第20讲 重叠问题(含解题思路和参考答案)
初中数学专题-重叠问题(精华版)
初中数学专题-重叠问题(精华版)
重叠问题是初中数学中的一个经典问题，很多同学在研究中会
遇到这个问题，现在我们来深入探讨一下。
什么是重叠问题？简单来说，就是用图形去模拟交集的情况。
例如，我们经常听说的“集体婚礼中，每个男士都握着另外四个女
士的手，每个女士也握着另外四个男士的手，问这次婚礼有多少人？”，这就是一个重叠问题。
在解决重叠问题时，我们需要注意以下几点：
1. 画图：重叠问题通常需要用图形来表示，画图是必不可少的。
2. 分类讨论：根据具体的题目条件，我们可以把问题分成不同
情况进行讨论，从而得到最终的答案。
3. 列方程：对于一些比较复杂的重叠问题，我们可以通过列方
程的方式来解决。
4. 推广应用：重叠问题是初中数学中的一个经典问题，但它在
实际生活中也有很多应用，例如科学研究、经济分析、交通规划等
领域都有重叠问题的存在。
通过学习重叠问题，我们不仅可以提高自己的数学能力，还可
以锻炼我们的思维能力和创新能力。
希望同学们能够重视这个问题，认真学习，在学习的过程中不断提高自己的解决问题的能力。
重叠问题及答案
重叠问题及答案【篇一：重叠问题教案】梁邹小学邢金花教学目标：1、结合具体情境，学习借助直观图解决简单得重叠问题。
2、经历独立思考，合作探究的过程，提高思维能力、促进思维发展，形成运用几何直观的方法解决问题的策略、增长学生的聪明才智，发展学生的智力。
3、通过活动激发学生学习数学的兴趣和欲望，体验成功的乐趣，产生学好数学的自信心。
重点：通过直观图解决重叠问题。
一.情境导入课前谈话：你喜欢什么小动物？猜猜老师喜欢什么小动物？（设计意图：激发兴趣，引起好奇心）1.出示情境图师：你能从这幅图中发现什么？生：大雁；颜色和别的大雁不一样的花大雁。
师：你能提出一个数学问题吗？生：一共有几只大雁？师：从这幅图中，你能知道有几只大雁吗？生1：能，7只，8只，9只。
生2：不能，因为被云彩遮住了。
师：这只漂亮的大雁说了一句话，大家想知道它说的什么吗？生：想。
2．出示重要信息，我从前面数排第6，从后面数排第3。
并凸显出来。
二．新授1.强化信息：（1）教师把信息读一遍，问学生“你听见了什么信息？”（设计意图：培养学生认真及时捕捉信息的意识和能力）（2）师：信息什么意思？你能说说吗？（3）师：现在你觉得有多少只大雁？9只怎么算的？（4）到底有多少只大雁呢？你们有什么好方法一眼能看出来？学生：站一站摆小棒画图师：站一站，怎么站呢？（设计意图：通过讨论正确理解信息）2.摆一摆师：谁能用小磁铁把图上的大雁像刚才那样摆出来？学生上讲台上去摆一摆。
摆完之后让学生反复讨论和纠错。
（设计意图：通过讨论和争辩感受到花大雁用不同颜色的磁吸摆能一眼看出哪只是花大雁）让该生说一说不同颜色的磁铁表示什么。
然后大家一起验证，是不是从前面数第6，从后面数第3。
（注意，要引导学生从前面数了再从后面数，让学生感受到摆对2个信息才行）3．画一画师：我们除了摆一摆，还能怎样一眼看出有多少只大雁？生：画图。
师：你真是爱动脑筋，这是一个很好的方法，那么大家在画一画之前，先独立想一想，你打算怎么画？（可以同桌两人小声的讨论一下）生：用图形代替大雁，三角表示普通的大雁，圆圈表示花大雁。
《重叠问题》说课稿(通用3篇)
《重叠问题》说课稿（通用3篇）在教学工作者实际的教学活动中，往往要写一份优秀的说课稿，借助说课稿可以提高教学质量，取得良好的教学效果。
那末优秀的说课稿是什么样的呢？下面是作者为大家采集的《重叠问题》说课稿（通用3篇），欢迎大家借鉴与参考，希翼对大家有所匡助。
《重叠问题》说课稿1我说课的内容是：人教版义务教育课程标准实验教科书三年级《数学》下册第108页的数学广角例1，也就是重叠问题。
我先说说对教材的理解和认识。
一、说教材1、数学广角是新课程增设的内容，也是新教材的一大特色，其实它是属于小学奥数的一个教学内容，但是现在要拿来面对班学生进行教学，无疑在内容上要进行简化，在教学上要进行细化，不然的话就不能达到教学目标。
这节课的重叠问题是日常生活中应用比较广泛的数学知识。
集合的知识体系集合是比较系统、抽象的数学思想方法，是数学中最基本的思想。
从学生一开始学习数学，其实就已经在运用集合思想方法了，所以对集合有一定的生活经验和知识基础。
但还没有抽象成集合的思想。
而以后学习的平面图形之间的关系都要用到集合的思想，如，把一堆图形分类，需要一定的标准，这种分类思想就是集合理论的基础，所以集合的重要性由此可见一斑。
但这些都只是单独的一个集合圈。
本节课教材例1借助学生熟悉的题材，渗透了集合的有关思想，并利用直观图的方式求出两个小组的总人数。
教学要使学生理解用直观图（集合圈）表示“重叠现象”的方法，了解到直观图各部份的意义，特殊是重叠部份（交集）的意义，掌握根据直观图列式计算总数（两个集合的并集）的方法。
对于三年级学生来说，学习这部份内容，思维力度较强，有一定的挑战性。
2、说教学目标结合本课的教材内容和三年级学生认知水平，我制定了如下目标：知识与技能：使学生借助直观图，利用集合的思想方法解决简单的重叠问题，并能用数学语言表述。
过程与方法：使学生感知集合图的产生过程，初步培养学生的建模意识和能力，渗透多种方法解决问题的意识。
重叠法的经典例题
重叠法的经典例题一、例题在一个长方形中，长为8厘米，宽为6厘米，有两个半径为1厘米的圆重叠放在长方形内（圆与长方形的边相切），求阴影部分（两个圆重叠部分以外的区域）的面积。
