概率论与统计原理复习资料
山东省考研数学复习资料概率论与数理统计重点知识点整理
山东省考研数学复习资料概率论与数理统计重点知识点整理概率论与数理统计是数学的重要分支，广泛应用于各个领域。
在山东省考研的数学科目中，概率论与数理统计是必考内容之一。
为了帮助考生复习，本文将针对概率论与数理统计的重点知识点进行整理，并提供相应的考点解析和习题练习。
一、概率论基础知识1. 随机事件与概率：事件的概念、随机事件的概率、事件的运算（包括事件的和、积，互斥事件，逆事件等）2. 条件概率与独立性：条件概率的概念、乘法定理、全概率公式、贝叶斯公式、独立事件的概念与性质3. 随机变量与分布函数：随机变量的概念、离散型随机变量、连续型随机变量、随机变量函数的分布4. 数学期望与方差：随机变量的数学期望、方差的性质与计算、条件期望、协方差与相关系数的定义与计算二、概率分布1. 离散型随机变量的分布：伯努利分布、二项分布、泊松分布等，包括分布的概率函数、分布函数、数学期望和方差的计算2. 连续型随机变量的分布：均匀分布、指数分布、正态分布等，包括分布的密度函数、分布函数、数学期望和方差的计算3. 两个随机变量的分布：随机变量之和的分布、两个随机变量的函数的分布三、大数定律与中心极限定理1. 大数定律：切比雪夫不等式、大数定律的独立同分布条件、伯努利大数定律、辛钦大数定律2. 中心极限定理：中心极限定理的独立同分布条件、独立同分布情况下的林德伯格-列维定理、棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理四、参数估计与假设检验1. 点估计：估计量与矩估计、最大似然估计、无偏性与有效性、均方误差2. 区间估计：置信区间的构造与解释、枢轴变量法构造置信区间、大样本置信区间与小样本置信区间3. 假设检验：假设检验的基本原理与步骤、拒绝域与接受域、显著性水平与p值、参数检验与非参数检验五、相关分析与方差分析1. 相关分析：相关系数的计算与解释、相关系数的性质与应用、线性回归与最小二乘法2. 方差分析：单因素方差分析、双因素方差分析、方差分析的假设条件与检验方法六、样本调查与抽样分布1. 随机抽样：简单随机抽样、分层抽样、整群抽样、多阶段抽样等抽样方法2. 样本调查：样本容量的确定、调查问卷设计与分析、样本误差与抽样误差3. 抽样分布：统计量与抽样分布、正态分布与t分布、卡方分布与F分布通过对概率论与数理统计的重点知识点进行整理，希望能够帮助山东省考研数学的考生有一个清晰的复习框架。
概率论与统计原理复习资料
一、填空题1、设A，B，C为三个事件，则下列事件“B发生而A与C至少有一个发生”，“A，B，C中至少有两个发生”，“A，B，C中至少有一个发生”，“A，B，C中不多于一个发生”，“A，B，C中恰好有一个发生”，“A，B，C中恰好有两个发生”分别可表示为、、、、、。
参考答案：B（A+C，AB+AC+BC，A +B+C，CB+BA+CA，AB C+AC B+A BC，A+CABBA+CBC考核知识点：事件的关系及运算2、从0，1，2，…，9这10个数中可重复取两个数组成一个数码，则“两个数之和为3”、“两个数之和为17”、“两个数相同”的概率分别为、、。
参考答案：，，考核知识点：古典型概率3、同时抛掷3枚均匀的硬币，则3枚正面都向上的概率为，恰好有2枚正面向上的概率为。
参考答案：1/8，3/8考核知识点：古典型概率4、箱中有60个黑球和40个白球，从中任意连接不放回取出k个球，则第k次取出黑球的概率为。
参考答案：考核知识点：古典型概率5、假设某商店获利15万元以下的概率为，获利10万元以下的概率为，获利5万元以下的概率为，则该商店获利5~10万元的概率为，获利10~15万元的概率为。
参考答案：，考核知识点：概率的性质6、设袋中有6个球，其中4白2黑。
用不放回两种方法取球，则取到的两个球都是白球的概率为；取到的两个球颜色相同的概率为；取到的两个球中至少有一个是白球的概率为。
参考答案：，7/15，14/15考核知识点：古典型概率和概率的性质7、设事件A，B互不相容，已知P（A）= ，P（B）= ，则P（A+B）= ；P（A+B）= ；P（A B）= ；P（BA）= 。
参考答案：，，，考核知识点：概率的性质8、甲、乙、丙三人各射一次靶子，他们各自中靶与否相互独立，且已知他们各自中靶的概率分别为，，，则恰有一人中靶的概率为；至少有一人中靶的概率为。
参考答案：（1）；（2）考核知识点：事件的独立性9、每次试验的成功率为p（0< p <1），则在5次重复试验中至少成功一次的概率为。
概率论与数理统计复习资料(二) (1)
<概率论>试题一、填空题1．设1621,,,X X X 是来自总体X ),4(~2σN 的简单随机样本，2σ已知，令∑==161161i i X X ，则统计量σ-164X 服从分布为 （必须写出分布的参数）。
2．设),(~2σμN X ，而1.70，1.75，1.70，1.65，1.75是从总体X 中抽取的样本，则μ的矩估计值为 。
3．设]1,[~a U X ，n X X ,,1 是从总体X 中抽取的样本，求a 的矩估计为 。
4．已知2)20,8(1.0=F ，则=)8,20(9.0F 。
5．θˆ和βˆ都是参数a 的无偏估计，如果有 成立 ，则称θˆ是比βˆ有效的估计。
6．设样本的频数分布为则样本方差2s =_____________________。
7．设总体X~N （μ，σ²），X 1，X 2，…，X n 为来自总体X 的样本，X 为样本均值，则D （X ）＝________________________。
8．设总体X 服从正态分布N （μ，σ²），其中μ未知，X 1，X 2，…，X n 为其样本。
若假设检验问题为1H 1H 2120≠↔σσ：＝：，则采用的检验统计量应________________。
9．设某个假设检验问题的拒绝域为W ，且当原假设H 0成立时，样本值（x 1,x 2, …，x n ）落入W 的概率为0.15，则犯第一类错误的概率为_____________________。
10．设样本X 1，X 2，…，X n 来自正态总体N （μ，1），假设检验问题为：，：＝：0H 0H 10≠↔μμ 则在H 0成立的条件下，对显著水平α，拒绝域W 应为______________________。
11．设总体服从正态分布(,1)N μ，且μ未知，设1,,n X X 为来自该总体的一个样本，记11nii X X n ==∑，则μ的置信水平为1α-的置信区间公式是 ；若已知10.95α-=，则要使上面这个置信区间长度小于等于0.2，则样本容量n 至少要取__ __。
概率论与数理统计总复习
概率论与数理统计总复习1、研究和揭示随机现象 统计规律性的科学。
随机现象：是在个别试验中结果呈现不确定性，但在大量重复试验中结果又具有统计规律性的现象。
2、互斥的或互不相容的事件：A B φ⋂=3、逆事件或对立事件：φ=⋂=⋃B A S B A 且4、德∙摩根律：B A B A ⋂=⋃，B A B A ⋃=⋂5、在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值/A n n 称为事件A 发生的频率，并记为()n f A 。
6、概率的性质（1）非负性：(A)0P ≥； （2）规范性：(S)1P =；（3）有限可加性：设A 1，A 2，…，A n ，是n 个两两互不相容的事件，即A i A j ＝φ，(i ≠j), i , j ＝1, 2, …, n , 则有∑==ni i n A P A A P 11)()...(（4）()0P φ=；（5）单调不减性：若事件A ⊂B ，则P(B)≥P(A) （6）对于任一事件A ，P(A)≤1 （7）差事件概率：对于任意两事件A 和B ，()()()P B A P B P AB -=-（8）互补性（逆事件的概率）：对于任一事件A ，有 P(A )=1-P(A) （9）加法公式：P(A ⋃B)＝P(A)＋P(B)－P(AB))()()()()()()()(321323121321321A A A P A A P A A P A A P A P A P A P A A A P +---++=⋃⋃7、古典概型中的概率: ()()()N A P A N S =①乘法原理：设完成一件事需分两步， 第一步有n 1种方法，第二步有n 2种方法， 则完成这件事共有n 1n 2种方法。
例：从甲、乙两班各选一个代表。
②加法原理：设完成一件事可有两类方法，第一类有n 1种方法，第二类有n 2种方法，则完成这件事共有n 1+n 2种方法。
概率论及数理统计要点复习
概率论与数理统计 复习资料第一章随机事件与概率1．事件的关系 φφ=Ω-⋃⊂AB A B A AB B A B A(1) 包含：若事件A 发生，一定导致事件B 发生，那么，称事件B 包含事件A ，记作A B ⊂(或B A ⊃)． (2) 相等：若两事件A 与B 相互包含，即A B ⊃且B A ⊃，那么，称事件A 与B 相等，记作A B =． (3) 和事件：“事件A 与事件B 中至少有一个发生”这一事件称为A 与B 的和事件，记作A B ⋃；“n 个事件1,2,,nA A A 中至少有一事件发生”这一事件称为1,2,,nA A A 的和，记作12nA A A ⋃⋃⋃（简记为1nii A =）． (4) 积事件：“事件A 与事件B 同时发生”这一事件称为A 与B 的积事件，记作A B ⋂(简记为AB )；“n 个事件1,2,,nA A A 同时发生”这一事件称为1,2,,nA A A 的积事件，记作12n A A A ⋂⋂⋂（简记为12nA A A 或1nii A =)． (5) 互不相容：若事件A 和B 不能同时发生，即AB φ=，那么称事件A 与B互不相容(或互斥)，若n 个事件1,2,,nA A A 中任意两个事件不能同时发生，即i j A A φ=(1≤i<j ≤几)，那么，称事件 1,2,,n A A A 互不相容． (6) 对立事件：若事件A 和B 互不相容、且它们中必有一事件发生，即AB φ=且A B ⋃=Ω，那么，称A 与B 是对立的．事件A 的对立事件(或逆事件)记作A ． (7) 差事件：若事件A 发生且事件B 不发生，那么，称这个事件为事件A 与B 的差事件，记作A B -(或AB ) ．2．运算规则 （1）交换律：BA AB A B B A =⋃=⋃（2）结合律：)()( )()(BC A C AB C B A C B A =⋃⋃=⋃⋃ （3）分配律))(()( )()()(C B C A C AB BC AC C B A ⋃⋃=⋃⋃=⋃ （4）德摩根（De Morgan ）法则：B A AB B A B A ⋃==⋃3．概率)(A P 满足的三条公理及性质： （1）1)(0≤≤A P （2）1)(=ΩP（3）对互不相容的事件n A A A ,,,21 ，有∑===nk kn k kA P A P 11)()(（n 可以取∞）（4） 0)(=φP （5）)(1)(A P A P -=（6）)()()(AB P A P B A P -=-，若B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-，)()(B P A P ≤ （7）)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃（8）)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=⋃⋃ 4．古典概型：基本事件有限且等可能5．几何概率： 如果随机试验的样本空间是一个区域(可以是直线上的区间、平面或空间中的区域)，且样本空间中每个试验结果的出现具有等可能性，那么规定事件Ａ的概率为()A P A =的长度（或面积、体积）样本空间的的长度（或面积、体积）·6．条件概率（1） 定义：若0)(>B P ，则)()()|(B P AB P B A P =（2） 乘法公式：)|()()(B A P B P AB P = 若n B B B ,,21为完备事件组，0)(>i B P ，则有 （3） 全概率公式： ∑==ni iiB A P B P A P 1)|()()(（4） Bayes 公式： ∑==ni iik k k B A P B P B A P B P A B P 1)|()()|()()|(（5）贝努里概型与二项概率设在每次试验中，随机事件Ａ发生的概率()(01)P A p p =<<，则在n 次重复独立试验中．，事件Ａ恰发生k 次的概率为()(1),0,1,,k n k n n P k p p k n k -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，7．事件的独立性： B A ,独立)()()(B P A P AB P =⇔ （注意独立性的应用）下列四个命题是等价的：(i) 事件A 与B 相互独立；(ii) 事件A 与B 相互独立；(iii) 事件A 与B 相互独立；(iv) 事件A 与B 相互独立．8、思考题１．一个人在口袋里放2盒火柴，每盒n 支，每次抽烟时从口袋中随机拿出一盒（即每次每盒有同等机会被拿到）并用掉一支，到某次他迟早会发现：取出的那一盒已空了．问：“这时另一盒中恰好有m 支火柴”的概率是多少？２．设一个居民区有n 个人，设有一个邮局，开c 个窗口，设每个窗口都办理所有业务．c 太小，经常排长队；c 太大又不经济．现设在每一指定时刻，这n 个人中每一个是否在邮局是独立的，每个人在邮局的概率是p ．设计要求：“在每一时刻每窗口排队人数（包括正在被服务的那个人）不超过m ”这个事件的概率要不小于a （例如，0.8,0.9.95a o =或），问至少须设多少窗口？ ３．设机器正常时，生产合格品的概率为９５％，当机器有故障时，生产合格品的概率为５０％，而机器无故障的概率为９５％．某天上班时，工人生产的第一件产品是合格品，问能以多大的把握判断该机器是正常的？第二章 随机变量与概率分布1． 离散随机变量：取有限或可列个值，i i p x X P ==)(满足（1）0≥i p ，（2）∑iip=1（3）对任意R D ⊂，∑∈=∈Dx i ii pD X P :)(2． 连续随机变量：具有概率密度函数)(x f ，满足（1）1)(,0)(-=≥⎰+∞∞dx x f x f ；（2）⎰=≤≤badx x f b X a P )()(；（3）对任意R a ∈，0)(==a X P3． 几个常用随机变量名称与记号分布列或密度数学期望 方差0—1分布 两点分布 ),1(p B p X P ==)1(，p q X P -===1)0(p pq二项式分布),(p n Bn k q p C k X P k n k kn ,2,1,0,)(===-，np npq泊松分布)(λP,2,1,0,!)(===-k k ek X P kλλλλ几何分布)(p G,2,1 ,)(1===-k p qk X P kp1 2p q 均匀分布),(b a Ub x a a b x f ≤≤-= ,1)(，2ba + 12)(2a b - 指数分布)(λE 0 ,)(≥=-x e x f x λλλ1 21λ正态分布),(2σμN222)(21)(σμσπ--=x ex fμ2σ标准正态分布的分布函数记作()x Φ，即()x Φ221()2t xx e dtπ--∞Φ=⎰，当出0x ≥时，()x Φ可查表得到；当0x <时，()x Φ可由下面性质得到()1()x x Φ-=-Φ．设2~(,)X N μσ，则有()()x F x μσ-=Φ；()()()b a P a X b μμσσ--<≤=Φ-Φ．4． 分布函数 )()(x X P x F ≤=，具有以下性质（1）1)( ,0)(=+∞=-∞F F ；（2）单调非降；（3）右连续； （4）)()()(a F b F b X a P -=≤<，特别)(1)(a F a X P -=>； 特别的 ()()(0)P X a F a F a ==-- （5）对离散随机变量，∑≤=xx i ii px F :)(；（6）对连续随机变量，⎰∞-=xdt t f x F )()(为连续函数，且在)(x f 连续点上，)()('x f x F =5． 正态分布的概率计算 以)(x Φ记标准正态分布)1,0(N 的分布函数，则有 （1）5.0)0(=Φ；（2）)(1)(x x Φ-=-Φ；（3）若),(~2σμN X ，则)()(σμ-Φ=x x F ；（4）以αu 记标准正态分布)1,0(N 的上侧α分位数，则)(1)(αααu u X P Φ-==> 6． 随机变量的函数 )(X g Y =（1）离散时，求Y 的值，将相同的概率相加；（2）X 连续，)(x g 在X 的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，则|))((|))(()('11y g y g f y f X Y --=，若不单调，先求分布函数，再求导。
概率统计公式大全(复习重点)
概率统计公式大全(复习重点)第一章随机事件和概率（1）排列组合公式)!(!nmmP nm-=从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。
)!(!!nmnmC nm-=从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。
（2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。
乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。
（3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）顺序问题如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。
试验的可能结果称为随机事件。
在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用ω来表示。
基本事件的全体，称为试验的样本空间，用Ω表示。
一个事件就是由Ω中的部分点（基本事件ω）组成的集合。
通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是Ω的子集。
Ω为必然事件，Ø为不可能事件。
不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。
①关系：如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：BA⊂如果同时有BB⊃，则称事件A与A⊂，A事件B等价，或称A等于B：A=B。
A、B中至少有一个发生的事件：A Y B，或者A+B。
属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者B A，它表示A发生而B不发生的事件。
概率论与数理统计复习汇总
第二章：随机变量及其相关内容
基本概念：随机变量、分布律、概率密度、分布函数 随机变量：设随机试验的样本空间为 S = {e}, X = X (e) 是定义在样本空间 S 上的
实值单值函数，称 X = X (e) 为随机变量. ( 样本点到数的对应法则) 随机变量的分类：离散型随机变量和连续型随机变量(基于 r.v. 的取值类型) 离散型随机变量 取值为有限个或者无限可列个的随机变量 分布律 若 r.v. X 的取值为 x1, x2 , , xn , 对应概率值为 p1, p2 , , pn , ，即
(1) 任取一件产品为次品的概率是多少？ (2) 已知取得的产品为次品，求此次品来自甲厂生产的概率是多少？ 2. 人们为了了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票 价格的基本因素，比如利率的变化. 现假设人们经分析评估知利率下降的概率为 60%，利率不变的概率为 40%.根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，该
一个划分.或者 B1, B2 , , Bn 为一个完备事件组.
