排队问题数学建模

这是关于 Pn 的差分方程，也反映出了系统状态的转移关系，即每一状态都 是平衡的，求解得:P1 =(λ /μ )P0 ，递推可得 Pn=(λ /μ )nP0 (n≥1) 由概率的性质知
∞
������ =1，将上式代入λ ������ =0 ������
/μ <1 时可得到
P0 =1-λ /μ ，Pn=(1-λ /μ )(λ /μ )n 因为病人到达规律服从参数为λ 的泊松分布， 诊断时间服从参数为μ 的负指 数分布， 其期望值就分别为λ ， 1/μ 。 所以λ 表示单位时间内平均到达的病人数， μ 表示单位时间内能诊断完的病人数。如果令ρ =λ /μ ，这时ρ 就表示相同时间 内病人到达的平均数与能被诊断的平均数之比， 它是刻画诊断效率和医院利用程 度的重要标志，称ρ 为服务强度。上面在ρ <1 的条件下得到了稳定状态下的概 率 Pn，n=0，1，2，…其实，如果ρ >1，可以证明排队长度将是无限增加的，即 使ρ =1 的情况下，P0(t)也是随时间而变化的，系统达不到稳定状态. 因此，这里 只讨论ρ <1 时情况，从上面的推导知： Pn=(1-ρ ) ρ
Pn(t+△t)+ Pn(t) △t
=λ Pn-1(t)+μ Pn+1(t)-(λ +μ )Pn(t)+ △t
o △t
令△t→0，得:
dPn(t) dt
=λ Pn-1(t)+μ Pn+1(t)-(λ +μ )Pn(t) n=1，2…
当 n=0 时，因为: P0(t+△t)= P0(t)(1-λ △t)+ P1(t)(1-λ △t)μ △t+ o(△t) 所以有:
第九届“新秀杯”
校园数学建模竞赛
摘要
医院有一位医生值班，经长期观察，每小时平均有 4 个病人，医生每小时可 诊断 5 人，病人的到来服从 Poisson 流，诊断时间服从负指数分布。根据题目所 给信息， 可以很明显看出本题是单服务台的排队模型，因此需要用到排队理论来 求解这些问题。 本题需要用到排队理论中最简单的 M/M/1/∞/∞模型，通过对病 人到来及诊断时间的统计研究，得出这些数量指标的统计规律。 针对问题一，通过分析任意时刻 t 内到达的病人数为 n 的概率，使用数学期 望的方法， ，可以得出平均病人数及等待的平均病人数。由题目给出条件病人的 到来服从参数为λ 的泊松分布， 诊断时间服从参数为μ 负指数分布，可以得出病 人的平均看病所需时间及病人平均排队等待时间。以及分析该医院的服务强度， 可以粗略的分析该科室的工作状况。 针对问题二，在问题一的条件基础下，要求 99%的病人有座位。可以先假设 出座位个数， 由于每个时刻病人到来的个数是随机且独立，不可能同时到达两批 病人，考虑到来病人的个数与座位之间的关系，考虑病人数不同时，有座位的概 率不同。 所以用独立事件概率的加法可以得出概率需要大于等于 0.99， 从而反推 出所需座位数。 针对问题三， 分析问题可得，需要求出单位平均损失可以通过题目每小时病 人到来数可以得出平均每天医院到来数。根据问题一结论，可以得出平均看病所 花时间，从而求出每天的平均损失。 针对问题四，只需要利用问题一，问题二，问题三的结论并改变医生每小时 诊断时间，嵌套进来就能求解。
(2)
排队长： （等待的平均病人数）
∞ ∞
������������ =
������ =1
������ − 1 ������ ������ =
������ =1
������ − 1 ������������ 1 − ������ = ������2 /(1 − ������)
=ρλ /(μ-λ) 可以证明，病人在系统中看病时间服从参数为 μ-的负指数分布。因此，有 (3) 系统中病人的平均看病时间：������ ������ = 1/(μ − λ) (4) 系统中病人的平均等待时间：������ ������ = ������ ������ − 1/μ=ρ/(μ − λ)
符号 n Ls Lq Ws Wq λ μ m T Q ρ
