第一章绪论2阶跃信号冲激信号

信号与系统 第一章 绪论
例题：根据下列信号的波形写出信号的表达式
f1 (t ) E
0
T T
f2 (t) E
t 0 T T 2T
t
f3 (t) E
0 T 2T 3T t
f1 (t )
T
(t
T
)[u(t
T)
u(t
T
)]
f2 (t) E[u(t nT ) u(t nT )] n0
f3
(t)
0
t0
)dt (当t
1
t0
)
(3)抽样特性的定义
(t) f (t)dt f (0)
(t t0 ) f (t)dt f (t0 )
f(t)为处处有界函数且在冲激点出连续 这种定义方式是以分配函数理论为基础
2.冲激信号、阶跃信号和斜变信号之间的关系
R(t)
R(t)
u(t)
t dR(t) t u( )d
(1)单位斜变信号 通常用R(t)表示，表达式和波形图：
R(t )
0 t 0 R(t) t t 0
1
01
t
信号与系统 第一章 绪论
延迟的单位斜变信号：
数学表达式
0 R(t t0 ) t t0
t t0 t t0
波形图
R(t t0 ) 1
0 t0 t0 1
t
(2)截平的斜变信号
在时间以后斜变波形被切平，表达式和 时域波形如下所示：
f1(t)
k
R(t)
t
f1 (t ) k
k t
0
t
(3)三角形脉冲信号
f2 (t)
k
R(t )
t
0 t
f2 (t) k
0
t
信号与系统 第一章 绪论
二、单位阶跃信号
(1)单位阶跃信号
单位阶跃信号通常用u(t)来表示，其定义式如下：
u(t)
0 1
u(t)
1
t0 t 0
在跳变点t＝0处，函数未定义 或规定为：u(0)=0.5
et
1
f (t)
1
t
t
0
0
t0
信号与系统 第一章 绪论
(4)符号函数
定义：sgn(
t
)
1 1
波形如图所示：
(t 0) (t 0)
可用阶跃信号表示为：
sgn( t) 2u(t) 1
信号与系统 第一章 绪论
sgn(t) 1
0
t
-1
例题：作出下列信号的波形
f1(t) t u(t) f2 (t) t u(t 1) f3(t) (t 1) u(t 1) f4 (t) t [u(t) u(t 2)]
0
t
2
2
冲激信号可以看作图示矩形脉冲在τ→0时的极限
(t)
lim
0
1
u(t
2
)
u(t
2
)
信号与系统 第一章 绪论
S 1
0
冲激信号用符号表示：δ(t) 它的冲激强度表示矩形脉冲的面 积，可在图形中用括号标出。
1
t
δ(t)
(1)
0
t
b.其他极限定义方式：
三角形脉冲演变为冲激函数
一组底宽为２，高为1/的三角形脉冲，若保持其面 积＝１不变，而使趋近于零时，幅度1/必趋于无穷 大，此极限情况即为单位冲激函数。
f (t) 1
Hale Waihona Puke Baidu
(t)
lim
0
1
1
(1
t
)[u(t
)
u(t
2
)]
0
t
信号与系统 第一章 绪论
双边指数脉冲演变为冲激函数 钟形脉冲演变为冲激函数
(t)
lim
0
1
2
t
e
f (t) 1 2
(t
)
lim
0
1
e
(t
)2
f (t) 1
0
t
0
t
Sa(t)信号（抽样信号）演变为冲激函数
(t)
E T
tu(t)
E
n1
u(t
nT
)
信号与系统 第一章 绪论
三、单位冲激信号
冲激信号是为了描述物理现象中作用时间很短，但取值极大 这种现象的一种理想化模型。例如力学中瞬间作用的冲击力， 电学中的雷击闪电，数字通信中的抽样脉冲等等。
1.冲激信号的定义
(1)极限的定义 a.矩形脉冲演变成冲激函数
1
G (t )
信号与系统 第一章 绪论
作业：
学习教材73页至81页 2.9节内容 习题练习题目：1－6～1－16 作业题：1-7:(2) 1-8 1-10
1-11:(1)(3)(5) 1-14:(1)(3)(5)(7)
请预习1.5 1.6 1.7节内容
