导数与函数图像

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高中数学导数与函数图像的关系分析与讲解

高中数学导数与函数图像的关系分析与讲解在高中数学中，导数与函数图像是密不可分的。

导数是函数在某一点上的变化率，而函数图像则是函数在整个定义域上的变化规律的图形表示。

理解导数与函数图像之间的关系对于学习和应用数学知识都具有重要意义。

本文将通过具体的题目举例，分析导数与函数图像的关系，并给出解题技巧和使用指导。

一、导数与函数图像的关系导数与函数图像之间有着密切的联系。

函数的导数可以帮助我们确定函数图像的特征，如函数的增减性、极值点、拐点等。

下面通过几个具体的题目来说明导数与函数图像的关系。

例题1：已知函数$f(x)=x^3-3x^2+2x+1$，求函数在$x=1$处的导数。

解析：首先我们需要求出函数$f(x)$的导函数$f'(x)$。

根据导函数的定义，我们可以得到$f'(x)=3x^2-6x+2$。

然后，我们将$x=1$代入导函数中，得到$f'(1)=3(1)^2-6(1)+2=-1$。

这个结果告诉我们，在$x=1$处，函数$f(x)$的导数为-1。

通过这个例题，我们可以看出，函数$f(x)$在$x=1$处的导数为-1。

这意味着函数$f(x)$在$x=1$处的斜率为-1，即函数图像在该点的切线的斜率为-1。

这个信息可以帮助我们更好地理解函数图像的特征。

例题2：已知函数$g(x)=x^2-2x$，求函数$g(x)$的极值点。

解析：为了求函数$g(x)$的极值点，我们需要先求出函数$g(x)$的导函数$g'(x)$。

根据导函数的定义，我们可以得到$g'(x)=2x-2$。

然后，我们令$g'(x)=0$，得到$2x-2=0$，解得$x=1$。

这意味着函数$g(x)$的导数在$x=1$处为0，即函数图像在该点的切线的斜率为0。

通过这个例题，我们可以看出，函数$g(x)$的极值点出现在$x=1$处。

这个点处的切线斜率为0，意味着函数图像在该点处有一个极值。

这个极值可以是最大值或最小值，需要通过进一步的分析来确定。

函数单调性与导数

如图(2)表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数v(t）的图象 h
v v（t)=h′(t) b o a t o
a
b
t
y Y′=1 o
y
o
y=x
x
x
y′=2 y o
X
y o
y=x
2
x
x
在某个区间(a, b)内,
f '( x ) 0
f ( x)在(a, b)内单调递增
f '( x ) 0 f ( x )在(a, b)内单调递减
2 2
时，
函数单调递增；
(4) f(x)=2x3+3x2-24x+1 ; 当 f (x) <0，
y
即 1 17 1 17 时， x 2 2 函数单调递减；图象见右图。
o
x
1°什么情况下，用“导数法” 求函数单调性、单调区间较简便？
总结: 当遇到三次或三次以上的,或图象很难
利用导数的符号来判断函数单调性:
设函数 y＝f(x)在某个区间内可导（1）如果 f '(x)＞0 ，则 f(x)为增函数；（2）如果 f '(x)＜0 ，则 f(x)为减函数．
若某个区间内恒有 f '(x)＝0，则 f (x)为常数函数．
例1、已知导函数 f '( x) 的下列信息：
f 当1<x<4时， '( x) >0; f 当x>4,或x<1时， '( x) <0; f 当x=4,或x=1时， '( x) =0.则函数f(x)图象的大致形状是( D ）。
注意：应正确理解 “ 某个区间 ” 的含义,它必是定义域内的某个区间。

