R、L、C元件的功率和能量
电路原理3章 正弦交流电路的功率
UI cos [1 cos 2t] UI sin sin2t
Q UI sin 单位:乏 (var)
Q UI sin I 2 X
感性电路： Q > 0
容性电路： Q < 0
I
U
+
U X U
UR _
R jX
+ U_ R _+U X
视在功率、无功功率、平均功率关系：
电感在一个周期内吸收的平均功率 为：
P 1
T
pdt
1
T
UI sin 2tdt 0
T0
T0
电感是储能元件，不消耗能量，但是在某一
时间段内，它从外部电路吸收功率。
电感瞬时功率的最大值，定义为电感的无功
功率QL：
电感无功功率：QL UI
I2 XL
U2
XL
单位:乏 (var)
3.7.1.3 电容元件的功率
(1) 视在功率(apparent power)
•
Ii
一端口网络电压有效值与
电流有效值的乘积
Z
S UI 单位:伏安 (VA)
+
•
U
u
-
无 源 网 络
S UI Z I 2
注： SN＝UN IN 称为发电机、变压器 等供
电设备的额定视在功率，表示其容量。
(2) 无功功率(reactive power)
并联电容器是电网中用得最多的一种无功功 率补偿设备，目前国内外电力系统中90%的无 功补偿设备是并联电容器。
可以串电容吗？
串联电容器补偿，现在主要应用于超高 压、大容量的输电线路上，例如，山西大同 至北京的500kV输电电线路全长300km,加装 了串联电容补偿后,电网线损降低，电压质 量改善，电网运行的稳定性得到加强，而且 输电能力提高30%以上。
正弦交流电路的功率因素
3. 感性负载提高功率因数的原理可用图说明。
并联电容
分析:
I
IC
+
R
IL
U
C
_L
1 2 I
U
IC
IL
再从功率这个角度来看 :
则电容电压为 ： uc (t)
2I
c
X
c
sin(t
2
)V
其瞬时功率为：
2U C
sin(t
2
)V
pc
(t
)
uc
(t
)ic
(t
)
2U
c
I
c
s
in(t
2
)
sin
t
Uc Ic sin 2t
uc (t)、Ic(t)、pc(t)的波形如图6-12所示。
uiCC
图 6-12 电容元件的瞬时功率
换。
电感消耗的平均功率为：
pL
1 T
T 0
pL
(t)dt
1 T
T
0 U L I L sin 2tdt 0
电感消耗的平均功率为零，说明电感元件 不消耗功率，只是与外界交换能量。
3．电容元件的功率 在电压、电流为关联参考方向下，设流过电 容元件的电流为:
ic (t) 2Ic sintA
S=UI
4、功率因素
式中 cosZ 称为二端电路的功率因素，功率因素
的值取决于电压与电流之间的相位差 Z ， Z 也
《电工电子》问答题答案
《电⼯电⼦》问答题答案电⼯电⼦问答题答案1、电位的定义答：电位是指电路中各点相对于参考点之间的电压。
电路中各点的点位与参考点有关，参考点不同，电路中各点点位随之⽽异。
2、负载从电源获得最⼤功率的条件是什么？答：当负载电路RL 等于信号源内阻时，max P P =有最⼤值，电路中的电流LS R U I 2=，负载上得到的最⼤功率LS L L S R U R R U P 4)2(22max == 3、R 、L 、C 元件的特性⽅程是什么？4、应⽤叠加原理时，要注意的事项有哪些？答：①叠加原理不适⽤于⾮线性电路；②多个电源共同作⽤时，可将多个电源单独作⽤，对于不作⽤的电压源⽤短路线代替，不作⽤的电流源做开路处理；③叠加原理只能求⽀路电路和电压，不能⽤来求解功率；④在使⽤叠加原理前，必须标明各⽀路电流、电压的⽅向。
5、⽤戴维宁定理解题的步骤是什么？答：①断开原电路中要求电流或电压的负载⽀路；②求开路电压U0；③求⽆源⼆端⽹络的⼊端电阻；④画出等效电压源⽀路，接上断开的负载，⽤等效电路求解。
6、何为换路定则？7、暂态过程初始值的求解步骤有哪些？答：①求出)0()0(--L C i u 或②依据换路定则，得出)0()0(++L C i u 或③画出0+的等效电路，求出)0()0()0()0(++++R R L C u i u i 、、、等其他电压、电流的初始值。
8、什么是⼀阶电路暂态分析的三要素法？答：在直流电源作⽤下，⼀阶线性电路任⼀之路的电压或电流均有如下的解：⼀般式τte f f f t f -+∞-+∞=)]()0([)()( 其中：f(∞)是电路新的稳态值，f(0+)为初始值，τ为换路后电路的时间常数。
