图中阴影部分的面积是．36．在1到2013这2013个数中，共有个数与四位数5678相加时不发生进位．37．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边AB，BC的中点．那么，以这6个点中的任意三个为顶点可组成的不同的三角形的个数是．38．若整数x满足不等式，则x=．39．如图，三个同心圆的半径分别是1厘米，3厘米，5厘米，AB，CD，EF，GH八等分这个圆，且都过圆心O．图中阴影部分的面积与非阴影部分的面积之比是．40．如下表，自然数以一定的规律排列，横为行，竖为列，如9在第3行第2列，记为9=（3，2），则2013=（，）．41．如图是由边长为1的25个小正方形拼成的图形，则阴影部分的面积是 ．42．生活中，有人习惯用1/2表示1月2日，也有人习惯用1/2表示2月1日，这样一来，如果遇到1/2，就不能明确这究竟是1月2日还是2月1日了．一年中这种容易混淆的日期表示共有 天．43．计算：．44．在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立．（答案不唯一，写出一个即可）．45．如图，在△ABC 中，，E ，G 分别是AD ，ED 的中点，若△EFG 的面积为1，则△ABC 的面积是 ．46．如图 （1），（2），（3），边长相等的三个正方形内分别紧排着9个，16个，25个等圆．设三个正方形内的阴影部分面积分别为S 1，S 2，S 3，则S 1，S 2，S 3的大小关系是 ．47．有甲乙两只圆柱形玻璃杯，其内直径分别是20厘米，24厘米，杯中盛有适量的水．甲杯中沉没着一铁块，当取出此铁块后，甲杯中的水位下降了6厘米；然后将铁块沉没于乙杯，且乙杯中的水没外溢，则这时乙杯中的水位上升了 厘米．48．建筑公司计划修一条隧道．当完成任务的时，公司引进新设备，修建速度提高了20%，每天的工作时间缩短为原来的80%，实际185天完成了任务．若按原计划，则 天可完成任务．49．如果一个自然数能表示成两个非零自然数的平方差，则称这个数为”吉祥数”，如：9=52﹣42，9是”吉祥数”．那么从1开始的自然数中，第2013个”吉祥数”是 ．50．有3个整数，如果第2个数的5倍是第1个数与1的差的4倍，第3个整数的5倍是第2个数与1的差的4倍，那么第1个数的最小值是．51．春蕊班的每位同学都参加了课外体操班或围棋班，有的同学还同时参加了两个班．如果同时参加两个班的人数是参加围棋班的，是参加体操班人数的．那么这个班只参加体操与只参加围棋班的人数之比是．52．甲乙两个硬盘的成本共1600元，甲按30%的利润定价，乙按40%的利润定价，甲按定价的90%出售，乙按定价的85%出售，供货的利润290元．那么甲的成本是元．53．已知，其中a，b，c，d，e都是整数，则其中最大的数的值是．54．咖啡店新推出一款杯子，定价是88元/个，实际销售时降了价，结果销量比预计的增加了，收入增加了，则每个杯子被降价元．55．若三个连续自然数的平方的和等于245，则这三个连续自然数的和是．56．已知长方体表面积是148cm2，底面面积是30cm2，底面的周长是22cm，则这个长方体的体积是cm3．57．用棱长为2厘米的小正方体，如图所示层层重叠放置．则当重叠了5层时，这个立方体的表面积是平方厘米．58．由长度分别为2，3，4，5，6的五条线段为边，可以组成个不同的三角形．59．若字母a，b，c分别表示不同的非零数字，则由a，b，c组成的各个数位上数字不同的三位数共有个，若除三位数外，其余几个的和为2874，则=．60．如图，边长为2a的正方形ABCD内有一个最大的圆圆O，圆O内有一个最大的正方形EFGH．用S1，S2，S3依次表示△EOF的面积，弓形EmF的面积，带弧边EmF的△EBF的面积，则S1*S2*S3=．（圆周率π取3）61．从12点开始，经过分钟，时针与分针第一次成90°角；12点之后，时针与分针第二次成90°角的时刻是．62．已知一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…，若第n个数比第n+2个数小233，则n=．63．一只蚂蚁沿边长为240cm的等边三角形ABC的三条边由A点顺时针爬行一周．它在三条边上的速度分别是每秒3cm，4cm，5cm（如图）．且当它到达拐点（A，B，C）时会休息26秒，当它爬完一周回到点A时，行程结束．这期间，蚂蚁的平均速度是cm/s．64．至多含有一个奇数数字且能被25整除的四位数共有个．65．观察下面的数表：（横排为行，竖排为列）表中第1列都是单位分数，分母依次为1，2，3…，每行自第2个分数起，每个分数的分子等于左边分数的分子加1，分母等于左边分数的分母减1，直到分数的分母等于1．则位于第行，第列．66．从最小的质数算起，若连续n（n是大于1的自然数）个质数的和是完全平方数，则n 最小是．67．现有3个互不相等的数，甲说是2，a+1，b+2；乙说是2b﹣1，3，a．若两人都说对了，则这三个数的乘积是．68．若×=6657，其中x，y，z都代表非零数字，则=．69．两个直角三角板如图放置，则∠BFE的度数是∠CAF的倍．70．一个长方体相邻的两个面的面积之和是130，它的长，宽，高都是不超过13的整数，且均为互不相等的质数，则这个长方体的体积是．71．如图，一个物体由2个圆柱组成，它们的半径分别是3厘米和6厘米，而高分别是5厘米和10厘米，则这个物体的表面积是平方厘米．72．植树节，5名小朋友给5棵树浇水，每个小朋友至少浇一棵树，但一个小朋友不能重复给同一棵树浇水，一桶水也只能浇一棵树．活动结束后，5个小朋友分别浇了2，2，3，5，x桶水，5棵树分别被浇了1，1，2，4，y 桶水，那么x=，y=．73．小明出去散步前看了一下手表，回来时又看了一下手表，发现此时手表的时针，分针的位置正好与出去时的分针，时针位置相同．若他在外逗留的时间不足一小时，则他在外待了分钟．74．如图所示，共有个三角形．75．一个长为4，宽为3的长方形如图竖直放置，在其右上角有一个红点A，长方形绕右下角旋转90°，成为一个横放的长方形，再绕右下角旋转90°，成为一个竖放的长方形，…，当小红点A第一次回到右上角时所走过的路程是．76．书架第一层有依次排列的10本不同的故事书，现将2本不同的漫画书也放入第一层，则不同的放法共有种．77．分母是385的所有最简真分数的和等于．78．有价值总和为174万元的三批货物，这三批货物的质量比是3：4：5，单位质量的价格比是6：5：4．这三批货物各价值万元．79．将分数化成小数后，如果小数点后第一位起连续N个数位上数字之和等于2013，那么N=．80．如图所示是一个边长为120m的等边三角形，甲乙同时分别从A点，B点按顺时针方向出发，甲每分钟走120m，乙每分钟走180m，但经过每个顶点时，因转弯都要耽误5s，则乙出发s后第一次追上甲．81．原来，单独打开进水管3小时能将水池注满，单独打开出水管4小时可排完一池水．后来，这个水池漏水了，同时打开进水管与出水管14小时才能将水池注满，则只打开进水管需要小时可以注满这个漏的水池．82．图书馆，游泳馆，少年宫三个站在一条笔直的公路上，且游泳馆到图书馆，少年宫两站的距离相等．小明和小华分别从图书馆，少年宫两站同时出发相向而行．小明超过游泳馆站100米后与小华相遇．然后二人继续前进．小明到达少年宫站后立即沿原路返回，经过游泳馆站后300米追上小华．则图书馆，少年宫两站相距米．83．马和狗约好去牛哥家做客，牛哥说他忘了去超市买面包，狗说他去，一会儿，马到了牛哥家，听说狗去买东西了，他急了，他说，狗跑5步的时间我能跑6步，我跑4步的距离相当于狗跑7步．而且我比他力气大，买东西的活儿我去，于是马也奔超市去了，此时狗已跑出550米了．超市离牛哥家有2000米，则马要跑米才能追上狗，此时离超市还有米．84．12和60是很有趣的两个数，这两个数的积恰好是这两个数的和的10倍：12×60=720=10×（12+60）．满足这两个条件的非零自然数对还有：．85．明明，亮亮，军军三人都参加了数学竞赛，他们共解出了100道题，每人都解出了其中的60道题目，若三个人都解出来的题称为基础题；只有两个人解出来的题称为中等题；只有一个人解出来的题称为难题，则在他们解出的100道题中，难题的数量比基础题的数量（填：多或少）道．86．一块木片沿河漂流，从河边的A地到B地，用了24小时．一只快艇在静水中的速度是18千米/小时，它从A驶到B所用的时间是从B驶到A所用时间的．则AB间的距离是千米．87．如图，AB∥CE，AC∥DE，且CE=DE=2AB=2AC，则=．88．小明和小林是两个集邮爱好者，他们共有邮票400多张，如果小明给小林a张邮票，小明就比小林少；如果小林给小明a张邮票，则小林就比小明少．那么小明原有张邮票，小林原有张邮票．89．用底面内半径和高分别是12cm，20cm的空心圆锥和空心圆柱各一个组成如图所示竖放的容器，在这个容器内注入一些细沙，能填满圆锥，还能填部分圆柱，经测量，圆柱部分的沙子高5cm，若将这个容器倒立，则沙子的高度是cm．