《工程力学(工程静力学与材料力学)(第3版)》习题解答：第6章 杆件的内力分析

q 15kN/m
A
B
C
(d)
— 60 —
知识点：载荷、剪力、弯矩之间的微分关系的应用 难度：很难 解答： 由 FQ 图线性分布且斜率相同知，梁上有向下均布 q 载荷，由 A、B 处 FQ 向上突变知，A、B 处 有向上集中力；又因 A、B 处弯矩无突变，说明 A、B 处为简支约束，由 A、B 处 FQ 值知
6－11 试作图示刚架的弯矩图，并确定 | M |max 。
习题 6-11 图
1
12
2C
B
M (ql2)
1
A
知识点：刚架的弯矩图 难度：一般 解答：
Fy 0 ， FAy ql （↑）
1
M A 0 ， FRB 2 ql （→）
Fx
0，
FAx
1 2
ql
（←）
弯距图如图示，其中 |
M
|max
习题 6-8 图
— 54 —
FQ
ql
ql
FQ
0.5
D
EC
B
A
B
C
0.5
Hale Waihona Puke Baidu
0.5
A
B
C
0.5
M (ql2)
1
知识点：梁的剪力图与弯矩图 难度：一般 解答：
Fy 0 ，FRC = 0
3
l
MC 0 ， ql 2 l ql 2 M C 0
M C ql 2
MB
0
，
MB
1 2
ql 2
Fy 0 ， FQB ql
知识点：利用载荷、剪力、弯矩之间的微分关系，通过积分远算确定弯矩 难度：难 解答：
正确答案是 B 。
6 － 4 应 用 平 衡 微 分 方 程 ， 试 画 出 图 示 梁 的 剪 力 图 和 弯 矩 图 ， 并 确 定 | FQ |max 。
习题 6-4 图
FQ
FQ ( ql )
A
B
A
C
B
1
1
4
4
M
正确答案是 B、C、D 。
习题 6-2 图
— 50 —
6－3 已知梁的剪力图以及 a、e 截面上的弯矩 Ma 和 Me，如图所示。为确定 b、d 二截面上 的弯矩 Mb、Md，现有下列四种答案，试分析哪一种是正确的。
（A） M b M a Aab (FQ ) ， M d M e Aed (FQ ) ；
|M
|max
p 2
hl
（固定端）
FN
O M
lx
pl
lx
1 phl
2
6－16 静定梁承受平面载荷，但无集中力偶作用，其剪力图如图所示。若已知 A 端弯矩 M(A) 0 ，试确定梁上的载荷及梁的弯矩图，并指出梁在何处有约束，且为何种约束。
习题 6-16 图
7.5
4
m
A
3
BC
M kN m 40
3
(c)
ql
2
。
6－12 试作图示刚架的弯矩图，并确定 | M |max 。
— 57 —
习题 6-12 图
1 12 2
1
M (ql2)
A
B
知识点：刚架的弯矩图 难度：一般 解答：
Fx 0 ， FAx ql （←）
MA 0
ql
2
ql
l 2
FRB
l
0
FRB
1 2
ql
（↓）
Fy
0 ， FAy
1 2
ql
1．画出轴的受力简图； 2．画出轴的全部内力图。
FQ
习题 6-19 图
3 2
ql 2
6 － 7 应 用 平 衡 微 分 方 程 ， 试 画 出 图 示 梁 的 剪 力 图 和 弯 矩 图 ， 并 确 定 | FQ |max 。
— 53 —
习题 6-7 图
FQ
1.25
D
B
C
A
1
D
BC
10.75
D
B
C
1
1.5
A
M (ql2)
D
B
C
1
25
2
32
知识点：梁的剪力图与弯矩图 难度：一般 解答：
1 ql 2 4
（＋）
M A ql 2
— 52 —
|
FQ
| max
5 4
ql
| M |max ql 2
6 － 6 应 用 平 衡 微 分 方 程 ， 试 画 出 图 示 梁 的 剪 力 图 和 弯 矩 图 ， 并 确 定 | FQ |max 。
习题 6-6 图
FQ
A
D
l
B
C
1
FQ 1.25
A
A
| FQ |max ql
| M |max ql 2
6－9 应用平衡微分方程，试画出图示梁的剪力图和弯矩图，并确定 | FQ |max 。
习题 6-9 图
ql
ql
FQ
0.5
D
EC
B
B
C
0.5
0.5
0.125
A
DB
M (ql2)
EC
0.125
知识点：梁的剪力图与弯矩图
— 55 —
难度：一般 解答：
知识点：刚架的弯矩图 难度：一般 解答：