意义 任意时刻 t 内到达的病人数（个） 平均病人数（个） 等待的平均病人数（个） 病人的平均看病（包括等待时间）时间(h) 病人平均排队等待时间(h) 单位时间内到达病人的平均数（个/h） 单位时间内能诊断完的病人的平均数（个/h） 座位数（个） 看病耽误的时间(h) 损失的钱(元) 服务强度
P{Y≤Δ t }=1 -e-μ △t=μ Δ t + o(Δ t)，没有被诊断完的概率为 1-μ Δ t + o(Δ t)。 3) 在 t+△t 时刻考虑 n 个病人到来的概率 Pn(t+△t)，△t 足够小的情况下，有以 下 4 种情况： ① t 时刻系统中有 n 个病人到来，没有病人到来且没有病人诊断完毕，其概 率为：[1-λ △t+o(△t)][ 1-μ △t+o(△t)]= (1-λ △t-μ △t)+o(△t)； ② t 时刻系统中有 n+1 个病人到来，没有病人到来且有 1 个病人诊断完毕， 其概率为： [1-λ △t+o(△t)][μ △t+o(△t)]=μ △t+o(△t)； ③ t 时刻系统中有 n-1 个病人到来，有 1 个病人到来且没有病人诊断完毕， 其概率为：[λ △t+o(△t)][1-μ △t+o(△t)]= λ △t+o(△t)； ④ 其他状态的概率为 o(△t)。 由于四种情况相互独立且不可能同时发生， 所以得到系统中有 n 个病人到来的概 率 Pn(t+△t)满足： Pn(t+△t)= Pn(t)(1-λ △t-μ △t)+Pn+1(t)μ △t+Pn-1(t)λ △t+ o(△t) 移项整理，两边同除以△t，得：
以是先到先服务，或后到先服务，或是随机服务和有优先权服务。如果顾客来到 后看到服务机构没有空闲立即离去，则为损失制。有些系统因留给顾客排队等待 的空间有限， 因此超过所能容纳人数的顾客必须离开系统，这种排队规则就是混 合制。本题中不考虑优先制，而是先到先服务，且队伍可以无限长，不考虑容量 问题。 服务机构：可以是一个或多个服务台。多个服务台可以是平行排列的，也可以是 串连排列的。 服务时间一般也分成确定型和随机型两种。 而随机型服务时间 v 则 服从一定的随机分布。 本题的服务台(医生)是有限且唯一的， 诊断时间是随机的， 且服从负指数分布。 排队论主要研究排队系统运行的效率，估计服务质量。因此，研究排队问题，首 先要确定判断系统运行优劣的基本量化指标， 并求出这些指标的概率分布和数学 特征。要研究的系统运行指标主要有： 1、排队模型的表示 X/Y/Z/A/B/C X—顾客相继到达的间隔时间的分布； Y—服务时间的分布； M—负指数分布、D—确定型、Ek—k 阶爱尔兰分布； Z—服务台个数； A—系统容量限制(默认为∞)； B—顾客源数目(默认为∞)； C—服务规则(默认为先到先服务 FCFS)。 2、排队系统的衡量指标 队长 Ls—系统中的顾客总数； 排队长 Lq—队列中的顾客数； 逗留时间 Ws—顾客在系统中的停留时间； 等待时间 Wq—顾客在队列中的等待时间； 忙期—服务机构两次空闲的时间间隔； 服务强度ρ ； 稳态—系统运行充分长时间后， 初始状态的影响基本消失，系统状态不再随时间
二、模型的准备
根据题目所给信息， 可以很明显看出本题是单服务台的排队模型，日常生活 中存在大量有形和无形的排队或拥挤现象，如旅客购票排队，市内电话占线等现 象。 该模型显著特点是： 服务设施是一个或者多个， 需要被服务的人是无限制的， 因此被服务者需要等待一段时间，因此会出现排队现象，被服务者的到来是完全 随机的。 因此排队论又称为随机服务系统理论，它是通过对服务对象到来及服务 时间的统计研究，得出这些数量指标(等待时间、排队长度、忙期长短等)的统计 规律， 然后根据这些规律来改进服务系统的结构或重新组织被服务对象，使得服 务系统既能满足服务对象的需要，又能使机构的费用最经济或某些指标最优。 排队系统又称服务系统。 服务系统由服务机构和服务对象构成。排队系统包 括三个组成部分： 输入过程：考察的是顾客到达服务系统的规律。它可以用一定时间内顾客到达数 或前后两个顾客相继到达的间隔时间来描述，一般分为确定型和随机型两种。本 题是病人随机到达且服从泊松分布。 排队规则：分为等待制、损失制和混合制三种。当顾客到达时，所有服务机构都 被占用，则顾客排队等候，即为等待制。在等待制中，为顾客进行服务的次序可