二、题目解析1. 首先计算长方形的面积- 根据长方形面积公式S = a× b（其中a为长，b为宽），已知长方形长a = 8厘米，宽b = 6厘米，所以长方形面积S_长方形=8×6 = 48平方厘米。
2. 然后计算两个圆的面积- 根据圆的面积公式S=π r^2（其中r为半径），已知圆半径r = 1厘米，一个圆的面积S_圆=π×1^2=π平方厘米。
- 那么两个圆的面积S_两个圆=2π平方厘米，取π = 3.14，则S_两个圆=2×3.14 = 6.28平方厘米。
3. 接着计算两个圆重叠部分的面积- 两个半径为1厘米的圆重叠部分是一个类似橄榄形的图形。
我们可以先算出两个扇形（圆心角为90^∘，因为圆与长方形边相切）的面积之和，再减去中间正方形的面积。
- 一个扇形的面积是圆面积的(1)/(4)，所以一个扇形面积S_扇形=(1)/(4)×π×1^2=(π)/(4)平方厘米。
- 两个扇形面积S_两个扇形=(π)/(2)平方厘米，取π = 3.14，则S_两个扇形=1.57平方厘米。
- 中间正方形的面积S_正方形=1×1 = 1平方厘米。
- 所以两圆重叠部分面积S_重叠=1.57 - 1=0.57平方厘米。
4. 最后计算阴影部分面积- 阴影部分面积S_阴影=S_长方形-S_两个圆+S_重叠- 把S_长方形=48平方厘米，S_两个圆=6.28平方厘米，S_重叠=0.57平方厘米代入可得：- S_阴影=48 - 6.28+0.57 = 42.29平方厘米。
小学数学典型应用题之重叠问题
小学数学典型应用题之重叠问题一、含义重叠问题是数学上非常常见的一类数学问题，它要用到数学中的一个非常重要的原理：容斥原理，即当两个(或多个)计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从他们的和中排除重复部分。
二、解题思路和方法解决重叠问题时，必须从条件入手进行认真的分析，有时还要画图，借助图形进行思考，找出哪些是重叠的和重叠的次数，明确求的是哪一部分，从而找出解答方法。
当两个计数部分重叠时，可从它们的单项和中减去重叠的部分，得出总数。
三、例题例题（一）：二（1）班同学人人参加课外活动，有20人参加英语班，有26人参加电脑班，每人至少参加一项。
其中4人两个班都参加。
二（1）班一共有多少人？解析：（1）已知20人参加英语班，26人参加电脑班，一共有20+26-46（人）。
（2）这46人中，有4人两班都参加。
（3）也就是说这4人在英语班算了名额，在电脑班也算了名额，多算了一次。
（4）所以，全班的人数应是46=4=42（人）。
例题（二）：三（2）班有42名同学，会下象棋的有21名同学，会下围棋的有17名，两种棋都不会的有10名。
那么只会下象棋的同学有多少名？解析：（1）方法一：至少会下一种棋的人数是42-10=32名，而两种棋都会下的有21+17-32=6名，所以只会下象棋的同学有21-6=15（名）。
（2）方法二：至少会下一种棋的人数是42-10=32（名），用至少会下一种棋的人数减去会下围棋的人数就是只会下象棋的同学，故共有32-17=15（名）。
例题（三）：全班50 人，不会骑自行车的有23人，不会滑旱冰的有35人，两样都会的有4人。
两样都不会的有多少人？解析：（1）会骑自行车的有50-23=27人，会滑旱冰的有50-35=15人。
（2）那么至少会这两样其中一样的人有：27+15-4=38人。
（3）加上两样都不会的人，就是全班人数。
（4）所以两样都不会的人数有50-38=12人。
例题（四）：芳草地小学四年级的64人都会钢琴或画画中的一种，其中有58人学钢琴，43人学画画，问只学钢琴和只学画画的分别各有多少人？解析：（1）学了钢琴或画画的有73-9=64（人）。
三下数《数学广角》重叠问题PPT课件
补运算
集合的运算
韦恩图的使用
定义
韦恩图是一种用来表示集合关系的图形，通过封闭曲线的内部来表示集合。
使用方法
在韦恩图中，用封闭曲线的内部表示集合，如果两个集合有公共部分，则公共部分既属于第一个集合又属于第二个集合。
优点
通过韦恩图可以直观地看出集合之间的关系，特别是重叠部分和各自独立的部分。
03
城市天气预报数据重叠处理
超市销售数据分析
超市销售数据分析中的重叠问题表现为同一商品在不同时间或不同销售渠道的重复销售记录。
总结词
超市销售数据中可能存在同一商品在不同时间或不同销售渠道的重复销售记录。例如，某商品在实体店和网上商城同时销售，可能导致销售记录重叠。在进行数据分析时，需要识别并处理这些重叠记录，以准确反映商品的销售情况。处理方法包括去重、合并记录或对重复销售数据进行加权计算等。
三下数《数学广角》重叠问题ppt课件
目录
什么是重叠问题？ 重叠问题的数学模型 重叠问题的解决方法 重叠问题的实际案例 重叠问题的扩展思考
01
CHAPTER
什么是重叠问题？
01
02
重叠问题的定义
重叠问题通常涉及到集合、概率、统计等领域，是数学中常见的问题类型之一。
重叠问题是指当两个或多个集合存在部分或全部元素相同时，需要考虑这些重叠部分的数学问题。
总结词
将数据整理成表格的形式，每一行或每一列代表一种情况或一种选择，通过对比行和列，可以更清晰地看出哪些数据是重叠的，哪些数据是不重叠的。这种方法对于处理复杂问题非常有效。
详细描述
表格法
总结词
利用数学公式来表达和解决重叠问题。
