中考压轴题之平面直角坐标系下角度相等问题
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中考压轴题之——平面直角坐标系下的角度相等问题中考题最后的压轴题中，经常出现与角度相关的问题。
与平面直角坐标系结合，将三角形全等、三角形相似、三角函数、圆及二次函数等知识有机的结合在一起，考察学生对知识综合、灵活应用的能力，同时考察学生解题方法的思路的灵活性，以及对数学学科思维的掌握情况。
平面直角坐标系下的角度相等问题，通常有以下几种解题思路：1、利用三角形全等解决2、利用三角形相似解决3、利用三角函数解决4、利用圆的知识解决下面分类举例说明：类型一、利用三角形全等解决角度相等问题例1、如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A （﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，连接BC．（1）求抛物线的表达式；（2）点D（2，m）在第一象限的抛物线上，连接BD．在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC＝∠DBC？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．【解析】：（1）∵抛物线y=ax +bx+3（a≠0）与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），带入两点坐标即可。
∴抛物线的表达式为y=-x +2x+3；(2) 设BP交轴y于点G，再根据点B、C、D的坐标，得到∠DCB=∠OBC=∠OCB=45°，进而判定△CGB≌△CDB，求得点G的坐标为（0，1），得到直线BP的解析式为y=- 1/3x+1，最后计算直线BP与抛物线的交点P的坐标即可．【解答】解：（1）抛物线的表达式为y=-x +2x+3；(过程略）（2）存在．如图，设BP交轴y于点G，∵点D（2，m）在第一象限的抛物线上，∴当x＝2时，m＝﹣2 +2×2+3＝3，∴点D的坐标为（2，3），把x＝0代入y＝﹣x +2x+3，得y＝3，∴点C的坐标为（0，3），∴CD∥x轴，CD＝2，∵点B（3，0），∴OB＝OC＝3，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∴∠DCB＝∠OBC＝∠OCB＝45°，又∵∠PBC＝∠DBC，BC＝BC，∴△CGB≌△CDB（ASA），∴CG＝CD＝2，∴OG＝OC﹣CG＝1，∴点G的坐标为（0，1），设直线BP的解析式为y＝kx+1，将B（3，0）代入，得3k+1＝0，解得k＝﹣1/3，∴直线BP的解析式为y＝﹣1/3x+1，令﹣1/3x+1＝﹣x +2x+3，解得x1=-2/3，x2＝3，∵点P是抛物线对称轴x＝1左侧的一点，即x＜1，∴x＝﹣2/3，把x＝﹣2/3代入抛物线y＝﹣x +2x+3中，解得y＝11/9，∴当点P的坐标为（﹣2/3，11/9）时，满足∠PBC＝∠DBC．【总结】出现角等的条件时，可以将两角构造在全等三角形中，利用全等的性质解决问题。
在平面直角坐标系中,到两坐标轴的距离相等的点的轨迹
在平面直角坐标系中，经常会遇到一些特殊的点集合，比如到两个坐标轴的距离相等的点的轨迹。
这个主题涉及到了点的集合和距离的概念，对于数学爱好者来说，是一个非常有趣的课题。
下面将从几何和代数两个角度来解析这个主题。
一、几何角度的分析在平面直角坐标系中，我们可以很容易地找到到两个坐标轴的距离相等的点的轨迹。
我们设这样的点为P(x, y)，且到x轴和y轴的距离相等，即|x|=|y|。
不难看出，当x和y都为正数或者负数时，点P(x, y)分别位于第一象限和第三象限；当x为正数而y为负数，或者x为负数而y为正数时，点P(x, y)分别位于第二象限和第四象限。
在平面直角坐标系中，我们将点P(x, y)的坐标表示为(x, x)或者(-x, -x)以及(x, -x)或者(-x, x)，描绘出这些点的位置，就会得到一个以坐标原点为中心的，交叉于坐标轴的直线集合。
这个直线集合就是到两个坐标轴的距离相等的点的轨迹。
二、代数角度的分析从代数的角度来看，到两个坐标轴的距离相等的点的轨迹也可以进行分析。
设点P(x, y)到x轴和y轴的距离相等，即|x|=|y|。
我们可以列出以下方程组：|x| = |y|x² = y²根据以上方程组，我们可以解得：x = ±y将上述解代入点P(x, y)的坐标中，得到P(x, x)和P(-x, -x)以及P(x, -x)和P(-x, x)。
这些点的集合就构成了到两个坐标轴的距离相等的点的轨迹。
到两个坐标轴的距离相等的点的轨迹形成了四条直线，它们分别经过坐标原点，并且与坐标轴成45度角。
这些直线的集合形成了一个交叉于坐标轴的图形，这个图形就是所求的点的轨迹。
在数学中，通过分析几何和代数性质可以得到同一个结果，这充分展现了数学的美妙与严谨。
对于这种点的轨迹，我们不仅可以通过纯几何的方法来得到，也可以通过代数的方法来解决。
在数学学习中，应该既注重几何思维，又注重代数方法，这样才能更好地理解和运用数学知识。
中考二次函数与角度有关的问题知识解读
二次函数与角度有关的问题知识解读【专题说明】二次函数背景下与角有关的存在性问题，是各地中考和模拟考试压轴题的热点问题，这种类型的题目综合性较强，更重要的是涉及方程与函数思想、数形结合思想、分类讨论等重要的思想方法，对学生分析、解决问题的能力具有较高的要求。
为此，下面将与角度有关的常见压轴题题型及解法做统一整理【知识点梳理】类型一：将等角问题转化成等腰三角形或平行线问题。
如例1：抛物线y=-x+3x+4,与坐标轴交于点A、B、C，CP⊥y轴交抛物线与点P，点M为A、C间抛物线上一点（包括端点），求满足∠MPO=∠POA的点M的坐标。
分析：显然符合条件的点M有两个，OP上方一个，OP下方一个、当M在OP 上方时，由∠MPO=∠POA可知PM//OA,则M与C点重合。
当M在OP下方时，∠MPO=∠POA，这两角组成的三角形是等腰三角形。
设PM与x轴交于点D，坐标为D(n,0)，由两点间距离公式可表示出OD、PD长，根据OD=PD列方程即可求出D点坐标，再求出PD直线表达式与抛物线表达式联立，进而求出M点坐标。
类型二：将等角问题转化成等角所在三角形相似或等角对应的三角函数（通常是正切值）相等问题。
这类问题有两种情况：一种是所求角的一边与坐标轴平行（重合）；例2如图，抛物线y=x221+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其对称轴交抛物线于点D ，交x 轴于点E ，已知OB=OC=6.（1）求抛物线的解析式及点D 的坐标；（2）连接BD ，F 为抛物线上一动点，当∠FAB=∠EDB 时，求点F 的坐标；解析：通过已知条件易得抛物线表达式为6221y 2+−=x x 及各定点坐标，第二问中的F 有两种情况：x 轴上方一个，x 轴下方一个。
在Rt ⊿BDE 中，可知tan ∠EDB=21，则tan ∠FAB=21，过F 作x 轴垂线，构造∠FAB 所在直角三角形，接着通过设F 点坐标，表示FH 和AH 长，根据tan ∠FAB=21=AH FH 列方程，或利用相似三角形对应边成比例列式，从而求出点F 坐标，由于表示FH 时加了绝对值，已经考虑到了上下两种情况，这样两个F 就都求出来了。
2020中考数学专题—存在性问题之45°角或等角
2020中考专题16——存在性问题之45°角或等角班级姓名.【方法解读】这里所说的角的存在性问题主要涉及45°角(或135°角)、两角相等的存在性问题.45°角是一个非常特殊的角,它不仅是直角的一半,也是等腰直角三角形的底角,解决此类问题的一般策略是构造等腰直角三角形(见下图);角的相等问题常借助相似(全等)或等腰三角形求解.【例题分析】例1.如图，已知反比例函数y ＝（x ＞0）的图象经过点E （3，4），在该图象上面找一点P ，使∠POE ＝45°，则点P 的坐标为．例2.如图，在平面直角坐标系中,反比例函数)0(2>=x x y 的图象与正比例函数y=kx,y=k1x(k>1)的图象分别交于点A,B.若∠AOB=45°,则△AOB 的面积是.例3.如图，抛物线y ＝2ax ＋ｂx ＋ｃ经过A （－1，0），B （4，0），C （0，3）三点，D 为直线BC 上方抛物线上一动点，DE ⊥BC 于E ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，求线段DE 长度的最大值；（3）如图2，设AB 的中点为F ，连接CD ，CF ，是否存在点D ，使得△CDE 中有一个角与∠CFO 相等？若存在，求点D 的横坐标；若不存在，请说明理由．【巩固训练】1.如图，在平面直角坐标系中，OA＝AB，∠OAB＝90°，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A，B两点．若点A的坐标为（n，1），则k的值为．2.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+m分别交x轴，y轴于A，B两点，已知点C（2,0）．（1）当直线AB经过点C时，点O到直线AB的距离是；（2）设点P为线段OB的中点，连结PA，PC，若∠CPA＝∠ABO，则m的值是．3.如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，且经过点C(0，2)、D（3，），点P是y轴右侧的抛物线上一动点，当∠PCD＝45°时，求点P的坐标．4.如图，直线y＝3x和双曲线y＝（x＞0）交于点A，点P为双曲线上一点，且∠POA＝∠1+∠2，求点P的坐标．5..如图，二次函数y＝mx2+（m2﹣m）x﹣2m+1的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，顶点D的横坐标为1．（1）求二次函数的表达式及A、B的坐标；（2）若P（0，t）（t＜﹣1）是y轴上一点，Q（﹣5，0），将点Q绕着点P顺时针方向旋转90°得到点E．当点E恰好在该二次函数的图象上时，求t的值；（3）在（2）的条件下，连接AD、AE．若M是该二次函数图象上一点，且∠DAE＝∠MCB，求点M的坐标．6.如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3a经过A（﹣1，0）、C（0，3）两点，与x轴交于另一点B．（1）求此抛物线的解析式；（2）已知点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点D′的坐标；（3）在（2）的条件下，连接BD，问在抛物线上是否存在点P，使∠DBP＝45°？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．7.如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（0，3），C（3，0）；过A作AB∥x轴交抛物线于点B，连接AC、BC，点P为抛物线上动点．（1）求抛物线解析式；（2）当∠PAB＝∠BCA时，求点P的坐标；（3）当点P在抛物线上BC两点之间移动时，点Q为x轴上一动点，连接AP、AQ，使得tan∠PAQ＝2，且AP交BC于点G，过G作GH⊥AQ交AQ于点H，设点H的坐标为（m，n），求n关于m的函数关系式．8.如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线是由抛物线y＝x2﹣3向右平移一个单位后得到的，它与y轴负半轴交于点A，点B在该抛物线上，且横坐标为3．（1）求点M、A、B坐标；（2）连接AB、AM、BM，求∠ABM的正切值；（3）点P是顶点为M的抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，设PO与x正半轴的夹角为α，当α＝∠ABM时，求P点坐标．2020中考专题16——存在性问题之45°角或等角参考答案例1.解：方法一、过点E作EA⊥x轴于点A，过点P作PB⊥x轴于点B，如图所示．∵点E（3，4）在函数y＝的图象上，∴k＝3×4＝12，∴设点P的坐标为（n，），则点A（3，0），点B（n，0），S四边形OBPE＝S△OAE+S梯形PBAE＝|k|+（PB+EA）•AB＝6+（+4）（n﹣3）＝2n﹣+6．S△OEP＝S四边形OBPE﹣S△OBP＝2n﹣+6﹣|k|＝2n﹣．由两点间的距离公式可知：OE＝＝5，OP＝，S△OEP＝OE•OP•sin∠EOP＝＝2n﹣，即7n4﹣576n2﹣1008＝0，解得：n2＝84或n2＝﹣84（舍去），∴n1＝2，n2＝﹣2（舍去）．∴点P的坐标为（2，）；方法二、如图，过点E作EF⊥OE交OP于点F，过点E作EN⊥y轴，垂足为N，过点F作FM ⊥NE于点M，∴∠ONE＝∠EMF＝90°，∴∠NOE+∠OEN＝90°，∵∠OEF＝90°，∴∠OEN+∠FEM＝90°，∴∠NOE＝∠MEF，若∠POE＝45°，则OE＝EF，在△ONE和△MEF中，∵，∴△ONE≌△MEF（AAS），∴EM＝ON＝4、MF＝NE＝3，则点F的坐标为（7，1），∴直线OF的解析式为y＝x，由，解得x＝2或x＝﹣2（舍），当x＝2时，y＝＝＝＝，即点P（2，），故答案为：（2，）．例2.【答案】2【解析】过点O 作OC ⊥AB ，垂足为C ．过点A 作AM ⊥y 轴，垂足为M ，过点B 作BN ⊥x 轴，垂足为N ．设点A 的横坐标为a ，则点A 的纵坐标为a 2．∵点A 在一次函数数y ＝kx 上，∴a 2＝ka ．k ＝22a ．∴OB 所在直线的解析式为y ＝22a x ．令22a x ＝x 2．得x ＝a 2．∴y ＝a ．∴OA ＝OB ，△OAM ≌△OBN ．∵∠AOB ＝45°，∴∠AOC ＝∠AOM ．∴△OAM ≌△OAC ．∴S △OAB ＝2S OAM ＝2．故填2．BO A xy CN M 例3.解：（1）由题意得，016403a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得，34943a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩.∴y =23944x x -++3.（2）设直线BC 的解析式为y =kx +b ，∴403k b b +=⎧⎨=⎩，解得343k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴y =﹣34x +3．设D （a ，23944a a -++3）（0＜a ＜4）．过点D 作DM ⊥x 轴交BC 于M ．∴M （a ，﹣34a +3）.∴DM =239333444a a a ⎛⎫⎛⎫-++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=2334a a -+．∵∠DME =∠OCB ，∠DEM =∠COB ，∴△DEM ∽△BOC ，∴DE DM =OB BC．∵OB =4，OC =3，∴BC =5，∴DE =45DM ．∴DE =231255a a -+=()2312255a --+.当a =2时，DE 取最大值，最大值是125．（3）假设存在这样的点D ，使得△CDE 中有一个角与∠CFO 相等．∵F 是AB 的中点，∴OF =32，tan∠CFO =OC OF=2．过点B 作BG ⊥BC 交CD 的延长线于G ，过点G 作GH ⊥x 轴，垂足为H ．∵DE ⊥BC ，故∠CED =90°，则只存在另外两个角与∠CFO 相等．①若∠DCE =∠CFO ，∴tan∠DCE =OC OF =2，∴BG =10．∵△GBH ∽△BCO ，∴GH BO =HB OC =GB BC．∴GH =8，BH =6.∴G （10，8）．设直线CG 的解析式为y =kx +b ，∴3108b k b =⎧⎨+=⎩，解得123k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴y =12x +3．依题意得，213239344y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩，解得x =73，或x =0（舍）．②若∠CDE =∠CFO ，同理可得，BG =52，GH =2，BH =32，∴G （112，2）．同理可得，直线CG 的解析式为y =－211x +3．依题意得，2231139344y x y x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩，解得x =10733，或x =0（舍）．综上所述，存在D 使得△CDE 中有一个角与∠CFO 相等，其横坐标为73或10733．【巩固训练】答案1.解：作AE ⊥x 轴于E ，BF ⊥x 轴于F ，过B 点作BC ⊥y 轴于C ，交AE 于G ，如图所示：则AG ⊥BC ，∵∠OAB ＝90°，∴∠OAE +∠BAG ＝90°，∵∠OAE +∠AOE ＝90°，∴∠AOE ＝∠GAB ，在△AOE 和△BAG 中，，∴△AOE ≌△BAG （AAS ），∴OE ＝AG ，AE ＝BG ，∵点A （n ，1），∴AG ＝OE ＝n ，BG ＝AE ＝1，∴B （n +1，1﹣n ），∴k ＝n ×1＝（n +1）（1﹣n ），整理得：n 2+n ﹣1＝0，解得：n ＝（负值舍去），∴n＝，∴k ＝；故答案为：．2.（1）当直线AB经过点C时，点A与点C重合，当x＝2时，y＝﹣2+m＝0，即m＝2，所以直线AB的解析式为y＝﹣x+2，则B（0，2）．∴OB＝OA＝2，AB＝2．设点O到直线AB的距离为d，＝OA2＝AB•d，得由S△OAB4＝2d，则d＝．故答案是：．（2）作OD＝OC＝2，连接CD．则∠PDC＝45°，如图，由y＝﹣x+m可得A（m，0），B（0，m）．所以OA＝OB，则∠OBA＝∠OAB＝45°．当m＜0时，∠APC＞∠OBA＝45°，所以，此时∠CPA＞45°，故不合题意．所以m＞0．因为∠CPA＝∠ABO＝45°，所以∠BPA+∠OPC＝∠BAP+∠BPA＝135°，即∠OPC＝∠BAP，则△PCD∽△APB，所以＝，即＝，解得m＝12．故答案是：12．3.解：∵点C（0，2）、D（3，）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上，∴，解得b＝，c＝2，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+2．（3）存在．理由：设点P的横坐标为m，则P（m，﹣m2+m+2），F（m，m+2）．如答图2所示，过点C作CM⊥PE于点M，则CM＝m，EM＝2，∴FM＝y F﹣EM＝m，∴tan∠CFM＝2．在Rt△CFM中，由勾股定理得：CF＝m．过点P作PN⊥CD于点N，则PN＝FN•tan∠PFN＝FN•tan∠CFM＝2FN．∵∠PCF＝45°，∴PN＝CN，而PN＝2FN，∴FN＝CF＝m，PN＝2FN＝m，在Rt△PFN中，由勾股定理得：PF＝＝m．∵PF＝y P﹣y F＝（﹣m2+m+2）﹣（m+2）＝﹣m2+3m，∴﹣m2+3m＝m，整理得：m2﹣m＝0，解得m＝0（舍去）或m＝，∴P（，）；同理求得，另一点为P（，）．∴符合条件的点P的坐标为（，）或（，）．4.解：过点A作x平行线交y轴于点E，过点P作y轴的平行线交x轴于点F，交EA于点B，连接AP．如图所示．将一次函数解析式y＝3x代入到反比例函数解析式y＝（x＞0）中，3x＝，即3x2＝3，解得：x＝1，或x＝﹣1（舍去）．当x＝1时，y＝＝3，∴点A的坐标为（1，3）．设点P的坐标为（n，）（n＞0），则OF＝n，OE＝3，BP＝3﹣，AB＝n﹣1，OA＝＝，OP＝．∵∠POA＝∠1+∠2，且∠POA+∠1+∠2＝90°，∴∠POA＝45°．S POA＝S矩形OFBE﹣S△OAE﹣S△OPF﹣S△ABP＝3n﹣﹣﹣（3﹣）（n﹣1）＝（1+）（n﹣1）＝（n﹣）．又∵S POA＝OA•OP•sin∠POA＝＝（n﹣），即4n4﹣18n2﹣36＝0，解得：n2＝6，或n2＝﹣（舍去）．∵n＞0，∴n＝，∴点P的坐标为（，）．5..解：（1）∵抛物线的顶点坐标的横坐标为1，∴，解得，m1＝﹣1，m2＝0（舍去）∴二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3，当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得，x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），（2）如图1，过点E作EH⊥y轴于点H，∵∠PQO+∠OPQ＝90°，∠OPQ+∠HPE＝90°，∴∠HPE＝∠PQO，由旋转知，PQ＝PE，在△EPH和△PQO中，，∴△EPH≌△PQO，∴EH＝OP＝﹣t，HP＝OQ＝5∴E（﹣t，5+t）当点E恰好在该二次函数的图象上时，有5+t＝﹣t2﹣2t+3解得t1＝﹣2，t2＝﹣1（由于t＜﹣1所以舍去），（3）设点M（a，﹣a2+2a+3）①若点M在x轴上方，如图2，过点M作MN⊥y轴于点N，过点D作DF⊥x轴于点F．∵∠EAB＝∠OCB＝45°，∠DAE＝∠MCB∴∠MCN＝∠DAF∴△MCN∽△DAF，∴，即∴，a2＝0（舍去）∴，②若点M在x轴下方，如图3，过点M作MN⊥y轴于点N，过点D作DF⊥x轴于点F．∵∠EAB＝∠OCB＝45°，∠DAE＝∠MCB∴∠MCN＝∠ADF∴△MCN∽△ADF∴，即∴a1＝4，a2＝0（舍去）∴M（4，﹣5）综上所述，或M（4，﹣5）．6.解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3a经过A（﹣1，0）、C（0，3）两点，∴代入A，C点坐标得：，解得：a＝﹣1，b＝2，∴y＝﹣x2+2x+3；（2）将D点代入抛物线解析式得：m+1＝﹣m2+2m+3，解得：m1＝2，m2＝﹣1（不符合题意，舍去）∴D点坐标（2，3）；∴AB∥DC，∴∠DCB＝∠ABC＝45°＝∠BCO，∴点D关于BC的对称点D'落在OC上，∴CD＝CD'＝2，∴D'坐标（0，1）；（3）假设存在点P使得∠DBP＝45°交y轴于点F，作D关于BC对称点D'，连接DD'交BC于点E，连接BD，AC，BF，∵﹣x2+2x+3＝0时，x＝﹣1或3，∴点B坐标（3，0），∴BC＝3，∵CD＝2，CD'＝2，∴DD'＝2，CE＝，BE＝BC﹣CE＝2，∵∠CBO＝∠DBF＝45°，∴∠DBE＝∠ABF，∵∠DBP＝∠ABC＝45°，∠DBE＝∠ABF，∠DEB＝∠FOB＝90°，∴△FOB∽△DEB，∴＝，即＝，∴FO＝，∴F（0，），∵B（3，0），设直线BF解析式为y＝kx+b，代入B，F点坐标得：直线BF解析式为y＝﹣x+，设直线BF与抛物线交点坐标为（x，y），则，解得：，（不符合题意，舍去），∴存在P点坐标为（﹣，）．7.（1）将A（0，3），C（3，0）代入得：，解得b＝2，c＝3．∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）如图1中，当点P在抛物线上BC两点之间时，连接PA交BC于E，作BM⊥OC于M，EN⊥BM于N．∵∠PAB＝∠ACB，∠ABE＝∠ABC，∴△ABE∽△CBA，∴＝，∴AB2＝BE•BC，∴BE•BC＝4，∵BC＝，∴BE＝，∵EN∥MC，∴＝＝，∴＝＝，∴BN＝，EN＝，∴E（，），∵A（0，3），∴直线AE的解析式为y＝﹣x+3，由解得或，∵A（0，3），∴P（，），根据对称性直线AP关于直线AB的对称的直线AP′的解析式为y＝x+3，由解得或，∴P′（，），综上所述，满足条件的点P坐标为P（，）或（，）；（3）如图2中，作HM⊥OA于M，GN⊥MH于N．∵AH⊥GH，∴∠AHG＝90°，由△AHM∽△HGN，∴＝＝，∵tan∠GAH＝＝2，H（m，n），∴＝＝，∴HN＝6﹣2n，GN＝2m，∴G（6﹣﹣2n+m，2m+n），∵直线BC的解析式为y＝﹣3x+9，∵点G在直线BC上，∴2m+n＝﹣3（6﹣2n+m）+9，∴n＝m+．8.（1）抛物线y＝x2﹣3向右平移一个单位后得到的函数解析式为y＝（x﹣1）2﹣3，顶点M（1，﹣3），令x＝0，则y＝（0﹣1）2﹣3＝﹣2，点A（0，﹣2），x＝3时，y＝（3﹣1）2﹣3＝4﹣3＝1，点B（3，1）；（2）过点B作BE⊥AO于E，过点M作MF⊥AO于M，∵EB＝EA＝3，∴∠EAB＝∠EBA＝45°，同理可求∠FAM＝∠FMA＝45°，∴△ABE∽△AMF，∴＝＝，又∵∠BAM＝180°﹣45°×2＝90°，∴tan∠ABM＝＝；（3）过点P作PH⊥x轴于H，∵y＝（x﹣1）2﹣3＝x2﹣2x﹣2，∴设点P（x，x2﹣2x﹣2），①点P在x轴的上方时，＝，整理得，3x2﹣7x﹣6＝0，解得x1＝﹣（舍去），x2＝3，∴点P的坐标为（3，1）；②点P在x轴下方时，＝，整理得，3x2﹣5x﹣6＝0，解得x1＝（舍去），x2＝，x＝时，x2﹣2x﹣2＝﹣×＝﹣，∴点P的坐标为（，﹣），综上所述，点P的坐标为（3，1）或（，﹣）．。
