图形代数
代数问题的图形解法
代数问题的图形解法湖北省钟祥市洋梓一中 詹青龙有些代数题目，直接用代数方法解决相当困难和复杂，若能突破思维定势(即代数题目用代数方法解的定势)，根据题目的结构特点，构造出相应的几何图形后，再利用相应的几何知识去解，则很快化难为易，化繁为简．请看下面几例：例1 求1342222+-+++=x x x x y 的最小值。
∴根据上式特点，建立如图1所示的平面直角坐标系后，问题就转化为：在x 轴上求一点P(x ，0)，使它到两点A(-1，1)和B(2，3)的距离的和(即PA+PB)最小．由九年义教初中《几何》第二册P91例3的结论可得只要找出点B(2，3)关于x 轴的对称点B'(2，-3)，则点A(-1，1)与点B'(2，-3)之间的距离，即为PA+PB 的最小值．于是由两点间的距离公式可得例2 已知m ，n ，p ，q 均为正实数，且满足条件m 2+n 2=p 2，=2m 22q m p -，求证：mn=pq证明 根据题目的结构特点，可构造Rt △ABC ．使∠ACB=Rt ∠，AC=m ，BC=n ，则由已知可得AB=p ．再作CD ⊥AB 于D ，则由射影定理可得∴ CD=q ．即 mn=pq ．例3 已知a 、b 、c 、A 、B 、C 均为正实数，且满足条件a+A=b+B=c+C=k ， 求证 aB+bC+cA ＜k 2．证法1 根据已知条件可以构造边长为k 的正三角形PQR ，如图2．分别在各边上取点L 、M 、N ．使PL=A ，QM=B ，RN=C ．则 LQ=a ，MR=b ，NP=c显然 S 阴影=S △LQM +S △MRN +S △NPL ＜S △PQR故 aB+bC-cA ＜k 2．证法2 仅据已知条件，可构造边长为k 的正方形EFGH ，如图3．分别在各边上取点M 、N 、P 、Q 、使EM=a ．FN=GP=c ．HQ=b ．则 MF=A ，NG ＝PH ＝C ，QE=B ，再分别以EM 、EQ 为邻边MF 、FN 为邻边，PH 、HQ 为邻边，在正方形EFGH 内作矩形EMXQ ．矩形MFNY 、矩形PHQZ ．显然S 阴影=S 矩形EMZQ +S 矩形MFNY +S 矩形PHQZ ＜S 正方形EFGH ．即 aB+bC+cA ＜k 2．练习已知 a 、b 、c 为正实数，且b ＞c ，求证：c b c a b a -<+-+2222。
高考数学----解决以几何图形为背景的代数问题典型例题讲解
高考数学----解决以几何图形为背景的代数问题典型例题讲解【典型例题】例8．（2023·全国·高三专题练习）已知3,||,||AB AC AB t AC t ⊥==，若点P 是ABC 所在平面内的一点，且3||||AB ACAP AB AC =−，则PB PC ⋅的最大值等于（ ） A ．8B ．10C ．12D ．13【答案】C【解析】∵AB AC ⊥，∴可以A 为原点，,AB AC 所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系；不妨设()30,,(,0)B t C t ，则(0,1)3(1,0)(3,1)AP =−=−，故点P 坐标为(3,1)− 则()33,1,(3,1)PB t PC t =−−=−−，∴()333(3)1310PB PC t t t t ⋅=−−−+−=−++ 令3()310,0f t t t t =−++>，则2()333(1)(1),0f t t t t t =−+=−+−≥'，则当(0,1)t ∈时，()0f t '>，当(1,)t ∈+∞时，()0f t '<，则函数()f t 在[0,1)递增，在(1,)+∞上递减，则max ()(1)12f t f ==，即PB PC ⋅的最大值为12． 故选：C ．例9．（2023春·浙江杭州·高二学军中学阶段练习）2≤的解集为[],a b ，则ab 的值是（ ）A ．5B．C ．6 D ．7【答案】D【解析】设23y =，则y =2≤．2=．2=±2，两边平方可得，()()2222154x y x y −+=−+±，整理可得，27x =−，两边平方整理可得()22313y x −−=．2=表示的点(),x y 在双曲线()22313y x −−=上．2≤表示的点(),x y 在双曲线()22313y x −−=上及其内部． 2≤与不等式组()2223133y x y ⎧−−≤⎪⎨⎪=⎩同解， 整理可得2670x x −+≤．由已知可得，不等式2670x x −+≤的解集是[],a b ，所以2670x x −+=的两个解为a 、b ，根据韦达定理有7ab =．故选：D ．例10．（2023春·安徽六安·高三六安一中校考阶段练习）(0)kx k >的解集为区间[,]a b ，且2b a−=，则k =（ ）AB C D ．2【答案】C【解析】如图所示：因为y =4为半径位于x 轴上方（含和x 轴交点）的半圆， (0)y kx k =>表示过坐标原点及第一三象限内的直线，(0)kx k ≤>的解集为区间[,]a b ，且2b a −=， 即半圆位于直线下方的区间长度为2， 所以2,4a b ==，所以直线与半圆的交点(2,，所以k == 故选：C ．。
