离散数学-耿素云PPT(第5版)5.4
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离散数学第5讲PPT课件
() A. GH B. HG C. H => G D. G => H 4、设Ａ，Ｂ为任意命题公式，Ｃ为重言式，若Ａ∧ＣＢ∧Ｃ，那么Ａ Ｂ是_________式（重言式、矛盾式或可满足式）。 5、 命题公式（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ的主合取范式为______，主析取范式为 _______。 6、化简下式：
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第二章 命题逻辑等值演算
等值演算法求解主析取范式的方法和步骤：
（1）化为析取范式A；
∨ רP （2）对A中的简单合取项补入没有出现的命题变元 ，即合取上（P
）
式，然后应用分配律展开；
（3） 将析取式A中重复出现的合取项和相同的变元合并；
（4）除去析取范式中所有永假的合取项；
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解：因为主析取范式是由所有的取值为1的极小项析取构成，而 成真赋值所对应的即为极小项的编码，所以主析取范式为：
m0∨m3∨ m6
同理，主合取范式为：M1 ∧ M2 ∧ M4 ∧ M5 ∧ M7
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第二章 命题逻辑等值演算
2、判断公式的类型： 设公式A中含有n个命题变项，则：
（1）A为重言式 A的主析取范式含全部2n个极小项。 （2）A为矛盾式 A的主析取范式不含任何极小项 ，记A的主析取范式为 0。 （3）A为可满足式 A的主析取范式至少含一个极小项 。
第二章 命题逻辑等值演算
以上六种情况对应公式分别为：
①(רp∧רq) ∧((רp∧רr)∨(p∧r)) ∧(רp∧r) …①
② (רp∧רq) ∧(p∧רr)∧((p∧r)∨(רp∧ רr)) …②
③
((רp∧q)∨(p∧רq))∧(רp∧r)∧(רp∧r)רp∧q
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第二章 命题逻辑等值演算
等值演算法求解主析取范式的方法和步骤：
（1）化为析取范式A；
∨ רP （2）对A中的简单合取项补入没有出现的命题变元 ，即合取上（P
）
式，然后应用分配律展开；
（3） 将析取式A中重复出现的合取项和相同的变元合并；
（4）除去析取范式中所有永假的合取项；
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解：因为主析取范式是由所有的取值为1的极小项析取构成，而 成真赋值所对应的即为极小项的编码，所以主析取范式为：
m0∨m3∨ m6
同理，主合取范式为：M1 ∧ M2 ∧ M4 ∧ M5 ∧ M7
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第二章 命题逻辑等值演算
2、判断公式的类型： 设公式A中含有n个命题变项，则：
（1）A为重言式 A的主析取范式含全部2n个极小项。 （2）A为矛盾式 A的主析取范式不含任何极小项 ，记A的主析取范式为 0。 （3）A为可满足式 A的主析取范式至少含一个极小项 。
第二章 命题逻辑等值演算
以上六种情况对应公式分别为：
①(רp∧רq) ∧((רp∧רr)∨(p∧r)) ∧(רp∧r) …①
② (רp∧רq) ∧(p∧רr)∧((p∧r)∨(רp∧ רr)) …②
③
((רp∧q)∨(p∧רq))∧(רp∧r)∧(רp∧r)רp∧q
离散数学第五版耿素云屈婉玲张立昂编著
7
9.1二元运算及其性质
例6：设S={1,2},给出P(S)上的运算～和的运算表， 其中全集为S。
P(S)={,{1},{2},{1,2}}
ai
~ai
{1} {2} {1,2}
{1} {2} {1,2}
{1,2} {1} {2}
{1} {2} {1,2} {1} {1} {1,2} {2} {2} {2} {1,2} {1}
设V1=<S1,>,V2=<S2,*>是代数系统， 和*是二元运算。 如果存在映射：S1S2，若x，yS1都有
(xb)=(x)*(y)