中考数学复习考点知识归类讲解与练习01 平面直角坐标系与函数基本概念
中考数学复习考点知识归类讲解与练习专题01 平面直角坐标系与函数基本概念知识对接考点一、平面直角坐标系1．相关概念（1）平面直角坐标系（2）象限（3）点的坐标2.各象限内点的坐标的符号特征3.特殊位置点的坐标（1）坐标轴上的点（2）一三或二四象限角平分线上的点的坐标（3）平行于坐标轴的直线上的点的坐标（4）关于x轴、y轴、原点对称的点的坐标4.距离（1）平面上一点到x轴、y轴、原点的距离（2）坐标轴或平行于坐标轴的直线上两点间的距离（3）平面上任意两点间的距离5.坐标方法的简单应用（1）利用坐标表示地理位置（2）利用坐标表示平移1 / 27要点补充：点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：（1）点P(x,y)到x 轴的距离等于；（2）点P(x,y)到y 轴的距离等于；（3）点P(x,y)到原点的距离等于.考点二、函数及其图象1.变量与常量2.函数的概念3.函数的自变量的取值范围4.函数值5.函数的表示方法（解析法、列表法、图象法）6.函数图象要点补充：由函数解析式画其图像的一般步骤：（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来.专项训练一、单选题1．已知点P （a ，a+3）在第二象限，且点P 到x 轴的距离为2，则a 的值为（）A ．1-B ．5-C ．2-D ．2y x 22y x +【答案】A【分析】先判断a的取值，进而根据点P到x轴的距离为2得到a+3=2，解得即可．【详解】解：∵点P（a，a+3）在第二象限，∴30aa<⎧⎨+>⎩，∴-3＜a＜0，∵点P到x轴的距离为2，∴|a+3|=2，∴a+3=2，∴a=-1，故选：A．【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．2．在平面直角坐标系中，点P（3，4）关于y轴对称点的坐标为（）A．（﹣3，4）B．（3，4）C．（﹣3，﹣4）D．（4，﹣3）【答案】A【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．【详解】3 / 27解：点P （3，4）关于y 轴对称点的坐标为（－3，4），故选：A ．【点睛】此题主要考查了关于y 轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．3．如图，一个机器人从点O 出发，向正西方向走2m 到达点1A ；再向正北方向走4m 到达点2A ，再向正东方向走6m 到达点3A ，再向正南方向走8m 到达点4A ，再向正西方向走10m 到达点5A ，…按如此规律走下去，当机器人走到点20A 时，点20A 的坐标为（）A ．(20,20)-B ．(20,20)C ．(22,20)--D ．(22,22)-【答案】A【分析】 先求出A 1，A 2，A 3，…A 8，发现规律，根据规律求出A 20的坐标即可．【详解】解：∵一个机器人从点O 出发，向正西方向走2m 到达点1A ，点A 1在x 轴的负半轴上，∴A 1（-2,0）从点A 2开始，由点1A 再向正北方向走4m 到达点2A ，A 2（-2,4），由点2A 再向正东方向走6m 到达点3A ，A 3（6-2，4）即（4，4），由点3A 再向正南方向走8m 到达点4A ，A 4（4，4-8）即（4，-4），由点A 4再向正西方向走10m 到达点5A ，A 5（4-10，-4）即（-6，-4），由点A 5再向正北方向走12m 到达点A 6，A 6（-6，12-4）即（-6，8），5 / 27由点A 6再向再向正东方向走14m 到达点A 7，A 7（14-6，8）即（8，8），由点A 7再向正南方向走16m 到达点8A ，A 8（8，8-16）即（8，-8），观察图象可知，下标为偶数时在二四象限，下标为奇数时（除1外）在一三象限，下标被4整除在第四象限．且横坐标与下标相同，因为2054=⨯，所以20A 在第四象限，坐标为(20,20)-．故选择A ．【点睛】本题考查平面直角坐标系点的坐标规律问题，掌握求点的坐标方法与过程，利用下标与坐标的关系找出规律是解题关键．4．小娜驾车从哈尔滨到大庆．设她出发第x min 时的速度为y km/h ，图中的折线表示她在整个驾车过程中y 与x 之间的函数关系式．下列说法：（1）在77≤x ≤88时，小娜在休息；（2）小娜驾车的最高速度是120km/h ；（3）小娜出发第16.5min 时的速度为48km/h ；（4）如果汽车每行驶100km 耗油10升，那么小娜驾车在33≤x ≤66时耗油6.6升． 其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】根据函数图象对每个选项进行分析判断，最后得出结论．①观察图象在77≤x ≤88时，小娜在以时速96千米在行驶；②观察图象小娜的最高时速为120千米；③用待定系数法求出11≤x ≤22时的函数关系式，可求小娜出发第16.5min 时的速度；④小娜驾车在33≤x ≤66时时速为120千米/小时，依次求出小娜驾车在33≤x ≤66时行驶的路程，从而耗油量可求．【详解】解：①观察图象在77≤x ≤88时，小娜在以时速96千米在行驶；故①错误； ②观察图象小娜的最高时速为120千米，故②正确；③在11≤x ≤22时，设y ＝kx +b ．将（11，24）和（22，72）代入上式：11242272k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得：481124k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩． ∴482411y x =-． 当x ＝16.5min 时，y ＝48．∴小娜出发第16.5min 时的速度为48km /h ．故③正确；④由图象可知：小娜驾车在33≤x ≤66时时速为120千米/小时，∴车在33≤x ≤66时小娜行驶了66331206660-⨯=（千米）． ∴耗油为：66×10100＝6.6（升）．7 / 27故④正确；综上，正确的有②③④共三个．故选：C ．【点睛】本题主要考查了一次函数的应用．理解函数图象上的点的实际意义是解题的关键．另外待定系数法是确定函数解析式的重要方法．5．下列不能表示y 是x 的函数的是（）A ．B ．21y x =+C ．D ．【答案】C【分析】根据函数的定义（给定一个x 值都有唯一确定的y 值与它对应），对选项逐个判断即可．【详解】解：根据函数的定义（给定一个x 值都有唯一确定的y 值与它对应），对选项逐个判断， A ：观察列表数据发现，符合函数的定义，不符合题意；B ：观察x 与y 的等式发现，符合函数的定义，不符合题意；C ：观察函数图像发现，不符合函数的定义，符合题意；D ：观察函数图像发现，符合函数的定义，不符合题意；故选：C ．【点睛】此题主要考查了函数的定义，涉及到了函数的表示方法（解析法，图像法和列表法），熟练掌握函数的基础知识是解题的关键．x的函数的是（）6．下列各图象中，y不是．．A．B．C．D．【答案】B【分析】对于自变量x的每一个确定的值y都有唯一的确定值与其对应，则y是x的函数，根据函数的定义解答即可.【详解】根据函数的定义，选项A、C、D图象表示y是x的函数，B图象中对于x的一个值y有两个值对应，故B中y不是x的函数，故选：B.【点睛】此题考查函数的定义，函数图象，结合函数图象正确理解函数的定义是解题的关键.9 / 277．如图，在平面直角坐标系中，//AB DC ，AC BC ⊥，5CD AD ==，6AC =，将四边形ABCD向左平移m 个单位后，点B 恰好和原点O 重合，则m 的值是（）A ．11.4B ．11.6C ．12.4D ．12.6【答案】A【分析】 由题意可得，m 的值就是线段OB 的长度，过点D 作DE AC ⊥，过点C 作CF OB ⊥，根据勾股定理求得DE 的长度，再根据三角形相似求得BF ，矩形的性质得到OF ，即可求解．【详解】解：由题意可得，m 的值就是线段OB 的长度，过点D 作DE AC ⊥，过点C 作CF OB ⊥，如下图：∵5CD AD ==，DE AC ⊥ ∴132CE AC ==，90DEC ∠=︒由勾股定理得4DE =∵//AB DC∴DCE BAC ∠=∠，90ODC BOD ∠=∠=︒又∵AC BC⊥∴90 ACB CED∠=∠=︒∴DEC BCA△∽△∴DE CE CDBC AC AB==，即4356BC AB==解得8BC=，10AB=∵CF OB⊥∴90 ACB BFC∠=∠=︒∴BCF BAC∽△△∴BC BFAB BC=，即8108BF=解得 6.4BF=由题意可知四边形OFCD为矩形，∴5OF CD==11.4OB BF OF=+=故选A【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，图形的平移，矩形的判定与性质，勾股定理等，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．8．在平面直角坐标系中，已知点A(0，0)、B(2，2)、C(3，0)，若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标不可能为（）A．(﹣1，2) B．(5，2) C．(1，﹣2) D．(2，﹣2)【答案】D【分析】分三种情况：①BC为对角线时，②AB为对角线时，③AC为对角线时；由平行四边形的11 / 27性质容易得出点D 的坐标． 【详解】解：分三种情况：①BC 为对角线时，点D 的坐标为（5，2） ②AB 为对角线时，点D 的坐标为（﹣1，2）， ③AC 为对角线时，点D 的坐标为（1，﹣2），综上所述，点D 的坐标可能是（5，2）或（﹣1，2）或（1，﹣2）． 故选：D ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形的性质；熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．9．半径是R 的圆的周长C 2R π=，下列说法正确的是（） A ．C ，π，R 是变量，2是常量 B ．C 是变量，2，π，R 是常量 C ．R 是变量，2，π，C 是常量 D ．C ，R 是变量，2π是常量【答案】D 【分析】根据变量和常量的概念解答即可． 【详解】解：在半径是R 的圆的周长2C R π=中，C ，R 是变量，2π是常量． 故选D ． 【点睛】本题主要考查了变量和常量，在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．10．关于变量x ，y 有如下关系：①6-=x y ；②24y x =；③2y x =；④3y x =．其中y 是x 函数的是（） A ．①③ B ．①②③④ C ．①③④ D ．①②③【答案】C 【分析】根据函数的定义可知，满足对于x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数的个数． 【详解】解：y 是x 函数的是①x -y =6；③y =2|x |；④3y x =； ∵x =1时，y =±2，∴对于y 2=4x ，y 不是x 的函数； 故选：C ． 【点睛】本题考查了函数的定义，函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x ，y ，对于x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对应，则y 是x 的函数，x 叫自变量． 二、填空题11．若点()25,4P a a --到两坐标轴的距离相等，则点P 的坐标是______． 【答案】()1,1或()3,3-； 【分析】根据题意可得关于a 的绝对值方程，解方程可得a 的值，进一步即得答案. 【详解】解：∵P (2a -5，4-a )到两坐标轴的距离相等， ∴254a a -=-.13 / 27∴254a a -=-或25(4)a a -=--， 解得3a =或1a =，当3a =时，P 点坐标为（1，1）； 当1a =时，P 点坐标为（-3，3）． 故答案为：（1，1）或（-3，3）． 【点睛】本题考查了直角坐标系中点的坐标特征，根据题意列出方程是解题的关键.12．在平行四边形ABCD 中，点A 的坐标是（﹣1，0），点B 的坐标是（2，3），点D 的坐标是（3，1），则点C 的坐标是___． 【答案】（6，4）． 【分析】根据四边形ABCD 是平行四边形，可得AB∥DC ，且AB =DC ，根据坐标间关系可得2-（-1）=x C -3，3-0=y C -1，解得x C =6，y C =4即可． 【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB∥DC ，且AB =DC ， ∴2-（-1）=x C -3，3-0=y C -1， ∴x C =6，y C =4， 点C （6，4） 故答案为（6，4）．【点睛】本题考查平行四边形的性质，点的坐标关系建构方程，掌握平行四边形的性质，点的坐标关系建构方程．13．函数y＝182xx+-的自变量的取值范围是______．【答案】x≠4【分析】当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零，据此可得结论．【详解】解：由题可得，8﹣2x为分母，8﹣2x≠0，解得x≠4，∴函数182xyx+=-的自变量的取值范围是x≠4，故答案为：x≠4．【点睛】本题考查的是自变量的取值范围，由于此题表达式为分式，根据分式有意义的条件，分母不为零，得到自变量的取值范围．14．若一个函数图象经过点A（1，3），B（3，1），则关于此函数的说法：①该函数可能是一次函数；②点P（2，2.5），Q（2，3.5）不可能同时在该函数图象上；15 / 27③函数值y 一定随自变量x 的增大而减小；④可能存在自变量x 的某个取值范围，在这个范围内函数值y 随自变量x 增大而增大． 所有正确结论的序号是 ___． 【答案】①②④ 【分析】根据函数的定义，一次函数的图象及函数的性质一一分析即可求解． 【详解】解：①因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线，故该函数可能是一次函数，故正确；②由函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x ，y ，对于x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对应，则y 是x 的函数，x 叫自变量，所以点P （2，2.5），Q （2，3.5）不可能同时在该函数图象上，故正确；③因为函数关系不确定，所以函数值y 不一定一直随自变量x 的增大而减小，故错误； ④可能存在自变量x 的某个取值范围，在这个范围内函数值y 随自变量x 增大而增大，故正确； 故答案为①②④． 【点睛】本题主要考查函数的定义及一次函数的图象与性质，熟练掌握函数的定义及一次函数的图象与性质是解题的关键．15．在圆周长公式2C r π=中，常量是__________． 【答案】2π 【分析】根据常量的定义即可解答． 【详解】解：圆周长公式2C r π=中，常量是2π， 故答案为：2π． 【点睛】本题考查了常量的定义，正确理解定义是关键．16．如图，平面直角坐标系中O 是原点，等边△OAB 的顶点A 的坐标是（2，0），点P 以每秒1个单位长度的速度，沿O →A →B →O →A …的路线作循环运动，点P 的坐标是__________________．【答案】12⎛ ⎝⎭【分析】计算前面7秒结束时的各点坐标，得出规律，再按规律进行解答便可． 【详解】解：由题意得，第1秒结束时P 点运动到了线段OA 的中点C 的位置，所以P 1的坐标为P 1（1，0）；第2秒结束时P 点运动到了点A 的位置，所以P 2的坐标为P 2（2，0）；第3秒结束时P 点运动到了线段AB 的中点D 的位置，如下图所示，过D点作x轴的垂线交于x2处，∵△OAB是等边三角形，且OA=2，∴在Rt△AD x2中，∠DA x2=60°，AD=1，∴21 2Ax=，2Dx=故D点的坐标为32⎛⎝⎭，即P332⎛⎝⎭;第4秒结束时P点运动到了点B的位置，同理过B点向x轴作垂线恰好交于点C，在Rt△OBC中，∠BOC =60°，2OB=，1OC=,BC故B点的坐标为（1，即P4（1；第5秒结束时P点运动到了线段OB的中点E的位置，根据点D即可得出E点的坐标为12⎛⎝⎭，即 P512⎛⎝⎭；第6秒结束时运动到了点O的位置，所以P6的坐标为P6（0，0）；第7秒结束时P点的坐标为P7（1，0），与P1相同；……17 / 27由上可知，P 点的坐标按每6秒进行循环， ∵2021÷8＝336……5，∴第2021秒结束后，点P 的坐标与P 5相同为12⎛ ⎝⎭，故答案为：12⎛ ⎝⎭．【点睛】本题主要考查了点的坐标特征，等边三角形的性质，数字规律，关键是求出前面几个点坐标，得出规律．17．平面直角坐标系中，点()5,3A -，()0,3B ，()5,0C -，在y 轴左侧一点(),P a b （0b ≠且点P 不在直线AB 上）．若40APO ∠=︒，BAP ∠与COP ∠的角平分线所在直线交于D 点．则ADO ∠的度数为______°．【答案】110或70 【分析】分两种情况，①点P 在AO 下方，设AP 与CO 交于点N ，过点N 作//NM AD ，先证明NM 平分PNO ∠，根据“三角形两内角平分线的夹角与第三个角的关系”，可以得出1902NMO P ∠=+∠，即可求解；②点P 在AO 上方，设PO 与AB 交于点M，过点M 作//NM OD ，先证明NM 平分PNA ∠，根据“三角形两内角平分线的夹角与第三个角的关系”，可以得出1902NMA P ∠=+∠，即可求解． 【详解】19 / 27解：分两种情况， ①点P 在AO 下方时，设AP 与CO 交于点N ，过点N 作//NM AD ，PAD PNM ∴∠=∠， //AB NO ， BAN ONP ∴∠=∠，AD 平分BAN ∠，12PAD BAN ∴∠=∠，12PNM ONP ∴∠=∠，NM∴平分ONP ∠，OM 平分NOP ∠，111(180)70222MNO NOM ONP PON NPO ∴∠+∠=∠+∠=-∠=︒，110NMO ∴∠=︒， //NM AD ，110ADO NMO ∴∠=∠=︒；①点P 在AO 上方时，设AB 与PO 交于点N ，过点N 作//NM OD ，POD PNM ∴∠=∠，//AB CO ，PNA POC ∴∠=∠，DO 平分POC ∠，12POD POC ∴∠=∠，12PNM PNA ∴∠=∠，NM∴平分ANP ∠，直线CD 平分NAP ∠，111(180)70222MNA NAM PNA PAN NPA ∴∠+∠=∠+∠=-∠=︒，110NMA ∴∠=︒， //NM AD ，18070ADO NMO ∴∠=-∠=， 70ADO ∴∠=︒或110︒．故答案为：70或110．【点睛】本题主要考查了三角形双内角平分线模型，平行线的性质，解题的关键是找基本模型． 18．一个三角形的底边长是3，高x 可以任意伸缩，面积为y ，y 随x 的变化变化，则其中的常量为________，y 随x 变化的解析式为______________． 【答案】3 32y x = 【分析】先根据变量与常量的定义，得到3为常量，x 和y 为变量，再根据三角形面积公式得到21 / 27y =12×3×x =32x （x ＞0）， 【详解】解：数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量，因此常量为底边长3，由三角形的面积公式得y 随x 变化的解析式为32y x =． 故答案为：3；32y x =. 【点睛】本题考查主要函数关系式中的变量与常量和列函数关系式解决本题的关键是要理解函数关系中常量和变量． 三、解答题19．已知一个圆柱的底面半径是3cm ，当圆柱的高(cm)h 变化时，圆柱的体积()3cm V 也随之变化．（1）在这个变化过程变量h 、V 中，自变量是______，因变量是______； （2）在这个变化过程中，写出圆柱的体积V 与高h 之间的关系式；（3）当圆柱的高h 由3cm 变化到6cm 时，圆柱的体积V 由______变化到______． 【答案】（1）h ，V ；（2）9V h π=；（3）327cm π，354cm π 【分析】（1）利用函数的概念进行回答；（2）利用圆柱的体积公式求解；（3）分别计算出h ＝3和6对应的函数值可得到V 的变化情况． 【详解】解：（1）在这个变化过程中，自变量是h ，因变量是V ；故答案为h ，V ；（2）V ＝π•32•h ＝9πh ；（3）当h ＝3cm 时，V ＝27πcm 3；当h ＝6cm 时，V ＝54πcm 3；所以当h 由3cm 变化到6cm 时，V 是由27πcm 3变化到54πcm 3．故答案为：27πcm3；54πcm3．【点睛】本题考查了函数关系式：用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式．函数解析式是等式．解决此题的关键是圆柱的体积公式．20．一辆大客车和一辆小轿车同时从甲地出发去乙地，匀速而行，大客车到达乙地后停止，小轿车到达乙地后停留4小时，再按照原速从乙地出发返回甲地，小轿车返回甲地后停止，已知两车距甲地的路程s千米与所用的时间t小时的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：（1）在上述变化过程中，自变量是________；因变量是________；（2）小轿车的速度是________km/h，大客车的速度是________ km/h；（3）两车出发多少小时后两车相遇，两车相遇时，距离甲地的路程是多少？