重庆大学汽车控制理论及参考答案

汽车控制理论参考答案

一. 解释下列名词：

1. 传递函数：（3）

在外界输入作用前,输入、输出的初始条件为零时，线性定常系统的输出)(t y 的拉氏变换)(s Y 与输入)(t x 的拉氏变换)(s X 之比，称为该系统的传递函数。

2. 频率特性：（3）

输出信号与输入信号的幅值比为频率ω的非线性函数，叫做系统的幅频特性；而输出信号与输入信号的相位差ϕ也是频率ω的非线性函数，叫做系统的相频特性；幅频特性和相频特性总称为系统的频率特性。

3. 传递函数极点：（3）

使系统传递函数)(s G 的分母为零，)(s G 取极值的点，叫做传递函数的极点。

4. 状态方程：（3）

对于一个连续控制系统，通过向量表示法，可以将描述系统n 阶动态特性的微分方程表示成一阶矩阵微分方程，若向量分量是选定的状态变量，则上述一阶矩阵微分方程称为连续系统的状态方程。

5. 可控性：（3）【粗略地讲:可控性是指控制输入影响每一状态变量的能力；

可控性严格上说有两种，一种是系统控制输入U(t)对系统内部状态X(t)的控制能力，另一种是控制输入U(t)对系统输出y(t)的控制能力。但是一般没有特别指明时指的都是状态的可控性。】 如果在有限时间区间f t t t <<0内，存在一个任意取值的控制)(t u ，能使系统从初始状态值转移到任何另一状态，则称系统在0t t =是状态可控的；如果在有限时间内，对于任何0t 下的初态都可控，则称系统是完全可控的；如果有一个或n 个状态变量不可控，则称状态不可控。

6.状态转移矩阵（3）

表征系统从初始状态转移到任意状态的转换矩阵称为状态转移矩阵。

二 判断下列控制系统的可控性和可观性

1. 解：由题意 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2101A ，⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡=01B ，

则⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-=11AB (2分)

可控性判断矩阵： []⎥

⎦

⎤

⎢⎣⎡-==1011AB B

θ （4分） rank(θ)=2 故系统可控 （2分）

2. 解：由题意⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡--=2001A ，[]01=C ，

则[]01-=CA （2分）

可观性判断矩阵：⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0101CA C θ （4分）

rank(θ)=1, rank(θ)<2, 故系统不可观测 （2分）

三 写出下列微分方程的状态空间表达式

1. u y y y =++42

； 解：设状态变量：y x =1，y

x =2 则有21x y x

== （1） 12222

1

21)4(21x x u y y u y

x --=--== （2） 将（1）和（2）写成矩阵形式：

u x x x x X ⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢

⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=210212102121 （3） （6分） []⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡==21101x x x y （4） （4分）

式（3）为状态方程，式（4）为输出方程

2. u u y y y

+=++25 解：对方程两边进行拉氏变换得：

1

25)()(22+++=

s s s

s s U s Y （1） 引入中间变量Z ，得：

1

25)()()()(22+++=

s s s s s Z s U s Z s Y （2）

分解上式得：

1

251

)()(2++=s s s U s Z （3） s s s Z s Y +=2)

()

( （4） 对（3）和（4）式求逆拉氏变换得： u z z z

=++ 25 （5） z z y

+= （6） 选取变量：z x =1，z

x =2 由（5）得状态方程：

u x x x x X ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=510525

1

102

121 （6分） 由（6）得输出方程：

u x x z z u z z z u z z

y 5

1

535

1

515351)2(5121+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-+=+--=+= （4分）

四. 已知线性定常系统状态方程

)(1143102121t u x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣

⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ ，且⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=00)0(x ，试求系统状态变量)(t x 对单位阶跃函数1)(=t u 的状态响应。

解：已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=4310A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11B ，⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡=00)0(x

由拉氏变换关系求系统的状态转移矩阵：

[]

11)()(---==A sI L e t At φ

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡+-=-431s s A sI

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-+++=

--s s s s A sI 314)3)(1(1

)(1

⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎣⎡+-+---=--------t t t

t t t t t e e e e e e e e t 33332321232321212123)(φ （1）（8分） 状态响应为：⎰

-+=t

t A At d Bu e X e t X 0

)()()0()(τττ （2）

将（1）式代入（2）式得：

τττττττττd e

e e e e e e e t X t t t t t t t t t ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡+-+---=⎰

----------------112321232

32

1212123)(0)(3)()

(3)()(3)()

(3)( ⎥⎥

⎦

⎤⎢⎢⎣⎡-+-+-=----t t t t

e e e e 33213

1235 (8分)

五 图中所示为汽车半主动悬架的2自由度模型,试根据运动微分方程，写出系统的状态方程和输出方程。说明如何判断系统的稳定性。

d

状态变量：

21z x =，22z

x =，13z x =，14z x =

T x x x x X )(43

21=

输出变量：

21z

y = ，122z z y -=，013z z y -=

解：根据牛顿第二定律可写出系统的动力学方程为：

)()(12122z z c f z z k z

m s d s s -----= （1） )()()(1212011z z

c f z z k z z k z m s

d s t u -++-+--= （2） 根据设定的状态变量，有：

221x z x

==