R、L、C元件的功率和能量

1 .电阻元件的功率

设正弦稳态电路中，在关联参考方向下，瞬时功率为p R(t)=

u(t)I(t)

设流过电阻元件的电流为I R (t)=I m sinωt A

其电阻两端电压为 u R(t)=I m R sinωt =U m sinωt V

则瞬时功率为p R(t)= u(t) i(t)=2U R I R sin2ωt =U R I R（1-cos2ωt）W

由于cos2ωt≤1,故此p R（t）=U R I R（1-cos2ωt）≥0

其瞬时功率的波形图如图所示

由图可见，电阻元件的瞬时功率是以两倍

于电压的频率变化的，而且p R（t）≥0，

说明电阻元件是耗能元件。

电阻的平均功率

可见对于电阻元件，平均功率的计算公式与

直流电路相似。

2. 电感元件的功率

在关联参考方向下，设流过电感元件的电流为i L(t)=√2I L sinωt A

则电感电压为：

上式表明，电感元件的瞬时功率也是以两倍于电压的频率变化的；且p L(t)的值可正可负。其波形图如图所示。

从图上看出，当u L(t)、i L(t)

都为正值时或都为负值时，

p L(t)为正，说明此时电感吸收

电能并转化为磁场能量储存起

来；反之，当p L(t)为负时，

电感元件向外释放能量。

p L(t)的值正负交替，说明电

感元件与外电路不断地进行着

能量的交换。

电感消耗的平均功率为：

电感消耗的平均功率为零，说

明电感元件不消耗功率，只是

与外界交换能量。

3．电容元件的功率

在电压、电流为关联参考方向下，设流过电容元件的电流为: i c (t)=

√2I c sinωt A

则电容电压为：

其瞬时功率为：

u c (t)、I c(t)、p c(t)的波形如图所示。

从图上看出，p c(t)、与p L(t)波形图相似，电容元件只与外界交换能量而不消耗能量。

电容的平均功率也为零，即：

电感元件以磁场能量与外界进行能量交换，电容元件是以电场能量与外界进行能量交换。

二端电路的功率

1.有功功率（也叫平均功率）和功率因素

式中

称为二端电路的功率因素，功率因素的值取决于电压与电

流之间的相位差

，

也叫功率因素角。

2.无功功率、视在功率和复功率 无功功率用Q 表示，定义

通常将二端电路电压和电流有效值的乘积称为视在功率，用S 表示，即S=UI

P 、Q 、S 之间存在如下关系：

工程上为了计算方便，把有功功率作为实部，无功功率作为虚部，组成复数，称为复功率，用

表示复功率，即=P+jQ

3.正弦稳态电路的最大功率传输

如图所示，交流电源的电压为 ，其内阻抗

为Z s =R s +jx s ，负载阻抗Z L =R L +jX L ,电路中电流

为：

电流有效值为：

负载吸收的功率为：

要求出P L的最大值为此需求出P L对R L的导数，并使之为零，即：

由上式得到：（R S+R L)2-2R L(R S+R L）=0 解得：R L=R S

负载获取最大功率的条件为：

上式表明，当负载阻抗等于电源内阻抗的共轭复数时，负载能获得最大功率，称为最大功率匹配或共轭匹配。此时最大功率为：

三相电路

1 三相电路的基本概念

三相交流电源是三个单相交流电源按一定方式进行的组合，且单相交流电源的频率相等，幅值（最大值）相等，相位彼此相差120°。设第一相初相为0°，第二相为-120°，第三相为120°，所以瞬时电动势为：e1=E m sinωt e2=E m sin（ωt-120°） e3=E m sin（ωt+120°）这样的电动势叫对称三相电动势。

其相量图和波形图见下图。

对称三相电动势相量和为零，即： =0 由波形图可知，三相电动势对称时任一瞬间的代数和为零，即：e1+e2+e3=0

2.三相电源的连接

将三相电源按一定方式连接之后，再向负载供电，通常采用星形连接方式，如图所示。

低压配电系统中，采用三根

相线和一根中线输电，称为

三相四线制；高压输电工程

中，由三根相线组成输电，

称为三相三线制。每相绕组

始端与末端之间的电压，也

就是相线和中线之间的电

压，叫相电压，其瞬时值用

u1、u2、u3表示，通用u p表

示。任意两相线与相线之间

的电压，叫线电压，瞬时值

用u12、u23、u31表示，通用

u l表示。由于u12=u1-u2，

u23=u2-u3，u31=u3-u1作出线电

压和相电压的相量图，

如图所示。由于构成

等腰三角形，

所以

同理一般写为

作星形连接时，三

个相电压和三个线电压均为三相

对称电压，各线电压的有效值为相

电压有效值的倍，且线电压相

位比对应的相电压超前30°。

3 三相负载的星形连接

三相电路负载有星形连接和三角形连接两种方式。

负载的星形连接

如图所示是三相负载作星形莲接时的电路图。

显然，在负载星形连接时，线电流等于相电流，即

相负载对称，即 Z1=Z2=Z3=Z p，因各相电压对称，所以各相电流相等，即：I1=I2=I3=I YP=同时，三个相电流的相位差互为120°，

满足由基尔霍夫电流定律知

iN=i1+i2+i3略去电线上的电压降，则各相负载的相电压就等于电源的相电压，这样，电源的线电压为负载相电压的倍，即：

U YP为星形联接负载相电压。

三相电路中，流过每根相线的电流叫线电流，即I1、I2、I3，用表示，方向规定为由电源流向负载；而流过负载的电流叫相电流，用

I YP表示，其方向与相电压方向一致；流过中线的电流叫中线电流，用I N表示，其方向规定由负载中点N/流向电源中点N。这样，对称的三相负载作星形联接时，中线电流为零。这时，可以省略中线而成为三相三线制，并不影响电路工作。如果三相负载不对称，各相电流大小就不相等，相位差也不一定是120°，中线电流不为零，此时就