复数项级数

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复数项级数

n(en
2
en )
当 n 时, zn , 所以数列发散.
2、复数项级数的概念
1)定义设{zn} {xn iyn} (n 1, 2,L )为一复数列,
表达式
zn z1 z2 zn
n1
称为复数项无穷级数.
2）部分和其最前面 n 项的和 sn z1 z2 zn
记作
lim
n
zn
z0
或 zn z0 (n ) .
若数列{zn }不收敛，则称{zn }发散.
2)复数列收敛的条件
定理复数列{zn} (n 1,2, )收敛于z0 的充要条件是
lim
n
xn
x0 ,
lim
n
yn
y0 .
该定理说明: 可将复数列的敛散性转化为判别两个实数列的敛散性.
例1 下列数列是否收敛, 如果收敛, 求出其极限.
(1)
zn
(1
1
)e
i
n
n
;
(2) zn ncos in .
解
(1) 因为
zn
(1
1
)e
i
s n
n
i sin
), n
所以
xn
(1
1 )cos n
π n
,
yn
(1
1 )sin
nn
.
而
lim
n
xn
1
,
lim
n
yn
0.
数列收敛,
且
lim
n
zn
1
.
(2)
由于
zn
n cos in
lim 8 0 n n 1

复数项级数与幂级数

∞
那末级数 � 发散.
=1
说明: 与实数项级数相同, 判别复数项级数敛散
性的基本方法是: 利用极限 lim sn = s .
n→ ∞
8
3.复数项级数收敛的条件
∞
∞
（1）※定理2 级数 � = � ( + ) 收敛的
∞
证
=
=
∞
充要条件 � 和 � 都收敛.
n =1
19
级数最前面n项的和
sn ( z ) = f 1 ( z ) + f 2 ( z ) + + f n ( z )
称为这级数的部分和.
和函数
如果对于 D 内的某一点 z0 , 极限 lim sn ( z0 ) = s( z0 )
n→∞
∞
存在, 那末称级数 ∑ f n ( z ) 在 z0 收敛 , s( z0 )称为
=
称为复数项无穷级数.
部分和其最前面 n 项的和
= + + ⋯ + 称为级数的部分和.
7
2. 收敛与发散
∞
如果部分和数列 { sn } 收敛 , 那末级数 � 收敛,
并且极限 lim sn = s 称为级数的和 .
n→ ∞
=1
如果部分和数列 { sn } 不收敛 ,
规定 ∞ = +∞
5
※例2 证明：
已知
lim =
→∞
, <
,
<
∞ , >

lim

∞,
> →∞ =
, =
,
=
不存在， = −

4.1复数项数列、复数项级数

其中 n = a1 + a2 + + an， n = b1 + b2 + + bn

b 的部分和. S 收敛的充要条件是，
收敛，即级数 a 和 b 都收敛.
分别为 an 和
n =1
n =1
n =1
n
n
n

n =1
n
n
n
复数项级数与实数项级数收敛的关系
n =1
定理2: 级数 n = (an + ibn ) 收敛的充要条件是级数 an 和

b
n =1
n
都收敛，且有 n = an + i bn .
证明：因 S n = 1 + 2 +
+ n
= (a1 + a2 + + an ) + i (b1 + b2 + + bn ) = n + i n
成立，则称α为复数列 n 当n→∞时的极限，记作 lim n = ，
n→∞
也称复数列 n 收敛于.如果复数列 n 不收敛，则称复数列 n
发散.
复数列收敛与实数列收敛的关系
lim n =α的充要条件是 lim n =， lim n =.
定理1: →∞
→∞
→∞
证明：因为 lim n =α，那么对于∀ > 0，总能找到一个正数
+ n 为级数的部分和.
级数收敛与发散的概念

如果级数

n =1
n
部分和数列收敛，则称级数收敛.

并且 lim n =称为级数的和.

