数学人教版八年级上册111与三角形有关的角
人教版八年级数学上册11.2与三角形有关的角(教案)
1.理论介绍：首先，我们要了解三角形内角和定理的基本概念。三角形内角和定理指的是一个三角形的三个内角之和为180°。这个定理是几何学中的基础，对于解决与三角形相关的问题具有重要意义。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过测量不同类型三角形的内角，观察并总结内角和定理在实际中的应用。
人教版八年级数学上册11.2与三角形有关的角（教案）
一、教学内容
人教版八年级数学上册第11章《三角形》的11.2节“与三角形有关的角”，本节课将涵盖以下内容：
1.三角形的内角和定理：引导学生通过实际操作、观察、猜想和证明，理解并掌握三角形内角和为180°的性质。
2.三角形内角的计算：培养学生运用内角和定理，解决三角形内角度量的问题。
-外角与内角的关系理解：学生往往难以直观理解外角与相邻内角的关系，需要通过具体实例和动态演示来加深理解。
-外角不等式的应用：在解决具体问题时，学生可能会对外角不等式的应用感到困惑，不知道如何选择正确的内角进行比较。
举例解释：
-在证明内角和定理时，难点在于如何引导学生通过画辅助线，将三角形的内角转化为同一直线上的角，从而证明其和为180°。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了三角形内角和定理、外角和定理的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这些概念的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《与三角形有关的角》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否观察过三角形的形状？”（如三角板、自行车架等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索三角形内角和外角的奥秘。
人教版初中八年级数学上册11.2_与三角形有关的角——三角形的角ppt课件
因为∠B C A +∠A C E +∠E C D =180°﹙平角定义﹚
所以∠B C A +∠A +∠B = 180° ﹙ 等量代换﹚
证法二
已知：△A B C. 求证：∠A +∠B +∠C=180°。
A E
证明：延长B C至点D ，过点C 作C E∥BA.
B
C
D
则∠ A =∠A C E ﹙两直线平行，内错角相等﹚
∴ ∠B C A +∠A +∠B = 180° ﹙ 等量代换﹚
证法一
A
已知：△A B C. 求证：∠A +∠B +∠C=180°。
E 证明：在△A B C的外部以C A 为边 作∠A C E =∠A. 延长BC至点D 。
B
C
D
则 C E∥B A ﹙内错角相等，两直线平行﹚
所以∠D C E =∠B ﹙两直线平行，同位角相等﹚
B
C
证法一
A
已知：△A B C. 求证：∠A +∠B +∠C=180°。
B
C
证法一
A
已知：△A B C. 求证：∠A +∠B +∠C=180°。
B
C
证法一
A
已知：△A B C. 求证：∠A +∠B +∠C=180°。
B
C
证法一
A
已知：△A B C. 求证：∠A +∠B +∠C=180°。
B
C
B
C
证法三
A
已知：△A B C. 求证：∠A +∠B +∠C=180°。
B
C
证法三
人教版八年级数学上册 第11章 第2节 与三角形有关的角 课件(共50张PPT)
北 D
50°
C
1
E
2 40°
B F
你能想出一个更 简捷的方法来求 ∠C的度数吗？
A
解： 过点C画CF∥AD
∵ CF∥AD, 又AD ∥BE ∴ CF∥ BE ∴∠2＝∠CBE ＝40 °
∴ ∠1＝∠DAC＝50 °,
∴ ∠ACB＝∠1﹢∠2 ＝50 °﹢ 40 ° ＝90 ° 例题讲解3
1.如图,从A处观测C处时仰角 ∠CAD＝30°,从B处观测C处时 仰角∠CBD＝45°.从C处观测A、 A B两处时视角∠ACB是多少? 解：在△ACD中
思考与探索
如下图所示是我们常用的三角板,它们的三个角之和为多少度?
30+60+90=180
45+45+90=180
想一想:任意三角形的三个内角之和也为180度吗?
三角形的三个内角和是多少?
你有什么办法可以验证呢?
180° 实践操作
把三个角拼在一起试试看？
从刚才拼角的过程你能 想出证明的办法吗?
证法一
E C
1
北
N 2 40 °
解：过点C画MN⊥AD分别交 AD、BE于点M、N
50°
B
在△AMC中 ∠AMC=90°, ∠MAC=50° ∴∠1=180 °-90°-50° =40°
A
∵ AD∥BE ∴ ∠AMC+ ∠BNC =180 °
∴ ∠BNC =90° 同理得∠2 =50° ∴ ∠ACB =180 ° -∠1 -∠2 =180 °-40°-50° =90°例题讲解3
三角形的内角和等于1800.
延长BC到D， 在△ABC的外部，以CA为一边， CE为另一边作∠1=∠A， 于是CE∥BA ∴∠B=∠2 (内错角相等，两直线平行).
人教版八年级数学上册课件：11.2 与三角形有关的角
新课标 [人]
第十一章 三角形
11.2 与三角形有关的角
三角形内角和定理的应用
例1
已知△ABC中，∠A= 1 ∠B，∠B= 1 ∠C，求
2
△ABC的各个内角的度数.
3
〔解析〕 由于∠A和∠C都与∠B有关,因此可设出∠B的度 数,然后根据三角形的内角和定理列出方程,求出△ABC的各个 内角的度数,从而判断出三角形的形状.
故∠DBE=180°-∠ADB-∠BED=20°.根据BE平分∠ABC得
出∠ABC的度数. 根据∠BAC+∠ABC+∠C=180°，
∠C=60°，即可求解.
解:∵AD是△ABC的高,∴∠ADB=90°.
【解题归纳】 本题是三
, 角形的内角和定理和角平
又∵∠DBE+∠ADB+∠BED=180°,∠BED=70° 分解.
解:∵∠ADB=100°，∠C=80°，
【解题归纳】 本题考查
∴∠DAC=∠ADB-∠C=100°-80°=20°，
∵∠BAD= ∴∠BAD=
1 2
1
∠DAC， ×20°=10°,
2
在△ABD中,∠ABC=180°-∠ADB-∠BAD
了三角形的一个外角等于 与它不相邻的两个内角的 和的性质,三角形的内角 和定理,角平分线的定义, 熟记性质与定理并准确识 图,理清图中各角度之间
直角三角形性质与判定的综合应用
例2 如图所示，在△ABC中，AD是BC边上的高，
点E是AB上一点，CE交AD于点M，且 ∠DCM=∠MAE，求证△ACE是直角三角形.
〔解析〕要证明△ACE是直角三角形，
只要证明∠CEA=90°即可.
证明:∵AD是BC边上的高， ∴∠DMC+∠DCM=90°，
八年级数学上册第十一章三角形11.2与三角形有关的角11.2.1三角形的内角课件新版新人教版
解：∵∠ABC = 70°，∠C = 65°， ∴∠A = 180°–∠ABC –∠C = 45°. ∵BD⊥AC， ∴∠ADB =∠CDB = 90°， ∴∠ABD = 90°–∠A = ∠45°， ∠CBD = 90° – ∠C = 25°.
l BA C
B
C
课堂小结
三角形内角和 等于180°.
