医学统计学logistic回归分析

配对号
1 2 ．．． n
1 :1 配 对 设 计 数 据 的 一 般 格 式
病例
对照
x X 11 X 21 ．．．
X n1
y 1 1 ．．．
1
x X 10 X 20 ．．．
X n0
y 0 0 ．．．
0
每个对子含两个人，第 1个已经患病，第 2个没有患病； 自 变 量 为 x ， 第 i 层 第 1 个 人 的 自 变 量 记 为 X i1 ， 第 2 个 人 的 自 变 量 记 为 X i0
3
0000001
0000001
… …………………
…………………
348 0 0 0 0 1 1 1
0000011
349 1 0 1 0 0 0 1
0000011
350 0 0 1 1 1 1 1
1000011
假定同一层的2个人中，只有1人患病。 在 只有1人患病的条件下，恰好第1个人“患 病”而第2个人“未患病”的条件概率为
Logistic回归的应用
校正混杂因素 筛选危险因素 预测与判别
但由于条件回归模型不能估计常数项, 其结 果只能帮助分析变量的效应, 不能用于预测。
需注意的问题
个体间的独立性 足够的样本量 变量的赋值 模型评价 标准化回归系数
女 性 乳 腺 癌 危 险 因 素 1 :1 配 对 病 例 -对 照 研 究 资料整理表
配
病例
对照
对
X 11 X 12 X 13 X 14 X 15 X 16 X 17
X 01 X 02 X 03 X 04 X 05 X 06 X 07
号
1
0000010
0000001
2
0100101
0000001
Βj =0 ， Xj增加1个单位后与增加前相比， 事件的优势比， ORj =1,表明Xj对结果变量 不起作用。
Logistic回归的参数估计
Logistic回归模型中的参数β1 ， β2 、… βP 需要通过样本资料，按照一定方法进行估 计，估计量记为b1 ， b2 、… bP。
参数估计方法有多种，极大似然估计 （ MLE）最为常用
问题提出
Logistic 回归分析可解决应变量为:
– 二分类; – 无序多分类; – 有序多分类;
本次教学主要介绍应变量为二分类的 Logistic 回归分析
分类
按设计， Logistic 回归分析分为： 成组：非条件Logistic 回归分析 配对：条件Logistic 回归分析
Logistic回归模型
β1 ， β2 、．．． βP：回归系数 ，表示在控 制其他自变量时，自变量变化一个单位所引 起的 logit() 改变量。
模型参数
loig(t)ln1 ()lnO ( d)ds
O d e (0 d 1 X 1 .s . .m X m )
模型参数
一般地，根据多个自变量的回归模型，在 其他变量取值不变的情形下，与变量Xj的二 个水平C1与C2（C2>C1）相对应的事件的 优势比为 ：
例: 大肠癌患者临床病理因素对其预后可能产生 影响。收集了158例经手术治疗大肠癌患者 的性别、年龄、组织学分类、肿瘤大小、 Dure’s分期、淋巴管浸润、血管浸润、5年 生存状态等资料
• 目的：预测经手术治疗大肠癌患者5年生存 概率。
变量
➢ 性别：女=0 ，男=1 ➢ 年龄：实测值 ➢ 组织学分类：乳头状腺癌=0，管状腺癌=1 ➢ 肿瘤大小：6cm及以上=0，6cm以下=1 ➢ Dure’s分期：A=1，B=2，C=3，D=4） ➢ 淋巴管浸润：无=0，有=1 ➢ 血管浸润：无=0，有=1 ➢ 5年生存状态：存活=0，死亡=1
χ2近Z 似b地Sb服0 从等自价由于度为 21的 (χSbb2分)2 布
回归系数的区间估计
总体回归系数β的置信区间为
bZ/2Sb
OR的置信区间为
e(bZ/2Sb)
条件Logistic回归模型
医学研究中，常采用匹配设计，即为病例 组的每一个研究对象匹配一个或几个有同 样特征的未患病者，作为该病例的对照， 这样，除了研究因素外，病例与对照的其 他特征相同，从而消除“其他特征”的混 杂作用。常用的匹配形式为1:1，即一个病 例匹配1个对照。
1ej1