【工程数学】复变函数复习重点

复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数)有大小.2.复数的表示1）模：z =2)幅角：在0z ≠时,矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。

3）()arg z 与arctan y x之间的关系如下：当0,x > arg arctan y z x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩; 4）三角表示:()cos sin z z i θθ=+,其中arg z θ=；注：中间一定是“+” 5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=. (二）复数的运算1。

加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+± 2。

乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++;()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。

2）若121122,i i z z e z z e θθ==，则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z e z z θθ-=3。

乘幂与方根1）若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=,则(cos sin )n nn in z z n i n z e θθθ=+=. 2）若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则122cos sin (0,1,21)nk k z i k n n n θπθπ++⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭(有n 个相异的值)（三)复变函数1．复变函数：()w f z =，在几何上可以看作把z 平面上的一个点集D 变到w 平面上的一个点集G 的映射.2．复初等函数指数函数:()cos sin z x e e y i y =+，在z 平面处处可导，处处解析;且()z z e e '=.注：z e 是以2i π为周期的周期函数.（注意与实函数不同）对数函数: ln (arg 2)Lnz z i z k π=++(0,1,2)k =±±（多值函数)；主值：ln ln arg z z i z =+。

复数项级数

所以
lim n
n
例1 下列数列是否收敛?如果收敛,求出其极限.
1
1 [解] 因为 n an ibn 1 cos i sin n n n 1 lim a n li m 1 cos 1 ,
2 2 [证] 由于 an 或 bn an bn n

根据比较判别法:实数正项级数

n 1
cn 和 d n

n 1
满足cndn,

级数 d n收敛, 则级数 cn收敛; 级数 cn发散, 则级数 d n发散.
n 1 n 1 n 1 n 1
级数
n 0

8i n
n! 所以原级数绝对收敛,当然原级数收敛.
8n n! n 0 n!

8n 1
n
lim
8n
n 1 !
8 lim 01. n n 1
3
1n 1 n 2n n 1

i
[解] 莱布尼茨定理: 交错级数
[证](必要性) 如果 lim n ，那末 0, N 0
当n N时， n
由于 an a
或 bn b an a i bn b
an a i bn b
故 an a ，
n
bn b ,
§2 幂级数
§3 泰勒级数
§4 洛朗级数
§1 复数项级数 1.复数列的极限
设有一个复数列 n n 1,2,，其中 n an ibn ,
又设 a ib为一确定的复数，

第七次复数项级数、幂级数

第七讲复数项级数复数项幂级数
第三章级数
§3.1 复数项级数
1. 复数列的极限 2. 级数的概念 3. 级数收敛、绝对收敛、条件收敛
1. 复数列的极限
定义设有复数列：{zn}, 其中zn＝xn iyn ,
若存在复常数
a
ib,
使得
lim
n
xn
a,
lim
n
பைடு நூலகம்yn
b,
则称复数列zn收敛，并称复数 a ib为复数列zn
都有 Rn (z) sn (z) f (z) ，则称 un (z)在E n1
上一致收敛于f (z),简称一致收敛.
（2）性质：
性质（i）若un (z)是连续函数列，且un (z)一致收敛于f (z)， n1 则f (z)连续，并且有
l un (z)dz lun (z)dz.
n1
n1
性质（ii）（外尔斯特拉斯定理）：
(1)
n1
1 n
发散，
n1
1 n2
收敛
，
n1
1 n
(1
i )发散. n
(2)
8i n
8n 收敛，
(8i )n 绝对收敛。
n0 n! n0 n!
n0 n!
(3)
n1
(
1)n
收
敛，
n
n1
1 2n
收敛
，
n1
(
(
1)n n
i 2n
)收敛.
又 (1)n 条件收敛，原级数非绝对收敛.
un(m) (z).
n1
证明：见P81.
例2
证明复变函数项级数
k 1
sin k(k

第九讲复数项级数

复变函数
三、幂级数的概念
第九讲
复数项级数与幂级数
2.复变函数项级数的收敛性
如果对于 D 内的某一点 z0 ，极限 lim sn ( z0 ) s( z0 ) 存在，
n
那么称复变函数项级数在 z0 收敛，而 s( z0 ) 称为它的和. 如果级数在 D 内处处收敛，那么它的和一定是 z 的一个函数 s( z ) ：
的收敛范围与和函数.
n 1 z 解： Sn 1 z z 2 ... z n1 ,z 1 1 z 1 z 1时, limS n , 级数收敛 1 z n z 1时, limSn 级数发散
n
第四章
级数
复变函数
四、收敛圆与收敛半径
第四章级数复变函数
五、幂级数的运算和性质
第九讲
复数项级数与幂级数
(2) 代换运算
当 z r 时， f ( z ) an z n ，又设在 z R 内，
n 0
g( z ) 解析且满足 g( z ) r ，那么当 z R 时，
f [ g( z )] an [ g( z )]n .