大班数学思维第八讲：图形代数
【本讲要点】
1、渗透一种数学思想：简易方程。 2、学习一类思维方法：猜想与验证。 3、掌握一项基本技能：用分拆法猜数，戴“帽”检验。 4、体验一种数学情感：验证猜想成功后的快乐与自信。
文字内
文字内容
【猜一猜】
猜猜下列图形代表什么数字？
【比一比】
谁大谁小？在圆圈内填上“>”或“<”。
>
<
【百变魔方题】
1、猜一猜，绿叶挡住的是什么数？
4 20
12
4
6
6 20 15
10
2、小鸡和母鸡分别代表什么数？
+
=4
=（ 2 ）
+
=9
=（ 7 ）
3、在圆圈内填上“＞”、“＜”或“＝”。
＞
＞
4、（1）如果
=8，那么
+
=（ 16 ）
（2）如果10－● －● －● －● －●=0，那么●=（ 2 ）
10
7
【填一填】
(1)如果○=5，△=4，□=3，那么○－ △＋ □=（ 4 ）
(2) ☆+ ☆ =10 ☆+ □=9
（3） +
=8
+
+
－
=
☆=（ 5 ） □=（ 4 ）
=（ 3 ）
=6
=（ 6 ）
=（ 2 ）
【思维小妙方】
图形代数歌
图形猜数字，找到突破口； 图案相同好，最易猜出来。 猜好写上去，验;▲=15，那么▲=（ 5 ）
（4）如果★+○ +○=9， ○ +○+☆=10，那么○=（ 2 ） ☆=（ 6 ）
5、在下面不同的图形中填上合适的数。
中学数学教案：学习使用图形解决代数问题
中学数学教案：学习使用图形解决代数问题一、引言二、理论知识2.1 代数问题与图形解决方法的关系2.2 图形解决代数问题的基本步骤三、教学设计3.1 教学目标3.2 教学内容3.3 教学方法与策略3.4 教学步骤四、课堂实施4.1 教师指导与引导4.2 学生互动与合作4.3 个案分析与讨论五、教学反思六、课后作业与延伸阅读一、引言在中学数学教学中，代数问题在学生的学习中常常成为难点和痛点。
为了帮助学生更好地理解和解决代数问题，本教案旨在引导学生使用图形方法解决代数问题，提高学生的数学思维能力和问题解决能力。
二、理论知识2.1 代数问题与图形解决方法的关系代数问题是指用字母、符号和运算符号来描述数学问题的一种表示方法。
图形解决方法则是将代数问题转化为图形问题，并通过图形的性质和特点来解决。
图形解决方法能够直观地展示问题的本质以及问题之间的关系，有助于学生更好地理解和解决代数问题。
2.2 图形解决代数问题的基本步骤图形解决代数问题的基本步骤包括：理解问题、建立模型、确定变量、列方程、求解方程、验证答案。
首先，学生需要准确理解问题的含义和要求，明确问题的目标。
然后，学生通过建立适当的模型，将代数问题转化为图形问题，以便更直观地进行分析和解决。
接下来，学生需要确定适当的变量，并根据问题中的条件列出方程。
通过解方程，学生可以求得问题的解，并最后通过验证来确定解的正确性。
三、教学设计3.1 教学目标1. 理解代数问题与图形解决方法的关系，认识到图形解决方法的优势和应用价值。
2. 掌握图形解决代数问题的基本步骤，并能够独立运用这些步骤解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力、空间想象能力和问题解决能力。
3.2 教学内容1. 代数问题与图形解决方法的关系及应用示例。
2. 图形解决代数问题的基本步骤及其具体操作。
3.3 教学方法与策略1. 启发式教学法：通过提问、讨论和实例引导学生主动思考，激发学生的学习兴趣和求知欲。
小学数学图形与代数
小学数学图形计算公式1、正方形（C：周长 S：面积 a：边长）周长＝边长×4 C=4a 面积=边长×边长S=a×a2、正方体（V:体积a:棱长）表面积=棱长×棱长×6 S表=a×a×6体积=棱长×棱长×棱长V=a×a×a3、长方形（ C：周长 S：面积 a：边长）周长=(长+宽)×2 C=2(a+b)面积=长×宽 S=ab4、长方体（V:体积 s:面积 a:长 b: 宽 h:高）(1)表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2 S=2(ab+ah+bh)(2)体积=长×宽×高 V=abh5、三角形（s：面积 a：底 h：高）面积=底×高÷2 s=ah÷2三角形高=面积×2÷底三角形底=面积×2÷高6、平行四边形（s：面积 a：底 h：高）面积=底×高 s=ah7、梯形（s：面积 a：上底 b：下底 