弯曲度的计算.pdf
弯曲角计算公式(二)
弯曲角计算公式(二)弯曲角计算公式1. 弧度制转度数制公式•弯曲角度数 = 弯曲角度弧度* 180 / π•弯曲角度弧度 = 弯曲角度度数* π / 180例子：如果一个弯曲角度弧度为π/4，那么它的度数为多少呢？弯曲角度度数= π/4 * 180 / π = 45°2. 两个直线之间的弯曲角度计算公式•弯曲角度 = 弧度制（sin^(-1)(AB / AC)）–AB 为直线AB的长度–AC 为直线AC的长度例子：假设直线AB的长度为5，直线AC的长度为8，那么它们之间的弯曲角度是多少？弯曲角度 = sin^(-1)(5 / 8) ≈ °3. 弯曲线圆心角计算公式•弯曲线圆心角 = 2 * 弧度制（sin^(-1)(AC / (2 * R))）–AC 为弯曲线的弦长–R 为弯曲线的半径例子：一个弯曲线的弦长为10，半径为5，那么它的圆心角是多少？弯曲线圆心角= 2 * sin^ / (2 * 5)) ≈ °4. 曲线弧长计算公式•曲线弧长 = 弯曲线圆心角* R * π / 180–弯曲线圆心角为度数例子：一个弯曲线的圆心角为90°，半径为6，那么它的弧长是多少？曲线弧长= 90 * 6 * π / 180 ≈5. 切线与切线之间的弯曲角计算公式•弯曲角度 = 弧度制（cos(-1)((AB2 + BC^2 - AC^2) / (2 * AB * BC))）–AB 为切线AB的长度–BC 为切线BC的长度–AC 为连线AC的长度例子：假设切线AB的长度为3，切线BC的长度为4，连线AC的长度为5，那么它们之间的弯曲角度是多少？弯曲角度 = cos^^2 + 4^2 - 5^2) / (2 * 3 * 4)) ≈ °以上列举了几个常用的弯曲角度计算公式及其对应的例子，希望能对你有所帮助。
弯曲值长度计算公式
弯曲值长度计算公式
1、180度弯钩的计算
钢筋的直径为d,弯曲直径为D。
按照外皮计算钢筋的长度：L1=AE水平段的长度+CD水平段长度=300+3d
按照中轴线计算钢筋的长度：L2=AB水平段长度+BC段弧长+CD段水平长度=300-D/2-d+0.01745*（D/2+d/2）*180+3d=300+6.25d,弯曲调整值=L1-L2=3.25d
2、90度弯钩的计算
钢筋的直径为d,弯曲直径为D。
按照外皮计算钢筋的长度：L1=300+100
按照中轴线计算钢筋的长度：L2=AB水平段长度+BC段弧长+CD段竖直长度=300-D/2-d+0.01745*（D/2+d/2）*90+100-D/2-d=300+100-1.75d，弯曲调整值=L1-L2=1.75d
3、135度弯钩的计算
钢筋的直径为d,弯曲直径为D。
按照外皮计算钢筋的长度：L1=300+10d
按照中轴线计算钢筋的长度：L2=AB水平段长度+BD段弧长+DE段长度=300-D/2-d+0.01745*（D/2+d/2）*135+10d=300+10d+1.9d，弯曲调整值=L1-L2=1.9d。
弯曲度的计算.pdf
(+) l/2
x
(-)
(d)
M (+)
(e) x
图 20-12
由式（a）知剪力图为一斜直线，确定两点：x = 0 处， Q = 1 ql ；x = l 处，Q = − 1 ql ，
2
2
即可绘出剪力图[图 20-12（d）]。Q 图在梁跨中点经过横坐标轴，在此截面 Q 值为零。
由式（b）知，M 是 x 的二次函数，因此弯矩图为一抛物线，至少应由三点（包括 顶点）来确定。梁端处（即 x = 0 及 x = l 时）的弯矩均为零，由于载荷对称，抛物线顶点
第二十章 弯曲的强度计算
第一节 概述
如图 20-1 所示的车轴，图 20-2 所示的桥式吊车梁，以及桥梁中的主梁，房屋建筑 中的梁等。受力后这些直杆的轴线将由原来的直线弯成曲线，这种变形称为弯曲。以弯 曲变形为主的杆件通常称为梁。
