高等数学知识点第一章函数
高等数学(上册)重要知识点
一章 函数与极限1. 集合与函数 1.1 集合的概念具有某种特定性质的事物的的全体。
全体非负整数（自然数）构成的集合{0,1,2,3......}记为N 。
全体正整数构成的集合{1,2,3....}记为 。
全体整数构成的集合{....-1,0,1,2....}(记为Z). 全体实数构成的集合R. 1.2基本初等函数和初等函数 反对幂指三是基本初等函数.将基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合运算所得到的 且能用一个式子表示的函数称为初等函数. 1.3极坐标与直角坐标系的关系θρθρsin cos {==y x )0(tan {22≠=+=x x y yx θρ1.4几种特殊性质的函数 (1)有界函数F(x)在x 上有界的充分必要条件为:存在常数M>0,使得| f(x) | ≦ M,对任意x 属于X.这时称风f(x)在x 上有一个界. (2)奇偶函数F (x)=f(-x),称为偶函数. F (-x)=-f(x),称为奇函数. (3)周期函数f(x+L)=f(x)恒成立,称f(x)为周期函数.L 为f(x)的最小正周期.2.极限2.1数列极限的定义设有数列{a n },若存在常数a ，对任意给定的ε>0,总存在正整数N ，当n>N 时，恒有| a n -a |<ε成立，则数列{a n }以a 为极限。
记作:aann =∞→lim , 或 a a n→(∞→a ).此时称数列}{a n 收敛于常数a ，或简称数列收敛.反之数列}{a n 没有极限，或称它为发散.2.2数列极限的性质(1)（极限的唯一性）如果数列}{a n 收敛，那么它的极限必唯一.(2)（有界性）收敛数列必定有界.(3)（保号性）设有数列}{a n ，}{b n 分别收敛于a,b,并且b>a,那么存在正整数 N ，当n>N 时，恒有b n >a n . (4) 设有数列}{a n ，}{b n 分别收敛于a,b,并且存在正整数Ｎ，当ｎ＞Ｎ时，恒有b n ≥an，那么a b ≥（5）数列}收敛于a 的充分必要条件是它的任何一个子集数列都收敛于a. 2.3函数极限（1）设函数f(x)在的某去心邻域有定义.若存在常数Ａ，使对任给的ε>0，总存在δ＞０，当０＜｜ｘ－x 0｜＜δ时，恒有 ｜ｆ（ｘ）－Ａ｜＜ε恒成立，则称当x x →0时，ｆ（ｘ）以Ａ 为极限．记作：)(limx f x x →＝Ａ或A x f →)(，当x x 0→．（２）函数极限的性质１.（唯一性）如果存在，那么极限是唯一的。
高等数学上册函数部分知识点
2） = ln 1 − 2 +
解：
1
2+1
2
1
−
>1
ቊ
2 + 1 > 0
1
⇒ (− , 1)
2
四、求极限，分段函数，分段点处的极限
• 充分必要条件：
• lim 存在 ↔ 左右极限存在且相等 lim− = lim+
→0
→0
• 例题、求下列函数的在x趋于0的极限
• =ቊ
>
+ <
• lim− = lim− + 1 = 1
→0
→0
• lim+ = lim+ = 0
→0
→0
• 由于左右极限不相等，所以不存在极限。
→0
• 二、函数的定义域
• 函数的定义域:指所ห้องสมุดไป่ตู้可输入函数中的自变量的集合
• 函数的值域：指函数能输出的所有因变量的集合。
• 三、初等函数
• 基本函数的有限次的四则运算和函数复合步骤所构成的
求下列的定义域
1） = 2 − 2
解：
2 ≤1
0
≤
2
−
൝
2 − 2 ≥ 0
⇒ − 2, −1 ∪ [1, 2]
函数
• 一、基本初等函数
•
•
•
•
•
指数函数：y = > 0且 ≠ 0
三角函数： y = sinx，y = cosx，y = tanx
幂函数： y = x
对数函数： y = log , y =
反三角函数:y = , y = , y =
高等数学知识点
第1章 集合与函数小结一、函数的概念1.函数()y f x =的定义域()D f 及其求法.2.函数的两个基本要素：定义域和对应法则.3.分段函数：一个函数在其定义域的不同子集上用不同的表达式来表示，即一个函数由两个或两个以上的式子表示.4．熟练掌握绝对值函数：,0,,<0x x y x x x ≥⎧==⎨-⎩的定义、图像及性质二、函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性三、复合函数5．由函数()y f u =与()u g x =复合而成的复合函数()()y f g x =的概念.（难点：复合函数分解为若干个简单函数，与后续章节的复合函数求导、微分、积分的联系）四、基本初等函数和初等函数6．五种基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数（以sin y arc x =，cos y arc x =为主）的性质及其图形. （加强点：幂函数的根式、分式转换；指数、对数的运算性质 ）7．初等函数：由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合而构成，并能用一个解析式表示的函数. 五、常用经济函数第二章 极限与连续 知识点归纳一、极限的概念 1．极限的定义（1）lim n n x A →∞=. （2）()lim x f x A →∞= 、()lim x f x A →+∞=、()lim x f x A →-∞= （3）()0lim x x f x A →= 、左极限()()000lim x x f x f x A -→-==、右极限()()000lim x xf x f x A +→+== 2．极限的基本性质（1）唯一性：若()lim f x A =（或lim n n x A →∞=），()lim f x B =（或lim n n x B →∞=）则A B =. （2）有界性：收敛数列必有界.（3）保号性：若函数极限为正（或负），则在极限变化某过程中函数也为正（或负）. （4）()lim x f x A →∞=⇔()()lim lim x x f x f x A →+∞→-∞==.（5）()0lim x xf x A →=⇔()()0lim lim x x x x f x f x A -+→→==.二、无穷小量1. 无穷小（量）：0)(lim )(=⇔x f x f2. 无穷大（量）：3. 无穷小与无穷大的关系（课本53页例3、55页例9，57页的引理2）4. 两个无穷小的比较5. 重要的等价无穷小当0x →时，sin ~x x ，tan ~x x ，211cos ~2x x -，1~x e x -，()ln 1~x x +1~2x-， (1)1~a x x α+-（α∈R ）. 三、求极限的方法 1. 利用极限的四则运算 例1：求下列极限2213252175763221121(1)lim;(2)lim();;(3)lim;123211421(4)lim(5)lim;(6)lim;116216210(7)lim;31321(8)lim;(9)lim21n n xx x xxx xn n n xn n x xx xx x x xx xx xx xx x→∞→∞→→→-→∞→∞→∞→∞-+++--+-+-+⎛⎫-⎪+-+-⎝⎭-++--++--2. 利用函数的连续性求极限(代入法).3. 两个重要极限和变量替换法并用(1)sinlim1xxx→=，()0sin()lim1()u xu xu x→=.(2) 1lim(1)nnen→∞+=，1lim(1)xxex→∞+=，1lim(1)ettt→+=.例2：求下列极限()1000023(1)lim1;(2)lim1;(3)lim12;1sin3sin3(4)lim;(5)lim;(6)lim;1tan71111(7)lim sin;(8)lim sin;(9)lim sin;(10)lim sinn xxn x xxx x xx x x xxn xx x xx x xx x x xx x x x →∞→∞→→∞→→→∞→→∞→⎛⎫⎛⎫---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎪+⎝⎭4. 利用无穷小的重要性质和等价无穷小代换(1)无穷小的重要性质：有界变量与无穷小的乘积是一个无穷小.(2)等价无穷小代换例3：求下列极限223000200tan71cos4tan sin(1)lim;(2)lim(3)lim;sin221cos1cos(4)lim(5)limln(1)1x x xxx xx x x xx x xx xxe→→→→→----+-四、函数连续性 1. 函数连续的概念(1)若()()00lim x xf x f x →=，称()f x 在点0x 处连续. (2)若()()00lim x xf x f x -→=，称函数()f x 在点0x 左连续； 若()()00lim x xf x f x +→=，称()f x 在点0x 右连续. ()f x 在点0x 连续⇔()f x 在点0x 左连续且右连续.(3)若()f x 在(),a b 内每一点都连续，称函数()f x 在(),a b 内连续. (4)若()f x 在(),a b 内连续，在x a =右连续，在x b =左连续，称()f x 在[],a b 上连续.2. 初等函数的连续性重要结论： 基本初等函数在其定义域内都是连续的。
