稳恒磁场习题册答案

I
R R
r
K B
K dB
I .
dI
K B
K B 的方向与 I 成右螺旋
0 < r < R,
B =
μ 0 Ir
r > R,
I R
2π R 2 μ0I B = 2π r
μ0I
2π R
B
o R
r
例
无限大均匀带电(线密度为i)平面的磁场
μ 0i
d
B
i
b
2
c
a
o
r
解
K K b ∫ B ⋅ d l = 2∫ B ⋅ dl = 2 B ab = μ0i ab
K K ∫S B ⋅ d S = 0
2）高斯定理法
例 如图载流长直导线的电流为 I , 试求 通过矩形面积的磁通量. μ0 I B= 解 K 2π x B μ0I dΦ = BdS = ld x 2π x l I K K μ0 Il d2 dx Φ = ∫S B ⋅ dS = ∫d1 d1 2π x d2 μ 0 Il d 2 Φ= ln o x 2π d1
P* K
r
θ
K Id l
例 判断下列各点磁感强度的大小.
1 8 7
×
2
×3
1、5点 ：d B = 0 3、7点 ：dB =
K Idl
R
6 5
×
μ 0 Id l
4 π R2
4
K K K μ 0 Id l × r dB = 3 4π r
2、4、6、8 点 ： μ 0 Idl 0 dB = sin 45 2 4πR 毕奥－萨伐尔定律
注意 电流 I 正负的规定 ： I 与 L 成右螺 旋时，I 为正；反之为负.
I1
G 注意： 1. B 由所有电流共同产生 但安培环路定理表达式中 的电流强度是指穿过闭合 曲线的电流，不包括闭合 曲线以外的电流。
I3
I2
2. 仅适用稳恒电流产生的磁场
二 安培环路定理的应用举例
K 解 （1） 对称性分析：环内 B 线为同心 K 圆，环外 B 为零.
K K B ⋅ d l = B ⋅ ab = μ nI ⋅ ab 0 ∫
L
例、同轴电缆的内导体圆柱半径为R1，外导体圆筒内外半 径分别为R2、 R3，电缆载有电流I，求磁场的分布。 解：同轴电缆的电流分布具有轴对称 性在电缆各区域中磁力线是以电缆轴线为 对称轴的同心圆。
I I r R3 R1 R2
2πa
I
x
C
o
θ1
×
K B P
半无限长载流长直导线
y
π θ1 → 2 θ2 → π
BP =
μ0I
4πa
无限长载流长直导线的磁场
B=
μ0I
2πa
I B
I
X
B
电流与磁感强度成右螺旋关系
[例] 无限长薄铜片，宽为a，电流I，求 铜片中心线上方之 B 。 解：一个细窄条相当于一个直电流
y p y
G dB
G E线出自正电荷，收于负电荷
G G ∫∫s E ⋅ dS = qs内 / ε 0
静电场为有源场！
磁场和电场的比较
G G ∫∫ B ⋅ dS = 0
S
G B线无头无尾
磁场为无源场！
磁场与电场不同的原因：自然界无磁单极
计算磁通量的两种方法：
1）定义法（适用于规则平面）
K K Φ = ∫s B ⋅ dS
二、磁场的描述 根据运动电荷在磁场中受力情况来描 述磁场。
实验结论： 1.
G v =0
规定
G 则 一般 F ≠ 0 ， G 但（p点）沿某特定直线运动，则 ， F =0 G 该直线（零力线） B // p
G G F = 0 ，v ≠ 0
2.
G G G G F ⊥ v , F ⊥ B.
G G q →−q ⇒F →−F
d
例
求载流螺绕环内的磁场
R
（2）选回路 K K ∫l B ⋅ d l = 2π RB = μ0 NI μ0 NI B= 2π R 令 L = 2 πR B = μ0 NI L 当 2R >> d 时，螺绕环内 可视为均匀场 .
d
R
例
无限长圆柱面电流的磁场。
I
R
解： 对称性分析结论： 磁场沿回路切线，各点大小相等
dq = σ 2 π rdr
r
ω
v = ωr
dr
2 μ 0σω R μ 0σω R dr = B= ∫ 0 2 2
dB =
μ 0σω
dr
7-3 磁通量 磁场中的高斯定理
一
K 切线方向—— B 的方向； K 疏密程度—— B 的大小.