h：高）面积=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)× h÷28、圆形（S：面积 C：周长л d=直径 r=半径）(1)周长=直径×л=2×л×半径 C=лd=2лr(2)面积=半径×半径×л9、圆柱体（v:体积 h:高 s：底面积 r:底面半径 c:底面周长）(1)侧面积=底面周长×高=ch(2лrh或лdh)(2)表面积=侧面积+2×底面积(3)体积=底面积×高=л×半径²×高=л×（直径÷2）²×高（4）体积＝侧面积÷2×半径10、圆锥体（v:体积 h:高 s：底面积 r:底面半径）体积=底面积×高÷3常用单位换算长度单位换算1千米=1000米1米=10分米1分米=10厘米1米=100厘米1厘米=10毫米面积单位换算1平方千米=100公顷1公顷=10000平方米1平方米=100平方分米1平方分米=100平方厘米1平方厘米=100平方毫米体(容)积单位换算1立方米=1000立方分米1立方分米=1000立方厘米1立方分米=1升1立方厘米=1毫升1立方米=1000升重量单位换算1吨=1000 千克1千克=1000克1千克=1公斤人民币单位换算1元=10角1角=10分1元=100分时间单位换算1世纪=100年1年=12月大月(31天)有:1\3\5\7\8\10\12月小月(30天)的有:4\6\9\11月平年2月28天, 闰年2月29天平年全年365天, 闰年全年366天1日=24小时1时=60分1分=60秒1时=3600秒代数初步知识一、用字母表示数1 用字母表示数的意义和作用* 用字母表示数，可以把数量关系简明的表达出来，同时也可以表示运算的结果。
代数问题的图形解法
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下载时间：2010年8月10日
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几何代数知识点总结高中
几何代数知识点总结高中几何代数是数学中重要的一个分支，它涉及到几何图形的性质以及代数方程的解法，是数学学科中的基础和核心知识点。
几何代数知识点的掌握对于高中学生来说至关重要，它不仅能够帮助学生更好地理解数学知识，还能够培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
在本文中，我们将系统地总结几何代数的知识点，包括几何图形的性质、代数方程的解法等内容。
一、几何代数知识点1. 几何图形的性质（1）直线和线段的性质：直线是无限延伸的，没有端点；线段是有限长度的，有两个端点。
直线和线段上的点是无限多的，任意两点确定一条直线。
直线上的两点与直线外的一点确定唯一一条直线，直线上的两点之间的距离是唯一确定的。
（2）角的性质：角是由两条射线共同端点构成的，射线的共同端点称为角的顶点。
角可分为锐角、直角、钝角和平角四种类型。
两个相邻的角互补的角和补角总和等于180度。
（3）三角形的性质：三角形是由三条线段构成的，有三个顶点和三条边。
三角形的内角和等于180度，外角等于其对应的内角的补角。
三角形的边有三种关系：等边三角形、等腰三角形和一般三角形。
2. 代数方程的解法（1）一元一次方程的解法：一元一次方程是指只含有一个未知数的一次方程，通常采用等式的性质和通解法进行求解。
一元一次方程的解法包括用变量消元、整理等式、转化方程等步骤。
（2）一元二次方程的解法：一元二次方程是指含有一个未知数的二次方程，通常采用代数因式分解、配方法或求根公式等方法进行求解。
一元二次方程的解法需要根据方程系数的不同情况选择不同的求解方法。
（3）分式方程的解法：分式方程是指方程中含有分式的一种方程，通过对分式的合并、通分、消去分母等操作，将分式方程化为一元整式方程，再通过解一元整式方程的方法求解。
（4）多元方程组的解法：多元方程组是指含有多个未知数的方程组，通常采用消元法、代入法、加减消法等方法进行求解。
多元方程组的解法需要根据方程组的特点选择不同的求解方法。
利用代数式求解解决几何图形问题
利用代数式求解解决几何图形问题一、基本概念与性质1.1 几何图形的定义与分类：平面几何图形、立体几何图形等。
1.2 点、线、面的基本性质：点的位置、线的方向与长度、面的面积与形状。
1.3 角度与弧度的概念：角度的度量、弧度的定义。
1.4 三角形、四边形、圆的基本性质：三角形的边长关系、四边形的对角线关系、圆的半径与直径关系。
二、点的坐标与直线方程2.1 坐标系的概念：直角坐标系、极坐标系。
2.2 点的坐标表示：坐标轴上的点、坐标平面内的点。
2.3 直线方程的定义：直线的一般方程、直线的点斜式方程。
2.4 直线与坐标轴的关系：直线与x轴、y轴的交点。
三、三角形的相关代数式求解3.1 三角形的边长关系：海伦公式、余弦定理。