【答案】（1）t，s；（2）50，30；（3）15小时，450km【分析】（1）根据函数图像可得；（2）根据函数图象中的数据，可以计算出小轿车和大客车的速度；（3）设两车出发xh时，两车相遇，根据题意列出方程，解之可得x，再乘以大客车的速度可得到甲地的距离．【详解】解：（1）自变量是时间t；因变量是路程s；（2）由图象可得，小轿车的速度为：500÷10=50（km/h），大客车的速度为：500÷503=30（km/h），故答案为：50，30；（3）设两车出发x小时，两车相遇，30x+50（x-14）=500，解得，x=15，30x=30×15=450，即两车出发15h后两车相遇，两车相遇时，距离甲地的路程是450km，故答案为：15，450．【点睛】本题考查了从函数图像获取信息，一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，结合函数图像得到必要信息．21．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，C（4，0），A（a，3），B（a＋4，3）（1）求ΔOAC的面积；（2）若aOABC是菱形．【答案】（1）6；（2）见解析【分析】（1）过点A（a，3）作AE⊥x轴于点E，根据A（a，3），C（4，0）求出AE和OC的长度，23 / 27然后根据三角形面积公式求解即可；（2）首先根据点A 和点B 的纵坐标相同得到//AB OC ，然后结合AB OC =得到四边形OABC 是平行四边形，然后根据勾股定理求出OA 的长度，得到OA =OB ，根据菱形的判定定理即可证明． 【详解】解：（1）如图所示，过点A （a ，3）作AE ⊥x 轴于点E ，则AE =3， 又∵C （4，0）， ∴OC =4，∴S △OAC =11=43622OC AE ⨯⨯⨯⨯=．（2）若a =)A ，)43B ，， ∵A B y y =， ∴//AB OC ， ∵44AB OC ==，， ∴AB OC =．∴四边形OABC 是平行四边形， 过点A 作AE ⊥x 轴，则90AEO ∠=︒，3AE OE ==，∴4OA =，∴OA AB=，∴四边形OABC是菱形．【点睛】此题考查了三角形面积的求法，菱形的判定，解题的关键是根据题意找到坐标和线段的关系．22．定义：平面直角坐标系中，点M（a，b）和点N（m，n）的距离为MN，例如：点（3，2）和（4，0（1）在平面直角坐标系中，点（2，5-）和点（2，1）的距离是，点（72，3）和点（12，1-）的距离是；（2）在平面直角坐标系中，已知点M（2-，4）和N（6，3-），将线段MN平移到M ′ N′，点M的对应点是M′，点N的对应点是N′，若M′的坐标是（8-，m），且MM′=10，求点N′的坐标；（3）在平面直角坐标系中，已知点A在x轴上，点B在y轴上，点C的坐标是（12，5），若BC=13，且△ABC的面积是20，直接写出点A的坐标．【答案】（1）6，5；（2）当M′（-8，12）时，N′（0，5），当M′（-8，-4）时，N′（0，-11）；（3）（8，0）或（-8，0）或（16，0）或（32，0）【分析】（1）分别利用两点间距离公式求解即可．（2）构建方程求出m的值，可得结论．（3）设(0,)B t，构建方程求出t的值，可得结论．【详解】解：（1）点(2,5)-和点(2,1)的距离6，25 / 27点7(2，3)和点1(2，1)-的距离5=， 故答案为：6，5． （2）由题意，10MM '=，∴10=，12m =∴或4-，(8,12)M ∴'-或(8,4)--，当(8,12)M '-时，(0,5)N '， 当(8,4)M '--时，(0,11)N '-． （3）设(0,)B t ，(12,5)C ，13BC =，∴13，解得0t =或10，(0,0)B ∴或(0,10)，当(0,0)B 时，20ABC S ∆=，∴15202OA ⨯⨯=， 8OA ∴=，(8,0)A ∴或(8,0)-．当(0,10)B 时，20ABC BOC AOC AOB S S S S ∆∆∆∆=+-=或20ABC AOC AOB BOC S S S S ∆∆∆∆=--=，∴111101*********OA OA ⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯=或111101012520222OA OA ⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=，16OA ∴=或32，∴或(32,0)，A(16,0)综上所述，满足条件的点A的坐标为(8,0)或(8,0)-或(16,0)或(32,0)．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了两点间距离公式，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．27 / 27。
2021届中考数学专题复习训练——二次函数 专题13.1二次函数综合之角度相等、45°角、二倍角
二次函数角度问题 （角相等，45°角，二倍角）【经典例题1——角度相等】通过平行线，等腰等角，相似求解抛物线y ＝ax 2＋c 与x 轴交于A 、B 两点，顶点为C ，点P 为抛物线上，且位于x 轴下方．（1）如图1，若P (1，－3)、B (4，0)， ① 求该抛物线的解析式；② 若D 是抛物线上一点，满足∠DPO ＝∠POB ，求点D 的坐标；【解析】(1)①将P(1，−3)，B(4，0)代入y=ax 2+c ，得⎩⎨⎧-=+=+3016c a c a ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==51651c a ，∴抛物线的解析式为y=51x 2−516；②如图1，当点D 在OP 左侧时，由∠DPO=∠POB ，得DP ∥OB ， ∴D 与P 关于y 轴对称，且P(1，−3)， ∴D(−1，−3)；当点D 在OP 右侧时，延长PD 交x 轴于点G. 作PH ⊥OB 于点H ，则OH=1，PH=3. ∵∠DPO=∠POB ， ∴PG=OG.设OG=x ，则PG=x ，HG=x −1.在Rt △PGH 中，由x 2=(x −1)2+32，得x =5. ∴点G(5，0).∴直线PG 的解析式为y=43x −415，∴MF=1，BF=2， ∴M （2，1）…（5分） ∵MN 是BC 的垂直平分线， ∴CN=BN ，设ON=x ，则CN=BN=4-x ， 在Rt △OCN 中，CN 2=OC 2+ON 2， ∴（4-x ）2=22+x 2，解得：x =23，∴N （23，0）．设直线DE 的解析式为y=kx +b ，依题意，得：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+02312b k b k ，解得：⎩⎨⎧-==32b k ．∴直线DE 的解析式为y=2x -3． 解法二：如图2，设BC 的垂直平分线DE 交BC 于M ，交x 轴于N ，连接CN ，过点C 作CF ∥x 轴交DE 于F ． ∵MN 是BC 的垂直平分线， ∴CN=BN ，CM=BM ． 设ON=x ，则CN=BN=4-x ， 在Rt △OCN 中，CN 2=OC 2+ON 2， ∴（4-x ）2=22+x 2，解得：x =23，∴N （23，0）． ∴BN=4-23=25．∵CF ∥x 轴，∴∠CFM=∠BNM ． ∵∠CMF=∠BMN ，∴△CMF ≌△BMN ．∴CF=BN ．∴F （25，2）．设直线DE 的解析式为y=kx +b ，得：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+02312b k b k ，解得：⎩⎨⎧-==32b k∴直线DE 的解析式为y=2x -3．（3）由（1）得抛物线解析式为y=21x 2-25x +2，【解析】(1)∵y=−x2+(a+1)x−a解得x 1=a ，x 2=1由图象知：a <0 ∴A(a ，0)，B(1，0) ∵S △ABC =6 ∴21(1−a )(−a )=6 解得：a =−3，(a =4舍去)； (2)如图①，∵A(−3，0)，C(0，3)， ∴OA=OC ，∴线段AC 的垂直平分线过原点， ∴线段AC 的垂直平分线解析式为：y=−x ， ∵由A(−3，0)，B(1，0)， ∴线段AB 的垂直平分线为x =−1 将x=−1代入y=−x ， 解得：y=1∴△ABC 外接圆圆心的坐标(−1，1)(3)如图②，作PM ⊥x 轴交x 轴于M ，则S △BAP =21AB ⋅PM=21×4d ∵S △PQB =S △PAB∴A 、Q 到PB 的距离相等， ∴AQ ∥PB设直线PB 解析式为：y=x +b ∵直线经过点B(1，0)所以：直线PB 的解析式为y=x −1 联立y=−x 2−2x +3；y=x −1. 解得：x =−4；y=−5. ∴点P 坐标为(−4，−5) 又∵∠PAQ=∠AQB ，∴∠BPA=∠PBQ ，∴AP=QB ， 在△PBQ 与△BPA 中，AP=QB ，∠BPA=∠PBQ ，PB=BP ， ∴△PBQ ≌△ABP(SAS)， ∴PQ=AB=4设Q(m ，m+3)由PQ=4得：(m+4)2+(m+3+5)2=42解得：m=−4，m=−8(当m=−8时，∠PAQ ≠∠AQB ，故应舍去) ∴Q 坐标为(−4，−1).练习1-1如下图，已知抛物线y＝ax2＋bx+5经过A(-5，0)，B(-4，-3)两点，与x 轴的另一个交点为C，顶点为D，连接CD.（1）求该抛物线的表达式.（2）点P为该抛物线上一动点（与点B，C不重合），设点P的横坐标为t.该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC=∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由练习1-2.如图，抛物线y=ax2＋bx+6与x轴交于点A（﹣2，0）、点B（6，0），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点D（4，m）在抛物线上，连接BC、BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC=∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由；练习1-3.(2019泰安)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴、y轴分别交于点A(3，0)、B(0，－2)，且过点C(2，－2)．(1)求二次函数解析式；(2)若点P为抛物线上第一象限内的点，且S△PBA＝4，求点P的坐标；(3)在抛物线上(AB下方)是否存在点M，使∠ABO＝∠ABM？若存在，求出点M 到y轴的距离；若不存在，请说明理由．练习1-4.抛物线322++-=x x y 与x 轴交于点A ，B （A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求直线BC 的解析式；（2）抛物线的对称轴上存在点P ，使∠APB=∠ABC ，利用图1求点P 的坐标； （3）点Q 在y 轴右侧的抛物线上，利用图2比较∠OCQ 与∠OCA 的大小，并说明理由．练习1-5如图(1)，直线y=−34x +n 交x 轴于点A ，交y 轴于点C(0，4)，抛物线y=32x 2+bx +c 经过点A ，交y 轴于点B(0，−2).点P 为抛物线上一个动点，过点P 作x 轴的垂线PD ，过点B 作BD ⊥PD 于点D ，连接PB ，设点P 的横坐标为m. (1)求抛物线的解析式；(2)当△BDP 为等腰直角三角形时，求线段PD 的长；(3)如图(2)，将△BDP 绕点B 逆时针旋转，得到△BD′P′，当旋转角∠PBP′=∠OAC ，且点P 的对应点P′落在坐标轴上时，请直接写出点P 的坐标。
部编数学七年级下册期末难点特训(三)和平面直角坐标系有关的压轴题(解析版)含答案
(1)已知点A的坐标为（﹣3，1），(1)请直接写出点A ，B ，C 的坐标；(2)如图（1），若点D 的坐标为()1,0-，点(),F m n 为线段DE 12，求m 的取值范围；(3)如图（2），若DE 与y 轴的交点G 在B 点上方，点P 为EBO Ð，BPD Ð，PDA Ð之间的数量关系．【答案】(1)()4,0A ，()0,2B ，()0,3C -14Q 将线段AB 平移到DE ，AB DE \=，AB DE ∥，AD =\四边形ABED 的面积25=´=152ABF ABEDS S D \==四边形，ABF ADF ABO ABFD S S S S D D D =+=+Q 四边形11155422(222n m \+´´=´´+´´-Q将线段AB平移到DE \∥，AD BE AB DE∥ADP BFD\Ð=Ð，\Ð=°-Ð=180180 PFB BFD Q，Ð=Ð+ÐEBO BPD BFPEBO BPD\Ð=Ð+°-Ð180Q将线段AB平移到DE \∥，AD BE\Ð+Ð=°，PDA BFD180\Ð=°-Ð，180BFP PDAÐ=Ð+ÐQ，EBO BFP BPF\Ð=°-Ð+180180 EBO PDA如图，当点P 在AD 的延长线与y 轴的交点T 上方时，EBO BEG EGB Ð=Ð+ÐQ ，又BE AD Q ∥，BEG GDT \Ð=Ð，由对顶角得EGB TGD Ð=Ð，PTD TGD TDG Ð=Ð+ÐQ ，PTD EBO \Ð=Ð，PDA PTD TPD Ð=Ð+ÐQ ，PDA EBO BPD\Ð=Ð+Ð综上所述：当点P 在点B 的下方时，180EBO BPD ADP Ð=Ð+°-Ð；当点P 在B 、与AD 的延长线与y 轴的交点之间时，360EBO PDA BPD Ð+Ð+Ð=°；当点P 在AD 的延长线与y 轴的交点T 上方时，PDA EBO BPD Ð=Ð+Ð．【点睛】本题是三角形综合题，考查了平移的性质，三角形面积公式，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．3．如图所示，在平面直角坐标系中，如图①，将线段AB 平移至线段CD ，点A 在x 轴的负半轴，点C 在y 轴的正半轴上，连接AC 、BD ．(1)若(3,0)A -、(2,2)B --，(0,2)C ，直接写出点D 的坐标；(2)如图②，在平面直角坐标系中，已知一定点(2,0)M ，两个动点(,21)E a a +、(,23)F b b -+．请你探索是否存在以两个动点E 、F 为端点的线段EF 平行于线段OM 且等于线段OM ，若存在，求点E 、F 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图③，在直线EF 上有两点A 、C ，分别引两条射线AB 、CD ．110BAF Ð=°，//EF OM Q ，EF OM =，\点E 与F 的纵坐标相等，横坐标的差的绝对值为即2123a b +=-+，||a b -=如图①，AB 与CD 在EF 的两侧时，110BAF Ð=°Q ，60DCF Ð=°，18060312031203ACD t t t \Ð=°-°-°´=°-°´=°-°要使//AB CD ，则ACD BAF ÐÐ=，即120°-解得5t =，此时(18060)340°-°¸°=，040t \<<，∴a−6＝0，c＋8＝0，∴a＝6，c＝−8，∴A（6，0），B（6，−8）．当点P到AB的距离为2个单位长度时，运动路程s＝6−2＝4或s＝6＋8＋2＝16，∴4÷2＝2s或16÷2＝8s，故答案为：2s或8s；(2)①当0≤t≤3时，点P在OA上，此时，P（2t，0）；②当3≤t≤7时，点P在AB上，此时PA＝2t−6，由于点P在第四象限，纵坐标小于0，则P （6，6−2t）；③当7≤t≤10时，点P在BC上，此时PB＝2t−OA−AB＝2t−14，PC＝BC−PB＝6−（2t−14）＝20−2t，∴P（20−2t，−8）；(3)当点P在线段AB上时，分两种情况：①如图3中，结论：∠PEA＋∠PFC＝160°，理由如下：连接OP，∵∠PFC＝∠FPO＋∠FOP，∠AEP＝∠EOP＋∠EPO，∴∠PEA＋∠PFC＝∠FPO＋∠FOP＋∠EOP＋∠EPO＝∠AOF＋∠EPF＝90°＋70°＝160°；②如图4中，结论：∠PFC−∠AEP＝20°，理由如下：a______，b=______；(1)直接写出=轴上一点，且三角形ABP的面积为12，求点P=，设OC mAE BDQ∥，\ADQ=(1)求B 点的坐标时，小明是这样想的：先设B 点坐标为以()m n ,是方程2x y -=-的解；又因为B 点在直线BC 解，从而m ，n 满足228m n m n -=-ìí+=î，据此可求出B 点坐标为______；C 点坐标为______．（均直接写出结果）(2)若线段BC 上存在一点D ，使12OCD ABC S S =△△（O∵S△ABM+S梯形AMNF=S△FBN，∴1 2×4×4+12（4+FN）×3=12×FN×7，∴FN=7，∴F（-5，-3），过点∠MDQ=90°，△MDQ是等腰直角三角形，过点D作DG⊥x轴于E，过点M作MG⊥DG于G，同理得△BOA≌△AED，△MGD≌△DEQ，∴DE=MG=OA=2，OE=2+6=8，∴OE=8=m+2，∴m=6，∴OQ=OE+EQ=OE+DG=8+2+3m-6=3m+4=22，∴Q（22，0）；③如图4，∠MDQ=90°，△MDQ 是等腰直角三角形，过点D作DE⊥x轴于E，过M作MG∥y轴，过点D作DG⊥MG于G，同理得：OA=DE=DG=2，∴m=2+6+2=10，∴OQ=EQ-OE=MG-OE=2+3m-6-8=18，∴Q（-18，0）；综上，点Q的坐标为（-3，0）或（22，0）或（-18，0）．【点睛】本题是三角形的综合题，考查了坐标与图形性质及非负数的性质，等腰直角三角形的性质和判定，三角形全等的性质和判定等知识，解决本题的关键是作辅助线构建三角形全等．过点过点过点(1)求点A ，B 的坐标；(2)如图1，将AB 平移到A B ¢¢，使点B 的对应点B ¢落在x 轴的正半轴上，在且20ABP Ð=°，试判断PB A ¢¢Ð与B PB ¢Ð之间的数量关系，并说明理由；(3)如图2，线段AB 与y 轴交于点M ，将AB 平移到A B ¢¢，连接MA ¢∵由平移得：AB A B ¢¢∥∴PQ A B ¢¢∥∴QPB PB A ¢¢¢Ð=Ð，20QPB PBA Ð=Ð=°∴PB A QPB B PB QPB B PB PBA ¢¢¢¢¢Ð=Ð=Ð+Ð=Ð+Ð∵ACDB ACOM OMDBS S S =+梯形梯形梯形∴()()(111826246222m ´´+=´++´´解得：4m =如图3，过点A ¢、B ¢构造矩形A GEF ¢∴A B M A GB MEB A GEF S S S S ¢¢¢¢¢¢=---矩形△△△(1118884488222n n =´-´´-´×-´×-64162324n n---+216n =+\Ð∵Q由平移可得：,MN PQ ∥180,MNQ PQN EQP MNE ENQ EQN \Ð+Ð=°=Ð+Ð+Ð+Ð 180,NEQ ENQ EQN Ð+Ð+Ð=°Q,NEQ EQP MNE \Ð=Ð+Ð如图，当E 在NQ 的右边，直线MN 的左边时，（包括E 在这两条直线上），同理可得：180,180,MNQ PQN QNE NEQ NQE Ð+Ð=°Ð+Ð+Ð=° 360,MNE NEQ EQP \Ð+Ð+Ð=°如图，当E 在直线MN 的右边时，记直线MN 与EQ 的交点为F ，同理，当C 点平移后的点不是“自大点时”， 1t …或3t …，\当平移后的正方形边界及其内部的所有点都不是“自大点”时，1t …或7t …，故答案为：1t …或7t …．【点睛】本题主要考查正方形的性质，坐标与图形的平移变化，根据题意，准确找出“自大点”的纵横坐标满足的关系是解答此题的关键．。
2021届中考数学专题复习训练——二次函数 专题13.1二次函数综合之角度相等、45°角、二倍角
二次函数角度问题 （角相等，45°角，二倍角）【经典例题1——角度相等】通过平行线，等腰等角，相似求解抛物线y ＝ax 2＋c 与x 轴交于A 、B 两点，顶点为C ，点P 为抛物线上，且位于x 轴下方．（1）如图1，若P (1，－3)、B (4，0)， ① 求该抛物线的解析式；② 若D 是抛物线上一点，满足∠DPO ＝∠POB ，求点D 的坐标；【解析】(1)①将P(1，−3)，B(4，0)代入y=ax 2+c ，得⎩⎨⎧-=+=+3016c a c a ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==51651c a ，∴抛物线的解析式为y=51x 2−516；②如图1，当点D 在OP 左侧时，由∠DPO=∠POB ，得DP ∥OB ， ∴D 与P 关于y 轴对称，且P(1，−3)， ∴D(−1，−3)；当点D 在OP 右侧时，延长PD 交x 轴于点G. 作PH ⊥OB 于点H ，则OH=1，PH=3. ∵∠DPO=∠POB ， ∴PG=OG.设OG=x ，则PG=x ，HG=x −1.在Rt △PGH 中，由x 2=(x −1)2+32，得x =5. ∴点G(5，0).∴直线PG 的解析式为y=43x −415，∴MF=1，BF=2， ∴M （2，1）…（5分） ∵MN 是BC 的垂直平分线， ∴CN=BN ，设ON=x ，则CN=BN=4-x ， 在Rt △OCN 中，CN 2=OC 2+ON 2， ∴（4-x ）2=22+x 2，解得：x =23，∴N （23，0）．设直线DE 的解析式为y=kx +b ，依题意，得：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+02312b k b k ，解得：⎩⎨⎧-==32b k ．∴直线DE 的解析式为y=2x -3． 解法二：如图2，设BC 的垂直平分线DE 交BC 于M ，交x 轴于N ，连接CN ，过点C 作CF ∥x 轴交DE 于F ． ∵MN 是BC 的垂直平分线， ∴CN=BN ，CM=BM ． 设ON=x ，则CN=BN=4-x ， 在Rt △OCN 中，CN 2=OC 2+ON 2， ∴（4-x ）2=22+x 2，解得：x =23，∴N （23，0）． ∴BN=4-23=25．∵CF ∥x 轴，∴∠CFM=∠BNM ． ∵∠CMF=∠BMN ，∴△CMF ≌△BMN ．∴CF=BN ．∴F （25，2）．设直线DE 的解析式为y=kx +b ，得：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+02312b k b k ，解得：⎩⎨⎧-==32b k∴直线DE 的解析式为y=2x -3．（3）由（1）得抛物线解析式为y=21x 2-25x +2，【解析】(1)∵y=−x2+(a+1)x−a解得x 1=a ，x 2=1由图象知：a <0 ∴A(a ，0)，B(1，0) ∵S △ABC =6 ∴21(1−a )(−a )=6 解得：a =−3，(a =4舍去)； (2)如图①，∵A(−3，0)，C(0，3)， ∴OA=OC ，∴线段AC 的垂直平分线过原点， ∴线段AC 的垂直平分线解析式为：y=−x ， ∵由A(−3，0)，B(1，0)， ∴线段AB 的垂直平分线为x =−1 将x=−1代入y=−x ， 解得：y=1∴△ABC 外接圆圆心的坐标(−1，1)(3)如图②，作PM ⊥x 轴交x 轴于M ，则S △BAP =21AB ⋅PM=21×4d ∵S △PQB =S △PAB∴A 、Q 到PB 的距离相等， ∴AQ ∥PB设直线PB 解析式为：y=x +b ∵直线经过点B(1，0)所以：直线PB 的解析式为y=x −1 联立y=−x 2−2x +3；y=x −1. 解得：x =−4；y=−5. ∴点P 坐标为(−4，−5) 又∵∠PAQ=∠AQB ，∴∠BPA=∠PBQ ，∴AP=QB ， 在△PBQ 与△BPA 中，AP=QB ，∠BPA=∠PBQ ，PB=BP ， ∴△PBQ ≌△ABP(SAS)， ∴PQ=AB=4设Q(m ，m+3)由PQ=4得：(m+4)2+(m+3+5)2=42解得：m=−4，m=−8(当m=−8时，∠PAQ ≠∠AQB ，故应舍去) ∴Q 坐标为(−4，−1).练习1-1如下图，已知抛物线y＝ax2＋bx+5经过A(-5，0)，B(-4，-3)两点，与x 轴的另一个交点为C，顶点为D，连接CD.（1）求该抛物线的表达式.（2）点P为该抛物线上一动点（与点B，C不重合），设点P的横坐标为t.该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC=∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由练习1-2.如图，抛物线y=ax2＋bx+6与x轴交于点A（﹣2，0）、点B（6，0），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点D（4，m）在抛物线上，连接BC、BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC=∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由；练习1-3.(2019泰安)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴、y轴分别交于点A(3，0)、B(0，－2)，且过点C(2，－2)．(1)求二次函数解析式；(2)若点P为抛物线上第一象限内的点，且S△PBA＝4，求点P的坐标；(3)在抛物线上(AB下方)是否存在点M，使∠ABO＝∠ABM？若存在，求出点M 到y轴的距离；若不存在，请说明理由．练习1-4.抛物线322++-=x x y 与x 轴交于点A ，B （A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求直线BC 的解析式；（2）抛物线的对称轴上存在点P ，使∠APB=∠ABC ，利用图1求点P 的坐标； （3）点Q 在y 轴右侧的抛物线上，利用图2比较∠OCQ 与∠OCA 的大小，并说明理由．练习1-5如图(1)，直线y=−34x +n 交x 轴于点A ，交y 轴于点C(0，4)，抛物线y=32x 2+bx +c 经过点A ，交y 轴于点B(0，−2).点P 为抛物线上一个动点，过点P 作x 轴的垂线PD ，过点B 作BD ⊥PD 于点D ，连接PB ，设点P 的横坐标为m. (1)求抛物线的解析式；(2)当△BDP 为等腰直角三角形时，求线段PD 的长；(3)如图(2)，将△BDP 绕点B 逆时针旋转，得到△BD′P′，当旋转角∠PBP′=∠OAC ，且点P 的对应点P′落在坐标轴上时，请直接写出点P 的坐标。
