1第一章 随机过程基础

（2）对统计概率，我们定义概率的方法是建立在重复 试验基础之上的，即依靠于后验方式，亦由观察到的 事实进行推理的方式，这里不存在基本事件发生的等 可能性或样本均匀性的假设。尽管这种方式存在一些 问题，如频率 F A 的随机性，重复试验次数的有限性等， 但是在把概率应用于工程实际问题方面，频率的概念 有着重要的实际意义。 （3）已讨论的三种概率模型，所具有的共性是：事件 A是样本空间 S E 的子集，S E 是必然事件，事件的概率 P( A) 是事件A的函数，且这个函数满足 1) 0 P A 1 2)P(SE ) 1, P() 0 3)若 A1 , A2 ,…, Ak ,…是两两互不相交的事件，则基于
P A lim f n A n
n
综上，统计概率具有如下性质 0 1、 P A 1，即任一事件A的统计概率是非负的、不超过1 fn 的实数。若 P A 0，则A为不可能事件， A 0，若 P A 1 ， f 则为必然事件， A n 。 2 若 A1 , A2 ,…, Ak ,… 是两两互不相交的事件， 则有 P A P( A )
P B P B Ai P Ai
i 1
n
（1-10）
式（1-10）称为事件B的全概率，其含义是：概率空间 内任一事件B的概率 P B 可以由该空间内所有互不相容 Ai 事件的先验概率 P Ai 和条件概率 P B A 来计算。 4、Bayes公式 A 设有n个互不相容事件 A1 ,…, An ， A S ， A ，则对 同一概率空间内的任一事件B，有
j
n
n
n
k
k 1
k
k 1
k 1
k
2）几何概率模型与几何概率 几何概型具有如下特点： （1）样本空间是无限的，不可数的。 （2）基本事件即样本点具有所谓“均匀分布”的性质。
具有这类特点的随机现象，对样本“数量”的度量， 通常用事件A出现的区域的大小来表示，如一维空间 的长度，二维区域的面积，三维空间的体积等等， 这也是几何概型名称的由来。当然，这些度量应具有 非负性和可加性。所以若用A表示所观察的随机现象 （事件），它的度量大小为 L A ,则规定事件A出现的 概率 P A 为 L A P A （1-5） LS
n

k 1
k

k 1
k
Fn A
P A
F 图1- 2 P A 、 n A与n之间的关系
n
4）概率与概率空间 归纳上面的讨论可以得到： （1）对古典概型和几何概型，在事件发生等可能性的 前提下，我们定义概率的方法不是依靠试验，而是依靠 于先验方式，亦由不言而喻的命题或试验前的预先假定 来进行推理的方式。具体地说，就是先确定试验的样本 空间各个可能的试验结果总数n或 L SE ，再计算事件A nA A n A 或 L A，最后把比值 n 或 L S 作为 发生的结果个数 L 事件A的概率。
P A B P AB P B
（1-7）
式中 解释为
P AB
为事件A与B的联合概率。式（1-7）的频率的
nAB nAB n nB nB n
P A B
,
nAB P AB n
且
nAB nB n n
，故有
P AB P B
。
式（1-7）的含义是事件A与事件B有关，若 A B ，即 事件A与事件B互不相交，则 P A B 0 ；而条件一词的含 P 义是 P B 0，否则若 B ， B 0，则式（1-7）没有意义。 2、乘法公式 设有n个事件 A1 ,…, An ，则 A A …A 同时发生也是一个 事件，其概率记为 P A A …A ，称为事件 A1 , A2 ,…, An 的联合 概率。则 P A1 A2 …An P A1 P A2 A1 P A3 A1 A2 …P An A1…An 1 （1-8）
n
P A Fn A
f n A n
（1-6）
在许多实际问题中，当概率不易求出时，常用式 （1-6）求概率，这样求出的概率在足够大时就 可以做为概率的估值。
从上讨论可知，式（1-6）的意义在于，一方面它能 适当地反映事件出现可能性的大小，即提供了一种 度量事件发生的可能性大小的方法；另一方面，频 率的概念直观、清楚，容易掌握，并可以根据频率 的性质去推导概率的性质，具有实际的工程意义， 即它又提供了一种估计概率的方法。仔细解读式 （1-6），很显然，事件的频率一方面是随机的， 另一方面它有极限稳定性，即在试验重复次数增大 时，其中大量的频率聚集在一个常数附近，参见图1-2。 事实上，这个常数是客观存在，是事件的真实概率 ，这样便可给出统计概率的定义如下：
4、 概型与概率 由于事件发生的随机性，因此只能用统计的方法来 描述，这就是概率。概率是事件发生的可能性大小 的度量。在概率论的发展中，人们由简单到复杂， 由具体到一般，研究了一些具体的随机现象的模型 及性质，从而概括出了具有普遍意义的随机现象的 数学模型。
（1）样本空间是有限可数的，即在实验E中，一切 可能的结果是有限的，即S s , s ,…, s ，这里 si 是可 能发生的基本事件，n是基本事件总数。 （2）基本事件的发生是等可能的，即在实验E中， 研究对象在物理结构上是均匀的，几何形状上是 1 ps ps … ps 对称的，即 n （3）试验可在同等条件下重复
E
L 式中 L S E 为样本空间 S E 区域大小的度量， A 是 L S E 的子集，故总有L SE L A 。
综上所述，几何概率具有如下性质 1、0 P A 1 若 P A 0 ，对应的A为不可能事件；若 P A 1，对应 的A为必然事件。 2、对可列多个事件列 Ai , i 1,…, n ，若 Ai 和 Aj , i j 是 两两互不相交的事件，则
1.1 概率论中的几个概念与公式
2、 随机试验、复合随机试验与样本空间 通常把对自然现象进行的一次观察或进行的一次试验， 统称为一个试验，而若这个试验满足下列条件： （1）在相同条件下可重复进行； （2）每次试验结果有多种可能，且所有可能的结果能 事先明确； （3）每次试验之前不能确定会出现哪一个结果。 就称其为随机试验。显然，随机试验表示的是在一组 可以重复实现的条件下观察某种现象能否出现的行动。 如投硬币，掷骰子等等。当然，随机试验可以 根据上述条件进行设计。
3、 基本事件与样本空间 在随机试验 S E中最简单的随机事件称为基本事件，所 有基本事件的集合称为基本事件空间。例如对一个六面 体骰子，出现1,2,…, 6 点是基本事件，而所有的基本事件 1,2,…, 6 的集合称为基本事件空间，而“出现奇数点”是随机 事件，但不是基本事件。可见基本事件只是事件的一种。 例如A:掷骰子试验中，事件：“出现点数不大于3”是由 三个基本事件“出现点数1”、“出现点数2”、“出现点数3 共同组成的，是事件空间 A 的一个事件，即 A 1,2,3 ， SE。
3）统计概率模型与统计概率 对n次重复随机试验 EC ，事件A在这n次试验中出现的 次数 f n A 称为频数。显然事件的A频数和事件A出现的 可能性大小有关，A出现的可能性越大，频数 f A也会 越大，反之 f n A 就会越小。因而，当试验重复次数足 够大时，用事件A发生的频数 f n A 与试验次数n的比值 Fn A 称为频率，作为概率的近似值是自然而合理的， 即
n
P Ak k 1
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P( A
k 1