函数的单调性与导数-图课件

单调减函数的性质
03
04
05
函数图像从左至右下降。
若$f(x)$在区间$I$上单调递减，且$a, b in I$，且$a < b$，则有$f(a) geq f(b)$。
若函数$f(x)$在区间$I$ 上单调递减，则其反函数在相应的区间上单调递增。
单调性与导数的关系
01
导数与单调性的关系
如果函数在某区间的导数大于0，则该函数在此区间单调递增；如果导
数小于0，则函数在此区间单调递减。
02
导数不存在的点
对于使导数不存在的点，需要单独判断其单调性。
03
高阶导数与单调性的关系
高阶导数的符号可以提供关于函数单调性更精细的信息。例如，二阶导
数大于0表示函数在相应点处有拐点，即由单调递增变为单调递减或反
之。
02 导数在判断函数单调性中的应用
导数大于0与函数单调性的关系
定义法判断单调性
• 定义法判断单调性是指通过比较函数在某区间内任意两点x1和x2的函数值f(x1)和f(x2)，来判断函数在该区间内的单调性。如果对于任意x1<x2，都有f(x1)<f(x2)，则函数在该区间内单调递增；如果对于任意x1<x2，都有f(x1)>f(x2)，则函数在该区间内单调递减。
03 导数在实际问题中的应用
导数在经济学中的应用
边际分析
导数可以用来分析经济函数的边际变化，例如边际成本、边际收益等，帮助企业做出更好的经济
决策。
最优化问题
导数可以用来解决最优化问题，例如最大利润、最小成本等，为企业提供最优的资源配置方案。
需求弹性
导数可以用来分析需求弹性，例如价格敏感度、需求变化等，帮助企业制定更加精准的市场策略。

考研高等数学常用公式以及函数图像

考研高等数学常用公式及函数图象导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=，　，　，　ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ一些初等函数：两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：函数角A sincos tg ctg -α -sinα cosα -tgα -ctgα 90°-α cosα sinαctgαtgα 90°+α cosα -sinα -ctgα -tgα 180°-α si nα-cosα -tgα-ctgα 180°+α -sinα -cosα tgα ctgα 270°-α -cosα -sinα ctgα tgα 270°+α -cosα sinα -ctgα -tgα360°-α -sinα cosα -tgα -ctgα 360°+αsinαcosαtgαctgα·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim0==+=∞→→e xxxx x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。

函数与导数的关系总结

函数与导数的关系总结在微积分中，函数和导数是密切相关的概念。

导数是描述函数变化率的工具，它提供了函数在任意点附近的局部信息。

本文将总结函数与导数之间的关系，包括导数的定义、导数与函数图像的关系、导数的性质以及函数与导数的应用等内容。

一、导数的定义函数的导数是指函数在某一点的变化率，用极限来定义。

设函数f(x)在点x0处的导数为f'(x0)，则导数的定义如下：f'(x0) = lim┬(h→0)⁡〖(f(x0+h)-f(x0))/h〗二、导数与函数图像的关系函数的导数能够提供函数图像的许多重要信息。

根据导数的正负和大小，可以分析函数的增减性、极值点和拐点。

具体而言：1. 当导数大于0时，函数递增；2. 当导数小于0时，函数递减；3. 导数为0的点可能是函数的极值点或拐点。

三、导数的性质1. 常数导数性质：若c为常数，则(d/dx)(c) = 0，即常数函数的导数为0；2. 线性运算：若f(x)和g(x)都可导，且k为常数，则(d/dx)(k*f(x)) = k*(d/dx)(f(x))，(d/dx)(f(x)+g(x)) = (d/dx)(f(x))+(d/dx)(g(x))；3. 乘积法则：若f(x)和g(x)都可导，则(d/dx)(f(x)*g(x)) = f'(x)*g(x) + f(x)*g'(x)；4. 商法则：若f(x)和g(x)都可导，且g(x)≠0，则(d/dx)(f(x)/g(x)) =(f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/[g(x)]^2。

四、函数与导数的应用函数的导数在实际问题中有许多应用。

以下是几个常见的应用情景：1. 切线与法线：函数在某一点的导数即为该点的切线斜率，通过导数可以求解切线和法线的方程；2. 极值问题：通过导数的符号变化，可以分析函数的极值点；3. 函数图像的绘制：通过导数的信息，可以确定函数图像的变化趋势和关键特征。

