第20讲 重叠问题(含解题思路和参考答案)

第20讲重叠问题（含解题思路与参考答案）

一、解题方法

1. 解答重叠问题，要用到数学中一个重要原理一一包含与排除原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计算，应从他们的和中排除重复部分。

2. 解答重叠问题的应用题，必须从条入手进行认真的分析，有时还要画出图示，借助图形进行思考，找出哪些是重复的，重复了几次，明确要求的是哪一部分，从而找出解答方法。

3. 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合与集合之间的关系，这种图称为韦恩图(也叫文氏图)。

例题1.两块一样长的木板搭在一起共长160厘米，中间重叠部分是20厘米，如图，这两块木板各长多少厘米？

解题思路：解题过程：

把等长的两块木板的一端搭起来，搭

在一起的长度就是重叠部分，重叠部分20

厘米，所以这两块木板的总长度是160+20

＝180（厘米），每块木板的长度是180÷2＝90（厘米）解：（160+20）÷2 ＝180÷2

＝90（厘米）

答：这两块木板各长90厘米。

巩固练习1. 把两根同样长的绳子的一端捆绑在一起，共长120厘米，两根绳子捆在一起的重叠部分长12厘米，原来两根绳子各长多少厘米？

2. 两块一样长的红条幅缝在一起，变成一块长条幅，现在这两块条幅共长22米，中间重叠部分长6分米，原来两块条幅各长多少分米？

3. 一根长80厘米的木棍，不小心被折成了长短不一的两段，现在把两段接起来，其中重叠部分长6厘米，两根木棍接起来后共长多少厘米？

例题2.三(2)班同学排队做操，每行人数相同，亮亮的位置从左数起是第5个，从右数是第4个，从前数是第2个，从后数是第4个。三(2)班共有多少人？解题思路：解题过程：

根据题意画右图。

由图可看出：亮亮的位置从左数起是

第5个，从右数是第4个，说明横有5+4

－1＝8（个）人；从前数是第2个，从后

数是第4个，说明竖行有2+4－1＝5（个）

人。所以二（3）班有8×5＝40（个）（说明：减“1”是因为亮亮重复数了一次）解：（5+4－1）×（2+4－1）＝8×5

＝40（人）

答：三（2）班共有40人。

巩固练习1. 同学们排队表演节目，每行人数同样多，小林的位置从左数是第6个，从右数是第1个，从前数是第3个，从后数狮第2个。表演的同学共有多少人？

2. 小红在一张方格纸上练字，它每行、每列写的同样多，＂国＂字的位置从上是第4个，从下数第5个，从左数、右数都是第3个。小红一共写了多少个字？

3. 同学们排队做操，每行、每列人数同样多，小兰的位置无论从前数，从后数，从左数、从右数都是第5个，做操的共有多少人？

例题3.三(4)班有学生48人，写完语文作业的有23人，写完数学作业的有29人。每人至少写完一项作业，问语文和数学作业都写完的有几人？

解题思路：解题过程：

根据题意画出右图：

图中重叠部分表示语文数学作业都做

完了的人数，把写完语文作业的人数和写

完数学作业的人数相加23+29＝52（人），

比全部总人数多2－48＝4（人）。这多出的

4人既在写语文的人数中算过，也在写数学的人数中算过，即表示语文和数学作业都写完的人数。解：（23+29）－48 ＝52－48

＝4（人）

答：语文和数学作业都写完的有4人。

巩固练习1. 三(1)班有60人，每人都参加了航模或书法课外兴趣小组，参加航模小组的有34人，参加书法小组的有40人。两种兴趣小组都参加的，有几人？

2. 26名同学参加舞蹈表演，每人至少拿一朵花，拿红色花的有15人，拿紫色花的有13种，两种花都拿的有几人？

3.一个班有50人，会下象棋的有26人，会下围棋的有21人，两种棋都不会的有8人，两种棋都会下的有多少人？

例题4.某班同学参加运动会，每人限报两项，其中40人参加了长跑，32人参加了跳高，既参加长跑，又参加跳高的有18人，这两项都没有参加的有20人。这个班共有学生多少人？

解题思路：解题过程：

根据题意画出右图：

由图中可以看出，从参加长跑的40人

与参加跳高的32人的和中减去重叠部分的

18人，再加上这两项都没有参加的20人，就是这个班的总人数。解：40+32－18+20 ＝72－18+20

＝74（人）

答：这个班共有学生74。

巩固练习1. 三(5)班的45人在期中考试中，语文得100分的有23人，数学得100分的有31人，只有6人语文数学都没有得100分。三(5)班的同学中语文、数学都得100分的有多少人？

2. 张老师给班级的60人出了两道题，其中只做对第一道的有32人，既做对第第一道题又做对第第二道题的有10人，两道题都没做对的有9人，只做对第二道题的有多少人？

3. ＂小明星＂艺术班的同学每人至少会三种才艺中的一种，其中既会唱歌又会画画的有13人，会唱歌的有26人，会画画的有19人，会弹钢琴的有8人，这个班共有多少人？

例题5. 美术课上老师给同学们发的红、黄、蓝三种颜色的彩纸共48张。发了红彩纸的同学有18人，发了黄彩纸的同学有24人，发了蓝彩纸的同学有20人；既发了红彩纸，又发了蓝彩纸的同学有6人，既发了红彩纸又发了蓝彩纸的同学有7人，既发了黄彩纸又发了蓝彩纸的同学有5人。问：这三种彩纸都发了的同学有几人？

解题思路：解题过程：

根据题意画出右图：

从图中可以看出：20－6＝14（人）

是除了有红彩纸外的有蓝彩纸的人数，

24－5＝19（人）是除了有蓝彩纸外的

有黄彩纸的人数，18－7＝11（人），是

除了有黄彩纸外的有红彩纸的人数，这三部分相加14+19+11＝44（人）是除了中间重叠的既有红、黄、蓝三种彩纸以外的总人数。那么，48－44＝4（人）就是这三种彩纸都发给的人数。解：

（20－6）+（24－5）+（18－7）＝14+19+11

＝44（人）

48－44＝4（人）

答：这三种彩纸都发的了同学有4。

巩固练习1. 三(3)班共有学生55人，读过《星球奥秘》的有12人，读过《海底世界》的有26人，读过《成长故事》的23人，既读过《星球奥秘》，又读过《海底世界》的有5人，既读过《星球奥秘》又读过《成长故事》的有2人，既读过《海底世界》，又读过《成长故事》的有4人。这三种书都读过的有几人？

2. 梅梅在班上做了一个调查发现：全班40人中喜欢喜羊羊的有30人，喜欢美羊羊的有28人，喜欢老村长的有20人，而同时喜欢喜羊羊和美羊羊的有15人，同时喜欢喜羊羊和老村长的有18人，同时喜欢美羊羊和老村长的有13人，那么喜羊羊，美羊羊，老村长都喜欢的，有几人？