则称是V1到V2的同态映射，简称同态。
35
9.2 代数系统
例14： (1)G1=<Z,+>，G2=<Zn,>,令
：ZZn，(x)=(x)modn
则是否为G1到G2的同态？
六、消去律（定义9.7）
设为S上的二元运算,如果对于任意的x,y,zS满足以下 条件：
(1)若xy=xz且x，则y=z。 (2)若yx=zx且x，则y=z。 那么称运算满足消去律，其中(1)称作左消去律，(2)称作 右消去律。
24
9.1二元运算及其性质
例10：设是字母的有穷集，称为字母表，中的有限 个字母组成的序列称为上的串，对任何串，串中字 母的个数叫做串的长度，记作||，长度是0的串叫空 串，记作，对任给的自然数k，令
f:ZZZ
1 )f(x ,y )x y
2 )f( x ,y ) x y
3 )f(x ,y )xy
4 )f( x ,y ) x y
4
9.1二元运算及其性质
例2： f:R*R*R*(其R 中 *是非零 ) 实数
9.1二元运算及其性质
例6：设S={1,2},给出P(S)上的运算～和的运算表， 其中全集为S。
P(S)={,{1},{2},{1,2}}
ai
~ai
{1} {2} {1,2}
{1} {2} {1,2}
{1,2} {1} {2}
{1} {2} {1,2} {1} {1} {1,2} {2} {2} {2} {1,2} {1}
设V1=<S1,>,V2=<S2,*>是代数系统， 和*是二元运算。 如果存在映射：S1S2，若x，yS1都有
(xb)=(x)*(y)
则称是V1到V2的同态映射，简称同态。
35
9.2 代数系统
例14： (1)G1=<Z,+>，G2=<Zn,>,令
：ZZn，(x)=(x)modn
则是否为G1到G2的同态？
六、消去律（定义9.7）
设为S上的二元运算,如果对于任意的x,y,zS满足以下 条件：
(1)若xy=xz且x，则y=z。 (2)若yx=zx且x，则y=z。 那么称运算满足消去律，其中(1)称作左消去律，(2)称作 右消去律。
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9.1二元运算及其性质
例10：设是字母的有穷集，称为字母表，中的有限 个字母组成的序列称为上的串，对任何串，串中字 母的个数叫做串的长度，记作||，长度是0的串叫空 串，记作，对任给的自然数k，令
f:ZZZ
1 )f(x ,y )x y
2 )f( x ,y ) x y
3 )f(x ,y )xy
4 )f( x ,y ) x y
4
9.1二元运算及其性质
例2： f:R*R*R*(其R 中 *是非零 ) 实数
上课用课件离散—耿素云
1.2 命题公式及其赋值 p q r 例（ 1 ） (2)r q p q p
定义5.公式A， 1)若A在所有赋值下的取值均为真，则称A为永真式； 2）若A在所有赋值下的取值均为假，则称A为永假式； 3）若至少有一组赋值使A的值为真，则称A为可满足式。
2.1 命题公式的等值式
例：（p q)与p q p (q r ),( p q) r,( p q) r
基本等值式（A，B，C为任意命题公式）
交换律：A B A B, A B B A 结合律：A B C A B C , A B C A B C 分配律：A B C A B A C A B C A B A C
是自然语言中的“如果 ，则”，“若，则” 的逻辑抽象。
有位父亲对儿子说：“如果我 去书店，就一定给你买电脑 报“。问：在什么情况下，
p F F T T
q F T F T
p q T T F T
父亲算失信呢？
1.1 命题和命题联结词
注意：①“只要p，就q„，’因为p，所以q”，“p仅当q”， ‘只有q，才p“，”除非q才p“，”除非q，否则非p“都可 抽象为p→q。 ②p，q可以没有任何内在联系。 例：1.如果3＋3＝6，那么雪是白的。 2.除非我能工作完成了，我才去看电影。 3.只要天下雨，我就回家。 4.我回家仅当天下雨。 p→q的逻辑关系为q是p的必要条件或p是q的充分条件。
1.2 命题公式及其赋值
定义4.将公式A在其全部赋值下的真值情况列成表， 称为A的真值表。
真值表的构造步骤： （ 1）若公式F 共有（ n n 1)个变元，则真值表第一行的n个 变元，公式写在第n 1列。 （2）写出n个变元的所有可能取值（2n 种）,按从低到高的 顺序写出公式的各层次。 （3）在不同赋值下求出各层次的真值及F的真值。
