北师大版勾股定理复习学案
北师大版八年级上册第一章勾股定理复习(教案)
举例：针对勾股定理证明的难点，教师可以通过以下方法帮助学生突破：
-使用直观的图形和动画演示面积法的证明过程，让学生看到面积转化的直观效果。
-分步骤讲解证明过程，强调每一步的逻辑关系和数学意义。
-组织学生进行小组讨论，鼓励他们用自己的语言解释证明过程，加深理解。
其次，在新课讲授环节，我注重理论与实践相结合，通过具体的案例分析和实验操作，帮助学生加深对勾股定理的理解。这种教学方法取得了较好的效果，但我也注意到部分学生在理解证明过程时仍存在困难。因此，在今后的教学中，我需要更加关注学生的个体差异，针对不同水平的学生进行有针对性的辅导。
在实践活动环节，分组讨论和实验操作使学生积极参与到课堂中，提高了他们的动手能力和团队协作能力。但同时，我也发现部分小组在讨论过程中存在时间分配不均的问题。为了提高课堂效率，我需要在今后的教学中加强对小组讨论的引导和监督，确保每个学生都能充分参与到讨论中来。
-对于勾股数的性质，教师可以设计一些探索性的活动，如让学生尝试找出一定范围内所有的勾股数，通过实践活动发现勾股数的规律。
-在解决实际问题时，教师应引导学生如何从问题中抽象出数学模型，如何将现实问题转化为数学问题，并通过示例来演示解题步骤。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要复习的是《勾股定理》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算直角三角形斜边长度的情况？”比如，测量一块三角形的草地面积。这个问题与我们将要复习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同回顾勾股定理的奥秘。
-勾股定理的应用：学会将勾股定理应用于解决实际问题，如计算直角三角形的斜边长度或判断一组数是否为勾股数。
北师大《勾股定理》教案（通用5篇）
北师大《勾股定理》教案（通用5篇）作为一名教师，通常会被要求编写教案，编写教案有利于我们弄通教材内容，进而选择科学、恰当的教学方法。
那么问题来了，教案应该怎么写？下面是小编为大家整理的北师大《勾股定理》教案（通用5篇），仅供参考，大家一起来看看吧。
北师大《勾股定理》教案1一、教材分析：（一）教材的地位与作用从知识结构上看，勾股定理揭示了直角三角形三条边之间的数量关系，为后续学习解直角三角形提供重要的理论依据，在现实生活中有着广泛的应用。
从学生认知结构上看，它把形的特征转化成数量关系，架起了几何与代数之间的桥梁；勾股定理又是对学生进行爱国主义教育的良好素材，因此具有相当重要的地位和作用。
根据数学新课程标准以及八年级学生的认知水平我确定如下学习目标：知识技能、数学思考、问题解决、情感态度。
其中情感态度方面，以我国数学文化为主线，激发学生热爱祖国悠久文化的情感。
（二）重点与难点为变被动接受为主动探究，我确定本节课的重点为：勾股定理的探索过程。
限于八年级学生的思维水平，我将面积法（拼图法）发现勾股定理确定为本节课的难点，我将引导学生动手实验突出重点，合作交流突破难点。
二、教学与学法分析教学方法叶圣陶说过"教师之为教，不在全盘授予，而在相机诱导。
"因此教师利用几何直观提出问题，引导学生由浅入深的探索，设计实验让学生进行验证，感悟其中所蕴涵的思想方法。
学法指导为把学习的主动权还给学生，教师鼓励学生采用动手实践，自主探索、合作交流的学习方法，让学生亲自感知体验知识的形成过程。
三、教学过程我国数学文化源远流长、博大精深，为了使学生感受其传承的魅力，我将本节课设计为以下五个环节。
首先，情境导入古韵今风给出《七巧八分图》中的一组图片，让学生利用两组七巧板进行合作拼图。
让学生观察并思考三个正方形面积之间的关系？它们围成了怎么样三角形，反映在三边上，又蕴含着怎么样数学奥秘呢？寓教于乐，激发学生好奇、探究的欲望。
北师大版八年级上册第一章勾股定理复习回顾(教案)
1.理论介绍：首先，我们要回顾勾股定理的基本概念。勾股定理表述为直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。它是解决直角三角形问题的重要工具，有着广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过计算一个实际直角三角形的斜边长度，展示勾股定理在实际中的应用。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调勾股定理的表述和证明方法这两个重点。对于难点部分，如面积法和相似三角形法的证明，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
在课程结束时，我进行了总结回顾，希望学生能够对勾股定理有一个全面、系统的认识。然而，我也意识到，仅仅依靠课堂上的讲解和讨论，可能还不足以让学生深刻理解勾股定理。因此，我计划在课后布置一些相关的习题和实践作业，让学生在课后继续巩固所学知识。
二、核心素养目标
1.提升学生逻辑推理与数学抽象能力，通过复习勾股定理及其证明过程，加深对数学定理的理解和运用；
2.培养学生空间观念和几何直观，通过勾股定理在实际问题中的应用，提高解决几何问题的能力；
3.增强学生数据分析与数学建模素养，让学生在实际情境中发现并运用勾股定理，培养将数学知识应用于解决实际问题的能力；
北师大版八年级上册第一章勾股定理复习回顾（教案）
一、教学内容
北师大版八年级上册第一章勾股定理复习回顾：
1.勾股定理的概念及表述；
2.勾股定理的证明方法（面积法、相似三角形法等）；
3.勾股数及其性质；
4.勾股定理在实际问题中的应用，如测量距离、计算面积等；
5.勾股定理与二次方程的关系；
6.勾股定理在生活中的实例及趣味问题。
我尝试采用了分组讨论和实验操作的方式，让学生在实践中感受勾股定理的应用。这种教学方式似乎很受学生欢迎，他们积极参与，热烈讨论，展示环节也能看出他们对知识点的掌握程度。但同时我也发现，部分学生在讨论中过于依赖同伴，自己的思考不够深入。在未来的教学中，我需要引导他们独立思考，加强个体思维能力的培养。
勾股定理复习--北师大版
问题导学:
2.你会用下面的图形验证勾股定
理吗?