导数与函数图像的关系分析

导数与函数图像的关系分析导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。

而函数图像则是函数在平面上的可视化展示。

导数与函数图像之间存在着密切的关系，通过对导数与函数图像的分析，我们可以深入理解函数的性质与行为。

一、导数的定义与计算方法导数的定义是函数在某一点的变化率，可以通过极限的概念进行定义。

对于函数f(x)，其在点x处的导数可以表示为f'(x)，即f'(x) = lim Δx→0 (f(x+Δx) - f(x))/Δx。

这个定义可以理解为当Δx趋近于0时，函数在x点附近的变化率。

计算导数的方法有多种，其中最常见的是使用导数的基本公式。

对于常见的函数类型，我们可以通过这些公式来计算导数。

例如，对于多项式函数f(x) = ax^n，其中a为常数，n为整数，其导数为f'(x) = anx^(n-1)。

对于指数函数f(x) = e^x，其导数为f'(x) = e^x。

对于对数函数f(x) = ln(x)，其导数为f'(x) = 1/x。

二、导数与函数的增减性导数与函数的增减性密切相关。

通过导数的正负可以判断函数在某一点的增减性。

当导数大于0时，函数在该点上是递增的；当导数小于0时，函数在该点上是递减的；当导数等于0时，函数在该点上取得极值。

通过导数与函数的增减性，我们可以推导出函数的极值点和拐点。

当函数的导数从正变为负时，函数在该点上取得极大值；当函数的导数从负变为正时，函数在该点上取得极小值。

而函数的拐点则是导数的变号点，即导数从正变为负或从负变为正的点。

三、导数与函数的凹凸性导数还可以用来判断函数的凹凸性。

通过导数的二阶导数可以判断函数的凹凸性。

二阶导数表示导数的导数，可以表示为f''(x)。

当二阶导数大于0时，函数在该点上是凹的；当二阶导数小于0时，函数在该点上是凸的；当二阶导数等于0时，函数在该点上可能是拐点。

通过导数与函数的凹凸性，我们可以推导出函数的凹凸区间和拐点。

导数的几何意义ppt

导数的物理意义
80%
速度
导数可以用来描述物理量随时间的变化速率，例如速度是位移对时间的导数。
100%
斜率
在物理量中，导数可以表示斜率，例如加速度是速度对时间的导数。
80%
变化率
导数可以用来描述物理量的变化率，例如电流强度是电荷对时间的导数。
02
导数与切线斜率
切线的定义
பைடு நூலகம்01
切线是过曲线上某一点的直线，该点称为切点。
导数在经济问题中的应用
边际分析与决策
导数可以用来描述边际成本、边际收益和边际利润等概念，帮助企业做出最优的决策。
供需关系
导数可以用来分析市场的供需关系，例如通过分析需求函数和供给函数的导数，可以了解市场均衡点的变化趋势。
经济增长与人口变化
导数可以用来描述经济增长和人口变化的趋势，例如通过分析GDP 和人口增长率的导数，可以了解经济和人口的发展趋势。
04
导数在实际问题中的应用
导数在物理问题中的应用
速度与加速度
导数可以用来描述物体运动的速度和加速度，通过分析导数可以了解物体的运动状态和变化趋势。
斜率与曲线
导数可以用来描述曲线的斜率，例如在分析弹性、阻力和引力等物理现象时，导数可以帮助我们理解物体在曲线上的运动状态。
能量与功率
在物理中，导数可以用来描述能量和功率的变化，例如在分析电路、热传导和流体动力学等问题时，导数可以帮助我们建立数学模型并求解。
导数与函数极值
总结词
导数可以用来确定函数的极值点。
详细描述
函数的极值点出现在导数为零或变号的点上。在极值点处，函数值可能达到最大或最小。因此，通过求函数的导数并找到导数为零的点，可以确定函数的极值点。