3.2 三角形的面积公式：底乘高、海伦公式。
3.3 三角形的角度关系：正弦定理、余弦定理。
四、四边形的相关代数式求解4.1 四边形的对角线关系：对角线互相平分、对角线交点为重心。
4.2 四边形的面积公式：分割成三角形求面积、对角线交点公式。
五、圆的相关代数式求解5.1 圆的半径与直径关系：半径与直径的比值、圆的周长与半径关系。
5.2 圆的面积公式：πr²、圆的面积与半径关系。
5.3 圆的方程：圆的标准方程、圆的一般方程。
六、立体几何图形的代数式求解6.1 立方体的体积与表面积：体积公式、表面积公式。
6.2 圆柱体的体积与表面积：体积公式、表面积公式。
6.3 球的体积与表面积：体积公式、表面积公式。
七、解题策略与方法7.1 画图辅助解题：画出几何图形，明确已知与求解量。
7.2 列代数式：根据题目条件，列出相关的代数式。
7.3 化简与求解：化简代数式，求解未知量。
7.4 检验与讨论：检验解的正确性，讨论解的适用范围。
八、注意事项8.1 掌握基本概念与性质：明确几何图形的定义与性质，为解题打下基础。
8.2 熟练掌握代数式的求解：熟悉各种几何图形的代数式，提高解题速度。
8.3 灵活运用解题策略：根据题目条件，选择合适的解题方法。
理解代数与几何图形的关系与应用
理解代数与几何图形的关系与应用知识点：代数与几何图形的关系与应用一、代数与几何图形的概念1.代数：代数是研究数、符号及其运算规律的数学分支，主要包括方程、不等式、函数等内容。
2.几何图形：几何图形是平面或空间中具有一定形状和大小的图形，包括点、线、面、体等基本概念。
二、代数与几何图形的关系1.坐标系：坐标系是用来表示几何图形位置的工具，平面直角坐标系和空间直角坐标系是代数与几何图形关系的基础。
2.解析几何：解析几何是研究几何图形在坐标系中的方程和性质的学科，通过代数方法研究几何问题。
3.函数与几何：函数是描述变量之间依赖关系的一种数学模型，几何图形可以通过函数来表示，如抛物线、直线、曲线等。
4.方程与几何：方程是表示两个表达式相等的数学语句，几何图形可以通过方程来表示，如圆的方程、椭圆的方程等。
三、代数与几何图形的应用1.面积与体积计算：利用代数方法求解几何图形的面积和体积，如三角形、矩形、圆、球等。
2.角度与弧度计算：利用代数方法求解几何图形的角度和弧度，如三角形、圆等。
3.线性方程组与几何：线性方程组可以表示几何图形中的点、直线、平面等，如解线性方程组求解几何图形的位置和性质。
4.优化问题：利用代数方法解决几何优化问题，如求解最大面积、最小距离等。
5.几何证明：利用代数方法证明几何定理和性质，如勾股定理、相似定理等。
四、中小学阶段重点代数与几何图形知识1.初中阶段：–一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程组等；–平面几何中的点、线、面的基本性质；–三角形的面积、角度计算；–坐标系中的直线、抛物线、圆等图形。
2.高中阶段：–函数的性质与应用，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等；–解析几何中的直线、圆、椭圆、双曲线等图形；–空间几何中的立体图形，如正方体、球体等；–向量、矩阵在几何中的应用。
代数与几何图形的关系与应用是数学中的重要内容，通过研究代数与几何图形的关系，可以更好地理解和解决实际问题。
构造几何图形巧解代数问题
构造几何图形巧解代数问题
今天，越来越多的学生通过构造几何图形来解决代数问题。
几何图形的构造是一种灵活的数学技术，它可以帮助我们解决各种复杂的数学问题，特别是平面几何中的许多代数问题。
本文将讨论使用几何图形构造解决代数问题的优势和局限性，以及构造几何图形以解决代数问题的一般方法。
使用几何图形解决代数问题的优势很明显。
最重要的是，它有助于我们更好地理解和记住代数问题的解决过程。
求解代数问题时，学生可以藉由几何图形的构造来更好地理解每步操作。
另外，利用图形构建办法，学生可以更轻松地发现问题解决的可能性，以求得最终结果。
尽管构造几何图形解决代数问题有很多优势，但也存在一些局限性。
首先，学生必须掌握几何图形的构建方法，以使用几何图形解决数学问题。
其次，学生必须熟悉数学基础知识，有能力熟练使用数学符号和概念，才能够有效地利用几何图形来解决代数问题。
构造几何图形以解决代数问题有一般的方法，包括以下步骤。
首先，学生应了解问题的背景并熟悉和分析问题中所涉及的数学概念。
接下来，学生定义必要的几何图形，根据代数表达式在图形中构成特定的点。
随后，学生应该绘制数学表达式中出现的所有元素，如直线、圆等，以构建几何图形。
最后，学生利用几何图形来解决给定的问题，并可以得出结果。
总的来说，使用几何图形来解决代数问题是一种有效的方法，可