离散数学配套课件PPT(第5版)第一部分 数理逻辑联结词全功能集
3
复合联结词
与非式: pq(pq) 或非式: pq(pq)
和与, ∧,∨有下述关系: p(p∧p)pp p∧q( p∧q)(pq)(pq)(pq) p∨q(p∧q)(p)(q)(pp)(qq)
4
复合联结词(续)
ppp p∧q(pp)(qq) p∨q(pq)(pq)
13
例ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ续)
解 编号
极小项
角码 标记
1 x1∧x2∧x3∧x4 2 x1∧x2∧x3∧x4 3 x1∧x2∧x3∧x4
1110 * 1011 * 0111 *
4 x1∧x2∧x3∧x4 1010 * 5 x1∧x2∧x3∧x4 0101 * 6 x1∧x2∧x3∧x4 0011 *
1.5 联结词全功能集
联结词全功能集 与非联结词,或非联结词
1
联结词的全功能集
定义 设S是一个联结词集合，如果任何n(n1) 元 真值函数都可以由仅含S中的联结词构成的公式表 示，则称S是联结词全功能集.
说明：若S是联结词全功能集，则任何命题公式都 可用S中的联结词表示.
设S1, S2是两个联结词集合，且S1 S2. 若S1是全
x y
x∧y x y
x∨y x
x
与门
或门
非门
8
组合电路的例子
(x∨y)∧x的组合电路
x y
x y
第一种画法
x 第二种画法
9
例
例 楼梯的灯由上下2个开关控制, 要求按动任何一个 开关都能打开或关闭灯. 试设计一个这样的线路. 解 x,y:开关的状态, F:灯的状态, 打开为1, 关闭为0. 不妨设当2个开关都为0时灯是打开的.
(5,7) x1∧x3∧x4 001 *
复合联结词
与非式: pq(pq) 或非式: pq(pq)
和与, ∧,∨有下述关系: p(p∧p)pp p∧q( p∧q)(pq)(pq)(pq) p∨q(p∧q)(p)(q)(pp)(qq)
4
复合联结词(续)
ppp p∧q(pp)(qq) p∨q(pq)(pq)
13
例ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ续)
解 编号
极小项
角码 标记
1 x1∧x2∧x3∧x4 2 x1∧x2∧x3∧x4 3 x1∧x2∧x3∧x4
1110 * 1011 * 0111 *
4 x1∧x2∧x3∧x4 1010 * 5 x1∧x2∧x3∧x4 0101 * 6 x1∧x2∧x3∧x4 0011 *
1.5 联结词全功能集
联结词全功能集 与非联结词,或非联结词
1
联结词的全功能集
定义 设S是一个联结词集合，如果任何n(n1) 元 真值函数都可以由仅含S中的联结词构成的公式表 示，则称S是联结词全功能集.
说明：若S是联结词全功能集，则任何命题公式都 可用S中的联结词表示.
设S1, S2是两个联结词集合，且S1 S2. 若S1是全
x y
x∧y x y
x∨y x
x
与门
或门
非门
8
组合电路的例子
(x∨y)∧x的组合电路
x y
x y
第一种画法
x 第二种画法
9
例
例 楼梯的灯由上下2个开关控制, 要求按动任何一个 开关都能打开或关闭灯. 试设计一个这样的线路. 解 x,y:开关的状态, F:灯的状态, 打开为1, 关闭为0. 不妨设当2个开关都为0时灯是打开的.
(5,7) x1∧x3∧x4 001 *
离散数学讲解第五章PPT课件
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又例如 (a2)3 a6 因为 (a2)3(a (2)1)3(a2)1(a2)1(a2)1
(aa)1(aa)1(aa)1
根据结合(a律 a )(a 1a1)(a1a1)(aa)e 所以 (a a)1 a1a1 因此 (a2) 3 (a1a1)(a1a1)(a1a1)
a 1a 1 a1a1a1a1 (a 1)6 a 6
2021/4/8
7
定理5-2：设h是从代数系统V1＝ <S;*>到V2＝ <S;>的 满同态，其中运算*和都是二元运算，则 （1）若V1是半群，则V2也是半群； （2）若V1是独异点，则V2也是独异点。
2021/4/8
8
四、有限独异点的幂等元 设<S;*>是生成元为g的有限循环独异点，考虑无限序列： e，g，g2，g3，.... ，gn-1，gn，gn+1，......