方法：度量、剪拼、折叠
BAC
A
B
C
B
CA B
方法：度量、剪拼、折叠
A
C AB
B
B C
B
C
A
方法：度量、剪拼、折叠
A
B
C
追问1 运用度量的方法，得出的三个内 角的和都是180°吗？为什么？
不一定，测量可能会有误差．
追问2 通过度量、剪拼或折叠的方法验证了 手中的三角形纸片的三个内角和等于180°，但我 们手中的三角形只是所有三角形中有限的几个，而 形状不同的三角形有无数个，我们如何能得出“所 有的三角形的三个内角的和都等于180°”这个结 论呢？Fra bibliotekB2A
l
41 5
3C
追问4 通过前面的操作和证明过程，你 受到了什么启发？你还能用其他方法证明此 定理吗？
追问4 通过前面的操作和证明过程，你 能受到什么启发？你能用其他方法证明此定 理吗？
A
m
l
1
5
B 24
6
P
3C
追问4 通过前面的操作和证明过程，你 能受到什么启发？你能用其他方法证明此定 理吗？
练习1 如图，说出各图中∠1 的度数．
80°
50°
50°1
（1）
105°
1 45° 30° （2）
八年级数学上册第十一章三角形11.2与三角形有关的角教案(新版)新人教版
11．2 与三角形有关的角第1课时三角形的内角(一)教学目标1．理解三角形内角和定理及其推论．2．能灵活运用三角形内角和定理解决有关问题．教学重点探索并证明三角形内角和定理．教学难点如何添加辅助线证明三角形内角和定理．一、创设情景，明确目标多媒体展示：内角三兄弟之争在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结．可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了……”“为什么？”老二很纳闷．同学们，你们知道其中的道理吗？二、自主学习，指向目标学习至此：请完成《学生用书》相应部分．三、合作探究，达成目标探究点一三角形的内角和活动一：见教材P11“探究”．展示点评：从探究的操作中，你能发现证明的思路吗？图中的直线l与△ABC的边BC有什么关系？你能想出证明“三角形内角和的方法”吗？证明命题的步骤是什么？证明三角形的内角和定理．小组讨论：有没有不同的证明方法？反思小结：证明是由题设出发，经过一步步的推理，最后推出结论正确的过程．三角形三个内角的和等于180°.针对训练：见《学生用书》相应部分探究点二三角形内角和定理的应用活动二：见教材P12例1展示点评：题中所求的角是哪个三角形的一个内角？你能想出几种解法？小组讨论：三角形的内角和在解题时，如何灵活应用？反思小结：当三角形中已知两角的度数时，可直接用三角形内角和定理求第三个内角；当三角形中未直接给出两内角的度数时，可根据它们之间的关系列方程解决．针对训练：见《学生用书》相应部分四、总结梳理，内化目标1．本节学习的数学知识是：三角形的内角和是180°.2．三角形内角和定理的证明思路是什么？3．数学思想是转化、数形结合．五、达标检测，反思目标1．在直角△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是高，找出图中相等的角．解：∠1与∠C ，∠2与∠B 相等.2．在△ABC 中，∠A ＝80°，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O.(1)求∠BOC 的度数．(2)将∠A 换个度数，那(1)求出是多少？你能体会∠A 和∠BOC 有什么关系吗？解：(1)因为∠A ＝80°，所以∠ACB+∠ABC=180°-∠A=100°.因为∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，所以∠1+∠2=50°，所以∠BOC=180°-50°=130°.(2) 由题意知∠1+∠2=12（180°-∠A ）=90°- 12∠A ，则∠BOC ＝180°-（90°- 12∠A ）=90°＋12∠A. 3．如图，在△ABC 中，AD ，AE 分别是高和角平分线，若∠B ＝40°，∠C ＝60°，求 ∠EAD 的度数．解：在△ABC 中，∠BAC ＝180°－∠B －∠C ＝180°－40°－60°＝80°.因为AE 是∠BAC 的平分线,所以∠EAC ＝∠BAE ＝40°.因为AD 是边BC 上的高， 所以∠ADC ＝90°，所以∠CAD ＝90°－∠C ＝30°.所以∠EAD＝∠EAC－∠CAD＝40°－30°＝10°.第2课时三角形的内角(二)教学目标1．掌握直角三角形的表示方法，并理解直角三角形的性质和判定．2．能运用直角三角形的性质和判定解决实际问题．教学重点理解直角三角形的性质和判定．教学难点运用直角三角形的性质和判定．一、创设情景，明确目标1．三角形的内角和是多少度？(180°)2．直角三角形的内角和是多少度？(180°)它的两个锐角有什么特殊关系吗？——引入新课●自主学习指向目标1．自学教材P13-14．2．学习至此：请完成《学生用书》相应部分．三、合作探究，达成目标探究点一直角三角形的内角活动一：已知，在△ABC中，∠B＝90°，那么∠A＋∠C是多少？展示点评：∵在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°，且∠B＝90°，∴∠A＋∠C＝90°.由此得出：直角三角形的两锐角互余．2．直角三角形的表示方法：为了书写方便，直角三角形可以用符号“Rt△”来表示．活动二：见教材P14例3展示点评：如图，∠CAE与∠DBE分别在哪两个三角形中？(Rt△CAE和Rt△DBE)与这两个角互余的分别是哪两个角？(∠AEC和∠BED)因此能得出∠CAE与∠DBE有什么关系？(相等)依据是什么？(等角的余角相等)解题过程见教材P14.变式：如上图，若AD平分∠CAB，BC平分∠ABD，请求出∠CAD的度数．解：∵AD平分∠CAB，BC平分∠ABD,∴∠CAD ＝∠BAD ＝12∠CAB, ∠ABC ＝∠DBC ＝12∠DBA. 又∵∠CAD ＝∠DBC,∴∠CAD ＝∠DAB ＝∠ABC.在Rt △ABC 中，∠CAB ＋∠ABC ＝90°，∴∠CAD ＝30°.小组讨论1：在直角三角形中两锐角互余在解题方面有哪些运用？反思小结：在直角三角形中，已知一个锐角的度数，可以根据直角三角形的两锐角互余求出另一个锐角的度数，若已知两锐角的关系，也可以借助方程求出它们的度数．针对训练：见《学生用书》相应部分探究点二 判定直角三角形的方法活动三：我们知道，直角三角形的两锐角互余；反之，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？请说明理由．展示点评：是．因为在△ABC 中，∠A ＋∠C ＝90°，所以∠B ＝180°－(∠A ＋∠C)＝90°.所以△ABC 是直角三角形．小组讨论：请用文字语言表述直角三角形新的判定方法？ 【反思归纳】有两个角互余的三角形是直角三角形．针对训练：见《学生用书》相应部分四、总结梳理，内化目标1．直角三角形的内角有什么关系？答：直角三角形的两个锐角互余．2．目前已学的直角三角形的判定方法.答：(1)有一个角是直角的三角形是直角三角形；(2)两边互相垂直的三角形是直角三角形；(3)有两个角互余的三角形是直角三角形．五、达标检测，反思目标1．