条件Logistic回归模型
公式左端为条件概率 ，相应的Logistic回 归称为条件回归，前述非匹配资料的 Logistic回归则称为非条件回归 ；
条件Logistic模型中，不含常数项 β0 。
应用
Logistic回归分析广泛用于流行病学 中前瞻性的队列研究、回顾性的病例对照研究以及现况研究。
Logistic 回归分析 (Logistic Regression Analysis）
问题提出
多重线性回归分析的前提条件 线性；独立；正态；等方差（ Y：正态随机变量）
Y为分类变量，多重线性回归不适用 研究二分类因变量（如患病与未患病、阳性与阴性 等）或多分类因变量与一组自变量（X1， X2，．．．Xm，）的关系，线性回归分析方法 就无能为力。
条件Logistic回归模型
例 为探讨女性乳腺癌危险因素，研究者在某市 1996 ~1997年间确诊的女性乳腺癌患者中随机抽 取350名病例，对每一病例配以一名性别相同、 年龄差别不超过2.5岁的对照。收集的信息包括： 文化程度（大专以下:0，大专及以上:1）、体质 指数（小于等于27:0，大于27:1）、近年精神压 抑（无:0，有:1）、乳腺良性疾病史（无:0， 有:1）、恶性肿瘤家族史（无:0，有:1）、初潮年 龄（大于等于14岁:0，小于14岁:1）、哺乳史 （有:0，无:1）
比较模型A与模型B的极大似然函数值，构建似然 比检验统计量
G2(lL n 1ln L0)
在H0成立的条件下，如果样本量较大，G近似地 服从自由度为Q-P的χ2分布
假设检验----WALD检验
• WALD检验常用于对单个回归系数的检验， 检验的假设为： H0：βj=0 H1：βj≠0
WALD检验统计量为
O Rej(C2C1)
当XJ的二个水平相差1个单位时，
ORj ej
模型参数
当变量Xj的回归系数Βj >0时， Xj增加1个 单位后与增加前相比，事件的优势比ORj >1，表明Xj为危险因素；
Βj <0时， Xj增加1个单位后与增加前相比， 事件的优势比ORj <1 ，表明Xj 为保护因素；
Logistic回归的参数估计
极大似然估计基本思想 选择能有最大概率获得当前样本的参数值 作为参数的估计值。
假设检验
检验整个模型：检验因变量与自变量之间 的关系能否用所建立的回归方程来表示 ；
单个回归系数是否为0：检验单个自变量对 因变量的影响是否存在。 最常用的检验方法有 似然比检验 WALD检验
P(第 1个人同 患一 病层中两 )者 （ 11 之 （ 1 0)1 一 0 0()1患 1)
e(0 X 1)
1
e(0 X 1)e(0 X 0) 1e (X 1X 0)
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• 若自变量扩展到个 P个
P(第 1个人同 患一 病层中两)者 之p 1一患 j(X1jX0j)
Logistic回归模型
因变量为二分类变量，不满足线性回归分 析条件，首先进行数据变换：
loig (t)ln1( )lnO ( d)ds
这个变换将取值在0-1间的值转换为值域在
（ ， ）的值。
建立logi t()与X的线性模型：
lo i(tg )0 1 X 1 . ..m X m
Logistic回归模型
求解
ln 1 ()01X 1...m X m
(01X1...mXm)
1ee(01X1...mXm)
右端在数学上属于Logistic函数，所以称其为 Logistic回归模型 。
模型参数
β0 ：常数项（截距），表示模型中所有自变 量均为0时，logit() 的值；
假设检验----似然比检验
似然比检验常用于对整个模型的检验，检 验的假设为
H0：所有自变量的总体回归系数均为0 H1：自变量的总体回归系数不全为0
假设检验----似然比检验
假设模型A含有P个自变量，相应的达到极大的对 数似然函数值LnL0；
模型B是在模型A的P个自变量基础上新加入一个 或几个自变量，自变量个数变为Q，相应的达到极 大的对数似然函数值LnL1 ；