结构力学结构极限
结构力学(二)第4版龙驭球第17章结构的极限荷载
第17章 极限荷载【17-1】 验证：（a ）工字形截面的极限弯矩为)41(212δδδσb hbh M s u +=。
（b ）圆形截面的极限弯矩为63D M s u σ=。
（c ）环形截面的极限弯矩为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=33)21(16D D M su δσ。
【解】（a ）工字形截面的等面积轴位于中间。
静距计算公式：2021d xy y xy S y ==⎰考虑上半部分面积对等面积轴的静距（大矩形静距减两个小矩形静距）：)41(21)4(21)2)((21)2(21211212222121122222212bhb b h h bh h h b bh hb h b S δδδδδδδδδδδδδδδδ+-+-=+-+-=---= 去除高阶小量后)41(21212δδδb h bh S +=因此极限弯矩为)41()(212δδδσσb h bh S S M s s u +=+= （b ）静距计算公式：2021d xy y xy S y==⎰ 6322d 2))2(d(21)2(4d )2(43)2(023)2(0202222202222D uu u y D y D y y y D S D DDD =⋅=⋅=-⋅-=⋅-=⎰⎰⎰关/注；公，众。
号：倾听细雨因此极限弯矩为63D S M s s u σσ==（c ）圆的静距为63D S =则圆环的静距为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-=3333)21(166)2(-6D D D D S δδ 因此极限弯矩为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==33)21(16D D S M ss u δσσ 【17-2】 试求图示两角钢截面的极限弯矩u M 。
设材料的屈服应力为s σ。
【解】设等面积轴距上顶面距离为xmm 。
由面积轴两侧面积相等，也即面积轴以上面积等于总面积的一半，得405550))50(21(22⨯+⨯=-+x x x ，解得mm x 723.4=。
单个角钢上下截面面积矩：32323232233214879mm ])723.440(20)723.440(31)723.445(20)723.445(31[)723.445(521723.431723.4)723.445(21540mm 723.431723.4)723.450(21=+⨯++⨯-+⨯-+⨯-+⨯⨯+⨯-⨯-⨯==⨯+⨯-⨯=S S由此得截面极限弯矩s s s u S S M σσσ10838)4879540(2)(221=+⨯=+=【17-3】 试求图示各梁的极限荷载。
李廉锟《结构力学》(第5版)(下册)课后习题-第14章 结构的极限荷载【圣才出品】
第14章 结构的极限荷载复习思考题1．什么叫极限状态和极限荷载？什么叫极限弯矩、塑性铰和破坏机构？答：（1）极限状态和极限荷载的含义：①极限状态是指整个结构或结构的一部分超过某一状态就不能满足设计规定的某一功能要求时所对应的特定状态；②极限荷载是指结构在极限状态时所能承受的荷载。
（2）极限弯矩、塑性铰和破坏机构的含义：①极限弯矩是指某一截面所能承受的弯矩的最大数值；②塑性铰是指弯矩不能再增大，但弯曲变形则可任意增长的截面；③破坏机构是指出现若干塑性铰而成为几何可变或瞬变体系的结构。
2．静定结构出现一个塑性铰时是否一定成为破坏机构？n次超静定结构是否必须出现n＋1个塑性铰才能成为破坏机构？答：（1）静定结构出现一个塑性铰时一定成为破坏机构。
因为根据几何组成分析，当静定结构出现一个塑性铰时，结构由几何不变变成几何可变或几何瞬变体系，此时该结构一定成为了破坏机构。
