正弦函数、余弦函数的性质(经典)

(1)y cos x 1, x R; (2)y 3sin 2 x, x R.
解： 这两个函数都有最大值、最小值. （1）使函数 y cos x 1, x R 取得最大值的x的集合，就是 使函数 y cos x, x R 取得最大值的x的集合
{x | x 2k , k Z}
y
o
x
正弦函数当且仅当x 2k 且仅当x 2k

2
, k Z时取得最大值1,当

2 余弦函数当且仅当x 2k , k Z时取得最大值1,当且仅 当x 2k , k Z时取得最小值 1.
, k Z时取得最小值 1;
例1.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最 小值时的自变量x的集合，并说出最大、最小值分别是什么.
2 T | |
练习
已知函数 y f ( x ) 的周期是3，且当 x [0,3] 时， f ( x ) x 2 1 ，求 f (1), f (5), f (16).
思考： f (5) 52 1 26 吗？
3.奇偶性
探究

y
1
2 3
2

3 5 2
[0 ]、 [2， 3 ] 上时， 当x在区间 [2 , ]、，
曲线逐渐下降， sinα的值由1 减小到 1 。
探究：余弦函数的单调性 y
1
3 5 2
2 3
2


2
O

2

1
3 2
2
5 2
3
x
由余弦函数的周期性知：
在每个闭区间[k 2
f ( x1 ) f ( x2 ) ，则f（x）在这个区间上是增函数. 1、__________ f ( x1 ) f ( x2 ) ，则f（x）在这个区间上是减函数. 2、__________
函数的单调性反映了函数在一个区间上的走向。
增函数：上升
减函数：下降
观察正余弦函数的图象，探究其单调性
上时，曲线逐渐下降， sinα的值由1减小到 1 。
探究：正弦函数的单调性 y
1
3 5 2
2 3
2


2
O

2

1
3 2
2
5 2
3
x
2 2 都是增函数，其值从－1增大到1； 3 而在每个闭区间[ 2k , 2k ](k Z )上都是 2 2 减函数，其值从1减小到－1。
2.周期性
周期函数定义：对于函数f (x)，如果存在 一个非零常数T，使得当x取定义域内的每 一个值时，都有 f (x+T)=f (x)
那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数 T叫做这个函数的周期。
判断下列命题是否正确
1、因为f(x+0)=f(0)，所以函数f(x)为周期函 数，周期是0； 2、因为f(x+2x)=f(x),所以函数f(x)为周期函 数，周期是2x； 3、因为sin(30°+120°)=sin30°,所以函 数f(x)=sinx为周期函数，周期是120°； 4、因为sin(x+ 4π)=sinx,所以函数f(x)=sinx 为周期函数，周期是4π
正弦函数在每个闭区间[

2k ,

2k ]( k Z )
探究：余弦函数的单调性 y
1
3 5 2
2 3
2


2
O

2

1
3 2
2
5 2
3
x
[，、 0] [， 2 ][3 , 4 ] 上时， 当x在区间[3 , 2 ]、
曲线逐渐上升，cosα的值由 1 增大到1 。
∴自变量x只要并且至少要增加到x+π ，函数
y sin 2 x, x R 的值才能重复出现.
所以，函数 y sin 2 x, x R 的周期是

1 1 1 (3) 2sin( x 2 ) 2sin[ ( x ) ] 2sin( x ) 2 6 2 6 2 6
举例
例1、求下列函数的周 期:
若不加特别说明 , (1) y 3 cos x, x R; 都指最小正周期 . (2) y sin 2 x, x R; 1 (3) y 2 sin( x ), x R; 2 6 (4) y A sin( x ), x R.( A 0, 0)
三角函数
1.4正弦函数余弦函数的性质
1.定义域和值域 y
1
3 5 2
2 3
2


2
O

2

1ຫໍສະໝຸດ Baidu
3 2
2
5 2
3
x
正弦函数 y sin x
定义域：R 值域：[-1，1] y
1
2
O

2
3 5 2
2 3
2



1
3 2
2
5 2
3
x
探究：正弦函数的单调性 y
1
3 5 2
2 3
2


2
O

2

1
3 2
2
5 2
3
x
5 3 3 5 … … [ ， ]、 [ ， ] 上时， 当 在区间 [ , ]、
x
2
2
2 2
2
2
曲线逐渐上升，sinα的值由 1增大到 1 。
7 5 3 3 5 7 [ ， ]、 [ ， ]、 [ , ]… 当x在区间 … [ , ]、 2 2 2 2 2 2 2 2
y
1-
6
-
4
-
2
-
o
-1 -
-
2
4
6
因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=sinx的图象在……， 4 ,2 , 2 ,0, 0,2 , 2 ,4 ,……与y=sinx,x∈[0,2π ]的图象相同
y
正弦、余弦函数y=sinx,y=cosx的图象
2
O

