群论与量子力学

群论与哈密顿算符

哈密顿算符的变换性质：

设哈密顿算符为 ()H

r ，有一函数f （r ）, 存在()()()g r H r f r =

由于1

()()()R

g r P g Rr g R Rr -==

()()()g Rr H Rr f Rr =

由此得

1()()()()()()R R R

H r f r p H Rr f Rr p H Rr p f r -== 因此

1()()R R

H r P H Rr P -= （1-1） 由于11

,R E R R E R p p p p p p --==

则11

R

R p p --=

这样（1-1）可表示为

1

()()R R

H r p H Rr p -= （1-2） 如果系统在经受一个变换R 之后，哈密顿算符的形式不变，即Rr=r

而 ()()H

Rr H r =则（1-2）变为 ()()R R

H r P P H r = 上式表明，当系统的哈密顿算符在R 的做用下不变时，则它与R 相应的函数变换算符P R 对易。

哈密顿算符的群(薛定谔方程的群)：使哈密顿算符不变的所有变换{R}组成一个群。（{P R }与{R}一一对应，其组成的群亦是哈密顿算符的群）

有了以上结论和定义进行进一步讨论——— 晶体单电子的薛定谔方程是

H

E ϕϕ=

其中 ()2

2

()2H

r V r m

=-∇+

我们知道V （r ）是十分难以精确获得的函数。但是，由于v （r ）的对称性与晶格的对称性是相同的，所以，在晶体的对称性群的作用下，v （r ）不变，即R ∈G ，有V （Rr ）=V （r ）又由于算符2∇亦是不变的，因此

()()H Rr H r =

这表明晶体的对称群就是晶体单电子薛定谔方程的群。

（晶体单电子薛定谔方程的群的基函数可作为晶体的对称群的基函数）

H （r ）的本征函数与基函数：

（1）H （r ）的具有相同本征值的本征函数，构成薛定谔方程群G 的一个表示的基函数——

设E 是H （r ）的L 重简并的本征值，于是，相应于这个本征值E ，有一套线性无关的本征函数{()}n r ϕ存在，满足方程

()(),(1,2,,)n n

H r E r n l ϕϕ== 取G 中任一元P R ，作用于上式两边，则

()()R n R n

H P r EP r ϕϕ= 上式表明，函数()R n P r ϕ同样也是H （r ）的具有本征值E 的一个本征

函数，由于E 是L 重简并的，所以，本征函数()R n P r ϕ必然是L 个本征函数{()}n r ϕ的线性组合，即

1

()()

()l

R n m n

m m P r D R r ϕϕ==

∑ （1-3）

对每一个n （1—L ）都成立。上式确定了L*L 个()D R mn 从而确定了一个L*L 的方矩阵D(R)，下面证明，以这种方法确定的矩阵{D(R)}是薛定谔方程群的表示—— 取群G 中任意元P R .P S 由式（1-3）得

11

1

()()

()

()()

()

()()()

()

l

R p m p

m m l

R n pn

p p l

R s n RS n m n

m m P r D R r P r D S r P P r P r D R S r ϕϕϕϕϕϕϕ=====

==

∑∑∑

上式左边亦可表为

1

1

1

()()()()

()l

l

l

R pn p pn

m p

m p p m P D S r D S D R r ϕϕ====

∑∑∑

1

1[()

()]()l

l

pn

m p m m p D S D R r ϕ===

∑∑

1

()

()l

mn

m m D RS r ϕ==

∑

由上述两式可知当P R P S =P RS 时，有 D （R ）D （R ）=D （RS ） 于是得证。

（H （r ）的具有相同本征值的本征函数，构成薛定谔方程群G 的一

个表示的基函数）

已知群G 的一个不可约表示的一组基函数，那么他是否与H （r ）的本征波函数存在某种关系？————

（2）群G 的不可约表示的基函数是H （r ）的本征函数，则必属于同一能量本征值。

设{()}n r ϕ是群G 的一组不可约表示基函数，如果知道有一个()t r ϕ是 H （r ）的本征函数，则

()()t t

H r E r ϕϕ= 又由于

()()R t R t

H P r EP r ϕϕ= ()R t P r ϕ也是本征函数，而

()()R t j

jt j

P r D R ϕϕ

=

∑

同样

()()R t l lt

l

P r D

S ϕϕ=

∑

也是本征函数，通过所有对称操作的作用，能得到一组方程，把()t r ϕ与其他函数联系起来（同一组不可约表示基性质），由此可将{()}n r ϕ表示成(),()R t S t P r P r ϕϕ等的线性组合，从而证明它们都是H （r ）的本征函数，且对应于同一能量本征值。

属于同一本征能量的波函数的全体是否一定属于一个不可约表示？

是（1.完全考虑体系的对称性2.无偶然简并）