冀教版八年级下册数学试卷22.：新定义问题试题

2022年最新冀教版八年级数学下册第二十二章四边形综合测评试题(含详细解析)

八年级数学下册第二十二章四边形综合测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、下列说法正确的是（）A．只有正多边形的外角和为360°B．任意两边对应相等的两个直角三角形全等C．等腰三角形有两条对称轴D．如果两个三角形一模一样，那么它们形成了轴对称图形2、如图，△ABC的周长为a，以它的各边的中点为顶点作△A1B1C1，再以△AB1C1各边的中点为顶点作△A2B2C2，再以△AB2C2各边的中点为顶点作△A3B3C3，…如此下去，则△AnBnCn的周长为（）A．12na B．13na C．112n-a D．113n-a3、如图，为了测量一块不规则绿地B，C两点间的距离，可以在绿地的一侧选定一点A，然后测量出AB，AC的中点D，E，如果测量出D，E两点间的距离是8m，那么绿地B，C两点间的距离是（）A．4m B．8m C．16m D．20m4、矩形ABCD的对角线交于点O，∠AOD=120°，AO=3，则BC的长度是（）A．3 B．C．D．65、如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），则下列四个说法：①x2+y2=49，②x﹣y=2，③2xy+4=49，④x+y=9．其中说法正确的是（）A．②③B．①②③C．②④D．①②④6、下列命题中，是真命题的是（）．A．三角形的外心是三角形三个内角角平分线的交点B．满足222a b c的三个数a，b，c是勾股数+=C．对角线相等的四边形各边中点连线所得四边形是矩形D．五边形的内角和为540︒7、如图，点D，E分别是△ABC边BA，BC的中点，AC＝3，则DE的长为（）A ．2B ．43C ．3D ．328、正方形具有而矩形不一定具有的性质是（）A ．四个角相等B ．对角线互相垂直C ．对角互补D ．对角线相等9、一个多边形的每个内角均为150°，则这个多边形是（）A ．九边形B ．十边形C ．十一边形D ．十二边形10、如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，以点O 为顶点的正方形OEGF 的两边OE ，OF 分别交正方形ABCD 的两边AB ，BC 于点M ，N ，记AOM 的面积为1S ，CON 的面积为2S ，若正方形的边长10AB =，116S =，则2S 的大小为（）A ．6B ．7C ．8D ．9第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，点M ，N 分别是ABC 的边AB ，AC 的中点，若60A ∠=︒，75B ∠=︒，则ANM ∠=______．2、在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，BC ⊥CD ，BC ＝10cm ，M 是BC 上一点，且BM=4cm ，点E 从A 出发以1cm/s 的速度向D 运动，点F 从点B 出发以2cm/s 的速度向点C 运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t ，当t 的值为_____时，以A 、M 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形．3、过某个多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成6个三角形，这个多边形是___边形．4、如图，在▱ABCD 中，AC 是对角线，∠ACD ＝90°，点E 是BC 的中点，AF 平分∠BAC ，CF ⊥AF 于点F ，连接EF ．已知AB ＝5，BC ＝13，则EF 的长为__．5、正方形的边长与它的对角线的长度的比值为_____．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图所示，在四边形ABCD 中，∠A ＝80°，∠C =75°，∠ADE 为四边形ABCD 的一个外角，且∠ADE ＝125°,试求出∠B 的度数.2、如图1，已知∠ACD 是ABC 的一个外角，我们容易证明∠ACD ＝∠A +∠B ，即：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？(1)尝试探究：如图2，已知：∠DBC 与∠ECB 分别为ABC 的两个外角，则∠DBC ＋∠ECB －∠A 180°．（横线上填＜、＝或＞）(2)初步应用：如图3，在ABC 中，BP 、CP 分别平分外角∠DBC 、∠ECB ，∠P 与∠A 有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案：∠P = ．(3)解决问题：如图4，在四边形ABCD 中，BP 、CP 分别平分外角∠EBC 、∠FCB ，请利用上面的结论探究∠P 与∠BAD 、∠CDA 的数量关系．3、如图，直线12l l ∥，线段AD 分别与直线1l 、2l 交于点C 、点B ，满足AB CD ．(1)使用尺规完成基本作图：作线段BC 的垂直平分线交1l 于点E ，交2l 于点F ，交线段BC 于点O ，连接ED 、DF 、FA 、AE ．（保留作图痕迹，不写做法，不下结论）(2)求证：四边形AEDF 为菱形．（请补全下面的证明过程）证明：12l l ∥1∴∠=____①____ EF 垂直平分BCOB OC ∴=，90EOC FOB ︒∠=∠=∴____②____FOB ∆≌OE ∴=____③____AB CD =OB AB OC DC +=+∴OA OD ∴=∴四边形AEDF 是___④_____EF AD ⊥∴四边形AEDF 是菱形（______⑤__________）（填推理的依据）．4、如图，正方形ABCD 和正方形CEFG ，点G 在CD 上，AB ＝5，CE ＝2，T 为AF 的中点，求CT 的长．5、背景资料：在已知ABC 所在平面上求一点P ，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图1，当ABC 三个内角均小于120°时，费马点P 在ABC 内部，当120APB APC CPB ∠=∠=∠=︒时，则PA PB PC ++取得最小值．(1)如图2，等边ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求APB∠的度数，为了解决本题，我们可以将ABP△绕顶点A旋转到ACP'△处，此时ACP ABP'≌这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出APB∠=_______；知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与ABC的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下问题．(2)如图3，ABC三个内角均小于120°，在ABC外侧作等边三角形ABB'，连接CB'，求证：CB'过ABC的费马点．(3)如图4，在RT ABC中，90C∠=︒，1AC=，30ABC∠=︒，点P为ABC的费马点，连接AP、BP、CP，求PA PB PC++的值．(4)如图5，在正方形ABCD中，点E为内部任意一点，连接AE、BE、CE，且边长2AB=；求AE BE CE++的最小值．-参考答案-一、单选题1、B【解析】【分析】选项A 根据多边形的外角和定义判断即可；选项B 根据三角形全等的判定方法判断即可；选项C 根据轴对称图形的定义判断即可；选项D 根据轴对称的性质判断即可．【详解】解：A ．所有多边形的外角和为360︒，故本选项不合题意；B ．任意两边对应相等的两个直角三角形全等，说法正确，故本项符合题意；C ．等腰三角形有1条对称轴，故本选项不合题意；D ．如果两个三角形一模一样，那么它们不一定形成轴对称图形，故本选项不合题意；故选：B ．【点睛】此题主要考查了多边形的外角和，轴对称的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定，解题的关键是掌握轴对称图形的概念．2、A【解析】【分析】根据三角形中位线的性质可知111A B C △的周长12ABC =△的周长，222A B C △的周长11112A B C =的周长，以此类推找出规律，写出代数式，再整理即可选择．【详解】解：∵以△ABC 的各边的中点为顶点作111A B C △，∴111A B C △的周长12ABC =△的周长12a =⨯． ∵以111A B C △各边的中点为顶点作222A B C △，∴222A B C △的周长11112A B C =的周长1122a =⨯⨯， …， ∴n n n A B C 的周长1(12)2n n a a ⨯== 故选：A ．【点睛】本题主要考查三角形中位线的性质，根据三角形中位线的性质求出前2个三角形的面积总结出规律是解答本题的关键．3、C【解析】【分析】根据三角形中位线定理即可求出BC ．【详解】解：ABC ∆中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，DE ∴为三角形ABC 的中位线，12DE BC ∴=， 22816m BC DE ∴==⨯=，故选：C ．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理的应用，解题的关键是掌握三角形的中位线等于第三边的一半．4、C【解析】【分析】画出图形，由条件可求得△AOB为等边三角形，则可求得AC的长，在Rt△ABC中，由勾股定理可求得BC的长．【详解】解：如下图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，OA=12AC，OB=12BD，AC=BD，∴OA=OB，∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴OA=AB=2，∴AC=2OA=4，∴BC2=AC2-AB2=36-9=27，∴BC=故选：D．【点睛】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．5、B【解析】【分析】根据正方形的性质，直角三角形的性质，直角三角形面积的计算公式及勾股定理解答即可．【详解】如图所示，∵△ABC 是直角三角形，∴根据勾股定理：22249x y AB +==，故①正确；由图可知2x y CE -==，故②正确；由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，列出等式为144492xy ⨯⨯+=，即2449xy +=，故③正确；由2449xy +=可得245xy =，又∵2249x y +=，两式相加得：2224945x xy y ++=+，整理得：()294x y +=，9x y +=≠，故④错误；故正确的是①②③．故答案选B ．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正方形性质，完全平方公式的应用，算术平方根，准确分析判断是解题的关键．6、D【解析】【分析】正确的命题是真命题，根据定义解答．【详解】解：A. 三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交点，故该项不符合题意；B. 满足222+=a b c 的三个正整数a ，b ，c 是勾股数，故该项不符合题意；C. 对角线相等的四边形各边中点连线所得四边形是菱形，故该项不符合题意；D. 五边形的内角和为540︒，故该项符合题意；故选：D ．【点睛】此题考查了真命题的定义，正确掌握三角形外心的定义，勾股数的定义，中点四边形的判定定理及多边形内角和的计算公式是解题的关键．7、D【解析】略8、B【解析】略9、D【解析】【分析】先求出多边形的外角度数，然后即可求出边数．【详解】解：∵多边形的每个内角都等于150°，∴多边形的每个外角都等于180°-150°=30°，∴边数n=360°÷30°=12，故选：D．【点睛】本题考查多边形的内角和、外角来求多边形的边数，属于基础题，熟练掌握多边形中内角和定理公式是解决本类题的关键．10、D【解析】【分析】由题意依据全等三角形的判定得出△BOM≌△CON，进而根据正方形的性质即可得出2S的大小.【详解】解：∵正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，∴OC=OD=BO=AO，∠ABO=∠ACB=45°，AC⊥BD．∵∠MOB+∠BON=90°，∠BON+∠CON=90°∴∠BOM=∠CON，且OC=OB，∠ABO=∠ACB=45°，∴△BOM ≌△CON （ASA ），2S =S △BOM ，∴121BOM AOB S S S S S ==++，∵AOB S =14S 正方形ABCD ，正方形的边长10AB =，116S =， ∴2S =14S 正方形ABCD -1S =110101694⨯⨯-=. 故选：D.【点睛】本题考查正方形的性质以及全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是解答本题的关键．二、填空题1、45°##45度【解析】【分析】根据三角形中位线定理得出//BC MN ，进而利用平行线的性质解答即可．【详解】解：M 、N 分别是ABC ∆的边AB 、AC 的中点，//MN BC ∴，C ANM ∴∠=∠，60A ∠=︒，75B ∠=︒，18045C A B ∴∠=︒-∠-∠=︒，45ANM ∴∠=︒，故答案是：45︒．本题考查三角形中位线定理，解题的关键是根据三角形中位线定理得出//BCMN．2、4s或43s【解析】【分析】分两种情况：①当点F在线段BM上，即0≤t＜2，②当F在线段CM上，即2≤t≤5，列方程求解．【详解】解：①当点F在线段BM上，即0≤t＜2，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则有t＝4﹣2t，解得t＝43，②当F在线段CM上，即2≤t≤5，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则有t＝2t﹣4，解得t＝4，综上所述，t＝4或43，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，故答案为：4s或43s．【点睛】此题考查了动点问题，一元一次方程与动点问题，平行四边形的定义，熟记平行四边形的定义是解题的关键．3、八【解析】【分析】根据n边形从一个顶点出发可引出(n-3)条对角线，可组成(n-2)个三角形，依此可得n的值，即得出答案．解：由题意得，n-2=6，解得：n=8，故答案为：八．【点睛】本题考查了多边形的对角线，解题的关键是熟知一个n边形从一个顶点出发，可将n边形分割成(n-2)个三角形．4、72##3.5【解析】【分析】延长AB、CF交于点H，由“ASA”可证AFH AFC≌，可得AC＝AH＝12，HF＝CF，由三角形中位线定理可求解．【详解】解：如图，延长AB、CF交于点H，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB CD∥，∴∠ACD＝∠BAC＝90°，∴12AC=，∵AF 平分∠BAC ，∴∠BAF ＝∠CAF ＝45°，在AFH 和AFC △中，90HAF CAF AF AFAFH AFC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ∴()AFH AFC ASA ≌，∴AC ＝AH ＝12，HF ＝CF ，∴BH ＝AH ﹣AB ＝7，∵点E 是BC 的中点，HF ＝CF ，∴EF ＝12BH ＝72，故答案为：72．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线的定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．5、2【解析】【分析】由正方形的性质得出AB BC CD AD ===，AC BD =，90ABC ∠=︒，由勾股定理求出AC ，即可得出正方形的边长与对角线长的比值．【详解】解：四边形ABCD 是正方形，AB BC CD AD ∴===，AC BD =，90ABC ∠=︒，AC ∴=，∴2AB AC =；．【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．三、解答题1、150°【解析】【分析】先根据邻补角的定义求出∠ADC 的度数，再根据四边形的内角和求出∠B 的度数．【详解】解：∵∠ADE 为四边形ABCD 的一个外角，且∠ADE ＝125°，∴∠ADC =180°-∠ADE ＝55°，∵∠A +∠B +∠C +∠ADE ＝360°，∴∠B=360°-∠A-∠C-∠ADE＝360°-80°-75°-55°=150°．【点睛】此题考查了多边形外角定义，多边形的内角和，熟记多边形的内角和进行计算是解题的关键．2、 (1)＝(2)∠P＝90°－12∠A(3)∠P＝180°－12∠BAD－12∠CDA，探究见解析【解析】【分析】（1）根据三角形外角的性质得：∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC，两式相加可得结论；（2）根据角平分线的定义得：∠CBP=12∠DBC，∠BCP=12∠ECB，根据三角形内角和可得：∠P的式子，代入（1）中得的结论：∠DBC+∠ECB=180°+∠A，可得：∠P=90°−12∠A；（3）根据平角的定义得：∠EBC=180°-∠1，∠FCB=180°-∠2，由角平分线得：∠3=12∠EBC=90°−1 2∠1，∠4=12∠FCB=90°−12∠2，相加可得：∠3+∠4=180°−12（∠1+∠2），再由四边形的内角和与三角形的内角和可得结论．(1)∠DBC+∠ECB-∠A=180°，理由是：∵∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC，∴∠DBC+∠ECB=2∠A+∠ACB+∠ABC=180°+∠A，∴∠DBC+∠ECB-∠A=180°，故答案为：=；(2)∠P=90°-12∠A，理由是：∵BP平分∠DBC，CP平分∠ECB，∴∠CBP=12∠DBC，∠BCP=12∠ECB，∵△BPC中，∠P=180°-∠CBP-∠BCP=180°-12（∠DBC+∠ECB），∵∠DBC+∠ECB=180°+∠A，∴∠P=180°-12（180°+∠A）=90°-12∠A．故答案为：∠P=90°-12∠A，(3)∠P=180°-12∠BAD-12∠CDA，理由是：如图，∵∠EBC=180°-∠1，∠FCB=180°-∠2，∵BP平分∠EBC，CP平分∠FCB，∴∠3=12∠EBC=90°-12∠1，∠4=12∠FCB=90°-12∠2，∴∠3+∠4=180°-12（∠1+∠2），∵四边形ABCD中，∠1+∠2=360°-（∠BAD+∠CDA），又∵△PBC中，∠P=180°-（∠3+∠4）=12（∠1+∠2），∴∠P =12×[360°-（∠BAD +∠CDA ）]=180°-12（∠BAD +∠CDA ）=180°-12∠BAD -12∠CDA ．【点睛】本题是四边形和三角形的综合问题，考查了三角形和四边形的内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形外角的性质是关键．3、 (1)见解析(2)①2∠；②EOC ∆；③OF ；④平行四边形；⑤对角线互相垂直的平行四边形是菱形【解析】【分析】（1）分别以A 、D 为圆心，大于AD 的一半长为半径，画弧，两弧交于两点，然后过这两点作直线交l 1于E ，交l 2于F ，直线EF 为线段AD 的垂直平分线，连接ED 、DF 、FA 、AE 即可；（2）：根据12l l ∥，内错角相等得出1∠=∠2①，根据EF 垂直平分BC ，得出OB OC =，90EOC FOB ︒∠=∠=，可证②△EOC FOB ∆≌，根据全等三角形性质得出OE =OF ③，再证OA OD =，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定四边形AEDF 是平行四边形④，根据对角线互相垂直EF AD ⊥即可得出四边形AEDF 是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形⑤）． (1)解：分别以A 、D 为圆心，大于AD 的一半长为半径，画弧，两弧交于两点，然后过这两点作直线交l 1于E ，交l 2于F ，直线EF 为线段AD 的垂直平分线，连接ED 、DF 、FA 、AE 即可；如图所示(2)证明：12l l ∥，1∴∠=∠2①， EF 垂直平分BC ，OB OC ∴=，90EOC FOB ︒∠=∠=，∴②△EOC FOB ∆≌，OE ∴=OF ③，AB CD =，OB AB OC DC +=+∴，OA OD ∴=，∴四边形AEDF 是平行四边形④，EF AD ⊥，∴四边形AEDF 是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形⑤），故答案为：①2∠；②EOC ∆；③OF ；④平行四边形；⑤对角线互相垂直的平行四边形是菱形．【点睛】本题考查尺规作图，垂直平分线性质，三角形全等判定与性质，菱形的判定，掌握尺规作图，垂直平分线性质，三角形全等判定与性质，菱形的判定是解题关键．4 【解析】【分析】连接AC ，CF ，如图，根据正方形的性质得到AC ，AB CF CE ，∠ACD =45°，∠GCF =45°，则利用勾股定理得到AF CT 的长．【详解】解：连接AC 、CF ，如图，∵四边形ABCD 和四边形CEFG 都是正方形，∴AC CF ，∠ACD =45°，∠GCF =45°，∴∠ACF =45°+45°=90°，在Rt △ACF 中AF =，∵T 为AF 的中点，∴12CT AF =，∴CT ．【点睛】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质，也考查了直角三角形斜边上的中线性质．5、 (1)150°；(2)见详解；【解析】【分析】（1）根据旋转性质得出ABP △≌ACP '△，得出∠BAP =∠CAP′，∠APB =∠AP′C ，AP =AP′=3，BP=CP′=4，根据△ABC 为等边三角形，得出∠BAC =60°，可证△APP′为等边三角形，PP′=AP =3，∠AP′P =60°，根据勾股定理逆定理222223425PP P C PC ''+=+==，得出△PP′C 是直角三角形，∠PP′C =90°，可求∠AP′C =∠APP +∠PPC =60°+90°=150°即可；（2）将△APB 逆时针旋转60°，得到△AB′P′，连结PP′，根据△APB ≌△AB′P′，AP =AP′，PB =PB′，AB =AB′，根据∠PAP′=∠BAB′=60°，△APP′和△ABB′均为等边三角形，得出PP′=AP ，根据PA PB PC PP P B PC '''++=++，根据两点之间线段最短得出点C ，点P ，点P′，点B′四点共线时，PA PB PC ++最小=CB′，点P 在CB′上即可；（3）将△APB 逆时针旋转60°，得到△AP′B′，连结BB′，PP′，得出△APB ≌△AP′B′，可证△APP′和△ABB′均为等边三角形，得出PP′=AP ，BB′=AB ，∠ABB′=60°，根据PA PB PC PP P B PC '''++=++，可得点C ，点P ，点P′，点B′四点共线时，PA PB PC ++最小=CB′，利用30°直角三角形性质得出AB =2AC =2，根据勾股定理BC =求BB′=AB =2，根据∠CBB′=∠ABC +∠ABB′=30°+60°=90°，在Rt △CBB′中，B′C == （4）将△BCE 逆时针旋转60°得到△CE′B′，连结EE′，BB′，过点B′作B′F ⊥AB ，交AB 延长线于F ，得出△BCE ≌△CE′B′，BE =B′E′，CE =CE ′，CB =CB′，可证△ECE′与△BCB′均为等边三角形，得出EE ′=EC ，BB′=BC ，∠B′BC =60°，AE BE CE AE EE E B '''++=++，得出点C ，点E ，点E′，点B′四点共线时，AE BE CE AE EE E B '''++=++最小=AB′，根据四边形ABCD 为正方形，得出AB =BC =2，∠ABC =90°，可求∠FBB′=180°-∠ABC -∠CBB′=180°-90°-60°=30°，根据30°直角三角形性质得出BF =112122BB '=⨯=，勾股定理BF =AF =AB +BF =2+AB′(1)解：连结PP′，∵ABP △≌ACP '△，∴∠BAP =∠CAP′，∠APB =∠AP′C ，AP =AP′=3，BP=CP′=4，∵△ABC 为等边三角形，∴∠BAC =60°∴∠PAP ′=∠PAC +∠CAP ′=∠PAC +∠BAP =60°，∴△APP′为等边三角形，,∴PP′=AP =3，∠AP′P =60°，在△P′PC 中，PC =5，222223425PP P C PC ''+=+==，∴△PP′C 是直角三角形，∠PP′C =90°，∴∠AP′C =∠APP +∠PPC =60°+90°=150°，∴∠APB =∠AP′C =150°，故答案为150°；(2)证明：将△APB 逆时针旋转60°，得到△AB′P′，连结PP′，∵△APB ≌△AB′P′，∴AP =AP′，PB =PB′，AB =AB′，∵∠PAP′=∠BAB′=60°，∴△APP′和△ABB′均为等边三角形，∴PP′=AP ，∵PA PB PC PP P B PC '''++=++，∴点C ，点P ，点P′，点B′四点共线时，PA PB PC ++最小=CB′，∴点P 在CB′上，∴CB '过ABC 的费马点．(3)解：将△APB 逆时针旋转60°，得到△AP′B′，连结BB′，PP′，∴△APB ≌△AP′B′，∴AP′=AP ，AB′=AB ，∵∠PAP′=∠BAB′=60°，∴△APP′和△ABB′均为等边三角形，∴PP′=AP ，BB′=AB ，∠ABB′=60°，∵PA PB PC PP P B PC '''++=++∴点C ，点P ，点P′，点B′四点共线时，PA PB PC ++最小=CB′，∵90C ∠=︒，1AC =，30ABC ∠=︒，∴AB =2AC =2，根据勾股定理BC ==∴BB′=AB =2，∵∠CBB′=∠ABC +∠ABB′=30°+60°=90°，∴在Rt△CBB′中，B′C∴PA PB PC ++最小=CB′(4)解：将△BCE 逆时针旋转60°得到△CE′B′，连结EE′，BB′，过点B′作B′F ⊥AB ，交AB 延长线于F ，∴△BCE ≌△CE′B′，∴BE =B′E′，CE =CE ′，CB =CB′，∵∠ECE′=∠BCB′=60°，∴△ECE′与△BCB′均为等边三角形，∴EE ′=EC ，BB′=BC ，∠B′BC =60°，∵AE BE CE AE EE E B '''++=++，∴点C ，点E ，点E′，点B′四点共线时，AE BE CE AE EE E B '''++=++最小=AB′，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB =BC =2，∠ABC =90°，∴∠FBB′=180°-∠ABC -∠CBB′=180°-90°-60°=30°，∵B′F ⊥AF ，∴BF =112122BB '=⨯=，BF =∴AF =AB +BF∴AB′=∴AE BE CE ++最小=AB′【点睛】本题考查图形旋转性质，等边三角形判定与性质，勾股定理，直角三角形判定与性质，两点之间线段最短，四点共线，正方形性质，30°直角三角形性质，掌握图形旋转性质，等边三角形判定与性质，勾股定理，直角三角形判定与性质，两点之间线段最短，四点共线，正方形性质，30°直角三角形性质是解题关键．。

八年级数学下册22微专题新定义问题习题冀教版(2021年整理)

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微专题：新定义问题【河北热点】1．（2017·湘潭中考)阅读材料：设错误!＝（x1，y1)，错误!＝(x2，y2），如果错误!∥错误!,那么x1·y2＝x2·y1。

根据该材料填空:已知错误!＝(2，3），错误!＝(4,m)，若错误!∥错误!，则m＝________．2．（2017·吉林中考）我们规定:当k，b为常数，k≠0,b≠0，k≠b时，一次函数y＝kx＋b与y＝bx＋k互为交换函数．例如：y＝4x＋3的交换函数为y＝3x＋4.―次函数y＝kx＋2与它的交换函数图像的交点横坐标为________。

3．（2017·赤峰中考)在平面直角坐标系中，点P（x,y）经过某种变换后得到点P′（－y＋1，x＋2)，我们把点P′(－y＋1，x＋2)叫作点P（x，y）的终结点．已知点P1的终结点为P，点P2的终结点为P3,点P3的终结点为P4，这样依次得到P1、P2、P3、P4、…、P n、…，若点2P的坐标为（2，0）,则点P2017的坐标为________．14．在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A,B，C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值,“铅垂高"h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积"S＝ah.例如：三点坐标分别为A(1，2)，B(－3，1)，C(2，－2）,则“水平底"a＝5，“铅垂高"h＝4,“矩面积”S＝ah＝20.根据所给定义解决下列问题:(1）若已知点D（1，2），E（－2,1)，F（0，6），则这三点的“矩面积"为________．（2）若D(1，2)，E(－2，1)，F(0,t)三点的“矩面积"为18,求点F的坐标．5．在平面直角坐标系xOy中，有如下定义：若直线l和图形W相交于两点，且这两点的距离等于定值k，则称直线l与图形W成“k相关”，此时称直线l与图形W的相关系数为k。

冀教版八年级下册数学第二十二章四边形含答案

冀教版八年级下册数学第二十二章四边形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个多边形的边数是（）A.4B.5C.6D.72、若一个正多边形的每个内角度数都为135°，则这个正多边形的边数是（）A.6B.8C.10D.123、下列哪一个是假命题（）A.五边形外角和为B.切线垂直于经过切点的半径C.关于轴的对称点为 D.抛物线对称轴为直线4、一个多边形的内角和是外角和的 3 倍，则多边形是( )A.五边形B.六边形C.八边形D.十二边形5、一个多边形内角和是外角和的2倍，它是（）A.五边形B.六边形C.七边形D.八边形6、设四边形的内角和等于a，五边形的内角和等于b，则a与b的关系是（）A.a＞bB.a＝bC.a＝b+180°D.b＝a+180°7、）如图，已知矩形ABCD，一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形，则所得任一多边形内角和度数不可能是（）A.720°B.540°C.360°D.180°8、六边形的外角和是（）A.1080°B.720°C.540°D.360°9、下列哪一个度数可以作为某一个多边形的内角和( )A.240°B.600°C.540°D.2180°10、已知一个多边形的内角和等于900º，则这个多边形是（）A.五边形B.六边形C.七边形D.八边形11、一个多边形有14条对角线，那么这个多边形的边数是（）A.5B.6C.7D.812、一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数为（）A.5B.6C.7D.813、如图所示的四边形中，若去掉一个50°的角得到一个五边形，则∠1+∠2等于（）A.230°B.240°C.250°D.260°14、一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大180°，这个多边形的边数为（）A.7B.8C.9D.1015、如图，在五边形ABCDE中，，DP、CP分别平分、，则的度数是（）A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，在中，，分别以、、为边向外作正方形，面积分别记为、、，若，，则________．17、如图12，把一张矩形纸片ABCD沿BD对折，使C点落在E处，BE与AD相交于点O，写出一组相等的线段________ （不包括AB＝CD和AD＝BC）．18、已知在平面直角坐标系中，点A、B、C、D的坐标依次为（﹣1，0），（m，n），（﹣1，10），（﹣9，p），且p≤n．若以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是菱形，则n的值是________．19、如图，把一个正方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为的菱形，剪口与折痕所成的角的度数应为________或________.20、如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP=BC，则的值为________．21、如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，对角线AC平分角∠BAD，点P是△ABC 内一点，连接PA、PB、PC，若PA=6，PB=8，PC=10，则菱形ABCD的面积等于________．22、如图，在正方形ABCD中，AB=8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M 在BC边上，且BM=6. P为对角线BD上一点，则PM—PN的最大值为________.23、如图，▱AOBC中，对角线交于点E，双曲线经过A、E两点，若▱AOBC的面积为12，则k=________．24、如图，在▱ABCD中，AB=5，AC=6，当BD=________时，四边形ABCD是菱形．25、如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，不添加任何辅助线，请添加一个条件________，使四边形ABCD是正方形(填一个即可).三、解答题(共5题，共计25分)26、求出下列图中x的值。

