结构力学结构极限
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图(e)：荷载继续增加，整个截面的应力都达到了屈服极限σS， 弯矩达到了最大—极限弯矩Mu。此时，截面弯矩不再增 大，但弯曲变形可任意增长，相当于在该截面处出现了 一个铰—塑性铰。
§12-2 极限弯矩和塑性铰·破坏机构·静定 梁的计算
由图(e)可推得 Mu SWS
WS—塑性截面系数，受压和受拉部分面积对等分截面轴的静矩之和。
静力法：如图b，由∑MA=0，有
FRB
qul 2
Mu l
F S x 0 ， F R B q u x (q 2 u l M lu) q u x 0
得
qu
wenku.baidu.com
Mu l( l x)
2
最大正弯矩为Mu，故有
qu (2x)2 8
Mu
求得极限荷载
解得 x0.414l 2
qu
11.66Mu l2
§12-4比例加载时有关极限荷载的几个定理
§12-1 概述
1、弹性分析方法
把结构当作理想弹性体，用容许应力法计算结构的强度。
其强度条件为
maxku
σmax—结构的实际最大应力；[σ]—材料的容许应力；
σu—材料的极限应力；
k—安全系数。
2、塑性分析方法 按极限荷载计算结构强度，以结构进入塑性阶段并最后丧失 承载能力时的极限状态作为结构破坏的标志。强度条件为
当截面为bh的矩形时
WS
bh 2 4
故
Mu
bh2 4
S
弹性截面系数为 W bh 2 6
屈服弯矩为
MS
bh2 6
S
M u 1.5 MS
对矩形截面梁来说，按塑性计算比按 弹性计算截面的承载能力提高50%。
§12-2 极限弯矩和塑性铰·破坏机构·静定 梁的计算
破坏机构 结构出现若干塑性铰而成为几何可变体系或瞬变体系。
§12-4比例加载时有关极限荷载的几个定理
可破坏荷载：满足机构条件和平衡条件的荷载，用F +表示。 （不一定满足内力局限条件）
可接受荷载：满足内力局限条件和平衡条件的荷载，用F -表示。 （不一定满足机构条件）
1、极小定理：极限荷载是所有可破坏荷载中的极小者。
2、极大定理：极限荷载是所有可接受荷载中的极大者。
（2）由虚功方程
Fu2lMuMu2
得极限荷载
Fu
6M u l
§12-3 单跨超静定梁的极限荷载
例12-1 试求图a所示两端固定的等截面梁的极限荷载。
解：此梁出现三个塑性铰即进入极限状态。 塑性铰出现在最大负弯矩A、B截面及 最大正弯矩C截面。
静力法：作极限状态弯矩图如图b。 由平衡条件有
FulabMu Mu
得极限荷载
Fu
2l ab
Mu
机动法：作出机构的虚位移图如图c。
F uaM uM ub lM ub a 得极限荷载
Fu
2l ab
Mu
§12-3 单跨超静定梁的极限荷载
例12-2 试求图a所示等截面梁在均布荷载作用时的极限荷载qu。
解：此梁出现两个塑性铰即达到极限状态。 一个塑性铰在A处，另一个塑性铰在 最大弯矩即剪力为零处。
静定结构出现一个塑性铰即成为 破坏机构。对等截面梁，塑性铰出现 在|M|max处。
图a所示截面简支梁，跨中截面弯 矩最大，该处出现塑性铰时梁成为机 构如图b。同时该截面弯矩达到极限弯 矩Mu。 由平衡条件作M图如c。
由
Ful 4
Mu
求得极限荷载为
Fu
Mu l
§12-3 单跨超静定梁的极限荷载
超静定梁：具有多余联系，只有出现足够多的塑性铰，才能 使其成为破坏机构。
3、惟一性定理：极限荷载只有一个确定值。若某荷载既是可破 坏荷载，又是可接受荷载，则该荷载即为极限 荷载。
按平衡条件作出此时的弯矩图，
如图e所示。
由图可得
Ful 4
Mu 2
Mu
得极限荷载
Fu
6M u l
静力法求极限荷载—超静定梁 （1）使破坏机构中各塑性铰处的弯矩都等于极限弯矩； （2）按静力平衡条件作出弯矩图，即可确定极限荷载。
机动法求极限荷载—超静定梁
（1）设机构沿荷载正方向产生任意微小的虚位移如图d；
第12章 结构的极限荷载
§12-1 概述
§12-2 极限弯矩和塑性铰·破坏机构·静定梁的计
算 §12-3 单跨静定梁的极限荷载 §12-4 比例加载时有关极限荷载的几个定理