详细描述
对于一些具有规律性的重叠问题，可以通过建立数学模型，利用数学公式来表达和解决。这种方法能够快速准确地得出答案，但对于一些非常规的重叠问题，可能难以找到合适的公式来解决。
重叠法解题
重叠法解题重叠法解题重叠法是一种常见的解题方法，它适用于许多领域，包括数学、物理、化学等。
在数学中，重叠法主要用于解决排列组合问题和几何问题。
本文将详细介绍重叠法的原理、应用以及解题技巧。
一、重叠法的原理重叠法的核心思想是将一个问题分解成若干个子问题，并且这些子问题之间存在交集。
通过计算交集部分来得到最终答案。
例如，在排列组合问题中，我们可以将一个大问题分解成若干个小问题，每个小问题都有一定数量的元素。
这些元素之间存在交集，我们可以通过计算交集部分来得到最终答案。
二、重叠法的应用1. 排列组合问题在排列组合问题中，重叠法被广泛应用。
例如，在一个班级中，有10个男生和8个女生。
如果要从这些人中选择3个人参加比赛，并且至少有1个女生参加比赛，那么该怎么做呢？首先，我们可以计算出从10个男生中选择3个人参加比赛的方案数为C(10,3)，即10*9*8/3*2*1=120。
接着，我们可以计算出从8个女生中选择3个人参加比赛的方案数为C(8,3)，即8*7*6/3*2*1=56。
但是，这样计算出来的答案不包括至少有1个女生参加比赛的情况。
因此，我们需要用重叠法来解决这个问题。
首先，我们可以计算出不考虑限制条件时的方案数为C(18,3)，即18*17*16/3*2*1=816。
然后，我们可以计算出只选男生参加比赛的方案数为C(10,3)，即10*9*8/3*2*1=120。
接着，我们可以计算出只选女生参加比赛的方案数为C(8,3)，即8*7*6/3*2*1=56。
最后，我们用总方案数减去只选男生和只选女生的方案数，得到至少有1个女生参加比赛的方案数为816-120-56=640。
2. 几何问题在几何问题中，重叠法也被广泛应用。
例如，在一个正方形内部画一个圆，并且让圆与正方形相切。
如果正方形边长为10cm，则圆的半径是多少？首先，我们可以通过勾股定理得知正方形对角线长度为10√2 cm。
因为圆与正方形相切，所以圆心到正方形中心的距离等于正方形对角线长度的一半，即5√2 cm。
重叠问题课件ppt
诊断重叠问题的工具和方法
鱼骨图
用于展示问题产生的原因和影 响，帮助团队全面了解问题的
各个方面。
5W分析法
通过对问题进行“为什么、是 什么、在哪里、何时、谁”的 分析，深入挖掘问题的根源。
流程图
用于梳理业务流程，发现流程 中的瓶颈和问题。
数据分析
利用统计学和数据挖掘技术， 对大量数据进行深入分析，发
现数据背后的规律和趋势。
重叠问题的根源分析
组织结构问题
组织结构不合理，导致 部门间沟通不畅、职责
不明确。
流程问题
业务流程存在缺陷或不 合理之处，导致工作效
率低下、资源浪费。
文化问题
企业文化不健康，缺乏 团队协作精神、创新精
神。
人员素质问题
员工素质不高，缺乏必 要的技能和知识，导致
工作质量低下。
2023
流程再造
对不合理流程进行重新设计，提高 流程效率和效益。
信息化管理
利用信息技术手段，实现流程自动 化和智能化。
资源整合
资源共享
实现资源在不同部门间的共享， 提高资源利用效率。
集中采购
通过集中采购降低成本，提高采 购效益。
内部市场
建立内部市场机制，促进资源优 化配置和有效利用。
激励机制设计
目标管理
2023
重叠问题课件
REPORTING
2023
目录
• 引言 • 重叠问题的识别与诊断 • 解决重叠问题的策略 • 重叠问题的案例分析 • 总结与展望
2023
PART 01
引言
REPORTING
什么是重叠问题
重叠问题是指两个或多个物体 或形状在空间上部分或全部重 叠在一起的问题。
三年级奥数：重叠问题，包含与排除问题的解题方法
三年级奥数：重叠问题，包含与排除问题的解题方法
在日常生活中，我们经常需要统计一些数据，在统计的过程中，往往会发现有些数量重复出现。
为了使重复的部分不被重复计算，人们研究出一种新的计算方法，然后再把重复计算的数目排除，使得计算的结果既不重复也不遗漏。
解决重叠问题时，我们常常利用韦恩图（圆圈图）来帮助分析死牢，关键是找出重复的次数。
木板重叠问题
两块一样长的木块叠在一起，求每块木块的长度时，用重叠后的总长度加上重叠部分的长度，然后再除以2；两块不一样长的木块重叠在一起，求其中一块木块的长度时，用重叠后的总长度加上重叠部分的长度，然后再减去另一块木块的长度。
韦恩图解题
韦恩图解题
做这类重叠问题时，首先根据题目条件画出韦恩图：
总人数=分别参加两项的人数-两项都参加的人数；
两项都参加的人数=分别参加两项的人数和-总人数；
参加某一项的人数=总人数+两项都参加的人数-参加另一项的人数。
韦恩图解题
当题目中提到至少存在一种情况的时候，那么总人数中还可能会有两种情况都不存在的情况。
此时候的总人数=至少参加一项的人数+两项都不参加的人数。
第20讲 重叠情况(含解题思路和参考答案)
第20讲重叠情况(含解题思路和参考答案)一、问题描述在 $x$ 轴上有 $n$ 个线段，这些线段可能有交叉，也可能没有交叉。
请你统计一下这些线段有多少对相交。
二、输入格式- 第一行一个整数 $n$。
- 下面 $n$ 行，每行 $2$ 个整数 $l_i$ 和 $r_i$。
三、输出格式- 一行一个整数，表示线段相交的对数。
