1.2.2.1组合与组合数公式
高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.2组合第1课时组合与组合数公式讲义新人教A版选修2_3
第1课时组合与组合数公式知识点组合的定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素□01合成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.知识点组合与组合数公式组合的定义包含两个基本内容:一是“取出元素”;二是“合成一组”,表示与元素的顺序无关,排列与组合的相同点是从n 个不同元素中任取m 个元素,不同点是组合是“不管元素的顺序合成一组”,而排列是要求元素按照一定的顺序排成一列.因此区分某一问题是组合还是排列,关键是看取出的元素有无顺序.组合数的两个性质,性质1反映了组合数的对称性,在m >n2时,通常不直接计算C mn 而改为C n -m n ,对于性质2,C m n +1=C m n +C m -1n 要会正用、逆用、变形用.1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)从a ,b ,c 三个不同的元素中任取两个元素的一个组合是C 23.( ) (2)从1,3,5,7中任取两个数相乘可得C 24个积.( ) (3)1,2,3与3,2,1是同一个组合.( ) (4)C 35=5×4×3=60.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×2.做一做(1)从6名学生中选出3名学生参加数学竞赛的不同选法种数是________. (2)C 1820=________. (3)C 399+C 299=________.答案 (1)20 (2)190 (3)161700解析 (1)由组合数公式知C 36=6×5×43×2×1=20.(2)C 1820=C 220=20×192×1=190. (3)C 399+C 299=C 3100=100×99×983×2×1=161700.探究1 组合的有关概念 例1 给出下列问题:(1)从a ,b ,c ,d 四名学生中选2名学生完成一件工作,有多少种不同的选法? (2)从a ,b ,c ,d 四名学生中选2名学生完成两件不同的工作,有多少种不同的选法? (3)a ,b ,c ,d 四支足球队之间进行单循环比赛,共需赛多少场? (4)a ,b ,c ,d 四支足球队争夺冠亚军,有多少种不同的结果?(5)某人射击8枪,命中4枪,且命中的4枪均为2枪连中,不同的结果有多少种? (6)某人射击8枪,命中4枪,且命中的4枪中恰有3枪连中,不同的结果有多少种? 在上述问题中,哪些是组合问题?哪些是排列问题?[解] (1)2名学生完成的是同一件工作,没有顺序,是组合问题. (2)2名学生完成两件不同的工作,有顺序,是排列问题.(3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛,没有顺序,是组合问题. (4)冠亚军是有顺序的,是排列问题.(5)命中的4枪均为2枪连中,为相同的元素,没有顺序,是组合问题. (6)命中的4枪中恰有3枪连中,即连中3枪和单中1枪,有顺序,是排列问题. 拓展提升判断是否为组合问题,关键是判断问题是否与顺序有关,可以结合条件理解,也可以选择一个结果,交换这个结果中两个元素先后顺序,看是否对结果产生影响,若无新变化,则是组合问题.总之,与顺序有关是排列问题,若与顺序无关,则是组合问题.[跟踪训练1] 判断下列问题是排列问题,还是组合问题.(1)从集合A ={-1,1,10,8,6,4}中任取两个数相加,得到的和共有多少个? (2)从集合A ={-1,1,10,8,6,4}中任取两个数相除,得到的商共有多少个?(3)从a ,b ,c ,d 这四名同学中任取两名同学去参加某一活动,共有多少种不同的选法? (4)四个人互发一个电子邮件,共写了多少个电子邮件?解 (1)从集合A 中取出两个数后,改变两个数的顺序,其和不变.因此此问题,只与取出的元素有关,与元素的顺序无关,故是组合问题.(2)从集合A 中取出两个数相除,若改变其分子、分母的位置,其结果就不同,因此其商的值与元素的顺序有关,是排列问题.(3)由于从4名同学中取出的两名同学参加的同一项活动,没有顺序,因此是组合问题. (4)四人互发电子邮件,由于发信人与收信人是有区别的,与顺序有关,是排列问题. 探究2 组合数及组合数性质的运用 例2 (1)计算:C 410-C 37·A 33; (2)已知1C m 5-1C m 6=710C m 7,求C m8;(3)求C 38-n3n +C 3n21+n 的值; (4)证明:m C m n =n C m -1n -1. [解] (1)原式=C 410-A 37=10×9×8×74×3×2×1-7×6×5=210-210=0.(2)原方程可化为m !(5-m )!5!-m !(6-m )!6!=7×(7-m )!m !10×7!,即m !(5-m )!5!-m !(6-m )(5-m )!6×5!=7×m !(7-m )(6-m )(5-m )!10×7×6×5!,∴1-6-m 6=(7-m )(6-m )60,即m 2-23m +42=0,解得m =2或21(不符合题意,舍去).∴C m 8=C 28=28.(3)∵⎩⎪⎨⎪⎧38-n ≤3n ,3n ≤21+n ,∴9.5≤n ≤10.5,∵n ∈N *,∴n =10, ∴C 38-n3n +C 3n21+n =C 2830+C 3031=30!28!·2!+31!30!·1!=466.(4)证明:m C mn =m ·n !m !(n -m )!=n ·(n -1)!(m -1)!(n -m )!=n ·(n -1)!(m -1)!(n -m )!=n C m -1n -1.拓展提升(1)像排列数公式一样,公式C mn=n (n -1)(n -2)…(n -m +1)m !一般用于计算;而公式C m n =n !m !(n -m )!及C mn =A mn A m m 一般用于证明、解方程(不等式)等.(2)在解决与组合数有关的问题时,要注意隐含条件“m ≤n 且m ,n ∈N *”的运用.如本例(3).(3)要注意公式Am n =C m n A m m 的逆向运用,如本例(1)中可利用“C 37A 33=A 37”简化计算过程. (4)本例(4)所推导的结论“m C m n =n C m -1n -1”以及它的变形公式是非常重要的公式,应熟练掌握.[跟踪训练2] (1)①求值:C 5-n n +C 9-nn +1;②求证:C mn =m +1n -mC m +1n . (2)计算:①C 58+C 98100·C 77; ②C 05+C 15+C 25+C 35+C 45+C 55; ③C n n +1·C n -1n .解 (1)①⎩⎪⎨⎪⎧5-n ≤n ,5-n ≥0,9-n ≤n +1,9-n ≥0,解得4≤n ≤5.又因为n ∈N *,所以n =4或n =5. 当n =4时,原式=C 14+C 55=5, 当n =5时,原式=C 05+C 46=16.②证明:因为C mn =n !m !(n -m )!,m +1n -m C m +1n =m +1(m +1)!·n !(n -m )(n -m -1)!=n !m !(n -m )!,所以C mn =m +1n -mC m +1n . (2)①原式=C 38+C 2100×1=8×7×63×2×1+100×992×1=56+4950=5006.②原式=2(C 05+C 15+C 25)=2(C 16+C 25)=2×⎝ ⎛⎭⎪⎫6+5×42×1=32. ③原式=C 1n +1·C 1n =(n +1)n =n 2+n . 探究3 简单的组合问题例3 现有10名教师,其中男教师6名,女教师4名. (1)从中选2名去参加会议,有多少种不同的选法?(2)从中选出2名男教师或2名女教师去外地学习,有多少种不同的选法? (3)从中选出男、女教师各2名去参加会议,有多少种不同的选法?[解] (1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数,就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数,即有C 210=10×92×1=45种不同的选法. (2)可把问题分两类:第1类,选出2名男教师,有C 26种方法;第2类,选出2名女教师,有C 24种方法,即共有C 26+C 24=21种不同的选法.(3)从6名男教师中选2名的选法有C 26种,从4名女教师中选2名的选法有C 24种,根据分步乘法计数原理,共有C 26·C 24=6×52×1×4×32×1=90种不同的选法. 拓展提升解简单的组合应用题时,首先要判断它是不是组合问题,组合问题与排列问题的根本区别在于:排列问题与取出的元素之间的顺序有关,而组合问题与取出元素的顺序无关.其次要注意两个基本原理的运用,即分类与分步的灵活运用,在分类与分步时,一定要注意有无重复和遗漏.[跟踪训练3] 在一次数学竞赛中,某学校有12人通过了初试,学校要从中选出5人参加市级培训.在下列条件下,有多少种不同的选法?(1)任意选5人;(2)甲、乙、丙三人必须参加; (3)甲、乙、丙三人不能参加; (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加.解 (1)从中任取5人是组合问题,共有C 512=792种不同的选法.(2)甲、乙、丙三人必须参加,则只需要从另外9人中选2人,是组合问题,共有C 29=36种不同的选法.(3)甲、乙、丙三人不能参加,则只需从另外的9人中选5人,共有C59=126种不同的选法.(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加,可分两步:先从甲、乙、丙中选1人,有C13=3种选法;再从另外9人中选4人,有C49种选法.共有C13C49=378种不同的选法.1.下列问题不是组合问题的是 ( )A.10个朋友聚会,每两人握手一次,一共握手多少次?B.平面上有2015个不同的点,它们中任意三点不共线,连接任意两点可以构成多少条线段?C.集合{a1,a2,a3,…,a n}的含有三个元素的子集有多少个?D.从高三(19)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目,有多少种选法?答案 D解析组合问题与次序无关,排列问题与次序有关,D项中,选出的2名学生,如甲、乙,其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是两个不同的选法,因此是排列问题,不是组合问题,选D.2.若C 7n +1-C 7n =C 8n ,则n 等于( ) A .12 B .13 C .14 D .15 答案 C解析 C 7n +1=C 7n +C 8n =C 8n +1,∴n +1=7+8,n =14,故选C. 3.把三张游园票分给10个人中的3人,分法有 ( ) A .A 310种 B .C 310种 C .C 310A 310种 D .30种答案 B解析 三张票没区别,从10人中选3人即可,即C 310,故选B. 4.若C 4n >C 6n ,则n 的集合是________. 答案 {6,7,8,9} 解析 ∵C 4n >C 6n ,∴⎩⎪⎨⎪⎧C 4n >C 6n ,n ≥6⇒⎩⎪⎨⎪⎧n !4!(n -4)!>n !6!(n -6)!,n ≥6⇒⎩⎪⎨⎪⎧n 2-9n -10<0,n ≥6⇒⎩⎪⎨⎪⎧-1<n <10,n ≥6.∵n ∈N *,∴n =6,7,8,9. ∴n 的集合为{6,7,8,9}.5.在6名内科医生和4名外科医生中,现要组成5人医疗小组送医下乡,依下列条件各有多少种选派方法?(1)有3名内科医生和2名外科医生; (2)既有内科医生,又有外科医生.解 (1)先选内科医生有C 36种选法,再选外科医生有C 24种选法,故有C 36C 24=120种选派方法.(2)既有内科医生,又有外科医生,正面思考应包括四种情况,内科医生去1人,2人,3人,4人,有C 16C 44+C 26C 34+C 36C 24+C 46C 14=246种选派方法.若从反面考虑,则有C 510-C 56=246种选派方法.。
小学数学解决简单的排列组合问题
小学数学解决简单的排列组合问题排列组合是小学数学中一个重要的概念,它涉及到对一组元素进行有序或无序排列的问题。
在解决简单的排列组合问题时,我们可以通过确定问题的条件和采用适当的计算方法来求解。
本文将介绍如何解决简单的排列组合问题,包括计算排列数和组合数的方法,以及一些常见的应用。
一、排列的计算方法排列是指从一组元素中选取若干个进行有序排列的方式。
当元素的顺序不同时,它们所组成的排列是不同的。
我们可以通过数学的方法来计算排列数。
1.1 从n个元素中选取m个进行排列当我们需要从n个不同元素中选取m个进行排列时,可以使用以下公式计算排列数:Anm = n! / (n-m)!式中,Anm表示从n个元素中选取m个进行排列的结果,n!表示n 的阶乘,即n*(n-1)*(n-2)*...*2*1。
例如,从5个不同的数字中选取3个进行排列的结果为:A53 = 5! / (5-3)!= 5! / 2!= 5*4*3*2*1 / 2*1= 60因此,从5个不同的数字中选取3个进行排列的结果有60种。
1.2 从n个元素中选取所有进行排列当我们需要从n个不同元素中选取所有进行排列时,也可以使用阶乘的方法来计算排列数:An = n!例如,从5个不同的数字中选取所有进行排列的结果为:A5 = 5!= 5*4*3*2*1= 120因此,从5个不同的数字中选取所有进行排列的结果有120种。
二、组合的计算方法组合是指从一组元素中选取若干个进行无序排列的方式。
当元素的顺序不重要时,它们所组成的组合是相同的。
我们可以使用组合数来表示从一组元素中选取若干个进行组合的结果。
2.1 从n个元素中选取m个进行组合当我们需要从n个不同元素中选取m个进行组合时,可以使用以下公式计算组合数:Cnm = n! / ((n-m)! * m!)式中,Cnm表示从n个元素中选取m个进行组合的结果。
例如,从5个不同的数字中选取3个进行组合的结果为:C53 = 5! / ((5-3)! * 3)!= 5! / (2! * 3)!= 5*4*3*2*1 / (2*1 * 3*2*1)= 10因此,从5个不同的数字中选取3个进行组合的结果有10种。
高中数学 第一章1.2 排列与组合 1.2.2 第1课时 组合与组合数公式学案 新人教A版选修2-3 (2)