冀教版八年级数学下册第22章测试题及答案

冀教版八年级数学下册第22章测试题及答案22.1 平行四边形的性质一、选择题1．平行四边形不一定具有的性质是（）A．对角线互相平分B．对边平行C．对角线互相垂直D．对边相等2．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，图中全等三角形有（）A．5对B．4对C．3对D．2对（第2题图）（第3题图）3．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BC相交于点O，已知△BOC与△AOB的周长之差为3，平行四边形ABCD的周长为26，则BC的长度为（）A．5 B．6 C．7 D．84．已知平行四边形ABCD的一条边长是5，则两条对角线的长可能是（）A．6和16 B．6和6 C．5和5 D．8和185．将一张平行四边形纸片折一次，使得折痕平分这个平行四边形的面积，则这样的折纸方法有（）A．1种B．2种C．3种D．无数种6．在平行四边形ABCD中，若∠A=30°，AB边上的高为8，则BC=（）A．B．C．8 D．167．在平行四边形ABCD中，∠A的平分线交BC于点E，若CD=10，AD=16，则EC为（）A．10 B．16 C．6 D．138．如图，在平行四边形ABCD中，若∠A=45°，，则AB与CD之间的距离为（）A B C D．3（第8题图）（第9题图）（第10题图）9．如图，在平行四边形ABCD中，已知AC=3cm，若△ABC的周长为8cm，则平行四边形的周长为（）A．5cm B．10cm C．16cm D．11cm10．如图，已知在平行四边形ABCD中，AB=6，BC=4，若∠B=45°，则平行四边形ABCD的面积为（）A．8 B．C．D．24二、填空题11．平行四边形的对角线_________．12．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若AO=4，BO=3，则CO=______，BD=________．（第12题图）（第13题图）（第14题图）13．如图，在平行四边形ABCD中，两条对角线交于点O，有△AOB≌△_______，△AOD≌△_______．14．如图，在平行四边形ABCD中，两条对角线交于点O，若AO=2cm，△ABC的周长为13cm，则平行四边形ABCD的周长为______cm．15．在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若△AOB的面积为3，则平行四边形ABCD的面积为______．16．平行四边形的两组对边分别_________．17．夹在两平行线的平行线段_______，夹在两平行线间_______相等．18．在ABCD中，若AB=3cm，AD=4cm，则它的周长为________cm．19．已知平行四边形ABCD的周长为26，若AB=5，则BC=________．20．在平行四边形ABCD中，若AB：BC=2：3，周长为30cm，则AB=______cm，BC=______cm．三、解答题21．如图，在平行四边形ABCD中，AD⊥BD，AD=4，DO=3．（1）求△COD的周长；（2）直接写出Y ABCD 的面积．（第21题图）22．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，M，N在对角线AC上，且AM=CN，求证：BM∥DN．（第22题图）参考答案一、1.C 2.B 3.D 4.B 5.D 6.D 7.C 8.B 9.B 10.B二、11．互相平分12．4，8 13．COD，COB 14．18 15．12 16．相等17．相等，的垂线段18．14 19．8 20．6，9三、21．（1）（2）2422．提示：证△ABM≌△CDN，得∠BMA=∠DNC，于是∠BMN=∠DNM，所以BM∥DN.22.2 平行四边形的判定一．选择题（共6小题）1．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD=90°，BC=4，BE=ED=3，AC=10，则四边形ABCD的面积为（）（第1题图）A．6 B．12 C．20 D．242．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，给出下列四个条件：①AE=CF；②DE=BF；③∠ADE=∠CBF；④∠ABE=∠CDF．其中不能判定四边形DEBF 是平行四边形的有（）（第2题图）A．0个B．1个C．2个D．3个3．下列说法中错误的是（）A．平行四边形的对角线互相平分B．有两对邻角互补的四边形为平行四边形C．对角线互相平分的四边形是平行四边形D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形4．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）（第4题图）A．AB∥CD，AD∥BC B．OA=OC，OB=ODC．AD=BC，AB∥CD D．AB=CD，AD=BC5．下列不能判定一个四边形是平行四边形的是（）A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形C．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形D．对角线互相平分的四边形是平行四边形6．在下列条件中，不能确定四边形ABCD为平行四边形的是（）A．∠A=∠C，∠B=∠DB．∠A=∠B=∠C=90°C．∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°D．∠A+∠B=180°，∠C+∠D=180°二．填空题（共6小题）7．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，AO=CO，请添加一个条件（只添一个即可），使四边形ABCD是平行四边形．（第7题图）8．如图，已知四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O，AB=CD，请添加一个条件（只添一个即可），使四边形ABCD是平行四边形．（第8题图）9．将两块相同的含有30°角的三角尺按如图所示的方式摆放在一起，则四边形ABCD为平行四边形，请你写出判断的依据．（第9题图）10．如图，四边形ABCD中，AB=CD，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF，CE，若DE=BF，则下列结论：①CF=AE；②OE=OF；③四边形ABCD是平行四边形：④图中共有四对全等三角形．其中正确结论是（填序号）（第10题图）11．如图，AD∥BC，要使四边形ABCD成为平行四边形还需要添加的条件是（只需写出一个即可）（第11题图）12．如图，在▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，要使四边形AFCE是平行四边形，则需添加的一个条件可以是．（只添加一个条件）（第12题图）三．解答题（共12小题）13．如图，点E是平行四边形ABCD边CD上的中点，AE、BC的延长线交于点F，连接DF．求证：四边形ACFD为平行四边形．（第13题图）14．在▱ABCD中，∠DAB与∠DCB的角平分线AE，CF分别与对角线BD交于点E与点F，连接AF，CE．求证：四边形AECF是平行四边形．（第14题图）15．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，O是AC的中点，AB∥DC，AC=10，BD=8．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若AC⊥BD，求平行四边形ABCD的面积．（第15题图）参考答案一．1．D 2．B 3．B 4．C 5．C 6．D二．7．BO=DO．（答案不唯一）8．AB∥CD或AD=BC（答案不唯一）9．两组对边分別平行的四边形是平行四边形；两组对边分別相等的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（写出一种即可）10．①②③11．AD=BC或AB∥CD 12．BF=DE 三．13．证明：∵在▱ABCD中，AD∥BF．∴∠ADC=∠FCD．∵E为CD的中点，∴DE=CE．在△ADE和△FCE中，，∴△ADE≌△FCE（ASA）∴AD=FC．又∵AD∥FC，∴四边形ACFD是平行四边形．14．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∠DAB=∠DCB，∴∠ADB=∠DBC.∵AE平分∠DAB，CF平分∠DCB，∴∠DAE=∠DAB，∠BCF=∠DCB，∴∠DAE=∠BCF，∵∠DAE=∠DCF，∠ADB=∠DBC，AD=BC. ∴△DEB≌△BFC，∴AE=CF，∠DEA=∠CFB，∴∠AEF=∠CFE，∴AE∥CF.又∵AE=CF，∴四边形AECF是平行四边形.15．证明：（1）∵AB∥DC，∴∠OAB=∠OCD，∠AOB=∠COD，又∵AO=CO，∴△AOB≌△COD，∴OD=OB，∴四边形ABCD是平行四边形．（2）∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，∴平行四边形ABCD的面积为S=AC×BD=40．22.3 三角形的中位线一．选择题1．如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC=7，则MN的长度为（）（第1题图）A．B．2 C．D．32．如图，在△ABC中，AB=AC，E，F分别是BC，AC的中点，以AC为斜边作Rt△ADC，若∠CAD=∠CAB=45°，则下列结论不正确的是（）（第2题图）A．∠ECD=112.5°B．DE平分∠FDCC．∠DEC=30°D．AB=CD3．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的中点，如果△ADE的周长是6，则△ABC的周长是（）（第3题图）A．6 B．12 C．18 D．244．在△ABC中，AB=3，BC=4，AC=2，D、E、F分别为AB、BC、AC中点，连接DF、FE，则四边形DBEF的周长是（）（第4题图）A．5 B．7 C．9 D．11二．填空题5．如图，已知在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BC=6cm，则DE的长度是cm．（第5题图）6．如图：在△ABC中，AB=13，BC=12，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD，如果DE=2.5，那么△ACD的周长是．（第6题图）7．如图，在△ABC中，∠ACB=60°，AC=1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC 的周长，则DE的长是．（第7题图）8．在△ABC中，点E，F分别是边AB，AC的中点，点D在BC边上，连接DE，DF，EF，请你添加一个条件，使△BED与△FDE全等．（第8题图）9．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，AD=BC，∠FPE=100°，则∠PFE的度数是．（第9题图）10．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，D、E分别为AC、AB的中点，连接DE，则△ADE 的面积是．（第10题图）三．解答题（共12小题）11．如图，已知△ABC中，D为AB的中点．（1）请用尺规作图法作边AC的中点E，并连接DE（保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，若DE=4，求BC的长．（第11题图）12．如图，已知△ABC，AD平分∠BAC交BC于点D，BC的中点为M，ME∥AD，交BA的延长线于点E，交AC于点F．（1）求证：AE=AF；（2）求证：BE=（AB+AC）．（第12题图）13．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3（1）求证：BN=DN；（2）求△ABC的周长．（第13题图）14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°（1）求作：△ABC的一条中位线，与AB交于D点，与BC交于E点，（保留作图痕迹，不写作法）（2）若AC=6，AB=10，连接CD，则DE=，CD=．（第14题图）15．观察探究，完成证明和填空．如图，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接E、F、G、H，得到的四边形EFGH叫中点四边形．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）如图，当四边形ABCD变成等腰梯形时，它的中点四边形是菱形，请你探究并填空：（第15题图）当四边形ABCD变成平行四边形时，它的中点四边形是；当四边形ABCD变成矩形时，它的中点四边形是；当四边形ABCD变成菱形时，它的中点四边形是；当四边形ABCD变成正方形时，它的中点四边形是；（3）根据以上观察探究，请你总结中点四边形的形状由原四边形的什么决定的？16．在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D为AC的中点．（1）如图1，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H．判断FH与FC的数量关系并加以证明；（2）如图2，若E为线段DC的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明．（第16题图）参考答案一．1．C 2．C 3．B 4．B二．5．3 6．18 7．8．D是BC的中点9．40°10．6三．11．解：（1）作线段AC的垂直平分线MN交AC于E，点E就是所求的点．（第11题答图）（2）∵AD=DB，AE=EC，∴DE∥BC，DE=BC，∵DE=4，∴BC=8．12．证明：（1）∵DA平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵AD∥EM，∴∠BAD=∠AEF，∠CAD=∠AFE，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF．（2）作CG∥EM，交BA的延长线于G．∵EF∥CG，∴∠G=∠AEF，∠ACG=∠AFE，∵∠AEF=∠AFE，∴∠G=∠ACG，∴AG=AC，∵EM∥CG，∴=，∵BM=CM，∴BE=EG，∴BE=BG=（BA+AG）=（AB+AC）．（第12题答图）13．（1）证明：∵AN平分∠BAC∴∠1=∠2∵BN⊥AN∴∠ANB=∠AND=90°在△ABN和△ADN中，∵，∴△ABN≌△ADN（ASA），∴BN=DN．（2）解：∵△ABN≌△ADN，∴AD=AB=10，又∵点M是BC中点，∴MN是△BDC的中位线，∴CD=2MN=6，故△ABC的周长=AB+BC+CD+AD=10+15+6+10=41．14．解：（1）如答图．（第14题答图）（2）∵DE是△ABC的中位线，∴DE=AC，∵AC=6，∴DE=3，∵AB=10，CD是Rt△斜边上的中线等于斜边的一半，∴CD=5.15．（1）证明：连接BD，如答图.∵E、H分别是AB、AD的中点，∴EH是△ABD的中位线．∴EH=BD，EH∥BD．同理得FG=BD，FG∥BD．∴EH=FG，EH∥FG．∴四边形EFGH是平行四边形．（2）填空依次为平行四边形，菱形，矩形，正方形；（3）中点四边形的形状是由原四边形的对角线的关系决定的．（第15题答图）16．解：（1）FH与FC的数量关系是FH=FC．证明如下：延长DF交AB于点G.由题意，知∠EDF=∠ACB=90°，DE=DF，∴DG∥CB，∵点D为AC的中点，∴点G为AB的中点，且，∴DG为△ABC的中位线，∴．∵AC=BC，∴DC=DG，∴DC﹣DE=DG﹣DF，即EC=FG．∵∠EDF=90°，FH⊥FC，∴∠1+∠CFD=90°，∠2+∠CFD=90°，∴∠1=∠2．∵△DEF与△ADG都是等腰直角三角形，∴∠DEF=∠DGA=45°，∴∠CEF=∠FGH=135°，∴△CEF≌△FGH，∴CF=FH．（2）FH与FC仍然相等．理由：由题意可得出：DF=DE，∴∠DFE=∠DEF=45°，∵AC=BC，∴∠A=∠CBA=45°，∵DF∥BC，∴∠CBA=∠FGB=45°，∴∠FGH=∠CEF=45°，∵点D为AC的中点，DF∥BC，∴DG=BC，DC=AC，∴DG=DC，∴EC=GF，∵∠DFC=∠FCB，∴∠GFH=∠FCE，在△FCE和△HFG中，∴△FCE≌△HFG（ASA），∴HF=FC．（第16题答图）22.4 矩形一．选择题1．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使顶点B落在边AD的E点上，折痕FG交BC于G．交AB于F，若∠AEF=30°，则∠FGB的度数为（）（第1题图）A．25°B．30°C．35°D．40°2．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠BOC=120°，BO=4，则矩形的边BC的长是（）（第2题图）A．6 B．8 C．6D．43．下列说法正确的是（）A．平行四边形对角线相等B．矩形的对角线互相垂直C．菱形的四个角都相等D．菱形的对角线互相垂直平分且平分一组对角4．如图，在矩形ABCD中，M是BC边上一点，连接AM，DM．过点D作DE⊥AM，垂足为E．若DE=DC=1，AE=2EM，则BM的长为（）（第4题图）A．1 B．C．D．5．关于特殊四边形对角线的性质，矩形具备而平行四边形不一定具备的是（）A．对角线互相平分B．对角线互相垂C．对角线相等D．对角线平分一组对角6．矩形具有下列性质（）A．对角线相互垂直B．对角线相等C．一条对角线平分一组对角D．面积等于两条对角线乘积的一半7．如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（）（第7题图）A．B．C．D．不确定8．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，DF⊥AC于F点，若∠ADF=3∠FDC，则∠DEC 的度数是（）（第8题图）A．30°B．45°C．50°D．55°9．检查一个门框（已知两组对边分别相等）是不是矩形，可用的方法是（）A．测量两条对角线是否相等B．用重锤线检查竖门框是否与地面垂直C．测量两条对角线是否互相平分D．用曲尺测量两条对角线是否互相垂直10．如图，D，E是△ABC中AB，BC边上的点，且DE∥AC，∠ACB角平分线和它的外角的平分线分别交DE于点G和H．则下列结论错误的是（）（第10题图）A．若BG∥CH，则四边形BHCG为矩形B．若BE=CE时，四边形BHCG为矩形C．若HE=CE，则四边形BHCG为平行四边形D．若CH=3，CG=4，则CE=2.511．如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（）（第11题图）A．3 B．C．D．4二．解答题12．如图，DB∥AC，DE∥BC，DE与AB交于点F，E是AC的中点．（1）求证：F是AB的中点；（2）若要使DBEA是矩形，则需给△ABC添加什么条件？并说明理由．（第12题图）13．如图，在▱ABCD中，AC=8，BD=12，点E、F在对角线BD上，点E从点B出发以1个单位每秒的速度向点D运动，同时点F从点D出发以相同速度向点B运动，到端点时运动停止，运动时间为t秒．（1）求证：四边形AECF为平行四边形．（2）求t为何值时，四边形AECF为矩形．（第13题图）14．如图，平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，EF⊥BD于点O，EF分别交AD，BC于点E，F．且AE=EO=DE，那么平行四边形ABCD是否是矩形，为什么？（第14题图）参考答案一．1．B 2．D 3．D 4．D 5．C 6．B 7．C 8．B 9．B 10．C11．C二．12．证明：（1）∵DE∥BC，BD∥AC∴四边形DBCE是平行四边形∴DB=EC，∵E是AC中点∴AE=EC∵AE=EC，AC∥DB∴四边形ADBE是平行四边形∴AF=BF，即F是AB中点．（2）添加AB=BC∵AB=BC，AE=EC∴BE⊥AC∴平行四边形DBEA是矩形．13．证明：在▱ABCD中，∵AD∥BC，AD=BC，∴∠EBC=∠ADF，由题意知，BE=DF，在△BEC与△DFC中，，∴△BEC≌△DFC（SAS），∴CE=AF，同理可得AE=CF，∴四边形AECF为平行四边形；（2）当t=2或t=10时以点A，C，E，F为顶点的四边形为矩形；（第13题答图）理由：由矩形的性质知OE=OF、OA=OC，要使∠EAF是直角，只需OE=OF=OA=AC=4cm．则∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴2∠2+2∠3=180°，∴∠2+∠3=90°即∠EDF=90°．此时BE=DF=（BD﹣EF）=（12﹣8）=2cm或BE=DF=12﹣2=10cm14．解：平行四边形ABCD是矩形．如图所示，取DE的中点G，连接OG，∵EF⊥BD，∴Rt△DOE中，OG=DE=EG=DG，∵AE=EO=DE，∴EO=OG=EG，∴△OEG是等边三角形，∴∠AEO=∠DGO=120°，又∵AE=DG，OE=OG，∴△AOE≌△DOG，∴AO=DO，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC=2AO=2DO=BD，∴平行四边形ABCD是矩形．（第14题答图）22.5 菱形一．选择题（共6小题）1．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB=5，AC=6，则BD的长是（）（第1题图）A．8 B．7 C．4 D．32．如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF=3，那么菱形ABCD的周长为（）（第2题图）A．24 B．18 C．12 D．93．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是（）（第3题图）A．20 B．24 C．40 D．484．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=10，BD=24，则菱形ABCD的周长为（）（第4题图）A．52 B．48 C．40 D．205．菱形不具备的性质是（）A．四条边都相等B．对角线一定相等C．是轴对称图形D．是中心对称图形二．填空题6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥AD于点E，交BC于点F，则EF的长为．（第6题图）7．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH，若OB=4，S菱形ABCD=24，则OH的长为．（第7题图）8．如图，点E、F、G分别在菱形ABCD的边AB，BC，AD上，AE=AB，CF=CB，AG=AD．已知△EFG的面积等于6，则菱形ABCD的面积等于．（第8题图）9．如图，在菱形OABC中，点B在x轴上，点A的标为（2，3），则点C的坐标为．（第9题图）10．已知一个菱形的边长为2，较长的对角线长为2，则这个菱形的面积是．三．解答题（共11小题）11．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且AB=2．（1）求菱形ABCD的周长；（2）若AC=2，求BD的长．（第11题图）12．如图，在平行四边形ABCD中，P是对角线BD上的一点，过点C作CQ∥DB，且CQ=DP，连接AP、BQ、PQ．（1）求证：△APD≌△BQC；（2）若∠ABP+∠BQC=180°，求证：四边形ABQP为菱形．（第12题图）13．如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE=BF，AC⊥EF．求证：四边形AECF是菱形．（第13题图）14．如图，已知A、F、C、D四点在同一条直线上，AF=CD，AB∥DE，且AB=DE．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若EF=3，DE=4，∠DEF=90°，请直接写出使四边形EFBC为菱形时AF的长度．（第14题图）15．如图，在▱ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF，垂足为O，分别交AD，BC于E，F，连接BE，DF．求证：四边形BFDE是菱形．（第15题图）参考答案一．1．A 2．A 3．A 4．A 5．B二．6．7．3 8．27 9．（2，﹣3）10．2．三．11．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，AB=2，∴菱形ABCD的周长为：8；（2）∵四边形ABCD是菱形，AC=2，AB=2∴AC⊥BD，AO=1，∴BO=，∴BD=212．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∵CQ∥DB，∴∠BCQ=∠DBC，∴∠ADB=∠BCQ∵DP=CQ，∴△ADP≌△BCQ．（2）证明：∵CQ∥DB，且CQ=DP，∴四边形CQPD是平行四边形，∴CD=PQ，CD∥PQ，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴AB=PQ，AB∥PQ，∴四边形ABQP是平行四边形，∵△ADP≌△BCQ，∴∠APD=∠BQC，∵∠APD+∠APB=180°，∴∠ABP=∠APB，∴AB=AP，∴四边形ABQP是菱形．13．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∵DE=BF，∴AE=CF，∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形．14．（1）证明：∵AB∥DE，∴∠A=∠D，∵AF=CD，∴AF+FC=CD+FC，即AC=DF，∵AB=DE，∴△ABC≌△DEF．（2）如图，连接EB交AD于O．在Rt△EFD中，∵∠DEF=90°，EF=3，DE=4，∴DF==5，∵四边形EFBC是菱形，∴BE⊥CF，∴EO==，∴OF=OC==，∴CF=，∴AF=CD=DF﹣FC=5﹣=．15．证明：∵在▱ABCD中，O为对角线BD的中点，∴BO=DO，∠EDB=∠FBO，在△EOD和△FOB中，，∴△DOE≌△BOF（ASA）；∴OE=OF，又∵OB=OD，∴四边形EBFD是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形BFDE为菱形．22.6 正方形一．选择题（共5小题）1．如图，在正方形ABCD中，A、B、C三点的坐标分别是（﹣1，2）、（﹣1，0）、（﹣3，0），将正方形ABCD向右平移3个单位，则平移后点D的坐标是（）（第1题图）A．（﹣6，2）B．（0，2）C．（2，0）D．（2，2）2．关于▱ABCD的叙述，正确的是（）A．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形B．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形C．若AC=BD，则▱ABCD是矩形D．若AB=AD，则▱ABCD是正方形3．下列说法中，正确的是（）A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等B．对角线相等的平行四边形是正方形C．相等的角是对顶角D．角平分线上的点到角两边的距离相等4．如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起，连结BD并延长交EG于点T，交FG于点P，则GT=（）（第4题图）A．B．2C．2 D．15．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（）（第5题图）A．16 B．17 C．18 D．19二．填空题（共3小题）6．如图，正方形ABCD的边长为1，点A与原点重合，点B在y轴的正半轴上，点D在x轴的负半轴上，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°至正方形AB'C′D′的位置，B'C′与CD相交于点M，则点M的坐标为．（第6题图）7．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB=AD；②AB=BD，且AB⊥BD；③OB=OC，且OB⊥OC；④AB=AD，且AC=BD．其中正确的序号是．8．如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+．其中正确的序号是（把你认为正确的都填上）．（第8题图）三．解答题（共4小题）9．已知点E为正方形ABCD的边AD上一点，连接BE，过点C作CN⊥BE，垂足为M，交AB于点N．（1）求证：△ABE≌△BCN；（2）若N为AB的中点，求tan∠ABE．（第9题图）10．如图，在正方形ABCD中，AF=BE，AE与DF相交于点O．（1）求证：△DAF≌△ABE；（2）求∠AOD的度数．（第10题图）11．如图，等边△AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF=45°．求证：矩形ABCD是正方形．（第11题图）12．如图，E是正方形ABCD对角线BD上的一点，求证：AE=CE．（第12题图）参考答案一．1．B 2．C 3．D 4．B 5．B二．6．（﹣1，）7．①③④8．①②④三．9．（1）证明：∵四边形ABCD为正方形∴AB=BC，∠A=∠CBN=90°，∠1+∠2=90°∵CM⊥BE，∴∠2+∠3=90°∴∠1=∠3在△ABE和△BCN中∴△ABE≌△BCN（ASA）；（2）∵N为AB中点，∴BN=AB又∵△ABE≌△BCN，∴AE=BN=AB在Rt△ABE中，tan∠ABE═．10．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB=∠ABC=90°，AD=AB，在△DAF和△ABE中，，∴△DAF≌△ABE（SAS），（2）由（1）知，△DAF≌△ABE，∴∠ADF=∠BAE，∵∠ADF+∠DAO=∠BAE+∠DAO=∠DAB=90°，∴∠AOD=180°﹣（∠ADF+DAO）=90°．11．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠D=∠C=90°，∵△AEF是等边三角形，∴AE=AF，∠AEF=∠AFE=60°，∵∠CEF=45°，∴∠CFE=∠CEF=45°，∴∠AFD=∠AEB=180°﹣45°﹣60°=75°，∴△AEB≌△AFD（AAS），∴AB=AD，∴矩形ABCD是正方形．12．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CB，∠ABE=∠CBE，在△ABE和△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴AE=CE．22.7 多边形的内角和与外角和一．选择题1．一个正多边形的每一个外角都等于30°，则这个多边形的边数是（）A．6 B．8 C．9 D．122．如图，小林从P点向西直走12米后，向左转，转动的角度为α，再走12米，如此重复，小林共走了108米回到点P，则α﹣5的值是（）（第2题图）A．35°B．40°C．50°D．不存在3．如图，在四边形ABCD中，∠ABC与∠BCD的平分线的交点E恰好在AD边上，则∠BEC=（）（第3题图）A．∠A+∠D﹣45°B．（∠A+∠D）+45°C．180°﹣（∠A+∠D）D．∠A+∠D4．如图，五边形ABCDE中，AE∥BC，则∠C+∠D+∠E的度数为（）（第4题图）A．180°B．270°C．360°D．450°5．一个多边形的内角和等于360°，它是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形6．如果某多边形的每个内角的大小都是其相邻外角的3倍，那么这个多边形是（）A．六边形B．八边形C．正六边形D．正八边形7．下列角度中，不能成为多边形内角和的是（）A．460°B．540°C．900°D．1260°8．一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于（）A．108°B．90°C．72°D．60°9．若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是（）边形．A．三B．四C．五D．六10．四边形的四个内角可以都是（）A．锐角B．直角C．钝角D．以上答案都不对二．11．如图，小明从点O出发，前进5m后向右转15°，再前进5m后又向右转15°，…这样一直下去，直到他第一次回到出发点O为止，他所走的路径构成了一个多边形．小明一共走了米？这个多边形的内角和是度？（第11题图）12．一个正多边形的每个内角等于108°，则它的边数是．13．在图中，x的值为．（第13题图）14．如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=．（第14题图15．如图所示是三个边长相等的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形的一部分，正多边形①和②的内角都是108°，则正多边形③的边数是．（第15题图）三．解答题（共3小题）16．如图，五角星的顶点为A、B、C、D、E，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数？（第16题图）17．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，连接BD，点E在BC边上，点F在DC边上，且∠1=∠2．（1）求证：EF∥BD；（2）若DB平分∠ABC，∠A=130°，∠C=70°，求∠CFE的度数．（第17题图）18．解答题：（第18题图）（1）如图①，△ABC的内角∠ABC的平分线与外角∠ACD的平分线相交于P点，请探究∠P与∠A的关系，并说明理由．（2）如图②③，四边形ABCD中，设∠A=α，∠D=β，∠P为四边形ABCD的内角∠ABC与外角∠DCE 的平分线所在直线相交而形成的锐角．请利用（1）中的结论完成下列问题：①如图②，若α+β＞180°，求∠P的度数．（用α，β的代数式表示）②如图③，若α+β＜180°，请在图③中画出∠P，并直接写出∠P=．（用α，β的代数式表示）（作图2分，写出结果）参考答案一．1．D 2．A 3．D 4．C 5．A 6．B 7．A 8．C 9．B 10．B 二．11．120；3960 12．五13．135 14．360°15．10三．16．解：如答图.由三角形的外角性质，得∠1=∠A+∠C，∠2=∠B+∠D，∵∠1+∠2+∠E=180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．（第16题答图）17．解：（1）如答图.（第17题答图）∵AD∥BC（已知），∴∠1=∠3（两直线平行，内错角相等）．∵∠1=∠2，∴∠3=∠2（等量代换）．∴EF∥BD（同位角相等，两直线平行）．（2）解：∵AD∥BC（已知），∴∠ABC+∠A=180°（两直线平行，同旁内角互补）．∵∠A=130°（已知），∴∠ABC=50°．∵DB平分∠ABC（已知），∴∠3=∠ABC=25°．∴∠2=∠3=25°．∵在△CFE中，∠CFE+∠2+∠C=180°（三角形内角和定理），∠C=70°，∴∠CFE=85°．18．解：（1）如答图1中，结论：2∠P=∠A．（第18题答图）理由：∵∠PCD=∠P+∠PBC，∠ACD=∠A+∠ABC，∵P点是∠ABC和外角∠ACD的角平分线的交点，∴2∠PCD=∠ACD，2∠PBC=∠ABC，∴2（∠P+∠PBC）=∠A+∠ABC，2∠P+2∠PBC=∠A+∠ABC，2∠P+∠ABC=∠A+∠ABC，∴2∠P=∠A；（2）①如答图2中，解法一：由四边形内角和定理得，∠BCD=360°﹣∠A﹣∠D﹣∠ABC，∴∠DCE=180°﹣（360°﹣∠A﹣∠D﹣∠ABC）=∠A+∠D+∠ABC﹣180°，由三角形的外角性质得，∠DCE=∠A+∠D+∠ABC，∠PCE=∠P+∠PBC，∵BP、CP分别是∠ABC和∠DCE的平分线，∴∠PBC=∠ABC，∠PCE=∠DCE，∴∠P+∠PBC=（∠A+∠D+∠ABC﹣180°）=（∠A+∠D）+∠ABC﹣90°，∴∠P=（∠A+∠D）﹣90°，∵∠A=α，∠D=β，∴∠P=（α+β）﹣90°；解法二：延长BA交CD的延长线于点F．∵∠F=180°﹣∠FAD﹣∠FDA=180°﹣（180°﹣α）﹣（180°﹣β）=α+β﹣180°，由（1）可知，∠P=∠F，∴∠P=（α+β）﹣90°；②如图3，延长AB交DC的延长线于F．∵∠F=180°﹣α﹣β，∠P=∠F，∴∠P=（180°﹣α﹣β）=90°﹣α﹣β。

冀教版八年级数学下册第22章测试题及答案

冀教版八年级数学下册第22章测试题及答案22.1 平行四边形的性质一、选择题1．平行四边形不一定具有的性质是（）A．对角线互相平分B．对边平行C．对角线互相垂直D．对边相等2．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，图中全等三角形有（）A．5对B．4对C．3对D．2对（第2题图）（第3题图）3．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BC相交于点O，已知△BOC与△AOB的周长之差为3，平行四边形ABCD的周长为26，则BC的长度为（）A．5 B．6 C．7 D．84．已知平行四边形ABCD的一条边长是5，则两条对角线的长可能是（）A．6和16 B．6和6 C．5和5 D．8和185．将一张平行四边形纸片折一次，使得折痕平分这个平行四边形的面积，则这样的折纸方法有（）A．1种B．2种C．3种D．无数种6．在平行四边形ABCD中，若∠A=30°，AB边上的高为8，则BC=（）A．B．C．8 D．167．在平行四边形ABCD中，∠A的平分线交BC于点E，若CD=10，AD=16，则EC为（）A．10 B．16 C．6 D．138．如图，在平行四边形ABCD中，若∠A=45°，，则AB与CD之间的距离为（）A B C D．3（第8题图）（第9题图）（第10题图）9．如图，在平行四边形ABCD中，已知AC=3cm，若△ABC的周长为8cm，则平行四边形的周长为（）A．5cm B．10cm C．16cm D．11cm10．如图，已知在平行四边形ABCD中，AB=6，BC=4，若∠B=45°，则平行四边形ABCD的面积为（）A．8 B．C．D．24二、填空题11．平行四边形的对角线_________．12．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若AO=4，BO=3，则CO=______，BD=________．（第12题图）（第13题图）（第14题图）13．如图，在平行四边形ABCD中，两条对角线交于点O，有△AOB≌△_______，△AOD≌△_______．14．如图，在平行四边形ABCD中，两条对角线交于点O，若AO=2cm，△ABC的周长为13cm，则平行四边形ABCD的周长为______cm．15．在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若△AOB的面积为3，则平行四边形ABCD的面积为______．16．平行四边形的两组对边分别_________．17．夹在两平行线的平行线段_______，夹在两平行线间_______相等．18．在ABCD中，若AB=3cm，AD=4cm，则它的周长为________cm．19．已知平行四边形ABCD的周长为26，若AB=5，则BC=________．20．在平行四边形ABCD中，若AB：BC=2：3，周长为30cm，则AB=______cm，BC=______cm．三、解答题21．如图，在平行四边形ABCD中，AD⊥BD，AD=4，DO=3．（1）求△COD的周长；（2）直接写出Y ABCD 的面积．（第21题图）22．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，M，N在对角线AC上，且AM=CN，求证：BM∥DN．（第22题图）参考答案一、1.C 2.B 3.D 4.B 5.D 6.D 7.C 8.B 9.B 10.B二、11．互相平分12．4，8 13．COD，COB 14．18 15．12 16．相等17．相等，的垂线段18．14 19．8 20．6，9三、21．（1）（2）2422．提示：证△ABM≌△CDN，得∠BMA=∠DNC，于是∠BMN=∠DNM，所以BM∥DN.22.2 平行四边形的判定一．选择题（共6小题）1．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD=90°，BC=4，BE=ED=3，AC=10，则四边形ABCD的面积为（）（第1题图）A．6 B．12 C．20 D．242．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，给出下列四个条件：①AE=CF；②DE=BF；③∠ADE=∠CBF；④∠ABE=∠CDF．其中不能判定四边形DEBF 是平行四边形的有（）（第2题图）A．0个B．1个C．2个D．3个3．下列说法中错误的是（）A．平行四边形的对角线互相平分B．有两对邻角互补的四边形为平行四边形C．对角线互相平分的四边形是平行四边形D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形4．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）（第4题图）A．AB∥CD，AD∥BC B．OA=OC，OB=ODC．AD=BC，AB∥CD D．AB=CD，AD=BC5．下列不能判定一个四边形是平行四边形的是（）A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形C．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形D．对角线互相平分的四边形是平行四边形6．在下列条件中，不能确定四边形ABCD为平行四边形的是（）A．∠A=∠C，∠B=∠DB．∠A=∠B=∠C=90°C．∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°D．∠A+∠B=180°，∠C+∠D=180°二．填空题（共6小题）7．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，AO=CO，请添加一个条件（只添一个即可），使四边形ABCD是平行四边形．（第7题图）8．如图，已知四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O，AB=CD，请添加一个条件（只添一个即可），使四边形ABCD是平行四边形．（第8题图）9．将两块相同的含有30°角的三角尺按如图所示的方式摆放在一起，则四边形ABCD为平行四边形，请你写出判断的依据．（第9题图）10．如图，四边形ABCD中，AB=CD，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF，CE，若DE=BF，则下列结论：①CF=AE；②OE=OF；③四边形ABCD是平行四边形：④图中共有四对全等三角形．其中正确结论是（填序号）（第10题图）11．如图，AD∥BC，要使四边形ABCD成为平行四边形还需要添加的条件是（只需写出一个即可）（第11题图）12．如图，在▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，要使四边形AFCE是平行四边形，则需添加的一个条件可以是．（只添加一个条件）（第12题图）三．解答题（共12小题）13．如图，点E是平行四边形ABCD边CD上的中点，AE、BC的延长线交于点F，连接DF．求证：四边形ACFD为平行四边形．（第13题图）14．在▱ABCD中，∠DAB与∠DCB的角平分线AE，CF分别与对角线BD交于点E与点F，连接AF，CE．求证：四边形AECF是平行四边形．（第14题图）15．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，O是AC的中点，AB∥DC，AC=10，BD=8．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若AC⊥BD，求平行四边形ABCD的面积．（第15题图）参考答案一．1．D 2．B 3．B 4．C 5．C 6．D二．7．BO=DO．（答案不唯一）8．AB∥CD或AD=BC（答案不唯一）9．两组对边分別平行的四边形是平行四边形；两组对边分別相等的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（写出一种即可）10．①②③11．AD=BC或AB∥CD 12．BF=DE 三．13．证明：∵在▱ABCD中，AD∥BF．∴∠ADC=∠FCD．∵E为CD的中点，∴DE=CE．在△ADE和△FCE中，，∴△ADE≌△FCE（ASA）∴AD=FC．又∵AD∥FC，∴四边形ACFD是平行四边形．14．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∠DAB=∠DCB，∴∠ADB=∠DBC.∵AE平分∠DAB，CF平分∠DCB，∴∠DAE=∠DAB，∠BCF=∠DCB，∴∠DAE=∠BCF，∵∠DAE=∠DCF，∠ADB=∠DBC，AD=BC. ∴△DEB≌△BFC，∴AE=CF，∠DEA=∠CFB，∴∠AEF=∠CFE，∴AE∥CF.又∵AE=CF，∴四边形AECF是平行四边形.15．证明：（1）∵AB∥DC，∴∠OAB=∠OCD，∠AOB=∠COD，又∵AO=CO，∴△AOB≌△COD，∴OD=OB，∴四边形ABCD是平行四边形．（2）∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，∴平行四边形ABCD的面积为S=AC×BD=40．22.3 三角形的中位线一．选择题1．如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC=7，则MN的长度为（）（第1题图）A．B．2 C．D．32．如图，在△ABC中，AB=AC，E，F分别是BC，AC的中点，以AC为斜边作Rt△ADC，若∠CAD=∠CAB=45°，则下列结论不正确的是（）（第2题图）A．∠ECD=112.5°B．DE平分∠FDCC．∠DEC=30°D．AB=CD3．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的中点，如果△ADE的周长是6，则△ABC的周长是（）（第3题图）A．6 B．12 C．18 D．244．在△ABC中，AB=3，BC=4，AC=2，D、E、F分别为AB、BC、AC中点，连接DF、FE，则四边形DBEF的周长是（）（第4题图）A．5 B．7 C．9 D．11二．填空题5．如图，已知在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BC=6cm，则DE的长度是cm．（第5题图）6．如图：在△ABC中，AB=13，BC=12，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD，如果DE=2.5，那么△ACD的周长是．（第6题图）7．如图，在△ABC中，∠ACB=60°，AC=1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC 的周长，则DE的长是．（第7题图）8．在△ABC中，点E，F分别是边AB，AC的中点，点D在BC边上，连接DE，DF，EF，请你添加一个条件，使△BED与△FDE全等．（第8题图）9．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，AD=BC，∠FPE=100°，则∠PFE的度数是．（第9题图）10．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，D、E分别为AC、AB的中点，连接DE，则△ADE 的面积是．（第10题图）三．解答题（共12小题）11．如图，已知△ABC中，D为AB的中点．（1）请用尺规作图法作边AC的中点E，并连接DE（保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，若DE=4，求BC的长．（第11题图）12．如图，已知△ABC，AD平分∠BAC交BC于点D，BC的中点为M，ME∥AD，交BA的延长线于点E，交AC于点F．（1）求证：AE=AF；（2）求证：BE=（AB+AC）．（第12题图）13．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3（1）求证：BN=DN；（2）求△ABC的周长．（第13题图）14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°（1）求作：△ABC的一条中位线，与AB交于D点，与BC交于E点，（保留作图痕迹，不写作法）（2）若AC=6，AB=10，连接CD，则DE=，CD=．（第14题图）15．观察探究，完成证明和填空．如图，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接E、F、G、H，得到的四边形EFGH叫中点四边形．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）如图，当四边形ABCD变成等腰梯形时，它的中点四边形是菱形，请你探究并填空：（第15题图）当四边形ABCD变成平行四边形时，它的中点四边形是；当四边形ABCD变成矩形时，它的中点四边形是；当四边形ABCD变成菱形时，它的中点四边形是；当四边形ABCD变成正方形时，它的中点四边形是；（3）根据以上观察探究，请你总结中点四边形的形状由原四边形的什么决定的？16．在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D为AC的中点．（1）如图1，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H．判断FH与FC的数量关系并加以证明；（2）如图2，若E为线段DC的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明．（第16题图）参考答案一．1．C 2．C 3．B 4．B二．5．3 6．18 7．8．D是BC的中点9．40°10．6三．11．解：（1）作线段AC的垂直平分线MN交AC于E，点E就是所求的点．（第11题答图）（2）∵AD=DB，AE=EC，∴DE∥BC，DE=BC，∵DE=4，∴BC=8．12．证明：（1）∵DA平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵AD∥EM，∴∠BAD=∠AEF，∠CAD=∠AFE，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF．（2）作CG∥EM，交BA的延长线于G．∵EF∥CG，∴∠G=∠AEF，∠ACG=∠AFE，∵∠AEF=∠AFE，∴∠G=∠ACG，∴AG=AC，∵EM∥CG，∴=，∵BM=CM，∴BE=EG，∴BE=BG=（BA+AG）=（AB+AC）．（第12题答图）13．（1）证明：∵AN平分∠BAC∴∠1=∠2∵BN⊥AN∴∠ANB=∠AND=90°在△ABN和△ADN中，∵，∴△ABN≌△ADN（ASA），∴BN=DN．（2）解：∵△ABN≌△ADN，∴AD=AB=10，又∵点M是BC中点，∴MN是△BDC的中位线，∴CD=2MN=6，故△ABC的周长=AB+BC+CD+AD=10+15+6+10=41．14．解：（1）如答图．（第14题答图）（2）∵DE是△ABC的中位线，∴DE=AC，∵AC=6，∴DE=3，∵AB=10，CD是Rt△斜边上的中线等于斜边的一半，∴CD=5.15．（1）证明：连接BD，如答图.∵E、H分别是AB、AD的中点，∴EH是△ABD的中位线．∴EH=BD，EH∥BD．同理得FG=BD，FG∥BD．∴EH=FG，EH∥FG．∴四边形EFGH是平行四边形．（2）填空依次为平行四边形，菱形，矩形，正方形；（3）中点四边形的形状是由原四边形的对角线的关系决定的．（第15题答图）16．解：（1）FH与FC的数量关系是FH=FC．证明如下：延长DF交AB于点G.由题意，知∠EDF=∠ACB=90°，DE=DF，∴DG∥CB，∵点D为AC的中点，∴点G为AB的中点，且，∴DG为△ABC的中位线，∴．∵AC=BC，∴DC=DG，∴DC﹣DE=DG﹣DF，即EC=FG．∵∠EDF=90°，FH⊥FC，∴∠1+∠CFD=90°，∠2+∠CFD=90°，∴∠1=∠2．∵△DEF与△ADG都是等腰直角三角形，∴∠DEF=∠DGA=45°，∴∠CEF=∠FGH=135°，∴△CEF≌△FGH，∴CF=FH．（2）FH与FC仍然相等．理由：由题意可得出：DF=DE，∴∠DFE=∠DEF=45°，∵AC=BC，∴∠A=∠CBA=45°，∵DF∥BC，∴∠CBA=∠FGB=45°，∴∠FGH=∠CEF=45°，∵点D为AC的中点，DF∥BC，∴DG=BC，DC=AC，∴DG=DC，∴EC=GF，∵∠DFC=∠FCB，∴∠GFH=∠FCE，在△FCE和△HFG中，∴△FCE≌△HFG（ASA），∴HF=FC．（第16题答图）22.4 矩形一．选择题1．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使顶点B落在边AD的E点上，折痕FG交BC于G．交AB于F，若∠AEF=30°，则∠FGB的度数为（）（第1题图）A．25°B．30°C．35°D．40°2．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠BOC=120°，BO=4，则矩形的边BC的长是（）（第2题图）A．6 B．8 C．6D．43．下列说法正确的是（）A．平行四边形对角线相等B．矩形的对角线互相垂直C．菱形的四个角都相等D．菱形的对角线互相垂直平分且平分一组对角4．如图，在矩形ABCD中，M是BC边上一点，连接AM，DM．过点D作DE⊥AM，垂足为E．若DE=DC=1，AE=2EM，则BM的长为（）（第4题图）A．1 B．C．D．5．关于特殊四边形对角线的性质，矩形具备而平行四边形不一定具备的是（）A．对角线互相平分B．对角线互相垂C．对角线相等D．对角线平分一组对角6．矩形具有下列性质（）A．对角线相互垂直B．对角线相等C．一条对角线平分一组对角D．面积等于两条对角线乘积的一半7．如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（）（第7题图）A．B．C．D．不确定8．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，DF⊥AC于F点，若∠ADF=3∠FDC，则∠DEC 的度数是（）（第8题图）A．30°B．45°C．50°D．55°9．检查一个门框（已知两组对边分别相等）是不是矩形，可用的方法是（）A．测量两条对角线是否相等B．用重锤线检查竖门框是否与地面垂直C．测量两条对角线是否互相平分D．用曲尺测量两条对角线是否互相垂直10．如图，D，E是△ABC中AB，BC边上的点，且DE∥AC，∠ACB角平分线和它的外角的平分线分别交DE于点G和H．则下列结论错误的是（）（第10题图）A．若BG∥CH，则四边形BHCG为矩形B．若BE=CE时，四边形BHCG为矩形C．若HE=CE，则四边形BHCG为平行四边形D．若CH=3，CG=4，则CE=2.511．如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（）（第11题图）A．3 B．C．D．4二．解答题12．如图，DB∥AC，DE∥BC，DE与AB交于点F，E是AC的中点．（1）求证：F是AB的中点；（2）若要使DBEA是矩形，则需给△ABC添加什么条件？并说明理由．（第12题图）13．如图，在▱ABCD中，AC=8，BD=12，点E、F在对角线BD上，点E从点B出发以1个单位每秒的速度向点D运动，同时点F从点D出发以相同速度向点B运动，到端点时运动停止，运动时间为t秒．（1）求证：四边形AECF为平行四边形．（2）求t为何值时，四边形AECF为矩形．（第13题图）14．如图，平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，EF⊥BD于点O，EF分别交AD，BC于点E，F．且AE=EO=DE，那么平行四边形ABCD是否是矩形，为什么？（第14题图）参考答案一．1．B 2．D 3．D 4．D 5．C 6．B 7．C 8．B 9．B 10．C11．C二．12．证明：（1）∵DE∥BC，BD∥AC∴四边形DBCE是平行四边形∴DB=EC，∵E是AC中点∴AE=EC∵AE=EC，AC∥DB∴四边形ADBE是平行四边形∴AF=BF，即F是AB中点．（2）添加AB=BC∵AB=BC，AE=EC∴BE⊥AC∴平行四边形DBEA是矩形．13．证明：在▱ABCD中，∵AD∥BC，AD=BC，∴∠EBC=∠ADF，由题意知，BE=DF，在△BEC与△DFC中，，∴△BEC≌△DFC（SAS），∴CE=AF，同理可得AE=CF，∴四边形AECF为平行四边形；（2）当t=2或t=10时以点A，C，E，F为顶点的四边形为矩形；（第13题答图）理由：由矩形的性质知OE=OF、OA=OC，要使∠EAF是直角，只需OE=OF=OA=AC=4cm．则∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴2∠2+2∠3=180°，∴∠2+∠3=90°即∠EDF=90°．此时BE=DF=（BD﹣EF）=（12﹣8）=2cm或BE=DF=12﹣2=10cm14．解：平行四边形ABCD是矩形．如图所示，取DE的中点G，连接OG，∵EF⊥BD，∴Rt△DOE中，OG=DE=EG=DG，∵AE=EO=DE，∴EO=OG=EG，∴△OEG是等边三角形，∴∠AEO=∠DGO=120°，又∵AE=DG，OE=OG，∴△AOE≌△DOG，∴AO=DO，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC=2AO=2DO=BD，∴平行四边形ABCD是矩形．（第14题答图）22.5 菱形一．选择题（共6小题）1．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB=5，AC=6，则BD的长是（）（第1题图）A．8 B．7 C．4 D．32．如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF=3，那么菱形ABCD的周长为（）（第2题图）A．24 B．18 C．12 D．93．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是（）（第3题图）A．20 B．24 C．40 D．484．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=10，BD=24，则菱形ABCD的周长为（）（第4题图）A．52 B．48 C．40 D．205．菱形不具备的性质是（）A．四条边都相等B．对角线一定相等C．是轴对称图形D．是中心对称图形二．填空题6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥AD于点E，交BC于点F，则EF的长为．（第6题图）7．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH，若OB=4，S菱形ABCD=24，则OH的长为．（第7题图）8．如图，点E、F、G分别在菱形ABCD的边AB，BC，AD上，AE=AB，CF=CB，AG=AD．已知△EFG的面积等于6，则菱形ABCD的面积等于．（第8题图）9．如图，在菱形OABC中，点B在x轴上，点A的标为（2，3），则点C的坐标为．（第9题图）10．已知一个菱形的边长为2，较长的对角线长为2，则这个菱形的面积是．三．解答题（共11小题）11．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且AB=2．（1）求菱形ABCD的周长；（2）若AC=2，求BD的长．（第11题图）12．如图，在平行四边形ABCD中，P是对角线BD上的一点，过点C作CQ∥DB，且CQ=DP，连接AP、BQ、PQ．（1）求证：△APD≌△BQC；（2）若∠ABP+∠BQC=180°，求证：四边形ABQP为菱形．（第12题图）13．如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE=BF，AC⊥EF．求证：四边形AECF是菱形．（第13题图）14．如图，已知A、F、C、D四点在同一条直线上，AF=CD，AB∥DE，且AB=DE．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若EF=3，DE=4，∠DEF=90°，请直接写出使四边形EFBC为菱形时AF的长度．（第14题图）15．如图，在▱ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF，垂足为O，分别交AD，BC于E，F，连接BE，DF．求证：四边形BFDE是菱形．（第15题图）参考答案一．1．A 2．A 3．A 4．A 5．B二．6．7．3 8．27 9．（2，﹣3）10．2．三．11．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，AB=2，∴菱形ABCD的周长为：8；（2）∵四边形ABCD是菱形，AC=2，AB=2∴AC⊥BD，AO=1，∴BO=，∴BD=212．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∵CQ∥DB，∴∠BCQ=∠DBC，∴∠ADB=∠BCQ∵DP=CQ，∴△ADP≌△BCQ．（2）证明：∵CQ∥DB，且CQ=DP，∴四边形CQPD是平行四边形，∴CD=PQ，CD∥PQ，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴AB=PQ，AB∥PQ，∴四边形ABQP是平行四边形，∵△ADP≌△BCQ，∴∠APD=∠BQC，∵∠APD+∠APB=180°，∴∠ABP=∠APB，∴AB=AP，∴四边形ABQP是菱形．13．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∵DE=BF，∴AE=CF，∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形．14．（1）证明：∵AB∥DE，∴∠A=∠D，∵AF=CD，∴AF+FC=CD+FC，即AC=DF，∵AB=DE，∴△ABC≌△DEF．（2）如图，连接EB交AD于O．在Rt△EFD中，∵∠DEF=90°，EF=3，DE=4，∴DF==5，∵四边形EFBC是菱形，∴BE⊥CF，∴EO==，∴OF=OC==，∴CF=，∴AF=CD=DF﹣FC=5﹣=．15．证明：∵在▱ABCD中，O为对角线BD的中点，∴BO=DO，∠EDB=∠FBO，在△EOD和△FOB中，，∴△DOE≌△BOF（ASA）；∴OE=OF，又∵OB=OD，∴四边形EBFD是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形BFDE为菱形．22.6 正方形一．选择题（共5小题）1．如图，在正方形ABCD中，A、B、C三点的坐标分别是（﹣1，2）、（﹣1，0）、（﹣3，0），将正方形ABCD向右平移3个单位，则平移后点D的坐标是（）（第1题图）A．（﹣6，2）B．（0，2）C．（2，0）D．（2，2）2．关于▱ABCD的叙述，正确的是（）A．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形B．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形C．若AC=BD，则▱ABCD是矩形D．若AB=AD，则▱ABCD是正方形3．下列说法中，正确的是（）A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等B．对角线相等的平行四边形是正方形C．相等的角是对顶角D．角平分线上的点到角两边的距离相等4．如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起，连结BD并延长交EG于点T，交FG于点P，则GT=（）（第4题图）A．B．2C．2 D．15．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（）（第5题图）A．16 B．17 C．18 D．19二．填空题（共3小题）6．如图，正方形ABCD的边长为1，点A与原点重合，点B在y轴的正半轴上，点D在x轴的负半轴上，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°至正方形AB'C′D′的位置，B'C′与CD相交于点M，则点M的坐标为．（第6题图）7．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB=AD；②AB=BD，且AB⊥BD；③OB=OC，且OB⊥OC；④AB=AD，且AC=BD．其中正确的序号是．8．如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+．其中正确的序号是（把你认为正确的都填上）．（第8题图）三．解答题（共4小题）9．已知点E为正方形ABCD的边AD上一点，连接BE，过点C作CN⊥BE，垂足为M，交AB于点N．（1）求证：△ABE≌△BCN；（2）若N为AB的中点，求tan∠ABE．（第9题图）10．如图，在正方形ABCD中，AF=BE，AE与DF相交于点O．（1）求证：△DAF≌△ABE；（2）求∠AOD的度数．（第10题图）11．如图，等边△AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF=45°．求证：矩形ABCD是正方形．（第11题图）12．如图，E是正方形ABCD对角线BD上的一点，求证：AE=CE．（第12题图）参考答案一．1．B 2．C 3．D 4．B 5．B二．6．（﹣1，）7．①③④8．①②④三．9．（1）证明：∵四边形ABCD为正方形∴AB=BC，∠A=∠CBN=90°，∠1+∠2=90°∵CM⊥BE，∴∠2+∠3=90°∴∠1=∠3在△ABE和△BCN中∴△ABE≌△BCN（ASA）；（2）∵N为AB中点，∴BN=AB又∵△ABE≌△BCN，∴AE=BN=AB在Rt△ABE中，tan∠ABE═．10．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB=∠ABC=90°，AD=AB，在△DAF和△ABE中，，∴△DAF≌△ABE（SAS），（2）由（1）知，△DAF≌△ABE，∴∠ADF=∠BAE，∵∠ADF+∠DAO=∠BAE+∠DAO=∠DAB=90°，∴∠AOD=180°﹣（∠ADF+DAO）=90°．11．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠D=∠C=90°，∵△AEF是等边三角形，∴AE=AF，∠AEF=∠AFE=60°，∵∠CEF=45°，∴∠CFE=∠CEF=45°，∴∠AFD=∠AEB=180°﹣45°﹣60°=75°，∴△AEB≌△AFD（AAS），∴AB=AD，∴矩形ABCD是正方形．12．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CB，∠ABE=∠CBE，在△ABE和△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴AE=CE．22.7 多边形的内角和与外角和一．选择题1．一个正多边形的每一个外角都等于30°，则这个多边形的边数是（）A．6 B．8 C．9 D．122．如图，小林从P点向西直走12米后，向左转，转动的角度为α，再走12米，如此重复，小林共走了108米回到点P，则α﹣5的值是（）（第2题图）A．35°B．40°C．50°D．不存在3．如图，在四边形ABCD中，∠ABC与∠BCD的平分线的交点E恰好在AD边上，则∠BEC=（）（第3题图）A．∠A+∠D﹣45°B．（∠A+∠D）+45°C．180°﹣（∠A+∠D）D．∠A+∠D4．如图，五边形ABCDE中，AE∥BC，则∠C+∠D+∠E的度数为（）（第4题图）A．180°B．270°C．360°D．450°5．一个多边形的内角和等于360°，它是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形6．如果某多边形的每个内角的大小都是其相邻外角的3倍，那么这个多边形是（）A．六边形B．八边形C．正六边形D．正八边形7．下列角度中，不能成为多边形内角和的是（）A．460°B．540°C．900°D．1260°8．一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于（）A．108°B．90°C．72°D．60°9．若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是（）边形．A．三B．四C．五D．六10．四边形的四个内角可以都是（）A．锐角B．直角C．钝角D．以上答案都不对二．11．如图，小明从点O出发，前进5m后向右转15°，再前进5m后又向右转15°，…这样一直下去，直到他第一次回到出发点O为止，他所走的路径构成了一个多边形．小明一共走了米？这个多边形的内角和是度？（第11题图）12．一个正多边形的每个内角等于108°，则它的边数是．13．在图中，x的值为．（第13题图）14．如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=．（第14题图15．如图所示是三个边长相等的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形的一部分，正多边形①和②的内角都是108°，则正多边形③的边数是．（第15题图）三．解答题（共3小题）16．如图，五角星的顶点为A、B、C、D、E，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数？（第16题图）17．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，连接BD，点E在BC边上，点F在DC边上，且∠1=∠2．（1）求证：EF∥BD；（2）若DB平分∠ABC，∠A=130°，∠C=70°，求∠CFE的度数．（第17题图）18．解答题：（第18题图）（1）如图①，△ABC的内角∠ABC的平分线与外角∠ACD的平分线相交于P点，请探究∠P与∠A的关系，并说明理由．（2）如图②③，四边形ABCD中，设∠A=α，∠D=β，∠P为四边形ABCD的内角∠ABC与外角∠DCE 的平分线所在直线相交而形成的锐角．请利用（1）中的结论完成下列问题：①如图②，若α+β＞180°，求∠P的度数．（用α，β的代数式表示）②如图③，若α+β＜180°，请在图③中画出∠P，并直接写出∠P=．（用α，β的代数式表示）（作图2分，写出结果）参考答案一．1．D 2．A 3．D 4．C 5．A 6．B 7．A 8．C 9．B 10．B 二．11．120；3960 12．五13．135 14．360°15．10三．16．解：如答图.由三角形的外角性质，得∠1=∠A+∠C，∠2=∠B+∠D，∵∠1+∠2+∠E=180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．（第16题答图）17．解：（1）如答图.（第17题答图）∵AD∥BC（已知），∴∠1=∠3（两直线平行，内错角相等）．∵∠1=∠2，∴∠3=∠2（等量代换）．∴EF∥BD（同位角相等，两直线平行）．（2）解：∵AD∥BC（已知），∴∠ABC+∠A=180°（两直线平行，同旁内角互补）．∵∠A=130°（已知），∴∠ABC=50°．∵DB平分∠ABC（已知），∴∠3=∠ABC=25°．∴∠2=∠3=25°．∵在△CFE中，∠CFE+∠2+∠C=180°（三角形内角和定理），∠C=70°，∴∠CFE=85°．18．解：（1）如答图1中，结论：2∠P=∠A．（第18题答图）理由：∵∠PCD=∠P+∠PBC，∠ACD=∠A+∠ABC，∵P点是∠ABC和外角∠ACD的角平分线的交点，∴2∠PCD=∠ACD，2∠PBC=∠ABC，∴2（∠P+∠PBC）=∠A+∠ABC，2∠P+2∠PBC=∠A+∠ABC，2∠P+∠ABC=∠A+∠ABC，∴2∠P=∠A；（2）①如答图2中，解法一：由四边形内角和定理得，∠BCD=360°﹣∠A﹣∠D﹣∠ABC，∴∠DCE=180°﹣（360°﹣∠A﹣∠D﹣∠ABC）=∠A+∠D+∠ABC﹣180°，由三角形的外角性质得，∠DCE=∠A+∠D+∠ABC，∠PCE=∠P+∠PBC，∵BP、CP分别是∠ABC和∠DCE的平分线，∴∠PBC=∠ABC，∠PCE=∠DCE，∴∠P+∠PBC=（∠A+∠D+∠ABC﹣180°）=（∠A+∠D）+∠ABC﹣90°，∴∠P=（∠A+∠D）﹣90°，∵∠A=α，∠D=β，∴∠P=（α+β）﹣90°；解法二：延长BA交CD的延长线于点F．∵∠F=180°﹣∠FAD﹣∠FDA=180°﹣（180°﹣α）﹣（180°﹣β）=α+β﹣180°，由（1）可知，∠P=∠F，∴∠P=（α+β）﹣90°；②如图3，延长AB交DC的延长线于F．∵∠F=180°﹣α﹣β，∠P=∠F，∴∠P=（180°﹣α﹣β）=90°﹣α﹣β。