全概率公式：设设 S 为随机试验 E 的样本空间， B1, B2, , Bn 为一个完备事件组，
则有 P( A) = P(B1)P( A B1) + P(B2 )P( A B2 ) + + P(Bn )P( A Bn )
Bi 称为原因， A 称为结果；全概率公式由原因找结果； 贝叶斯公式： 由结果找造成的原因
运算规律：德摩根律 AB = A ∪ B; A ∪ B = AB
加法原理： n1 + n2 + + nm (分类)，乘法原理： n1 ⋅ n2 ⋅ ⋅ nm (分步)
概率论和数理统计（李慧斌）复习大纲-第7章-置信区间-Confidence-Intervals
概率论与数理统计(李慧斌)复习大纲Chapter 7 Confidence Intervals置信区间7.1 Sampling Distribution 抽样分布统计量的分布称为抽样分布。
在本节中，我们将从正态分布推导出随机样本的样本方差分布，以及样本均值和样本方差的各种函数的分布。
复习：Thm 5.5.2若X1, X2,…, X n独立且满足，i= 1,2,…,n，若C1, C2,…, C n不全为零，则Corollary 5.5.2 设随机变量X1, X2,…, X n组成随机样本，满足正态分布，其中均值μ和方差σ2，则7.2 χ2Distribution卡方分布定义：若随机变量X1, X2,…, X n独立同分布且其中每个随机变量都满足标准正态分布，所以有着以n阶自由度卡方分布(χ2distribution with n degrees of freedom)，记作，n来源于独立随机变量中以n阶自由度的χ2分布的概率密度函数其中欧拉函数定义为χ2分布的性质：定理1定理2 （χ2分布的可加性）若X ~χ2 (n) , Y ~χ2(m)，X, Y独立，则X+Y ~ χ2 (n+m)例：设X1, X2,…, X n是正态分布的随机样本，证明Thm 7.3.1 设X1, X2,…, X n是正态分布的随机样本，则：（1）与独立；（2）注：，虽然基于n个，但是它们之和为0，所以指定数量的n-1确定剩余值。
因此有n-1阶自由度。
结果表明，只有从正态分布中抽取随机样本，样本均值和样本方差才是独立的。
证明如下：的联合概率分布函数为其中A为正交矩阵(orthogonal matrix)，且的联合概率分布函数为因此独立且⇒与独立且7.4 The t Distribution t分布定义：设X ~ N(0, 1), Y ~χ2 (n)且X和Y独立，则随机变量所满足的分布称为n阶自由度t分布，记作，其中的概率密度函数为t分布的性质：（1）f(x)图像呈钟型，且中心为0；（2）它的一般形状类似于平均分布0的正态分布的概率密度函数。
高二数学期末复习之一概率与统计
高二数学期末复习之一概率与统计第一部分．复习目标：1． 了解典型分布列：0～1分布，二项分布，几何分布。
2． 了解离散型随机变量的期望值、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差。
3． 在实际中经常用期望来比较两个类似事件的水平，当水平相近时，再用方差比较两个类似事件的稳定程度。
4． 了解正态分布的意义，能借助正态曲线的图像理解正态曲线的性质。
5． 了解标准正态分布的意义和性质，掌握正态总体),(2σμN 转化为标准正态总体N （0，1）的公式)()(σμ-Φ=x x F 及其应用。
6． 通过生产过程的质量控制图，了解假设检验的基本思想。
第二部分．内容小结： （Ⅰ）基础知识详析㈠随机事件和统计的知识结构：㈡随机事件和统计的内容提要 1．主要内容是离散型随机变量的分布列、期望与方差，抽样方法，总体分布的估计，正态分布和线性回归。
2．随机变量的概率分布（1）离散型随机变量的分布列：两条基本性质①,2,1(0=≥i p i ...)； ②P 1+P 2+ (1)（2）连续型随机变量概率分布：由频率分布直方图，估计总体分布密度曲线y=f(x)；总体分布密度函数的两条基本性质： ①f(x) ≥0(x ∈R)；②由曲线y=f(x)与x 轴围成面积为1。
3．随机变量的数学期望和方差 （1）离散型随机变量的数学期望：++=2211p x p x E ε…；反映随机变量取值的平均水平。
（2）离散型随机变量的方差：+-+-=222121)()(p E x p E x D εεε…+-+n n p E x 2)(ε…；反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度。
（3）基本性质：b aE b a E +=+εε)(；εεD a b a D 2)(=+。
4．三种抽样方法。
5．二项分布和正态分布（1）记ε是n 次独立重复试验某事件发生的次数，则ε～B （n ，p ）；其概率,2,1,0,1()(=-==-k p q q p C k P kn k k n n …),n 。
概率论与数理统计总复习知识点归纳
D( X ) E( X 2 ) E 2 ( X ), Cov( X ,Y ) E( XY ) EXEY
XY Cov( X ,Y ) / D( X )D(Y )
⑴ E(aX+b)=aE(X)+b，D(aX+b)=a2D(X)
⑵ E(∑iλi Xi)=∑i λi E(Xi)
(3) D(λ1X±λ2Y)=λ12D(X)+λ22D(Y) ±2λ1λ2Cov(X,Y)
0.587
法二 用Bayes公式：
P (C) = 0.1, P(C ) 0.9;
P (D/C) = 0.3*0.8+0.7*0.2,
P(D / C ) 0.3*0.2.
C
C
于是有
D
P(C / D)
P(C ) P(D / C )
P(C) P(D / C) P(C ) P(D / C )
i 1
i 1
i 1
例3 已知X~ f(x)，求Y= -X2的概率密度。 解 用分布函数法。
y<0 时，FY(y) = P(Y≤y) = P(-X2 ≤y) P(X y) P(X y)
FX ( y ) [1 FX ( y )] y≥0 时， FY(y) = P(Y≤y) =1
于是Y的概率密度为
fY ( y) fX (
y)
1 2
( y)1/ 2
fX
(
y ) 1 ( y)1/2 2
1 2
(
y)1/ 2[
fX
(
y) fX (
y )] , y 0
fY (y) 0 , y 0
例4 设二维随机变量(X,Y )的联合密度函数为：
f
( x,
y)
概率论与数理统计期末复习资料
概率统计、概率论与数理统计、随机数学课程期末复习资料注：以下是考试的参考内容,不作为实际考试范围,考试内容以教学大纲和实施计划为准；注明“了解”的内容一般不考;1、能很好地掌握写样本空间与事件方法,会事件关系的运算,了解概率的古典定义2、能较熟练地求解古典概率；了解概率的公理化定义3、掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算；理解条件概率的概念；掌握加法公式与乘法公式4、能准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式解题；掌握事件独立性的概念及性质;5、理解随机变量的概念,能熟练写出0—1分布、二项分布、泊松分布的分布律;6、理解分布函数的概念及性质,理解连续型随机变量的概率密度及性质;7、掌握指数分布参数λ、均匀分布、正态分布,特别是正态分布概率计算8、会求一维随机变量函数分布的一般方法,求一维随机变量的分布律或概率密度;9、会求分布中的待定参数;10、会求边缘分布函数、边缘分布律、条件分布律、边缘密度函数、条件密度函数,会判别随机变量的独立性;11、掌握连续型随机变量的条件概率密度的概念及计算;12、理解二维随机变量的概念,理解二维随机变量的联合分布函数及其性质,理解二维离散型随机变量的联合分布律及其性质,理解二维连续型随机变量的联合概率密度及其性质,并会用它们计算有关事件的概率;13、了解求二维随机变量函数的分布的一般方法;14、会熟练地求随机变量及其函数的数学期望和方差;会熟练地默写出几种重要随机变量的数学期望及方差;15、较熟练地求协方差与相关系数.16、了解矩与协方差矩阵概念;会用独立正态随机变量线性组合性质解题;17、了解大数定理结论,会用中心极限定理解题;18、掌握总体、样本、简单随机样本、统计量及抽样分布概念,掌握样本均值与样本方差及样本矩概念,掌握χ2分布及性质、t分布、F分布及其分位点概念;19、理解正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理；会用矩估计方法来估计未知参数;20、掌握极大似然估计法,无偏性与有效性的判断方法;21、会求单正态总体均值与方差的置信区间;会求双正态总体均值与方差的置信区间;23、明确假设检验的基本步骤,会U检验法、t检验、2χ检验法、F检验法解题;24、掌握正态总体均值与方差的检验法;概率论部分必须要掌握的内容以及题型1．古典概型中计算概率用到的基本的计数方法;2．概率的基本性质、条件概率、加法、乘法公式的应用；掌握事件独立性的概念及性质;3．准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式;4．一维、二维离散型随机变量的分布律,连续型随机变量的密度函数性质的运用;分布中待定参数的确定,分布律、密度函数与分布函数的关系,联合分布与边缘分布、条件分布的关系,求数学期望、方差、协方差、相关系数,求函数的分布律、密度函数及期望和方差;5．会用中心极限定理解题;6．熟记0-1分布、二项分布、泊松分布的分布律、期望和方差,指数分布参数λ、均匀分布、正态分布的密度函数、期望和方差;数理统计部分必须要掌握的内容以及题型1．统计量的判断;2．计算样本均值与样本方差及样本矩;3．熟记正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理;4．会求未知参数的矩估计、极大似然估计; 5．掌握无偏性与有效性的判断方法; 6．会求正态总体均值与方差的置信区间;7．理解假设检验的基本思想和原理,明确正态总体均值与方差的假设检验的基本步骤;概率论部分必须要掌握的内容以及题型1．古典概型中计算概率用到的基本的计数方法; 古典概型例子 摸球模型例1：袋中有a 个白球,ｂ个黑球,从中接连任意取出mm ≤a +ｂ个球,且每次取出的球不再放回去,求第m 次取出的球是白球的概率; 例2：袋中有a 个白球,ｂ个黑球,c 个红球,从中任意取出ｍm ≤a +ｂ个球,求取出的m 个球中有k 1≤a 个白球、k 2≤b 个黑球、k 3≤c 个红球k 1＋k 2＋k 3=m 的概率. 占位模型例：n 个质点在N 个格子中的分布问题.设有n 个不同质点,每个质点都以概率1/N 落入N 个格子N ≥n 的任一个之中,求下列事件的概率：1 A ={指定n 个格子中各有一个质点}；2 B ={任意n 个格子中各有一个质点}；3 C ={指定的一个格子中恰有mm ≤n 个质点}. 抽数模型例：在0～9十个整数中任取四个,能排成一个四位偶数的概率是多少2．概率的基本性质、条件概率、加法、乘法公式的应用；掌握事件独立性的概念及性质;如对于事件A ,B ,A 或B ,已知P A ,PB ,P AB ,P A B ,P A |B ,PB |A 以及换为A 或B 之中的几个,求另外几个; 例1：事件A 与B 相互独立,且P A =,PB =,求：P AB ,P A －B ,P A B例2：若P A =,PB =,P AB =,求： P A －B ,P A B ,)|(B A P ,)|(B A P ,)|(B A P 3．准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式;若已知导致事件A 发生或者是能与事件A 同时发生的几个互斥的事件B i ,i =1,2,…,n ,…的概率PB i ,以及B i 发生的条件下事件A 发生的条件概率P A |B i ,求事件A 发生的概率P A 以及A 发生的条件下事件B i 发生的条件概率PB i | A ;例：玻璃杯成箱出售,每箱20只;假设各箱含0、1、2只残次品的概率相应为、和,某顾客欲购买一箱玻璃杯,在购买时,售货员随意取一箱,而顾客随机地察看4只,若无残次品,则买下该箱玻璃杯,否则退回;试求：1顾客买下该箱的概率；2在顾客买下的该箱中,没有残次品的概率;4．一维、二维离散型随机变量的分布律,连续型随机变量的密度函数性质的运用;分布中待定参数的确定,分布律、密度函数与分布函数的关系,联合分布与边缘分布、条件分布的关系,求数学期望、方差、协方差、相关系数,求函数的分布律、密度函数及期望和方差;1已知一维离散型随机变量X 的分布律PX =x i =p i ,i =1,2,…,n ,… 确定参数 求概率Pa <X <b 求分布函数Fx 求期望EX ,方差DX求函数Y =gX 的分布律及期望EgX 例：随机变量X 的分布律为.确定参数k求概率P 0<X <3,}31{<<X P 求分布函数Fx 求期望EX ,方差DX求函数2)3(-=X Y 的分布律及期望2)3(-X E2已知一维连续型随机变量X 的密度函数fx确定参数求概率Pa <X <b 求分布函数Fx 求期望EX ,方差DX求函数Y =gX 的密度函数及期望EgX例：已知随机变量X 的概率密度为()⎩⎨⎧<<=其他202x kx x f ,确定参数k求概率}31{<<X P 求分布函数Fx 求期望EX ,方差DX求函数X Y =的密度及期望)(X E3已知二维离散型随机变量X ,Y 的联合分布律PX =x i ,Y =y j =p ij ,i =1,2,…,m ,…；j =1,2,…,n ,… 确定参数求概率P {X ,Y ∈G }求边缘分布律PX =x i =p i.,i =1,2,…,m ,…；PY =y j =, j =1,2,…,n ,… 求条件分布律PX =x i |Y =y j ,i =1,2,…,m ,…和PY =y j |X =x i , j =1,2,…,n ,… 求期望EX ,EY ,方差DX ,DY求协方差 cov X ,Y ,相关系数XY ρ,判断是否不相关 求函数Z =gX , Y 的分布律及期望EgX , Y 例求概率PX <Y 求边缘分布律PX =k k =0,1,2 和PY =k k =0,1,2,3求条件分布律PX =k |Y =2 k =0,1,2和PY =k |X =1 k =0,1,2,3 求期望EX ,EY ,方差DX ,DY求协方差 cov X ,Y ,相关系数XY ρ,判断是否不相关 求Z =X +Y ,W =max{X ,Y },V =min{X ,Y }的分布律4已知二维连续型随机变量X 的联合密度函数fx , y 确定参数求概率P {X ,Y ∈G }求边缘密度)(x f X ,)(y f Y ,判断Y X ,是否相互独立 求条件密度)|(|y x f Y X ,)|(|x y f X Y求期望EX ,EY ,方差DX ,DY求协方差 cov X ,Y ,相关系数XY ρ,判断是否不相关 求函数Z =gX , Y 的密度函数及期望EgX , Y例：已知二维随机变量X ,Y 的概率密度为⎩⎨⎧<<=其它,01,),(22y x y cx y x f ,确定常数c 的值；求概率PX <Y求边缘密度)(x f X ,)(y f Y ,判断Y X ,是否相互独立求条件密度)|(|y x f Y X ,)|(|x y f X Y求期望EX ,EY ,方差DX ,DY求协方差 cov X ,Y ,相关系数XY ρ,判断是否不相关 5．