f(∞)、f(0+)、τ称之为⼀阶电路的三要素。
9、正弦交流电常采⽤哪四种表⽰法？举例说明答：①三⾓函数 )sin(ψω+=t U u m ②波形图例如（略）③相量图例如（略）④复数式ψψ∠==+=?U Ue jU U U j b a10、确定⼀个正弦量需要哪些要素？答：最⼤振幅A 、⾓频率ω、初相ψ为确定⼀个正弦量的三要素。
RLC元件及特征
振荡电路在无线通信、雷达、电子测 量等领域具有广泛应用，用于产生特 定频率的载波信号或本机振荡信号。
调谐电路
调谐电路是一种能够调整自身频率以匹配外部信号源的电路 ，其关键元件是RLC元件。通过调整RLC元件的参数，可以实 现电路的调谐功能。
工作原理
电阻（R）
电阻是一种限制电流的元件，其工作原理是利用导体对电流的阻碍作用。在直流电路中， 电阻起到降压的作用；在交流电路中，电阻起到阻抗匹配的作用。
电感（L）
电感是一种储存磁能的元件，其工作原理是利用磁场对电流的感应作用。当电流通过电感 时，会在电感中产生一个反电动势，阻碍电流的变化。电感在交流电路中起到滤波、储能 和隔直的作用。
电容（C）
电容是一种储存电荷的元件，其工作原理是利用电场对电荷的储存和释放作用。当电压施 加到电容上时，会在电容中产生一个充电电流，同时电容内部会储存电荷。电容在交流电 路中起到旁路、耦合和滤波的作用。
种类与用途
种类
RLC元件有多种类型，包括固定电阻器、可变电阻器、固定 电感器、可变电感器和固定电容器、可变电容器等。
用途
RLC元件广泛应用于电子设备和系统中，如信号处理、通信 、控制和电源等领域。它们可以用于实现信号的滤波、振荡 、延迟和匹配等功能，以及用于调节电路参数和改善电路性 能。
02
RLC元件的特性
电感器特性
01Leabharlann 0203电感量（L）
描述电感器储存磁场能量 的能力，与线圈的匝数、 横截面积和介质材料有关。
元件值偏差
可能是由于老化或温度变化等原因， 应定期进行元件值校准和维护。
R、L、C串联的交流电路资料
当 XL < XC 时 ， < 0 ， u 滞后 i 呈容性
当 XL = XC 时 ， = 0 ， u. i 同相 呈电阻性
2) +
U
_
相量图
I
+ R U_ R U L
+
jXL
U_
XL
L
>
-jXC
U+_C U
U L
UC
XC
U C
U L
参考相量
U L U
U R I ( > 0 感性)
XL < XC
U L UC U C
U R I
U
( < 0 容性)
UC U X 由电压三角形可得:
U R
电压 三角形
UR Ucos U x Usin
2) 相量图
U U L U C U X
U R
电压 三角形
Z
X XL XC 阻抗
R
三角形
由阻抗三角形：
R Z cos X Z sin
由相量图可求得:
Z 1030
U1 Z1I (6.16 j9) 22V 10.9 55.6 22V
239.8 55.6V 同理：U2 Z2I (2.5 j4) 22V 103.6 58V
或利用分压公式：
+
I
+
U 1
Z1 Z1 Z2
U
6.16 j9 220 8.66 j5
30V
U
Z1 -U1 239.8 55.6V
交流电路、U I与参数R、L、C、 间的关系如何？
4.4 RLC串联的交流电路
一、 电流、电压的关系
i
1、 瞬时值表达式
6-5 R、L、C的相量模型
§6-5 R 、L 、C 的相量模型在正弦稳态电路中，三种基本电路元件R 、L 、C 的电压、电流之间的关系都是同频率正弦电压、电流之间的关系，所涉及的有关运算都可以用相量进行，因此这些关系的时域形式都可以转换为相量形式。
一． 正弦交流电路中的电阻元件1. 电阻元件伏安关系在电压和电流的参考方向关联时，电阻R 的伏安关系的时域形式R R ()()u t R i t =⋅当正弦电流i R ＝2I R cos(ωt +ψi )通过电阻R 时， 则 R Rm i u ()cos()cos()Rm u t RI t U t ωψωψ=+=+Rm Rm R R U RI U RI =⎫⎬=⎭电压、电流的最大值(有效值)之间符合欧姆定律；u i u i 0ψψϕψψ=⎫⎬=-=⎭R u 与R i 同相令：R R R iRR R R u R i ()()i t I I u t U U RI R I ψψψ⇒=∠⇒=∠=∠=则在电压和电流关联参考方向下电阻的伏安关系的相量形式为R R U R I = Rm Rm U R I =线性电阻的相量电路、相量图如下。
