有限长均匀带电导体直线的电场分布特点

有限长均匀带电导体直线的电场分布特点

姜付锦

(武汉市黄陂区第一中学，湖北 武汉 430300)

摘要：通过库仑定律和麦克斯韦方程推导出有限长均匀带电导体直线的电场线方程和等 势线方程，并利用绘图软件WINPLOT 对电场线与等势线画出函数图像，直观表示了电场的特点。

关键词：有限长均匀带电导体直线；电场线方程；等势线方程

法拉第为形象地描绘静电场在空间的分布情况，引入了电场线的概念。麦克斯韦通过对电场线特点的分析总结出了麦克斯韦方程组。本文将通过库仑定律和麦克斯韦方程对有限长均匀带电导体直线的电场线方程与等势线方程进行推导，得出它们的分布规律，并利用绘图软件WINPLOT 对电场线与等势线画出函数图像，直观表示了电场的特点。

1 电场强度的计算

如图1所示，有一均匀带电导体直线，长度为a (0)a <<∞，总电量为q ，以直线的中点为坐标原点，并以直线为x 轴，建立平面直角坐标系xoy ，在x 轴上坐标为0x 处取一电荷元，其电量为0(

dq dx λλ==

根据库仑定律，它在(,)P x y 点激发的电场强度为0

3

k dx d E r r

λ= ，式中：r 是从0dx 指向P 点的矢量，r d E 与x 轴的夹角为θ，则d E 沿x 轴和y 轴的两个分量分别为cos ,sin x y dE dE dE dE θθ==[1]，则

000

223/2223/2

00(),[()][()]x y

k x x dx k ydx dE dE y x x y x x λλ-=

=+-+-

图1 均匀带电导体直线外任一点处的场强

将上列两式积分，得

0022223/2

0220

22223/2

022()[()][()]a a a a x x a

a a a y y k x x dx k E dE y x x y

a a

x x

k ydx k E dE y x x y λλ

λλ-----===+--+===++-⎰⎰

⎰⎰

2 电场线方程的推导

根据麦克斯韦方程可知，电场线的微分方程为y

x

E dy dx E =

，将上式代入后得

dy dx

x x =-++

()()a a

x dx ydy x dx ydy

++-+=

2222[()][()]

a a

d y x d y x +++-=，两边同时积分得

C =（式中C 是一常量）

焦点相同的双曲线，式中a C -≤≤

3 等势线方程的推导

如图2所示，图中P 点的电势

a P ϕ=⎰

[2]

，

将上式整理后得，

图2 均匀带电导体直线外任一点处的电势

[ln(ln(

22

a

P

a a

k x x ϕλ

==-+---+

⎰

4 数值模拟

利用Winplot强大的绘图功能，对以上的电场线和等势线进行模拟，数值模拟中令1C/m,=1m

a

λ=，如图3所示

5 结语

通过对电场线与等势线数值模拟的分析可以发现：在原坐标系中，当,

x y

→∞→∞时有限长均匀带电导体直线相当于一个“点电荷”，它的电场线的反向延长线趋近于通过原点；等势面趋近于圆周。以上的推导都是建立在电荷均匀分布的条件下，但是实际上有限长带电直线的电荷的分布不是均匀的，所以本文中的分析只是一种简化处理情形[3]。进一步研究可以发现，均匀带电导体直线的电场线和等势线与波的干涉图样相似，干涉图样中的波面与本文中的等势线相似；干涉图样中的波线与本文中的电线线相似[4]。

参考文献：

[1] 徐斌富章可钦邹勇潘传芳大学基础物理（第一册）[M] 北京：科学出版社，2007：

8-9

[2] 郭硕鸿电动力学（第二版）[M] 北京：高等教育出版社1998：56-57

[3] 陈钢有限长带电导体直线的电荷分布[J] 大学物理，2010 10（30）：28-29

[4] 陈敏数形结合剖析水波的干涉图样[J] 物理通报，2012 （5）：89~92

The distribution characteristic of the electric field

of the uniformly charged conductor straight-line with finite length

JIANG Fujin

(The First High School of Huangpi District in Wuhan, Wuhan 430300, Hubei ) Abstract: In this paper, we derive the electric field line equation and the equipotential line equation of the uniformly charged conductor straight-line by Coulomb's law and the Maxwell Equation.Then we plot the image of the electric field and the equipotential line with the mapping software WINPLOT and give an intuitive presentation of the electric field.

图3 均匀带电导体直线的电场线和等势线