§12-5 计算极限荷载的穷举法和试算法
§12-6 连续梁的极限荷载 §12-7 刚架的极限荷载
§12-8 矩阵位移法求刚架极限荷载的概念
F Fu K
F—结构实际承受的荷载；Fu—极限荷载； K—安全系数。
§12-1 概述
OA段：材料是理想弹性的，应力 与应变成正比。
AB段：材料是理想塑性的，应力不 变，应变可以任意增长。
CD段：应力减为零时，有残余应 变OD。
结构塑性分析中，为简化计算，把材料的应力与应变关 系作合理地简化。简化为理想弹塑性材料。如图所示。
结构的塑性分析中，叠加原理不再适用。只考虑荷载一 次加于结构，且各荷载按同一比例增加—比例加载。
§12-2 极限弯矩和塑性铰·破坏机构·静定 梁的计算
图a所示梁的横截面有一对称轴，承受位于对称平面内的 竖向荷载作用。随荷载的增大，梁截面应力变化为
图(b)：荷载较小时，弹性阶段，截面应力σ<σS。
图(c)：荷载加大到一定值，最外边缘应力达到屈服极限σS，
图(a)所示等截面梁，梁在弹性阶 段的弯矩图如图b，截面A的弯矩最大。
荷载增大到一定值时，A先出现塑 性铰。如图c，A端弯矩为Mu，变成静 定的问题。此时梁未破坏，承载能力未 达到极限。
荷载继续增大，跨中截面C的弯矩 达到Mu，C截面变成塑性铰。如图d， 此时梁成为几何可变的机构，达到极限 状态。
§12-3 单跨超静定梁的极限荷载
比例加载：作用于结构上的各个荷载增加时，始终保持它们 之间原有的固定比例关系，且不出现卸载现象。
荷载参数F：所有荷载都包含的一个公共参数。确定极限荷载 实际上就是确定极限状态时的荷载参数Fu。
结构处于极限状态时应同时满足： （1）机构条件。结构出现足够数目的塑性铰而成为机构。 （2）内力局限条件。任一截面的弯矩绝对值|M|≤ Mu。 （3）平衡条件。结构的整体或任一局部仍维持平衡。
对应的弯矩称为屈服弯矩MS
MS sW
§12-2 极限弯矩和塑性铰·破坏机构·静定 梁的计算
塑性铰的特点： (1) 可以承受极限弯矩Mu。 (2) (2) 是单向铰，只沿弯矩的方向
转动。弯矩减小时，材料恢复弹 性，塑性铰消失。
图(d)：荷载再增加，截面由外向内有更多部分的应力为σS， 其余纤维处于弹性阶段—塑性流动阶段。
§12-2 极限弯矩和塑性铰·破坏机构·静定 梁的计算
由图(e)可推得 Mu SWS
WS—塑性截面系数，受压和受拉部分面积对等分截面轴的静矩之和。
静力法：如图b，由∑MA=0，有
FRB
qul 2
Mu l
F S x 0 ， F R B q u x (q 2 u l M lu) q u x 0
得
qu
wenku.baidu.com
Mu l( l x)
2
最大正弯矩为Mu，故有
qu (2x)2 8
Mu
求得极限荷载
解得 x0.414l 2
qu
11.66Mu l2
§12-4比例加载时有关极限荷载的几个定理
§12-1 概述
1、弹性分析方法
把结构当作理想弹性体，用容许应力法计算结构的强度。
其强度条件为
maxku
σmax—结构的实际最大应力；[σ]—材料的容许应力；
σu—材料的极限应力；
k—安全系数。
2、塑性分析方法 按极限荷载计算结构强度，以结构进入塑性阶段并最后丧失 承载能力时的极限状态作为结构破坏的标志。强度条件为
当截面为bh的矩形时
WS
bh 2 4
故
Mu
bh2 4
S
弹性截面系数为 W bh 2 6
屈服弯矩为
MS
bh2 6
S
M u 1.5 MS
对矩形截面梁来说，按塑性计算比按 弹性计算截面的承载能力提高50%。
§12-2 极限弯矩和塑性铰·破坏机构·静定 梁的计算
破坏机构 结构出现若干塑性铰而成为几何可变体系或瞬变体系。
§12-4比例加载时有关极限荷载的几个定理
可破坏荷载：满足机构条件和平衡条件的荷载，用F +表示。 （不一定满足内力局限条件）
可接受荷载：满足内力局限条件和平衡条件的荷载，用F -表示。 （不一定满足机构条件）
1、极小定理：极限荷载是所有可破坏荷载中的极小者。
2、极大定理：极限荷载是所有可接受荷载中的极大者。
（2）由虚功方程
Fu2lMuMu2
得极限荷载
Fu
6M u l