如图，DF ⊥AB ，∠A ＝40°，∠D ＝43°，则∠ACD 的度数是87°．第1题图 第2题图 2．如图，∠A ＝32°，∠ADC ＝110°，∠B ＝52°，则△BEC 是__直角__三角形．3．在△ABC 中，三个内角∠A ，∠B ，∠C 满足∠B －∠A ＝∠C －∠B ，∠A ＝30°，则∠B ＝__60__°，△ABC是__直角__三角形．4．如图，一副直角三角板，拼成如图所示的图形，其中∠C＝90°，∠B＝45°，∠E＝30°，则∠BFD的度数是( A )A．15°B．25°C．30°D．10°第4题图第5题图5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝22°，则∠BDC等于( C )A．44° B．60° C．67° D．77°6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝α，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转后得到△EDC，此时点D在AB边上，∠CDB＝∠B，求旋转角∠BCD的大小．解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝α，∴∠B＝90°－α，∴∠CDB＝∠B＝90°－α，∴∠BCD＝180°－∠B－∠CDB＝2α，即旋转角的大小为2α.第3课时三角形的外角教学目标掌握三角形的外角的两个性质，能利用三角形的外角的性质解决实际问题．教学重点三角形外角的性质，外角和定理．教学难点三角形外角的定义及定理的推理过程．一、创设情景，明确目标1．三角形三个内角的和等于多少度？2．在△ABC中，(1)∠C＝90°，∠A＝30°，则∠B＝__60°__；(2)∠A＝50°，∠B＝∠C，则∠B＝__65°__．3．如图，在△ABC中，CD是BC边的延长线，∠A＝60°，∠B＝55°.(1)求∠ACD的度数．(115°)(2)∠ACD与∠A，∠B有什么大小关系？(∠ACD＝∠A＋∠B)二、自主学习，指向目标学习至此：请完成《学生用书》相应部分．三、合作探究，达成目标探究点一三角形的外角及相关结论活动一：阅读教材P14－15.思考：三角形的外角是如何定义的？一个三角形有几个外角？展示点评：学生独立写出证明过程，并说明证明的依据是：三角形内角和定理．小组讨论：三角形的一个外角与它相邻的内角有什么关系？与它不相邻的两个内角有什么关系？反思小结：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．针对训练：见《学生用书》相应部分探究点二三角形外角结论的运用活动二：见教材P15 例4展示点评：一个三角形有几个外角，每个顶点处的外角是什么关系？三角形的外角和是多少？如何证明你的结论．小组讨论：你有几种不同的证法？反思小结：三角形每个顶点处有两个外角，是对顶角．我们只研究其中的一个，三个外角的和是360°.针对训练：见《学生用书》相应部分四、总结梳理，内化目标三角形外角的定义，三角形外角的性质．五、达标检测，反思目标1．判断题：(1)三角形的外角和是指三角形所有外角的和．(×)(2)三角形的外角和等于它内角和的2倍．(√)(3)三角形的一个外角等于两个内角的和．(×)(4)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．(√)(5)三角形的一个外角大于任何一个内角．(×)(6)三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角．(√)2．填空：(1)如图．∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝__360°__.(2)五角星的五个角的和是__180°__．3．如图，图甲中的∠1＝69°，图乙中的∠2＝21°．4．如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，AE 是△ABC 的外角的平分线，交BC 的延长线于点E ，且∠BAD ＝20°，∠E ＝50°，求∠ACD 的度数．解：∵AD 平分∠BAC ，∠BAD ＝20°，∴∠BAC ＝2∠BAD ＝40°，∴∠CAF ＝180°－∠BAC ＝140°.∵AE 平分∠CAF ，∴∠CAE ＝12∠CAF ＝70°，∴∠ACD ＝∠E ＋∠CAE ＝120°.。
初中数学人教版八年级上册 第十一章 11.2与三角形有关的角
初中数学人教版八年级上册第十一章11.2与三角形有关的角一、单选题（共9题；共18分）1.三角形三个内角的比是∠A:∠B:∠C=1:1:2，则△ABC是（）A. 等腰三角形B. 等腰直角三角形C. 等边三角形D. 不能确定2.如图，将一个正方形剪去一个角后，∠1+∠2 等于（）A. 120°B. 170°C. 220°D. 270°3.如图，∠A=20°，∠B=30°，∠C=50°，求∠ADB的度数（）A. 50°B. 100°C. 70°D. 80°4.如图，在ΔABC中，∠ACB=100°，∠A=20°，D是AB上一点，将ΔABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（）A. 40°B. 20°C. 55°D. 30°5.如图，在△ABC中，AD是角平分线，AE是高，已知∠BAC＝2∠B，∠B＝2∠DAE，那么∠ACB为（）A. 80ºB. 72ºC. 48ºD. 36º6.如图，在△ABC中，∠A=50°，∠1=30°，∠2=40°，∠D的度数是( )A. 110°B. 120°C. 130°D. 140°7.已知等腰三角形的一个外角等于100°，则它的顶角是（）A. 80°或50°B. 20°C. 80°或20°D. 不能确定8.如图△ABC中，∠A=96°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，依此类推，∠A4BC与∠A4CD的平分线相交于点A5，则∠A5的度数为（）A. 19.2°B. 8°C. 6°D. 3°9.如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=（）度A. 90B. 180C. 200D. 360二、填空题（共7题；共10分）10.在我们的生活中处处有数学的身影，请看图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就得到一个著名的几何定理，请你写出这一定理________.11.一副分别含有30°和45°的两个直角三角板，拼成如图图形，其中∠C＝90°，∠B＝45°，∠E＝30°.则∠BFD 的度数是________.12.三角形的内角和等于________。
数学人教版八年级上册11.2 与三角形有关的角(2).2 与三角形有关的角(第2课时)课件 (新版)新人教版
B
6
4
C
结论：三角形的外 角和等于360°
练一练
1、如图，D是△ABC的BC边上一点，
∠B＝∠BAD，∠ADC＝８0°,
∠BAC=70°.
70°
求：（1）∠B的度数；
（2）∠C的度数.
A
80°
B
D
C
练一练
2、如图,∠A＋∠B＋∠B＋∠D＋∠E＋∠F的度数.