I I I
磁感线
I S N S I N
二 磁通量 磁场的高斯定理 K ΔN ΔS B B=
r < R1时, 取沿半径 r 的磁感应线为环路
K K ∫ B ⋅ dl = μ 0 ∑ I
I 2 B 2π r = μ 0 π r π R 12 μ 0 Ir . B = 2 2π R 1
R1< r < R2 , 同理
R3
R1
R2
K K ∫ B ⋅ dl = μ 0 ∑ I
I I r
B ⋅ 2π r = μ 0 I
I
B0 =
μ0 I
2R
推 广 组 合
(3) I R
×
(2)
R o×
B0 =
μ0 I
4R
μ 0 Iθ B0 = 2 R 2π
o
(4) d (5) I
BA =
*A
μ0 I
4πd
B0 =
R1
μ0 I
4 R2 −
−
μ0 I
4 R1
R2
* o
μ0 I
4 π R1
三 运动电荷的磁场
K K K μ0 Idl × r dB = 4 π r3 K K K Id l = j S d l = nS d lq v K K K μ 0 nSdlqv × r dB = 4π r3 d N = nS d l
K dB
K Id l
K dB
K r
I
P* K
r
θ
K Id l
1）磁感强度的大小
dB =
μ 0 Idl sin θ
4π r2
磁感强度的方向
由右手螺旋关系确定
K Idl
K dB
2）当电流元与位置矢量在同一 直线上时，磁感为零 3）定律无法直接用实验来验证
K r
K dB
I
P*K θ IdlK r
4） 任意载流导线在点 P 处的磁感强度 K K K K dB Id l B = ∫ dB K r K K μ 0 I dl × r I K = ∫ 3 dB 4π r
l
B=
μ 0i
2
a
例、求载流无限长直螺线管内任一点的磁场
取L矩形回路, ab 边在轴上， 边cd与轴平行,另两个边垂直 于轴。
I
G ˆ B = Bz z
a b
K K ∫ B⋅dl = Bab ⋅ ab− Bcd ⋅ cd= 0
L
Bab = Bcd = B
d， P”
c，
同理可证，无限长直螺线管外任一点的磁场为零。 选矩形回路c’d’边在管外。
（ 2 x + R ）2
3
N μ 0 IR 讨 B= N 3 （ ）若线圈有 匝 1 2 2 论 （ 2 x + R）2
2
x = 0 B= （2）
R
μ0 I
2R
r
x
o
I
x >>R K （3） 2 B μ 0 IR *p x B= ， 3 2x μ 0 IS B= 2 π x3
(1) I
K R B0 x o
θ θ r
μ 0 dI μ 0 Idx dB = = 2π r 2π r a
B = ∫ dBx = ∫ dB ⋅ cosθ
o x dx
μ 0 Idx =∫ ⋅ cosθ 2π r a
r= x +y
2 2
y cosθ =
x +y
2
2
μ 0 Iy dx B= 2 2 ∫ x +y 2π a
a 2 a − 2
μ0I B = 2π r
R2< r < R3 ,
K K ∫ B ⋅ dl = μ 0 ∑ I
B ⋅ 2π r ⎡ I π ( r 2 − R 22 ) ⎤ = μ0⎢I − 2 2 ⎥ R R π ( − 3 2 ⎦ ⎣
K j
S
dl
运动电荷的磁场 K K K K d B μ0 qv ×r = B= 3 d N 4π r 适用条件 v << c
q+
K v Kθ K r ×B
−q
K r
θ
K v
K B
R
o
σ
ω
例 半径为 R 的带电薄圆盘的电荷 面密度为 σ , 并以角速 度ω 绕通过盘心垂直 于盘面的轴转动 ，求 圆盘中心的磁感强度.
7-1 磁场 磁感强度 一 磁场 1 磁铁的磁场 N、S极同时存在； 同名磁极相斥，异名磁极相吸.