（2）n次超静定结构不必出现n＋1个塑性铰才能成为破坏机构。
因为n次超静定结构出现n个塑性铰时，如果塑性铰的位置不合适，也可能使原结构变成几何瞬变的体系，此时的结构也成为了破坏机构。
3．结构处于极限状态时应满足哪些条件？答：结构处于极限状态时应满足如下三个条件：（1）机构条件机构条件是指在极限状态中，结构必须出现足够数目的塑性铰而成为机构（几何可变或瞬变体系），可沿荷载作正功的方向发生单向运动。
（2）内力局限条件内力局限条件是指在极限状态中，任一截面的弯矩绝对值都不超过其极限弯矩。
（3）平衡条件平衡条件是指在极限状态中，结构的整体或任一局部仍维持平衡。
4．什么叫可破坏荷载和可接受荷载？它们与极限荷载的关系如何？答：（1）可破坏荷载和可接受荷载的含义：可破坏荷载是指满足机构条件和平衡条件的荷载（不一定满足内力局限条件）；可接受荷载是指满足内力局限条件和平衡条件的荷载（不一定满足机构条件）。
（2）与极限荷载的关系极限荷载是所有可破坏荷载中的最小者，是所有可接受荷载中的最大者。
结构力学专题十五(结构的极限荷载)
Ms W
称为截面形状系数，其值与截面形状有关。
例：已知材料的屈服极限 s 240 MPa ，
求图示截面的极限弯矩。
80mm
Mu s (S1 S2 ) 27.36kN.m
20mm
2、塑性较 当截面弯矩达到极限弯矩时，在保持弯矩不变的前
提下，截面纤维将无限地伸长和缩短，因此在该小段内， 两个无限靠近的截面可以发生相对转动，这种情况与带 铰截面相似，称这种截面为“塑性铰”。
A
(1)平衡弯矩法
(2)机动法
(3)增量法
F
B
l/2
l/2
例5:求图示等截面梁的极限荷载。 已知梁的极限弯矩为Mu。
A
q
B
l
例6：求图示结构的极限荷载， 材料极限弯矩为Mu。
M
AC
B
1m
3m
三、变截面超静定梁
例7：求图示结构的极限荷载，
已知 Mu Mu
A Mu
Mu F
D
BC
l ll
作业：
思考题 16—2 、16—4、16—5； 习题： 16—1。
塑性铰与普通铰的区别：
（1）普通铰不能承受弯矩，而塑性铰能承受弯矩Mu。 （2）普通铰是双向铰，而塑性铰是单向铰。
3、弹性极限荷载、极限荷载、破坏机构（极限状态）
（1）对弹于性特阶定段的结构，随着荷载的逐渐增加：
各截面弯矩不超过 “屈服弯矩”Ms ；
（2）弹性阶段终止
当某个截面弯矩首先达到“屈服弯矩”Ms时，弹性阶段终止， 此时的荷载称为“弹性极限荷载”Fps；
加载
E S
S
S
弹性
塑性 s
卸载 E
弹性
s
结构力学 结构塑性分析的极限荷载
max
M ym a x I
s
(a)
时，认为该截面已达到截面的弹性极限状 态，此时截面的弯矩即为该截面的弹性极 限弯矩。用Ms替换式(a)中的M，即得：
MS
y
I
m
ax
s
(b)
对图示矩形截面梁，代入 I bh3 得矩形截面弹性极限弯矩： 12
h ymax 2
MS
bh2 6
S
(c)
M
M
M =M s
第二节 极限弯矩和塑性铰
M
M
(a)纯弯曲 矩形截面梁
(b) s
(c) s
1、弹性极限弯矩Ms
由材料力学知，在线弹性范围内，处于纯 弯曲受力状态的梁的任一截面上只有与外 力偶相等的弯矩产生，截面在变形后仍保 持平截面，即截面上各层纤维沿梁轴线的 伸缩与截面高度成正比，或说截面上的应 变按截面高度线性分布，在中性轴处的应 变等于零。 按结构的弹性设计方法，当截面的最外 层纤维达到材料的屈服应力，即
3.具有一个对称轴截面的极限弯矩
形 心 轴 等 面 积 轴
(1)截面在塑性极限状态的中性轴位置 截面上的应力应满足：
dA 0
(a)
A
在塑性极限状态时截面上的轴力应满足：
S dA S dA 0
A1
A2
即 S ( dA dA) S (A1 A2 ) 0
A1
A2
上式只有在 A1 A2 0 成立时才能满足， 即受拉区的面积须等于受压区的面积。
y dA ydA ydA S1 S2
A1