a
bc
c b
a
影汤！飞酱明峰包、清烩乳云片、麻烧地奇菜、雾煎灰魔糕、炸明春饼、鲜烹春酒！怪扒亮鬼丁、荤塌海闪派、糖溜深幽粥、海烤褐妖酥、煮浪凶肠、脆爆粼液！仙滚 风暖丝、素炖古射粥、醋炒浓余汤、湖焖粉冷糕、蒸怪海段、软涮佛糕！冰烩云雪条、香烧远透汤、油煎墨异酒、醉炸黑暗酥、烹波梦球、幻扣软酥！嫩塌天冰干、鲜 溜飘露羹、风烤红疑液、春煮白傻果、爆泉浪块、香煲硬糕！妙炖晨烟团、脆炒光跃菜、云焖棕神糕、雪蒸金惨饼、涮亮飞包、悬酱玄酥！清烧美光花、麻煎影窜粥、 雾炸黄仙酥、冬烹银寒肠、扣影丑丁、影扒圣果！荤溜凸雾卷、糖烤飞跳汤、海煮绿猛糕、梦爆彩邪段、煲烟疯丝、粼滚悬饼！素炒玉气圈、醋焖湖怪酒、湖蒸蓝美酥 、亮涮奇秋球、酱晶影条、波烩幻肠！香煎妙云排、油炸晚奇液、醉烹青魔果、闪扣妙地块、扒峰春干、飘塌灵段！鲜烤液闪片、风煮暗幽糕、春爆紫妖饼、晚煲冰明 包、滚锦粼团、飞炖魂球！脆焖乳射派、云蒸地余酥、雪涮灰冷肠、浪酱明亮丁、烩雾佛花、怪烧阴块！麻炸海透粥、雾烹深异糕、冬扣褐暗段、鲜扒浪风丝、塌美软 卷、仙溜弧包！糖煮古露汤、海爆浓疑酥、梦煲粉傻球、脆滚怪晃条、炖玉硬圈、冰炒峰丁！醋蒸远跃羹、湖涮墨神果、亮酱黑惨块、软烩波闪干、烧幽玄排、嫩煎鬼 丝！油烹飘窜菜、醉扣红仙饼、闪扒白寒包、幻塌泉晨团、溜静圣片、妙烤暖条！风爆光跳粥、春煲棕猛肠、晚滚金邪丁、香炖亮夕花、炒幻悬派、清焖雪干！忽然， 蘑菇王子的∈七光海天镜←忽然发出了阵阵铃声，蘑菇王子拿出∈七光海天镜←一看，只见个校霸正在千里之外的校园区巧立名目，用坑蒙卡要逼，霸吓捕押欺的手段 征收果汁调节税和新三角恋管理费蘑菇王子高兴道：“哈哈！来生意啦！咱们又可以筹集一笔购买跳级许可证的资金！”于是蘑菇王子说服月光妹妹和壮妞公主留下， 然后和知知爵士像耍狮子一样组合成了一个有着奇雾色鸟头，淡晶色猴身子，嫩冬色亮光翅膀，暗仙色狗尾的大怪燕朝西南方向飞去……夜很深了，虽然已是满天星辰 ，但地面的景物依然十分清晰明亮、光彩艳丽……夜色中，喷薄而出、光芒四射的风枣核平川极似一个勤劳的农夫。极目远方，在风枣核平原的南方，隐现着若有若无 的碳黑色烟枪宝窟，凝目看去，那里非常像宁静的鸟笼，那里的夜晚真的很神妙，一定会有很多不为人知的秘密。在风枣核平原的后边，漫步着说不清楚的暗绿色狮子 植物园，游目四望，那里非常像飘然而入的白兔，那边的星空好有趣，只是路有些不好走。在风枣核平原的左方，竖卧着怪异的纯灰色奶糖山冈，极目远视，那里的景 象宛如活跃的琵
北师大版八年级数学上册第一章勾股定理回顾与思考教学设计
-教学策略：采用小组合作、讨论交流的方式，引导学生主动发现勾股定理的规律。
2.突破难点，通过多种证明方法，帮助学生全面理解勾股定理。
-教学策略：呈现多种证明方法，如几何拼贴法、代数法、平面几何法等，让学生从不同角度理解定理的本质。
5.结合课堂所学，探讨勾股定理在以下特殊直角三角形中的应用：
-等腰直角三角形
- 30°-60°-90°直角三角形
- 45°-45°-90°直角三角形
作业要求：
1.请同学们认真完成作业，确保解答过程清晰、逻辑严密。
2.作业完成后，进行自我检查，确保答案正确无误。
3.互相交流、讨论作业中的问题，共同提高。
4.通过小组合作、讨论交流等形式，培养学生团队协作能力和表达能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对勾股定理的兴趣，激发学生学习数学的热情。
2.让学生感受数学的简洁美和逻辑美，增强对数学的热爱。
3.通过勾股定理的探究，培养学生勇于质疑、追求真理的精神。
4.培养学生面对困难时，保持积极向上的态度，勇于克服困难，解决问题。
1.充分利用学生已掌握的直角三角形知识，引导他们自主探究勾股定理的内涵和证明方法。
2.针对学生空间想象能力的差异，采用直观教具和多媒体辅助教学，帮助学生建立清晰的几何图形。
3.注重培养学生的逻辑思维能力，通过问题驱动、范例引导等方式，激发学生主动思考、分析问题的兴趣。
4.关注学生个体差异，创设分层教学情境，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
4.培养学生运用勾股定理进行数学推理，提高逻辑思维能力。
（二）过程与方法
1.通过引导学生回顾勾股定理的发现过程，培养学生主动探究、发现问题的能力。
北师大版八年级上册第一章勾股定理复习回顾教学设计
