排队问题数学建模

变化。 3、到达间隔时间与服务时间的分布 泊松分布； 负指数分布； 爱尔兰分布；
Poisson 分布，是一种统计与概率学里常见到的离散概率分布，由法国数学家西莫
恩·德尼·泊松在 1838 年时发表。泊松分布的参数是单位时间(或单位面积)内 随机事件的平均发生率。泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。 泊松分布的期望和方差均为λ 。 负指数分布又称指数分布。泊松事件流的等待时间（相继两次出现之间的间隔） 服从指数分布。 指数函数的一个重要特征是无记忆性。这表示如果一个随机变量 呈指数分布，当 s,t>0 时有 P(T>t+s|T>t)=P(T>s)。即，如果 T 是某一元件的寿命， 已知元件使用了 t 小时，它总共使用至少 s+t 小时的条件概率，与从开始使用时 算起它使用至少 s 小时的概率相等。如果指数分布的参数为λ ，则指数分布的期 望为 1/λ 。 根据以上资料， 解决本题的科室的工作状态问题，只需要运用排队论中最简单的 单服务台， 即 M/M/1/∞/∞模型即可。下面通过对该问题进行排队论模型嵌套进 行求解。
P{Y≤Δ t }=1 -e-μ △t=μ Δ t + o(Δ t)，没有被诊断完的概率为 1-μ Δ t + o(Δ t)。 3) 在 t+△t 时刻考虑 n 个病人到来的概率 Pn(t+△t)，△t 足够小的情况下，有以 下 4 种情况： ① t 时刻系统中有 n 个病人到来，没有病人到来且没有病人诊断完毕，其概 率为：[1-λ △t+o(△t)][ 1-μ △t+o(△t)]= (1-λ △t-μ △t)+o(△t)； ② t 时刻系统中有 n+1 个病人到来，没有病人到来且有 1 个病人诊断完毕， 其概率为： [1-λ △t+o(△t)][μ △t+o(△t)]=μ △t+o(△t)； ③ t 时刻系统中有 n-1 个病人到来，有 1 个病人到来且没有病人诊断完毕， 其概率为：[λ △t+o(△t)][1-μ △t+o(△t)]= λ △t+o(△t)； ④ 其他状态的概率为 o(△t)。 由于四种情况相互独立且不可能同时发生， 所以得到系统中有 n 个病人到来的概 率 Pn(t+△t)满足： Pn(t+△t)= Pn(t)(1-λ △t-μ △t)+Pn+1(t)μ △t+Pn-1(t)λ △t+ o(△t) 移项整理，两边同除以△t，得：
三、模型假设
1. 首先确定医生的接待能力、病人的客源为无限大，且排除医生，病人的心理 因素及插队等意外情况的发生。 2. 排队只排一排，根据先到先得的原则，且每次医生只看一个病人，且每个病 人肯定能得出诊断。 3. 假设每段时间到来的病人数基本稳定，不会出现剧增和很长一段时间无人看 病的问题。
四、符号说明
五、模型建立与解决：
问题 1 模型建立与解决 问题 1 模型建立： 已知病人的到来服从 Poisson 流，即服从参数为λ 的泊松分布，其中λ 表示 单位时间内到达病人的平均数。 医生诊断时间服从参数为μ 的负指数分布， 其中μ 表示单位时间内能诊断完 的病人的平均数。 1) 设任意时刻 t 内到达的病人数为 n 的概率为 Pn(t)， 病人的到来服从泊松分布， 因此单位时间内病人的到达数服从 X~P(λ )，则时间间隔△t 为内病人到来的 数目为 G~P(λ △t)。 则△t 内 1 个病人到达的概率为 P(G=1)=λ △t*e-λ △t=λ △ t+o△t，反之没有病人到达的概率为 P(G=0)=1-λ △t*e-λ △t=1-λ △t+o△t 2) 由于医生的诊断时间 Y~E(μ )，故病人被诊断时，1 个病人被诊断完的概率为
关键字：排队理论 M/M/1/∞/∞模型数学期望 Poisson 流负指数分布
一、问题提出
某单位医院的一个科室有一位医生值班，经长期观察，每小时平均有 4 个病 人，医生每小时可诊断 5 人，病人的到来服从 Poisson 流，诊断时间服从负指数 分布。 (1) 试分析该科室的工作状况： (2) 如要求 99%以上的病人有座，该科室至少设多少座位？ (3) 如果该单位每天 24 小时上班，病人因看病 1 小时而耽误工作单位要损失 30 元，这样单位平均损失多少元？ (4) 如果该科室提高看病速度，每小时平均可诊断 6 人，单位每天可减少损失多 少？可减少多少座位？
n
n=1,2…
则服务系统的运行指标为：
(1) 队长（平均病人数） ：由于系统的状态为 n 时即系统中有 n 个病人，由期望
的定义得:
∞ ∞
������������ =
������ =0
������������������ =
������ =1
����� 1−ρ
= λ /(μ − λ )
dPn(t) dt