七(下)培优训练(三)平面直角坐标系综合问题(压轴题)
培优训练三：平面直角坐标系（压轴题）一、坐标与面积：【例1】如图，在平面直角坐标中,A (0，1)，B (２，0）,C (2，１.５). (1)求△AB Ｃ的面积;（2)如果在第二象限内有一点Ｐ(a ，0.5），试用a 的式子表示四边形ＡBOP 的面积;(3)在(2）的条件下，是否存在这样的点P ，使四边形ＡＢOP 的面积与△ＡB Ｃ的面积相等?若存在，求出点P 的坐标，若不存在,请说明理由．yxPOCBA【例2】在平面直角坐标系中,已知A （-3,0)，B （－2，－2),将线段AB 平移至线段CD .图1y xDO CB A图2y xDOCB AyxOBAyxOBA(1）如图1,直接写出图中相等的线段,平行的线段；(2）如图2，若线段ＡB 移动到ＣD ,C 、D 两点恰好都在坐标轴上，求C 、D 的坐标;（3）若点C 在y 轴的正半轴上,点Ｄ在第一象限内，且Ｓ△ＡCD =5,求Ｃ、D 的坐标；(4）在y 轴上是否存在一点P ,使线段AB 平移至线段PQ 时，由A 、B 、Ｐ、Q 构成的四边形是平行四边形面积为１０，若存在,求出P 、Ｑ的坐标,若不存在,说明理由;【例3】如图，△ＡＢC 的三个顶点位置分别是A (1，０)，B (-2，３),C (－3,0）.（1)求△ＡBC 的面积；（2)若把△AB Ｃ向下平移2个单位长度,再向右平移3个单位长度,得到△A B C ''',请你在图中画出△A B C '''； （3）若点Ａ、Ｃ的位置不变,当点P 在y 轴上什么位置时，使2ACPABCS S=；(4)若点B 、Ｃ的位置不变,当点Ｑ在x 轴上什么位置时,使2BCQABCS S=．【例４】如图1,在平面直角坐标系中,A (a ，0）,C (ｂ,２），且满足2(2)20a b ++-=，过C 作CB ⊥x 轴于Ｂ.（1）求三角形ABC 的面积;（２)若过Ｂ作BD ∥AC 交y 轴于Ｄ,且AE ,D Ｅ分别平分∠ＣA Ｂ,∠ODB ，如图2,求∠ＡE Ｄ的度数；(３）在y 轴上是否存在点P ,使得三角形ABC 和三角形A ＣP 的面积相等,若存在,求出P 点坐标;若不存在，请说明理由.【例５】如图,在平面直角坐标系中，四边形AB ＣD 各顶点的坐标分别是Ａ(0，0)，Ｂ（７，0）,C （９，５）,D （2,７)(1)在坐标系中,画出此四边形; (２)求此四边形的面积;（3)在坐标轴上，你能否找一个点P ，使S △ＰBC =50， 若能,求出P 点坐标,若不能，说明理由.【例6】如图,Ａ点坐标为(－２， 0）, B 点坐标为（0， －3). (１)作图，将△ＡＢＯ沿ｘ轴正方向平移4个单位, 得到△ＤEF , 延长ED 交y 轴于Ｃ点, 过Ｏ点作O Ｇ⊥C Ｅ， 垂足为G ;（2) 在(1)的条件下, 求证: ∠C ＯG =∠E ＤF ； （3)求运动过程中线段A Ｂ扫过的图形的面积．【例7】在平面直角坐标系中,点B （0,４)，Ｃ(-5,4），点A 是ｘ轴负半轴上一点，Ｓ四边形A ＯBC =24.图1yxHOFEDAC B（1)线段B Ｃ的长为 ,点Ａ的坐标为 ；(2）如图１，EA 平分∠CAO ,DA 平分∠CA Ｈ,ＣF ⊥A Ｅ点Ｆ，试给出∠ＥCF 与∠ＤAH 之间满足的数量关系式,并说明理由;(3)若点P 是在直线C Ｂ与直线AO 之间的一点,连接BP 、OP ，BN 平分CBP ∠，ＯＮ平分AOP ∠,ＢN 交ON 于Ｎ，请依题意画出图形,给出BPO ∠与BNO ∠之间满足的数量关系式,并说明理由. 【例８】在平面直角坐标系中,ＯＡ＝４,O Ｃ=8,四边形ＡＢC Ｏ是平行四边形．A(-2,0)B(0,-3)y x 0（1）求点B 的坐标及的面积ABCO S 四边形；(2)若点P 从点Ｃ以2单位长度／秒的速度沿ＣO 方向移动,同时点Q 从点O 以1单位长度/秒的速度沿OA 方向移动，设移动的时间为t 秒,△AQ Ｂ与△ＢPC 的面积分别记为AQB S ∆，BPC S ∆，是否存在某个时间,使AQB S ∆＝3OQBPS 四边形，若存在，求出t 的值,若不存在，试说明理由；(３）在（2）的条件下,四边形Q ＢPO 的面积是否发生变化,若不变，求出并证明你的结论，若变化,求出变化的范围.【例9】如图,在平面直角坐标系中，点A ，Ｂ的坐标分别为（－1，0)，(3,０）,现同时将点Ａ,B 分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位,分别得到点Ａ,B 的对应点Ｃ,D 连结AC ,B Ｄ. (1)求点C ,D 的坐标及四边形ABD Ｃ的面积S 四边形ABDC ；（2)在ｙ轴上是否存在一点P ,连结P A ,PB ，使S △ＰＡB =S △明理由；(3)若点Ｑ自O 点以0.5个单位/s 的速度在线段ＡＢ上移动,运动到Ｂ点就停止，设移动的时间为t 秒,(1)是否是否存在一个时刻,使得梯形CDQB 的面积是四边形ABCD 面积的三分之一？(4）是否是否存在一个时刻，使得梯形CDQB 的面积等于△ACO 面积的二分之一?【例10】在直角坐标系中,△ＡB Ｃ的顶点A (—2，0）,B （2，4),C (5，0）． (1）求△ＡＢC 的面积(2)点D 为ｙ负半轴上一动点，连BD 交x 轴于E ，是否存在点D 使得ADE BCE S S ∆∆=?若存在，请求出点D 的坐标;若不存在，请说明理由.（3）点F （5,n ）是第一象限内一点,，连ＢF ，CF ,G 是ｘ轴上一点，若△ABG 的面积等于四边形ABDC 的面积，则点G 的坐标为 （用含n 的式子表示）二、坐标与几何：【例1】如图,已知A （0,ａ），B （０，b)，C （m ，b)且(a －4)2＋|ｂ+３|=0,S △ABC ＝１4. （1）求Ｃ点坐标（2)作DE ⊥ＤC,交y 轴于Ｅ点,EF 为∠AED 的平分线，且∠DF Ｅ=900.求证：FD 平分∠ADO;(3)E 在y 轴负半轴上运动时，连E Ｃ,点Ｐ为A Ｃ延长线上一点，EM 平分∠AEC,且ＰM ⊥ＥM,PN ⊥x 轴于Ｎ点，PQ 平分∠ＡＰＮ，交ｘ轴于Ｑ点,则E 在运动过程中,错误!的大小是否发生变化,若不变，求出其值．【例2】如图，在平面直角坐标系中,已知点A(-5,0),B(5.0)，D(2,7)， (1)求Ｃ点的坐标；（２)动点P 从B 点出发以每秒1个单位的速度沿ＢA 方向运动，同时动点Ｑ从C 点出发也以每秒1位的速度沿ｙ轴正半轴方向运动（当P 点运动到A 点时,两点都停止运动)。
北师大版八年级数学上学期压轴题攻略专题09 平面直角坐标系压轴题的五种考法全梳理(原卷版)
专题09平面直角坐标系压轴题的五种考法全梳理目录【考法一、坐标系中的面积问题】 (1)【考法二、坐标中的角度问题】 (3)【考法三、坐标系中的定值定点问题】 (6)【考法四、坐标系中的将军饮马最值问题】 (6)【考法四、坐标系中的三角形全等问题】 (10)【课后训练】 (12)【考法一、坐标系中的面积问题】例．如图①，在平面直角坐标系中，()(),0,,A a C b c ，且满足()2330a c ++-=，过C 作CB x ⊥轴于B ．(1)ABC S = _______；(2)如图②，若过B 作BD AC ∥交y 轴于D ，且AE DE ，分别平分CAB ∠，ODB ∠，求AED ∠的度数；(3)在y 轴上是否存在点P ，使得APC ABC S S = P 点的坐标；若不存在，请说明理由．变式1．如图，在平面直角坐标系中，点()()()()0,,,,,7,4,0A a B b a C b D -，连接,AB AD ，连接CD 交y 轴于点E ，连接BC 交x 轴于点H ，且满足()280a -=．(1)直接写出点A 的坐标为，B 的坐标为，点C 的坐标为；(2)如图2，点P 从点A 出发以每秒2个单位长度的速度向B 运动，运动时间为t ，请用含t 的式子表示四边形PCDA 的面积；(3)如图3，点P 从点A 出发以每秒2个单位长度的速度向y 轴负方向运动，运动时间为t ，连接,,PC PD AC ，将线段AD 沿x 轴负方向平移17.5个单位长度，得到线段FG ，延长FG 正好与点C 相交，当45GCA CDP S S ∆∆=时，求出此时点P 的坐标．变式2．如图，在以点A 为原点的平面直角坐标系中，有一个长方形ABCD ，AB m =，BC n =，且80m -+=．点E 是CD 边上的一点，且2DE =，动点P 从A 点出发，以每秒2个单位长度的速度沿A B C E →→→运动，最终到达点E ．设点P 运动的时间为t 秒．(1)填空：m =______，n =______；(2)当8t =时，求APE V 的面积；(3)是否存在P 点使APE V 的面积等于20，若存在，请求出P 点坐标．若不存在，请说明理由．变式3．已知在平面直角坐标系中，(),0A a ，(),B a b -，且a 、b 2140a b +-=，连接AB 、OB ，AB 交y 轴于点C ，210AB AC ==．(1)求点A 、B 的坐标；(2)动点P 从点A 出发以每秒1个单位的速度沿射线AB 运动，运动的时间为t ，连接PO ，设POC △的面积为S ，请用含t 的式子表示S ．（不要求写出t 的取值范围）(3)在（2）的条件下，在点P 运动的同时，点R 从点A 出发以每秒3个单位的速度沿AO 向．左运动，点C 关于x 轴的对称点为D ，连接DR 、DB 、BR ，当点P 在AC 之间时，若3BDR POC S S =△△，求t 的值．【考法二、坐标中的角度问题】例．在平面直角坐标系中，四边形OABC 的顶点A 、C 分别在y 轴和x 轴上，顶点B 在第一象限，且AB x ∥轴．(1)如图1，5AB =，()0,A a ，(),0C c ，且a ，c 满足100a c +-+，直接写出点A 、B 、C 的坐标．(2)如图2，点P 是x 轴上点C 左边的一点，连接PB ，PBA ∠和PCB ∠的角平分线交于点D ，则CBP ∠与CDB ∠的数量关系为______，请证明你的结论．(3)如图3，若点N 是线段OA 延长上的一动点，NCH k OCH ∠=∠，CNQ k BNQ ∠=∠，其中1k >，NQ CJ ∥，求HCJ ABN∠∠的值（结果用含k 的式子表示）．变式1．在平面直角坐标系中，已知()()()0,0,,0,0,O A a B b 2(2)0b a -=．(1)写出,A B 两点的坐标；(2)如图1，已知坐标轴上有两个动点P Q 、同时出发，P 点从A 点出发沿x 轴负方向以每秒1个单位长度的速度移动，Q 点从O 点出发以每秒3个单位长度的速度沿y 轴正方向移动，点()1,4C 为线段AB 上一点．设运动时间为(0)t t >秒．问：是否存在这样的t ，使OCP OCQ S S =三角形三角形？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．(3)如图2，点G 是第二象限上的点，连,OG OG AB ∥，点F 是线段AB 上一点，满足2BOG BOF ∠=∠．点E 是射线OB 上一动点，连AE ，交直线OF 于点H ，当点E 在射线OB 上运动的过程中，求OHA ∠与,BAE OEA ∠∠的数量关系．变式2．如图1，在平面直角坐标系中，已知点(),0A x ，()0,B y ，且x ，y 满足26(2)0x y -+-=．(1)求AOB 的面积；(2)如图1，以AB 为斜边构造等腰直角ABC ，请直接写出点C 的坐标；(3)如图2，已知等腰直角ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 是腰AC 上的一点（不与A ，C 重合），连接BD ，过点A 作AE BD ⊥，垂足为点E ．①若BD 是ABC ∠的角平分线，求证：2BD AE =；②探究：如图3，连接CE ，当点D 在线段AC 上运动时（不与A ，C 重合），BEC ∠的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值．变式3．如图，在平面直角坐标系中，已知(),0A a ，()0,B b 两点分别在x 轴、y 轴正半轴上，且a ，b 2110a b -=；(1)如图(1)，若点C 坐标为()4,5，连接AC 、BC ，求ABC 的面积；(2)如图(2)，BD 是ABO ∠邻补角的平分线，BD 的反方向延长线与BAO ∠的平分线交于点E ，求AED ∠度数；(3)如图(3)，以AO 为边长作AOF 为等边三角形，AO AF OF ==，60AOF OFA FAO ∠=∠=∠=︒，若点M 、点N 分别是线段OA 、线段AF 上的两个动点，且OM AN =，ON 与MF 相交于点P ，在点M 、点N 运动过程中，请问OPF ∠的大小是否会发生改变？若改变，请说明理由；若不变，请证明并求出其值．【考法三、坐标系中的定值定点问题】例．在平面直角坐标系中，(,0)A a ，(,0)B b ，且满足2(a 2)0+=，过点B 作直线m x ⊥轴，点P 是直线m 上一动点，连接AP 交y 轴于点D ，过点B 作BC AP ∥交y 轴于C 点．(1)填空：=a ，b =．(2)如图，若AE CE ，分别平分PAB OCB ∠∠，，在点P 的运动过程中，AEC ∠的度数是否变化？若不变，请求出它的度数；若变化，请说明理由；(3)①若点P 的纵坐标为4-，点Q 在y 轴上，且APQ △的面积和ABP 的面积相等，请求出Q 点坐标；②在点P 的运动过程中，OD PB是否为定值？请说明理由．变式1．在平面直角坐标系中，,A P 分别是x 轴、y 轴正半轴上的点，B 是线段OA 上一点，连接PB ．(1)如图1，CA x ⊥轴于点,,A BC PB D ⊥是OP 上一点，且BDO PBO ∠=∠；①求证：DBO CBA ∠=∠；②若OP OA =，求证：BD BC BP +=；(2)如图2，()()5,0,2,0,A B G 是PB 的中点，连接,AG M 是x 轴负半轴上一点，2PM AG =，当点P 在y 轴正半轴上运动时，点M 的坐标是否会发生变化，若不变，求点M 的坐标，若改变，求出其变化的范围．变式2．（1）如图1，ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线l 经过点A ，分别过点B ，C 作直线l 的垂线，垂足分别为D ，E ，求证：CAE ABD ≌△△．（2）在（1）的条件下，猜想：线段AB ，BD ，AD 之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图2，在平面直角坐标系中，()3,0A ，点()0,P P y 是y 轴正半轴上的一个动点，以AP 为直角边作等腰直角APD △，点(),B B B x y 在第二象限内，且90APB ∠=︒，在点P 的运动过程中，P B y y -的值是否会发生变化？若不变，求出这个值；若变化，请说明理由．变式3．如图1，已知()0A a ，，(),0B b 且a ，b 满足2(2)40a b -+-=．(1)求A 、B 两点的坐标；(2)如图2，连接AB ，若()0,6D -，DE AB ⊥于点E ，B 、C 关于y 轴对称，M 是线段DE 上的一点，且DM AB =，连接AM ，试判断线段AC 与AM 之间的位置和数量关系，并证明你的结论；(3)如图3，在()2的条件下，若N 是线段DM 上的一个动点，P 是MA 延长线上的一点，且DN AP =，连接PN 交y 轴于点Q ，过点N 作NH y ⊥轴于点H ，当N 点在线段DM 上运动时线段QH 的长度是否发生变化？若是，请求取值范围；若不是，请求出QH 的长度．【考法四、坐标系中的将军饮马最值问题】例．阅读材料：的几何意义，并求它的最小值．=几何意义：如图，建立平面直角坐标系，点(,0)P x 是x 可以看成点P 与点(0,1)A P 与点(3,2)B 的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA 与PB 长度之和，它的最小值就是PA PB +的最小值．求最小值：设点A 关于x 轴对称点A '，则PA PA '=．因此，求PA PB +的最小值，只需求PA PB '+的最小值，而点A '，B 间的直线段距离最短，所以PA PB '+的最小值为线段A B '的长度．为此，构造直角三角形A CB '，因为3A C '=，3CB =，所以由勾股定理得A B '=，即原式的最小值为根据以上阅读材料，解答下列问题：(1)的值可以看成平面直角坐标系中点(,0)P x 与点(1,1)A ，点B 的距离之和．（填写点B 的坐标）(2)(),0P x 与点A 、点B 的距离之和．（填写点A ，B 的坐标）(3)变式1．如图1，直线l BC ⊥于点B ，90ACB ∠=︒，点D 为BC 中点，一条光线从点A 射向D ，反射后与直线l 交于点E （提示：作法线）．(1)求证：BE AC =；(2)如图2，连接AB 交DE 于点F ，连接FC 交AD 于点H ，AC BC =，求证：CF AD ⊥；(3)如图3，在（2）的条件下，点P 是AB 边上的动点，连接PC ，PD ，8ABD S =△，2CH =，求PC PD +的最小值．变式2．如图，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点分别为()()()2,3,3,1,1,2A B C ---．(1)请在图中作出ABC 关于y 轴对称的11l A B C △，并直接写出点A 的对应点1A 的坐标；(2)求出ABC 的面积；(3)在y 轴上有一点P ，使得ABP 的周长最小，在图中找出点P 的位置，并直接写出ABP 的周长最小值．变式3．已知：平面直角坐标系中，如图1，点(),A a b ，AB x ⊥轴于点B ，并且满足440a b ++-=．(1)试判断AOB 的形状，并说明理由．(2)如图2，若点C 为线段AB 的中点，连OC 并作OD OC ⊥，且OD OC =，连AD 交x 轴于点E ，求证:2BC BE =．(3)如图3，点M 为点B 的左边x 轴负半轴上一动点，以AM 为一边作45MAN ∠=︒交y 轴负半轴于点N ，连MN ，将AMN 沿直线AN 翻折，点M 的对应点为M '，点P 是x 轴上的一动点，当12OM AB '=且PAM '△的周长最小时，请直接写出ΔΔPAM PMM S S ''的值.【考法五、坐标系中的三角形全等问题】例．如图①，在平面直角坐标系中，AB 交y 轴和x 轴于A ，B 两点，点()0,A m ，(),0B n ，且m ，n ，满足25,3218.m n m n +=⎧⎨-=⎩(1)求点A ，B 的坐标；(2)如图②，过点A 作AD AB ⊥，截取AD AB =，点D 在第一象限内，过点D 作DC x ⊥轴于点C ，点P 从点A 出发以每秒2个单位长度的速度沿y 轴向下运动，连接DP ，DO ，若点P 运动的时间为t 秒，三角形PDO 的面积为S ，请用含t 的式子表示S ，并直接写出t 的取值范围；(3)在（2）的条件下，连接AC ，在坐标平面内是否存在点M （点M 不与点D 重合），使ACM △与ACD 全等？若存在，请直接写出点M 的坐标：若不存在，请说明理由．变式1．如图，将一块等腰直角三角板ABC 放置在平面直角坐标系中，已知，90ACB AC BC ∠=︒=，，点A 在y 轴的正半轴上，点C 在x 轴的负半轴上，点B 在第二象限，点A 坐标为()02，，点C 坐标为()10-，，过点B 作轴BD x ⊥与点D ．(1)求证：AOC CDB ≌ ；(2)求OD 的长并直接写出点B 的坐标；(3)连接AD ，在平面直角坐标系中是否存在点E 使得以点D C E 、、为顶点的三角形与ACD 全等？若存在直接写出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．变式2．如图，平面直角坐标系中有点()1，0B 和y 轴上一动点(0,)A a -，其中0a >，以点A 为直角顶点在第四象限内作等腰直角ABC ，设点C 的坐标为(,)c d ．(1)当2a =时，点C 的坐标为．(2)动点A 在运动的过程中，试判断+c d 的值是否发生变化，若不变，请求出其值；若发生变化，请说明理由．(3)当3a =时，在坐标平面内是否存在一点P （不与点C 重合），使PAB 与ABC 全等？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【课后训练】1．