90．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方将明文加密成密文，接收方收到密文后解密可得明文．已知有一种加密方式是将英文26个小写字母a，b，c，…，依次对应0，1，2，…，25这26个整数（见下表），当明文中的字母对应的序号为a时，将a+10除以26后所得的余数作为密文中的字母对应的序号，例如明文”a”对应密文”k”．””91．如图，在正方形场地ABCD的四周有32个洞（每边9个洞），一个工人扛着32面旗子，从A洞开始插旗，按顺时针方向，每隔5个洞就插一面旗，当他绕着正方形走完5圈时，发现有n个洞不能插旗，求n．92．某校有960套桌凳需要维修．现有甲乙两个木工，甲单独修理这批桌凳比乙多用20天；乙每天比甲多修8套；甲乙每天的修理费分别是80元，120元．在修理桌凳过程中，学校要委派一名维修工进行质量监督，并由学校负担他每天10元的生活补助．现有以下三种修理方案共选择：①由甲单独修理；②由乙单独修理；③由甲乙共同合作修理．你认为哪种方案即省时又省钱？试比较说明．93．甲乙丙三辆汽车分别从A地开往千里之外的B地．乙比甲晚出发40分钟，出发后160分钟后能追上甲；丙比乙晚出发20分钟，出发后5小时追上乙．那么如果甲比乙先出发10分钟，乙比丙先出发10分钟，那么乙追上甲之后过多久丙能追上甲？94．已知甲乙丙三位同学在北京，广州，上海的大学学习软件设计，服装设计，城市规划．有下列判断：①甲不在北京学习；②乙不在广州学习；③在北京学习的同学不学城市规划；④在广州学习的同学是学软件设计的；⑤乙不学服装设计．三位同学各在什么城市学习什么专业？95．如图，长方形ABCD，ABEF，AGHF的长与宽的比相同，且，长方形BEHG的周长是22，求长方形ECDF的面积．96．在小于30的所有质数中，是否存在差与平方和都是质数的两个质数？若存在，有几组？若不存在，请说明理由．97．甲容器内有物质A和物质B，其质量比是2：3，乙容器内有物质B和物质C，其质量比是1：2，丙容器内有物质A和物质C．现将甲乙丙三容器中的物质以1：2：3的比例取出，混合，则所得新的混合物中，A，B，C三种物质的质量比是183：152：385．求丙容器内物质A和物质C的质量比．98．程序员设计了一款新游戏，共20级．小刚一次晋级2级游戏，或一次晋级3级游戏，那么他从入门（0级）晋级到第20级共有多少种不同的方法？10月份，小强的家里用了23m的居民用水，他开的餐厅，用了102m的餐饮用水，则这个月他应该交多少元水费？100．0．买一盒牙膏，一瓶沐浴露和一瓶洗发露共付款100元．若1瓶沐浴露比2盒牙膏贵，2瓶洗发露比7瓶沐浴露贵，8盒牙膏比1瓶洗发露贵，且每个产品的单价都是整数元，分别求一盒牙膏，一瓶沐浴露，一瓶洗发露的价格．小学“希望杯”培训100题（六年级）参考答案与试题解析一、解答题（共100小题，满分0分）1．计算：=．2．计算：2012×2014×（）=2．3．（2010•成都校级自主招生）．解：++…+，=×（﹣+﹣+…+﹣），=×（﹣）=×（）=×=．4．计算：（0.+0.3）×0.×0.7×=．+0.3）×0.7×，（+×××，×××（×××，=××=×=5．=102．解：，=（1+3+5+..+19）+3×=102+3×（1﹣）=100+=102．6．=．解：设n=++，m=，则：（1+++）×（+++）﹣（1++++）×（++），=（1+n）×m﹣（1+m）×n=m+mn﹣n﹣mn=m﹣n，=（）﹣（++）=．7．兄弟俩都有点傻，以为只有自己过一年长一岁而别人不会长．某天，哥哥对弟弟说：”再过3年我的年龄就是你的2倍．”弟弟说：”不对，再过3年我和你一样大．”今年，他们俩分别是6岁，9岁．解：弟弟：（3+3）÷（2﹣1）=6（岁）；哥哥：6+3=9（岁）．8．有一堆黑白棋子，黑棋的粒数是白棋的2倍，每次从中取出白棋3粒黑棋5粒，白棋恰好取完时黑棋还剩20粒．则原来这堆棋子共有180粒．解：取了：20÷（6﹣5）=20（次），共有：20×3×（1+2）=180（粒）；9．如图，边长12cm的正方形与直径为16cm的圆部分重叠，若没有重叠的两空白部分的面积分别是S1，S2，则S1﹣S2=48cm2．（π取3）S1﹣S2=（S1+S阴）﹣（S2+S阴）=S圆﹣S正=3×（16÷2）2﹣122=192﹣144=48（平方厘米）；10．有一列数：8，18，24，49，55，60，65，77，81，98，100．它们的最小公倍数是23×34×52×72×11×13．（以乘方形式表示，不用写出计算结果）11．王老师将200块糖分给了甲乙丙三个小朋友，甲比乙的2倍还要多，乙比丙的3倍还要多，那么甲最少有121块糖，丙最多有19块糖．12．建军路小学有钢琴，小提琴这两个兴趣班，这两个班的学员都是来自A班或者B班的．钢琴班有来自A班，小提琴班有来自B班，并且钢琴班的总人数是小提琴班总人数的倍，那么这两个兴趣班中来自B班的人数与总人数的比值是．）×=3﹣×=3班的人数与总人数的比值是；故答案为：．13．定义：”如果一个数有12个约数，那么称这样的数为’好数’”．则将所有的”好数”由小到大依次排列，第三个是84．14．有一口枯井，用一根绳子测井口到井底的深度，将绳对折后垂到井底，绳子超过井口9米；将绳子三折后垂到井底，绳子超过井口2米，则绳长42米，井深12米．对应的分率的差额是：﹣）（）15．将100个梨分给10个同学，每个同学的梨个数互不相同．分得梨个数最多的同学，至少得到15个梨．16．31500的约数中与6互质的共有8个．17．如图2，S△ABC=24，D是AB的中点．E在AC上，AE：EC=2：1．DC交BE于点O．若s△DBO=a，S△CEO=b，则a﹣b=4．S=S18．已知有三个连续的自然数，它们中最小的一个是9的倍数，中间一个是7的倍数，最大的一个是5的倍数，那么这些自然数最小分别是153，154，155．19．快速公交3号线行驶于安定门与宏福苑小区之间，已知它的发车间隔时间是相等的，苏老师开车从宏福苑小区到安定门，每过3分钟她的迎面就驶来一辆快速公交，每隔12分钟她就超过一辆快速公交．快速公交全程是45分钟，假设公交车和苏老师开车的速度都不变，那么苏老师开车从宏福苑小区到安定门需要27分钟．则苏老师与公车速度和为问题；苏老师与公车速度差为，因为这时是相遇问题；那么苏老师速度（+），所以苏老师与公车速度比：，，+），公车速度（﹣），苏老师与公车速度比：=520．将自然数1，2，3，…，依次写下去，组成一个数：12345678910111213…，当写到2054时，这个大数除以9的余数是3．21．地震时，地震中心同时向各个方向传播出纵波和横波．纵波的传播速度是3.96km/s，横波的传播速度是2.58km/s，某次地震，地震监测点用地震仪接收到地震的纵波之后，隔了18.5s，接收到这个地震的横波，那么这次地震的地震中心距离地震监测点136.96km．t=﹣，22．对于非零自然数n，如果能找到非零自然数a，b使得n=a+b+ab，则称n是一个”联谊数”，如：3=1+1+1×1，则3就是一个”联谊数”，那么从1到20这20个自然数当中，”联谊数”共有12个．23．甲乙丙丁四个人去购物，付账时每人都拿出一些钱，已知，乙丙丁三人付钱的总和是甲的5倍，甲丙丁三人付钱的总和是乙的4倍，甲乙丁三人付钱的总和是丙的3倍，丁付了46元，那么四个人共花了120元．=，丙占总数的；；﹣﹣）÷，24．一个自然数，在3进制中的数字和是24．它在9进制中的数字和最小是24，最大是72．25．设N=1×2×…×209×210，则：（1）N的末尾一共出现51个连续的数字”0”；（2）用N不断除以12，知道结果不能被12整除为止，一共可以除以102次．26．如果长方形，正方形，正三角形分别有a，b，c条对称轴，则（a+b+c）2=81．27．在数4，11，19，73，93，118，125，238中相邻若干个数之和是3的倍数而不是9的倍数的数组共有6组．28．A，B两校的男、女生人数的比分别为8：7和30：31，两校合并后男、女生人数的比是27：26，则A，B两校合并前人数比是45：61．29．（2011•成都）甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，赛后猜测他们之间的考试乘绩情况是：甲说：“我可能考的最差．”乙说：“我不会是最差的．”丙说：“我肯定考的最好．”丁说：“我没有丙考的好，但也不是最差的．”成绩公布后，只有一人猜错了，则此四人的实际成绩从高到低的次序是乙丙丁甲．30．若在同一斜坡上往返，上坡速度为5m/s，下坡速度为7m/s，则往返一次的平均速度是米/秒．，那么上坡的时间就是，下坡的时间就是；用总路程+）÷，（米故答案为：．31．若三个连续偶数的最小公倍数是1008，则这三个自然数的和是48．32．某数除以7余4，除以9余6，除以11余2，那么这个数的最小可能是123．