会用中心极限定理解题;例1：每次射击中,命中目标的炮弹数的均值为2,方差为25.1,求在100次射击中有180到220发炮弹命中目标的概率．例2：设从大批发芽率为的种子中随意抽取1000粒,试求这1000粒种子中至少有880粒发芽的概率;6．熟记0-1分布、二项分布、泊松分布的分布律、期望和方差,指数分布参数λ、均匀分布、正态分布的密度函数、期望和方差;数理统计部分必须要掌握的内容以及题型 1．统计量的判断;对于来自总体X 的样本n X X X ,,,21 ,由样本构成的各种函数是否是统计量; 2．计算样本均值与样本方差及样本矩;3．熟记正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理; 4．会求未知参数的矩估计、极大似然估计;例：设总体X 的概率密度为()()⎩⎨⎧<<+=其它,010,1x x x f θθ,n X X ,,1 是来自总体X 的一个样本,求未知参数θ的矩估计量与极大似然估计量.5．掌握无偏性与有效性的判断方法;对于来自总体X 的样本n X X X ,,,21 ,判断估计量是否无偏,比较哪个更有效; 例：设321,,X X X 是来自总体X 的一个样本,下列统计量是不是总体均值的无偏估计3212110351X X X ++；)(31321X X X ++；321X X X -+；)(2121X X +；3211214331X X X ++求出方差,比较哪个更有效;6．会求正态总体均值与方差的置信区间;对于正态总体,由样本结合给出条件,导出参数的置信区间;7．理解假设检验的基本思想和原理,明确正态总体均值与方差的假设检验的基本步骤; 对于单、双正态总体根据给定条件,确定使用什么检验方法,明确基本步骤;例：设),(~2σu N X ,u 和2σ未知,X 1,…,X n 为样本,x 1,…,x n 为样本观察值;1试写出检验u 与给定常数u 0有无显著差异的步骤；2试写出检验2σ与给定常数20σ比较是否显著偏大的步骤;1．古典概型中计算概率用到的基本的计数方法; 古典概型例子 摸球模型例1：袋中有a 个白球,ｂ个黑球,从中接连任意取出mm ≤a +ｂ个球,且每次取出的球不再放回去,求第m 次取出的球是白球的概率;分析：本例的样本点就是从a +ｂ中有次序地取出m 个球的不同取法；第m 次取出的球是白球意味着：第ｍ次是从a 个白球中取出一球,再在a +ｂ-1个球中取出m-1个球; 解：设B ＝｛第m 次取出的球是白球｝样本空间的样本点总数： mb a A n +=事件B 包含的样本点： 111--+=m b a a AC r ,则 b a a A aA n r B P mba mb a +===+--+11)( 注：本例实质上也是抽签问题,结论说明按上述规则抽签,每人抽中白球的机会相等,同抽签次序无关;例2：袋中有4个白球,5个黑球,6个红球,从中任意取出9个球,求取出的9个球中有1 个白球、3个黑球、5个红球的概率.解：设B ＝｛取出的9个球中有1个白球、3个黑球、5个红球｝样本空间的样本点总数： 915C n ==5005事件B 包含的样本点： 563514C C C r ==240,则 PB =120/1001=占位模型例：n 个质点在N 个格子中的分布问题.设有n 个不同质点,每个质点都以概率1/N 落入N 个格子N ≥n 的任一个之中,求下列事件的概率：1 A ={指定n 个格子中各有一个质点}；2 B ={任意n 个格子中各有一个质点}；3 C ={指定的一个格子中恰有mm ≤n 个质点}. 解：样本点为n 个质点在N 个格子中的任一种分布,每个质点都有N 种不同分布,即n 个质点共有N n 种分布;故样本点总数为：N n1在n 个格子中放有n 个质点,且每格有一个质点,共有n 种不同放法；因此,事件A 包含的样本点数：n,则n Nn A P !)(=2先在N 个格子中任意指定n 个格子,共有nN C 种不同的方法；在n 个格子中放n 个质点,且每格一个质点,共有n 种不同方法；因此,事件B 包含的样本点数： n Nn NA C n =!,则n n NNA B P =)(3在指定的一个格子中放mm ≤n 个质点共有mn C 种不同方法；余下n-m 个质点任意放在余下的N-1个格子中,共有mn N --)1(种不同方法.因此,事件C 包含的样本点数：m n C mn N --)1(, 则mn m m n nm n m n N N N C NN C C P ---=-=)1()1()1()( 抽数模型例：在0～9十个整数中任取四个,能排成一个四位偶数的概率是多少解：考虑次序.基本事件总数为：410A =5040,设B ={能排成一个四位偶数} ;若允许千位数为0,此时千位数可在0、2、4、6、8这五个数字中任选其一,共有5种选法；其余三位数则在余下的九个数字中任选,有39A 种选法；从而共有539A =2520个;其中,千位数为0的“四位偶数”有多少个 此时个位数只能在2、4、6、8这四个数字中任选其一,有4种选法；十位数与百位数在余下的八个数字中任选两个,有28A种选法；从而共有428A=224个; 因此410283945)(A A A B P -==2296/5040= 2．概率的基本性质、条件概率、加法、乘法公式的应用；掌握事件独立性的概念及性质; 例1：事件A 与B 相互独立,且P A =,PB =,求：P AB ,P A －B ,P A B 解：P AB = P APB =,P A －B = P A －P AB =,P A B = P A ＋PB －P AB =例2：若P A =,PB =,P AB =,求： P A －B ,P A B ,)|(B A P ,)|(B A P ,)|(B A P 解：P A －B =,P A B =,)|(B A P =)()(B P AB P =3/7,)|(B A P =)()()()()(B P AB P B P B P B A P -==4/7,)|(B A P =)(1)()()(B P B A P B P B A P -= =2/33．准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式;例：玻璃杯成箱出售,每箱20只;假设各箱含0、1、2只残次品的概率相应为、和,某顾客欲购买一箱玻璃杯,在购买时,售货员随意取一箱,而顾客随机地察看4只,若无残次品,则买下该箱玻璃杯,否则退回;试求：1顾客买下该箱的概率；2在顾客买下的该箱中,没有残次品的概率;解：设事件A 表示“顾客买下该箱”,i B 表示“箱中恰好有i 件次品”,2,1,0=i ;则8.0)(0=B P ,1.0)(1=B P ,1.0)(2=B P ,1)|(0=B A P ,54)|(4204191==C C B A P ,1912)|(4204182==C C B A P ;由全概率公式得 ∑==⨯+⨯+⨯==294.019121.0541.018.0)|()()(i i i B A P B P A P ； 由贝叶斯公式 85.094.018.0)()|()()|(000=⨯==A PB A P B P A B P ; 4．1例：随机变量X 的分布律为.确定参数k求概率P 0<X <3,P 1<X <3 求分布函数Fx 求期望EX ,方差DX求函数2)3(-=X Y 的分布律及期望2)3(-X E 解：由1=∑iip,有 k ＋2 k ＋3 k ＋4 k =1 得 k =P 0<X <3= PX =1＋PX =2=,P 1<X <3= PX =2=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤<=41436.0323.0211.010)(x x x x x x F∑=ii i p x X E )(=3,∑=i i p x X E 22)(=10,DX =22))(()(X E X E -=12)3(-X E =12例：已知随机变量X 的概率密度为()⎩⎨⎧<<=其他202x kx x f ,确定参数k 求概率P 1<X <3 求分布函数Fx 求期望EX ,方差DX 求函数X Y =的密度函数及期望)(X E 解：由⎰+∞∞-dx x f )(=1,有⎰+∞∞-dx x f )(=k dx kx 38202=⎰=1,得 k =3/8P 1<X <3=⎰31)(dx x f =⎰21283dx x =7/8. ⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤=2120800)(3x x x x x F⎰+∞∞-=dx x xf X E )()(=⎰2383dx x =3/2,⎰+∞∞-=dx x f x X E )()(22=⎰20483dx x =12/5DX =22))(()(X E X E -=3/20⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他02043)(5y y y f)(X E =⎰+∞∞-dx x f x )(=⎰202583dx x =726 3例求概率PX <Y 求边缘分布律PX =k k =0,1,2 和PY =k k =0,1,2,3求条件分布律PX =k |Y =2 k =0,1,2和PY =k |X=1 k =0,1,2,3 求期望EX ,EY ,方差DX ,DY求协方差 cov X ,Y ,相关系数XY ρ,判断是否不相关 求Z =X +Y ,W =max{X ,Y },V =min{X ,Y }的分布律 解：PX <Y =, PX =Y =YXY =iij ji p x X E )(=,=iij ji p x X E )(=,DX =))(()(X E X E -=∑∑=i ij j j p y Y E )(=2,∑∑=i ij jj p y Y E 22)(=5,DY =22))(()(Y E Y E -=1∑∑=iij jj i p y x XY E )(=,cov X ,Y =)()()(Y E X E XY E -=XY ρ=)()(),cov(Y D X D Y X = 相关V =min{X ,Y }4例：已知二维随机变量X ,Y 的概率密度为⎩⎨⎧<<=其它,01,),(22y x y cx y x f ,确定常数c 的值；求概率PX <Y求边缘密度)(x f X ,)(y f Y ,判断Y X ,是否相互独立 求条件密度)|(|y x f Y X ,)|(|x y f X Y求期望EX ,EY ,方差DX ,DY求协方差 cov X ,Y ,相关系数XY ρ,判断是否不相关 解：由⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f ),(=1,有⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f ),(=⎰⎰-11212ydy x c dx x=1,得 c =21/4PX <Y =⎰⎰-12421ydx x dy y y = ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--==⎰其它011)1(821421)(42122x x x ydy x x f x X ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤==⎰-其它1027421)(252y y ydx x y f yy Y X 与Y 不独立⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-==-其它023)(),()|(232|yx y y x y f y x f y x f YY X⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-==其它0118)(),()|(24|y x x y x f y x f x y f X X Y⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdy y x f x X E ),()(=⎰⎰-11312421ydy x dx x =0⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdy y x f x X E ),()(22=⎰⎰-11412421ydy x dx x =7/15DX =22))(()(X E X E -=7/15⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdy y x f y Y E ),()(=⎰⎰-112212421dy y x dx x =7/9⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdy y x f y Y E ),()(22=⎰⎰-113212421dy y x dx x =7/11DY =22))(()(Y E Y E -=28/891⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdy y x f xy XY E ),()(=⎰⎰-112312421dy y x dx x =0cov X ,Y =0, XY ρ=0,X 与Y 不相关5．会用中心极限定理解题;例1：每次射击中,命中目标的炮弹数的均值为2,方差为25.1,求在100次射击中有180到220发炮弹命中目标的概率． 解：例2：设从大批发芽率为的种子中随意抽取1000粒,试求这1000粒种子中至少有880粒发芽的概率; 解：设这批种子发芽数为X ,则)9.0,1000(~B X ,由中心极限定理得所求概率为}880{≥X P 9826.0)108.2()108.2(1)90900880(1=Φ=-Φ-=-Φ-=;数理统计部分必须要掌握的内容以及题型 1．统计量的判断;2．计算样本均值与样本方差及样本矩;3．熟记正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理; 4．会求未知参数的矩估计、极大似然估计;例：设总体X 的概率密度为()()⎩⎨⎧<<+=其它,010,1x x x f θθ,n X X ,,1 是来自总体X 的一个样本,求未知参数θ的矩估计量与极大似然估计量.5．掌握无偏性与有效性的判断方法;例：设321,,X X X 是来自总体X 的一个样本,下列统计量是不是总体均值的无偏估计3212110351X X X ++；)(31321X X X ++；321X X X -+；)(2121X X +；3211214331X X X ++求出方差,比较哪个更有效;6．会求正态总体均值与方差的置信区间;7．理解假设检验的基本思想和原理,明确正态总体均值与方差的假设检验的基本步骤;例：设),(~2σu N X ,u 和2σ未知,X 1,…,X n 为样本,x 1,…,x n 为样本观察值;1试写出检验u 与给定常数u 0有无显著差异的步骤；2试写出检验2σ与给定常数20σ比较是否显著偏大的步骤; 解: 1 1.提出假设 u u H u u H ≠=:,:12.选取统计量nS u X t /)(0-=3.对给定的显著性水平α,查表得)1(2-n t α4.计算 ns u x t /)(0-=5.判断 若),1(2->n t t α拒绝; H 反之,接受. H21.提出假设2021202:,:σσσσ>≤H H2.选取统计量2022)1(σχS n -=3.对给定的显著性水平α,查表得)1(2-n αχ4.计算.)1(2022σχs n -=5.判断 若),1(22-<n αχχ拒绝; H 反之,接受. H。
