上海财经大学2011年 数理统计试卷答案

H 0 : μ = 1, H 1 : μ = 2 ,
确定拒绝域为 W = { X > 1.5} ，求（1）此时犯第一类错误的概率 α 和犯第二类错误的概 率β ， （2）若 n = 9 的样本值为 1.8,1.7,1.4,1.5,1.9,2.0,1.7,1.7,1.6，问 H 0 是否成 立。 解： （1）当 H 0 成立时， n ( X − 1) ~ N (0,1) ，所以 (本题满分 12 分)
− 2.1, 3.2, 0, − 0.1, 1.2, − 4, 2.22, 2.0, 1.2, − 0.1, 3.21, − 2.1, 0
0 ，极差为 7.21 则样本中位数为 的样本，此时样本的中位数为 0.6 。 。若再加一个 2.7 构成一个容量为 14
3. 设 X 1 , X 2 , L, X n 和 Y1 , Y2 , L , Ym 是分别来自两个独立总体 N ( μ , 1) 和 N ( μ , 4) 的 样本，记 μ 的一个无偏估计为 T = a
2 2
[X ±
S n
t1−α / 2 (15)] = [2.1823, 2.2277] 。
2
8．设总体 X 服从正态分布 N ( μ , σ ) , μ 未知, σ 2 已知, 为使总体均值 μ 的 1 − α 置 信区间的长度不大于 L , 样本容量至少应取为 (
2u1−α / 2σ 2 ) 。 L
求未知参数 θ ∈ ( −∞, + ∞ ) 的矩估计量和极大似然估计量。 解：由 EX = 1 + θ 可得矩估计量为 X − 1 。
2
由 L(θ ) = exp{−
∑ (x
i
i
− θ )}, x (1) ≥ θ 可知，要似然函数达最大需 θ 达最小，从而其极
大似然估计量为 X (1) 。
θ > 0 未知。 2． 设 X 1 , X 2 ,L , X n 为总体 U (0, θ ) 的一个样本， 试比较 θ 的两个估计量 2 X
t 0.975 (35) = 2.0301 ， t 0.975 (36) = 2.0281 ， Φ ( 2.10) = 0.9821 ，
χ 02.95 (6) = 12.592, χ 02.95 (7) = 14.067, Φ (2.326) = 0.99 ， χ 02.95 (2) = 5.991, χ 02.95 (1) = 3.841. Φ (1.5) = 0.9332
EX ( n ) =
2
ຫໍສະໝຸດ Baidu
n n θ 2 可得其方差为 Var ( X ( n ) ) = θ2， 2 n+2 (n + 1) (n + 2)
Var (θ ' ) =
可知 θ ' =
θ2 1 θ 2 < Var (2 X ) = n(n + 2) 3n
n +1 X ( n ) 更有效。 n
3. 设 X 1 , X 2 ,L , X n 为总体 N ( μ , 1) 的样本，对假设
χ n2 =
所以认为有关系。
326(30 × 106 − 6 × 184) 2 ≈ 5.422 > 3.841 36 × 290 × 214 × 112
7. 按 Mendel 遗传定律，让开淡花的豌豆随机交配，子代可开出红花、淡红花和白花三 类，其比例为 1:2:1。为检验这一理论，安排一次试验得到三种颜色的株数分别为 26、 。 66、28，试检验这些数据与 Mendel 定律是否一致（ α = 0.05 ） 解：设开三种颜色的花的概率分别为 p1 , p2 , p3 ，则需检验 (本题满分 12 分)
x <θ ⎧0, 可得， X (1) 的密度函数为 ⎩1 − θ / x, x ≥ θ nθ n , y n +1 y ≥θ
g ( y, θ ) = np ( y )(1 − F ( y )) n −1 =
4
其分布函数为 G ( y, θ ) = 1 − θ / y ,
n n
y ≥θ ；
n
（3）因为 G ( y , θ ) 关于 θ 严减，故令 G ( X (1) , θ L ) = 1 − α 得 θ L = ……………………………………………………………装 订 线 …………………………………………………
9． 设 X 1 , X 2 L , X 11 是来自总体 N ( μ , σ ) 的一个样本, Q =
2
∑(X
i =1
11
i
− X ) 2 为样本偏差
平方和, 则其方差 D (Q ) = 20σ 4 。 10. 一支香烟中的尼古丁含量 X 服从正态分布 N ( μ , 1) ，质量标准规定 μ 不能超过
5
2 与 Sn 分 别 为 样 本 样 本 均 值 与 样 本 方 差 ， 则 概 率 P ( X > 2) 的 极 大 似 然 估 计 量 为
……………………………………………………………装 订 线 …………………………………………………
1 − Φ(
2− X ) 。 Sn
7．测量铝的比重 16 次，得样本均值 x = 2.205 ，无偏样本标准差 s = 0.029 。设测量结 参数 a, σ 未知， 则铝的比重 a 的置信度为 95%的置信区间为 果服从正态分布 N (a, σ ) ，
4．比较两种安眠药 A, B 的疗效，对 A, B 分别抽取 10 位失眠者为试验对象，设 X , Y 分别 为使用 A, B 后延长的睡眠时间（单位：h） ，计算两组样本数据的样本均值和样本方差分 别 为 x = 2.33, s1 = 4.132; y = 0.75, s 2 = 3.201 ， 假 设 X , Y 分 别 为 正 态 总 体