第1课时组合与组合数公式学习目标 1.理解组合的定义,正确认识组合与排列的区别与联系.2.理解排列数与组合数之间的联系,掌握组合数公式,能运用组合数公式进行计算.3.会解决一些简单的组合问题.知识点一组合的定义思考①从3,5,7,11中任取两个数相除;②从3,5,7,11中任取两个数相乘.以上两个问题中哪个是排列?①与②有何不同特点?答案①是排列,①中选取的两个数是有序的,②中选取的两个数无需排列.梳理一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.知识点二组合数与组合数公式组合数及组合数公式组合数定义及表示从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n 个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号C m n表示.组合数公式乘积形式C m n=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)m!阶乘形式C m n=n!m!(n-m)!性质C m n=C n-mnC m n+1=C m n+C m-1n备注规定C0n=11.从a1,a2,a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合是C23.( ×) 2.从1,3,5,7中任取两个数相乘可得C24个积.( √)3.C 35=5×4×3=60.( × ) 4.C 2 0162 017=C 12 017=2 017.( √ )类型一 组合概念的理解 例1 给出下列问题:(1)a ,b ,c ,d 四支足球队之间进行单循环比赛,共需比赛多少场? (2)a ,b ,c ,d 四支足球队争夺冠、亚军,有多少种不同的结果?(3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务,有多少种不同的选法?(4)从全班40人中选出3人参加某项活动,有多少种不同的选法? 在上述问题中,哪些是组合问题,哪些是排列问题? 考点 组合的概念 题点 组合的判断解 (1)单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛,没有顺序,是组合问题. (2)冠、亚军是有顺序的,是排列问题.(3)3人分别担任三个不同职务,有顺序,是排列问题. (4)3人参加某项相同活动,没有顺序,是组合问题.反思与感悟 区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么,区分的标志是有无顺序,而区分有无顺序的方法是:把问题的一个选择结果写出来,然后交换这个结果中任意两个元素的位置,看是否产生新的变化,若有新变化,即说明有顺序,是排列问题;若无新变化,即说明无顺序,是组合问题.跟踪训练1 判断下列问题是排列问题还是组合问题,并求出相应的结果. (1)集合{0,1,2,3,4}的含三个元素的子集的个数是多少?(2)某小组有9位同学,从中选出正、副班长各一个,有多少种不同的选法?若从中选出2名代表参加一个会议,有多少种不同的选法? 考点 组合的概念 题点 组合的判断解 (1)由于集合中的元素是不讲次序的,一个含三个元素的集合就是一个从0,1,2,3,4中取出3个数组成的集合.这是一个组合问题,组合的个数是C 35=10.(2)选正、副班长时要考虑次序,所以是排列问题,排列数是A 29=9×8=72,所以选正、副班长共有72种选法;选代表参加会议是不用考虑次序的,所以是组合问题,所以不同的选法有C 29=36(种).类型二 组合数公式及性质的应用 命题角度1 有关组合数的计算与证明 例2 (1)计算C 410-C 37·A 33; 考点 组合数公式题点 利用组合数公式进行计算(1)解 原式=C 410-A 37=10×9×8×74×3×2×1-7×6×5=210-210=0.(2)求证:C mn =m +1n +1C m +1n +1. 考点 组合数公式 题点 组合数公式的应用 (2)证明 因为右边=m +1n +1C m +1n +1=m +1n +1·(n +1)!(m +1)!(n -m )!=n !m !(n -m )!=C mn , 左边=C mn ,所以左边=右边,所以原式成立.反思与感悟 (1)涉及具体数字的可以直接用公式C m n=A mn A m m =n (n -1)(n -2)…(n -m +1)m !计算.(2)涉及字母的可以用阶乘式C mn =n !m !(n -m )!计算.(3)计算时应注意利用组合数的两个性质: ①C m n =C n -m n ;②C m n +1=C m n +C m -1n .跟踪训练2 (1)计算C 34+C 35+C 36+…+C 32 017的值为( ) A .C 42 017 B .C 52 017 C .C 42 018-1D .C 52 017-1(2)计算C 98100+C 199200=________. 考点 组合数性质 题点 的性质计算与证明 答案 (1)C (2)5 150 解析 (1)C 34+C 35+C 36+…+C 32 017 =C 44+C 34+C 35+C 36+…+C 32 017-C 44 =C 45+C 35+…+C 32 017-1=… =C 42 017+C 32 017-1=C 42 018-1. (2)C 98100+C 199200=C 2100+C 1200=100×992+200=5 150.命题角度2 含组合数的方程或不等式 例3 (1)已知1C m 5-1C m 6=710C m 7,求C m 8+C 5-m8;(2)解不等式C 4n >C 6n . 考点 组合数性质题点 含有组合数的方程或不等式的问题 解 (1)∵1C m 5-1C m 6=710C m 7,∴m !(5-m )!5!-m !(6-m )!6!=7×(7-m )!m !10×7!,即m !(5-m )!5!-m !(6-m )(5-m )!6×5!=7×m !(7-m )(6-m )(5-m )!10×7×6×5!.∴1-6-m 6=(7-m )(6-m )60,即m 2-23m +42=0,解得m =2或21. ∵0≤m ≤5,∴m =2, ∴C m8+C 5-m8=C 28+C 38=C 39=84.(2)由C 4n >C 6n ,得⎩⎪⎨⎪⎧n !4!(n -4)!>n !6!(n -6)!,n ≥6即⎩⎪⎨⎪⎧n 2-9n -10<0,n ≥6,解得⎩⎪⎨⎪⎧-1<n <10,n ≥6,又n ∈N *,∴该不等式的解集为{6,7,8,9}.反思与感悟 (1)解题过程中应避免忽略根的检验而产生增根的错误,注意不要忽略n ∈N *. (2)与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式,以及组合数的性质,求解时,要注意由C m n 中的m ∈N *,n ∈N *,且n ≥m 确定m ,n 的范围,因此求解后要验证所得结果是否适合题意.跟踪训练3 解方程3C x -7x -3=5A 2x -4. 考点 组合数性质题点 含有组合数的方程或不等式的问题 解 原式可变形为3C 4x -3=5A 2x -4, 即3(x -3)(x -4)(x -5)(x -6)4×3×2×1=5(x -4)(x -5),所以(x-3)(x-6)=5×4×2=8×5.所以x=11或x=-2(舍去).经检验符合题意,所以方程的解为x=11.类型三简单的组合问题例4 有10名教师,其中6名男教师,4名女教师.(1)现要从中选2名去参加会议,有________种不同的选法;(2)选出2名男教师或2名女教师参加会议,有________种不同的选法;(3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议,有________种不同的选法.考点组合的应用题点无限制条件的组合问题答案(1)45 (2)21 (3)90解析(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数,就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数,即C210=10×92×1=45(种).(2)可把问题分两类情况:第1类,选出的2名是男教师有C26种方法;第2类,选出的2名是女教师有C24种方法.根据分类加法计算原理,共有C26+C24=15+6=21(种)不同选法.(3)从6名男教师中选2名的选法有C26种,从4名女教师中选2名的选法有C24种,根据分步乘法计数原理,共有不同的选法C26×C24=6×52×1×4×32×1=90(种).反思与感悟(1)解简单的组合应用题时,首先要判断它是不是组合问题,组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关,而组合问题与取出元素的顺序无关.(2)要注意两个基本原理的运用,即分类与分步的灵活运用.在分类和分步时,一定注意有无重复或遗漏.跟踪训练4 一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球.(1)从口袋内取出的3个小球,共有多少种取法?(2)从口袋内取出3个球,使其中含有1个黑球,有多少种取法?(3)从口袋内取出3个球,使其中不含黑球,有多少种取法?考点组合的应用题点有限制条件的组合问题解(1)从口袋内的8个球中取出3个球,取法种数是C38=8×7×63×2×1=56.(2)从口袋内取出3个球有1个是黑球,于是还要从7个白球中再取出2个,取法种数是C27=7×62×1=21.(3)由于所取出的3个球中不含黑球,也就是要从7个白球中取出3个球,取法种数是C37=7×6×53×2×1=35.1.给出下列问题:①从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加2个乡镇的社会调查,有多少种不同的选法?②有4张电影票,要在7人中选出4人去观看,有多少种不同的选法?③某人射击8枪,击中4枪,且命中的4枪均为2枪连中,则不同的结果有多少种?其中组合问题的个数是( )A.3 B.2 C.1 D.0考点组合的概念题点组合的判断答案 B解析①与顺序有关,是排列问题,②③均与顺序无关,是组合问题,故选B.2.集合M={x|x=C n4,n≥0且n∈N},集合Q={1,2,3,4},则下列结论正确的是 ( ) A.M∪Q={0,1,2,3,4} B.Q⊆MC.M⊆Q D.M∩Q={1,4}考点组合数公式题点利用组合数公式进行计算答案 D解析由C n4知n=0,1,2,3,4,因为C04=1,C14=4,C24=4×32=6,C34=C14=4,C44=1,所以M={1,4,6}.故M∩Q={1,4}.3.若C n12=C2n-312,则n等于( )A.3 B.5 C.3或5 D.15考点组合数性质题点含有组合数的方程或不等式的问题答案 C解析由组合数的性质得n=2n-3或n+2n-3=12,解得n=3或n=5,故选C.4.某校开设A类选修课3门,B类选修课5门,一位同学要从中选3门,若要求两类课程中至少各选1门,则不同的选法共有( )A .15种B .30种C .45种D .90种 考点 组合的应用题点 有限制条件的组合问题 答案 C解析 分两类,A 类选修课选1门,B 类选修课选2门,或者A 类选修课选2门,B 类选修课选1门,因此,共有C 13·C 25+C 23·C 15=45(种)选法.5.五个点中任何三点都不共线,则这五个点可以连成________条线段;如果是有向线段,共有________条. 考点 组合的概念 题点 组合的判断 答案 10 20解析 从五个点中任取两个点恰好连成一条线段,这两个点没有顺序,所以是组合问题,连成的线段共有C 25=10(条) .再考虑有向线段的问题,这时两个点的先后排列次序不同则对应不同的有向线段,所以是排列问题,排列数是A 25=20.所以有向线段共有20条.1.排列与组合的联系与区别(1)联系:二者都是从n 个不同的元素中取m (m ≤n )个元素. (2)区别:排列问题中元素有序,组合问题中元素无序. 2.关于组合数的计算(1)涉及具体数字的可以直接用公式C m n=A mn A m m =n (n -1)(n -2)…(n -m +1)m !计算;(2)涉及字母的可以用阶乘式C mn =n !m !(n -m )!计算.(3)组合数的两个性质: 性质1:C mn =C n -mn ; 性质2:C mn +1=C mn +C m -1n .一、选择题1.以下四个问题,属于组合问题的是( ) A .从3个不同的小球中,取出2个排成一列 B .老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌C .在电视节目中,主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星D .从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地考点 组合的概念 题点 组合的判断 答案 C解析 只有从100位幸运观众中选出2名幸运之星,与顺序无关,是组合问题. 2.A 3101C 2100+C 97100等于( ) A.16 B .101 C.1107D .6考点 组合数公式题点 利用组合数公式进行计算 答案 D解析 A 3101C 2100+C 97100=A 3101C 2100+C 3100=A 3101C 3101=A 33=6.3.下列等式不正确的是( ) A .C mn =n !m !(n -m )!B .C m n =C n -mn C .C m n +1=C mn +C m -1n D .C mn =C m +1n +1考点 组合数公式 题点 组合数公式的应用 答案 D解析 A 是组合数公式;B ,C 是组合数性质;C mn =n !m !(n -m )!,C m +1n +1=(n +1)!(m +1)!(n -m )!,两者不相等,故D 错误.4.若A 3n =6C 4n ,则n 的值为( ) A .6 B .7 C .8 D .9 考点 组合数性质题点 含有组合数的方程或不等式的问题 答案 B解析 由题意知n (n -1)(n -2)=6·n (n -1)(n -2)(n -3)4×3×2×1,化简得n -34=1,所以n =7.5.把三张游园票分给10个人中的3人,则分法有( ) A .A 310种B .C 310种C.C310A310种D.30种考点组合的应用题点无限制条件的组合问题答案 B解析三张票没区别,从10人中选3人即可,即C310.6.