概率论与数理统计期末考试复习
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此公式即为贝叶斯公式;
P(Bi ) ,i 1,2 ,…,n ,通常叫先验概率; P(Bi / A) ,i 1,2 ,…,n ,通常 称为后验概率;贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律,并作出了“由
果朔因”的推断;
我们作了n 次试验,且满足
每次试验只有两种可能结果, A 发生或 A 不发生；
n 次试验是重复进行的,即 A 发生的概率每次均一样；
称事件 A 与事件 B 互不相容或者互斥;基本事件是互不相容的;
-A 称为事件A 的逆事件,或称A 的对立事件,记为 A ;它表示A 不发生 的事件;互斥未必对立;
②运算：
结合率：ABC=ABC A∪B∪C=A∪B∪C
分配率：AB∪C=A∪C∩B∪C A∪B∩C=AC∪BC
7 概率 的公 理化 定义
2° PΩ =1
3° 对于两两互不相容的事件 A1, A2 ,…有 常称为可列完全可加性;
则称 PA 为事件 A 的概率;
1° 1,2 n ,
2°
P(1 )
P( 2
)
P( n
)
1 n
;
设任一事件 A ,它是由1,2 m 组成的,则有
PA=(1) (2 ) (m ) = P(1) P(2 ) P(m )
则称 X 为连续型随机变量; f (x) 称为 X 的概率密度函数或密度函
数,简称概率密度;
密度函数具有下面 4 个性质：
1° f (x) 0 ;
2° f (x)dx 1;
3 离散与 积分元 f (x)dx 在连续型随机变量理论中所起的作用与
连续型 P(X xk) pk 在离散型随机变量理论中所起的作用相类似; 随机变
用;
Φ-x＝1-Φx 且 Φ0＝ 1 ;
概率统计复习提纲(百度文库)解析
《概率论与数理统计》总复习提纲第一块随机事件及其概率内容提要基本内容：随机事件与样本空间，事件的关系与运算，概率的概念和基本性质，古典概率，几何概率，条件概率，与条件概率有关的三个公式，事件的独立性，贝努里试验.1、随机试验、样本空间与随机事件（1）随机试验：具有以下三个特点的试验称为随机试验，记为.1）试验可在相同的条件下重复进行；2）每次试验的结果具有多种可能性，但试验之前可确知试验的所有可能结果；3）每次试验前不能确定哪一个结果会出现.（2）样本空间：随机试验的所有可能结果组成的集合称为的样本空间记为Ω；试验的每一个可能结果，即Ω中的元素，称为样本点，记为.（3）随机事件：在一定条件下，可能出现也可能不出现的事件称为随机事件，简称事件；也可表述为事件就是样本空间的子集，必然事件（记为）和不可能事件（记为）.2、事件的关系与运算（1）包含关系与相等：“事件发生必导致发生”，记为或；且.（2）互不相容性：；互为对立事件且.（3）独立性：（1）设为事件，若有，则称事件与相互独立. 等价于：若().（2）多个事件的独立：设是n个事件，如果对任意的，任意的，具有等式，称个事件相互独立．3、事件的运算（1）和事件（并）：“事件与至少有一个发生”，记为.（2）积事件（交）：“事件与同时发生”，记为或.（3）差事件、对立事件(余事件)：“事件发生而不发生”，记为称为与的差事件；称为的对立事件；易知：.4、事件的运算法则1) 交换律：，；2) 结合律：，；3) 分配律：，；4) 对偶(De Morgan)律：，，可推广5、概率的概念（1）概率的公理化定义：（2）频率的定义：事件在次重复试验中出现次，则比值称为事件在次重复试验中出现的频率，记为，即.（3）统计概率：称为事件的（统计）概率.在实际问题中，当很大时，取（4）古典概率：若试验的基本结果数为有限个，且每个事件发生的可能性相等，则（试验对应古典概型）事件发生的概率为：.（5）几何概率：若试验基本结果数无限，随机点落在某区域g的概率与区域g的测度(长度、面积、体积等)成正比，而与其位置及形状无关，则（试验对应几何概型），“在区域中随机地取一点落在区域中”这一事件发生的概率为：.（6）主观概率：人们根据经验对该事件发生的可能性所给出的个人信念.6、概率的基本性质（1）不可能事件概率零：＝0.（2）有限可加性：设是n个两两互不相容的事件，即＝，（），则有＝＋.（3）单调不减性：若事件，且.（4）互逆性：且.（5）加法公式：对任意两事件，有－；此性质可推广到任意个事件的情形.（6）可分性：对任意两事件，有，且7、条件概率与乘法公式（1）条件概率：设是两个事件，即，则称为事件发生的条件下事件发生的条件概率．（2）乘法公式：设且则称为事件的概率乘法公式.8、全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式（1）全概率公式：设是的一个划分，且，，则对任何事件，有称为全概率公式.（2）贝叶斯(Bayes)公式：设是的一个划分，且，则对任何事件，有称为贝叶斯公式或逆概率公式.9、贝努里(Bernoulli)概型（1）只有两个可能结果的试验称为贝努里试验，常记为．也叫做“成功—失败”试验,“成功”的概率常用表示，其中＝“成功”.（2）把重复独立地进行次，所得的试验称为重贝努里试验，记为．（3）把重复独立地进行可列多次，所得的试验称为可列重贝努里试验，记为．以上三种贝努里试验统称为贝努里概型．（4）中成功次的概率是：其中.疑难分析1、必然事件与不可能事件必然事件是在一定条件下必然发生的事件，不可能事件指的是在一定条件下必然不发生的事件.它们都不具有随机性，是确定性的现象，但为研究的方便，把它们看作特殊的随机事件.2、互逆事件与互斥（不相容）事件如果两个事件与必有一个事件发生，且至多有一个事件发生，则、为互逆事件；如果两个事件与不能同时发生，则、为互斥事件.因而，互逆必定互斥，互斥未必互逆.区别两者的关键是：当样本空间只有两个事件时，两事件才可能互逆，而互斥适用与多个事件的情形.作为互斥事件在一次试验中两者可以都不发生，而互逆事件必发生一个且只发生一个.3、两事件独立与两事件互斥两事件、独立，则与中任一个事件的发生与另一个事件的发生无关，这时；而两事件互斥，则其中任一个事件的发生必然导致另一个事件不发生，这两事件的发生是有影响的，这时.可以用图形作一直观解释.在图1.1左边的正方形中，图1.1，表示样本空间中两事件的独立关系，而在右边的正方形中，，表示样本空间中两事件的互斥关系.4、条件概率与积事件概率是在样本空间内，事件的概率，而是在试验增加了新条件发生后的缩减的样本空间中计算事件的概率.虽然、都发生，但两者是不同的，一般说来，当、同时发生时，常用，而在有包含关系或明确的主从关系时，用.如袋中有9个白球1个红球，作不放回抽样，每次任取一球，取2次，求：（1）第二次才取到白球的概率；（2）第一次取到的是白球的条件下，第二次取到白球的概率.问题（1）求的就是一个积事件概率的问题，而问题（2）求的就是一个条件概率的问题.5、全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式当所求的事件概率为许多因素引发的某种结果，而该结果又不能简单地看作这诸多事件之和时，可考虑用全概率公式，在对样本空间进行划分时，一定要注意它必须满足的两个条件.贝叶斯公式用于试验结果已知，追查是何种原因（情况、条件）下引发的概率.第二块随机变量及其分布内容提要基本内容：随机变量，随机变量的分布的概念及其性质，离散型随机变量的概率分布，连续型随机变量的概率分布，常见随机变量的分布，随机变量函数的分布.1、随机变量设是随机试验的样本空间，如果对于试验的每一个可能结果，都有唯一的实数与之对应，则称为定义在上的随机变量，简记为.随机变量通常用大写字母等表示.2、离散型随机变量及其分布列如果随机变量只能取有限个或可列个可能值，则称为离散型随机变量.如果的一切可能值为，并且取的概率为，则称为离散型随机变量的概率函数（概率分布或分布律）.也称分布列，常记为其中.常见的离散型随机变量的分布有：（1）两点分布（0-1分布）：记为，分布列为或（2）二项分布：记为，概率函数（3）泊松分布，记为，概率函数泊松定理设是一常数，是任意正整数，设，则对于任一固定的非负整数，有.当很大且很小时，二项分布可以用泊松分布近似代替，即，其中（4）超几何分布：记为，概率函数，其中为正整数，且.当很大，且较小时，有（5）几何分布：记为，概率函数.3、分布函数及其性质分布函数的定义：设为随机变量，为任意实数，函数称为随机变量的分布函数.分布函数完整地描述了随机变量取值的统计规律性，具有以下性质：（1）有界性；（2）单调性如果，则；（3）右连续，即；（4）极限性；（5）完美性.4、连续型随机变量及其分布分布如果对于随机变量的分布函数，存在非负函数，使对于任一实数，有，则称为连续型随机变量.函数称为的概率密度函数.概率密度函数具有以下性质：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）如果在处连续，则.常用连续型随机变量的分布：（1）均匀分布：记为，概率密度为分布函数为（2）指数分布：记为，概率密度为分布函数为（3）正态分布：记为，概率密度为，相应的分布函数为当时，即时，称服从标准正态分布.这时分别用和表示的密度函数和分布函数，即具有性质：①.②一般正态分布的分布函数与标准正态分布的分布函数有关系：.5、随机变量函数的分布（1）离散型随机变量函数的分布设为离散型随机变量，其分布列为(表2-2)：表2-2…………则任为离散型随机变量，其分布列为(表2-3)：表2-3…………有相同值时，要合并为一项，对应的概率相加.（2）连续型随机变量函数的分布设为离散型随机变量，概率密度为，则的概率密度有两种方法可求.1）定理法：若在的取值区间内有连续导数，且单调时，是连续型随机变量，其概率密度为.其中是的反函数.2）分布函数法：先求的分布函数然后求.疑难分析1、随机变量与普通函数随机变量是定义在随机试验的样本空间上，对试验的每一个可能结果，都有唯一的实数与之对应.从定义可知：普通函数的取值是按一定法则给定的，而随机变量的取值是由统计规律性给出的，具有随机性；又普通函数的定义域是一个区间，而随机变量的定义域是样本空间.2、分布函数的连续性定义左连续或右连续只是一种习惯.有的书籍定义分布函数左连续，但大多数书籍定义分布函数为右连续. 左连续与右连续的区别在于计算时，点的概率是否计算在内.对于连续型随机变量，由于，故定义左连续或右连续没有什么区别；对于离散型随机变量，由于，则定义左连续或右连续时值就不相同，这时，就要注意对定义左连续还是右连续.第三块多维随机变量及其分布内容提要基本内容：多维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量的联合分布列，二维连续型随机变量的联合分布函数和联合密度函数，边际分布，随机变量的独立性和不相关性，常用多维随机变量，随机向量函数的分布.1、二维随机变量及其联合分布函数为n维(n元)随机变量或随机向量.联合分布函数的定义设随机变量,为随机向量的联合分布函数二维联合分布函数具有以下基本性质：（1）单调性是变量或的非减函数；（2）有界性；（3）极限性（3）连续性关于右连续，关于也右连续；（4）非负性对任意点，若，则.式表示随机点落在区域内的概率为：.2、二维离散型随机变量及其联合分布列如果二维随机变量所有可能取值是有限对或可列对，则称为二维离散型随机变量.设为二维离散型随机变量,它的所有可能取值为将或表3.1称为的联合分布列.表3.1……┇┇…………┇┇…┇………┇┇…┇…联合分布列具有下列性质：（1）；（2）.3、二维连续型随机变量及其概率密度函数如果存在一个非负函数,使得二维随机变量的分布函数对任意实数有，则称是二维连续型随机变量，称为的联合密度函数（或概率密度函数）.联合密度函数具有下列性质：（1）非负性对一切实数，有；（2）规范性；（3）在任意平面域上，取值的概率；（4）如果在处连续，则.4、二维随机变量的边缘分布设为二维随机变量，则称分别为关于和关于的边缘（边际）分布函数.当为离散型随机变量，则称分别为关于和关于的边缘分布列.当为连续型随机变量，则称分别为关于和关于的边缘密度函数.5、二维随机变量的条件分布（了解）（1）离散型随机变量的条件分布设为二维离散型随机变量，其联合分布律和边缘分布列分别为，则当固定，且时，称为条件下随机变量的条件分布律.同理，有（2）连续型随机变量的条件分布设为二维连续型随机变量，其联合密度函数和边缘密度函数分别为：.则当时，在和的连续点处，在条件下，的条件概率密度函数为.同理，.6、随机变量的独立性设及分别是的联合分布函数及边缘分布函数.如果对任何实数有则称随机变量与相互独立.设为二维离散型随机变量，与相互独立的充要条件是.