在平面直角坐标系中，(0,)A a，(,0)B b ，且a 、b |4|0b +=．(1)填空：=a ，b =；(2)如图1，点(2,)M t ，若三角形MAB 的面积为三角形OAB 的面积的2倍，求点M 的坐标；(3)如图2，若将线段AB 平移至CD ，点C 、D 也在坐标轴上，点F 为线段AB 上的一动点，①若P 为直线AB 、CD 之间的一个点，直接写出∠FPC 、PCD ∠、PFB ∠之间的数量关系；②连接OF ，若FP 平分BFO ∠，2BCP PCD ∠=∠，求式子CPF COF OFP∠∠+∠的值．2．如图，点(),0A a ，()0,B b ，满足()220a b b -+-=．图1图2(1)直接写出AOB 的面积为______．(2)如图1，点C 在线段AB 上（不与A 、B 重合）移动，AB BD ⊥，且CD AC BD =+，求COD ∠的度数．(3)如图2，()2,2F ，点E 是x 轴上一动点（点E 在点A 的左边且不与点O 重合），在y 轴正半轴上取一点K ，连接EK ，FK ，FE ，使45EFK ∠=︒，试探究线段BK ，KE ，EA 之间的数量关系，并给出证明．3．已知：四边形ABCO 是长方形，点E ，F 分别在边BC 和AB 上，()0,A n ，(),F m n ，(),2E k ，460m n ++-=．(1)m =______，n =______．(2)设EOF 的面积为S ，用含k 的式子表示S ．(3)在（2）的条件下，当26S =的情况下，动点P 从E 出发沿线段EB BA →运动，速度为每秒2个单位长度．运动时间为t ．求t 为何值时AEP △的面积与FOA 面积相等？4．如图1，在平面直角坐标系中，(),0A m ，()4,0B ，(),4C n ，且满足440m n +-=．(1)则m =______，n =______；(2)在x 轴上是否存在点P ，使得ABC 和OCP △的面积相等，若存在，求出点P 坐标，若不存在，试说明理由；(3)若过B 作BD AC ∥交y 轴于D ，且AE ，DE 分别平分CAB ∠，ODB ∠，如图2，图3，求AED ∠的度数．5．等腰Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，点A 、点B 分别是x 轴、y 轴两个动点，直角边AC 交x 轴于点D ，斜边BC 交y 轴于点E ．(1)如图1，若()0,1A ，()2,0B ，求C 点的坐标；(2)如图2，在等腰Rt ABC △不断运动的过程中，若满足BD 始终是ABC ∠的平分线，试探究：线段OA 、OD 、BD 三者之间是否存在某一固定的数量关系，并说明理由．6．如图，点(),0A a ，()0,B b ，满足()21220a b -+-=，若点P 为射线OA 上异于原点O 和点A 的一个动点．(1)如图1，①直接写出点A 的坐标为，点B 的坐标为；②当点P 位于点O 与点A 之间时，连接PB ，以线段PB 为边作等腰直角BPE （P 为直角顶点，B ，P ，E 按逆时针方向排列），连接AE ．求证：AB AE ⊥；(2)点D 是直线AB 上异于点A 与点B 的一点，使得BPO APD ∠∠=，过点D 作DF BP ⊥交y 轴于点F ，探究BP ，DP ，DF 之间的数量关系，并证明．7．已知，如图1，在平面坐标系中，(4,4)A -，B 、C 点分别为x 、y 轴负半轴上的动点，AB AC ⊥，垂足为A ．(1)直接写出AB 与AC 间的数量关系；(2)当B 、C 在x 、y 轴负半轴上运动时，线段OB 与OC 之间总存在某种固定的数量关系，请写出这种数量关系，并说明理由．(3)如图2，D 为第二象限AB 边上方一点，过D 作DE DB ⊥于D ，DE DB =，连EC ，并取EC 中点F ，连DF 、AF ，试探究线段DF 与AF 间的关系，写出结论，并说明理由．8．如图（1），在平面直角坐标系中．已知点()22A -，，()82B --，，将线段AB 平移得到线段DC ，点A 的对应点D 在x 轴上，点B 的对应点C 在y 轴上．(1)直接写出点D ，点C 的坐标；(2)若P 是y 轴上的一个动点，当三角形APD 的而积恰好等于三角形CPD 面积的两倍时，求点P 的坐标；(3)若动点E 从点D 出发向左运动，同时动点F 从点C 出发向上运动，两个点的运动速度之比为3:2，运动过程中直线DF 和CE 交于点M ．①当点M 在第二象限时，探究三角形DEM 和三角形CFM 面积之间的数量关系，并说明理由；②若三角形DCM 的面积等于14，直接写出点M 的坐标．。
2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题(特殊三角形问题)
2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题（特殊三角形问题）1．在平面直角坐标系中，由两条与x 轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．如图所示，抛物线1C 与抛物线2C ：()24120y mx mx m m =+->组成一个“月牙线”，相同的交点分别为M ，N （点M 在点N 的左侧），与y 轴的交点分别为A ，B ，且点A 的坐标为()0,1-．(1)求M ，N 两点的坐标及抛物线1C 的解析式；(2)若抛物线2C 的顶点为D ，当34m =时，试判断三角形MND 的形状，并说明理由；(3)在（2）的条件下，点5,4P t ⎛⎫- ⎪⎝⎭是抛物线1C 上一点，抛物线2C 第三象限上是否存在一点Q ，使得32APM ONQ S S =△△，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．2．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 分别是y 轴正半轴，x 轴正半轴上两动点，2OA k =，23OB k =+，以AO ，BO 为邻边构造矩形AOBC ，抛物线2334y x x k =-++交y 轴于点D ，P 为顶点，PM x ⊥轴于点M ．(1)求OD ，PM 的长（结果均用含k 的代数式表示）． (2)当PM BM =时，求该抛物线的表达式．(3)在点A 在整个运动过程中，若存在ADP △是等腰三角形，请求出所有满足条件的k 的值．3．如图1，抛物线211384y x x =--与x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．点D 在y轴正半轴上，直线AD ：y x b =+与抛物线交于点E ．(1)求线段BC 的长度；(2)如图2，点Р是线段AE 上的动点，过点P 作y 轴的平行线交抛物线于点Q ，求PQCD的最大值； (3)如图3，将抛物线211384y x x =--向左平移4个单位长度，将DCA △沿直线BC 平移，平移后的DCA △记为D C A '''△，在新抛物线的对称轴上找一点M ，当A C M ''△是以点A '为直角顶点的等腰直角三角形时，请直接写出所有符合条件的点M 的坐标．4．如图1，抛物线2y ax 2x c =++经过点(1,0)A -、(0,3)C ，并交x 轴于另一点B ，点(,)P x y 在第一象限的抛物线上，AP 交直线BC 于点D ．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)如图1，当点P 的坐标为(1,4)时，求四边形BOCP 的面积； (3)请利用备用图，若点Q 也是抛物线上的一点， ①当PDAD的值最大时，求此时点P 的坐标； ②当PDAD的值最大且APQ △是直角三角形时，求点Q 的横坐标．5．如图，抛物线22y ax bx =++经过点()()1040A B -，，，，交y 轴于点C ．(1)求抛物线的顶点坐标；(2)点D 为抛物线上一点，是否存在点D 使23ABCABDS S =，若存在请直接给出点D 坐标；若不存在请说明理由；(3)将直线BC 绕点B 顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E ，求直线BE 的解析式．6．已知抛物线2y x bx c =-++经过()1,0A -、()0,3B 两点，O 为坐标原点，抛物线交正方形OBDC 的边BD 于点E ，点M 为射线BD 上一动点，连接OM ，交BC 于点F ．(1)求b 和c 的值及点C 的坐标； (2)求证∶BOF BDF ∠=∠(3)是否存在点M ，使MDF △为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME 的长．7．在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A 在y 轴上，顶点B 在x 轴上，OA 、OB 的长分别是一元二次方程214480x x -+=的两个根（OA OB >）．(1)求A 、B 两点坐标；(2)二次函数2y x bx c =++经过点A 和点D ，求此二次函数解析式；(3)在直线BC 上是否存在点P ，使PCD 为等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，说明理由．8．如图①，抛物线2169y ax x c =++，与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 的左边），与y 轴交于C 点，顶点为E ，其中，点A 坐标为(1,0)-，对称轴为2x =．(1)求此抛物线解析式；(2)在第四象限的抛物线上找一点F ，使FBC ACB S S =△△，求点F 的坐标；(3)如图②，点P 是x 轴上一点，点E 与点H 关于点P 成中心对称，点B 与点Q 关于点P 成中心对称，当以点Q ，H ，E 为顶点三角形是直角三角形时，求P 的坐标．9．如图，抛物线2y ax bx c =++经过()1,0A -、()3,0B 、()0,3C 三点，直线l 是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式：(2)设点P 是直线l 上的一个动点，当PAC △的周长最小时，求点P 的坐标：(3)在直线l 上是否存在点M ，使MAC △为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由；(4)若点E 在x 轴上，点F 在抛物线上，是否存在以B ，C ，E ，F 为顶点且以BC 为一边的平行四边形？若存在，求点F 的坐标：若不存在，请说明理由．10．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，二次函数()230y ax bx a a =+-<的图象与x 轴交于A 、B （点A 在点B 左侧）两点，与y 轴交于点C ，已知点()3,0B ，P 点为抛物线的顶点，连接PC ，作直线BC ．(1)点A 的坐标为 ；(2)若射线CB 平分PCO ∠，求二次函数的表达式；(3)在（2）的条件下，如果点(),0D m 是线段AB （含A 、B ）上一个动点，过点D 作x 轴的垂线，分别交直线BC 和抛物线于E 、F 两点，当m 为何值时，CEF △为直角三角形？11．如图，已知抛物线2y x mx n =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，已知()10A -，，()03C ，．(1)求抛物线的表达式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；(3)点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．12．如图，抛物线y＝ax2＋bx过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B 作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．(1)求抛物线的表达式；(2)直接写出点C的坐标，并求出△ABC的面积；(3)若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，是否存在以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出其值；若不存在，请说明理由．13．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋2交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C．已知点D的坐标为（﹣1，0），点P为第二象限内抛物线上的一个动点，连接AP、PC、CD．(1)求这个抛物线的表达式．(2)点P 为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP 面积的最大值．(3)①点M 在平面内，当△CDM 是以CM 为斜边的等腰直角三角形时，求出满足条件的所有点M 的坐标； ②在①的条件下，点N 在抛物线对称轴上，当∠MNC ＝45°时，求出满足条件的所有点N 的坐标． 14．如图1，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3过点A （﹣1，0），点B （3，0），与y 轴交于点C ．M 是抛物线任意一点，过点M 作直线l ⊥x 轴，交x 轴于点E ，设M 的横坐标为m （0＜m ＜3）．(1)求抛物线的解析式及tan ∠OBC 的值；(2)当m ＝1时，P 是直线l 上的点且在第一象限内，若△ACP 是直角三角形时，求点P 的坐标；(3)如图2，连接BC ，连接AM 交y 轴于点N ，交BC 于点D ，连接BM ，设△BDM 的面积为S 1，△CDN 的面积为S 2，求S 1﹣S 2的最大值．15．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，已知抛物线的对称轴是直线=1x -，2OA OC ==．P 为抛物线上的一个动点，过点P 作PD x ⊥轴于点D ，交直线BC 于点E ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点P在第三象限内，且14PE OD=，求PBE∆的面积．(3)在（2）的条件下，若M为直线BC上一点，是否存在点M，使BDM∆为等腰三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．16．二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于点A(﹣1，0)，B(4，0)两点，交y轴于点C．动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．(1)求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式；(2)连接BD，当t32=时，求△DNB的面积；(3)在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标；(4)当t54=时，在直线MN上存在一点Q，使得∠AQC+∠OAC＝90°，求点Q的坐标．17．如图1，抛物线y2+bx+c与x轴交于A、B两点，点A、B分别位于原点左、右两侧，且AO＝2BO ＝4，过A点的直线y＝kx+c交y轴于点C．(1)求k、b、c的值；(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△ACP为直角三角形？若存在，直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，点M为线段AC上一点，连接OM，求1AM+OM的最小值．218．如图，已知直线y＝﹣2x+m与抛物线y＝ax2+bx+c相交于A，B两点，且点A(1，4)为抛物线的顶点，点B在x轴正方向上．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P在抛物线第三象限的图象上，且到x轴、y轴的距离相等，①证明：POB≌POC；②直接写出OP的长；(3)若点Q是y轴上一点，且ABQ为直角三角形，求点Q的坐标．参考答案：1．(1)(6,0),(2,0)M N -，21(412)12y x x =+- (2)MND 是等腰三角形(3)存在，5(2,)6-或3(2,)2-2．(1)OD k =，3PM k =+ (2)23324y x x =-++(3)136k =或6k =或k =3．(1)(2)8156(3)()3,3-或(3,2)--4．(1)223y x x =-++ (2)152(3)①35,24P ⎛⎫⎪⎝⎭②113或1或52或765．(1)（32，258）(2)存在，共四个点，()13，或()23，或()23--，或()53-， (3)312y x =-+6．(1)2b =，3c =，()3,0C(3)存在，2或27．(1)()0,8A ，()6,0B (2)22984y x x =-+ (3)存在，()6,0P 或()22,128．(1)抛物线的解析式为241620999y x x =-++ (2)F 坐标为286,9⎛⎫- ⎪⎝⎭ (3)点P 坐标为5,06⎛⎫ ⎪⎝⎭或10,03⎛⎫- ⎪⎝⎭9．(1)223y x x =-++(2)()1,2(3)存在，点M 的坐标为(或(1,或()1,1或()1,0(4)存在，点F 的坐标为()2,3或)1,3-或()1,3-10．(1)()1,0-(2)2=+y x (3)当2m =或1-时，CEF △为直角三角形11．(1)223y x x =-++(2)存在；()1,6，(，(1, (3)518，33,22E ⎛⎫ ⎪⎝⎭12．(1)y ＝﹣x 2+4x(2)3(3)存在，N 点坐标为（2，0）或（﹣4，0）或（﹣2，0）或（4，0）13．(1)224233y x x =--+ (2)174(3)点N 的坐标为（﹣111，5）14．(1)y ＝﹣x 2+2x +3，1(2)（1，1）或（1，2）或（1，83） (3)813215．(1)211242y x x =+- (2)38(3)71,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭或⎝⎭或⎝⎭或124,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭16．(1)y 12=-x 232+x +2(2)2(3)D (1，3)或D (3，2)(4)Q 点坐标分别为(32，52-)，(32，52)17．(1)k ＝﹣2，b 2，c ＝﹣(2)存在，点P 的坐标为（﹣1，）或（﹣111，﹣(3)12AM +OM 18．(1)223y x x ++＝﹣(2)②OP =(3)Q (0，3.5)或Q (0，﹣1.5)或Q (0，1)或Q (0，3)。
备战中考数学二轮专题归纳提升真题平面直角坐标系规律探究问题(解析版)
专题01 平面直角坐标系规律探究问题【知识点梳理】1、关于x 轴、y 轴或原点对称的点的坐标的特征点P （a ，b ）与关于x 轴对称点的坐标为 （a ，-b ） 点P （a ，b ）与关于y 轴对称点的坐标为 （-a ，b ） 点P （a ，b ）与关于原点对称点的坐标为 （-a ，-b ） 口诀：关于谁对称，谁不变，另一个变号，关于原点对称都变号 2、点的平移点P （a ，b ）沿x 轴向右（或向左）平移m 个单位后对应点的坐标是(a ±m,b )； 点P （a ，b ）沿y 轴向上（或向下）平移n 个单位后对应点的坐标是(a,b ±n ). 口诀：横坐标右加左减，纵坐标上加下减.3、两点间的距离：在x 轴或平行于x 轴的直线上的两点P 1 (x 1,y )，P 2 (x 2,y )间的距离为|x 1−x 2| 在y 轴或平行于y 轴的直线上的两点P 1 (x ,y 1)，P 2 (x ,y 2)间的距离为|y 1−y 2| 任意两点P 1 (x 1,y 1)，P 2 (x 2,y 2)，则线段P 1P 2的中点坐标为(x 1+x 22,y 1+y 22)任意两点P 1 (x 1,y 1)，P 2 (x 2,y 2)，则线段P 1P 2=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2【典例分析】【例1y)经过某种变换后得到点P ′(−y +1,x +2)，我们把点P ′(−y +1,x +2)叫做点P(x,y)的终结点．已知点P 1的终结点为P 2，点P 2的终结点为P 3，点P 3的终结点为P 4，这样依次得到P 1、P 2、P 3、P 4、…、nP 、…，若点p 1的坐标为（2，0），则点P 2022的坐标为_____。
