稳恒磁场习题册答案

K j
S
dl
运动电荷的磁场 K K K K d B μ0 qv ×r = B= 3 d N 4π r 适用条件 v << c
q+
K v Kθ K r ×B
−q
K r
θ
K v
K B
R
o
σ
ω
例 半径为 R 的带电薄圆盘的电荷 面密度为 σ , 并以角速 度ω 绕通过盘心垂直 于盘面的轴转动 ，求 圆盘中心的磁感强度.
l
B=
μ 0i
2
a
例、求载流无限长直螺线管内任一点的磁场
取L矩形回路, ab 边在轴上， 边cd与轴平行,另两个边垂直 于轴。
I
G ˆ B = Bz z
a b
K K ∫ B⋅dl = Bab ⋅ ab− Bcd ⋅ cd= 0
L
Bab = Bcd = B
d， P”
c，
同理可证，无限长直螺线管外任一点的磁场为零。 选矩形回路c’d’边在管外。
s
一般情况 K K Φ = ∫s B ⋅ d S
K B
K dS2
S
K dS1
θ1
θ2
K B2
K B1
K K dΦ1 = B1 ⋅ dS1 > 0 K K dΦ2 = B2 ⋅ dS2 < 0
∫ B cos θ d S = 0
S
磁场高斯定理
K K ∫S B ⋅ d S = 0
物理意义：通过任意闭合曲面的磁通 量必等于零（故磁场是无源的）.
ΔS ⊥
K 磁场中某点处垂直 B 矢量的单位面积上 K 通过的磁感线数目等于该点 B 的数值.
s⊥
θ
s
K B
θ
K en
K B
磁通量：通过 某曲面的磁感线数 匀强磁场下，平 面S的磁通量为： K K K K Φ = B ⋅ S = B ⋅ enS
Φ = BS cosθ = BS⊥
K B
K dS
θ
K B
y p y
G dB
θ θ r
x
μ0 I a = arctan πa 2y
y << a ⇒B=
o x dx
μ0 I
2a
对应于无限大面电流产生的磁场！
例 圆形载流导线轴线上的磁场. 解
K Id l
R
B = Bx = ∫ dB sin ϕ
cos α = R
r
x
ϕ
*p
K dB
α
r r 2 = R2 + x2
μ0I B = 2π r
R2< r < R3 ,
K K ∫ B ⋅ dl = μ 0 ∑ I
B ⋅ 2π r ⎡ I π ( r 2 − R 22 ) ⎤ = μ0⎢I − 2 2 ⎥ R R π ( − 3 2 ⎦ ⎣
K 磁感强度 B 的定义：
Fmax B= qv
SI 中 B 之单位为特斯拉 (T) 1T = 1N /( A ⋅ m )
7-2 毕奥—萨伐尔定律 一 定律内容 (电流元在空间产生的磁场) K K K μ0 Idl × r dB = 3 4π r 真空磁导率 −7 −2 μ0 = 4 π×10 N ⋅ A
7-1 磁场 磁感强度 一 磁场 1 磁铁的磁场 N、S极同时存在； 同名磁极相斥，异名磁极相吸.
N S N S
磁
铁
磁场
磁
铁
2 电流的磁场 奥斯特实验 电 流 磁场 电 流
3 磁现象的起源 运动电荷 磁场 运动电荷
4 磁场的重要表现 • 力的表现 磁场对运动电荷或者载流导线有 力的作用 • 功的表现 载流导线在磁场中运动时，磁场施 于载流导线的力做功
G E线出自正电荷，收于负电荷
G G ∫∫s E ⋅ dS = qs内 / ε 0
静电场为有源场！
磁场和电场的比较
G G ∫∫ B ⋅ dS = 0
S
G B线无头无尾
磁场为无源场！
磁场与电场不同的原因：自然界无磁单极
计算磁通量的两种方法：
1）定义法（适用于规则平面）
K K Φ = ∫s B ⋅ dS
K K B ⋅ d l = B ⋅ ab = μ nI ⋅ ab 0 ∫
L
例、同轴电缆的内导体圆柱半径为R1，外导体圆筒内外半 径分别为R2、 R3，电缆载有电流I，求磁场的分布。 解：同轴电缆的电流分布具有轴对称 性在电缆各区域中磁力线是以电缆轴线为 对称轴的同心圆。
I I r R3 R1 R2
θ θ r
μ 0 dI μ 0 Idx dB = = 2π r 2π r a
B = ∫ dBx = ∫ dB ⋅ cosθ
o x dx
μ 0 Idx =∫ ⋅ cosθ 2π r a
r= x +y
2 2
y cosθ =
x +y
2
2
μ 0 Iy dx B= 2 2 ∫ x +y 2π a
a 2 a − 2
解法一
圆电流的磁场 ω dI = σ 2 π rdr = σω rdr 2π σ R μ0dI μ0σω = dr dB = o 2r 2 r R μ σω μ σω R 0 0 dr B= dr = ∫ ω 2 0 2 K K σ < 0, B 向内 σ > 0, B 向外
解法二
σ R
o
运动电荷的磁场 μ 0 dqv d B0 = 4 π r2
I
R R
r
K B
K dB
I .