d2 d1
a
l
P/2
b
a P/2
P/2
YA
A
YB P/2 B
图 20-1
二、悬臂梁
图 20-5（a）所示摇臂钻床的悬臂，一端套在立柱上，另一端自由。空车时悬臂除 受自重外，还有立轴箱的重力作用而产生弯曲。由于立柱的刚性较大，且悬臂套在立柱 上也有一定的长度，使悬臂左端可简化为固定端，这样就得到如图 20-5（b）所示的计 算简图。这种一端固定，另一端为自由的梁，称为悬臂梁。
综上所述，绘制梁的剪力图和弯矩图的步骤是：画计算简图；求支座反力；列剪力
方程和弯矩方程；根据剪力和弯矩方程的特性，计算必要的几个截面上的剪力和弯矩值，
按适当的比例分别描点作出 Q 图、M 图，并标出最大弯矩和剪力的数值及其所在截面位 置。
三点弯曲实验 角度计算公式
三点弯曲实验角度计算公式《三点弯曲实验：深度解析角度计算公式》1. 介绍三点弯曲实验是一种常见的材料力学测试方法，通过在材料上施加力以产生弯曲应力和应变，从而评估材料的强度和韧性。
在进行三点弯曲实验时，计算弯曲角度对于评估材料性能至关重要。
在本文中，我们将深入探讨三点弯曲实验中的角度计算公式，从而更好地理解这一测试方法的原理和应用。
2. 角度计算公式在进行三点弯曲实验时，我们需要计算材料在加载过程中的弯曲角度。
这一角度可以通过以下公式进行计算：\[ \theta = \frac{{PL^2}}{{2EI}} \]在这个公式中，θ代表弯曲角度，P代表加载力，L代表支撑距离，E代表杨氏模量，I代表惯性矩。
这一公式为理论计算公式，通过该公式可以得出材料在三点弯曲实验中的弯曲角度。
3. 深入解析3.1 弯曲角度与加载力的关系根据角度计算公式可知，弯曲角度与加载力成正比，即加载力越大，材料的弯曲角度也会增加。
这一关系反映了材料在承受外力时的变形情况，通过对加载力和弯曲角度的关系进行分析，可以更好地评估材料的强度和变形能力。
3.2 弯曲角度与支撑距离的关系另弯曲角度与支撑距离的平方成正比。
这意味着支撑距离的变化会直接影响材料的弯曲角度。
在进行实际的三点弯曲实验时，需要考虑支撑距离对于弯曲角度的影响，从而得到更准确的测试结果。
3.3 其他因素的影响除了加载力和支撑距离，杨氏模量和惯性矩也是影响弯曲角度的重要因素。
杨氏模量反映了材料的刚度，惯性矩则反映了材料在弯曲过程中的分布情况。
在进行三点弯曲实验时，需要全面考虑这些因素对于弯曲角度的影响，从而得出准确的测试结果。
4. 个人观点和理解三点弯曲实验作为一种重要的材料力学测试方法，对于评估材料性能具有重要意义。
深入理解角度计算公式，可以帮助我们更好地掌握三点弯曲实验的原理和应用，从而为材料的设计和选择提供重要参考。
我个人认为在进行三点弯曲实验时，需要综合考虑各种因素对于弯曲角度的影响，以得出准确的测试结果，这对于材料工程领域具有重要意义。
第 8 章 弯曲刚度
例题 8-2
F
A
a
q
a
C
叠加法求A截面 B 的转角和C截面 的挠度. 解：
B
Fa 2 FA 4 EI
Fa 3 w FC 6 EI
F
A
a
=
FA C
wFC
a
q
+
B
A
a
qA C
wqC
a
qa 3 qA 3 EI 5 qa4 w qC 24 EI
d w M 2 EI dx
2
w
d 2w 0,M 0 2 dx M M
d 2w 0,M 0 2 dx
M M
本书所采 用的情况
x
x
d w M 2 EI dx
2
w
d w M 2 EI dx
2
使用条件：弹性范围内工作的细长梁。
EIw( x ) M ( x )
EIw( x ) M ( x )dx C 1
41ql 4 24 EI
§6 简单静不定梁
q
A
FAy
a
C
a
B
FBy
F
y
0 , FAy FBy 2qa 0.
0 , FBy 2a 2qa a 0.