【答案】（1，4）．解析：解：P 1 坐标为（2，0），则P 2坐标为（1，4），P 3坐标为（-3，3），P 4坐标为（-2，-1），P 5坐标为（2，0），∴P n 的坐标为（2，0），（1，4），（-3，3），（-2，-1）循环， ∵2022=4×505+2， ∴P 2022 坐标与P 2点重合， 故答案为（1，4）．【练1】在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ），我们把点P′（y -1，-x+1）叫做点P 的伴随点．已知点A 1的伴随点为A 2，点A 2的伴随点为A 3，点A 3的伴随点为A 4，…，这样依次得到点A 1，A 2，A 3，…，A n ，…．若点A 1的坐标为（3，2），则A 2023的坐标为________【答案】（-3，0）解析：解：∵A1（3，2），A2（1，-2），A3（-3，0），A4（-1，4），A5（3，2），…，∴点A n的坐标4个一循环．∵2023=505×4+3，∴点A2023的坐标与点A2的坐标相同．∴A2023的坐标为（-3，0），故答案为：（-3，0）．【练2】某同学在平面直角坐标系内设计了一个动点运动的编程．若一个动点从点A1（1，3）出发，沿A2（3，5）→A3（7，9）→…运动，则点A2022的坐标为（）A．（22021﹣1，22021+1）B．（22022﹣1，22022+1）C．（22022﹣2，22022+2）D．（22021﹣2021，22021+2021）【答案】B【解析】解：∵一个动点从点A1（1，3）出发，沿A2（3，5）→A3（7，9）→…运动，∴A n（2n﹣1，2n+1），∴A2022的坐标为：（22022﹣1，22022+1），故选：B．【练3】对点（x，y）的一次操作变换记为P1（x，y），定义其变换法则如下：P1（x，y）＝（x+y，x﹣y）；且规定P n（x，y）＝P1（P n﹣1（x，y））（n为大于1的整数）．如P1（1，2）＝（3，﹣1），P2（1，2）＝P1（P1（1，2））＝P1（3，﹣1）＝（2，4），P3（1，2）＝P1（P2（1，2））＝P1（2，4）＝（6，﹣2）．则P2022（1，﹣1）＝．【答案】（21011，21011）【解析】解：由题意可得：P1（1，﹣1）＝（0，2），P2（1，﹣1）＝（2，﹣2）P3（1，﹣1）＝（0，4），P4（1，﹣1）＝（4，﹣4）P5（1，﹣1）＝（0，8），P6（1，﹣1）＝（8，﹣8）…当n为奇数时，P n（1，﹣1）＝（0，），当n为偶数时，P n（1，﹣1）＝（2n2，2n2），∴P2022（1，﹣1）应该等于（21011，21011）．故答案是：（21011，21011）．【例2】如图，在平面直角坐标系中，A1（1，2），A2（2，0），A3（3，﹣2），A4（4，0）…根据这个规律，探究可得点A2022的坐标是（）A．（2022，0）B．（2022，2）C．（2021，﹣2）D．（2022，﹣2）【答案】A【解析】解：观察图形可知，点A1（1，2），A2（2，0），A3（3，﹣2），A4（4，0）…的横坐标依次是1、2、3、4、…、n，纵坐标依次是2、0、﹣2、0、2、0、﹣2、…，四个一循环，2022÷4＝505…2，故点A2022坐标是（2022，0）．故选：A．【练1】如图，动点P1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），……，按这样的运动规律，经过第2022次运动后，动点P的坐标是（）A．（2021，0）B．（2020，1）C．（2022，0）D．（2022，1）【答案】C【解析】分析图象可以发现，点P的运动每4次位置循环一次．每循环一次向右移动四个单位，∴2022=4×505+2．当第505循环结束时，点P位置在（2020，0），在此基础之上运动两次到（2022，0）．故选C．【练2】如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点O运动到点P1（1，1），第二次运动到点P2（2，0），第三次运动到P3（3，﹣2），…，按这样的运动规律，第2022次运动后，动点P2022的坐标是（）A．（2022，1）B．（2022，2）C．（2022，﹣2）D．（2022，0）【答案】D【解析】解：观察图象，动点P第一次从原点O运动到点P1（1，1），第二次运动到点P2（2，0），第三次运动到P3（3，﹣2），第四次运动到P4（4，0），第五运动到P5（5，2），第六次运动到P6（6，0），…，结合运动后的点的坐标特点，可知由图象可得纵坐标每6次运动组成一个循环：1，0，﹣2，0，2，0；∵2022÷6＝337，∴经过第2022次运动后，动点P的纵坐标是0，故选：D．【练3】如图，平面直角坐标系中，一个点从原点O出发，按向右→向上→向右→向下的顺序依次不断移动，每次移动1个单位，其移动路线如图所示，第1次移到点A1，第二次移到点A2，第三次移到点A3，…，第n次移到点A n，则点A2022的坐标是_____________.【答案】（1011,1）.【解析】观察图象可知，点A的纵坐标每4个点循环一次，∵2022=505×4+2，∴点A2022的纵坐标与点A2的纵坐标相同，∵A2（1，1），A6（3,1），A10（5,1）……，∴点A2022的坐标是（1011,1）.【例3】如图，在平面直角坐标系上有个点A（-1，O），点A第1次向上跳动一个单位至点A1（-1，1），紧接着第2次向右跳动2个单位至点A2(1，1)，第3次向上跳动1个单位，第4次向左跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向右跳动4个单位，…，依次规律跳动下去，点A第2022次跳动至点A2022的坐标是( )A.(-505, 1011)B.(505, 1010)C.(-506, 1010)D.(506, 1011)【答案】D【解析】解：设第n次跳动至点A n，观察，发现：A（-1，0），A1（-1，1），A2（1，1），A3（1，2），A4（-2，2），A5（-2，3），A6（2，3），A7（2，4），A8（-3，4），A9（-3，5），…，∴A4n（-n-1，2n），A4n+1（-n-1，2n+1），A4n+2（n+1，2n+1），A4n+3（n+1，2n+2）（n为自然数）．∵2022=505×4+2，∴A2022（505+1，505×2+1），即（506，1011）．故选：D．【练1】如图所示，在平面直角坐标系上有个点P（1,0），点P第1次向上跳动1个单位至点P1(1,1)，紧接着第2次向左跳动2个单位至点P2(−1,1)，第3次向上跳动1个单位，第4次向右跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向左跳动4个单位……依此规律跳动下去，点P第99次跳动至点P99的坐标是_____【答案】（-25，50）【解析】解：由题中规律可得出如下结论：设点Px的横坐标的绝对值是n，则在y轴右侧的点的下标分别是4（n-1）和4n-3，在y轴左侧的点的下标是：4n-2和4n-1；判断P199的坐标，就是看99=4（n-1）和99=4n-3和99=4n-2和99=4n-1这四个式子中哪一个有负整数解，从而判断出点的横坐标.由上可得：点P第99次跳动至点P99的坐标是（-25，50）故答案为：（-25，50）.【练2】如图，在平面直角坐标系上有点A0(1,0)，点A0第一次跳动至点A1(−1,1)，第二次点A1跳动至点A2(2,1)，第三次点A跳动至点A3(−2,2)，第四次点A3跳动至点A4(3,2)，……依2此规律跳动下去，则点A2021与点A2022之间的距离是（）A．2023B．2022C．2021D．2020【答案】A【解析】观察发现，第2次跳动至点的坐标是（2，1），第4次跳动至点的坐标是（3，2），第6次跳动至点的坐标是（4，3），第8次跳动至点的坐标是（5，4），…第2n次跳动至点的坐标是（n+1，n），则第2022次跳动至A2022点的坐标是（1012，1011），第2021次跳动至点A2021的坐标是（﹣1011，1011）．∵点A2021与点A2022的纵坐标相等，∴点A2021与点A2022之间的距离=1012﹣（﹣1011）=2023．故选：A．【练3】在平面直角坐标系内原点O（0，0）第一次跳动到点A1（0，1），第二次从点A1跳动到点A2（1，2），第三次从点A2跳动到点A3（﹣1，3），第四次从点A3跳动到点A4（﹣1，4），…，按此规律下去，则点A2021的坐标是（）A．（673，2021）B．（674，2021）C．（﹣673，2021）D．（﹣674，2021）【答案】B【解析】解：因为A1（0，1），A2（1，2），A3（﹣1，3），A4（﹣1，4），A5（2，5），A6（﹣2，6），A7（﹣2，7），A8（3，8），…A3n﹣1（n，3n﹣1），A3n（﹣n，3n），A3n+1（﹣n，3n+1）（n为正整数），∵3×674﹣1＝2021，∴n＝674，所以A2021（674，2021），故选：B．【例4】如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1）（1，1）,（1，2），（2，2）……根据这个规律，第2022个点的坐标为________【答案】（45，6）【解析】解：观察图形，可知：第1个点的坐标为（1，0），第4个点的坐标为（1，1），第9个点的坐标为（3，0），第16个点的坐标为（1，3），…，∴第（2n-1）2个点的坐标为（2n-1，0）（n为正整数）．∵2025=452，∴第2025个点的坐标为（45，0）．又∵2025-3=2022，∴第2022个点在第2025个点的上方3个单位长度处，∴第2022个点的坐标为（45，3）．故答案为：（45，3）．【练1】如图，一个蒲公英种子从平面直角坐标系的原点O出发，向正东走3米到达点A1，再向正北方向走6米到达点A2，再向正西方向走9米到达点A3，再向正南方向走12米到达点A4，再向正东方向走15米到达点A5，以此规律走下去，当种子到达点A10时，它在坐标系中坐标为（）A．（﹣12，﹣12）B．（15，18）C．（15，﹣12）D．（﹣15，18）【答案】B【解析】解：根据题意可知：O A1＝3，A1A2＝6，A2A3＝9，A3A4＝12，A4A5＝15，A5A6＝18，A9A10＝30，∴A1点坐标为（3，0），A2点坐标为（3，6），A3点坐标为（﹣6，6），A4点坐标为（﹣6，﹣6），A5点坐标为（9，﹣6），A6点坐标为（9，12），以此类推，A9点坐标为（15，﹣12），所以A10点横坐标为15，纵坐标为﹣12+30＝18，∴A10点坐标为（15，18），故选：B．【练2】如图，一个点在第一象限及x轴、y轴上移动，在第一秒钟，它从原点移动到点（1，0），然后按照图中箭头所示方向移动，即（0，0）→（1，0）→（1，1）→（0，1）→（0，2）→…，且每秒移动一个单位，那么第2022秒时，点所在位置的坐标是（ ）A ．（2，44）B ．（41，44）C ．（44，41）D ．（44，2）【答案】【解析】解：观察可发现，点到（0，2）用4＝22秒，到（3，0）用9＝32秒，到（0，4）用16＝42秒，则可知当点离开x 轴时的横坐标为时间的平方，当点离开y 轴时的纵坐标为时间的平方， 此时时间为奇数的点在x 轴上，时间为偶数的点在y 轴上, ∵2022＝452﹣3＝2025﹣3，∴第2025秒时，动点在（45，0），故第2022秒时，动点在（45，0）向左一个单位，再向上2个单位， 即（44，2）的位置． 故选：D ．【练3】如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,1)，(3,0)，(3,−1)…根据这个规律探索可得，第99个点的坐标为( )A.(14,−1)B.(14,0)C.(14,1)D.(14,2)【答案】C【解析】解：在横坐标上，第一列有一个点，第二列有2个点…第n 个有n 个点， 并且奇数列点数对称而偶数列点数y 轴上方比下方多一个， 所以奇数列的坐标为(n,n−12)，(n,n−12−1)，…，(n,1−n 2)；偶数列的坐标为(n,n2)，(n,n2−1)，…，(n,1−n2)， ∵1+2+3+4+……+13=91∴第99个点位于第14列自上而下第7行．−6)，即(14,1)．代入上式得(14,142故选C．【例5】如图，在平面直角坐标系中，将边长为3，4，5的直角△ABO沿x轴向右滚动到△AB1C1的位置，再到△A1B1C2的位置…依次进行下去，发现A（3，0），A1（12，3），A2（15，0）…那么点A2022的坐标为．【答案】（12135，0）【解析】解：∵∠AOB＝90°，点A（3，0），B（0，4），根据勾股定理得AB＝5，根据旋转可知：OA+AB1+B1C2＝3+5+4＝12，所以点A1（12，3），A2（15，0）；继续旋转得A3（24，3），A4（27，0）；…发现规律：A2n﹣1（12n，3），A2n（12n+3，0），∵2022＝2n，∴n＝1011，∴点A2022的坐标为（12135，0），故答案为：（12135，0）．【练1】如图，动点P从（0，3）出发沿所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2022次碰到长方形的边时点P的坐标为．【答案】（0，3【解答过程】解：如图所示：经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），∵2022÷6＝337∴当点P第2022次碰到矩形的边时与P点起点位置重合，∴点P的坐标为（0，3）．故答案为：（0，3）．【练2】如图，将边长为2的等边三角形沿x轴正方向连续翻折2019次，依次得到点P1,P2,P3,...,P2022，则点P2022的坐标是（）A.(2022,2)B.(2022,√3)C.(4043,2)D.(4043, √3)【答案】D【解析】解：由题意可知P1是1P的横坐标是3，P3的横坐标是5，P4的横坐标是7…依此类推下去，P n的横坐标是2n-1,∴P2022的横坐标是2×2022-1=4043纵坐标都是√3，故选：D．连续作旋转变换，依【练3】如图，在直角坐标系中，已知点A(−3,0)，B(0,4)，对OAB次得到Δ1，Δ2，Δ3，Δ4，…，则∆2022的直角顶点的坐标为______.【答案】（8088，0）【解析】解：∵点A（-3，0）、B（0，4），∴AB=√32+42=5由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为：4+5+3=12，∵2022÷3=674，∴∆2022的直角顶点是第674个循环组的最后一个三角形的直角顶点；∵674×12=8088，∴∆2022的直角顶点的坐标为（8088，0）.故答案为（8088，0）.【例6】如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，以此类推……则正方形OB2021B2022C2022的顶点B2022的坐标是_____.【答案】（0,-22011）【解析】解：∵正方形OA1B1C1的边长为1，∴OB1=√2∴OB2=2∴B2（0，2），同理可知B3（-2，2），B4（-4，0），B5（-4，-4），B6（0，-8），B7（8，-8），B9（16，16），B10（0，32）．由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标的符号相同，每次正方形的边长变为原来的√2倍，∵2022÷8=252⋯⋯6，∴B8n+6（0，-24n+3），∴B2022（0,-22011）．故答案为：（0,-22011）．【练1】如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OAA1的直角边OA在x轴上，点A1在第一象限，且OA＝1，以点A1为直角顶点，0A1为一直角边作等腰直角三角形OA1A2，再以点A2为直角顶点，OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3…依此规律，则点A2022的坐标是_____．【答案】（0,-22011）【解析】解：由等腰直角三角形的性质，可知：A 1（1，1），A 2（0，2），A 3（﹣2，2），A 4（0，﹣4），A 5（﹣4，﹣4），A 6（0，﹣8），A 7（8，﹣8），A 8（16，0），A 9（16，16），A 10（0，32），A 11（﹣32，32），…，∵2022＝252×8+6∴点A 8n+6的坐标为（0，24n+3）（n 为自然数）．∴点A 2022的坐标为（0，24×252+3），即（0,-22011），故答案为：（0,-22011）．【练2】在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为（1，0），点D 的坐标为（0，2）.长CB 交x 轴于点A 1，作正方形A 1B 1C 1C ；延长C 1B 1交x 轴于点2A ，作正方形A 2B 2C 2C 1……按这样的规律进行下去，第2022个正方形的面积为_____．【答案】5×(32)4042.【解析】解：∵点A 的坐标为（1,0），点D 的坐标为（0,2）∴正方形ABCD 的边长为√5，设其面积为S 1=5，依此类推，接下来的面积依次为S 2,S 3,S 4⋯⋯第2022个正方形的面积为S 2022，又∵三角形相似，∴ OA OD =A 1B AB =A 2B 1A 1B 1=⋯=12. ∴ S 2=5×94，S 3=5×(94)2…… ∴S 2022=5×(94)2022−1=5×(94)2021=5×(32)4042.【练3】如图，在平面直角坐标系xOy中，B1（0，1），B2（0，3），B3（0，6），B4（0，10），…，以B1B2为对角线作第一个正方形A1B1C1B2，以B2B3为对角线作第二个正方形A2B2C2B3，以B3B4为对角线作第三个正方形A3B3C3B4，…，如果所作正方形的对角线B n B n+1都在y 轴上，且B n B n+1的长度依次增加1个单位长度，顶点A n都在第一象限内（n≥1，且n为整数），那么A1的纵坐标为；用n的代数式表示A n的纵坐标：．【答案】2；【解析】解：作A1D⊥y轴于点D，则B1D＝B1B2÷2＝（3﹣1）÷2＝1，∴A1的纵坐标＝B1D+B1O＝1+12，同理可得A2的纵坐标＝OB2+（B2B3）÷2＝3+（6﹣3）÷2 4.5，∴A n的纵坐标为，故答案为2，．。
全等三角形与平面直角坐标系综合题
全等三角形与平面直角坐标系综合题一、引言全等三角形是高中数学中重要的概念之一，它涉及到平面几何和坐标系的知识。
在平面直角坐标系中，我们可以通过坐标点的变换来判断两个三角形是否全等。
本文将深入探讨全等三角形的性质以及与平面直角坐标系的综合应用。
二、全等三角形的性质全等三角形是指两个三角形的所有对应的角相等，对应的边长相等。
在平面几何中，我们可以通过以下三种情况来判断两个三角形是否全等：2.1 SSS判据若两个三角形的三边分别相等，则这两个三角形全等。
这是最直观的判断方式，通过测量三边的长度即可确定。
2.2 SAS判据若两个三角形的一边和与其相对的两个角分别相等，则这两个三角形全等。
这种判据常用于实际问题中，通过测量一边的长度和两个角的大小即可确定。
2.3 ASA判据若两个三角形的两个角和与其相对的一边分别相等，则这两个三角形全等。
这种判据常用于实际问题中，通过测量两个角的大小和一边的长度即可确定。
三、平面直角坐标系的基本概念平面直角坐标系是指在平面上引入两个互相垂直的坐标轴，通过坐标点的位置来描述平面上的点。
在平面直角坐标系中，我们可以使用坐标点的变换来判断两个三角形是否全等。
3.1 坐标点的表示在平面直角坐标系中，我们使用有序数对(x, y)来表示一个点的位置，其中x表示横坐标，y表示纵坐标。
例如，点A的坐标为(2, 3)，表示A点在横坐标为2，纵坐标为3的位置。
3.2 坐标点的变换在平面直角坐标系中，我们可以通过平移、旋转和缩放等操作来对坐标点进行变换。
这些变换操作可以帮助我们判断两个三角形是否全等。
3.2.1 平移变换平移变换是指将一个点沿着指定的方向和距离移动。
在平面直角坐标系中，我们可以通过给坐标点的横坐标和纵坐标分别加上相同的常数来实现平移变换。
3.2.2 旋转变换旋转变换是指将一个点绕着指定的中心点按照一定的角度旋转。
在平面直角坐标系中，我们可以通过给坐标点的横坐标和纵坐标分别乘以旋转矩阵来实现旋转变换。
中考数学专题(7)坐标系中的几何问题
中考数学专题7 坐标系中的几何问题【前言】前面六讲我们研究了几何综合题及代数综合题的各种方面，相信很多同学都已经掌握了。
但是中考中，最难的问题往往都是几何和代数混杂在一起的，一方面涉及函数，坐标系，计算量很大，另一方面也有各种几何图形的性质体现。
所以往往这类问题都会在最后两道题出现，而且基本都是以多个小问构成。
此类问题也是失分最高的，往往起到拉开分数档次的关键作用。
作为想在中考数学当中拿高分甚至满分的同学，这类问题一定要重视。
此后的两讲我们分别从坐标系中的几何以及动态几何中的函数两个角度出发，去彻底攻克此类问题。
第一部分 真题精讲【例1】已知：如图1，等边ABC ∆的边长为x轴上且()10A ，AC 交y 轴于点E ，过点E 作EF ∥AB 交BC 于点F ．（1）直接写出点B C 、的坐标；（2）若直线()10y kx k =-≠将四边形EABF 的面积两等分，求k 的值；（3）如图2，过点A B C 、、的抛物线与y 轴交于点D ，M 为线段OB 上的一个动点，过x 轴上一点()2,0G -作DM 的垂线，垂足为H ，直线GH 交y 轴于点N ，当M 点在线段OB 上运动时，现给出两个结论：① GNM CDM ∠=∠ ②MGN DCM ∠=∠，其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪个结论正确，并证明．图2图1【思路分析】很多同学一看到这种题干又长条件又多又复杂的代几综合压轴题就觉得头皮发麻，稍微看看不太会做就失去了攻克它的信心。
在这种时候要慢慢将题目拆解，条分缕析提出每一个条件，然后一步一步来。
第一问不难，C 点纵坐标直接用tg60°来算，七分中的两分就到手了。
第二问看似较难，但是实际上考生需要知道“过四边形对角线交点的任意直线都将四边形面积平分”这一定理就轻松解决了，这个定理的证明不难，有兴趣同学可以自己证一下加深印象。
由于EFAB 还是一个等腰梯形，所以对角线交点非常好算，四分到手。
中考数学压轴题(动点)
中考数学压轴题总结（动点）（一） 因动点产生的相似三角形问题例1，已知抛物线的方程C 1：1(2)()y x x m m=-+- (m ＞0)与x 轴交于点B 、C ，与y 轴交于点E ，且点B 在点C 的左侧．（1）若抛物线C 1过点M (2, 2)，求实数m 的值； （2）在（1）的条件下，求△BCE 的面积；（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H ，使得BH ＋EH 最小，求出点H 的坐标；（4）在第四象限内，抛物线C 1上是否存在点F ，使得以点B 、C 、F 为顶点的三角形与△BCE 相似？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．图1思路点拨1．第（3）题是典型的“牛喝水”问题，当H 落在线段EC 上时，BH ＋EH 最小． 2．第（4）题的解题策略是：先分两种情况画直线BF ，作∠CBF ＝∠EBC ＝45°，或者作BF //EC ．再用含m 的式子表示点F 的坐标．然后根据夹角相等，两边对应成比例列关于m 的方程．满分解答（1）将M (2, 2)代入1(2)()y x x m m =-+-，得124(2)m m=-⨯-．解得m ＝4． （2）当m ＝4时，2111(2)(4)2442y x x x x =-+-=-++．所以C (4, 0)，E (0, 2)．所以S △BCE ＝1162622BC OE ⋅=⨯⨯=．（3）如图2，抛物线的对称轴是直线x ＝1，当H 落在线段EC 上时，BH ＋EH 最小．设对称轴与x 轴的交点为P ，那么HP EOCP CO =． 因此234HP =．解得32HP =．所以点H 的坐标为3(1,)2． （4）①如图3，过点B 作EC 的平行线交抛物线于F ，过点F 作FF ′⊥x 轴于F ′．由于∠BCE ＝∠FBC ，所以当CE BCCB BF=，即2BC CE BF =⋅时，△BCE ∽△FBC ．设点F的坐标为1(,(2)())x x x mm-+-，由''FF EOBF CO=，得1(2)()22x x mmx m+-=+．解得x＝m＋2．所以F′(m＋2, 0)．由'CO BFCE BF=4mBF+=．所以BF=．由2BC CE BF=⋅，得2(2)m+=整理，得0＝16．此方程无解．图2 图3 图4 ②如图4，作∠CBF＝45°交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′，由于∠EBC＝∠CBF，所以BE BCBC BF=，即2BC BE BF=⋅时，△BCE∽△BFC．在Rt△BFF′中，由FF′＝BF′，得1(2)()2x x m xm+-=+．解得x＝2m．所以F′(2,0)m．所以BF′＝2m＋2，2) BF m+．由2BC BE BF=⋅，得2(2)2)m m+=+．解得2m=±综合①、②，符合题意的m为2+例2，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．,图1思路点拨1．已知抛物线与x 轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便． 2．数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长． 3．按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程．4．把△DCA 可以分割为共底的两个三角形，高的和等于OA ．