证明：对任意的a∈S，令Sa＝{ a0,a1,a2,...,an,...} 因为S有限，而SaS，所以Sa也有限。 可以验证<S; * >是一具有生成元a的有限循环独异点。 因此，至少有一幂等元akl，这里的k和l如前定义。 记j＝kl，即aj是幂等元。 注：这里j≥1，有可能aj=e
2021/4/8
（1）令FA={f|f:AA},则<FA;>是一个群。 (N)
（2）令EA = {f|f:AA是双射}, 则<EA;>是一个群。 (Y )
（3）EA 定义同上，<EA;>是一个交换群。 (N)
（4）EA 定义同上，<EA;>是一个循环群。 (N )
2021/4/8
25
5.3 群的性质
一、关于相约性 定理5-6 设<G;*>是一个群，则对任意的a,b G， （1）存在唯一的元素xG，使a*x=b； （2）存在唯一的元素yG，使y*a=b。
离散数学第五版第五章(耿素云、屈婉玲、张立昂编著)
称+(G)，+(G)，－(G)，－(G)分别为G的最大出度、 最小出度、最大入度和最小入度。
12
5.1 无向图及有向图
五、握手定理(定理5.1-5.2)
设G=<V,E>为任意无向图，V={1,2,……,n}，|E|=m，则
n
d ( i ) = 2 m
i =1
设D=<V,E>为任意有向图，V={1,2,……,n}，|E|=m，则
20
5.1 无向图及有向图
例5：下列图中那些图具有子图、真子图、生成子图的
关系？
e4 2
1 e5
e1 3
e3 4 e2
(1)
2 e4
1
e5
(2)
e4 1 2
e1 3
e3 4
(3)
1 e1
e3
2
e2 3
1 e1
e3
2
3
1 e1
2
e4
(4)
(5)
(6)
21
5.1 无向图及有向图
23
5.1 无向图及有向图
例3： (1)画出4阶3条边的所有非同构的无向简单图。 (2)画出3阶2条边的所有非同构的有向简单图。
24
5.1 无向图及有向图
例4：下列图中那些图互为同构？
e a
b
d
c
1
4
5
2
3
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
（6）
25
第五章 图的基本概念 5.1 无向图及有向图 5.2 通路、回路、图的连通性 5.3 图的矩阵表示 5.4 最短路径及关键路径
十一、补图的定义（定义5.9）
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5.1 无向图及有向图
五、握手定理(定理5.1-5.2)
设G=<V,E>为任意无向图，V={1,2,……,n}，|E|=m，则
n
d ( i ) = 2 m
i =1
设D=<V,E>为任意有向图，V={1,2,……,n}，|E|=m，则
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5.1 无向图及有向图
例5：下列图中那些图具有子图、真子图、生成子图的
关系？
e4 2
1 e5
e1 3
e3 4 e2
(1)
2 e4
1
e5
(2)
e4 1 2
e1 3
e3 4
(3)
1 e1
e3
2
e2 3
1 e1
e3
2
3
1 e1
2
e4
(4)
(5)
(6)
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5.1 无向图及有向图
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5.1 无向图及有向图
例3： (1)画出4阶3条边的所有非同构的无向简单图。 (2)画出3阶2条边的所有非同构的有向简单图。
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5.1 无向图及有向图
例4：下列图中那些图互为同构？
e a
b
d
c
1
4
5
2
3
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
（6）