第四章
级数
复变函数
六、小结
六、小结
第九讲
复数项级数与幂级数
1.复数列的极限定义.
判断复数列的收敛性转化为判断两个实数列的收敛性. 2.复数项级数的概念，复数项级数收敛性的判断，复数项级数的绝对收敛与条件收敛. 3.复变函数项级数的概念及收敛定义. 4.幂级数的概念及收敛定理(Abel定理).
5.收敛圆与收敛半径的概念，幂级数收敛半径的求法 .
第九讲
2
复数项级数与幂级数
1 in 1 n 2n (1) n i 2 2 1 in 1 n 1 n

09第四章解析函数的级数表示

第四章解析函数的级数表示§1. 复数项级数一. 复数序列的极限定义：设{}n z 为一个复数序列，其中n n n y i x z +=，又设000y i x z +=为一个复定值. 若,0,0>∃>∀N ε使得,N n >∀有不等式ε<-0z z n恒成立，则称复数序列{}n z 收敛于0z ，或称{}n z 以0z 为极限，记作0l i m z z n n =∞→ 或()∞→→n z z n 0.如果对于任意复数0z ，上式均不成立，则称复数序列{}n z 不收敛或发散.定理1 设000y i x z +=，n n n y i x z +=，则⎪⎩⎪⎨⎧==⇔=∞→∞→∞→.lim ,limlim 000y y x x z z n n n n n n 定理1说明: 可将复数列的敛散性转化为判别两个实数列的敛散性.二. 复数项级数定义：设{}n z 为一个复数序列，表达式 +++++n z z z z 321称为复数项无穷级数.如果它们的部分和序列() 2,1321=++++=n z z z z S n n有极限S S n n =∞→l i m （有限复数），则称级数是收敛的，S 称为级数的和；如果{}n S 没有极限，则称级数是发散的. 例1.当1<z 时，判断级数++++++nz z z z 321是否收敛？定理2 级数 ++++n z z z 21收敛的充分必要条件是实数项级数 ++++n x x x 21与 ++++n y y y 21都收敛.定理2说明: 可将复级数的敛散性转化为判别两个实级数的敛散性.定理3 （级数收敛的必要条件）若级数++++n z z z 21收敛，则0lim =∞→n n z . 定理4 若级数+++++=∑∞=n n n z z z z z 3211收敛，则级数+++++=∑∞=n n nz z z z z3211一定收敛.定义：若级数 ++++=∑∞=n n n z z z z 211收敛，则称级数++++=∑∞=n n nz z z z 211绝对收敛，若级数 ++++=∑∞=n n n z z z z 211发散，而级数 ++++=∑∞=n n n z z z z 211收敛，则称级数 ++++=∑∞=n n nz z z z211条件收敛.例2.判断下列级数的敛散性：（1）∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+121n n i n ；（2）∑∞=1n nni ；（3）∑∞=12n nn i.§2. 复变函数项级数一. 复变函数项级数定义：设(){}() ,,n z f n 21=为区域D 内的函数序列，称以()z f n 为一般项的复级数 ()()()()+++++z f z f z f z f n 321为区域D 内的复变函数项级数.该级数的前n 项的和()()()()()z f z f z f z f z S n n ++++= 321称为该级数在D 内的部分和. 设0z 为区域D 内的一个定点，若极限()()00lim z S z S n n =∞→存在，则称该复变函数项级数在0z 点收敛，()0z S 为其和，即()()01z S z f n n=∑∞=.如果该复变函数项级数在D 内处处收敛，则称该复变函数项级数在D 内收敛，由此所定义的函数()z S 称为和函数，记作()∑∞=1n n z f .即 ()()∑∞==1n n z f z S 二. 幂级数定义：形如()()()()+-++-+-+=-∑∞=nn n nnz z C z z C z z C C z z C 02020100的复变函数项级数称为幂级数，其中n C 与0z 均为复常数. 定理5如果幂级数()∑∞=-00n nn z z C 在点()011z z z ≠ 收敛，则该级数在圆域010z z z z -<-内绝对收敛.