设为二维连续型随机变量，与相互独立的充要条件是对几乎一切实数，有.7、两个随机变量函数的分布设二维随机变量的联合概率密度函数为，是的函数，则的分布函数为.（1）的分布若为离散型随机变量，联合分布列为，则的概率函数为：或.若为连续型随机变量，概率密度函数为，则的概率函数为：.（2）的分布若为连续型随机变量，概率密度函数为，则的概率函数为：.8．最大值与最小值的分布则9．数理统计中常用的分布（1）正态分布：（2）：（3）：（4）：疑难分析1、事件表示事件与的积事件，为什么不一定等于？如同仅当事件相互独立时，才有一样，这里依乘法原理.只有事件与相互独立时，才有，因为.2、二维随机变量的联合分布、边缘分布及条件分布之间存在什么样的关系？由边缘分布与条件分布的定义与公式知，联合分布唯一确定边缘分布，因而也唯一确定条件分布.反之，边缘分布与条件分布都不能唯一确定联合分布.但由知，一个条件分布和它对应的边缘分布，能唯一确定联合分布.但是，如果相互独立，则，即.说明当独立时，边缘分布也唯一确定联合分布，从而条件分布也唯一确定联合分布.3、两个随机变量相互独立的概念与两个事件相互独立是否相同？为什么？两个随机变量相互独立，是指组成二维随机变量的两个分量中一个分量的取值不受另一个分量取值的影响，满足.而两个事件的独立性，是指一个事件的发生不受另一个事件发生的影响，故有.两者可以说不是一个问题.但是，组成二维随机变量的两个分量是同一试验的样本空间上的两个一维随机变量，而也是一个试验的样本空间的两个事件.因此，若把“”、“”看作两个事件，那么两者的意义近乎一致，从而独立性的定义几乎是相同的.第四块随机变量的数字特征内容提要基本内容：随机变量的数学期望和方差、标准差及其性质，随机变量函数的数学期望，原点矩和中心矩，协方差和相关系数及其性质.1、随机变量的数学期望设离散型随机变量的分布列为，如果级数绝对收敛，则称级数的和为随机变量的数学期望.设连续型随机变量的密度函数为，如果广义积分绝对收敛，则称此积分值为随机变量的数学期望.数学期望有如下性质：（1）设是常数，则；（2）设是常数，则；（3）若是随机变量，则；对任意个随机变量，有；（4）若相互独立，则；对任意个相互独立的随机变量，有.2、随机变量函数的数学期望设离散型随机变量的分布律为，则的函数的数学期望为，式中级数绝对收敛.设连续型随机变量的密度函数为，则的函数的数学期望为，式中积分绝对收敛.3、随机变量的方差设是一个随机变量，则称为的方差.称为的标准差或均方差.计算方差也常用公式.方差具有如下性质：（1）设是常数，则；（2）设是常数，则；（3）若相互独立，则；对任意个相互独立的随机变量，有；（4）的充要条件是：存在常数，使.4、几种常见分布的数学期望与方差（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）.5、矩设是随机变量，则称为的阶原点矩.如果存在，则称为的阶中心矩.设是二维随机变量，则称为的阶混合原点矩；称为的阶混合中心矩.6、协方差与相关系数随机变量的协方差为.它是1+1阶混合中心矩，有计算公式：.随机变量的相关系数为.相关系数具有如下性质：（1）；（2）存在常数，使=1，即与以概率1线性相关；（3）若独立，则，即不相关.反之，不一定成立.（4）(Schwarz inequality) 设(X,Y)是二维随机变量,若X与Y的方差都存在,则疑难分析1、随机变量的数字特征在概率论中有什么意义？知道一个随机变量的分布函数，就掌握了这个随机变量的统计规律性.但求得一个随机变量的分布函数是不容易的，而且往往也没有这个必要.随机变量的数字特征则比较简单易求，也能满足我们研究分析具体问题的需要，所以在概率论中很多的应用，同时也刻画了随机变量的某些特征，有重要的实际意义.例如，数学期望反映了随机变量取值的平均值，表现为具体问题中的平均长度、平均时间、平均成绩、期望利润、期望成本等；方差反映了随机变量取值的波动程度；偏态系数、峰态系数则反映了随机变量取值的对称性和集中性.因此，在不同的问题上考察不同的数字特征，可以简单而切实地解决我们面临的实际问题.2、在数学期望定义中为什么要求级数和广义积分绝对收敛？首先，数学期望是一个有限值；其次，数学期望反映随机变量取值的平均值.因此，对级数和广义积分来说，绝对收敛保证了值的存在，且对级数来说，又与项的次序无关，从而更便于运算求值.而由于连续型随机变量可以离散化，从而广义积分与无穷级数有同样的意义.要求级数和广义积分绝对收敛是为了保证数学期望的存在与求出.3、相关系数反映了随机变量和之间的什么关系？相关系数是用随机变量和的协方差和标准差来定义的，它反映了随机变量和之间的相关程度.当时，称与依概率1线性相关；当时，称与不相关；当时，又分为强相关与弱相关.4、两个随机变量与相互独立和不相关是一种什么样的关系？（1）若、相互独立，则、不相关.因为、独立，则，故，从而，所以、不相关.（2）若、不相关，则、不一定独立.如：因为，，知、不相关.但，,,知、不独立.（3）若、相关，则、一定不独立.可由反证法说明.（4）若、不相关，则、不一定不相关.因为、不独立，，但若时，可以有，从而可以有、不相关.但是，也有特殊情况，如服从二维正态分布时，、不相关与、独立是等价的.第五块大数定律和中心极限定理内容提要基本内容：切比雪夫（Chebyshev）不等式，切比雪夫大数定律，伯努里（Bernoulli）大数定律，辛钦（Khinchine）大数定律，棣莫弗-拉普拉斯（De Moivre-Laplace）定理，列维-林维德伯格(Levy-Lindberg)定理.1、切贝雪夫不等式设随机变量的数学期望，方差，则对任意正数，有不等式或成立.2、大数定律（1）切贝雪夫大数定律:设是相互独立的随机变量序列，数学期望和方差都存在，且，则对任意给定的，有.（2）贝努利大数定律:设是次重复独立试验中事件发生的次数，是事件在一次试验中发生的概率，则对于任意给定的，有.贝努利大数定理给出了当很大时，发生的频率依概率收敛于的概率，证明了频率的稳定性.(3)辛钦大数定律：设相互独立,服从同一分布的随机变量序列,且(),则对任意给定的，有3、中心极限定律（1）林德贝格-勒维中心极限定理:设是独立同分布的随机变量序列，有有限的数学期望和方差，，.则对任意实数，随机变量的分布函数满足.（2）李雅普诺夫定理:设是不同分布且相互独立的随机变量，它们分别有数学期望和方差：,.记,若存在正数，，使得当时，有, 则随机变量的分布函数对于任意的，满足.当很大时,.（3）德莫佛—拉普拉斯定理:设随机变量服从参数为的二项分布，则对于任意的，恒有.疑难分析1、依概率收敛的意义是什么？依概率收敛即依概率1收敛.随机变量序列依概率收敛于，说明对于任给的，当很大时，事件“”的概率接近于1.但正因为是概率，所以不排除小概率事件“”发生.依概率收敛是不确定现象中关于收敛的一种说法.2、大数定律在概率论中有何意义？大数定律给出了在试验次数很大时频率和平均值的稳定性.从理论上肯定了用算术平均值代替均值，用频率代替概率的合理性，它既验证了概率论中一些假设的合理性，又为数理统计中用样本推断总体提供了理论依据.所以说，大数定律是概率论中最重要的基本定律.3、中心极限定理有何实际意义？许多随机变量本身并不属于正态分布，但它们的极限分布是正态分布.中心极限定理阐明了在什么条件下，原来不属于正态分布的一些随机变量其总和分布渐进地服从正态分布.为我们利用正态分布来解决这类随机变量的问题提供了理论依据.4、大数定律与中心极限定理有何异同？相同点：都是通过极限理论来研究概率问题，研究对象都是随机变量序列，解决的都是概率论中的基本问题，因而在概率论中有重要意义.不同点：大数定律研究当时，概率或平均值的极限，而中心极限定理则研究随机变量总和的分布的极限.古今名言敏而好学，不耻下问——孔子业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随——韩愈兴于《诗》，立于礼，成于乐——孔子己所不欲，勿施于人——孔子读书破万卷，下笔如有神——杜甫读书有三到，谓心到，眼到，口到——朱熹立身以立学为先，立学以读书为本——欧阳修读万卷书，行万里路——刘彝黑发不知勤学早，白首方悔读书迟——颜真卿书卷多情似故人，晨昏忧乐每相亲——于谦书犹药也，善读之可以医愚——刘向莫等闲，白了少年头，空悲切——岳飞发奋识遍天下字，立志读尽人间书——苏轼鸟欲高飞先振翅，人求上进先读书——李苦禅立志宜思真品格，读书须尽苦功夫——阮元非淡泊无以明志，非宁静无以致远——诸葛亮熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟——孙洙《唐诗三百首序》书到用时方恨少，事非经过不知难——陆游问渠那得清如许，为有源头活水来——朱熹旧书不厌百回读，熟读精思子自知——苏轼书痴者文必工，艺痴者技必良——蒲松龄声明访问者可将本资料提供的内容用于个人学习、研究或欣赏，以及其他非商业性或非盈利性用途，但同时应遵守著作权法及其他相关法律的规定，不得侵犯本文档及相关权利人的合法权利。
全国自学考试04183概率论与数理统计(经管类)-考试复习速记宝典
概率论与数理统计（经管类）（04183适用全国）速记宝典命题来源：围绕学科的基本概念、原理、特点、内容。
答题攻略：（1）不能像名词解释那样简单，也不能像论述题那样长篇大论，但需要加以简要扩展。
（2）答案内容要简明、概括、准确，即得分的关键内容一定要写清楚。
（3）答案表述要有层次性，列出要点，分点分条作答，不要写成一段；（4）如果对于考题内容完全不知道，利用选择题找灵感，找到相近的内容，联系起来进行作答。
如果没有，随意发挥，不放弃。
考点1：随机事件。
在随机试验中，产生的各种结果叫做随机事件（random Events），简称事件（Events）．随机事件通常用大写英文字母A、B、C等表示．如观察马路交叉口可能遇上的各种颜色交通灯，这是随机试验，而“遇上红灯”则是一个随机事件。
例：投掷一个骰子，观察其朝上的点数。
A＝｛朝上的点数为2｝B＝｛朝上的点数为偶数点｝都是随机事件。
必然事件Certainty Events必然事件——样本空间Ω本身也是事件,它包含了所有可能的试验结果，因此不论在哪一次试验它都发生，称为必然事件。
也将它记为Ω。
如：“抛掷一颗骰子，出现的点数不大于6”不可能事件Impossible Event不可能事件——不包含任何样本点的事件,记为φ,每次试验必定不发生的事件.如：“抛掷一颗骰子，出现的点数大于6”考点2：古典概型。
设某随机试验具有如下特征：（1）试验的可能结果只有有限个；（2）各个可能结果出现是等可能的。
则称此试验为古典（等可能）概型。
古典概型中概率的计算：n=进行试验的样本点总数ΩK=所考察的事件A含的样本点数P（A）=k/n=A的样本点数/样本点总数P（A）具有如下性质：（1）0≤P（A）≤1；（2）P（Ω）＝1；P（φ）=0（3）AB＝φ，则P（A∪B）＝P（A）＋P（B）考点3：乘法公式。
若抽取是不放回地,求以上三问？设A、B∈Ω，P（A）>0,则P（AB）＝P（A）P（B|A）.（1）式（1）就称为事件A、B的概率乘法公式。
概率统计公式大全(复习重点)
第一章随机事件和概率（1）排列组合公式)!(!nmmP nm-=从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。
)!(!!nmnmC nm-=从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。
（2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。
乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。
（3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）顺序问题（4）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。
试验的可能结果称为随机事件。
（5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用ω来表示。
基本事件的全体，称为试验的样本空间，用Ω表示。
一个事件就是由Ω中的部分点（基本事件ω）组成的集合。
通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是Ω的子集。
Ω为必然事件，Ø为不可能事件。
不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。
（6）事件的关系与运算①关系：如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：BA⊂如果同时有BA⊂，AB⊃，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。
A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。
属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者BA，它表示A发生而B不发生的事件。
概率论与数理统计复习
《概率论与数理统计》复习©基本内容和要求第一章随机事件及其概率1、掌握样本空间、随机事件、事件的概率等基本概念，了解频率的稳定性；2、掌握事件的关系与运算、熟悉概率的一些性质，会利用其计算概率；3、掌握古典概型的概率计算；4、掌握条件概率、乘法公式、事件的独立性，会利用其计算概率；5、掌握全概率公式和贝叶斯公式，会利用其计算概率。
第二章随机变量及其分布1、理解随机变量及其概率分布的概念；2、掌握离散型随机变量的分布律的概念与性质，掌握重要的常见分布：0-1，二项，Poisson分布；3、掌握分布函数和概率密度的概念及性质，熟悉均匀分布和正态分布，会查表计算正态分布随机变量的概率；4、掌握随机变量函数的分布。
5、掌握二维随机变量与联合分布，掌握联合分布与概率密度；6、理解边缘分布与条件分布，掌握边缘分布与条件分布公式；7、理解随机变量的独立性，会用其计算概率；8、掌握两个随机变量的函数的分布：Z=X+Y的分布，M=max(X,Y)、N=min(X,Y)的分布。
第三章随机变量的数字特征1．掌握数学期望和方差的概率意义和基本性质，并能熟练计算随机变量的数学期望和方差；2．记住常见分布的数学期望和方差；3．理解并掌握随机变量的协方差及相关系数，了解矩。
第四章大数定律与中心极限定理1．掌握切比雪夫不等式；2．了解贝努里大数定律，理解频率稳定性的含义；3．理解独立同分布的中心极限定律及德莫弗—拉普拉斯定理，会近似计算。