M
A
1.静定梁：梁的未知力个数等于独立静力方程的个数 利用静力平衡方程就可以求出所有的未知力。
q
A
FAy
a
C
§2 小挠度微分方程及其积分 一、 小挠度微分方程
1 M( x ) ( x ) EI z
曲率与弯矩的关系
B
1 3 2 ( x ) 2 dw 1 dx d 2w dx 2
工程力学第9章 梁弯曲时的刚度计算
w
x
qx
F
x
9.1 挠曲线近似微分方程
9.1.2 挠度和转角的关系
◆挠曲线方程 ： w f x
w
挠曲线
w
x
qx
F
x
tan dw
dx
dw
dx
9.1.3 挠曲线近似微分方程
一、挠曲线的曲率公式
1M EI
1
x
M x
EI
d2w
1
x
6EI 2l
l 2
2l 2
l 2
2
11Fl3 96EI
未知约束力单独作用引起的B处挠度
wB FB
FB 2l 3
48EI
FBl 3 6EI
将上述结果代入式（b），得到补充方程
11Fl3 FBl3 0 96EI 6EI
w Mex x2 l2 6EIl
（c）
Me 3x2 l2 6EIl
（d）
（4）计算最大挠度与截面的转角
作出梁的弯矩图如下图所示，全梁弯矩为正。其最大 挠度处的转角为零。故由式（c）有
dw Me 3x2 l2 0 dx 6EIl
从而得最大挠度所在截面的坐标为
2
在集中力 F 单独作用下，大梁跨度中点C的挠度由教材表
7–1第5栏中查出为
wC
F
Fl 3 48EI
将以上结果叠加，即得在均布载荷 和q 集中力 的F 共同作用
下，大梁跨度中点C的挠度
弯头计算公式范文
弯头计算公式范文1.弯头尺寸计算公式：弯头的尺寸计算主要包括外径、内径和弯曲半径的计算。
为了简化计算过程，通常使用标准的弯头系列尺寸。
外径（OD）的计算公式为：OD=D+K其中，OD表示弯头的外径，D表示管道的外径，K为弯头的系列尺寸。
内径（ID）的计算公式可以根据弯头的弯曲角度不同分为两种情况：1）90度弯头的内径计算公式为：ID=D-2S其中，ID表示弯头的内径，D表示管道的外径，S表示弯头的厚度。
2）非90度弯头的内径计算公式为：ID = D - S - (0.5 × Tan(A)) × R其中，ID表示弯头的内径，D表示管道的外径，S表示弯头的厚度，A表示弯头的角度，R表示弯头的弯曲半径。
弯头的弯曲半径（R）是一个重要的参数，它决定了弯头管件的大小和曲率。
弯曲半径的计算公式可以根据弯头的弯曲角度不同分为两种情况：1）90度弯头的弯曲半径计算公式为：R=D/2其中，R表示弯头的弯曲半径，D表示管道的外径。
2）非90度弯头的弯曲半径计算公式为：R = (D/2) × (1/Tan(A/2))其中，R表示弯头的弯曲半径，D表示管道的外径，A表示弯头的角度。
2.弯头角度计算公式：弯头角度的计算是指在给定的管道长度限制下，计算弯头的角度。
弯头的角度计算公式可以通过以下步骤进行计算：1）根据给定的管道长度和弯头弯曲半径，计算弯头的半径角度：α = Cos⁻¹((L - R)/R)其中，α表示弯头的半径角度，L表示给定的管道长度，R表示弯头的弯曲半径。
2）根据弯头的半径角度，计算弯头的角度：A=2α其中，A表示弯头的角度。
通过以上的弯头尺寸计算公式和弯头角度计算公式，可以方便地计算出弯头的尺寸和角度。
这些公式可以帮助工程师和设计师在管道系统设计中正确选择和安装弯头管件，以确保管道的正常运行和节省成本。
弯曲挠度公式
挠度计算公式
挠度计算公式一览表
梁挠度的计算公式是什么？1、在跨中单个荷载F作用下的挠度是：F*L^3/(48 EI)
2、在均不荷载q作用下的挠度是：5*q*L^4/(384EI)
3、在各种荷载作用下，利用跨中弯矩M可以近似得到统一的跨中挠度计算公式：0.1*M*L^2/(EI)，自己可以去核实下上面的两个公式
简支梁在各种荷载作用下跨中最大挠度计算公式：
均布荷载下的最大挠度在梁的跨中，其计算公式：
Ymax=5ql^4/(384EI).
式中：Ymax为梁跨中的最大挠度（mm）.
q为均布线荷载标准值（kn/m）.
E为钢的弹性模量，对于工程用结构钢，E=2100000N/mm^2.
I为钢的截面惯矩，可在型钢表中查得（mm^4）.