将2名女教师,4名男教师分成2个小组,分别安排到甲、乙两所学校轮岗支教,每个小组由1名女教师和2名男教师组成,则不同的安排方案共有( )A.24种B.10种C.12种D.9种考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案 C解析第一步,为甲地选1名女教师,有C12=2(种)选法;第二步,为甲地选2名男教师,有C24=6(种)选法;第三步,剩下的3名教师到乙地,故不同的安排方案共有2×6×1=12(种),故选C.7.现有6个白球,4个黑球,任取4个,则至少有两个黑球的取法种数是( )A.115 B.90 C.210 D.385考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案 A解析依题意根据取法可分为三类:两个黑球,有C24C26=90(种);三个黑球,有C34C16=24(种);四个黑球,有C44=1(种).根据分类加法计数原理可得,至少有两个黑球的取法种数是90+24+1=115,故选A.8.对于所有满足1≤m≤n≤5的自然数m,n,方程x2+C m n y2=1所表示的不同椭圆的个数为( )A.15 B.7 C.6 D.0考点组合数性质题点利用组合数的性质进行计算与证明答案 C解析因为1≤m≤n≤5,且方程表示椭圆,所以C m n可能为C12,C13,C23,C14,C24,C34,C15,C25, C35,C45,其中C13=C23,C14=C34,C15=C45,C25=C35,所以x2+C m n y2=1能表示的不同椭圆有6个.二、填空题9.从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘,有m个不同的积;任取两个不同的数相除,有n个不同的商,则m∶n=________.考点 组合的概念题点 组合的判断答案 1∶2解析 ∵m =C 24,n =A 24,∴m ∶n =1∶2.10.从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖、2名二等奖、3名三等奖,则可能的决赛结果共有________种.考点 组合的应用题点 有限制条件的组合问题答案 60解析 根据题意,所有可能的决赛结果有C 16C 25C 33=6×5×42×1=60(种). 11.不等式C 2n -n <5的解集为________.考点 组合数性质题点 含有组合数的方程或不等式的问题答案 {2,3,4}解析 由C 2n -n <5,得n (n -1)2-n <5,即n 2-3n -10<0,解得-2<n <5.由题意知n ≥2,且n ∈N *,则n =2,3,4,故原不等式的解集为{2,3,4}.三、解答题12.已知C 4n ,C 5n ,C 6n 成等差数列,求C 12n 的值.考点 组合数公式题点 组合数公式的应用解 由已知得2C 5n =C 4n +C 6n , 所以2×n !5!(n -5)!=n !4!(n -4)!+n !6!(n -6)!, 整理得n 2-21n +98=0,解得n =7或n =14,要求C 12n 的值,故n ≥12,所以n =14,于是C 1214=C 214=14×132×1=91. 13.在一次数学竞赛中,某学校有12人通过了初试,学校要从中选出5人参加市级培训.在下列条件下,有多少种不同的选法?(1)任意选5人;(2)甲、乙、丙三人必须参加;(3)甲、乙、丙三人不能参加.考点 组合的应用题点 有限制条件的组合问题解 (1)从中任取5人是组合问题,共有C 512=792(种)不同的选法.(2)甲、乙、丙三人必须参加,则只需要从另外9人中选2人,是组合问题,共有C 29=36(种)不同的选法.(3)甲、乙、丙三人不能参加,则只需从另外的9人中选5人,共有C 59=126(种)不同的选法.四、探究与拓展14.以下三个式子:①C mn =A m n m !;②A m n =n A m -1n -1;③C m n ÷C m +1n =m +1n -m .其中正确的个数是____. 考点 组合数公式题点 组合数公式的应用答案 3解析 ①式显然成立;②式中A m n =n (n -1)(n -2)…(n -m +1),A m -1n -1=(n -1)(n -2)…(n -m +1),所以A m n =n A m -1n -1,故②式成立;对于③式C mn ÷C m +1n =C m n C m +1n =A mn ·(m +1)!m !·A m +1n =m +1n -m ,故③式成立. 15.某届世界杯举办期间,共32支球队参加比赛,它们先分成8个小组进行循环赛,决出16强(每队均与本组其他队赛1场,各组第一、二名晋级16强),这16支球队按确定的程序进行淘汰赛,即八分之一淘汰赛,四分之一淘汰赛,半决赛,决赛,最后决出冠、亚军,此外还要决出第三、四名,问这届世界杯总共将进行多少场比赛?考点 组合的应用题点 有限制条件的组合问题解 可分为如下几类比赛:(1)小组循环赛,每组有C 24=6(场),8个小组共有48场;(2)八分之一淘汰赛,8个小组的第一、二名组成16强,根据赛制规则,每2支球队一组,每组比赛1场,可以决出8强,共有8场;(3)四分之一淘汰赛,根据赛制规则,8强中每2支球队一组,每组比赛1场,可以决出4强,共有4场;(4)半决赛,根据赛制规则,4强每2支球队一组,每组比赛1场,可以决出2强,共有2场;(5)决赛,2强比赛1场确定冠、亚军,4强中的另2支球队比赛1场决出第三、四名,共有2场.综上,由分类加法计数原理知,总共将进行48+8+4+2+2=64(场)比赛.。
组合与组合数公式
步骤2
假设n=k时公式成立,推导n=k+1时的公式。
步骤3
由数学归纳法,得出结论对于所有正整数n, 组合数公式成立。
利用二项式定理的证明
步骤1
将组合数公式重写为与二项式定理形式相似的形式。
步骤2
利用二项式定理展开式中的系数与组合数公式中的系 数进行比较。
02
加密算法
组合数公式可以用于设计加密算法,通过计算不同字符或符号的组合数
量,增强信息的安全性。
03
信息传输
在无线通信和网络传输中,利用组合数公式可以优化信息的传输效率和
可靠性。通过对信号的不同组合方式进行编码和解码,可以提高通信系
统的性能。
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组合数表示从n个不同元素中取出m个 元素的组合的个数,记作C(n, m)或C(n, m),其中C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)。
组合的特性
无序性
组合只考虑元素的排列顺序,不考虑元素的具体 位置。
可重复性
在组合中,可以重复选取同一个元素。
独立性
组合数不受元素数量的影响,只与选取的元素个 数有关。
01
概率分析
利用组合数公式,可以对彩票的概率进 行分析,帮助彩民更好地理解彩票的随 机性和公平性。
02
03
优化投注
通过计算不同组合下的中奖概率,彩 民可以优化自己的投注策略,提高中 奖的可能性。
在遗传学中的应用
基因组合
在遗传学中,基因的组合方式可以用组合数公式来表示。通过计算 基因组合的数量,可以了解生物体的遗传多样性。
组合数的上标和下标规则
上标和下标规则
人教A版选修2-3 1.2.2 第1课时 组合与组合数公式 学案
1.2.2 组合第1课时组合与组合数公式考点学习目标核心素养组合的概念理解组合的概念,能正确区别排列与组合数学抽象组合数公式能记住组合数的计算公式,组合数的性质以及组合数与排列数之间的关系,并能运用组合数公式与组合数性质进行运算数学运算简单的组合问题能利用组合数公式解决简单的组合应用题逻辑推理、数学运算问题导学预习教材P21~P24的内容,并思考下列问题:1.组合的概念是什么?2.什么是组合数?组合数公式是什么?3.组合数有哪些性质?1.组合的定义一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.■名师点拨对组合概念的三点说明(1)组合的特点组合要求n个元素是不同的,被取出的m个元素也是不同的,即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出.(2)组合的特性元素的无序性,即取出的m个元素不讲究顺序,亦即元素没有位置的要求.(3)相同的组合根据组合的定义,只要两个组合中的元素完全相同,不管顺序如何,就是相同的组合.2.组合数的概念、公式、性质组合数定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数表示法C m n组合数公式乘积式C m n=A m nA m m=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)m!阶乘式C m n=n!m!(n-m)!性质C m n=C n-mn,C m n+1=Cmn+Cm-1n备注①n,m∈N*且m≤n;②规定C0n=1判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)从a1,a2,a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合,所有组合的个数为C23.( )(2)从1,3,5,7中任取两个数相乘可得C24个积.( )(3)C35=5×4×3=60.( )(4)C2 0162 017=C12 017=2 017.( )答案:(1)√(2)√(3)×(4)√若C2n=10,则n的值为( )A.10 B.5C.3 D.4答案:B从9名学生中选出3名参加“希望英语”口语比赛,不同选法有( ) A.504种B.729种C.84种D.27种答案:C计算C37+C47+C58+C69=________.答案:210甲、乙、丙三地之间有直达的火车,相互之间的距离均不相等,则车票票价有________种.解析:车票的票价有C23=3(种).答案:3组合概念的理解判断下列问题是排列问题,还是组合问题.(1)从1,2,3,…,9九个数字中任取3个,组成一个三位数,这样的三位数共有多少个?(2)从1,2,3,…,9九个数字中任取3个,然后把这三个数字相加得到一个和,这样的和共有多少个?(3)从a ,b ,c ,d 四名学生中选两名去完成同一份工作,有多少种不同的选法? 【解】 (1)当取出3个数字后,如果改变3个数字的顺序,会得到不同的三位数,此问题不但与取出元素有关,而且与元素的排列顺序有关,是排列问题.(2)取出3个数字之后,无论怎样改变这3个数字的顺序,其和均不变,此问题只与取出元素有关,而与元素的排列顺序无关,是组合问题.(3)两名学生完成的是同一份工作,没有顺序,是组合问题.判断一个问题是否是组合问题的方法技巧区分某一问题是排列问题还是组合问题的关键是看取出元素后是按顺序排列还是无序地组合在一起.区分有无顺序的方法是把问题的一个选择结果写出来,然后交换这个结果中任意两个元素的位置,看是否会产生新的变化.若有新变化,即说明有顺序,是排列问题;若无新变化,即说明无顺序,是组合问题.判断下列问题是组合问题还是排列问题:(1)把5本不同的书分给5个学生,每人一本; (2)从7本不同的书中取出5本给某个同学; (3)10个人互相写一封信,共写了几封信; (4)10个人互相通一次电话,共通了几次电话.解:(1)由于书不同,每人每次拿到的也不同,有顺序之分,故它是排列问题. (2)从7本不同的书中,取出5本给某个同学,在每种取法中取出的5本并不考虑书的顺序,故它是组合问题.(3)因为两人互写一封信与写信人与收信人的顺序有关,故它是排列问题. (4)因为互通电话一次没有顺序之分.故它是组合问题.组合数公式、性质的应用计算下列各式的值. (1)3C 38-2C 25;(2)C 34+C 35+C 36+…+C 310; (3)C 5-n n +C 9-nn +1.【解】 (1)3C 38-2C 25=3×8×7×63×2×1-2×5×42×1=148.(2)利用组合数的性质C m n +1=C m n +C m -1n ,则C 34+C 35+C 36+…+C 310 =C 44+C 34+C 35+…+C 310-C 44 =C 45+C 35+…+C 310-C 44 =…=C 411-1=329.(3)由题意知,⎩⎪⎨⎪⎧5-n ≤n ,5-n ≥0,9-n ≤n +1,9-n ≥0,解得4≤n ≤5.又因为n ∈N *,所以n =4或n =5. 当n =4时,原式=C 14+C 55=5. 当n =5时,原式=C 05+C 46=16.[变条件]若将本例(2)变为:C 55+C 56+C 57+C 58+C 59+C 510,如何求解? 解:原式=(C 66+C 56)+C 57+C 58+C 59+C 510 =(C 67+C 57)+C 58+C 59+C 510=… =C 610+C 510=C 611=C 511=11×10×9×8×75×4×3×2×1=462.关于组合数公式的选取技巧(1)涉及具体数字的可以直接用nn -mC mn -1=nn -m·(n -1)!m !(n -1-m )!=n !m !(n -m )!=C mn 进行计算.(2)涉及字母的可以用阶乘式C mn =n !m !(n -m )!计算.(3)计算时应注意利用组合数的性质C mn =C n -mn 简化运算.1.C 58+C 98100C 77=________. 解析:C 58+C 98100C 77=C 38+C 2100×1 =8×7×63×2×1+100×992×1=56+4 950=5 006.答案:5 0062.若C 23+C 24+C 25+…+C 2n =363,则正整数n =________. 解析:由C 23+C 24+C 25+…+C 2n =363, 得1+C 23+C 24+C 25+…+C 2n =364,即C 33+C 23+C 24+C 25+…+C 2n =364. 又C m n +C m -1n =C mn +1,则C 33+C 23+C 24+C 25+…+C 2n =C 34+C 24+C 25+…+C 2n =C 35+C 25+C 26+…+C 2n =…=C 3n +1, 所以C 3n +1=364,化简可得(n +1)n (n -1)3×2×1=364,又n 是正整数,解得n =13. 答案:133.解方程:C 3n +618=C 4n -218.解:由原方程及组合数性质可知, 3n +6=4n -2或3n +6=18-(4n -2), 所以n =2或n =8,而当n =8时,3n +6=30>18,不符合组合数定义,故舍去. 因此n =2.简单的组合问题现有10名教师,其中男教师6名,女教师4名. (1)现要从中选2名去参加会议有多少种不同的选法?(2)选出2名男教师或2名女教师参加会议,有多少种不同的选法? (3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议,有多少种不同的选法?