33．某店原来将一批羽绒服按100%的利润定价出售，淡季，商家按38%的利润重新定价，这样售出了其中的40%．旺季价格有所回升，售出了余下的全部羽绒服．结果，实际获得的总利润是原定利润的45.2%，那么旺季的价格是原定价格的75%．（注：”按100%的利润定价”指的是”利润=成本×100%”）34．统计局统计了664座城市，按空气污染情况可分为三类：良好，轻度污染和严重污染．其中，空气质量良好的城市数比严重污染城市数的3倍多52座，轻度污染城市数是严重污染城市数的2倍．则空气严重污染城市有102座．35．如图中三个正方形的边长分别为10，20，30，那么图中阴影部分的面积是600．36．在1到2013这2013个数中，共有51个数与四位数5678相加时不发生进位．37．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边AB，BC的中点．那么，以这6个点中的任意三个为顶点可组成的不同的三角形的个数是18．38．若整数x满足不等式，则x=3．因为不等式，＜3，2，39．如图，三个同心圆的半径分别是1厘米，3厘米，5厘米，AB，CD，EF，GH八等分这个圆，且都过圆心O．图中阴影部分的面积与非阴影部分的面积之比是1：3．厘米的圆面积的厘米的圆面积的，圆中，据此40．如下表，自然数以一定的规律排列，横为行，竖为列，如9在第3行第2列，记为9=（3，2），则2013=（4，60）．41．如图是由边长为1的25个小正方形拼成的图形，则阴影部分的面积是18．42．生活中，有人习惯用1/2表示1月2日，也有人习惯用1/2表示2月1日，这样一来，如果遇到1/2，就不能明确这究竟是1月2日还是2月1日了．一年中这种容易混淆的日期表示共有132天．43．计算：．2+））﹣，）2+）2+），．，2012+．44．在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立．（答案不唯一，写出一个即可）．的分子、分母同时扩大倍，变成的分子、分母同时扩大倍，变成===﹣=﹣﹣，==++++，==﹣﹣=+，45．如图，在△ABC中，，E，G分别是AD，ED的中点，若△EFG的面积为1，则△ABC的面积是18．中，，且，据此利用分数除法的意义即可解答问题．中，的面积的，÷=1846．如图（1），（2），（3），边长相等的三个正方形内分别紧排着9个，16个，25个等圆．设三个正方形内的阴影部分面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关系是相等．47．有甲乙两只圆柱形玻璃杯，其内直径分别是20厘米，24厘米，杯中盛有适量的水．甲杯中沉没着一铁块，当取出此铁块后，甲杯中的水位下降了6厘米；然后将铁块沉没于乙杯，且乙杯中的水没外溢，则这时乙杯中的水位上升了厘米．。
第十五届六年级希望杯100题培训题
2017第十五届六年级希望杯100题培训题17.已知a=2015×2017，b==2014×2018，c==2016×2016，将a、b、c从大到小排列。
18、在9个数：..70.，3.75，15，21.，1，45，7.8，52中，取一个数作被除数，再取另外两个数，用它们的和作除数，使商为整数，请写出3个算式。
（答案不唯一）19、定义：b 1a a@b +=，求2@（3@4）。
20、若n个互不相同的质数的平均数是15，求n的最大值。
21、若一位数c（c不等于0）是3的倍数，两位数____bc是7的倍数，三位数____abc是11的倍数，求所有符合条件的三位数____abc的和。
22、用a 、b 、c 可以组成6个无重复数字的三位数，且这6个数的和是4662，这6个数都是3的倍数吗23、已知n ！=1×2×3×…×n ，计算：1！×3-2！×4-4！×6+…+2015!×2017-2016！。
24、一串分数：,...131,101...,，108，109，...，103，102，101，71，72，73，74，75，76，75，74，73，72，71，41，42，43，42，41 求第2016个分数。
25、在不大于循环小数.912.的自然数中有几个质数26、设n！=1×2×3×…×n，问2016！的末尾有多少个连续的027、四位数_______abcd，若_______abcd-10（a+b+c+d）=1404，求a+b+d。
28、A ，a ，b 都是自然数，且A+50=2a ，A+97=2b ，求A.29、求20167的十位数字。
30、若A 是B 的31，B 是C 的52，求CA 。
31、求17个自然数的平均数，结果保留两位小数，甲得，这个数百分位上的数字错了，求正确答案。
2017年希望杯六年级考前培训100题-几何答案
62． （1）当 D 点是 BC 上靠近 B 点的三等分点时，如图，连接 AD ，因为 AE = 所 以 A E=
5 1 1 1 1 = AB A B， BF = AB ， 所 以 E F = 1 A B ， 于 是 S△DEF 12 3 4 3 4 1 5 1 5 S△DEF = S△ ABC = 36 = 5 ； S△ A B D= S△ A B，所以 C 3 12 3 36
1 1 AB ， BF = AB ， 3 4 5 = S△ ABD ， 又 因 为 12
（2） 当 D 点是 BC 上靠近 C 点三等分点时， 如图． 同 （1） ， 得 S△DEF = 所以 S△DEF =
5 2 10 S△ ABC = 36 = 10 ．故 S△DEF = 5 或 10 ． 12 3 36
第十五届（2017 年）希望杯 100 题 · 六年级
73 ． 设 四 个 鱼 形 的 半 径 分 别 为 ra ， rb ， rc ， rd ． 则
1 2 5 2 1 3 πra = πrc ， πrb2 = πrc2 ， 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 5 2 3 2 1 2 9 2 πrd = πra πrb πrc = πrc πrb πrc = πrc ，即 rd2 = 9rc2 = 3rc 3rc ，故 rd = 3rc ． 2 2 2 2 2 2 2 2
S阴影 = S 1= 6 大正方形 S 小正方形 = 2 0 2 0 1 6
． 144
58．如图，过三角形的公共顶点分别作长方形四条边的高，分别记为 a1 厘米， b1 厘米， a2 厘米，
1 1 1 1 1 2 b2 厘米．则阴影三角形的面积分别是 9 a1 平方厘米； 9 a2 平方厘米； 15 b1 平方 2 3 2 3 2 3
小学奥数2017年希望杯培训一百题六年级第60题
60：9个正方形放在一行，第1个正方形的面积为1，从第2个正方形 开始，每个正方形的面积都是前一个正方形面积的一半，试比较第 2个到第9个正方形的面积之和与第1个正方形面积的大小。
60：9个正方形放在一行，第1个正方形的面积为1，从第2个正方形 开始，每个正方形的面积都是前一个正方形面积的一半，试比较第 2个到第9个正方形的面积之和与第1个正方形面积的大小。
60：9个正方形放在一行，第1个正方形的面积为1，从第2个正方形 开始，每个正方形的面积都是前一个正方形面积的一半，试比较第 2个到第9个正方形的面积之和与第1个正方形面积的大小。
60：9个正方形放在一行，第1个正方形的面积为1，从第2个正方形 开始，每个正方形的面积都是前一个正方形面积的一半，试比较第 2个到第9个正方形的面积之和与第1个正方形面积的大小。
60：9个正方形放在一行，第1个正方形的面积为1，从第2个正方形 开始，每个正方形的面积都是前一个正方形面积的一半，试比较第 2个到第9个正方形的面积之和与第1个正方形面积的大小。
60：9个正方形放在一行，第1个正方形的面积为1，从第2个正方形 开始，每个正方形的面积都是前一个正方形面积的一半，试比较第 2个到第9个正方形的面积之和与第1个正方形面积的大小。
60：9个正方形放在一行，第1个正方形的面积为1，从第2个正方形 开始，每个正方形的面积都是前一个正方形面积的一半，试比较第 2个到第9个正方形的面积之和与第1个正方形面积的大小。
60：9个正方形放在一行，第1个正方形的面积为1，从第2个正方形 开始，每个正方形的面积都是前一个正方形面积的一半，试比较第 2个到第9个正方形的面积之和与第1个正方形面积的大小。
60：9个正方形放在一行，第1个正方形的面积为1，从第2个正方形 开始，每个正方形的面积都是前一个正方形面积的一半，试比较第 2个到第9个正方形的面积之和与第1个正方形面积的大小。
2017希望杯六年级100题第1讲-计算讲义
几何 21
数论 14
应用题 29
组合 14
历年希望杯真题都会从培训100题中选题！
2017希望杯六年级官方培训100题 计算专题
2017希望杯六年级官方培训100题第1题
计算：671×672×673-670×672×674.