高等数学知识点第一章函数
第一章函数一、实数集合关于邻域：设a为某个正数，称开区间（x0-a，x0+a）为点x0的邻域。
记作U（x0，a）。
称x0为该邻域的中心，a为该邻域的半径。
A、点x0的空心邻域即（x0-a，x0+a）\｛x0｝或U（x0，a）B、点x0的左邻域（x0-a，x0] 空心左邻域（x0-a，x0）C、点x0的右邻域[x0，x0+a）空心右邻域（x0，x0+a）二、函数关系A、一个函数的两个基本要素圈①定义域记作D（f）或D.②对应规则记作fB、绝对值函数y=|x| 去绝对值符号的方法，分类讨论C、符号函数y=sgnx ①x＞0时y=1 ②x=0时y=0 ③x＜0时y=-1D、取整函数y=[x]=n n≤x＜n+1 n=0，±1，±2…..[x]表示不超过x的最大整数，称为x的整数部分[2.6]=2 [π]=3 [-2.8]=-3取整函数的图像E、函数的自然定义域：即定义域一般需要注意：分式的分母不为零，对负数不能开偶次方根，对数的真数必须为正。
三、函数的基本特性A、单调性证明函数的单调性：任取x1、x2∈D且x1＜x2.，求解f（x1）与f（x2）的大小关系。
由此函数单调性得证。
B、有界性：若存在常数M＞0，使得对任意的x∈D，恒有|f（x）|≤M，则称函数f（x）在D上有界，否则则称无界。
（判断函数是否有界一般为求解函数的值域）①有上界：f（x）≤M ②有下界：f（x）≥MC、奇偶性奇函数：任意x∈D，恒有f（-x）=-f（x）偶函数：任意x∈D，恒有f（-x）=f（x）非奇非偶：不是奇函数也不是偶函数判断函数奇偶性一般先判断定义域是否关于原点对称，如果不对称则一定为非奇非偶函数；若对称则求f（-x）的表达式，观察是否可以化成f（x）或f（-x）的形式，由此判断D、周期性f（x）在D上有定义，存在常数T＞0，使对任意的x∈D，恒有x+T∈D，且f（x+T）=f（x）成立，则称f（x）为周期函数。
高数大一最全知识点
高数大一最全知识点高等数学作为大一学生的必修课程，是一门基础而又重要的学科。
掌握好高数知识点，不仅对后续的学习有着重要的影响，也对提高数理思维和解决实际问题具有重要的帮助。
下面将为大家整理总结大一高数中最全的知识点。
第一章：函数与极限1. 函数的概念和性质函数定义、定义域和值域、函数的图像和性质等。
2. 极限的概念和性质数列极限、函数极限、几何意义以及重要的极限性质。
3. 连续与间断连续函数的概念、连续函数的性质、间断点和间断函数等。
第二章：导数与微分1. 导数的概念和计算导数的定义、导数的计算方法、各种函数导数的计算公式等。
2. 高阶导数与导数的应用高阶导数的定义、高阶导数的计算、导数在几何和物理问题中的应用等。
3. 微分学基本定理微分中值定理、极值与最值、凹凸性等重要的微分学定理。
第三章：积分与不定积分1. 定积分和不定积分的概念和性质定积分的定义、定积分的计算、不定积分的定义和基本积分表等。
2. 定积分的应用定积分的几何应用、定积分的物理应用、定积分的概率统计应用等。
3. 反常积分反常积分的概念和性质、反常积分判敛方法、特殊函数的反常积分等。
第四章：常微分方程1. 常微分方程的基本概念常微分方程的定义、初值问题、解的存在唯一性定理等。
2. 一阶常微分方程解法可分离变量方程、齐次方程、一阶线性方程、伯努利方程等解法。
3. 高阶线性微分方程高阶线性齐次和非齐次微分方程的解法、常系数线性微分方程等。
第五章：多元函数与偏导数1. 多元函数的概念和性质多元函数的定义、定义域、值域、图像等基本概念。
2. 偏导数与全微分偏导数的定义和计算、全微分的定义以及全微分近似等。
3. 隐函数与参数方程隐函数的存在定理、隐函数的求导、参数方程的定义和性质等。
第六章：多元函数的积分学1. 二重积分的概念和性质二重积分的定义、二重积分的计算、二重积分的性质等。
2. 三重积分和曲线、曲面积分三重积分的定义、三重积分的计算、曲线积分、曲面积分的概念与计算等。
高等数学知识点
高等数学知识点高等数学知识点在日复一日的学习中，大家最熟悉的就是知识点吧？知识点有时候特指教科书上或考试的知识。
哪些知识点能够真正帮助到我们呢？下面是小编为大家收集的高等数学知识点，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。
高等数学知识点1第一章：函数与极限1.理解函数的概念，掌握函数的表示方法。
2.会建立简单应用问题中的函数关系式。
3.了解函数的奇偶性、单调性、周期性、和有界性。
4.掌握基本初等函数的性质及图形。
5.理解复合函数及分段函数的有关概念，了解反函数及隐函数的概念。
6.理解函数连续性的概念(含左连续和右连续)会判别函数间断点的类型。
7.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左右极限间的关系。
8.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
9.掌握极限性质及四则运算法则。
10.理解无穷孝无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。
第二章：导数与微分1.理解导数与微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描写一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。
2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握初等函数的求导公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求初等函数的微分。
3.会求隐函数和参数方程所确定的函数以及反函数的导数。
4.会求分段函数的导数，了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。
第三章：微分中值定理与导数的应用1.熟练运用微分中值定理证明简单命题。
2.熟练运用罗比达法则和泰勒公式求极限和证明命题。
3.了解函数图形的作图步骤。
了解方程求近似解的两种方法：二分法、切线法。
4.会求函数单调区间、凸凹区间、极值、拐点以及渐进线、曲率。
第四章：不定积分1.理解原函数和不定积分的概念，掌握不定积分的基本公式和性质。
2.会求有理函数、三角函数、有理式和简单无理函数的不定积分3.掌握不定积分的分步积分法。
同济大学(高等数学)_第一章_函数极限
第一篇 函数、极限与连续第一章 函数、极限与连续高等数学的主要内容是微积分，微积分是以变量为研究对象，以极限方法为基本研究手段的数学学科.本章首先复习函数相关内容，继而介绍极限的概念、性质、运算等知识，最后通过函数的极限引入函数的连续性概念，这些内容是学习高等数学课程极其重要的基础知识.第1节 集合与函数1.1 集合1.1.1 集合讨论函数离不开集合的概念.一般地，我们把具有某种特定性质的事物或对象的总体称为集合，组成集合的事物或对象称为该集合的元素.通常用大写字母A 、B 、C 、 表示集合，用小写字母a 、b 、c 、 表示集合的元素.如果a 是集合A 的元素，则表示为A a ∈，读作“a 属于A ”；如果a 不是集合A 的元素，则表示为A a ∉，读作“a 不属于A ”.一个集合，如果它含有有限个元素，则称为有限集；如果它含有无限个元素，则称为无限集；如果它不含任何元素，则称为空集，记作Φ.集合的表示方法通常有两种：一种是列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合.例如，有1,2,3,4,5组成的集合A ，可表示成A ={1,2,3,4,5}；第二种是描述法，即设集合M 所有元素x 的共同特征为P ，则集合M 可表示为{}P x x M 具有性质|=.例如，集合A 是不等式022<--x x 的解集，就可以表示为{}02|2<--=x x x A .