2022年最新冀教版八年级数学下册第二十二章四边形专项测评试题(含答案解析)

八年级数学下册第二十二章四边形专项测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，平行四边形ABCD的边BC上有一动点E，连接DE，以DE为边作矩形DEGF且边FG过点A．在点E从点B移动到点C的过程中，矩形DEGF的面积（）A．先变大后变小B．先变小后变大C．一直变大D．保持不变2、如图，在矩形ABCD中，动点P从点A出发，沿A→B→C运动，设PA x，点D到直线PA的距离为y，且y关于x的函数图象如图所示，则当PCD和PAB△的面积相等时，y的值为（）A B C D3、如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x ，y 表示直角三角形的两直角边（x ＞y ），则下列四个说法：①x 2+y 2=49，②x ﹣y =2，③2xy +4=49，④x +y =9．其中说法正确的是（）A ．②③B ．①②③C ．②④D ．①②④4、如图，在▱ABCD 中，点E 在边BC 上，连接AE ，EM ⊥AE ，垂足为E ，交CD 于点M ．AF ⊥BC ，垂足为F ．BH ⊥AE ，垂足为H ，交AF 于点N ，连接AC 、NE .若AE =BN ，AN =CE ，则下列结论中正确的有（）个．①ANB CEA ≌△△；②ABC 是等腰直角三角形；③NFE 是等腰直角三角形；④ANE ECM ≌△△；⑤AD EC =+．A ．1B ．3C ．4D ．55、如图，五边形ABCDE 中，320A B E ∠∠+∠=︒十，CP ，DP 分别平分BCD ∠，CDE ∠，则CPD ∠=（）A ．60°B ．72°C ．70°D ．78°6、在平行四边形ABCD 中，∠A ∶∠ B ∶∠ C ∶∠ D 的值可以是（）A ．1∶2∶3∶4B ．1∶2∶2∶1C ．2∶2∶1∶1D ．1∶2∶1∶27、在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，D ，E ，F 分别是边BC ，CA ，AB 的中点，AB ＝6，BC ＝8，则四边形AEDF 的周长是（）A ．18B ．16C ．14D ．128、正方形具有而矩形不一定具有的性质是（）A ．四个角相等B ．对角线互相垂直C ．对角互补D ．对角线相等9、若n 边形每个内角都为156°，那么n 等于（）A ．8B ．12C ．15D ．1610、如图，在平行四边形ABCD 中，AE 平分BAD ∠，交CD 边于E ，3AD =，5AB =，则EC 的长为（）A ．1B ．2C ．3D ．5第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，A 、B 、C 均为一个正十边形的顶点，则∠ACB=_____°．2、如图，90,ACB AC BC ∠=︒=，D 为ABC 外一点，且,AD BD DE AC =⊥交CA 的延长线于E 点，若1,3AE ED ==，则BC =_______．3、如图，将长方形ABCD 沿AE ，EF 翻折使其B 、C 重合于点H ，点D 落在点G 的位置，HE 与AD 交于点P ，连接HF ，当6AB =，18BC =时，则P 到HF 的距离是______．4、过某个多边形一个顶点的所有对角线，将此多边形分成7个三角形，则此多边形的边数______．5、如图，菱形ABCD 的边长为4，∠BAD ＝120°，E 是边CD 的中点，F 是边AD 上的一个动点，将线段EF 绕着点E 顺时针旋转60°得到线段EF '，连接AF '、BF '，则△ABF '的周长的最小值是________________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、已知正方形ABCD 与正方形EFGH ，AB a ，()EF b b a =<．(1)如图1，若点C 和点H 重合，点E 在线段CB 上，点G 在线段DC 的延长线上，连接AC 、AG 、CG ，将阴影部分三角形ACG 的面积记作S ，则S = （用含有a 、b 的代数式表示）．(2)如图2，若点B 与点E 重合，点H 在线段BC 上，点F 在线段AB 的延长线上，连接AC 、AG 、CG ，将阴影部分三角形ACG 的面积记作S ，则S = （用含有a 、b 的代数式表示）．(3)如图3，若将正方形EFGH 沿正方形ABCD 的边BC 所在直线平移，使得点E 、H 在线段BC 上（点H 不与点C 重合、点E 不与点B 重合），连接AC 、AG 、CG ，设CH x =，将阴影部分三角形ACG 的面积记作S ，则S = （用含有a 、b 、x 的代数式表示）．(4)如图4，若将正方形EFGH 沿正方形ABCD 的边BC 所在直线平移，使得点H 、E 在BC 的延长线上，连接AC 、AG 、CG ，设CH x =，将阴影部分三角形ACG 的面积记作S ，则S = （用含有a 、b 、x 的代数式表示）．2、在平面直角坐标系xOy 中，已知点(3,1)A -，(1,1)B -，(,3)C m ，以点A ，B ，C 为顶点的平行四边形有三个，记第四个顶点分别为1D ，2D ，3D ，如图所示．(1)若1m =-，则点1D ，2D ，3D 的坐标分别是（），（），（）；(2)若△123D D D 是以12D D 为底的等腰三角形，①直接写出m 的值； ②若直线12y x b =+与△123D D D 有公共点，求b 的取值范围．(3)若直线y x =与△123D D D 有公共点，求m 的取值范围．3、如图，OABC 是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O 为原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，10OA =，8OC =，在OC 边上取一点D ，将纸片沿AD 翻折，使点O 落在BC 边上的点E 处．(1)直接写出B 点的坐标____________________；(2)求D 、E 两点的坐标．4、如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AB ＝5cm ，∠BOC ＝120°，求矩形对角线的长．5、已知在ABC 与CDE △中，,,AB CD B D ACE B =∠=∠∠=∠，点B C D 、、在同一直线上，射线AH EI 、分别平分BAC CED ∠∠、．(1)如图1，试说明AC CE =的理由；(2)如图2，当AH EI 、交于点G 时，设,B AGE αβ∠=∠=，求β与α的数量关系，并说明理由；(3)当AH EI ∥时，求B 的度数．-参考答案-一、单选题1、D【解析】【分析】连接AE ，根据11,22ADE ADE ABCD DEGF S S S S ==矩形，推出ABCD DEGF S S =矩形，由此得到答案．【详解】解：连接AE ，∵11,22ADE ADE ABCD DEGF S S S S ==矩形，∴ABCD DEGF S S =矩形，故选：D ．．【点睛】此题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，正确连接辅助线AE 是解题的关键．2、D【解析】【分析】先结合图象分析出矩形AD 和AB 边长分别为4和3，当△PCD 和△PAB 的面积相等时可知P 点为BC 中点，利用面积相等求解y 值．【详解】解：当P 点在AB 上运动时，D 点到AP 的距离不变始终是AD 长，从图象可以看出AD =4，当P 点到达B 点时，从图象看出x =3，即AB =3．当△PCD 和△PAB 的面积相等时，P 点在BC 中点处，此时△ADP 面积为143=62⨯⨯，在Rt △ABP 中，AP由面积相等可知：162⨯⨯=AP y ，解得y = 故选：D ．【点睛】本题主要考查了函数图形的认识，分析图象找到对应的矩形的边长，解决动点问题就是“动中找静”，结合图象找到“折点处的数据真正含义”便可解决问题．3、B【解析】【分析】根据正方形的性质，直角三角形的性质，直角三角形面积的计算公式及勾股定理解答即可．【详解】如图所示，∵△ABC 是直角三角形，∴根据勾股定理：22249x y AB +==，故①正确；由图可知2x y CE -==，故②正确；由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，列出等式为144492xy ⨯⨯+=，即2449xy +=，故③正确；由2449xy +=可得245xy =，又∵2249x y +=，两式相加得：2224945x xy y ++=+，整理得：()294x y +=，9x y +=≠，故④错误；故正确的是①②③．故答案选B ．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正方形性质，完全平方公式的应用，算术平方根，准确分析判断是解题的关键．4、C【解析】【分析】证出∠NBF =∠EAF =∠MEC ，再证明△NBF ≌△EAF （AAS ），得出BF =AF ，NF =EF ，证明△ANB ≌△CEA 得出∠CAE =∠ABN ，推出∠ABF =∠FAC =45°；再证明△ANE ≌△ECM 得出CM =NE ，由NF，得出AF+EC ，即可得出结论．【详解】解：∵BH ⊥AE ，AF ⊥BC ，AE ⊥EM ，∴∠AEB +∠NBF =∠AEB +∠EAF =∠AEB +∠MEC =90°，∴∠NBF =∠EAF =∠MEC ，在△NBF 和△EAF 中，NBF EAF BFN EFA AE BN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△NBF ≌△EAF （AAS ）；∴BF =AF ，NF =EF ，∴∠ABC =45°，∠ENF =45°，∴△NFE 是等腰直角三角形，故③正确；∵∠ANB=90°+∠EAF，∠CEA=90°+∠MEC，∴∠ANB=∠CEA，在△ANB和△CEA中，AN CEANB CEABN AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ANB≌△CEA（SAS），故①正确；∵AN=CE，NF=EF，∴BF=AF=FC，又∵AF⊥BC，∠ABC=45°，∴△ABC是等腰直角三角形，故②正确；在▱ABCD中，CD∥AB，且△ABC、△NFE都是等腰直角三角形，∴∠ACD=∠BAC=90°，∠ACB=∠FNE=45°，∴∠ANE=∠BCD=135°，在△ANE和△ECM中，MEC EAFAN ECANE ECM∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ANE≌△ECM（ASA），故④正确；∴CM=NE，又∵NF，∴AF+EC，∴AD=BC=2AF+2EC，故⑤错误．综上，①②③④正确，共4个，故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．5、C【解析】【分析】根据五边形的内角和等于540︒，由320A B E ∠+∠+∠=︒，可求BCD CDE ∠+∠的度数，再根据角平分线的定义可得PDC ∠与PCD ∠的角度和，进一步求得CPD ∠的度数．【详解】解：五边形的内角和等于540︒，320A B E ∠+∠+∠=︒，540320220BCD CDE ∴∠+∠=︒-︒=︒，BCD ∠、CDE ∠的平分线在五边形内相交于点O ，1()1102PDC PCD BCD CDE ∴∠+∠=∠+∠=︒， 18011070CPD ∴∠=︒-︒=︒．故选：C ．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式，角平分线的定义，解题的关键是熟记公式，注意整体思想的运用．6、D【解析】略7、B【解析】略8、B【解析】略9、C【解析】【分析】首先求得外角的度数，然后利用多边形的外角和是360度，列式计算即可求解．【详解】解：由题意可知：n 边形每个外角的度数是：180°-156°=24°，则n =360°÷24°=15．故选：C ．【点睛】本题考查了多边形的外角与内角，熟记多边形的外角和定理是关键．10、B【解析】【分析】先由平行四边形的性质得//BA CD ，5CD AB ==，再证3DE AD ==，即可求解．【详解】解：四边形ABCD 是平行四边形，//BA CD ∴，5CD AB ==，DEA EAB ∴∠=∠，AE ∵平分DAB ∠，DAE EAB ∴∠=∠，DAE DEA ∴∠=∠，3DE AD ∴==，532EC CD DE ∴=-=-=，故选：B ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题．二、填空题1、18【解析】【分析】根据正多边形外角和和内角和的性质，得DAE ∠、144BAE E F ∠=∠=∠=︒；根据四边形内角和的性质，计算得EAC ∠；根据五边形内角和的性质，计算得ABC ∠，再根据三角形外角的性质计算，即可得到答案．【详解】如图，延长BA∵正十边形 ∴3603610DAE ︒∠==︒，正十边形内角()102180=14410-⨯︒=︒，即144BAE E F ∠=∠=∠=︒ 根据题意，得四边形ACFE 内角和为：360︒，且EAC FCA ∠=∠ ∴360362E F EAC FCA ︒-∠-∠∠=∠==︒ ∴72DAC DAE EAC ∠=∠+∠=︒根据题意，得五边形ABCFE 内角和为：()52180540=-⨯︒=︒，且ABC FCB ∠=∠ ∴540542BAE E F ABC FCB ︒-∠-∠-∠∠=∠==︒ ∴725418ACB DAC ABC ∠=∠-∠=︒-︒=︒故答案为：18．【点睛】本题考查了正多边形、三角形外角的知识；解题的关键是熟练掌握正多边形外角和、正多边形内角和的性质，从而完成求解．2、2【解析】【分析】过点D 作DM ⊥CB 于M ，证出∠DAE=∠DBM ，判定△ADE ≌△BDM ，得到DM=DE =3，证明四边形CEDM 是矩形，得到CE=DM =3，由A E =1，求出BC=AC =2．【详解】解：∵DE ⊥AC ，∴∠E=∠C=90°，∴CB ED ∥，过点D作DM⊥CB于M，则∠M=90°=∠E，∵AD=BD，∴∠BAD=∠ABD，∵AC=BC，∴∠CAB=∠CBA，∴∠DAE=∠DBM，∴△ADE≌△BDM，∴DM=DE=3，∵∠E=∠C=∠M =90°，∴四边形CEDM是矩形，∴CE=DM=3，∵A E=1，∴BC=AC=2，故答案为：2．【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质，矩形的判定及性质，等边对等角证明角度相等，正确引出辅助线证明△ADE≌△BDM是解题的关键．3、15√6161【解析】【分析】连接FC ，过点H 作HH ⊥HH ，过点P 作HH ⊥HH ，线段PM 长度即为所求，根据折叠及矩形的性质可得∆HHH ≅∆HHH ，∆HHH ≅∆HHH ，∠HHH =∠H =90°，∠HHH =∠HHH =90°，∠H =∠H =90°，HH =HH =18，由全等三角形及平行线的判定得出HH =HH =6，HH =HH =6，HH ∥HH ，点A 、H 、G 三点共线，且12AG =，点H 为AG 中点，设HH =H ，则GF x =，HH =18−H ，利用勾股定理可得5GF =，13AF =，由三角形中位线的判定及性质可得HH =52，HH =HH =132，最后在两个三角形HH ∆HHH 与∆HHH 中，利用等面积法求解即可得．【详解】解：如图所示：连接FC ，过点H 作HH ⊥HH ，过点P 作HH ⊥HH ，线段PM 长度即为所求，∵长方形ABCD 沿AE ，EF 翻折使其B 、C 重合于点H ，点D 落在点G 的位置，∴∆HHH ≅∆HHH ，∆HHH ≅∆HHH ，∠HHH =∠H =90°，∠HHH =∠HHH =90°，∠H =∠H =90°，HH =HH =18，∴HH =HH =6，HH =HH =6，HH ∥HH ，∴点A 、H 、G 三点共线，且HH =HH +HH =12，点H 为AG 中点，设HH =H ，则GF x =，HH =18−H ，在Rt AGF 中，HH 2+HH 2=HH 2，即122+H 2=(18−H )2，解得：5x =，∴5GF =，13AF =，∵HH ∥HH 且点H 为AG 中点，∴HP 为AGF 中位线，∴HH =12HH =52，HH =HH =12HH =132，在HH ∆HHH 中， HH =√HH 2+HH 2=√61，H ∆HHH =12·HH ·HH =12·HH ·HH ，即12×6×52=12×132×HH ， ∴HH =3013， ∴H ∆HHH =12·HH ·HH =12·HH ·HH ，即12×132×3013=12×√61×HH ，解得：HH =15√6161，故答案为：15√6161．【点睛】题目主要考查矩形及图形折叠的性质，全等三角形的性质及平行线的判定，中位线的判定和性质，勾股定理等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．4、9【解析】【分析】根据n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线，可组成n-2个三角形，依此可得n的值．【详解】解：由题意得，n-2=7，解得：n=9，即这个多边形是九边形．故答案为：9．【点睛】本题考查了多边形的对角线，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求n．5、【解析】【分析】取AD中点G，连接EG，F'G，BE，作BH⊥DC的延长线于点H，利用全等三角形的性质证明∠F'GA＝60°，点F'的轨迹为射线GF'，易得A、E关于GF'对称，推出AF'＝EF'，得到BF'+AF'＝BF'+EF'≥BE，求出BE即可解决周长最小问题．【详解】解：取AD中点G，连接EG，F'G，BE，作BH⊥DC的延长线于点H，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD，∵∠BAD ＝120°，∴∠CAD ＝60°，∴△ACD 为等边三角形，又∵DE ＝DG ，∴△DEG 也为等边三角形．∴DE ＝GE ，∵∠DEG ＝60°＝∠FEF '，∴∠DEG ﹣∠FEG ＝∠FEF '﹣∠FEG ，即∠DEF ＝∠GEF '，由线段EF 绕着点E 顺时针旋转60°得到线段EF '，所以EF ＝EF '．在△DEF 和△GEF '中，DE GE DEF GEF EF EF '=⎧⎪∠=∠⎨='⎪⎩， ∴△DEF ≌△GEF '（SAS ）．∴∠EGF '＝∠EDF ＝60°，∴∠F 'GA ＝180°﹣60°﹣60°＝60°，则点F '的运动轨迹为射线GF '．观察图形，可得A ，E 关于GF '对称，∴AF '＝EF '，∴BF '+AF '＝BF '+EF '≥BE ，在Rt△BCH 中，∵∠H ＝90°，BC ＝4，∠BCH ＝60°，∴12,2CH BC BH ===，在Rt△BEH 中，BE∴BF '+EF∴△ABF '的周长的最小值为AB +BF '+EF '＝故答案为：【点睛】本题考查了旋转变换，菱形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形等知识，解题关键在于学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．三、解答题1、 (1)12ab (2)212a (3)1()2a b x + (4)1()2a xb -2、 (1)-3，3，1，3，-3，-1(2)①-2；②15b ≤≤(3)m 1≥或3m ≤-【解析】【分析】（1）分别以AC 、BC 、AB 为对角线，利用平行四边形以及平移的性质可得点1D ，2D ，3D 的坐标；（2）①根据平行公理得1D ，A 、3D 在同一直线上，2D 、B 、3D 在同一直线上，可得AB 是等腰三角形△123D D D 的中位线，求出22D C AB ==，即可得m 的值；②由①求得的m 的值可得1D ，3D 的坐标，分别求出直线12y x b =+过点1D ，3D 时b 的值即可求解；（3）由题意用m 表示出点1D ，2D ，3D 的坐标，画出图形，求出直线y x =与△123D D D 交于点2D ，3D 时m 的值即可求解．(1)解：(3,1)A -，(1,1)B -，1(3)2AB ∴=---=，//AB x 轴．以AC 为对角线时，四边形ABCD 是平行四边形，//CD AB ∴，CD AB =，∴将(1,3)C -向左平移2个单位长度可得D ，即1(3,3)D -；以BC 为对角线时，四边形ABDC 是平行四边形，//CD AB ∴，CD AB =，∴将(1,3)C -向右平移2个单位长度可得D ，即2(1,3)D ；以AB 为对角线时，四边形ACBD 是平行四边形，∴对角线AB 的中点与CD 的中点重合， AB 的中点为(2,1)-，(1,3)C -，3(3,1)D ∴--．故答案为：()3,3-，(1,3)，(3,1)--；(2)解：①如图，若△123D D D 是以12D D 为底的等腰三角形，四边形1ABCD ，2ABD C ，3ACBD 是平行四边形，13////BC AD AD ∴，23////AC BD BD ，12AB CD D C ==，1D ∴、A 、3D 在同一直线上，2D 、B 、3D 在同一直线上，1212AB D D =，AB ∴是等腰三角形△123D D D 的中位线，12//AB D D ∴，312CD D D ⊥， (3,1)A -，(1,1)B -，(,3)C m ，22D C AB ∴==，2m ∴=-；②由①得2m =，1(4,3)D ∴-，3(2,1)D --．当直线12y x b =+过点1D 时，13(4)2b =⨯-+，解得：5b =，当直线12y x b =+过点3D 时，11(2)2b -=⨯-+，解得：0b =，b ∴的取值范围为05b ； (3)解：如图，(3,1)A -，(1,1)B -，(,3)C m ，1(2,3)D m ∴-，2(2,3)D m +．连接AB 、3CD 交于点E ，四边形3ACBD 是平行四边形，∴点C 、3D 关于点E 对称，3(4,1)D m ∴---，直线y x =与△123D D D 有公共点，当直线y x =与△123D D D 交于点2D ，23m +=，解得：1m =，1m ∴时，直线y x =与△123D D D 有公共点；当直线y x =与△123D D D 交于点3D ，41m --=-，解得：3m =-，3m ∴-时，直线y x =与△123D D D 有公共点；综上，m 的取值范围为1m 或3m -．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，平移的性质，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征等知识，解题的关键是利用数形结合与分类讨论的思想进行求解．3、 (1)(10，8)(2)D (0，5)，E (4，8)【解析】【分析】（1）根据10OA =，8OC =，可得B 点的坐标；（2）根据折叠的性质，可得AE =AO ，OD =ED ，根据勾股定理，可得EB 的长，根据线段的和差，可得CE 的长，可得E 点坐标；再根据勾股定理，可得OD 的长，可得D 点坐标；(1)解：∵10OA =，8OC =，∴B 点的坐标(10，8)，故答案为：(10，8)；(2)解：依题意可知，折痕AD 是四边形OAED 的对称轴，在Rt △ABE 中，AE =AO =10，AB =OC =8，由勾股定理，得BE ，CE =BC -BE =10-6=4，E (4，8)．在Rt △DCE 中，由勾股定理，得DC 2+CE 2=DE 2，又∵DE =OD ，CD =8-OD ，(8-OD )2+42=OD 2，解得OD =5，D (0，5)．所以D(0，5)，E(4，8)；【点睛】本题主要考查了、矩形的性质、翻折变换、勾股定理等知识点，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．4、10cm【解析】【分析】根据矩形性质得出∠ABC＝90°，AC＝BD，OA＝OC＝12AC，OB＝OD＝12BD，推出OA＝OB，求出等边三角形AOB，求出OA＝OB＝AB＝5，即可得出答案．【详解】解：∵∠BOC＝120°，∴∠AOB＝180°﹣120°＝60°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AC＝BD，OA＝OC＝12AC，OB＝OD＝12BD，∴OA＝OB，∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∵AB＝5cm，∴OA＝OB＝AB＝5cm，∴AC＝2AO＝10cm，BD＝AC＝10cm．【点睛】本题考查了矩形的性质和等边三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出OA、OB的长，题目比较典型，是一道比较好的题目．5、 (1)理由见解析(2)32180αβ-=︒，理由见解析(3)60B ∠=︒【解析】【分析】（1）ACD ACE ECD A B ∠=∠+∠=∠+∠，B ACE ∠=∠，A ECD ∠=∠可知ABC CDE △≌△，进而可说明AC CE =；（2）如图1所示，连接GC 并延长至点K ，AH EI 、分别平分BAC DEC ∠∠、，则设,CAH BAH a CEI DEI b ∠=∠=∠=∠=，ACK ∠为ACG 的外角，ACK a AGC ∠=+∠，同理ECK b EGC ∠=+∠，ACE ACK ECK B α=∠+∠=∠=，得a b αβ+=-；又由（1）中证明可知2ECD BAC a ∠=∠=，180ECD DEC D ∠+∠+∠=︒，进而可得到结果；（3）如图2所示，过点C 作//MN AH ，则////MN AH EI ，,CAH ACM a CEI ECM b ∠=∠=∠=∠=ACE ACM ECM a b α∠=∠+∠=+=，可得a b α=+，由（1）中证明可得2,ECD BAC a D B α∠=∠=∠=∠=，在CED 中， 180ECD CED D ∠+∠+∠=︒，即22180a b α++=︒，进而可得到结果．(1)证明：ACD ACE ECD A B ∠=∠+∠=∠+∠又B ACE ∠=∠A ECD ∴∠=∠在ABC 和CDE △中B D AB CD A ECD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ABC CDE ASA ∴△≌△AC CE ∴=．(2)解：32180αβ-=︒．理由如下：如图1所示，连接GC 并延长至点KAH EI 、分别平分BAC DEC ∠∠、则设,CAH BAH a CEI DEI b ∠=∠=∠=∠=ACK ∠为ACG 的外角ACK a AGC ∴∠=+∠同理可得ECK b EGC ∠=+∠ACE ACK ECK B α∴∠=∠+∠=∠=()()a AGC b EGC a b AGE a b β=+∠++∠=++∠=++即a b αβ=++a b αβ∴+=-．又由（1）中证明可知2ECD BAC a ∠=∠=由三角形内角和公式可得180ECD DEC D ∠+∠+∠=︒即22180a b α++=︒2()180a b α∴++=︒32180αβ∴-=︒．(3)解：当//AH EI 时，如图2所示，过点C 作//MN AH ，则////MN AH EI,CAH ACM a CEI ECM b ∴∠=∠=∠=∠=ACE ACM ECM a b α∴∠=∠+∠=+=，即a b α=+由（1）中证明可得2,ECD BAC a D B α∠=∠=∠=∠=在CED 中，根据三角形内角和定理有180ECD CED D ∠+∠+∠=︒即22180a b α++=︒即2()180a b α+=-︒即3180α=︒，解得：60α=︒故60B ∠=︒．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、三角形内角和定理、平行线的性质、角平分线的性质等知识，连接GC 并延长，利用三角形外角性质证得a b αβ+=-是解题的关键．。

冀教版八年级数学下册第22章达标测试卷附答案

冀教版八年级数学下册第二十二章达标测试卷一、选择题(1～10题每题3分，11～16题每题2分，共42分)1．已知一个多边形的内角和等于900°，则这个多边形是()A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形2．已知一个多边形内角和是外角和的4倍，则这个多边形是() A．八边形B．九边形C．十边形D．十二边形3．如图，菱形ABCD中，∠1＝20°，则∠D＝()A．100°B．170°C．160°D．140°(第3题)(第4题)(第6题)4．如图，▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E是BC的中点．若OE＝3 cm，则AB的长为()A．12 cm B．9 cmC．6 cm D．3 cm5．下列四组条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是() A．AB＝DC，AD＝BC B．AB∥DC，AD∥BCC．AB∥DC，AD＝BC D．AB∥DC，AB＝DC6．如图，在平行四边形ABCD中，已知∠ODA＝90°，AC＝10 cm，BD＝6 cm，则AD的长为()A．4 cm B．5 cmC．6 cm D．8 cm7．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为一边的正方形ACEF 的周长为()A．14 B．15 C．16 D．17(第7题) (第8题)8．如图，把一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为100°的菱形，剪口与第二条折痕所成的角的度数为( ) A ．25°或50° B ．20°或50° C ．40°或50°D ．40°或80°9．如图，已知在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，∠BAD ＝120°，AC＝4，则该菱形的面积是( ) A ．16 3B ．16C ．8 3D ．8(第9题) (第10题) (第11题)10．如图，矩形OABC 的顶点O 为坐标原点，点A ，C 分别在x 轴，y 轴上，点B 的坐标为(－5，4)，点D 为边BC 上一点，连接OD ，若线段OD 绕点D 顺时针旋转90°后，点O 恰好落在AB 边上的点E 处，则点E 的坐标为( ) A ．(－5，3) B ．(－5，4) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－5，52 D ．(－5，2)11．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝3AB ，点G ，H 分别在AD ，BC 上，连接BG ，DH ，且BG ∥DH ，若四边形BHDG 为菱形，则AGAD ＝( ) A.45B.35C.49D.3812．如图，在▱ABCD 中，CD ＝2AD ，BE ⊥AD 于点E ，F 为DC 的中点，连接EF ，BF ，给出下列结论：①∠ABC ＝2∠ABF ；②EF ＝BF ；③S 四边形DEBC ＝2S △EFB ；④∠CFE ＝3∠DEF .其中正确的结论有( ) A ．1个B ．2个C．3个D．4个(第12题)(第14题)13．四边形ABCD中，AB＝3，CD＝5，M、N分别是边AD，BC的中点，则线段MN的长的取值范围是()A．2<MN≤8 B．2≤MN<8C．1<MN≤4 D．1≤MN<414．如图①，在菱形ABCD中，动点P从点B出发，沿△BCD的边运动．设点P 经过的路程为x，△ABP的面积为y.把y看成x的函数，函数的图像如图②所示，则图②中的b等于()A．8 3 B．3 7C．5 D．415．如图，在正方形ABCD中，AB＝1，点E，F分别在边BC和CD上，AE＝AF，∠EAF＝60°，则CF的长是()(第15题)A.3＋14 B.32C.3－1D.2 316．如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E且AB＝AE，延长AB与DE的延长线相交于点F，连接AC，CF.给出下列结论：①△ABC≌△EAD；②△ABE是等边三角形；③BF＝AD；④S△BEF ＝S△ABC；⑤S△CEF ＝S△ABE.其中正确的有()(第16题) A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．5个二、填空题(17题3分，18、19题每题4分，共11分)17．如图，BD 为正方形ABCD 的对角线，BE 平分∠DBC ，交DC 于点E ，延长BC 到F ，使CF ＝CE ，连接DF .若CE ＝1 cm ，则BF ＝________．(第17题) (第18题) (第19题)18．如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，以对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ，….记正方形ABCD 的边长为a 1，按上述方法所作的正方形的边长依次为a 2，a 3，a 4，…，a n (n 为正整数)，则a 4＝________，a n ＝________．19．菱形OBCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B (2，0)，∠DOB ＝60°，点P 是对角线OC 上一个动点，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－32，则EP ＋BP 的最小值为________，此时点P 的坐标为________．三、解答题(20题8分，21～23题每题9分，24、25题每题10分，26题12分，共67分)20．如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边CB，AD的延长线上，且BE＝DF，连接EF，分别与AB，CD交于点G，H.求证：AG＝CH.(第20题)21．如图，正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE，过B点作BH⊥AE，垂足为点H，延长BH交CD于点F，连接AF.(1)求证：AE＝BF；(2)若正方形的边长是5，BE＝2，求AF的长．(第21题)22．如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF.(1)求证：四边形BFDE是矩形；(2)若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB.(第22题)23．如图，矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点．(1)求证：△BGF≌△FHC；(2)设AD＝a，当四边形EGFH是正方形时，求矩形ABCD的面积．(第23题)24．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，四边形BCED为平行四边形，DE，AC相交于F.连接DC，AE.(1)试确定四边形ADCE的形状，并说明理由；(2)若AB＝16，AC＝12，求四边形ADCE的面积；(3)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE为正方形？请给予证明．(第24题) 25．连接多边形任意两个不相邻顶点的线段称为多边形的对角线．(1)如图．(第25题)对角线条数分别为________、________、________、________．(2)若一个n边形的内角和为1 800°，求这个多边形有多少条对角线．26．(1)如图①，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两线交于点P，则四边形CODP的形状是________；(2)如图②，若(1)中的矩形变为菱形，其他条件不变，则四边形CODP的形状是________；(3)如图③，若(1)中的矩形变为正方形，其他条件不变，请判断四边形CODP的形状，并说明理由．(第26题)答案一、1.C 2.C 3.D 4.C 5.C 6.A 7．C 8.C 9.C 10.A11．C 点拨：设AB ＝1，则AD ＝3.若四边形BHDG 为菱形，则BG ＝GD ，设BG ＝GD ＝x ，则AG ＝3－x ，在Rt △ABG 中，1＋()3－x 2＝x 2 ，解得x ＝53 ，所以AG AD ＝3－533＝49.12．D 点拨：∵在▱ABCD 中，CD ＝2AD ，F 为DC 的中点，∴CF ＝12CD ＝AD＝BC ，∴∠CBF ＝∠CFB . ∵AB ∥CD ，∴∠CFB ＝∠ABF . ∴∠CBF ＝∠ABF .∴∠ABC ＝∠ABF ＋∠CBF ＝2∠ABF . 故①正确．延长EF ，BC ，相交于点G . 易证得△DEF ≌△CGF ，∴FE ＝FG . ∵BE ⊥AD ，AD ∥BC ，∴∠EBG ＝90°.根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得EF ＝BF ，故②正确． ∵BF 是△BEG 的中线， ∴S △BEG ＝2S △BEF ， ∵S △DEF ＝S △CGF ， ∴S △BEG ＝S 四边形DEBC ，∴S 四边形DEBC ＝2S △EFB ，故③正确．设∠DEF ＝x ，则∠G ＝x . ∵FG ＝FB ，∴∠FBG ＝∠G ＝x .∴∠EFB ＝2x ，∠CFB ＝∠CBF ＝x .∴∠CFE ＝∠CFB ＋∠BFE ＝x ＋2x ＝3x ＝3∠DEF ，故④正确． 13．C14．B 点拨：由题图②可知，BC ＝CD ＝4，BD ＝14－8＝6.如图，连接AC 交BD 于O ， ∴BO ＝12BD ＝12×6＝3.在Rt △BOC 中，CO ＝BC 2－BO 2＝42－32＝7， ∴AC ＝2CO ＝2 7，∴菱形ABCD 的面积＝12AC ·BD ＝12×2 7×6＝6 7. 当点P 在CD 上运动时，△ABP 的面积不变，为b ， ∴b ＝12×6 7＝3 7.(第14题)15．C 点拨：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B ＝∠D ＝∠BAD ＝90°，AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝1. 在Rt △ABE 和Rt △ADF 中， ⎩⎨⎧AE ＝AF ，AB ＝AD ，∴Rt △ABE ≌Rt △ADF (HL )， ∴∠BAE ＝∠DAF . ∵∠EAF ＝60°， ∴∠BAE ＋∠DAF ＝30°， ∴∠DAF ＝15°.在AD 上取一点G ，使∠GF A ＝∠DAF ＝15°，如图所示．(第15题)∴AG ＝FG ，∠DGF ＝30°，∴DF ＝12FG ＝12AG ，DG ＝3DF ，设DF ＝x ，则DG ＝3x ，AG ＝FG ＝2x ，∵AG ＋DG ＝AD ，∴2x ＋3x ＝1，解得x ＝2－3，∴DF ＝2－3，∴CF ＝CD －DF ＝1－(2－3)＝3－1.16．B 点拨：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，∴∠BEA ＝∠EAD .∵AB ＝AE ，∴∠ABE ＝∠BEA ，∴∠EAD ＝∠ABE ，在△ABC 和△EAD 中，⎩⎨⎧AB ＝EA ，∠ABC ＝∠EAD ，BC ＝AD ，∴△ABC ≌△EAD (SAS)，故①正确．∵AE 平分∠BAD ，∴∠BAE ＝∠DAE ，∴∠ABE ＝∠BEA ＝∠BAE ， ∴△ABE 是等边三角形，∴②正确，∠EAD ＝∠ABE ＝60°.∵△FCD 与△ABC 等底(AB ＝CD )等高(AB 与CD 间的距离相等)， ∴S △FCD ＝S △ABC .∵△AEC 与△DEC 同底等高，∴S △AEC ＝S △DEC ，∴S △ABE ＝S △CEF ，故⑤正确．若AD ＝BF ，则BF ＝BC ，题中未限定这一条件，∴③不一定正确．如图，过点E 作EH ⊥AB 于H ，过点A 作AG ⊥BC 于G ，∵△ABE 是等边三角形，∴AG ＝EH .若S △BEF ＝S △ABC ，则BF ＝BC ，题中未限定这一条件，∴④不一定正确．(第16题)二、17.(2＋2)cm 点拨：过点E 作EG ⊥BD 于点G .∵BE 平分∠DBC ，∠EGB ＝∠BCE ＝90°，∴EG ＝EC ＝1 cm.易知△DEG 为等腰直角三角形，∴DE ＝2EG ＝2cm.∴CD ＝(1＋2)cm ，∴BC ＝(1＋2)cm.又∵CF ＝CE ＝1 cm ，∴BF ＝(2＋2)cm.18．2 2；(2)n －1 19.312；⎝ ⎛⎭⎪⎫37，37 三、20.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，AD ∥BC ，∠A ＝∠C .∴∠F ＝∠E .∵BE ＝DF ，∴AD ＋DF ＝CB ＋BE ，即AF ＝CE .在△AGF 和△CHE 中，⎩⎨⎧∠A ＝∠C ，AF ＝CE ，∠F ＝∠E ，∴△AGF ≌△CHE (ASA)．∴AG ＝CH .21．(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ，∠ABE ＝∠BCF ＝90°.∴∠BAE ＋∠AEB ＝90°.∵BH ⊥AE ，∴∠BHE ＝90°.∴∠AEB ＋∠EBH ＝90°.∴∠BAE ＝∠EBH .在△ABE 和△BCF 中，⎩⎨⎧∠BAE ＝∠CBF ，AB ＝BC ，∠ABE ＝∠BCF ，∴△ABE ≌△BCF (ASA)．∴AE ＝BF .(2)解：由(1)得△ABE ≌△BCF ，∴BE ＝CF .∵正方形的边长是5，BE ＝2，∴DF ＝CD －CF ＝CD －BE ＝5－2＝3.在Rt △ADF 中，由勾股定理得AF ＝AD 2＋DF 2＝52＋32＝34.22．证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD .又∵BE ＝DF ，∴四边形BFDE 是平行四边形．∵DE ⊥AB ，∴∠DEB ＝90°，∴四边形BFDE 是矩形．(2)∵AB ∥DC ，∴∠DF A ＝∠F AB .由(1)知四边形BFDE 是矩形，∴∠BFD ＝90°，∴∠BFC ＝90°.在Rt △BCF 中，由勾股定理，得BC ＝FC 2＋FB 2＝32＋42＝5.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC.∴AD＝BC＝5＝DF，∴∠DAF＝∠DF A，∴∠DAF＝∠F AB，即AF平分∠DAB.23．(1)证明：∵点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点，∴FH∥BE，FH＝12BE＝BG，BF＝CF，∴∠CFH＝∠FBG，∴△BGF≌△FHC.(2)解：如图，连接GH，EF.当四边形EGFH是正方形时，EF⊥GH且EF ＝GH.(第23题)∵在△BEC中，点G，H分别是BE，CE的中点，∴GH＝12BC＝12AD＝12a，GH∥BC，∴EF⊥BC.∵AD∥BC，AB⊥BC，∴AB＝EF＝GH＝12a，∴矩形ABCD的面积＝AB·AD＝12a·a＝12a2.24．解：(1)四边形ADCE是菱形．理由：∵四边形BCED为平行四边形，∴CE∥BD，CE＝BD，BC∥DE.∵D为AB的中点，∴AD＝BD.∴CE＝AD.∴四边形ADCE为平行四边形．又∵BC∥DE，∴∠AFD＝∠ACB＝90°，即AC⊥DE. ∴四边形ADCE为菱形．(2)在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝16，AC＝12，∴BC＝4 7.∵BC＝DE，∴DE＝4 7.∴四边形ADCE的面积＝12AC·DE＝24 7.(3)当AC＝BC时，四边形ADCE为正方形．证明：∵AC＝BC，D为AB的中点，∴CD⊥AB，即∠ADC＝90°. ∴菱形ADCE为正方形．25．解：(1)2；5；9；n（n－3）2(2)∵一个n边形的内角和为1 800°，∴180°×(n－2)＝1 800°，解得n＝12，∴n（n－3）2＝12×（12－3）2＝54.答：这个多边形有54条对角线．26．解：(1)菱形(2)矩形(3)四边形CODP是正方形．理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，AC＝BD，OA＝OC＝12AC，OB＝OD＝12BD.∴∠DOC＝90°，OD＝OC.∵DP∥OC，OD∥CP，∴四边形CODP是平行四边形．∵∠DOC＝90°，OD＝OC，∴平行四边形CODP是正方形．点拨：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OA＝OC＝12AC，OB＝OD＝12BD，∴OC＝OD.∵DP∥OC，OD∥CP，∴四边形CODP是平行四边形．∵OC＝OD，∴平行四边形CODP是菱形．(2)∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠DOC＝90°.∵DP∥OC，OD∥CP，∴四边形CODP是平行四边形．∵∠DOC＝90°，∴平行四边形CODP是矩形．。