四、解题思路这道题目可以用扫描线算法来解决。
我们首先将所有节点按照横坐标排序，然后处理每个事件。
具体地，我们维护一个变量 $cnt$，表示当前有多少条线段与当前位置的横坐标相同。
当扫描到一个左端点时，我们将 $cnt$ 加$1$，当扫描到一个右端点时，我们将 $cnt$ 减 $1$。
每当 $cnt$ 发生变化时，我们将当前的贡献加入答案当中即可。
五、参考代码C++ 代码如下所示。
include <iostream>include <algorithm>using namespace std;const int N = 1e5 + 10;struct Segment{int l, r;} segs[N];int n;int cnt = 0;long long res = 0;int main(){cin >> n;for (int i = 0; i < n; i ++ ){cin >> segs[i].l >> segs[i].r;}sort(segs, segs + n, [](Segment a, Segment b){ if (a.l != b.l)return a.l < b.l;return a.r > b.r;});for (int i = 0; i < n; i ++ ){if (i != 0 && segs[i].l != segs[i - 1].l) {res += 1ll * cnt * (cnt - 1) / 2;cnt = 0;}if (segs[i].r >= segs[0].l)cnt ++ ;}res += 1ll * cnt * (cnt - 1) / 2;cout << res << endl;return 0;}Python 代码如下所示。
第20讲重叠问题含解题思路和参考答案
第20讲重叠问题仁解题思路与参考答案）一、解题方法1 .解答重叠问题，要用到数学中一个重要原理一一包含与排除原理，即当 两个计数部分有重复包含时，为了不重复计算，应从他们的和中排除重复部分。
2 .解答重叠问题的应用题，必须从条入手进行认真的分析，有时还要画出 图示，借助图形进行思考，找出哪些是重复的，重复了几次，明确要求的是哪一 部分，从而找出解答方法。
3 .在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合与集合之间的关 系，这种图称为韦恩图（也叫文氏图）。
例题1.两块一样长的木板搭在一起共长160厘米，中间重叠部分是20厘米， 如图，这两块木板各长多少厘米?解题思路: 把等长的两块木板的一端搭起来，搭 在一起的长度就是重叠部分，重叠部分20 厘米，所以这两块木板的总长度是160+20 = 180 （厘米），每块木板的长度是180-2 =90 （厘米） 答：这两块木板各长90厘米。
巩固练习1.把两根同样长的绳子的一端捆绑在一起，共长120厘米，两根 绳子捆在一起的重叠部分长12厘米，原来两根绳子各长多少厘米？4 .两块一样长的红条幅缝在一起，变成一块长条幅，现在这两块条幅共长 22米，中间重叠部分长6分米，原来两块条幅各长多少分米？5 . 一根长80厘米的木棍，不小心被折成了长短不一的两段，现在把两段接 起来，其中重叠部分长6厘米，两根木棍接起来后共长多少厘米？ 解题过程:解：（160+20）-2= 180-2 =90 （厘米）例题2.三（2）班同学排队做操，每行人数相同，亮亮的位置从左数起是第5 个，巩固练习1.同学们排队表演节目，每行人数同样多，小林的位置从左数是 第6个，从右数是第1个，从前数是第3个，从后数狮第2个。
表演的同学共有 多少人？2 .小红在一张方格纸上练字，它每行、每列写的同样多，“国"字的位置从上是第4个，从下数第5个，从左数、右数都是第3个。
小红一共写了多少个 字？3 .同学们排队做操，每行、每列人数同样多，小兰的位置无论从前数，从 后数，从左数、从右数都是第5个，做操的共有多少人？例题3.三（4）班有学生48人，写完语文作业的有23人，写完数学作业的有 29巩固练习1.三(1)班有60人，每人都参加了航模或书法课外兴趣小组，参 加航模小组的有34人，参加书法小组的有40人。
二年级数学重叠问题
二年级数学重叠问题一、知识点讲解1. 重叠问题的概念在数学中，重叠问题是指有部分元素在不同的集合中重复出现的情况。
例如，同学们参加语文小组和数学小组，有一些同学既参加了语文小组又参加了数学小组，这就是重叠部分。
2. 解决重叠问题的方法常用的方法是画韦恩图（集合图）来直观地表示各个集合以及它们之间的重叠关系。
另外，也可以通过计算来解决，计算时要注意避免重复计算重叠部分。
例如：计算参加两个小组的总人数时，如果直接把参加语文小组的人数和参加数学小组的人数相加，就会把既参加语文小组又参加数学小组（重叠部分）的人数多计算一次，所以需要减去重叠部分的人数。
二、经典例题及解析1. 例题1题目：二（1）班同学参加课外活动，有20人参加英语班，25人参加电脑班，其中有10人两个班都参加了。
二（1）班一共有多少人参加课外活动？解析：我们可以画韦恩图来理解。
先画两个相交的圆，一个圆表示参加英语班的同学，另一个圆表示参加电脑班的同学，相交的部分就是两个班都参加的同学。
如果直接把参加英语班的20人和参加电脑班的25人相加：20 + 25=45（人），这里面把两个班都参加的10人重复计算了一次。
所以正确的计算方法是：20+25 10 = 35（人）。