推论如果幂级数()∑∞=-10n nn z z C 在点2z 发散，则在区域020z z z z ->-内发散.定义：若存在圆R z z <-0，使得幂级数()∑∞=-10n nn z z C 在此圆内绝对收敛，在此圆外发散，则称该圆为幂级数的收敛圆，称该圆的半径R 为幂级数的收敛半径. 结论：对幂级数()∑∞=-10n nn z z C 而言，一定存在某一圆R z z <-0，使得该幂级数在此圆内绝对收敛，在此圆外发散.达朗贝尔比值判别法——若 λ=+∞→n n n C C 1lim ，则幂级数()∑∞=-10n nn z z C 的收敛半径λ1=R .柯西根值判别法——若 λ=∞→nnn C lim ，则幂级数()∑∞=-10n nn z z C 的收敛半径λ1=R .例3. 求级数∑∑∑∞=∞=∞=1210,,n nn nn nn z nzz 的收敛半径. 例4.求级数()∑∞=-11n nnz 的收敛半径.说明：达朗贝尔比值判别法与柯西根值判别法都只是充分条件，而非必要条件. 例5. 把函数z 1表示成形如()∑∞=-02n nn z c 的幂级数. 性质 (1)幂级数()∑∞=-00n nn z z C 的和函数在收敛圆内一定解析；(2)在收敛圆内，幂级数()∑∞=-00n nn z z C 可以逐项积分或求任意阶导数，所得到的幂级数在该圆内也收敛，且相应的和函数即为对幂级数()∑∞=-00n nn z z C 的和函数进行积分或求相应阶导数所得的结果.例6 求幂级数∑∞=12n nz n 的和函数，并计算级数∑∞=122n n n 之值.§3. 泰勒级数定理6 (泰勒定理) 设函数()z f 在区域D 内解析，0z 为D 内的一点，设R 为0z 到D 的边界的距离，则当R z z <-0时，()z f 可展为幂级数()()∑∞=-=00n nn z z C z f 其中()() 2,1,0!10==n z f n C n n .称该幂级数为()z f 在区域D 内以0z 为心的泰勒级数.说明:1.复变函数展开为泰勒级数的条件要比实函数时弱得多; (想一想, 为什么?);, , )( .200z d z d D z f -=αα即之间的距离一个奇点到最近等于则内有奇点在如果4.任何解析函数在一点的泰勒级数是唯一的. 结论：函数在()z f 点0z 解析的充分必要条件是在0z 点()z f 可展成幂级数.根据结论，解析函数()z f 在点0z 可展成泰勒级数，其展开法分别是直接展开法和间接展开法.直接展开法是指由泰勒展开定理计算系数间接展开法是指借助于一些已知函数的展开式 , 结合解析函数的性质, 幂级数运算性质 (逐项求导, 积分等)和其它数学技巧 (代换等) , 求函数的泰勒展开式.例7．将()0==z e z f z在处展开为泰勒级数.例8. 将()0sin ==z z z f 在处展开为泰勒级数.;,0.30级数级数也可称为麦克劳林时当=z,2,1,0,)(!10)(==n z f n c n n .)( 0展开成幂级数在将函数z z f例9．将()z z f -=11在z =0的邻域展开.例10. 求函数()0112=+=z zz f 在的邻域内的泰勒展开式.例11. 例12. 求函数()21-=z z f 在1-=z 的邻域内的泰勒展开式.例13.将函数()()211z z f -=展开为i z -的幂级数.例14.求对数函数ln (1+z )在z =0处的泰勒展开式.例15. 将函数()ze zf -=11展开为z 的幂级数.§4. 洛朗级数引例求函数()122-+-=z zz z f 的展开式..0arctan 的幂级数展开式在求=z z定理7 设函数()z f 在环域201R z z R <-<内解析，则()z f 在此环域内一定可以展成()()∑∞-∞=-=n n n z z C z f 0，其中()()() 2,1,02110±±=-=⎰+n d z f i C C n n ςςςπ.C 为此环域内绕0z 的任意一条简单闭曲线. 称此级数为环域内的解析函数的洛朗级数. 说明:环域201R z z R <-<内的解析函数则()z f 在此环域内一定可以展成惟一的洛朗级数. 例16．将函数 ()()()211--=z z z f分别在圆环域(1)10<<z ;(2)21<<z ;(3)+∞<<z 2内展开为洛朗级数.例17. 将函数()2z shz z f =在+∞<<z 0内展开为洛朗级数.例18. 试求()211z z f +=以z =i 为中心的洛朗级数.。