跨中一个集中荷载下的最大挠度在梁的跨中，其计算公式：
Ymax=8pl^3/(384EI)=1pl^3/(48EI).
式中：Ymax为梁跨中的最大挠度（mm）.
p为各个集中荷载标准值之和（kn）.。
圆管折弯计算公式
圆管折弯计算公式
1.弯曲半径计算公式：
圆管折弯半径决定了圆管的弯曲程度，也是圆管弯曲后曲率变化的程度。
弯曲半径的计算公式如下：
R = (D - K * t) / (2 * sin(a / 2))
其中，R为弯曲半径，D为圆管直径，K为弯曲因数，t为圆管壁厚，
a为弯曲角度。
2.弯曲角度计算公式：
弯曲角度是指圆管在折弯过程中的转角。
弯曲角度的计算公式如下：a=(L*180)/(π*D)
其中，a为弯曲角度，L为圆管折弯弧长，D为圆管直径，π为圆周率。
3.弯曲长度计算公式：
弯曲长度是指圆管经过折弯后的曲线长度。
弯曲长度的计算公式如下：L=R*a*(π/180)
其中，L为弯曲长度，R为弯曲半径，a为弯曲角度，π为圆周率。
4.最小折弯半径计算公式：
最小折弯半径是指在折弯过程中，圆管允许的最小弯曲半径。
最小折
弯半径的计算公式如下：
Rmin = 1.5 * t
其中，Rmin为最小折弯半径，t为圆管壁厚。
5.最小卷曲直径计算公式：
最小卷曲直径是指圆管弯曲后能够保持形状的最小直径。
最小卷曲直径的计算公式如下：
Dmin = D + 2 * t
其中，Dmin为最小卷曲直径，D为圆管直径，t为圆管壁厚。
以上是几种常见的圆管折弯计算公式，根据具体的折弯要求和工艺需求，可选择合适的公式进行计算。
同时，在实际操作过程中还需要考虑材料的性质、弹性变形、弯曲工艺参数等因素，以确保圆管折弯的质量和效果。
曲轴弯曲度测量公式
曲轴弯曲度测量公式
曲轴是内燃机的重要零部件之一，其作用是将活塞的上下往复运
动转化为旋转运动，从而驱动发动机的各种系统。
但是在使用过程中，曲轴可能会出现弯曲现象，这会影响到其工作效率和寿命。
因此，对
曲轴弯曲度进行测量至关重要。
曲轴弯曲度测量公式如下：弯曲度L=K（B-A）式中，L表示曲
轴弯曲度，K表示比例系数，B和A分别表示曲轴两端的偏差值。
那么，如何进行曲轴弯曲度的测量呢？
首先，要保证曲轴在测量时处于油底的状态，避免曲轴不稳定。
其次，要选择合适的测量工具，一般采用比较仪、静力测量仪等，精确度高。
最后，在测量前，应将曲轴表面进行清洁处理，以便更好地进行
检测。
在进行曲轴弯曲度的测量时，除了要注意以上几点，还需要掌握
相关的知识和技能，如测量技巧、器材维护等。
总之，曲轴弯曲度测量公式虽然简单，但是对于提高曲轴使用时
的效率和寿命非常重要。
在实际操作中，要认真对待每个细节，提高
测量的准确性，才能达到最佳的使用效果。
弯曲度 定义
弯曲度是指物体在受到外力作用时，其形状发生的变化程度。
在物理学中，弯曲度通常用来描述物体的形变状态，例如弹簧、金属杆等材料在受力后会发生弯曲变形，其弯曲度就是描述这种变形程度的物理量。
弯曲度的计算公式为：
弯曲度 = 最大弯曲距离 / 原长
其中，最大弯曲距离是指物体在受力后发生的最大幅度的形变距离，原长是指物体未受力时的长度。
在实际生活中，弯曲度的应用非常广泛。
例如，桥梁的设计需要考虑风力、车辆荷载等因素对桥梁结构的影响，因此需要对桥梁的弯曲度进行计算和控制；汽车悬挂系统的设计也需要考虑到路面不平对车轮产生的影响，因此需要对悬挂系统的弯曲度进行优化设计。
此外，在建筑、机械制造等领域中，弯曲度的计算和控制也是非常重要的。
需要注意的是，不同材料的弯曲度是不同的。
例如，金属材料具有较高的弹性模量和屈服强度，因此在受到相同大小的力时，其弯曲度较小；而塑料等材料则具有较低的弹性模量和屈服强度，因此在受到相同大小的力时，其弯曲度较大。
因此，在进行弯曲度的计算和控制时，需要根据具体的材料特性进行调整和优化。
角钢弯曲度
角钢弯曲度
角钢的弯曲度取决于许多因素，包括角钢的几何形状、材料的强度和弹性模量以及施加在角钢上的力的位置和大小等。
