甘肃省民乐一中2021届高三上学期第二次诊断考试数学(文科)试题 Word版含答案

民乐一中2020—2021学年第一学期高三年级第二次诊断考

试 文科数学试卷

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）

1．函数lg()y x =-的定义域为A ，函数x

y e =的值域为B ，则A B =（ ）

A (0,)+∞

B (0,)e

C R

D ?

2．已知点)31

(，A ，)14(-，B ，则与向量AB 的方向相反的单位向量是（ ） A （－35，45） B （－45，35） C （35，－45） D （45，－3

5）

3．如果kx 2＋2kx －(k ＋2)<0恒成立，那么实数k 的取值范围是( ) A ．－1≤k ≤0 B ．－1≤k <0 C ．－1

5．函数y ＝

1

3

log (x 2－4x ＋3)的单调递增区间为( )

A ．(3，＋∞)

B ．(－∞，1)

C ．(－∞，1)∪(3，＋∞)

D ．(0，＋∞)

6．函数2

()f x x =＋bx 的图象在点A ))1(,1(f 处的切线与直线023=+-y x 平行，若数列

???

???)(1n f 的前n 项和为n S ，则2015S ＝（ ）

A 1

B 20132014

C 20142015

D 20152016

7．当

4x π

=

时，()sin()(0)f x A x A ?=+>有最小值，则

3(

)4y f x π=-是（ ）

A 奇函数且图像关于点(,0)

2π

对称 B 偶函数且图像关于点(,0)π对称

C 奇函数且图像关于直线

2x π

=

对称 D 偶函数且图像关于点(,0)

2π

对称

8．已知向量(3,1),(sin ,cos )αα==a b ，且a ∥b ，则tan 2α= ( )

A 35

B 35-

C 34

D 3

4-

9．定义：在数列{}n a 中，若满足d

a a a a n n n n =-+++1

12（+∈N n ，d 为常数），称{}n a 为“等差比数列”。已知在“等差比数列”{}n a 中，,3,1321===a a a 则=

20132015

a a （ ）

A ．2420151?-

B ．2420141?-

C ．2420131?-

D ．242013?

10．设函数

??

?>-<-=)0(,ln )

0(),ln()(x x x x x f 若)()(m f m f ->,则实数m 的取值范围是（ ） A )

1,0()0,1( - B )

1,0()1,( --∞ C

),1()0,1(+∞- D

)

,1()1,(+∞--∞

11．在ABC ?中，A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且 cos 3cos cos b C a B c B =-，

2BA BC ?=，则ABC ?的面积为（ ）

A

2 B 23

C 22

D 24

12．已知21

()()log 3x f x x

=-，实数a 、b 、c 满足0)()()(

若实数0x 是函数()f x 的一个零点，那么下列不等式中，不可能．．．成立的是（ ） A ． 0x a < B ．0x b > C ． 0x c < D ． 0x c > 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．在复平面内，复数z 与i -12

的对应点关于虚轴对称，则z = ．

14．若向量→a , →b 是两个互相垂直的单位向量，则向量→a -3→b 在向量→

b 方向上的投影

为 .

15．已知奇函数()f x 的定义域为R ，若(2)f x +为偶函数，且(1)1f =，则

=+)2021()2020(f f .

16．已知函数()sin 2x x f x e e x -=-+，则满足2(21)()0f x f x -+>的x 的取值范围为

三、解答题（共70分）

17.（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点

(,

),*n

S n n N n ∈均在函数y x

=的图象上． （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）若

{}n b 为等比数列，且11231,8b b b b ==，求数列{}n n a +b 的前n 项和n T ．

18. （本题满分12分）如图，以Ox 为始边作角α与β(0<β<α<π)，它们的终边分别与

单位圆相交于点P ?Q ，已知点P 的标为(53-

，54

).

（?é?）求αααtan 11

2cos 2sin +++的值;

（?騰）若0OP OQ ?=，求sin (α+β)的值

19．（本题满分10分）已知函数f(x)=2cos sin 3cos sin 322

2

+--x x x x .

（1）当

[0,]

2x π

∈时，求()f x 的值域； （2）若ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足3

b

a =，sin(2)

22cos()

sin A C A C A +=++，求()f B 的值.