冀教版八年级数学下册第二十二章综合测试卷含答案

冀教版八年级数学下册第二十二章综合测试卷一、选择题(1～10题每题3分，11～16题每题2分，共42分)1．如图，在▱ABCD中，∠A－∠B＝50°，则∠B的度数是()A．130°B．115°C．65°D．50°2．[2022·怀化]一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是() A．七边形B．八边形C．九边形D．十边形3．[2023·永州]下列多边形中，内角和等于360°的是()4．如图，在菱形ABCD中，AB＝3，∠ABC＝60°，则对角线AC等于() A．12 B．9 C．6 D．35．如图，在▱ABCD中，已知AD＝12 cm，AB＝8 cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则CE的长等于()A．8 cm B．6 cm C．4 cm D．2 cm6．如图，用平移方法说明平行四边形的面积公式S＝ah时，若△ABE平移到△DCF，a＝4，h＝3，则△ABE的平移距离为()A．3B．4C．5D．127．[2023·镇江实验中学月考]如图，∠1，∠2，∠3是五边形ABCDE的三个外角，边AE，CD的延长线相交于点F，如果∠F＝α，那么∠1＋∠2＋∠3的度数为()A．270°－αB．360°－αC．90°＋αD．180°＋α8．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD 是平行四边形的是()A．∠ABD＝∠BDC，OA＝OC B．∠ABC＝∠ADC，AD∥BCC．∠ABC＝∠ADC，AB＝CD D．∠ABD＝∠BDC，∠BAD＝∠DCB 9．[2022·丽水]如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点．若AB ＝6，BC＝8，则四边形BDEF的周长是()A．28 B．14 C．10 D．710．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，现将其沿AE折叠，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为() A．6 cm B．4 cm C．2 cm D．1 cm 11．[2023·石家庄二十三中月考]如图，四边形ABCD的对角线AC＝BD，且AC⊥BD，分别过点A，B，C，D作对角线的平行线EF，FG，GH，EH，则四边形EFGH是()A．正方形B．菱形C．矩形D．任意四边形12．如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，则CH的长是()A．2.5 B．2 C．322D． 513．如图，在周长为16的菱形ABCD中，点E，F分别在边AB，AD上，AE＝1，AF＝3，P为BD上的一动点，则EP＋FP的长最短为()A．3 B．4 C．5 D．614．[2022·宁波]将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形ABCD内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出()A．正方形纸片的面积B．四边形EFGH的面积C．△BEF的面积D．△AEH的面积15．[2023·上海]已知在梯形ABCD中，连接AC，BD，且AC⊥BD，设AB＝a，CD＝b.下列两个说法：①AC＝22(a＋b)；②AD＝22a2＋b2，则下列说法正确的是()A．①正确②错误B．①错误②正确C．①②均正确D．①②均错误16．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝10 cm，BC＝8 cm，点P从点D出发，以1 cm/s的速度向点A运动，同时点M从点B出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P 的运动时间为t s，下列结论正确的是()A．当t＝4时，四边形ABMP为矩形B．当t＝5时，四边形CDPM为平行四边形C．当CD＝PM时，t＝4D．当CD＝PM时，t＝4或6二、填空题(每题3分，共9分)17．[2022·甘肃]如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB＝2 5 cm，AC＝4 cm，则BD的长为________cm.18．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝7，F为DE的中点，若△CEF的周长为32，则OF的长为________．19．[2023·唐山友谊中学期末]如图①，点P是四边形ABCD的边BC上任意一点，且PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为点E，F.(1)若四边形ABCD为正方形，且正方形的边长为6 cm，如图②，则PE＋PF＝________；(2)若四边形ABCD为矩形，且AB＝6 cm，BC＝8 cm，如图③，则PE＋PF＝________.三、解答题(20，21题每题8分，22～25题每题10分，26题13分，共69分) 20．如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，点E，A，C，F在同一条直线上，且∠E＝∠F.求证：∠ABE＝∠CDF.21．[2022·梧州]如图，在▱ABCD中，E，G，H，F分别是AB，BC，CD，DA上的点，且BE＝DH，AF＝CG.求证：EF＝HG.22．[2023·张家界]如图，已知点A，D，C，B在同一条直线上，且AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF.(1)求证：AE∥BF；(2)若DF＝FC，求证：四边形DECF是菱形．23．[2023·湖南师大附中期末]如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，其中AD∥BC，AB∥CD，AC＝2OB，点E为CD上一点，连接AE，OE.(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)若AE平分∠BAD，且BD＝2AD，求∠DOE的度数．24．如图，在四边形ABCD中，E是线段AD上的任意一点(与点A，D不重合)，G，F，H分别为边BE，BC，CE的中点．(1)试说明四边形EGFH是平行四边形；(2)在(1)的条件下，若EF⊥BC，且EF＝12BC，试说明平行四边形EGFH是正方形．25．阅读嘉嘉与淇淇的对话，解决下列问题：嘉嘉：我把一个多边形的各内角相加，所得的和为2 020°；淇淇：什么？不可能的！虽然你的运算正确，但是你错把一个外角当成一个内角了！(1)“多边形的内角和为2 020°”，为什么不可能？(2)嘉嘉求的是几边形的内角和？(3)错当成内角的那个外角为多少度？26．如图①，∠QPN的顶点P是正方形ABCD两条对角线的交点，∠QPN＝α，将∠QPN绕点P旋转，旋转过程中∠QPN的两边分别与正方形ABCD的边AD 和CD交于点E和点F(点F与点C，D不重合)．(1)如图①，当α＝90°时，DE，DF，AD之间满足的数量关系是________；(2)如图②，将图①中的正方形ABCD改为∠ADC＝120°的菱形，点M是AD的中点，其他条件不变，当α＝60°时，求证：△MPE≌△DPF.(3)在(2)的条件下，若旋转过程中∠QPN的边PQ与线段AD的延长线交于点E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，DE，DF，AD之间满足的数量关系．答案一、1．C2．A3．B4．D5．C6．B7．D 【点拨】∵多边形的外角和为360°，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠DEF＋∠EDF＝360°.∴∠1＋∠2＋∠3＝360°－(∠DEF＋∠EDF)．∵∠EFD＋∠DEF＋∠EDF＝180°，∴∠DEF＋∠EDF＝180°－∠EFD＝180°－α.∴∠1＋∠2＋∠3＝360°－(180°－α)＝180°＋α.故选D.8．C 【点拨】∵∠ABD＝∠BDC，OA＝OC，∠AOB＝∠COD，∴△AOB≌△COD(AAS)．∴DO＝BO.∴四边形ABCD是平行四边形，故A选项不符合题意．∵AD∥BC，∴∠ABC＋∠BAD＝180°.∵∠ABC＝∠ADC，∴∠ADC＋∠BAD＝180°.∴AB∥CD.又∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故B选项不符合题意．∵∠ABD＝∠BDC，∠BAD＝∠DCB，∴易得∠ADB＝∠CBD.∴AD∥CB.∵∠ABD＝∠BDC，∴AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形，故D选项不符合题意．C．选项中∠ABC＝∠ADC，AB＝CD不能判断四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意，故选C.9．B10．C 【点拨】由题意可知∠B＝∠BAB1＝90°，根据折叠可得∠AB1E＝∠B＝90°，AB1＝AB，然后得出四边形ABEB1是正方形．再根据正方形的性质可得BE＝AB，最后根据CE＝BC－BE，代入数据进行计算即可得解．11．A12．D 【点拨】如图，连接AC，CF，延长AD交EF于点K.∵因为四边形ABCD 和四边形CEFG 为正方形， ∴AB ＝AD ＝CD ＝1，CE ＝FE ＝3.易得四边形ABEK 和四边形DCEK 为矩形， ∴DK ＝CE ＝3，EK ＝DC ＝1.∴AK ＝AD ＋DK ＝4，FK ＝FE －EK ＝2. ∵四边形ABCD 和四边形CEFG 为正方形， ∴∠ACD ＝45°＝∠GCF .∴∠ACF ＝90°. ∵H 是AF 的中点，∴CH ＝12AF .易得∠AKF ＝90°，∴在Rt △AKF 中，AF ＝AK 2＋FK 2＝42＋22＝2 5. ∴CH ＝12AF ＝ 5. 13．B14．C 【点拨】根据题意，可知四边形EFGH 是正方形，设正方形纸片的边长为x ，正方形EFGH 的边长为y ，则长方形的宽为x －y ，所以图中阴影部分的面积＝S 正方形EFGH ＋2S △AEH ＋2S △DHG ＝y 2＋2×12y (x －y )＋2×12xy ＝2xy ，所以根据题意，可求出xy 的值．A ．正方形纸片的面积＝x 2，根据条件无法求出，不符合题意；B.四边形EFGH 的面积＝y 2，根据条件无法求出，不符合题意；C.△BEF 的面积＝12xy ，根据条件可以求出，符合题意；D.△AEH 的面积＝12y (x －y )＝xy －y 22，根据条件无法求出，不符合题意．故选C.15．D 【点拨】若梯形ABCD 为等腰梯形，即AD ＝BC ，AB ∥CD ，过点B 作BE ∥CA ，交DC 延长线于点E ，如图所示，则四边形ACEB 是平行四边形．∴CE ＝AB ，AC ＝BE .∵AB ∥DC ，易得∠DAB ＝∠CBA .∵AB ＝AB ，AD ＝BC ， ∴△DAB ≌△CBA (SAS)．∴AC ＝BD .∴BD ＝BE . ∵AC ⊥BD ，BE ∥CA ，∴BE ⊥BD .在Rt △BDE 中，BD ＝BE ，CE ＝AB ＝a ，CD ＝b ，则DE ＝DC ＋CE ＝b ＋a ，∴AC ＝BE ＝DE 2＝22DE ＝22(a ＋b )，此时①正确．过点B 作BF ⊥DE 于点F ，如图所示，则∠BFC ＝90°.∵BF ⊥DE ，BD ＝BE ，AB ＝a ，CD ＝b ，DE ＝b ＋a ，∴FE ＝12DE ＝12(a ＋b )．∴FC ＝FE －CE ＝12(a ＋b )－a ＝12(b －a )． ∵∠BFC ＝90°，∴BC ＝BF 2＋FC 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(a ＋b )22＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤()b －a 22＝22a 2＋b 2，此时②正确．而题中，梯形ABCD 是否为等腰梯形，并未确定；梯形ABCD 是AB ∥CD 还是AD ∥BC ，并未确定，∴无法保证①②正确，故选D . 16．D 【点拨】根据题意，得DP ＝t cm ，BM ＝t cm.∵AD ＝10 cm ，BC ＝8 cm ， ∴AP ＝(10－t )cm ，CM ＝(8－t )cm. ∵∠A ＋∠B ＝180°，∴AD ∥BC .要使四边形ABMP 为矩形，则有AP ＝BM ，即10－t ＝t ，解得t ＝5，故A 选项不符合题意；要使四边形CDPM 为平行四边形，则有DP ＝CM ，即t ＝8－t ，解得t ＝4，故B 选项不符合题意；当CD ＝PM 时，分两种情况： ①四边形CDPM 是平行四边形，此时CM ＝PD ，即8－t ＝t ，解得t ＝4. ②四边形CDPM 是等腰梯形，过点M 作MG ⊥AD 于点G ，过点C 作CH ⊥AD 于点H ，如图所示：则∠MGP ＝90°＝∠CHD ，易得GM ＝HC .又∵PM ＝CD ，∴Rt △MGP ≌Rt △CHD (HL)．∴GP ＝HD .易得GP ＝t －(8－t )2cm. ∴AG ＝AP ＋GP ＝[10－t ＋t －(8－t )2]cm. 易知AG ＝BM ，∴10－t ＋t －(8－t )2＝t ，解得t ＝6. 综上，当CD ＝PM 时，t ＝4或6.故C 选项不符合题意，D 选项符合题意．二、17．818．172 【点拨】∵四边形ABCD 是正方形，F 为DE 的中点，∴∠ECD ＝90°. ∴CF ＝EF ＝DF .∵△CEF 的周长为32，CE ＝7，∴CF ＋EF ＝25.∴DE ＝25.在Rt △CDE 中，根据勾股定理可得CD ＝DE 2－CE 2＝252－72＝24＝BC ， ∴BE ＝24－7＝17.根据三角形的中位线可得OF ＝12BE ＝172.19．(1)3 2 cm (2)4.8 cm【点拨】(1)如图①，设AC ，BD 交于点O ，连接PO .∵四边形ABCD 是正方形，正方形的边长为6 cm ，∴OB ⊥OC .∴OB ＝OC ＝22BC ＝3 2 cm.又∵PE ⊥AC ，PF ⊥BD ，∴S △OBC ＝12OB ×OC ＝12OB ×PF ＋12OC ×PE ，即12×32×32＝12×32×(PE ＋PF )．∴PE ＋PF ＝3 2 cm.(2)如图②，设AC ，BD 交于点O ，连接PO .∵四边形ABCD 为矩形，且AB ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，∴∠ABC ＝90°.∴AC ＝AB 2＋BC 2＝10 cm.∴AO ＝OC ＝BO ＝5 cm.又∵PE ⊥AC ，PF ⊥BD ，∴S △OBC ＝12S △ABC ＝12×12×AB ×BC ＝12OC ×PE ＋12OB ×PF . ∴14×6×8＝12×(PE ＋PF )×5.∴PE ＋PF ＝4.8 cm.三、20．【证明】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OB ＝OD ，AB ∥CD .在△OBE 和△ODF 中，∵∠E ＝∠F ，∠BOE ＝∠DOF ，OB ＝OD ，∴△OBE ≌△ODF (AAS)．∴∠OBE ＝∠ODF .∵AB ∥CD ，∴∠ABO ＝∠CDO .∴∠OBE －∠ABO ＝∠ODF －∠CDO ，即∠ABE ＝∠CDF .21．【证明】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，∠A ＝∠C .∵BE ＝DH ，∴AB －BE ＝CD －DH ，即AE ＝CH .在△AEF 和△CHG 中，⎩⎨⎧AE ＝CH ，∠A ＝∠C ，AF ＝CG ，∴△AEF ≌△CHG (SAS)．∴EF ＝HG .22．【证明】(1)∵AD ＝BC ，∴AD ＋CD ＝BC ＋CD ，即AC ＝BD .∵AE ＝BF ，CE ＝DF ，∴△AEC ≌△BFD (SSS)．∴∠A ＝∠B .∴AE ∥BF .(2)由(1)知△AEC ≌△BFD ，∴∠ECA＝∠FDB.∴EC∥DF.又∵EC＝DF，∴四边形DECF是平行四边形．∵DF＝FC，∴四边形DECF是菱形．23．(1)【证明】∵AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．∴BD＝2OB.∵AC＝2OB，∴AC＝BD.∴平行四边形ABCD是矩形．(2)【解】∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，∠ADC＝90°，OA＝OD，BD＝2OD.∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝45°，∴∠AED＝90°－∠DAE＝45°，∴AD＝DE.∵BD＝2AD，BD＝2OD，∴AD＝OD＝OA.∴△AOD是等边三角形．∴∠ADO＝60°.∴∠ODE＝∠ADC－∠ADO＝90°－60°＝30°.∵AD＝DE，AD＝OD，∴DE＝OD.∴∠DOE＝12×(180°－∠ODE)＝12×(180°－30°)＝75°.24．【解】(1)在△BEC中，∵G，F分别是边BE，BC的中点，∴GF∥EC(即GF∥EH)，且GF＝12EC.∵H为边EC的中点，∴EH＝12EC.∴GF＝EH.∴四边形EGFH是平行四边形．(2)连接GH.∵G，H分别是边BE，CE的中点，∴GH∥BC，且GH＝12BC.又∵EF⊥BC，且EF＝12BC.∴EF⊥GH，且EF＝GH.∴平行四边形EGFH是正方形．25．【解】(1)设该多边形的边数为n，由题意得180°(n－2)＝2 020°，解得n＝132 9.∵n为整数，∴多边形的内角和为2 020°是不可能的．(2)设应加的内角为x，多加的外角为y，由题意得180°(n－2)＝2 020°－y＋x，∵－180°<x－y<180°，∴2 020°－180°<180°(n－2)<2 020°＋180°，∴1229<n<1429.∵n为整数，∴n＝13或14.∴嘉嘉求的是十三边形或十四边形的内角和．(3)∵十三边形的内角和为180°×(13－2)＝1980°，∴y－x＝2 020°－1 980°＝40°.又∵y＋x＝180°，∴x＝70°，y＝110°.∵十四边形的内角和为180°×(14－2)＝2 160°，∴x－y＝140°.又∵y＋x＝180°，∴x＝160°，y＝20°.∴错当成内角的那个外角的度数为110°或20°. 26．(1)DE＋DF＝AD(2)【证明】∵四边形ABCD是菱形，∠ADC＝120°，∴AC⊥BD，∠ADP＝∠CDP＝60°.∴∠APD＝90°.又∵M是AD的中点，∴AM＝MD＝PM.∴△MDP是等边三角形．∴∠PME＝∠MPD＝60°，PM＝PD.∴∠PME＝∠PDF.∵∠QPN＝60°，∴∠MPD－∠EPD＝∠QPN－∠EPD，即∠MPE＝∠FPD，∴△MPE≌△DPF(ASA)．(3)【解】同(2)方法可证得△MPE≌△DPF(ASA)，∴ME＝DF.∵由(2)知AM＝DM，∴DF－DE＝ME－DE＝DM＝12AD.。

(真题汇编)冀教版八年级下册数学第二十二章四边形含答案

冀教版八年级下册数学第二十二章四边形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、已知四边形ABCD中，∠A与∠B互补，∠D=70°，则∠C的度数为（）A.70°B.90°C.110°D.140°2、一个多边形的内角和与外角和之比为11：2，则这个多边形的边数是（）A.13B.12C.11D.103、下列说法中，错误的是（）A.菱形的对角线互相平分B.正方形的对角线互相垂直平分C.矩形的对角线相等且平分D.等腰梯形的对角线相等且平分4、若十边形的每个外角都相等，则一个外角的度数为（）A.18°B.36°C.45°D.60°5、如果一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形是（）边形.A.四B.五C.六D.七6、若一个正多边形的外角等于45°，则这个多边形是（）A.正八边形B.正六边形C.正五边形D.正三角形7、内角和为540°的多边形是（）A. B. C. D.8、如果一个三角形的三个外角度数的比为1：4：4，则此三角形为（）A.直角三角形B.锐角三角形C.饨角三角形D.黄金三角形9、一个正多边形的每个内角都为135°，则这个多边形是几边形（）A.正七边形B.正八边形C.正九边形D.正十边形10、在四边形的四个内角中，直角最多可以有( )A.1个B.2个C.3个D.4个11、一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，这个多边形的边数是（）A.5条B.6条C.7条D.8条12、如图，已知一个五边形 ABCDE纸片，一条直线将该纸片分割成两个多边形.若这两个多边形内角和分别为 m和 n，则 m＋n不可能是( )A.540°B.720°C.900°D.1080°13、下列说法正确的是（）A.对角线相等且相互垂直的四边形是菱形B.四条边相等的四边形是正方形C.对角线相互垂直的四边形是平行四边形D.对角线相等且相互平分的四边形是矩形14、下列结论正确的个数是（）⑴一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形是六边形；（2）如果一个三角形的三边长分别为6、8、10，则最长边上的中线长为5；（3）若△ABC∽△DEF，相似比为1：4，则S△ABC ：S△DEF=1：4；（4）若等腰三角形一个角为80°，则底角为80°或50°．A.1B.2C.3D.415、如图，将绕点顺时针旋转角，得到，若点E恰好在的延长线上，则等于（）A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF=6，AB=5，则AE的长为________．17、如图，点E、F、G、H分别是矩形ABCD边AB、BC、CD、DA上的点，且HG 与EF交于点I，连接HE、FG，若AB=6，BC=5，EF//AD，HG//AB，则HE+FG的最小值是________ ．18、若□ABCD的周长为28cm，AC，BD相交于点O，△AOD的周长比△AOB的周长小4cm，则AB=________cm．19、如图，菱形ABCD中，AB＝3，∠ABC＝45°，点E是线段AD上的一个动点，连接对角线BD，点P是线段BD上的一个动点，连结PA、PE，则PA+PE的最小值是________.20、顺次连接矩形四条边的中点，所得到的四边形一定是________形.21、如图，矩形ABCD中，直线MN垂直平分AC，与CD，AB分别交于点M，N．若DM＝2，CM＝3，则矩形的对角线AC的长为________．22、已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=15，CD=13，AD=8，∠B是锐角，∠B的正弦值为，那么BC的长为________ ．23、如图所示，线段EF过平行四边形ABCD的对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F。

【拔高教育】7-8学年八年级数学下册 22 微专题新定义问题习题 (新版)冀教版

微专题：新定义问题【河北热点】1．(2017·湘潭中考)阅读材料：设 a →＝(x 1，y 1)，b →＝(x 2，y 2)，如果 a →∥b →，那么x 1·y 2＝x 2·y 1.根据该材料填空：已知 a →＝(2，3)，b →＝(4，m )，若 a →∥b →，则m ＝________．2．(2017·吉林中考)我们规定：当k ，b 为常数，k ≠0，b ≠0，k ≠b 时，一次函数y ＝kx ＋b 与y ＝bx ＋k 互为交换函数．例如：y ＝4x ＋3的交换函数为y ＝3x ＋4.―次函数y ＝kx ＋2与它的交换函数图像的交点横坐标为________.3．(2017·赤峰中考)在平面直角坐标系中，点P (x ，y )经过某种变换后得到点P ′(－y ＋1，x ＋2)，我们把点P ′(－y ＋1，x ＋2)叫作点P (x ，y )的终结点．已知点P 1的终结点为P 2，点P 2的终结点为P 3，点P 3的终结点为P 4，这样依次得到P 1、P 2、P 3、P 4、…、P n 、…，若点P 1的坐标为(2，0)，则点P 2017的坐标为________．4．在平面直角坐标系xOy 中，对于任意三点A ，B ，C 的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a ：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h ：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”S ＝ah .例如：三点坐标分别为A (1，2)，B (－3，1)，C (2，－2)，则“水平底”a ＝5，“铅垂高”h ＝4，“矩面积”S ＝ah ＝20.根据所给定义解决下列问题：(1)若已知点D (1，2)，E (－2，1)，F (0，6)，则这三点的“矩面积”为________．(2)若D (1，2)，E (－2，1)，F (0，t )三点的“矩面积”为18，求点F 的坐标．5．在平面直角坐标系xOy 中，有如下定义：若直线l 和图形W 相交于两点，且这两点的距离等于定值k，则称直线l与图形W成“k相关”，此时称直线l与图形W的相关系数为k.若图形W是由A(－2，－1)，B(2，－1)，C(2，1)，D(－2，1)顺次连线而成的矩形：(1)如图①，直线y＝x与图形W相交于点M，N.直线y＝x与图形W成“k相关”，则k 的值为线段MN的长度，即k＝________；(2)若一条直线经过点(0，1)且与W成“5相关”，则该直线的表达式为__________________________；(3)若直线y＝mx＋b(m≠0)与直线y＝3x平行且与图形W成“k相关”，当k≥2时，求b的取值范围．参考答案与解析1．6 2.13．(2，0) 解析：P 1 坐标为(2，0)，则P 2坐标为(1，4)，P 3坐标为(－3，3)，P 4坐标为(－2，－1)，P 5坐标为(2，0)，∴P n 的坐标为(2，0)，(1，4)，(－3，3)，(－2，－1)循环．∵2017＝2016＋1＝4×504＋1，∴P 2017 坐标与P 1点相同，故答案为(2，0)．4．解：(1)15(2)由题意可得a ＝1－(－2)＝3，当t ＞2时，h ＝t －1，则3(t －1)＝18，解得t ＝7，故点F 的坐标为(0，7)；当1≤t ≤2时，h ＝2－1＝1≠18÷3，故此种情况不符合题意；当t ＜1时，h ＝2－t ，则3(2－t )＝18，解得t ＝－4，故点F 的坐标为(0，－4)，所以，点F 的坐标为(0，7)或(0，－4)．5．解：(1)2 2(2)y ＝12x ＋1或y ＝2x ＋1或y ＝－2x ＋1或y ＝－12x ＋1 (3)∵直线y ＝mx ＋b (m ≠0)与直线y ＝3x 平行，∴m ＝3.∵k ≥2，∴符合题意的临界直线分别经过点(－1，1)，(1，－1)，如图所示．当直线y ＝3x ＋b 过点(－1，1)时，有1＝－3＋b ，解得b ＝1＋3；当直线y ＝3x ＋b 过点(1，－1)时，有－1＝3＋b ，解得b ＝－1－3.∴当k ≥2时，b 的取值范围为－1－3≤b ≤1＋ 3.。

2023年中考数学专题《函数中的新定义问题》试卷含答案解析

考点1 一次函数新定义问题【例1】．定义：我们把一次函数y ＝kx +b （k ≠0）与正比例函数y ＝x 的交点称为一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的“不动点”．例如求y ＝2x ﹣1的“不动点”：联立方程，解得，则y ＝2x ﹣1的“不动点”为（1，1）．（1）由定义可知，一次函数y ＝3x +2的“不动点”为（﹣1，﹣1）　；（2）若一次函数y ＝mx +n 的“不动点”为（2，n ﹣1），求m 、n 的值；（3）若直线y ＝kx ﹣3（k ≠0）与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，且直线y ＝kx ﹣3上没有“不动点”，若P 点为x 轴上一个动点，使得S △ABP ＝3S △ABO ，求满足条件的P 点坐标．解：（1）联立，解得，∴一次函数y ＝3x +2的“不动点”为（﹣1，﹣1），故答案为：（﹣1，﹣1）；（2）∵一次函数y ＝mx +n 的“不动点”为（2，n ﹣1），∴n ﹣1＝2，∴n ＝3，∴“不动点”为（2，2），∴2＝2m +3，解得m ＝﹣；（3）∵直线y ＝kx ﹣3上没有“不动点”，∴直线y ＝kx ﹣3与直线y ＝x 平行，∴k ＝1，例题精讲∴y＝x﹣3，∴A（3，0），B（0，﹣3），设P（t，0），∴AP＝|3﹣t|，∴S△ABP＝×|t﹣3|×3，S△ABO＝×3×3，∵S△ABP＝3S△ABO，∴|t﹣3|＝9，∴t＝12或t＝﹣6，∴P（﹣6，0）或P（12，0）．变式训练【变1-1】．在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式一一利用函数图象研究其性质一一运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义．结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题：在函数y＝|kx﹣3|+b中，当x＝2时，y＝﹣4；当x＝0时，y＝﹣1．（1）求这个函数的表达式；（2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象，并写出这个函数的一条性质；（3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集．（4）若方程|x2﹣6x|﹣a＝0有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是　0＜a＜9　．解：（1）∵在函数y＝|kx﹣3|+b中，当x＝2时，y＝﹣4；当x＝0时，y＝﹣1，∴，解得，∴这个函数的表达式是y＝|﹣3|﹣4；（2）∵y＝|﹣3|﹣4，∴，∴函数y＝x﹣7过点（2，﹣4）和点（4，﹣1）；函数y＝﹣x﹣1过点（0，﹣1）和点（﹣2，2），该函数的图象如图所示，性质：当x＞2时，y的值随x的增大而增大；（3）由函数的图象可得，不等式的解集是：1≤x≤4；（4）由|x2﹣6x|﹣a＝0得a＝|x2﹣6x|，作出y＝|x2﹣6x|的图象，由图象可知，要使方程|x2﹣6x|﹣a＝0有四个不相等实数根，则0＜a＜9，故答案为：0＜a＜9．考点2 反比例函数新定义问题【例2】．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程，以下是我们研究函数y＝x+|﹣2x+6|+m性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．x…﹣2﹣1012345…y…654a21b7…（1）写出函数关系式中m及表格中a，b的值；m＝　﹣2　，a＝　3　，b＝　4　；（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象；（3）已知函数y＝﹣（x﹣2）2+8的图象如图所示，结合你所画的函数图象，不等式x+|﹣2x+6|+m＞﹣（x﹣2）2+8的解集为　x＜0或x＞4．　．解：（1）由表格可知，点（3，1）在该函数图象上，∴将点（3，1）代入函数解析式可得：1＝3+|﹣2×3+6|+m，解得：m＝﹣2，∴原函数的解析式为：y＝x+|﹣2x+6|﹣2；当x＝1时，y＝3；当x＝4时，y＝4；∴m＝﹣2，a＝3，b＝4，故答案为：﹣2，3，4；（2）通过列表—描点—连线的方法作图，如图所示；（3）要求不等式x+|﹣2x+6|+m＞﹣（x﹣2）2+8的解集，实际上求出函数y＝x+|﹣2x+6|+m的图象位于函数y＝﹣（x﹣2）2+8图象上方的自变量的范围，∴由图象可知，当x＜0或x＞4时，满足条件，故答案为：x＜0或x＞4．变式训练【定义】在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值，称为这两个图形之间的距离，即A，B分别是图形M和图形N上任意一点，当AB的长最小时，称这个最小值为图形M与图形N之间的距离．例如，如图1，AB⊥l1，线段AB的长度称为点A与直线l1之间的距离，当l2∥l1时，线段AB 的长度也是l1与l2之间的距离．【应用】（1）如图2，在等腰Rt△BAC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D为AB边上一点，过点D作DE∥BC交AC于点E．若AB＝6，AD＝4，则DE与BC之间的距离是；（2）如图3，已知直线l3：y＝﹣x+4与双曲线C1：y＝（x＞0）交于A（1，m）与B两点，点A与点B之间的距离是　2　，点O与双曲线C1之间的距离是；【拓展】（3）按规定，住宅小区的外延到高速路的距离不超过80m时，需要在高速路旁修建与高速路相同走向的隔音屏障（如图4）．有一条“东南﹣西北”走向的笔直高速路，路旁某住宅小区建筑外延呈双曲线的形状，它们之间的距离小于80m．现以高速路上某一合适位置为坐标原点，建立如图5所示的直角坐标系，此时高速路所在直线l4的函数表达式为y＝﹣x，小区外延所在双曲线C2的函数表达式为y＝（x＞0），那么需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是多少？解：（1）如图，过点D作DH⊥BC于点H，∵∠A＝90°，AB＝AC，∴∠B＝45°，∵DH⊥BC，∴△BDH是等腰直角三角形，∴DH＝BD，∵AB＝6，AD＝4，∴BD＝AB﹣AD＝6﹣4＝2，∴DH＝×2＝；故答案为：；（2）把A（1，m）代入y＝﹣x+4中，得：m＝﹣1+4＝3，∴A（1，3），把A（1，3）代入y＝，得：3＝，∴k＝3，∴双曲线C1的解析式为y＝，联立，得：﹣x+4＝，即x2﹣4x+3＝0，解得：x1＝1，x2＝3，∴B（3，1），∴AB＝＝2；如图，作FG∥AB，且FG与双曲线y＝只有一个交点，设直线FG的解析式为y＝﹣x+b，则﹣x+b＝，整理得：x2﹣bx+3＝0，∴Δ＝（﹣b）2﹣4×1×3＝b2﹣12＝0，∴b＝2或b＝﹣2（不符合题意，舍去），∴直线FG的解析式为y＝﹣x+2，由﹣x+2＝，解得：x1＝x2＝，∴K（，），∴OK＝＝；故答案为：2，；（3）如图，设点S（a，b）是双曲线y＝（x＞0）上任意一点，且a＜b，以点S 为圆心，80为半径作⊙S交l4于E，过点S作SF⊥直线l4于F，交y轴于W，SH⊥x轴于H，SG⊥y轴于G，则SG＝a，SH＝b，ab＝2400，∵直线y＝﹣x平分第二、四象限角，∴∠FOW＝45°，∵∠OFW＝∠SGW＝90°，∴∠OWF＝90°﹣45°＝45°，∴∠SWG＝∠OWF＝45°，∴△WOF 和△SWG 是等腰直角三角形，∴SW ＝SG ，WF ＝OW ，∴SF ＝SW +WF ＝SG +OW ＝a +（b ﹣a ）＝（a +b ），∵EF＝＝＝＝，∵OF ＝OW ＝（b ﹣a ），∴OE ＝（b ﹣a ）+，设b ﹣a ＝m （m ＞0），则OE ＝m +≤＝40，∴需要在高速路旁修建隔音屏障的长度＝2OE ＝2×40＝80，答：需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是80米．考点3 二次函数新定义问题【例3】．小爱同学学习二次函数后，对函数y ＝﹣（|x |﹣1）2进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：（1）观察探究：①写出该函数的一条性质：　函数图象关于y轴对称　；②方程﹣（|x|﹣1）2＝﹣1的解为：　x＝﹣2或x＝0或x＝2　；③若方程﹣（|x|﹣1）2＝m有四个实数根，则m的取值范围是　﹣1＜m＜0　．（2）延伸思考：将函数y＝﹣（|x|﹣1）2的图象经过怎样的平移可得到函数y1＝﹣（|x﹣1|﹣1）2+2的图象？写出平移过程，并直接写出当1＜y1≤2时，自变量x的取值范围．解：（1）观察探究：①该函数的一条性质为：函数图象关于y轴对称；②方程﹣（|x|﹣1）2＝﹣1的解为：x＝﹣2或x＝0或x＝2；③若方程﹣（|x|﹣1）2＝m有四个实数根，则a的取值范围是﹣1＜m＜0．故答案为：函数图象关于y轴对称；x＝﹣2或x＝0或x＝2；﹣1＜m＜0．（2）将函数y＝﹣（|x|﹣1）2的图象向右平移1个单位，向上平移2个单位可得到函数y1＝﹣（|x﹣1|﹣1）2+2的图象，当1＜y1≤2时，自变量x的取值范围是﹣1＜x＜3且x≠1，变式训练【变3-1】．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|ax2+bx+c|的图象（如图所示），下列结论正确的是（）A．图象具有对称性，对称轴是直线x＝1.5B．有且只有﹣1≤x≤1时，函数值y随x值的增大而增大C．若a＜0，则8a+c＞0D．若a＜0，则a+b≥m（am+b）（m为任意实数）解：由图象可得，图象具有对称性，对称轴是直线x＝＝1，故选项A错误，不符合题意；当﹣1≤x≤1或x＞3时，函数值y随x值的增大而增大，故选项B错误，不符合题意；∵﹣＝1，∴b＝﹣2a，当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，∴4a﹣2b+c＝4a﹣2×（﹣2a）+c＝4a+4a+c＝8a+c＜0，故选项C错误，不符合题意；∵y＝ax2+bx+c开口向下，对称轴为直线x＝1，∴a+b+c≥am2+bm+c（m为任意实数），∴a+b≥m（am+b）+c，故选项D正确，符合题意；故选：D．【变3-2】．已知抛物线y＝ax2+c过点A（﹣2，0）和D（﹣1，3）两点，交x轴于另一点B．（1）求抛物线解析式；（2）如图1，点P是BD上方抛物线上一点，连接AD，BD，PD，当BD平分∠ADP时，求P点坐标；（3）将抛物线图象绕原点O顺时针旋转90°形成如图2的“心形”图案，其中点M，N 分别是旋转前后抛物线的顶点，点E、F是旋转前后抛物线的交点．①直线EF的解析式是　y＝x　；②点G、H是“心形”图案上两点且关于EF对称，则线段GH的最大值是　　．解：（1）∵抛物线y＝ax2+c过点A（﹣2，0）和D（﹣1，3）两点，∴，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+4；（2）过点B作BE⊥x轴交DP延长线于点E，过D作DF⊥x于点F，由y＝﹣x2+4，令y＝0，则﹣x2+4＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝2，则B（2，0），∵DF＝3，BF＝2﹣（﹣1）＝3，∴DF＝BF，∴∠DBF＝45°，∴∠DBE＝45°，又∵DB＝DB，BD平分∠ADP，∴△DAB≌△DEB（ASA），∴BA＝BE，∵B（2，0），∴E（2，4），设直线DE的解析式为y＝kx+b，则，解得，∴直线DE的解析式为y＝x+，联立，解得或，则P（，）；（3）①∵抛物线关于y轴对称，所以旋转后图形关于x轴对称，∴对于抛物线上任意一点P（a，b）关于原点旋转90°后对应点为P1（b，﹣a）在旋转后图形上，P1（b，﹣a）关于x轴对称的点P2（b，a）在旋转后图形上，∵P（a，b）与P2（b，a）关于y＝x对称，∴图形2关于y＝x对称，∴直线EF的解析式为y＝x，故答案为：y＝x；②如图，连接GH，交EF与点K，则GH＝2GK，过点G作x轴的垂线，交EF于点I，∴当GK最大时，△GFE面积最大，又∵S△GFE＝GI•（x E﹣x F），设G（m，﹣m2+4），则I（m，m），∴GI＝y G﹣y I＝﹣m2+4﹣m＝﹣（m+）2+，∴当m＝﹣时，△GFE面积最大，∴G（﹣，），由①可知G（﹣，）关于y＝x的对称点H（，﹣），∴K（，），∴GK＝＝，∴GH＝2GK＝，∴GH的最大值为，故答案为：．1．对于实数a，b，定义符号max|a，b|，其意义为：当a≥b时，max|a，b|＝a，当a＜b时，max|a，b|＝b．例如max|2，﹣1|＝2，若关于x的函数y＝max|2x﹣1，﹣x+5|，则该函数的最小值为（）A．B．1C．D．3解：当2x﹣1≥﹣x+5时，即x≥2，y＝max|2x﹣1，﹣x+5|＝2x﹣1，此时x＝2时，y有最小值，最小值为2×2﹣1＝3；当2x﹣1≤﹣x+5时，即x≤2，y＝max|2x﹣1，﹣x+5|＝﹣x+5，此时x＝2时，y有最小值，最小值为﹣2+5＝3；综上所述，该函数的最小值为3．故选：D．2．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b），若点P′的坐标为（ka+b，a+）（其中k为常数且k≠0），则称点P′为点P的“k关联点”．已知点A在反比例函数y＝的图象上运动，且点A是点B的“关联点”，当线段OB最短时，点B的坐标为　（，）或（﹣，﹣）　．解：设B（x，y），∵点A是点B的“关联点”，∴A（x+y，x+）∵点A在函数y＝（x＞0）的图象上，∴（x+y）（x+）＝，即：x+y＝或x+y＝﹣，当点B在直线y＝﹣x+上时，设直线y＝﹣x+与x轴、y轴相交于点M、N，则M（1，0）、N（0，），当OB⊥MN时，线段OB最短，此时OB＝＝，由∠NMO＝60°，可得点B（，）；设直线y＝﹣x﹣时，同理可得点B（﹣，﹣）；故答案为：（，）或（﹣，﹣）．3．定义：由a，b构造的二次函数y＝ax2+（a+b）x+b叫做一次函数y＝ax+b的“滋生函数”，一次函数y＝ax+b叫做二次函数y＝ax2+（a+b）x+b的“本源函数”（a，b为常数，且a≠0）．若一次函数y＝ax+b的“滋生函数”是y＝ax2﹣3x+a+1，那么二次函数y＝ax2﹣3x+a+1的“本源函数”是　y＝﹣2x﹣1　．解：∵y＝ax+b的“滋生函数”是y＝ax2﹣3x+a+1，∴ax2﹣3x+a+1＝ax2+（a+b）x+b，即，解得，∴y＝ax2﹣3x+a+1的“本源函数”是y＝﹣2x﹣1，故答案为：y＝﹣2x﹣1．4．在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“不动点”．例如（﹣3，﹣3）、（1，1）、（2023，2023）都是“不动点”．已知双曲线．（1）下列说法不正确的是　C　．A．直线y＝x的图象上有无数个“不动点”B．函数的图象上没有“不动点”C．直线y＝x+1的图象上有无数个“不动点”D．函数y＝x2的图象上有两个“不动点”（2）求双曲线上的“不动点”；。