在一些情况下，角钢的弯曲度可以通过以下公式计算：
弯曲度 = (加载的力 * 距离) / (材料的弹性模量 * 截面惯性矩)
其中，加载的力是施加在角钢上的力，距离是加载力的作用位置距离角钢的中心线的距离，材料的弹性模量是角钢材料的弹性恢复能力的度量值，截面惯性矩是角钢截面形状的特征参数，可以用来描述截面形状对弯曲性能的贡献。
需要注意的是，角钢的弯曲度也受到材料强度的限制。
如果所施加的力过大，可能会导致角钢超过其强度极限而发生破裂或变形。
因此，在工程设计中，需要对角钢的弯曲度进行合理估计，并根据设计要求选择合适的角钢材料和尺寸。
此外，还应根据具体情况进行实际测试和验证，以确保角钢在使用过程中能够满足预期的要求。
第七章 弯曲——弯曲位移
EIy = − ∫ [ ∫ M ( x)dx]dx + Cx +D
式中C, D 由梁支座处的已知位移条件 即位移边界条件确定。 弯矩方程分n段时，积分常数个数为 2n 个 由边界条件确定的方程需要2n个 方法的局限性：外力复杂或多跨静定梁时计算量过大
EIy ′ = EI θ = − ∫ M ( x ) dx +C
第七章 弯曲--弯曲位移部分
(Displacements of Bending Beam)
§7-7 梁的位移─挠度及转角
在工程中，对某些受弯构件，除要 求具有足够的强度外，还要求变形不能 过大，即要求构件有足够的刚度，以保 证正常工作。
摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大， 就会影响零件的加工精度，甚至会出现废品。
Fb ( l 2 − b 2 ) Fb 3 F ( x − a )3 y2 = − x− x + 6 EIl 6 EIl 6 EI
受任意荷载的简支梁，只 要挠曲线上没有拐点，均 可近似地将梁中点的挠度 作为最大挠度。
F
a A x C D b B
x
y
l
例4：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁
的转角方程、挠曲线方程，并确定θmax和ymax。
挠曲线近似微分方程
1、挠曲线方程(deflection equation)
曲线 y = f (x) 的曲率为
y′′ κ=± 2 3/ 2 ′ (1 + y )
梁纯弯曲时中性层的曲率：
M ( x) 1 = ρ ( x) EI z
M ( x) 1 = ρ( x) EI z
1 y′′ κ= =± ≈ ± y′′ 2 3/ 2 (1 + y′ ) ρ( x)
钝角圆弧折弯计算公式
钝角圆弧折弯计算公式在金属加工行业中，折弯是一种常见的加工工艺，通过对金属板材进行折弯，可以制作出各种形状的零件和构件。
而钝角圆弧折弯则是其中一种特殊的折弯形式，它在一些特定的场合下具有重要的应用价值。
在进行钝角圆弧折弯时，需要根据具体的工件尺寸和要求来计算折弯的参数，以确保折弯后的工件符合设计要求。
本文将介绍钝角圆弧折弯的计算公式及其应用。
1. 钝角圆弧折弯的特点。
钝角圆弧折弯是指在金属板材的折弯处设置有一个钝角圆弧的折弯形式。
与普通的直角折弯相比，钝角圆弧折弯在一些情况下具有更好的机械性能和美观性。
例如，在一些需要减少应力集中和增加工件强度的场合，采用钝角圆弧折弯可以更好地满足工程要求。
此外，钝角圆弧折弯还可以减少工件的划痕和变形，提高工件的使用寿命。
2. 钝角圆弧折弯的计算公式。
在进行钝角圆弧折弯时，需要计算出折弯的内外模具尺寸、弯曲力和弯曲角度等参数。
下面将介绍钝角圆弧折弯的计算公式。
（1）内外模具尺寸的计算公式。
在进行钝角圆弧折弯时，内外模具的尺寸是非常重要的参数。
内模具的尺寸应该略大于工件的厚度，以确保工件能够完全填充模具腔。
外模具的尺寸则需要根据工件的折弯半径和角度来计算。
一般来说，外模具的长度可以通过以下公式来计算：L = π R (θ/180)。
其中，L为外模具的长度，R为折弯半径，θ为折弯角度。