u R (t )R UR IR I 与R U 共线2. 功率：①瞬时功率：由于瞬时功率p 是由同一时刻的电压与电流的乘积来确定的，因此当流过电阻R 的电流为i R (t )＝I R m cos(ωt +Ψi )时，电阻所吸收的瞬时功率为R R R Rm u Rm i 2R R i R R R R i ()()()cos()cos() 2cos ()cos(2)0p t u t i t U t I t U I t U I U I t ωψωψωψωψ==++=+=++≥常量 两倍于原频率的正弦量可以看出，电阻吸收的功率是随时间变化的，但p R 始终大于或等于零，表明了电阻的耗能特性。
上式还表明了电阻元件的瞬时功率包含一个常数项和一个两倍于原电流频率的正弦项，即电流或电压变化一个循环时，功率变化了两个循环。
R、L、C元件的功率和能量讲解
1 .电阻元件的功率设正弦稳态电路中，在关联参考方向下，瞬时功率为p R(t)=u(t)I(t)设流过电阻元件的电流为I R (t)=I m sinωt A其电阻两端电压为 u R(t)=I m R sinωt =U m sinωt V则瞬时功率为p R(t)= u(t) i(t)=2U R I R sin2ωt =U R I R（1-cos2ωt）W由于cos2ωt≤1,故此p R（t）=U R I R（1-cos2ωt）≥0其瞬时功率的波形图如图所示由图可见，电阻元件的瞬时功率是以两倍于电压的频率变化的，而且p R（t）≥0，说明电阻元件是耗能元件。
电阻的平均功率可见对于电阻元件，平均功率的计算公式与直流电路相似。
2. 电感元件的功率在关联参考方向下，设流过电感元件的电流为i L(t)=√2I L sinωt A则电感电压为：上式表明，电感元件的瞬时功率也是以两倍于电压的频率变化的；且p L(t)的值可正可负。
其波形图如图所示。
从图上看出，当u L(t)、i L(t)都为正值时或都为负值时，p L(t)为正，说明此时电感吸收电能并转化为磁场能量储存起来；反之，当p L(t)为负时，电感元件向外释放能量。
p L(t)的值正负交替，说明电感元件与外电路不断地进行着能量的交换。
电感消耗的平均功率为：电感消耗的平均功率为零，说明电感元件不消耗功率，只是与外界交换能量。
3．电容元件的功率在电压、电流为关联参考方向下，设流过电容元件的电流为: i c (t)=√2I c sinωt A则电容电压为：其瞬时功率为：u c (t)、I c(t)、p c(t)的波形如图所示。
从图上看出，p c(t)、与p L(t)波形图相似，电容元件只与外界交换能量而不消耗能量。
电容的平均功率也为零，即：电感元件以磁场能量与外界进行能量交换，电容元件是以电场能量与外界进行能量交换。
二端电路的功率1.有功功率（也叫平均功率）和功率因素式中称为二端电路的功率因素，功率因素的值取决于电压与电流之间的相位差，也叫功率因素角。
R、L、C串并联电路 2
U
S
S
U R U S cos UC US sin
Z
XC UC Q
R
U R P
Z R2 (XC )2
R Z cos
S USI P2 Q2 P S cos
XC Z sin
Q S sin
例1： 在RC串联交流电路中，
已知: R 2KΩ, C 0.1μ F
输入电压 U1 1V, f 500Hz
IR jX L XC
+
i +
根据 U IR j X L XC
R u_ R
u
L
+
u_ L
+
_ C u_ C
Z R j X L XC ——复阻抗
则 U IZ
（相量形式欧姆定律）
Z
U I
U u I i
Z
U I
u
i
Z 的模表示 u、i 的大小关系，辐角（阻抗角）为 u、i 的相位差。
90 90 （ 66.8） 23.2
输出电压滞后于输入电压23.3°。
练习：计算图中所示超前电路的输出电压和 超前相位。
5.2 RL串联电路
根据基尔霍夫电压定律，电源电压必须等于电阻
电压与电感电压的相量和
.
.
.
.
.