2. 例题2题目：学校乐器队招收了42名新学员，其中会拉小提琴的有25名，会弹钢琴的有22名，两项都不会的有3名。
两项都会的有多少名？解析：我们知道总共有42名新学员，其中两项都不会的有3名，那么至少会一项乐器的学员有42 3 = 39（名）。
会拉小提琴的有25名，会弹钢琴的有22名，那么25+22 = 47（名），这个数字比至少会一项乐器的39名多。
多出来的部分就是两项都会的人数，即47 39 = 8（名）。
3. 例题3题目：把两块一样长的木板钉在一起，钉成一块长35厘米的木板，中间重叠部分长11厘米。
这两块木板各长多少厘米？解析：两块木板钉在一起后总长度是35厘米，但是中间重叠了11厘米。
人教版小学数学课件《重叠问题》
欢迎来到人教版小学数学课件《重叠问题》。本课件将为您带来有趣而富有 挑战性的数学问题，让我们一起开始探索吧！
重叠问题概述
重叠问题是指两个或多个物体重叠在一起的情况。在本节中，我们将了解什么是重叠问题以及解决这类问题的 方法。
重叠问题示例
纸片重叠问题
通过折叠和叠放纸片，我们可以探索三层和四层纸片的重叠问题。
棋盘重叠问题
在棋盘上摆放皇后和马的问题都涉及到棋盘上不同棋子的重叠。
解决重叠问题
分析规律
通过观察和分析重叠的情况，时候，我们需要列举所有可能的情况，以找到解 决方案。
重叠问题的应用
1
桥牌游戏中的重叠问题
在桥牌游戏中，玩家需要根据手中的牌确定可能的重叠情况，以制定合适的策略。
2
布局设计中的重叠问题
在进行布局设计时，考虑到物体的重叠情况可以使设计更加美观与饱和。
总结
重叠问题具有重要的意义，它不仅考察了观察力和分析能力，还能在实际应 用中发挥重要作用。希望通过本课件，您能深入了解和掌握这一有趣的数学 问题。
请在结束前对所学内容进行反思和思考，以提升您的数学思维能力。
小学数学重叠问题
小学数学重叠问题在小学数学的学习中，我们常常会遇到一种特殊的数学问题，那就是重叠问题。
这种问题通常涉及到两个或多个集合之间的重叠部分，以及这些部分与各个集合之间的关系。
解决重叠问题的关键是理解并应用集合论的基本概念和运算规则。
一、什么是重叠问题？重叠问题是指在一个集合中，另一个集合的元素与之有部分重合，或者两个集合的元素完全重合。
例如，在一群学生中，有的学生既参加数学小组也参加科学小组，这就是两个集合的重叠。
二、如何解决重叠问题？解决重叠问题的关键是正确理解和应用集合论的基本概念和运算规则。
以下是解决重叠问题的基本步骤：1、确定问题的集合：我们需要确定问题的集合，包括所有的元素和它们之间的关系。
例如，在一群学生中，我们需要确定哪些学生参加了数学小组，哪些学生参加了科学小组，以及哪些学生同时参加了两个小组。
2、识别重叠部分：接下来，我们需要识别出集合之间的重叠部分。
在上述例子中，我们需要找出哪些学生既参加了数学小组也参加了科学小组。
3、应用集合运算规则：我们需要应用集合运算规则来解决问题。
例如，如果我们想知道参加数学小组的学生总数，我们需要把只参加数学小组的学生和既参加数学小组又参加科学小组的学生都计算在内。
三、如何避免重叠问题的误解？解决重叠问题时，我们需要注意以下几点以避免误解：1、仔细阅读题目：理解题目中的每个集合和它们之间的关系是解决重叠问题的关键。
我们需要仔细阅读题目，理解每个集合的元素和它们之间的关系。
2、正确应用集合运算规则：在计算集合的元素个数时，我们需要正确应用集合运算规则，例如并集、交集等。
如果我们错误地应用了运算规则，可能会导致误解。
3、画出集合图：画出集合图可以帮助我们更好地理解集合之间的关系和重叠部分。
通过画出图形，我们可以更直观地看到哪些元素属于哪个集合，以及它们之间的重合部分。
四、例子：解决一个简单的重叠问题为了更好地理解重叠问题的解决方法，让我们看一个简单的例子。
假设在一个班级中，有30个学生，其中10个学生同时参加了数学小组和科学小组，5个学生只参加了数学小组，10个学生只参加了科学小组。
高一物重叠问题解题技巧
高一物重叠问题解题技巧
解决重叠问题时，要充分运用“数形结合”的方法，根据题目的特点，画出图形或草图，将抽象的问题形象化、具体化，从而进行正确的解题。
重叠问题的解题步骤：
1. 认真审题，弄清题意。
2. 画出图形或草图，将抽象的问题形象化、具体化。
3. 建立方程求解。
4. 得出结论。
重叠问题的解题方法：
1. 直接法：根据题目的特点，直接利用定义、定理、性质等求解。
2. 间接法：先求出其他变量，再求出重叠部分的变量。
3. 整体法：将多个物体视为一个整体，利用整体性质求解。
4. 代数法：将问题转化为代数方程求解。
5. 图解法：将问题转化为图形问题，利用几何性质求解。
解决重叠问题的关键是弄清重叠部分的含义和数量关系，以及如何用数学表达式来表示这些关系。
小学奥数专题-重叠问题(精华版)
小学奥数重叠问题专题日常生活或数学问题中，在把一些数据按照某个标准分类时，常常出现其中的一部分数据同时属于两种或两种以上不同的类别，这样在计算总数时就会出现重复计算的情况，这类问题就叫做重叠问题。
重叠问题中涉及到的容斥原理是奥数的四大原理之一，是奥数重要知识点。
学生学习奥数，一定要掌握容斥原理。
下面小编给大家分享解决重叠的方法。
1. 解答重叠问题要用到数学中一个重要原理——包含与排除原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
