最新9-8曲线与方程(理)汇总
9-8曲线与方程
{ 真题演练集训 }1．[2017·全国卷Ⅱ]设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22＋y2＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝ 2 NM →.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP →·PQ →＝1.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .(1)解：设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则N (x 0,0)，NP →＝(x －x 0，y )，NM →＝(0，y 0)．由NP →＝ 2 NM →，得x 0＝x ，y 0＝22y .因为M (x 0，y 0)在C 上，所以x 22＋y 22＝1.因此点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝2.(2)证明：由题意，知F (－1,0)．设Q (－3，t )，P (m ，n )，则 OQ →＝(－3，t )，PF →＝(－1－m ，－n )，OQ →·PF →＝3＋3m －tn ， OP →＝(m ，n )，PQ →＝(－3－m ，t －n )．由OP →·PQ →＝1，得－3m －m 2＋tn －n 2＝1，又由(1)，知m 2＋n 2＝2，故3＋3m －tn ＝0.所以OQ →·PF →＝0，即OQ →⊥PF →.又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .2．[2016·全国卷Ⅰ]设圆x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心为A ，直线l 过点B (1,0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .(1)证明|EA |＋|EB |为定值，并写出点E 的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．解：(1)因为|AD |＝|AC |，EB ∥AC ，故∠EBD ＝∠ACD ＝∠ADC .所以|EB |＝|ED |，故|EA |＋|EB |＝|EA |＋|ED |＝|AD |.又圆A 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝16，从而|AD |＝4，所以|EA |＋|EB |＝4.由题设，得A (－1,0)，B (1,0)，|AB |＝2，由椭圆定义可得，点E的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)．(2)当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎨⎧ y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1，得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，则x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3， 所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝12(k 2＋1)4k 2＋3. 过点B (1,0)且与l 垂直的直线m ：y ＝－1k (x －1)，A 到m 的距离为2k 2＋1， 所以|PQ |＝242－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋12＝44k 2＋3k 2＋1. 故四边形MPNQ 的面积为S ＝12|MN ||PQ |＝121＋14k 2＋3. 可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ 面积的取值范围为(12,83)．当l 与x 轴垂直时，其方程为x ＝1，|MN |＝3，|PQ |＝8，四边形MPNQ 的面积为12.综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为[12,83)．3．[2016·湖北卷]一种作图工具如图①所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且DN ＝ON ＝1，MN ＝3 .当栓子D 在滑槽AB 内做往复运动时，带动．．N 绕O 转动一周(D 不动时，N 也不动)，M 处的笔尖画出的曲线记为C .以O 为原点， AB 所在的直线为x 轴建立如图②所示的平面直角坐标系．(1)求曲线C 的方程；(2)设动直线l 与两定直线l 1：x －2y ＝0和l 2：x ＋2y ＝0分别交于P ，Q 两点．若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由．解：(1)设点D (t,0)(|t |≤2)，N (x 0，y 0)，M (x ，y )，依题意，MD →＝2DN →，且|DN →|＝|ON →|＝1，所以(t －x ，－y )＝2(x 0－t ，y 0)，且⎩⎪⎨⎪⎧ (x 0－t )2＋y 20＝1，x 20＋y 20＝1.即⎩⎪⎨⎪⎧t －x ＝2x 0－2t ，y ＝－2y 0，且t (t －2x 0)＝0. 由于当点D 不动时，点N 也不动，所以t 不恒等于0，于是t ＝2x 0，故x 0＝x 4，y 0＝－y 2.代入x 20＋y 20＝1，可得x 216＋y 24＝1，故曲线C 的方程为x 216＋y 24＝1.(2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 为x ＝4或x ＝－4，都有S △OPQ ＝12×4×4＝8.②当直线l 的斜率存在时，设直线l ：y ＝kx ＋m ⎝⎛⎭⎪⎫k ≠±12， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝16，消去y ，可得 (1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0.因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以Δ＝64k 2m 2－4(1＋4k 2)(4m 2－16)＝0，即m 2＝16k 2＋4.(*1)又由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x －2y ＝0，可得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 1－2k ，m 1－2k ； 同理可得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 1＋2k ，m 1＋2k . 由原点O 到直线PQ 的距离为d ＝||m 1＋k 2和|PQ |＝1＋k 2|x P －x Q |， 可得S △OPQ ＝12|PQ |·d ＝12|m ||x P －x Q | ＝12|m |⎪⎪⎪⎪⎪⎪2m 1－2k ＋2m 1＋2k ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2m 21－4k 2.(*2) 将(*1)代入(*2)，得S △OPQ ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2m 21－4k 2＝8||4k 2＋1||4k 2－1. 当k 2>14时，S △OPQ ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋14k 2－1＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋24k 2－1>8； 当0≤k 2<14时，S △OPQ ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋11－4k 2＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋21－4k 2. 因为0≤k 2<14，则0<1－4k 2≤1，21－4k 2≥2，所以S △OPQ ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋21－4k 2≥8， 当且仅当k ＝0时，等号成立．所以当k ＝0时，S △OPQ 的最小值为8.综合①②可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，△OPQ 的面积取得最小值8.。
高考数学 总复习 8-8 曲线与方程(理) 新人教B
C．两个点
D．以上答案都不对
第8章 第八节
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解析：(x－y)2＋(xy－1)2＝0
⇔xxy－－y＝ 1＝00 ，∴xy＝＝11 或xy＝＝－－11 .
人
教
答案：C
B
版
第8章 第八节
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代入法求轨迹方程
[例 2] 过定点 A(a，b)任作互相垂直的两直线 l1 与 l2，
且 l1 与 x 轴交于 M 点，l2 与 y 轴交于 N 点，则线段 MN 人
版
中心作为坐标原点；轴对称图形，可以利用它的对称轴 为坐标轴；条件中有直角、可考虑将两直角边作为坐标 轴等等.
第8章 第八节
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(2)根据曲线上的点所满足的条件列出方程是最重要
的一环. 应认真分析题设条件，综合利用平面几何的知
识，列出几何等式，再利用解析几何的一些概念、公式、
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定理等将几何等式坐标化，便得曲线的方程，还要将所
于是 kAM＝a－b2x，kAN＝b－a2y.
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∵l1⊥l2，∴a－b2x·b－a 2y＝－1.
B
版
整理化简，得 2ax＋2by－a2－b2＝0(x≠a2)．
第8章 第八节
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当直线 AM⊥x 轴时，此时 MN 的中点(a2，b2)也满足
上述方程．
∴所求点 P 的轨迹方程为 2ax＋2by－a2－b2＝0.
第8章 第八节
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解法 3：(参数法)(1)当 l1 不平行于 y 轴时，设 l1 的斜
率为 k1，依题意 k1≠0，∵l1⊥l2，∴l2 的斜率为－k11.
l1 的方程为 y－b＝k1(x－a)， l2 的方程为 y－b＝－k11(x－a)，
9-8曲线与方程(理)
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第9章 平面解析几何
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第 八 节
曲线与方程(理)
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考纲解读 1．了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系． 2．对直线与曲线的位置关系能用数形结合的思想解题．
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2 2 由|PQ|＝2，得(x2＋y1)＋(x2＋y2)＝4， 1 2
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4 2 x2 2 1 2 即 x 1＋4x2＝4⇒ ＋x2＝1， 3 3 x2 2 ∴动点 M(x1，x2)的轨迹 C 的方程为 ＋y ＝1. 3
第9章 第八节
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x2 2 (2)直线 l 的方程为 y＝kx＋2，将其代入 ＋y ＝1， 3 化简得(1＋3k2)x2＋12kx＋9＝0， 设 A(x3，y3)、B(x4，y4)， ∴Δ＝(12k)2－36×(1＋3k2)>0⇒k2>1， 12k 9 且 x3＋x4＝－ ，x x ＝ ， 1＋3k2 3 4 1＋3k2
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6．已知 BC 是圆 x2＋y2＝25 的动弦，且|BC|＝6，则 BC 的 中点的轨迹方程是________．
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[答案] x2＋y2＝16 [解析] 设 BC 中点为 P(x，y)，则 OP⊥BC， ∵|OC|＝5，|PC|＝3，∴|OP|＝4，∴x2＋y2＝16.