20.（本题满分12分）

设函数()ln ()x

f x e a x a R =-∈，其中e 为自然对数的底数.

（1）若()f x 在定义域上是增函数，求a 的取值范围； （2）若直线y e =是函数()f x 的切线，求实数a 的值； 21．已知函数()()2x

f x x e =-，()0,x ∈+∞．

（1）求函数()f x 的单调区间；

（2）若关于x 的方程x ax e x f x

++-=2

2)(在区间()0,∞+内无零点，求实数a 的取值范

围．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22

2

1121t x t t y t ???????－＝，＋＝＋(t 为参数)，以坐标原点O 为

极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l

的极坐标方程为

cos sin 40ρθθ＋＝．

(1)求C 的普通方程和l 的直角坐标方程； (2)求C 上的点到l 距离的最大值．

23．已知函数()124f x x x =+--.

（1）若关于x 的不等式()11f x m x ≤+-+的解集为R ，求实数m 的取值范围； （2）设(){}

2

min ,65f x x x -+表示()f x 、265x x -+二者中较小的一个，若函数

()(){}()2min ,6506g x f x x x x =-+≤<，求函数()g x 的值域.

民乐一中2020—2021学年第一学期高三年级第二次诊断考试

文科数学试题答案及评分参考

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，

（1）D （2）A （3）C （4）B （5）B （6）D （7）C （8）D （9）C （10）B （11）C （12）D

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13） －1+i （14）3- （15） -1 （16）1

(,1)(,)2

-∞-+∞

三、解答题：

（17）（本小题满分12分） 解：

（Ⅰ）依题意得

n

S n n

=，即2=n S n ． 当n =1时，a 1=S 1=1 ……………1分

当n ≥2时，121n n n a S S n -=-=-； ……………3分

当n =1时，a 1=211?- =1 所

以

21n a n =- ……………4分

(Ⅱ) 312328b b b b ==得到22b =，又11b =，2q ∴=，

1112n n n b b q --∴==， ……………

8分

1212n n n a b n -∴+=-+，

011(212)(412)(212)n n T n -=-++-++???+-+ 011(214121)(222)n n -=-+-+???-+++???+

221n n =+- ……………

12分

（18）（本小题满分12分）

(1)由三角函数的定义得αcos =－

53，αsin =5

4， 则原式=α

ααααααααααcos cos sin )

cos (sin cos 2cos sin 1cos 2cos sin 22++=

+

+ =2=α2cos 2×(－

53)2=25

18

...........6分 (2)∵?=0，∴OP ⊥OQ ∴,2

π

βα=-∴2

π

αβ-

=，

∴53cos )2

sin(sin =

-=-

=απ

αβ，5

4

sin )2cos(cos ==-=απαβ. ∴βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ =

54×54+(－53)×53=25

7

……………12分 （19） （本小题满分12分） （1

）

22()2(3sin cos cos )f x x x x x =-+-

22cos sin cos cos222sin(2)

6

x x x x x x x π

=-+=+=+

7[0,],2[,]2666

x x ππππ∈∴+∈，

1

sin(2)[,1]62

x π+∈-，

()[1,2]f x ∴∈- ……………6分

（2）由条件得 sin(2)

2sin 2sin cos()A C A A A C +=++

sin cos()cos sin()2sin 2sin cos()A A C A A C A A

A C +++=++

化简得 sin 2sin C A = 2,,c a b ∴== 由余弦定理得

30,60,90A B C ???===

()(60)2sin1501f B f ??∴=== ……………12分

（20）（本小题满分12分）

解：（1）函数()ln ()x

f x e a x a R =-∈的定义域为(0,)+∞，'()0x

a

f x e x

=-

>， ∵()f x 在(0,)+∞上是增函数 ∴'()0x

a

f x e x

=-

≥在(0,)x ∈+∞上恒成立；即x a xe ≤在(0,)x ∈+∞上恒成立

设()x m x xe =，则'()(1)x

m x x e =+ 由(0,)x ∈+∞得0'()(1)x

m x x e +>=

∴()x

m x xe =在(0,)x ∈+∞上为增函数；即()(0)0m x m >= ∴0a ≤.