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第五章 图的基本概念 5.1 无向图及有向图 5.2 通路、回路、图的连通性 5.3 图的矩阵表示 5.4 最短路径及关键路径
十一、补图的定义（定义5.9）
离散数学的ppt课件
科学中的许多问题。
03
例如，利用图论中的最短路径算法和最小生成树算法
等，可以优化网络通信和数据存储等问题。
运筹学中的应用
01
运筹学是一门应用数学学科， 主要研究如何在有限资源下做 出最优决策，离散数学在运筹 学中有着广泛的应用。
02
利用离散数学中的线性规划、 整数规划和非线性规划等理论 ，可以解决运筹学中的许多问 题。
并集是将两个集合中的所有元素合 并在一起，形成一个新的集合。
详细描述
例如，{1, 2, 3}和{2, 3, 4}的并集是 {1, 2, 3, 4}。
总结词
补集是取一个集合中除了某个子集 以外的所有元素组成的集合。
详细描述
例如，对于集合{1, 2, 3}，{1, 2}的 补集是{3}。
集合的基数
总结词
）的数学分支。
离散数学的学科特点
03
离散数学主要研究对象的结构、性质和关系，强调推
理和证明的方法。
离散数学的应用领域
计算机科学
01
离散数学是计重要的工具和方法。
通信工程
02
离散数学在通信工程中广泛应用于编码理论、密码学、信道容
量估计等领域。
集合的基数是指集合中元素的数量。
详细描述
例如，集合{1, 2, 3}的基数是3，即它包含三个元素。
03 图论
图的基本概念
顶点
图中的点称为顶点或节点。
边
连接两个顶点的线段称为边。
无向图
边没有方向，即连接两个顶点的线段可以是双向 的。
有向图
边有方向，即连接两个顶点的线段只能是从一个顶 点指向另一个顶点。
研究模态算子（如necessity、possibility）的语义和语法。
离散数学耿素云PPT第版
3
通路与回路(续)
在两种意义下计算圈的个数 ① 定义意义下 在无向图中, 一个长度为l(l3)的圈看作2l个不同的 圈. 如v0v1v2v0 , v1v2v0v1 , v2v0v1v2, v0v2v1v0 , v1v0v2v1 , v2v1v0v2看作6个不同的圈. 在有向图中, 一个长度为l(l3)的圈看作l个不同的 圈. ② 同构意义下 所有长度相同的圈都是同构的, 因而是1个圈.
(2) 若通路(回路)中所有顶点(对于回路, 除v0=vl)各异，则称为 初级通路(初级回路).初级通路又称作路径, 初级回路又称 作圈.
(3) 若通路(回路)中所有边各异, 则称为简单通路(简单回路), 否则称为复杂通路(复杂回路).
1
通路与回路实例
2
通路与回路(续)
说明: 表示方法
① 用顶点和边的交替序列(定义), 如=v0e1v1e2…elvl ② 用边的序列, 如=e1e2…el ③ 简单图中, 用顶点的序列, 如=v0v1…vl ④ 非简单图中,可用混合表示法,如=v0v1e2v2e5v3v4v5 环是长度为1的圈, 两条平行边构成长度为2的圈. 在无向简单图中, 所有圈的长度3; 在有向简单图 中, 所有圈的长度2.
4
通路与回路(续)
定理 在n阶图G中，若从顶点u到v（uv）存在通 路，则从u到v存在长度小于等于n1的通路. 推论 在n阶图G中，若从顶点u到v（uv）存在通 路，则从u到v存在长度小于等于n1的初级通路.
定理 在一个n阶图G中，若存在v到自身的回路，则 一定存在v到自身长度小于等于n的回路. 推论 在一个n阶图G中，若存在v到自身的简单回 路，则存在v到自身长度小于等于n的初级回路.
6
点割集
记 Gv: 从G中删除v及关联的边 GV : 从G中删除V 中所有的顶点及关联的边 Ge : 从G中删除e GE: 从G中删除E中所有边
通路与回路(续)
在两种意义下计算圈的个数 ① 定义意义下 在无向图中, 一个长度为l(l3)的圈看作2l个不同的 圈. 如v0v1v2v0 , v1v2v0v1 , v2v0v1v2, v0v2v1v0 , v1v0v2v1 , v2v1v0v2看作6个不同的圈. 在有向图中, 一个长度为l(l3)的圈看作l个不同的 圈. ② 同构意义下 所有长度相同的圈都是同构的, 因而是1个圈.