以更好地帮助学生掌握数学概念，促进学生对数学问题的解决理解。
因此，老师可以把构造几何图形来解决代数问题纳入学生的学习计划，以帮助学生更好地掌握数学知识，提升数学技能。
3-图像代数运算解析
=
-
g(x,y)
T1(x,y)
T2(x,y)
（c）图像的减法运算也可应用于求图像梯度函 数
梯度定义形式：
f (x, y)
i
f
j f
x y
梯度幅度| f (x, y) | (f )2 (f )2
x y
梯度幅度的近似计算：
| f (x, y) | max[| f (x, y) f (x 1, y) |,| f (x, y) f (x, y 1) |]
=
逻辑运算——异或
异或运算的定义(两个值相异结果为真) g(x,y) = f(x,y) h(x,y)
主要应用举例 获得相交子图像 绘制区别于背景的、可恢复的图形
逻辑运算——异或
获得相交子图像
=
M个图像的均值定义为：
g(x,y) = 1/M (g0(x,y)+g1(x,y)+…+ g M (x ,y)) 当：噪音h(x,y)i为互不相关，且均值
为0时，上述图象均值将降低噪音的 影响。
相加
Addition:
averaging for noise reduction
M=2
M=4
M=1 M=16
梯度幅度在边缘处很高； 在均匀的肌肉纤维的内部，梯度幅度很低。
梯度幅度图像
乘法运算
C(x,y) = A(x,y) * B(x,y)
主要应用举例 图像的局部显示
图像的局部显示
步骤： l）新建一个与原始图像大小相同的图层，图层
的类型仍然是一个图像文件，而且一般要求是一个二 值图像。
2）在新建图层上，由用户在屏幕上人工勾绘出 要进行增强处理的局部区域，这个区域可以是点、线、 面（闭合区域）或三者的组合。区域的确定也可以由 其它二值图像文件导入或由计算机图形文件（矢量） 经转换生成。
六年级数学思维训练之图形专题(三)代数法解图形(含答案)
六年级数学思维训练之图形专题（三）代数法解图形试卷简介:代数法解图形是小升初考试的一个重点，要求学生掌握方程思想与整体代换的思想！在解题的时候需要学生认真审题，挖出不变线段或面积，巧用代数法来解决面积问题！一、单选题(共5道，每道20分)1.如图，圆中正方形的面积是25cm²，阴影部分面积是（）cm²。
（π取3.14）A.25.12B.14.25C.32D.16答案：B解题思路：如图，设圆的半径为r，则正方形面积为。
所以可得等式：，所以r²=12.5，则阴影部分面积是：cm²易错点：灵活设字母，表示阴影部分面积试题难度：三颗星知识点：平面图形的面积2.把一个正方形一边增加20%，相邻的一边减少2，得到一个长方形，它与原来的正方形面积相等。
原来正方形面积是（）。
A.100B.169C.144D.121答案：C解题思路：如图，，设正方形边长为x。
则根据现在长方形与原来正方形面积相等可以得到方程：x×x=（1+20%）x×（x-2）。
两边同时除以x，所以x=（1+20%）×（x-2），x=1.2×x-2.4，解得x=12。
所以原来正方形面积是：12×12=144。
答案为C。
易错点：巧设字母，列方程试题难度：三颗星知识点：平面图形的面积3.如图，三角形ABC的面积是12，且BE=2EC，F 是CD的中点。
那么，四边形BEFD的面积是（）。
A.5B.6C.6.4D.5.8答案：A解题思路：如图，连接DE。
设三角形DEF的面积是x，三角形ADF的面积是y。
则根据F是CD中点，三角形CEF的面积是x，三角形BDE 的面积是4x,三角形ACF的面积是y。
而BE=2EC，所以y+x+4x=2（y+x）。
所以y=3x。
因此四边形BEFD的面积是5x，而大三角形面积的为三角形AEC的（2+1）=3倍，所以为：3（y+x）=3（3x+x）=12x。
学前班图形代数的题型教案
学前教育图形代数的题型教案我的教学设计力求简洁明了，突出重点，突破难点，注重启发式和讨论式教学方法的运用，让学生经过自我的思考和合作交流，主动地去发现和探索事物之间的联系。
教师的教案设计应充分体现以学生为主体，教师是教学活动的组织者、引导者和合作者，是学生学习活动的组织者。
新课程理念要求教师从单纯的教书手段向学生主动学习、探究学习转变，促进学生由学习知识向学习能力、素质、能力发展转变。
新课改背景下教学观念发生很大变化，新课改中强调学生为主体、教师为主导，教师要从教师主体出发、从学生参与学习活动入手进行教学设计；要让学生通过学习数学来解决生活中实际问题。
一、教学目标1、知识与技能目标：使学生能初步认识几何图形，了解几何图形在日常生活中的应用，并能运用数学知识解决实际问题。
2、过程与方法目标：通过学习本节课的教学内容，使学生对几何图形认识逐步深化；初步掌握图形的基本图形特征和有关知识；在实践中认识几何图形，理解图形间的联系；并认识各种代数形式。