新定义类问题专练(2题型)—2023-2024学年八年级数学下学期期末真题(浙江专用)(解析版)

八下新定义类问题专练四边形新定义问题1．（2023春•义乌市期末）若一个四边形有一组邻边相等，且这组邻边夹角所对的对角线平分一个内角，则称这样的四边形为“半对称四边形”，这条角平分线称为四边形的“分割对角线”．例如：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，BD平分∠ABC，则称四边形ABCD是半对称四边形，BD称为四边形ABCD的分割对角线．（1）如图1，求证：BC∥AD．（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AC，AD∥BC，∠CAD＝2∠DBC．求证：四边形ABCD 是半对称四边形．（3）如图3，在△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝120°，，D是△ABC所在平面内一点，当四边形ABCD是半对称四边形且AC为分割对角线时，求四边形ABCD的面积．【分析】（1）利用等腰三角形的性质，角平分线的定义和平行线的判定定理解答即可得出结论；（2）利用“半对称四边形”的定义解答即可；（3）利用分类讨论的思想方法分①当DA＝DC，AC平分∠BAD时，②当DA＝DC，AC平分∠BCD时，画出符合题意的图形，先计算得到△ABC的三边长度和它的面积，再计算△ADC的面积，则S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC．【解答】（1）证明：∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠CBD＝∠ADB，∴BC∥AD；（2）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∴∠ABC＝∠DAC．∵∠CAD＝2∠DBC，∴∠ABC＝2∠DBC，即BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠DBC．∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD．这样，在四边形ABCD中，AB＝AD，BD平分∠ABC，∴四边形ABCD是半对称四边形；（3）解：过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，如图，∵CE⊥AB，∠A＝45°，∠ABC＝120°，∴∠ACE＝45°，∠EBC＝60°，∴AE＝EC，∠ECB＝30°，∴BE＝BC＝，∴EC＝＝＝3，∴AE＝EC＝3，∴AC＝EC＝3．∴AB＝AE﹣BE＝3﹣．∴AB•EC＝3＝．①当DA＝DC，AC平分∠BAD时，如图，由题意：∠DAC＝∠BAC＝45°，∴DA＝DC，∴∠DCA＝∠DAC＝45°，∴∠ADC＝90°，∴△ADC为等腰直角三角形，∴AD＝CD＝AC＝3，∴AD•CD＝，∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝+＝9﹣；②当DA＝DC，AC平分∠BCD时，如图，由题意：∠ACD＝∠BCA＝15°，∴DA＝DC，∴∠DCA＝∠DAC＝15°，∴∠ADC＝150°，过点C作CF⊥AD，交AD的延长线于点F，则∠CDF＝30°，∴CF＝CD，∴DF＝CD．设CD＝x，则AD＝x，CF＝x，AF＝AD+DF＝（1+）x，在Rt△ACF中，∵AC2＝AF2+CF2，∴，∴x＝3+3（不合题意，舍去）或x＝3﹣3，∴AD＝3﹣3，CF＝．∴S△ADC＝AD•CF＝，∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝﹣+＝﹣6．综上，四边形ABCD的面积为9﹣或﹣6．2．（2022春•德清县期末）定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．（1）如图1，等腰直角四边形ABCD，AB＝BC，∠ABC＝90°，①若AB＝CD＝1，AB∥CD BD的长．②若AC⊥BD，求证：AD＝CD，（2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝9，点P是对角线BD上一点，且BP＝2PD，过点P作直线分别交边AD，BC于点E，F，使四边形ABFE是等腰直角四边形，求AE的长．【分析】（1）①只要证明四边形ABCD是正方形即可解决问题；②只要证明△ABD≌△CBD，即可解决问题；（2）若EF⊥BC，则AE≠EF，BF≠EF，推出四边形ABFE表示等腰直角四边形，不符合条件．若EF与BC不垂直，①当AE＝AB时，如图2中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，②当BF ＝AB时，如图3中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，分别求解即可；【解答】解：（1）①∵AB＝CD＝1，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形，∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是正方形，∴BD＝AC＝＝．②如图1中，连接AC、BD．∵AB＝BC，AC⊥BD，∴∠ABD＝∠CBD，∵BD＝BD，∴△ABD≌△CBD，∴AD＝CD．（2）若EF⊥BC，则四边形ABFE是矩形，AE＝BF＝BC＝6，∵AB＝5，∴AE≠AB∴四边形ABFE表示等腰直角四边形，不符合条件．若EF与BC不垂直，①当AE＝AB时，如图2中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，∴AE＝AB＝5．②当BF＝AB时，如图3中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，∴BF＝AB＝5，∵DE∥BF，∴DE：BF＝PD：PB＝1：2，∴DE＝2.5，∴AE＝9﹣2.5＝6.5，综上所述，满足条件的AE的长为5或6.5．3．（2023春•余姚市期末）定义：一个四边形的四条边和两条对角线这六条线段中只有两种长度，我们把这样的四边形叫做双距四边形．（1）下列说法正确的有①③（填序号）．①正方形一定是双距四边形．②矩形一定是双距四边形．③有一个内角为60°的菱形是双距四边形．（2）如图1，在四边形ABCD AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝∠DCB＝72°，求证：四边形ABCD为双距四边形．（3）如图2，四边形ABCD为双距四边形，，BC＝DC，AB＜BC，求BC的长．【分析】（1）由正方形的四条边都相等，两条对角线相等，可知正方形是双距四边形，可判断①正确；因为矩形的两组对边分别相等，两条对角线相等，所以矩形的四条边和两条对角线这六条线段中可能有三种长度，所以矩形不一定是双距四边形，可判断②错误；由菱形的四条边都相等，且有一个内角为60°，可知该菱形中60°角所对的对角线将该菱形分成两个全等的等边三角形，则有一个内角为60°的菱形是双距四边形，可判断③正确，于是得到问题的答案；（2）作DG∥AB交BC于点G，则∠DBC＝∠ABC＝∠DCB＝72°，所以DC＝DG，而四边形ABCD是平行四边形，则AB＝DG，因为AB＝AD，所以AB＝AD＝DC，∠ADB＝∠ABD，而∠ADB＝∠CBD，则∠ADB＝∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝36°，因为∠CDA＝180°﹣∠DCB＝108°，所以∠CDB＝∠CDA﹣∠ADB＝72°＝∠DCB，则BC＝BD，再证明△ABC和≌△DCB，即可证明AC＝BC＝BD，则四边形ABCD是双距四边形；（3）由四边形ABCD为双距四边形，AB＝AD，BC＝DC，AB＜BC，得AC＝BD＝BC＝DC，设AC交BD于点E，AC＝BD＝BC＝2x，因为AC垂直平分BD，所以∠AEB＝∠CEB＝90°，BE＝DE＝BD＝BC＝x，则CE＝＝x，AE＝2x﹣x，由勾股定理得x2+（2x ﹣x）2＝（）2，求得符合题意的x值为，则BC的长是3+．【解答】（1）解：∵正方形的四条边都相等，两条对角线相等，∴正方形的四条边和两条对角线这六条线段中只有两种长度，∴正方形是双距四边形，故①正确；∵矩形的两组对边分别相等，两条对角线相等，∴矩形的四条边和两条对角线这六条线段中可能有三种长度，∴矩形不一定是双距四边形，故②错误；∵菱形的四条边都相等，且有一个内角为60°，∴该菱形中60°角所对的对角线将该菱形分成两个全等的等边三角形，∴该菱形中较短的对角线长与该菱形的边长相等，∴有一个内角为60°的菱形的四条边和两条对角线这六条线段中只有两种长度，∴有一个内角为60°的菱形是双距四边形，故③正确，故答案为：①③．（2）证明：作DG∥AB交BC于点G，∵∠ABC＝∠DCB＝72°，∴∠DBC＝∠ABC＝∠DCB＝72°，∴DC＝DG，∵AD∥BC，DG∥AB，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DG，∴AB＝DC，∵AB＝AD，∴AB＝AD＝DC，∠ADB＝∠ABD，∵∠ADB＝∠CBD，∴∠ADB＝∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝36°，∵∠CDA＝180°﹣∠DCB＝108°，∴∠CDB＝∠CDA﹣∠ADB＝72°＝∠DCB，∴BC＝BD，在△ABC和△DCB中，，∴△ABC≌△DCB（SAS），∴AC＝BD，∴AC＝BC＝BD，∴四边形ABCD是双距四边形．（3）解：∵四边形ABCD AB＝AD，BC＝DC，AB＜BC，∴AC＝BD＝BC＝DC，如图2，设AC交BD于点E，AC＝BD＝BC＝2x，∵点A、点C都在BD的垂直平分线上，∴AC垂直平分BD，∴∠AEB＝∠CEB＝90°，BE＝DE＝BD＝BC＝x，∴CE＝＝＝x，∴AE＝AC﹣CE＝2x﹣x，∵BE2+AE2＝AB2，AB＝，∴x2+（2x﹣x）2＝（）2，整理得x2＝，解得x1＝，x2＝（不符合题意，舍去），∴BC＝2×＝3+，∴BC的长是3+．4．（2023春•西城区期末）在平面直角坐标系xOy中，对于正方形ABCD和它的边上的动点P，作等边△OPP'，且O，P，P′三点按顺时针方向排列，称点P'是点P关于正方形ABCD的“友好点”．已知A（﹣a，a），B（a，a），C（a，﹣a），D（﹣a，﹣a）（其中a＞0）．（1）如图1，若a＝3，AB的中点为M，当点P在正方形的边AB上运动时，①若点P和点P关于正方形ABCD的“友好点”点P′，恰好都在正方形的边AB上，则点P'的坐标为（，3）；点M关于正方形ABCD的“友好点”点M′的坐标为（，）；②若记点P关于正方形ABCD的“友好点”为P′（m，n），直接写出n与m的关系式（不要求写m的取值范围）；（2）如图2，E（﹣1，﹣1），F（2，2）．当点P在正方形ABCD的四条边上运动时，若线段EF上有且只有一个点P关于正方形ABCD的“友好点”，求a的取值范围；（3）当2≤a≤4时，直接写出所有正方形ABCD的所有“友好点”组成图形的面积．【分析】（1）①如图，OP＝OP'＝PP'，Rt△OMP中，OM2+MP2＝OP2，解得MP'＝，得P'（，3）；如图，过点M作MF⊥x轴，垂足为F，则∠OFM＝90°，OM′＝3，OF＝＝，得M'（，）：②如图，直线PM交轴于点G，可证△POM≌△P′OM′，得∠OM′P′＝∠OMP＝90°，∠OGM′＝60°，可知点P′（m，n）在直线M′G上，设直线解析式为y＝kx+b（k≠0），求得k＝﹣，b＝6，于是n＝﹣m+6；（2）由（1）知若A（﹣a，a），则OM′＝OM＝a．求得点G（a，0），可求得直线A′B′解析式y＝﹣x+2a，经过F（2，2），得a＝+1，直线C′D′解析式为y＝﹣x+2a，经过（﹣1，﹣1），得a＝；于是＜a≤+1；（3）如图，分别求得a＝2时，4时，点P′轨迹所在四边形的面积，相减即得所有“友好点”组成图形的面积为48．【解答】（1）（，3）；（，）；′如图，OP＝OP'＝PP'，∴PM＝P′M，OM＝3，∠MOP＝∠MOP′＝30°，∴OP′＝2MP′，∴Rt△OMP中，OM2+MP2＝OP2，∴32+MP′2＝（2MP′）2，解得MP'＝，∴P（，3）；如图，过点M′作M′F⊥x轴，垂足为F，则∠OFM′＝90°，OM′＝3，∴∠M′OF＝90°﹣∠MOM′＝30°，∴M′F＝OM′＝，∴OF＝＝，∴M′（，）；②n＝﹣m+6；如图，直线P′M′交x轴于点G，∵∠POP′＝∠MOM′＝60°，∴∠POP′﹣∠MOP′＝∠MOM′﹣∠MOP′，即∠POM＝∠P′OM′，又∵OP＝OP′，OM＝OM′，∴△POM≌△P′OM′（SAS），∴∠OM′P′＝∠OMP＝90°，∵∠MOG＝90°﹣60°＝30°，∴∠OGM′＝90°﹣∠M′OG＝90°﹣30°＝60°，点P′（m，n）在直线M′G上，设直线解析式为y＝kx+b（k≠0），则，解得，∴n＝﹣m+6；（2）如上图，由（1）知若A（﹣a，a），则OM′＝OM＝a，在Rt△OM′G中，M′G＝OG，∴a2+（OG）2＝OG2，解得OG＝a，即点G（a，0），由（1）知点P在线段AB上时，直线P′M′与x轴相交锐角为60°，可设直线M′G为y＝﹣x+q，代入G（a，0），解得q＝2a，故点P′在直线y＝﹣x+2a上，即A′B′解析式为y＝﹣x+2a，如下图，同理可得，直线C′D′解析式为y＝﹣x﹣2a，经过（﹣1，﹣1），则一1＝﹣5×（﹣1）﹣2a，解得a＝；如下图，直线A′B′的解析式为y＝﹣x+2a，经过F（2，2），则2＝﹣×2+2a，解得a ＝+1．∴＜a≤+1；（3）如图，当a＝2时，点P′轨迹所在四边形A′B′C′D′的面积为（2×2）2＝16，当a＝4时，点P′轨迹所在四边形的面积为（2×4）2＝64，故2≤a≤4时，正方形ABCD的所有“友好点”组成图形的面积为64﹣16＝48．反比例函数新定义问题5．（2022•宜城市一模）背景：点A在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，AC ⊥y轴于点C，分别在射线AC，BO上取点D，E，使得四边形ABED为正方形．如图1，点A 在第一象限内，当AC＝4时，小李测得CD＝3．探究：通过改变点A的位置，小李发现点D，A的横坐标之间存在函数关系．请帮助小李解决下列问题．（1）求k的值．（2）设点A，D的横坐标分别为x，z，将z关于x的函数称为“Z函数”．如图2，小李画出了x＞0时“Z函数”的图象．①求这个“Z函数”的表达式；②补画x＜0时“Z函数”的图象；③并写出这个函数的性质（两条即可）．【分析】（1）由四边形ABED是正方形，得AB＝1，从而得出A（4，1），则k＝4；（2）①由题意，A（x，x﹣z），则x（x﹣z）＝4，即可得出“Z函数”的表达式；②利用描点法画出图象；③根据图象可得出性质．【解答】解：（1）∵AC＝4，CD＝3，∴AD＝AC﹣CD＝1，∵四边形ABED是正方形，∴AB＝1，∵AC⊥y轴，AB⊥x轴，∴∠ACO＝∠COB＝∠OBA＝90°，∴四边形ABOC是矩形，∴OB＝AC＝4，∴A（4，1），∴k＝4；（2）①由题意，A（x，x﹣z），∴x（x﹣z）＝4，∴z＝x﹣，②图象如图所示，③性质1：x＞0时，y随x的增大而增大，性质2：x＜0时，y随x的增大而增大，（答案不唯一）．6．（2022春•嵊州市期末）定义：在平面直角坐标系中，M（x1，y1），N（x2，y2），x1≠x2，y1≠y2，且点M，N在同一象限，过点M，N分别作x轴的垂线，垂足分别为点G，F，若|y1|＞|y2|，则过点M作y轴的垂线，交直线NF于点E，如图1．我们称矩形MEFG为过点M，N的伴随矩形．已知：如图2，点A（1，3），点B是反比例函数图象上的两点．（1）求k的值．（2）若过点A，B的伴随矩形是正方形，求点B的坐标．（3）若过点A，B的伴随矩形的面积是3，求点B的坐标．【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数解析式中，求解即可求出答案；（2）分两种情况：利用伴随矩形是正方形得出|m﹣1|＝3或|﹣1|＝，解方程即可求出答案；（3）分两种情况：过点A，B的伴随矩形的面积是3，得出3•|n﹣1|＝3或•|n﹣1|＝3，解方程即可求出答案．【解答】解：（1）∵点A（1，3）在反比例函数y＝的图象上，∴k＝1×3＝3；（2）由（1）知，k＝3，∴反比例函数的解析式为y＝，设点B（m，）（m＞0），①当＜3，即m＞1时，∵过点A，B的伴随矩形是正方形，∴|1﹣m|＝3，∴m＝﹣2（舍去）或m＝3∴B（4，）；②当＞3，即m＜1时，∵过点A，B的伴随矩形是正方形，∴|m﹣1|＝，∴m＞1或m＝＜0，不符合题意，即点B（4，）；（3）由（1）知，k＝3，∴反比例函数的解析式为y＝，设点B（n，）（n＞0），①当＜3，即n＞1时，∵过点A，B的伴随矩形的面积是3，∴3•|n﹣1|＝3，∴n＝0（舍去）或n＝2，∴B（2，）；②当＞3，即n＜1时，∵过点A，B的伴随矩形的面积是3，∴•|n﹣1|＝3，∴n＝，∴B（，6）；即点B的坐标为（2，）或（，6）．7．（2023春•宁波期末）定义：把能被一条对角线分成两个全等直角三角形的四边形叫做勾股四边形．（1）矩形是勾股四边形（填“是”或“不是”）．（2）如图在直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+1与双曲线相交于A，B两点，点P（﹣3，0）在x轴负半轴上，Q为直角坐标平面上一点．①分别求出A、B两点的坐标．②当四边形APQB是平行四边形时，如图（Ⅰ），请证明▱APQB是勾股四边形．（3）在（2）的条件下，当以A、B、P、Q为顶点的四边形是勾股四边形时，请直接写出Q点的坐标．【分析】（1）证矩形的对角线将矩形分成的两个直角三角形全等即可得出结论；（2）①直线y＝﹣x+1与双曲线联立成方程组，解方程组即可得点A，B的坐标；②利用待定系数法求出直线AP的解析式为y＝3x+9，直线BQ的解析式为y＝3x+11，直线PQ的解析式为y＝﹣x﹣3，解方程组，可得点Q（2，﹣5），然后证△APB为直角三角形，再证△APB和△QBP全等即可得出结论；（3）由∠APB＝90°得：当以A、B、P、Q为顶点的四边形是勾股四边形时，有以下三种情况：（ⅰ）当AB、AP为勾股四边形的边时，即是（2）②，此时可得点Q的坐标；（ⅱ）当AB为勾股四边形的边，AP为对角线时，过点A作PB的平行线与过点P作AB的平行线交于点Q，证△APB和△P AQ可得四边形ABPQ为勾股四边形，连接BQ交AP于点E，先求出点E（﹣2.5，1.5），进而可求出点Q的坐标；（ⅲ）当AP为勾股四边形的边，AB为对角线时，过点A作PB的平行线与过点B作AP的平行线交于点Q，此时四边形APBQ为矩形，由（1）知矩形为勾股四边形，同（ⅱ）得点Q的坐标．【解答】（1）解：矩形是勾股四边形．理由如下：四边形ABCD为矩形，AC为对角线，∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD，BC＝AD，∠B＝∠C＝90°，在△ABC和△CDA中，，∴△ABC≌△CDA（SAS），∴矩形是勾股四边形．故答案为：是．（2）①解：解方程组，得：，，∴点A（﹣2，3），点B（3，﹣2）；②证明：设直线AP的解析式为：y＝k1x+b1，将点A（﹣2，3），P（﹣3，0）代入y＝k1x+b1，得，解得：，∴直线AP的解析式为：y＝3x+9，∵四边形APQB为平行四边形，∴BQ∥AP，PQ∥AB，AP＝QB，AB＝QP，∴设直线BQ的解析式为：y＝k2x+b2，∵BQ∥AP，∴k2＝3，即直线BQ的解析式为：y＝3x+b2，将点B（3，﹣2）代入y＝3x+b2，得：b2＝﹣11，∴直线BQ的解析式为：y＝3x﹣11，设直线PQ的解析式为：y＝k3x+b3，∵PQ∥AB，∴k3＝﹣1，即直线PQ的解析式为：y＝﹣x+b3，将点P（﹣3，0）代入y＝﹣x+b3，得：b3＝﹣3，∴直线PQ的解析式为：y＝﹣x﹣3，解方程组，解得：，∴点Q（2，﹣5），∵点A（﹣2，3），B（3，﹣2），P（﹣3，0），Q（2，﹣5），∴AB2＝（﹣2﹣3）2+（3+2）2＝50，AP2＝（﹣2+3）2+（3﹣0）2＝10，PB2＝（3+3）2+（﹣2﹣0）2＝40，∴AB2＝AP2+PB2，∴△APB为直角三角形，即∠APB＝90°，∵BQ∥AP，∴∠APB＝∠QBP＝90°，∴△QBP为直角三角形，在△APB和△QBP中，，∴△APB≌△QBP（SSS），∴平行四边形APQB为勾股四边形．（3）解：点Q的坐标为（2，﹣5）或（﹣8，5）或（4，1）或（1，4）．理由如下：由（2）可知：∠APB＝90°，∴当以A、B、P、Q为顶点的四边形是勾股四边形时，有以下四种情况：（ⅰ）当AB、AP为勾股四边形的边时，即是（2）②，此时点Q的坐标为（2，﹣5）；（ⅱ）当AB为勾股四边形的边，AP为对角线时，过点A作PB的平行线与过点P作AB的平行线交于点Q，则四边形ABPQ为平行四边形，∴APB＝∠P AQ＝90°，PB＝AQ，在△APB和△P AQ中，，∴△APB≌△P AQ（SAS），∴四边形ABPQ为勾股四边形，设点Q的坐标为（k，t），连接BQ交AP于点E，则点E既是AP的中点，又是BQ的中点，∵A（﹣2，3），P（﹣3，0），∴点E的横坐标为：，点E的纵坐标为：，即点E（﹣2.5，1.5），又点Q（k，t），B（3，﹣2），∴，，∴k＝﹣8，t＝5，∴点Q的坐标为（﹣8，5）；（ⅲ）当AP为勾股四边形的边，AB为对角线时，过点A作PB的平行线与过点B作AP的平行线交于点Q，则四边形APBQ为平行四边形，又∠APB＝90°，∴四边形APBQ为矩形，由（1）知：矩形为勾股四边形，∴四边形APBQ为勾股四边形，同（ⅱ）可得点Q的坐标为（4，1）．（ⅳ）由（2）可知：∠APB＝90°．作点P关于直线AB的对称点Q，连接PQ交AB于H，如图所示：根据轴对称性可知：△APB≌△AQB，∴四边形APBQ为勾股四边形，设直线PQ的表达式为：y＝mx+n，∵P，Q关于AB对称，∴PQ⊥AB，点H为PQ的中点，∴m＝1，∴直线PQ的表达式为：y＝x+n，将点P（﹣3，0）代入y＝x+n，得n＝3，∴直线PQ的表达式为：y＝x+3，解方程组，得，∴点H的坐标为（﹣1，2），∵点H为PQ的中点，∴点Q的坐标为（1，4）．综上所述：当以A、B、P、Q为顶点的四边形是勾股四边形，Q的坐标为（2，﹣5）或（﹣8，5）或（4，1）或（1，4）．1．（2023春•东阳市期末）对于平面直角坐标系xOy中的不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），给出如下定义：若x1x2＝1，y1y2＝1，则称点A，B互为“倒数点”，例如：点，B（2，1）互为“倒数点”．（1）已知点A的坐标为（1，3），则点A的“倒数点”点B的坐标为，；将线段AB向右平移2个单位得到线段A′B′，则线段A′B′上不存在（填“存在”或“不存在”）“倒数点”．（2）如图，在正方形CDEF中，点C坐标为，点D坐标为，请判断该正方形的边上是否存在“倒数点”，并说明理由．【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意得出x2＝1，，点B的坐标为，由平移的性质得出A′（3，3），，即可得出结论；（2）①若点M（x1，y1）在线段CF上，则，点N（x2，y2）应当满足x2＝2，可知点N 不在正方形边上，不符题意；②若点M（x1，y1）在线段CD上，则，点N（x2，y2）应当满足y2＝2，可知点N不在正方形边上，不符题意；③若点M（x1，y1）在线段EF上，则，点N（x2，y2）应当满足，得出，，此时点，在线段EF上，满足题意．【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），∵x1x2＝1，y1y2＝1，A（1，3），∴x2＝1，，点B的坐标为，将线段AB水平向右平移2个单位得到线段A′B′，则A′（3，3），，∵3×3＝9，，∴线段A′B′上不存在“倒数点”，故答案为：（1，）；不存在；（2）正方形的边上存在“倒数点”M、N，理由如下：①若点M（x1，y1）在线段CF上，则，点N（x2，y2）应当满足x2＝2，可知点N不在正方形边上，不符题意；②若点M（x1，y1）在线段CD则，点N（x2，y2）应当满足y2＝2，可知点N不在正方形边上，不符题意；③若点M（x1，y1）在线段EF上，则，点N（x2，y2）应当满足，∴点N只可能在线段DE上，，，此时点，在线段EF上，满足题意；∴该正方形各边上存在“倒数点”，，，．2．（2023春•鄞州区期末）【新知学习】定义：一组邻边相等，另一组邻边也相等的凸四边形叫做“筝形”．如在凸四边形ABCD中，若AB＝AD，BC＝DC，则四边形ABCD是“筝形”．（1）如图1，在边长为1的正方形网格中，画出“筝形”ABCD，要求点D是格点；【问题探究】（2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝12，“筝形”EFGH的顶点E是AB的中点，点F，G，H分别在BC，CD，AD上，且，求对角线EG的长；【拓展思考】（3）如图3，在“筝形”ABCD中，AB＝AD，BC＝DC＝12，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，AE平分∠BEF，EF⊥CD，EF＝8，求“筝形”ABCD的面积．【分析】（1）根据“筝形”的定义找到点D即可；（2）分两种情况讨论：当EF＝EH，GH＝GF时，分别利用HL证得Rt△AEH和Rt△BEF全等，Rt△DGH和Rt△CGF全等，得出点G是CD的中点，从而得出EG＝AD，即可求出EG的长；当FE＝FG，HE＝HG时，利用勾股定理求出BF的长，再利用勾股定理求出CG的长，最后利用勾股定理求出EG的长即可；（3）过点A作AH⊥EF于点H，根据角平分线的性质得出AB＝AH，结合已知条件证出四边形AHFD是正方形，设AD＝DF＝FH＝AH＝x，用x表示CF、CE的长，利用勾股定理列出关于x 的方程，求出x的值，然后根据图形面积之间的关系计算即可．【解答】解：（1）如图1，点D是所求作的点，由勾股定理得，，，由图可得AB＝5，∴AB＝AD，CD＝CB，∴四边形ABCD是“筝形”；（2）如图2﹣1，EF＝EH，GH＝GF，∵E是AB的中点，AB＝10，∴AE＝BE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC，在Rt△AEH和Rt△BEF中，，∴Rt△AEH≌Rt△BEF（HL），∴AH＝BF，∴AD﹣AH＝BC﹣BF，即DH＝CF，在Rt△DGH和Rt△CGF中，，∴Rt△DGH≌Rt△CGF（HL），∴DG＝CG，∴EG＝AD＝12；如图2﹣2，FE＝FG，HE＝HG，过点G作GM⊥AB于点M，∴∠GME＝∠GMB＝∠B＝∠C＝90°，∴四边形BMGC是矩形，∴BM＝CG，∵点E是AB的中点，AB＝10，∴AE＝BE＝5，GM＝BC＝12，在Rt△BEF中，BE＝5，，由勾股定理得，∵BC＝12，∴CF＝BC﹣BF＝12﹣5＝7，在Rt△CFG中，CF＝7，，由勾股定理得，∴BM＝1，∴ME＝BE﹣BM＝5﹣1＝4，在Rt△GME中，GM＝12，ME＝4，由勾股定理得；综上，EG的长是12或；（3）如图3，过点A作AH⊥EF于点H，∵AE平分∠BEF，∠B＝90°，AH⊥EF，∴AB＝AH，∵AB＝AD，∴AH＝AD，∵AH⊥EF，∠D＝90°，EF⊥CD，∴∠AHF＝∠EFD＝∠D＝90°，∴四边形AHFD是矩形，又AH＝AD，∴四边形AHFD是正方形，∴AD＝DF＝FH＝AH，设AD＝DF＝FH＝AH＝x，则CF＝CD﹣DF＝12﹣x，EH＝EF﹣FH＝8﹣x，在Rt△ABE和Rt△AHE中，，∴Rt△ABE≌Rt△AHE（HL），∴BE＝EH，∴BE＝8﹣x，∴CE＝CB﹣BE＝12﹣（8﹣x）＝x+4，在Rt△EFC中，由勾股定理得CE2＝EF2+CF2，∴（x+4）2＝82+（12﹣x）2，解得x＝6，∴AD＝AB＝DF＝AH＝6，BE＝2，CF＝6，∴S筝形ABCD＝S△ABE+S△AEF+S△ADF+S△EFC＝＝＝6+24+18+24＝72．3．（2022春•南浔区期末）定义：我们把一组对边平行另一组对边相等且不平行的四边形叫做等腰梯形．【性质初探】如图1，已知，▱ABCD，∠B＝80°，点E是边AD上一点，连结CE，四边形ABCE 恰为等腰梯形．求∠BCE的度数；【性质再探】如图2，已知四边形ABCD是矩形，以BC为一边作等腰梯形BCEF，BF＝CE，连结BE、CF．求证：BE＝CF；【拓展应用】如图3，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AB＝2，∠ABC＝45°，过点O作AC的垂线交BC的延长线于点G，连结DG．若∠CDG＝90°，求BC的长．【分析】【性质初探】过点A作AG⊥BC交于G，过点E作EH⊥BC交于H，证明Rt△ABG≌Rt △ECG（HL），即可求解；【性质再探】证明△BFC≌△CEB（SAS），即可求解；【拓展应用】连接AC，过G点作GM⊥AD交延长线于点M，分别证明△ACG是等腰三角形，△CDG是等腰直角三角形，△DGM是等腰直角三角形，从而可求AG＝2，GM＝DM，在Rt△AGM中，用勾股定理求出AD的长即为所求BC的长．【解答】【性质初探】解：过点A作AG⊥BC交于G，过点E作EH⊥BC交于H，∵▱ABCD，∴AE∥BC，∴AG＝EH，∵四边形ABCE恰为等腰梯形，∵AB＝EC，∴Rt△ABG≌Rt△ECG（HL），∴∠B＝∠ECH，∵∠B＝80°，∴∠BCE＝80°；【性质再探】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AE∥BC，∵四边形BCEF是等腰梯形，∴BF＝CE，由（1）可知，∠FBC＝∠ECB，∴△BFC≌△CEB（SAS），∴BE＝CF；【拓展应用】解：连接AC，过G点作GM⊥AD交延长线于点M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，∵GO⊥AC，∴AC＝CG，∵AB∥CD，∠ABC＝45°，∴∠DCG＝45°，∴∠CDG＝90°，∴CD＝DG，∴BA＝DG＝2，∵∠CDG＝90°，∴CG＝2，∴AG＝2，∵∠ADC＝∠DCG＝45°，∴∠CDM＝135°，∴∠GDM＝45°，∴GM＝DM＝，在Rt△AGM中，（2）2＝（AD+）2+（）2，∴AD＝﹣，∴BC＝﹣．4．（2023春•东阳市期末）定义：在平面直角坐标系中，过点P，Q分别作x轴，y轴的垂线所围成的矩形，叫做P，Q的“关联矩形”，如图所示．（1）已知点A（﹣2，0）①若点B的坐标为（3，2），则点A，B的“关联矩形”的周长为14．②若点C在直线y＝4上，且点A，C的“关联矩形”为正方形，求直线AC的解析式．（2）已知点M（1，﹣2），点N（4，3），若使函数的图象与点M、N的“关联矩形”有公共点，求k的取值范围．【分析】（1）①画出点A，B的“关联矩形”，确定长和宽，最后确定周长；②画出点A，C的“关联矩形”为正方形的图形，点C有两个位置，分别求直线AC的解析式；（2）画出点M、N的“关联矩形”，若使函数的图象与点M、N的“关联矩形”有公共点，观察函数中k的变化，找到k的临界值，即函数的图象过点N（4，3、（4，﹣2）时，进而求出k的取值范围．【解答】解：（1）①点A，B的“关联矩形”的长为3﹣（﹣2）＝5，宽为2﹣0＝2，∴周长为（5+2）×2＝14．故答案为：14．②点A，C的“关联矩形”为正方形时点C有两个，C1（2，4），C2（﹣6，4），如图所示：设直线AC1的解析式为y＝k1x+b1，则，∴，∴直线AC1的解析式为y＝x+2；设直线AC2的解析式为y＝k2x+b2，则，∴，∴直线AC2的解析式为y＝﹣x﹣2；∴直线AC的解析式为y＝x+2或y＝﹣x﹣2．（2）如图所示：当k＞0时，若函数的图象过点N（4，3），则k＝12，所以0＜k≤12；当k＜0时，若函数的图象过点（4，﹣2），则k＝﹣8，所以﹣8≤k＜0；∴若使函数的图象与点M、N的“关联矩形”有公共点，k的取值范围为﹣8≤k＜0或0＜k≤12．5．（2023春•宁波期末）我们定义：以已知菱形的对角线为边且有一条边与已知菱形的一条边共线的新菱形称为已知菱形的伴随菱形．如图1，在菱形ABCD中，连接AC，在AD的延长线上取点E使得AC＝AE，以CA、AE为边作菱形CAEF，我们称菱形CAEF是菱形ABCD的“伴随菱形”．（1）如图2，在菱形ABCD中，连接AC，在BC的延长线上作CA＝CF，作∠ACF的平分线CE 交AD的延长线于点E，连接FE，求证：四边形AEFC为菱形ABCD的“伴随菱形”．（2）①如图3，菱形AEFC为菱形ABCD的“伴随菱形”，过C作CH垂直AE于点H，对角线AC、BD相交于点O，连接EO若，试判断ED与BD的数量关系并加以证明．②在①的条件下请直接写出的值．【分析】（1）可推出∠FCE＝∠AEC，∠FCE＝∠ACE，从而∠ACE＝∠AEC，从而得出AC＝AE，进而得出CF＝AE，进一步得出结论；（2）①作OT⊥AE于T，可证得△AOT∽△ACH，从而，于是不妨设OT＝1，则CH＝2，OE＝CH＝2，ET＝＝，设AT＝x，则AC＝AE＝x+，AO＝，在Rt△AOT中列出x2+1＝（）2，从而求得AT＝，OA＝，由tan∠OAT＝tan∠DOT得出，从而求得DT＝，从而得出ED＝ET﹣DT＝＝，由S△AOD＝得OD＝，进一步得出结论；②由①可得出结果．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴BC∥AE，∴∠FCE＝∠AEC，∵CE平分∠ACF，∴∠FCE＝∠ACE，∴∠ACE＝∠AEC，∴AC＝AE，∵AC＝CF，∴CF＝AE，∴四边形AEFC是平行四边形，∴▱AEFC是菱形，∴菱形AEFC为菱形ABCD的“伴随菱形”；（2）解：①如图，ED＝BD，理由如下：作OT⊥AE于T，∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝AC，BD⊥AC，∵CH⊥AE，∴OT∥CH，∴△AOT∽△ACH，∴，不妨设OT＝1，则CH＝2，OE＝CH＝2，∴ET＝＝，设AT＝x，则AC＝AE＝x+，∴AO＝，在Rt△AOTx2+1＝（）2，∴x1＝，x2＝（舍去），∴AT＝，OA＝，∵∠AOD＝90°，∴∠AOT+∠DOT＝90°，∵∠ATO＝90°，∴∠AOT+∠OAT＝90°，∴∠OAT＝∠DOT，∴tan∠OAT＝tan∠DOT，∴，∴，∴DT＝，∴ED＝ET﹣DT＝＝，AD＝DT+AT＝＝，由S△AOD＝得，∴，∴OD＝，∴BD＝2OD＝，∴ED＝BD；②由①知：CH＝2，ED＝，∴＝．。