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2．平面解析几何研究的两个主要问题 (1)根据已知条件，求出表示曲线的方程； (2)通过曲线的方程研究曲线的性质． 3．求曲线方程的一般方法(五步法) 求曲线(图形)的方程，一般有下面几个步骤： (1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意 一点 M 的坐标；
原创2：9.8 曲线与方程
所以 y2＝λ(x＋a)(a－x)， 即 λx2＋y2＝λa2， 当 λ＝1 时，是圆的轨迹方程； 当 λ＞0 且 λ≠1 时，是椭圆的轨迹方程； 当 λ＜0 时，是双曲线的轨迹方程；
[做一做] 3．平面上有三个不同点 A(－2，y)，B(0，2y)，C(x，y)，若
A→B⊥B→C，则动点 C 的轨迹方程为__y_2_＝__8_x_(x_≠__0_)_______． 解析：A→B＝(2，－2y)，B→C＝(x，2y)，由A→B⊥B→C，得A→B·B→C ＝0， 即 2x＋(－2y)·2y＝0， ∴动点 C 的轨迹方程为 y2＝8x(x≠0)．
1)，(0，1)，且 AC，BC 所在直线的斜率之积等于 m(m≠0)．求 顶点 C 的轨迹 E 的方程，并判断轨迹 E 为何种圆锥曲线．
[解] 设顶点 C(x，y)，由题意，知y－x 1·y＋x 1＝m， 化简得－mx2＋y2＝1(x≠0)． 当 m＜－1 时，轨迹 E 表示焦点在 y 轴上的椭圆，且除去(0， 1)，(0，－1)两点； 当 m＝－1 时，轨迹 E 表示以(0，0)为圆心，半径是 1 的圆， 且除去(0，1)，(0，－1)两点； 当－1＜m＜0 时，轨迹 E 表示焦点在 x 轴上的椭圆，且除 去(0，1)，(0，－1)两点； 当 m＞0 时，轨迹 E 表示焦点在 y 轴上的双曲线，且除去(0， 1)，(0，－1)两点．
M 作直线 AB 的垂线，垂足为 N.若M→N2＝λA→N·N→B，其
中 λ 为常数，则动点 M 的轨迹不可能是( C )
A．圆
B．椭圆
C．抛物线
D．双曲线
解析：以 AB 所在直线为 x 轴，AB 的中垂线为 y 轴，建立 坐标系(图略)， 设 M(x，y)，A(－a，0)，B(a，0)，则 N(x，0)．
高考数学总复习精品课件8-8曲线与方程(理) 62张(人教版)
(4)代入法： 形成轨迹的动点 P(x， y)随另一动点 Q(x′， y′) 的运动而有规律的运动， 且动点 Q 的轨迹为给定或容易求得， 则可先将 x′、y′用 x、y 表示，再代入 Q 的轨迹方程，然后 整理得点 P 的轨迹方程，代入法也称相关点法. (5)参数法： 求轨迹方程有时很难直接找出动点的横坐标、 纵坐标之间的关系，则可借助中间变量(参数)，使 x、y 之间 建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得出动点的轨 迹方程．
3 ．轨迹问题还应区别是“求轨迹”，还是“求轨迹方 程”．一般说来，若是“求轨迹方程”，求到方程就可以了； 若是“求轨迹”，求到方程还不够，还应指出方程所表示的 曲线的类型．有时候，问题仅要求指出轨迹的形状，如果能 绕过求轨迹方程这一环节直接根据定义及已知知识指出轨迹 是什么曲线，则可不求轨迹方程．
夯实基础 稳固根基 1．曲线方程的定义 在直角坐标系中， 如果曲线 C 上的点与一个二元方程 f(x， y)＝0 的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线 C 上；那么这个 方程叫做曲线 C 的方程；这条曲线叫做方程的曲线．
2．求曲线方程的基本步骤： (1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任 意一点 M 的坐标； (2)写出适合条件 p 的点 M 的集合 P＝{M|p(M)}； (3)用坐标表示条件 p(M)，列出方程 f(x，y)＝0； (4)化方程 f(x，y)＝0 为最简形式； (5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．
考点典例讲练
曲线与方程的概念
[例 1] (2012· 银川一中二模)方程 x－1lg(x2＋y2－1)＝0 所表示的曲线图形是( )
分析：方程 f(x，y)· g(x，y)＝0 表示的曲线是 f(x，y)＝0 和 g(x，y)＝0 的曲线，还要特别注意应使方程有意义．
高考数学总复习 88曲线与方程课件 理 新人教A版
(2)根据曲线上的点所满足的条件列出方程是最重要的一 环. 应认真分析题设条件，综合利用平面几何的知识，列出几 何等式，再利用解析几何的一些概念、公式、定理等将几何 等式坐标化，便得曲线的方程，还要将所得方程化简，使求 得的方程是最简单的形式．
2．在求曲线方程时经常出现的问题是产生多解或漏解的 错误，为此解题时应注意以下三点：①注意动点应满足的某 些隐含条件；②注意方程变形是否同解；③注意图形可能的 不同位置或字母系数取不同值时的讨论．
(4)平面内到定直线的距离等于某一定值的点的轨迹是与 这条直线 平行 的两条直线．
(5)平面内到两定点 F1，F2 距离之和为定值 2a(2a>|F1F2|) 的点的轨迹是以两定点 为焦点， 2a 为长轴长的椭圆．
(6) 平 面 内 到 两 定 点 F1 ， F2 距 离 差 的 绝 对 值 为 定 值 2a(0<2a<|F1F2|)的点的轨迹是以两定点为焦点，实轴长为 2a 的双曲线．
设 P 点坐标为(x0，y0)，则有：||3x0－＋x10||＝||3x0－－x10||，
解得：x0＝53，又因
x20＋3y20＝4，解得
y0＝±
33 9.
故存在点 P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等，此时 P 点
坐标为(53，
933)或(53，－
33 9 ).
综合应用 [例 5] 已知点 C 为圆(x＋1)2＋y2＝8 的圆心，点 A(1,0)， P 是圆上的动点，点 Q 在圆的半径 CP 上，且M→Q·A→P＝0，A→P ＝2A→M.
代入ax22＋by22＝1 中得，2x＋a2 c2＋2by22＝1，
即x＋a22c2＋by22＝1，它是一个椭圆． 44
答案：B
9-8 曲线与方程
数学（理）
求轨迹方程的常用方法一般分为两大类，一类是已知所 求曲线的类型，求曲线方程——先根据条件设出所求曲线的 方程，再由条件确定其待定系数——待定系数法；另一类是 不知曲线类型常用的方法有： (1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝ 0； (2)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲 线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；
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数学（理）
(2011年陕西)如图，设P是圆x2＋y2＝25 上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD 4 上一点，且|MD|＝ |PD|. 5 (1)求P在圆上运动时，求点M的轨迹C 的方程； 4 (2)求过点(3,0)且斜率为 的直线被C所截线段的长度． 5
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数学（理）
【解】 (1)设M的坐标为(x，y)，P的坐标为(xP，yP)， xP＝x， 由已知得 5 yP＝4y， 5 2 x2 y2 ∵P在圆上，∴x2＋(4y) ＝25，即C的方程为25＋16＝1.