2017希望杯六年级官方培训100题第2题
ab 若a，b是非0的自然数，并且a<b，则 的值在哪两个相邻整 b 数之间？
求第2016个
2017希望杯六年级官方培训100题第31题
求17个自然数的平均数，结果保留两位小数.甲得到11.28，这个数百分 位上的数字错了，求正确答案是：_________或_________.
再见！
再取另外两个数，用它们的和作除数，使商为整数，这样的算式存在吗 ？（题目略有改动）
2017希望杯六年级官方培训100题第18题
a=2015×2017，b=2014×2018，c=2016×2016.将a，b，c
从大到小排列：_______>________>________.
2017希望杯六年级官方培训100题第19题
2017希望杯六年级官方培训100题第3题
（3）
pq自然数，并且p<q，则四个式子：（1） q ，（2） q ，
中，值在1和2之间的是哪一个？（请填序号）
2017希望杯六年级官方培训100题第4题
20142014 20132013 20122012 求三个分数（1） ，（2） 20142014 ，（3） 20152015 20132013
2017希望杯六年级官方培训100题第12题
计算： 0.571428 ×1.75
2017希望杯六年级官方培训100题第13题
2017年第15届希望杯六年级第1试试题及参考答案
2017年小学第十五届“希望杯”全国数学邀请赛六年级第1试试题以下每题6分，共120分1、计算: 2017X 2015+ 1—。
2016 20162、计算: g g g g20.142857 X 6.3 —0.428571 XI 2—。
3a —13、定义b= ，贝U 2^( 3^ 4)= _______________ 。
b4、如下图所示的点阵图中，图1中有3个点，图2中有7个点，图3中有13个点，图4中有1 35、已知A是B的-，B是C的3，若A+ C= 55,则A= 。
2 4&如图2所示的圆周上有12个数字，按顺时针方向可以组成只有一位整数的循环小数，如1511、小红买1支钢笔和3个笔记本共用了36.45元，其中每个笔记本售价的一与每支钢笔的4丿元。
1 112、已知X是最简真分数，若它的分子加a,化简得1;若它的分母加a,化简得1，则X3 413、________________________________________________________________________ a,b,c是三个互不相等的自然数，且a+ b+ c = 48,那么a,b,c的最大乘积是____________________一 1 1在所有这样只有一位整数的循环小数中，最大的是售价相等，则1支钢笔的售价是g g g g14、 小丽做一份希望杯练习题，第一小时做完了全部的 -，第二小时做完了余下的-，第三小5 4时做完了余下的1，这时，余下24道题没有做，则这份练习题共有 题。
3 15、 如图，将正方形纸片16、如图4,由七巧板拼成的兔子形状，兔子耳朵（阴影部分）的面积是 10平方厘米，则兔子图形的面积是17、如图5,将一根长10米的长方体木块锯成6段，表面积比原来增加了 100平方分米，这 根长方体木块原来的体积是 立方分米。
18、 将浓度为百分之四十的100克糖水倒入浓度为百分之二十的 a 克糖水中，得到浓度为百分 之二十五的糖水，则a= _____________ 。
希望杯试题71-80
题71 △ABC 是边长为1的正三角形，PA ⊥平面ABC ，且PA=46，A 点关于平面PBC 的对称点为A ’，求直线A ’C 与AB 所成角的余弦值.（第九届高一第二试第22题）解法1 设D 是BC 的中点，A A ’与面PBC 交于O ，由已知，O 必在PD 上.ADO ∆ ∽△PDA ，∴PD PA AD AO =.1,'142AD PA PD AO AA ==∴=== 又A 与A ’关于平面PBC 对称，∴A ’B=AB=1，由A ’A= A ’B=1，CA=CB=1，可得A ’C ⊥AB ，∴A ’C 与AB 所成角的余弦值为0.解法2 如图1，作A ’AF ，则直线A ’C 与AB 所成角的余弦值等于|cos ∠BAF|，由于两点A ’，A 关于平面PBC 对称，则该平面上任意点与A ’，A 等距离，故A ’C=AC=1.设A ’A 交面PBC 于O 点，延长PO 交BC 于E ，连结AE ，易知BC ⊥PA ，BC ⊥AO ，故BC ⊥平面PAE ，所以BC ⊥AE ，又AB=AC=BC=1，所以E 是BC 的中点，23=AE ，易求21=⋅=PE AE PA AO ，则FC=A ’A=2AO=1，由于A ’A ⊥BC ，CF∥A ’A ，则CF ⊥BC.又由FC=CB=1，知2=BF .由AF=A ’C=1，AB=1，知AF 2+AB 2=1+1=2=BF 2，所以90BAF ∠=︒，|cos ∠BAF|=0为所求.解法3 如图2，取AC 的中点M ，设E 是BC 的中点，A ’A 交面PBC 于O 点，连结OM 、EM ，则OM ∥A ’C ，EM ∥AB ，则直线A ’C 与AB 所成角的余弦值等于|cos ∠OME|，同解法2可得A ’C=1，23=AE ，12AO =，则OM=21A ’C=21，OE=2222=-AO AE ，由ME=21AB=21，知OM 2+ME 2=21=OE 2，所以90OME ∠=︒，|cos ∠OME |=0为所求.解法4 如图3，连结A ’A 交面PBC 于O 点，连结A ’B 、A ’C ，则A ’B=AB ，A ’C=AC.V P-ABC =31S △ABC PA=162464331=⋅⋅，BCAPA ’O图2E MB CAPA ’ O 图1E FV A —PBC =31S △PBCAO=11328BC AO AO AO ⋅⋅==， 又∵V P-ABC = V A —PBC ，所以162= AO 82，∴21=AO .∵A ’O=AO ，∴A ’A=1.故三棱锥A ’—ABC 为正四面体，∴A ’C ⊥AB ，直线A ’C 与AB 所成角的余弦值0.解法5 如图4，建立空间直角坐标系A-xyz （A 为坐标原点），则A(0,0,0),C(0,1,0),P(0,0,46),B(0,21,23),易知平面PBC 交x 轴于点Q(0,0,3),由截距式得平面PBC 的方程为1643=++z y x ，即6462=++z y x ，于是平面PBC 的一个法矢量()4,6,2=→n ，由此设A A '与平面PBC 的垂足为O ()t t t 4,6,2，代入平面PBC 的方程，得246=t ，则点O 14⎝⎭.又由于A A '的中点是O ，则''11,,.22A AC ⎛∴= ⎝⎭⎝⎭易知1,0.2AB ⎫=⎪⎪⎝⎭设C A '与AB 所成的角为θ，则cos θ=''AB A CA C AB⋅'AC AB =⋅110062223⎛=-+⋅+-⋅= ⎝⎭，即直线C A '与AB 所成角的余弦值为0. 评析 C A '与AB 显然是异面直线，其所成角的余弦值一般应通过平移将两异面直线所成的角转化为相交直线所成的角后再求.解法2、3就是通过不同途径实现这种转化的.按照解法2BCAPA ’O图3图4的思路，同样可以作G BCA ' 或ABK A '，则ABG ∠cos 或K CA 'cos ∠亦为所求.因为正四面体的对棱互相垂直，故解法1、4证明了A 'ABC 恰为正四面体，从而问题也就解决了.解法5则是运用向量知识解决问题，这也是求空间两直线所成角的常用方法.拓展 此题可作如下推广 若△ABC 中B 、C 为定角，A 角对边a 为定值，PA ⊥面ABC ，PA=l ，△ABC 的面积为S ，直线A 'C 与AB 所成角为θ，则2222224cos cos cos sin sin 4S a l B C B C S a lθ-=-⋅+. 证明 因为角B 、C 及边a 为定值,故△ABC 可解,其面积S 为定值.如图5,过A 作AD ⊥BC,O 为垂足,连结PB,PC,PO.由题设知BC ⊥PO,BC ⊥面PAO.面PBC ⊥面PAO.作A 点关于直线PO 的对称点A ',则A '也是A 点关于平面PBC 的对称点,连结A 'C, A 'O.过点C 作AB 的平行线交AO 的延长线于D,则∠ A 'CD 就是A 'C 与AB 所成的角θ.又可知∠BCD=∠B,C BCA ∠=∠',二面角A '—BC —D 的平面角∠A'OD=π-∠A 'OA,∠A 'OA=2∠POA,又OA=2Sa,由tan ∠POA=2PA al OA S =，得222222221tan 4cos '1tan 4POA S a l AOA POA S a l -∠-∠==+∠+.