(2) 若通路(回路)中所有顶点(对于回路, 除v0=vl)各异，则称为 初级通路(初级回路).初级通路又称作路径, 初级回路又称 作圈.
(3) 若通路(回路)中所有边各异, 则称为简单通路(简单回路), 否则称为复杂通路(复杂回路).
1
通路与回路实例
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通路与回路(续)
说明: 表示方法
① 用顶点和边的交替序列(定义), 如=v0e1v1e2…elvl ② 用边的序列, 如=e1e2…el ③ 简单图中, 用顶点的序列, 如=v0v1…vl ④ 非简单图中,可用混合表示法,如=v0v1e2v2e5v3v4v5 环是长度为1的圈, 两条平行边构成长度为2的圈. 在无向简单图中, 所有圈的长度3; 在有向简单图 中, 所有圈的长度2.
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通路与回路(续)
定理 在n阶图G中，若从顶点u到v（uv）存在通 路，则从u到v存在长度小于等于n1的通路. 推论 在n阶图G中，若从顶点u到v（uv）存在通 路，则从u到v存在长度小于等于n1的初级通路.
定理 在一个n阶图G中，若存在v到自身的回路，则 一定存在v到自身长度小于等于n的回路. 推论 在一个n阶图G中，若存在v到自身的简单回 路，则存在v到自身长度小于等于n的初级回路.
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点割集
记 Gv: 从G中删除v及关联的边 GV : 从G中删除V 中所有的顶点及关联的边 Ge : 从G中删除e GE: 从G中删除E中所有边
2019离散数学-耿素云PPT(第5版)1.1-2.ppt
p q
p q p q
q p q p p q q p q p
18
注意： pq 与 qp 等值（真值相同）
联结词与复合命题(续)
5. 等价式与等价联结词“” 定义 设p，q为二命题，复合命题 “p当且仅当q”称 作p与q的等价式，记作pq. 称作等价联结词. 并规定pq为真当且仅当p与q同时为真或同时为 假. 说明: (1) pq 的逻辑关系:p与q互为充分必要条件
解令 (1) (2) (3) p：王晓用功，q：王晓聪明，则 p∧ q p∧ q p∧ q.
12
例 (续)
令 r : 张辉是三好学生，s :王丽是三好学生 (4) r∧s. (5) 令 t : 张辉与王丽是同学，t 是简单命题 . 说明: (1)~(4)说明描述合取式的灵活性与多样性. (5) 中“与”联结的是两个名词，整个句子是 一个简单命题.
15
联结词与复合命题(续)
4.蕴涵式与蕴涵联结词“” 定义 设 p,q 为二命题，复合命题 “如果 p, 则 q”
称作 p 与 q 的蕴涵式，记作 pq ，并称 p 是蕴涵式
的前件， q 为蕴涵式的后件 . 称作蕴涵联结词，
并规定，pq为假当且仅当 p 为真 q 为假.
16
联结词与复合命题(续)
6
命题与真值
命题: 判断结果惟一的陈述句 命题的真值: 判断的结果 真值的取值: 真与假 真命题: 真值为真的命题 假命题: 真值为假的命题 注意: 感叹句、祈使句、疑问句都不是命题 陈述句中的悖论以及判断结果不惟一确定的也不是 命题
7
例 下列句子中那些是命题？
(1)
2 是无理数.