A2
则极限弯矩可表示为：
Mu s (S1 S2 ) (14-2-2)
弹性极限和塑性极限之间的弹塑性阶段， 中性轴界于截面的形心轴和等面积轴之间。
结构力学第16章---结构的极限荷载
（1）基本定理： 可破坏荷载 FP 恒不小于可接受荷载 FP ，即 FP FP
（2）唯一性定理: 极限荷载值是唯一确定的。
（3）上限定理（极小定理）：可破坏荷载是极限荷载的上限； 即极限荷载是可破坏荷载中的极小值。 FPu FP
qu
6.4
Mu l2
§16-4 比例加载时判定极限荷载的一般定理
比例加载: 所有荷载变化时都彼此保持固定的比例，可用一个 参数FP表示； 荷载参数FP只是单调增大，不出现卸载现象。
假设条件: 材料是理想弹塑性的； 截面的正极限弯矩与负极限弯矩的绝对值相等； 忽略轴力和剪力对极限弯矩的影响。
结构的极限受力状态应满足的条件: （1）平衡条件: 结构的整体或任一局部都能维持平衡； （2）内力局限条件: 任一截面弯矩绝对值都不超过其极限弯矩； （3）单向机构条件: 结构成为机构能够沿荷载方向作单向运动。
11.7
Mu l2
§16-5 刚架的极限荷载
基本假设: （1）当出现塑性铰时，塑性区退化为一个截面（塑性铰处的
截面），其余部分仍为弹性区。 （2）荷载按比例增加，且为结点荷载，塑性铰只出现在结点
处。 （3）每个杆件的极限弯矩为常数，各杆的极限弯矩可不同。 （4）忽略轴力和剪力对极限弯矩的影响。
1. 增量变刚度法的基本思路: 把非线性问题转化为分阶段的几
0 0
k
e 1
2
0 EA
l 0
0 0 0
0 0 0
0 EA
l 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
3. 计算步骤-求刚架极限荷载(比例加载, 荷载用荷载参数FP表示)
结构力学 极限荷载讲解
qu 2
Mu Mu
M u Wu s
Mu
Mu
2、不同结构，只要材料、截面积、截面形状相同，塑性弯矩一定相同。
3、材料、截面积、截面形状相同的不同结构，qu不一定相同。
q u1
qu 2
Mu1
M u1 M u 2 qu1 qu 2
Mu2 Mu2
第15章
四、如何确定单跨梁的极限荷载 1、机理 q
s
y
第15章
3、截面形状系数：极限弯矩与屈服弯矩之比
M u Wu M s Ws
矩 形 截 面 ： 1.5 16 圆形截面： 3 工 字 形 截 面 ： 1.15
4、截面达到极限弯矩时的特点
极限状态时，无论截面形状如何，中性轴两侧的拉压面积相等。依 据这一特点可确定极限弯矩。
D
M u2
B A C
p
D
B
p
机构（一）A C M u2 D
M u2 M u1
M u2
B 情况（1）
M u1
C A B
p
D B
p
C D
机构（二）A
M u2
情况（2）
M u2
p
M u1
M u1
B C A
p
D
机构（三）A
C
M u2
D
B
M u2
不可能出现，为什么？ 情况（3）
第15章
试确定图示单跨梁的极限荷载
第15章
例题2 试用试算法求图示结构的极限荷载。 p 解 法2 ： 1.1 p
A D B E
C
试取机构（ 2） p2 a M u M u 2 Mu a 绘 出 与机 构 （ 2） 相应的 M图 ， p2 3
结构力学 结构塑性分析的极限荷载
FP2/2
5FP1/2
5FP2/2
(b) M C M s FP1 FPs (c) M S M C M u FPs FP2 FPu
3FPu Mu
FPu/2
Fpu FPu/2
5FPu/2
(d) M C M u
2FPu
FPu/2
(e)
(1).结构的极限状态
极限荷载是相应于结构极限状态时的荷载。
塑性铰的以下特征：
(1)塑性铰承受并传递极限弯矩Mu。 (2)塑性铰是单向铰，只能使其两侧按与荷 载增加（弯矩增大）相一致方向发生有限的 转动。 (3)塑性铰不是一个铰点，而是具有一定的 长度。