由实数组成的集合，称为数集，初等数学中常见的数集有：（1）全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N ，即{} ,,,3,2,1,0n N =；（2）所有正整数组成的集合称为正整数集，记作+N ，即{} ,,,3,2,1n N =+；（3）全体整数组成的集合称为整数集，记作Z ，即{} ,,,3,2,1,0,1,2,3,,,n n Z ----=；（4）全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q ，即⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈=+互质与且q p N q Z p q p Q ,,；（5）全体实数组成的集合称为实数集，记作R .1.1.2 区间与邻域在初等数学中，常见的在数集是区间.设R b a ∈,，且b a <，则 （1）开区间 {}b x a x b a <<=|),(；（2）半开半闭区间 {}b x a x b a <≤=|),[，{}b x a x b a ≤<=|],(； （3）闭区间 {}b x a x b a ≤≤=|],[；（4）无穷区间 {}a x x a ≥=+∞|),[， {}a x x a >=+∞|),(，{}b x x b ≤=-∞|],(， {}b x x b <=-∞|),(，{}R x x ∈=+∞-∞|),(.以上四类统称为区间，其中（1）-（4）称为有限区间，（5）-（8）称为无限区间.在数轴上可以表示为（图1-1）：（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）图 1-1在微积分的概念中，有时需要考虑由某点0x 附近的所有点组成的集合，为此引入邻域的概念.定义1 设δ为某个正数，称开区间),(00δδ+-x x 为点0x 的δ邻域，简称为点0x 的邻域，记作),(0δx U ，即{}δδδ+<<-=0000|),(x x x x x U {}δ<-=|||0x x x .在此，点0x 称为邻域的中心，δ称为邻域的半径，图形表示为（图1-2）：图1-2另外，点0x 的邻域去掉中心0x 后，称为点0x 的去心邻域，记作),(0δx U o，即{}δδ<-<=||0|),(00x x x x U o,图形表示为（图1-3）：图1-3其中),(00x x δ-称为点0x 的左邻域，),(00δ+x x 称为点0x 的右邻域. 1.2函数的概念1.2.1函数的定义定义2 设x 、y 是两个变量，D 是给定的数集，如果对于每个D x ∈，通过对应法则f ，有唯一确定的y 与之对应，则称y 为是x 的函数，记作)(x f y =.其中x 为自变量，y为因变量，D 为定义域,函数值)(x f 的全体成为函数f 的值域，记作f R ，即{}D x x f y y R f ∈==),(|.函数的记号是可以任意选取的, 除了用f 外, 还可用“g ”、“F ”、“ϕ”等表示. 但在同一问题中, 不同的函数应选用不同的记号.函数的两要素：函数的定义域和对应关系为确定函数的两要素.例1 求函数211x xy --=的定义域. 解x1的定义区间满足：0≠x ；21x -的定义区间满足：012≥-x ，解得11≤≤-x .这两个函数定义区间的公共部分是1001≤<<≤-x x 或.所以，所求函数定义域为]1,0()0,1[ -.例2 判断下列各组函数是否相同. （1）x x f lg 2)(=，2lg )(x x g =； （2）334)(x x x f -=，31)(-=x x x g ； （3）x x f =)(，2)(x x g =.解 （1）x x f lg 2)(=的定义域为0>x ，2lg )(x x g =的定义域为0≠x .两个函数定义域不同，所以)(x f 和)(x g 不相同.（2）)(x f 和)(x g 的定义域为一切实数.334)(x x x f -=)(13x g x x =-=,所以)(x f 和)(x g 是相同函数.（3）x x f =)(，x x x g ==2)(,故两者对应关系不一致，所以)(x f 和)(x g 不相同.函数的表示法有表格法、图形法、解析法(公式法)三种.常用的是图形法和公式法两种.在此不再多做说明.函数举例:例3 函数⎪⎩⎪⎨⎧>=<-==0,10,00,1sgn x x x x y ，函数为符号函数，定义域为R ，值域{}1,0,1-. 如图1-4：图1-4例4 函数[]x y =，此函数为取整函数，定义域为R ， 设x 为任意实数, y 不超过x 的最大整数，值域Z . 如图1-5：图1-5特别指出的是，在高等数学中还出现另一类函数关系，一个自变量x 通过对于法则f 有确定的y 值与之对应，但这个y 值不总是唯一.这个对应法则并不符合函数的定义，习惯上我们称这样的对应法则确定了一个多值函数.1.2.2 函数的性质设函数)(x f y =，定义域为D ，D I ⊂. （1）函数的有界性定义3 若存在常数0>M ，使得对每一个I x ∈，有M x f ≤)(，则称函数)(x f 在I 上有界.若对任意0>M ，总存在I x ∈0，使M x f >)(0，则称函数)(x f 在I 上无界.如图1-6：图1-6例如 函数 x x f sin )(=在),(+∞-∞上是有界的:1sin ≤x .函数 xx f 1)(=在)1,0(内无上界，在)2,1(内有界.（2）函数的单调性设函数)(x f y =在区间I 上有定义, 1x 及2x 为区间I 上任意两点, 且21x x <.如果恒有)()(21x f x f <, 则称)(x f 在I 上是单调增加的；如果恒有)()(21x f x f >, 则称)(x f 在I 上是单调递减的.单调增加和单调减少的函数统称为单调函数（图1-7）.图1-7（3）函数的奇偶性设函数)(x f y =的定义域D 关于原点对称.如果在D 上有)()(x f x f =-, 则称)(x f为偶函数；如果在D 上有)()(x f x f -=-, 则称)(x f 为奇函数.例如，函数2)(x x f =，由于)()()(22x f x x x f ==-=-，所以2)(x x f =是偶函数；又如函数3)(x x f =，由于)()()(33x f x x x f -=-=-=-，所以3)(x x f =是奇函数.如图1-8：图1-8从函数图形上看，偶函数的图形关于y 轴对称，奇函数的图形关于原点对称.(4)函数的周期性设函数)(x f y =的定义域为D . 如果存在一个不为零的数l ,使得对于任一D x ∈有()D l x ∈±, 且())(x f l x f =±, 则称)(x f 为周期函数, l 称为)(x f 的周期.如果在函数)(x f 的所有正周期中存在一个最小的正数，则我们称这个正数为)(x f 的最小正周期.我们通常说的周期是指最小正周期.例如，函数x y sin =和x y cos =是周期为π2的周期函数，函数x y tan =和x y cot =是周期为π的周期函数.在此，需要指出的是某些周期函数不一定存在最小正周期.例如，常量函数C x f =)(，对任意实数l ，都有)()(x f l x f =+，故任意实数都是其周期，但它没有最小正周期.又如，狄里克雷函数⎩⎨⎧∈∈=cQ x Qx x D ,0,1)(， 当c Q x ∈时，对任意有理数l ，cQ l x ∈+，必有)()(x D l x D =+，故任意有理数都是其周期，但它没有最小正周期.1.3 反函数在初等数学中的函数定义中，若函数)(:D f D f →为单射,若存在:1-f D D f →)(，称此对应法则1-f为f 的反函数.习惯上,D x x f y ∈=),(的反函数记作)(),(1D f x x f y ∈=-.例如，指数函数),(,+∞-∞∈=x e y x的反函数为),0(,ln +∞∈=x x y ，图像为（图1-9）图1-9反函数的性质：（1）函数)(x f y = 单调递增(减)，其反函数)(1x f y -=存在，且也单调递增（减）.（2）函数)(x f y =与其反函数)(1x fy -=的图形关于直线x y =对称.下面介绍几个常见的三角函数的反函数：正弦函数x y sin =的反函数x y arcsin =，正切函数x y tan =的反函数x y arctan =.