-对学生进行针对性辅导，针对不同学生的特点，给予个性化的指导和建议。
5.反思总结，提升素养
-引导学生总结勾股定理的学习过程，反思自己的学习方法和策略。
-培养学生自主评价和同伴评价的能力，提高学生的自我监控和自我管理能力。
四、教学内容与过程
4.探究题：尝试找出勾股定理在以下几何图形中的应用：正方形、矩形、等腰直角三角形。
通过探究题，培养同学们的观察能力和逻辑思维能力。
5.论述题：请用自己的话简要说明勾股定理的证明方法及其实用价值。
通过论述题，让同学们深入思考勾股定理的内涵，提高对定理的认识。
请同学们认真完成作业，注意以下几点：
1.做题时要细心，避免出现运算错误。
4.增强学生运用数学知识解决实际问题的信心，培养学生的应用意识，使学生认识到数学在现实生活中的重要性。
本章教学设计旨在帮助学生巩固勾股定理的知识，提高学生的数学思维能力和解决问题的能力，同时培养学生的情感态度与价值观，使学生在轻松愉快的氛围中学习数学。
二、学情分析
八年级学生对勾股定理已有一定的了解，具备初步的几何知识和逻辑思维能力。在此基础上，他们对勾股定理的复习往往停留在表面，对定理的本质和内涵理解不够深入。此外，学生在解决实际问题时，可能存在以下问题：对勾股定理的应用不够灵活，不能迅速找到解决问题的方法；在计算过程中，容易出现粗心大意、运算错误等情况。因此，在本章节的教学中，教师需要关注以下几个方面：
2.对于应用题和探究题，要注重解题思路的清晰和逻辑性。
3.论述题要求语言简洁明了，表达自己的观点。
期待同学们在完成作业的过程中，能够进一步巩固勾股定理的知识，提高自己的数学素养。
第一章勾股定理综合复习学案北师大版八年级上册
第一章勾股定理综合复习恩江中学八年级数学备课组高秋秀一、教学目标：进一步熟练运用勾股定理和它的逆定理进行计算。
二、教学重难点：能灵活运用勾股定理的相关知识解决实际问题。
三、教学过程（一）知识点梳理勾股定理：1.直角三角形两直角边a b 、的平方和等于斜边c 的平方.（即：222a b c +=）2.勾股定理的验证—通过从不同角度求同一图形的面积（常见图形如下）勾股定理的逆定理1、 如果三角形的三边长a b c 、、，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形.（注意长边对的角是直角）2.勾股数满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.如果(a b c 、、)是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 勾股数，它们具有以下特征：1.较小的直角边为连续奇数；2.较长的直角边与对应斜边相差1.（二）精讲精练考点一、勾股定理的证明例1、 4个全等的直角三角形的直角边分别为a 、b ，斜边为c ．现把它们适当拼合，可以得到如图所示的图形，利用这个图形可以验证勾股定理， 你能说明其中的道理吗？•请试一试．考点二、勾股定理的应用求解 1 、若一个直角三角形的两条直角边的长分别为6 cm 和8 cm ，则斜边的长_________2、从5，9，12，13，17这5个数中选取3个数，可以作为勾股数的一组是（ ）A. 5，9，12B. 5，9，13C. 5，12，13D. 9，12，173．如图，某学校（A 点）与公路（直线L ）的距离为300米，又与公路车站（D点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C 点），使之与该校A 及车站D 的距离相等，求商店与车站之间的距离．考点三、折叠问题2、如图所示，在长方形ABCD 中，AB=16，BC=8，将长方形沿AC 折叠，使D落在点E 处，且CE 与AB 交于点F ，求AF 的长．考点四、最短路径【知识要点】1、内容：蚂蚁沿正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题； 线段（之和）最短问题；2、原理： 两点之间，线段最短；垂线段最短。
北师大版八年级上册第一章勾股定理回顾与思考(教案)
一、教学内容
本节课我们将回顾北师大版八年级上册数学第一章“勾股定理”的内容。具体包括：
1.勾股定理的概念理解：通过复习勾股定理，使学生掌握直角三角形两个直角边的平方和等于斜边的平方这一性质。