（R jX l）I Z I
比
U
超前
1
11.3
U1
从本例中可了解两个实际问题：
1)串联电容C可起到隔直通交的作用（只要选择合适
的C，使
XC R
2）RC串联电路也是一种移相电路，改变C、R或 f
都可达到移相的目的。
例2 有一RC串联电路， R=1kΩ，C=0.0047μF，电源 电压US=15V，f=10kHz，求电路的功率因素和有功 功率。
RLC串联电路电压与电流的关系电路中的功率
u
i
+
UI
+
_
_
p
网络精品课程
三个三角形的关系
阻抗三角形 电压三角形 功率三角形
+
+
R-
+
S
L
-
C+
Q-
-
网络精品课程
R P
正误判断
在R-L-C串联电路中
？
因为交流物理量除有效值外还有相位。
网络精品课程
+
+
R-
+
L
C+
-
-
正误判断
？
网络精品课程
反映的是正弦电压或电流， 而复数阻抗只是一个运算符号。Z 不能加 “•”
单位：伏安、量发电机可能提供的最大 功率（额定电压×额定电流）
5. 功率三角形：
有功功率
S Q
无功功率 视在功率
P
（有助记忆）
6. R、L、C 串联电路中的瞬时功率波形
设 u 领先 i （感性电路）
p=ui=UmImsinωtsin(ωt + φ)
=UIcosφ - UI cos(2ωt + φ)
网络精品课程
正弦交流电路
电阻电感与电容串联的 交流电路(二）
主讲 ：蔡承才
前面我们学习了单一参数的交流电路分析、本 节我们将RLC串联交流电路的分析，主要包含以 下内容：
RLC串联电路电压与电流的关系 电路中的功率
网络精品课程
一、RLC串联电路中的功率计算
1. 瞬时功率
2. 平均功率 P （有功功率）
正误判断 在Ｒ－Ｌ－Ｃ正弦交流电路中
？
？
正弦交流电路中的R、L、C特性
电阻在正弦交流电路中的作用
总结词
电阻在正弦交流电路中主要起到限流和分压的作用，控制电流和电压的幅度和 相位。
详细描述
在正弦交流电路中，电阻可以限制电流的幅度，调节电压的大小和相位。通过 改变电阻值，可以实现对电路中电流和电压的精确控制。
电阻的阻抗特性
总结词
在正弦交流电路中，电阻的阻抗表现为实部为电阻值，虚部 为0的复阻抗。
振荡频率
振荡器的频率由r、l、c元件的参数决定，通过调 整元件参数可以改变振荡频率，从而实现频率调 谐。
振荡器应用
振荡器在信号源、频率合成和无线通信等领域有 广泛应用，用于产生特定频率的正弦波信号。
调谐电路设计
调谐电路类型
01
调谐电路是能够调整自身频率以匹配输入信号频率的电路，常
见的调谐电路有调频电路和调相电路等。
耦合
电容可以将不同电路部分 之间的信号耦合起来，实 现信号传递。
电容的容抗特性
容抗是指电容对交流电的阻碍 作用，与频率和电容值成反比。
在正弦交流电路中，容抗表现 为一个滞后于电流90度的电压 分量，即相位角为-90度。
容抗的计算公式为：Xc = 1/2πfC，其中f为交流电频率， C为电容值。
04
电感的感抗特性
总结词
电感的感抗是表示电感对交流电流阻碍作用的物理量，其大小与电感的匝数、电流的频率和线圈的几 何尺寸有关。
详细描述
在正弦交流电路中，电感的感抗大小与电流的频率和线圈的匝数成正比，与线圈的几何尺寸成反比。 感抗的单位是欧姆，表示电感对交流电流的阻碍作用。在交流电路中，电感的感抗与电阻具有相同的 单位，但作用相反。
调谐原理
02
调谐电路通过改变r、l、c元件的参数来实现频率调整，使电路
RLC串联
U U R U L UC
P S cos Q S sin
Q QL QC (U L U C ) I UI sin
S UI P Q
2
2
P cos S
电路 名称
电 流 与 电 压 的 关 系
纯电阻交流 纯电感交流 纯电容交流 RLC串联交 纯R、L、C电路与RLC电路比较 电路
U总 U R U L U C
随堂练习 在R-L-C串联电路中，已知电阻R = 40 ，电感L = 191 mH，
电容C=106 F，外加频率为f = 50 Hz、U = 200 V的交流电 压源，试求：
(1) 电路中的电流I； (2) 各元件电压UR、UL、UC；(3) 总电 压与电流的相位差 解（1）先求XL、XC、
在RLC串联电路中，只有电阻是消耗功率的 RLC串联电路中的有功功率即R上消耗的功率
P U R I UI cos
3、无功功率
由于电感和电容两端的电压在任何时刻都是反相的，
二者的瞬时功率符号也相反。 当电感吸收能量时，电容放出能量； 当电容吸收能量时，电感放出能量； 电路的无功功率为电感和电容上的无功功率之差。
p u i p R p L pC
2. 平均功率 P （有功功率）
I
+ R
L C +
UR UL
1 T U P pdt T 0 1 T ( p R p L pC ) dt T 0 2 PR U R I I R
+ +
UC -
2、有功功率
P cos S
Q S sin
R、L、C串联的正弦交流电路
教学过程教学内容组织教学教学内容教学过程教学过程教学过程教学过程课后作业了解学生情况，检查学生书本等。