（2）设切点为(

)

000,ln x

x e a x -，则00ln x

a e e x -=，

因为'()x

a f x e x

=-

，所以0

00x a e x -=，得00x a x e =， 所以0000ln x

x

e e x x e -=.

设()ln x x g x e xe x =-，则'()(1)ln x

g x x e x =--， 所以当01x <<时，'()0g x >，()g x 单调递增， 当1x >时，)'(0g x <，()g x 单调递减， 所以max ()(1)==g x g e .

因为方程0000ln x x

e e x x e -=仅有一解01x =，

所以a e =.

21（本小题满分12分）

（1）依题意，()()()21x

x

x

f x e x e x e '=+-=-．

令()0f x '>，解得1x >，故函数()f x 的单调增区间是()1,+∞， 由()0f x '<，得01x <<，单调减区间是()0,1． （2）原方程可化为(

)

10x

x e ax --=，即10x e ax --=． 令()1x

g x e ax =--，0x >，则()x

g x e a '=-．

()x g x e a '=-是增函数，0x >时，e 1x >，

(ⅰ)当1a ≤时，()0g x '≥恒成立．

()g x ∴在()0,∞+上是增函数，()()00g x g ∴>=，故原方程在()0,∞+内无零点．

(ⅱ)当1a >时，由0x e a -=得ln x a =，0ln x a <<时，()0g x '<，当ln x a >时，

()0g x '>，故()f x 在区间()0,ln a 上单调递减，在区间()ln ,a +∞上单调递增．

又

()00g =，()g x ∴在区间()0,ln a 上恒小于0．∴(ln )0g a <，

下面讨论()2

1a

g a e a =--的正负； 令()2

1a

a e a ?=--，1a >．

则()2a

a e a ?'=-，

令()a ?''是()a ?'的导函数，

则()20a

a e ?''=->，()a ?'∴在()1,+∞上增函数．

()()1110a e ??∴>=-->．即()0g a >，又(ln )0g a <

∴由零点存在性定理知，原方程在()ln ,a a 上有零点．即在(0,)+∞上有零点．

综上所述，所求实数a 的取值范围是(],1-∞． （22）（本小题满分10分）

解：（1）由2221121t x t

t

y t ?-=??+??=?+?

（t 为参数），因为22

1111t t --<+，且2

2

2

2

2

222

()

14111t t x y t t ??-+=+= ?++??， 所以C 的普通方程为22

1(1)x y x +=≠-． 由

ρcosθ+4＝0，得

x +4＝0． 即直线l 的直角坐标方程为得

x +4＝0； （2）由(1)可设C 的参数方程为cos ,

sin x y αα=??

=?

(α为参数，παπ-<<)．

则P 到直线得

x +4＝0的距离为：

C上的点到l的距离为

2cos4 |cos3sin4|3

22

π

α

αα

??

-+

?

++??

=

．

当

3

π

α=时，2cos4

3

π

α??

-+

?

??

取得最大值6，故C上的点到l距离的最大值为3．23（1）由()11

f x m x

≤+-+，得22241

x x m

+--≤+，

关于x的不等式()11

f x m x

≤+-+的解集为R，

22241

x x m

∴+--≤+对任意x∈R恒成立.

()()

222422246

x x x x

+--≤+--=，

16

m

∴+≥，解得7

m≤-或5

m≥，因此，实数m的取值范围是(][)

,75,

-∞-+∞；（2）()

5,1

33,12

5,2

x x

f x x x

x x

-<-

?

?

=--≤≤

?

?-+>

?

，设2

1

65

y x x

=-+，

在同一平面直角坐标系作出函数()

y f x

=和2

1

65

y x x

=-+的图象，

函数()()

{}()

2

min,6506

g x f x x x x

=-+≤<，

∴函数()

y g x

=的图象是上图中的实线部分，且()03

g=-，()61

g=-，

则当3

x=时，函数()

y g x

=取最小值4

-；当1

x=或5时，函数()

y g x

=取最大值0. 因此，函数()

y g x

=的值域为[]

4,0

-.