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数学（理）
解：设M(x，y)，由已知得B(x，－3)．又A(0，－1)， → → → 所以MA ＝(－x，－1－y)， MB ＝(0，－3－y)，AB ＝(x， －2)． → → AB → 再由题意可知(MA＋MB)· ＝0， 即(－x，－4－2y)· (x，－2)＝0. 1 2 所以曲线C的方程为y＝4x －2.
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高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第8讲 曲线与方程配套课时作业 理(含解析)新人教A版-新人
第8讲 曲线与方程配套课时作业1．已知点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，直线l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点．若过点B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是( )A ．双曲线B ．椭圆C ．圆D ．抛物线 答案 D解析 由已知知|MF |＝|MB |，根据抛物线的定义知，点M 的轨迹是以点F 为焦点，直线l 为准线的抛物线．2．(2019·某某模拟)如图所示，A 是圆O 内一定点，B 是圆周上一个动点，AB 的中垂线CD 与OB 交于点E ，则点E 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线 答案 B解析 由题意知，|EA |＋|EO |＝|EB |＋|EO |＝r (r 为圆的半径)且r >|OA |，故E 的轨迹为以O ，A 为焦点的椭圆．故选B.3．到点F (0,4)的距离比到直线y ＝－5的距离小1的动点M 的轨迹方程为( ) A ．y ＝16x 2B ．y ＝－16x 2C ．x 2＝16y D ．x 2＝－16y 答案 C解析 由条件知，动点M 到F (0,4)的距离与到直线y ＝－4的距离相等，所以点M 的轨迹是以F (0,4)为焦点，直线y ＝－4为准线的抛物线，其标准方程为x 2＝16y .4．(2019·某某模拟)设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线，且|PA |＝1，则P 点的轨迹方程为( )A ．y 2＝2x B ．(x －1)2＋y 2＝4 C ．y 2＝－2x D ．(x －1)2＋y 2＝2 答案 D解析 如图，设P (x ，y )，圆心为M (1,0)，连接MA ，则MA ⊥PA ，且|MA |＝1.又∵|PA |＝1，∴|PM |＝|MA |2＋|PA |2＝2，即|PM |2＝2，∴(x －1)2＋y 2＝2.5．在△ABC 中，已知A (－1,0)，C (1,0)，且|BC |，|CA |，|AB |成等差数列，则顶点B 的轨迹方程是( )A.x 23＋y 24＝1B.x 23＋y 24＝1(x ≠±3)C.x 24＋y 23＝1 D.x 24＋y 23＝1(x ≠±2) 答案 D解析 因为|BC |，|CA |，|AB |成等差数列，所以|BC |＋|BA |＝2|CA |＝4.所以点B 的轨迹是以A ，C 为焦点，半焦距c ＝1，长轴长2a ＝4的椭圆．又B 是三角形的顶点，A ，B ，C 三点不能共线，故所求的轨迹方程为x 24＋y 23＝1，且x ≠±2.故选D.6．动圆M 经过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点且与直线x ＝2相切，则圆心M 的轨迹方程是( )A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8x C ．y 2＝4x D ．y 2＝－4x 答案 B解析 设双曲线x 2－y 23＝1的左焦点为F (－2,0)，因为动圆M 经过F 且与直线x ＝2相切，所以圆心M 到点F 的距离和到直线x ＝2的距离相等，由抛物线的定义知轨迹是抛物线，其方程为y 2＝－8x .7．(2019·某某某某检测)已知F 1，F 2是双曲线的两个焦点，Q 是双曲线上任意一点，从焦点F 1引∠F 1QF 2的平分线的垂线，垂足为P ，则点P 的轨迹为( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线 答案 B解析 不妨设点Q 在双曲线的右支上，延长F 1P 交直线QF 2于点S ，∵QP 是∠F 1QF 2的平分线，且QP ⊥F 1S ，∴P 是F 1S 的中点．∵O 是F 1F 2的中点，∴PO 是△F 1SF 2的中位线，∴|PO |＝12|F 2S |＝12(|QS |－|QF 2|)＝12(|QF 1|－|QF 2|)＝a (定值)，∴点P 的轨迹为圆． 8．设线段AB 的两个端点A ，B 分别在x 轴、y 轴上滑动，且|AB |＝5，OM →＝35OA →＋25OB →，则点M 的轨迹方程为( )A.x 29＋y 24＝1B.y 29＋x 24＝1C.x 225＋y 29＝1 D.y 225＋x 29＝1 答案 A解析 设M (x ，y )，A (x 0,0)，B (0，y 0)，由OM →＝35OA →＋25OB →，得(x ，y )＝35(x 0,0)＋25(0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝35x 0，y ＝25y 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝53x ，y 0＝52y ，由|AB |＝5，得⎝ ⎛⎭⎪⎫53x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52y 2＝25，化简得x 29＋y 24＝1.9．已知A ，B 为平面内两定点，过该平面内动点M 作直线AB 的垂线，垂足为N .若MN →2＝λAN →·NB →，其中λ为常数，则动点M 的轨迹不可能是( )A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线 答案 C解析 以AB 所在直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立坐标系，设M (x ，y )，A (－a,0)，B (a,0)，则N (x,0)．因为MN →2＝λAN →·NB →，所以y 2＝λ(x ＋a )(a －x )，即λx 2＋y 2＝λa 2，当λ＝1时，轨迹是圆；当λ>0且λ≠1时，轨迹是椭圆；当λ<0时，轨迹是双曲线；当λ＝0时，轨迹是直线．综上，动点M 的轨迹不可能是抛物线．10．已知A (0,7)，B (0，－7)，C (12,2)，以C 为一个焦点作过A ，B 的椭圆，椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程是( )A ．y 2－x 248＝1(y ≤－1) B ．y 2－x 248＝1C ．y 2－x 248＝－1 D ．x 2－y 248＝1 答案 A解析 由题意，得|AC |＝13，|BC |＝15，|AB |＝14，又|AF |＋|AC |＝|BF |＋|BC |，∴|AF |－|BF |＝|BC |－|AC |＝2.故点F 的轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为2的双曲线的下支．∵双曲线中c ＝7，a ＝1，∴b 2＝48，∴焦点F 的轨迹方程为y 2－x 248＝1(y ≤－1)．11．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 在AB 上，且AM ＝13，点P 在平面ABCD内，且动点P 到直线A 1D 1的距离与动点P 到点M 的距离的平方差为1，则动点P 的轨迹是( )A ．直线B ．圆C ．双曲线D ．抛物线 答案 D解析 在平面ABCD 内过点P 作PF ⊥AD ，垂足为F ，过点F 在平面AA 1D 1D 内作FE ⊥A 1D 1，垂足为E ，连接PE ，则有PE ⊥A 1D 1，即PE 为点P 到A 1D 1的距离．由题意知|PE |2－|PM |2＝1，又因为|PE |2＝|PF |2＋|EF |2，所以|PF |2＋|EF |2－|PM |2＝1，即|PF |2＝|PM |2，即|PF |＝|PM |，所以点P 满足到点M 的距离等于点P 到直线AD 的距离．由抛物线的定义知点P 的轨迹是以点M 为焦点，AD 为准线的抛物线，所以点P 的轨迹为抛物线．12．(2019·某某质量检查)已知A (－2,0)，B (2,0)，斜率为k 的直线l 上存在不同的两点M ，N 满足|MA |－|MB |＝23，|NA |－|NB |＝23，且线段MN 的中点为(6,1)，则k 的值为( )A ．－2B ．－12 C.12 D ．2答案 D解析 因为|MA |－|MB |＝23，|NA |－|NB |＝23，由双曲线的定义知，点M ，N 在以A ，B 为焦点的双曲线的右支上，且c ＝2，a ＝3，所以b ＝1，所以该双曲线的方程为x 23－y 2＝1.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝12，y 1＋y 2＝2.设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，代入双曲线的方程，消去y ，得(1－3k 2)x 2－6mkx －3m 2－3＝0，所以x 1＋x 2＝6mk 1－3k 2＝12①，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝12k ＋2m ＝2②，由①②解得k ＝2，故选D.13．由动点P 向圆x 2＋y 2＝1引两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，∠APB ＝60°，则动点P 的轨迹方程为________．答案 x 2＋y 2＝4解析 设P (x ，y )，x 2＋y 2＝1的圆心为O ，因为∠APB ＝60°，OP 平分∠APB ，所以∠OPB ＝30°，因为|OB |＝1，∠OBP 为直角，所以|OP |＝2，所以x 2＋y 2＝4.14．