B A
∵∠A+∠B=∠1， ∠C+∠D=∠2， ∠E+∠F=∠3 ∴∠A+∠B+∠C+∠D+
B
C
D
位置关系：外角与它相邻的内角互为邻补角。 数量关系：三角形的一个外角与它相邻内角的和是180°
三角形的一个外角与它不相邻的两 个内角之间 有何关系？ A
∠ ACD+ ∠ ACB=180° ∠ACD= ∠ A+ ∠ B
B
C
D
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
思考：如何说明∠ACD= ∠B+ ∠ A A
C
P
1
N
3
F
∠E+∠F=∠1+∠2+∠3
2
M
∵∠1+∠2+∠3=360°
∴∠A+∠B+∠C+∠D+
D
E
∠E+∠F= 360°
课堂小结
(一)三角形的外角的定义:三角形的一边与 另一边的延长线组成的角. (二)三角形的外角与内角的关系： 1、三角形的一个外角与它相邻的内角互补；
2、三角形的一个外角等于与它不相邻的两 个内角的和；
A D
人教版八年级数学上下册课本目录
人教版八年级数学上下册课本目录在八年级数学教育中，能对学生产生直接影响的就是数学教材。
教材目录选用了什么知识呢?小编整理了关于人教版八年级数学上下册课本目录，希望对大家有帮助!人教版八年级数学上册课本目录第十一章三角形11.1 与三角形有关的线段信息技术应用画图找规律11.2 与三角形有关的角阅读与思考为什么要证明11.3 多边形及其内角和数学活动小结复习题11第十二章全等三角形12.1 全等三角形12.2 三角形全等的判定信息技术应用探究三角形全等的条件12.3 角的平分线的性质数学活动小结复习题12第十三章轴对称13.1 轴对称13.2 画轴对称图形信息技术应用用轴对称进行图案设计13.3 等腰三角形实验与探究三角形中边与角之间的不等关系13.4 课题学习最短路径问题数学活动小结复习题13第十四章整式的乘法与因式分解14.1 整式的乘法14.2 乘法公式阅读与思考杨辉三角14.3 因式分解数学活动小结复习题14第十五章分式15.1 分式15.2 分式的运算阅读与思考容器中的水能倒完吧15.3 分式方程数学活动小结复习题15部分中英文词汇索引人教版八年级数学下册课本目录第十六章二次根式16.1 二次根式16.2 二次根式的乘除16.3 二次根式的加减数学活动小结复习题16第十七章勾股定理17.1 勾股定理阅读与思考勾股定理的证明17.2 勾股定理的逆定理阅读与思考费马大定理数学活动小结复习题17第十八章平行四边形18.1 平行四边形18.2 特殊的平行四边形实验与探究丰富多彩的正方形数学活动小结复习题18第十九章一次函数19.1 函数阅读与思考科学家如何测算岩石的年龄19.2 一次函数信息技术应用用计算机画函数图象14.3 课题学习选择方案数学活动小结复习题19第二十章数据的分析20.1 数据的集中趋势20.2 数据的波动程度阅读与思考数据波动程度的几种度量20.3 课题学习体质健康测试中的数据分析数学活动小结复习题20部分中英文词汇索引。
初中八年级数学人教版11.2 与三角形有关的角
1、如图，用火柴摆上系列图案，按这种方式摆下去，当每边摆10根时（即n=10）时，需要的火柴棒总数为（）根．A．165B．65C．110D．55A图形从上到下可以分成几行，第n行中，斜放的火柴有2n根，下面横放的有n根，因而图形中有n排三角形时，火柴的根数是：斜放的是2+4+…+2n=2（1+2+…+n），横放的是：1+2+3+…+n，则每排放n根时总计有火柴数是：3（1+2+…+n）=．把n=10代入就可以求出．解：根据题意得出规律每排放n根时总计有火柴数是：3（1+2+…+n）=，当每边摆10根（即n=10）时，需要的火柴棒总数为=165．故选A．2、如图，在△ABC中，∠ A=60度，点D，E分别在AB，AC上，则∠ 1+∠2的大小为多少度（）A．140B．190C．320D．240D先根据三角形外角的性质得到∠ A+∠ ADE=∠ 1，∠ A+∠ AED=∠ 2，再把两式相加，根据三角形内角和定理及∠ A=60°即可得出答案．解：∵∠ A+∠ ADE=∠ 1，∠ A+∠AED=∠ 2，∴∠ A+（∠ A+∠ADE+∠ AED）=∠1+∠ 2，∵∠ A+∠ ADE+∠ AED=180°，∠ A=60°，∴∠ 1+∠ 2=60°+180°=240°．故选D．3、如图己知DF⊥ AB，∠ A=35°，∠ D=50°，则∠ ACB的度数为（）A．100°B．105°C．90°D．80°B由DF与AB垂直，根据垂直定义得到∠ BFD=90°，即三角形BFD为直角三角形，根据直角三角形的两个锐角互余，由∠ D的度数求出∠ B的度数，然后在△ ABC中，利用三角形的内角和定理，由∠ A和∠ B即可求出∠ ACB的度数．解：∵DF⊥ AB，∴∠ BFD=90°，又∠ D=50°，∴∠ B=40°，在△ABC中，根据三角形的内角和定理得：∠ ACB=180°﹣40°﹣35°=105°．故选B4、在三角形中三个内角为α，β，γ且α≥β≥γ，α=2γ，则β的范围是（）A．30°≤β≤45°B．30°≤β≤60°C．45°≤β≤72°D．60°≤β≤72°C先根据三角形的内角和定理表示出β，然后根据α≥β≥γ及α=2γ可确定γ的范围，从而可确定β的范围．解：∵α+β+γ=180°，α=2γ，∴β=180°﹣α﹣γ=180°﹣3γ．∵α≥β≥γ，∴γ≤180°﹣3γ≤α，∴ 4γ≤180°≤5γ，∴ 36°≤γ≤45°，∴ 180°﹣3×45°≤180°﹣3γ≤180﹣3×36°∴ 45°≤β≤72°．故选：C．5、如图，矩形ABCD的长为a，宽为b，如果，则=（）A．B．C．D．A连接DB，由S矩形ABCD=S1+S2+S3+S4，，利用则，同理EB=，求得S3，然后即可求得S4．解：S矩形ABCD=S1+S2+S3+S4∴∴连接DB，如图，则∴ CF：BC=∴ FB=同理，EB=∴∴，故选A6、如图，若AB∥ CD，∠ C=64°，则∠ A+∠ E的度数为（）A．116°B．64°C．54°D．26°B根据平行线的性质求出∠ EOB，根据三角形的外角性质求出即可．解：∵AB∥ CD，∴∠ EOB=∠ C=64°，∵∠ A+∠ E=∠ EOB=64°．故选B．7、下列说法：①三角形的高是线段；②直角三角形只有一条高线；③三角形的中线可能在三角形的外部；④三角形的一个外角一定大于三角形的内角．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个A三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段；三角形的中线就是连接一个顶点和它对边中点的线段；三角形的一个外角一定大于与它不相邻的内角．解：①三角形的高是线段，正确；②直角三角形有三条高线，错误；③三角形的中线都在三角形的内部，错误；④三角形的一个外角一定大于与它不相邻的内角，错误．故选A．8、已知△ ABC中的三个内角为∠ A，∠ B，∠ C，令∠ 1=∠ A+∠ B，∠ 2=∠ B+∠ C，∠ 3=∠ C+∠ A，则∠ 1，∠ 2，∠ 3中锐角的个数至多有（）A．0个B．1个C．2个D．3个B根据三角形内角与外角的关系及两角互补的关系解答．