复数项级数

n0
f
(n) (z0 ) n!
(z
z0 )n
,
且展开式是唯一的。
(| z z0 | R)
上式称为f (z)在z0 的泰勒展开式。
三、解析函数的泰勒展开式
（二）泰勒级数
幂级数
n0
f
(n) (z0 ) n!
(z
z0 )n
称为
f (z)在z0的泰勒级数。
当 z0 0时, f (z)在z0 处的泰勒展开式为
f (z) f (0) f (0) z f (0) z 2 f (n) (0) z n
1!
2!
n!
f (n) (0) z n ,
(| z | R)
n0 n!
上式称为f (z)的麦克劳林展开式。
幂级数
f (n) (0) zn 称为 f (z)的麦克劳林级数。
n0 n!
（三）将函数展开为幂级数
cn n
1
z n1
.
三、解析函数的泰勒展开式
（一）泰勒定理
设 f (z)在以z0为圆心, R为半径的圆| z z0 | R 内解析, 则在此圆内, f (z)可以展开成幂级数
f (z)
f (z0 )
f
(z0 1!
)
(
z
z0
)
f
(z0 2!
)
(z
z0
)2
f
(n) (z0 ) n!
(z
z0 )n
n0
称为幂级数。
当a 0 时幂级数的形式是:
cn z n c0 c1z c2z 2 cn z n
n0
例1
求等比级数 zn 1 z z2 zn

复数项级数和复数序列

第四章级数第一节级数和序列的基本性质1、复数项级数和复数序列：复数序列就是：,...,...,,222111n n n ib a z ib a z ib a z +=+=+=在这里，n z 是复数，,Im ,Re n n n n b z a z ==一般简单记为}{n z 。

按照|}{|n z 是有界或无界序列，我们也称}{n z 为有界或无界序列。

设0z 是一个复常数。

如果任给0>ε，可以找到一个正数N ，使得当n>N 时ε<-||0z z n , 那么我们说}{n z 收敛或有极限0z ，或者说}{n z 是收敛序列，并且收敛于0z，记作 0lim z z n n =+∞→。

如果序列}{n z 不收敛，则称}{n z 发散，或者说它是发散序列。

令ib a z +=0，其中a 和b 是实数。

由不等式||||||||||0b b a a z z b b a a n n n n n -+-≤-≤--及容易看出，0lim z z n n =+∞→等价于下列两极限式： ,lim ,lim b b a a n n n n ==+∞→+∞→ 因此，有下面的注解：注解1、序列}{n z 收敛（于0z ）的必要与充分条件是：序列}{n a 收敛（于a ）以及序列}{n b 收敛（于b ）。

注解2、复数序列也可以解释为复平面上的点列，于是点列}{n z 收敛于0z ，或者说有极限点0z 的定义用几何语言可以叙述为：任给0z的一个邻域，相应地可以找到一个正整数N ，使得当n>N 时，n z在这个邻域内。

注解3、利用两个实数序列的相应的结果，我们可以证明，两个收敛复数序列的和、差、积、商仍收敛，并且其极限是相应极限的和、差积、商。

复数项级数就是 ......21++++n z z z或记为∑∞+=1n n z，或∑n z ，其中n z是复数。

定义其部分和序列为： n n z z z +++=...21σ如果序列}{n σ收敛，那么我们说级数∑n z 收敛；如果}{n σ的极限是σ，那么说∑n z 的和是σ，或者说∑n z 收敛于σ，记作 σ=∑∞+=1n n z，如果序列}{n σ发散，那么我们说级数∑n z 发散。