(2019·某某模拟)△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是________．答案x 29－y 216＝1(x >3)解析 如图，令内切圆与三边的切点分别为D ，E ，F ，可知|AD |＝|AE |＝8，|BF |＝|BE |＝2，|CD |＝|CF |，所以|CA |－|CB |＝|AE |－|BE |＝8－2＝6<|AB |＝10.根据双曲线定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，其方程为x 29－y 216＝1(x >3)．15．已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ，则曲线C 的方程为________．答案x 24＋y 23＝1(x ≠－2) 解析 设圆M 的半径为r 1，圆N 的半径为r 2，圆P 的半径为R .因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．16．若过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线与其交于M ，N 两点，作平行四边形MONP ，则点P的轨迹方程为________．答案 y 2＝4(x －2)解析 (1)当直线斜率k 存在时，设直线方程为y ＝k (x －1)，点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (x ，y )，由OM →＝NP →，得(x 1，y 1)＝(x －x 2，y －y 2)．得x 1＋x 2＝x ，y 1＋y 2＝y .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，y 2＝4x ，联立得x ＝x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.y ＝y 1＋y 2＝4kk 2，消去参数k ，得y 2＝4(x －2)．(2)当直线斜率k 不存在时，直线方程为x ＝1，由O P →＝2O F →得P (2,0)，适合y 2＝4(x －2)．综合(1)(2)，点P 的轨迹方程为y 2＝4(x －2)．17．(2019·某某质检)如图所示，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 2,1<t <3，与椭圆C 2：x 29＋y 2＝1相交于A ，B ，C ，D 四点，点A 1，A 2分别为C 2的左、右顶点．(1)当t 为何值时，矩形ABCD 的面积取得最大值？并求出其最大面积； (2)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程． 解 (1)设A (x 0，y 0)，则S 矩形ABCD ＝4|x 0y 0|， 由x 209＋y 20＝1，得y 20＝1－x 209， 从而x 20y 2＝x 20⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 209＝－19⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－922＋94.当x 20＝92，y 20＝12时，S max ＝6.从而t 2＝x 20＋y 20＝5，t ＝5，所以当t ＝5时，矩形ABCD 的面积取到最大值6. (2)由椭圆C 2：x 29＋y 2＝1，知A 1(－3,0)，A 2(3,0)，由曲线的对称性及A (x 0，y 0)，得B (x 0，－y 0)， 设点M 的坐标为(x ，y )， 直线AA 1的方程为y ＝y 0x 0＋3(x ＋3)，①直线A 2B 的方程为y ＝－y 0x 0－3(x －3)，② 由①②得y 2＝－y 20x 20－9(x 2－9)．③又点A (x 0，y 0)在椭圆C 2上，故y 20＝1－x 209.④将④代入③，得x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．因此点M 的轨迹方程为x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．18．(2019·某某某某模拟)已知动点M (x ，y )满足：x ＋12＋y 2＋x －12＋y 2＝2 2.(1)求动点M 的轨迹E 的方程；(2)设过点N (－1,0)的直线l 与曲线E 交于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为C (点C 与点B 不重合)．证明：直线BC 恒过定点，并求该定点的坐标．解 (1)由已知，动点M 到点P (－1,0)，Q (1,0)的距离之和为22，且 |PQ |<22，所以动点M 的轨迹为椭圆，且a ＝2，c ＝1，所以b ＝1，所以动点M 的轨迹E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则C (x 1，－y 1)， 由已知得直线l 的斜率存在，设斜率为k ， 则直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋1，x 22＋y 2＝1得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2.又直线BC 的方程为y －y 2＝y 2＋y 1x 2－x 1(x －x 2)， 即y ＝y 2＋y 1x 2－x 1x －x 1y 2＋x 2y 1x 2－x 1， 令y ＝0，得x ＝x 1y 2＋x 2y 1y 2＋y 1＝2kx 1x 2＋k x 1＋x 2k x 1＋x 2＋2k＝2x 1x 2＋x 1＋x 2x 1＋x 2＋2＝4k 2－41＋2k 2－4k21＋2k 2－4k 21＋2k 2＋2＝－2， 所以直线BC 恒过定点D (－2,0)．19．(2016·全国卷Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．解 由题意知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0. 设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，b ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ， R ⎝ ⎛ －12，⎭⎪⎫a ＋b 2. 记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. (1)证明：由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0. 记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－aba＝－b ＝k 2.所以AR ∥FQ .(2)设l 与x 轴的交点为D (x 1,0)，则S △ABF ＝12|b －a |·|FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2. 由题设可得2×12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2， 所以x 1＝0(舍去)或x 1＝1.设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )． 当AB 与x 轴不垂直时， 由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝yx －1(x ≠1)． 而a ＋b2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)．当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合．所以所求轨迹方程为y 2＝x －1.20．(2019·某某模拟)已知椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点与短轴两端点构成一个面积为2的等腰直角三角形，O 为坐标原点．(1)求椭圆Γ的方程；(2)设点A 在椭圆Γ上，点B 在直线y ＝2上，且OA ⊥OB ，求证：1|OA |2＋1|OB |2为定值；(3)设点C 在椭圆Γ上运动，OC ⊥OD ，且点O 到直线CD 的距离为常数3，求动点D 的轨迹方程．解 (1)∵椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点与短轴两端点构成一个面积为2的等腰直角三角形，O 为坐标原点，∴b ＝c ＝2，∴a ＝2＋2＝2，∴椭圆Γ的方程为x 24＋y 22＝1.(2)证明：设A (x 0，y 0)，则OB 的方程为x 0x ＋y 0y ＝0，由y ＝2，得B ⎝⎛⎭⎪⎫－2y 0x 0，2，∴1|OA |2＋1|OB |2＝1x 20＋y 20＋14＋4y 20x 2＝4＋x 24x 20＋y 2＝4＋x 24⎝⎛⎭⎪⎫x 20＋2－x 22＝12， ∴1|OA |2＋1|OB |2为定值12. (3)设C (x 1，y 1)，D (x ，y )，由OC ⊥OD ，得x 1x ＋y 1y ＝0，①由点C 在椭圆上，得x 214＋y 212＝1，②联立①②，得x 21＝4y 22x 2＋y 2，y 21＝4x 22x 2＋y2.③由OC ⊥OD ，点O 到CD 的距离为3，得|OC |·|OD |＝3|CD |， ∴|OC |2·|OD |2＝3(|OC |2＋|OD |2)．将③代入得 1|OC |2＋1|OD |2＝1x 21＋y 21＋1x 2＋y2 ＝14y 22x 2＋y 2＋4x 22x 2＋y2＋1x 2＋y 2＝2x 2＋y 2＋44x 2＋y 2＝13， 化简，得点D 的轨迹方程为y 212－x 26＝1.。
课件3：9.8 曲线与方程
第九章 第8讲
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1 点必记区别——轨迹与轨迹方程的区别 求轨迹方程只求出方程即可，求轨迹时，首先求出轨迹方程，然 后说明轨迹的形状、位置、大小．若轨迹有不同的情况，应分别 讨论，以保证它的全面性．
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提示：(1)(x，y)·(1,2)＝4，即 x＋2y－4＝0.