由三射线定理,可得()222''2224cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin .4S a l ACD B C B C AOA B C B C S a lπ-∠=+-∠=-⋅+ 运用推广,不难验证原题中直线C A '与AB 所成角的余弦值0464344643460sin 60sin 60cos 60cos cos 2222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-= θ.题72 已知正方体的棱长为a ，它的体对角线和与它不共面的面对角线之间的最小距离等于________.(第十五届高二培训题第49题)解法 1 如图1,要求1AC 与1BC 之间的最小距离.因为11111,BC A B BC B C⊥⊥,所以BDAPCOA ’图51BC ⊥平面11A B CD .由1BC 与1B C 的交点O 作1OO AC '⊥于O '，则OO '⊥1BC .故OO '就是异面直线1AC 与1BC 的公垂线段，其长为所求最小距离.11sin OO OC ACB '=⋅∠=111A B OC AC⋅==为所求. 解法2 如图2，以1C 为坐标原点，分别以直线11C D 、11C B 、1C C 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系.设M 、N 分别是1AC 、1BC 上的点.设点M 的横坐标为x ，则易知其横坐标与立坐标分别为x ，a x -；设点N 的纵坐标为y ，则易知其横坐标与立坐标分别为,o y .即(),,M x x a x -，N(),,o y y ()0,x y a ≤≤.所以(),,NM x x y a x y =---，所以NM ===≥=（当且仅当[]0,3ax a =∈且12y a =∈[]0,a 时取等号）.所以所求最小距离为. 解法 3 如图3，在已知正方体1AC 旁补上一个与其一样大小的正方体2A C .连结12A B ，2B C ,则易证12//BC B C ，所以AB CDOO ’A 1B 1C 1D 1图1图2yABCA 1B 1C 1D 1图3DA 2B 2C 2D 2112//BC A B C 平面，所以1BC 与平面12A B C 间的距离，也就是点1C 到平面12A B C 的距离就是异面直线1AC 与1BC 间的距离，即为所求.设点1C 到平面12A B C 的距离为h .易求得1A C =，12A B =，2B C =.因221212A B A CB C =+，所以2190B CA ︒∠=.所以221262121a C B C A S CB A =⋅⋅=∆.由C C B A C B A C V V 121211--=，即h S C B A ⋅⋅∆2131=⋅31C C B S 12∆11B A ⋅，亦即a a h a ⋅⋅=⋅⋅2221312631，得a h 66=为所求. 评析 此题就是求异面直线间的距离，其主要方法有：（1）求异面直线的公垂线段的长；（2）求两异面直线上两点间距离的最小值；（3）转化为求线面、面面间的距离.（若a ∥α,⊂bα,a 与b 异面，则a 与α的距离就是a 与b 的距离.若α∥β，a ⊂α，b ⊂β，a 、b 异面，则α、β间的距离就是a 、b 间的距离）.解法1是求公垂线段的长，作出公垂线段是关键，需要有较强的分析能力.解法2通过建立空间直角坐标系，将两异面直线上两点间的距离转化为向量的模来求，关键是正确设出两点的坐标，这里，运用了整体思想，求最小值时还用到了配方法.解法3通过补形，将两异面直线间的距离转化为线面间的距离，进而转化为点面间的距离，最后通过等积变换求得.三种解法蕴含着丰富的数学思想，全方位展示了求异面直线间距离的基本方法，值得我们细细品味.题73 点P 在ABC ∆所在的平面α外，,PA PB PC α⊥=3tan ,2PBC ∠=则A 到平面PBC 的距离的最大值是_________.（第二届高一第一试第30题）解法1 如图，作PD BC ⊥于D ，连结AD ，作A F P D ⊥于.F PA ⊥ 平面ABC ，,BC PD BC AD ⊥∴⊥.于是BC ⊥平面PAD ，进而有平面PAD ⊥平面.,PBC AF PD ⊥ AF ∴⊥平面PBC ，即AF 就是A 到平面PBC 的距离. 3tan ,2PBC ∠=sin PBD ∴∠= ABCD FPsinPD PB PBD∴=∠==在直角PAD∆中，12AF PD≤=故所求最大解法2作法如解法1，设.P A x=3,t a n.2P B P C P B D=∠=∴易求得, 2.B D DC P D==又AB==AD∴=111332P ABC ABCV S PA x-∆===1114,332A PBC PBCV S h h h-∆===又,P ABC A PBCV V--=4,h h=∴==9≤==评析首先需要理解题意：求A到平面PBC的距离的最大值，说明此距离一定是个变量，是什么引起它的变化呢？PB PC==3tan,2PBC∠=说明PBC∆是确定不变的，而PA与平面ABC的垂直关系也不变，故只有PA的长度的变化才会引起A到平面PBC的距离的变化，因此，可将此距离表示为PA（设为x）的函数，然后求其最大值.解法2成功地运用函数思想解决了问题.解法1中用到“12AF PD≤”，其依据是下面的定理斜边为定值l的直角三角形斜边上的高的最大值是12l证明如图，作线段AB l=，以AB为直径画半圆O，则半圆上任意一点C（与A B、不重合）与A B、都构成C∠为直角，l为斜边的直角三角形.显然，当CO AB⊥时，斜边上的高最大，为12l.题74如图1，ABCD-EFGH是单位正方体，P是AF上的动点，则GP+PB的最小值是．（第十二届高一第一试第20题）解法1 将面AFGD绕AF旋转，使它与面ABF共面,此时连结BG ，BG 长即GP+PB 的最小值，在BFG ∆中，BF FG 1,BFG 135==∠= .如图2，建立直角坐标系，则BG ==解法 2 如图1，设PF=x,在PBF ∆中由余弦定理，得PB ==.在Rt PFG ∆中，GP 所以GP PB +==，表示x轴上的动点()x,0到点22⎛- ⎝⎭与点()0,1的距离之和.显然，当动点位于两点22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭、()0,1连线段与x 轴的交点时，GP PB +=解法 3 如图3，建立空间直角坐标系.则()()()()A 0,1,0,F 0,0,1,B 0,0,0,G 1,0,1.设()P 0,u,v .因为A,P,F 共线，所以u 0v 11001--=--，得v 1u =-，所以()P 0,u,1u -, ()GP 1,u,u ,=--()PB 0,u,u 1=--,所以2GP PB GP PB +=+===.uov中u 轴上的动点()Q u,0到两定点11M 0,,N ,222⎛⎛⎫- ⎪ ⎝⎭⎝⎭的距离之和，显然，当点Q 为线段MN 与u 轴的交点时，MQ NQ +最小,即MN ==.所以GP PB +的最小值为=.评析 本题等价于“已知直三棱柱ABF DCG,AB BF 1,AB BF,P -==⊥是AF 上的动点，求GP PB +的最小值.”解法1采用“铺平”的方法，转化为求铺平后B,G 两点间的距离.也可不建立直角坐标系，而在BFG ∆中由余弦定理求得BG ：因为GF 1,BF 1,GFB 135==∠=，所以GB ==因为GP PB +是随点P 在AF 上的位置的变化而变化的，而点P 在AF 上的位置又是随PF 的长度的变化而变化的，故设PF x =，则GP PB +应为x 的函数.解法2就是运用函数思想解决立几问题的.写出函数关系式容易，但求最小值较难，这里，先将其转化为解几问题，再运用平几知识求得最小值.可见，函数思想、转化思想、立几、解几、平几知识的综合运用是解法2的精髓.解法3显示，运用空间向量，可将许多立几问题转化为向量运算问题，空间向量是解决立几问题的有力工具之一.题75 以四个全等的正三角形为面拼合成的空间图形叫正四面体.正三角形边长叫正四面体的棱长.设正四面体棱长为1.求互为异面的正三角形的中线（所在直线）间的距离.（可使用下面的结论：正四面体ABCD 中，A 到面BCD 的距离为d ，面BCD 的面积为S ，则四面体ABCD 的体积V=sd 31） （第八届高一培训解答题第3题）解 情形（1）E 、F 分别是AC 、AD 的中点，求BE 、CF 之间的距离.取AF 的中点M ，连结EM 、BM ，则EM ∥CF ，CF ∥面BEM ，故点F 到平面BEM 的距离就是CF 与BE 间的距离.∵AM=MF ，∴点A 到平面BEM 的距离就是CF 与BE 间的距离.