综上所述，截面上各点应力均等于屈服应力 的应力状态、截面达到极限弯矩、截面形成 塑性铰，均表示该截面达到其塑性流动的极 限状态。
即：
(
FP 2 L 4
Mu 2
)
FP L 4
Mu
解得：
FP 2
FP
6M u L
(a)
即：
FPu
6M u L
2)超静定梁的极限荷载
由前已由叠加方法得出了式(a)所示单跨 超静定梁的极限荷载。观察梁的最后极 限 弯 矩 图 (g) ， 既 是 所 叠 加 的 两 弯 矩 图 (c)、(e)的叠加结果。利用梁的极限弯 矩图的平衡条件，可得：
当MC<Mu，FP2<FPu时，梁处于弹塑性发 展阶段，弯矩图见图(c)。 当MC=Mu时，截面C也将首先达到截面的塑 性极限状态，也即形成第一个塑性铰。
结构上出现足够多的塑性铰，能使原结构 成为破坏机构时的状态为结构的极限状态。 结构在极限状态仍能保持静力平衡。
(2)结构的极限荷载
a.极限弯矩平衡法 由静力平衡条件得：
结构力学李廉锟 第12章_结构极限
Fu l Mu 4
求得极限荷载为
Mu Fu l
§12-3 单跨超静定梁的极限荷载
超静定梁：具有多余联系，只有出现足够多的塑性铰，才能 使其成为破坏机构。 图(a)所示等截面梁，梁在弹性阶 段的弯矩图如图b，截面A的弯矩最大。 荷载增大到一定值时，A先出现塑 性铰。如图c，A端弯矩为Mu，变成静 定的问题。此时梁未破坏，承载能力未 达到极限。 荷载继续增大，跨中截面C的弯矩 达到Mu，C截面变成塑性铰。如图d， 此时梁成为几何可变的机构，达到极限 状态。
§12-7 刚架的极限荷载
刚架极限荷载计算时忽略轴力和剪力对极限弯矩的影响。
穷举法
图a所示刚架，各杆分别为等截面 杆，由弯矩图的形状可知，塑性铰只可 能在A、B、C（下侧）、E（下侧）、 D五个截面出现。 此刚架为3次超静定，只要出现4个 塑性铰或一直杆上出现3个塑性铰即成 为破坏机构。可能的机构形式有 机构1（图b）：横梁上出现3个塑性铰， 又称“梁机构” Mu F 3 2Fa M u 2M u 2 M u a
§12-2 极限弯矩和塑性铰· 破坏机构· 静定 梁的计算
由图(e)可推得 M u SWS WS—塑性截面系数，受压和受拉部分面积对等分截面轴的静矩之和。
bh2 当截面为bh的矩形时 WS 4
2 bh 弹性截面系数为 W 6
bh2 故 Mu S 4
bh2 屈服弯矩为 M S S 6
Mu MC 2 F 2a 2M u Fa 2.29 M u 2 4 M C 0.42M u M u
满足内力局限条件，此机构即为 极限状态，极限荷载为
Mu Fu 2.29 a
§12-8 矩阵位移法求刚架极限荷载的概念
结构力学第16章___结构的极限荷载
）：可接受荷载是极限荷载的下限 （4）下限定理（极大定理）：可接受荷载是极限荷载的下限； ）下限定理（极大定理）：可接受荷载是极限荷载的下限；
− 即极限荷载是可破坏荷载中的极大值。 即极限荷载是可破坏荷载中的极大值。 FPu ≥ FP
M u = σ s ( S1 + S 2 )
S1、S2为面积 1、 A2对等面积轴的静矩 为面积A
梁在横向荷载作用下的弯曲问题—理想弹塑性材料 梁在横向荷载作用下的弯曲问题 理想弹塑性材料 加载初期：各截面的 ＜ 继续加载，直到某个截面M=Ms， 加载初期：各截面的M＜Ms。继续加载，直到某个截面 弹性阶段终结。此时的荷载—弹性极限荷载 弹性极限荷载F 弹性阶段终结。此时的荷载 弹性极限荷载 Ps。 荷载＞FPs ：梁中形成塑性区。 荷载＞ 梁中形成塑性区。 加大荷载：在某截面处 形成塑性铰。 加大荷载：在某截面处M=Mu，形成塑性铰。 承载力无法增加—极限状态 承载力无法增加 极限状态 此时的荷载—极限荷载 极限荷载F 此时的荷载 极限荷载 Pu。 梁的极限荷载可根据塑性铰截面的弯矩=极限值的条件，利 梁的极限荷载可根据塑性铰截面的弯矩 极限值的条件， 极限值的条件 用平衡方程求出。 用平衡方程求出。