如图可知有两个交点．
(2) y ＝ － 1－x2 即 x2 ＋ y2 ＝ 1(y≤0) ， 而 y ＝ － |x| ＝
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考向一 直接法求轨迹方程例 1 [2012·四川高考] 如图，动点 M 与两定点 A(－1,0)、B(1,0)构成△MAB，且直 线 MA、MB 的斜率之积为 4.设动点 M 的轨迹为 C.求轨迹 C 的方 程．
2 倍，则
|x－4|＝2
x－1 2＋y2⇒x42＋y32＝1.
所以，动点 M 的轨迹为椭圆，方程为x42＋y32＝1.
(2)P(0,3)，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题知：2x1＝0＋x2,2y1 ＝3＋y2，
第九章 第8讲
9.8 曲线与方程
(4)当90°<α≤180°时，方程为x2＋y2cos α＝1，表示焦点在x
轴上的双曲线．
第9章 第8节
第10页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
通性通法
报
告
求轨迹的方法：直接法、定义法、相关点法．
一
课
(1)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，－1)，点B在直 时
作
线y＝－3上，点M满足
二
点，满足A→M·B→M＝－2，求点M的轨迹方程．
二
当m＝0时，曲线C2表示两条直线：x＝0与y＝0，
与曲线C1只有两个交点(0,0)和(2,0)，不符合题意；
第9章 第8节
第28页
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当m≠0时，直线x＝0与曲线C1只有一个交点(0,0)，
∴直线y＝m(x＋1)与曲线C1：x2＋y2－2x＝0有两个交点，
报 即直线y＝m(x＋1)与圆(x－1)2＋y2＝1相交，
课 时
作
∴方程x2cos θ＋y2＝1表示中心在原点，焦点在x轴上的椭 业
报 圆；
告
二
②当θ＝π2时，cos θ＝0，方程为y2＝1，得y＝±1，
表示与x轴平行的两条直线；
第9章 第8节
第22页
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报 告 一
③当π2<θ<π时，方程x2cos θ＋y2＝1可以化为
x2 1
＋y2＝1，
cos θ
课 时
作
且cos θ<0，
业
报
∴方程x2cos θ＋y2＝1表示中心在原点，焦点在y轴上的双
告
二 曲线．
第9章 第8节
高考数学一轮复习第九章解析几何9.8曲线与方程课件理新人教A版
解：设 M(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y)， ∵P→M⊥P→F，P→M＝(x0，－y0)，P→F＝(1，－y0)， ∴(x0，－y0)·(1，－y0)＝0， ∴x0＋y20＝0. 由M→N＝2M→P，得(x－x0，y)＝2(－x0，y0)，
∴xy－ ＝x20y＝ 0，－2x0，
(2)在平面直角坐标系 xOy 中，点 B 与点 A(－1,1)关于原点 O 对称，P 是动点，且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于－13.求动点 P 的轨迹方程．
[解] 因为点 B 与点 A(－1,1)关于原点 O 对称，所以点 B 的 坐标为(1，－1)．
设点 P 的坐标为(x，y)， 由题意得yx－ ＋11·yx＋ －11＝－13， 化简得 x2＋3y2＝4(x≠±1)． 故动点 P 的轨迹方程为 x2＋3y2＝4(x≠±1)．
(2)以这个方程的解为坐标的点都是__曲__线_上 ___的点． 那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线． 曲线可以看作是符合某条件的点的集合，也可看作是适合某 种条件的点的轨迹，因此，此类问题也叫轨迹问题．
2．求曲线方程的基本步骤
[典题 1] (1)已知动圆过定点 A(4,0)，且在 y 轴上截得弦 MN 的长为 8.
(1)当 t 为何值时，矩形 ABCD 的面积取得最大值？并求出其 最大面积；
(2)求直线 AA1 与直线 A2B 的交点 M 的轨迹方程．
[解] (1)设 A(x0，y0)，则 S 矩形 ABCD＝4|x0y0|， 由x920＋y20＝1 得 y02＝1－x920， 从而 x02y20＝x021－x920＝－19x20－922＋94.
即xy00＝ ＝－ 12y， x，
∴－x＋y42＝0，即 y2＝4x.
最新各种曲线方程集合
各种曲线方程集合1.碟形弹簧圓柱坐标方程：r = 5theta = t*3600z =(sin(3.5*thet a-90))+24*t2.葉形线.笛卡儿坐標标方程：a=10x=3*a*t/(1+(t ^3))y=3*a*(t^2)/(1 +(t^3))3.螺旋线(Helical curve)圆柱坐标（cylin drical）方程： r=ttheta=10+t*(20 *360)z=t*34.蝴蝶曲线球坐标方程：rho = 8 * ttheta = 360 * t * 4phi = -360 * t * 85.渐开线采用笛卡尔坐标系方程：r=1ang=360*ts=2*pi*r*tx0=s*cos(ang)y0=s*sin(ang)x=x0+s*sin(ang)y=y0-s*cos(ang)z=06.螺旋线.笛卡儿坐标方程：x = 4 * cos ( t *(5*360))y = 4 * sin ( t *(5*3 60))z = 10*t7.对数曲线笛卡尔坐标系方程：z=0x = 10*ty = log(10*t+0.000 1)采用球坐标系方程：rho=4 theta=t*180phi=t*360*209.双弧外摆线卡迪尔坐标方程： l=2.5b=2.5x=3*b*cos(t*360)+l *cos(3*t*360)Y=3*b*sin(t*360)+l *sin(3*t*360)10.星行线卡迪尔坐标方程：a=5x=a*(cos(t*360))^3 y=a*(sin(t*360))^3 11.心脏线圓柱坐标方程：a=10r=a*(1+cos(theta)) theta=t*360采用柱座标系方程：theta=t*360 r=10+10*sin(6*thet a)z=2*sin(6*theta)13.正弦曲线笛卡尔坐标系方程：x=50*ty=10*sin(t*360) z=015.费马曲线（有点像螺纹线）数学方程：r＊r = a* a*theta圓柱坐标方程1: theta=360*t *5a=4r=a*sqrt(theta*180/ pi)方程2: theta=360*t *5a=4r=-a*sqrt(theta*180 /pi)卡笛尔坐标方程：theta=t*360 a=1.1b=0.666c=sin(theta)f=1x = (a*a+f*f*c*c)*c os(theta)/ay = (a*a-2*f+f*f*c*c)*sin(theta)/b18.Rhodonea 曲线采用笛卡尔坐标系方程：theta=t* 360*4x=25+(10-6)*c os(theta)+10*cos((1 0/6-1)*theta)y=25+(10-6)*si n(theta)-6*sin((10/6 -1)*theta)19. 抛物线笛卡儿坐标方程：x =(4 * t)y =(3 * t) + (5 * t ^2)z =020.螺旋线圓柱坐标方程：r = 5theta = t*1800z =(cos(theta-9 0))+24*t21.三叶线圆柱坐标方程：a=1theta=t*380b=sin(theta)r=a*cos(theta)*(4* b*b-1)22.外摆线迪卡尔坐标方程：theta=t* 720*5b=8a=5x=(a+b)*cos(th eta)-b*cos((a/b+1)* theta)y=(a+b)*sin(th eta)-b*sin((a/b+1)* theta)z=023. Lissajous 曲线theta=t*360a=1b=1c=100n=3x=a*sin(n*thet a+c)y=b*sin(theta)24.长短幅圆内旋轮线卡笛尔坐标方程：a=5b=7c=2.2theta=360*t*10x=(a-b)*cos(theta) +c*cos((a/b-1)*thet a)y=(a-b)*sin(theta)-c *sin((a/b-1)*theta) 25.长短幅圆外旋轮线卡笛尔坐标方程：theta=t*360* 10a=5b=3c=5x=(a+b)*cos(theta) -c*cos((a/b+1)*thet a)y=(a+b)*sin(theta)-c*sin((a/b+1)*theta)26. 