在△BEM 中，由余弦定理，得cos EMBE BM EM BE BEM ⋅-+=∠2222ABCDMF E6143232]60cos 4112)41(1[)43()23(0222=⋅⋅⋅⋅-+-+=， ∴sin ∠BEM=635)61(12=-,S △BEM=12=， ∴V A —BEM =BEM 1S 396d ∆=，又V A —BEM = V B —AEM =96232)60sin 412121(310=⋅⋅⋅=962，情形（2），E 、F 分别是BC 、AD 的中点，求AE 、CF 间的距离.取ED 的中点M ，连结FM 、CM ，则AE ∥FM ，AE ∥面FCM.可知点D 到平面FCM 的距离就是AE 、CF 间的距离.在△FCM 中，由余弦定理，得cos CFM ∠2222CF FM CMCF FM+-=⋅22221[()]+-+=23=， ∴sin ∠CFM=,35)32(12=- S △CMF =16535432321=⋅⋅⋅，V D —CMF =d d 48516531=， 又V D —CMF = V F —CMD =96261)30sin 43121(310=⋅⋅⋅（点F 到面CMD 的距离等于点A 到面CMD 的距离的一半）.∴d 485=962，d=1010. 综上，所求距离为1010评析 对于正四面体上的一条中线来说，其它任何面上的三条中线总有一条与其相交，另外两条与其异面，必须分两类情形分别求解，这一点很容易被忽略.按照定义，异面直线间的距离就是两异面直线的公垂线段的长.而要作出两异面直线的公垂线段往往比较困难.此时，我们可设法将问题转化，其途径主要有：（1）转化为线面距离——若,a b 异面，,a b α⊂∥α，则b 与α的距离就是,a b 间的距离. （2）转化为面面距离——若,a b 异面，,,a b αβα⊂⊂∥β，则α、β间的距离就是ABCDM FE,a b 间的距离.而线面、面面之间的距离往往又要转化为点面距离来求——若a ∥(αβ∥),()A a A αβ∈∈,则A 到α的距离就是()a β与α的距离.点面间的距离一般按照定义来求，此外还常常运用“等积法”转化为求某三棱锥的高.上述解法正是把两异面直线间的距离转化为直线与平面的距离，再转化为点到平面的距离，最后转化为三棱锥的高来求得的.可见，熟练掌握转化思想是解决此题的又一关键.题76 四面体ABCD 中，R Q P ,,分别在棱DA CD BC ,,上，且,2,2QD CQ PC BP ==,RA DR =则B A ,两点到过R Q P ,,的平面的距离之比为_____.（第十届高一培训题第38题）解法1 设点D C B A ,,,到平面PQR 的距离分别为D C B A h h h h ,,,,由于点R Q P ,,分别是直线DACD BC ,,与平面PQR的交点且,,2,2RA DR QD CQ PC BP ===所以12C B h PC h BP ==①，21==QC QD h h C D ②，1==DRRA h h D A ③，由①、②、③得41=B A h h ，即B A ,两点到过R Q P ,,的平面的距离之比为4:1.解法2 如图2，延长PQ 交BD 的延长线于点S ，设CQ 的中点为M ，连结PM ，则PM ∥BD 31，且PMQ ∆≌SDQ ∆，所以DS PM =，设点D B A ,,到平面PQR 的距离分别为,,,D B A h h h ，由于点S R ,分别是直线BD DA ,与平面PQR 的交点，所以ABC P QR图1D BC AP Q R图2D SM,413,1=+=+====PM PM PM DS BD DS BS DS h h DR RA h h B D D A 即41=B A h h 为所求. 解法3 如图3，连结,,PD BQ ,2,2QD CQ PC BP ==,21,21PCQ PDQ BPQ PCQ S S S S ∆∆∆∆==∴,41BPQ PDQ S S ∆∆=∴于是41==∆∆--B P Q P D Q B P Q R P D Q R S S V V ，设D B A ,,三点到平面PQR 的距离分别为,,,D B A h h h 则41,41=∴===----B D BPQ R PDQ R B D PQR B PQR D h h V V h h V V ，又41,=∴=B A D A h h h h 为所求. 解法4 如图4，过点A 作AM ∥RQ 交CD 于点M ，过点M 作MN ∥PQ 交BC 于点N ，则AM ∥平面MN PQR ,∥平面PQR ，∴平面AMN ∥平面PQR .因此，N A ,两点到平面PQR 的距离相等.由作法可知，点N 是PC 的中点，设点B N A ,,到平面PQR 的距离分别为,,,B N A h h h 则41221====PC PCBP PN h h h h B N B A 为所求. 评析 按照定义，点到平面的距离是该点与该点在平面上的射影之间的距离.此题中，要作出B A ,在平面PQR 上的射影是困难的（位置难以确定，即使确定了，也难以求距离）.因此，我们需另寻他法.由于R Q P ,,都在平面PQR 上，且三点分别在DA CD BC ,,上的位置确定，又考虑到是求比值，故联想到这样一个事实：如图5，线段AB 与平面α交于点O ，AB 与平面α不垂直，若,::n m OB AO =则B A ,两点到平面α的距离之比也是n m :（可证AOA ∆’∽BOB ∆’而得该结论）.上述解法BC APQR图3D AOB ’A ’α就是利用这一结论解决问题的，解法3还将两点到平面的距离比转化为两个三棱锥的体积比；解法4利用两平行平面的一个平面上的任意两点到另一个平面的距离相等.总之，转化思想在解决此题中起了关键作用.题77 在棱长为2的正四面体内任取一点P ，P 到四面体四个面的距离分别记为1PP ，2PP ，3PP ，4PP，则=+++4321PP PP PP PP ＿＿＿＿ （第三届高二第一试第16题） 解法1 将P 与正四面体的四个顶点联结，得到以P 为顶点，正四面体的各个面为底面的四个小棱锥，它们的高分别为1PP ，2PP ，3PP ，4PP , 体积的和等于原正四面体的体积.由于四个小棱锥的底面与原正四面体的底面一样，所以=+++4321PP PP PP PP 正四面体的高332)22332()2(22=⋅⋅-=. 解法 2 设已知正四面体为ABCD ，由题意，可知4321PP PP PP PP +++为定值.故不妨令P 为正四面体的一个顶点A ，则P 到面ABC 、面ACD 、面ADB 的距离都是0，故4321PP PP PP PP +++就是点A 到面BCD 的距离，即正四面体的高332. 评析 由于点P 的任意性，企图将1PP ，2PP ，3PP ，4PP 一一求出（或用某个量表示出来）后再求其和是不现实的，因此，我们应改变思考方向.解法1将点P 与四面体的四个顶点连结后得到四个以点P 为顶点的小三棱锥，由其体积和等于原四面体的体积，巧妙地求出了所求之值.这种利用整体与部分之间的关系解题的分割的方法是立几中常用的方法之一.解法2则由结论的唯一确定性，运用特殊化思想，快速解决了问题.类似这种结论唯一的填空题，特殊化思想应作为解题的主要指导思想.拓展 平面几何中有这样一个定理：“正三角形内一点到各边的距离之和等于正三角形的一边上的高”.将此定理延拓到空间就是本赛题.运用解法1中的思想方法同样可以解决第五届高二第二试第17题：在三棱锥ABC S -中，侧棱SA ，SB ，SC 两两垂直，4==SB SA ，6=SC , 在三棱锥的内部有一个与三棱锥的四面体都相切的球，则此球的半径=R ＿＿＿＿.解：∵SA ，SB ，SC 两两垂直，4==SB SA ，6=SC ，∴24=AB ，132==BC AC ，8=∆SAB S ，CAS12==∆∆SAC SBC S S ，224=∆ABC S ，设此三棱锥的内切球的半径为R ，则R S S S S V ABC SAC SBC SAB ABC S )(31∆∆∆∆-+++=16644213131)22432(31=⋅⋅⋅⋅=⋅==+=∆-SC S V R SAB SAB C ，即16)22432(31=+R ，解得722216-=R . 题78 某水准仪是封闭的正四面体,体内装有水,当正四面体的一个面放置于水平地面时, 体内水面高度为体高的12，现将它倒置，此时水的高度是体高的 ． （第十一届高一第一试第20题）解 开始平放时,上面无水部分也是正四面体,设其体积为1V ,则原四面体的体积是18V ,有水部分的体积是17V ．倒置后，有水部分与原四面体体积之比是117V 78V 8=．从而对应的高之比=．评析 该题是由圆锥演变而来的．若直接求出水的高度，再求比值，运算量就大多了，先求出体积比，再求高的比，就显得很简单．些题主要运用了棱（圆）锥的一个性质：用平行于棱（圆）锥底面的平面去截棱（圆）锥，则截得棱（圆）锥与原棱（圆）锥的体积比等于截得棱（圆）锥与原棱（圆）锥的高的立方比．