反正弦函数x y arcsin =的定义域是]1,1[-，值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ；反正切函数x y arctan =的定义域是),(+∞-∞，值域是⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ，如图1-10：9图1-101.4复合函数定义4 设函数f D u u f y ∈=),(，函数f g g D R D x x g u ⊂∈=值域,),(，则()()g D x x g f y x g f y ∈==),()( 或称为由)(),(x g u u f y ==复合而成的复合函数，其中u 为中间变量.注：函数g 与函数f 构成复合函数g f 的条件是f g D R ⊂，否则不能构成复合函数.例如，函数]1,1[arcsin -∈=u u y ，，R x x u ∈+=,22.在形式上可以构成复合函数()2arcsin 2+=x y .但是22+=x u 的值域为]1,1[),2[-⊄+∞，故()2arcsin 2+=x y 没有意义.在后面的微积分的学习中，也要掌握复合函数的分解，复合函数的分解原则： 从外向里，层层分解，直至最内层函数是基本初等函数或基本初等函数的四则运算.例5 对函数xa y sin =分解.解 xa y sin =由u a y =，x u sin =复合而成.例6 对函数)12(sin 2+=x y 分解.解 )12(sin 2+=x y 由2u y =，v u sin =，12+=x v 复合而成.1.5初等函数在初等数学中我们已经接触过下面各类函数： 常数函数：C y =（C 为常数）；幂函数：)0(≠=ααx y ；指数函数：)10(≠>=a a a y x且；对数函数：)10(log ≠>=a a x y a 且；三角函数：x y x y x y x y x y x y csc ,sec ,cot ,tan ,cos ,sin ======； 反三角函数：x arc y x y x y x y cot ,arctan ,arccos ,arcsin ====.这六种函数统称为基本初等函数.定义5 由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤所构成的并用一个式子表示的函数，称为初等函数.例如，x e y sin =，)12sin(+=x y ，2cot xy =等都是初等函数.需要指出的是，在高等数学中遇到的函数一般都是初等函数，但是分段函数不是初等函数，因为分段函数一般都有几个解析式来表示.但是有的分段函数通过形式的转化，可以用一个式子表示，就是初等函数.例如，函数⎩⎨⎧≥<-=0,0,x x x x y ， 可表示为2x y =.习题 1-11.求下列函数的定义域.（1）21x y -=； （2）2411x xy -++=； （3）2ln 2x x y -=； （4）43arcsin -=x y ；（5）452+-=x y ； （6）2)3ln(--=x x y .2.下列各题中，函数)(x f 和)(x g 是否相同，为什么？（1）2lg )(x x f =，x x g lg 2)(=； （2）x x f =)(，2)(x x g =；（3）x x f =)(，xe x g ln )(=； （4）x xf =)(，)sin(arcsin )(x xg =.3.已知)(x f 的定义域为]1,0[，求下列函数的定义域.（1）)(2x f ； （2）)(tan x f ； （3）)0)(()(>-++a a x f a x f . 4.设()5312++=+x x x f ，求)(x f ，)1(-x f .5.判断下列函数的奇偶性.（1）x x y tan sin ⋅=； （2）()1lg 2++=x x y ；（3）2x x e e y -+=； （4）)1(3+=x x y ；（5）⎩⎨⎧>+≤-=0,10,1x x x x y .6.设下列考虑的函数都是定义在区间)0)(,(>-l l l 上的，证明： （1）两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数；（2）两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数和奇函数的乘积是奇函数.7.下列函数中哪些是周期函数？如果是，确定其周期.（1）)1sin(+=x y ； （2）x y 2cos =；（3）x y πsin 1+=； （4）x y 2cos =.8.求下列函数的反函数.（1）31-=x y ； （2）)2lg(1++=x y ；（3）x x e e y +=1； （4）),(2sin2ππ-∈=x xy ；（5）⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<=4,241,1,2x x x x x y x .9.下列函数是有哪些函数复合而成的.（1）)13sin(+=x y ； （2）)21(cos 3x y +=；（3）))1ln(arcsin(+=x y ； （4）2sin x e y =.10.设2)(x x f =，x x ln )(=ϕ，求())(x f ϕ，())(x f f ，())(x f ϕ.第2节 极限极限在高等数学中占有重要地位，微积分思想的构架就是用极限定义的. 本节主要研究数列极限、函数极限的概念以及极限的有关性质等内容.2.1 数列的极限2.1.1 数列的概念定义1 若按照一定的法则，有第一个数1a ，第二个数a 2，…，依次排列下去，使得任何一个正整数n 对应着一个确定的数n a ，那么，我们称这列有次序的数a 1，a 2，…，a n ，…为数列.数列中的每一个数叫做数列的项。
高等数学易错知识点
1 ) n−2 n
=
+∞
．
即无限多个无穷小量的积是一个发散的数列．
有限个无穷小量的积是无穷小量，这性质同样不能推广到无限多个无穷小量的乘积上
去．这是因为每个无穷小量只是在变化的某个时刻后才任意小，而在这时刻之前变量可以有
较大的值．如果在构造这无穷多个无穷小量时，让其进入任意小的时刻构成一个趋于无穷大
例 ： f (x) = x −[x], g(x) = cos x. f (x)以1为周期，g(x)以2π为周期，而f (x) +
g(x) = x −[x] + cos x 却不是周期函数。
3. 有界函数与无界函数之积未必无界。
例 1：f (x) = 0, g(x) = x ，在区间 (−∞, +∞) 内 f (x) 有界，g(x) 无界，而 f (x)g(x) = 0 却在区间 (−∞, +∞) 内有界。 例 2： f (x) = e−x , g(x) = x ，在区间 (0, +∞) 内 f (x) < 1, 而 g(x) 是无界的， f (x)g(x) = xe−x ，因为 lim xe−x = 0 ，从而易见 f (x)g(x) 在区间 (0, +∞) 内是有界的。
因为对任给 ε > 0, 存在δ = ε , 对 a = 0 的δ 邻域内的任何一点 x,
若 x 为无理数,则 ϕ(x) − 0 = 0 − 0 = 0 < ε ; 若 x 为有理数 p , 其中 p,q 为互质整数,且 q>0, q
则 ϕ(x) − 0 = 1 ≤ p = x − 0 < δ = ε , 所以 limϕ(x) = 0 .
= n −1 + 1 =1 . nn
高等数学第一章函数部分的知识点及例题
−
2 −1
（6）lim 2
→1 2 −−1
3
2 +1
− 1 > 0
（8） = ቐ 2 +2+1
3 +1
1
→∞ 2
（9） lim
+
2
2
≤0
+⋯
2
，求在0处的极限
五、两个重要极限
sin
lim
→0
一般形式：当 →
=1
sin
0时
，求k=
−3
→3
2 +1
（6） lim
→∞ +1
− + = 0，求a，b。
七、无穷小的比较
设和都是同一过程的无穷小
→0
= 0，则是的高阶无穷小 = 0
若 lim
→0
= ≠ 0，则是的同阶无穷小
若 lim
→0
= 1，则是的等价无穷小~
重点：利用函数连续性求极限
若（）为初等函数且在有定义
则 lim = 0
→0
若（）是连续的
则 lim
→0
= lim
→0
例题、求下列函数的极限
（1）lim ln
x→0
（4）
sin x
x
2x+3 x+1
lim
x→∞ 2x+1
（2）x→0
lim 1 + 2x
结论：
除0以外，无穷小于无穷大互为导数
无穷小与常数的乘积为无穷小
无穷小与有界函数的乘积为无穷小
例题、求下列函数的极限
高等数学 第一章 函数
集合的表示法：
列举法 A {1, 2,3, 4,5, 6, 7,8}
描述法 M {x x具有性质P}
常见的数集 N----自然数集 Q----有理数集
Z----整数集 R----实数集
பைடு நூலகம்
它们间关系: N Z, Z Q, Q R.