2022年春八年级数学下册第22章达标检测卷含解析新版冀教版

第二十二章达标检测卷(100分，90分钟)题号一二三总分得分一、选择题(每题2分，共32分)1．在▱ABCD中，以下结论一定正确的选项是( )A．AC⊥BD B．∠A＋∠B＝180°C．AB＝AD D．∠A≠∠C2．顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形是( )A．平行四边形B．长方形C．任意四边形D．正方形3．在四边形ABCD中，AB∥CD，添加以下一个条件后，一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )A．AD＝BC B．AC＝BD C．AB＝CD D．∠A＝∠B4．▱ABCD的四个内角∠A，∠B，∠C，∠D的度数的比可能是( )A．232 3 B．344 3 C．443 2 D．235 65．一个多边形的每个内角均为108°，那么这个多边形是( )A．七边形B．六边形C．五边形D．四边形6.如图，在▱ABCD中，AD＝12 cm，AB＝ 8 cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，那么CE的长等于( )A．8 cm B．6 cm C．4 cm D．2 cm7.菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD＝120°，AC＝4，那么该菱形的面积是( )A．16 3 B．16 C．8 3 D．88．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，现将其沿AE折叠，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，那么CE的长为( )A．6 cm B．4 cm C．2 cm D．1 cm(第6题)(第8题)(第9题)9．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是BC的中点，AD＝6 cm，那么OE的长为( )A．6 cm B．4 cm C．3 cm D．2 cm10．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF经过点O，分别交AD，BC于点E，F，且OE ＝4，AB＝5，BC＝9，那么四边形ABFE的周长是( )A．13 B．16 C．22 D．1811．如图，四边形ABCD的对角线AC＝BD，且AC⊥BD，分别过点A、B、C、D作对角线的平行线EF、FG、GH、EH，那么四边形EFGH是( )A．正方形B．菱形C．矩形D．任意四边形(第10题)(第11题)(第12题)12．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作EF⊥AC交BC于点E，交AD于点F，连接AE、CF，那么四边形AECF是( )A．梯形B．矩形C．菱形D．正方形13．如图，周长为16的菱形ABCD中，点E，F分别在边AB，AD上，AE＝1，AF＝3，P为BD上一动点，那么线段EP＋FP的长最短为( )A．3 B．4 C．5 D．6(第13题)(第14题)(第16题)14．如图，有一张矩形纸片ABCD ，AB ＝8，AD ＝6，将纸片折叠，使得AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 沿DE 向右翻折，AE 与BC 的交点为F ，那么△CEF 的面积为( )A .12B .98C ．2D ．415．有3张边长为a 的正方形纸片，4张边长分别为a 、b(b ＞a)的矩形纸片，5张边长为b 的正方形纸片，从其中取出假设干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形(按原纸片进行无空隙、无重叠拼接)，那么拼成的正方形的边长最大可以为( )A ．a ＋bB ．2a ＋bC ．3a ＋bD ．a ＋2b16．如图，正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 上，△AEF 是等边三角形，连接AC 交EF 于G ，以下结论：①BE ＝DF ，②∠DAF ＝15°，③AC 垂直平分EF ，④BE ＋DF ＝EF ，⑤S △CEF ＝2S △ABE .其中正确结论有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二、填空题(每题3分，共12分)17．边数为2 017的多边形的外角和为__________．18．菱形的两条对角线长为12 cm 和6 cm ，那么这个菱形的面积为________cm 2.(第19题)19．如图，正方形ABCD 的边长为4，E 是边BC 上的一点且BE ＝1，P 为对角线AC 上的一动点，连接PB ，PE ，当点P 在AC 上运动时，△PBE 周长的最小值是________．20．矩形纸片ABCD 中，AD ＝8，AB ＝6，E 是边BC 上的点，以AE 为折痕折叠纸片，使点B 落在点F 处，连接FC ，当△EFC 为直角三角形时，BE 的长为________．三、解答题(21题8分，25题15分，其余每题11分，共56分)21．：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是BC 边上的中线，AE ∥BC ，CE ⊥AE ，垂足为E.(1)求证：△ABD ≌△CAE ；(2)连接DE ，线段DE 与AB 之间有怎样的位置和数量关系？请证明你的结论．(第21题)22．如图，▱ABCD 中，点E ，F 在直线AC 上(点E 在F 左侧)，BE ∥DF. (1)求证：四边形BEDF 是平行四边形；(2)假设AB ⊥AC ，AB ＝4，BC ＝213，当四边形BEDF 为矩形时，求线段AE 的长．(第22题)23. 如图，在边长为6的正方形ABCD 中，E 是边CD 的中点，将 △ADE 沿AE 翻折至△AFE ，延长EF 交BC 于点G ，连接AG.(1)求证：△ABG ≌△AFG ； (2)求BG 的长．(第23题)24．如图，在四边形ABCD 中，点E 是线段AD 上的任意一点(E 与A ，D 不重合)，G ，F ，H 分别为BE ，BC ，CE 的中点．(1)试说明四边形EGFH 是平行四边形；(2)在(1)的条件下，假设EF ⊥BC ，且EF ＝12BC ，试说明平行四边形EGFH 是正方形．(第24题)25．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，现按如下步骤作图：①分别以A ，C 为圆心，a 为半径(a ＞12AC)作弧，两弧分别交于M ，N 两点；②过M ，N 两点作直线MN 交AB 于点D ，交AC 于点E ； ③将△ADE 绕点E 顺时针旋转180°，设点D 的对应点为点F. (1)请在图中直接标出点F 并连接CF ； (2)求证：四边形BCFD 是平行四边形； (3)当∠B 为多少度时，四边形BCFD 是菱形？(第25题)答案一、1.B 2.A 3.C4．A点拨：平行四边形的对角相等．5．C点拨：首先求得一个外角的度数，然后用360°除以一个外角的度数即可得到答案．6．C7.C8．C点拨：根据折叠的特点可得∠AB1E＝∠B＝90°，AB1＝AB，易知∠BAB1＝90°，然后得出四边形ABEB1是正方形．再根据正方形的性质可得BE＝AB，最后根据CE＝BC－BE，代入数据进行计算即可得解．9．C10.C11．A点拨：∵EF∥BD，GH∥BD，∴EF∥GH，同理可得EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形，∴EH＝FG，EF＝HG.易证四边形EACH和四边形EFBD是平行四边形，∴EH＝AC，EF＝BD.∵AC＝BD，∴EH＝AC＝F G＝EF＝BD＝HG，∴四边形EFGH是菱形．∵AC⊥BD，AC∥EH，EF∥BD，∴EH⊥EF，∴∠E＝90°，∴四边形EFGH是正方形．12．C点拨：首先利用平行四边形的性质得出AO＝CO，AD∥BC，所以∠AFO＝∠CEO，又∠AOF ＝∠COE，所以△AFO≌△CEO，所以FO＝EO.最后利用平行四边形和菱形的判定定理得出结论．13．B点拨：∵四边形ABCD为菱形，(第13题)∴AD＝16÷4＝4.如图，在DC上截取DG＝FD＝AD－AF＝4－3＝1，连接EG，那么EG与BD的交点就是点P.∵AE＝DG，且AE∥DG，∴四边形ADGE是平行四边形，∴EG＝AD＝4.应选B.14．C15．D 点拨：3张边长为a 的正方形纸片的面积为3a 2，4张边长分别为a ，b 的矩形纸片的面积为4ab ，5张边长为b 的正方形纸片的面积为5b 2.∵a 2＋4ab ＋4b 2＝(a ＋2b)2，∴拼成的正方形的边长最大可以为a ＋2b. 16．C 点拨：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ，∠B ＝∠BCD ＝∠D ＝∠BAD ＝90°. ∵△AEF 是等边三角形， ∴AE ＝EF ＝AF ，∠EAF ＝60°. ∴∠BAE ＋∠DAF ＝30°. 在Rt △ABE 和Rt △ADF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AF ，AB ＝AD ， ∴Rt △ABE ≌Rt △ADF(HL )， ∴BE ＝DF(故①正确)．易知∠BAE ＝∠DAF.∴∠DAF ＋∠DAF ＝30°，即∠DAF ＝15°(故②正确)． ∵BC ＝CD ，∴BC －BE ＝CD －DF ，即CE ＝CF ，又∵AE ＝AF ，∴AC 垂直平分EF(故③正确)．设EC ＝x ，由勾股定理，得EF ＝AE ＝2x ，∴EG ＝CG ＝22x ，∴AG ＝62x ， ∴AC ＝6x ＋2x2， ∴AB ＝BC ＝3x ＋x2， ∴BE ＝3x ＋x 2－x ＝3x －x2， ∴BE ＋DF ＝3x －x ≠2x(故④错误)． ∵S △CEF ＝x22，S △ABE ＝3x －x 2·3x ＋x22＝x24，∴2S △ABE ＝x22＝S △CEF (故⑤正确)．综上所述，正确的有4个．二、17.360°18．36 点拨：菱形的面积为12×12×6＝36(cm 2)．19．620．3或6 点拨：①∠EFC ＝90°时，如图①，先判断出点F 在对角线AC 上，利用勾股定理列式求出AC ，设BE ＝x ，表示出CE ，根据翻折变换的性质可得AF ＝AB ，EF ＝BE ，然后在Rt △CEF 中，利用勾股定理列出方程求解即可；②∠CEF ＝90°时，如图②，判断出四边形ABEF 是正方形，根据正方形的四条边都相等可得BE ＝AB.(第20题)三、21.(1)证明：∵AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠ACB.又∵AD 是BC 边上的中线， ∴AD ⊥BC ，即∠ADB ＝90°. ∵AE ∥BC ，∴∠EAC ＝∠ACB ， ∴∠B ＝∠EAC.∵CE ⊥AE ，∴∠CEA ＝90°， ∴∠CEA ＝∠ADB. 又AB ＝AC ，∴△ABD ≌△CAE(AAS )． (2)解：AB ∥DE 且AB ＝DE.证明如下：由(1)中△ABD ≌△CAE 可得AE ＝BD ，又∵AE ∥BD ，∴四边形ABDE 是平行四边形． ∴AB ∥DE 且AB ＝DE.22．(1)证明：如图，连接BD ，设BD 交AC 于点O. ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OB ＝OD.由BE ∥DF ，得∠BEO ＝∠DFO.而∠EOB ＝∠FOD ，∴△BEO ≌△DFO. ∴BE ＝DF.又∵BE ∥DF ， ∴四边形BEDF 是平行四边形．(2)解：∵AB ⊥AC ，AB ＝4，BC ＝213，∴AC ＝6，AO ＝3. ∴在Rt △BAO 中，BO ＝AB 2＋AO 2＝42＋32＝5. 又∵四边形BEDF 是矩形， ∴OE ＝OB ＝5.∴点E 在OA 的延长线上，且AE ＝2.(第22题)23．(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B ＝∠D ＝90°，AD ＝AB. 由折叠的性质可知，AD ＝AF ， ∠AFE ＝∠D ＝90°， ∴∠AFG ＝90°，AB ＝AF. 又∵AG ＝AG ，∴Rt △ABG ≌Rt △AFG(HL )． (2)解：∵△ABG ≌△AFG ， ∴BG ＝FG.设BG ＝FG ＝x ，那么GC ＝6－x ， ∵E 为CD 的中点， ∴CE ＝EF ＝DE ＝3， ∴EG ＝x ＋3.在Rt △CEG 中，由勾股定理，得32＋(6－x)2＝(x ＋3)2，解得x ＝2， ∴BG ＝2.24．解：(1)在△BEC 中， ∵G ，F 分别是BE ，BC 的中点， ∴GF ∥EC(即GF ∥EH )且GF ＝12EC.∵H 为EC 的中点，∴EH ＝12EC ，∴GF ＝EH.∴四边形EGFH 是平行四边形．(2)连接GH.∵G ，H 分别是BE ，CE 的中点，∴GH ∥BC 且GH ＝12BC ，又∵EF ⊥BC 且EF ＝12BC ，∴EF ⊥GH 且EF ＝GH.∴平行四边形EGFH 是正方形．25．(1)解：如下图． (2)证明：连接AF ，DC.∵△CFE 是由△ADE 顺时针旋转180°后得到的，A 与C 是对应点，D 与F 是对应点， ∴AE ＝CE ，DE ＝FE.∴四边形ADCF 是平行四边形． ∴AD ∥CF.由作图可知MN 垂直平分AC ，又∵∠ACB ＝90°， ∴MN ∥BC.∴四边形BCFD 是平行四边形．(第25题)(3)解：当∠B ＝60°时，四边形BCFD 是菱形．理由如下： ∵∠B ＝60°，∠ACB ＝90°， ∴∠BAC ＝30°.∴BC ＝12AB.又易知BD ＝12AB ，∴BD ＝BC.∵四边形BCFD 是平行四边形， ∴四边形BCFD 是菱形．。

2021-2022学年冀教版八年级数学下册第二十二章四边形综合测评试卷(无超纲带解析)

八年级数学下册第二十二章四边形综合测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、下面性质中，平行四边形不一定具备的是（）A ．对角互补B ．邻角互补C ．对角相等D ．对角线互相平分2、如图，四边形ABCD 中，AB CD =，对角线AC ，BD 相交于点O ，AE BD ⊥于点E ，CF BD ⊥于点F ，连接AF ，CE ，若DE BF =，则下列结论：①CF AE =；②OE OF =；③四边形ABCD 是平行四边形；④图中共有四对全等三角形．其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．13、将图1所示的长方形纸片对折后得到图2，图2再对折后得到图3，沿图3中的虚线剪下并展开，所得的四边形是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形4、如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标其原型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成，如果大正方形的面积是18，直角三角形的直角边长分别为a、b，且a2＋b2＝ab＋10，那么小正方形的面积为（）A．2 B．3 C．4 D．55、如图①，在▱ABCD中，动点P从点B出发，沿折线B→C→D→B运动，设点P经过的路程为x，△ABP的面积为y，y是x的函数，函数的图象如图②所示，则图②中的a值为（）A ．B ．C ．14D ．186、如图，四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC 与BD 交于点O ，若2AC AB =，94BAO ∠=︒，则AOD ∠的度数为（）A ．157°B ．147°C ．137°D ．127°7、如图，矩形ABCD 中，6AB =，如果将该矩形沿对角线BD 折叠，那么图中阴影部分BED 的面积是22.5，则BC =（）A ．8B ．10C ．12D ．148、在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，如果AC ＝6，BD ＝8，那么菱形ABCD 的面积是（）A ．6B ．12C ．24D ．489、已知在平行四边形ABCD 中，∠A ＝90°，如果添加一个条件，可使该四边形是正方形，那么这个条件可以是（）A．∠D＝90°B．AB＝CD C．AD＝BC D．BC＝CD10、下列多边形中，内角和与外角和相等的是（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、过某个多边形一个顶点的所有对角线，将此多边形分成7个三角形，则此多边形的边数______．2、如图，点E是矩形ABCD边AD上一点，点F，G，H分别是BE，BC，CE的中点，AF＝6，则GH的长为_________．3、如图，在▱ABCD中，AC是对角线，∠ACD＝90°，点E是BC的中点，AF平分∠BAC，CF⊥AF于点F，连接EF．已知AB＝5，BC＝13，则EF的长为__．4、平行四边形的性质：平行四边形的两组对边分别________；平行四边形的两组对角分别________；平行四边形的对角线________．5、两组对边分别________的四边形叫做平行四边形．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，在矩形ABCD中，(1)尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作对角线BD 的垂直平分线EF 分别交AD 、BC 于E 、F 点，交BD 于O 点．(2)在（1）的条件下，求证：AE =CF ．2、如图，在Rt△ABC 中，∠ABC ＝90°，∠C ＝30°，AC ＝12cm ，点E 从点A 出发沿AB 以每秒1cm 的速度向点B 运动，同时点D 从点C 出发沿CA 以每秒2cm 的速度向点A 运动，运动时间为t 秒（0＜t ＜6），过点D 作DF ⊥BC 于点F ．(1)试用含t 的式子表示AE 、AD 、DF 的长；(2)如图①，连接EF ，求证四边形AEFD 是平行四边形；(3)如图②，连接DE ，当t 为何值时，四边形EBFD 是矩形？并说明理由．3、已知：线段m ．求作：矩形ABCD ，使矩形宽AB ＝12m ，对角线AC ＝m ．4、在平面直角坐标系xOy 中，已知点(3,1)A -，(1,1)B -，(,3)C m ，以点A ，B ，C 为顶点的平行四边形有三个，记第四个顶点分别为1D ，2D ，3D ，如图所示．(1)若1m =-，则点1D ，2D ，3D 的坐标分别是（），（），（）；(2)若△123D D D 是以12D D 为底的等腰三角形，①直接写出m 的值； ②若直线12y x b =+与△123D D D 有公共点，求b 的取值范围．(3)若直线y x =与△123D D D 有公共点，求m 的取值范围．5、如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AB ＝5cm ，∠BOC ＝120°，求矩形对角线的长．-参考答案-一、单选题1、A【解析】【分析】直接利用平行四边形的性质：对角相等、对角线互相平分、对边平行且相等，进而分析得出即可．【详解】解：A 、平行四边形对角不一定互补，故符合题意；B 、平行四边形邻角互补正确，故不符合题意；C 、平行四边形对角相等正确，故不符合题意．D 、平行四边形的对角线互相平分正确，故不符合题意；故选A ．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握相关性质是解题关键．2、B【解析】【分析】由DE =BF 以及DF =BE ，可证明Rt △DCF ≌Rt △BAE ，由FC=EA ，以及双垂直可证，四边形CFAE 是平行四边形由此可证明②③正确．【详解】解：DE BF =，DF BE ∴=，在ΔRt DCF 和ΔRt BAE 中，CD AB DF BE =⎧⎨=⎩， ()ΔΔRt DCF Rt BAE HL ∴≅，FC EA ∴=，（故①正确）；AE BD ⊥于点E ，CF BD ⊥于点F ，//AE FC ∴，FC EA =，∴四边形CFAE 是平行四边形，EO FO ∴=，（故②正确）；ΔΔRt DCF Rt BAE ≅，CDF ABE ∴∠=∠，//CD AB ∴，CD AB =，∴四边形ABCD 是平行四边形，（故③正确）；由以上可得出：ΔΔCDF BAE ≅，ΔΔCDO BAO ≅，ΔΔCDE BAF ≅，ΔΔCFO AEO ≅，ΔΔCEO AFO ≅，ΔΔADF CBE ≅，ΔΔDOA COB ≅等．（故④错误），故正确的有3个，故选：B ．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质等知识，得出ΔΔRt DCF Rt BAE ≌是解题关键．3、B【解析】【分析】根据操作过程可还原展开后的纸片形状，并判断其属于什么图形．【详解】展得到的图形如上图，由操作过程可知：AB =CD ，BC =AD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∵AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 为菱形，故选：B ．【点睛】本题考查平行四边形的判定，和菱形的判定，拥有良好的空间想象能力是解决本题的关键．4、A【解析】【分析】由正方形1性质和勾股定理得2218a b +=，再由2210a b ab +=+，得1018ab +=，则8ab =，即可解决问题．【详解】解：设大正方形的边长为c ，大正方形的面积是18，218c ∴=，22218a b c ∴+==，2210a b ab+=+，1018ab∴+=，8ab∴=，∴小正方形的面积222()218282b a a b ab=-=+-=-⨯=，故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理、正方形的性质以及完全平方公式等知识，解题的关键是求出8ab=．5、A【解析】【分析】由图②知，BC=6，CD=14-6=8，BD=18-14=4，再通过解直角三角形，求出△CBD高，进而求解．【详解】解：由图②知，BC=6，CD=14-6=8，BD=18-14=4，过点B作BH⊥DC于点H，设CH=x，则DH=8-x，则BH2=BC2-CH2=BD2-DH2，即：BH2=42-（8-x）2=62-x2，解得：214 x=则：BH=则11822ABP a y S DC HB ∆===⨯⨯=⨯= 故选：A ．【点睛】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．6、C【解析】【分析】根据平行四边形的性质推出AO=AB ，求出∠AOB 的度数，即可得到AOD ∠的度数．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AC =2AO ，∵2AC AB =，∴AO=AB ，∵94BAO ∠=︒， ∴1(180)432AOB BAO ∠=︒-∠=︒， ∴AOD ∠=180137AOB ︒-∠=︒，故选：C ．【点睛】此题考查了平行四边形的性质，三角形的内角和，利用邻补角求角度，正确掌握平行四边形的性质是解题的关键．7、C【分析】根据折叠和矩形的性质，可得∠DBE=∠CBD，AD∥BC，AD=BC，AB⊥AD，从而得到∠BDE=∠DBE，进而得到BE=DE，再由BED的面积是22.5，可得152BE=，然后根据勾股定理，即可求解．【详解】解：根据题意得：∠DBE=∠CBD，AD∥BC，AD=BC，AB⊥AD，∴∠BDE=∠CBD，∴∠BDE=∠DBE，∴BE=DE，∵BED的面积是22.5，6AB=，∴122.52AB DE⨯=，解得：152DE=，∴152 BE=，在Rt ABE△中，由勾股定理得：92AE===，∴9151222BC AD AE BE==+=+=．故选：C【点睛】本题主要考查了折叠和矩形的性质，勾股定理，熟练掌握折叠和矩形的性质，勾股定理是解题的关键．8、C【解析】利用菱形的面积公式即可求解．【详解】解：菱形ABCD 的面积＝2AC BD ⨯＝682⨯＝24，故选：C ．【点睛】本题考查菱形的面积公式，菱形的面积等于对角线乘积的一半．9、D【解析】略10、B【解析】【分析】根据多边形的内角和公式（n -2）•180°与多边形的外角和定理列式进行计算即可得解．【详解】解：设所求多边形的边数为n ，根据题意得：（n -2）•180°=360°，解得n =4．故选：B ．【点睛】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，熟记公式与定理是解题的关键．二、填空题1、9【解析】【分析】根据n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线，可组成n-2个三角形，依此可得n的值．【详解】解：由题意得，n-2=7，解得：n=9，即这个多边形是九边形．故答案为：9．【点睛】本题考查了多边形的对角线，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求n．2、6【解析】【分析】由矩形的性质及直角三角形斜边上的中线的性质可求解BE=2AF=12，再利用三角形中位线定理可求解．【详解】解：在矩形ABCD中，∠BAD=90°，∵F为BE的中点，AF=6，∴BE=2AF=12．∵G，H分别为BC，EC的中点，BE=6，∴GH=12故答案为6．【点睛】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求解BE的长是解题的关键．再根据中位线定理求出GH．3、72##3.5【解析】【分析】延长AB、CF交于点H，由“ASA”可证AFH AFC≌，可得AC＝AH＝12，HF＝CF，由三角形中位线定理可求解．【详解】解：如图，延长AB、CF交于点H，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB CD∥，∴∠ACD＝∠BAC＝90°，∴12AC=，∵AF平分∠BAC，∴∠BAF＝∠CAF＝45°，在AFH和AFC△中，90HAF CAF AF AFAFH AFC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ∴()AFH AFC ASA ≌，∴AC ＝AH ＝12，HF ＝CF ，∴BH ＝AH ﹣AB ＝7，∵点E 是BC 的中点，HF ＝CF ，∴EF ＝12BH ＝72，故答案为：72．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线的定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．4、相等相等互相平分【解析】略5、平行【解析】略三、解答题1、 (1)见解析(2)见解析【解析】【分析】（1）利用尺规作出图形即可．（2）利用全等三角形的性质证明即可．(1)解：如图，直线EF 即为所求作．．(2)证明：在矩形ABCD 中，AD =BC ，∠ADB =∠DBC ，∵EF 为BD 的垂直平分线，∴∠EOD =∠FOB =90°，OB =OD ，在△EOD 与△FOB 中，ADB CBD OD OBEOD FOB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△EOD ≌△FOB （ASA ），∴ED =BF ，∴AD -ED =BC -BF ，即AE =CF ．【点睛】本题考查了作图-复杂作图，线段的垂直平分线，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．2、 (1)AE＝t，AD＝12﹣2t，DF＝t(2)见解析(3)3，理由见解析【解析】【分析】（1）根据题意用含t的式子表示AE、CD，结合图形表示出AD，根据直角三角形的性质表示出DF；（2）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形证明；（3）根据矩形的定义列出方程，解方程即可．(1)解：由题意得，AE＝t，CD＝2t，则AD＝AC﹣CD＝12﹣2t，∵DF⊥BC，∠C＝30°，CD＝t；∴DF＝12(2)解：∵∠ABC＝90°，DF⊥BC，∴AB DF∥，∵AE＝t，DF＝t，∴AE＝DF，∴四边形AEFD是平行四边形；(3)解：当t＝3时，四边形EBFD是矩形，理由如下：∵∠ABC＝90°，∠C＝30°，AC＝6cm，∴AB＝12∵BE DF∥，∴BE＝DF时，四边形EBFD是平行四边形，即6﹣t＝t，解得，t＝3，∵∠ABC＝90°，∴四边形EBFD是矩形，∴t＝3时，四边形EBFD是矩形．【点睛】此题考查了30度角的性质，平行四边形的判定及性质，矩形的定义，一元一次方程，三角形与动点问题，熟练掌握四边形的知识并综合应用是解题的关键．3、见详解【解析】【分析】先作m的垂直平分线，取m的一半为AB，然后以点A为圆心，以m长为半径画弧，交m的垂直平分线于C，连结AC，利用作一个角等于已知角，过A作BC的平行线AD，过C作AB的平行线CD，两线交于D即可．【详解】解：先作m的垂直平分线，取m的一半为AB，以点A为圆心，以m长为半径画弧，交m的垂直平分线于C，连结AC，过A作BC的平行线，与过C作AB的平行线交于D，则四边形ABCD为所求作矩形；∵AD ∥BC ，CD ∥AB ，∴四边形ABCD 为平行四边形，∵BC ⊥AB ，∴∠ABC =90°，∴四边形ABCD 为矩形，∵AB =12m ，AC =m ，∴矩形的宽与对角线满足条件，∴四边形ABCD 为所求作矩形．【点睛】本题考查矩形作图，线段垂直平分线，作线段等于已知线段，平行线作法，掌握矩形作图，线段垂直平分线，作线段等于已知线段，平行线作法是解题关键．4、 (1)-3，3，1，3，-3，-1(2)①-2；②15b ≤≤(3)m 1≥或3m ≤-【解析】【分析】（1）分别以AC 、BC 、AB 为对角线，利用平行四边形以及平移的性质可得点1D ，2D ，3D 的坐标；（2）①根据平行公理得1D ，A 、3D 在同一直线上，2D 、B 、3D 在同一直线上，可得AB 是等腰三角形△123D D D 的中位线，求出22D C AB ==，即可得m 的值；②由①求得的m 的值可得1D ，3D 的坐标，分别求出直线12y x b =+过点1D ，3D 时b 的值即可求解；（3）由题意用m 表示出点1D ，2D ，3D 的坐标，画出图形，求出直线y x =与△123D D D 交于点2D ，3D 时m 的值即可求解．(1)解：(3,1)A -，(1,1)B -，1(3)2AB ∴=---=，//AB x 轴．以AC 为对角线时，四边形ABCD 是平行四边形，//CD AB ∴，CD AB =，∴将(1,3)C -向左平移2个单位长度可得D ，即1(3,3)D -；以BC 为对角线时，四边形ABDC 是平行四边形，//CD AB ∴，CD AB =，∴将(1,3)C -向右平移2个单位长度可得D ，即2(1,3)D ；以AB 为对角线时，四边形ACBD 是平行四边形，∴对角线AB 的中点与CD 的中点重合， AB 的中点为(2,1)-，(1,3)C -，3(3,1)D ∴--．故答案为：()3,3-，(1,3)，(3,1)--；(2)解：①如图，若△123D D D 是以12D D 为底的等腰三角形，四边形1ABCD ，2ABD C ，3ACBD 是平行四边形，13////BC AD AD ∴，23////AC BD BD ，12AB CD D C ==，1D ∴、A 、3D 在同一直线上，2D 、B 、3D 在同一直线上，1212AB D D =，AB ∴是等腰三角形△123D D D 的中位线，12//AB D D ∴，312CD D D ⊥， (3,1)A -，(1,1)B -，(,3)C m ，22D C AB ∴==，2m ∴=-；②由①得2m =，1(4,3)D ∴-，3(2,1)D --．当直线12y x b =+过点1D 时，13(4)2b =⨯-+，解得：5b =，当直线12y x b =+过点3D 时，11(2)2b -=⨯-+，解得：0b =，b ∴的取值范围为05b ；(3)解：如图，(3,1)A -，(1,1)B -，(,3)C m ，1(2,3)D m ∴-，2(2,3)D m +．连接AB 、3CD 交于点E ，四边形3ACBD 是平行四边形，∴点C 、3D 关于点E 对称，3(4,1)D m ∴---，直线y x =与△123D D D 有公共点，当直线y x =与△123D D D 交于点2D ，23m +=，解得：1m =，1m ∴时，直线y x =与△123D D D 有公共点；当直线y x =与△123D D D 交于点3D ，41m --=-，解得：3m =-，3m ∴-时，直线y x =与△123D D D 有公共点；综上，m 的取值范围为1m 或3m ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，平移的性质，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征等知识，解题的关键是利用数形结合与分类讨论的思想进行求解．5、10cm【解析】【分析】根据矩形性质得出∠ABC ＝90°，AC ＝BD ，OA ＝OC ＝12AC ，OB ＝OD ＝12BD ，推出OA ＝OB ，求出等边三角形AOB ，求出OA ＝OB ＝AB ＝5，即可得出答案．【详解】解：∵∠BOC ＝120°，∴∠AOB ＝180°﹣120°＝60°，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC ＝90°，AC ＝BD ，OA ＝OC ＝12AC ，OB ＝OD ＝12BD ，∴OA ＝OB ，∵∠AOB ＝60°，∴△AOB 是等边三角形，∵AB ＝5cm ，∴OA ＝OB ＝AB ＝5cm ，∴AC ＝2AO ＝10cm ，BD ＝AC ＝10cm ．【点睛】本题考查了矩形的性质和等边三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出OA 、OB 的长，题目比较典型，是一道比较好的题目．。

2021-2022学年冀教版八年级数学下册第二十二章四边形章节测评试卷(含答案详解)

八年级数学下册第二十二章四边形章节测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、下列命题是真命题的有（）个．①一组对边相等的四边形是矩形；②两条对角线相等的四边形是矩形；③四条边都相等且对角线互相垂直的四边形是正方形；④四条边都相等的四边形是菱形；⑤一组邻边相等的矩形是正方形．A．1 B．2 C．3 D．4AB=，如果将该矩形沿对角线BD折叠，那么图中阴影部分BED的面积2、如图，矩形ABCD中，6是22.5，则BC=（）A．8 B．10 C．12 D．143、如图，平行四边形ABCD中，AD＝5，AB＝3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于（）A．1 B．2 C．3 D．44、如图，点D，E分别是△ABC边BA，BC的中点，AC＝3，则DE的长为（）A．2 B．43C．3 D．325、平行四边形ABCD中，若∠A＝2∠B，则∠C的度数为（）A．120°B．60°C．30°D．15°6、已知菱形两条对角线的长分别为8和10，则这个菱形的面积是（）A．20 B．40 C．60 D．807、下列命题中，是真命题的是（）．A．三角形的外心是三角形三个内角角平分线的交点B．满足222+=a b c的三个数a，b，c是勾股数C．对角线相等的四边形各边中点连线所得四边形是矩形D．五边形的内角和为540︒8、如图，将边长为6个单位的正方形ABCD沿其对角线BD剪开，再把△ABD沿着DC方向平移，得到△A′B′D′，当两个三角形重叠部分的面积为4个平方单位时，它移动的距离DD′等于（）A ．2B ．3±C ．3D ．9、数学课上，老师要同学们判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某合作小组4位同学拟定的方案，其中正确的是( )A ．测量对角线是否互相平分B ．测量一组对角是否都为直角C ．测量对角线长是否相等D ．测量3个角是否为直角10、下列选项中，不能被边长为2的正方形及其内部所覆盖的图形是（）A ．长度为B ．边长为2的等边三角形C ．斜边为2的直角三角形D ．面积为4的菱形第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，射线AF 是BAC ∠的平分线，交BC 于点D ，过点B 作AB 的垂线与射线AF 交于点E ，连结CE ，M 是DE 的中点，连结BM 并延长与AC 的延长线交于点G ．则下列结论正确的是______．①BCG ACD ≌△△ ②BG 垂直平分DE ③BE CE ⊥ ④2G GBE ∠=∠ ⑤BE CG AC +=2、如图，AC 为正方形ABCD 的对角线，E 为AC 上一点，连接EB ，ED ，当126BED ∠=︒时，EDA ∠的度数为______．3、如图，在平行四边形ABCD 中，AC 是对角线，90ACD ∠=︒，点E 是BC 的中点，AF 平分BAC ∠，CF AF ⊥于点F ，连接EF ．已知5AB =，13BC =，则EF 的长为_______．4、如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥CE ，AE ＜BE ，AD ＝4，AB ＝10，则DE 长为________．5、在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，BC ⊥CD ，BC ＝10cm ，M 是BC 上一点，且BM=4cm ，点E 从A 出发以1cm/s 的速度向D 运动，点F 从点B 出发以2cm/s 的速度向点C 运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t ，当t 的值为_____时，以A 、M 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是边AB 、DC 上的点，且AE CF =，90DEB ∠=︒，求证：四边形DEBF 是矩形2、如图，在ABCD 中，45BCD ∠=︒，BC BD ⊥，E 、F 分别为AB 、CD 边上两点，FB 平分EFC ∠．(1)如图1，若2AE =，5EF =，求CD 的长；(2)如图2，若G 为EF 上一点，且GBF EFD =∠∠，求证：2FG FD AB +=．3、如图，在矩形ABCD 中，(1)尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作对角线BD 的垂直平分线EF 分别交AD 、BC 于E 、F 点，交BD 于O 点．(2)在（1）的条件下，求证：AE =CF ．4、如图，在ABC 中，点D 、E 分别是边BC AC 、的中点，过点A 作AF BC ∥交DE 的延长线于F 点，连接AD CF 、，过点D 作DG CF ⊥于点G ．(1)求证：四边形ADCF 是平行四边形：(2)若3,5AB BC ==．①当AC =___________时，四边形ADCF 是矩形；②若四边形ADCF 是菱形，则DG =________．5、已知正方形ABCD 与正方形EFGH ，AB a ，()EF b b a =<．(1)如图1，若点C 和点H 重合，点E 在线段CB 上，点G 在线段DC 的延长线上，连接AC 、AG 、CG ，将阴影部分三角形ACG 的面积记作S ，则S = （用含有a 、b 的代数式表示）．(2)如图2，若点B 与点E 重合，点H 在线段BC 上，点F 在线段AB 的延长线上，连接AC 、AG 、CG ，将阴影部分三角形ACG 的面积记作S ，则S = （用含有a 、b 的代数式表示）．(3)如图3，若将正方形EFGH沿正方形ABCD的边BC所在直线平移，使得点E、H在线段BC上=，将阴影部分三角形（点H不与点C重合、点E不与点B重合），连接AC、AG、CG，设CH xACG的面积记作S，则S=（用含有a、b、x的代数式表示）．(4)如图4，若将正方形EFGH沿正方形ABCD的边BC所在直线平移，使得点H、E在BC的延长线=，将阴影部分三角形ACG的面积记作S，则S=（用上，连接AC、AG、CG，设CH x含有a、b、x的代数式表示）．-参考答案-一、单选题1、B【解析】【分析】根据两条对角线平分且相等的四边形是矩形，四条边都相等的四边形是菱形，如果对角线互相垂直平分且相等，那么这个四边形是正方形进行判断即可．【详解】解：①一组对边相等的四边形不一定是矩形，错误；②两条对角线相等的平行四边形是矩形，错误；③四条边都相等且对角线互相垂直的四边形是菱形，错误；④四条边都相等的四边形是菱形，正确；⑤一组邻边相等的矩形是正方形，正确．故选：B．【点睛】此题考查考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法，关键是根据矩形、正方形、菱形的判定解答．2、C【解析】【分析】根据折叠和矩形的性质，可得∠DBE=∠CBD，AD∥BC，AD=BC，AB⊥AD，从而得到∠BDE=∠DBE，进而得到BE=DE，再由BED的面积是22.5，可得152BE=，然后根据勾股定理，即可求解．【详解】解：根据题意得：∠DBE=∠CBD，AD∥BC，AD=BC，AB⊥AD，∴∠BDE=∠CBD，∴∠BDE=∠DBE，∴BE=DE，∵BED的面积是22.5，6AB=，∴122.52AB DE⨯=，解得：152DE=，∴152 BE=，在Rt ABE△中，由勾股定理得：92AE===，∴9151222BC AD AE BE==+=+=．故选：C【点睛】本题主要考查了折叠和矩形的性质，勾股定理，熟练掌握折叠和矩形的性质，勾股定理是解题的关键．3、B【分析】根据平行四边形及平行线的性质可得DAE BEA ∠=∠，再由角平分线及等量代换得出BAE BEA ∠=∠，利用等角对等边可得3BE AB ==，结合图形即可得出线段长度．【详解】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD BC ∥，∴DAE BEA ∠=∠，∵AE 平分BAD ∠，∴BAE DAE ∠=∠，∴BAE BEA ∠=∠，∴3BE AB ==，∵5BC AD ==，∴532EC BC BE =-=-=，故选：B ．【点睛】题目主要考查平行四边形及平行线的性质，利用角平分线计算，等角对等边等，理解题意，熟练运用平行四边形的性质是解题关键．4、D【解析】略5、A【解析】根据平行四边形的性质得出BC∥AD，根据平行线的性质推出∠A＋∠B＝180°，代入求出即可．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，∴∠A＋∠B＝180°，把∠A＝2∠B代入得：3∠B＝180°，∴∠B＝60°，∴∠C＝120°故选：A．【点睛】本题主要考查对平行四边形的性质，平行线的性质等知识点的理解和掌握，能推出∠A＋∠B＝180°是解此题的关键．6、B【解析】【分析】根据菱形的面积公式求解即可．【详解】×10×8＝40．解：这个菱形的面积＝12故选：B．【点睛】本题考查了菱形的面积问题，掌握菱形的面积公式是解题的关键．7、D【解析】【分析】正确的命题是真命题，根据定义解答．【详解】解：A.三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交点，故该项不符合题意；B.满足222a b c的三个正整数a，b，c是勾股数，故该项不符合题意；+=C. 对角线相等的四边形各边中点连线所得四边形是菱形，故该项不符合题意；D.五边形的内角和为540︒，故该项符合题意；故选：D．【点睛】此题考查了真命题的定义，正确掌握三角形外心的定义，勾股数的定义，中点四边形的判定定理及多边形内角和的计算公式是解题的关键．8、B【解析】【分析】先判断重叠部分的形状，然后设DD'=x，进而表示D'C等相关的线段，最后通过重叠部分的面积列出方程求出x的值即可得到答案．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴△ABD和△BCD是等腰直角三角形，如图，记A'D'与BD的交点为点E，B'D'与BC的交点为F，由平移的性质得，△DD'E和△D'CF为等腰直角三角形，∴重叠部分的四边形D'EBF为平行四边形，设DD'=x，则D'C=6-x，D'E=x，∴S▱D'EBF=D'E•D'C=（6-x）x=4，解得：x x故选：B．【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、平移的性质，通过平移的性质得到重叠部分四边形的形状是解题的关键．9、D【解析】【分析】矩形的判定方法有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；由矩形的判定方法即可求解．【详解】解：A、对角线是否互相平分，能判定是否是平行四边形，故不符合题意；B、测量一组对角是否都为直角，不能判定形状，故不符合题意；C、测量对角线长是否相等，不能判定形状，故不符合题意；D、测量3个角是否为直角，若四边形中三个角都为直角，能判定矩形，故符合题意；故选：D．【点睛】本题考查的是矩形的判定、平行四边形的判定等知识；熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．10、D【解析】【分析】先计算出正方形的对角线长，即可逐项进行判定求解．【详解】解：A、正方形的边长为2，∴对角线长为∴长度为2的正方形及其内部所覆盖，故A不符合题意；B、边长为2的等边三角形能被边长为2的正方形及其内部所覆盖，故B不符合题意；C、斜边为2的直角三角形能被边长为2的正方形及其内部所覆盖，故C不符合题意；D、而面积为4的菱形对角线长可以为8，故不能被边长为2的正方形及其内部所覆盖，故D符合题意，故选：D．【点睛】本题主要考查正方形的性质，等边三角形的性质，菱形的性质等知识，解题的关键是掌握相关图形的特征进行判断．二、填空题1、①②⑤【解析】【分析】先由题意得到∠ABE=∠ACB=∠BCG=90°，∠BAC=45°，再由角平分线的性质得到∠BAE=∠DAC=22.5°，从而推出∠BEA=∠ADC，则∠BDE=∠BED，再由三线合一定理即可证明BM⊥DE，∠GBE=∠DBG，即可判断②；得到∠MAG+∠MGA=90°，再由∠CBG+∠CGB=90°，可得∠DAC=∠GBC=22.5°，则∠GBE=22.5°，2∠GBE=45°，从而可证明△ACD≌△BCG，即可判断①；则CD=CG，再由AC=BC=BD+CD，可得到AC=BE+CG，即可判断⑤；由∠G=180°-∠BCG-∠CBG=67.5°，即可判断④；延长BE交AC延长线于G，先证△ABH是等腰直角三角形，得到C为AH的中点，然后证BE≠HE，即E不是BH的中点，得到CE不是△ABH的中位线，则CE与AB不平行，即可判断③．【详解】解：∵∠ACB=90°，BE⊥AB，AC=BC，∴∠ABE=∠ACB=∠BCG=90°，∠BAC=45°，∴∠BAE+∠BEA=90°，∠DAC+∠ADC=90°，∵AF平分∠BAC，∴∠BAE=∠DAC=22.5°，∴∠BEA=∠ADC，又∵∠ADC=∠BDE，∴∠BDE=∠BED，∴BD=ED，又∵M是DE的中点，∴BM⊥DE，∠GBE=∠DBG，∴BG垂直平分DE，∠AMG=90°，故②正确，∴∠MAG+∠MGA=90°，∵∠CBG+∠CGB=90°，∴∠DAC=∠GBC=22.5°，∴∠GBE=22.5°，∴2∠GBE=45°，又∵AC=BC，∴△ACD≌△BCG（ASA），故①正确；∴CD=CG，∵AC=BC=BD+CD，∴AC=BE+CG，故⑤正确；∵∠G=180°-∠BCG-∠CBG=67.5°，∴∠G≠2∠GBE，故④错误；如图所示，延长BE交AC延长线于G，∵∠ABH=∠ABC+∠CBH=90°，∠BAC=45°，∴△ABH是等腰直角三角形，∵BC⊥AH，∴C为AH的中点，∵AB≠AH，AF是∠BAH的角平分线，∴BE≠HE，即E不是BH的中点，∴CE不是△ABH的中位线，∴CE与AB不平行，∴BE与CE不垂直，故③错误；故答案为：①②⑤．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形中位线定理，三角形内角和定理，熟知等腰三角形的性质与判定条件是解题的挂件．2、18°##18度【解析】【分析】由“SAS ”可证△DCE ≌△BCE ，可得∠CED =∠CEB =12∠BED =63°，由三角形的外角的性质可求解．【详解】证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD =CD =BC =AB ，∠DAE =∠BAE =∠DCA =∠BCA =45°，在△DCE 和△BCE 中，CD BC BCE DCE CE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△DCE ≌△BCE （SAS ），∴∠CED =∠CEB =12∠BED =63°，∵∠CED =∠CAD +∠ADE ，∴∠ADE =63°-45°=18°，故答案为：18°．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，证明△DCE ≌△BCE 是本题的关键．3、72##3.5##132【解析】【分析】延长AB 、CF 交于点H ，由“ASA ”可证△AFH ≌△AFC ，可得AC =AH =12，HF =CF ，由三角形中位线定理可求解．【详解】解：如图，延长AB 、CF 交于点H ，四边形ABCD 是平行四边形，//AB CD ∴，90ACD BAC ∠∠∴==︒，12AC ∴， AF 平分BAC ∠，45HAF CAF ∴∠=∠=︒，在AFH ∆和AFC ∆中，90HAF CAF AF AFAFH AFC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ()AFH AFC ASA ∴∆≅∆，12AC AH ∴==，HF CF=，7BH AH AB ∴=-=，点E 是BC 的中点，HF CF =，∴EF 是△CBH 的中位线，1722EF BH ∴==，故答案为：72．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．4、【解析】【分析】设AE ＝x ，则BE ＝10﹣x ，由勾股定理得AD 2＋AE 2＝DE 2，BC 2＋BE 2＝CE 2，DE 2＋CE 2＝CD 2，则AD 2＋AE 2＋BC 2＋BE 2＝CD 2，即42＋x 2＋42＋（10﹣x ）2＝102，解得：x ＝2或x ＝8（舍去），则AE ＝2，然后由勾股定理即可求解．【详解】解：设AE ＝x ，则BE ＝10﹣x ，∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ＝AB ＝10，∠A ＝∠B ＝90°，∴AD 2＋AE 2＝DE 2，BC 2＋BE 2＝CE 2，∵DE ⊥CE ，∴∠DEC ＝90°，∴DE 2＋CE 2＝CD 2，∴AD 2＋AE 2＋BC 2＋BE 2＝CD 2，即42＋x2＋42＋（10﹣x）2＝102，解得：x＝2或x＝8（不合题意，舍去），∴AE＝2，∴DE故答案为：【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．5、4s或43s【解析】【分析】分两种情况：①当点F在线段BM上，即0≤t＜2，②当F在线段CM上，即2≤t≤5，列方程求解．【详解】解：①当点F在线段BM上，即0≤t＜2，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则有t＝4﹣2t，解得t＝43，②当F在线段CM上，即2≤t≤5，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则有t＝2t﹣4，解得t＝4，综上所述，t＝4或43，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，故答案为：4s或43s．【点睛】此题考查了动点问题，一元一次方程与动点问题，平行四边形的定义，熟记平行四边形的定义是解题的关键．三、解答题1、证明见解析【解析】【分析】平行四边形ABCD ，可知AB CD AB CD =，；由于AE CF = ，可得BE DF =，BE DF ，知四边形DEBF 为平行四边形，由90DEB ∠=︒可知四边形DEBF 是矩形．【详解】证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形∴AB CD AB CD =，∵AE CF BE AB AE DF DC CF ==-=-，，∴BE DF =∵BE DF BE DF =，∴四边形DEBF 为平行四边形又∵90DEB ∠=︒∴四边形DEBF 是矩形．【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定等知识．解题的关键在于灵活掌握矩形的判定．2、 (1)7(2)见解析【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得AB ∥CD ，AB =CD ，可得∠EBF =∠CFB ，再由∵FB 平分EFC ∠，可得∠EFB =∠EBF ，从而得到BE =EF =5，即可求解；（2）再CF 上截取FN =FG ，可得BFG BFN ≅，从而得到∠BGF =∠BNF ，再由∠GBF =∠EFD ，可得到∠BFD =∠BNC ，再根据BC ⊥BD ，∠BCD =45°，可得BC =BD ，从而证得△BDF ≌△BCN ，进而得到NC =FD ，即可求证．(1)解：在ABCD 中，AB ∥CD ，AB =CD ，∴∠EBF =∠CFB ，∵FB 平分EFC ∠，∴∠EFB =∠CFB ，∴∠EFB =∠EBF ，∴BE =EF =5，∵AE =2，∴CD =AB =AE +BE =7；(2)证明：如图，再CF 上截取FN =FG ，∵GFB NFB BF BF GF FN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴()BFG BFN SAS ≅ ，∴∠BGF=∠BNF，∵180∠+∠+∠=，∠BFG+∠BGF+∠GBF=180°，∠GBF=∠EFD，EFD BFG BFN︒∴∠BGF=∠BFN，∴∠BFN=∠BNF，∴∠BFD=∠BNC，∵BC⊥BD，∴∠CBD=90°，∵∠BCD=45°，∴∠BDC=∠BCD=45°，∴BC=BD，∴△BDF≌△BCN（AAS），∴NC=FD，∴CD=DF+FN+CN=2FD+FG，∵AB=CD，∴FG+2FD=AB．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质是解题的关键．3、 (1)见解析(2)见解析【解析】【分析】（1）利用尺规作出图形即可．（2）利用全等三角形的性质证明即可．(1)解：如图，直线EF 即为所求作．．(2)证明：在矩形ABCD 中，AD =BC ，∠ADB =∠DBC ，∵EF 为BD 的垂直平分线，∴∠EOD =∠FOB =90°，OB =OD ，在△EOD 与△FOB 中，ADB CBD OD OBEOD FOB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△EOD ≌△FOB （ASA ），∴ED =BF ，∴AD -ED =BC -BF ，即AE =CF ．【点睛】本题考查了作图-复杂作图，线段的垂直平分线，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．4、 (1)见解析；(2)①3；②12 5【解析】【分析】（1）根据三角形中位线的性质得到DE∥AB，BD=CD，即可证得四边形ABDF是平行四边形，得到AF=BD=CD，由此得到结论；（2）①由点D、E分别是边BC、AC的中点，得到DE=12AB，由四边形ADCF是平行四边形，得到DF=2DE=AB=3，再根据矩形的性质得到AC=DF=3；②根据菱形的性质得到DF⊥AC，推出AB⊥AC，利用勾股定理求出AC，得到CE，利用面积法求出答案．(1)证明：∵点D、E分别是边BC、AC的中点，∴DE∥AB，BD=CD，∵AF BC∥，∴四边形ABDF是平行四边形，∴AF=BD=CD，∴四边形ADCF是平行四边形；(2)解：①∵点D、E分别是边BC、AC的中点，∴DE=12AB，∵四边形ADCF是平行四边形，∴DF=2DE=AB=3，∵四边形ADCF是矩形,∴AC=DF =3，故答案为：3；②∵四边形ADCF 是菱形，∴DF ⊥AC ，∵DE ∥AB ，∴AB ⊥AC ，∴AD =12BC =2.5，4AC =∴AE=EC =2，∵DG CF ⊥ ∴1122CDF S DF CE CF DG =⨯⨯=⨯⨯ ∴32122.55DF CE DG CF ⨯⨯===，故答案为：125．【点睛】此题考查了平行四边形的判定及性质，矩形的性质，菱形的性质，三角形中位线的判定及性质，勾股定理，是一道较为综合的几何题，熟练掌握各知识点并应用是解题的关键．5、 (1)12ab (2)212a (3)1()2a b x + (4)1()2a x b -。