另外，还有下列性质：截得棱（圆）锥的高与原棱（圆）锥的高的比与对应的侧棱（母线）的比，对应的底面某边的比、对应的面上的中线、高的比，（底面半径的比，底面周长的比等）都是相等的，记作a a'；全面积的比与侧面积的比，底面积的比，对应的某个侧面的面积比也都是相等的，记作s s ',且有2s a s a2''=．以此可解决第二届高二第二试第12题：台体上、下底面面积分别是12S ,S ，平面α与底面平行，且台体被α截成体积相等的两部分．设截面面积为Ｓ,用12S ,S 表示Ｓ的结果是 ．考虑生成圆台的圆锥，设上面小圆锥的体积为0V ，圆台被截面截开的两部分体积为Ｖ，由 “相似比的立方等于体积之比”，知33300000V V V 2V V ,,1,V V V V ++==∴=-+3011,V 1V+=+消去0V V ,得3321,S -=∴=. 拓展 对本题深入探求,可得定理 平行于底面的平面把高为h 的锥体分成两部分,其中小锥的高为1h ,体积为1V ,台体的体积为2V ．现将截面平移，使小锥的高为2h ，体积为2V ,相应台体的体积为1V ，则33312h h h +=．证明 如图1，1h h =①；如图2,2h h =②．由①÷②，得12h :h =，即311322h V h V =，则331113331212h V h h h V V h==++，所以33312h h h +=． 用此定理解本赛题：因为11h h 2=，所以22h h h,2h 2===为所求．题79 正四面体SABC ，点M 、E 、F 分别在棱SA ，AB ，BC 上，且2===FCBFEA BE MA SM .过M 、E 、F 三点的平面将四面体分成两部分，这两部分的体积比为＿＿＿＿（取较小部分与较大部分的体积之比）（第十三届高二培训题第75题）解法1 如图1，易知SB ME //， AC EF //. 作过 M 、E 、F 三点的平面，它和正四面体的截面是矩形MEFN ，在SB 上取点P 使得2=PBSP，则EBF MPN - 为三棱柱.P 到面BEF 的距离'h 与S 到面ABC的距离h图1 图2C AMNPS满足31'==SB PB h h ，则h h 31'=，设ABC S S ∆=，则 222()()3BEF S EB S AB ∆==，故49BEF S S ∆=.因此，41'93MPN EBF BEF V S h s h -∆=⋅=⋅=ABC S V -94.ABC S BEF MPN MPN S V h S h h S V -∆∆-=⋅=-⋅=2783231)'(31.则ABC S ABC S BFN SME V V V ---=+=2720)27894(，故所求的两部分体积之比20:7.解法2 如图2,作AC EQ ⊥于Q ，AC FR ⊥于R ,连结MQ ，NR , 则AC MQ ⊥，AC NR ⊥. 故NFR MEQ -为直三棱柱. 设已知正四面体棱长为1，则易求得63==QE MQ ，31=ME ，故362)3121()63(312122=⋅-⋅=∆MQE S .又易得23QR =，∴54232362=⋅=⋅=∆-QR S V MEQ NFR MEQ .易得61A =Q ， ∴NFR C MEQ MEQ A V AQ S V -∆-==⋅⋅=⋅=6482613623131， ∴3242764826482542=++=++---NFR C MEQ A NFR MEQ V V V .又易求得12S ABC V -=.∴12324324SME BFN V -=-=. 故所求两部分的体积之比为20:7. 评析 解决此题的关键有两个：一是分成的两部分到底是什么形状；二是两部分的体积如何求.解法1是先求平面MNFE 为界，靠近读者一侧部分的体积，解法2则是先求另一部分的体积.由于正四面体的体积易求，故两种解法都在求得一部分的体积后，用整体体积减去一部分的体积得另一部分的体积，减少了运算量.由于分成的两部分都不是纯粹的柱、锥体, 故两种解法又都采用化整为零的方法，将其分割成几个易求体积的几何体后再求其体积.这也是求不规则多面体体积的常用方法.A 图2SQBRFNC EM题80 正四面体的侧面三角形的高线中，其“垂足”不在同一侧面上的任意两条所成角的余弦值是 ( )31)(A 21)(B 32)(C 43)(D(第十二届高二第二试第3题)解法1 如图1，ABCD 是正四面体，设其棱长为a ，DF BE ,分别是AB DC ,边上的中线，由题意，就是要求DF BE ,所成角的余弦值.取AC 的中点AD G ,的中点H ，连成FGH ∆.易知平面FGH 和平面BCD 平行且FGH ∆∽BCD ∆，于是GH 边上的中线FK ∥BE ，故DF 和BE 所成的角就是DFK ∠.所以a BE FK 4321==.在DKH ∆中由余弦定理得20222167120cos 422)4()2(a a a a a DK=⋅⋅-+=.在DFK ∆中由余弦定理得3243232167)43()23(2cos 22222=⨯⨯-+=⋅-+=∠FKDF DK FK DF DFK .故选C .解法2 如图2，将正四面体ABCD 补成三棱柱GCH ABD -，则BE 是CD 边上的中线，又DF 是AB 边上的中线.由题意，就是要求BE 与DF 所成角的余弦值，取CG 的中点I ，连结HI BI ,.易证HI ∥DF ，所以BHI ∠就是BE 与DF 所成的角.设正四面体ABCD 的棱长为a ，则易求得a HI a BH 23,3==.BCI∆中，,2,aCI a BC ==0120=∠BCI ，由余弦定理，可求得a BI 27=.在BIH ∆中，由余弦定理，可求得32cos =∠BHI ，故选C .解法3 如图3，设正四面体ABCD 的棱长为a ，以正ABC ∆的中心O为原点，建立空间CBFAGEKHD图1直角坐标系.易求得),,21,63(),,,63(),36,,(o a a B o o a F a o o D )66,,63(a o a E -.所以DF ),36,,63(a o a -= )66,21,33(a a a -=，所以=⋅ ,213161222a a a =+a a 2323===. 所以32232321c 2=⋅==a a a .故选C .评析 解决此题首先得搞清题意，图中DF 与BE 所成角的余弦值应为所求.由题中“任意”二字及各个选择支都是唯一确定的值，可知不必再考虑其它情形.求异面直线所成的角，主要方法是按照定义，通过平移将异面直线所成的角转化成相交直线所成的角，其转化方法往往因题而异，有时，同一题也可通过几种方式转化.本题解法1与解法2就是用两种不同方法转化的.解法1将BE 平移至FK ，从而将问题转化为求DFK ∠cos .应当指出，取AD AC ,的中点H G ,，连结GH 后，连结AE 交GH 于K ，由E 为CD 的中点可知K 为GH 的中点，又F 为AB 的中点，故FK ∥BE .这样比原解答更为简单.解法2通过补形，将DF 平移至HI ，从而使问题转化为求BHI ∠cos ，计算十分方便.立几中往往通过解三角形求角，正弦定理、余弦定理、勾股定理是主要工具.解法3运用空间向量求异面直线所成的角，将几何问题转化为向量运算，十分简便.应当注意的是坐标系的建立要“适当”，否则会大大增加运算量.。
2017年第15届希望杯六年级第1试试题及参考答案(最新整理)
2017年小学第十五届“希望杯”全国数学邀请赛六年级 第1试试题以下每题6分，共120分。
1、计算：2017×＋＝ 。
20152016120162、计算：×6.3—×1＝ 。
0.142857g g 0.428571g g 233、定义a ☆b ＝，则2☆（3☆4）＝ 。
a b —14、如下图所示的点阵图中，图1中有3个点，图2中有7个点，图3中有13个点，图4中有21个点，按此规律，图10中有 个点。
5、已知A 是B 的，B 是C 的，若A ＋C ＝55，则A ＝ 。
12346、如图2所示的圆周上有12个数字，按顺时针方向可以组成只有一位整数的循环小数，如，。
在所有这样只有一位整数的循环小数中，最大的是 。
1.395791g g 3.957913gg7、甲、乙两人拥有邮票张数的比是5：4，如果甲给乙5张邮票，则甲、乙两人邮票张数的比变成4：5，两人共有邮票 张。
8、从1，2，3，……2016中任意取出n 个数，若取出的数中至少有两个数互质，则n 的最小值 。
9、等腰三角形ABC 中，有两个内角的度数的比是1：2，则三角形ABC 的内角中，角度最大可以是 度。
10、能被5和6整除，并且数字中至少有一个6的三位数有 个。
11、小红买1支钢笔和3个笔记本共用了36.45元，其中每个笔记本售价的与每支钢笔的154售价相等，则1支钢笔的售价是 元。
12、已知X 是最简真分数，若它的分子加a ，化简得；若它的分母加a ，化简得，则X 1314＝ 。
13、a ，b ，c 是三个互不相等的自然数，且a ＋b ＋c ＝48，那么a ，b ，c 的最大乘积是 。