第16章
§16-1 §16-2 §16-3 §16-4 §16-5 §16-6 §16-7
结构的极限荷载
概述 极限弯矩、塑性铰和极限状态 超静定梁的极限荷载 比例加载时判定极限荷载的一般定理 刚架的极限荷载 用求解器求极限荷载(略) 小结
§16-1 概 述
1. 弹性设计方法 以许用应力为依据确定截面的尺寸或进行强度验算的作法。 以许用应力为依据确定截面的尺寸或进行强度验算的作法。 缺点：没有考虑材料的塑性特性，不经济。 缺点：没有考虑材料的塑性特性，不经济。 2. 塑性设计方法 考虑材料的塑性变形，确定结构破坏时所能承担的荷载(极限荷 考虑材料的塑性变形，确定结构破坏时所能承担的荷载 极限荷 载)，以此为依据得到容许荷载的方法。 ，以此为依据得到容许荷载的方法。 结构塑性分析中， 结构塑性分析中，为简化计算将材料简化 为理想弹塑性材料，其应力应变关系如图示： 为理想弹塑性材料，其应力应变关系如图示： OA段：线弹性阶段，应力-应变为线性关系 段 线弹性阶段，应力 应变为线性关系 AB段：塑性流动状态，一个应力对应不同的 段 塑性流动状态， 应变。 应变。
李廉锟《结构力学》(下册)笔记和课后习题(含考研真题)详解(结构的极限荷载)
第14章 结构的极限荷载14.1 复习笔记【知识框架】结构分析方法 弹性分析方法 塑性分析方法的基本概念 塑性分析方法 塑性分析中力学性能的简化 塑性分析的注意事项塑性铰 塑性铰的定义 塑性铰与普通铰的区别 极限弯矩、塑性铰、破坏机构与静定梁的计算 极限弯矩的定义及求法 破坏机构超静定梁的特点 静定梁的极限荷载计算 单跨超静定梁的极限荷载 静力法求极限荷载极限荷载的计算 机动法求极限荷载 比例加载的定义 机构条件 结构处于极限状态时满足的条件 内力局限条件 比例加载时有关极限荷载的几个定理 破坏荷载与接受荷载 平衡条件 极小定理 比例加载时有关极限荷载的几个定理 极大定理结构的极限荷载穷举法的描述唯一性定理计算极限荷载的穷举法和试算法试算法的描述穷举法的计算步骤试算法的计算步骤连续梁的可能破坏机构形式连续梁的极限荷载计算方法连续梁的极限荷载的计算计算步骤刚架的可能破坏机构形式刚架的极限荷载计算方法刚架的极限荷载的计算计算步骤矩阵位移法求刚架极限荷载的概念【重点难点归纳】一、塑性分析方法的基本概念1．结构分析方法（1）弹性分析方法①定义弹性分析方法是指以结构在弹性阶段的最大应力达到极限应力作为结构破坏的标志的结构分析方法，又称为许用应力法。
②强度条件式中，σmax为结构的实际最大应力；[σ]为材料的许用应力；σu为材料的极限应力，对于脆性材料为其强度极限σb，对于塑性材料则为其屈服极限σs；k是安全因数。
③优点结构在设计荷载作用下，大多数仍处于弹性阶段，因此弹性分析对于研究结构的实际工作状态及其性能仍是很重要的。
④缺点按许用应力法以个别截面的局部应力来衡量整个结构的承载能力是不够经济合理的，而且以确定许用应力的安全因数k也不能反映整个结构的强度储备。
（2）塑性分析方法①定义塑性分析方法是指以结构进入塑性阶段并最后丧失承载能力时的极限状态作为结构破坏的标志的结构分析方法。
②极限载荷极限荷载是指结构在极限状态时所能承受的荷载。
结构力学 结构的塑性分析与极限荷载
A l/3
FPu
B
DC
Mu
B
Mu
D
l/3
l/3
B
3 l
D
6 l
此时M图如图，MA=3Mu
3M u
Mu
A
B
l/3 l/6
FPu
D
C
Mu
当3M u M u，此破坏可实现。
由虚功方程可得： FPu MuB MuD
FPu
Mu
(3 l
6) l
FPu
M u l
2 当截面D和A出现塑性铰时的破坏机构
FPu Mu' A MuD
极限荷载
q 2l x 2M u x(l x) l
qu
22 3 24
Mu l2
11
.7
Mu l2
极限荷载复习题