满分解答（1）因为抛物线与x 轴交于A (4，0)、B （1，0)两点，设抛物线的解析式为)4)(1(--=x x a y ，代入点C 的 坐标（0，－2），解得21-=a ．所以抛物线的解析式为22521)4)(1(212-+-=---=x x x x y ．（2）设点P 的坐标为))4)(1(21,(---x x x ．①如图2，当点P 在x 轴上方时，1＜x ＜4，)4)(1(21---=x x PM ，x AM -=4． 如果2==CO AOPM AM ，那么24)4)(1(21=----x x x ．解得5=x 不合题意．如果21==COAOPM AM ，那么214)4)(1(21=----x x x ．解得2=x ． 此时点P 的坐标为（2，1）．②如图3，当点P 在点A 的右侧时，x ＞4，)4)(1(21--=x x PM ，4-=x AM ． 解方程24)4)(1(21=---x x x ，得5=x ．此时点P 的坐标为)2,5(-．解方程214)4)(1(21=---x x x ，得2=x 不合题意．③如图4，当点P 在点B 的左侧时，x ＜1，)4)(1(21--=x x PM ，x AM -=4． 解方程24)4)(1(21=---x x x ，得3-=x ．此时点P 的坐标为)14,3(--．解方程214)4)(1(21=---x x x ，得0=x ．此时点P 与点O 重合，不合题意．综上所述，符合条件的 点P 的坐标为（2，1）或)14,3(--或)2,5(-．图2 图3 图4 （3）如图5，过点D 作x 轴的垂线交AC 于E ．直线AC 的解析式为221-=x y ． 设点D 的横坐标为m )41(<<m ，那么点D 的坐标为)22521,(2-+-m m m ，点E 的坐标为)221,(-m m ．所以)221()22521(2---+-=m m m DE m m 2212+-=．因此4)221(212⨯+-=∆m m S DAC m m 42+-=4)2(2+--=m ．当2=m 时，△DCA 的面积最大，此时点D 的坐标为（2，1）．（二） 因动点产生的等腰三角形问题例3，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (－1,0)、B (3, 0)、C (0 ,3)三点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当△P AC 的周长最小时，求点P 的坐标；（3）在直线l 上是否存在点M ，使△MAC 为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．图1 ．思路点拨1．第（2）题是典型的“牛喝水”问题，点P 在线段BC 上时△P AC 的周长最小． 2．第（3）题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性．满分解答（1）因为抛物线与x 轴交于A (－1,0)、B (3, 0)两点，设y ＝a (x ＋1)(x －3)， 代入点C (0 ,3)，得－3a ＝3．解得a ＝－1．所以抛物线的函数关系式是y ＝－(x ＋1)(x －3)＝－x 2＋2x ＋3．（2）如图2，抛物线的对称轴是直线x ＝1．当点P 落在线段BC 上时，P A ＋PC 最小，△P AC 的周长最小． 设抛物线的对称轴与x 轴的交点为H ． 由BH PH BO CO=，BO ＝CO ，得PH ＝BH ＝2． 所以点P 的坐标为(1, 2)．图2（3）点M 的坐标为(1, 1)、、(1,或(1,0)．考点伸展第（3）题的解题过程是这样的： 设点M 的坐标为(1,m )．在△MAC 中，AC 2＝10，MC 2＝1＋(m －3)2，MA 2＝4＋m 2．①如图3，当MA ＝MC 时，MA 2＝MC 2．解方程4＋m 2＝1＋(m －3)2，得m ＝1． 此时点M 的坐标为(1, 1)．②如图4，当AM ＝AC 时，AM 2＝AC 2．解方程4＋m 2＝10，得m =．此时点M 的坐标为或(1,．③如图5，当CM ＝CA 时，CM 2＝CA 2．解方程1＋(m －3)2＝10，得m ＝0或6． 当M (1, 6)时，M 、A 、C 三点共线，所以此时符合条件的点M 的坐标为(1,0)．图3 图4 图5例4，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．图1思路点拨1．用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况；再根据两点间的距离公式列方程；然后解方程并检验．2．本题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点P重合在一起．满分解答（1）如图2，过点B作BC⊥y轴，垂足为C．在Rt△OBC中，∠BOC＝30°，OB＝4，所以BC＝2，OC=所以点B的坐标为(2,--．（2）因为抛物线与x轴交于O、A(4, 0)，设抛物线的解析式为y＝ax(x－4)，代入点B(2,--⨯-．解得a=．a--，2(6)所以抛物线的解析式为2(4)y x x =-=． （3）抛物线的对称轴是直线x ＝2，设点P 的坐标为(2, y )．①当OP ＝OB ＝4时，OP 2＝16．所以4+y 2＝16．解得y =±当P 在时，B 、O 、P 三点共线（如图2）．②当BP ＝BO ＝4时，BP 2＝16．所以224(16y ++=．解得12y y ==-③当PB ＝PO 时，PB 2＝PO 2．所以22224(2y y ++=+．解得y =-综合①、②、③，点P 的坐标为(2,-，如图2所示．图2 图3考点伸展如图3，在本题中，设抛物线的顶点为D ，那么△DOA 与△OAB 是两个相似的等腰三角形．由2(4)2)y x x x =-=-，得抛物线的顶点为D ．因此tan DOA ∠=DOA ＝30°，∠ODA ＝120°．（三） 因动点产生的直角三角形问题例5：在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y ＝k (x 2＋x －1)的图象交于点A (1,k )和点B(－1,－k )．（1）当k ＝－2时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数与二次函数都是y 随x 增大而增大，求k 应满足的条件以及x 的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q ，当△ABQ 是以AB 为斜边的直角三角形时，求k 的值．思路点拨1．由点A (1,k )或点B (－1,－k )的坐标可以知道，反比例函数的解析式就是ky x=．题目中的k 都是一致的．2．由点A (1,k )或点B (－1,－k )的坐标还可以知道，A 、B 关于原点O 对称，以AB 为直径的圆的圆心就是O ．3．根据直径所对的圆周角是直角，当Q 落在⊙O 上是，△ABQ 是以AB 为直径的直角三角形．满分解答（1）因为反比例函数的图象过点A (1,k )，所以反比例函数的解析式是k y x=． 当k ＝－2时，反比例函数的解析式是2y x=-．（2）在反比例函数ky x=中，如果y 随x 增大而增大，那么k ＜0．当k ＜0时，抛物线的开口向下，在对称轴左侧，y 随x 增大而增大．抛物线y ＝k (x 2＋x ＋1)＝215()24k x k +-的对称轴是直线12x =-． 图1 所以当k ＜0且12x <-时，反比例函数与二次函数都是y 随x 增大而增大． （3）抛物线的顶点Q 的坐标是15(,)24k --，A 、B 关于原点O 中心对称，当OQ ＝OA ＝OB 时，△ABQ 是以AB 为直径的直角三角形．由OQ 2＝OA 2，得222215()()124k k -+-=+．解得1k =2），2k =3）．图2 图3考点伸展如图4，已知经过原点O 的两条直线AB 与CD 分别与双曲线ky x=（k ＞0）交于A 、B 和C 、D ，那么AB 与CD 互相平分，所以四边形ACBD 是平行四边形．问平行四边形ABCD 能否成为矩形？能否成为正方形？如图5，当A、C关于直线y＝x对称时，AB与CD互相平分且相等，四边形ABCD是矩形．因为A、C可以无限接近坐标系但是不能落在坐标轴上，所以OA与OC无法垂直，因此四边形ABCD不能成为正方形．图4 图5例6，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C(0，－3)，对称轴是直线x＝1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC的函数表达式；（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限．①当线段34PQ AB=时，求tan∠CED的值；②当以C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标．温馨提示：考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答．图1思路点拨1．第（1）、（2）题用待定系数法求解析式，它们的结果直接影响后续的解题．2．第（3）题的关键是求点E的坐标，反复用到数形结合，注意y轴负半轴上的点的纵坐标的符号与线段长的关系．3．根据C、D的坐标，可以知道直角三角形CDE是等腰直角三角形，这样写点E的坐标就简单了．满分解答（1）设抛物线的函数表达式为2(1)y x n=-+，代入点C(0，－3)，得4n=-．所以抛物线的函数表达式为22(1)423y x x x=--=--．（2）由223(1)(3)y x x x x =--=+-，知A (－1，0)，B (3，0)．设直线BC 的函数表达式为y kx b =+，代入点B (3，0)和点C (0，－3)，得30,3.k b b +=⎧⎨=-⎩ 解得1k =，3b =-．所以直线BC 的函数表达式为3y x =-．（3）①因为AB ＝4，所以334PQ AB ==．因为P 、Q 关于直线x ＝1对称，所以点P 的横坐标为12-．于是得到点P 的坐标为17,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点F 的坐标为70,4⎛⎫- ⎪⎝⎭．所以75344FC OC OF =-=-=，522EC FC ==．进而得到51322OE OC EC =-=-=，点E 的坐标为10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭． 直线BC:3y x =-与抛物线的对称轴x ＝1的交点D 的坐标为（1，－2）．过点D 作DH ⊥y 轴，垂足为H ．在Rt △EDH 中，DH ＝1，13222EH OH OE =-=-=，所以tan ∠CED 23DH EH ==．②1(12)P -，25(1)2P -．图2 图3 图4考点伸展第（3）题②求点P 的坐标的步骤是：如图3，图4，先分两种情况求出等腰直角三角形CDE 的顶点E 的坐标，再求出CE 的中点F 的坐标，把点F 的纵坐标代入抛物线的解析式，解得的x 的较小的一个值就是点P 的横坐标．（四） 因动点产生的平行四边形问题例7，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B (1, 0)、C (3, 0)、D (3, 4)．以A 为顶点的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点C ．动点P 从点A 出发，沿线段AB 向点B 运动，同时动点Q 从点C 出发，沿线段CD 向点D 运动．点P 、Q 的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t 秒．过点P 作PE ⊥AB 交AC 于点E ．（1）直接写出点A 的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点E 作EF ⊥AD 于F ，交抛物线于点G ，当t 为何值时，△ACG 的面积最大？最大值为多少？（3）在动点P 、Q 运动的过程中，当t 为何值时，在矩形ABCD 内（包括边界）存在点H ，使以C 、Q 、E 、H 为顶点的四边形为菱形？请直接写出t 的值．图1思路点拨1．把△ACG 分割成以GE 为公共底边的两个三角形，高的和等于AD ． 2．用含有t 的式子把图形中能够表示的线段和点的坐标都表示出来． 3．构造以C 、Q 、E 、H 为顶点的平行四边形，再用邻边相等列方程验证菱形是否存在．满分解答（1）A (1, 4)．因为抛物线的顶点为A ，设抛物线的解析式为y ＝a (x －1)2＋4， 代入点C (3, 0)，可得a ＝－1．所以抛物线的解析式为y ＝－(x －1)2＋4＝－x 2＋2x ＋3．（2）因为PE //BC ，所以2AP AB PE BC ==．因此1122PE AP t ==．所以点E 的横坐标为112t +．将112x t =+代入抛物线的解析式，y ＝－(x －1)2＋4＝2144t -．所以点G 的纵坐标为2144t -．于是得到2211(4)(4)44GE t t t t =---=-+．因此22111()(2)1244ACG AGE CGE S S S GE AF DF t t t ∆∆∆=+=+=-+=--+．所以当t ＝1时，△ACG 面积的最大值为1．（3）2013t =或20t =-考点伸展第（3）题的解题思路是这样的：因为FE //QC ，FE ＝QC ，所以四边形FECQ 是平行四边形．再构造点F 关于PE 轴对称的点H ′，那么四边形EH ′CQ 也是平行四边形．再根据FQ ＝CQ 列关于t 的方程，检验四边形FECQ 是否为菱形，根据EQ ＝CQ 列关于t 的方程，检验四边形EH ′CQ 是否为菱形．1(1,4)2E t t +-，1(1,4)2F t +，(3,)Q t ，(3,0)C ．如图2，当FQ ＝CQ 时，FQ 2＝CQ 2，因此2221(2)(4)2t t t -+-=．整理，得240800t t -+=．解得120t =-220t =+．如图3，当EQ ＝CQ 时，EQ 2＝CQ 2，因此2221(2)(42)2t t t -+-=．整理，得213728000t t -+=．(1320)(40)0t t --=．所以12013t =，240t =（舍去）．图2 图3（五） 因动点产生的梯形问题例8：已知直线y ＝3x －3分别与x 轴、y 轴交于点A ，B ，抛物线y＝ax 2＋2x ＋c 经过点A ，B ．（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标； （2）记该抛物线的对称轴为直线l ，点B 关于直线l 的对称点为C ，若点D 在y 轴的正半轴上，且四边形ABCD 为梯形．①求点D 的坐标；②将此抛物线向右平移，平移后抛物线的顶点为P ，其对称轴与直线y ＝3x －3交于点E ，若73tan =∠DPE ，求四边形BDEP 的面积．图1思路点拨1．这道题的最大障碍是画图，A 、B 、C 、D 四个点必须画准确，其实抛物线不必画出，画出对称轴就可以了．2．抛物线向右平移，不变的是顶点的纵坐标，不变的是D 、P 两点间的垂直距离等于7．3．已知∠DPE 的正切值中的7的几何意义就是D 、P 两点间的垂直距离等于7，那么点P 向右平移到直线x ＝3时，就停止平移．满分解答（1）直线y ＝3x －3与x 轴的交点为A (1，0)，与y 轴的交点为B (0,－3)．将A (1，0)、B (0,－3)分别代入y ＝ax 2＋2x ＋c ， 得20,3.a c c ++=⎧⎨=-⎩ 解得1,3.a c =⎧⎨=-⎩所以抛物线的表达式为y ＝x 2＋2x －3．对称轴为直线x ＝－1，顶点为(－1,－4)．（2）①如图2，点B 关于直线l 的对称点C 的坐标为(－2,－3)． 因为CD //AB ，设直线CD 的解析式为y ＝3x ＋b ， 代入点C (－2,－3)，可得b ＝3．所以点D 的坐标为（0，3）．②过点P 作PH ⊥y 轴，垂足为H ，那么∠PDH ＝∠DPE ．由73tan =∠DPE ，得3tan 7PH PDH DH ∠==．而DH ＝7，所以PH ＝3．因此点E 的坐标为（3，6）． 所以1()242BDEP S BD EP PH =+⋅=梯形．图2 图3考点伸展第（2）①用几何法求点D 的坐标更简便： 因为CD //AB ，所以∠CDB ＝∠ABO ．因此13BC OA BD OB ==．所以BD ＝3BC ＝6，OD ＝3．因此D （0，3）．例9：已知，矩形OABC 在平面直角坐标系中位置如图1所示，点A 的坐标为(4,0)，点C 的坐标为)20(-，，直线x y 32-=与边BC 相交于点D ． (1)求点D 的坐标；(2)抛物线c bx ax y ++=2经过点A 、D 、O ，求此抛物线的表达式；(3)在这个抛物线上是否存在点M ，使O 、D 、A 、M 为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．图1思路点拨1．用待定系数法求抛物线的解析式，设交点式比较简便．2．过△AOD 的三个顶点分别画对边的平行线与抛物线相交，可以确定存在三个梯形． 3．用抛物线的解析式可以表示点M 的坐标．满分解答(1)因为BC //x 轴，点D 在BC 上，C (0,－2)，所以点D 的纵坐标为－2．把y ＝－2代入x y 32-=，求得x ＝3．所以点D 的坐标为(3,－2)．(2)由于抛物线与x 轴交于点O 、A (4,0)，设抛物线的解析式为y ＝ax (x －4)，代入D (3,－2)，得23a =．所求的二次函数解析式为2228(4)333y x x x x =-=-． (3) 设点M 的坐标为228,33x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭． ①如图2，当OM //DA 时，作MN ⊥x 轴，DQ ⊥x 轴，垂足分别为N 、Q ．由tan ∠MON＝tan ∠DAQ ，得228332x xx-=． 因为x ＝0时点M 与O 重合，因此28233x -=，解得x ＝7．此时点M 的坐标为（7，14）．②如图3，当AM //OD 时，由tan ∠MAN ＝tan ∠DOQ ，得22823343x xx -=-． 因为x ＝4时点M 与A 重合，因此2233x -=，解得x ＝－1．此时点M 的坐标为10(1,)3-．③如图4，当DM //OA 时，点M 与点D 关于抛物线的对称轴对称，此时点M 的坐标为（1，－2）．图2 图3 图4 （六）因动点产生的面积问题例10，在平面直角坐标系中，直线112y x=+与抛物线y＝ax2＋bx－3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上的一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．（1）求a、b及sin∠ACP的值；（2）设点P的横坐标为m．①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；②连结PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积比为9∶10？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．图1思路点拨1．第（1）题由于CP//y轴，把∠ACP转化为它的同位角．2．第（2）题中，PD＝PC sin∠ACP，第（1）题已经做好了铺垫．3．△PCD与△PCB是同底边PC的两个三角形，面积比等于对应高DN与BM的比．4．两个三角形的面积比为9∶10，要分两种情况讨论．满分解答（1）设直线112y x=+与y轴交于点E，那么A(－2,0)，B(4,3)，E(0,1)．在Rt △AEO 中，OA ＝2，OE ＝1，所以AE =．所以sin AEO ∠=因为PC //EO ，所以∠ACP ＝∠AEO ．因此sin ACP ∠=将A (－2,0)、B (4,3)分别代入y ＝ax 2＋bx －3，得4230,1643 3.a b a b --=⎧⎨+-=⎩解得12a =，12b =-． （2）由211(,3)22P m m m --，1(,1)2C m m +，得221111(1)(3)42222PC m m m m m =+---=-++．所以221sin 4)1)2PD PC ACP m m m =∠==-++=-+．所以PD （3）当S △PCD ∶S △PCB ＝9∶10时，52m =； 当S △PCD ∶S △PCB ＝10∶9时，329m =．图2考点伸展第（3）题的思路是：△PCD 与△PCB 是同底边PC 的两个三角形，面积比等于对应高DN 与BM 的比．而211cos cos 4)(2)(4)25DN PD PDN PD ACP m m m m =∠=∠=-++=-+-，BM ＝4－m ．①当S △PCD ∶S △PCB ＝9∶10时，19(2)(4)(4)510m m m -+-=-．解得52m =．②当S △PCD ∶S △PCB ＝10∶9时，110(2)(4)(4)59m m m -+-=-．解得329m =．（七）因动点产生的相切问题例11，A(－5,0)，B(－3,0)，点C在y轴的正半轴上，∠CBO＝45°，CD//AB，∠CDA ＝90°．点P从点Q(4,0)出发，沿x轴向左以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t秒．（1）求点C的坐标；（2）当∠BCP＝15°时，求t的值；（3）以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．图1答案（1）点C的坐标为(0,3)．t=（2）如图2，当P在B的右侧，∠BCP＝15°时，∠PCO＝30°，4t=+．如图3，当P在B的左侧，∠BCP＝15°时，∠CPO＝30°，4图2 图3（3）如图4，当⊙P与直线BC相切时，t＝1；如图5，当⊙P与直线DC相切时，t＝4；如图6，当⊙P与直线AD相切时，t＝5.6．图4 图5 图6 （八）因动点产生的线段和差问题例12，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．（1）求直线AC的解析式及B、D两点的坐标；（2）点P是x轴上的一个动点，过P作直线l//AC交抛物线于点Q．试探究：随着点P 的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标．图1思路点拨1．第（2）题探究平行四边形，按照AP 为边或者对角线分两种情况讨论．2．第（3）题是典型的“牛喝水”问题，构造点B 关于“河流”AC 的对称点B ′，那么M 落在B ′D 上时，MB ＋MD 最小，△MBD 的周长最小．满分解答（1）由y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x ＋1)(x －3)＝－(x －1)2＋4， 得A (－1, 0)、B (3, 0)、C (0, 3)、D (1, 4)．直线AC 的解析式是y ＝3x ＋3．（2）Q 1(2, 3)，Q 2(13-)，Q 3(13-)．（3）设点B 关于直线AC 的对称点为B ′，联结BB ′交AC 于F ． 联结B ′D ，B ′D 与交AC 的交点就是要探求的点M ． 作B ′E ⊥x 轴于E ，那么△BB ′E ∽△BAF ∽△CAO ．在Rt △BAF中，13AF BF ==AB ＝4，所以BF =． 在Rt △BB ′E中，'13B E BE ==，'2BB BF =12'5B E =，365BE =． 所以3621355OE BE OB =-=-=．所以点B ′的坐标为2112(,)55-． 因为点M 在直线y ＝3x ＋3上，设点M 的坐标为(x , 3x ＋3)．由''''''DD MM B D B M =，得''''yD yB yM yB xD xB xM xB --=--．所以121243355155x x -+-=++． 解得935x =．所以点M 的坐标为9132(,)3535．图2 图3考点伸展第（2）题的解题思路是这样的：①如图4，当AP 是平行四边形的边时，CQ //AP ，所以点C 、Q 关于抛物线的对称轴对称，点Q 的坐标为(2, 3)．②如图5，当AP 是平行四边形的对角线时，点C 、Q 分居x 轴两侧，C 、Q 到x 轴的距离相等．解方程－x 2＋2x ＋3＝－3，得1x =所以点Q 的坐标为(13-)或 (13-)．。