3、过程与方法目标：通过直观操作等方式培养学生观察、思考、综合运用所学知识解决实际问题能力；培养学生对数学知识和技能、思维能力和实践潜力。
4、情感态度与价值观目标：通过学习能够使学生懂得数学不仅是一种数学知识和技能，更重要的是体会数学学习与社会生活之间发生的联系并在生活中得到应用。
从而热爱祖国优秀的传统文化。
二、教学重难点1、教学重点：掌握图形的基本性质，能根据图形特征，在已有知识的基础上探索新的图形与其所表示的意义。
2、教学难点：理解图形与所求实际问题之间的内在联系。
掌握图形的性质。
理解数量关系型题目中图形的概念与规律。
解决简单实用问题进行应用的能力。
数学思想方法是解决问题的前提条件。
使学生对几何图形的应用潜力有所了解。
三、教学过程师：上节课我们知道了，三角形是两个直角三角形，的边长相等的图形有什么特征？为什么会这样呢？下面我们一起来看一看吧！师：今天我们学习了三角形，直角三角形相关的数学问题：三个三角形里面哪一个是直角三角形？请同学们用下面方法把三角形转换成直角三角形：师：刚才我们学到了三角形有许多种三角形图形，它们是一个三角形，下面我们一起来看看如何进行直观分析。
代数与图形的综合运用
利用代数方法研 究几何图形的性 质和关系
利用几何图形解 释代数方程的意 义和作用
代数与几何的综合 运用在数学教育和 科学研究中的应用
代数与三角形的综合运用
代数方程与三 角形的边长关
系
代数表达式与 三角形的角度
关系
代数方程与三 角形的面积和
周长的计算
代数方程与三 角形的中线、 高线和角平分 线的长度关系
代数与立体图形的解题技巧
代数与立体图形的关系：理解代数与立体图形的内在联系，掌握将立体图形问题转化为代数问题的 技巧。
代数表达式的几何意义：掌握代数表达式的几何意义，能够根据几何意义求解代数问题。
代数与立体图形的综合运用：掌握代数与立体图形综合运用的方法，能够运用代数知识解决立体图 形问题。
代数与三角形的解题技巧
利用代数方程表示三角形边长和角度关系 利用三角形的性质简化代数方程 利用代数方法求解三角形面积和周长 结合代数与三角函数解决实际问题
代数与平面图形的解题技巧
代数与平面图形结合：理解几何意义，将代数问题转化为几何问题 建立代数方程：利用已知条件，建立代数方程求解
运用平面几何知识：利用平面几何知识，如勾股定理、相似三角形等，解决代数问题 代数与平面图形综合运用的解题步骤：先分析问题，再选择合适的方法，最后进行验证
题目：已知直角三角形ABC的两条 直角边长分别为a、b，求斜边c的 长度。
题目：已知等腰三角形ABC的底边 长为a，腰长为b，求等腰三角形 ABC的面积。
题目：已知等腰三角形ABC的面积 为S，底边长为a，求腰长b。
代数与平面图形的综合运用练习题
添加标题
题目：已知直线l经过点A(2,3)和点B(-1,-3)，求直线l的方程，并判断点 P(1,1)是否在直线l上。
专题14 代数式规律类：图形变化类(原卷版)
专题14 代数式规律类：图形变化类1．探索规律，观察图中由※组成的图案和算式，解答问题：（1）请猜想1357919+++++⋯+= ； （2）请猜想13579(21)n +++++⋯+-= ．2．如图所示，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分⑧是部分②面积的一半，依此类推⋯ （1）根据图形填写下表；（2）阴影部分的面积是多少？ （3）猜想：①11112482n +++⋯+= ； ②当10n =时，请用两种方法计算：1011112482+++⋯+的值（结果用分数表示）．3．用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：（1）第5个图形有多少颗黑色棋子？（2）第几个图形有2019颗黑色棋子？说明理由．4．《庄子天下》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说：一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．我国智慧的古代入在两千多年前就有了数学极限思想，今天我们运用此数学思想研究下列问题． 【规律探索】（1）如图1所示的是边长为1的正方形，将它剪掉一半，则1112S =-=阴影 ； 如图2，在图1的基础上，将阴影部分再裁剪掉一半，则22111()22S =--=阴影 ； 同种操作，如图3，2331111()()222S =---=阴影 ； 如图4，234411111()()()2222S =----=阴影 ； ⋯⋯若同种地操作n 次，则2311111()()()2222n n S =----⋯-=阴影 ； 【规律归纳】 （2）直接写出23611112222+++⋯+的化简结果： ； 【规律应用】 （3）直接写出算式23611112222+++⋯+的值： ．