2021-2022学年最新冀教版八年级数学下册第二十二章四边形定向测试试卷(含答案详解)

八年级数学下册第二十二章四边形定向测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD 是菱形，则这个条件可以是（） A ．∠ABC ＝90°B ．AC ⊥BDC ．AB ＝CDD ．AB ∥CD2、若n 边形每个内角都为156°，那么n 等于（） A ．8B ．12C ．15D ．163、如图，平行四边形ABCD 的边BC 上有一动点E ，连接DE ，以DE 为边作矩形DEGF 且边FG 过点A ．在点E 从点B 移动到点C 的过程中，矩形DEGF 的面积（）A ．先变大后变小B ．先变小后变大C ．一直变大D ．保持不变4、如图，五边形ABCDE 中，320A B E ∠∠+∠=︒十，CP ，DP 分别平分BCD ∠，CDE ∠，则CPD ∠=（）A ．60°B ．72°C ．70°D ．78°5、如图，在平面直角坐标系中，直线483l y x =-+:分别交x 轴，y 轴于A 、B 两点，C 为线段OB 上一点，过点C 作CD x ∥轴交l 于点D ，若CBDE 的顶点E 恰好落在直线13y x =上，则点C 的坐标为（）A ．80,3⎛⎫⎪⎝⎭B ．160,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．80,9⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．400,9⎛⎫ ⎪⎝⎭6、将一长方形纸条按如图所示折叠，255∠=︒，则1∠=（）A ．55°B ．70°C ．110°D ．60°7、一多边形的每一个内角都等于它相邻外角的4倍，则该多边形的内角和是（） A ．360°B ．900°C ．1440°D ．1800°8、如图，点A ，B ，C 在同一直线上，且23AB AC =，点D ，E 分别是AB ，BC 的中点．分别以AB ，DE ，BC 为边，在AC 同侧作三个正方形，得到三个平行四边形（阴影部分）的面积分别记作1S ，2S ，3S ，若1S =23S S +等于（）A B C D 9、如图，平行四边形ABCD 中，AD ＝5，AB ＝3，AE 平分∠BAD 交BC 边于点E ，则EC 等于（）A ．1B ．2C ．3D ．410、六边形对角线的条数共有（） A ．9B ．18C ．27D ．54第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分） 1、（1）两组对边分别________的四边形是平行四边形 ∵AB ∥CD ，AD ∥BC ， ∴四边形ABCD 是平行四边形（2）两组对边分别________的四边形是平行四边形∵AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形（3）两组对角分别________的四边形是平行四边形∵∠A＝∠C，∠B＝∠D，∴四边形ABCD是平行四边形（4）对角线________的四边形是平行四边形∵AO＝CO，BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形（5）一组对边________的四边形是平行四边形∵AD＝BC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形2、如图，在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB=8，BC=12，则EF的长为__________．3、平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线把AD分成5和7两部分，则平行四边形ABCD的周长为__．4、如图所示，过六边形的顶点A的所有对角线可将六边形分成_______个三角形．5、如图，将边长为2的正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的横坐标为1，则点C 的坐标为______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图1，已知∠ACD是ABC的一个外角，我们容易证明∠ACD＝∠A+∠B，即：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？(1)尝试探究：如图2，已知：∠DBC与∠ECB分别为ABC的两个外角，则∠DBC＋∠ECB－∠A 180°．（横线上填＜、＝或＞）(2)初步应用：如图3，在ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案：∠P= ．(3)解决问题：如图4，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，请利用上面的结论探究∠P与∠BAD、∠CDA的数量关系．2、数学学习小组在学习了三角形中位线定理后，对四边形中有关中点的问题进行了探究：如图，在四边形ABCD 中，E ，F 分别是边,AD BC 的中点．(1)若16AB =，30CD =，30ABD ∠=︒，120BDC ∠=︒，求EF 的长．小兰说：取BD 的中点P ，连接PE ，PF ．利用三角形中位线定理就能解答此题，请你根据小兰提供的思路解答此题；(2)小花说：根据小兰的解题思路得到启发，如果满足90∠=︒+∠BDC ABD ，就能得到AB 、CD 、EF 的数量关系，你觉得小花说得对吗？若对，请你帮小花得到AB 、CD 、EF 的数量关系，并说明理由．3、已知正多边形的内角和比外角和大720°，求该正多边形所有对角线的条数．4、如图，在菱形ABCD 中，点E 、F 分别是边CD 、BC 的中点(1)求证：四边形BDEG 是平行四边形；(2)若菱形ABCD 的边长为13，对角线AC ＝24，求EG 的长．5、如图，在菱形ABDE 中，120ABD ∠=︒，点C 是边AB 的中点，点P 是对角线AD 上的动点（可与点A ，D 重合），连接PC ，PB ．已知6cm AD =，若要PC PB ≤，求AP 的取值范围．丞泽同学所在的学习小组根据学习函数的经验，设AP 长为x cm ，PC 长为1cm y ，PB 长为2cm y ．分别对函数1y ，2y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究，下面是丞泽同学所在学习小组的探究过程，请补充完整：(1)按照表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了1y，2y与x的几组对应值，表格中的a______；=(2)在同一平面直角坐标系xOy中，请在图中描出补全后的表中各组数值所对应的点()1,x y，并画出函数1y的图象；≤时，估计AP的长度的取值范围是____________；(3)结合函数图象，解决问题：当PC PB请根据图象估计当AP=______时，PC取到最小值．（请保留点后两位）-参考答案-一、单选题1、B【解析】略2、C【分析】首先求得外角的度数，然后利用多边形的外角和是360度，列式计算即可求解．【详解】解：由题意可知：n 边形每个外角的度数是：180°-156°=24°，则n =360°÷24°=15．故选：C ．【点睛】本题考查了多边形的外角与内角，熟记多边形的外角和定理是关键． 3、D 【解析】【分析】连接AE ，根据11,22ADE ADE ABCDDEGFS S S S ==矩形，推出ABCDDEGF S S=矩形，由此得到答案．【详解】解：连接AE ， ∵11,22ADE ADE ABCDDEGFSS S S ==矩形，∴ABCDDEGF S S =矩形，故选：D ．．此题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，正确连接辅助线AE 是解题的关键． 4、C 【解析】【分析】根据五边形的内角和等于540︒，由320A B E ∠+∠+∠=︒，可求BCD CDE ∠+∠的度数，再根据角平分线的定义可得PDC ∠与PCD ∠的角度和，进一步求得CPD ∠的度数．【详解】解：五边形的内角和等于540︒，320A B E ∠+∠+∠=︒，540320220BCD CDE ∴∠+∠=︒-︒=︒，BCD ∠、CDE ∠的平分线在五边形内相交于点O ，1()1102PDC PCD BCD CDE ∴∠+∠=∠+∠=︒，18011070CPD ∴∠=︒-︒=︒．故选：C ．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式，角平分线的定义，解题的关键是熟记公式，注意整体思想的运用． 5、D 【解析】【分析】设点4,83D m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ ，根据CD x ∥轴，可得点40,83C m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，再根据平行四边形的性质可得点ED y ∥轴，DE BC = ，则583DE m =-+，43BC m = ，即可求解．解：设点4,83D m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， ∵CD x ∥轴，∴点40,83C m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∵四边形CBDE 是平行四边形， ∴ED y ∥轴，DE BC = ，∴点1,3E m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴41588333DE m m m =-+-=-+ ，∵直线483l y x =-+:分别交y 轴于B 两点， ∴当0x = 时，8y = ， ∴点()0,8B ，∴448833BC m m ⎛⎫=--+= ⎪⎝⎭ ，∴45833m m =-+，解得：83m = ，∴44840883339m -+=-⨯+= ，∴点400,9C ⎛⎫⎪⎝⎭．故选：D 【点睛】本题主要考查了一次函数的图形和性质，平行四边形的性质，熟练掌握一次函数的图形和性质，平行四边形的性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．6、B【解析】【分析】从折叠图形的性质入手，结合平行线的性质求解．【详解】解：由折叠图形的性质结合平行线同位角相等可知，221180∠+∠=︒，∠=︒，255∴∠=︒．170故选：B．【点睛】本题考查折叠的性质及平行线的性质，解题的关键是结合图形灵活解决问题．7、C【解析】【分析】设每一个外角都为x，则相邻的内角为4x，然后根据“邻补角和为180°”列方程求得外角的大小，然后再根据多边形外角和定理求得多边形边数，最后运用多边形内角和公式求解即可．【详解】解：设每一个外角都为x，则相邻的内角为4x，由题意得，4x+x＝180°，解得：x＝36°，多边形的外角和为360°，360°÷36°＝10，所以这个多边形的边数为10，则该多边形的内角和是：（10﹣8）×180＝1440°．故选：C．【点睛】本题主要考查了多边形内角和相邻外角的关系、多边形的外角和、多边形内角和等知识点，掌握多边形的外角和为360°是解答本题的关键．8、B【解析】【分析】设BE＝x，根据正方形的性质、平行四边形的面积公式分别表示出S1，S2，S3，根据题意计算即可．【详解】∵23AB AC=，AC AB BC=+∴AB＝2BC，又∵点D，E分别是AB，BC的中点，∴设BE＝x，则EC＝x，AD＝BD＝2x，∵四边形ABGF是正方形，∴∠ABF＝45°，∴△BDH是等腰直角三角形，∴BD＝DH＝2x，∴S 1＝DH •AD 2x •2x∴x 2 ∵BD ＝2x ，BE ＝x ，∴S 2＝MH •BD ＝（3x −2x ）•2x ＝2x 2，S 3＝EN •BE ＝x •x ＝x 2，∴S 2＋S 3＝2x 2＋x 2＝3x 2故选：B ．【点睛】本题考查的是正方形的性质、平行四边形的性质，掌握正方形的四条边相等、四个角都是90°是解题的关键．9、B【解析】【分析】根据平行四边形及平行线的性质可得DAE BEA ∠=∠，再由角平分线及等量代换得出BAE BEA ∠=∠，利用等角对等边可得3BE AB ==，结合图形即可得出线段长度．【详解】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD BC ∥，∴DAE BEA ∠=∠，∵AE 平分BAD ∠，∴BAE DAE ∠=∠，∴BAE BEA ∠=∠，∴3BE AB ==，∵5BC AD ==，∴532EC BC BE =-=-=，故选：B ．【点睛】题目主要考查平行四边形及平行线的性质，利用角平分线计算，等角对等边等，理解题意，熟练运用平行四边形的性质是解题关键．10、A【解析】【分析】n 边形对角线的总条数为：(3)2n n -（n ≥3，且n 为整数），由此可得出答案．【详解】解：六边形的对角线的条数=6(63)2⨯- =9．故选：A ．【点睛】本题考查了多边形的对角线的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握：n 边形对角线的总条数为：(3)2n n -（n ≥3，且n 为整数）．二、填空题1、平行相等相等互相平分平行且相等【解析】略2、4【分析】根据平行四边形的性质可得AFB FBC ∠=∠，由角平分线可得ABF FBC ∠=∠，所以AFB ABF ∠=∠，所以8AF AB ==，同理可得8DE CD ==，则根据EF AF DF AD =+-即可求解．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴//AD BC ，12AD BC ==，8DC AB ==，∴AFB FBC ∠=∠，∴BF 平分ABC ∠，∴ABF FBC ∠=∠，∴AFB ABF ∠=∠，∴8AF AB ==，同理可得8DE DC ，∴88124EF AF DE AD =+-=+-=．故答案为：4【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、角平分线的定义，转化线段是解题的关键．3、34或38##38或34【解析】【分析】由平行四边形ABCD 推出∠AEB =∠CBE ，由已知得到∠ABE =∠CBE ，推出AB =AE ，分两种情况（1）当AE =5时，求出AB 的长；（2）当AE =7时，求出AB 的长，进一步求出平行四边形的周长．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AB=CD，AD∥BC，∴∠AEB=∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE，（1）当AE=5时，AB=5，平行四边形ABCD的周长是2×（5+5+7）=34；（2）当AE=7时，AB=7，平行四边形ABCD的周长是2×（5+7+7）=38；故答案为：34或38．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，三角形的角平分线等知识点，解此题的关键是求出AE=AB．用的数学思想是分类讨论思想．4、4【解析】【分析】n 个三角形，依从n边形的一个顶点出发，连接这个点与其余各顶点，可以把一个多边形分割成(2)此作答．【详解】解：过六边形的顶点A的所有对角线可将六边形分成624-=个三角形．故答案为4．【点睛】本题主要考查多边形的对角线，从n边形的一个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，形成的三n-．角形个数为25、（1）【解析】【分析】首先过点C作CD⊥x轴于点D，过点A作AE⊥x轴于点E，易证得△AOE≌△OCD（AAS），则可得CD=OE=1，OD=AE【详解】解：过点C作CD⊥x轴于点D，过点A作AE⊥x轴于点E，则∠ODC=∠AEO=90°，∴∠OCD+∠COD=90°，∵四边形OABC是正方形，∴OC=OA，∠AOC=90°，∴∠COD +∠AOE =90°，∴∠OCD =∠AOE ，在△AOE 和△OCD 中，AEO ODC AOE OCD OC OA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AOE ≌△OCD （AAS ），∴CD =OE =1，OD =AE∴点C 的坐标为：（1）．故答案为：（1）．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理．注意准确作出辅助线、证得△AOE ≌△OCD 是解此题的关键．三、解答题1、 (1)＝(2)∠P ＝90°－12∠A(3)∠P ＝180°－12∠BAD －12∠CDA ，探究见解析【解析】【分析】（1）根据三角形外角的性质得：∠DBC =∠A +∠ACB ，∠ECB =∠A +∠ABC ，两式相加可得结论；（2）根据角平分线的定义得：∠CBP =12∠DBC ，∠BCP =12∠ECB ，根据三角形内角和可得：∠P 的式子，代入（1）中得的结论：∠DBC+∠ECB=180°+∠A，可得：∠P=90°−12∠A；（3）根据平角的定义得：∠EBC=180°-∠1，∠FCB=180°-∠2，由角平分线得：∠3=12∠EBC=90°−1 2∠1，∠4=12∠FCB=90°−12∠2，相加可得：∠3+∠4=180°−12（∠1+∠2），再由四边形的内角和与三角形的内角和可得结论．(1)∠DBC+∠ECB-∠A=180°，理由是：∵∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC，∴∠DBC+∠ECB=2∠A+∠ACB+∠ABC=180°+∠A，∴∠DBC+∠ECB-∠A=180°，故答案为：=；(2)∠P=90°-12∠A，理由是：∵BP平分∠DBC，CP平分∠ECB，∴∠CBP=12∠DBC，∠BCP=12∠ECB，∵△BPC中，∠P=180°-∠CBP-∠BCP=180°-12（∠DBC+∠ECB），∵∠DBC+∠ECB=180°+∠A，∴∠P=180°-12（180°+∠A）=90°-12∠A．故答案为：∠P=90°-12∠A，(3)∠P=180°-12∠BAD-12∠CDA，理由是：如图，∵∠EBC =180°-∠1，∠FCB =180°-∠2，∵BP 平分∠EBC ，CP 平分∠FCB ， ∴∠3=12∠EBC =90°-12∠1，∠4=12∠FCB =90°-12∠2，∴∠3+∠4=180°-12（∠1+∠2），∵四边形ABCD 中，∠1+∠2=360°-（∠BAD +∠CDA ），又∵△PBC 中，∠P =180°-（∠3+∠4）=12（∠1+∠2），∴∠P =12×[360°-（∠BAD +∠CDA ）]=180°-12（∠BAD +∠CDA ）=180°-12∠BAD -12∠CDA ．【点睛】本题是四边形和三角形的综合问题，考查了三角形和四边形的内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形外角的性质是关键．2、 (1)17(2)2224EF AB CD =+，理由见解析【解析】【分析】（1）根据题意作出辅助线，根据中位线的性质求得,PE PF ，根据平行线的性质求得90EPF ∠=︒，进而勾股定理即可求得EF ;（2）方法同（1）． (1)解：如图，取BD 的中点P ，连接PE ，PF ，P ，E ，F 分别是边,,BD AD BC 的中点, 16AB =，30CD =，1,82PE AB PE AB ∴==∥,1,152PF CD PF CD ==∥， 30ABD ∠=︒，120BDC ∠=︒，30EPD ABD ∴∠=∠=︒,18060DPF BDC ∠=︒-∠=︒，90EPF ∴∠=︒，在Rt PEF △中，17EF =，17EF ∴=(2)2224EF AB CD =+，理由如下，如图，取BD 的中点P ，连接PE ，PF ，P ，E ，F 分别是边,,BD AD BC 的中点,，1,2PE AB PE AB ∴=∥,1,2PF CD PF CD =∥， 90∠=︒+∠BDC ABD ，EPD ABD ∴∠=∠,18090DPF BDC ABD ∠=︒-∠=︒-∠，90EPF EPD DPF ∴∠=∠+∠=︒，在Rt PEF △中，222EF PE PF =+，即2221144EF AB CD =+ 2224EF AB CD ∴=+【点睛】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理，平行线的性质，掌握中位线定理是解题的关键． 3、20条【解析】【分析】多边形的内角和可以表示成（n -2）•180°，外角和是固定的360°，根据正多边形内角和与外角和的差等于720°，列方程求出正多边形的边数．然后根据n 边形共有()32n n -条对角线，得出此正多边形的所有对角线的条数．【详解】解：设此正多边形为正n 边形．由题意得：()2180360720n -⋅︒-︒=︒，解得n ＝8，∴此正多边形所有的对角线条数为：()()388322n n -⨯-=＝20．答：这个正多边形的所有对角线有20条．【点睛】此题考查多边形的边数与对角线条数,一元一次方程，解题关键在于掌握多边形内角和公式和外角和，以及对角线条数计算公式.．4、 (1)证明见解析(2)10【解析】【分析】（1）利用AC平分∠BAD，AB∥CD，得到∠DAC＝∠DCA，即可得到AD＝DC，利用一组对边平行且相等可证明四边形ABCD是平行四边形，再结合AB＝AD，即可求证结论；（2）根据菱形的性质，得到CD＝13，AO＝CO＝12，结合中位线性质，可得四边形BDEG是平行四边形，利用勾股定理即可得到OB、OD的长度，即可求解．(1)证明：∵AC平分∠BAD，AB∥CD，∴∠DAC＝∠BAC，∠DCA＝∠BAC，∴∠DAC＝∠DCA，∴AD＝DC，又∵AB∥CD，AB＝AD，∴AB∥CD且AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形．(2)解：连接BD，交AC于点O，如图：∵菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，∴CD＝13，AO＝CO＝12，∵点E、F分别是边CD、BC的中点，∴EF∥BD（中位线），∵AC、BD是菱形的对角线，∴AC⊥BD，OB＝OD，又∵AB∥CD，EF∥BD，∴DE∥BG，BD∥EG，∵四边形BDEG是平行四边形，∴BD＝EG，在△COD中，∵OC⊥OD，CD＝13，CO＝12，∴5＝，OB OD∴EG＝BD＝10．【点睛】本题考查了平行四边形性质判定方法、菱形的判定和性质、等腰三角形性质、勾股定理等知识，关键在于熟悉四边形的判定方法和在题目中找到合适的判定条件．5、 (1)1.73(2)见解析(3)0≤AP≤3，1.50【解析】【分析】（1）证明△PAB为直角三角形，再根据勾股定理得出AB=C是线段AB的中点，即可求解；（2）描点绘出函数图象即可；（3）观察分析函数图象即可求解．(1)解：在菱形ABDE 中，AB =BD∵120ABD ∠=︒，∴30BAD ∠=︒，∵AD =6当x =AP =3时，则P 为AD 的中点∴90APB ∠=︒，∴AB =2BP ，3AP ==， ∴AB =∵点C 是边AB 的中点，∴PC 1.73a =≈(2)描点绘出函数图象如下（0≤x ≤6）(3)当PC的长度不大于PB长度时，即y1≤y2，从图象看，此时，0≤x≤3，即0≤AP≤3，从图象看，当x大约为1.50时，y1即PC取到最小值；故答案为：0≤AP≤3；1.50．【点睛】本题考查函数的图象，直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．。

八年级数学新定义题型专题练习

八年级数学新定义题型专题练习28．对于平面直角坐标系xOy中的点P和正方形给出如下定义：若正方形的对角线交于点O，四条边分别和坐标轴平行，我们称该正方形为原点正方形. 当原点正方形上存在点Q，满足PQ 1时，称点P为原点正方形的友好点.（1）当原点正方形边长为4时，①在点P1（0,0），P2（-1,1），P3（3,2）中，原点正方形的友好点是_______；②点P在直线y=x的图象上，若点P为原点正方形的友好点，求点P横坐标的取值范围；（2）一次函数y=-x+2的图象分别与x轴，y轴交于点A，B，若线段AB上存在原点正方形的友好点，直接写出原点正方形边长a的取值范围.4. 在平面直角坐标系xOy 中，对于点M 和图形W ，若图形W 上存在一点N （点M ，N 可以重合），使得点M 与点N 关于一条经过原点的直线l 对称，则称点M 与图形W 是“中心轴对称”的.对于图形W 1和图形W 2，若图形W 1和图形W 2分别存在点M 和点N （点M ，N 可以重合），使得点M 与点N 关于一条经过原点的直线l 对称，则称图形W 1和图形W 2是“中心轴对称”的.特别地，对于点M 和点N ，若存在一条经过原点的直线l ，使得点M 与点N 关于直线l 对称，则称点M 和点N 是“中心轴对称”的.（1）如图1，在正方形ABCD 中，点A （1，0），点C （2，1），①下列四个点P 1（0，1），P 2（2，2），P 31(,0)2-，P 4 1(,2-中，与点A 是“中心轴对称”的是；② 点E 在射线OB 上，若点E 与正方形ABCD 是“中心轴对称”的，求点E 的横坐标x E 的取值范围；（2）四边形GHJK 的四个顶点的坐标分别为G （-2，2），H （2，2），J (2,2)-，K (2,2)--，一次函数y b =+图象与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ，若线段MN 与四边形GHJK 是“中心轴对称”的，直接写出b 的取值范围.图128．对于平面直角坐标系xOy中的图形M和点P（点P在M内部或M上），给出如下定义:如果图形M上存在点Q，使得0≤PQ≤2，那么称点P为图形M的和谐点．已知点A(-4，3)，B(-4，-3)，C(4，-3)，D(4，3).(1)在点P1(-2，1)，P2(-1，0)，P3(3，3)中，矩形ABCD的和谐点是；(2)如果直线1322y x=+上存在矩形ABCD的和谐点P，直接写出点P的横坐标t的取值范围；(3)如果直线12y x b=+上存在矩形ABCD的和谐点E，F，使得线段EF上的所有点（含端点）都是矩形ABCD的和谐点，且E F，直接写出b的取值范围．28．对于平面直角坐标系xOy 中的图形W 和点P ，给出如下定义：F为图形W 上任意一点，将P ，F 两点间距离的最小值记为m ，最大值记为M （若P，F 重合，则PF＝0 ），称M与m的差为点P 到图形W 的“差距离”，记作d（P，W），即d（P，W）=M －m ．已知点A（2，1），B（－2，1）．（1）求d（O，AB）；（2）点C为直线y=1上的一个动点，当d（C，AB）=1 时，点C的横坐标是；（3）点D 为函数y = x+b（－2 ≤ x ≤ 2）图象上的任意一点．当d（D，AB）≤ 2 时，直接写出b 的取值范围．28．在平面直角坐标系x O y 中，若P ，Q 为某个矩形不相邻的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P ，Q 的“相关矩形”．图1为点P ，Q 的“相关矩形”的示意图．已知点A 的坐标为(1,2)．（1）如图2，点B 的坐标为(,0)b ．①若2b =-，则点A ，B 的“相关矩形”的面积是； ②若点A ，B 的“相关矩形”的面积是8，则b 的值为．（2）如图3，点C 在直线1y =-上，若点A ，C 的“相关矩形”是正方形，求直线A C 的表达式；（3）如图4，等边D E F △的边D E 在x 轴上，顶点F 在y 轴的正半轴上，点D 的坐标为(1,0)．点M 的坐标为(,2)m ，若在D E F △的边上存在一点N ，使得点M ，N 的“相关矩形”为正方形，请直接写出m 的取值范围．28．在平面直角坐标系xOy 中，对于两点A ，B ，给出如下定义：以线段AB 为边的正方形称为点A ，B 的“确定正方形”．如图1为点A ，B 的“确定正方形”的示意图．（1M ，N 的“确定正方形”的面积为_____________；（2）已知点O 的坐标为（0，0），点C 为直线y x b =+上一动点，当点O ，C 的“确定正方形”的面积最小，且最小面积为2时，求b 的值．（3）已知点E 在以边长为2的正方形的边上，且该正方形的边与两坐标轴平行，对角线交点为P （m ，0），点F 在直线2y x =--上，若要使所有点E ，F 的“确定正方形”的面积都不小于2，直接写出m 的取值范围．28. 平面直角坐标系XOY 中，对于点),(n m A和点)',(n m B ，给出如下定义：若⎩⎨⎧<-≥=)1()1('m n m n n 则称点B 为点A 的可变点．例如：点)4,1(的可变点的坐标是 )4,1(，点)4,1(- 的可变点的坐标是 )4,1(--．（1）①点 )1,3( 的可变点的坐标是；②在点)2,1(-A ，)4,2(-B ，中有一个点是函数x y 2=图象上某一个点的可变点，这个点是；（填“A ”或“B ”）（2）若点A 在函数 )34(2≤≤-+=x x y的图象上，求其可变点B 的纵坐标'n 的取值范围；（3）若点A 在函数)1,1(4->≤≤-+-=a a x x y 的图象上，其可变点B 的纵坐标'n 的取值范围是3'5≤≤-n ，直接写出a 的取值范围．28. 在平面直角坐标系xOy 中，记y 与x 的函数2()y a x m n =-+（m ≠0，n≠0）的图象为图形G , 已知图形G 与y 轴交于点A ，当x m =时，函数2()y a x m n =-+有最小（或最大）值n , 点B 的坐标为(m , n )，点A 、B 关于原点O 的对称点分别为C 、D ，若A 、B 、C 、D 中任何三点都不在一直线上，且对角线AC ，BD 的交点与原点O 重合，则称四边形ABCD 为图形G 的伴随四边形，直线AB 为图形G 的伴随直线. （1）如图，若函数2(2)1y x =-+的图象记为图形G ，求图形G 的伴随直线的表达式；（2）如图，若图形G 的伴随直线的表达式是3y x =-，且伴随四边形的面积为12，求y 与x 的函数2()y a x m n =-+（m ＞0，n ＜0）的表达式；（3）如图，若图形G 的伴随直线是24y x =-+，且伴随四边形ABCD 是矩形，求点B 的坐标.28．在平面直角坐标系xOy中，点P和图形W的“中点形”的定义如下：对于图形W上的任意一点Q，连结PQ，取PQ的中点，由所以这些中点所组成的图形，叫做点P和图形W 的“中点形”．已知C（-2，2），D（1，2），E（1，0），F（-2，0）．（1）若点O和线段CD的“中点形”为图形G，则在点1(1,1)H ，2(0,1)H，3(2,1)H中，在图形G上的点是；（2）已知点A（2，0），请通过画图说明点A和四边形CDEF的“中点形”是否为四边形？若是，写出四边形各顶点的坐标，若不是，说明理由；（3）点B为直线y=2x上一点，记点B和四边形CDEF的中点形为图形M，若图形M与四边形CDEF有公共点，直接写出点B的横坐标b的取值范围．28．对于一次函数b kx y +=）（0≠k ，我们称函数[]=m y ⎩⎨⎧>--≤+）（）（m x b kx m x b kx 为它的m 分函数（其中m 为常数）．例如，23+=x y 的4分函数为：当4≤x 时，[]234+=x y ；当4>x 时，[]234--=x y ．（1）如果1+=x y 的－1分函数为[]1-y ， ① 当4=x 时，[]=-1y ；当[]31-=-y 时，=x ． ②求双曲线xy 2=与[]1-y 的图象的交点坐标；（2）如果2+-=x y 的0分函数为[]0y ，正比例函数）（0≠=k kx y 与2+-=x y 的0分函数[]0y 的图象无交点时，直接写出k 的取值范围．28．在平面直角坐标系中，过一点分别作x轴，y轴的垂线，如果由这点、原点及两个垂足为顶点的矩形的周长与面积相等，那么称这个点是平面直角坐标系中的“巧点”．例如，图1中过点P（4，4）分別作x轴，y轴的垂线，垂足为A，B，矩形OAPB的周长为16，面积也为16，周长与面积相等，所以点P是巧点．请根据以上材料回答下列问题：（1）已知点C（1，3），D（-4，-4），E（5，10-），其中是平面直角坐标系中的巧点3的是；（2）已知巧点M（m，10）（m＞0）在双曲线=k（k为常数）上，求m，k的值；yx（3）已知点N为巧点，且在直线y＝x+3上，求所有满足条件的N点坐标．。

冀教版八年级数学下册第二十二章测试题(附答案)

冀教版八年级数学下册第二十二章测试题（附答案）姓名：__________ 班级：__________考号：__________一、单选题（共12题；共24分）1.正多边形的一个内角是150°，则这个正多边形的边数为（）A. 10B. 11C. 12D. 132.下列说法中，错误的是（）．A. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形B. 两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形C. 四个角都相等的四边形是矩形D. 四条边相等的四边形是正方形3.下列命题中，真命题是（）A. 两对角线互相垂直且相等的四边形是正方形B. 两对角线相等的四边形是矩形C. 两对角线互相垂直的四边形是菱形D. 两对角线互相平分的四边形是平行四边形4.下列说法正确的是（）A. 对角线相等的平行四边形是菱形B. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形C. 对角线相互垂直的四边形是菱形D. 有一个角是直角的平行四边形是菱形5.如图，在△ABC中，D、E分别为AC、BC的中点，AF平分∠CAB，交DE于点F．若DF=3，则AC的长为（）A. B. 3 C. 6 D. 96.如图，在边长为12的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E、F分别在AB、BC上，FG在Rt△DCF上，若BF=3，则BE的长为（）A. 1B.C.D.7.下列结论正确的是（）A. 对角线相等的四边形是矩形B. 对角线互相平分的四边形是矩形C. 对角线互相垂直且平分的四边形是矩形D. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形8.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D、E分别是AB、BC的中点，F在CA的延长线上，∠FDA=∠B，AC=6，AB=8，则四边形AEDF的周长为（）A. 8B. 16C. 10D. 209.如图，矩形ABCD中，AD=2AB，E、F、G、H分别是AB，BC，CD，AD边上的点，EG⊥FH，FH=2 ，则四边形EFGH的面积为（）A. 8B. 8C. 12D. 2410.若一个多边形的内角和是1080°，则此多边形是（）边形．A. 八B. 十C. 十二D. 十四11.如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，以此类推…则正方形OB2016B2017C2017的顶点B2017的坐标是（）A. （21008，0）B. （21008，21008）C. （0，21008）D. （21007，21007）12.把边长相等的正五边形ABGHI和正六边形ABCDEF的AB边重合，按照如图的方式叠合在一起，连接EB，交HI于点K，则∠BKI的大小为（）A. 90°B. 84°C. 72°D. 88°二、填空题（共8题；共16分）13.一个菱形的两条对角线长分别为3cm，4cm，这个菱形的面积S=________.14.如图，∠1是五边形ABCDE的一个外角，若∠1=65°，则∠A+∠B+∠C+∠D=________°．15.如图，在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，则菱形ABCD的面积为________．16.如图，在菱形ABCD中，E为AB的中点，OE=3，则菱形ABCD的周长为________．17.四边形ABCD中，∠A与∠C互补，∠B=80O,则∠D=________度．18.若一个多边形内角和为900°，则这个多边形是________边形．19.如图，在四边形ABCD中，已知AB=BC=CD，∠BAD和∠CDA均为锐角，点F是对角线BD上的一点，EF∥AB交AD于点E，FG∥BC交DC于点G，四边形EFGP是平行四边形，给出如下结论：①四边形EFGP是菱形；②△PED为等腰三角形；③若∠ABD=90°，则△EFP≌△GPD；④若四边形FPDG也是平行四边形，则BC∥AD且∠CDA=60°．其中正确的结论的序号是________（把所有正确结论的序号都填在横线上）．20.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC=120°，E，F分别为AD，CD上的动点，且AE+CF=2，则线段EF长的最小值是________．三、解答题（共3题；共15分）21.如图，在□ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，连接EF．求证：四边形ABEF是菱形．22.如图是某地下商业街的入口，数学课外兴趣小组的同学打算运用所学的知识测量侧面支架的最高点E 到地面的距离EF．经测量，支架的立柱BC与地面垂直，即∠BCA=90°，且BC=1.5m，点F、A、C在同一条水平线上，斜杆AB与水平线AC的夹角∠BAC=30°，支撑杆DE⊥AB于点D，该支架的边BE与AB的夹角∠EBD=60°，又测得AD=1m．请你求出该支架的边BE及顶端E到地面的距离EF的长度．23.如图：在△ABC中，∠BAC = ，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F，求证：四边形AEFG是菱形.四、综合题（共4题；共45分）24.如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连接CE．（1）求证：BD=EC；（2）若∠E=50°，求∠BAO的大小．25.如图，AD是△ABC的中线．（1）画图：延长AD到E，使ED=AD，连接BE、CE；（2）四边形ABEC是平行四边形吗？证明你的结论．26.如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，E、F在菱形的边BC，CD上．（1）证明：BE=CF．（2）当点E，F分别在边BC，CD上移动时（△AEF保持为正三角形），请探究四边形AECF的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值．（3）在（2）的情况下，请探究△CEF的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值．27.综合题：探索与发现（1）如图1，以□BMDC的两相邻边CB、CD为腰，在□BMDC的外侧，作两个等腰Rt△CBF和Rt△CDH，则□ BMDC中与C相对的顶点M与这两等腰直角三角形的两顶点F、H形成一个新的等腰直角三角形FMH.请证明△FMH为等腰直角三角形。

2021-2022学年度冀教版八年级数学下册第二十二章四边形必考点解析试题(含答案及详细解析)