三、R-L-C元件的特性特性名称电阻R 电感L 电容C⑴阻抗特性①阻抗电阻R 感抗XL = L 容抗XC = 1/(C)②直流特性呈现一定的阻碍作用通直流(相当于短路)隔直流(相当于开路)③交流特性呈现一定的阻碍作用通低频，阻高频通高频，阻低频⑵伏安关系①大小关系UR = RIR UL = XLIL UC = XCIC②相位关系(电压与电流相位差)ui = 0 ui = 90 ui = 90⑶ 功率情况耗能元件，存在有功功率PR = URIR (W)储能元件(PL =0)，存在无功功率QL=ULIL (Var)储能元件(PC = 0)，存在无功功率QC=UCIC (Var)ξ3.4 R、L、C串联的正弦交流电路一、R-L-C串联电路的电压关系由电阻、电感、电容相串联构成的电路叫做R-L-C串联电路。
图R-L-C串联电路设电路中电流为i = Imsin( t)，则根据R、L、C的基本特性可得各元件的两端电压：uR =RImsin( t)，uL=XLImsin( t 90)，uC =XCImsin( t 90)根据基尔霍夫电压定律(KVL)，在任一时刻总电压u的瞬时值为u = uR uL uC作出相量图，如图8-5所示，并得到各电压之间的大小关系为上式又称为电压三角形关系式。
图 R-L-C串联电路的相量图教学内容教学内容二、R-L-C串联电路的阻抗由于UR = RI，UL = XLI，UC = XCI，可得令图 R-L-C串联电路的阻抗三角形上式称为阻抗三角形关系式，|Z|叫做R-L-C串联电路的阻抗，其中X = XL XC 叫做电抗。
阻抗和电抗的单位均是欧姆()。
阻抗三角形的关系如图所示。
由相量图可以看出总电压与电流的相位差为上式中叫做阻抗角。
三、电流与电压的关系1．电流与电压的大小关系电流与电压的大小关系为2．电流与电压的相位关系四、R-L-C串联电路的性质根据总电压与电流的相位差(即阻抗角 )为正、为负、为零三种情况，将电路分为三种性质。
正弦交流电路中的R、L、C特性
i
u
L
设
则
i
2 I sin t
di uL 2 I L cost dt 2 I L sin(t 90 ) 2 U sin(t 90 )
电感电路中电流、电压的关系
设：
i 2I sin t
u 2 I L sin( t 90 )
2 U sin( t 90 )
du iC dt
U
di uL dt
电路参数
C
基本关系
1 复阻抗 jX C j C
2. 单一参数电路中复数形式的欧姆定律
、I 表示， 在正弦交流电路中，若正弦量用相量 U
电路参数用复数阻抗（ R R、L jX L、C jX C ) 表示，则直流电路中介绍的基本定律、公式、分析方 法都能用。
u
u
1 T 1 T P p dt u i dt T 0 T 0 1 T 2 P U I 大写 2 UI sin t dt T 0 1 T UI (1 cos2 t )dt UI T 0
3-4.2 电感元件的交流电路
基本关系式：
di uL dt
储存 能量 释放 能量
t
2. 平均功率 P （有功功率）
p i u UI sin 2t
1 T P p dt T 0 1 T U I sin (2t ) dt 0 T 0
结论：纯电感不消耗能量，只和电源进行能量 交换（能量的吞吐）。
3. 无功功率 Q
Q 的定义：电感瞬时功率所能达到的最大值。用 以衡量电感电路中能量交换的规模。
直流
电容电路中的功率
1. 瞬时功率 p
电路分析基础(邱关源 罗先觉 著) 第九章 电路 第五版 (邱关源 罗先觉 著) 高等教育出版社概要
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9.3 正弦稳态电路的分析
电阻电路与正弦电流电路的分析比较：
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结论
1. 引入相量法，电阻电路和正弦电流电路依据 的电路定律是相似的。 2. 引入电路的相量模型，把列写时域微分方 程转为直接列写相量形式的代数方程。 3.引入阻抗以后，可将电阻电路中讨论的所有 网络定理和分析方法都推广应用于正弦稳态 的相量分析中。
第9章 正弦稳态电路的分析
本章内容
9.1 9.3 9.4 9.5 9.6 阻抗和导纳
正弦稳态电路的分析
正弦稳态电路的功率 复功率 最大功率传输
首页
重点： 1. 阻抗和导纳； 2. 正弦稳态电路的分析； 3. 正弦稳态电路的功率分析；
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9.1 阻抗和导纳
1. 阻抗
+ def
正弦稳态情况下
无源 线性 网络
P 并联电容后，电源向负载输送的有功UIL cos1=UI cos2不变，但是电源向负载输送的无功 UIsin2<UILsin1减少了，减少的这部分无功由电 容“产生”来补偿，使感性负载吸收的无功不变， 而功率因数得到改善。
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例 已知：f=50Hz, U=220V, P=10kW, cos1=0.6，要
- + -
KVL：