不含任何元素的集合称为空集. (记作 )
A B=B，A B=A，其中A B A （A B）=A，A （A B）=A
（6） ( A B)c AC BC , ( A B)c Ac Bc
注意
A与B的直积AB {(x,y)xA且yB}
例如：R R= {(x,y)xR，yR} 表示整个坐标平面，记作 R2
2）区间
设实数 a b，开区间 (a,b)＝{x | a x b}，记作 (a,b)． 数轴上表示点 a 与点 b 之间的线段，但不包括端点 a 及端 点b． 闭区间[a,b] ＝{x | a x b}，记作[a,b] ． 在数轴上表示点 a 与点b 之间的线段，包括两个端点．. 集合{x | a x b}记作 (a,b]，称为左开右闭区间. 集合{x | a x b}记作[a,b) ，称为左闭右开区间. 以上区间都称为有限区间，数b a 称为这些区间的长度．
为因变量，实数集 D 称为这个函数 f 的定义域．
对于每个 x D ，按照某种对应法则 f ，总存在唯
一确定的实数值 y 与之对应，这个实数值 y 称为函数
f 在 x 处的函数值，记作 f (x) ，即 y f (x) ．当 x 遍取
实数集 D 的每个数值,对应的函数值的全体组成的数
集W {y | y f (x), x D}称为函数 f 的值域．
二、复合函数
(完整版)高数上册知识点
高等数学上册知识点第一章函数与极限(一) 函数1、函数定义及性质(有界性、单调性、奇偶性、周期性) ；2、反函数、复合函数、函数的运算；3、初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数；4、函数的连续性与间断点；函数f (x) 在x0连续x lim x f (x) f (x0)x x0第一类：左右极限均存在。
间断点可去间断点、跳跃间断点第二类：左右极限、至少有一个不存在。
无穷间断点、振荡间断点5、闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论。
(二) 极限1、定义1) 数列极限lim x n a 0, N , n N, x n an2) 函数极限lim f (x) A 0, 0, x, 当0 x x0 时， f (x) A x x0左极限： f(x 0 ) lim f (x)右极限： f (x 0 ) lim f (x)x x 0x x 0lim f (x) A 存在f (x 0 ) f (x 0 )x x 02 、 极限存在准则 1 ) 夹逼准则： 1) y n x n z n ( n n 0 )2)lim y n lim z n ann2 ) 单调有界准则：单调有界数列必有极限。
3 、 无穷小(大)量1) 定义：若lim则称为无穷小量；若 lim则称为无穷大量2 ) 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、 k 阶无穷小 Th1 ~ o( );Th2 ~ , ~ ,lim 存在，则 lim lim (无穷小代换)5) 无穷小代换：( x 0)lim x n a1) 单调有界准则； 2) 夹逼准则；3) 极限运算准则及函数连续性；4) 两个重要极限：sinxlim x01b) l x im 0(1 x)xlim (1 1)xe xx4 、 求极限的方法 a1a) x ~sinx~ tanx~ arcsinx ~ arctanx第二章 导数与微分 一) 导数函数 f (x)在 x 0点可导 f (x 0) f (x 0)几何意义： f (x 0)为曲线 y f (x)在点 x 0, f (x 0) 处的切线的斜率。
高数重要知识点
高等数学上册重要知识点 第一章 函数与极限一. 函数的概念1 两个无穷小的比较设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =)()(lim1l = 0,称f x 是比gx 高阶的无穷小,记以f x = 0)(x g ,称gx 是比fx 低阶的无穷小; 2l ≠ 0,称f x 与gx 是同阶无穷小;3l = 1,称f x 与gx 是等价无穷小,记以f x ~ gx 2 常见的等价无穷小 当x →0时sin x ~ x ,tan x ~ x ,x arcsin ~ x ,x arccos ~ x1 cos x ~ 2/2^x , x e 1 ~ x ,)1ln(x + ~ x ,1)1(-+αx ~ x α二 求极限的方法1．两个准则准则1．单调有界数列极限一定存在准则2．夹逼定理设gx ≤ f x ≤ hx 放缩求极限若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ,则A x f =)(lim2．两个重要公式公式11sin lim0=→x xx 公式2e x x x =+→/10)1(lim3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．★用泰勒公式当x 0→时,有以下公式,可当做等价无穷小更深层次 5．洛必达法则定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：10)(lim 0=→x f x x ,0)(lim 0=→x F x x ；2)(x f 与)(x F 在0x3)()(lim 0x F x f x x ''→存在或为无穷大,则 这个定理说明：当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时,)(lim 0x F x x →也存在且等于)()(lim 0x F x f x x ''→；当)()(lim 0x F x f x x ''→为无穷大时,)()(lim 0x F x f x x →也是无穷大．这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达H L 'ospital 法则.例1计算极限0e 1lim x x x→-.解 该极限属于“0”型不定式,于是由洛必达法则,得0e 1lim x x x →-0e lim 11x x →==. 例2计算极限0sin lim sin x axbx→．解 该极限属于“0”型不定式,于是由洛必达法则,得00sin cos lim lim sin cos x x ax a ax a bx b bx b→→==． 注 若(),()f x g x ''仍满足定理的条件,则可以继续应用洛必达法则,即二、∞∞型未定式 定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件： 1∞=→)(lim 0x f x x ,∞=→)(lim 0x F x x ；2)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导,且0)(≠'x F ；3)()(lim 0x F x f x x ''→存在或为无穷大,则 注：上述关于0x x →时未定式∞∞∞∞型同样适用．例3计算极限lim (0)nx x x n e →+∞>．解 所求问题是∞∞型未定式,连续n 次施行洛必达法则,有lim e n x x x →+∞1lim e n x x nx -→+∞=2(1)lim e n xx n n x -→+∞-= !lim 0e x x n →+∞===． 使用洛必达法则时必须注意以下几点： 1洛必达法则只能适用于“00”和“∞∞”型的未定式,其它的未定式须先化简变形成“00”或“∞∞”型才能运用该法则； 2只要条件具备,可以连续应用洛必达法则；3洛必达法则的条件是充分的,但不必要．因此,在该法则失效时并不能断定原极限不存在．7．利用导数定义求极限基本公式)()()(lim0'000x f xx f x x f x =∆-∆+→∆如果存在8．利用定积分定义求极限基本格式⎰∑==∞→11)()(1lim dx x f n kf n n k n 如果存在三．函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设0x 是函数y = f x 的间断点;如果f x 在间断点0x 处的左、右极限都存在,则称0x 是f x 的第一类间断点;第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点; 2第二类间断点第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点;常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点;四．闭区间上连续函数的性质在闭区间a ,b 上连续的函数f x ,有以下几个基本性质;这些性质以后都要用到;定理1．有界定理如果函数f x 在闭区间a ,b 上连续,则f x 必在a ,b 上有界;定理2．最大值和最小值定理如果函数f x 在闭区间a ,b 上连续,则在这个区间上一定存在最大值M 和最小值m ;定理3．介值定理如果函数f x 在闭区间a ,b 上连续,且其最大值和最小值分别为M 和m ,则对于介于m 和M 之间的任何实数c ,在a ,b 上至少存在一个ξ ,使得f ξ = c推论：如果函数f x 在闭区间a ,b 上连续,且f a 与f b 异号,则在a ,b 内至少存在一个点ξ ,使得f ξ = 0这个推论也称为零点定理第二章 导数与微分1.复合函数运算法则设y = f u ,u = x ,如果 x 在x 处可导,f u 在对应点u 处可导,则复合函数y = f x 在x 处可导,且有)('))(('x x f dxdudu dy dx dy φφ==对应地dx x x f du u f dy )('))((')('φφ==,由于公式du u f dy )('=不管u 是自变量或中间变量都成立;因此称为一阶微分形式不变性; 2.由参数方程确定函数的运算法则设x = t ,y =)(t ϕ确定函数y = yx ,其中)('),('t t ϕφ存在,且)('t φ≠ 0,则)(')('t t dx dy φϕ= 二阶导数3.