正弦型函数(教师版)

正弦型函数(教师版) work Information Technology Company.2020YEAR

正弦型函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及应用

【2015年高考会这样考】

1．考查正弦型函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象变换．

2．结合三角恒等变换考查y＝A sin(ωx＋φ)的性质及简单应用．

3．考查y＝sin x到y＝A sin(ωx＋φ)的图象的两种变换途径．

【复习指导】

本讲复习时，重点掌握正弦型函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象的“五点”作图法，图象的三种变换方法，以及利用三角函数的性质解决有关问题．

基础梳理

1．用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点

如下表所示

x 0－φ

ω

π

2－φ

ω

π－φ

ω

3π

2－φ

ω

2π－φ

ω

ωx＋φ0π

2

π

3π

2

2π

y＝A sin(ωx＋φ)0 A 0－A 0

3．当函数y＝A sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x∈[0，＋∞))表示一个振动时，A叫

做振幅，T＝2π

ω叫做周期，f＝

1

T叫做频率，ωx＋φ叫做相位，φ叫做初相．

4．图象的对称性

函数y＝A sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下：

(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于直线x ＝x k (其中 ωx k ＋φ＝k π＋π

2，k ∈Z )成轴对称图形．

(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于点(x k,0)(其中ωx k ＋φ＝k π，k ∈Z )成中心对称图形．

一种方法

在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M ，最小值为m ，则A ＝M －m 2，k

＝M ＋m 2，ω由周期T 确定，即由2π

ω＝T 求出，φ由特殊点确定． 一个区别

由y ＝sin x 的图象变换到y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|

ω(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值． 两个注意

作正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时应注意： (1)首先要确定函数的定义域；

(2)对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象．

双基自测

1．(人教A 版教材习题改编)y ＝2sin ⎝ ⎛

⎭⎪⎫2x －π4 的振幅、频率和初相分别为( )．

A ．2，1π，－π

4 B ．2，12π，－π

4 C ．2，1π，－π

8 D ．2，12π，－π

8

答案 A

2.已知简谐运动f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛

⎭⎪⎫|φ|＜π2的部分图象如图所示，则该简谐运动

的最小正周期T 和初相φ分别为( )．

A ．T ＝6π，φ＝π

6 B ．T ＝6π，φ＝π

3 C ．T ＝6，φ＝π

6

D ．T ＝6，φ＝π

3

解析 由题图象知T ＝2(4－1)＝6⇒ω＝π

3，由图象过点(1,2)且A ＝2，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫

π3×1＋φ＝1，又|φ|＜π2，得φ＝π6.

答案 C

3．函数y ＝cos x (x ∈R )的图象向左平移π

2个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，则g (x )的解析式应为( )．

A ．－sin x

B ．sin x

C ．－cos x

D ．cos x 解析 由图象的平移得g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫

x ＋π2＝－sin x .

答案 A

4．设ω＞0，函数y ＝sin ⎝ ⎛

⎭⎪⎫ωx ＋π3＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重

合，则ω的最小值是( )． A.23 B.43 C.3

2 D ．3

解析 y ＝sin ⎝ ⎛

⎭⎪⎫ωx ＋π3＋2向右平移4π3个单位后得到y 1＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4π3＋π3＋2＝sin ⎝ ⎛

⎭⎪⎫ωx ＋π3－4π3ω＋2，又y 与y 1的图象重合，则－4π3ω＝2k π(k ∈Z )． ∴ω＝－3

2k .又ω＞0，k ∈Z ，

∴当k ＝－1时，ω取最小值为3

2，故选C. 答案 C

5．(2011·重庆六校联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则ω＝________.

解析 由题意设函数周期为T ，则T 4＝23π－π3＝π3，故T ＝43π.∴ω＝2πT ＝3

2. 答案 32

考向一 作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象

【例1】►设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫

ω＞0，－π2＜φ＜0的最小正周期为π，且

f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

π4＝32. (1)求ω和φ的值；

(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象． [审题视点] (1)由已知条件可求ω，φ；

(2)采用“五点法”作图，应注意定义域[0，π]．

解 (1)周期T ＝2π

ω＝π，∴ω＝2，

∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4＋φ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫

π2＋φ＝－sin φ＝32， ∵－π2＜φ＜0，∴φ＝－π3.

(2)由(1)知f (x )＝cos ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫2x －π3，列表如下：

2x －π3

－π3

π2

π

32π

53π