U 1 Z R jL j R jX Z z I C
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Z — 复阻抗；|Z| —复阻抗的模；z —阻抗角； R — 电阻(阻抗的实部)；X—电抗(阻抗的虚部)。 转换关系：
或
R=|Z|cosz X=|Z|sinz
的大小反映网络与外电路交换功率的速率。 是由储能元件L、C的性质决定的
交流电路-功率详解
Q UI sin
arctan
Q P
R-L-C正弦交流电路中的功率
已知电阻R=30Ω，电感L=328mH，电容C=40µ F，串联后接到 电压
u 220 2 sin(314t 300 )V 的电源上。求电路的P、Q和S。
解：电压相量
220300 V U
P cos UI
功率因数，取决于电路阻抗角。
90，为纯电容或纯电感； 0 ，为纯电阻。
R-L-C正弦交流电路中的功率
3）无功功率（即电容或电感与电源之间交换的功率）
p ui U m sin(t )I m sin t UI cos (1 cos2t ) UI sin sin 2t
PL 0
3）无功功率 为了表示能量交换的规 模大小，将电感瞬时功率的 最大值定义为电感的无功功 率，用QL表示。
QL UI I 2 X L U2 XL
QL的基本单位是乏（var）。
单一参数电路的功率-电容
电容上的电压与电流相位差 90度，相乘后，一部分时间吸收 功率，一部分时间放出功率，平 均功率为零。 1）瞬时功率
单一参数电路的功率-电感
电感上的电压与电流相位差 90度，相乘后，一部分时间吸收 功率，一部分时间放出功率，平 均功率为零。 1）瞬时功率
p pL ui U m sin(t 90) I m sin t 1 U m I m sin 2t UI sin 2t 2
单一参数电路的功率-电感
1）瞬时功率
i I m sin t
u U m sin(t ) p ui U m sin(t )I m sin t UI cos (1 cos2t ) UI sin sin 2t
电路复习——总复习——公式总结——邱关源《电路》第五版
第4章 电路定理
叠加定理：
在线性电路中，任一支路电流(或电压)都是电路中各 个独立电源单独作用时，在该支路产生的电流(或电压) 的代数和。 注意： 1. 叠加定理只适用于线性电路。 2. 一个电源作用，其余电源为零 电压源为零—短路。 电流源为零—开路。 3. 功率不能叠加(功率为电源的二次函数)。 4. u, i叠加时要注意各分量的方向。 5. 含受控源(线性)电路亦可用叠加，但叠加只适用于 独立源，受控源应始终保留。
等效
线性电阻 线性受控源
＋ 电阻Ri
电压源的电压=外电路断开时端口处的开路电压 电阻=一端口中全部独立电源置零后的端口等效电阻 i a i u b Ri + Uoc a u b
17
A
诺顿定理
独立电源 任何一个线性含有 （一端口网络） 线性电阻 线性受控源 电流源电流=一端口的短路电流 电导(电阻)=一端口的全部独立电源置0后的输入电导(电阻) a a A b Isc Gi(Ri) b 等效 电流源(Isc) // 电导Gi（电阻Ri）
23
第7章
一阶电路的时域分析
一阶电路：含有一个动态元件的电路 换路定则：电容电压uc 和电感电流 iL ，在换 路前后瞬间不跃变。 即： uc（0+）= uc（0-） uC(0-) iL （0+）= iL（0-） t = 0+，动作之后 t = 0- ，动作之前
24
利用环路定理求初始值步骤
(1 )根据换路前的电路（一般为稳定状态），确定 uC(0-) 和 iL(0-)。 (2) 由换路定则确定 uC(0+) 和 iL(0+)。 (3) 画t=0+时等值电路。
= I 0e
−
t RC
正弦稳态功率和能量
U I cos 0 电容 C： = －/2 ，P
5
例：电路如图，已知 U＝100V，求 该单口网络吸 收的总功率P及PR1、 PR2 。
+ U
I
-j5Ω
R1 10Ω j30Ω
解：
R2 15Ω
Z (10 15) j(30 5) 25 2 45o ()
Q U I sin
Q 的单位：无功伏安，简称为：乏 (var)、千乏(kvar) 当
0
（感性电路）， （容性电路），
Q 0;
Q 0.
当 0
11
R、L、C 元件的无功功率
电阻 R： = 0，
QR U I sin 0
电感 L： = /2 ，
QL U I sin U I
3
9-2 平均功率
u 2 U cos(t )
i 2 I cost
+ u -
i N
平均功率指瞬时功率在一周期内的平均值，又称为 有功功率，简称为功率。
1 P T
1 T 0 p (t )dt T 0 [UI cos UI cos( 2t )]dt 可求得 P U I cos U I
1 2 wL Li (t ) 2
2 随 i (t ) 波动，贮能时而增长，时而减少。wL
0
平均能量 瞬时功率
WLav
1 T
T
0
1 1 wL dt L[ 2 T
T
0
1 2 i dt ] LI 2
2
wL , p 0; wL , p 0 。
p周期性变动，正、负抵消，平均功率=0。
1