高中数学导数图像题解题技巧

高中数学导数图像题解题技巧导数是高中数学中的重要概念，它在解析几何和微积分中起着关键作用。

在解析几何中，我们常常需要根据函数的导数来绘制函数的图像。

因此，对于高中学生来说，掌握解题技巧是非常重要的。

一、基本概念回顾在开始解题之前，我们先来回顾一下导数的基本概念。

对于函数y=f(x)，其导数可以表示为f'(x)，也可以表示为dy/dx。

导数表示了函数在某一点上的变化率，即函数曲线在该点的切线斜率。

二、图像题的解题步骤解决导数图像题的关键是理解函数的导数与函数图像之间的关系。

下面，我将介绍一些解题技巧，帮助你更好地理解和解决这类问题。

1. 寻找函数的驻点驻点是函数图像上的极值点和拐点。

在解题时，我们首先需要找到函数的驻点。

对于给定的函数，我们可以通过求导数来找到它的驻点。

例如，考虑函数y=x^3-3x^2。

我们可以求出它的导数为y'=3x^2-6x。

将导数等于零，我们可以解得x=0和x=2。

这两个点就是函数的驻点。

2. 确定函数的增减性和凹凸性在求得函数的驻点后，我们可以通过导数的正负来确定函数的增减性和凹凸性。

当导数大于零时，函数是递增的；当导数小于零时，函数是递减的。

当导数的变号点就是函数的极值点。

例如，对于上面的函数y=x^3-3x^2，我们可以通过导数的正负来确定函数的增减性。

当x小于0时，导数为负，函数递减；当x在0和2之间时，导数为正，函数递增；当x大于2时，导数为正，函数递增。

因此，我们可以得到函数的增减性为递减-递增-递增。

3. 绘制函数的图像通过上面的步骤，我们已经确定了函数的驻点、增减性和凹凸性。

现在，我们可以根据这些信息来绘制函数的图像。

例如，对于函数y=x^3-3x^2，我们可以知道它的驻点为x=0和x=2，增减性为递减-递增-递增。

根据这些信息，我们可以绘制出函数的图像，如下图所示。

（插入图像）三、举一反三通过上面的例子，我们可以看到解决导数图像题的关键是理解函数的导数与函数图像之间的关系。

导数的概念-课件-曲线的切线和瞬时速度

速度定义
速度是位移对时间的变化率，可以理解为瞬时速度的极限情况。
切线与速度
曲线的切线可以表示瞬时速度的方向和大小。
速度图像
通过切线的斜率，可以绘制出物体在不同时间点的速度图像。
实例演示
切线绘制实例
我们将以一个函数的图像为例，展示如何绘制曲线上的切线，并计算切线的斜率。
瞬时速度计算
通过计算切线的斜率，我们可以求解物体在不同时间点的瞬时速度。
当一个函数由两个或多个函数的复合构成时，可以使用链式法则计算导数。
乘积法则
对于两个函数的乘积，可以通过乘积法则计算导数。
曲线的切线
1
切线定义
切线是曲线某一点处与曲线相切的直线。
2
斜率求解
切线的斜率等于曲线在该点处的导数。
3
方程表示
可以使用点斜式方程或斜截式方程表示曲线的切线。
切线与瞬时速度的关系
导数的应用
1
优化问题
导数可以帮助我们求解优化问题，例如确定函数的最大值或最小值。
2
速度与加速度
导数可以用于描述物体的速度和加速度，了解，例如平均速度或平均增长率。
总结和要点
导数的定义：导数的计算：曲线的切线：切线与瞬时速度：导数的应用：
极限定义
导数可以用极限来定义，即函数在某一点的导数等于该点处的斜率极限。
符号表示
导数一般用符号 "f'(x)" 或 "dy/dx" 表示，其中 "f" 是函数，"x" 是自变量。
导数的计算
基本导数法则
链式法则
一些常见的函数的导数可以用简单的法则推导得出。例如，常数函数的导数为 0，幂函数的导数可以通过幂规则计算。

数学精华课件：函数的极值与导数

+
0
—
0
+
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
由表可得40 ff((11)),即aabbcc04 .
又5a=3b,解得a=3,b=5,c=2. (2)设a<0,列表如下:
x (,1) -1 (-1,1) 1 (1, )
f (x)
-
0
≥0 0
-
f(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘
由表可得04 ff((11)),即aabbcc40 . 又5a=3b,解得a=-3,b=-5,c=2.
3)极大值点,极小值点统称为极值点.
4)极大值与极小值统称为极值.
注:函数的极大值、极小值未必是函数的最大值、最小值.
即:极大值不一定等于最大值极小值不一定等于最小值
f(b)
a
b
f(a)
学生活动
（1）极值是对某一点附近的小区间而言的,是函数的局部性质,不是整体的最值;
（2）函数的极值不一定唯一,在整个定义区间内可能有多个极大值和极小值；
4,极小值为0.试确定a,b,c的值. 解: f ( x) 5ax4 3bx2 x2(5ax2 3b).
由题意, f (x) 0应有根 x 1,故5a=3b,于是:
f ( x) 5ax2 ( x2 1).
(1)设a>0,列表如下:
x (,1) -1 (-1,1) 1 (1, )
f (x)
学生活动
可导函数y=f(x)的导数y/与函数值和极值之间的关系为( D ) A、导数y/由负变正,则函数y由减变为增,且有极大值 B、导数y/由负变正,则函数y由增变为减,且有极大值 C、导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极小值 D、导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极大值