真命题 假命题 真值不确定 疑问句 感叹句
离散数学第五版第四章(耿素云屈婉玲张立昂编著) ppt课件
证明：设A=、B={1}、C={2}、D={3}
(AB)×(CD)={<1,2>、<1,3>}
(A×C)(B×D)={<2,1>、<2,3>}
所以：等式不成立 （3）(A-B)×(C-D)=(A×C)-(B×D)
证明：设A={1}、B={1}、C={2}、D={3}
(A-B)×(C-D)=
(xAyB) (xAyC)
<x,y>A×B <x,y>A×C
<x,y>(A×B)(A×C) PPT课件
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4.1迪卡尔乘积与二元关系
5) 迪卡尔乘积运算对并和交运算满足分配律，即： (4)（BC）×A= (B×A)(C×A）
证明： 对于任意的<x,y>
<x,y>（BC）×A
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4.1迪卡尔乘积与二元关系
例5：设A={a,b}，R是P(A)上的包含关系， R={<x,y>|x,yP(A)xy}
解：P(A)={,{a},{b},{a,b}} R={<, >,<,{a}>,<,{b}>,<,{a,b}>, <{a},{a}>,<{a},{a,b}>,<{b},{b}>, <{b},{a,b}>,<{a,b},{a,b}>}
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4.1迪卡尔乘积与二元关系
例4：设A,B,C,D为任意集合，判断真假。 （1）A×B=A×CB=C 证明：若A=，B={1}，C={2} 则A×B=A×C=，而BC。 所以：命题真假不定
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v5 (+, ) (+, ) (+, ) (+, ) (10,v4) (9,v3)*
4
项目网络图
项目网络图: 表示项目的活动之间前后顺序一致的带 权有向图. 边表示活动, 边的权是活动的完成时间,顶 点表示事项(项目的开始和结束、活动的开始和结束). 要求: (1) 有一个始点(入度为0)和一个终点(出度为0). (2) 任意两点之间只能有一条边.
9
例(续)
事项的最晚完成时间 TL(8)=12 TL(7)=min{12-6}=6 TL(6)=min{12-1}=11 TL(5)=min{11-1}=10 TL(4)=min{10-4}=6 TL(3)=min{6-2,11-4,6-4}=2 TL(2)=min{2-0,10-3,6-4}=2 TL(1)=min{2-1,2-2,6-3}=0
例 L1=v0v1v3v5, w(L1)=10,
L2=v0v1v4v5, w(L2)=12,
L3=v0v2v4v5, w(L3)=11.
2
标号法(E.W.Dijkstra, 1959)
设带权图G=<V,E,w>, 其中eE, w(e)0. 设V={v1,v2,,vn}, 求v1到其余各顶点的最短路径 1. 令 l10, p1, lj+, pj, j=2,3,,n, P={v1}, T=V-{v1}, k1, t1. / 表示空 2. 对所有的vjT且(vk,vj)E 令lmin{lj, lk+wkj}, 若l=lk+wkj, 则令ljl, pjvk. 3. 求li=min{lj| vjTt}. 令PP{vi}, TT-{vi}, ki. 4. 令tt+1, 若t<n, 则转2.
14
例
例3 学生会下设6个委员会, 第一委员会={张, 李, 王}, 第二委 员会={李, 赵, 刘}, 第三委员会={张, 刘, 王}, 第四委员会={赵, 刘, 孙}, 第五委员会={张, 王}, 第六委员会={李, 刘, 王}. 每个 月每个委员会都要开一次会, 为了确保每个人都能参加他所 在的委员会会议, 这6个会议至少要安排在几个不同时间段?
总工期:12天 关键路径: v1v3v7v8
关键活动: B,F,J
11
着色
定义 设无向图G无环, 对G的每个顶点涂一种颜色， 使相邻的顶点涂不同的颜色，称为图G的一种点着 色,简称着色．若能用k种颜色给G的顶点着色， 则 称G是k-可着色的． 图的着色问题: 用尽可能少的颜色给图着色.
例1
2 1 2 1
8
例(续)
事项的最早开始时间 TE(1)=0 TE(2)=max{0+1}=1 TE(3)=max{0+2,1+0}=2 TE(4)=max{0+3,2+2}=4 TE(5)=max{1+3,4+4}=8 TE(6)=max{2+4,8+1}=9 TE(7)=max{1+4,2+4}=6 TE(8)=max{9+1,6+6}=12
1
2
1 2 3 2
1
2 1
1
2 1 2 3 1
2
1 2 3 2
1
4 1 2
2 1
1
2
12
例
例2
1 2 1 2 1 2 1
2
3 2
1 2 2 21Fra bibliotek3 3
1
1 3
2 4 3 1 2
13
应用
有n项工作, 每项工作需要一天的时间完成. 有些工 作由于需要相同的人员或设备不能同时进行, 问至 少需要几天才能完成所有的工作? 计算机有k个寄存器, 现正在编译一个程序, 要给每 一个变量分配一个寄存器. 如果两个变量要在同一 时刻使用, 则不能把它们分配给同一个寄存器.如 何给变量分配寄存器? 无线交换设备的波长分配. 有n台设备和k个发射波 长, 要给每一台设备分配一个波长. 如果两台设备 靠得太近, 则不能给它们分配相同的波长, 以防止 干扰. 如何分配波长?