2.勾股定理的证明：回顾教材中给出的勾股定理证明方法，包括几何拼贴法和代数推导法。
今天的学习，我们了解了勾股定理的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对勾股定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在今天这节课中，我们一同探讨了勾股定理的奥秘。回顾整个教学过程，我发现有几个地方值得深思和改进。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如用尺子和绳子实际测量并计算某个直角三角形的边长。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“勾股定理在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
-掌握勾股定理的证明：强调几何拼贴法和代数推导法的证明过程，确保学生能够理解并复述证明步骤。
-应用勾股定理解决问题：培养学生能够将勾股定理应用于解决实际问题，如计算边长、验证直角三角形等。
-记忆特殊直角三角形的性质：学生需要熟练记忆30°-60°-90°和45°-45°-90°直角三角形的比例关系。
-实际问题的转化：将现实问题转化为数学模型，特别是涉及到勾股定理的应用时，学生可能会难以理解如何将问题转化为直角三角形的问题。
-特殊直角三角形的记忆与运用：学生需要通过记忆和练习来熟练掌握特殊直角三角形的性质，这对于一些学生来说可能是一个挑战。
北师大版数学八年级上册 第一章勾股定理复习 学案(含部分答案)
八上期末复习一勾股定理班级学号姓名一、知识点归纳：1．勾股定理：直角三角形两边的平方和等于的平方.2．勾股定理的逆定理：在△ABC中，若a、b、c三边满足___________，则△ABC为___________,斜边为 . 3．勾股数：边长为0.3,0.4,0.5的三角形是否为一个直角三角形? 0.3,0.4,0.5是勾股数吗?总结:满足_____ ___的三个___ _____，称为勾股数.4.直角三角形中边的特殊关系：（1）在Rt△ABC，∠C=90°，a=b=5，则c=（2）在Rt△ABC，∠C=90°，a=1,c=2, 则b=（3）在Rt△ABC，∠C=90°，b=15，∠A=30°，则a= ，c= 。
总结：①在中，30°所对的边是边的一半。
②在Rt△ABC中，若∠A=45°, ∠C=90°,则△ABC是一个三角形。
其中，= 。
二、典例讲解：例1、已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边。
例2、一个直角三角形的周长为9，斜边为4，求这个三角形的面积。
例3、如图，在矩形ABCD中，AB＝5cm，在边CD上适当选定一点E，沿直线AE把△ADE折叠，使点D恰好落在边BC上一点F处，且△ABF的面积是30cm2．求此时EC的长．例4．已知ABC ∆为等腰直角三角形，∠A ＝︒90,AB=AC, D 为BC 的中点，E 为AB 上一点， BE ＝12，F 为AC 上一点，FC=5，且∠EDF ＝︒90，求EF 的长度。
例5、如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是_____________例6、已知，如图，在四边形ABCD 中，∠ABC =90°，CD ⊥AD 于点D ,且CD 2+AD 2=2AB 2. (1)求证AB =BC ;(2)当BE ⊥AD 于点E 时，试证明：BE =AE +CD .例7、如图，等边三角形ABC 内一点P ，AP =3，BP =4，CP =5，求∠APB 的度数.BCDEFA作业：一、选择题1、下列说法中正确的有（）（1）如果∠A：∠B：∠C=3：4：5，则△ABC是直角三角形；（2）如果∠A+∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形；（3）如果三角形三边为111,,345，则∆ABC是直角三角形；（4）如果三边长分别是2222, 2,m n mn m n+-，则∆ABC是直角三角形。
北师大版八年级上册第一章勾股定理复习教案
举例解释：
-面积法证明勾股定理：通过将直角三角形分割成两个相似的小直角三角形和一个矩形，证明两个小三角形的面积和等于大矩形面积，从而推导出勾股定理。