【解】 (1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数,就是从10个不同的元素中取出2个元素的组合数,即C 210=10×92×1=45(种). (2)可把问题分两类情况:第1类,选出的2名是男教师有C 26种方法; 第2类,选出的2名是女教师有C 24种方法.根据分类加法计数原理,共有C 26+C 24=15+6=21(种)不同的选法.(3)从6名男教师中选2名的选法有C 26种,从4名女教师中选2名的选法有C 24种,根据分步乘法计数原理,共有不同的选法C 26×C 24=6×52×1×4×32×1=90(种).[变问法]本例其他条件不变,问题变为从中选2名教师参加会议,至少有1名男教师的选法是多少?最多有1名男教师的选法又是多少?解:至少有1名男教师可分两类:1男1女有C 16C 14种,2男0女有C 26种. 由分类加法计数原理知有C 16C 14+C 26=39(种).最多有1名男教师包括两类:1男1女有C 16C 14种,0男2女有C 24种. 由分类加法计数原理知有C 16C 14+C 24=30(种).解简单的组合应用题的策略(1)解简单的组合应用题时,首先要判断它是不是组合问题,组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关,而组合问题与取出元素的顺序无关.(2)要注意两个基本原理的运用,即分类与分步的灵活运用. [注意] 在分类和分步时,一定注意有无重复或遗漏.1.在100件产品中,有98件合格品,2件次品,从这100件产品中任意抽出3件. (1)有多少种不同的抽法?(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种? (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?解:(1)所求的不同抽法的种数,就是从100件产品中取出3件的组合数,所以共有C 3100=100×99×981×2×3=161 700(种).(2)从2件次品中抽出1件次品的抽法有C 12种,从98件合格品中抽出2件合格品的抽法有C 298种,因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有C 12·C 298=9 506(种).(3)法一:抽出的3件中至少有1件是次品,包括有1件次品和有2件次品两种情况.在第(2)小题中已求得其中1件是次品的抽法有C 12·C 298种,因此根据分类加法计数原理,抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有C 22·C 198+C 12·C 298=9 604(种).法二:抽出的3件产品中至少有1件是次品的抽法的种数,也就是从100件中抽出3件的抽法种数减去3件中都是合格品的抽法的种数,即C 3100-C 398=161 700-152 096=9 604(种).2.由13个人组成的课外活动小组,其中5个人只会跳舞,5个人只会唱歌,3个人既会唱歌也会跳舞,若从中选出4个会跳舞和4个会唱歌的人去演节目,共有多少种不同的选法?解:对3个既会唱歌又会跳舞的人进行分类: 第一类:若3人都不参加,共有C 03C 45C 45=25(种); 第二类:若3人都跳舞或都唱歌,共有2C 33C 15C 45=50(种); 第三类:若3人中有两人唱歌或跳舞,共有2C 23C 25C 45=300(种); 第四类:若3人中有一人唱歌或跳舞,共有2C 13C 35C 45=300(种);第五类:若3人中有两人唱歌第三人跳舞或两人跳舞第三人唱歌,共有2C 23C 11C 25C 35=600(种).第六类:若3人中只有一人唱歌,又有一人跳舞有C 13C 12C 35C 35=600(种).由分类加法计数原理得不同选法共有25+50+300+300+600+600=1 875(种).1.下面几个问题属于组合的是( )①由1,2,3,4构成双元素集合;②5支球队进行单循环足球比赛的分组情况;③由1,2,3构成两位数的方法;④由1,2,3组成无重复数字的两位数的方法.A.①③B.②④C.①②D.①②④解析:选C.由集合元素的无序性可知①属于组合问题;因为每两个球队比赛一次,并不需要考虑谁先谁后,没有顺序的区别,故②是组合问题;③,④中两位数顺序不同数字不同为排列问题.n等于( )2.若C n12=C2n-312,则A.3 B.5C.3或5 D.15解析:选C.由组合数的性质得n=2n-3或n+2n-3=12,解得n=3或n=5,故选C.3.若集合A={a1,a2,a3,a4,a5},则集合A中含有4个元素的子集共有________个.解析:共有C45=5个.答案:54.10个人分成甲、乙两组,甲组4人,乙组6人,则不同的分组种数为________.(用数字作答)解析:从10人中任选出4人作为甲组,则剩下的人即为乙组,这是组合问题,共有C410=210种分法.答案:2105.平面上有9个点,其中4个点在同一条直线上(4个点之间的距离各不相等),此外任何三点不共线.(1)过每两点连线,可得几条直线?(2)以每三点为顶点作三角形可作几个?解:(1)从9个点任取2个点,除去共线的情况,再把多减的一条直线加回来,有C29-C24+1=31(条).(2)从9个点任取3个点,除去共线的情况有C39-C34=80(个).[A 基础达标]1.方程C x28=C3x-828的解为( )A.4或9 B.4C.9 D.5解析:选A.当x=3x-8时,解得x=4;当28-x=3x-8时,解得x=9.2.从5名志愿者中选派4人在星期六和星期日参加公益活动,每人一天,每天两人,则不同的选派方法共有( )A.60种B.48种C.30种D.10种解析:选C.从5人中选派2人参加星期六的公益活动有C25种方法,再从剩下的3人中选派2人参加周日的公益活动有C23种方法,故共有C25·C23=30(种).3.楼道里有12盏灯,为了节约用电,需关掉3盏不相邻的灯,则关灯方案有( )A.72种B.84种C.120种D.168种解析:选C.需关掉3盏不相邻的灯,即将这3盏灯插入9盏亮着的灯的空当中,所以关灯方案共有C310=120(种).4.化简C9798+2C9698+C9598等于( )A.C9799B.C97100C.C9899D.C98100解析:选B.由组合数的性质知,C9798+2C9698+C9598=(C9798+C9698)+(C9698+C9598)=C9799+C9699=C97100.5.男女学生共有8人,从男生中选取2人,从女生中选取1人,共有30种不同的选法,其中女生有( )A.2人或3人B.3人或4人C.3人D.4人解析:选A.设男生有n人,则女生有(8-n)人,由题意可得C2n C18-n=30,解得n=5或n=6,代入验证,可知女生为2人或3人.故选A.6.某单位需同时参加甲、乙、丙三个会议,甲需2人参加,乙、丙各需1人参加,从10人中选派4人参加这三个会议,不同的安排方法有________种.解析:从10人中选派4人有C410种方法,对选出的4人具体安排会议有C24C12种方法,由分步乘法计数原理知,不同的选派方法有C410C24C12=2 520(种).答案:2 5207.对所有满足1≤m<n≤5的自然数m,n,方程x2+C m n y2=1所表示的不同椭圆的个数为________.解析:因为1≤m <n ≤5,所以C m n 可以是C 12,C 13,C 23,C 14,C 24,C 34,C 15,C 25,C 35,C 45,计算可知C 13=C 23,C 14=C 34,C 15=C 45,C 25=C 35,故x 2+C m n y 2=1能表示6个不同的椭圆.答案:68.不等式C 2n -n <5的解集为________. 解析:由C 2n -n <5,得n (n -1)2-n <5,所以n 2-3n -10<0.解得-2<n <5.由题设条件知n ≥2,且n ∈N *,所以n =2,3,4.故原不等式的解集为{2,3,4}.答案:{2,3,4} 9.(1)解方程:A 3m =6C 4m ; (2)解不等式:C x -18>3C x8. 解:(1)原方程等价于m (m -1)(m -2)=6×m (m -1)(m -2)(m -3)4×3×2×1,所以4=m -3,解得m =7.(2)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x -1≤8,x ≤8,所以x ≤8,且x ∈N *,因为C x -18>3C x8,所以8!(x -1)!(9-x )!>3×8!x !(8-x )!.即19-x >3x ,所以x >3(9-x ),解得x >274, 所以x =7,8.所以原不等式的解集为{7,8}.10.一位教练的足球队共有17名初级学员,他们中以前没有人参加过比赛.按照足球比赛规则,比赛时一个足球队的上场队员是11人.问:(1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案?(2)如果在选出11名上场队员时,还要确定其中的守门员,那么教练员有多少种方式做这件事情?解:(1)由于上场学员没有角色差异,所以可以形成的学员上场方案种数为C 1117=12 376. (2)教练员可以分两步完成这件事情:第1步,从17名学员中选出11人组成上场小组,共有C 1117种选法; 第2步,从选出的11人中选出1名守门员,共有C 111种选法. 所以教练员做这件事情的方式种数为C 1117×C 111=136 136.[B 能力提升]11.某班级有一个7人小组,现任选其中3人相互调整座位,其余4人座位不变,则不同的调整方案有( )A.35种B.70种C.30种D.65种解析:选B.先从7人中选出3人有C37=35种情况,再对选出的3人相互调整座位,共有2种情况,故不同的调整方案有2C37=70(种).12.某城市纵向有6条道路,横向有5条道路,构成如图所示的矩形道路网(图中黑线表示道路),则从西南角的A地到东北角的B地的最短路线共有________条.解析:要使路线最短,只能向右或向上走,途中不能向左或向下走.因此,从A地到B 地归结为走完5条横线段和4条纵线段.设每走一段横线段或纵线段为一个行走时段,从9个行走时段中任取4个时段走纵线段,其余5个时段走横线段,共有C49C55=126种走法,故从A地到B地的最短路线共有126条.答案:12613.(1)在桥牌比赛中,发给4名参赛者每人一手由52张牌的四分之一(即13张牌)组成的牌.一名参赛者可能得到多少手不同的牌(用排列数或组合数表示)?(2)某人决定投资8种股票和4种债券,经纪人向他推荐了12种股票和7种债券.问:此人有多少种不同的投资方式?解:(1)本题实质上是从52个元素中任选13个元素作为一组的组合问题,共有C1352种不同的可能.即一名参赛者可能得到C1352手不同的牌.(2)需分两步:第1步,根据经纪人的推荐在12种股票中选8种,共有C812种选法;第2步,根据经纪人的推荐在7种债券中选4种,共有C47种选法.根据分步乘法计数原理,此人有C812·C47=17 325种不同的投资方式.14.(选做题)某足球赛共32支球队有幸参加,它们先分成8个小组进行循环赛,决出16强(每队均与本组其他队赛一场,各组一、二名晋级16强),这16支球队再分成8个小组决出8强,8强再分成4个小组决出4强,4强再分成2个小组决出2强,最后决出冠、亚军,此外还要决出第三名、第四名,问这次足球赛共进行了多少场比赛?解:可分为如下几类比赛:(1)小组循环赛:每组有C24=6场,8个小组共有48场;(2)八分之一淘汰赛,8个小组的第一、二名组成16强,根据赛制规则,16强分成8组,每组两个队比赛一场,可以决出8强,共有8场;(3)四分之一淘汰赛,根据赛制规则,8强再分成4组,每组两个队比赛一次,可以决-------------------------天才是百分之一的灵感加百分之九十九的勤奋------------------------------出4强,共有4场;(4)半决赛,4强再分成2组,每组两个队比赛一场,可以决出2强,共有2场;(5)决赛,2强比赛1场确定冠、亚军,4强中的另两支队比赛1场,决出第三、四名,共有2场.综上,共有48+8+4+2+2=64(场)比赛.金戈铁骑。
2019-2020学年数学人教A版选修2-3检测:1.2.2.1组合与组合数公式
1.2.2组合第一课时组合与组合数公式填一填1.组合及组合数的定义(1)组合:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.(2)组合数:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号C m n表示.2.组合数公式及其性质公式展开式C m n=A m nA m m=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)m!阶乘式C m n=n!m!(n-m)!性质性质1C m n=C n-mn性质2C m n+1=C m n+C m-1n备注①n,m∈N*且m≤n;②规定:C0n=1判一判判断(1.从a1,a2,a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合,所有组合的个数为C23.(√) 2.从1,3,5,7中任取两个数相乘可得C24个积.(√)3.C35=5×4×3=60.(×)4.C2 0162 017=C12 017=2 017.(√)5.10个人相互写一封信,共写出了C210封信.(×)6.10个人相互通一次电话,共通了A210电话.(×)7.从10个人中选3人去开会,有C310种选法.(√)8.从10个人中选出3人担任不同学科的科代表,有A310种选法.(√)想一想1.提示:从排列与组合的定义可以知道,两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,这是排列,组合的共同点;它们的不同点是:排列与元素的顺序有关,组合与元素的顺序无关.只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的;只要两个组合的元素相同,不论元素的顺序如何,都是相同的组合.2.“abc ”和“acb ”是相同的排列还是相同的组合?提示:由于“abc ”与“acb ”的元素相同,但排列的顺序不同,所以“abc ”与“acb ”是相同的组合,但不是相同的排列.3.我们知道,“排列”与“排列数”是两个不同的概念,那么,“组合”与“组合数”是同一个概念吗?为什么?提示:“组合”与“组合数”是两个不同的概念,“组合”是指“从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素合成一组”,它不是一个数,而是具体的一件事;“组合数”是指“从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同组合的个数”,它是一个数.4.