5．用火柴棒按如图的方式搭图形：（1）图①有 根火柴棒；图②有 根火柴棒；图③有 根火柴棒． （2）按上面的方法继续下去，第100个图形中有多少根火柴棒？6．某数学兴趣小组再用黑色围棋进行摆放图案的游戏中，小雨同学现已摆放了如下的图案，请根据图中的信息完成下列的问题．（1）填写下表：第50个图形中棋子为颗围棋；（2）小雨同学如果继续摆放下去，那么第n个图案就要用颗围棋；（3）如果小雨同学手上刚好有90颗围棋子，那么他按照这种规律从第①个图案摆放下去，是否可以摆放成完整的图案后刚好90颗围棋子一颗不剩？如果可以，那么刚好摆放完成几个完整的图案？如果不行，那么最多可以摆放多少个完整图案，还剩余几颗围棋子？（只答结果，不说明理由）7．下面是用形状和大小都相同的黑色棋子摆成的图形，观察规律完成下列问题：（1）填写下表：（2）照这样方式下去，写出摆第n个图形的棋子数为．（3）你知道第153个图形需要几颗棋子吗？8．观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：（1）在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式；（2）通过猜想写出与第n个点阵相对应的等式．9．下列图形按一定规律排列，观察并回答：（1）依照此规律，第四个图形共有个，第六个图形共有个；（2）第n个图形中有个；（3）根据（2）中的结论，第几个图形中有2014个？10．一张方桌周围可坐8人，试探索把桌子按下图排放时周围可坐人数的变化规律．（1）当排3张方桌时，周围可坐人；（2）当排n张方桌时，周围可坐人；（3）现有52人坐这种排列的桌子，每人只坐一个座位，至少要排张桌子．11．探索规律：用棋子按下面的方式摆出正方形．（1）按图示规律填写下表：（2）按照这种方式摆下去，摆第10个正方形需要多少个子？（3）按照这种方式摆下去，1000个棋子能摆多少个正方形？12．为庆祝“六一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒按图所示的规律摆“金鱼”的比赛．（1）小明只搭了4条金鱼，则他用了根火柴棒；（2）小颖把老师分给她的50根火柴棒全部用完，则她搭了多少条金鱼？13．如图所示，小王玩游戏：一张纸片，第一次将其撕成四小片，手中共有4张纸片，以后每次都将其中一片撕成更小的四片．如此进行下去，当小王撕到第n次时，手张共有S张纸片．根上述情况：（1）当小王撕到第2次时，手中共有几张纸片？第3次呢？（2）用含n的代数式表示S；（3）当小王撕到第几次时，他手中共有70张小纸片？14．用火柴棒按图中的方式搭图形．（1）按图示规律填空：（2）按照这种方式搭下去，搭出10 个这样的三角形需要根火柴棒，搭出n个这样的三角形需要根火柴棒．15．如图，用白萝卜等材料做一个正方体，并把正方体表面涂上颜色．（1）如图①，正方体有个顶点；有条棱；有个面；（2）如图②，把正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开，得到27个小正方体．观察其中三面被涂色的有个，两面涂色的有个；一面涂色的有个；各面都没有涂色的有个．（3）猜想：如果把正方体的棱四等分，然后沿等分线把正方体切开，得到64个小正方体．观察其中三面被涂成红色有个；两面被涂成红色有个；一面被涂成红色有有个；各面都没有涂色的有个．16．如图是一个形如正六边形的点阵，它的中心是一个点，算第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点，⋯，依此类推．（1）填写下表：（2）写出第n层所对应的点数(2)n；（3）写出n层的正六边形点阵的总点数(2)n；（4）如果点阵中所有层的总点数为331，请求出它共有几层？17．观察图回答问题：图中的圆被线段隔开分成了四层，则第一层有1个圆，第二层有3个圆，第三层有5个圆⋯，（1）如继续画下去，第五层有个圆，第n层应画个圆；（2）某一层上有99个圆，则这是在第层；（3）前三层共有个圆；前十层共有个圆；（4）请推算，这种图前n层共有多少个圆？18．火柴棒按图中所示的方法搭图形．（1）填写下表（2）搭n个这样的三角形需要多少根火柴棒？19．用牙签按下图方式搭图．（1）根据上面的图形，填写下表：（2）第n个图形有多少根牙签？20．按图所示，用火柴棒摆图形．（1）填写下表（2）要拼出有n(1)n>个三角形的图形，需要多少根火柴棒？（3）要拼出有40个三角形的图形，分别需要多少根火柴棒？。
3.2.2几何中的代数式求值(课件)人教版(2024)数学七年级上册
r
因此，这个三角尺的面积是 73.94 cm2.