第4章级数1

n 1
n 1
(注意: 此处的绝对值符号表示’模’)
绝对收敛。
（5）定义5：若 | n | 发散，且 n 收敛，则称
n1
n 1
n 条件收敛。
n 1
|n | 收敛
绝对收敛
n
n1
n1
n n1
:
n1
|
n
| 发散
n1
收敛
n
n
1
发散
n
条件收敛
n
n1
上一页返回 ╬
n (an ibn )
|
cn
|
返回 ╬
[例1]求下列幂级数的收敛半径及收敛圆：
（1）
n! z n（2）
1 zn（3）
zn
n0
n0 n!
n0
解：
（1） R lim n! lim 1 0, 收敛圆域为点圆； n (n 1)! n n 1
（2） R lim 1/ n! lim (n 1) ,收敛圆域为整个复平面； n 1/(n 1)! n
n 1
n1 n 2
R
lim
n
1
1/ /(n
n2 1)
2
1,
收敛圆域 | || z 1| 1
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作业
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三、幂级数的运算
１、加减法、乘法
设： f (z) an zn ，收敛半径为 r1 n0 g(z) bn zn ，收敛半径为 r2 n0
则：在 z R min(r1, r2)内有：
n
存在的充分必要条件为
lim
n
an
,
lim
n
bn
都存在。即
lim
n
n

第1篇复变函数论-第3章复变函数级数

第3章复变函数级数Anhui University第一章采用微分研究解析函数，第二章采用积分研究解析函数。

级数也是研究解析函数的重要工具，从另外一个侧面揭示解析函数的本质,从而进一步认识解析函数。

中心目标：解析函数与无穷级数的关系。

具体内容：1.有关复级数的概念、性质、定理；2. taylor级数与解析函数的关系及展开方法；3. 洛朗级数和奇点存在的关系及展开方法；4. 孤立奇点的分类3.1 复级数一. 复数项级数1. 复数项级数定义：2. 复数项级数收敛：lim Re lim Re ,Im lim Im .n n n n n n S S S S S S →∞→∞→∞=⇔==注意：复级数可归结为两个实级数的研究。

3. 复数项级数收敛的充要条件：4. 收敛的必要条件：二. 复变函数项级数1.定义：2.收敛与发散：3.一致收敛：4.一致收敛级数的主要性质及判别法则：（1）和函数连续；（2）逐项积分；（3）逐项可导；（4）判别法则；3.2 幂级数一. 幂级数的定义二. 幂级数的敛散性1. 阿贝尔（Abel）定理：2. 推论：3. 收敛圆与收敛半径：4. 收敛半径的计算方法：(1).比值法：1lim ||k k k a R a →∞+=(2).根式法：(3).奇点法：1lim ||k k k R a →∞=0kk z∞=∑求下列幂函数的收敛半径例1. 31k k z k ∞=∑例2. 311lim lim 1k k k k a k a k →∞→∞++⎛⎞==⎜⎟⎝⎠解：注：收敛半径R =1, 也就是级数在圆|z |<1内收敛, 在圆周外发散。

在圆周上发散注：所以收敛半径R =1, 也就是原级数在圆|z |=1内收敛。

在圆周|z |=1上, 级数是收敛的, 因为这是一个p 级数, p =3>1,所以原级数在收敛圆上是处处收敛的。

ln 1k k k kz ∞=∑例3. 2ln 1ln 1ln()(ln )ln ln()01lim ||lim()lim lim lim 1.||k k k k k k k k k k k k k k k k k R k e e e e a −−−−→∞→∞→∞→∞→∞=======解：由根式法：,61)(02∑∞==−+=n nn z C z z z f 2;R =解：由奇点法可锝（1）的收敛半径,)(61)(02∑∞=−=−+=n nn i z C z z z f 例4. 5R =解：由奇点法可锝（2）的收敛半径即（0,0）到（2,0）之间距离。

4-1复数项级数和幂级数

18
n 2 c ( z a ) c c ( z a ) c ( z a ) n 0 1 2 n 0

收敛半径的计算方法
cn 1 方法1（比值法）如果 lim ，则 n c n
(1) 0,
n c z n 在复平面内处处收敛, 即 R . n 0
9
绝对收敛级数的性质(定理4)
如果 n 收敛, 那末 n 也收敛.
n 1 n 1

且有不等式

n 1

n
n 成立.
n 1

n绝对收敛 an与 bn绝对收敛.
n 1 n 1 n 1

10
例1
解
π 1 in 数列 n (1 )e 是否收敛？ n
n 0
g( z ) bn z n , R r2 .
n 0

f ( z ) g( z ) an z n bn z n (an bn ) z n ,
n 0 n 0 n 0
f ( z ) g( z ) ( an z n ) ( bn z n ),
n1 n1

lim an 0 和 lim bn 0 .
n n
所以复数项级数 n收敛的必要条件是
n1

lim n 0
n
8
类似于实数级数，引入绝对收敛概念如果 n 收敛, 那末称级数
n 1
n为绝对收敛.
n 1

非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数.