-实际问题：假设某房屋的斜坡屋顶为直角三角形，已知斜边长度和一边长度，求另一边的长度。
在实践活动和小组讨论中，学生们表现得相当积极。他们通过实际操作和讨论，不仅加深了对勾股定理的理解，还学会了如何将理论知识应用到解决实际问题中去。尤其是讨论环节，学生们的想法和观点让我感到惊喜，他们能够从不同的角度思考问题，这无疑是对他们批判性思维的一种锻炼。
我也意识到，在今后的教学中，我需要更多地采用直观教具和实际案例，让学生在视觉和操作上更直观地感受勾股定理的原理。同时，对于教学难点，我应该设计更多的层次性练习，让学生逐步攻克难点，而不是一次性灌输太多信息。
五、教学反思
在今天的勾股定理复习课中，我发现学生们对于定理的基本概念和应用已经有了较好的掌握。他们能够快速回答出勾股定理的定义，并在简单的习题中正确应用。这让我感到很欣慰，说明之前的教学取得了成效。
不过，我也注意到在逆定理的应用和勾股数的识别上，部分学生还存在一些困难。逆定理的部分，学生需要更加熟悉直角三角形的边长关系，才能更好地判断一个三角形是否为直角三角形。在勾股数的识别上，非整数勾股数对学生来说是一个挑战，我需要在今后的教学中加强这一部分的讲解和练习。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“勾股定理在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
数学北师大版八年级上册勾股定理复习教案
数学北师大版八年级上册勾股定理复习教案数学北师大版八年级上册勾股定理复习教案一、教学目标1.知识与技能：通过回顾和整理勾股定理的知识点，进一步理解勾股定理的内涵和外延，掌握勾股定理的应用方法，提高解题能力。
2.过程与方法：通过合作交流、自主探究的方式，培养学生的观察能力、归纳能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：通过解决实际问题，体验数学与生活的密切联系，增强学生学习数学的兴趣和信心。
二、教学重难点1.教学重点：掌握勾股定理的应用方法，提高解题能力。
2.教学难点：运用勾股定理解决实际问题，理解勾股定理的深刻内涵。
三、教学方法与手段1.教学方法：讲授法、演示法、练习法、小组合作教学法2.手段：PPT课件、实物展示台、学生小组合作探究四、教学过程1.导入新课回顾和整理勾股定理的知识点，思考以下问题：（1）勾股定理的基本形式是什么？（2）勾股定理的验证方法有哪些？（3）勾股定理的应用范围有哪些？（4）勾股数有哪些性质？（5）勾股定理在数学中的应用技巧有哪些？请学生回答上述问题，并总结答案。
2.讲授新课（1）勾股定理的基本形式为：a2 + b2 = c2。
其中a、b为直角三角形的两个直角边，c为斜边。
（2）勾股定理的验证方法有三种：几何法、代数法和三角函数法。
其中几何法是最常用的方法。
（3）勾股定理的应用范围非常广泛，如工程设计、平面几何、立体几何等领域。
它也是解决一些实际问题的重要工具。
（4）勾股数是指能够满足a2 + b2 = c2 的三个正整数。
它们具有以下性质：a、b、c三个数可以按照从小到大的顺序排列；当a、b、c三个数均为奇数时，它们一定是勾股数；当a、b、c三个数中有一个数是偶数时，它们一定不是勾股数；当a、b、c三个数均为偶数时，它们一定是勾股数。
（5）勾股定理在数学中的应用技巧有：勾股定理的逆定理的应用；通过构造直角三角形来解决问题；利用三角函数解决问题等。
3.巩固练习（1）通过练习加强学生对勾股定理的理解和应用能力。
勾股定理复习--北师大版
问题导学:
2.你会用下面的图形验证勾股定
理吗? a
bc
c b
a
1.利用勾股定理验证三个 半圆面积之间的关系
SA+SB=SC
AC
B
2.如图两阴 影部分都是 正方形,若它 们面积之比 为1:3,则它 们的面积分 别为_9_和_27
问题导学: 3.如果一个三角形三边为a,b,c, 满足_________,则这个三角 形是 直角三角形. 4.四根长度分别为3,4,5,6的 木棒,取其中三根组成三角形, 有_4_种取法,能构成直角三 角形的是___3_,4_,_5 __
勾股定理复习
学习目标: 1.掌握勾股定理,会用拼图法验证 勾股定理. 2.能应用勾股定理解决实际问题. 3.掌握判断一个三角形是
直角三角形的条件.