解：∵∠ 1，∠ 2，∠ 3三个角分别是∠ C，∠ A，∠ B相邻的外角，∴∠ 1+∠ C=180°，∴∠ 2+∠ A=180°，∠ 3+∠ B=180°，又∵∠ A，∠ B，∠ C三个角中最多有一个钝角，∴∠ 1，∠ 2，∠ 3中锐角的个数至多有1个锐角．故选B．9、如图，AD是∠ CAE的平分线，∠ B=35°，∠ DAC=60°，则∠ ACD=（）A．25°B．85°C．60°D．95°D首先根据平角定义，得∠ DAE=60°，再根据三角形的外角性质，得∠ ACD=∠ B+∠ BAC=95°．解：∵∠ CAD=∠ DAE=60°，∴∠ BAC=60°，∴∠ ACD=∠ B+∠ BAC=35°+60°=95°．故选D10、直角三角形两个锐角的平分线所构成的钝角等于度．135直角三角形两锐角之和等于90°，再结合角平分线的性质和三角形的内角和定理，很容易求出所求角的度数．解：由题意画出图形如下所示：在Rt△ ABC中，∠ C=90°，两个锐角的角平分线AO和BO相交于点O．∵∠ CAB+∠ CBA=90°，AO、BO是角平分线，∴∠ OAB+∠ OBA=（∠ CAB+∠ CBA）=45°，∴在三角形AOB中，∠ AOB=180°﹣（∠ OAB+∠ OBA）=135°．11、已知△ ABC中，AB=5，BC=3，则AC的取值范围是．2＜AC＜8根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析求解．解：根据三角形的三边关系，得5﹣3＜AC＜5+3，即2＜AC＜8．故答案为：2＜AC＜8．12、三角形的两边工分别为2cm，5cm，第三边长为xcm也是整数，则当三角形的周长取最大值时，x的值为cm．6根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，求得第三边的取值范围；再根据周长最大和第三边是整数，确定第三边的值即可．解：根据三角形的三边关系，得第三边的取值范围是大于3而小于7．又第三边是整数，故第三边的值可能是4，5，6．又要求周长最大，则第三边取6．13、已知△ ABC中，中线AD=5，AB=3，则边AC的长一定小于．13巧妙作辅助线：延长AD到点E，使AD=DE．构造了全等三角形；把要求的线段和已知的线段转换到一个三角形中，根据三角形的三边关系进行求解．解：如图，延长AD到点E，使AD=DE．∵点D是BC的中点，∴ BD=DC，又有AD=DE，∠ ADB=∠BDC，∴△ ADB≌△ BDC，∴ CE=AB=3，AE=2AD=10．∴ AC＜AE+CE=10+3=13．14、甲地离学校4km，乙地离学校1km，记甲乙两地之间的距离为dkm，则d的取值范围为．3≤d≤5甲乙两地的地理位置有两种情况：（1）甲乙都在学校同侧；（2）甲乙在学校两侧．再根据已知条件列出不等式，化简即可．解：（1）甲乙都在学校同侧，则d≥4﹣1=3；（2）甲乙在学校两侧，则d≤4+1=5；则d的取值范围为：3≤d≤5．15、在△ ABC中，AD是中线，△ ABD的面积S△ ABD=28cm2，则△ ABC的面积S△ ABC= cm256根据三角形的一条中线将三角形的面积平均分成两份，求出三角形ABC的面积．解：∵S△ ABD=，S△ ABC=，BD边上的高=BC边上的高，BC=2BD，∴ S△ ABC=2S△ ABD=2×28=56cm2．16、如图，将∠BAC沿DE向∠BAC内折叠，使AD与A′D重合，A′E与AE重合，若∠ A=30°，则∠1+∠ 2= ．60°由折叠的性质，可得：∠ A′=∠ A=30°，利用三角形的内角和定理与邻补角的性质即可求得∠ 1+∠ 2的值．解：根据题意得：∠A′=∠ A=30°，在△ADE与△ A′DE中，∠ A+∠ ADE+∠ AED=180°，∠ A′+∠ A′DE+∠ A′ED=180°，∴∠ ADE+∠ AED=150°，∠ A′DE+∠ A′ED=150°，∵（∠ 1+∠ A′DE+∠ ADE）+（∠ AED+∠ A′ED+∠2）=180°+180°=360°，∴∠ 1+∠ 2=60°．故答案为：60°．17、如图，在7×5的网格图中，若每个小正方形的边长为1，则▱ABCD的面积是．12根据三角形的面积公式S三角形=底×高求得在矩形EFGH与平行四边形ABCD间的四个小直角三角形的面积，然后由S矩形﹣S三角形=S▱ABCD求解即可．解：∵S△ AGB=×2×2=2，S△ BCF=×5×1=，S△ CDE=×2×2=2，S△ ADH=×5×1=，S矩形EFGH=7×3=21，∴ S▱ABCD=S矩形EFGH﹣S△ AGB﹣S△ BCF﹣S△ CDE﹣S△ ADH=12；故答案是：12．18、如图，△ABC中，D是AC边的二等分点，E是BC边的四等分点，F是BD边的二等分点，若S△ ABC=16，则S△ DEF= ．3根据三角形的面积公式：S=×底×高，找到等高不同底的三角形，然后根据已知条件“D是AC边的二等分点，E是BC边的四等分点，F是BD边的二等分点”求得这些三角形底边边长之间的数量关系，从而求得三角形DEF的面积．解：∵D是AC边的二等分点，S△ ABC=16，∴ AD=DC，∴ S△ ABD=S△ CBD=S△ ABC=8；又∵E是BC边的四等分点，∴ S△ BDE=S△ BCD=6；而F是BD边的二等分点，∴ S△ DEF=S△ BDE=3．故答案是：3．19、如图，点A、B、C、D是直线L上的四点．已知点E是直线L外的一点．则图中的线段有条，三角形有个．10；6线段AD上有4个点，可以与点E组成4×（4﹣1）÷2=6个三角形；线段AD上有4个点，那么有条线段，点E与线段AD上的4个点可以连接4条线段．解：线段AD与点E组成的三角形的个数：4×（4﹣1）÷2=6；线段AD上有4个点，那么有该线段上的线段的条数是：=6，点E与线段AD上的4个点可以连接4条线段，故图中的线段的条数是6+4=10；故答案是：10；6．20、已知△ ABC的三个顶点坐标分别是A（0，4），B（﹣2，0），C（2，0），点D的坐标为（0，1），若E为△ ABC边界上一点，且折线BDE将△ ABC的面积分成相等的两部分，则点E的坐标为．求出BC、OA的值，求出三角形ABC的面积，求出△ ABO、△ ACO的面积等于4，①当E在AB上时，求出△ BDE的面积小于△ AOB的面积，判断此时不符合题意；②当E在BC上时，△ BDE″的面积小于4，此时不符合题意；③当E在AC上时，设直线AC的解析式是y=kx+b，把A（0，4），C（2，0）代入求出直线AC的解析式是y=﹣2x+4，设E′（x，﹣2x+4），代入S△ ADB+S△ ADE′=4，得出×（4﹣1）×|﹣2|+×（4﹣1）×x求出即可．解：∵ A（0，4），B（﹣2，0），C（2，0），∴ BC=2﹣（﹣2）=4，OA=4，∴△ ABC的面积是×4×4=8，即△ABO和△ AOC的面积都是4，①当E在AB上时，如在E处或A处上，∵△ BDE、△ BDA的面积都小于△ AOB的面积，∴此时折线BDE将△ABC的面积不能分成相等的两部分；②当E在BC上时，如在E″处或C处，同样△ BDE″、△ BDC的面积都小于4，此时折线BDE 将△ ABC的面积不能分成相等的两部分；③当E在AC上时，如在E′点，设直线AC的解析式是y=kx+b，把A（0，4），C（2，0）代入得：，解得：k=﹣2，b=4，即直线AC的解析式是y=﹣2x+4，设E′（x，﹣2x+4），∵折线BDE′将△ ABC的面积分成相等的两部分，=4，∴ S△ ADB+S△ ADE′即×（4﹣1）×|﹣2|+×（4﹣1）×x，解得：x=，﹣2x+4=，故答案为：．