6－14 梁的上表面承受均匀分布的切向力作用，其集度为 p 。梁的尺寸如图所示。若已知 p 、
h、l，试导出轴力 FNx、弯矩 M 与均匀分布切向力 p 之间的平衡微分方程。
知识点：力的简化，载荷、剪力、弯矩之间的微分关系 难度：很难 解答：
1．以自由端为 x 坐标原点，受力图（a）
6－19 图示传动轴传递功率 P = 7.5kW，轴的转速 n = 200r/min。齿轮 A 上的啮合力 FR 与水 平切线夹角 20°，皮带轮 B 上作用皮带拉力 FS1 和 FS2，二者均沿着水平方向，且 FS1 = 2FS2。 试：（分轮 B 重 FQ = 0 和 FQ = 1800N 两种情况）
工程力学（工程静力学与材料力学）习题与解答 第 6 章 杆件的内力分析
6－1 平衡微分方程中的正负号由哪些因素所确定？简支梁受力及 Ox 坐标取向如图所示。 试分析下列平衡微分方程中哪一个是正确的。
（A）
dFQ dx
q(x)
；
dM dx
FQ ；
dFQ
（B） dx
q(x) dM
， dx
FQ ；
习题 6-10 图
1
C 2
D
B
M (FPl)
A
知识点：刚架的弯矩图 难度：一般 解答：
M A 0 ， FRB 2l FP l FP l 0
FRB FP （↑）
— 56 —
Fy 0 ， FAy FP （↓） Fx 0 ， FAx FP （←） 弯距图如图示，其中 | M |max 2FPl ，位于刚节点 C 截面。
D
B
C
1
1
1.5
M (ql2)
A
M (ql2)
D
BC
10.75
D
B
C
1
25
2
32
知识点：梁的剪力图与弯矩图 难度：一般 解答：
Fy 0 ， FRA ql （↑）
M A 0 ， M A ql 2
MD
0，
ql 2
ql l
ql
l 2
MD
0
MD
3 2
ql 2
| FQ |max ql
|
M
| max
（↑）
弯距图如图示，其中 |
M
|max
ql
2
。
6－13 试作图示刚架的弯矩图，并确定 | M |max 。
习题 6-13 图
1
1
2
1 2
A
B1
Fx 0 ， FAx ql
MA 0
ql
l 2
ql 2
FRB
l
0
— 58 —
FRB
3 2
ql
Fy
0 ， FAy
3 2
ql 2
（↑）
弯距图如图示，其中 | M |max ql 2 。
MA
0 ， FRB
1 2
ql
（↑）
Fy
0，
FRA
1 2
ql
（↓）
Fy
0，
1 ql 2
ql
FQB
0
FQB
1 2
ql
MD
0，
1 2
ql l 2
q
l l 24
MD
0
MD
1 8
ql 2
ME
1 8
ql 2
|
FQ
|max
1 2
ql
|
M
| max
1 8
ql
2
6－10 试作图示刚架的弯矩图，并确定 | M |max 。
5
2l
4
A
C
DE
B
A
C
B
M 2
M 2M
M 2
3 M
2
1 4
M ql 2
知识点：梁的剪力图与弯矩图
— 51 —
难度：一般 解答：
MA
0 ， FRB
M 2l
（↑）
Fy
0，
FRA
M 2l
（↓）
|
FQ
| max
M 2l
| M |max 2M
6 － 5 应 用 平 衡 微 分 方 程 ， 试 画 出 图 示 梁 的 剪 力 图 和 弯 矩 图 ， 并 确 定 | FQ |max 。
Fx 0 ， px FNx 0
习题 6-14 和 6-15 图
FNx px dFNx p
∴ dx
M px h 0
MC 0 ，
2
M 1 phx 2
dM 1 ph dx 2
方法 2． Fx 0 ， FNx dFNx pdx FNx 0
p M
C
FNx
x
(a)
FNx
p
MB
MD
1 2
ql 2
，FQB
=
4ql
MC
1 2
q(3l ) 2
4ql 2l
7 2
ql 2
1．弯矩表达式：
M (x) 1 q x 0 2
2
， (0 x l)
M (x) 1 q x 0 2 4ql x l
2
， (l x 2l)
M (x) 1 q x 0 2 4ql x l 2ql x 3l 2 (3l x 5l)
MB 0
1 FRA 2l q 3l 2 ql l 0
5
FRA 4 ql （↑）
Fy
0，
FRB
3 4
ql
（↑）
MB
0
，MB
q 2
l2