中考数学压轴题分析——角度相等问题
中考数学压轴题分析——角度相等问题展开全文前面几篇内容介绍的主要是角度已知的问题。
接下来将会介绍的内容是角度的等量关系有关的问题。
例如两个角相等产生的求坐标的问题。
此类问题绝大多数和角度定值的问题类似，一个角是固定的，关键是如何表示这个角的大小。
用角度，还是用三角函数。
本文题目选自以下地区：2019·南充、2019·海南2019·苏州、2019·遂宁2019·株洲【中考真题】（2019·南充）如图，抛物线y＝ax²+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（﹣3，0），且OB＝OC．（2）点P在抛物线上，且∠POB＝∠ACB，求点P的坐标；【分析】仔细阅读题目，由于点A、B、C三点是固定的，所以抛物线的解析式也是固定的。
当然∠ACB的大小也是固定的。
而OB也是确定的。
所以要确定点P的位置也是很容易的。
以OB为边，点O为顶点，构造一个角使得∠POB=∠ACB即可。
不能忽略了点P有多种情况，分为OB的上方和下方两种。
但是找到点P之后如何确定点P的坐标呢？点P既然在抛物线上面，那么横纵坐标就满足抛物线的解析式。
如果还有一个等量关系就可以了。
因此可以考虑如何求出∠ACB的三角函数值，然后再利用等量关系得出点P的坐标即可。
过点A作BC的垂线，求出∠ACB的正切值tan，然后就可以建立等量关系求出点P的坐标了。
【答案】解：抛物线解析式为y＝﹣（x+1）（x+3）＝﹣x²﹣4x﹣3，如图1，过点A作AG⊥BC于点G，过点P作PH⊥x轴于点H，∴∠AGB＝∠AGC＝∠PHO＝90°，∵∠ACB＝∠POB，∴△ACG∽△POH，∴AG/PH=CG/OH，∴AG/CG=PH/OH，∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，∴∠ABC＝45°，BC=√(OB²+OC²)=3√2，∴△ABG是等腰直角三角形，∴AG＝BG=√2/2AB=√2，∴CG＝BC﹣BG＝3√2-√2=2√2，∴PH/OH=AG/CG=1/2，∴OH＝2PH，设P（p，﹣p²﹣4p﹣3），①当p＜﹣3或﹣1＜p＜0时，点P在点B左侧或在AC之间，横纵坐标均为负数，∴OH＝﹣p，PH＝﹣（﹣p²﹣4p﹣3）＝p²+4p+3，∴﹣p＝2（p²+4p+3），解得：p1=(-9-√33)/4，p2=(-9+√33)/4，∴P（(-9-√33)/4，(-9-√33)/8）或（(-9+√33)/4，(-9+√33)/8），②当﹣3＜p＜﹣1或p＞0时，点P在AB之间或在点C右侧，横纵坐标异号，∴p＝2（p2+4p+3），解得：p1＝﹣2，p2=-3/2，∴P（﹣2，1）或（-3/2，3/4），综上所述，点P的坐标为（(-9-√33)/4，(-9-√33)/8）、（(-9+√33)/4，(-9+√33)/8）、（﹣2，1）或（-3/2，3/4）．【总结】本题的本质是利用三角函数——边的关系来表示角。
平面直角坐标系中的角相等问题
平面直角坐标系中的角相等问题
二次函数中的角相等问题是一个非常重要的专题。
本文将把二次函数的背景抽离，抽象成平面直角坐标系中的点，以此来分析平面直角坐标系中的角相等问题。
解决平面直角坐标系中的角相等问题，首选是构造直角三角形，利用等角的锐角三角比相等解决问题，其次再选择构造相似三角形来计算。
当题目中出现相等的角时，可以通过计算已知角的三角比，用所求点的横纵坐标表示另一角的三角比，从而建立等量关系；同时也可以通过构造相似三角形，利用比例线段解决问题。
方法辨析：平面直角坐标系中的角相等问题，首选锐角三角比，但是当计算复杂或者某个点坐标难求时，可以构造相似三角形解决问题。
方法总结：以上的第2、3、4题通过已知中出现的45°特殊角，通过外角性质或者角的和差，构造了等角，进而再利用三角比进行问题解决。
因此，如何巧妙利用和拆分特殊角成为了构造等角的关键所在。
综合上面的8道题，对于二次函数中的角相等问题，首选方法是利用等角的三角比解决问题（利用一线三等角模型或者拆分特殊角来发现等角），其次选择利用相似三角形中的比例线段解决问题。
二次函数中的角相等问题比较灵活，同学们在遇到具体问题时具体分析，合理构造等角，解决问题。
两个直角相等的题设和结论
两个直角相等的题设和结论题设和结论是数学中常见的概念。
其中，“题设”指的是已知的条件或限制，“结论”则是经过推导得出的结论或结论组合。
其中，如果“两个直角相等”的情况，也就意味着我们可以得出一些特定的题设和结论。
在本文中，我们将探讨“两个直角相等的题设和结论”。
题设首先，我们需要明确“两个直角相等”这一条件的含义和解释。
通常情况下，一个直角是90度，因此相等的两个直角也就意味着它们的角度相同，并且都是90度。
因此，“两个直角相等”的题设可以总结为如下的方程式：角度A = 90度角度B = 90度这表明，在讨论“两个直角相等”的情况下，我们已经知道了这两个角度的大小和值。
接下来，我们需要考虑这一题设对于其他分支的影响。
例如，在几何学中，我们可能要求两个相邻角度的和为180度。
对于“两个直角相等”的情况而言，这一限制依然适用。
因此，如果我们需要将这两个直角与其他角度相连，我们需要考虑到它们与其他角度的和必须是180度。
结论在理解了“两个直角相等”的题设之后，我们可以开始探讨与之相关的结论。
这里，我们列出了几个与“两个直角相等”有关的结论：结论1：“两个直角相等”的情况下，一个三角形中所有角度的和为180度。
对于一个三角形而言，它的三个角度之和总是180度。
如果一个三角形有一个直角，那么另外两个角度必须相加等于90度。
由于“两个直角相等”的情况下两个角度都是90度，因此一个三角形的三个角度之和仍然是180度。
结论2：“两个直角相等”的情况下，两条垂线之间的夹角相等。
在一个平面坐标系中，垂直线之间的夹角总是90度。
因此，如果两条垂直线都是直角，那么它们之间的夹角必须是相等的。
结论3：“两个直角相等”的情况下，若一任意角的两条边中，有一条等于一条直角的一条边，那么这个任意角也就是一个直角。
这个结论是勾股定理的相关结论之一。
如果已知一个直角三角形的两条边长，我们可以通过勾股定理计算出第三条边长。
但是如果我们不知道哪条边是直角边，我们也可以用这个结论来推导过程。
平面直角坐标系压轴题
七年级下学期期末备考之《平面直角坐标系中几何综合题》1．如图在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），（﹣1，2）．且|2a+b+1|+=0．（1）求a、b的值；（2）①在y轴的正半轴上存在一点M，使S△COM =S△ABC，求点M的坐标．（标注：三角形ABC 的面积表示为S△ABC）②在座标轴的其他位置是不是存在点M，使S△COM =S△ABC仍成立？假设存在，请直接写出符合条件的点M的坐标．2．在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），C（﹣1，2）（见图1），且|2a+b+1|+=0（1）求a、b的值；（2）①在x轴的正半轴上存在一点M，使△COM的面积=△ABC的面积，求出点M的坐标；②在座标轴的其它位置是不是存在点M，使△COM的面积=△ABC的面积仍然成立？假设存在，请直接写出符合条件的点M的坐标；（3）如图2，过点C作CD⊥y轴交y轴于点D，点P 为线段CD延长线上的一动点，连接OP，OE平分∠AOP，OF⊥OE．当点P 运动时，的值是不是会改变？假设不变，求其值；假设改变，说明理由．3.已知：如图①，直线MN⊥直线PQ，垂足为O，点A在射线OP上，点B在射线OQ上（A、B不与O点重合），点C在射线ON上且OC=2，过点C作直线l ∥PQ，点D在点C的左侧且CD=3．（1）直接写出△BCD的面积．（2）如图②，假设AC⊥BC，作∠CBA的平分线交OC于E，交AC于F，求证：∠CEF=∠CFE．（3）如图③，假设∠ADC=∠DAC，点B在射线OQ 上运动，∠ACB的平分线交DA的延长线于点H，在点B 运动进程中的值是不是转变？假设不变，求出其值；假设转变，求出转变范围．4.如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，3），C（4，0），且知足（a+b）2+|a﹣b+6|=0，线段AB交y 轴于F点．（1）求点A、B的坐标．（2）点D为y轴正半轴上一点，假设ED∥AB，且AM，DM别离平分∠CAB，∠ODE，如图2，求∠AMD 的度数．（3）如图3，（也能够利用图1）①求点F的坐标；②点P为坐标轴上一点，假设△ABP的三角形和△ABC 的面积相等？假设存在，求出P点坐标．5.在直角坐标系中，已知点A、B的坐标是（a，0）（b，0），a，b 知足方程组，c为y轴正半轴上一点，且S△ABC=6．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）是不是存在点P（t，t），使S△PAB =S△ABC？假设存在，请求出P点坐标；假设不存在，请说明理由；（3）假设M是AC的中点，N是BC上一点，CN=2BN，连AN、BM相交于点D，求四边形CMDN的面积是．6.在平面直角坐标系中，点A（a，b）是第四象限内一点，AB⊥y轴于B，且B（0，b）是y轴负半轴上一点，b2=16，S△AOB=12．（1）求点A和点B的坐标；（2）如图1，点D为线段OA（端点除外）上某一点，过点D作AO垂线交x轴于E，交直线AB于F，∠EOD、∠AFD的平分线相交于N，求∠ONF的度数．（3）如图2，点D为线段OA（端点除外）上某一点，当点D在线段上运动时，过点D作直线EF交x轴正半轴于E，交直线AB于F，∠EOD，∠AFD的平分线相交于点N．假设记∠ODF=α，请用α的式子表示∠ONF的大小，并说明理由．7.如图，A、B两点坐标别离为A（a，4），B（b，0），且a，b知足（a﹣2b+8）2+=0，E是y轴正半轴上一点．（1）求A、B两点坐标；（2）假设C为y轴上一点且S△AOC =S△AOB，求C点的坐标；（3）过B作BD∥y轴，∠DBF=∠DBA，∠EOF=∠EOA，求∠F与∠A间的数量关系．8.已知，在平面直角坐标系中，点A（0，m），点B（n，0），m、n知足（m﹣3）2=﹣；（1）求A、B的坐标；（2）如图1，E为第二象限内直线AB上一点，且知足S△AOE =S△AOB，求E的坐标．（3）如图2，平移线段BA至OC，B与O是对应点，A与C对应，连AC．E为BA的延长线上一动点，连EO．OF平分∠COE，AF平分∠EAC，OF交AF于F 点．假设∠ABO+∠OEB=α，请在图2中将图形补充完整，并求∠F（用含α的式子表示）．9.如图，已知点A（﹣m，n），B（0，m），且m、n知足+（n﹣5）2=0，点C在y轴上，将△ABC沿y轴折叠，使点A落在点D处．（1）写出D点坐标并求A、D两点间的距离；（2）假设EF平分∠AED，假设∠ACF﹣∠AEF=20°，求∠EFB的度数；（3）过点C作QH平行于AB交x轴于点H，点Q在HC的延长线上，AB交x轴于点R，CP、RP别离平分∠BCQ和∠ARX，当点C在y轴上运动时，∠CPR 的度数是不是发生转变？假设不变，求其度数；假设转变，求其转变范围．10..如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标别离为A（﹣1，0）、B（3，0）．现同时将点A，B别离向上平移2个单位，再向右平移1个单位，别离取得点A，B的对应点C、D，连接AC，BD．（1）直接写出点C、D的坐标，求四边形ABDC的面积S四边形ABDC；（2）在座标轴上是不是存在一点P，使S△PAC =S四边形ABDC？假设存在如此一点，求出点P的坐标；假设不存在，试说明理由．（3）如图3，在线段CO上取一点G，使OG=3CG，在线段OB上取一点F，使OF=2BF，CF与BG交于点H，求四边形OGHF的面积S四边形OGHF．。
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中考压轴题之平面直角坐标系下的角度相等问题中考题最后的压轴题中，经常出现与角度相关的问题。
与平面直角坐标系结合，将三角形全等、三角形相似、三角函数、圆及二次函数等知识有机的结合在一起，考察学生对知识综合、灵活应用的能力，同时考察学生解题方法的思路的灵活性，以及对数学学科思维的掌握情况。
平面直角坐标系下的角度相等问题，通常有以下几种解题思路：1、利用三角形全等解决2、利用三角形相似解决3、利用三角函数解决4、利用圆的知识解决下面分类举例说明：题型一、利用全等处理角等例1、（2017秋?莲湖区期末）如图①，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点 A（﹣1，0），B（3，0），与 y 轴交于点 C，连接 BC．（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线上是否存在点 M，使得△ MBC 的面积与△ OBC 的面积相等，若存在，请直接写出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点 D（2，m）在第一象限的抛物线上，连接 BD．在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点 P，满足∠ PBC＝∠ DBC？如果存在，请求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由．【分析】（1）根据抛物线 y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点 A（﹣ 1，0），B（3，0），可求得抛物线的表达式；（2）根据直线 BC的解析式为 y＝﹣ x+3，可得过点 O 与 BC 平行的直线 y＝﹣ x，与抛物线的交点即为 M，据此求得点 M 的坐标；（3）设 BP交轴 y于点 G，再根据点 B、C、D 的坐标，得到∠ DCB＝∠ OBC＝∠ OCB＝45°，进而判定△ CGB≌△ CDB，求得点 G 的坐标为（0，1），得到直线 BP 的解析式为 y＝﹣x+1，最后计算直线 BP 与抛物线的交点 P 的坐标即可．【解答】解：（1）∵抛物线 y＝ax2+bx+3（a≠0）与 x 轴交于点 A（﹣ 1，0），B（3，0），∴，∴，解得，∴抛物线的表达式为 y＝﹣ x2+2x+3；（2）存在．∵抛物线的表达式为 y＝﹣ x2+2x+3，∴点 C的坐标为（ 0，3），∵C（0，3），B（3，0），∴直线 BC 的解析式为 y＝﹣x+3，∴过点 O与 BC平行的直线 y＝﹣x，与抛物线的交点即为 M，解方程组可得∴x＝（3）存在．如图，设 BP 交轴 y 于点 G ，∵点 D （2，m ）在第一象限的抛物线上， 2∴当 x ＝2 时，m ＝﹣ 22+2×2+3＝3，∴点 D 的坐标为（ 2，3），2把 x ＝0 代入 y ＝﹣ x 2+2x+3，得 y ＝ 3， ∴点 C 的坐标为（ 0，3）， ∴CD ∥x 轴， CD ＝2， ∵点 B （3，0）， ∴OB ＝OC ＝3，∴∠OBC ＝∠OCB ＝45°，∴∠ DCB ＝∠ OBC ＝∠ OCB ＝45°， 又∵∠ PBC ＝∠ DBC ，BC ＝ BC ， ∴△CGB ≌△CDB （ASA ）， ∴CG ＝CD ＝2， ∴OG ＝OC ﹣CG ＝ 1， ∴点 G 的坐标为（ 0，1）， 设直线 BP 的解析式为 y ＝kx+1， 将 B （ 3， 0）代入，得 3k+1＝0， 解得 k ＝﹣ ，M 1（， ），M 2（ ，）；∴直线 BP 的解析式为 y ＝﹣ x+1，令﹣ x+1＝﹣ x 2+2x+3， 解得 ，x 2＝3， ∵点 P 是抛物线对称轴 x ＝＝1 左侧的一点，即x<1，把 x＝﹣代入抛物线 y＝﹣ x2+2x+3 中，∴当点 P 的坐标为（﹣）时，满足∠ PBC＝∠DBC．【总结】出现角等的条件时，可以将两角构造在全等三角形中，利用全等的性质解决问题。
题型二、利用相似处理角等问题例2、声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得例 2 复例 2（ 2016?广州一模）2如图，在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 y＝x2+bx+c与y轴交于点 C，与x轴交于A，B两点，点 B的坐标为（ 3，0），直线 y＝﹣x+3恰好经过 B，C 两点（1）写出点 C 的坐标；（2）求出抛物线 y＝x2+bx+c 的解析式，并写出抛物线的对称轴和点 A的坐标；（3）点 P在抛物线的对称轴上，抛物线顶点为 D 且∠ APD＝∠ ACB，求点 P的坐标．【分析】（1）由直线 y＝﹣ x+3 可求出 C点坐标；（2）由 B，C 两点坐标便可求出抛物线方程，从而求出抛物线的对称轴和A 点坐标；（3）作出辅助线 OE，由三角形的两个角相等，证明△ AEC∽△ AFP，根据两边成比例，便可求出 PF 的长度，从而求出 P 点坐标．解答】解：（1）y ＝﹣ x+3与y 轴交于点 C ，故 C （0，3）．2）∵抛物线 y ＝x 2+bx+c 过点 B ，C ， y ＝ x 2﹣4x+3＝（x ﹣1）×（ x ﹣3），∴对称轴为 x ＝ 2， 点 A （ 1， 0）．2（3）由 y ＝ x 2﹣4x+3， 可得 D （2，﹣ 1），A （1，0）， ∴OB ＝3，OC ＝3，OA ＝1，AB ＝2， 可得△ OBC 是等腰直角三角形， ∴∠ OBC ＝45°， ． 如图，设抛物线对称轴与 x 轴交于点 F ，过点 A 作AE ⊥BC 于点 E ． ∴∠AEB ＝90 度． 可得 ， ．在△AEC 与△ AFP 中，∠ AEC ＝∠ AFP ＝90°，∠ ACE ＝∠ APF ， ∴△ AEC ∽△ AFP ． ∴， ∴，解得 PF ＝ 2．或者直接证明△ ABC ∽△ ADP 得出 PD ＝3， 再得 PF ＝ 2．∵点 P 在抛物线的对称轴上，∴点 P 的坐标为（ 2，2）或（ 2，﹣2）．∴抛物线的解析式【总结】出现角等的条件时，可以将两角构造在相似三角形中，利用相似对应边成比例的性质解决问题。
这类问题也可以用三角函数解决。
见类型三。
三、利用三角函数（ tan 值）处理角等问题2例 3、（2018?济南改编）如图 1，抛物线 y＝ ax2+bx+4 过 A（2，0）、B（4，0）两点，交 y 轴于点C，过点 C作x轴的平行线与抛物线上的另一个交点为 D，连接 AC、BC．点 P是该抛物线上一动点，设点 P 的横坐标为 m（ m>4）．（1）求该抛物线的表达式和∠ ACB 的正切值；（2）如图 2，若∠ ACP＝45°，求 m 的值；【分析】（ 1）由点 A、B 坐标利用待定系数法求解可得抛物线解析式为 y＝ x2﹣3x+4，作BG⊥CA，交 CA 的延长线于点 G，证△ GAB∽△ OAC 得＝，据此知 BG＝2AG．在Rt△ABG 中根据 BG2+AG2＝AB2，可求得 AG＝．继而可得 BG＝，CG＝AC+AG ＝，根据正切函数定义可得答案；（2）由题意可得，∠ BCD=4°5 ，若∠ ACP ＝45°，则∠ ACP=∠PCD 。
即 tan ∠ ACP=tan ∠ PCD 。
由（1）得tan ∠ACB=1/3，所以tan ∠PCD=1/3。
过P 做PH ⊥CD 于点H ，设出 P 点 坐标，列方程即可 。
解答】解：（1）将点A （2，0）和点B （4，0）分别代入 y ＝ax 2+bx+4，得∴该抛物线的解析式为 y ＝ x 2﹣3x+4．过点B 作BG ⊥CA ，交CA 的延长线于点 G （如图 1所示），则∠ G ＝90°∵∠ COA ＝∠ G ＝90°，∠ CAO ＝∠BAG ， ∴△ GAB ∽△ OAC ．∴BG ＝2AG．在 Rt △ABG 中，∵ BG 2+AG 2＝AB 2，在 Rt △BCG 中，tan ∠ACB ═ ＝ ．2）（2）∵∠BCD=45若∠ACP ＝45°，则∠ACP= ∠PCD 。
＝＝2．2AG ）2+AG 2＝22．解得： AG ＝CG ＝ AC+AG即 tan ∠ACP=tan ∠PCD 。
由（1）得 tan ∠ACB=1/3 ，∴tan ∠PCD=1/3 。
过 P 做 PH ⊥CD 于点 H设 P（m ，1/2m^2 ﹣3m+4 ）则 HC=m PH=4-1/2m^2+3m-4=-1/2m^2+3m∵tan ∠PCD=1/3∴ PH/HC=1/3即（ -1/2m^2+3m ）/m=1/3解得： m=16/3 或m=0 （舍去）∴ m=16/3【总结】出现角等的条件时，即两个角的正切值相等。
从而列出方程解决即可。
这类问题也可以用相似解决，见类型二。
题型四、利用隐圆处理角等2例4：（2018?日照改编）如图，已知点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y＝ax2+bx+c上．1）求抛物线解析式；2）在直线 BC 上方的抛物线上求一点 P ，使△ PBC 面积为 1；x+1），则 D （x ，﹣ x+1），然后可得到 PD 与 x 之间的关系式，接下来，依据△ PBC 的面积为 1 列方程 求解即可；解答】 解：（1）设抛物线的解析式为 y ＝a （ x+1）（x ﹣3），将 C （0， 1）代入得﹣ 3a ＝ 1，解得： a ＝﹣2）过点 P 作PD ⊥x ，交BC 与点 D ．1）代入求得 a 的值即可； 2）过点 P 作 PD ⊥x ，交 BC 与点 D ，先求得直线 BC 的解析式为y ＝ ﹣ x+1，设点 P （ x ， ﹣ x 2+∴抛物线的解析式为 y ＝x 2+x+1．设直线 BC 的解析式为 y ＝ kx+b ，则 ，解得： k ＝﹣∴直线 BC 的解析式为 y ＝﹣ x+1．x+ 2∴PD ＝（﹣ x 2+ ∴ S △PBC ＝ OB?DP ＝设点 P x ，x+1），则 D （x ，﹣ x+1）2﹣（﹣ x+1 ）＝﹣x +x ，2× 3×（﹣ x 2+ x ）＝﹣2x + x ．又∵ S △PBC ＝ 1， ∴﹣ x 2∴﹣ x +x ＝1，整理得：2x2﹣ 3x+2 ＝ 0，解得： x ＝1 或 x ＝2，∴点 P 的坐标为（ 1，）或（ 2， 1）．y ＝ a （ x+1）（x ﹣ 3），将 C【总结】出现角等的条件时，根据题目出现的条件，利用同弧所对的圆周角相等或同弧的圆周角是圆心角的一半，构造圆形解决问题。