五、模型建立与解决：
问题 1 模型建立与解决 问题 1 模型建立： 已知病人的到来服从 Poisson 流，即服从参数为λ 的泊松分布，其中λ 表示 单位时间内到达病人的平均数。 医生诊断时间服从参数为μ 的负指数分布， 其中μ 表示单位时间内能诊断完 的病人的平均数。 1) 设任意时刻 t 内到达的病人数为 n 的概率为 Pn(t)， 病人的到来服从泊松分布， 因此单位时间内病人的到达数服从 X~P(λ )，则时间间隔△t 为内病人到来的 数目为 G~P(λ △t)。 则△t 内 1 个病人到达的概率为 P(G=1)=λ △t*e-λ △t=λ △ t+o△t，反之没有病人到达的概率为 P(G=0)=1-λ △t*e-λ △t=1-λ △t+o△t 2) 由于医生的诊断时间 Y~E(μ )，故病人被诊断时，1 个病人被诊断完的概率为
n
n=1,2…
则服务系统的运行指标为：
(1) 队长（平均病人数） ：由于系统的状态为 n 时即系统中有 n 个病人，由期望
的定义得:
∞ ∞
������������ =
������ =0
������������������ =
������ =1
������(1 − ρ ) ρ
��Байду номын сангаас���
=ρ 1−ρ
= λ /(μ − λ )
变化。 3、到达间隔时间与服务时间的分布 泊松分布； 负指数分布； 爱尔兰分布；
Poisson 分布，是一种统计与概率学里常见到的离散概率分布，由法国数学家西莫
恩·德尼·泊松在 1838 年时发表。泊松分布的参数是单位时间(或单位面积)内 随机事件的平均发生率。泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。 泊松分布的期望和方差均为λ 。 负指数分布又称指数分布。泊松事件流的等待时间（相继两次出现之间的间隔） 服从指数分布。 指数函数的一个重要特征是无记忆性。这表示如果一个随机变量 呈指数分布，当 s,t>0 时有 P(T>t+s|T>t)=P(T>s)。即，如果 T 是某一元件的寿命， 已知元件使用了 t 小时，它总共使用至少 s+t 小时的条件概率，与从开始使用时 算起它使用至少 s 小时的概率相等。如果指数分布的参数为λ ，则指数分布的期 望为 1/λ 。 根据以上资料， 解决本题的科室的工作状态问题，只需要运用排队论中最简单的 单服务台， 即 M/M/1/∞/∞模型即可。下面通过对该问题进行排队论模型嵌套进 行求解。
关键字：排队理论 M/M/1/∞/∞模型数学期望 Poisson 流负指数分布
一、问题提出
某单位医院的一个科室有一位医生值班，经长期观察，每小时平均有 4 个病 人，医生每小时可诊断 5 人，病人的到来服从 Poisson 流，诊断时间服从负指数 分布。 (1) 试分析该科室的工作状况： (2) 如要求 99%以上的病人有座，该科室至少设多少座位？ (3) 如果该单位每天 24 小时上班，病人因看病 1 小时而耽误工作单位要损失 30 元，这样单位平均损失多少元？ (4) 如果该科室提高看病速度，每小时平均可诊断 6 人，单位每天可减少损失多 少？可减少多少座位？
dPn(t) dt
= -λ P0(t)+μ P1(t)
对于稳态情形，与 t 无关，其导数为零。因此，得到: λ P������−1 + μ P������ +1 − λ + μ P������ = 0，������ > 1 −λ P0 + μ P1 = 0
问题 1 模型求解： λ P������−1 + μ P������ +1 − λ + μ P������ = 0，������ > 1 −λ P0 + μ P1 = 0
三、模型假设
1. 首先确定医生的接待能力、病人的客源为无限大，且排除医生，病人的心理 因素及插队等意外情况的发生。 2. 排队只排一排，根据先到先得的原则，且每次医生只看一个病人，且每个病 人肯定能得出诊断。 3. 假设每段时间到来的病人数基本稳定，不会出现剧增和很长一段时间无人看 病的问题。
四、符号说明