A B C B A C 引入虚活动
(3) 没有回路. (4) 每一条边始点的编号小于终点的编号.
5
例
活动 紧前活动 时间(天) A B C 1 2 3 D A 4 E F G H I J K L A A,B A,B A,B C,H D,F E,I G,K 3 4 4 2 4 6 1 1
3
Dijkstra标号法实例
例 求v0到v5的最短路径
t v0 v1 v2 v3 v4 1 (0, )* (+, ) (+, ) (+, ) (+, ) 2 (1,v0)* (4,v0) (+, ) (+, ) 3 (3,v1)* (8,v1) (6,v1) 4 (8,v1) (4,v2)* 5 (7,v4)* 6 v0到v5的最短路径: v0v1v2v4v3v5 , d(v0,v5)=9
7
关键路径(续)
(3) 活动<i,j>的最早开始时间ES(i,j): <i,j>最早可能开始时间. (4) 活动<i,j>的最早完成时间EF(i,j): <i,j>最早可能完成时间. (5) 活动<i,j>的最晚开始时间ES(i,j): 在不影响项目工期的条 件下, <i,j>最晚必须开始的时间. (6) 活动<i,j>的最晚完成时间ES(i,j): 在不影响项目工期的条 件下, <i,j>最晚必须完成的时间. (7) 活动<i,j>的缓冲时间SL(i,j): SL(i,j)= LS(i,j)-ES(i,j)=LF(i,j)-EF(i,j) 显然, ES(i,j)= ES(i), EF(i,j)= ES(i)+wij, LF(i,j)=LF(j), LS(i,j)=LF(j)-wij,
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例(续)
活动 ES EF LS LF SL A 0 1 1 2 1 B C D E F G H I J 0 0 1 1 2 2 2 4 6 2 3 5 4 6 6 4 8 12 0 3 2 7 2 7 4 6 6 2 6 6 10 6 11 6 10 12 0 3 1 6 0 5 2 2 0 K 8 9 10 11 2 L 9 10 11 12 2
v1 1
v2 2 v3 3 4 v6
2
v5
1 v4
至少要4个时段 第1时段:一,四 第2时段:二,五 第3时段:三 第4时段:六
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5.4 最短路径,关键路径与着色
带权图 最短路径与Dijkstra标号法 项目网络图与关键路径
着色问题
1
最短路径
带权图G=<V,E,w>, 其中w:ER. eE, w(e)称作e的权. e=(vi,vj), 记w(e)=wij . 若vi,vj不 相邻, 记wij =. 通路L的权: L的所有边的权之和, 记作w(L). u和v之间的最短路径: u和v之间权最小的通路.
1 C
A B 2 3
1
2 3
D 4
E 3
F 4
G 4 6 K 1 5
7 L 1
J
6 8
H 2
4
I 4
6
关键路径
关键路径: 项目网络图中从始点到终点的最长路径 关键活动: 关键路径上的活动 设D=<V,E,W>, V={1,2,,n}, 1是始点, n是终点. (1)事项i的最早完成时间ES(vi): i最早可能开始的时间, 即从始点到i的最长路径的长度. ES(1)=0 ES(i)=max{ES(j)+wji|<j,i>E}, i=2,3,,n (2)事项i的最晚完成时间LF(i): 在不影响项目工期的条 件下,事项i最晚必须完成的时间. LF(n)=ES(n) LF(i)=min{LF(j)-wij|<i,j>E}, i=n-1,n-2,,1