通过这个公式可以快速计算出外模具的尺寸，从而为折弯操作提供参考。
（2）弯曲力的计算公式。
在进行钝角圆弧折弯时，需要施加一定的弯曲力才能将金属板材进行折弯。
弯曲力的大小与工件的材料、厚度、折弯半径和角度等因素有关。
一般来说，弯曲力可以通过以下公式来计算：F = S L t。
其中，F为弯曲力，S为材料的拉伸强度，L为外模具的长度，t为工件的厚度。
通过这个公式可以计算出所需的弯曲力，从而选择合适的折弯设备和工艺参数。
（3）弯曲角度的计算公式。
在进行钝角圆弧折弯时，需要精确控制折弯的角度，以确保工件的尺寸和形状符合设计要求。
2012.08.07_弯曲测量与判定标准
0.36
0.25 0.25 0.32 0.29 0.22 0.22
0.32
0.37 0.30 0.32 0.28 0.23 0.25
6
7 8
1.8
1.5 1.5
460
500 500
1
0.75 0.75
1.5
1.25 1.5
400
400 450
0.85
0.75 0.8
单边起翘的弯曲度一般 ≈ 1.5mm，起翘长度L 300 ~ 500mm; 按标准50%以上合格； O221为例，起翘长度L< 300mm, 单边起翘H ≈ 1.5mm，Hs 基本超标 ; L > 400mm，Hs>0.3mm时, 180°翻转后弯曲度 基本超标；
* 备注：因数据量少，以上结论需要更多数据验证；
弯曲度测量标准
1. 客户有特别要求的，按照客户要求的方式进行弯曲度的测量并验收。 2. 客户无特别要求的，则根据图纸规定标准（如：GB5237.1-2008）进行验收。 - 整体弯曲度（顺弯，双头翘）Ht ，按照标准要求测量； - 局部弯曲度（特指单头翘起长度< 400mm时），测量端部翘起度 H 判定： 判定标准：起翘长度 300mm时，H < 1.2mm 为合格， 起翘长度300每+/- 50mm，H< 1.2 mm 相应+/- 0.1mm（如下图）
NG
H:1.6
H:1.4 H:1.2
H(起翘度) Hs(局弯)
OKαLeabharlann H:1.0L（起翘长度）
0221弯曲度装框验证
•
编号 1 2 3 4 5 6 7 8
边框弯曲数据
长边单边 翘弯曲度 1.4 1.5 1.45 1.8 1.25 1.5 1.9 1.5 长边起翘位置 280 500 300 460 380 450 450 500 180°翻转后 弯曲度 0.75 0.75 1 1 0.65 0.75 1.1 0.75 短边单边翘 弯曲度 1.3 1.5 1 1.5 1.2 1.6 1.25 1.5
第8章弯曲刚度(完整版)
因此，对于某根具体的梁，只要列出它的弯矩 方程M = M(x)，将其代入 EIw( x ) M ( x ) ，对
x连续积分后有：
EIw M ( x ) dx C1 EIw [ M ( x ) dx ] dx C1 x C 2
利用梁的位移条件确定式中的积分常数，就得转角 方程 = (x) = w'(x)和挠度方程 w = w (x) ，从而也 就可以求某个具体横截面处的转角和挠度了。
工程力学教程电子教案
弯曲刚度
5
1.梁的曲率与位移
根据上一章所得 到的结果，弹性范围 内的挠度曲线在一点 的曲率与这一点处横 截面上的弯矩、弯曲
刚度之间存在下列关
系：
M ＝ EI
1
工程力学教程电子教案
弯曲刚度
6
2.挠度与转角的相互关系 梁在弯曲变形后，横截面的位置将发生改变， 这种位置的改变称为位移。梁的位移包括三部分：
工程力学教程电子教案
弯曲刚度
19
（2）位移边界条件
积分法中常数由梁的约束条件与连续条件确定。约束 条件是指约束对于挠度和转角的限制： 在固定铰支座和辊轴支座处，约束条件为挠度等于
零：w=0;
在固定端处，约束条件为挠度和转角都等于零： w=0， θ ＝0。 连续条件是指，梁在弹性范围内加载，其轴线将弯曲 成一条连续光滑曲线，因此，在集中力、集中力偶以及
工程力学教程电子教案
弯曲刚度
9
3.研究梁的挠度和转角的目的：