1. 极限分析的目的是什么？ 答：寻找结构承载能力的极限，充分利用材料。
2. 试说明塑性铰与普通铰的异同。 答：当截面弯矩达到极限弯矩时，这种截面可称为塑性铰； 塑性铰是单向铰，塑性铰只能沿弯矩增大的方向发生有限的 转角；塑性铰可传递弯矩，普通铰不能传递弯矩。
屈服弯矩、极限弯矩 以理想弹塑性材料的矩形截面纯弯曲梁为例：
M
M
随着M的增大，梁截面应力的变化为：
b
s
s
h b
s
h
y0 y0
s
s
a)
b)
s
c)
b
s
s
s
h
y0 y0
s
s
a)
b)
s
c)
图a）弹性阶段，最外纤维处应力达到屈服极限σs ，弯矩M
为：
MS
bh2 6
结构的极限荷载
第11章 结构的极限荷载前面各章所讨论的结构计算均是以线弹性结构为基础的，即限定结构在弹性范围内工作。
当结构的最大应力达到材料的极限应力n σ时，结构将会破坏，故强度条件为[]max nKσσσ=≤ 式中，max σ为结构的最大工作应力；[]σ为材料的许用应力；n σ为材料的极限应力，对于脆性材料为其强度极限b σ，对于塑性材料为其屈服极限s σ；K 为安全系数。
基于这种假定的结构分析称为弹性分析。
从结构强度角度来看，弹性分析具有一定的缺点。
对于塑性材料的结构，尤其是超静定结构，在某一截面的最大应力达到屈服应力，某一局部已进入塑性阶段时，结构并不破坏，还能承受更大的荷载继续工作，因此按弹性分析设计是不够经济合理的。
另外，弹性分析无法考虑材料超过屈服极限以后，结构的这一部分的承载能力。
塑性分析方法就是为了弥补弹性分析的不足而提出和发展起来的。
它充分地考虑了材料的塑性性质，以结构完全丧失承载能力时的极限状态作为结构破坏的标志。
此时的荷载是结构所能承受荷载的极限，称为极限荷载，记为u F 。
结构的强度条件可表示为u F F K≤ 式中F 为结构工作荷载，K 为安全系数。
显然，塑性分析的强度条件比弹性分析更切合实际。
塑性分析方法只适用于延展性较好的塑性材料的结构，对于脆性材料的结构或对变形有较大限制的结构应慎用这种方法。
对结构进行塑性分析时，平衡条件和几何条件与弹性分析时相同，如平截面假设仍然成立，所不同的是物理条件。
为了简化计算，对于所用的材料，常用如图11.1所示的应力—应变曲线。
当应力达到屈服极限以前，材料处于弹性阶段，应力与应变成正比；当应力达到屈服极限s σ时，材料开始进入塑性变形阶段，应力保持不变，应变可无限增加；卸载时，材料恢复弹性但存在残余变形。
凡符合这种应力—应变关系的材料，称为理想弹塑性材料。
实际钢结构一般可视为理想弹塑性材料。
对于钢筋混凝土受弯构件，在混凝土受拉区出现裂缝后，拉力完全由钢筋承受，故也可采用这种简化的应力—应变曲线进行塑性分析。
9-结构的极限荷载--上限定理(共17张)
荷载的虚功=塑性铰截面极限弯矩的虚功
第7页，共17页。
q
MJ l q
MJ 1 ql2 8
q
θ
θ
2θ
*平衡
(pínghéng)弯矩 法 M max
1 8
ql 2
MJ
qJ
8M J l2
*机动法
qJ
(1 l 2
l )
2
MJ
2
0
qJ
8M J l2
第8页，共17页。
二.连续(liánxù)梁的极限荷载
第17页，共17页。
AB跨破坏
qlΔ 1.2Muθ B Mu 2θ B 0
q1
6.4
Mu l2
BC跨破坏
ql 2
1.2MuθB
1.2MuθC
Mu 2θB
0
q2
17.6
Mu l2
CD跨破坏
q3
6.756
Mu l2
qu
6.4
Mu l2
b（脆性） s（塑性）
k —— 安全系数
第2页，共17页。
2.结构(jiégòu)的塑性分析和极限荷载法
塑性流动状态
屈服 极限
s
A
II
C
I
弹性状态
o s
残余应变
理想弹塑性模型
第3页，共17页。
3.梁的极限(jíxiàn)状态、极限(jíxiàn)弯矩和塑性铰 （1）梁的极限状态和极限弯矩
*弹性分析： 截面的最外层纤维达到材料的屈服应力，即