八年级数学下册第二十二章四边形必考点解析考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、下列多边形中，内角和与外角和相等的是（）A．B．C．D．2、如图，在正方形ABCD中，点E、点F分别在AD、CD上，且AE＝DF，若四边形OEDF的面积是1，OA的长为1，则正方形的边长AB为（）A．1 B．2 C D．3、下列说法不正确．．．的是（）A．三角形的外角大于每一个与之不相邻的内角B ．四边形的内角和与外角和相等C ．等边三角形是轴对称图形，对称轴只有一条D ．全等三角形的周长相等，面积也相等4、如图，DE 是ABC 的中位线，若4DE =，则BC 的长为（）A ．8B ．7C ．6D ．7.55、如图，五边形ABCDE 中，320A B E ∠∠+∠=︒十，CP ，DP 分别平分BCD ∠，CDE ∠，则CPD ∠=（）A ．60°B ．72°C ．70°D ．78°6、若菱形的周长为8，高为2，则菱形的面积为（）A ．2B ．4C ．8D ．167、如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x ，y 表示直角三角形的两直角边（x ＞y ），则下列四个说法：①x 2+y 2=49，②x ﹣y =2，③2xy +4=49，④x +y =9．其中说法正确的是（）A．②③B．①②③C．②④D．①②④8、如图，平行四边形ABCD中，AD＝5，AB＝3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于（）A．1 B．2 C．3 D．49、下列命题中是真命题的是（）．A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形B．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形C．对角线相等的四边形是矩形D．有一个角为直角的四边形是矩形10、如图，已知长方形ABCD，R，P分别是DC，BC上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动，而点R不动时，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减少C．线段EF的长不变D．线段EF的长先增大后变小第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，四边形ABFE、AJKC、BCIH分别是以Rt△ABC的三边为一边的正方形，过点C作AB的垂线，交AB于点D，交FE于点G，连接HA、CF．欧几里得编纂的《原本》中收录了用该图形证明勾股定理的方法．关于该图形的下面四个结论：①△ABH ≌△FBC ；②正方形BCIH 的面积=2△ABH 的面积；③矩形BFGD 的面积=2△ABH 的面积；④BD 2+AD 2+CD 2=BF 2．正确的有 ______．（填序号）2、ABCD 中，已知AB ＝CD ＝4，BC ＝6，则当AD ＝________时，四边形ABCD 是平行四边形．3、如图，矩形纸片ABCD ，4=AD ，3AB =．如果点E 在边BC 上，将纸片沿AE 折叠，使点B 落在点F 处，如果直线EF 经过点D ，那么线段BE 的长是_______．4、已知一个多边形的内角和为1080，则这个多边形是________边形．5、如图，在矩形ABCD 中，ABC ∠的角平分线BE 交AD 于点E ，连接EC ，EC 恰好平分BED ∠，若2AB =，则DE 的长为______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、已知在ABC 与CDE △中，,,AB CD B D ACE B =∠=∠∠=∠，点B C D 、、在同一直线上，射线AH EI 、分别平分BAC CED ∠∠、．(1)如图1，试说明AC CE =的理由；(2)如图2，当AH EI 、交于点G 时，设,B AGE αβ∠=∠=，求β与α的数量关系，并说明理由；(3)当AH EI ∥时，求B 的度数．2、背景资料：在已知ABC 所在平面上求一点P ，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图1，当ABC 三个内角均小于120°时，费马点P 在ABC 内部，当120APB APC CPB ∠=∠=∠=︒时，则PA PB PC ++取得最小值．(1)如图2，等边ABC 内有一点P ，若点P 到顶点A 、B 、C 的距离分别为3，4，5，求APB ∠的度数，为了解决本题，我们可以将ABP △绕顶点A 旋转到ACP '△处，此时ACP ABP '≌这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA 、PB 、PC 转化到一个三角形中，从而求出APB ∠=_______；知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与ABC 的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下问题．(2)如图3，ABC 三个内角均小于120°，在ABC 外侧作等边三角形ABB '，连接CB '，求证：CB '过ABC 的费马点．(3)如图4，在RT ABC 中，90C ∠=︒，1AC =，30ABC ∠=︒，点P 为ABC 的费马点，连接AP 、BP 、CP ，求PA PB PC ++的值．(4)如图5，在正方形ABCD 中，点E 为内部任意一点，连接AE 、BE 、CE ，且边长2AB =；求AE BE CE ++的最小值．3、已知：如图，在▱ABCD 中，AE ⊥BC ，CF AD ⊥，点E ，F 分别为垂足．(1)求证：△ABE ≌△CDF ；(2)求证：四边形AECF 是矩形．4、如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AB ＝5cm ，∠BOC ＝120°，求矩形对角线的长．5、如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是边AB 、DC 上的点，且AE CF =，90DEB ∠=︒，求证：四边形DEBF 是矩形-参考答案-一、单选题1、B【解析】【分析】根据多边形的内角和公式（n -2）•180°与多边形的外角和定理列式进行计算即可得解．【详解】解：设所求多边形的边数为n ，根据题意得：（n -2）•180°=360°，解得n =4．故选：B ．【点睛】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，熟记公式与定理是解题的关键．2、C【分析】根据正方形的性质得到AB =AD ，∠BAE =∠ADF =90°，根据全等三角形的性质得到∠ABE =∠DAF ，求得∠AOB =90°，根据三角形的面积公式得到OA =1，由勾股定理即可得到答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =AD ，∠BAE =∠ADF =90°，在△ABE 与△DAF 中，AB AD BAE ADF AE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△DAF （SAS ），∴∠ABE =∠DAF ，∴∠ABE +∠BAO =∠DAF +∠BAO =90°，∴∠AOB =90°，∵△ABE ≌△DAF ，∴S △ABE =S △DAF ，∴S △ABE -S △AOE =S △DAF -S △AOE ，即S △ABO =S 四边形OEDF =1，∵OA =1，∴BO =2，∴AB故选：C ．本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证得△ABE≌△DAF是解题的关键．3、C【解析】【分析】根据三角形外角的性质，四边形内角和定理和外角和定理，等边三角形的对称性，全等三角形的性质判断即可．【详解】∵三角形的外角大于每一个与之不相邻的内角，正确，∴A不符合题意；∵四边形的内角和与外角和都是360°，∴四边形的内角和与外角和相等，正确，∴B不符合题意；∵等边三角形是轴对称图形，对称轴有三条，∴等边三角形是轴对称图形，对称轴只有一条，错误，∴C符合题意；∵全等三角形的周长相等，面积也相等，正确，∴D不符合题意；故选C．【点睛】本题考查了三角形外角的性质，四边形的内角和，外角和定理，等边三角形的对称性，全等三角形的性质，准确相关知识是解题的关键．4、A【解析】【分析】已知DE 是ABC 的中位线，4DE =，根据中位线定理即可求得BC 的长．【详解】 DE 是ABC 的中位线，4DE =，28BC DE ∴==，故选：A ．【点睛】此题主要考查三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半；掌握中位线定理是解题的关键．5、C【解析】【分析】根据五边形的内角和等于540︒，由320A B E ∠+∠+∠=︒，可求BCD CDE ∠+∠的度数，再根据角平分线的定义可得PDC ∠与PCD ∠的角度和，进一步求得CPD ∠的度数．【详解】解：五边形的内角和等于540︒，320A B E ∠+∠+∠=︒，540320220BCD CDE ∴∠+∠=︒-︒=︒，BCD ∠、CDE ∠的平分线在五边形内相交于点O ，1()1102PDC PCD BCD CDE ∴∠+∠=∠+∠=︒， 18011070CPD ∴∠=︒-︒=︒．故选：C ．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式，角平分线的定义，解题的关键是熟记公式，注意整体思想的运用．6、B【解析】【分析】根据周长求出边长，利用菱形的面积公式即可求解．【详解】∵菱形的周长为8，∴边长=2，∴菱形的面积=2×2=4，故选：B．【点睛】此题考查菱形的性质，熟练掌握菱形的面积=底×高是解题的关键．7、B【解析】【分析】根据正方形的性质，直角三角形的性质，直角三角形面积的计算公式及勾股定理解答即可．【详解】如图所示，∵△ABC 是直角三角形，∴根据勾股定理：22249x y AB +==，故①正确；由图可知2x y CE -==，故②正确；由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，列出等式为144492xy ⨯⨯+=，即2449xy +=，故③正确；由2449xy +=可得245xy =，又∵2249x y +=，两式相加得：2224945x xy y ++=+，整理得：()294x y +=，9x y +=≠，故④错误；故正确的是①②③．故答案选B ．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正方形性质，完全平方公式的应用，算术平方根，准确分析判断是解题的关键．8、B【解析】【分析】根据平行四边形及平行线的性质可得DAE BEA ∠=∠，再由角平分线及等量代换得出BAE BEA ∠=∠，利用等角对等边可得3BE AB ==，结合图形即可得出线段长度．【详解】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD BC ∥，∴DAE BEA ∠=∠，∵AE 平分BAD ∠，∴BAE DAE ∠=∠，∴BAE BEA ∠=∠，∴3BE AB ==，∵5BC AD ==，∴532EC BC BE =-=-=，故选：B ．【点睛】题目主要考查平行四边形及平行线的性质，利用角平分线计算，等角对等边等，理解题意，熟练运用平行四边形的性质是解题关键．9、A【解析】【分析】根据平行线四边形的性质得到对边相等，加上一组邻边相等，可得到四边都相等，根据菱形的定义对A 、B 进行判断；根据矩形的判定方法对C 、D 进行判断．【详解】解：A 、平行四边形的对边相等，若有一组邻边相等，则四边都相等，所以该选项正确；B 、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，所以该选项不正确；C 、对角线互相平分且相等的四边形为矩形，所以该选项不正确；D 、有三个角是直角的四边形是矩形，所以该选项不正确．故选：A ．【点睛】本题考查了命题与定理：判断事情的语句叫命题；正确的命题叫真命题；经过证明其正确性的命题称为定理．也考查了平行四边形、矩形和菱形的判定与性质．10、C【解析】【分析】因为R 不动，所以AR 不变．根据三角形中位线定理可得EF ＝12AR ，因此线段EF 的长不变．【详解】解：连接AR ．E 、F 分别是AP 、RP 的中点，EF ∴为ΔAPR 的中位线，12EF AR ∴=，为定值．线段EF的长不改变．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，只要三角形的边AR不变，则对应的中位线的长度就不变．二、填空题1、①②③【解析】【分析】由“SAS”可证△ABH≌△FBC，故①正确；由平行线间的距离处处相等，可得S△ABH=S△BCH=12S正方形BCIH，故②正确；同理可证矩形BFGD的面积=2△ABH的面积，故③正确；由勾股定理可得BD2+AD2+2CD2=BF2，故④错误，即可求解．【详解】解：∵四边形ABFE和四边形CBHI是正方形，∴AB=FB，HB=CB，∠ABF=∠CBH=90°，∴∠CBF=∠HBA，∴△ABH≌△FBC（SAS），故①正确；如图，连接HC，∵AI∥BH，∴S△ABH=S△BCH=12S正方形BCIH，∴正方形BCIH的面积=2△ABH的面积，故②正确；∵CG∥BF，∴S△CBF=12×BF×BD=12S矩形BDGF，∴矩形BFGD的面积=2△ABH的面积，故③正确；∵BC2=CD2+DB2，AC2=CD2+AD2，BC2+AC2=AB2，∴BD2+CD2+CD2+AD2=AB2=BF2，∴BD2+AD2+2CD2=BF2，故④错误，故答案为：①②③．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．2、6【解析】略3、4【解析】【分析】根据题意可知∠AFD=90°，利用勾股定理得DF，再证明AD=DE，即可得出EF的长，从而解决问题．【详解】如图，∵将纸片沿AE折叠，使点B落在点F处，∴AB=AF=3，∠B=∠AFE=90°，∠AEB=∠AED，∵AD∥BC，∴∠DAE=∠AED，∴∠DAE=∠AED，∴AD=DE=4，在Rt△ADF中，由勾股定理得：DF=∴EF=DE-DF=4∴BE=EF=4故答案为：4【点睛】本题主要考查了翻折变换，勾股定理，等腰三角形的判定，平行线的性质等知识，证明AD =DE 是解题的关键．4、八##8【解析】【分析】n 边形的内角和是（n -2）•180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．【详解】解：根据n 边形的内角和公式，得（n -2）•180=1080，解得n =8．∴这个多边形的边数是8．故答案为：八．【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．5、2【解析】【分析】根据矩形的性质得//AD BC ，=AD BC ，=90A ︒∠，根据BE 是ABC ∠的角平分线，得45ABE CBE ∠=∠=︒，则45ABE CBE ∠=∠=︒，2AE AB ==，在Rt BAE 中，根据勾股定理得BE =DEC ECB ∠=∠，由因为EC 平分BED ∠则BEC DEC ∠=∠，等量代换得BEC ECB ∠=∠，所以BC BE ==AD =【详解】解：∵四边形ABCD 为矩形，∴//AD BC ，=AD BC ，=90A ︒∠，∵2AB =，BE 是ABC ∠的角平分线，∴45ABE CBE ∠=∠=︒，∴2AE AB ==，在Rt BAE 中，根据勾股定理得，BE∵//AD BC ，∴DEC ECB ∠=∠，∵EC 平分BED ∠，∴BEC DEC ∠=∠，∴BEC ECB ∠=∠， ∴BC BE == ∴AD =∴2DE AD AE =-=，故答案为：2．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，角平分线的性质，平行线的性质，解题的关键是掌握这些知识点．三、解答题1、 (1)理由见解析(2)32180αβ-=︒，理由见解析(3)60B ∠=︒【解析】【分析】（1）ACD ACE ECD A B ∠=∠+∠=∠+∠，B ACE ∠=∠，A ECD ∠=∠可知ABC CDE △≌△，进而可说明AC CE =；（2）如图1所示，连接GC 并延长至点K ，AH EI 、分别平分BAC DEC ∠∠、，则设,CAH BAH a CEI DEI b ∠=∠=∠=∠=，ACK ∠为ACG 的外角，ACK a AGC ∠=+∠，同理ECK b EGC ∠=+∠，ACE ACK ECK B α=∠+∠=∠=，得a b αβ+=-；又由（1）中证明可知2ECD BAC a ∠=∠=，180ECD DEC D ∠+∠+∠=︒，进而可得到结果；（3）如图2所示，过点C 作//MN AH ，则////MN AH EI ，,CAH ACM a CEI ECM b ∠=∠=∠=∠=ACE ACM ECM a b α∠=∠+∠=+=，可得a b α=+，由（1）中证明可得2,ECD BAC a D B α∠=∠=∠=∠=，在CED 中， 180ECD CED D ∠+∠+∠=︒，即22180a b α++=︒，进而可得到结果．(1)证明：ACD ACE ECD A B ∠=∠+∠=∠+∠又B ACE ∠=∠A ECD ∴∠=∠在ABC 和CDE △中B D AB CD A ECD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ABC CDE ASA ∴△≌△AC CE ∴=．(2)解：32180αβ-=︒．理由如下：如图1所示，连接GC 并延长至点KAH EI 、分别平分BAC DEC ∠∠、则设,CAH BAH a CEI DEI b ∠=∠=∠=∠=ACK ∠为ACG 的外角ACK a AGC ∴∠=+∠同理可得ECK b EGC ∠=+∠ACE ACK ECK B α∴∠=∠+∠=∠=()()a AGC b EGC a b AGE a b β=+∠++∠=++∠=++即a b αβ=++a b αβ∴+=-．又由（1）中证明可知2ECD BAC a ∠=∠=由三角形内角和公式可得180ECD DEC D ∠+∠+∠=︒即22180a b α++=︒2()180a b α∴++=︒32180αβ∴-=︒．(3)解：当//AH EI 时，如图2所示，过点C 作//MN AH ，则////MN AH EI,CAH ACM a CEI ECM b ∴∠=∠=∠=∠=ACE ACM ECM a b α∴∠=∠+∠=+=，即a b α=+ 由（1）中证明可得2,ECD BAC a D B α∠=∠=∠=∠=在CED 中，根据三角形内角和定理有180ECD CED D ∠+∠+∠=︒即22180a b α++=︒即2()180a b α+=-︒即3180α=︒，解得：60α=︒故60B ∠=︒．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、三角形内角和定理、平行线的性质、角平分线的性质等知识，连接GC 并延长，利用三角形外角性质证得a b αβ+=-是解题的关键．2、 (1)150°；(2)见详解；【解析】【分析】（1）根据旋转性质得出ABP △≌ACP '△，得出∠BAP =∠CAP′，∠APB =∠AP′C ，AP =AP′=3，BP=CP′=4，根据△ABC 为等边三角形，得出∠BAC =60°，可证△APP′为等边三角形，PP′=AP =3，∠AP′P =60°，根据勾股定理逆定理222223425PP P C PC ''+=+==，得出△PP′C 是直角三角形，∠PP′C =90°，可求∠AP′C =∠APP +∠PPC =60°+90°=150°即可；（2）将△APB 逆时针旋转60°，得到△AB′P′，连结PP′，根据△APB ≌△AB′P′，AP =AP′，PB =PB′，AB =AB′，根据∠PAP′=∠BAB′=60°，△APP′和△ABB′均为等边三角形，得出PP′=AP ，根据PA PB PC PP P B PC '''++=++，根据两点之间线段最短得出点C ，点P ，点P′，点B′四点共线时，PA PB PC ++最小=CB′，点P 在CB′上即可；（3）将△APB 逆时针旋转60°，得到△AP′B′，连结BB′，PP′，得出△APB ≌△AP′B′，可证△APP′和△ABB′均为等边三角形，得出PP′=AP ，BB′=AB ，∠ABB′=60°，根据PA PB PC PP P B PC '''++=++，可得点C ，点P ，点P′，点B′四点共线时，PA PB PC ++最小=CB′，利用30°直角三角形性质得出AB =2AC =2，根据勾股定理BC =求BB′=AB =2，根据∠CBB′=∠ABC +∠ABB′=30°+60°=90°，在Rt △CBB′中，B′C == （4）将△BCE 逆时针旋转60°得到△CE′B′，连结EE′，BB′，过点B′作B′F ⊥AB ，交AB 延长线于F ，得出△BCE ≌△CE′B′，BE =B′E′，CE =CE ′，CB =CB′，可证△ECE′与△BCB′均为等边三角形，得出EE ′=EC ，BB′=BC ，∠B′BC =60°，AE BE CE AE EE E B '''++=++，得出点C ，点E ，点E′，点B′四点共线时，AE BE CE AE EE E B '''++=++最小=AB′，根据四边形ABCD 为正方形，得出AB =BC =2，∠ABC =90°，可求∠FBB′=180°-∠ABC -∠CBB′=180°-90°-60°=30°，根据30°直角三角形性质得出BF =112122BB '=⨯=，勾股定理BF =AF =AB +BF =2+AB′(1)解：连结PP′，∵ABP △≌ACP '△，∴∠BAP =∠CAP′，∠APB =∠AP′C ，AP =AP′=3，BP=CP′=4，∵△ABC 为等边三角形，∴∠BAC =60°∴∠PAP ′=∠PAC +∠CAP ′=∠PAC +∠BAP =60°，∴△APP′为等边三角形，,∴PP′=AP =3，∠AP′P =60°，在△P′PC 中，PC =5，222223425PP P C PC ''+=+==，∴△PP′C 是直角三角形，∠PP′C =90°，∴∠AP′C =∠APP +∠PPC =60°+90°=150°，∴∠APB =∠AP′C =150°，故答案为150°；(2)证明：将△APB 逆时针旋转60°，得到△AB′P′，连结PP′，∵△APB ≌△AB′P′，∴AP =AP′，PB =PB′，AB =AB′，∵∠PAP′=∠BAB′=60°，∴△APP′和△ABB′均为等边三角形，∴PP′=AP ，∵PA PB PC PP P B PC '''++=++，∴点C ，点P ，点P′，点B′四点共线时，PA PB PC ++最小=CB′，∴点P 在CB′上，∴CB '过ABC 的费马点．(3)解：将△APB 逆时针旋转60°，得到△AP′B′，连结BB′，PP′，∴△APB ≌△AP′B′，∴AP′=AP ，AB′=AB ，∵∠PAP′=∠BAB′=60°，∴△APP′和△ABB′均为等边三角形，∴PP′=AP ，BB′=AB ，∠ABB′=60°，∵PA PB PC PP P B PC '''++=++∴点C ，点P ，点P′，点B′四点共线时，PA PB PC ++最小=CB′，∵90C ∠=︒，1AC =，30ABC ∠=︒，∴AB =2AC =2，根据勾股定理BC==∴BB′=AB =2，∵∠CBB′=∠ABC +∠ABB′=30°+60°=90°，∴在Rt△CBB′中，B′C∴PA PB PC ++最小=CB′(4)解：将△BCE 逆时针旋转60°得到△CE′B′，连结EE′，BB′，过点B′作B′F ⊥AB ，交AB 延长线于F ，∴△BCE ≌△CE′B′，∴BE =B′E′，CE =CE ′，CB =CB′，∵∠ECE′=∠BCB′=60°，∴△ECE′与△BCB′均为等边三角形，∴EE ′=EC ，BB′=BC ，∠B′BC =60°，∵AE BE CE AE EE E B '''++=++，∴点C ，点E ，点E′，点B′四点共线时，AE BE CE AE EE E B '''++=++最小=AB′，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB =BC =2，∠ABC =90°，∴∠FBB′=180°-∠ABC -∠CBB′=180°-90°-60°=30°，∵B′F ⊥AF ，∴BF =112122BB '=⨯=，BF =∴AF =AB +BF∴AB′=∴AE BE CE ++最小=AB′【点睛】本题考查图形旋转性质，等边三角形判定与性质，勾股定理，直角三角形判定与性质，两点之间线段最短，四点共线，正方形性质，30°直角三角形性质，掌握图形旋转性质，等边三角形判定与性质，勾股定理，直角三角形判定与性质，两点之间线段最短，四点共线，正方形性质，30°直角三角形性质是解题关键．3、 (1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的性质可得,AB CD B D =∠=∠，再根据垂直的定义可得90AEB CFD ∠=∠=︒，然后根据三角形全等的判定定理（AAS 定理）即可得证；（2）先根据平行四边形的性质可得AD BC ∥，再根据平行线的性质可得90EAF ∠=︒，然后根据矩形的判定即可得证．(1) 证明：四边形ABCD 是平行四边形，,AB CD B D ∴=∠=∠，,AE BC CF AD ⊥⊥，90AEB CFD ∴∠=∠=︒，在ABE △和CDF 中，90B D AEB CFD AB CD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ()ABE CDF AAS ∴≅．(2)证明：,AE BC CF AD ⊥⊥，90AEC AFC ∴∠=∠=︒，四边形ABCD 是平行四边形，AD BC ∴，18090EAF AEC ∴∠=︒-∠=︒，∴在四边形AECF 中，90AEC AFC EAF ∠=∠=∠=︒，∴四边形AECF 是矩形．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定定理、矩形的判定等知识点，熟练掌握各判定定理与性质是解题关键．4、10cm 【解析】【分析】根据矩形性质得出∠ABC＝90°，AC＝BD，OA＝OC＝12AC，OB＝OD＝12BD，推出OA＝OB，求出等边三角形AOB，求出OA＝OB＝AB＝5，即可得出答案．【详解】解：∵∠BOC＝120°，∴∠AOB＝180°﹣120°＝60°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AC＝BD，OA＝OC＝12AC，OB＝OD＝12BD，∴OA＝OB，∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∵AB＝5cm，∴OA＝OB＝AB＝5cm，∴AC＝2AO＝10cm，BD＝AC＝10cm．【点睛】本题考查了矩形的性质和等边三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出OA、OB的长，题目比较典型，是一道比较好的题目．5、证明见解析【解析】【分析】平行四边形ABCD ，可知AB CD AB CD =，；由于AE CF = ，可得BE DF =，BE DF ，知四边形DEBF 为平行四边形，由90DEB ∠=︒可知四边形DEBF 是矩形．【详解】证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形∴AB CD AB CD =，∵AE CF BE AB AE DF DC CF ==-=-，，∴BE DF =∵BE DF BE DF =，∴四边形DEBF 为平行四边形又∵90DEB ∠=︒∴四边形DEBF 是矩形．【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定等知识．解题的关键在于灵活掌握矩形的判定．。

2022年最新冀教版八年级数学下册第二十二章四边形章节训练试卷(含答案详解)

八年级数学下册第二十二章四边形章节训练考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，E 为BC 上一点，CE ＝6，F 为DE 的中点．若OF 的长为1，则△CEF 的周长为（）A ．14B ．16C ．18D ．122、菱形ABCD 的边长为5，一条对角线长为6，则菱形面积为（）A ．20B ．24C ．30D ．483、如图，五边形ABCDE 中，320A B E ∠∠+∠=︒十，CP ，DP 分别平分BCD ∠，CDE ∠，则CPD ∠=（）A ．60°B ．72°C ．70°D ．78°4、六边形对角线的条数共有（）A ．9B ．18C ．27D ．545、一多边形的每一个内角都等于它相邻外角的4倍，则该多边形的内角和是（）A ．360°B ．900°C ．1440°D ．1800°6、下列多边形中，内角和与外角和相等的是（）A ．B ．C ．D ．7、如图，在平面直角坐标系中，直线483l y x =-+:分别交x 轴，y 轴于A 、B 两点，C 为线段OB 上一点，过点C 作CD x ∥轴交l 于点D ，若CBDE 的顶点E 恰好落在直线13y x =上，则点C 的坐标为（）A ．80,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．160,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．80,9⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．400,9⎛⎫ ⎪⎝⎭8、如图，已知矩形ABCD 中，R 、P 分别是DC 、BC 上的点，E 、F 分别是AP 、RP 的中点，当P 在BC 上从B 向C 移动而R 不动时，那么下列结论成立的是（）A ．线段EF 的长逐渐增大B ．线段EF 的长逐渐减小C ．线段EF 的长不改变D ．线段EF 的长不能确定9、如图，为了测量一块不规则绿地B ，C 两点间的距离，可以在绿地的一侧选定一点A ，然后测量出AB ，AC 的中点D ，E ，如果测量出D ，E 两点间的距离是8m ，那么绿地B ，C 两点间的距离是（）A ．4mB ．8mC ．16mD ．20m10、如图，在平行四边形ABCD 中，AE 平分BAD ∠，交CD 边于E ，3AD =，5AB =，则EC 的长为（）A ．1B ．2C ．3D ．5第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在长方形ABCD 中，20AB =，12BC =，E 、F 分别在边AB 、CD 上，且5CF =．现将四边形BCFE 沿EF 折叠，点B ，C 的对应点分别为点B '，C '，当点B '恰好落在边CD 上时，则EF 的长为______．2、如图，在平面直角坐标系xOy 中，有一边长为1的正方形OABC ，点B 在x 轴的正半轴上，如果以对角线OB 为边作第二个正方形OBB 1C 1，再以对角线OB 1为边作第三个正方形OB 1B 2C 2，…，照此规律作下去，则B 2的坐标是 ___；B 2020的坐标是 ___．3、一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为_____．4、如图，点M ，N 分别是ABC 的边AB ，AC 的中点，若60A ∠=︒，75B ∠=︒，则ANM ∠=______．5、ABCD 中，已知AB ＝CD ＝4，BC ＝6，则当AD ＝________时，四边形ABCD 是平行四边形．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，在ABCD 中，AE BC ⊥于点E ，延长BC 至点F ，使CF BE =，连接AF ，DE ，DF ．(1)求证：四边形AEFD 为矩形；(2)若3AB =，4DE =，5BF =，求DF 的长．2、已知∠MON ＝90°，点A 是射线ON 上的一个定点，点B 是射线OM 上的一个动点，点C 在线段OA 的延长线上，且AC ＝OB ．(1)如图1，CD ∥OB ，CD ＝OA ，连接AD ，BD ．①AOB ≅△△ ；②若OA ＝2，OB ＝3，则BD ＝；(2)如图2，在射线OM 上截取线段BE ，使BE ＝OA ，连接CE ，当点B 在射线OM 上运动时，求∠ABO 和∠OCE 的数量关系；(3)如图3，当E为OB中点时，平面内一动点F满足FA=OA，作等腰直角三角形FQC，且FQ=FC，当线段AQ取得最大值时，直接写出AQOA的值．3、如图，正方形ABCD和正方形CEFG，点G在CD上，AB＝5，CE＝2，T为AF的中点，求CT的长．4、尺规作图并回答问题：（保留作图痕迹）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形．求作：菱形AECF，使点E，F分别在BC，AD上．请回答：在你的作法中，判定四边形AECF是菱形的依据是．5、（1）【探究一】如图1，我们可以用不同的算法来计算图形的面积．①方法1：如果把图1看成一个大正方形，那么它的面积为；②方法2：如果把图1看成是由2个大小不同的正方形和2个大小相同的小长方形组成的图形，那么它的面积为；（写成关于a 、b 的两次三项式）用两种不同的算法计算同一个图形的面积，可以得到等式．（2）【探究二】如图2，从一个顶点处引n 条射线，请你数一数共有多少个锐角呢?①方法1：一路往下数，不回头数．以OA 1为边的锐角有∠A 1OA 2、∠A 1OA 3、∠A 1OA 4、…、∠A 1OAn ，共有（n －1）个；以OA 2为边的锐角有∠A 2OA 3、∠A 2OA 4、…、∠A 2OAn ，共有（n －2）个；以OA 3为边的锐角有∠A 3OA 4、…、∠A 3OAn ，共有（n －3）个；以OAn －1为边的锐角有∠An －1OAn ，共有1个；则图中锐角的总个数是；②方法2：每一条边都能和除它以外的（n －1）条边形成锐角，共有n 条边，可形成n （n －1）个锐角，但所有锐角都数了两遍，所以锐角的总个数是；用两种不同的方法数锐角个数，可以得到等式．（3）【应用】分别利用【探究一】中得到的等式和【探究二】中运用的思想解决问题．①计算：19782＋20222；②多边形中连接任意两个不相邻顶点的线段叫做对角线，如五边形共有5条对角线，则十七边形共有条对角线，n 边形共有条对角线．-参考答案-一、单选题1、B【解析】【分析】根据中位线的性质及直角三角形斜边上中线的性质可得：22ED CF EF ==，结合图形得出CEF 的周长为EF EC FC ED EC ++=+，再由中位线的性质得出22BE OF ==，在Rt CED 中，利用勾股定理确定10ED =，即可得出结论．【详解】解：在正方形ABCD 中，BO DO =，BC CD =，90BCD ∠=︒，∵F 为DE 的中点，O 为BD 的中点，∴OF 为DBE 的中位线且CF 为Rt CDE 斜边上的中线，∴22ED CF EF ==，∴CEF 的周长为EF EC FC ED EC ++=+，∵1OF =，∴22BE OF ==，∵6CE =，∴268BC BE CE =+=+=，∴8CD BC ==，在Rt CED 中，90ECD ∠=︒，8CD =，6CE =，∴10ED =，∴CEF 的周长为10616EF EC FC ED EC ++=+=+=，故选：B ．【点睛】题目主要考查正方形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等，理解题意，熟练掌握运用各个知识点是解题关键．2、B【解析】【分析】根据菱形的性质利用勾股定理求得另一条对角线，再根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得菱形的面积．【详解】解：如图，当BD ＝6时，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AO ＝CO ，BO ＝DO ＝3，∵AB ＝5，∴AO ，∴AC ＝8，∴菱形的面积是：6×8÷2＝24，故选：C ．【点睛】本题主要考查菱形的面积公式，以及菱形的性质和勾股定理，关键是掌握菱形的面积等于两条对角线的积的一半．3、C【解析】【分析】根据五边形的内角和等于540︒，由320A B E ∠+∠+∠=︒，可求BCD CDE ∠+∠的度数，再根据角平分线的定义可得PDC ∠与PCD ∠的角度和，进一步求得CPD ∠的度数．【详解】解：五边形的内角和等于540︒，320A B E ∠+∠+∠=︒，540320220BCD CDE ∴∠+∠=︒-︒=︒，BCD ∠、CDE ∠的平分线在五边形内相交于点O ，1()1102PDC PCD BCD CDE ∴∠+∠=∠+∠=︒， 18011070CPD ∴∠=︒-︒=︒．故选：C ．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式，角平分线的定义，解题的关键是熟记公式，注意整体思想的运用．4、A【解析】【分析】n 边形对角线的总条数为：(3)2n n -（n ≥3，且n 为整数），由此可得出答案．【详解】解：六边形的对角线的条数=6(63)2⨯- =9．故选：A ．【点睛】本题考查了多边形的对角线的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握：n 边形对角线的总条数为：(3)2n n -（n ≥3，且n 为整数）． 5、C【分析】设每一个外角都为x，则相邻的内角为4x，然后根据“邻补角和为180°”列方程求得外角的大小，然后再根据多边形外角和定理求得多边形边数，最后运用多边形内角和公式求解即可．【详解】解：设每一个外角都为x，则相邻的内角为4x，由题意得，4x+x＝180°，解得：x＝36°，多边形的外角和为360°，360°÷36°＝10，所以这个多边形的边数为10，则该多边形的内角和是：（10﹣8）×180＝1440°．故选：C．【点睛】本题主要考查了多边形内角和相邻外角的关系、多边形的外角和、多边形内角和等知识点，掌握多边形的外角和为360°是解答本题的关键．6、B【解析】【分析】根据多边形的内角和公式（n-2）•180°与多边形的外角和定理列式进行计算即可得解．【详解】解：设所求多边形的边数为n，根据题意得：（n-2）•180°=360°，故选：B ．【点睛】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，熟记公式与定理是解题的关键．7、D【解析】【分析】设点4,83D m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ ，根据CD x ∥轴，可得点40,83C m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，再根据平行四边形的性质可得点ED y ∥轴，DE BC = ，则583DE m =-+，43BC m = ，即可求解．【详解】解：设点4,83D m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∵CD x ∥轴， ∴点40,83C m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ ， ∵四边形CBDE 是平行四边形，∴ED y ∥轴，DE BC = ， ∴点1,3E m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴41588333DE m m m =-+-=-+ ， ∵直线483l y x =-+:分别交y 轴于B 两点，∴当0x = 时，8y = ，∴点()0,8B ，∴448833BC m m⎛⎫=--+=⎪⎝⎭，∴45833m m=-+，解得：83m=，∴44840883339m-+=-⨯+=，∴点400,9C⎛⎫⎪⎝⎭．故选：D【点睛】本题主要考查了一次函数的图形和性质，平行四边形的性质，熟练掌握一次函数的图形和性质，平行四边形的性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．8、C【解析】【分析】因为R不动，所以AR不变．根据中位线定理，EF不变．【详解】解：连接AR．因为E、F F分别是AP、RP的中点，则EF为ΔAPR的中位线，所以12EF AR=，为定值．所以线段EF的长不改变．故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，只要三角形的边AR 不变，则对应的中位线的长度就不变．9、C【解析】【分析】根据三角形中位线定理即可求出BC ．【详解】解：ABC ∆中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，DE ∴为三角形ABC 的中位线，12DE BC ∴=， 22816m BC DE ∴==⨯=，故选：C ．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理的应用，解题的关键是掌握三角形的中位线等于第三边的一半．10、B【解析】【分析】先由平行四边形的性质得//BA CD ，5CD AB ==，再证3DE AD ==，即可求解．【详解】解：四边形ABCD 是平行四边形，//BA CD ∴，5CD AB ==，DEA EAB ∴∠=∠，AE ∵平分DAB ∠，DAE EAB ∴∠=∠，DAE DEA ∴∠=∠，3DE AD ∴==，532EC CD DE ∴=-=-=，故选：B ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题．二、填空题1、【解析】【分析】由勾股定理求出B 'F ，得到D B '，过点B '作B 'H ⊥AB 于H ，连接BF ，则四边形ADB H '是矩形，求出HE ，过点F 作FG ⊥AB 于G ，则四边形BCFG 是矩形，利用勾股定理求出EF 的长．【详解】解：在长方形ABCD 中，90,20,12B C CD AB AD BC ∠=∠=︒====，AB CD ∥，由折叠得90,90,12,B B C C B C BC C F CF '''''∠=∠=︒∠=∠=︒====5，∴13B F '，∴205DB CD CF B F ''=--=--13=2，过点B '作B 'H ⊥AB 于H ，连接BF ，则四边形ADB H '是矩形，∴AH=D B '=2，∵∠B 'EF =∠BEF ，∠B 'FE =∠BEF ，∴∠B 'EF=∠B 'FE ，∴B 'E=B 'F =13，∴HE =，过点F 作FG ⊥AB 于G ，则四边形BCFG 是矩形，∴BG=FC =5，∴EG =13-5=8，∴EF故答案为【点睛】此题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，正确引出辅助线利用推理论证进行求解是解题的关键．2、 (0, ()2021,0-【解析】【分析】根据已知条件和勾股定理求出OB 2的长度即可求出B 2的坐标，再根据题意和图形可看出每经过一次变化，正方形都逆时针旋转B 到B 2020变化的坐标．【详解】解：∵四边形OABC 是边长为1正方形，∴OB =∴12OB ==∴B 1的坐标是，∴2OB ==∴B 2的坐标是(0根据题意和图形可看出每经过一次变化，正方形逆时针旋转∴B 3的坐标是∴B 4的坐标是∴旋转8次则OB 旋转一周，∵从B 到B 2020经过了2020次变化，2020÷8=252…4，∴从B 到B 2020与B 4都在x 轴负半轴上，∴点B 2020的坐标是()2021,0-【点睛】本题主要考查了规律型-点的坐标，解决本题的关键是利用正方形的变化过程寻找点的变化规律． 3、6【解析】【分析】利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题．【详解】解：多边形的外角和是360度，多边形的内角和是外角和的2倍，则内角和是720度，72018026÷+=，∴这个多边形的边数为6．故答案为：6．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理与外角和定理，解题的关键是熟练掌握多边形的外角和以及多边形的内角和定理．4、45°##45度【解析】【分析】根据三角形中位线定理得出//BC MN ，进而利用平行线的性质解答即可．【详解】解：M 、N 分别是ABC ∆的边AB 、AC 的中点，//MN BC ∴，C ANM ∴∠=∠，60A ∠=︒，75B ∠=︒，18045C A B ∴∠=︒-∠-∠=︒，45ANM ∴∠=︒，故答案是：45︒．【点睛】本题考查三角形中位线定理，解题的关键是根据三角形中位线定理得出//BCMN．5、6【解析】略三、解答题1、 (1)见解析(2)12 5【解析】【分析】（1）根据线段的和差关系可得BC＝EF，根据平行四边形的性质可得AD∥BC，AD＝BC，即可得出AD ＝EF，可证明四边形AEFD为平行四边形，根据AE⊥BC即可得结论；（2）根据矩形的性质可得AF＝DE，可得△BAF为直角三角形，利用“面积法”可求出AE的长，即可得答案．(1)∵BE＝CF，∴BE+CE＝CF+CE，即BC＝EF，∵ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴AD＝EF，∵AD∥EF，∴四边形AEFD为平行四边形，∵AE⊥BC，∴∠AEF＝90°，∴四边形AEFD 为矩形．(2)∵四边形AEFD 为矩形，∴AF ＝DE ＝4，DF =AE ，∵3AB =，4DE =，5BF =，∴AB 2+AF 2＝BF 2，∴△BAF 为直角三角形，∠BAF ＝90°， ∴1122ABFS AB AF BF AE =⨯=⨯， ∴AE =125， ∴125DF AE ==．【点睛】本题考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质及勾股定理的逆定理，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．2、 (1)△DCA ；(2)∠ABO +∠OCE =45°，理由见解析(3)1【解析】【分析】（1）①由平行线的性质可得∠ACD =∠BOA =90°，再由OB =CA ，OA =CD ，即可利用SAS 证明△AOB ≌△DCA ；②过点D 作DR ⊥BO 交BO 延长线于R ，由①可知△AOB ≌△DCA ，得到CD =OA =2，AC =OB =3，再由OC ⊥OB ，DR ⊥OB ，CD ∥OB ，得到DR =OC =OA +AC =5（平行线间距离相等），同理可得OR =CD =3，即可利用勾股定理得到BD ==；（2）如图所示，过点C作CW⊥AC，使得CW=OA，连接AW，BW，先证明△AOB≌△WCA得到AB=AW，∠ABO=∠WAC，然后推出∠ABW=∠AWB=45°，证明四边形BECW是平行四边形，得到BW∥CE，则∠WJC=∠BWA=45°，由三角形外角的性质得到∠WJC=∠WAC+∠JCA，则∠ABO+∠OCE=45°；≤+，如图3-2所示，当A、F、Q三点共线时，AQ有最（3）如图3-1所示，连接AF，则AQ AF QF大值，由此求解即可．(1)解：①∵CD∥OB，∴∠ACD=∠BOA=90°，又∵OB=CA，OA=CD，∴△AOB≌△DCA（SAS）；故答案为：△DCA；②如图所示，过点D作DR⊥BO交BO延长线于R，由①可知△AOB≌△DCA，∴CD=OA=2，AC=OB=3，∵OC⊥OB，DR⊥OB，CD∥OB，∴DR=OC=OA+AC=5（平行线间距离相等），同理可得OR=CD=3，∴BR=OB+OR=5，∴BD ==；故答案为：(2)解：∠ABO +∠OCE =45°，理由如下：如图所示，过点C 作CW ⊥AC ，使得CW =OA ，连接AW ，BW ，在△AOB 和△WCA 中，==90OA CW AOB WCA OB CA =⎧⎪∠∠︒⎨⎪=⎩， ∴△AOB ≌△WCA （SAS ），∴AB =AW ，∠ABO =∠WAC ，∵∠AOB =90°，∴∠ABO +∠BAO =90°，∴∠BAO +∠WAC =90°，∴∠BAW =90°，又∵AB =AW ，∴∠ABW =∠AWB =45°，∵BE ⊥OC ，CW ⊥OC ，又∵BE=OA=CW，∴四边形BECW是平行四边形，∴BW∥CE，∴∠WJC=∠BWA=45°，∵∠WJC=∠WAC+∠JCA，∴∠ABO+∠OCE=45°；(3)解：如图3-1所示，连接AF，≤+，∴AQ AF QF∴如图3-2所示，当A、F、Q三点共线时，AQ有最大值，∵E是OB的中点，BE=OA，∴OB =AC =2OA ，∵△CFQ 是等腰直角三角形，CF =QF ，∴∠CFQ =∠CFA =90°，∴CF QF ==，∴(1AQ AF FQ OA =+=，∴1AQ OA =．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，平行四边形的性质与判定，平行线的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键．3 【解析】【分析】连接AC ，CF ，如图，根据正方形的性质得到AC ，AB CF CE ，∠ACD =45°，∠GCF =45°，则利用勾股定理得到AF CT 的长．【详解】解：连接AC 、CF ，如图，∵四边形ABCD 和四边形CEFG 都是正方形，∴AC CF ，∠ACD =45°，∠GCF =45°，∴∠ACF =45°+45°=90°，在Rt △ACF 中AF =，∵T 为AF 的中点，∴12CT AF =，∴CT ．【点睛】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质，也考查了直角三角形斜边上的中线性质．4、证明见解析；邻边相等的平行四边形是菱形，对角线垂直的平行四边形是菱形．【解析】【分析】根据邻边相等的平行四边形是菱形或对角线垂直的平行四边形是菱形证明即可．【详解】解：如图，四边形AECF 即为所求作．理由：四边形ABCD 是平行四边形，∴AE ∥CF ，∴∠EAO =∠FCO ，∵EF 垂直平分线段AC ，∴OA =OC ，在△AEO 和△CFO 中，EAO FCO AO OCAOE COF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△AEO ≌△CFO （ASA ），∴AE =CF ，∴四边形AECF 是平行四边形，∵EA =EC 或AC ⊥EF ，∴四边形AECF 是菱形．故答案为：邻边相等的平行四边形是菱形，对角线垂直的平行四边形是菱形．【点睛】本题考查作图-复杂作图，平行四边形的性质，菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．5、（1）①()2a b +；②222a b ab ++；()2a b +=222a b ab ++；（2）①（n －1）＋（n －2）＋（n －3）＋……＋1；②()112n n -；（n －1）＋（n －2）＋（n －3）＋……＋1=()112n n -；（3）①8000968；②119，12n (n -3)【解析】【分析】（1）①根据边长为(a +b )的正方形面积公式求解即可；②利用矩形和正方形的面积公式求解即可；（2）①根据题中的数据求和即可；②根据题意求解即可；（3）①利用（1）的规律求解即可；②根据n 边形从一个顶点出发可引出（n -3）条对角线．从n 个顶点出发引出（n -3）条，而每条重复一次，所以n 边形对角线的总条数为12n (n -3)（n ≥3，且n 为整数）可得答案．【详解】解：（1）①大正方形的面积为()2a b +；②由2个大小不同的正方形和2个大小相同的小长方形组成的图形的面积为222a b ab ++；可以得到等式：()2a b +=222a b ab ++；故答案为：①()2a b +；②222a b ab ++；()2a b +=222a b ab ++；（2）①图中锐角的总个数是：（n －1）＋（n －2）＋（n －3）＋ (1)②锐角的总个数是12n（n－1）；可以得到等式为（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋……＋1=12n（n－1）；故答案为：①（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋……＋1；②12n（n－1）；（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋……＋1=12n（n－1）；（3）①19782＋20222＝[2000＋（－22）]2＋（2000＋22）2＝20002＋（－22）2＋2×2000×（－22）＋20002＋222＋2×2000×22＝2×（20002＋222）＝2×[4000000＋（20＋2）2]＝2×[4000000＋（202＋22＋2×20×2）]＝8000968；②一个四边形共有2条对角线，即12×4×(4-3)=2；一个五边形共有5条对角线，即12×5×(5-3)=5；一个六边形共有9条对角线，即12×6×(6-3)=9；……，一个十七边形共有12×17×(17-3)=119条对角线；一个n边形共有12n(n-3)（n≥3，且n为整数）条对角线．故答案为：119，12n(n-3)．【点睛】本题考查了图形的变化规律，完全平方公式，多边形的对角线，对于这种图形的变化规律的问题，读懂题目信息，找到变化规律是解题的关键．。

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