2 2
2 N ( μ1 , σ 12 ), N ( μ 2 , σ 2 ) ，试问 A, B 疗效有无显著差异。
(本题满分 10
分) 解： （1）先做方差齐一性检验。拒绝域为
2 2 {S12 / S 2 > F0.975 (9,9) = 4.03} ∪ {S12 / S 2 < F0.025 (9,9) = 1 / 4.03 = 0.25} ，
而 0.25 < S1 / S 2 = 1.29 < 4.03 ，可以认为方差相等。
2 2
（2）检验 H 0 : μ1 =
μ 2 , H 1 : μ1 ≠ μ 2 ，拒绝域为
⎧ ⎫ ⎪ ⎪ | X −Y | ⎪ ⎪ > t 0.995 (18) = 2.8784⎬ ⎨T = 1 1 ⎪ ⎪ + Sw ⎪ ⎪ n n 1 2 ⎩ ⎭
而 T = 1.845 < 2.8784 ，所以认为无显著差异。 5. 设 X 1 , X 2 ,L , X n 为总体 p ( x, θ ) = 信下限。 解： （1）由数值解法 θ 的极大似然估计量为 X (1) ； （2）由总体的分布函数 F ( x) = ⎨
θ
x2
试求参数 θ 的 1 − α 单侧置 , x ≥ θ 的一个样本， (本题满分 10 分)
得 分 一、填空题(每小题 3 分，共计 30 分)
1．为了了解某专业本科毕业生的就业情况，我们随机调查了某地区 30 名 2009 年毕业的该专业本科生实习期满后的月薪情况。那么研究总体是 某专业本科毕业生的就业情况,样本是 某地区 30 名 2009 年毕业的该专业本科生实习期 满后的月薪情况。 2．若从某总体中抽取容量为 13 的样本
和 X ( n ) ，讨论它们的无偏性、有效性和相合性。 解：由 E[ 2 X ] = θ 可知前者是无偏的，由 Var ( 2 X ) = (本题满分 10 分)
θ2
3n
可知其相合性。
由密度函数 x a n
x n −1
θ
n
， E[ X ( n ) ] =
n +1 n θ 可知其有偏性，修正为 θ ' = X ( n ) ，由 n n +1
诚实考试吾心不虚 ，公平竞争方显实力， 考试失败尚有机会 ，考试舞弊前功尽弃。
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上海财经大学《概率论与数理统计 II》课程考试卷（A）闭卷
课程代码 101182 课程序号 1005
2011-- 2012 学年第一学期 标准答案
1.5mg 。现从某厂生产的香烟中随机抽取 20 支测得其中平均每支香烟的尼古丁含量为 1.97 mg ，则为检验该厂生产的香烟尼古丁含量是否符合质量标准的规定，由上述观察
值可得检验的 p 值为 0.0179 。
得 分
二、计算题（共计 70 分）
1． 设 X 1 , X 2 ,L , X n 是密度函数为 f ( x; θ ) = e − ( x −θ ) , x ≥ θ 的总体的样本, (本题满分 10 分)
t 分布，参数为 2 。
则当 C =
2 时，统计量 Z 服从
5． u 检验和 t 检验都是关于
均值
的假设检验，当
方差
已知时，
1
用 u 检验，当
方差
未知时，用 t 检验。
2 2
6．设 X 1 , X 2 , L , X n 是 N ( μ , σ ) 分布总体 X 的样本，其中 μ , σ 均为未知参数。记 X
H 0 : p1 = 1 / 4, p 2 = 1 / 2, p3 = 1 / 4 (ni − npi 0 ) 2 2 2 ，相应拒绝域为 {χ n ≥ χ 1−α (3 − 1)} ，而 检验统计量为 χ = ∑ npi 0 i =1
2 n 3
2 χn = 1.267 < 5.991
所以认为二者一致。 附： t 0.975 (16) = 2.1199 ， t 0.975 (15) = 3.1315 ， Φ (1.97 ) = 0.9756 ，
α X (1) 。
6．下表是 1976 至 1977 年间在美国佛罗里达州 29 个地区发生的凶杀案中被告人被判死 刑的情况： 判死刑 白人 黑人 30 6 不判死刑 184 106
是否可以认为被害人肤色不同不会影响对被告的死刑判决 （ α = 0.05 ） 。 (本题满分 8 分)
2 解：此问题为 2 × 2 列联表独立性检验，相应拒绝域为 {χ n ≥ χ 12−α (1)} ，而
α = P0 ( X > 1.5) = 1 − Φ(0.5 n ) ，
当 H 1 成立时， n ( X − 2) ~ N (0,1) ，所以
3
β = P1 ( X ≤ 1.5) = Φ ( −0.5 n ) = 1 − Φ (0.5 n ) 。
（2）因为 x = 1.7 > 1.5 所以拒绝 H 0 。
∑ X i + b∑ Y j ， 则 a 和 b 应 满 足 条 件
i =1 j =1
n
m
an + bm = 1 ，当 a =
4 1 ，b = 时， T 最有效。 4n + m 4n + m
4．设 X 1 , X 2 , L, X 9 是正态总体的一个样本,记
Y1 =
1 1 ( X 1 + X 2 + L + X 6 ), Y2 = ( X 7 + X 8 + X 9 ), 6 3 9 1 S 2 = ∑ ( X i − Y2 ) 2 , Z = C (Y1 − Y2 ) / S , 2 i =7