问题导学: 1.勾股定理的内容是什么?
导学检测:
1〉直角三角形三边长为6,8,x,则 x=_1_0_或_2__7_.
2.已知直角三角形两直角边分别为
5,12,则三边上的高的和为_2_1_1_83 .
立体图形中线路最短问题, 通常把立体图形的表面 _展__开_,得到_平_面__图形后, 运用勾股定理或逆定理解 决.
1.如图,一油桶高4米,底面 直径2米,一只壁虎由A到 B吃一害虫,需要爬行的最 短路程是多少?
B
A
2.一长方体长宽高分别为 30合训练:
1.一个直角三角形周长为60, 一直角边与斜边之比为4:5, 则此三角形三边分别为 __________ 2.如图,求半圆面积 6 6
(结果保留 ).
3.如图,两个正方形面积 分别为64,49,则 AB=______
2.判断满足下列条件的三角形是不 是直角三角形? (1)△ABC中, A=15o, B=75o; (2)△ABC中,a=12,b=16,c=20; (3)三边满足a2-b2=c2; (4)三边满足(a+b)2-c2=2ab;
北师大版勾股定理复习学案
勾股定理本章常用知识点：1、勾股定理：直角三角形两直角 的等于斜 的。
假如用字母 a,b,c 分表示直角三角形的两直角 和斜 ，那么勾股定理能够表示 ： 。
勾股逆定理：假如直角三角形三 a 、b 、c 足，那么 个三角形是三角形。
（且∠=90°）2、勾股数： 足a 2 +b 2 =c 2 的三个，称 勾股数。
常 的勾股数 有： 3、4、 5； 5 、12、13； 8 、15、 17； 7 、 24、25； 20 、21、 29； 9 、40、41；⋯ 些勾股数 的整数倍仍旧是勾股数 。
（ 11 ～30 二十个数的平方 ）3、最短距离：将立体 形睁开，利用直角三角形的勾股定理求出最短距离（斜 ）。
题型一 直角三角形中已知两边，求第三边。
例 1、已知：一个直角三角形的两边长分别是3cm 和 4cm,第三边得长为 ________例 2、已知在△ ABC 中， AB=17， AC=10，BC 边上的高等于 8，求△ ABC 的周长为 _________讲堂训练1. 已知直角三角形两直角边分别为 5,12, 则三边上的高的和为 ____.2、在 Rt △ ABC 中，已知两边长为 5、 12，则第三边的长为。
3、等腰三角形的两边长为 10 和 12，则周长为 ________，底边上的高是面积是 _________。
4.. 如图，一个梯子 AB 长 2.5 米，顶端 A 靠在墙 AC 上，这时梯子下端 B 与墙角 C 距离为 1.5 米，梯子滑动后停在 DE 的地点上，测得 BD 长为 0.5 米，求梯子顶端A 着落了多少米？题型二 勾股定理逆定理的应用 怎样判断一个三角形是直角三角形： ① 先确立最大边（如 c ）；________，AECBD② 考证 c 2 与 a 2b 2 能否拥有相等关系③ 若 c 2=a 2 b 2 ，则△ ABC 是以∠ C 为直角的直角三角形；若 c 2 ≠ a2b 2 ，则△ ABC 不是直角三角形。
北师大版八年级数学上册名师教学设计：第一章_勾股定理_复习课
《第一章勾股定理复习课》教学设计课标要求：探索勾股定理，及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题.复习目标：知识与技能：系统掌握勾股定理及逆定理，灵活利用勾股定理及逆定理进行计算并解决简单的实际问题.过程与方法：通过观察图形，探索图形间的关系，发展学生的空间观念，在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想.情感与态度：在利用勾股定理解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性.复习重点：利用勾股定理及逆定理，进行计算和解决实际问题.复习难点：利用建模思想构建直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题.一、学习目标1、整理本章知识结构.2、熟练掌握勾股定理，以及逆定理，会判断一组数是不是勾股数.3、能够应用勾股定理及其逆定理解决问题.二、学习过程活动一：梳理知识1、小组内展示自己总结的知识框图，相互交流完善知识框图.活动二：验证勾股定理请你利用自己准备的四个全等的直角三角形拼出以斜边为边长的正方形.活动三：学以致用1.我们学校每周一早上举行升旗，我想知道旗杆的高度，你能用所学知识解决这个问题吗？活动四：合作探究（一）1.学校分给咱们班一块四边形菜地，如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90°，你能求出这块菜地的面积吗？活动四：合作探究（二）2.如图，圆柱的高等于12 cm，底面圆的周长为18 cm，蚂蚁从圆柱下底面的A点爬到与A点相对的B点处，沿圆柱侧面爬行的最短路程长是多少？变式一：如图，在棱长分别是5，3，7的长方体顶点A处有一个蚂蚁，现要向顶点B爬行，求最短路线长.活动四：合作探究（三）3.如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=5，F为CD上一点，将长方形沿折痕AF折叠，点D恰好落在BC上的点E处，求CF的长.三、课堂小结通过本节课的学习，你有哪些收获？四、堂堂清测验1、以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是( )A.8,15,17B.4,5,6C.5,8,7D.8,39,402、如图，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面3 m处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB=4 m，这棵大树在折断前的高度为（）A.7 mB.10 mC.8 mD.12 m3、如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，请你根据所学的知识（1）求△ABC的面积.（2）判断△ABC是什么形状？并说明理由.五、今天的作业：课本第一章复习题六、学后反思。
初中数学北师大八年级上册(2023年修订) 勾股定理《勾股定理》单元复习学案