单口网络的瞬时功率
正弦交流电路中的R、L、C特性
u
I
i
UC
90
t
U
U
u 2U sin t
i 2U C sin(t 90)
I
3. 有效值
I U C
或
U 1 I
C
定义：
XC
1
C
容抗（Ω）
则： U I X C
4. 相量关系
u 2U sin t
i 2U C sin(t 90)
设： U U0
I I90 U C90
则：
UI
1
C
90
T
p dt
T0
1
T
U I sin (2t) dt 0
T0
结论：纯电感不消耗能量，只和电源进行能量 交换（能量的吞吐）。
3. 无功功率 Q
Q 的定义：电感瞬时功率所能达到的最大值。用 以衡量电感电路中能量交换的规模。
p i u UI sin 2t
Q U I I2XL U2 XL
Q 的单位：乏、千乏 (var、kvar)
则： U I X L
4. 相量关系
i 2I sin t
u 2 U sin( t 90 )
设： I I0
U U90 I L90
则：UI
U I
90
L90
U
I
U I L e j90 I ( jX L )
电感电路中欧姆定律的相量形式
U I j X L
U U领先！
其中含有幅度和相位信息
I
？
正误判断
在 R-L-C 串联电路中，假设 I I0
？ U
U
2 R
U
2 L
U C2
U I R2 XL XC 2 ？
正弦交流电路的功率因素
2
) sint
上式表明， 电感元件的 瞬时功率也 是以两倍于 电压的频率 变化的；且 pL(t)的值可正 可负，其波 形图如图 6-11 所示。
图6-11 电感元件的瞬时功率
从图上看出，当uL(t)、iL(t)都为正值时或都为 负值时，pL(t)为正，说明此时电感吸收电能并转 化为磁场能量储存起来；反之，当pL(t) 为负时， 电感元件向外释放能量。 pL(t) 的值正负交替， 说明电感元件与外电路不断地进行着能量的交 换。
图 6-13
UI [cos cos( 2 t )] u u
p ( t ) u ( t ) i ( t ) 2 U sin( t ) 2 Isin t u
UI cos UI cos( 2 t ) u u
上式表明，二端电路的瞬时功率由两部分组成， 第一项为常量，第二项是两倍于电压角频率而变 化的正弦量。瞬时功率如图6-14所示。
3. 感性负载提高功率因数的原理可用图说明。
并联电容 分析:
I
I C
+
U _
R L I L1Fra bibliotek2 I
I L
I C
U
C
再从功率这个角度来看 :
有功：UIL cos1 =UI cos2 并C后
无功：UILsin1 > UIsin2
4.有功，无功，视在功率的关系：
1．功率因数的意义
功率因数是电力系统很重要的经济指标。 它关系到电源设 备能否充分利用。 为提高电源设备的利用率， 减小线路压降及 功率损耗， 应设法提高功率因数。
2．提高功率因数的方法
提高感性负载功率因数的常用方法之一是在其两端并联电容 器。 感性负载并联电容器后， 它们之间相互补偿， 进行一部分 能量交换， 减少了电源和负载间的能量交换.
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1 .电阻元件的功率
设正弦稳态电路中，在关联参考方向下，瞬时功率为p R(t)=
u(t)I(t)
设流过电阻元件的电流为I R (t)=I m sinωt A
其电阻两端电压为 u R(t)=I m R sinωt =U m sinωt V
则瞬时功率为p R(t)= u(t) i(t)=2U R I R sin2ωt =U R I R（1-cos2ωt）W
由于cos2ωt≤1,故此p R（t）=U R I R（1-cos2ωt）≥0
其瞬时功率的波形图如图所示
由图可见，电阻元件的瞬时功率是以两倍
于电压的频率变化的，而且p R（t）≥0，
说明电阻元件是耗能元件。
电阻的平均功率
可见对于电阻元件，平均功率的计算公式与
直流电路相似。
2. 电感元件的功率
在关联参考方向下，设流过电感元件的电流为i L(t)=√2I L sinωt A
则电感电压为：
上式表明，电感元件的瞬时功率也是以两倍于电压的频率变化的；且p L(t)的值可正可负。
其波形图如图所示。
从图上看出，当u L(t)、i L(t)
都为正值时或都为负值时，
p L(t)为正，说明此时电感吸收
电能并转化为磁场能量储存起
来；反之，当p L(t)为负时，
电感元件向外释放能量。
p L(t)的值正负交替，说明电
感元件与外电路不断地进行着
能量的交换。
电感消耗的平均功率为：
电感消耗的平均功率为零，说
明电感元件不消耗功率，只是
与外界交换能量。
3．电容元件的功率
在电压、电流为关联参考方向下，设流过电容元件的电流为: i c (t)=
√2I c sinωt A
则电容电压为：
其瞬时功率为：
u c (t)、I c(t)、p c(t)的波形如图所示。
从图上看出，p c(t)、与p L(t)波形图相似，电容元件只与外界交换能量而不消耗能量。
电容的平均功率也为零，即：
电感元件以磁场能量与外界进行能量交换，电容元件是以电场能量与外界进行能量交换。