三尖瓣线a=10x = a*(2*cos(t*360) +cos(2*t*360))y = a*(2*sin(t*360) -sin(2*t*360))27.概率曲线！方程：笛卡儿坐标x = t*10-5y = exp(0-x^2)28.箕舌线笛卡儿坐标系a = 1x = -5 + t*10y = 8*a^3/(x^ 2+4*a^2)29.阿基米德螺线柱坐标a=100theta = t*400r = a*theta30.对数螺线柱坐标theta = t*360* 2.2a = 0.005r = exp(a*thet a)31.蔓叶线笛卡儿坐标系a=10y=t*100-50solvex^3 = y^2*(2*a-x) for x32.tan曲线笛卡儿坐标系x = t*8.5 -4.25y = tan(x*20)33.双曲余弦x = 6*t-3y = (exp(x)+ex p(0-x))/234.双曲正弦x = 6*t-3y = (exp(x)-exp(0-x))/235.双曲正切x = 6*t-3y = (exp(x)-exp(0-x))/(exp(x)+exp(0-x))36.一峰三驻点曲线x = 3*t-1.5y=(x^2-1)^3+137.八字曲线x = 2 * cos ( t *(2*180))y = 2 * sin ( t * (5*360))z = 0r=t*(10*180)+ 1theta=10+t*(20 *180)z=t39.圆x = cos ( t *(5*18 0))y = sin ( t *(5*180)) z = 040.封闭球形环绕曲线rho=2theta=360*tphi=t*360*1041.柱坐标螺旋曲线x = 100*t * cos ( t *(5*180))y = 100*t * sin ( t *(5*180))z = 0x = 2 * cos ( (t +1) *(2*180))y = 2 * sin ( t * (5*360))z = t*(t+1)43.8字形曲线柱坐标theta = t*360r=10+(8*sin(th eta))^244.椭圆曲线笛卡尔坐标系a = 10b = 20theta = t*360x = a*cos(theta)y = b*sin(theta)45.梅花曲线柱坐标theta = t*360r=10+(3*sin(th eta*2.5))^2线theta = t*360r=10-(3*sin(the ta*3))^2z=4*sin(theta* 3)^247.改一下就成为空间感更强的花曲线了;)theta = t*360r=10-(3*sin(the ta*3))^2z=(r*sin(theta* 3))^248.螺旋上升的椭圆线a = 10b = 20theta = t*360* 3x = a*cos(thet a)y = b*sin(thet a)z=t*1249.甚至这种螺旋花曲线theta = t*360*4r=10+(3*sin(theta* 2.5))^2z = t*1650 鼓形线笛卡尔方程r=5+3.3*sin(t* 180)+ttheta=t*360*10z=t*1051 长命锁曲线笛卡尔方程：a=1*t*359.5b=q2*t*360c=q3*t*360rr1=w1rr2=w2rr3=w3x=rr1*cos(a)+rr2*c os(b)+rr3*cos(c)y=rr1*sin(a)+rr2*si n(b)+rr3*sin(c)52 簪形线球坐标方程：rho=200*ttheta=900*tphi=t*90*1053.螺旋上升曲线r=t^10theta=t^3*360 *6*3+t^3*360*3*3z=t^3*(t+1)54.蘑菇曲线rho=t^3+t*(t+ 1)theta=t*360phi=t^2*360*2 0*2055. 8字曲线a=1b=1x=3*b*cos(t*3 60)+a*cos(3*t*360)Y=b*sin(t*360) +a*sin(3*t*360)56.梅花曲线theta=t*360r=100+50*cos(5*th eta)z=2*cos(5*theta)57.桃形曲线rho=t^3+t*(t+ 1)theta=t*360phi=t^2*360*1 0*1058.名稱:碟形弹簧建立環境:pro/e圓柱坐r = 5theta = t*3600z =(sin(3.5*thet a-90))+2459.环形二次曲线笛卡儿方程：x=50*cos(t*36 0)y=50*sin(t*36 0)z=10*cos(t*360 *8)60 蝶线球坐标：rho=4*sin(t*36 0)+6*cos(t*360^2)theta=t*360phi=log(1+t*36 0)*t*36061.正弦周弹簧笛卡尔：ang1=t*360ang2=t*360*20x=ang1*2*pi/360y=sin(ang1)*5+cos (ang2)z=sin(ang2)62.环形螺旋线x=（50+10*sin (t*360*15))*cos(t*3 60)y=(50+10*sin(t *360*15))*sin(t*36 0)z=10*cos(t*360 *5)63.内接弹簧x=2*cos(t*360 *10)+cos(t*180*10)y=2*sin(t*360* 10)+sin(t*180*10)z=t*664.多变内接式弹簧x=3*cos(t*360 *8)-1.5*cos(t*480* 8)y=3*sin(t*360* 8)-1.5*sin(t*480*8)z=t*865.柱面正弦波线柱坐标：方程r=30theta=t*360z=5*sin(5*theta-90)66. ufo （漩涡线）球坐标：rho=t*20^2theta=t*log(30) *60phi=t*720067. 手把曲线thta0=t*360thta1=t*360*6r0=400r1=40r=r0+r1*cos(thta1)x=r*cos(thta0)y=r1*sin(thta1)z=068.篮子圆柱坐标r=5+0.3*sin(t* 180)+ttheta=t*360*30z=t*569. 圆柱齿轮齿廓的渐开线方程：afa=60*tx=10*cos(afa)+pi*1 0*afa/180*sin(afa)x=10*sin(afa)-pi*10 *afa/180*cos(afa)z=0注：afa为压力角，取值范围是0到6 0，10为基圆半径。
9-8曲线与方程
§9.8
曲线与方程
[考纲要求]
了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系．
高考总复习· 数学理科（RJ）
第九章 平面解析几何
1．曲线与方程
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或 适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程 f(x，y)＝0 的实数解建立了如下的关系： 这个方程的解 ． (1)曲线上点的坐标都是________________ 曲线上的点 ．那么， (2)以这个方程的解为坐标的点都是___________ 曲线的方程 ，这条曲线叫做___________ 方程的曲线 ． 这个方程叫做_____________
高考总复习· 数学理科（RJ）
第九章 平面解析几何
2．求动点的轨迹方程的一般步骤
(1)建系——建Βιβλιοθήκη 适当的坐标系．(2)设点——设轨迹上的任一点P(x，y)． (3)列式——列出动点P所满足的关系式． (4) 代换 —— 依条件式的特点，选用距离公式、斜率 公式等将其转化为x，y的方程式，并化简． (5) 证明 —— 证明所求方程即为符合条件的动点轨迹 方程．
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第九章 平面解析几何
3．两曲线的交点
(1) 由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该
是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组 的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个 交点；方程组无解，两条曲线就没有交点． (2) 两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的 方程组有实数解．可见，求曲线的交点问题，就是求由它 们的方程所组成的方程组的实数解问题．
2 2 x ＋y －4＝0， 或 x＋y＋1≥0，
它表示直线 x＋y＋1＝0 和圆 x2＋y2－4＝0 在直线 x＋y＋1 ＝0 右上方的部分．
新课标理科数学第八章第八节曲线与方程
提 知
又当点F与点A、B在一条直线上时，不合题意，故应除去
能
两点．
菜单
新课标 ·理科数学（广东专用）
自
【尝试解答】 过点A、B、O分别作直线l的垂线，垂
高 考
主 落
足分别为A′、B′、O′.