第五章统计估计1．理解总体、个体、样本、统计量等概念；2．熟记几个常见的统计量及分布：2 分布，t分布，F分布，3.正态总体的样本均值与样本方差的分布，临界值查法。
4．理解估计量与估计值的概念，会计算未知参数的矩估计和极大似然估计；5．了解估计量的评选标准；6．理解置信区间、置信度的概念，掌握单（双）正态总体均值和方差的区间估计。
第六章 假设检验1．两类错误2．掌握假设检验的一般步骤；3．掌握正态总体的均值和方差的双侧假设检验（z 检验,t 检验, 2χ检验）方法。
《概率论与数理统计》总复习资料
《概率论与数理统计》总复习资料概率论部分1．古典概型中计算概率用到的基本的计数方法。
例1：袋中有4个白球，5个黑球，6个红球，从中任意取出9个球，求取出的9个球中有1个白球、3个黑球、5个红球的概率.解：设B ＝｛取出的9个球中有1个白球、3个黑球、5个红球｝样本空间的样本点总数：915C n ==5005事件B 包含的样本点：563514C C C r ==240，则P (B )=240/5005=0.048例2：在0～9十个整数中任取四个，能排成一个四位偶数的概率是多少？解：考虑次序.基本事件总数为：410A =5040，设B ={能排成一个四位偶数}。
若允许千位数为0，此时个位数可在0、2、4、6、8这五个数字中任选其一，共有5种选法；其余三位数则在余下的九个数字中任选，有39A 种选法；从而共有539A =2520个。
其中，千位数为0的“四位偶数”有多少个？此时个位数只能在2、4、6、8这四个数字中任选其一，有4种选法；十位数与百位数在余下的八个数字中任选两个，有28A 种选法；从而共有428A =224个。
因此410283945)(A A A B P -==2296/5040=0.4562．概率的基本性质、条件概率、加法、乘法公式的应用；掌握事件独立性的概念及性质。
例1：事件A 与B 相互独立，且P (A )=0.5，P (B )=0.6，求：P (AB )，P (A －B )，P (A B )解：P (AB )=P (A )P (B )=0.3，P (A －B )=P (A )－P (AB )=0.2，P (A B )=P (A )＋P (B )－P (AB )=0.8例2：若P (A )=0.4，P (B )=0.7，P (AB )=0.3，求：P (A －B )，P (A B )，)|(B A P ，)|(B A P ，)|(B A P 解：P (A －B )=0.1，P (A B )=0.8，)|(B A P =)()(B P AB P =3/7，)|(B A P =)()()()()(B P AB P B P B P B A P -==4/7，|(B A P =)(1)()()(B P B A P B P B A P -==2/33．准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式。
高一数学《概率与统计》
考点1：抽样方法一．随机抽样随机抽样：满足每个个体被抽到的机会是均等的抽样，共有三种经常采用的随机抽样方法：1．简单随机抽样：从元素个数为N 的总体中不放回地抽取容量为n 的样本，如果每一次抽取时总体中的各个个体有相同的可能性被抽到，这种抽样方法叫做简单随机抽样．简单随机抽样是最简单、最基本的抽样方法．⑴抽出办法：①抽签法：用纸片或小球分别标号后抽签的方法．②随机数表法：随机数表是使用计算器或计算机的应用程序生成随机数的功能生成的一张数表．表中每一位置出现各个数字的可能性相同．随机数表法是对样本进行编号后，按照一定的规律从随机数表中读数，并取出相应的样本的方法．⑵简单随机抽样必须具备下列特点：①简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数N 是有限的． ②简单随机样本数n 小于等于样本总体的个数N ． ③简单随机样本是从总体中逐个抽取的． ④简单随机抽样是一种不放回的抽样．⑤简单随机抽样的每个个体被抽取的可能性均为nN．<教师备案>样本获取分为两种，一种是全面统计，一种是样本统计．全面统计的例子非常多，比如美国大选，每个州的选民都是通过投票选出每个州的负责人．也就是每个人都表达了自己的意见．再比如我们调查学生是海淀还是非海淀，我们也是给每个学生打了电话，访谈出结果，每个同学也都表达了自己的意见．再比如一些小事，像一群人中午的时候讨论去哪吃饭，每个人都可以说自己喜欢的地方．全面统计的好处在于无遗漏，数据准确无偏差，但是缺点也很明显，那就是非常的繁琐、麻烦．对于大数据的处理很无力，所以我们需要有样本统计． 样本统计的意义就是从一个大数据中抽取数据样本分析，通过对样本的分析来估计原数据的性质．于是首要的问题就是如何抽样．一个合理的抽样方法的基本要求是“平等”，也就是每个个体被抽取的可能性是相同的．比如我们发现，老师选出的学生代表很可能不能真正代表全体同学的意见，因为老师选取的一定是自己比较熟悉的学生，这类学生平时一定非常活跃．而对于一些比较内向，“存在感”比较低的同学来说，老师可能就不会关注，被选中的可能性就会降低．由此可以推知，人为的抽样一般是不靠谱的．再比如，现在很多的新闻都有网上的调查，有的媒体通过网上调查的数据来分析广大人民对新闻的反馈．这样的调查也是不靠谱的，因为网上调查反映出来的大多是经常上网的人的意见，而对于平时不上网的人就没有调查，所以这样的抽样也是不合理的．最常见的合理抽样方式是“抓阄”，这可以保证每个个体都能“等可能”的被选中．当然抓阄的方式有很多，比如很多时候我们不需要每个人都去抓一次，我们可以把每个人编一个号，然后由一个人来抽号就可以了．比如我们常见的彩票大致就是这个原理．不过需要注意的是彩票里面的等可能是对彩票是等可能的，对人不一样，因为一个人可以买很多彩票．6.1随机抽样知识点睛第6讲概率默统计类<教师备案>老师在讲完简单随机抽样后可以让学生做例1的【铺垫】⑴，本小题主要是让学生理解什么是总体，什么是个体，什么是样本容量，因为简单随机抽样比较简单，而且在后边要讲的系统抽样和分层抽样中都要用到，所以这里就不再详细讲解了．2．系统抽样：将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，由于抽样间隔相等，又被称为等距抽样．⑴抽出办法：从元素个数为N的总体中抽取容量为n的样本，如果总体容量能被样本容量整除，设Nkn=，先对总体进行编号，号码从1到N，再从数字1到k中随机抽取一个数s作为2(1)s k s k s n k+++-，，，个数，这样就得到容量为n的样本．如果总体容量不能被样本容量整除，可随机地从总体中剔除余数，然后再按系统抽样方法进行抽样．⑵系统抽样时，当总体个数N恰好是样本容量n的整数倍时，取Nkn=；若Nn不是整数时，先从总体中随机地剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数能被样本容量n的机会相等，因而整个抽样过程中每个个体被抽取的机会仍然相等为nN．<教师备案>随着数量的增大，抓阄的方式效率会比较低．当然，随着现在计算机的发展，数据量很大的时候也是可以通过“选号”的方式进行随机抽样．课本上提到的系统抽样其实现在已经不怎么使用了．不过作为传统意义下的抽样方法，我们还是有必要介绍一下．系统抽样的核心是“选出代表”，每个代表会直接代表一个群体的意见．系统抽样的方式分为两种，一种是横向抽样，也就是我们教科书上的抽样方式，这种例子非常多，比如军训的时候，可能我们出现过“一到三”报数，这样就把我们分成了“一”“二”“三”三个组，然后就可以随机选一个数“一”，然后所有的“一”就被选中了．同样的道理，我们对1000人，选取一个100人的样本，那么我们就需要把总数分成100组，每组10个人，然后让第一组的人抓阄（为的是随机抽样），比如“4”抓到，那么每一组的“4”就被选中了．另一种系统抽样的方式是“纵向抽样”，它出现的原理是这样的：原始的系统抽样方法会造成直观上的不公平．比如我们1000人里面选100人去叙利亚旅游，大家肯定都不愿意去，第一组的人抓阄之后，由于第一组的4号被选中，那么每一组的4号就都被选中了，其他组的4号会认为被第一组的4号连累，因为他们是“被”选中的．虽然从可能性上说，这没有道理，不过直观上确实有点“躺枪”的意思．于是人们改变了方式，也就是纵向系统抽样．比如现在我们还是1000人里面选100人去叙利亚，我们把所有人分成10组，每组100人，然后每组自行推举一个代表上台抓阄，被选中的人所在的组，整组都被选中．这样我们每个组都有人去抓阄，也就实现了直观上的公平．但是在可能性的角度，横向和纵向抽样都是“等可能”的，没有本质区别．<教师备案>老师在讲完系统抽样后就可以让学生做例1的铺垫⑵，例1⑵以及尖子班拓展⑵，这几个题都是系统抽样，老师可以选择几个让学生做做，不一定都让学生做，老师自己选择．3．分层抽样：当总体有明显差别的几部分组成时，要反映总体情况，常采用分层抽样，使总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的几部分，每一部分叫做层，在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样，这种抽样方法叫做分层抽样．分层抽样的样本具有较强的代表性，而且各层抽样时，可灵活选用不同的抽样方法，应用广泛．<教师备案>简单随机抽样（抓阄）和系统抽样都是绝对意义上的公平，但是分层抽样就是相对意义上的公平，因为我们人为的干扰了抽样的过程．不过现实意义之下我们统计数据必须进行分层，否则统计数据会闹出笑话．常见的一个就是我家房子10平米，后来搬过来一个邻居，房子面积是100平米，那么我家的生活状况有没有改变．实际上没有，但是统计数字可能告诉你，你们的平均面积增加了．现实生活中，很多的统计需要分层，比如统计收入水平的时候需要分不同的城市，统计生育问题的时候要分城市和农村，统计化妆品消费水平的时候要分性别等等．所以分层抽样就是为了保证每个层面上的公平性，我们按照每个层次占到总体的多少来分配选取的比例．这里老师可以开发更多的统计实例，一定要讲出现实意义来．<教师备案>老师在讲完分层抽样后可以让学生做例1的铺垫⑶，例1⑶以及目标班专用⑷，让学生熟练掌握分层抽样，因为在以后考试和北京高考中，三个抽样重点考察分层抽样．老师在讲完三个抽样后一定要让学生明白什么情况下用什么抽样，这个时候就可以让学生做例1⑴，尖子班拓展⑴．【铺垫】⑴为了了解参加运动会的2000名运动员的年龄情况，从中抽取100名运动员；就这个问题，下列说法中正确的有（）个①2000名运动员是总体；②每个运动员是个体；③所抽取的100名运动员是一个样本；④样本容量为100；⑤每个运动员被抽到的概率相等A．1B．2C．3D．4⑵从编号为1~50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是（）A．510152025，，，，B．313233343，，，，C．12345，，，，D．2461632，，，，⑶某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是（）A．4B．5C．6D．7【解析】⑴ B；④⑤正确，①②③错误⑵ B；⑶ C；20(1020)640103020+⨯=+++．【例1】三种抽样⑴现有以下两项调查：①某装订厂装订图书36000册，要求检验员从中抽取500册图书，检查其装订质量状况；②某市有大型、中型与小型的商店共1500家，三者数量之比为1:5:9．为了调查全市商店每日零售额情况，抽取其中15家进行调查．完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是（）A．简单随机抽样法，分层抽样法B．分层抽样法，简单随机抽样法C．分层抽样法，系统抽样法D．系统抽样法，分层抽样法⑵用系统抽样法要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生随机地从1～160编号，按编号顺序平均分成20组（1~8号，9~16号，…，153~160号），若第16组抽出的号码为126，则第1组中用抽签的方法确定的号码是．⑶某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为235∶∶．现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件．那么此样本的容量n=．⑷（目标班专用）某校有500名学生，A型血的有125人，B型血的有125人，AB型血的有50人，为了研究血型与色弱有没有关系，要从中抽取一个20人的样本，按分层抽样，O型血应抽取的人数为人．【解析】⑴ D；①是系统抽样；②明显是分层抽样；⑵6；不妨设第1组抽出的号码为x，则第16组应抽出的号码是815126x⨯+=，∴6x=．⑶80；A种型号的产品占总体的比例是210，则样本容量1016802n=⨯=．⑷该学校O型血的人数为50012512550200---=，按照分层抽样的抽样比相等得：500:20200:x=，解得8x=，即O型血应抽取的人数为8人．经典精讲<教师备案>学习了抽样后，需要对收集的这些有代表性的样本数据进行研究，找出有用的信息，然后用这些样本来估计总体．这种估计一般分成两种，一种是用样本的频率分布估计总体的分布，另一种是用样本的数字特征估计总体的数字特征．用来估计的图表和方法有很多种，本版块在初中的基础上来学习频率分布直方图、茎叶图和方差．考点2：频率分布直方图1．列出样本数据的频率分布表和频率分布直方图的步骤： ①计算极差：找出数据的最大值与最小值，计算它们的差；②决定组距与组数：取组距，用极差组距决定组数；③决定分点：决定起点，进行分组；④列频率分布表：对落入各小组的数据累计，算出各小组的频数，除以样本容量，得到各小组的频率．⑤绘制频率分布直方图：以数据的值为横坐标，以频率组距的值为纵坐标绘制直方图，知小长方形的面积＝组距×频率组距＝频率．2．频率分布折线图：将频率分布直方图各个长方形上边的中点用线段连接起来，就得到频率分布折线图，一般把折线图画成与横轴相连，所以横轴左右两端点没有实际意义．3．总体密度曲线：样本容量不断增大时，所分组数不断增加，分组的组距不断缩小，频率分布直方图可以用一条光滑曲线()y f x =来描绘，这条光滑曲线就叫做总体密度曲线．总体密度曲线精确地反映了一个总体在各个区域内取值的规律．<教师备案>这里主要介绍的就是样本分析方法，直方图就是很重要的一种．其实直方图的形成过程就是把数据按大小排序，然后分段截取数据．实际生活中最常见的方法就是“画正字”，比如我们收到了一组数据是学生的跳绳次数，我们就可以把次数分成若干组，然后一个一个数据看落在了哪个组里，利用“画正字”的方式看出每组里有几个数，最后画出直方图．