反函数求导法则设y = f x 的反函数x = gy ,两者皆可导,且f ′x ≠ 0 则)0)('())(('1)('1)('≠==x f y g f x f y g4 隐函数运算法则可以按照复合函数理解设y = yx 是由方程Fx , y = 0所确定,求y ′的方法如下：把Fx , y = 0两边的各项对x 求导,把y 看作中间变量,用复合函数求导公式计算,然后再解出y ′ 的表达式允许出现y 变量 5 对数求导法则 指数类型 如x x y sin =先两边取对数,然后再用隐函数求导方法得出导数y ′; 对数求导法主要用于：①幂指函数求导数②多个函数连乘除或开方求导数注意定义域 P106 例6关于幂指函数y = f xg x 常用的一种方法,y = )(ln )(x f x g e 这样就可以直接用复合函数运算法则进行; 6 可微与可导的关系f x 在0x 处可微 f x 在0x 处可导;7 求n 阶导数n ≥ 2,正整数先求出 y ′, y ′′,…… ,总结出规律性,然后写出yn ,最后用归纳法证明;有一些常用的初等函数的n 阶导数公式 （1） x n x e y e y ==)(, （2） n x n x a a y a y )(ln ,)(== （3） x y sin =,)2sin()(πn x y n += （4） x y cos =,)2cos()(πn x y n +=5x y ln =,n n n x n y ----=)!1()1(1)(第三章 微分中值定理与导数应用一 罗尔定理 设函数 f x 满足1在闭区间a ,b 上连续；2在开区间a ,b 内可导；3 f a = f b 则存在ξ ∈a ,b ,使得f ′ξ = 0二 ★拉格朗日中值定理证明不等式 P134 9、10设函数 f x 满足1在闭区间a ,b 上连续；2在开区间a ,b 内可导；则存在ξ ∈a ,b ,使得)(')()(ξf ab a f b f =-- 推论1．若f x 在a ,b 内可导,且f ′x ≡ 0,则f x 在a ,b 内为常数;推论2．若f x , gx 在a ,b 内皆可导,且f ′x ≡ g ′x ,则在a ,b 内f x = gx + c ,其中c 为一个常数; 三 柯西中值定理设函数f x 和gx 满足：1在闭区间a ,b 上皆连续；2在开区间a ,b 内皆可导；且g ′x ≠0则存在ξ ∈a ,b 使得)(')(')()()()(ξξg f a g b g a f b f =--)(b a <<ξ注：柯西中值定理为拉格朗日中值定理的推广,特殊情形gx = x 时,柯西中值定理就是拉格朗日中值定理;四 ★泰勒公式① 估值 ② 求极限麦克劳林 P145 T10 定理 1．皮亚诺余项的n 阶泰勒公式 设f x 在0 x 处有n 阶导数,则有公式,称为皮亚诺余项对常用的初等函数如x e ,sin x ,cos x ,ln1+ x 和α)1(x + α 为实常数等的n 阶泰勒公式都要熟记;定理2拉格朗日余项的n 阶泰勒公式设f x 在包含0 x 的区间a ,b 内有n +1阶导数,在a ,b 上有n 阶连续导数,则对x ∈a ,b ,有公式,,称为拉格朗日余项上面展开式称为以0 x 为中心的n 阶泰勒公式;当0x =0 时,也称为n 阶麦克劳林公式;导数的应用一 基本知识设函数f x 在0x 处可导,且0x 为f x 的一个极值点,则0)('0=x f ;我们称x 满足0)('0=x f 的0x 称为)(x f 的驻点,可导函数的极值点一定是驻点,反之不然;极值点只能是驻点或不可导点,所以只要从这两种点中进一步去判断; 极值点判断方法)(x f 在0x 的邻域内可导,且0)(0='x f ,则①若当0x x <时,0)(>'x f ,当0x x >时,0)(<'x f ,则0x 为极大值点；②若当0x x <时,0)(<'x f ,当0x x >时,0)(>'x f ,则0x 为极小值点；③若在0x 的两侧)(x f '不变号,则0x 不是极值点.② 第二充分条件)(x f 在0x 处二阶可导,且0)(0='x f ,0)(0≠''x f ,则①若0)(0<''x f ,则0x 为极大值点；②若0)(0>''x f ,则0x 为极小值点.二 凹凸性与拐点 1．凹凸的定义设f x 在区间I 上连续,若对任意不同的两点1 2 x , x ,恒有 则称f x 在I 上是凸凹的;在几何上,曲线y = f x 上任意两点的割线在曲线下上面,则y = f x 是凸凹的;如果曲线y = f x 有切线的话,每一点的切线都在曲线之上下则y = f x 是凸凹的; 2 拐点的定义曲线上凹与凸的分界点,称为曲线的拐点; 3 凹凸性的判别和拐点的求法 设函数f x 在a ,b 内具有二阶导数)(''x f ,如果在a ,b 内的每一点x ,恒有)(''x f > 0,则曲线y = f x 在a ,b 内是凹的； 如果在a ,b 内的每一点x ,恒有)(''x f < 0,则曲线y = f x 在a ,b 内是凸的; 求曲线y = f x 的拐点的方法步骤是： 第一步：求出二阶导数)(''x f ；第二步：求出使二阶导数等于零或二阶导数不存在的点k x x x ,...2,1 ；第三步：对于以上的连续点,检验各点两边二阶导数的符号,如果符号不同,该点就是拐点的横坐标； 第四步：求出拐点的纵坐标; 四 渐近线的求法 五 曲率第四章 不定积分一基本积分表：二 换元积分法和分部积分法 换元积分法1第一类换元法凑微分：[])()(d )()]([x u du u f x x x f ϕϕϕ=⎰⎰='2第二类换元法变量代换：[])(1d )()]([)(x t t t t f dx x f -='=⎰⎰ϕϕϕ分部积分法使用分部积分法时被积函数中谁看作)(x u 谁看作)('x v 有一定规律;记住口诀,反对幂指三为)(x u ,靠前就为)(x u ,例如xdx e x arcsin ⎰,应该是x arcsin 为)(x u ,因为反三角函数排在指数函数之前,同理可以推出其他; 三 有理函数积分 有理函数：)()()(x Q x P x f =其中)()(x Q x P 和是多项式; 简单有理函数： ⑴21)()(,1)()(x x P x f x x P x f +=+=⑵))(()()(b x a x x P x f ++=⑶ba x x P x f ++=2)()()(1、“拆”；2、变量代换三角代换、倒代换、根式代换等.第五章 定积分一概念与性质1、 定义：∑⎰=→∆=ni ii bax f dx x f 1)(lim )(ξλ2、 性质：10条（3）3 基本定理变上限积分：设⎰=Φxadtt f x )()(,则)()(x f x =Φ'推广：)()]([)()]([)()()(x x f x x f dt t f dx d x x ααβββα'-'=⎰ N —L公式：若)(x F 为)(x f 的一个原函数,则)()()(a F b F dx x f ba-=⎰4 定积分的换元积分法和分部积分法第六章 定积分的应用（一）平面图形的面积1、 直角坐标：⎰-=badx x f x f A )]()([122、 极坐标：⎰-=βαθθϕθϕd A )]()([212122（二）体积1、 旋转体体积： a 曲边梯形x b x a x x f y ,,),(===轴,绕x 轴旋转而成的旋转体的体积：⎰=ba xdx x f V )(2πb 曲边梯形x b x a x x f y ,,),(===轴,绕y 轴旋转而成的旋转体的体积：⎰=baydx x xf V )(2π 柱壳法2、 平行截面面积已知的立体：⎰=badx x A V )(（三）弧长1、 直角坐标：[]⎰'+=badx x f s 2)(12、 参数方程：[][]⎰'+'=βαφϕdt t t s 22)()( 极坐标：[][]⎰'+=βαθθρθρd s 22)()(第七章 微分方程（一） 概念1、 微分方程：表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关系的方程.阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数.2、 解：使微分方程成为恒等式的函数.通解：方程的解中含有任意的常数,且常数的个数与微分方程的阶数相同.特解：确定了通解中的任意常数后得到的解.（二） 变量可分离的方程dx x f dy y g )()(=,两边积分⎰⎰=dx x f dy y g )()(（三） 齐次型方程)(x y dx dy ϕ=,设x y u =,则dxdux u dx dy +=；或)(y x dy dx φ=,设y x v =,则dydv y v dy dx += （四） 一阶线性微分方程用常数变易法或用公式：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-C dx e x Q e y dx x P dxx P )()()(（五） 可降阶的高阶微分方程1、)()(x f yn =,两边积分n 次；2、),(y x f y '=''不显含有y ,令p y =',则p y '=''；3、),(y y f y '=''不显含有x ,令p y =',则dy dppy =''（六） 线性微分方程解的结构1、21,y y 是齐次线性方程的解,则2211y C y C +也是；2、21,y y 是齐次线性方程的线性无关的特解,则2211y C y C +是方程的通解；3、*2211y y C y C y ++=为非齐次方程的通解,其中21,y y 为对应齐次方程的线性无关的解,*y 非齐次方程的特解.（七） 常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性方程：0=+'+''qy y p y特征方程：02=++q pr r ,特征根： 21,r r（八） 常系数非齐次线性微分方程1、)()(x P e x f m x λ=设特解)(*x Q e x y m x k λ=,其中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=是重根是一个单根不是特征根, λ, λ, λk 210 2、()x x P x x P e x f n l x ωωλsin )(cos )()(+=设特解[]xx R x x R e x y m m x k ωωλsin )(cos )()2()1(*+=,其中 } ,max{n l m =,⎪⎩⎪⎨⎧++=是特征根不是特征根i i k ωλωλ ,1 ,0。
高数重要知识点汇总
简变形成 “0 ”或“ ”型才能运用该法则 ；
0
（2）只要条件具备 ，可以连续应用洛必达法则 ；
（3）洛必达法则的条件是充分的 ，但不必要 ．因此 ，在该法则失效时并不
能断定原极限不存在 ．
7 ．利用导数定义求极限
参考 .资料
..