21、如图，在△ABC中，点G是重心，那么= ．由于G是△ ABC的重心，可得AG=2GM；根据等高三角形的面积比等于底边比，可求出△ ABG和△ ABM的比例关系；同理M是BC中点，可得出△ ABM和△ ABC的面积比，由此得解．解：∵G是△ ABC的重心，∴ AG=2GM；∴ S△ AGB=2S△ BGM，即S△ ABG=S△ ABM；∵ M是BC的中点，即BM=BC，∴ S△ ABC=2S△ ABM；故=．故答案为：．22、已知点G是△ ABC的重心，AD是中线，AG=6，那么DG= ．3根据三角形重心的性质进行求解．解：∵G是△ABC的重心，且AD是中线∴ AG=2GD=6，即DG=3．23、已知△ ABC的重心G到BC边上中点D的距离为2，那么中线AD长为．6根据三角形重心的性质求解即可．解：∵G是△ ABC的重心，∴ AG=2GD=4；∴ AD=AG+GD=6．24、如图，点G是△ ABC的重心，且△ABC的面积为9cm2，则△ABG的面积为cm2．3延长CG交AB于D点，由重心的性质可知，DG=CD，由此可得S△ ADG=S△ ACD，同理S△S△ BCD，故S△ ABG=S△ ABC．BDG=解：延长CG交AB于D点，根据重心的性质，得DG=CD，∴ S△ ADG=S△ ACD，同理S△ BDG=S△ BCD，∴ S△ ABG=S△ ABC=3cm2．25、如图，G是△ ABC的重心，AG⊥ GC，AC=4，则BG的长为．4延长BG交AC于D点，G是△ABC的重心，故BD为△ABC的中线；又AG⊥GC，故GD为Rt△AGC斜边上的中线，根据直角三角形斜边上中线的性质可知GD=AC，根据重心的性质，BG=2GD=AC．解：延长BG交AC于D点，∵ G是△ ABC的重心，∴ BD为△ ABC的中线；又∵AG⊥ GC，∴ GD为Rt△AGC斜边上的中线，∴ GD=AC，∵ G是△ ABC的重心，∴ BG=2GD=AC=4．26、如图，AD是△ ABC的外角∠ CAE的平分线，∠B=30°，∠ DAE=55°，则∠ ACD= ．100°先根据AD是△ ABC的外角∠ CAE的平分线，∠ DAE=55°求出∠EAC的度数，再根据三角形外角的性质即可求出∠ ACB的度数，再根据平角的性质即可求出∠ ACD的度数．解：∵AD是△ ABC的外角∠ CAE的平分线，∠B=30°，∠ DAE=55°，∴∠ EAC=2∠ DAE=2×55°=110°，∵∠ EAC是△ ABC的外角，∴∠ EAC=∠ B+∠ ACB，∵∠ B=30°，∴∠ ACB=∠ EAC﹣∠ B=110°﹣30°=80°，∴∠ ACD=180°﹣∠ ACB=180°﹣80°=100°．故答案为：100°．27、如果∠ A：∠ B：∠ C=1：2：3，那么△ ABC是三角形．直角设∠ A=x°，∠ B=2x°，∠ C=3x°，根据三角形的内角和定理得出x+2x+3x=180，求出x 即可．解：直角，理由是：设∠A=x°，∠ B=2x°，∠ C=3x°，∵∠ A+∠ B+∠ C=180°，∴ x+2x+3x=180，x=30，即∠A=30°，∠ B=60°，∠ C=90°，∴△ ABC是直角三角形，故答案为：直角．28、在△ ABC中，∠ C=40°，∠ B比∠ A大20°，则∠ A=．60°由题意可知：设∠A为x°，则∠B为x°+20°，再利用三角形的内角和是180°得：x+x+20+40=180，解此方程即可解决问题．解：设∠A=x°，则∠B=x°+20°．根据三角形的内角和定理得：x+x+20+40=180，2x=180﹣60，x=60．故答案为：60°．29、若a、b、c是△ ABC的三边，且满足|a+b﹣8|+|a﹣b﹣2|=0，则c的取值范围．根据非负数的性质求得a+b=8、a﹣b=2，即△ ABC的两边a、b之和是8，a、b之差是2．根据在三角形中任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；即可求第三边长c的范围．解：∵|a+b﹣8|+|a﹣b﹣2|=0，∴ a+b﹣8=0，a﹣b﹣2=0，∴ a+b=8、a﹣b=2；又∵a、b、c是△ ABC的三边，∴ a+b＜c＜a﹣b，即2＜c＜8；故答案为：2＜c＜8．30、将一幅三角板拼成如图所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F．（1）求证：CF∥AB．（2）求∠DFC的度数．（1）证明：∵CF平分∠DCE，∴∠1=∠2=∠DCE，∵∠DCE=90°，∵∠3=45°，∴∠1=∠3，∴AB∥CF；（2）∵∠D=30°，∠1=45°，∴∠DFC=180°﹣30°﹣45°=105°．（1）首先根据角平分线的性质可得∠1=45°，再有∠3=45°，再根据内错角相等两直线平行可判定出AB∥CF；（2）利用三角形内角和定理进行计算即可．31、在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1．（1）按下列要求画图：过点C画AB的平行线DF；过点A画AB的垂线MN．（2）计算△ABC的面积．解：（1）如图所示（2）∵三角形ABC的面积正好是9个小正方形的面积减去3个三角形的面积，即；S△ABC=．答；△ABC的面积为．（1）如图所示，线段AB正好在格点上，所以过C点沿AB向上平移2个小正方形对角线的距离即可，连接格点A左小正方形向上平移第三个对角线格点即可．（2）从9个小正方形的面积减去3个三角形的面积即可．32、如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ ABC的高线和角平分线．（1）若∠C=30°，∠C=50°，求∠之神支架不扣DAE的度数；（2）若∠ B=α，∠C=β，用含α，β的式子表示∠ DAE．你可以不教我．解：（1）∵ AD是△ ABC的高，∴∠ ADC=90°，∵∠ C=50°，∴∠ DAC=40°，∵∠ B=30°，∠ C=50°，∴∠ BAC=180°﹣∠ B﹣∠ C=100°，∵ AE是△ABC的角平分线，∴∠ EAC=∠BAC=50°，∴∠ DAE=∠ EAC﹣∠ DA C=50°﹣40°=10°；（2）∵ AD是△ ABC的高，∴∠ ADC=90°，∵∠ C=β，∴∠ DAC=90°﹣β，∵∠ B=α，∠ C=β，∴∠ BAC=180°﹣∠ B﹣∠ C=180°﹣α﹣β，∵ AE是△ ABC的角平分线，∴∠ EAC=∠BAC=（180°﹣α﹣β）=90°﹣α﹣β，∴当α＜β时，∠ DAE=∠ EAC﹣∠ DAC=（90°﹣α﹣β）﹣（90°﹣β）=β﹣α，当α＞β时，∠ DAE=∠ DAC﹣∠ EAC=90°﹣β﹣（90°﹣α﹣β）=α﹣β．（1）首先根据三角形高的性质，求得∠DAC的度数，又由AE是三角形的角平分线，求得∠EAC=∠BAC，由三角形的内角和等于180°，即可求得∠EAC的度数，则问题得解；（2）解题方法与（1）一样，注意分析∠ B与∠ C的大小，存在两个答案．