二端电路的功率
1.有功功率（也叫平均功率）和功率因素
式中
称为二端电路的功率因素，功率因素的值取决于电压与电
流之间的相位差
，
也叫功率因素角。
2.无功功率、视在功率和复功率 无功功率用Q 表示，定义
通常将二端电路电压和电流有效值的乘积称为视在功率，用S 表示，即S=UI
P 、Q 、S 之间存在如下关系：
工程上为了计算方便，把有功功率作为实部，无功功率作为虚部，组成复数，称为复功率，用
表示复功率，即=P+jQ
3.正弦稳态电路的最大功率传输
如图所示，交流电源的电压为 ，其内阻抗
为Z s =R s +jx s ，负载阻抗Z L =R L +jX L ,电路中电流
为：
电流有效值为：
负载吸收的功率为：
要求出P L的最大值为此需求出P L对R L的导数，并使之为零，即：
由上式得到：（R S+R L)2-2R L(R S+R L）=0 解得：R L=R S
负载获取最大功率的条件为：
上式表明，当负载阻抗等于电源内阻抗的共轭复数时，负载能获得最大功率，称为最大功率匹配或共轭匹配。
此时最大功率为：
三相电路
1 三相电路的基本概念
三相交流电源是三个单相交流电源按一定方式进行的组合，且单相交流电源的频率相等，幅值（最大值）相等，相位彼此相差120°。
设第一相初相为0°，第二相为-120°，第三相为120°，所以瞬时电动势为：e1=E m sinωt e2=E m sin（ωt-120°） e3=E m sin（ωt+120°）这样的电动势叫对称三相电动势。
其相量图和波形图见下图。
对称三相电动势相量和为零，即： =0 由波形图可知，三相电动势对称时任一瞬间的代数和为零，即：e1+e2+e3=0
2.三相电源的连接
将三相电源按一定方式连接之后，再向负载供电，通常采用星形连接方式，如图所示。
低压配电系统中，采用三根
相线和一根中线输电，称为
三相四线制；高压输电工程
中，由三根相线组成输电，
称为三相三线制。
每相绕组
始端与末端之间的电压，也
就是相线和中线之间的电
压，叫相电压，其瞬时值用
u1、u2、u3表示，通用u p表
示。
任意两相线与相线之间
的电压，叫线电压，瞬时值
用u12、u23、u31表示，通用
u l表示。
由于u12=u1-u2，
u23=u2-u3，u31=u3-u1作出线电
压和相电压的相量图，
如图所示。
由于构成
等腰三角形，
所以
同理一般写为
作星形连接时，三
个相电压和三个线电压均为三相
对称电压，各线电压的有效值为相
电压有效值的倍，且线电压相
位比对应的相电压超前30°。
3 三相负载的星形连接
三相电路负载有星形连接和三角形连接两种方式。
负载的星形连接
如图所示是三相负载作星形莲接时的电路图。
显然，在负载星形连接时，线电流等于相电流，即
相负载对称，即 Z1=Z2=Z3=Z p，因各相电压对称，所以各相电流相等，即：I1=I2=I3=I YP=同时，三个相电流的相位差互为120°，
满足由基尔霍夫电流定律知
iN=i1+i2+i3略去电线上的电压降，则各相负载的相电压就等于电源的相电压，这样，电源的线电压为负载相电压的倍，即：
U YP为星形联接负载相电压。
三相电路中，流过每根相线的电流叫线电流，即I1、I2、I3，用表示，方向规定为由电源流向负载；而流过负载的电流叫相电流，用
I YP表示，其方向与相电压方向一致；流过中线的电流叫中线电流，用I N表示，其方向规定由负载中点N/流向电源中点N。
这样，对称的三相负载作星形联接时，中线电流为零。
这时，可以省略中线而成为三相三线制，并不影响电路工作。
如果三相负载不对称，各相电流大小就不相等，相位差也不一定是120°，中线电流不为零，此时就
不能省去中线。
否则会影响电路正常工作，甚至造成事故。
所以三相四线制中除尽量使负载平衡运行之外，中线上不准安装熔丝和开关。
负载的三角形连接
如图所示，将三相负载分别接在三相电源的两根相线之间，称为三相负载的三角形连接。
不论负载对称与否，各相负载承受的电压均为对称的电源线电压。
对于对称三相负载，相电压等于线电压，即相电
流同时，各相电压与各相电流的相位差也相同。
即三相电流的相位差也互为120°。
各相电流的方向与该相的电压方向一致。
由KCL知i1=i12-i31i2=i23-i12i3=i31-i23 作出线电流和相电流的相量，如图所示。
从图中看出：各线电流在相
位上比各相电流滞后30°。
由于相电流对称，所以线电
流也对称，各线电流之间相
差120°。
可以看出
I l=2I12cos30=
所以
这些说明：对称三相负载
呈三角形连接时，线电流的
有效值为相电流有效值的
倍，线电流在相位上滞后
于相电流30°。
三相电路的功率
三相电路的功率等于各相负载吸收功率的总
P=P1+P2+P3
和：
Q=Q1+Q2+Q3
S=S1+S2+S3
当三相负载对称时，各相功率相等，总功率为一相即
功率的三倍。
通常，相电压和相电流不易测量，计算三相电路的功率时，是通过线电压和线电流来计算。
不论负载作星形连接还是三角形连接，总的有功功率、无功功率和视在功率，计算三相负载总功率的公式是相同的，即：。