北师大版勾股定理复习学案

E

C

D

B

A 勾股定理

本章常用知识点：

1、勾股定理：直角三角形两直角边的 等于斜边的 。如果用字母a,b,c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么勾股定理可以表示为： 。

勾股逆定理：如果直角三角形三边长a 、b 、c 满足 ，那么这个三角形是 三角形。

（且∠ =90°）

2、勾股数：满足a 2+b 2=c 2的三个 ，称为勾股数。

常见的勾股数组有：3、4、5； 5、12、13； 8、15、17； 7、24、25； 20、21、29； 9、40、41；… 这些勾股数组的整数倍仍然是勾股数组。（记忆 11～30二十个数的平方值） 3、最短距离：将立体图形展开，利用直角三角形的勾股定理求出最短距离（斜边长）。

题型一 直角三角形中已知两边，求第三边。

例1、已知：一个直角三角形的两边长分别是3cm 和4cm,第三边得长为________

例2、已知在△ABC 中，AB=17，AC=10，BC 边上的高等于8，求△ABC 的周长为_________ 课堂训练

1.已知直角三角形两直角边分别为5,12,则三边上的高的和为____. 2、在Rt △ABC 中，已知两边长为5、12，则第三边的长为 。 3、等腰三角形的两边长为10和12，则周长为________，底边上的高是________，

面积是_________。

4..如图，一个梯子AB 长2.5 米，顶端A 靠在墙AC 上，这时 梯子下端B 与墙角C 距离为1.5米，梯子滑动后停在DE 的位置 上，测得BD 长为0.5米，求梯子顶端A 下落了多少米？

题型二 勾股定理逆定理的应用 如何判定一个三角形是直角三角形： ① 先确定最大边（如c ）； ② 验证2

c 与2

2b a +是否具有相等关系

③ 若2

c =2

2b a +，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形；

若2c ≠2

2b a +，则△ABC 不是直角三角形。

例1、如图，在四边形ABCD 中，∠C=90°，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：AD ⊥BD ．

例2、如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 为CD 上一点，且CF=4

1

CD ． 求证：△AEF 是直角三角形．

课堂训练

1、下列各组数中，可以构成直角三角形的三边长的是（ ）

A 、5，6，7

B 、40，41，9

C 、

22，23，1 D 、31，4

1，51

2. 三角形的三边长为ab c b a 2)(2

2

+=+,则这个三角形是( )

A 、等边三角形

B 、钝角三角形

C 、直角三角形

D 、锐角三角形.

3、已知：如图，四边形ABCD 中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90°，求证：∠A+∠C=180°。

题型三 勾股定理及其逆定理的综合应用 13 4 例1、如图,求阴影部分面积.

3

12 课堂训练

1.如图，AB ⊥AD ，AB=3，BC=12，CD=13，AD=4，求四边形ABCD 的面积．

题型四 关于勾股定理的实际应用:最短路线问题

立体图形中线路最短问题,通常把立体图形的表面____,得到____图形后,运用勾股定理或逆定理解决.

例1、如图,一油桶高4米,底面直径2米,一只壁虎由A 到B 吃一害虫,需要爬行的最短路程是多少?

A

B

C

D

B

B

例2、一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到B 点，那么它所爬行的最短路线的长是

____________________．

课堂训练

1、如下图、王力的家在高楼15层，一天他去买竹竿，如果电梯的长、宽、高分别为1.2m,1.2m,1.3m ，则他所买的竹竿最大长度是多少？

2、如图所示，一个二级台阶，每一级的长、宽、高分别为60cm 、30cm 、10cm ，A 和B 是这个台阶上两个相对的端点，在A 点处有一只蚂蚁它想到B 点处觅食，那么它爬行的最短路线是多少？

3、一艘轮船以40海里/时的速度离开了港口A 向东北方向航行，另一艘轮

船同时离开港口A 以30海里/时的速度向东南方向航行，他们离开港口半小时后相距___________海里。

题型五 主要数学思想-------方程思想

例1、如图，已知长方形ABCD 中AB=8 cm,BC=10 cm,在边CD 上 取一点E ，将△ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F ，求CE 的长.

B

A

C '

F

E

O D

C

B

A

例2、已知：如图，在△ABC 中，AB ＝15，BC ＝14，AC ＝13．求△ABC 的面积．

练习

1、已知△ABC 中，∠C=90°，若c=34，a:b=8:15，则a= ，b= .

2、如图，把矩形ABCD 纸片折叠，使点B 落在点D 处，点C 落在C ’处，折痕EF 与BD 交于点O ，已知AB=16，AD=12，求折痕EF 的长。

3、已知：如图，△ABC 中，∠C ＝90º，AD 是角平分线，CD ＝15，BD ＝25．求AC 的长．

4、如图，在△ABC 中，AB=15,BC=14,CA=13求BC 边上的高AD.

题型六 勾股定理与面积

例1．在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝_______．