直方图的主要作用是看出数据的分布变化趋势，很容易表示大量数据，缺点是原始数据不能在图上表示出来．通过例2的学习，让学生可以由给出的频率分布直方图算出各组数据的频率和频数，理解横纵坐标代表的意义．频率分布折线图和总体密度曲线不需要深究，在频率分布直方图的基础上，简单介绍即可．【例2】 频率分布直方图⑴某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[]540，中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，长度在[)3035，内的频率为______，有______根棉花纤维的长度小于20mm ．经典精讲知识点睛6.2用样本估计总体y 510152025303540长度(mm)0.010.020.030.040.050.06频率组距⑵（目标班专用）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间， 将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；……第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为x ，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y ，则从频率分布直方图中可分析出x 和y 分别为（ ）秒频率/组距1918171615141300.360.340.180.060.040.02A ．0.9，35B ．0.9，45C ．0.1，35D ．0.1，45【解析】 ⑴ 0.1，30；由频率分布直方图可得，长度在[)3035，内的频率为0.0250.1⨯=． 棉花纤维长度小于20mm 的频率为()0.010.010.0450.3++⨯=，则棉花纤维长度小于20mm 的频数为1000.330⨯=根．⑵ （目标班专用）A ．考点3：茎叶图<教师备案>当样本数据较少时，可以用样本分析的另一个常用图表方法――茎叶图，这个图主要作用是两组数据的对比．一左一右很容易估计出两组数据的对比状况，而且茎叶图是把所有的数据都列出来，精确性上比直方图要好一点，但是对于数据特征的分析不如直方图直观．可以结合铺垫讲解知识点，并简单复习一下初中学过的中位数、平均数的概念．1．制作茎叶图的步骤：①将数据分为“茎”、“叶”两部分；②将最大茎与最小茎之间的数字按大小顺序排成一列，并画上竖线作为分隔线； ③将各个数据的“叶”在分界线的一侧对应茎处按一定次序同行列出．<教师备案>“按一定次序”一般是按大小顺序，也可以按统计数据的顺序．2．平均数：平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．中位数：是指将统计总体当中的各个数据值按大小顺序排列起来，形成一个数列，处于数列中间位置的数据值就称为中位数．当数列的项数为奇数时，处于最中间位置的数据值即为中位数；当项数为偶数时，中位数则为处于中间位置的两个数据值的平均数．知识点睛8964553819261846172852乙甲54535251【铺垫】某班甲、乙两学生的高考备考成绩如下：甲：512554528549536556534541522538 乙：515558521543532559536548527531①用茎叶图表示两学生的成绩；②分别求两学生成绩的中位数和平均分． 【解析】 ①两学生成绩的茎叶图如图所示 ②将甲、乙两学生的成绩从小到大排列为： 甲：512522528534536538541549554556， 乙：515521527531532536543548558559． 从以上排列可知甲学生成绩的中位数为5365385372+=，乙学生成绩的中位数为5325365342+=．甲学生成绩的平均数为1222283436384149545650053710++++++++++=，乙学生成绩的平均数为1521273132364348585950053710++++++++++=．【例3】 茎叶图随机抽取某中学甲，乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm ），获得身高数据的茎叶图如图，则下列关于甲，乙两班这10名同学身高的结论正确的是（ ） A ．甲班同学身高在175以上的人数较多 B ．甲班同学身高的中位数较大C ．甲班同学身高的平均值较小D ．甲、乙班同学身高的平均值一样大 【解析】 C ；甲班同学身高175以上的有3人，乙班有4人，故而A 错误．甲班同学身高的中位数为169，乙班同学身高的中位数为171.5．故而B 错误． 容易计算得知，=170x 甲，=171.1x 乙，故C 对．考点4：统计数据的数字特征<教师备案>分析样本数据时，我们已经学过了众数、中位数和平均数这些概念，它们都可以用来表示统计数据的特征信息，各有利弊．平均数是统计数据一个非常好的特征，它可以利用所有的样本数据，而且比较好算．也正因为平均数利用了所有的数据，所以它容易受到一些极端数据的影响．比如歌唱比赛时，去掉一个最高分和一个最低分，然后再平均，就是为了避免出现个别评委的极端喜恶，尽量体现评分的准确和公正性．再比如公布一个地区的家庭平均收入时，平均数也掩盖了一些极端情况的存在，而这些是不容忽视的．怎么样能反映这些极端情况呢，也就是数据的离散程度呢，从运算方便等各方面考虑，引入了方差或标准差来进行衡量．统计数据的数字特征1．用样本平均数估计总体平均数；用样本标准差估计总体标准差：经典精讲知识点睛乙班甲班98822388900191716159865311822．数据的离散程度可以用极差、方差或标准差来描述：⑴极差又叫全距，是一组数据的最大值和最小值之差，反映一组数据的变动幅度；⑵样本方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，样本的标准差是方差的算术平方根． 一般地，设样本的元素为12n x x x ，，，，样本的平均数为x ， 定义样本方差为222212()()()n x x x x x x s n-+-++-=，样本标准差22212()()()n x x x x x x s n-+-++-=，简化公式：22222121()n s x x x nx n ⎡⎤=+++-⎣⎦．<教师备案>这部分其实没有真正的考察，现在最多也就是通过样本的特征直接套用在整体数据上．寒假班对方差只需要初步理解它存在的意义即可，对方差的直观理解放在春季同步班讲解．【例4】 方差甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表1s ，2s ，3s 分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ）甲的成绩乙的成绩 丙的成绩 环数 7 8 9 10 环数 7 8 9 10 环数 7 8 9 10 频数5555频数6446频数4664A ．312s s s >>B ．213s s s >>C ．123s s s >>D ．231s s s >>【解析】 B ；根据题中数据计算()()12117585951058.57684941068.52020x x =⨯+⨯+⨯+⨯==⨯+⨯+⨯+⨯=，，()317486961048.520x =⨯+⨯+⨯+⨯=，∴123x x x ==；()()()()22221178.5588.5598.55108.55 1.2520s ⎡⎤=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=⎣⎦， 同理得231.45 1.05s s ==， ∴213s s s >>．<教师备案>概率的定义是一个漫长的过程，最开始就是根据经验，对统计事实的认识．历史上对概率的理解可以分为三个阶段： 第一阶段：大量统计中发生的几率有 多大．比如很多数学家都玩过“扔硬币”这个游戏，而且还统计了结果，如图．大家发现，扔了很多很多次之后，结 果都差不多是正反面各占一半，所以大家认为硬币出正面的概率是50%．可能有人觉得这个做法很无聊，但是这只是概率的现象，是一个经典精讲6.3随机事件概率结果层面的东西，并不是概率的本质．不过现在计算机在估计概率的时候也是用这样的方法进行多次的实验，最终估计出一个结果．第二阶段：人们开始想一些复杂的问题．这里面著名的问题有两个，一个是赌徒分金问题（注：两个赌徒玩掷硬币，规定正面则甲加一分，反面则乙加一分，谁先得到16分谁就可以赢得一袋金币，现在进行到甲:乙=15:12，警察来了，说不让赌了，那么这些金币该怎么分．（【解析】按照15:1的比例分；假设警察没有来，则乙赢的概率为：11111222216⨯⨯⨯=，甲赢的概率为：111111111115222222222216+⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=，∴应该按照15:1的比例分金币），另一个问题是掷两个骰子，至少有一个6的概率（【解析】：1136）．这些问题基本上是很难通过实验来得出结论，毕竟情景比较复杂，这就促使人们要从概率的理论角度入手解决．费马在概率的定义方面做出了杰出的贡献，因为他引入了“等可能”这个概念．就是我们需要先认同一些基本的“等可能”的条件，然后再由此出发考虑复杂情况．第三阶段：古典概型有弊端，因为古典概型的必然要求是要把一个事件分解成若干等可能的基本事件，不过有些问题中这件事是做不到的．比如打靶问题．所以才有了几何概型这个概念．之后随着函数论的发展，我们用函数基础定义概率的时候我们就有了新的概率理论．后续的离散型随机变量说的就是这个阶段的问题．建议老师在一开始教学的时候强化概率的直观解释．比如：掷硬币模型，再比如：猜黑白（俗称手心手背）．其实这就是利用了概率均等的原理进行的．我们可以想一想，手心手背其实是很有效的一个等概率选取方式．另外，猜拳也是一个非常有效的等概率选取方式．这些概率其实挺难算的，不过我们可以让学生直观的理解概率的意义．同样的问题还有： 【趣题】1．甲乙两个人去公园，公园有10个景点，在这10个景点中两个人各自独立的选取5个，假定甲和乙同时出发，游览每一个景点的时间都是相同的，那么他们在最后一个景点相遇的概率是多少？【解析】下面有三种方法，老师在给学生讲本讲的时候可以讲法一，法二和法三供老师参考：法一：从概率意义的直观理解，考虑甲最后在的一个景点，乙最后在任何一个景点的可能性相同，恰好在甲所在的景点的概率为110．法二：甲最后一个景点为i 号景点的概率都为110，乙最后一个景点为i 号景点的概率也为110()12310i =，，，，故他们最后一个景点为同一个景点的概率为11110101010⨯⨯=．法三：他们参观景点的所有顺序有551010A A 种，每种参观景点的顺序出现的可能性相同，故在最后一个景点相遇的情况有1441099C A A ，故所求概率为1441099551010C A A 1A A 10=． 2．华约的自招考题：4个人传球，每个人都等概率的传给其他人，由甲开始第一次传球，设n 为传球次数，n 次传球后球在甲手里的概率记为n p ，问当n 趋向于无穷的时候，n p 趋向于多少？【解析】下面有两种方法，老师在给学生讲本题的时候可以讲法一，法二供老师参考：法一：从概率意义的直观理解，因为每个人都等可能的传给其他人，所以球在甲手里的概率为14，传n 次球后球在甲手里的概率依然为14．法二：记n A 表示事件“经过n 次传球后，球在甲手中”，12n =⋅⋅⋅，，则有()10P A =，()()()111n n n n n P A P A A P A A +++=+()()1113n n n P A A p +==-． 所以1n p +与n p 的关系式为()1113n n p p +=-，12n =⋅⋅⋅，，① 设11()3n n p p λλ++=-+，对比得14λ=-．于是①式可以变形为1111434n n p p +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，从而14n p ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为13-的等比数列，其首项为11144p -=-．故有1111443n n p -⎛⎫⎛⎫-=-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，111143n n p -⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，12n =⋅⋅⋅，， ② 由②可得1111lim lim 1434n n n n p -→∞→∞⎡⎤⎛⎫=--=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦． 另外还可以介绍一些概率不能直观解释的例子：比如生日悖论：世界上任取50个人，他们至少有两个人生日在同一天的概率是多少？请见下图（转自维基百科）由此可见，当取到23个人的时候，概率已经超过了50%，选取50人的时候，概率应该在95%左右．还有一个例子：乒乓球体育比赛中规定：如果双方得分是10:10，那么一方至少要得12分才能获胜，也就是至少比对方多两分．那么这种“延球”制相对于没有延球制度，到底是对强者更有利，还是帮助弱者有更大的机会翻身呢？（【解析】延球制度对强者更有利；假设强者很强，则再比赛一局有可能强者胜也有可能弱者胜，但是再比赛两局或者比赛无穷多局，肯定是强者赢的概率更大），这些其实都是通过直观解释概率比较复杂的问题． 接下来我们可以定义事件：考点5：随机事件的概率一．事件1．必然现象与随机现象必然现象是在一定条件下必然发生某种结果的现象；随机现象是在相同条件下，很难预料哪一种结果会出现的现象．例子：判断以下现象是否为随机现象知识点睛。
概率论与数理统计期末复习知识点
fZ(z)
f (z y, y)dy
f (x, z x)dx
当X 和Y 相互独立:卷积公式
fZ (z) f X ( x) fY (z x)dx
f X (z y) fY ( y)dy
(2) 当X 和Y 相互独立时:
M = max(X,Y ) 的分布函数
Fmax(z) P{M z} FX (z)FY (z)
E(Y ) E[g( X )] g( xk )pk k 1
(1-3)设( X,Y ) 离散型随机变量. 分布律为：
P{X xi , Y y j } pij i, j 1,2,
若 Z=g(X,Y)（g为二元连续函数）
则 E(Z ) E[g( X ,Y )]