函数的图像与导数的关系与应用

案例分析：通过具体案例来展示导数在实际问题中的应用和局限性。
未来展望：探讨未来如何进一步发展和完善导数理论，以更好地解决实际问题。
深度学习与导数的结合：利用深度学习技术，提高函数图像分析的准确性和效率。
动态导数研究：探索函数图像在不同参数变化下的动态表现，为预测和决策提供更准确的信息。
导数在速度和加速度问题中的应用：导数可以用来描述物体的运动状态，例如速度和加速度，这在物理学中有广泛应用。
导数在经济学中的应用：导数可以用来分析经济函数的增减性和最值，例如需求函数和供给函数等。
Part Six
导数可以描述函数图像的形状和变化趋势
导数可以用于解决生活中的优化问题
导数在数学和物理学中有广泛的应用
边际分析：导数可以用来分析经济函数的边际变化，帮助决策者了解经济活动的成本和收益的变化情况。
最优化问题：导数可以帮助解决最优化问题，例如找到使利润最大化的生产数量或投资金额。
弹性分析：导数可以用来分析需求弹性，了解价格变动对需求量的影响，从而制定更加合理的定价策略。
经济增长和衰退：导数可以用来分析经济增长和衰退的规律，了解经济活动的趋势和未来走势。
导数表示函数图像上某点的切线斜率
导数大于零表示函数图像在该点上单调递增
导数小于零表示函数图像在该点上单调递减
导数的符号变化点为函数的拐点或极值点
导数在优化问题中的应用：导数可以用来求解最值问题，例如最大利润、最小成本等。
导数在切线问题中的应用：导数可以用来求曲线的切线方程，这在物理学和工程学中有广泛应用。
应用举例：利用拐点判断函数的极值点、拐点等性质，进而分析函数的单调性、最值等问题
导数等于0的点可能是极值点

导数的几何意义课件(共28张PPT)

y
y f x
P1
T P
y
y f x
P2
T
n 1, 2, 3, 4
O
x
O
x
1
y f x
y
2
y f x
时, 割线PPn的变化趋势是什么?
P
P3
T
T
P4 P
O
x
O
x
3
4
图1.1 2
新授
1、曲线上一点的切线的定义
y=f(x) y Q 割线 T 切线
当点Q沿着曲线无限接近点P即Δ x→0时,割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线. 设切线的倾斜角为α ,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率, 称为曲线在点P处的切线的斜率.
f ( x0 x ) f ( x0 ) y 即: k切线 tan lim lim x 0 x x 0 x
题型三：导数的几何意义的应用
例1:（1）求函数y=3x2在点(1,3)处的导数.
2 3(1 x) 2 3 12 3 x 6x 解：y |x 1 lim lim x 0 x x 0 x
lim 3( x 2) 6
x 0
（2）求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
C
割线与切线的斜率有何关系呢？
k PQ
y=f(x) y Q(x1,y1)
△y
y f ( x x ) f ( x ) ＝ x x
即：当△x→0时，割线 PQ的斜率的极限，就是曲线在点P处的切线的斜率，
P(x0,y0)
△x
M
o
x