两个组合是相同组合的充要条件是什么?提示:只要两个组合中的元素安全相同,不管顺序如何,这两个组合就是相同的组合. 5.判断组合与排列的依据是什么?提示:判断组合与排列的依据是看是否与顺序有关,与顺序有关的是排列问题,与顺序无关的是组合问题.思考感悟:练一练1.(1)把当日动物园的4张门票分给5个人,每人至多分一张,而且票必须分完,有多少种分配方法?(2)从2,3,5,7,11这5个质数中,每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数,共能构成多少个不同的分数?(3)从9名学生中选出4名参加一个联欢会,有多少种不同的选法?解析:(1)是组合问题.由于4张票是相同的(都是当日动物园的门票),不同的分配方法取决于从5人中选择哪4人,这和顺序无关.(2)是排列问题,选出的2个数作分子或分母,结果是不同的. (3)是组合问题,选出的4人无角色差异,不需要排列他们的顺序.2.求值:3C 38-2C 25.解析:3C 38-2C 25=3×8×7×63×2×1-2×5×42×1=148. 3.求值:C 34+C 35+C 36+…+C 310.解析:利用组合数的性质C m n +1=C m n +C m -1n, 则C 34+C 35+C 36+…+C 310=C 44+C 34+C 35+…+C 310-C 44 =C 45+C 35+…+C 310-C 44= … =C 411-1=329.4.求值:C 5-n n +C 9-nn +1.(提示:先求n 的范围,再确立n 的值进而求值)解析:⎩⎪⎨⎪⎧5-n ≤n ,5-n ≥0,9-n ≤n +1,9-n ≥0,解得4≤n ≤5.又因为n ∈N *,所以n =4或n =5.当n =4时,原式=C 14+C 55=5.当n =5时,原式=C 05+C 46=16.知识点一组合的概念1.(1)在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上,有多少种不同的飞机票?(2)在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上,有多少种不同的飞机票价?(往返票价相同)(3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务,有多少种不同的选法?(4)从全班40人中选出3人参加某项劳动,有多少种不同的选法? 在上述问题中,哪些是组合问题?哪些是排列问题?解析:(1)飞机票与起点、终点有关,有顺序,是排列问题. (2)票价与起点、终点无关,没有顺序,是组合问题. (3)3人分别担任三个不同职务、有顺序,是排列问题. (4)3人参加某项相同劳动,没有顺序,是组合问题.知识点二 组合数公式2.计算:C 581007解析:原式=C 38+C 2100×1=8×7×63×2×1+100×992×1=56+4 950=5 006. 3.下列计算结果为21的是( )A .A 24+C 26B .C 37C .A 27D .C 27解析:C 27=7×62×1=21. 答案:D知识点三 组合数性质4.C 05+C 15+5555解析:原式=2(C 05+C 15+C 25)=2(C 16+C 25)=2×⎝ ⎛⎭⎪⎫6+5×42×1=32. 5.证明:C m +1n +C m -1n +2C m n =C m +1n +2.解析:法一:左边=n !(m +1)!(n -m -1)!+n !(m -1)!(n -m +1)!+2n !m !(n -m )!=n !(m +1)!(n -m +1)![(n -m )(n -m +1)+m (m +1)+2(m +1)(n -m +1)] =n !(m +1)!(n -m +1)!(n +2)(n +1) =(n +2)!(m +1)!(n -m +1)! =C m +1n +2=右边,原结论得证.法二:利用公式C m n =C m n -1+C m -1n -1推得左边=(C m +1n +C m n )+(C m n +C m -1n )=C m +1n 1+C m n 1=C m +1n 2=右边.知识点四6.6解析:每两人握手1次,无顺序之分,是组合问题,故一共握手C 26=15次.7.现有10名教师,其中男教师6名,女教师4名. (1)现要从中选2名去参加会议有多少种不同的选法?(2)选出2名男教师或2名女教师参加会议,有多少种不同的选法? (3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议,有多少种不同的选法?解析:(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数,就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数,即C 210=10×92×1=45种. (2)可把问题分两类情况:第1类,选出的2名是男教师有C 26种方法; 第2类,选出的2名是女教师有C 24种方法.根据分类加法计数原理,共有C 26+C 24=15+6=21种不同选法.(3)从6名男教师中选2名的选法有C 26种,从4名女教师中选2名的选法有C 24种,根据分步乘法计数原理,共有不同的选法C 26×C 24=6×52×1×4×32×1=90种.基础达标一、选择题1.以下四个命题,属于组合问题的是( ) A .从3个不同的小球中,取出2个排成一列 B .老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌C .在电视节目中,主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星D .从13位司机中任选出两位开同一辆车从甲地到乙地解析:只有从100位幸运观众选出2位幸运之星,与顺序无关,是组合问题. 答案:C2.计算C 28+C 38+C 29等于( )A .120B .240C .60D .480解析:∵C m -1n +C m n =C mn +1,∴原式=C 39+C 29=C 310=120. 答案:A3.如果C 2n=28,则n 的值为( ) A .9 B .8 C .7 D .6解析:∵C 2n =n (n -1)2, ∴n (n -1)2=28,即n 2-n -56=0,解得n =8.答案:B4.(C 2100+C 97100)÷A 3101的值为( ) A .6 B .101 C.16 D.1101解析:(C 2100+C 97100)÷A 3101=(C 2100+C 3100)÷A 3101=C 3101÷(C 3101A 33)=1A 33=16.5.某施工小组有男工7人,女工3人,现要选1名女工和2名男工去支援另一施工小组,不同的选法有( )A .C 310种B .A 310种C .A 13A 27种D .C 13C 27种解析:每个被选的人都无顺序差别,是组合问题.分两步完成:第一步,选女工,有C 13种选法;第二步,选男工,有C 27种选法.故共有C 13C 27种不同的选法.答案:D6.方程C x 14=C 2x -414的解为( )A .4B .14C .4或6D .14或2解析:由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x =2x -42x -4≤14x ≤14或⎩⎪⎨⎪⎧x =14-(2x -4)2x -4≤14x ≤14解得x =4或6.故选C.答案:C7.从一个正方体的顶点中选四个点,可构成四面体的个数为( ) A .70 B .64 C .58 D .52解析:四个顶点共面的情况有6个表面和6个对角面,共12个,所以组成四面体的个数为C 48-12=58.故选C 项.答案:C 二、填空题8.10个人分成甲、乙两组,甲组4人,乙组6人,则不同的分组种数为________.(用数字作答)解析:先选甲组有C 410,再选2组C 66,不同分组方法有C 410·C 66=210种. 答案:2109.若A 3n =12C 2n ,则n =________.解析:因为A 3n =n (n -1)(n -2),C 2n =12n (n -1),所以n (n -1)(n -2)=6n (n -1).又n ∈N *,且n ≥3,所以n =8.答案:810.若C m -1n :C m n :C m +1n=3:4:5,则n -m =________. 解析:由题意知⎩⎨⎧C m -1nC m n =34,CmnCm +1n=45,由组合数公式得⎩⎪⎨⎪⎧ 3n -7m +3=0,9m -4n +5=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧n =62,m =27.所以n -m =62-27=35.答案:3511.不等式C 2n-n <5的解集为________. 解析:由C 2n-n <5,得n (n -1)2-n <5,∴n 2-3n -10<0,解得-2<n <5.由题设条件知n ≥2,且n ∈N *,∴n =2,3,4.故原不等式的解集为{2,3,4}.答案:{2,3,4}12.某城市纵向有6条道路,横向有5条道路,构成如图所示的矩形道路网(图中黑线表示道路),则从西南角A 地到东北角B 地的最短路线共有________条.解析:要使路线最短,只能向右或向上走,途中不能向左或向下走.因此,从A 地到B 地归结为走完5条横线段和4条纵线段.设每走一段横线段或纵线段为一个行走时段,从9个行走时段中任取4个时段走纵线段,其余5个时段走横线段,共有C 49C 55=126(种)走法,故从A 地到B 地的最短路线共有126条.答案:126 三、解答题13.试判断下列问题是组合问题还是排列问题.(1)从a 、b 、c 、d 四名学生中选2名学生完成同一件工作,有多少种不同的选法? (2)从a 、b 、c 、d 四名学生中选2名学生完成两件不同的工作,有多少种不同的选法? (3)a 、b 、c 、d 四支足球队之间进行单循环比赛,共需比赛多少场? (4)a 、b 、c 、d 四支足球队争夺冠亚军,有多少种不同的结果? 解析:(1)2名学生完成的是同一件工作,没有顺序,是组合问题. (2)2名学生完成两件不同的工作,有顺序,是排列问题.(3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛,没有顺序,是组合问题. (4)冠亚军是有顺序的,是排列问题.14.(1)解方程:C x -2x +2+C x -3x +2=110A 3x +3; (2)解不等式:1C 3x -1C 4x <2C 5x.解析:(1)原方程可化为C x -2x +3=110A 3x +3, 即C 5x +3=110A 3x +3, ∴(x +3)!5!(x -2)!=(x +3)!10·x !, ∴1120(x -2)!=110·x (x -1)·(x -2)!, ∴x 2-x -12=0,解得x =4或x =-3, 经检验知,x =4是原方程的解.(2)将原不等式化简可以得到6x (x -1)(x -2)-24x (x -1)(x -2)(x -3)<240x (x -1)(x -2)(x -3)(x -4). 由x ≥5,得x 2-11x -12<0,解得5≤x <12. ∵x ∈N *,∴x ∈{5,6,7,8,9,10,11}.能力提升15.设x ∈N *,求Cx -12x -3+x +1解析:由题意可得:⎩⎪⎨⎪⎧2x -3≥x -1,x +1≥2x -3,解得2≤x ≤4.∵x ∈N *,∴x =2或x =3或x =4.当x =2时原式的值为4;当x =3时原式的值为7; 当x =4时原式的值为11.∴所求的值为4或7或11.16.某足球赛共32支球队有幸参加,它们先分成8个小组进行循环赛,决出16强(每队均与本组其他队赛一场,各组一、二名晋级16强),这16支球队再分成8个小组决出8强,8强再分成4个小组决出4强,4强再分成2个小组决出2强,最后决出冠、亚军,此外还要决出第三名、第四名,问这次足球赛共进行了多少场比赛?解析:可分为如下几类比赛:(1)小组循环赛:每组有C24=6场,8个小组共有48场;(2)八分之一淘汰赛,8个小组的第一、二名组成16强,根据赛制规则,16强分成8组,每组两个队比赛一场,可以决出8强,共有8场;(3)四分之一淘汰赛,根据赛制规则,8强再分成4组,每组两个队比赛一次,可以决出4强,共有4场;(4)半决赛,4强再分成2组,每组两个队比赛一场,可以决出2强,共有2场;(5)决赛,2强比赛1场确定冠、亚军,4强中的另两支队比赛1场,决出第三、四名,共有2场.综上,共有48+8+4+2+2=64场比赛.。
高中数学1.2.2组合第1课时组合与组合数公式人教A版选修2_3
【解】 (1)从 10 名教师中选 2 名去参加会议的选法种数,就是 从 10 个不同的元素中取出 2 个元素的组合数,即 C210=120××19= 45(种). (2)可把问题分两类情况: 第 1 类,选出的 2 名是男教师有 C26种方法; 第 2 类,选出的 2 名是女教师有 C24种方法. 根据分类加法计数原理,共有 C26+C24=15+6=21(种)不同的选 法.
2.由 13 个人组成的课外活动小组,其中 5 个人只会跳舞,5 个人 只会唱歌,3 个人既会唱歌也会跳舞,若从中选出 4 个会跳舞和 4 个会唱歌的人去演节目,共有多少种不同的选法?
解:对 3 个既会唱歌又会跳舞的人进行分类: 第一类:若 3 人都不参加,共有 C03C45C45=25(种); 第二类:若 3 人都跳舞或都唱歌,共有 2C33C15C45=50(种); 第三类:若 3 人中有两人唱歌或跳舞,共有 2C23C25C45=300(种); 第四类:若 3 人中有一人唱歌或跳舞,共有 2C13C35C45=300(种);
判断下列问题是组合问题还是排列问题: (1)把 5 本不同的书分给 5 个学生,每人一本; (2)从 7 本不同的书中取出 5 本给某个同学; (3)10 个人互相写一封信,共写了几封信; (4)10 个人互相通一次电话,共通了几次电话.
解:(1)由于书不同,每人每次拿到的也不同,有顺序之分,故它 是排列问题. (2)从 7 本不同的书中,取出 5 本给某个同学,在每种取法中取出 的 5 本并不考虑书的顺序,故它是组合问题. (3)因为两人互写一封信与写信人与收信人的顺序有关,故它是排 列问题. (4)因为互通电话一次没有顺序之分.故它是组合问题.
■名师点拨 对组合概念的三点说明
(1)组合的特点 组合要求 n 个元素是不同的,被取出的 m 个元素也是不同的,即 从 n 个不同的元素中进行 m 次不放回地取出.