g( xi , y j )pij
(2) 连续型随机变量的分布函数的定义
x
F ( x) f (t)dt
f(x)的性质
1. f (x) 0
2. f ( x)dx 1
3. P{x1 X x2}
x2 f ( x)dx
x1
4. F( x) f ( x)，在f ( x)的连续点.
⁂ 三种重要的连续型随机变量
(一)均匀分布
pi1
p•1
pi2
p•2
pij pi•
p• j 1
性质：
1 0 pij 1
2
pij 1.
j 1 i1
2.边缘分布律
3. 独立性
pij pi• p• j , ( i, j 1,2, )
4.分布函数 ( x, y) R2
F ( x, y) pij xi x yjy
n
n
则
Ai Ai
Ai Ai
i 1
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《概率论与统计原理》复习资料一、填空题1、设A，B，C为三个事件，则下列事件“B发生而A与C至少有一个发生”，“A，B，C中至少有两个发生”，“A，B，C中至少有一个发生”，“A，B，C中不多于一个发生”，“A，B，C中恰好有一个发生”，“A，B，C中恰好有两个发生”分别可表示为、、、、、。
参考答案：B（A+C，AB+AC+BC，A +B+C，CB+BA+CA，AB C+AC B+A BC，A+CABBA+CBC考核知识点：事件的关系及运算2、从0，1，2，…，9这10个数中可重复取两个数组成一个数码，则“两个数之和为3”、“两个数之和为17”、“两个数相同”的概率分别为、、。
参考答案：，，考核知识点：古典型概率3、同时抛掷3枚均匀的硬币，则3枚正面都向上的概率为，恰好有2枚正面向上的概率为。
参考答案：1/8，3/8考核知识点：古典型概率4、箱中有60个黑球和40个白球，从中任意连接不放回取出k个球，则第k次取出黑球的概率为。
参考答案：考核知识点：古典型概率5、假设某商店获利15万元以下的概率为，获利10万元以下的概率为，获利5万元以下的概率为，则该商店获利5~10万元的概率为，获利10~15万元的概率为。
参考答案：，考核知识点：概率的性质6、设袋中有6个球，其中4白2黑。
用不放回两种方法取球，则取到的两个球都是白球的概率为；取到的两个球颜色相同的概率为；取到的两个球中至少有一个是白球的概率为。
参考答案：，7/15，14/15考核知识点：古典型概率和概率的性质7、设事件A ，B 互不相容，已知P （A ）= ，P （B ）= ，则P （A+B ）= ；P （A +B ）= ；P （A B ）= ；P （B A ）= 。
参考答案：，，，考核知识点：概率的性质8、甲、乙、丙三人各射一次靶子，他们各自中靶与否相互独立，且已知他们各自中靶的概率分别为，，，则恰有一人中靶的概率为 ；至少有一人中靶的概率为 。
参考答案：（1）；（2）考核知识点：事件的独立性9、每次试验的成功率为p （0< p <1），则在5次重复试验中至少成功一次的概率为 。
参考答案：5)1(1p --考核知识点：事件的独立性10、设随机变量X ~N （1，4），则P{0 ≤X ＜}= ；P{X ＜1}= ；P{X =x 0}= 。
参考答案：，，0考核知识点：正态分布，参见P61；概率密度的性质11、设随机变量X ～B （n ，p ），已知E X =，D X =，则n = ，p = 。
参考答案：3，考核知识点：随机变量的数学期望和方差12、设随机变量X 服从参数为（100，）的二项分布，则E X = ， D X = 。
参考答案：20，16考核知识点：随机变量的数学期望和方差13、设随机变量X 服从正态分布N （，），则E X 2= ，D （2X -3）= 。
参考答案：，1考核知识点：随机变量的数学期望和方差及其性质14、设由来自正态总体)9,(2μN 的容量为9的简单随机样本，得样本均值X =5，则未知参数μ的最大似然估计值为 ，μ的置信度为的置信区间为 。
参考答案：5，（，）考核知识点：正态总体参数的极大似然估计以及区间估计15、设由来自正态总体)10,(2μN 的容量为25的简单随机样本，得样本均值X =15，则未知参数μ的最大似然估计值为 ，μ的置信度为的置信区间长度为 。
参考答案：15，考核知识点：正态总体参数的极大似然估计以及区间估计16、从自动车床加工的一批零件中随机抽取了16件，测得零件长度的平均值为2.125cm ，标准差为0.017cm 。
假设零件的长度服从正态分布，则零件长度均值的点估计值为 ；零件长度标准差的点估计值为 ；零件长度标准差的置信区间为 。
参考答案：，，（，）考核知识点：正态总体标准差的点估计以及区间估计17、设总体X 服从正态分布),(2σμN ，从X 中随机抽取一个容量为36的样本，设X 为样本均值，S 2为样本方差。
当总体方差σ2已知时，检验假设H 0：μ=μ0的统计量为 ，当总体方差σ2未知时，检验假设H 0：μ=μ0的统计量为 。
参考答案：36/0σμ-X ，36/0S X μ- 考核知识点：正态总体均值的假设检验18、设总体X 服从正态分布),(2σμN ，从X 中随机抽取一个容量为n 的样本，设S 2为样本方差，则检验假设H 0：202σσ=的统计量为 。
参考答案：2022)1(σχS n -=考核知识点：正态总体方差的假设检验19、假设检验时若增大样本容量，则犯两类错误的概率都将 。
参考答案：减少考核知识点：假设检验的两类错误20、设随机变量X 在区间[1，3] 上服从均匀分布，则X 的概率密度函数为 ；事件 {＜X ＜}的概率为 参考答案：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤其他,031,21x ， 考核知识点：连续型随机变量的密度函数和概率21、设随机变量X ～B （3，），则E X = ，D X = 。
参考答案：，考核知识点：二项分布的数字特征22、总体X 服从正态分布N （μ，σ2），从X 中随机抽取一个容量为n 的样本，X 为样本均值，S 2为样本方差。
当总体方差σ2已知时，假设H 0：μ=μ0的检验统计量为 ，当总体方差σ2未知时，假设H 0：μ=μ0的检验统计量为 。
参考答案：n X /0σμ-，n S X /0μ-考核知识点：假设检验23、对于随机试验：观察一台电脑的使用寿命，则其样本空间可表示为 ；事件“使用寿命超过600小时”可表示为 。
参考答案：（0，+∞）；（600，+∞）考核知识点：随机试验的样本空间24、设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他 ,020 ,cos )(πx x A x f ，则常数A = ，P （6π<X ）= ，X 的分布函数F （x ）= 。
参考答案：1，，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<=212sin 00)(ππx x x A x x F ,0 , , 考核知识点：连续型随机变量的分布函数25、对于随机试验：记录一段时间内某城市110报警次数，则其样本空间可表示为 ；事件“报警次数小于5次”可表示为 。
参考答案：{0，1，2，…}；{0，1，2，3，4}考核知识点：随机试验的样本空间26、同时抛掷3枚均匀的硬币，则恰好有2枚正面都向上的概率为 ，至少有1枚正面向上的概率为 。
参考答案：3/8，7/8考核知识点：古典概率27、从0，1，2，…，9这10个数中可重复取两个数组成一个数码，令X 为两个数之和，则P{X ≤3}＝ 。
参考答案：考核知识点：古典概率28、每次试验的成功率为p （0< p <1），则在3次重复试验中至少失败一次的概率为 。
参考答案：31p -考核知识点：古典概率29、在假设检验中，一般情况下会犯 错误。
参考答案：第一类错误和第二类错误考核知识点：假设检验30、袋中有50个球，其中有20个是红球，其余为白球，不放回抽样从中任取3次，一次取一个球，则第5次取到红球的概率为 。
参考答案：考核知识点：古典概率31、设随机变量X 在区间[2，7] 上服从均匀分布，则随机变量X 的概率密度函数为 ；随机变量X 的分布函数为 ；P{＜X ＜}= 。
参考答案：⎩⎨⎧≤≤=其他,072,2.0)(x x f ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤-<=7,172,522,0)(x x x x x F ， 考核知识点：连续型随机变量的性质32、设随机变量X 服从参数为（100，）的二项分布，则E X = ， D X = 。
参考答案：40，24考核知识点：二项分布的数字特征33、设由来自正态总体)10,(2μN 的容量为25的简单随机样本，得样本均值X =5，则未知参数μ的最大似然估计值为 ，μ的置信度为的置信区间长度为 。
参考答案：5，考核知识点：正态分布的估计值和置信区间34、在假设检验中，第一类错误是指 。
参考答案：原假设本来正确，却被错误地拒绝了考核知识点：假设检验35、袋中有100个球，其中有30个是红球，其余为白球，不放回抽样从中任取4次，一次取一个球，则第二次取到红球的概率为 。
参考答案：考核知识点：古典概率36、设随机变量X 在区间[2，6] 上服从均匀分布，则随机变量X 的概率密度函数为 ；随机变量X 的分布函数为 ；P{＜X ＜}= 。
参考答案： ⎩⎨⎧≤≤=其他,062,25.0)(x x f ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤-<=6,162,422,0)(x x x x x F ， 考核知识点：连续型随机变量的概率37、设随机变量X 服从参数为（10，）的二项分布，则E X = ， D X = 。
参考答案： 6，考核知识点：二项分布的数字特征38、设由来自正态总体)9,(2μN 的容量为25的简单随机样本，得样本均值X =5，则未知参数μ的最大似然估计值为 ，μ的置信度为的置信区间为 。
参考答案： 5，（，）考核知识点：正态分布的估计值和置信区间二、单项选择题1、下列数字中不可能是随机事件概率的是（ ）。
A ．- 1/3B ．0 Ｃ． Ｄ．1参考答案：A考核知识点：概率的公理化定义2、某产品共有10件，其中3件为次品，其余为正品。
用不放回方法从中任取两次，一次一件，则第二次取到的是正品的概率为（ ）。
A ．107B ．103 C ．92 D ．151 参考答案：B考核知识点：古典型概率3、设某厂的甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，记A 1为“产品是由甲车间生产的”， A 2为“产品是由乙车间生产的”， A 3为“产品是由丙车间生产的”， B 为“产品是次品”。
今从即将出厂的该种产品中任取一件，则取到的是甲车间生产的次品的概率为（ ）。
A ．P (C A 1)B ．P (C 2A ) C ．P (B A 2)D ．P (A 1B )参考答案：D考核知识点：概率的表示与条件概率4、设某厂的甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，记A 1为“产品是由甲车间生产的”， A 2为“产品是由乙车间生产的”， A 3为“产品是由丙车间生产的”， B 为“产品是次品”。
今从次品中任取一件，则它是由甲车间生产的的概率为（ ）。
A ．P (C A 1)B ．P (C 2A ) C ．P (B A 2)D ．P (B A 1)参考答案：D考核知识点：概率的表示与条件概率5、任何连续型随机变量的概率密度f (x ) 一定满足（ ）。
A ．1)(0≤≤x fB ．在定义域内单调不减C ．在定义域内右连续D ．⎰∞+∞-=1)(dx x f参考答案：D考核知识点：概率密度的性质6、设随机变量X ~N （2，1002），且P{0<X <4}=，则P{X <0}=（ ）。