2

1
3 2
2
5 2
3
x
正弦函数的图象
y
1
3 5 2
2 3
2


2
O

2

余弦函数的图象
1
3 2
2
5 2
3
x
问题：它们的图象有何对称性？
3.奇偶性
(1) f ( x ) sin x , x R
任意x R
f ( x ) sin( x ) sin x f ( x )
(1)y cos x 1, x R; (2)y 3sin 2 x, x R.
解： （2）令t=2x,因为使函数y 3sin t , t R取最大值的t的集合是 {t | t 2k , k Z } 2 由 2 x t 2k 得 x k 2 4 所以使函数 y 3sin 2 x, x R取最大值的x的集合是
(2) y sin z

12
k

2
,k Z
的对称中心为 ( k ,0) , k Z
2x
z k

3
k
x

6
k

2
对称中心为 (

6
k

2
,0) , k Z
练习
1 求 y cos( x ) 函数的对称轴和对称中心 2 4
四、最大值与最小值
, 2k ]都是增函数，
其值从－1增大到1 ； 而在每个闭区间 [2k ,2k ] 上都是减函数， 其值从1减小到－1。
例2.求函数的单调增区间
1 y sin x 3 2
解：

y sin z

2
2k z

2
y=sinz的增区间
解：（1）∵
3cos( x 2 ) 3cos x
∴自变量x只要并且至少要增加到x+2π ，函数
y 3 cos x, x R 的值才能重复出现.
所以，函数 y 3 cos x, x R 的周期是 2
(2) sin(2 x 2 ) sin 2( x ) sin 2 x
使函数 y cos x 1, x R 取得最小值的x的集合，就是 使函数 y cos x, x R 取得最小值的x的集合
{x | x (2k 1) , k Z} 函数 y cos x 1, x R 的最大值是1+1=2；最小值是
-1+1=0.
例1.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最 小值时的自变量x的集合，并说出最大、最小值分别是什么.
2 3
2
y
1
P

2

P' 2

O

1
3 2
2
5 2
3
x
5 3 1 1 3 x , , , , 对称轴： 2 2 2 2 2 x

2
k , k Z
对称中心： ( ,0),(0,0),( ,0),(2 ,0)
( k ,0) k Z
x

12
时
2x

3


2

12
为对称轴
求 y sin(2 x ) 函数的对称轴和对称中心
3

例题

3
解（1）令
z 2x
则
y sin(2 x

3
) sin z
y sin z 的对称轴为 z
2x

2
k , k Z

3


2
k
x
解得：对称轴为
余弦函数的图象
3 5 2
y
1
2
O

2
P ' 3 2
2

1
3 2
2
P
5 2
3
x
对称轴： x ,0, , 2
x k , k Z
3 5 对称中心： ( ,0),( ,0),( ,0),( ,0) 2 2 2 2 (



2
k ,0) k Z
练习
为函数 y sin(2 x ) 的一条对称轴的是（ ）
3
4 A. x 3 B. x


2
C.x

12
D. x 0
y
1
O

2
3 5 2
2 3
2


2

1
3 2
2
5 2
3
x
解：经验证，当
x
余弦函数 y cos x 定义域：R 值域：[-1，1]
| sin x |≤ 1 | cos x |≤ 1
练习
P 46 练习2
(1)2cos x 3
(2)sin 2 x 0.5
3 1 cos x 2
×
√
sin x 0.5 [1,1]
正弦函数.余弦函数的图象和性质 正弦函数 y sin x, x R 的图象
∴自变量x只要并且至少要增加到x+π ，函数
1 y 2sin( x ) 2 6
的值才能重复出现. 的周期是π
所以,函数
1 y 2sin( x ), x R 2 6
思考(4)
y A sin( x ), x R.( A 0, 0) y A cos(x ), x R.( A 0, 0)
1-
-
-
-
x
6
4
-
2
-
o
-1 -
2
4
6
-
因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=cosx的图象在……， 4 ,2 , 2 ,0, 0,2 , 2 ,4 , ……与y=cosx,x∈[0,2π ]的图象相同
余弦函数 y
-
-
-
x
cos x, x R 的图象
f ( x ) sin x, x R 为奇函数 (2) f ( x ) cos x , x R
任意x R
f ( x ) cos( x ) cos x
f ( x)
f ( x ) cos x , x R 为偶函数
正弦函数的图象
3 5 2
4 同理，使函数 y 3sin 2 x, x R 取最小值的x的集合是 4 函数 y 3sin 2 x, x R 取最大值是3，最小值是-3。 {x | x
{x | x

k , k Z }

k , k Z }
4.正弦余弦函数的单调性
函数 y f ( x),若在指定区间任取 x1、x2 ， 且 x1 x2 ，都有：
2k
1 2k x 2k 2 2 3 2

5 4k x 4k 3 3
5 4 k , 4 k ,k Z 3 3
原函数的增区间
求函数的单调增区间
1 y sin x , x [2 ,2 ] 3 2