33、（1）如图1，∠ A=70°，BP、CP分别平分∠ ABC和∠ ACB，则∠ P的度数是．（2）如图2，∠ A=70°，BP、CP分别平分∠ EBC和∠ FCD，则∠ P的度数是．（3）如图3，∠ A=70°，BP、CP分别平分∠ ABC和∠ ACD，求∠ P的度数．解：（1）∵ BP、CP分别平分∠ ABC和∠ ACB，∴∠ PBC=∠ABC，∠ PCB=∠ACB，∴∠ PBC+∠ PCB=（∠ ABC+∠ ACB），=×（180°﹣∠ A）=55°，∴∠ P=180°﹣（∠ PCB+∠ PBC）=125°，故答案为：125°．（2）∵∠EBC=∠ A+∠ ACB，∠ FCB=∠A+∠ ABC，∴∠ EBC+∠ FCB=∠ A+∠ ACB+∠ A+∠ ABC，=180°+70°=250°，∵ BP、CP分别平分∠EBC和∠ FCD，∴∠ PBC=∠EBC，∠ PCB=∠FCB，∴∠ PBC+∠ PCB=（∠ EBC+∠ FCB），=125°，∴∠ P =180°﹣（∠ P BC+∠ PCB）=55°，故答案为：55°．（3）∠ ACD=∠A+∠ ABC，∵ CP平分∠ ACD，BP平分∠ABC，∴∠ PBC=∠ABC，∠ PCA=∠ACD=∠A+∠ABC，∵∠ P=180°﹣（∠ PBC+∠ PCA+∠ ACB），=∠A=35°，即∠P等于∠ A的一半，答：∠ P的度数是35°．（1）根据BP、CP分别平分∠ ABC和∠ ACB，得到∠ PBC=∠ABC，∠ PCB=∠ACB，求出∠PBC+∠PCB=55°，根据三角形的内角和定理求出∠ P即可；（2）根据∠ EBC=∠A+∠ ACB，∠ FCB=∠A+∠ ABC，求出∠ EBC+∠FCB=250°，根据BP、CP分别平分∠ EBC和∠ FCD，得到∠ PBC=∠EBC，∠ PCB=∠FCB，求出∠ PBC+∠PCB=125°，即可求出答案；（3）根据∠ ACD=∠ A+∠ ABC，和CP平分∠ ACD，BP平分∠ ABC，得到∠ PBC=∠ ABC，∠ PCA=∠ ACD=∠ A+∠ ABC，根据∠ P=180°﹣（∠ PBC+∠ PCA+∠ ACB），得到∠ A即可．34、如图，在△ABC中，∠ A=40°，∠ B=72°，CD是AB边上的高；CE是∠ ACB的平分线，DF⊥ CE于F，求∠ BCE和∠ CDF的度数．解：∵∠ A+∠ B+∠ ACB=180°，∠ A=40°，∠ B=72°，∴∠ ACB=68°，∵ CE平分∠ ACB，∴∠ BCE=∠ACB=×68°=34°，∵ CD⊥ AB，∴∠ CDB=90°，∵∠ B=72°，∴∠ BCD=90°﹣72°=18°，∴∠ FCD=∠ BCE﹣∠ BCD=16°，∵ DF⊥ CE，∴∠ CFD=90°，∴∠ CDF=90°﹣∠ FCD=74°，即∠ BCE=34°，∠ CDF=74°．求出∠ ACB，根据角平分线定义求出∠ BCE即可，根据三角形内角和定理求出∠ BCD，代入∠ FCD=∠ BCE﹣∠ BCD，求出∠ FCD，根据三角形的内角和定理求出∠ CDF即可．35、如图，△ABC中，CD是∠ ACB的角平分线，CE是AB边上的高，若∠ A=40°，∠ B=60°，求∠DCE的度数．解：在△ABC中．∠ A=40°，∠ B=60°∴∠ ACB=180°﹣∠ A﹣∠ B=80°∵CD平分∠ ACB∴∠ BCD=∠ACB=40°，∵ CE是AB边上的高，∴∠ CEA=90°，∴∠ BCE=90°﹣∠ B=30°，∴∠ DCE=∠ BCD﹣∠ BCE=40°﹣30°=10°．先在△ ABC中求得∠ ACB，再由角平分线的性质求得∠ BCD，在Rt△ BCE中，求得∠ BCE，进一步可求∠ DCE的度数．36、如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠ AON=30°，当∠A= 时，△ AOP为直角三角形；当∠A满足时，△ AOP为钝角三角形．解：要使△AOP是直角三角形，应分为两种情况：①当∠ A=90°时，△ AOP是直角三角形，②当∠ APO=90°时，∠ A=180°﹣90°﹣30°=60°，要使△AOP是钝角三角形，应分为两种情况；①当∠A是钝角时，∠ A＞90°，△ AOP是钝角三角形；②当∠ APO时钝角时，∠A＜60°，△ AOP是钝角三角形；故答案为：90°或60°，大于90°或小于60°．要使△ AOP是直角三角形，应分为两种情况：①当∠ A=90°时，②当∠ APO=90°时，求出∠ A=60°，要使△ AOP是钝角三角形，应分为两种情况；①当∠ A是钝角时，∠ A＞90°，②当∠ APO时钝角时，∠ A＜60°，37、生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，如图两幅图都是由同一副三角板拼凑得到的：（1）请你计算出图1中的∠ ABC的度数．（2）图2中AE∥BC，请你计算出∠ AFD的度数．解：（1）∵∠F=30°，∠ EAC=45°，∴∠ ABF=∠ EAC﹣∠ F=45°﹣30°=15°，∵∠ FBC=90°，∴∠ ABC=∠ FBC﹣∠ ABF=90°﹣15°=75°；（2）∵∠B=60°，∠ BAC=90°，∴∠ C=30°，∵ AE∥ BC，∴∠ CAE=∠ C=30°，∴ ∠ AFD=∠ CAE+∠ E=30°+45°=75°．（1）由∠ F=30°，∠ EAC=45°，即可求得∠ ABF的度数，又由∠FBC=90°，易得∠ ABC的度数；（2）首先根据三角形内角和为180°，求得∠ C的度数，又由AE∥ BC，即可求得∠ CAE的值，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得∠ AFD的度数．38、解答下列问题（1）如图，△ ABC中，∠ ABC=50°，∠ ACB=70°，D为边BC上一点（D与B、C不重合），连接AD，∠ADB的平分线所在直线分别交直线AB、AC于点E、F．求证：2∠ AED﹣∠ CAD=170°；（2）若∠ ABC=∠ACB=n°，且D为射线CB上一点，（1）中其他条件不变，请直接写出∠ AED与∠ CAD的数量关系．（用含n的代数式表示）证明：（1）∵ DE平分∠ ADB，∴设∠ ADE=∠BDE=x°．∵∠ AED=∠ ABC+∠ BDE，∠ ABC=50°，∴∠ AED=x°+50°．①∵∠ ADB=∠ ACB+∠ CAD，∵∠ CAD=∠ ADB﹣∠ ACB，∵∠ ACB=70°，∠ ADB=（2x）°，∵∠ CAD=（2x）°﹣70°．②∴由①×2﹣②，得：2∠ AED﹣∠ CAD=170°；（2）2∠ AED﹣∠ CAD=（3n）°或2∠ AED+∠ CAD=540°﹣（3n）°．设∠ ADE=∠ BDE=x°，则可表示出∠ AED；再结合三角形的外角性质可表示出∠ CAD，即可推出两个角的关系．39、小明在学习三角形内角和定理时，自己做了如下推理过程，请你帮他补充完整．已知：如图，△ABC中，∠ A、∠ B、∠ C是它的三个内角，那么这三个内角的和等于多少？为什么？解：∠A+∠ B+∠ C=180°理由：作∠ACD=∠ A，并延长BC到E∠ 1=∠ A（已作）∴ AB∥ CD （）∴∠ B= （）而∠ACB+∠ 1+∠ 2=180°∴∠ ACB+ + =180°（等量代换）解：∠A+∠ B+∠ C=180°．