几何光学的基本定律和费马原理

过去表述：光沿所需时间为极值的路径传播。
现在表述：光沿光程取极值的路径传播。
［注］极值：极小值、极大值、恒定值
每一可能路径都是空间的 坐标函数,而光程又随路
数学表述：（由变分原理）
ò d
[l]
=
d
B
òA
n dl
=
0
或dt
=
1 c
B
ndl = 0
A
径而变化,是函数的函 数——泛函*,其改变称为 变分，数学过程是相应的 求导。 *泛函与复合函数（附录4）
y A(x1,y1,0) B(x2,y2,0)
i i’
x
D(x,0,0)
C(x,0,z)
ì ï
¶[l] = n(x - x1) + -n(x2 - x) = 0
(1)
ï ¶x AC
CB
由费马原理知，í ï
¶[l] =
nz
+
nz
=0
(2)
îï ¶z AC CB
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ì ï
¶[l] = n(x - x1) + -n(x2 - x) = 0
波面
光线
波面
光线
球面波
平面波
在各向同性介质中，光线总是与波面法线方向重合。
即光线与波面总是垂直的。
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二、几何光学的基本实验定律
1、光的直线传播定律：光在各向同性的均匀介质 中沿直线传播。
实例：物体的影子、针孔成 象、日食、月食
［注］：非均匀介质中， 光以曲线传播，向折射率 增大方向弯曲
实例：夏日柏油路上的 倒影、海市蜃楼
②无数光线构成光束。
③光沿光线方向传播时，位相不断改变。
2.波面：光传播中，位相相同的空间点所构成的平面或曲面。 ［注］ ① 波面即等相位面，也是一种抽象的数学模型。
② 波面为平面的光波称为平面光波（如平行光束）；为球
面的称为球面光波（如点光源所发光波）；为柱面的称
为柱面光波（如缝光源所发光波）
3
3.光线与波面的关系
分界面
en i 入射角 n1
［注］绝对折射率：一种介质相 对于真空的折射率
折射角
n2
折射光线
8
9
5、几何光学定律成立的条件
（1）必须是均匀介质，即同一介质的折射率处处相等，折 射率不是位置的函数。 （2）必须是各向同性介质，即光在介质中传播时各个方向 的折射率相等，折射率不是方向的函数。 （3）光强不能太强，否则巨大的光能量会使线性叠加原理 不再成立而出现非线性情况。 （4）光学元件的线度应比光的波长大得多，否则不能把光 束简化为光线。
Qnc ll t
v cv
nr
折合到真空中
物理意义：光程表示光在介质中通过真实路程所需时间内,在
真空中所能传播的路程。
k
分区均匀介质: l nili
i1
折射率连续变化介质:
l
B
A
ndl
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2.费马原理
1658年法国数学家费马（P. Fermat 1601-1665) 概括了光线传播的三定律，发表了“光学极短时 间原理”，经后人修正，称为费马原理。
［联系］高等数学中的费马引理：设 f ( x)在点 x0处具
有导数,且在 x0处取得极值,那么必定 f (x0 ) 0 .
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Hale Waihona Puke Baidu
光程为极值的例子:
(1) 光程为极小值——直线传播定律、反射定律、折射定律 （后做证明）
(2) 光程为恒定值——回转椭球凹面镜
自其一个焦点发出、经 镜面反射后到达另一焦 点的光线，其光程相等。
6、折、反射在大气现象中的应用
虹、霓（副虹）、日食、月食、海 市蜃楼（见附录2）
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三、费马原理
光在均匀介质中总是沿直线传播的，光在非均匀介质中 又是怎样传播的？费马借助光程的概念，回答了该问题。
1.光程——在均匀介质中，光在介质中通过的几何路程
l 与该介质的折射率n 的乘积：
l nl
r 介质中
5
2、光的独立传播定律和光路可逆原理:
➢ 来自不同方向的光线在介质中相遇后，各保持原来的传 播方向和强度继续传播。
➢ 光沿反方向传播时，必定沿原光路返回。即在几何光学 中，任何光路都是可逆的。
［注］适用于强度不太大， 相干性较差的光线传播
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3、反射定律：
入射光线、反射面的法线和反射光 线三者处在同一平面上，入射光线和 反射光线分居于入射点界面法线的两 侧，入射角等于反射角。
D C
A
B
B
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3. 由费马原理导出几何光学定律
1) .直线传播定律：
在均匀介质中折射率为常数
B
B
ndl n dl
A
B
A
A
而由公理：两点间直线距离最短
B
d l 的极小值为直线AB A
所以光在均匀介质中沿直线传播
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2) 反射定律
设从A点发出的光线入射到分界 面xoz，在C点反射到B点
l nACnCB ABC n (xx1)2 y12 z2 z n (x2 x)2 y22 z2
第一章 几何光学
几何光学研究的是光在障碍物尺度比光波长大得多 情况下的传播规律。这种情况下，波长趋近于零。可以 不必考虑光的波动性质，仅以光直线传播性质为基础.
若研究对象的几何尺寸远远大于所用光波波长，则 由几何光学可以得到与实际基本相符的结果。反之， 当几何尺寸可以与光波波长相比时，则由几何光学获 得的结果将与实际有显著差别，甚至相反。
几何光学是波动光学在一定条件下的近似。
1 1
§1-1 几何光学的基本定律和 费马原理
一．光线与波面 二．几何光学的基本实验定律 三．费马原理
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一、光线与波面
1.光线：形象表示光的传播方向的几何线。 ［注］① 同力学中的质点一样，光线仅是一种抽象的数 学模型。它具有光能，有长度，有起点、终点，但无粗 细之分，仅代表光的传播方向。
(1)
ï ¶x AC
CB
í ï îï
¶[l] = nz + nz = 0
¶z AC CB
(2)
由(2)知，z=0，说明入射点C一定在
xoy平面内，即D(x,0,0)，由此入射光
A B
［析］椭圆上任意一点到 两焦点距离之和为常数
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(3) 光程为极大值 A. 回转抛物凹面镜
焦点发出的光，反射
后变为平行光，会聚
在无穷远处，光程为
A
极大值。
B. 内切于回转椭球面的凹球面镜
由A点发出过D点符合 反射定律的光线，必 过椭球另一焦点B，光 线的光程ADB比任何 路径的光程ACB都大.
en
S i i' R
界面
i i'
漫反射
（故，我们才能在各个 角度看见物体）
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4、折射定律
入射光线、折射光线和分界面的 法线en三者同处在一个平面上，入射角
i 和折射角 有下述关系：
sin i
sin
n2 n1
n21
——斯涅耳公式，1621（见附录1）
入射光线
其 中 ： n21 称 为 介 质 2 相 对 于 介 质1的相对折射率