dt
t
u(t)
(t)
du(t) t ( )d
dt
t
(t)
信号与系统 第一章 绪论
(t) du(t)
dt
A.冲激函数使得不连续点处的导数存在，冲激强调 大小等于跳变量，冲激点在跳变点处
B.冲激函数可以用来建立电容电压和电感电流突变 的模型
一种从物理方面理解δ函数意 义的电路问题：课本20－21页
vc (t) ic (t) c
3.冲激信号(函数)的性质
（1）δ函数是偶函数 (t) (t)
（2）δ函数的积分
t
t
( )d u(t)
(
t0 )d
u(t
t0)
(t)dt 1
(t t0 ) 1
0
(t)dt
(t)dt
1
0
2
t0
(t
t0 )dt
t0
(t
(3)阶跃信号的单边特性
阶跃信号具有非常明显的单边特性，它和其他信号相乘 可以截断信号。实际中常利用他的这个特性表示单 边信号或区间信号，即信号的加窗或取单边。
f1(t) sin t • u(t)
s in(t ) 1
0 1 T
s in(t )
1
t
0
1 T
t
信号与系统 第一章 绪论
信号的加窗
f (t) et[u(t) u(t t0 )]
（5）δ函数的尺度变换特性
(at) 1 (t) (at b) 1 (t b )
a
a
a
（6）δ(t)的复合函数δ[f(t)]的性质（课本77页）
n
f (t)
i 1
f
1 ' (ti
)
(t
ti )
其中f '(ti )表示f (t)在t ti处的导数，
ti为f (t)＝0的互不相等的实根，
lim
k
k
Sa(kt)
f (t) k
k
k
0
t
K越大，函数的振幅越大，且离开原点时函数振荡越快， 衰减越迅速。曲线下的净面积保持１。当k时，得到 冲激函数。
延时的单位冲激信号
δ(t－t0)
(1)
(2)狄拉克定义
0
t0
t
(t)dt 1
(t) 0 (当t 0)
(t
t0 )
(t
t0 )dt
1 2
信号与系统 第一章 绪论
（3）δ函数与其他普通函数的乘积
f (t) (t) f (0) (t) f (t) (t t0 ) f (t0 ) (t t0 )
（4）δ函数的抽样特性
f (t) (t) dt f (0)
f (t) (t t0 ) dt f (t0 )
若有重根无意义
且f '(ti ) 0(i 1,2,..., n)
举例：求下列表示式的函数值
(1) f (t0 t) (t)dt
(2) (t t0 )u(t 2t0 )dt (3) 1 (t2 4)dt
1
信号与系统 第一章 绪论
举例：试作出下图二阶导数的图形
f(t) 1
t 0 1 23
0
t
信号与系统 第一章 绪论
延时的单位阶跃信号
0
u(t t0 ) 1
1 2
u(t-t0) 1
t t0 t t0
t t0
0
t0
t
信号与系统 第一章 绪论
(2)矩形脉冲信号
u(t) 1 1 0u(t-t0)
0
t0
1
0
t0
G(t) u(t) u(t t0 )
G (t ) t
1
t
0
2
1.4阶跃信号与冲激信号
奇异函数：函数本身有不连续点（跳变点） 或其导数与积分有不连续点的函数通称为奇 异函数或奇异信号。 阶跃信号和冲激信号就是两个奇异信号，而 且是两种最重要的理想信号模型。
信号与系统 第一章 绪论
一、斜变信号
★斜变信号也称斜升信号。 ★它是从某一时刻开始随时间正比例增长的信号 ★如果增长的变化率是1，就称为单位斜变信号
2
t
G
(t
)
u(t
2
)
u(t
2
)
t
信号与系统 第一章 绪论
物理背景
1V
e(t )
负载
t＝0时开关闭合 e(t)=u(t)
t=t0时开关闭合e(t)=u(t-t0) t=0时闭合，作用一段时间后在t=t0时打开
e(t)=u(t)－u(t-t0) 三种情况表示实际中的理想化模型
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