§12-3 单跨超静定梁的极限荷载
例12-1 试求图a所示两端固定的等截面梁的极限荷载。
解：此梁出现三个塑性铰即进入极限状态。 塑性铰出现在最大负弯矩A、B截面及 最大正弯矩C截面。
静力法：作极限状态弯矩图如图b。 由平衡条件有
FulabMu Mu
得极限荷载
Fu
2l ab
Mu
机动法：作出机构的虚位移图如图c。
F uaM uM ub lM ub a 得极限荷载
Fu
2l ab
Mu
§12-3 单跨超静定梁的极限荷载
例12-2 试求图a所示等截面梁在均布荷载作用时的极限荷载qu。
解：此梁出现两个塑性铰即达到极限状态。 一个塑性铰在A处，另一个塑性铰在 最大弯矩即剪力为零处。
静定结构出现一个塑性铰即成为 破坏机构。对等截面梁，塑性铰出现 在|M|max处。
图a所示截面简支梁，跨中截面弯 矩最大，该处出现塑性铰时梁成为机 构如图b。同时该截面弯矩达到极限弯 矩Mu。 由平衡条件作M图如c。
由
Ful 4
Mu
求得极限荷载为
Fu
Mu l
§12-3 单跨超静定梁的极限荷载
超静定梁：具有多余联系，只有出现足够多的塑性铰，才能 使其成为破坏机构。
3、惟一性定理：极限荷载只有一个确定值。若某荷载既是可破 坏荷载，又是可接受荷载，则该荷载即为极限 荷载。
按平衡条件作出此时的弯矩图，
如图e所示。
由图可得
Ful 4
Mu 2
Mu
得极限荷载
Fu
6M u l
静力法求极限荷载—超静定梁 （1）使破坏机构中各塑性铰处的弯矩都等于极限弯矩； （2）按静力平衡条件作出弯矩图，即可确定极限荷载。
机动法求极限荷载—超静定梁
（1）设机构沿荷载正方向产生任意微小的虚位移如图d；
第12章 结构的极限荷载
§12-1 概述
§12-2 极限弯矩和塑性铰·破坏机构·静定梁的计
算 §12-3 单跨静定梁的极限荷载 §12-4 比例加载时有关极限荷载的几个定理
§12-5 计算极限荷载的穷举法和试算法
§12-6 连续梁的极限荷载 §12-7 刚架的极限荷载
§12-8 矩阵位移法求刚架极限荷载的概念
F Fu K
F—结构实际承受的荷载；Fu—极限荷载； K—安全系数。
§12-1 概述
OA段：材料是理想弹性的，应力 与应变成正比。
AB段：材料是理想塑性的，应力不 变，应变可以任意增长。
CD段：应力减为零时，有残余应 变OD。
结构塑性分析中，为简化计算，把材料的应力与应变关 系作合理地简化。简化为理想弹塑性材料。如图所示。
结构的塑性分析中，叠加原理不再适用。只考虑荷载一 次加于结构，且各荷载按同一比例增加—比例加载。
§12-2 极限弯矩和塑性铰·破坏机构·静定 梁的计算
图a所示梁的横截面有一对称轴，承受位于对称平面内的 竖向荷载作用。随荷载的增大，梁截面应力变化为
图(b)：荷载较小时，弹性阶段，截面应力σ<σS。
图(c)：荷载加大到一定值，最外边缘应力达到屈服极限σS，
图(a)所示等截面梁，梁在弹性阶 段的弯矩图如图b，截面A的弯矩最大。
荷载增大到一定值时，A先出现塑 性铰。如图c，A端弯矩为Mu，变成静 定的问题。此时梁未破坏，承载能力未 达到极限。
荷载继续增大，跨中截面C的弯矩 达到Mu，C截面变成塑性铰。如图d， 此时梁成为几何可变的机构，达到极限 状态。
§12-3 单跨超静定梁的极限荷载
比例加载：作用于结构上的各个荷载增加时，始终保持它们 之间原有的固定比例关系，且不出现卸载现象。
荷载参数F：所有荷载都包含的一个公共参数。确定极限荷载 实际上就是确定极限状态时的荷载参数Fu。
结构处于极限状态时应同时满足： （1）机构条件。结构出现足够数目的塑性铰而成为机构。 （2）内力局限条件。任一截面的弯矩绝对值|M|≤ Mu。 （3）平衡条件。结构的整体或任一局部仍维持平衡。
对应的弯矩称为屈服弯矩MS
MS sW
§12-2 极限弯矩和塑性铰·破坏机构·静定 梁的计算
塑性铰的特点： (1) 可以承受极限弯矩Mu。 (2) (2) 是单向铰，只沿弯矩的方向
转动。弯矩减小时，材料恢复弹 性，塑性铰消失。
图(d)：荷载再增加，截面由外向内有更多部分的应力为σS， 其余纤维处于弹性阶段—塑性流动阶段。