N S N S
磁
铁
磁场
磁
铁
2 电流的磁场 奥斯特实验 电 流 磁场 电 流
3 磁现象的起源 运动电荷 磁场 运动电荷
4 磁场的重要表现 • 力的表现 磁场对运动电荷或者载流导线有 力的作用 • 功的表现 载流导线在磁场中运动时，磁场施 于载流导线的力做功
解法一
圆电流的磁场 ω dI = σ 2 π rdr = σω rdr 2π σ R μ0dI μ0σω = dr dB = o 2r 2 r R μ σω μ σω R 0 0 dr B= dr = ∫ ω 2 0 2 K K σ < 0, B 向内 σ > 0, B 向外
解法二
σ R
o
运动电荷的磁场 μ 0 dqv d B0 = 4 π r2
dB =
μ 0 Id l
2
o
ϕ
4π r x dB = μ 0 I cos α dl x 2 4π r
dBx =
K Id l
R
μ0 I cos αdl
4π r
2
cos α d l B= 2 ∫ l 4π r
ϕ
*p
μ0 I
r
x
K dB
α
B=
B=
μ0 IR
4πr
2
3 0
2 2
∫
2π R
dl
o
ϕ
x
μ0 IR
D
θ2
μ0
dz θ K
I
B=
K dB
*
z
θ1
r
=
μ0 I
∫ 4πa θ
μ0I
θ2
1
sin θ d θ
x
Cห้องสมุดไป่ตู้
o a
P
y
K B 的方向沿 x 轴的负方向
4πa
(cosθ1 − cosθ2 )
B=
z
D
μ0 I
4πa
θ2
(cos θ1 − cos θ 2 )
无限长载流长直导线
θ1 → 0 θ2 → π
B=
μ0I
ΔS ⊥
K 磁场中某点处垂直 B 矢量的单位面积上 K 通过的磁感线数目等于该点 B 的数值.
s⊥
θ
s
K B
θ
K en
K B
磁通量：通过 某曲面的磁感线数 匀强磁场下，平 面S的磁通量为： K K K K Φ = B ⋅ S = B ⋅ enS
Φ = BS cosθ = BS⊥
K B
K dS
θ
K B
二 毕奥－萨伐尔定律应用举例
例 载流长直导线的磁场. z 解 dB = θ
2
D
μ0 Idz sin θ
4π r
2
dz
I
θ
z
θ1
K r
*
K dB
K dB 方向均沿
x 轴的负方向
x
C
o a
P
y
Idz sinθ B = ∫ dB = ∫CD 2 4π r
μ0
Idz sinθ z = −a cotθ , r = a / sinθ B = ∫ dB = ∫ 4 π CD r 2 2 dz = adθ / sin θ z
即
G G G F⊥v , B
构成之平面。
3.
G F ∝ qv sin θ
G F
qv sin θ
与 q , v,θ 无关，只与位置有关。
的方向，与静止在该处的小磁针N极所指方 向一致 磁感强度大小:
K 当正电荷垂直于 特定直线运动时,受力 Fmax K K K 将 F ×v 在磁场中的方向定义为该点的 B max
例 在一无限长直载流导线旁，放一直角三角 形线圈与其共面，求通过该线圈的磁通量。
7- 4 安培环路定理 一、安培环路定理
∫
n K K B ⋅ dl = μ 0 ∑ Ii i =1
K 在真空的恒定磁场中，磁感强度 B 沿任一闭合路径的积分的值，等于 μ 0 乘以 该闭合路径所穿过的各电流的代数和.
s
一般情况 K K Φ = ∫s B ⋅ d S
K B
K dS2
S
K dS1
θ1
θ2
K B2
K B1
K K dΦ1 = B1 ⋅ dS1 > 0 K K dΦ2 = B2 ⋅ dS2 < 0
∫ B cos θ d S = 0
S
磁场高斯定理
K K ∫S B ⋅ d S = 0
物理意义：通过任意闭合曲面的磁通 量必等于零（故磁场是无源的）.
K 磁感强度 B 的定义：
Fmax B= qv
SI 中 B 之单位为特斯拉 (T) 1T = 1N /( A ⋅ m )
7-2 毕奥—萨伐尔定律 一 定律内容 (电流元在空间产生的磁场) K K K μ0 Idl × r dB = 3 4π r 真空磁导率 −7 −2 μ0 = 4 π×10 N ⋅ A
y p y
G dB
θ θ r
x
μ0 I a = arctan πa 2y
y << a ⇒B=
o x dx
μ0 I
2a
对应于无限大面电流产生的磁场！
例 圆形载流导线轴线上的磁场. 解
K Id l
R
B = Bx = ∫ dB sin ϕ
cos α = R
r
x
ϕ
*p
K dB
α
r r 2 = R2 + x2
G G ∫ B ⋅ dl = B 2πr = μ0 I
l
G dB ′
r
G dB
P
μ0 I B= (r > R) 2π r
B = 0 (r < R)
dI o dI ′
B
μ0 I 2π R
r
R
o
例 无限长载流圆柱体的 磁场 解 （1）对称性分析 L （2） r > R μ0 I K K B= B ⋅ d l = μ I 0 ∫l 2π r K K π r2 0 < r < R ∫ B ⋅ d l = μ0 2 I l πR μ0 Ir B= 2 2π R