dI
K B
K B 的方向与 I 成右螺旋
0 < r < R,
B =
μ 0 Ir
r > R,
I R
2π R 2 μ0I B = 2π r
μ0I
2π R
B
o R
r
例
无限大均匀带电(线密度为i)平面的磁场
μ 0i
d
B
i
b
2
c
a
o
r
解
K K b ∫ B ⋅ d l = 2∫ B ⋅ dl = 2 B ab = μ0i ab
注意 电流 I 正负的规定 ： I 与 L 成右螺 旋时，I 为正；反之为负.
I1
G 注意： 1. B 由所有电流共同产生 但安培环路定理表达式中 的电流强度是指穿过闭合 曲线的电流，不包括闭合 曲线以外的电流。
I3
I2
2. 仅适用稳恒电流产生的磁场
二 安培环路定理的应用举例
K 解 （1） 对称性分析：环内 B 线为同心 K 圆，环外 B 为零.
2πa
I
x
C
o
θ1
×
K B P
半无限长载流长直导线
y
π θ1 → 2 θ2 → π
BP =
μ0I
4πa
无限长载流长直导线的磁场
B=
μ0I
2πa
I B
I
X
B
电流与磁感强度成右螺旋关系
[例] 无限长薄铜片，宽为a，电流I，求 铜片中心线上方之 B 。 解：一个细窄条相当于一个直电流
y p y
G dB
r < R1时, 取沿半径 r 的磁感应线为环路
K K ∫ B ⋅ dl = μ 0 ∑ I
I 2 B 2π r = μ 0 π r π R 12 μ 0 Ir . B = 2 2π R 1
R1< r < R2 , 同理
R3
R1
R2
K K ∫ B ⋅ dl = μ 0 ∑ I
I I r
B ⋅ 2π r = μ 0 I
D
θ2
μ0
dz θ K
I
B=
K dB
*
z
θ1
r
=
μ0 I
∫ 4πa θ
μ0I
θ2
1
sin θ d θ
x
C
o a
P
y
K B 的方向沿 x 轴的负方向
4πa
(cosθ1 − cosθ2 )
B=
z
D
μ0 I
4πa
θ2
(cos θ1 − cos θ 2 )
无限长载流长直导线
θ1 → 0 θ2 → π
B=
μ0I
dB =
μ 0 Id l
2
o
ϕ
4π r x dB = μ 0 I cos α dl x 2 4π r
dBx =
K Id l
R
μ0 I cos αdl
4π r
2
cos α d l B= 2 ∫ l 4π r
ϕ
*p
μ0 I
r
x
K dB
α
B=
B=
μ0 IR
4πr
2
3 0
2 2
∫
2π R
dl
o
ϕ
x
μ0 IR
G G ∫ B ⋅ dl = B 2πr = μ0 I
l
G dB ′
r
G dB
P
μ0 I B= (r > R) 2π r
B = 0 (r < R)
dI o dI ′
B
μ0 I 2π R
r
R
o
例 无限长载流圆柱体的 磁场 解 （1）对称性分析 L （2） r > R μ0 I K K B= B ⋅ d l = μ I 0 ∫l 2π r K K π r2 0 < r < R ∫ B ⋅ d l = μ0 2 I l πR μ0 Ir B= 2 2π R
K K ∫S B ⋅ d S = 0
2）高斯定理法
例 如图载流长直导线的电流为 I , 试求 通过矩形面积的磁通量. μ0 I B= 解 K 2π x B μ0I dΦ = BdS = ld x 2π x l I K K μ0 Il d2 dx Φ = ∫S B ⋅ dS = ∫d1 d1 2π x d2 μ 0 Il d 2 Φ= ln o x 2π d1