课题： 《勾股定理》单元复习 一、学习目标 1.回顾本章的知识，尤其是勾股定理的获得和验证的过程.2.构建本章知识系统，会用勾股定理及其逆定理解决问题.3.体验解决问题中方法的多样性，提高解决问题，反思问题的能力．二、思维导图画出本章知识的思维导图，并与同伴进行分享交流.三、目标达成【目标1】（1）已知直角三角形的两边长分别为3、4，则第三边长为__________（2）如图，在△ABC 中，∠C =90°，AB =2， △ABC 的面积为3cm 2， 则△ABC 的周长是 ．【目标2】（1）△ABC 的三边为a 、b 、c ，能说明此三角形为直角三角形的个数为__________①∠A =42°，∠B =48°； ②13a =，14b =，15c =； ③a =7，b =24，c =25； ④∠A :∠B :∠C =3:4:5； ⑤2a :2b :2c =1:3:2.（2）如图，已知AB :BC :CD :DA =2:2:3:1，且∠ABC =90°，则∠DAB=_________【目标3】如图，在一棵树CD 的10米高处B 有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A 处，另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算.如果两只猴子所经过的距离相等，请问这棵树有多高?小结： 【目标4】如图，透明的圆柱形玻璃杯(厚度不计)的高为9cm ，底面周长为10cm ，在杯外壁离杯顶部3cm 的点B 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在杯外壁的点A 处，恰好与B 相对，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长为_________.小结：变式：若将“在杯外壁离杯顶部3cm 的点B 处有一饭粒”改为“在杯内壁离杯顶部3cm 的点B 处有一饭粒”，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长为_________.A B小结：四、我的思考五、学习评价1.根据下列条件，能判定一个三角形是直角三角形的是（ ）A. 三条边的边长之比是1:2:3B. 三个内角的度数之比是1:1:2C. 三条边的边长分别是31，41，51D. 三条边的边长分别是12，15，20 2.在Rt △ABC 中，∠C =90°，a ：b =3:4，c =15cm ，则a =_________3.如图，已知四边形ABCD 中，∠ABC =90°，AB =3，BC =4，CD =13，DA =12，则S 四边形ABCD =_______.3题图 4题图 5题图4.如图，长方体的底面边长分别为9cm 和3cm ，高为7cm ，若一只蚂蚁从P 开始经过4个侧面爬行一圈到达Q 点，则蚂蚁爬行的最短路径长为 .5.如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC 的长为17米，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D 的位置，求船向岸边移动的距离.(假设绳子是直的)6.如图，矩形ABCD 的长AD =9cm ，宽AB =3cm ，将其折叠，使点D 与点B 重合.（1）求折叠后DE 的长; （2）求重叠部分△BEF 的面积.。
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E
C
D
B
A 勾股定理
本章常用知识点：
1、勾股定理：直角三角形两直角边的 等于斜边的 。
如果用字母a,b,c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么勾股定理可以表示为： 。
勾股逆定理：如果直角三角形三边长a 、b 、c 满足 ，那么这个三角形是 三角形。
（且∠ =90°）
2、勾股数：满足a 2+b 2=c 2的三个 ，称为勾股数。
常见的勾股数组有：3、4、5； 5、12、13； 8、15、17； 7、24、25； 20、21、29； 9、40、41；… 这些勾股数组的整数倍仍然是勾股数组。
（记忆 11～30二十个数的平方值） 3、最短距离：将立体图形展开，利用直角三角形的勾股定理求出最短距离（斜边长）。
题型一 直角三角形中已知两边，求第三边。
例1、已知：一个直角三角形的两边长分别是3cm 和4cm,第三边得长为________
例2、已知在△ABC 中，AB=17，AC=10，BC 边上的高等于8，求△ABC 的周长为_________ 课堂训练
1.已知直角三角形两直角边分别为5,12,则三边上的高的和为____. 2、在Rt △ABC 中，已知两边长为5、12，则第三边的长为 。
3、等腰三角形的两边长为10和12，则周长为________，底边上的高是________，
面积是_________。
4..如图，一个梯子AB 长2.5 米，顶端A 靠在墙AC 上，这时 梯子下端B 与墙角C 距离为1.5米，梯子滑动后停在DE 的位置 上，测得BD 长为0.5米，求梯子顶端A 下落了多少米？
题型二 勾股定理逆定理的应用 如何判定一个三角形是直角三角形： ① 先确定最大边（如c ）； ② 验证2
c 与2
2b a +是否具有相等关系
③ 若2
c =2
2b a +，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形；
若2c ≠2
2b a +，则△ABC 不是直角三角形。
例1、如图，在四边形ABCD 中，∠C=90°，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：AD ⊥BD ．
例2、如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 为CD 上一点，且CF=4
1
CD ． 求证：△AEF 是直角三角形．
课堂训练
1、下列各组数中，可以构成直角三角形的三边长的是（ ）
A 、5，6，7
B 、40，41，9
C 、
22，23，1 D 、31，4
1，51
2. 三角形的三边长为ab c b a 2)(2
2
+=+,则这个三角形是( )
A 、等边三角形
B 、钝角三角形
C 、直角三角形
D 、锐角三角形.