(1) 对梁作刚度校核，即检查梁弯曲时的最大 挠度是否超过按要求所规定的容许值；
(2) 解超静定梁。如下图所示梁。
F1 A FA FC
C
F2 B FB
第九章弯曲变形和刚度计算
3. 转角θ：横截面绕中性轴转过的角度，即 y 轴与挠曲线法线 的夹角，或 x 轴与挠曲线切线的夹角。逆时针方 d 向为正。 tan dx d f x 小变形： tan dx 即:截面转角近似等于挠曲线在该截面处的斜率。
M 纯弯曲时曲率与弯矩的关系式为： EI
不可能
A B
不可能
问题讨论：
y
A B
问题的边界条件、连续条件 ？
q c x
O A
边界条件
分几段？ 连续条件
A处： wA=0 B处： wB=0
A处： wA=0， A =0 分OA一段。
AB、BC两段
B处： w1=w2 1 = 2
11
例：图示一抗弯刚度为 EI的悬臂梁, 在自由端受一集 中力 F作用。试求梁的挠度方程和转角方程 , 并确定 其最大挠度wmax和最大转角max 。
(a x l )
17
（2）建立挠曲线近似微分方程并积分来自梁段I ( 0 x a)
挠曲线近似 微分方程
b EIw1 M 1 F x l
梁段II ( a x l)
EIw2 M 2 F b x F ( x a) l
2 积分一次 b x 转角方程 EIw1 F l 2 C1
P x1 a 2 C1 2 P EI1 x1 a 3 6 C1 x1 a D1 EI1
EIw M ( x) Fl Fx
Fx 2 EIw Flx C1 (a) 2 2 Flx Fx3 EIw C1 x C2 (b) 2 6
(3) 由边界条件确定积分常数 在x＝0处: w＝0 θ＝ 0 y
A
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
梁上的载荷有集中力、集中力偶和分布载荷（分布力）。分布载荷即为作用线垂直 于梁轴线的线分布力，常以载荷集度 q 表示。其常用单位为 N/m 或 kN/m。
第三节 平面弯曲时梁横截面上的内力
一、内力
为了计算梁的应力和变形，首先应该确定梁在外力作用下任一横截面上的内力。
这个问题可以利用截面法解决。
(a )
∑ m0 = 0 M + P1(x − a) − YA x = 0
M = YA x − P1 (x − a)
(b )
(b)式为向 C 截面形心 O 取矩。
a P1
P2
(a) A
C
x
YA
l
b P3 c
B
YB
(b) A YA
P1
Q΄
OM M΄
20-7
P3 B
YB
同理，如以右段为研究对象[图 20-7（c）]，并根据 CB 段梁的平衡条件计算 C 截面 的内力，将得到与式（a）、（b）数值相同的剪力和弯矩，但其方向均相反。这一结果是 必然的，因为它们是作用力与反作用力的关系。
二、悬臂梁
图 20-5（a）所示摇臂钻床的悬臂，一端套在立柱上，另一端自由。空车时悬臂除 受自重外，还有立轴箱的重力作用而产生弯曲。由于立柱的刚性较大，且悬臂套在立柱 上也有一定的长度，使悬臂左端可简化为固定端，这样就得到如图 20-5（b）所示的计 算简图。这种一端固定，另一端为自由的梁，称为悬臂梁。
68
(a)
y P
(b) YA
q
m 对称面
x
m
YB
图 20-3
第二节 静定梁的基本形式
梁是一种常用的构件，几乎在各类工程结构中都占有重要地位。本章只讨论以下几 种最基本的梁。
一、简支梁
图 20-4（a）所示为某型内燃机凸轮轴的结构示意图，挺杆作用于轴的力 P 垂直于 轴线，在 P 力作用下，凸轮轴将产生弯曲变形。一般情况下，凸轮轴两端滑动轴承可近 似简化为铰支座，而右支座只限制轴在垂直方向的位移，则简化为活动铰支座。通常轴 本身用轴线表示。其计算简图如图 20-4（b）所示。这种一端为固定铰支座、另一端为 活动铰支座的梁，称为简支梁。
如图 20-6（b）所示的计算简图。这种由一个固定铰支座和一个活动铰支座支承，而且 有一端（或两端）伸出支座以外的梁，称为外伸梁。
r