14、小丽做一份希望杯练习题，第一小时做完了全部的，第二小时做完了余下的，第三小1514时做完了余下的，这时，余下24道题没有做，则这份练习题共有 题。
1315、如图，将正方形纸片ABCD 折叠，使点A ，B 重合于O ，则∠EFO ＝ 度。
小学奥数2017年希望杯培训一百题六年级第100题
100：A、B两车分别以不同的速度从甲、乙两地同时出发相向而行，途中相遇， 相遇地点距甲地70千米，相遇后两车继续以原来的速度前进，A到达乙，B到达 甲后马上原路返回，在途中又第二次相遇，这时相遇的地点距甲地50千米，已知 从第一次相遇到第二次相遇的时间是4小时，求两车的速度。
100：A、B两车分别以不同的速度从甲、乙两地同时出发相向而行，途中相遇， 相遇地点距甲地70千米，相遇后两车继续以原来的速度前进，A到达乙，B到达 甲后马上原路返回，在途中又第二次相遇，这时相遇的地点距甲地50千米，已知 从第一次相遇到第二次相遇的时间是4小时，求两车的速度。
100：A、B两车分别以不同的速度从甲、乙两地同时出发相向而行，途中相遇， 相遇地点距甲地70千米，相遇后两车继续以原来的速度前进，A到达乙，B到达 甲后马上原路返回，在途中又第二次相遇，这时相遇的地点距甲地50千米，已知 从第一次相遇到第二次相遇的时间是4小时，求两车的速度。
100：A、B两车分别以不同的速度从甲、乙两地同时出发相向而行，途中相遇， 相遇地点距甲地70千米，相遇后两车继续以原来的速度前进，A到达乙，B到达 甲后马上原路返回，在途中又第二次相遇，这时相遇的地点距甲地50千米，已知 从第一次相遇到第二次相遇的时间是4小时，求两车的速度。
A车
B车
100：A、B两车分别以不同的速度从甲、乙两地同时出发相向而行，途中相遇， 相遇地点距甲地70千米，相遇后两车继续以原来的速度前进，A到达乙，B到达 甲后马上原路返回，在途中又第二次相遇，这时相遇的地点距甲地50千米，已知 从第一次相遇到第二次相遇的时间是4小时，求两车的速度。
100：A、B两车分别以不同的速度从甲、乙两地同时出发相向而行，途中相遇， 相遇地点距甲地70千米，相遇后两车继续以原来的速度前进，A到达乙，B到达 甲后马上原路返回，在途中又第二次相遇，这时相遇的地点距甲地50千米，已知 从第一次相遇到第二次相遇的时间是4小时，求两车的速度。
六年级数学希望杯竞赛培训试题100题
希望杯六年级培训题1、211⨯+321⨯+431⨯+…+200720061⨯＝ 。
2、（1＋20021＋20041＋20061）×（20021＋20041＋20061＋20081）－（1＋20021＋20041＋20061＋20081）×（20021＋20041＋20061）3、（220071×3.6＋353×720072006）÷43÷534、从21＋41＋61＋81＋101＋121 中去掉 和 ，余下的分数之和为1.5、99…9×55…5乘积的各位数字之和是 。
6、20031200412005120061 200711±±±±的整数部分是 。
（分母中只有加号）7、已知除法算式：12345678910111213÷31211101987654321，它的计算结果的小数点后的前三位分别是 。
8、一个整数与它的倒数和等于20.05，这个数是 ，它的倒数是 。
2007个9 2007个59、在如图1的加法算式中，每个汉字分别代表1至9中的一个数字，且相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，那么这个加法算式的和是 。
我 爱 希 望 杯 数 学 竞 赛 ＋ 8 6 4 1 9 7 5 3 2 赛 竞 学 数 杯 望 希 爱 我 10、有一个分数，它的分子加2,可以约简为74；它的分母减2,可以约简为2514。
这个分数是 。
11、四个非零自然数的和为38,这四个自然数的乘积的最小值是 ，最大值是 。
12、已知a 是质数，b 是偶数，且a 2+b=2008,则a+b+1= 。
13、当a ＝2007时，a-1,a,a+1,a+2中的合数有 个。
14、从1到30这30个自然数连乘各的末尾共 个连续的数码0.15、一个质数p ，使得p+2,p+4同时都是质数，则p1＋21±p ＋41±p = .16、三个质数的倒数之和是20061155，则这三个质数中最大的是17、彼此不等且大于0的偶数a,b,c,d 满足a+b+c+d=20，样的偶数组（a,b,c,d ）共有 组。
(完整版)2017年第15届希望杯六年级第1试试题及参考答案
2017年小学第十五届“希望杯”全国数学邀请赛六年级 第1试试题以下每题6分，共120分。
1、计算：2017×20152016＋12016＝ 。
2、计算：0.142857g g ×6.3—0.428571g g ×123＝ 。
3、定义a ☆b ＝a b —1，则2☆（3☆4）＝ 。
4、如下图所示的点阵图中，图1中有3个点，图2中有7个点，图3中有13个点，图4中有21个点，按此规律，图10中有 个点。
5、已知A 是B 的12，B 是C 的34，若A ＋C ＝55，则A ＝ 。
6、如图2所示的圆周上有12个数字，按顺时针方向可以组成只有一位整数的循环小数，如1.395791g g ，3.957913g g。
在所有这样只有一位整数的循环小数中，最大的是 。
7、甲、乙两人拥有邮票张数的比是5：4，如果甲给乙5张邮票，则甲、乙两人邮票张数的比变成4：5，两人共有邮票 张。
8、从1，2，3，……2016中任意取出n 个数，若取出的数中至少有两个数互质，则n 的最小值 。
9、等腰三角形ABC 中，有两个内角的度数的比是1：2，则三角形ABC 的内角中，角度最大可以是 度。
10、能被5和6整除，并且数字中至少有一个6的三位数有 个。
11、小红买1支钢笔和3个笔记本共用了36.45元，其中每个笔记本售价的154与每支钢笔的售价相等，则1支钢笔的售价是元。
12、已知X是最简真分数，若它的分子加a，化简得13；若它的分母加a，化简得14，则X＝。
13、a，b，c是三个互不相等的自然数，且a＋b＋c＝48，那么a，b，c的最大乘积是。
14、小丽做一份希望杯练习题，第一小时做完了全部的15，第二小时做完了余下的14，第三小时做完了余下的13，这时，余下24道题没有做，则这份练习题共有题。
15、如图，将正方形纸片ABCD折叠，使点A，B重合于O，则∠EFO＝度。
16、如图4，由七巧板拼成的兔子形状，兔子耳朵（阴影部分）的面积是10平方厘米，则兔子图形的面积是平方厘米。
六年级希望杯培训100题精编版
第十六届（2018 年）小学“希望杯”全国数学邀请赛六年级培训题1、已知81716151413121++++++=A ,求A 的整数部分。
2、将数M 减去1，乘32，再加上8，再除以7的商，得到4，求M 。
3、计算:11019017215614213012011216121+++++++++。
4、计算：7522018201785438.3201811÷⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯5、计算:2017201320171392017952017512017⨯++⨯+⨯+⨯ 。
6、计算：⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++÷7161514131216017、A 、B 、C 、D 四个数的平均数是150，A 与B 的平均数是200，B 、C 、D 的平均数是160，求B 。
8、 12018111111个除以6的余数是几？9、解方程：201720182017433221=⨯++⨯+⨯+⨯x x x x 。
10、在括号中填入适当的自然数，使()()1120181+=成立。
11、已知n n n ⨯=2，求2222220172016321+++++ 的末位数字。
12、定义：Q P Q P 43+=⊕,若377=⊕x ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛⊕⊕4131x 的值。
13、已知[X]表示不超过X 的最大整数，若[X+0.1]+[X+0.2]+[X+0.3]+…+[X+0.9]=104，求X 的最小值。
14、在下列等式中的三个括号中填入三个不同的自然数，使等式成立。
()()()111121++=15、将1×2×3×…×2018记作2018！。
用3除2018！，2018！能被3整除，得到一个商；再用3除这个商，…，这样一直用3除下去，直到所得的商不能被3整除为止，在这个过程中用3整除了多少次？16、一个大于0的自然数M ，它是7和11的倍数，并且被13除余11，求M 的最小值。
17、一架梯子共17级，其中最高的一级宽30厘米，最低的一级宽110厘米，中间还有15级，相邻两级梯子的宽度差保持不变，第9级宽多少厘米。