b
巩固练习
如图是一个长为 x，宽为 y 的长方形休闲广场，在它的四角 各修建一块半径为 r 的四分之一圆形的花坛（阴影部分）， 其余部分作为休闲区. （1）用代数式表示休闲区的面积； （2）若长方形休闲广场的长为 50 m， 宽为 20 m，四分之一圆形花坛的半径为 8 m，求休闲区 的面积（π 取3.14，结果取整数）.
数量 关系
花坛的面积=4×
1 4
圆的面积
休闲区的面积 = 长方形休 闲广场的面积-花坛的面积
（1）用代数式表示休闲区的面积； （2）若长方形休闲广场的长为 50 m，宽为 20 m，四分之一 圆形花坛的半径为 8 m，求休闲区的面积（π 取3.14，结果取 整数）. 解:（1）休闲区的面积为 xy - πr2.
1 2
ah（h 为底边 a 上的高）
正方形： S = a2（a 为正方形的边长）
长方形： S = ab（a，b 分别为长方形的长、宽）
圆： S = πr2（r 为圆的半径） 梯形：S = 1 (a+b)（a，b，h 分别为上底、下底、高）
2
体积公式
长方形：V = abc（a，b，c 分别为长方体的长、宽、高） 正方形：V = a3（a为长方体的棱长）
h = 5 cm 时，S =___1_5____cm2.
2. 一个长方体纸箱的长是 a，宽与高都是 b，用代数式 表示这个纸箱的体积 V . 当 a = 60 cm，b = 40 cm 时， 求这个纸箱的体积。
解：这个纸箱的体积 V = ab2 . 当 a = 60 cm，b = 40 cm 时， V=ab2 = 60×402 = 96000 (cm3). 因此，这个纸箱的体积是 96000 cm3 .
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2.小鸡和母鸡分别代表什么数？
+= 4 += 9
=（）=（）
3.在圆圈内填上“>”“<”或“=”
（1）3 + = 4 +（2）10−= 6−
4.（1）如果= 4，பைடு நூலகம்
那么+=（）
（2）如果10−−−−−= 0，
那么=（）
（3）如果+ + = 15，那么=（）
（4）如果+ + =9，+ + = 7，
'f﷽﷽﷽﷽﷽﷽﷽﷽﷽﷽﷽﷽﷽﷽﷽﷽-------etryt. Ste it. Re﷽﷽﷽﷽﷽﷽﷽-------图形代数
拓展目标：
1.渗透简易方程的数学思想。
2.学习猜想与验证的思维方法。
3.掌握用分拆法猜数，戴“帽”检验基本技能。
4.体验验证猜想成功后的快乐与自信。
猜猜下列图形代表什么数字？
谁大谁小？在圆圈内填上“>”或“<”。
−8 =+ 3 =−3
（1）如果=5，=4，=3，
那么−+ =（）
（2）+ = 10 =（）
+ = 9 =（）
（3）+= 8+ + = 6
−=
=（）=（）=（）
1. 猜一猜，绿叶挡住的是什么数？
（1）3 + = 7（2）10−= 4
（3）20−= 0（4）−4 = 3
（5）−2 = 5（6）−0 = 6
那么=（）=（）
5.在下面不同的图形中填上合适的数。
（1）+ + = 10=（）
+ = 8=（）
（2）+=7=（）
++= 9=（）
（3）+ + + =6=（）
+ + + + =8=（）
6.看水果，填数字。（外边的数是这一行或这一列三个数的和）
5
1
3
=（）
=（）
=（）
把水果当数字，等号后面的数是每行或每列的和。请算出问号处是什么数。