Pa
Pa M0 =Par 图 20-6
上述简支梁、悬臂梁和外伸梁，都可以用平面力系的三个平衡方程来求出其三个未 知反力，因此，又统称为静定梁。有时为了工程上的需要，为一个梁设置较多的支座， 因而使梁的支反力数目多于独立的平衡方程数目，这时只用平衡方程就不能确定支反 力。这种梁称为超静定梁。本章将仅限于研究静定梁。
如图 20-7（a）所示的简支梁，承受集中力 P1、P2、P3 作用。先利用平衡方程求出 其支座反力 YA、YB。现在用截面法计算距 A 为 x 处的横截面 C 上的内力，将梁在 C 截 面假想截开，分成左右两段，现任选一段，例如左段[图 20-7（b）]，研究其平衡。在左
段梁上作用着外力 YA 和 P1，在 C 截面上一定存在着某些内力以维持其平衡。 现将左段梁上所有外力向 C 截面形心 O 简化，得主矢量 Qˊ和主矩 Mˊ[图 20-（7 b）
三、外伸梁
某机械主传动箱内的传动轴，其外伸端装有锥形齿轮[图 20-6（a）]，作用于齿轮的
69
凸轮
P 挺杆
凸轮轴 P
(a) 主杆
(a)
(b)
(b)
悬臂 P 主轴箱
Pq
图 20-4
图 20-5
力除轴向力 Pa 外，还有径向力 Pr 和圆周力 P（图中 Pr 和 P 未画出），如果单独研究 Pa 对轴的作用，可将 Pa 平移至轴上，则可简化为一沿轴线作用的 Pa 和一力矩 Mo=Par，轴 向力 Pa 使轴产生压缩变形（这里暂不考虑），而力偶 Mo 将使轴产生弯曲变形。因为力 Pa 向左，轴必向左移动。现假定右轴承限制轴在水平和垂直两方向的位移，故可简化为 固定铰支座。此时左轴承仅限制轴在垂直方向的移动，则简化为活动铰支座。于是得到
中虚线所示]。由此可知，为了维持 AC 段梁的平衡，C 截面上必然存在着两个内力分量：
与主矢量 Qˊ平衡的内力 Q 和与主矩 Mˊ平衡的内力偶矩 M。称内力 Q 为剪力，内力
偶矩 M 为弯矩。
由左段梁的平衡条件可得 X 截面的剪力和弯矩，即
∑ Y = 0 YA − P1 − Q = 0
Q = YA − P1
第二十章 弯曲的强度计算
第一节 概述
如图 20-1 所示的车轴，图 20-2 所示的桥式吊车梁，以及桥梁中的主梁，房屋建筑 中的梁等。受力后这些直杆的轴线将由原来的直线弯成曲线，这种变形称为弯曲。以弯 曲变形为主的杆件通常称为梁。
d2 d1
a
l
P/2
b
a P/2
P/2
YA
A
YB P/2 B
图 20-1
下面介绍剪力和弯矩的符号规定。与拉、压、扭转类似，弯曲时也是根据变形来确 定它们的内力符号。自梁内取出 dx 小段，其错动趋势如图 20-9（a）所示，即“左上右 下”时剪力为正，反之为负[图 20-9（b）]。至于弯矩的符号，则为当 dx 小段弯成下凸 时弯矩为正[图 20-9（c）]，反之为负[图 20-9（d）]。按上述符号规定，计算某截面内 力时，无论保留左侧或右侧，所得结果的数值与符号都是一样的。
(a ) P
P q
(b) 图 20-2
一般说来，当杆件受到垂直于杆轴的外力，或在通过杆轴的平面内受到外力偶作用 时，杆将发生弯曲变形。我们先来研究比较简单的情况，即梁的横截面具有对称轴[图 20-3（a）]，全梁有对称面，并且所有外力都作用在对称面内的情形。在这种情形下梁 的轴线弯成位于对称平面内的一条平面曲线[图 20-3（b）]，这种弯曲属于平面弯曲。本 章就是讨论平面弯曲时横截面上的内力、应力和变形问题。
71
二、应力
剪力和弯矩是由分布在横截面上的应力构成的。虽然我们还不知道应力在横截面上 的分布规律，但可将它们分解成正应力 σ 和剪应力 τ。由图 20-8（b）可看出，剪力 Q 是由剪应力 τ 组成的。而弯矩 M 的出现可以这样来说明：图 20-8（a）的梁在 P 力作用 下将向下弯，这时横截面的下部区域作用着拉应力，上部区域作用着压应力，它们分别 合成为拉力 N2 和压力 N1，而 N1 和 N2 大小相等，平行反向，从而构成一力偶，这就是 弯矩 M。