2. 解答重叠问题的应用题，必须从条件入手进行认真的分析，有时还要画出图示，借助图形进行思考，找出哪些是重复的，重复了几次。
明确需要要求的是哪一部分，从而找出解答方法。
3. 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合和集合之间的关系。
这种图称为韦恩图（也叫文氏图）。
4. 解答重叠问题的常用方法是：先不考虑重叠的情况，把有重复包含的几个计数部分加起来，再从它们的和中排除重复部分元素的个数，使得计算的结果既无遗漏又不重复。
这个原理叫做包含与排斥原理，也叫容斥原理。
5. 容斥原理1：如果被计数的对象，被分为A、B两大类，则：被计数对象的总个数=A 类元素的个数+B类元素的个数-同时属于A类和B类的元素个数。
容斥原理2：如果被计数的对象，被分为A、B、C三大类，则：被计数对象的总个数=A 类元素的个数+B类元素的个数+C类元素的个数-同时属于A类和B类元素的个数-同时属于A类和C类元素个数-同时属于B类和C类元素个数+同时属于A类、B类、C类元素个数。
一、重叠问题之长度：（1）拼接（对接）（2）搭接（3）打结题目1：（搭接正问题：求总长度）把两段同样是20厘米长的纸条粘合在一起，形成一段更长的纸条。
中间重叠的部分是6厘米，粘好的纸条长多少厘米？题目2：（搭接反问题一：等长搭接，求原来长度）把两段一样长的纸条粘合在一起，形成一段更长的纸条。
这段更长的纸条长30厘米，中间重叠的部分是6厘米，原来两条纸条各长多少厘米？题目3：（搭接反问题一：不等长搭接，求原来长度）两根木棍放在一起，从头到尾共长66厘米，其中一根木棍长48厘米，中间重叠部分长12厘米。
重叠问题练习题答案
重叠问题练习题答案重叠问题通常指的是在数学或逻辑问题中，两个或多个集合或事件有共同的部分。
下面是一些重叠问题练习题的答案：1. 练习题：一个班级有50名学生，其中30人参加了数学俱乐部，20人参加了科学俱乐部。
如果两个俱乐部共有的学生数为10人，那么没有参加任何俱乐部的学生有多少人？答案：首先，我们计算两个俱乐部的学生总数：30（数学俱乐部）+ 20（科学俱乐部）- 10（两个俱乐部共有的学生）= 40人。
班级总人数为50人，所以没有参加任何俱乐部的学生数为50 - 40 = 10人。
2. 练习题：在一个社区中，有200户家庭，其中100户有宠物，80户有花园。
如果同时拥有宠物和花园的家庭有40户，那么没有宠物也没有花园的家庭有多少户？答案：首先，我们计算有宠物和花园的家庭总数：100（有宠物）+ 80（有花园）- 40（同时拥有宠物和花园）= 140户。
社区总家庭数为200户，所以没有宠物也没有花园的家庭数为200 - 140 = 60户。
3. 练习题：一个图书馆有1000本书，其中300本是科幻小说，200本是历史书籍。
如果同时属于科幻和历史类别的书籍有50本，那么既不是科幻也不是历史的书籍有多少本？答案：首先，我们计算科幻和历史书籍的总数：300（科幻小说）+ 200（历史书籍）- 50（同时属于科幻和历史的书籍）= 450本。
图书馆总书籍数为1000本，所以既不是科幻也不是历史的书籍数为1000 - 450 = 550本。
4. 练习题：一个学校有500名学生，其中200名学生参加了体育队，150名学生参加了合唱团。
如果同时参加体育队和合唱团的学生有50人，那么没有参加任何团队的学生有多少人？答案：首先，我们计算参加体育队和合唱团的学生总数：200（体育队）+ 150（合唱团）- 50（同时参加两个团队的学生）= 300人。
学校总学生数为500人，所以没有参加任何团队的学生数为500 - 300 = 200人。
数学广角——重叠问题
数学广角——重叠问题教材分析：《数学广角》是教材中新增设的一个内容，它主要是介绍和渗透一些数学思想方法，使学生使用这些数学思想方法解决一些简单的实际问题或数学问题。
例1是以学生熟悉的语文、数学兴趣小组为题材，渗透集合的相关思想，并能利用韦恩图来表现“集合”，解决问题。
学情分析：三年级的学生正是思维从具体形象到逻辑抽象的过度阶段，在此之前，虽然学生有一定的潜在的集合知识基础，但对于集合思想特别是“交集”思想的理解还是比较抽象的。
教学方法：从学生熟悉的生活实例引入，让学生在活动中自主探究，合作交流、思考争论，使学生内心处于一种“平衡—冲突—探究发现—解决问题—新的平衡”的构建主义学习过程，实现有效教学。
教学目标：知识目标：1、通过参与数学活动，让学生经历韦恩图的建构过程，理解韦恩图各局部的意义。
2、借助直观图，利用集合的思想方法解决简单的实际问题。
水平目标：通过数学活动，培养学生的动手操作水平、观察水平、思考水平，创新水平。
情感目标：使学生在主动参与数学活动过程中体验数学的价值，获得成功的体验，提升学生学习数学的兴趣。
教学重点：韦恩图的建构过程，利用集合思想解决简单的实际问题。
教学难点：理解韦恩图各局部的意义。
教学过程：一、课前渗透，感知集合。
同学们喜欢玩脑筋急转弯的游戏？老师给你们讲个故事怎么样？：某理发师正在给客人理发，就听卡擦一声门响，一小孩说到“叔叔，我和爸爸要剃头吧！”，理发师没空抬头看，快乐地答到，好咧！请坐。
这时又一声门响，一中年人说道“师傅，给我和我父亲剃个头吧！”此时，理发师心里美滋滋地想着“嘿，今儿个生意还真不错。