MD
0，
M
D
25 32
ql 2
|
FQ
| max
5 4
ql
|
M
| max
25 32
ql 2
6－8 应用平衡微分方程，试画出图示梁的剪力图和弯矩图，并确定 | FQ |max 。
（B） M b M a Aab (FQ ) ， M d M e Aed (FQ ) ；
（C） M b M a Aab (FQ ) ， M d M e Aed (FQ ) ；
习题 6-3 图
（D） M b M a Aab (FQ ) ， M d M e Aed (FQ ) 。
上述各式中 Aab (FQ ) 为截面 a、b 之间剪力图的面积，以此类推。
习题 6-5 图
FQ ( ql )
B
A
C
B
1
1
4
4
M
5
2l
4
C
D
E
B
A
C
B
M 2
2M
M 2
3M 2
1 4
M ql 2
知识点：梁的剪力图与弯矩图 难度：一般 解答：
MA
0，
ql 2
ql
l 2
ql l
FRB
2l
0
，
FRB
1 4
ql
（↑）
Fy
0 ， FRA
1 4
ql
（↓），
MC
FRB
l
1 ql l 4
dFQ
（C） dx
q(x) dM
， dx
FQ ；
习题 6-1 图
（D）
dFQ dx
q(x)
，
dM dx
FQ 。
知识点：载荷、剪力、弯矩之间的微分关系及其与坐标的关系
难度：一般
解答：
正确答案是 B 。
6－2 对于图示承受均布载荷 q 的简支梁，其弯矩图凸凹性与哪些因素相关？试判断下列四 种答案中哪几种是正确的。 知识点：弯矩图的凸凹形状与载荷和坐标系的关系 难度：一般 解答：
6－17 已知静定梁的剪力图和弯矩图，如图所示，试确定梁上的载荷及梁的支承。
习题 6-17 图
知识点：载荷、剪力、弯矩之间的微分关系的应用 难度：很难
— 61 —
解答：
由 FQ 图知，全梁有向下均布 q 载荷，由 FQ 图中 A、B、C 处突变，知 A、B、C 处有向上集中
力，且
FRA = 0.3 kN（↑）
C dx
M dM FNx dFNx
(b)
dFNx p
∴ dx
MC
0
，
M
dM
M
pdx
h 2
0
dM ph
∴ dx 2
6－15 试作 6－6 题中梁的轴力图和弯矩图，并确定 | FNx |max 和 | M |max 。
— 59 —
知识点：内力图 难度：一般 解答：
| FNx |max pl （固定端）
FRA = 20 kN（↑），FRB = 40 kN
由 Fy 0 ， FRA FRB q4 0
q = 15 kN/m 由 FQ 图 D、B 处值知，M 在 D、B 处取极值
MD
20
4 3
15
1 2
(4)2 3
40 3
kN·m
MB
1 2
q
12
7.5
kN·m
梁上载荷及梁的弯矩图分别如图（d）、（c）所示。
FRC = 1 kN（↑）
FRB = 0.3 kN（↑）
q 0.3 (0.5) 0.2
4
kN/m（↓）
由 MA = MB = 0，可知 A、B 简支，由此得梁上载荷及梁的支承如图（a）或（b）所示。
q 0.2kN/m
A C
B
1kN
(a)
0.2kN/m
A
C
B
0.3kN
(b)
6－18 静定梁承受平面载荷，但无集中力偶作用，其剪力图如图所示。若已知截面 E 上的弯
矩为零，试：
1．在 Ox 坐标中写出弯矩的表达式；
2．画出梁的弯矩图；
3．确定梁上的载荷；
4．分析梁的支承状况。
0.5
A B
0.5
C
E
D
习题 6-18 图
M (ql2)
AB
3.5 (a)
q
C 2ql
(b)
E D
— 62 —
知识点：载荷、剪力、弯矩之间的微分关系的应用
难度：很难
解答：
由 FQ 图知，全梁有向下均布 q；B、D 处有相等的向上集中力 4ql；C 处有向下的集中力 2ql；结 合 M，知 A、E 为自由端，由 FQ 线性分布知，M 为二次抛物线，B、C、D 处 FQ 变号，M 在 B、 C、D 处取极值。
M (x) 1 q x 0 2 4ql x l 2
2ql x 3l 4ql x 5l
(5l x 6l)
M (x) 1 q x 0 2 4ql x l 2
即
2ql x 3l 4ql x 5l
(0 x 6l)
2．弯矩图如图（a）； 3．载荷图如图（b）； 4．梁的支承为 B、D 处简支（图 b）。