..
..
..
基本公式 lim f (x0 x0
x) f (x0) x
6 可微与可导的关系 f (x)在 x0处可微 ? f (x)在 x0 处可导 。
7 求n 阶导数 （n ≥ 2，正整数 ）
先求出 y′, y′,…′… ,总结出规律性 ， 然后写出 y(n)， 最后用归纳法证明 。 有一些
常用的初等函数的 n 阶导数公式
（ 1） y e x, y (n) ex
（ 2） y a x , y (n) a x (ln a)n
，称为皮亚诺余项 对常用的初等函数如 ex ,sin x,cos x,ln(1+ x)和 (1 x) （α 为实常数 ）等的 n阶 泰勒公式都要熟记 。 定理 2（拉格朗日余项的 n 阶泰勒公式 ） 设 f (x)在包含 0 x 的区间 (a,b )内有 n +1 阶导数 ，在 [a,b ]上有 n阶连续导数 ，则对 x
3!
n!
x5 ... ( 1)n x 2n 1
5!
(2n 1)!
o( x2 n 1)
x2 cos x 1
x4
... ( 1)n x 2n
o( x2n)
2! 4!
2 n!
ln(1 x)
x
x2
x3 ...
( 1)n 1 x n
o( xn )
23
n
(1 x) 1 x ( 1) x2 ... ( 1)...( (n 1)) xn o( xn)
高等数学第一章函数与极限的总结
f
(x
3)
1 2
0 x31 1 x32
1 2
3 x 2 2 x 1
故 D f :[3,1]
思考题
设x 0 ，函数值 f ( 1 ) x 1 x2 ， x
求函数 y f ( x) ( x 0)的解析表达式.
y M
y M
y=f(x)
o
x
有界 X
x0
o
X
x 无界
-M
-M
数列的有界性：
定义: 对数列 xn, 若存在正数 M , 使得一切正 整数n, 恒有 xn M 成立, 则称数列 xn有界,
否则, 称为无界.
补充内容： 1.单调递增且有上界数列必有极限。 2.单调递减且有下界数列必有极限。
2．函数的单调性:
解 16 x 2 0, x 1 0, x 1 1,
x 4
x
1
x 2
1 x 2及2 x 4,
即(1,2) (2,4).
例
设f
(
x)
1 2
0
x
1 ,
求函数
f
(x
3)的定义域.
1 x2
解
f
(x)
1 2
0 x1 1 x2
数l, 使得对于任一x D, ( x l ) D.且 f ( x l) f ( x)
恒成立. 则称f ( x)为周 期函数, l称为f ( x)的周期.
（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.
3l 2
l 2
(完整版)高等数学基础知识点归纳
(完整版)高等数学基础知识点归纳-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN第一讲函数，极限，连续性1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。
集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。
比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。
⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。
记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集，记作N。
⑶、全体整数组成的集合叫做整数集，记作Z。
⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集，记作Q。
⑸、全体实数组成的集合叫做实数集，记作R。
集合的表示方法⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合集合间的基本关系⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素，我们就说A、B 有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A ?B。
⑵、相等：如何集合A 是集合B 的子集，且集合B 是集合A 的子集，此时集合A 中的元素与集合B 中的元素完全一样，因此集合A 与集合B 相等，记作A＝B。
⑶、真子集：如何集合A 是集合B 的子集，但存在一个元素属于B 但不属于A，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作A??。
⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。
记作，并规定，空集是任何集合的子集。
⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：①、任何一个集合是它本身的子集。
②、对于集合A、B、C，如果A 是B 的子集，B 是C 的子集，则A 是C 的子集。
③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。
集合的基本运算⑴、并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合称为A 与B 的并集。
记作A∪B。
（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。
(完整版)高数上册知识点
高等数学上册知识点第一章 函数与极限 （一） 函数1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；2、 反函数、复合函数、函数的运算；3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数； 4、 函数的连续性与间断点；函数)(x f 在0x 连续 )()(lim 00x f x f xx =→第一类：左右极限均存在。
间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在。
无穷间断点、振荡间断点5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论。
（二） 极限 1、 定义 1） 数列极限εε<->∀N ∈∃>∀⇔=∞→a x N n N a x n n n , , ,0lim2） 函数极限εδδε<-<-<∀>∃>∀⇔=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00时，当左极限：)(lim )(00x f x f x x -→-= 右极限：)(lim )(00x f x f xx +→+= )()( )(lim 000+-→=⇔=x f x f A x f x x 存在2、 极限存在准则 1） 夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤2）a z y n n n n ==→∞→∞lim lim a x n n =∞→lim2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限。
3、 无穷小（大）量1） 定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量。
2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ααββαo +=⇔;Th2 αβαβαβββαα''=''''lim lim lim ,~,~存在，则（无穷小代换） 4、 求极限的方法 1） 单调有界准则； 2） 夹逼准则；3） 极限运算准则及函数连续性； 4） 两个重要极限：a) 1sin lim 0=→xx x b)e x x xx xx =+=++∞→→)11(lim )1(lim 10 5） 无穷小代换：（0→x ） a)x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~b) 221~cos 1x x -c) x e x ~1- （a x a x ln ~1-） d) x x ~)1ln(+ （ax x a ln ~)1(log +）e) x x αα~1)1(-+第二章 导数与微分 （一） 导数1、 定义：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→ 左导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='-→-右导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+→+ 函数)(x f 在0x 点可导)()(00x f x f +-'='⇔2、 几何意义：)(0x f '为曲线)(x f y =在点())(,00x f x 处的切线的斜率。
高等数学上知识点汇总
x x0
4、函数为无穷大则必定无界。
1
5、无穷大与无穷小的关系：在 x 的某趋限过程中，①若f(x )是无穷大，则
是无穷小。②若f(x )是
f（x）
1
无穷小，且f(x )不等于 0，则
是无穷大。
f（x）
6、无穷大的运算性质：①有界量加无穷大还是无穷大。②无界量乘无穷大是无穷大。③有界量乘无穷大未 必是无穷大。
≠0，那末在(a，b)内至少有一点 c，使
3.1.1 微分的应用
微分是表示函数增量的线性主部.计算函数的增量，有时比较困难，但计算微分则比较简单，为此我们 用函数的微分来近似的代替函数的增量，这就是微分在近似计算中的应用.