”但他回头一看，皱起了眉头：“嘿，不是进了两对父子，怎么却只有三个人呢？”同学们！这是怎么回事呢？对啊，这个中年人既是孩子的父亲，又是爷爷的儿子。
这有个多好的关联词啊！（板书：既又）同学们你们真棒，协助理发师解决了难题，他可快乐。
二、合作探究，理解集合。
（一）利用课前游戏的信息，创设问题情境。
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第20讲重叠问题（含解题思路与参考答案）一、解题方法1. 解答重叠问题，要用到数学中一个重要原理一一包含与排除原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计算，应从他们的和中排除重复部分。
2. 解答重叠问题的应用题，必须从条入手进行认真的分析，有时还要画出图示，借助图形进行思考，找出哪些是重复的，重复了几次，明确要求的是哪一部分，从而找出解答方法。
3. 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合与集合之间的关系，这种图称为韦恩图(也叫文氏图)。
例题1.两块一样长的木板搭在一起共长160厘米，中间重叠部分是20厘米，如图，这两块木板各长多少厘米？解题思路：解题过程：把等长的两块木板的一端搭起来，搭在一起的长度就是重叠部分，重叠部分20厘米，所以这两块木板的总长度是160+20＝180（厘米），每块木板的长度是180÷2＝90（厘米）解：（160+20）÷2 ＝180÷2＝90（厘米）答：这两块木板各长90厘米。
巩固练习1. 把两根同样长的绳子的一端捆绑在一起，共长120厘米，两根绳子捆在一起的重叠部分长12厘米，原来两根绳子各长多少厘米？2. 两块一样长的红条幅缝在一起，变成一块长条幅，现在这两块条幅共长22米，中间重叠部分长6分米，原来两块条幅各长多少分米？3. 一根长80厘米的木棍，不小心被折成了长短不一的两段，现在把两段接起来，其中重叠部分长6厘米，两根木棍接起来后共长多少厘米？例题2.三(2)班同学排队做操，每行人数相同，亮亮的位置从左数起是第5个，从右数是第4个，从前数是第2个，从后数是第4个。
三(2)班共有多少人？解题思路：解题过程：根据题意画右图。
由图可看出：亮亮的位置从左数起是第5个，从右数是第4个，说明横有5+4－1＝8（个）人；从前数是第2个，从后数是第4个，说明竖行有2+4－1＝5（个）人。
所以二（3）班有8×5＝40（个）（说明：减“1”是因为亮亮重复数了一次）解：（5+4－1）×（2+4－1）＝8×5＝40（人）答：三（2）班共有40人。
巩固练习1. 同学们排队表演节目，每行人数同样多，小林的位置从左数是第6个，从右数是第1个，从前数是第3个，从后数狮第2个。
表演的同学共有多少人？2. 小红在一张方格纸上练字，它每行、每列写的同样多，＂国＂字的位置从上是第4个，从下数第5个，从左数、右数都是第3个。
小红一共写了多少个字？3. 同学们排队做操，每行、每列人数同样多，小兰的位置无论从前数，从后数，从左数、从右数都是第5个，做操的共有多少人？例题3.三(4)班有学生48人，写完语文作业的有23人，写完数学作业的有29人。
每人至少写完一项作业，问语文和数学作业都写完的有几人？解题思路：解题过程：根据题意画出右图：图中重叠部分表示语文数学作业都做完了的人数，把写完语文作业的人数和写完数学作业的人数相加23+29＝52（人），比全部总人数多2－48＝4（人）。
这多出的4人既在写语文的人数中算过，也在写数学的人数中算过，即表示语文和数学作业都写完的人数。
解：（23+29）－48 ＝52－48＝4（人）答：语文和数学作业都写完的有4人。
巩固练习1. 三(1)班有60人，每人都参加了航模或书法课外兴趣小组，参加航模小组的有34人，参加书法小组的有40人。
两种兴趣小组都参加的，有几人？2. 26名同学参加舞蹈表演，每人至少拿一朵花，拿红色花的有15人，拿紫色花的有13种，两种花都拿的有几人？3.一个班有50人，会下象棋的有26人，会下围棋的有21人，两种棋都不会的有8人，两种棋都会下的有多少人？例题4.某班同学参加运动会，每人限报两项，其中40人参加了长跑，32人参加了跳高，既参加长跑，又参加跳高的有18人，这两项都没有参加的有20人。
这个班共有学生多少人？解题思路：解题过程：根据题意画出右图：由图中可以看出，从参加长跑的40人与参加跳高的32人的和中减去重叠部分的18人，再加上这两项都没有参加的20人，就是这个班的总人数。
解：40+32－18+20 ＝72－18+20＝74（人）答：这个班共有学生74。
巩固练习1. 三(5)班的45人在期中考试中，语文得100分的有23人，数学得100分的有31人，只有6人语文数学都没有得100分。
三(5)班的同学中语文、数学都得100分的有多少人？2. 张老师给班级的60人出了两道题，其中只做对第一道的有32人，既做对第第一道题又做对第第二道题的有10人，两道题都没做对的有9人，只做对第二道题的有多少人？3. ＂小明星＂艺术班的同学每人至少会三种才艺中的一种，其中既会唱歌又会画画的有13人，会唱歌的有26人，会画画的有19人，会弹钢琴的有8人，这个班共有多少人？例题5. 美术课上老师给同学们发的红、黄、蓝三种颜色的彩纸共48张。
发了红彩纸的同学有18人，发了黄彩纸的同学有24人，发了蓝彩纸的同学有20人；既发了红彩纸，又发了蓝彩纸的同学有6人，既发了红彩纸又发了蓝彩纸的同学有7人，既发了黄彩纸又发了蓝彩纸的同学有5人。