3、已知：如图，四边形ABCD 中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90°，求证：∠A+∠C=180°。
题型三 勾股定理及其逆定理的综合应用 13 4 例1、如图,求阴影部分面积.
3
12 课堂训练
1.如图，AB ⊥AD ，AB=3，BC=12，CD=13，AD=4，求四边形ABCD 的面积．
题型四 关于勾股定理的实际应用:最短路线问题
立体图形中线路最短问题,通常把立体图形的表面____,得到____图形后,运用勾股定理或逆定理解决.
例1、如图,一油桶高4米,底面直径2米,一只壁虎由A 到B 吃一害虫,需要爬行的最短路程是多少?
A
B
C
D
B
B
例2、一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到B 点，那么它所爬行的最短路线的长是
____________________．
课堂训练
1、如下图、王力的家在高楼15层，一天他去买竹竿，如果电梯的长、宽、高分别为1.2m,1.2m,1.3m ，则他所买的竹竿最大长度是多少？
2、如图所示，一个二级台阶，每一级的长、宽、高分别为60cm 、30cm 、10cm ，A 和B 是这个台阶上两个相对的端点，在A 点处有一只蚂蚁它想到B 点处觅食，那么它爬行的最短路线是多少？
3、一艘轮船以40海里/时的速度离开了港口A 向东北方向航行，另一艘轮
船同时离开港口A 以30海里/时的速度向东南方向航行，他们离开港口半小时后相距___________海里。
题型五 主要数学思想-------方程思想
例1、如图，已知长方形ABCD 中AB=8 cm,BC=10 cm,在边CD 上 取一点E ，将△ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F ，求CE 的长.
B
A
C '
F
E
O D
C
B
A
例2、已知：如图，在△ABC 中，AB ＝15，BC ＝14，AC ＝13．求△ABC 的面积．
练习
1、已知△ABC 中，∠C=90°，若c=34，a:b=8:15，则a= ，b= .
2、如图，把矩形ABCD 纸片折叠，使点B 落在点D 处，点C 落在C ’处，折痕EF 与BD 交于点O ，已知AB=16，AD=12，求折痕EF 的长。
3、已知：如图，△ABC 中，∠C ＝90º，AD 是角平分线，CD ＝15，BD ＝25．求AC 的长．
4、如图，在△ABC 中，AB=15,BC=14,CA=13求BC 边上的高AD.
题型六 勾股定理与面积
例1．在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝_______．
l 3
2
1
S 4
S 3
S 2
S 1
练习
1．如图①，分别以直角三角形ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，则不难证明
S 1=S 2+S 3 .
(1) 如图②，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，那么S 1、
S 2、S 3之间有什么关系？(不必证明)
(2) 如图③，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，请你确定S 1、S 2、S 3之间的关系并加以证明；
(3) 若分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正多边形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，请你猜想S 1、
S 2、S 3之间的关系?.
题型七、勾股定理与旋转
1、如图，在等腰△ABC 中，∠ACB=90°，D 、E 为斜边AB 上的点，
且∠DCE=45°。
求证：DE 2=AD 2+BE 2。
2..在等腰Rt ▲ABC 中，∠CAB=︒90，P 是三角形内一点，且
PA=1,PB=3,PC=7
求：∠CPA 的大小？
E
C
A
B
D
C
B
A
P
练习
1、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的
点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求线段EF的长。
思考
1已知：如图2-7所示，△ABC中，D是AB的中点，若AC=12，BC=5，CD=6．5。
求证：△ABC是直角三角形．。