数的组合与分解的内容安排策略
数的组合与分解的内容安排策略数字是数学的基础,它们在我们的日常生活中起着关键的作用。
数的组合与分解是数学中的基础概念,它们帮助我们理解数的结构和相互关系。
本文将探讨数的组合和分解的内容安排策略,以帮助读者更好地理解和应用这些概念。
1. 数的组合概念与应用数的组合是指将数字按照一定规则进行排列,从而产生不同的组合。
组合有助于我们思考排列问题,例如在排队、选取物品、制定计划等方面的应用。
为了更好地理解数的组合,我们可以从以下几个方面进行说明。
1.1 排列组合的定义排列是指从给定集合中选取一定数量的元素按一定顺序排列成不同的结果。
组合是指从给定集合中选取一定数量的元素,不考虑排列顺序的结果。
排列组合与实际生活中的情境紧密相关,例如排队、选择奖品等。
1.2 组合数的计算组合数是指从n个元素中选取k个元素的组合数目,用C(n,k) 或nCk 表示。
计算组合数的公式为 C(n,k) = n! / (k! * (n-k)! )。
组合数的计算可以帮助我们解决一些具体问题,例如从一组数字中选取不同的数目进行计算或选择。
1.3 二项式定理二项式定理是数的组合的基础理论,它描述了(a+b)^n 的展开式中的每一项的系数。
根据二项式定理,我们可以将一个数展开为若干个组合数的乘积,从而帮助我们简化计算。
2. 数的分解概念与方法数的分解是指将一个数拆分成若干个较小的数的过程。
数的分解有助于我们更好地理解数的结构和相互关系,并且可以应用于解决一些具体的数学问题。
以下是几种常见的数的分解方法。
2.1 质因数分解质因数分解是将一个数分解为若干个质数的乘积的过程。
质因数是指不能再进行分解的质数,而一个数可以分解为多个质因数的乘积。
质因数分解是数论中的重要概念,它应用广泛,例如在分数的化简、最大公约数和最小公倍数的求解等方面。
2.2 正整数的加法分解正整数的加法分解是将一个数表示为若干个正整数的和的过程。
这种分解方法常用于解决一些问题,例如找出一组数的总和等于给定数的情况,或者将一个数表示为一系列整数的和。
组合数学中的排列组合方法
组合数学中的排列组合方法在组合数学中,排列和组合是两种常见的计数方法,用于解决对元素进行选择和排列的问题。
排列指的是从一组元素中选取若干个元素按一定顺序排列的方法;而组合则是指从一组元素中选取若干个元素,不考虑顺序的方法。
在实际问题中,排列和组合方法的应用非常广泛,例如在概率论、图论、密码学等领域都有重要的应用。
一、排列方法排列方法是将一组元素按照一定顺序进行排列的方法。
在排列中,元素的顺序是非常重要的,不同的顺序会构成不同的排列。
下面介绍几种常见的排列方法。
1.1 顺序排列顺序排列是最简单的一种排列方法,即将一组元素按照顺序进行排列。
假设有n个元素需要排列,第一个元素有n种选择,第二个元素有n-1种选择,依此类推,总共有n!种排列方式。
其中,n!表示n的阶乘,即n*(n-1)*(n-2)*...*2*1。
1.2 循环排列循环排列是一种特殊的排列方法,它允许元素按照一个循环的方式进行排列。
例如,假设有3个元素A、B和C,按照循环排列的方法,可以得到以下6种排列方式:ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA。
可以发现,循环排列是一种环形的排列方式,其中每个元素都会在每个位置上出现。
1.3 重复排列重复排列是指排列中允许元素重复出现的排列方法。
在排列中,元素重复出现会导致不同的排列方式。
假设有n个元素需要排列,其中有m个元素相同,如果没有重复的要求,则有n!种排列方式。
但如果要求相同元素出现在不同的位置上,那么排列方式将会减少。
具体计算方法是将相同元素的个数分别除以各自的阶乘,然后将结果相乘。
二、组合方法组合方法是将一组元素按照不考虑顺序的方式进行选择的方法。
在组合中,元素的顺序不重要,只需要考虑元素的选择组合。
下面介绍几种常见的组合方法。
2.1 无重复组合无重复组合是指组合中不允许元素重复出现的方法。
假设有n个元素需要选择,要选择m个元素(m≤n),则无重复组合的数量可以用组合数C(n,m)表示。
高中数学必修三古典概型的几种解题技巧
高中数学必修三古典概型的几种解题技巧1、排列组合问题古典概型中的排列组合问题是指从 n 个不同元素中取 r 个元素,考虑元素之间的排列或不考虑排列,求其组合数或排列数。
1.1 组合数设有 n 个不同元素,则从中取出 r 个元素的组合数为 C(n,r)。
其计算公式为:C(n,r)=n!/(r!×(n-r)!)例如,从 5 个不同字母中取出 3 个,不考虑排列方式,其组合数为:C(5,3)=5!/(3!×2!)=101.2 排列数2、二项式定理二项式定理是代数中的重要定理,它可以将一个二项式的幂展开为多项式。
二项式定理可以推广到实数、复数或矩阵等范畴中,但本文中仅考虑其在古典概型中的应用。
2.1 二项式定理的基本形式(a+b)^n=C(n,0)×a^n+C(n,1)×a^(n-1)b+⋯+C(n,k)×a^(n-k)b^k+⋯+C(n,n)×b^n其中,a、b 是任意实数,n 是任意非负整数,C(n,k) 为组合数。
二项式定理可以用于求和式,其中最常见的是求幂和式,例如:1+2+3+⋯+n=?分析该式,可将其改写为:再利用二项式定理,展开为多项式:(1+1)^2-(1^2)=2^2-(2^2)+3^2-(3^2)+⋯+n^2-(n-1)^2整理后得到:当从 n 个元素中取出 r 个元素,并排列时,元素可重复,其排列数为 n^r。
4^3=644、贝努利试验和二项分布贝努利试验是实验条件非常简单的一类随机试验,其特点是只有两个可能的结果,例如正反面、违法合法等。
二项分布是指对 n 次独立的贝努利试验中,成功次数的统计分布。
4.1 贝努利试验在贝努利试验中,设试验只有两个可能的结果,其中一个记作成功,发生的概率为 p,另一个记作失败,发生的概率为 q=1-p。
则进行 n 次独立的贝努利试验,设成功的次数为 X,则 X 的可能取值为 0 到 n,其分布律为:P(X=k)=C(n,k)×p^k×(1-p)^(n-k),k=0,1,2,⋯,n其中 P(X=k) 表示成功 k 次的概率,C(n,k) 表示从所有试验中取出 k 次成功的组合数。
数学课件:1.2.2.1 组合及组合数公式
12
【做一做1-1】 在下列问题中,是组合问题的有
,是排列问
题的有
.(填序号)
(1)从a,b,c,d四名学生中选出2名学生有多少种不同的选法?
(2)从a,b,c,d四名学生中选出2名学生完成两件不同的工作,有多少种
不同的安排方法?
(3)a,b,c,d四支足球队之间进行单循环比赛共需赛多少场?
(4)a,b,c,d四支足球队争夺冠亚军,有多少种不同的结果?
第一课时 组合及组 合数公式
1.理解组合的概念及组合数公式. 2.会利用组合数公式解决一些简单的组合问题.
12
1.组合的有关概念 (1)一般地,从n个不同元素中,任意取出m(m≤n)个元素并成一组, 叫做从n个不同元素中任取m个元素的一个组合.从排列和组合的 定义可知,排列与取出元素的顺序有关,而组合与取出元素的顺序 无关. (2)从n个不同元素中,任意取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数, 叫做从n个不同元素中,任意取出m个元素的组合数,用符号 C������������表示.
①“含”与“不含”问题,其解题思路是将限制条件视为特殊元素或
特殊位置.一般来讲,特殊要先满足,其余则“一视同仁”.若正面入手 不易,则从反面入手,寻找问题的突破口,即采用排除法.解题时要注 意分清“有且仅有”“至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等词语的 确切含意,准确把握分类标准.
②几何中的组合问题,要注意分清“对应关系”,如不共线的三点对
题型一 题型二 题型三 题型四
题型三 组合应用题
【例3】 在6名内科医生和4名外科医生中,内科主任和外科主任 各一名,现要组成5人医疗小组送医下乡,依下列条件各有多少种选 派方法?
(1)有3名内科医生和2名外科医生; (2)既有内科医生,又有外科医生; (3)至少有一名主任参加; (4)既有主任,又有外科医生. 分析本题各个小题中被选出的元素均没有顺序,因而是组合问题.
2015-2016学年高二数学人教版A版选修2-3课件:1.2.2.1 组合与组合数公式
数学 选修2-3
第一章 计数原理
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
组合数
1 . 从 n 个 不 同 元 素 中 取 出 m(m≤n) 个 元 素 的 ___所__有__不__同__组__合__的_个__数____,叫做从n个不同元素中取出m个元素
的组合数.用符号___C__nm_____表示.
第二十一页,编辑于星期五:八点 九分。
数学 选修2-3
第一章 计数原理
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
解析: (1)发邮件有先后之分,与顺序有关是排列问 题,共写了A28个电子邮件.
(2)是组合问题.两队只需要比赛一次,与顺序无关,共 进行C210场比赛.
(3)是排列问题.主客场比赛有主场、客场之分,与顺序 有关,共进行A210场比赛.
第十三页,编辑于星期五:八点 九分。
数学 选修2-3
第一章 计数原理
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
4.判断下列各事件是排列问题,还是组合问题. (1)10个人相互各写一封信,共写多少封信? (2)10个人相互通一次电话,共通了多少次电话? (3)10支球队进行比赛,这次比赛冠、亚军获得者有多少种 可能? (4)从10个人中选3个代表去开会,有多少种选法? (5)从10个人里选出3个不同学科的代表,有多少种选法?
有关.
答案: C
第十一页,编辑于星期五:八点 九分。
数学 选修2-3
第一章 计数原理
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
2.方程C2x8=C32x8-8的解为(
)
A.4或9
B.4
C.9
D.其他
解析: 当x=3x-8时,解得x=4;当28-x=3x-8时,解 得x=9.
1.2.2第1课时 组合与组合数公式
对比思考:
排列与组合的概念,它们有什么共同点、不同点? 共同点:都要“从n个不同元素中任取m个元素”
不同点:对于所取出的元素,排列要“按照一定的顺序 排成一列”,而组合却是“不管怎样的顺序并成一组”.
随堂练习 组合(一)
判断下列各事件是排列还是组合问题 : (1)从4个风景点中选出2个安排游览,共有多少种选择? (2)从4个风景点中选出2个安排游览,并确定2个风景点 的游览顺序,共有多少种选择? (3)某铁路线上有5个车站,则这条铁路线上共有多少种 车票? (4)某铁路线上有5个车站,则这条铁路线上共有多少种 票价?
2.组合数: 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 的所有组合的个数,叫做从n个不同元素 m 中取出m个元素的组合数,用符号 Cn 表 示.
研究探讨 组合(一)
1、写出从 a、b、c 三个元素中取出两个元素 的所有组合。 2 ab ac bc C3 3 2、写出从 a、b、c、d 四个元素中取出两个元素 的所有组合。 2 ab ac ad bc bd cd C4 6
3、写出从 a、b、c、d 四个元素中取出三个元素 的所有组合。 abc abd acd bcd
C 4
3 4
C ?
m n
组合数公式 组合(一)
排列与组合是有区别的,但它们又有联系.
一般地,求从 n 个不同元素中取出m 个元素的排 列数,可以分为以下2步: 第1步,先求出从这 n 个不同元素中取出m 个元素 的组合数 C m .
答: 不相等.
通信封数与顺序有关,
而打电话的次数与顺序无关.
练习: 组合(一)
2. 一个口袋内装有大小相同且标号不同 的7个白球和1个黑球。 ⑴ 从口袋内取出3个球,共有多少种取法?
《排列与组合》的说课稿
《排列与组合》的说课稿排列与组合是数学中非常重要的概念,它们在解决问题时起着至关重要的作用。
本文将从排列与组合的定义、性质、应用、解题技巧和拓展等方面进行详细介绍。
一、排列与组合的定义1.1 排列的定义:排列是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列的方式。
1.2 组合的定义:组合是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素不考虑顺序的方式。
1.3 排列与组合的区别:排列考虑元素的顺序,而组合不考虑元素的顺序。
二、排列与组合的性质2.1 排列的计算公式:排列数为A(n,m)=n!/(n-m)!。
2.2 组合的计算公式:组合数为C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)。
2.3 排列与组合的关系:排列数是组合数的m倍,即A(n,m)=m!×C(n,m)。
三、排列与组合的应用3.1 排列与组合在概率问题中的应用:通过排列与组合的知识可以计算事件的概率。
3.2 排列与组合在密码学中的应用:排列与组合的知识可以用于密码学中的加密和解密算法。
3.3 排列与组合在组合数学中的应用:排列与组合是组合数学中的基础概念,应用广泛。
四、排列与组合的解题技巧4.1 确定问题类型:首先要确定问题是排列还是组合问题。
4.2 理清思路:根据问题的要求,理清思路,确定解题方法。
4.3 灵活运用计算公式:根据问题的条件,灵活运用排列与组合的计算公式进行计算。
五、排列与组合的拓展5.1 排列与组合与二项式定理的关系:排列与组合与二项式定理有密切的联系,可以相互推导。
5.2 排列与组合在数学竞赛中的应用:排列与组合是数学竞赛中常见的考点,需要熟练掌握解题技巧。
5.3 排列与组合在实际生活中的应用:排列与组合在实际生活中也有广泛的应用,如排队、选举等方面。
通过以上介绍,相信大家对排列与组合有了更深入的了解。
排列与组合是数学中的基础概念,掌握它们对于提高数学解题能力至关重要。
希望大家能够认真学习,灵活运用排列与组合的知识,提高数学水平。
1.2.2 组合(第1课时)组合与组合数公式
4.(2019 年和平区月考)6 个朋友聚会,每两人握手 1 次,一共握手 ________次.
15 [每两人握手 1 次,无顺序之分,是组合问题,故一共握手 C26=15 次.]
5.(2019 年池州月考)已知 C4n,C5n,C 6n成等差数列,求 C 1n2的值. [解] 由已知得 2C5n=C4n+C6n, 所以 2·5!nn!-5!=4!nn!-4!+6!nn!-6!, 整理得 n2-21n+98=0, 解得 n=7 或 n=14, 要求 Cn12的值,故 n≥12,所以 n=14, 于是 C1142=C214=142× ×113=91.
②将图案不同的 4 张扑克牌分给四人,每人 1 张,有几种分法?
③空间中的 10 个点,任意 3 个点都不共线,能构成多少个以这些点为顶
点的三角形?
其中,包含组合问题的有( )
A.0 个
B.1 个
C.2 个
D.3 个
C [由组合的定义可知①③两个命题与顺序无关,是组合问题.]