实 ·
∵|AO|＝|BO|，
固
∴|AA′|＋|BB′|＝2|OO′|＝8，
体 验 · 明 考
基 础
设抛物线的焦点为F，则|AF|＋|BF|＝|AA′|＋|BB′|＝
【答案】 A
后 作 业
提
知
能
菜单
新课标 ·理科数学（广东专用）
自 主 落
3．(2013·余姚模拟)已知点F(
1 4
，0)，直线l：x＝－
1 4
，
高 考 体 验
实 ·
点B是l上的动点．若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂
· 明
固 基
直平分线交于点M，则点M的轨迹是(
)
础
A．双曲线 B．椭圆
考 情
C．圆
考 体 验
实
· 固 基
由y′＝12x，得kl＝12x0.
· 明 考 情
础
∴直线l的方程为y－y0＝
1 2
x0(x－x0)，即x0x－2y＋2y0－
x20＝0，
典 例 探
则点O到l的距离d＝|2y40－＋xx2020|，
课 后
究
· 提 知
又y0＝14x02－2，
作 业
能
菜单
新课标 ·理科数学（广东专用）
体 验
实
·
· 固
16 ， A( － 2， 0) ， B(2， 0) 为 两 个 定
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9-8曲线与方程(理)一、选择题1．到点F (0,4)的距离比它到直线y ＝－5的距离小1的动点M 的轨迹方程为( )A ．y ＝16x 2B ．y ＝－16x 2C ．x 2＝16yD ．x 2＝－16y [答案] C[解析] ∵动点M 到点F (0,4)的距离比它到直线y ＝－5的距离小1，∴动点M 到点F (0,4)的距离与它到直线y ＝－4的距离相等．根据抛物线的定义可得点M 的轨迹是以F (0,4)为焦点，以直线y ＝－4为准线的抛物线，其标准方程为x 2＝16y ，故选C.2．(2012·山东实验中学模拟)已知两点M (－2,0)，N (2,0)，点P 满足PM →·PN →＝0，则点P 的轨迹方程为( )A.x 216＋y 2＝1 B ．x 2＋y 2＝4 C ．y 2－x 2＝8 D ．x 2＋y 2＝8 [答案] B[解析] 设点P 的坐标为(x ，y )，即PM →·PN →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝－4＋x 2＋y 2＝0，即得点P 的轨迹为x 2＋y 2＝4.3．(2012·珠海模拟)方程(x ＋y －1)x 2＋y 2－4＝0，表示的曲线是( ) A ．一直线与一圆 B ．一直线与一半圆 C ．两射线与一圆 D ．两射线与一半圆 [答案] C [解析]由式可知⎩⎨⎧x ＋y －1＝0x 2＋y 2－4≥0，或x 2＋y 2－4＝0，前者表示直线x ＋y －1＝0在圆x 2＋y 2＝4上及圆外的部分，后者表示圆x 2＋y 2＝4，所以选C.4．(2012·山东潍坊)已知圆x 2＋y 2＝4，过点A (4,0)作圆的割线ABC ，则弦BC 中点的轨迹方程为( )A ．(x －1)2＋y 2＝4(－1≤x <12)B ．(x －1)2＋y 2＝4(0≤x <1)C ．(x －2)2＋y 2＝4(－1≤x <12)D ．(x －2)2＋y 2＝4(0≤x <1) [答案] D[解析] 由圆的几何性质知，BC 的中点到A 与圆心连线的中点的距离为2，即方程为(x －2)2＋y 2＝4，又中点在圆内，∴0≤x <1.5．F 1、F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点，P 是椭圆上任一点，过一焦点引∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，则垂足Q 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线[答案] A[解析] ∵PQ 平分∠F 1PA ，且PQ ⊥AF 1， ∴Q 为AF 1的中点，且|PF 1|＝|PA |， ∴|OQ |＝12|AF 2|＝12(|PA |＋|PF 2|)＝a ，∴Q 点轨迹是以O 为圆心，a 为半径的圆．6．(2012·广东湛江质检)已知△ABC 中，A 、B 的坐标分别为(0,2)和(0，－2)，若三角形的周长为10，则顶点C 的轨迹方程是( )A.x 29＋y 25＝1(y ≠0)B.x 25＋y 29＝1(x ≠0) C.x 236＋y 220＝1(y ≠0) D.x 232＋y 236＝1(x ≠0) [答案] B[解析] 由题意知，|CA |＋|CB |＝6>|AB |，所以点C 的轨迹是以A 、B 为焦点，长轴长为6的椭圆，其轨迹方程为x 25＋y 29＝1(x ≠0)．二、填空题7．(2011·湖北理，14)如图，直角坐标系xOy 所在的平面为α，直角坐标系x ′Oy ′(其中y ′轴与y 轴重合)所在的平面为β，∠xOx ′＝45°.(1)已知平面β内有一点P ′(22，2)，则点P ′在平面α内的射影P 的坐标为________；(2)已知平面β内的曲线C ′的方程是(x ′－2)2＋2y ′2－2＝0，则曲线C ′在平面α内的射影C 的方程是________．[答案] (1)(2,2) (2)(x －1)2＋y 2＝1[解析] 本题考查几何图形的射影及二面角的应用．(1)作P ′P ⊥平面α，垂足为P ，则点P 为P ′在α内的射影． ∵∠xox ′＝45°，∴二面角α－y －β的大小为45°，∴x p ＝x ′p ′cos45°＝2，又y ′轴与y 轴重合，∴y p ＝y ′p ′＝2，∴点P 坐标为(2,2)．(2)在x ′Oy ′平面内点M ′(x ′，y ′)与xOy 平面内点的射影M (x ，y )的关系为：⎩⎨⎧x ′cos45°＝x ，y ′＝y，即⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝y .将上式代入(x ′－2)2＋2y ′2－2＝0，得2(x －1)2＋2y 2－2＝0，即(x －1)2＋y 2＝1.8．长为3的线段AB 的端点A ，B 分别在x ，y 轴上移动，动点C (x ，y )满足AC →＝2CB →，则动点C 的轨迹方程是________．[答案] x 2＋y24＝1[解析] 由题意设A (x A,0)，B (0，y B )，AC →＝(x －x A ，y )，CB →＝(－x ，y B －y )，∵AC →＝2CB →，∴⎩⎨⎧x －x A ＝－2x ，y ＝2(y B －y )⇒⎩⎪⎨⎪⎧x A ＝3x ，y B ＝32y .由x 2A ＋y 2B ＝9⇒9x 2＋94y 2＝9⇒x 2＋y 24＝1. 三、解答题9．(2011·广东理，19)设圆C 与两圆(x ＋5)2＋y 2＝4，(x －5)2＋y 2＝4中的一个内切，另一个外切．(1)求C 的圆心轨迹L 的方程；(2)已知点M (355，455)，F (5，0)，且P 为L 上动点．求||MP |－|FP ||的最大值及此时点P 的坐标．[解析] (1)设圆C 的圆心坐标为(x ，y )，半径为r . 圆(x ＋5)2＋y 2＝4的圆心为F 1(－5，0)，半径为2.圆(x －5)2＋y 2＝4的圆心为F (5，0)，半径为2.由题意得⎩⎨⎧|CF 1|＝r ＋2，|CF |＝r －2，或⎩⎨⎧|CF 1|＝r －2，|CF |＝r ＋2，∴||CF 1|－|CF ||＝4. ∴|F 1F |＝25>4，∴圆C 的圆心轨迹是以F 1(－5，0)，F (5，0)为焦点的双曲线，其方程为x 24－y 2＝1.(2)由图知，||MP |－|FP ||≤|MF |，∴当M ，P ，F 三点共线，且点P 在MF 延长线上时，|MP |－|FP |取得取大值|MF |，且|MF |＝(355－5)2＋(455－0)2＝2. 直线MF 的方程为y ＝－2x ＋25，与双曲线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋25，x 24－y 2＝1，整理得15x 2－325x ＋84＝0.