3.1.2 函数微分的定义：设函数在某区间内有定义，x0 及 x0+△x 在这区间内，若函数的增量可表
示为
，其中 A 是不依赖于△x 的常数， 是△x 的高阶无穷小，则称函数
3.1.3 基本初等函数的微分公式
由于函数微分的表达式为：
，于是我们通过基本初等函数导数的公式可
得出基本初等函数微分的公式，下面我们用表格来把基本初等函数的导数公式与微分公式
对比一下：(部分公式)
导数公式
微分公式
6 / 27
微分运算法则
由函数和、差、积、商的求导法则，可推出相应的微分法则.为了便于理解，下面我们用表格来把微
数是否为同一函数。 4、 函数的表示方法：解析法（常用），列表法、图形法。 5、 几 个 特 殊 的 分 段 函 数 ： 符 号 函 数 y=sgnx 、 取 整 函 数 y=[x] 、 最 值 函 数
y=max{F(x),G(x)},y=min{F(x),G(x)}。
大一高数知识点总结
大一高数知识点总结XXX：大一高数知识点,重难点整理第一章基础知识部分1.1初等函数一、函数的概念1、函数的定义函数是从量的角度对运动变化的抽象表述，是一种刻画运动变化中变化量相依关系的数学模型。
设有两个变量x与y，如果对于变量x在实数集合D内的每一个值，变量y按照一定的法则都有唯一的值与之对应，那么就称x是自变量，y是x的函数，记作y=f（x），其中自变量x取值的集合D叫函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。
2、函数的表示方法（1）解析法即用解析式（或称数学式）表示函数。
如y=2x+1,y=︱x︱，y=lg(x+1),y=sin3x等。
便于对函数进行精确地计算和深入分析。
（2）列表法即用表格形式给出两个变量之间函数关系的方法。
便于差的某一处的函数值。
（3）图像法即用图像来表示函数关系的方法非常形象直观，能从图像上看出函数的某些特性。
分段函数——即当自变量取不同值时，函数的表达式不一样，如1.2x?1.x?0?xsin。
f?xy。
x。
2x?1,x?00 x?0 x?0隐函数——相对于显函数而言的一种函数形式。
所谓显函数，即直接用含自变量的式子表示的函数，如y=x2+2x+3，这是常见的函数形式。
而隐函数是指变量x、y之间的函数关系式是由一个含x，y的方程F(x,y)=0给出的，如2x+y-3=0，e可得y=3-2x，即该隐函数可化为显函数。
参数式函数——若变量x,y之间的函数关系是通过参数式方程。
x?y而由2x+y-3=0?x?y?0等。
xt。
t?T?给出的。
y。
t?这样的函数称为由参数方程确定的函数，简称参数式方程，t称为参数。
反函数——如果在已给的函数y=f(x)中，把y看作自变量，x也是y的函数，则所确定的函数x=∮(y)叫做y=f(x)的反函数，记作x=fˉ1(y)或y=fˉ1(x)(以x表示自变量).2、函数常见的性子1、单调性（单调增加、单调减少）2、奇偶性（偶:关于原点对称，f（-x）=f（x）；奇：关于y轴对称，f（-x）=-f(x).）3、周期性（T为不为零的常数，f（x+T）=f（x），T为周期）4、有界性（设存在常数M＞，对任意x∈D，有f∣(x)∣≤M,则称f(x)在D上有界，如果不存在这样的常数M，则称f(x)在D上无界。
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第一章函数
一、实数集合
关于邻域：设a为某个正数，称开区间（x0-a，x0+a）为点x0的邻域。
记作U（x0，a）。
称x0为该邻域的中心，a为该邻域的半径。
A、点x0的空心邻域即（x0-a，x0+a）｛x0｝或U（x0，a）
B、点x0的左邻域（x0-a，x0] 空心左邻域（x0-a，x0）
C、点x0的右邻域[x0，x0+a）空心右邻域（x0，x0+a）
二、函数关系
A、一个函数的两个基本要素圈①定义域记作D（f）或D.②对应规则记作 f
B、绝对值函数y=|x| 去绝对值符号的方法，分类讨论
C、符号函数y=sgnx ①x＞0时y=1 ②x=0时y=0 ③x＜0时y=-1
D、取整函数y=[x]=n n≤x＜n+1 n=0，±1，±2…..
[x]表示不超过x的最大整数，称为x的整数部分[2.6]=2 [π]=3 [-2.8]=-3
取整函数的图像
E、函数的自然定义域：即定义域
一般需要注意：分式的分母不为零，对负数不能开偶次方根，对数的真数必须为正。
三、函数的基本特性
A、单调性证明函数的单调性：任取x1、x2∈D且x1＜x2.，求解f（x1）与f（x2）的大小关
系。
由此函数单调性得证。
B、有界性：若存在常数M＞0，使得对任意的x∈D，恒有|f（x）|≤M，则称函数f（x）在
D上有界，否则则称无界。
（判断函数是否有界一般为求解函数的值域）
①有上界：f（x）≤M ②有下界：f（x）≥M
C、奇偶性奇函数：任意x∈D，恒有f（-x）=-f（x）
偶函数：任意x∈D，恒有f（-x）=f（x）
非奇非偶：不是奇函数也不是偶函数
判断函数奇偶性一般先判断定义域是否关于原点对称，如果不对称则一定为非奇非偶函
数；若对称则求f（-x）的表达式，观察是否可以化成f（x）或f（-x）的形式，由此判断
D、周期性f（x）在D上有定义，存在常数T＞0，使对任意的x∈D，恒有x+T∈D，且f
（x+T）=f（x）成立，则称f（x）为周期函数。
满足上式的最小正数T0为f（x）的周期
四、复合函数与反函数
A 、复合函数：y=f[g （x ）]，y=f （u ），u ∈D （f ），y ∈Z （f ）
u=g （x ），x ∈D （g ），u ∈Z （g ）
y 为因变量，x 为自变量，u 为中间变量。
前提条件
D （f ）∩Z （g ）≠? eg.y=sin 2x → y=u
2 u=x 2 y=sinx 2 → y=sinu u= x
2 y=e arcsin 1x 2
→ y=e u u=arcsinv v=w w=1+x 2 B 、反函数 x=f
-1（y ） y ∈Z （f ）即反函数的定义域为直接函数的值域，值域为直接函数的
定义域。
※不是所有的函数都存在反函数
※原函数（即直接函数）与反函数关于y=x 对称求某函数的反函数时①用
y 表示出x 并整理②用x 代替y ，用y 代替x eg.y=11
2x x 的反函数①用y 表示x ，整理得 x=y y 21②用x 代替y ，用y 代替x 得y=x
x 21
五、初等函数
A 、基本概念：基本初等函数：常函数、幂函数、指数函数、对数函数…
初等函数：由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合，并在其定义
域内有一个统一的解析表达式
B 、基本初等函数
a 、常函数y=c
b 、幂函数y=x a
（a 为常数，且a ≠0）恒过（1,1）定义域值域
单调性a ＞0时在（0，+∞）增，在(-∞，0)减
a ＜0时在（0，+∞）减，在(-∞，0)增
c 、指数函数y=a x （a ＞0，且a ≠1）恒过（0,1）定义域值域
单调性a ∈（0,1）减a ∈（1，+∞）增d 、对数函数y=㏒a x （a ＞0，a ≠1）恒过（1,0）
单调性a ∈（0,1）减
a ∈（1，+∞）增※y=㏒a x 与y=a x 互为反函数，关于y=x 对称
※关于对数函数的重要恒等式
e 、三角函数
y=sinx
（正弦） y=cscx=x sin 1（余割） y=cosx
（余弦） y=secx=x cos 1（正割） y=tanx
（正切） y=cotx=x tan 1（余切） sin 2x+cos 2x=1 1+tan 2x=sec 2x 1+cot 2x=csc 2x
f 、反三角函数：没什么题，看看书上的图像、定义域、值域就行了吧
~ C 、简单函数：基本初等函数经过有限次四则运算形成，简单函数一般是相对复合函数而言
D 、复合函数与幂指函数
E 、初等函数：基本初等函数经有限次四则运算和有限次复合并且在其定义域内具有统一的解
析表达式
六、简单经济函数及简单函数关系的建立。
没啥可以出题的地方，第一章习题课的时候老师也没怎么说~。