k
)
基于各种概率模型所具有的共性，可以给出概率更一般 地公理化定义： 对随机试验E，试验的各种可能结果（称基本事件、样本 点）构成样本空间 S E（也称基本事件空间），在样本空 间中的一个样本点或若干个样本点之适当集合称为事件 域 A （A 中的每一个集合称为事件）。若事件AA ，则 P A 就是事件A的概率。并称 S , A , P 为一个概率空间，而 样本空间 S E ，事件域 A ，概率P是构成概率空间的三个 要素。
n n P Ai P( Ai ) i 1 i 1
例：两信号在0到T时间内等可能的进入接收机， 若假定当且仅当这两个信号进入接收机的间隔 时间不大于 t t T ，试求接收机同时接收到两 个信号的概率。
解：为清晰作图1-1，以 t1 , t2 分别表示两信号的到达 时刻 0 t1 T ，0 t2 T 则样本空间为点 t1 , t2 构成的边长为T的正方形 S E ，其 2 量度 L S E T （该正方形的面积），接收机同时接收到 两信号的充要条件是 t1 t2 t ，这一条件决定了“接收机 L 同时接收到两个信号”这一事件的A子集 A 。即 A L 是区域位于 S E内两直线
E
1.1.2 几个重要的概率公式
1、条件概率公式 在许多实际问题中，除了要知道事件A的概率 P A 外，还需要考虑在“事件B已发生”的条件下，事件 A出现的概率，简称其为条件概率，记为 P A B 。由于 事件A的出现受到了“事件B已发生”这一条件的约束， 所以一般来说P A与 P A B 不同，并且有P A P A B 。 从相对频率的概念出发，引导出条件概率的定义如下：
第一章
随机过程基础
1.1.1 概率的概念 1、 随机现象与随机事件 自然界中存在有各种各样的现象，这些 现象我们称为事件。在一定条件下必然出现的 现象叫必然事件，如“同性电荷相互排斥”是 一定会出现的；而在一定条件下必然不出现的 现象叫不可能事件，如“异性电荷相互排斥” 是必然不会出现的；那些在一定条件下可能出 现也可能不出现的现象称为随机事件，如“投 掷硬币出现正面”，这一现象在某一次掷硬币 时不会必然出现，所以它就是一个随机事件， 简称事件。
（1-9）
显然这是条件概率式（1-7）的等价形式，它给出 了利用先验概率 P A1 和条件概率计算联合概率的方法。 3、全概率公式 A 设有个互不相容事件 A1 , A2 ,…, An ， A S ， A ， 则对同一概率空间内的任一事件B，有
n i E i 1
i
j i j
1 2 n
1
2
n
A 式（1-8）称为乘法公式，其意义是： 1 ,…, An 同时出现的 概率，等于先出现 A1 ，在 A1 出现的条件出现 A2，在出现 A1 A2 的条件下出现 A3，……，在 A1…An 1出现的条件出现 An各自条件的乘积。特别n 2时，公式（1-8）简化为
P A1 A2 P A1 P A2 A1
E 1 2 n
1 2 n
据上，古典概率具有如下性质： 0 1、 P A 1 任一事件A的古典概率是非负的不超过1的实数。 若 P A 0 ，对应的A为几何概率试验中的不可能事件。 2、设 Ai , i 1,…, n 和 A , j 1,…, n ，是试验中两两互不相 交事件， A 为和事件，则 P A P( A ) 即试验中有限个两两互不相交的事件的和事件的 概率等于每一个事件的概率和。
t1 t2 t
t1 t2 t
的面积
L A T T t
2
2
2
故 P A L S E
L A
T 2 T t T2
t 1 1 T
2
这一结果的直观性是十分明显的。
t2
T
SE
A T
t
t1
图1- 1几何概率计算示意图