= -λ P0(t)+μ P1(t)
对于稳态情形，与 t 无关，其导数为零。因此，得到: λ P������−1 + μ P������ +1 − λ + μ P������ = 0，������ > 1 −λ P0 + μ P1 = 0
问题 1 模型求解： λ P������−1 + μ P������ +1 − λ + μ P������ = 0，������ > 1 −λ P0 + μ P1 = 0
(2)
排队长： （等待的平均病人数）
∞ ∞
������������ =
������ =1
������ − 1 ������ ������ =
������ =1
������ − 1 ������������ 1 − ������ = ������2 /(1 − ������)
=ρλ /(μ-λ) 可以证明，病人在系统中看病时间服从参数为 μ-的负指数分布。因此，有 (3) 系统中病人的平均看病时间：������ ������ = 1/(μ − λ) (4) 系统中病人的平均等待时间：������ ������ = ������ ������ − 1/μ=ρ/(μ − λ)
Pn(t+△t)+ Pn(t) △t
=λ Pn-1(t)+μ Pn+1(t)-(λ +μ )Pn(t)+ △t
o △t
令△t→0，得:
dPn(t) dt
=λ Pn-1(t)+μ Pn+1(t)-(λ +μ )Pn(t) n=1，2…
当 n=0 时，因为: P0(t+△t)= P0(t)(1-λ △t)+ P1(t)(1-λ △t)μ △t+ o(△t) 所以有:
第九届“新秀杯”
校园数学建模竞赛
摘要
医院有一位医生值班，经长期观察，每小时平均有 4 个病人，医生每小时可 诊断 5 人，病人的到来服从 Poisson 流，诊断时间服从负指数分布。根据题目所 给信息， 可以很明显看出本题是单服务台的排队模型，因此需要用到排队理论来 求解这些问题。 本题需要用到排队理论中最简单的 M/M/1/∞/∞模型，通过对病 人到来及诊断时间的统计研究，得出这些数量指标的统计规律。 针对问题一，通过分析任意时刻 t 内到达的病人数为 n 的概率，使用数学期 望的方法， ，可以得出平均病人数及等待的平均病人数。由题目给出条件病人的 到来服从参数为λ 的泊松分布， 诊断时间服从参数为μ 负指数分布，可以得出病 人的平均看病所需时间及病人平均排队等待时间。以及分析该医院的服务强度， 可以粗略的分析该科室的工作状况。 针对问题二，在问题一的条件基础下，要求 99%的病人有座位。可以先假设 出座位个数， 由于每个时刻病人到来的个数是随机且独立，不可能同时到达两批 病人，考虑到来病人的个数与座位之间的关系，考虑病人数不同时，有座位的概 率不同。 所以用独立事件概率的加法可以得出概率需要大于等于 0.99， 从而反推 出所需座位数。 针对问题三， 分析问题可得，需要求出单位平均损失可以通过题目每小时病 人到来数可以得出平均每天医院到来数。根据问题一结论，可以得出平均看病所 花时间，从而求出每天的平均损失。 针对问题四，只需要利用问题一，问题二，问题三的结论并改变医生每小时 诊断时间，嵌套进来就能求解。
二、模型的准备
根据题目所给信息， 可以很明显看出本题是单服务台的排队模型，日常生活 中存在大量有形和无形的排队或拥挤现象，如旅客购票排队，市内电话占线等现 象。 该模型显著特点是： 服务设施是一个或者多个， 需要被服务的人是无限制的， 因此被服务者需要等待一段时间，因此会出现排队现象，被服务者的到来是完全 随机的。 因此排队论又称为随机服务系统理论，它是通过对服务对象到来及服务 时间的统计研究，得出这些数量指标(等待时间、排队长度、忙期长短等)的统计 规律， 然后根据这些规律来改进服务系统的结构或重新组织被服务对象，使得服 务系统既能满足服务对象的需要，又能使机构的费用最经济或某些指标最优。 排队系统又称服务系统。 服务系统由服务机构和服务对象构成。排队系统包 括三个组成部分： 输入过程：考察的是顾客到达服务系统的规律。它可以用一定时间内顾客到达数 或前后两个顾客相继到达的间隔时间来描述，一般分为确定型和随机型两种。本 题是病人随机到达且服从泊松分布。 排队规则：分为等待制、损失制和混合制三种。当顾客到达时，所有服务机构都 被占用，则顾客排队等候，即为等待制。在等待制中，为顾客进行服务的次序可
符号 n Ls Lq Ws Wq λ μ m T Q ρ
意义 任意时刻 t 内到达的病人数（个） 平均病人数（个） 等待的平均病人数（个） 病人的平均看病（包括等待时间）时间(h) 病人平均排队等待时间(h) 单位时间内到达病人的平均数（个/h） 单位时间内能诊断完的病人的平均数（个/h） 座位数（个） 看病耽误的时间(h) 损失的钱(元) 服务强度