理由：作∠ACD=∠ A，并延长BC到E∠ 1=∠ A（已作）∴ AB∥ CD （内错角相等，两直线平行）∴∠ B=∠ 2（两直线平行，同位角相等）而∠ACB+∠ 1+∠ 2=180°∴∠ ACB+∠ B+∠ A=180°（等量代换）．故答案是：内错角相等，两直线平行；∠2；两直线平行，同位角相等；∠ B；∠ A．作∠ ACD=∠ A，并延长BC到E．利用平行线的判定推知AB∥ CD，然后根据平行线的性质可知∠ B=∠ 2；最后由等量代换证得∠ ACB+∠ B+∠ A=180°．40、如图，直线a∥ b，直线AC分别交a、b于点B、点C，直线AD交a于点D．若∠1=20°，∠2=65°，求∠ 3的度数．解：∵a∥ b，∴∠ 2=∠ 4（两直线平行，内错角相等），又∵∠ 4=∠ 1+∠ 3（外角定理），∠1=20°，∠ 2=65°，∴∠ 3=∠ 2﹣∠ 1=45°，即∠3=45°．根据两直线a∥ b推知，内错角∠ 2=∠ 4；然后由三角形的外角性质及等量代换求得∠ 3的度数即可．教师出题相关试题库：/teacher/paper/new?source=fromwk学生查看相关知识点：/teacher/lesson/prepare?source=fromwk寻找同班同学，自己的老师：/home/class?source=fromwk。
人教版八年级数学上册 11.2与三角形有关的角 知识点归纳
人教版八年级数学上册11.2与三角形有关的角知识点归纳
按角来分类：
三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°。
直角三角形的两个锐角互余。
有两个角互余的三角形是直角三角形。
三角形的一边与另一边的反向延长线组成的角，叫做三角形的外角。
三角形每个顶点处都有两个外角，它们互为对顶角，因此相等。
三角形有6个外角。
但是算外角和的时候，只从每个顶点处抽一个外角来相加,所得的和就是这个三角形的外角和。
三角形外角和等于360°。
如图，∠1+∠3+∠5=360°。
三角形外角定理：
①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和。
②三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角。
【人教版】数学八年级上 册 11.2三角形有关的角第二课时(共23张ppt)
7、人往往有时候为了争夺名利，有时驱车去争，有时驱马去夺，想方设法，不遗余力。压力挑战，这一切消极的东西都是我进取成功的催化剂。 8、真想干总会有办法，不想干总会有理由;面对困难，智者想尽千方百计，愚者说尽千言万语;老实人不一定可靠，但可靠的必定是老实人;时间，抓起来是黄金，抓不起来是流水。 9、成功的道路上，肯定会有失败;对于失败，我们要正确地看待和对待，不怕失败者，则必成功;怕失败者，则一无是处，会更失败。1、快乐总和宽厚的人相伴，财富总与诚信的人相伴，聪明总与高尚的人相伴，魅力总与幽默的人相伴，健康总与阔达的人相伴。
又∵∠C＝180°－∠ADC－∠DAC
∴∠C＝180°－80°－30°＝70°
五、运用新知
例1：如图，D是△ABC的BC边上 一点，∠B＝∠BAD，∠ADC＝
80°，∠BAC=70°.
求：（1）∠B的度数； （2）∠C的度数. B
A
80°
D
C
（2）解法2：∵∠B＋∠BAC＋∠C＝180° ∴∠C＝180°－∠B－∠BAC ＝180°－40°－70°＝70°
12、你们要学习思考，然后再来写作。——布瓦罗 13、在寻求真理的长河中，唯有学习，不断地学习，勤奋地学习，有创造性地学习，才能越重山跨峻岭。——华罗庚
14、许多年轻人在学习音乐时学会了爱。——莱杰 15、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基 16、我们一定要给自己提出这样的任务：第一，学习，第二是学习，第三还是学习。——列宁 17、学习的敌人是自己的满足，要认真学习一点东西，必须从不自满开始。对自己，“学而不厌”，对人家，“诲人不倦”，我们应取这种态度。——毛泽东
人教八年级数学上册与三角形有关的角
（1）已知直角三角形的一个锐角A，那么另一个锐 角∠B=90°-∠A； （2）如果∠A，∠B是Rt△ABC的两个锐角，那么 ∠A+∠B=∠C； （3）在△ABC中，如果∠A+∠B=∠C，那么这个 三角形是直角三角形； （4）在△ABC中，如果∠A=∠B=45°，那么这个 三角形是等腰直角三角形
例3 如图11-2-1，BD是△ABC的高，AE是角平分线， ∠BAE=26°，求∠BFE的度数.
图11-2-1
解：∵AE是角平分线，∠BAE=26°， ∴∠FAD=∠BAE=26°.
∵BD是△ABC的高，∴∠AFD=90°-∠FAD=90°26°=64°.
∴∠BFE=∠AFD=64°.
(1)在直角三角形中，如果已知一个锐角，那么可以由直 角三角形两锐角互余，求解另一个锐角；（2）如果已 知的角与要求解的角没有直接联系时，就要通过等角的 代换进行搭桥.
（1）三角形的外角和等于360°； （2）三角形任何一个外角大于与它不相邻的每一个内角.
例5 如图11-2-3，DE分别交△ABC的边AB，AC于 点D，E，DE的延长线交BC的延长线于点F，若∠B＝ 67°，∠ACB＝74°，∠AED＝48°，求∠BDF的度数.
图11-2-3
解：∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∴∠A=180°∠B-∠ACB=180°-67°-74°=39°.
三角形的外角等
于与它+∠B
知识 解读
（1）三角形每一个顶点上的外角有两个，是一 对对顶角，一般地，把三角形的外角视为三个；
（2）三角形任何一个外角等于与其不相邻的两 个内角的和，与和它相邻的内角是互补关系
注意：推论是由定理直接推出的结论.和定理一样，推 论可以作为进一步推理的依据.
八年级数学上册《与三角形有关的角》知识点整理人教版
八年级数学上册《与三角形有关的角》
知识点整理人教版
知识点一
三角形的内角和定理：三角形内角和为180°
知识点二
三角形外角的性质：
.三角形的一个外角与相邻的内角互补;
2.三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和;
3.三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角.
课后小练习
.一个三角形的两个内角和小于第三个内角，这个三角形是三角形.
A.锐角
B.钝角c.直角D.等腰
2.三角形的三个内角
A.至少有两个锐角
B.至少有一个直角c.至多有两个钝角D.至少有一个钝角
3.一个三角形的一个内角等于另外两个内角的和，这个三角形是
A.直角三角形
B.锐角三角形
c.钝角三角形D.何类三角形不能确定
4.一个三角形的两个内角之和小于第三个内角，那么该三角形是
A.锐角三角形
B.直角三角形c.钝角三角形D.都有可能
5.一个三角形的三个内角的度数比是1：2：1，这个三角形是.
A.锐角三角形
B.直角三角形
c.钝角三角形D.等腰直角三角形。