2.(2019 年嘉定区月考)下列计算结果为 21 的是( )
[跟踪训练] 1.(1)判断下列问题是排列问题还是组合问题: ①把当日动物园的 4 张门票分给 5 个人,每人至多分一张,而且票必须 分完,有多少种分配方法? ②从 2,3,5,7,11 这 5 个质数中,每次取 2 个数分别作为分子和分母构成一 个分数,共能构成多少个不同的分数? ③从 9 名学生中选出 4 名参加一个联欢会,有多少种不同的选法? (2)已知 a,b,c,d 这四个元素,写出每次取出 2 个元素的所有组合.
1<n<10,因为 n∈N*且 n≥6,所以 n=6,7,8,9,所以 n 的取值集合为{6,7,8,9}.]
高中数学 第一章1.2 排列与组合 1.2.2 第1课时 组合与组合数公式学案 新人教A版选修2-3 (2)
第1课时组合与组合数公式学习目标 1.理解组合的定义,正确认识组合与排列的区别与联系.2.理解排列数与组合数之间的联系,掌握组合数公式,能运用组合数公式进行计算.3.会解决一些简单的组合问题.知识点一组合的定义思考①从3,5,7,11中任取两个数相除;②从3,5,7,11中任取两个数相乘.以上两个问题中哪个是排列?①与②有何不同特点?答案①是排列,①中选取的两个数是有序的,②中选取的两个数无需排列.梳理一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.知识点二组合数与组合数公式组合数及组合数公式组合数定义及表示从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n 个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号C m n表示.组合数公式乘积形式C m n=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)m!阶乘形式C m n=n!m!(n-m)!性质C m n=C n-mnC m n+1=C m n+C m-1n备注规定C0n=11.从a1,a2,a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合是C23.( ×) 2.从1,3,5,7中任取两个数相乘可得C24个积.( √)3.C35=5×4×3=60.( ×)4.C2 0162 017=C12 017=2 017.( √)类型一组合概念的理解例1 给出下列问题:(1)a,b,c,d四支足球队之间进行单循环比赛,共需比赛多少场?(2)a,b,c,d四支足球队争夺冠、亚军,有多少种不同的结果?(3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务,有多少种不同的选法?(4)从全班40人中选出3人参加某项活动,有多少种不同的选法?在上述问题中,哪些是组合问题,哪些是排列问题?考点组合的概念题点组合的判断解(1)单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛,没有顺序,是组合问题.(2)冠、亚军是有顺序的,是排列问题.(3)3人分别担任三个不同职务,有顺序,是排列问题.(4)3人参加某项相同活动,没有顺序,是组合问题.反思与感悟区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么,区分的标志是有无顺序,而区分有无顺序的方法是:把问题的一个选择结果写出来,然后交换这个结果中任意两个元素的位置,看是否产生新的变化,若有新变化,即说明有顺序,是排列问题;若无新变化,即说明无顺序,是组合问题.跟踪训练1 判断下列问题是排列问题还是组合问题,并求出相应的结果.(1)集合{0,1,2,3,4}的含三个元素的子集的个数是多少?(2)某小组有9位同学,从中选出正、副班长各一个,有多少种不同的选法?若从中选出2名代表参加一个会议,有多少种不同的选法?考点组合的概念题点组合的判断解(1)由于集合中的元素是不讲次序的,一个含三个元素的集合就是一个从0,1,2,3,4中取出3个数组成的集合.这是一个组合问题,组合的个数是C35=10.(2)选正、副班长时要考虑次序,所以是排列问题,排列数是A29=9×8=72,所以选正、副班长共有72种选法;选代表参加会议是不用考虑次序的,所以是组合问题,所以不同的选法有C29=36(种).类型二组合数公式及性质的应用命题角度1 有关组合数的计算与证明例2 (1)计算C410-C37·A33;考点组合数公式题点利用组合数公式进行计算(1)解 原式=C 410-A 37=10×9×8×74×3×2×1-7×6×5=210-210=0.(2)求证:C mn =m +1n +1C m +1n +1. 考点 组合数公式 题点 组合数公式的应用 (2)证明 因为右边=m +1n +1C m +1n +1=m +1n +1·(n +1)!(m +1)!(n -m )!=n !m !(n -m )!=C mn , 左边=C mn ,所以左边=右边,所以原式成立.反思与感悟 (1)涉及具体数字的可以直接用公式C m n=A mn A m m =n (n -1)(n -2)…(n -m +1)m !计算.(2)涉及字母的可以用阶乘式C mn =n !m !(n -m )!计算.(3)计算时应注意利用组合数的两个性质: ①C m n =C n -m n ;②C m n +1=C m n +C m -1n .跟踪训练2 (1)计算C 34+C 35+C 36+…+C 32 017的值为( ) A .C 42 017 B .C 52 017 C .C 42 018-1D .C 52 017-1(2)计算C 98100+C 199200=________. 考点 组合数性质 题点 的性质计算与证明 答案 (1)C (2)5 150 解析 (1)C 34+C 35+C 36+…+C 32 017 =C 44+C 34+C 35+C 36+…+C 32 017-C 44 =C 45+C 35+…+C 32 017-1=… =C 42 017+C 32 017-1=C 42 018-1. (2)C 98100+C 199200=C 2100+C 1200 =100×992+200=5 150.命题角度2 含组合数的方程或不等式 例3 (1)已知1C m 5-1C m 6=710C m 7,求C m 8+C 5-m8;(2)解不等式C 4n >C 6n . 考点 组合数性质题点 含有组合数的方程或不等式的问题 解 (1)∵1C m 5-1C m 6=710C m 7,∴m !(5-m )!5!-m !(6-m )!6!=7×(7-m )!m !10×7!,即m !(5-m )!5!-m !(6-m )(5-m )!6×5!=7×m !(7-m )(6-m )(5-m )!10×7×6×5!.∴1-6-m 6=(7-m )(6-m )60,即m 2-23m +42=0,解得m =2或21. ∵0≤m ≤5,∴m =2, ∴C m8+C 5-m8=C 28+C 38=C 39=84.(2)由C 4n >C 6n ,得⎩⎪⎨⎪⎧n !4!(n -4)!>n !6!(n -6)!,n ≥6即⎩⎪⎨⎪⎧n 2-9n -10<0,n ≥6,解得⎩⎪⎨⎪⎧-1<n <10,n ≥6,又n ∈N *,∴该不等式的解集为{6,7,8,9}.反思与感悟 (1)解题过程中应避免忽略根的检验而产生增根的错误,注意不要忽略n ∈N *. (2)与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式,以及组合数的性质,求解时,要注意由C m n 中的m ∈N *,n ∈N *,且n ≥m 确定m ,n 的范围,因此求解后要验证所得结果是否适合题意.跟踪训练3 解方程3C x -7x -3=5A 2x -4. 考点 组合数性质题点 含有组合数的方程或不等式的问题 解 原式可变形为3C 4x -3=5A 2x -4, 即3(x -3)(x -4)(x -5)(x -6)4×3×2×1=5(x -4)(x -5),所以(x-3)(x-6)=5×4×2=8×5.所以x=11或x=-2(舍去).经检验符合题意,所以方程的解为x=11.类型三简单的组合问题例4 有10名教师,其中6名男教师,4名女教师.(1)现要从中选2名去参加会议,有________种不同的选法;(2)选出2名男教师或2名女教师参加会议,有________种不同的选法;(3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议,有________种不同的选法.考点组合的应用题点无限制条件的组合问题答案(1)45 (2)21 (3)90解析(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数,就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数,即C210=10×92×1=45(种).(2)可把问题分两类情况:第1类,选出的2名是男教师有C26种方法;第2类,选出的2名是女教师有C24种方法.根据分类加法计算原理,共有C26+C24=15+6=21(种)不同选法.(3)从6名男教师中选2名的选法有C26种,从4名女教师中选2名的选法有C24种,根据分步乘法计数原理,共有不同的选法C26×C24=6×52×1×4×32×1=90(种).反思与感悟(1)解简单的组合应用题时,首先要判断它是不是组合问题,组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关,而组合问题与取出元素的顺序无关.(2)要注意两个基本原理的运用,即分类与分步的灵活运用.在分类和分步时,一定注意有无重复或遗漏.跟踪训练4 一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球.(1)从口袋内取出的3个小球,共有多少种取法?(2)从口袋内取出3个球,使其中含有1个黑球,有多少种取法?(3)从口袋内取出3个球,使其中不含黑球,有多少种取法?考点组合的应用题点有限制条件的组合问题解(1)从口袋内的8个球中取出3个球,取法种数是C38=8×7×63×2×1=56.(2)从口袋内取出3个球有1个是黑球,于是还要从7个白球中再取出2个,取法种数是C27=7×62×1=21.(3)由于所取出的3个球中不含黑球,也就是要从7个白球中取出3个球,取法种数是C37=7×6×53×2×1=35.1.给出下列问题:①从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加2个乡镇的社会调查,有多少种不同的选法?②有4张电影票,要在7人中选出4人去观看,有多少种不同的选法?③某人射击8枪,击中4枪,且命中的4枪均为2枪连中,则不同的结果有多少种?其中组合问题的个数是( )A.3 B.2 C.1 D.0考点组合的概念题点组合的判断答案 B解析①与顺序有关,是排列问题,②③均与顺序无关,是组合问题,故选B.2.集合M={x|x=C n4,n≥0且n∈N},集合Q={1,2,3,4},则下列结论正确的是 ( ) A.M∪Q={0,1,2,3,4} B.Q⊆MC.M⊆Q D.M∩Q={1,4}考点组合数公式题点利用组合数公式进行计算答案 D解析由C n4知n=0,1,2,3,4,因为C04=1,C14=4,C24=4×32=6,C34=C14=4,C44=1,所以M={1,4,6}.故M∩Q={1,4}.3.若C n12=C2n-312,则n等于( )A.3 B.5 C.3或5 D.15考点组合数性质题点含有组合数的方程或不等式的问题答案 C解析由组合数的性质得n=2n-3或n+2n-3=12,解得n=3或n=5,故选C.4.某校开设A类选修课3门,B类选修课5门,一位同学要从中选3门,若要求两类课程中至少各选1门,则不同的选法共有( )A .15种B .30种C .45种D .90种 考点 组合的应用题点 有限制条件的组合问题 答案 C解析 分两类,A 类选修课选1门,B 类选修课选2门,或者A 类选修课选2门,B 类选修课选1门,因此,共有C 13·C 25+C 23·C 15=45(种)选法.5.五个点中任何三点都不共线,则这五个点可以连成________条线段;如果是有向线段,共有________条. 考点 组合的概念 题点 组合的判断 答案 10 20解析 从五个点中任取两个点恰好连成一条线段,这两个点没有顺序,所以是组合问题,连成的线段共有C 25=10(条) .再考虑有向线段的问题,这时两个点的先后排列次序不同则对应不同的有向线段,所以是排列问题,排列数是A 25=20.所以有向线段共有20条.1.排列与组合的联系与区别(1)联系:二者都是从n 个不同的元素中取m (m ≤n )个元素. (2)区别:排列问题中元素有序,组合问题中元素无序. 2.关于组合数的计算(1)涉及具体数字的可以直接用公式C m n=A mn A m m =n (n -1)(n -2)…(n -m +1)m !计算;(2)涉及字母的可以用阶乘式C mn =n !m !(n -m )!计算.(3)组合数的两个性质: 性质1:C mn =C n -mn ; 性质2:C mn +1=C mn +C m -1n .一、选择题1.以下四个问题,属于组合问题的是( ) A .从3个不同的小球中,取出2个排成一列 B .老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌C .在电视节目中,主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星D .从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地考点 组合的概念 题点 组合的判断 答案 C解析 只有从100位幸运观众中选出2名幸运之星,与顺序无关,是组合问题. 2.A 3101C 2100+C 97100等于( ) A.16 B .101 C.1107D .6考点 组合数公式题点 利用组合数公式进行计算 答案 D解析 A 3101C 2100+C 97100=A 3101C 2100+C 3100=A 3101C 3101=A 33=6.3.下列等式不正确的是( ) A .C mn =n !m !(n -m )!B .C m n =C n -mn C .C m n +1=C mn +C m -1n D .C mn =C m +1n +1考点 组合数公式 题点 组合数公式的应用 答案 D解析 A 是组合数公式;B ,C 是组合数性质;C mn =n !m !(n -m )!,C m +1n +1=(n +1)!(m +1)!(n -m )!,两者不相等,故D 错误.4.若A 3n =6C 4n ,则n 的值为( ) A .6 B .7 C .8 D .9 考点 组合数性质题点 含有组合数的方程或不等式的问题 答案 B解析 由题意知n (n -1)(n -2)=6·n (n -1)(n -2)(n -3)4×3×2×1,化简得n -34=1,所以n =7.5.把三张游园票分给10个人中的3人,则分法有( ) A .A 310种B .C 310种C.C310A310种D.30种考点组合的应用题点无限制条件的组合问题答案 B解析三张票没区别,从10人中选3人即可,即C310.6.将2名女教师,4名男教师分成2个小组,分别安排到甲、乙两所学校轮岗支教,每个小组由1名女教师和2名男教师组成,则不同的安排方案共有( )A.24种B.10种C.12种D.9种考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案 C解析第一步,为甲地选1名女教师,有C12=2(种)选法;第二步,为甲地选2名男教师,有C24=6(种)选法;第三步,剩下的3名教师到乙地,故不同的安排方案共有2×6×1=12(种),故选C.7.