中考压轴题之平面直角坐标系下角度相等问题

中考压轴题之平面直角坐标系下的角度相等问题

中考题最后的压轴题中，经常出现与角度相关的问题。与平面直角坐标系结合，将三角形全等、三角形相似、三角函数、圆及二次函数等知识有机的结合在一起，考察学生对知识综合、灵活应用的能力，同时考察学生解题方法的思路的灵活性，以及对数学学科思维的掌握情况。

平面直角坐标系下的角度相等问题，通常有以下几种解题思路：

1、利用三角形全等解决

2、利用三角形相似解决

3、利用三角函数解决

4、利用圆的知识解决

下面分类举例说明：

题型一、利用全等处理角等例1、（2017秋?莲湖区期末）如图①，抛物线y＝ax2+bx+3

（a≠0）与x轴交于点 A（﹣1，0），

B（3，0），与 y 轴交于点 C，连接 BC．

（1）求抛物线的表达式；

（2）抛物线上是否存在点 M，使得△ MBC 的面积与△ OBC 的面积相等，若存在，请直接写出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）点 D（2，m）在第一象限的抛物线上，连接 BD．在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点 P，满足∠ PBC＝∠ DBC？如果存在，请求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由．

【分析】（1）根据抛物线 y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点 A（﹣ 1，0），B（3，0），可求得抛物线的表达式；

（2）根据直线 BC的解析式为 y＝﹣ x+3，可得过点 O 与 BC 平行的直线 y＝﹣ x，与抛物线的交点即为 M，据此求得点 M 的坐标；

（3）设 BP交轴 y于点 G，再根据点 B、C、D 的坐标，得到∠ DCB＝∠ OBC＝∠ OCB＝45°，进而判定△ CGB≌△ CDB，求得点 G 的坐标为（0，1），得到直线 BP 的解析式为 y＝﹣x+1，最后计算直线 BP 与抛物线的交点 P 的坐标即可．

【解答】解：（1）∵抛物线 y＝ax2+bx+3（a≠0）与 x 轴交于点 A（﹣ 1，0），B（3，0），∴，

∴，

解得，

∴抛物线的表达式为 y＝﹣ x2+2x+3；（2）存在．

∵抛物线的表达式为 y＝﹣ x2+2x+3，

∴点 C的坐标为（ 0，3），∵C（0，3），B（3，0），∴直线 BC 的解析式为 y＝﹣x+3，∴过点 O与 BC平行的直线 y＝﹣x，与抛物线的交点即为 M，解方程组

可得

∴x＝

（3）存在．

如图，设 BP 交轴 y 于点 G ，

∵点 D （2，m ）在第一象限的抛物线上， 2

∴当 x ＝2 时，m ＝﹣ 22

+2×2+3＝3，

∴点 D 的坐标为（ 2，3），

2

把 x ＝0 代入 y ＝﹣ x 2

+2x+3，得 y ＝ 3， ∴点 C 的坐标为（ 0，3）， ∴CD ∥x 轴， CD ＝2， ∵点 B （3，0）， ∴OB ＝OC ＝3，

∴∠OBC ＝∠OCB ＝45°，

∴∠ DCB ＝∠ OBC ＝∠ OCB ＝45°， 又∵∠ PBC ＝∠ DBC ，BC ＝ BC ， ∴△CGB ≌△CDB （ASA ）， ∴CG ＝CD ＝2， ∴OG ＝OC ﹣CG ＝ 1， ∴点 G 的坐标为（ 0，1）， 设直线 BP 的解析式为 y ＝kx+1， 将 B （ 3， 0）代入，得 3k+1＝0， 解得 k ＝﹣ ，

M 1（

， ），M 2（ ，

）；

∴直线 BP 的解析式为 y ＝﹣ x+1，

令﹣ x+1＝﹣ x 2+2x+3， 解得 ，x 2＝3， ∵点 P 是抛物线对称轴 x ＝

＝1 左侧的一点，

即

x<1，

把 x＝﹣代入抛物线 y＝﹣ x2+2x+3 中，

∴当点 P 的坐标为（﹣）时，满足∠ PBC＝∠DBC．

【总结】出现角等的条件时，可以将两角构造在全等三角形中，利用全等的性质解决问题。

题型二、利用相似处理角等问题

例2、声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得例 2 复例 2（ 2016?广州一模）

2

如图，在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 y＝x2+bx+c与y轴交于点 C，与x轴交于A，B两点，点 B的坐标为（ 3，0），直线 y＝﹣x+3恰好经过 B，C 两点

（1）写出点 C 的坐标；

（2）求出抛物线 y＝x2+bx+c 的解析式，并写出抛物线的对称轴和点 A的坐标；

（3）点 P在抛物线的对称轴上，抛物线顶点为 D 且∠ APD＝∠ ACB，求点 P的坐标．

【分析】（1）由直线 y＝﹣ x+3 可求出 C点坐标；

（2）由 B，C 两点坐标便可求出抛物线方程，从而求出抛物线的对称轴和A 点坐标；

（3）作出辅助线 OE，由三角形的两个角相等，证明△ AEC∽△ AFP，根据两边成比例，便可求出 PF 的长度，从而求出 P 点坐标．

解答】解：（1）y ＝﹣ x+3与y 轴交于点 C ，故 C （0，3）．

2）∵抛物线 y ＝x 2+bx+c 过点 B ，C ， y ＝ x 2

﹣4x+3＝（x ﹣1）×（ x ﹣3），

∴对称轴为 x ＝ 2， 点 A （ 1， 0）．

2

（3）由 y ＝ x 2

﹣4x+3， 可得 D （2，﹣ 1），A （1，0）， ∴OB ＝3，OC ＝3，OA ＝1，AB ＝2， 可得△ OBC 是等腰直角三角形， ∴∠ OBC ＝45°， ． 如图，设抛物线对称轴与 x 轴交于点 F ，

过点 A 作AE ⊥BC 于点 E ． ∴∠AEB ＝90 度． 可得 ， ．

在△AEC 与△ AFP 中，∠ AEC ＝∠ AFP ＝90°，∠ ACE ＝∠ APF ， ∴△ AEC ∽△ AFP ． ∴， ∴，

解得 PF ＝ 2．

或者直接证明△ ABC ∽△ ADP 得出 PD ＝3， 再得 PF ＝ 2．

∵点 P 在抛物线的对称轴上，

∴点 P 的坐标为（ 2，2）或（ 2，﹣2）．

∴抛物线的解析式