问：这三种彩纸都发了的同学有几人？解题思路：解题过程：根据题意画出右图：从图中可以看出：20－6＝14（人）是除了有红彩纸外的有蓝彩纸的人数，24－5＝19（人）是除了有蓝彩纸外的有黄彩纸的人数，18－7＝11（人），是除了有黄彩纸外的有红彩纸的人数，这三部分相加14+19+11＝44（人）是除了中间重叠的既有红、黄、蓝三种彩纸以外的总人数。
那么，48－44＝4（人）就是这三种彩纸都发给的人数。
解：（20－6）+（24－5）+（18－7）＝14+19+11＝44（人）48－44＝4（人）答：这三种彩纸都发的了同学有4。
巩固练习1. 三(3)班共有学生55人，读过《星球奥秘》的有12人，读过《海底世界》的有26人，读过《成长故事》的23人，既读过《星球奥秘》，又读过《海底世界》的有5人，既读过《星球奥秘》又读过《成长故事》的有2人，既读过《海底世界》，又读过《成长故事》的有4人。
这三种书都读过的有几人？2. 梅梅在班上做了一个调查发现：全班40人中喜欢喜羊羊的有30人，喜欢美羊羊的有28人，喜欢老村长的有20人，而同时喜欢喜羊羊和美羊羊的有15人，同时喜欢喜羊羊和老村长的有18人，同时喜欢美羊羊和老村长的有13人，那么喜羊羊，美羊羊，老村长都喜欢的，有几人？3. 一个班有45人，其中有28人参加了手工兴趣小组，有35人参加了拉二胡兴趣小组，有37人参加了美术兴趣小组，有40人参加了唱歌兴趣小组，那么这个班至少有多少人这四个兴趣小组都参加了？课后趣题换个方向下面的小房子，想转个方向，请你移动2根火柴棍，帮他完成这个心愿。
开心动脑1. 四四方方一块布，嘴和鼻子都盖住。
两根带子耳上挂，不怕风沙不怕土。
(猜一生活用品)2. 像条带，一盘菜，下了水，跑得快(猜一动物)3. 脑筋急转弯题目：谁天天去看病？4. 脑筋急转弯题目：小明的爸爸找了个座位坐下，小明也在同一个房间找个地方过来，但小明的爸爸却不能坐在小明的位置上，小明坐在哪儿？为什么？4.脑筋急转弯题目：老张有很厉害的胃病，可他每周有5天总往牙科跑，这是为什么？三解题思路和参考答案例题1.两块一样长的木板搭在一起共长160厘米，中间重叠部分是20厘米，如图，这两块木板各长多少厘米？解题思路：解题过程：把等长的两块木板的一端搭起来，搭在一起的长度就是重叠部分，重叠部分20厘米，所以这两块木板的总长度是160+20＝180（厘米），每块木板的长度是180÷2＝90（厘米）解：（160+20）÷2 ＝180÷2＝90（厘米）答：这两块木板各长90厘米。
巩固练习1. 把两根同样长的绳子的一端捆绑在一起，共长120厘米，两根解题思路：解题过程：如右图，两根同样长的绳子结在一长度是120厘米，其中中间重叠的部分长12厘米.如果把Ａ线段看成完整的线段，那么Ｂ线段就减少子12厘米，反之亦然。
要求两根绳子各长多少厘米，可用绑在一起的长度加上重叠的长度再除以2就可以了。
ＡＢ解：（120+12）÷2 ＝132÷2＝66（厘米）答：这两根绳子各长66厘米。
2. 两块一样长的红条幅缝在一起，变成一块长条幅，现在这两块条幅共长22米，中间重叠部分长6分米，原来两块条幅各长多少分米？解题思路：解题过程：如右图所示：这个题目先要统一单位，将22米化成分米即22×10＝220（分米）。
用两块一样长的条幅缝在一起的长度加上重叠部分的长度，再除以2就得到每条条幅的长度了。
解：22×10＝220（分米）（220+6）÷2＝226÷2＝113（分米）答：这两块条幅各长113分米。
3. 一根长80厘米的木棍，不小心被折成了长短不一的两段，现在把两段接解题思路：解题过程：如右图所示：两根断木棒接起来的长度就是原木棒的长度减去一个重叠的长度。
解：80－6＝74（厘米）答：两根木棒接起来的长度是74厘米。
例题2. 三(2)班同学排队做操，每行人数相同，亮亮的位置从左数起是第5个，从右数是第4个，从前数是第2个，从后数是第4个。
三(2)班共有多少人？ 解题思路： 解题过程： 根据题意画右图。
由图可看出：亮亮的位置从左数起是第5个，从右数是第4个，说明横有5+4－1＝8（个）人；从前数是第2个，从后数是第4个，说明竖行有2+4－1＝5（个）人。
所以二（3）班有8×5＝40（个） （说明：减“1”是因为亮亮重复数了一次） 解：（5+4－1）×（2+4－1）＝8×5＝40（人）答：三（2）班共有40人。
巩固练习1. 同学们排队表演节目，每行人数同样多，小林的位置从左数是第6个，从右数是第1个，从前数是第3个，从后数是第2个。
表演的同学共有 解题思路： 解题过程： 如右图：横排有6+1－1＝6人。
竖行有3+2－1＝4人。
表演的学生数就等于横排数乘竖行数，即6×4＝24（人） 为什么要减去“1”？因为从左、右数时把小林重复数了一次；从前数时和从后数，又肥小林重复数了一次，所以都要1.解：（6+1－1）×（3+2－1） ＝6×4＝24（人） △ △ △ △ △ △ △ △ △ △ △ △△ △ △ △ △ △△ △ △ △ △ △答：表演的同学共有24人。
2. 小红在一张方格纸上练字，它每行、每列写的同样多，＂国＂字的位置从上是第4个，从下数第5个，从左数、右数都是第3个。
小红一共写了多少个 解题思路： 解题过程：如右图。
根据题意：“国”字的位置人上数是第4个，从下数是第5个，可知每竖行有4+5－1＝8个字；从右数、左数都是第3个，可知每横行有3+3－1＝5（个）字。