复习 第十章
第1页，共17页。
§10-1 概述
一.结构的塑性分析和极限荷载的概念
结构力学教学课件-12结构的极限荷载-1 补充 弯曲应力
EIz称为梁的抗弯刚度。
纯弯曲时梁横截面上的正应力
E E y
1 M
EIz
M y
Iz
该式为等直梁纯弯曲时横截面上任一点处正应 力的计算公式。
M ----- 横截面上的弯矩
Iz ----- 横截面对中性轴的惯性矩 y ----- 求应力的点到中性轴的距离
纯弯曲时梁横截面上的正应力
讨论：
M y
dA E
A
ydA ESz 0
A
Sz A ydA yC A
C
Sz为截面图形对z的静矩, 因 中性轴
z
E/≠0, 必有Sz ＝0, 所以中性
轴必通过横截面形心。
y
中性轴(z轴)过形心且与横截面的对称 轴y垂直。
M y
z dA E
A
z y dA EI yz 0
A
这是保证梁为平面弯曲的条件。
max
Mymax Iz
矩形截面梁横截面上正应力 分布如图所示
c max t max max
ymax C
z ymax
y
c max
M
t max
纯弯曲时梁横截面上的正应力
令
Wz
Iz ymax
max
Mymax Iz
得
max
M Wz
C y
ymax
z ymax
Wz称为弯曲截面系数。是截面的几何性质之一, 其值与横截面的形状和尺寸有关, 单位是m3。
纯弯曲时梁横截面上的正应力
b z
h
矩形截面的抗弯截面系数
Wz
Iz h/2
bh2 6
y d
z y
圆形截面的抗弯截面系数
Wz
Iz d /2
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§12-2 极限弯矩和塑性铰·破坏机构·静定 梁的计算
图a所示梁的横截面有一对称轴，承受位于对称平面内的 竖向荷载作用。随荷载的增大，梁截面应力变化为
图(b)：荷载较小时，弹性阶段，截面应力σ<σS。
图(c)：荷载加大到一定值，最外边缘应力达到屈服极限σS，
第12章 结构的极限荷载
§12-1 概述
§12-2 极限弯矩和塑性铰·破坏机构·静定梁的计
算 §12-3 单跨静定梁的极限荷载 §12-4 比例加载时有关极限荷载的几个定理
§12-5 计算极限荷载的穷举法和试算法
§12-6 连续梁的极限荷载 §12-7 刚架的极限荷载
§12-8 矩阵位移法求刚架极限荷载的概念
静定结构出现一个塑性铰即成为 破坏机构。对等截面梁，塑性铰出现 在|M|max处。
图a所示截面简支梁，跨中截面弯 矩最大，该处出现塑性铰时梁成为机 构如图b。同时该截面弯矩达到极限弯 矩Mu。 由平衡条件作M图如c。
由
Ful 4
Mu
求得极限荷载为
Fu
Mu l
§12-3 单跨超静定梁的极限荷载
超静定梁：具有多余联系，只有出现足够多的塑性铰，才能 使其成为破坏机构。
当截面为bh的矩形时
WS
bh 2 4
故
Mu
bh2 4
S
弹性截面系数为 W bh 2 6
屈服弯矩为
MS
bh2 6
S
M u 1.5 MS
对矩形截面梁来说，按塑性计算比按 弹性计算截面的承载能力提高50%。
§12-2 极限弯矩和塑性铰·破坏机构·静定 梁的计算
破坏机构 结构出现若干塑性铰而成为几何可变体系或瞬变体系。
（2）由虚功方程
Fu2lMuMu2
得极限荷载
Fu
6M u l
§12-3 单跨超静定梁的极限荷载
例12-1 试求图a所示两端固定的等截面梁的极限荷载。
解：此梁出现三个塑性铰即进入极限状态。 塑性铰出现在最大负弯矩A、B截面及 最大正弯矩C截面。
静力法：作极限状态弯矩图如图b。 由平衡条件有
FulabMu Mu
比例加载：作用于结构上的各个荷载增加时，始终保持它们 之间原有的固定比例关系，且不出现卸载现象。
荷载参数F：所有荷载都包含的一个公共参数。确定极限荷载 实际上就是确定极限状态时的荷载参数Fu。