23
1 表成形如 cn ( z a )n 的幂例把函数 zb n 0

复变函数知识点

复变函数知识点一、复数的基本概念。

1. 复数的定义。

- 设x,y∈ R，称z = x+iy为复数，其中i为虚数单位，满足i^2=- 1。

x称为复数z的实部，记作x = Re(z)；y称为复数z的虚部，记作y = Im(z)。

2. 复数的相等。

- 两个复数z_1=x_1+iy_1和z_2=x_2+iy_2相等，当且仅当x_1=x_2且y_1=y_2。

3. 复数的共轭。

- 对于复数z = x + iy，其共轭复数¯z=x-iy。

共轭复数具有性质：z¯z=x^2+y^2，Re(z)=frac{z + ¯z}{2}，Im(z)=frac{z-¯z}{2i}等。

二、复数的四则运算。

1. 加法与减法。

- 设z_1=x_1+iy_1，z_2=x_2+iy_2，则z_1± z_2=(x_1± x_2)+i(y_1± y_2)。

2. 乘法。

- z_1z_2=(x_1+iy_1)(x_2+iy_2)=x_1x_2-y_1y_2+i(x_1y_2+x_2y_1)。

3. 除法。

- frac{z_1}{z_2}=frac{x_1+iy_1}{x_2+iy_2}=frac{(x_1+iy_1)(x_2-iy_2)}{(x_2+iy_2)(x_2-iy_2)}=frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2}+ifrac{x_2y_1-x_1y_2}{x_2^2+y_2^2}（z_2≠0）。

三、复数的几何表示。

1. 复平面。

- 复数z = x+iy可以用复平面上的点(x,y)来表示，其中x轴称为实轴，y轴称为虚轴。

2. 复数的模与辐角。

- 复数z = x + iy的模| z|=√(x^2)+y^{2}，它表示复数z在复平面上对应的点到原点的距离。

- 复数z≠0的辐角θ满足z=| z|(cosθ + isinθ)，辐角不唯一，Arg(z)=θ + 2kπ，k∈ Z，其中θ∈(-π,π]称为z的主辐角，记作θ = arg(z)。

4.1级数的基本性质

由于当 z 1时,
lim
n
sn
lim 1 zn n 1 z
1 1
z
,
所以当 z 1时级数收敛.
复数项级数收敛的等价条件
设S a ib为复数.
复数项级数 zn收敛于S n1
an a, bn b .
n1
n1
复数项级数收敛的必要条件
复数项级数 zn收敛于S的必要条件为 n1
lim
则称{zn}收敛于z0，记作
lim
n
zn
z0.
如果序列{zn}不收敛,则称{zn}发散,或称{zn}为发散序列.
复数序列收敛的等价条件
设z0 a ib为复数. 复数列 {zn} (n 1, 2, ) 收敛于 z0
lim
n
an
a,
lim
n
bn
b.
即序列 {zn} 收敛于 z0 的充要条件是{an}收敛于a 与{bn}收敛于b.
n1 n!
解
因为
(8i)n 8n ,
n! n!
所以由正项级数的比式判别法知:
8n 收敛,
n1 n! 故原级数收敛, 且为绝对收敛.
例7
级数
[(1)n n1 n
1 2n
i]是否绝对收敛？
解因为 (1)n 收敛; n1 n
n1
1 2n
也收敛,
故原级数收敛.
但 (1)n 为条件收敛,
n
fn(z) S(z) ,
k 1
或
fn(z) f (z) ,
则称复函数级数 fn (z),或复序列{ fn (z)}在E上 n1
一致收敛于S(z)或f (z).
定义4.1.1 如果 0, N N ,当n N, z E时,

复数项级数

复数项级数

复数项级数与幂级数

4.1复数项数列、复数项级数

【工程数学】复变函数复习重点

复数项级数

第七次复数项级数、幂级数

第九讲 复数项级数

09第四章解析函数的级数表示

复数项级数

复数项级数和复数序列

第4章级数1

第1篇 复变函数论-第3章 复变函数级数

4-1复数项级数和幂级数

复变函数 知识点

4.1级数的基本性质

第九讲复数项级数

第1篇复变函数论-第3章复变函数级数

复变函数知识点