二次函数导数与图像的关系

二次函数导数与图像的关系二次函数是高中数学中一个重要的概念，它在数学和物理等领域中都有广泛的应用。

在二次函数的研究中，导数是一个非常重要的概念。

导数可以帮助我们研究二次函数的变化趋势和性质，同时也可以帮助我们更好地理解二次函数的图像。

首先，让我们回顾一下二次函数的定义。

二次函数是指形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b和c是实数，且a不等于零。

二次函数的图像通常是一个开口向上或向下的抛物线。

在研究二次函数的导数与图像的关系之前，我们先来了解一下导数的概念。

导数是函数在某一点处的变化率。

对于二次函数来说，它的导数可以帮助我们研究函数的斜率和凹凸性。

具体来说，二次函数的导数可以告诉我们函数在某一点处的切线的斜率。

如果导数为正，表示函数在该点处递增；如果导数为负，表示函数在该点处递减。

而导数的绝对值越大，表示函数在该点处的变化越剧烈。

接下来，让我们来探讨一下二次函数的导数与图像的关系。

首先，我们来考虑二次函数的导数的符号。

对于二次函数y=ax^2+bx+c来说，它的导数可以表示为y'=2ax+b。

从这个表达式可以看出，二次函数的导数是一个一次函数。

因此，二次函数的导数的符号与二次函数的系数a有关。

当a大于零时，二次函数的导数恒大于零，表示函数在整个定义域上递增；当a小于零时，二次函数的导数恒小于零，表示函数在整个定义域上递减。

其次，我们来研究二次函数的导数与图像的拐点之间的关系。

拐点是指函数图像由凹变凸或由凸变凹的点。

对于二次函数来说，它的导数可以帮助我们确定函数图像的拐点位置。

具体来说，当二次函数的导数为零时，表示函数图像的斜率为零，即函数图像的切线水平。

这时，函数图像可能有一个或两个拐点。

如果导数的二次项系数a大于零，表示函数图像开口向上，有一个拐点；如果导数的二次项系数a小于零，表示函数图像开口向下，有两个拐点。

最后，我们来研究二次函数的导数与图像的极值之间的关系。

极值是指函数图像上的最高点或最低点。

常用导数图像

常用导数图像导数在微积分中起着至关重要的作用，它描述了一个函数在某一点处的变化率。

导数的图像可以帮助我们更直观地理解函数的斜率和变化趋势。

在本文中，将介绍几种常用函数的导数图像，包括线性函数、平方函数、正弦函数和指数函数等。

线性函数首先，让我们来看一下线性函数的导数图像。

对于函数f(f)=ff+f，其中f和f是常数，其导数f′(f)=f恒为常数。

这意味着线性函数的导数图像是一条水平直线，斜率恒定为f。

图中横轴表示自变量f，纵轴表示导数f′(f)。

例如，对于f(f)=2f+3，其导数图像将是一条斜率为2的水平直线。

平方函数接下来，我们来探讨平方函数的导数图像。

考虑函数f(f)=f2，其导数f′(f)=2f。

平方函数的导数图像是一条抛物线，斜率随着f的取值而变化。

当f=0时，斜率为0，在原点处达到极小值。

随着f增大，斜率也逐渐增大。

因此，平方函数的导数图像呈现出逐渐增大的趋势。

正弦函数现在我们转向正弦函数的导数图像。

正弦函数f(f)=fff(f)的导数f′(f)=fff(f)。

正弦函数的导数图像是一个周期性变化的曲线，代表着正弦函数的斜率随着f的变化而变化。

在导数图像中，我们可以观察到正弦函数的斜率在不同的f值处出现正弦曲线的特征。

指数函数最后，我们来看一下指数函数的导数图像。

指数函数f(f)=f f的导数f′(f)=f f。

指数函数的导数图像是一条逐渐增长的曲线，斜率随着f的增大而增大。

指数函数是增长最快的函数之一，因此其导数图像呈现出急剧增长的态势。

通过以上几种函数的导数图像，我们可以更好地理解导数在函数变化中的作用。

导数图像提供了直观的信息，帮助我们分析函数的斜率和变化趋势。

深入研究导数图像有助于我们更好地掌握微积分的重要概念，为解决实际问题提供了有力的工具。

以上为常用导数图像的简要介绍，希望能够帮助读者更好地理解函数的变化规律。

以上为常用导数图像文档，供参考。

导数交点问题(函数图像)

例1（福建理科第21题）已知函数f(x)=－x 2+8x,g(x)=6lnx+m（Ⅰ）求f(x)在区间[t,t+1]上的最大值h(t);（Ⅱ）是否存在实数m ，使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；，若不存在，说明理由。

解：（Ⅰ）略（II ）∵函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，∴令f(x)= g(x) ∴g(x)－f(x)=0∵x>0 ∴函数ϕ(x)=g(x)－f(x) = 2x－8x+6ln x+m 的图象与x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点。

∵262862(1)(3)'()28(0),x x x x x x x x x xϕ-+--=-+==> 当x ∈(0,1)时，)(1x ϕ〉0，)(x ϕ是增函数；当x ∈(1,3)时，)(1x ϕ〈0，)(x ϕ是减函数；当x ∈(3,+∞)时，)(1x ϕ〉0，)(x ϕ是增函数；当x=1或x=3时，)(1x ϕ=0。

∴ϕ(x )极大值=ϕ(1)=m －7, ϕ(x )极小值=ϕ(3)=m+6ln 3－15.∵当x →0+时，ϕ(x)→∞-，当x +∞→时，ϕ(x)+∞→ ∴要使ϕ(x)=0有三个不同的正实数根，必须且只须⎩⎨⎧<-=>-=,0153ln 6)(,07)(＋极小值极大值m x m x ϕϕ ∴7<m<15－6ln 3.所以存在实数m ，使得函数y=f(x)与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，m 的取值范围为（7，15—6ln 3）. （分析草图见下图1）图1 图引申1：如果（Ⅱ）中“有且只有三个不同的交点”变为“有且只有一个不同的交点”怎么解答呢？前面相同，只需把后面改为=极小值)(x ϕm+6In3-15>0或=极大值)(x ϕm-7<0，即m>15-6In3 或m<7时，函数y=f(x)与y=g(x)的图象有且只有一个不同的交点（分析草图见图2和图3）。