结构处于极限状态时应同时满足： （1）机构条件。结构出现足够数目的塑性铰而成为机构。 （2）内力局限条件。任一截面的弯矩绝对值|M|≤ Mu。 （3）平衡条件。结构的整体或任一局部仍维持平衡。
§12-1 概述
1、弹性分析方法
把结构当作理想弹性体，用容许应力法计算结构的强度。
其强度条件为
maxku
σmax—结构的实际最大应力；[σ]—材料的容许应力；
σu—材料的极限应力；
k—安全系数。
2、塑性分析方法 按极限荷载计算结构强度，以结构进入塑性阶段并最后丧失 承载能力时的极限状态作为结构破坏的标志。强度条件为
§12-4比例加载时有关极限荷载的几个定理
可破坏荷载：满足机构条件和平衡条件的荷载，用F +表示。 （不一定满足内力局限条件）
可接受荷载：满足内力局限条件和平衡条件的荷载，用F -表示。 （不一定满足机构条件）
1、极小定理：极限荷载是所有可破坏荷载中的极小者。
2、极大定理：极限荷载是所有可接受荷载中的极大者。
按平衡条件作出此时的弯矩图，
如图e所示。
由图可得
Ful 4
Mu 2
Mu
得极限荷载
Fu
6M u l
静力法求极限荷载—超静定梁 （1）使破坏机构中各塑性铰处的弯矩都等于极限弯矩； （2）按静力平衡条件作出弯矩图，即可确定极限荷载。
机动法求极限荷载—超静定梁
（1）设机构沿荷载正方向产生任意微小的虚位移如图d；
得极限荷载
Fu
2l ab
Mu
机动法：作出机构的虚位移图如图c。
F uaM uM ub lM ub a 得极限荷载
Fu
ห้องสมุดไป่ตู้
2l ab
Mu
§12-3 单跨超静定梁的极限荷载
例12-2 试求图a所示等截面梁在均布荷载作用时的极限荷载qu。
解：此梁出现两个塑性铰即达到极限状态。 一个塑性铰在A处，另一个塑性铰在 最大弯矩即剪力为零处。
3、惟一性定理：极限荷载只有一个确定值。若某荷载既是可破 坏荷载，又是可接受荷载，则该荷载即为极限 荷载。
对应的弯矩称为屈服弯矩MS
MS sW
§12-2 极限弯矩和塑性铰·破坏机构·静定 梁的计算
塑性铰的特点： (1) 可以承受极限弯矩Mu。 (2) (2) 是单向铰，只沿弯矩的方向
转动。弯矩减小时，材料恢复弹 性，塑性铰消失。
图(d)：荷载再增加，截面由外向内有更多部分的应力为σS， 其余纤维处于弹性阶段—塑性流动阶段。
静力法：如图b，由∑MA=0，有
FRB
qul 2
Mu l
F S x 0 ， F R B q u x (q 2 u l M lu) q u x 0
得
qu
Mu l( l x)
2
最大正弯矩为Mu，故有
qu (2x)2 8
Mu
求得极限荷载
解得 x0.414l 2
qu
11.66Mu l2
§12-4比例加载时有关极限荷载的几个定理
F Fu K
F—结构实际承受的荷载；Fu—极限荷载； K—安全系数。
§12-1 概述
OA段：材料是理想弹性的，应力 与应变成正比。
AB段：材料是理想塑性的，应力不 变，应变可以任意增长。
CD段：应力减为零时，有残余应 变OD。
结构塑性分析中，为简化计算，把材料的应力与应变关 系作合理地简化。简化为理想弹塑性材料。如图所示。
图(a)所示等截面梁，梁在弹性阶 段的弯矩图如图b，截面A的弯矩最大。
荷载增大到一定值时，A先出现塑 性铰。如图c，A端弯矩为Mu，变成静 定的问题。此时梁未破坏，承载能力未 达到极限。
荷载继续增大，跨中截面C的弯矩 达到Mu，C截面变成塑性铰。如图d， 此时梁成为几何可变的机构，达到极限 状态。
§12-3 单跨超静定梁的极限荷载
图(e)：荷载继续增加，整个截面的应力都达到了屈服极限σS， 弯矩达到了最大—极限弯矩Mu。此时，截面弯矩不再增 大，但弯曲变形可任意增长，相当于在该截面处出现了 一个铰—塑性铰。
§12-2 极限弯矩和塑性铰·破坏机构·静定 梁的计算
由图(e)可推得 Mu SWS
WS—塑性截面系数，受压和受拉部分面积对等分截面轴的静矩之和。