解得x 1＝14515(舍去)，x 2＝655.此时y ＝－255.∴当||MP |－|FP ||取得最大值2时，点P 的坐标为(655，－255)．一、选择题1．设P (a ，b )是单位圆上的点，则Q (a ＋b ，ab )的轨迹方程是( ) A ．(a ＋b )2＋a 2b 2＝1 B ．x 2＝2y ＋1 C ．a 2＋b 2＝1 D ．x 2＝2y －1 [答案] B[解析] 由已知条件得a 2＋b 2＝1，即(a ＋b )2－2ab ＝1，整体代换得Q (a ＋b ，ab )的轨迹方程为x 2＝2y ＋1，故选B.2．已知动点P (x ，y )满足10(x －1)2＋(y －2)2＝|3x ＋4y |，则P 点的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．两相交直线 [答案] A [解析] 条件化为2(x －1)2＋(y －2)2＝|3x ＋4y |5，即为点P (x ，y )到定点F (1,2)的距离与到定直线l :3x ＋4y ＝0的距离之比为12，又点F 不在直线l上，故根据椭圆的第二定义可知，点P 的轨迹是椭圆．二、填空题3．点P 在以F 1、F 2为焦点的椭圆x 23＋y 24＝1上运动，则△PF 1F 2的重心G 的轨迹方程是________．[答案] x 213＋y 249＝1(x ≠0)[解析] F 1(0，－1)、F 2(0,1)，设P (x 0，y 0)，G (x ，y )， ∵G 为△PF 1F 2的重心， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 03y ＝y 03，∴⎩⎨⎧x 0＝3xy 0＝3y，代入x 23＋y 24＝1中得x 213＋y 249＝1构成三角形时，三点P 、F 1、F 2不共线，∴x ≠0.4．(2011·北京理，14)曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2(a >1)的点的轨迹．给出下列三个结论：①曲线C 过坐标原点； ②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2.其中，所有正确结论的序号是________． [答案] ②③[解析] 设曲线C 上任一点P (x ，y )，由|PF 1|·|PF 2|＝a 2，可得(x ＋1)2＋y 2·(x －1)2＋y 2＝a 2(a >1)，将原点(0,0)代入等式不成立，故①不正确．∵点P (x ，y )在曲线C 上，点P 关于原点的对称点P ′(－x ，－y )，将P ′代入曲线C 的方程等式成立，故②正确．设∠F 1PF 2＝θ，则S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|·sin θ＝12a 2sin θ≤12a 2，故③正确．[点评] 本题考查曲线的轨迹方程的求法，考查考生运用所学知识分析问题、解决问题的能力，难度适中．三、解答题5．(2011·湖北理，20)平面内与两定点A 1(－a,0)、A 2(a,0)(a >0)连线的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹，加上A 1、A 2两点所成的曲线C 可以是圆、椭圆或双曲线．求曲线C 的方程，并讨论C 的形状与m 值的关系．[解析] 设动点为M ，其坐标为(x ，y )，当x ≠±a 时，由条件可得kMA 1·kMA 2＝y x －a ·yx ＋a ＝y 2x 2－a 2＝m ，即mx 2－y 2＝ma 2(x ≠±a )，又A 1(－a,0)、A 2(a,0)的坐标满足mx 2－y 2＝ma 2， 故依题意，曲线C 的方程为mx 2－y 2＝ma 2.当m <－1时，曲线C 的方程为x 2a 2＋y 2ma2＝1，C 是焦点在y 轴上的椭圆；当m ＝－1时，曲线C 的方程为x 2＋y 2＝a 2，C 是圆心在原点的圆；当－1<m <0时，曲线C 的方程为x 2a 2＋y 2－ma 2＝1，C 是焦点在x 轴上的椭圆；当m >0时，曲线C 的方程为x 2a 2－y 2ma2＝1，C 是焦点在x 轴上的双曲线．6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 29＋y 25＝1的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F .设过点T (t ，m )的直线TA ，TB 与此椭圆分别交于点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，其中m >0，y 1>0，y 2<0(1)设动点P 满足PF 2→－PB 2→＝4，求点P 的轨迹；(2)设x 1＝2，x 2＝13，求点T 的坐标． [解析] 本主要考查求简单曲线的方程，考查直线与椭圆的方程等基础知识，考查运算求解能力和探究问题的能力．由题设得A (－3,0)，B (3,0)，F (2,0)．(1)设点P (x ，y )，则PF 2→＝(x －2)2＋y 2，PB 2→＝(x －3)2＋y 2.由PF 2－PB 2＝4，得(x －2)2＋y 2－(x －3)2－y 2＝4，化简得x ＝92.故所点P 的轨迹为直线x ＝92. (2)由x 1＝2，x 219＋y 215＝1及y 1>0，得y 1＝53，则点M (2，53)，从而直线AM 的方程为y ＝13x ＋1；由x 2＝13，x 229＋y 225＝1，及y 2<0，得y 2＝－209，则点N (13，－209)，从而直线BN 的方程为y ＝56x －52. 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝13x ＋1，y ＝56x －52，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝7，y ＝103.所以点T 的坐标为(7，103)． 7．在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A (－1，1)关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于－13. (1)求动点P 的轨迹方程；(2)设直线AP 与BP 分别与直线x ＝3交于点M ，N .问：是否存在点P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．[解析] 本题考查了点的轨迹方程及三角形的面积公式，第(1)问可利用直接法求出轨迹，(2)问先表示出三角形面积，再结合已知条件即可求解．(1)因为点B 与点A (－1,1)关于原点对称，得B 点坐标为(1，－1)．设P 点坐标为(x ，y )，则k AP ＝y －1x ＋1，k BP ＝y ＋1x －1，由题意得y －1x ＋1·y ＋1x －1＝－13， 化简得：x 2＋3y 2＝4(x ≠±1)．即P 点轨迹方程为：x 2＋3y 2＝4，(x ≠±1)．(2)因为∠APB ＋∠MPN ＝180°，或∠APB ＝∠MPN ，可得sin ∠APB ＝sin ∠MPN ，又S △APB ＝12|PA ||PB |sin ∠APB ， S △MPN ＝12|PM ||PN |sin ∠MPN ， 若S △APB ＝S △MPN ，则有|PA ||PB |＝|PM ||PN |，即|PA ||PM |＝|PN ||PB |设P 点坐标为(x 0，y 0)，则有：|x 0＋1||3－x 0|＝|3－x 0||x 0－1|， 解得：x 0＝53，又因x 20＋3y 20＝4，解得y 0＝±339.故存在点P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等，此时P 点坐标为(53，339)或(53，－339)．。