现有6个白球,4个黑球,任取4个,则至少有两个黑球的取法种数是( )A.115 B.90 C.210 D.385考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案 A解析依题意根据取法可分为三类:两个黑球,有C24C26=90(种);三个黑球,有C34C16=24(种);四个黑球,有C44=1(种).根据分类加法计数原理可得,至少有两个黑球的取法种数是90+24+1=115,故选A.8.对于所有满足1≤m≤n≤5的自然数m,n,方程x2+C m n y2=1所表示的不同椭圆的个数为( )A.15 B.7 C.6 D.0考点组合数性质题点利用组合数的性质进行计算与证明答案 C解析因为1≤m≤n≤5,且方程表示椭圆,所以C m n可能为C12,C13,C23,C14,C24,C34,C15,C25, C35,C45,其中C13=C23,C14=C34,C15=C45,C25=C35,所以x2+C m n y2=1能表示的不同椭圆有6个.二、填空题9.从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘,有m个不同的积;任取两个不同的数相除,有n个不同的商,则m∶n=________.考点 组合的概念 题点 组合的判断 答案 1∶2解析 ∵m =C 24,n =A 24,∴m ∶n =1∶2.10.从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖、2名二等奖、3名三等奖,则可能的决赛结果共有________种. 考点 组合的应用题点 有限制条件的组合问题 答案 60解析 根据题意,所有可能的决赛结果有C 16C 25C 33=6×5×42×1=60(种).11.不等式C 2n -n <5的解集为________. 考点 组合数性质题点 含有组合数的方程或不等式的问题 答案 {2,3,4} 解析 由C 2n -n <5,得n (n -1)2-n <5,即n 2-3n -10<0, 解得-2<n <5.由题意知n ≥2,且n ∈N *,则n =2,3,4, 故原不等式的解集为{2,3,4}. 三、解答题12.已知C 4n ,C 5n ,C 6n 成等差数列,求C 12n 的值. 考点 组合数公式 题点 组合数公式的应用 解 由已知得2C 5n =C 4n +C 6n ,所以2×n !5!(n -5)!=n !4!(n -4)!+n !6!(n -6)!,整理得n 2-21n +98=0, 解得n =7或n =14, 要求C 12n 的值,故n ≥12, 所以n =14,于是C 1214=C 214=14×132×1=91. 13.在一次数学竞赛中,某学校有12人通过了初试,学校要从中选出5人参加市级培训.在下列条件下,有多少种不同的选法?(1)任意选5人;(2)甲、乙、丙三人必须参加;(3)甲、乙、丙三人不能参加.考点 组合的应用题点 有限制条件的组合问题解 (1)从中任取5人是组合问题,共有C 512=792(种)不同的选法.(2)甲、乙、丙三人必须参加,则只需要从另外9人中选2人,是组合问题,共有C 29=36(种)不同的选法.(3)甲、乙、丙三人不能参加,则只需从另外的9人中选5人,共有C 59=126(种)不同的选法.四、探究与拓展14.以下三个式子:①C mn =A m n m !;②A m n =n A m -1n -1;③C m n ÷C m +1n =m +1n -m .其中正确的个数是____. 考点 组合数公式题点 组合数公式的应用答案 3解析 ①式显然成立;②式中A m n =n (n -1)(n -2)…(n -m +1),A m -1n -1=(n -1)(n -2)…(n -m +1),所以A m n =n A m -1n -1,故②式成立;对于③式C mn ÷C m +1n =C m n C m +1n =A mn ·(m +1)!m !·A m +1n =m +1n -m ,故③式成立. 15.某届世界杯举办期间,共32支球队参加比赛,它们先分成8个小组进行循环赛,决出16强(每队均与本组其他队赛1场,各组第一、二名晋级16强),这16支球队按确定的程序进行淘汰赛,即八分之一淘汰赛,四分之一淘汰赛,半决赛,决赛,最后决出冠、亚军,此外还要决出第三、四名,问这届世界杯总共将进行多少场比赛?考点 组合的应用题点 有限制条件的组合问题解 可分为如下几类比赛:(1)小组循环赛,每组有C 24=6(场),8个小组共有48场;(2)八分之一淘汰赛,8个小组的第一、二名组成16强,根据赛制规则,每2支球队一组,每组比赛1场,可以决出8强,共有8场;(3)四分之一淘汰赛,根据赛制规则,8强中每2支球队一组,每组比赛1场,可以决出4强,共有4场;(4)半决赛,根据赛制规则,4强每2支球队一组,每组比赛1场,可以决出2强,共有2场;(5)决赛,2强比赛1场确定冠、亚军,4强中的另2支球队比赛1场决出第三、四名,共有2场.综上,由分类加法计数原理知,总共将进行48+8+4+2+2=64(场)比赛.。
含有重复元素的排列组合计算
含有重复元素的排列组合计算1. 排列排列是指从某一给定的元素集合中,按照一定的顺序选择若干元素进行排列的方法。
当集合中的元素存在重复时,计算排列的方法需要进行相应的调整。
1.1 无重复元素的排列当集合中的元素各不相同时,计算排列的方法非常简单。
假设集合中共有n个元素,则需要从中选择r个元素进行排列。
计算方法可以使用排列数公式进行计算:$$P_n^r = \frac{{n!}}{{(n-r)!}}$$其中,$n!$表示n的阶乘,即$n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \ldots \times 2 \times 1$。
1.2 含有重复元素的排列当集合中的元素存在重复时,计算排列的方法稍有不同。
假设集合中有n个元素,其中某个元素重复了m次,需要从中选择r个元素进行排列。
计算方法可以通过对原始的排列数进行调整得到:$$P_n^r = \frac{{n!}}{{(n-r)!}}$$但是这个结果并不是最终的排列数,因为重复元素造成了重复的情况。
为了消除这些重复,需要将重复元素的排列数除以重复元素的阶乘,得到最终的排列数:$$P_n^r = \frac{{n!}}{{(n-r)! \times m!}}$$2. 组合组合是指从某一给定的元素集合中,按照一定的顺序选择若干元素形成子集的方法。
与排列不同,组合中的元素选择并不考虑顺序。
2.1 无重复元素的组合当集合中的元素各不相同时,计算组合的方法比较简单。
假设集合中共有n个元素,需要从中选择r个元素进行组合。
计算方法可以使用组合数公式进行计算:$$C_n^r = \frac{{n!}}{{r! \times (n-r)!}}$$2.2 含有重复元素的组合当集合中的元素存在重复时,计算组合的方法也需要进行相应的调整。
假设集合中有n个元素,其中某个元素重复了m次,需要从中选择r个元素进行组合。
计算方法可以通过对原始的组合数进行调整得到:$$C_n^r = \frac{{n!}}{{r! \times (n-r)!}}$$但是这个结果并不是最终的组合数,因为重复元素造成了重复的情况。
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组合数公式
排列与组合是有区别的,但它们又有联系.
一般地,求从 n 个不同元素中取出m个元
素的排列数,可以分为以下2步:
第1步,先求出从这 n 个不同元素中取出m
个元素的组合数 Cnm .
第2步,求每一个组合中m个元素的全排列数Amm .
根据分步乘法计数原理,得到:Anm Cnm Amm
2.已知 C2n =10,则n的值为 ( B )
A.10
B.5
C.3
D.2
【解析】
C2n
nn 1
2
=10,所以n=5或-4(舍).
3.如果 Cn2 =28,则n的值为( B )
A.9
B.8
C.7
D.6
【解析】因为
Cn2
n(n 1) , 2
n(n 1) 28, 所以解得n=8或n=-7(舍). 2
的子集有多少个?
组合问题
(2)某铁路线上有5个车站,则这条铁路线上共需准
备多少种车票?
排列问题
有多少种不同的火车票价?
组合问题
(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小
组,共有多少种分法?
组合问题
(4)10人聚会,见面后每两人之间要握手相互问候,
共需握手多少次?
组合问题
(5)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游 览顺序,有多少种不同的方法?
2.C1300 .
【解析】1.C9969+C9979=C399+C929 =9998 97 + 9998=161700.
3 21 21
2.C1300=1003929198=161700.
所以:C399+C929 =C1300; 推广:Cnm+1+Cnm =Cnm++11 .
例2 甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环赛, (1)列出所有各场比赛的双方. (2)列出所有冠亚军的可能情况. 解:(1) 甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁.
1.理解组合与组合数的概念.(重点) 2.会推导组合数公式,并会应用公式求值. 3.了解组合数的两个性质,并会求值、化简 和证明.(难点)
探究点1 组合
问题一:从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天
的一项活动,其中1名同学参加上午的活动,1名同学
参加下午的活动,有多少种不同的选法?
A
2 3
=
6
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同
组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的
组合数,用符号
C
m n
表示.
注意:
Cnm是一个数,应该把它与“组合”区别开来.
从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的
C32 所 3有. 组合个数是: 已知4个元素a ,b , c , d ,则每次取出两个元素的
2.理解组合数的定义与公式
(2)甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁. 乙甲、丙甲、丁甲、丙乙、丁乙、丁丙.
【变式练习】
从10名学生中选出3名学生参加数学竞赛的不同选法种 数为__1_2_0_. 【解析】从10名学生中选出3名的不同选法有
C130
10 9 8 3 2 1
=12(0 种).
1.给出下面几个问题,其中是组合问题的有( C ) ①由1,2,3,4构成的含有两个元素的集合; ②五个队进行单循环比赛的分组情况; ③由1,2,3组成两位数的不同方法数; ④由1,2,3组成无重复数字的两位数. A.①③ B.②④ C.①② D.①②④ 【解析】①②与顺序无关,是组合问题. ③④与顺序有关,不是组合问题.
4.(2016·江苏高考)求 7C36 4C74 的值.
【解析】 7C36 4C74
=7
6 3
5 2
4 1
-4
7 4
6 3
5 2
4 1
=0.
5.从6位同学中选出4位参加一个座谈会,要求 张、王两人中至多有一个人参加,则不同选法的 种数为____9____.
解:C64-C24=9.
1.理解组合的定义,区别排列与组合之间的关系. (1)有序与无序的区别. (2)同是从n个不同元素中取m个元素,但是组合 一旦取完就结束,而排列还要继续进行排序.
【即时训练】
1.C35 C52 =___2_0____; 2.C1290 =__2__0___.
【解析】1.C35
C52
543 3 2 1
+
54 21
=20.
= 5 43 + 5 43 321 321
= 2354 3 2 1
= 65 4 3 2 1
=C36.
2.C1290 C120 20.
例1 ⑴ 计算:C74 ⑵计算:C170
共同点: 都要“从n个不同元素中任取m个元素” 不同点: 排列与元素的顺序有关,
而组合则与元素的顺序无关.
组合是选择的结果,排列 是选择后再排序的结果.
思考一:ab与ba是相同的排列还是相同的组合?为什么? 是相同组合,因为ab与ba元素相同,但顺序不同.
思考二:两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合 呢?
问题二:从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天
的一项活动,有多少种不同的选法?
答案:3种:甲、乙;甲、丙;乙、丙
问题一
从已知的3 个 不同元素中每 次取出2个元 素,按照一定 的顺序排成一 列.
有
顺
序
排列
问题二
从已知的3个 不同元素中 每次取出2个 元素,并成一 组.
无
顺
组合
序
组合定义:
一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个 元素合成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元 素的一个组合.
相同排列:元素相同; 元素排列顺序相同.
相同组合:元素相同
思考三:组合与排列有联系吗?
构造排列分成两步完成:先取后 排;而构造组合就是其中一个步骤.
在知道了组合的概念之 后,如何定义组合数的 概念呢?
【即时训练】
判断下列问题是组合问题还是排列问题.
(1)设集合A={a,b,c,d,e},则集合A的含有3个元素
排列与组合的 概念有什么共同 点与不同点?
排列定义: 一般地,从n个不同元素中取出m (m≤n) 个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从 n 个不 同元素中取出 m 个元素的一个排列.
组合定义: 一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n) 个元素合成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元 素的一个组合.
排列问题
探究点2 组合数
1.从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的所
有组合分别是:
ab , ac , bc (3个)
2.已知4个元素a , b , c , d ,写出每次取出两个元
素的所有组合.
a
b
c
b cd
cd
ab , ac , ad , bc , bd , cd
d
(6个)
组合数:
1.2.2 组合
第1课时 组合与组合数公式
某国际会议中心有A,B,C,D和E,共5种不同功 能的会议室,且每种功能的会议室又有大、中、小和 特小,共4种型号,总共20个会议室. 现在有一个国际学术会议需要选择3 种不同功能的6个会议室,并且每种 功能的会议室选2个型号. 试问:会议中心的工作人员安排会议的方法有多少种? 通过本节课的学习我们就能顺利地解决上述问题了!
C A (3) 已知 3 = 2 ,求 n .
n
n
解:(1)C74
=
7×6×5×4 4×3×2×1
=
35.
(2)C710
=
10×9×8×7×6×5×4 7×6×5×4×3×2×1
=
120.
(3)因为C3n
=
A2n,所以n Nhomakorabean - 1n -
3×2×1
2
= n n - 1,所以n = 8.
【变式练习】
计算: 1.C9969+C9979 .
因这此里:Cmnm ,nAAnmmm
nn 1n
N *,且m
2L n m 1
. m!
n,这个公式叫
做组合数公式.
从 n 个不同元素中取出m个元素的排列数
A C A m m m
n
n
m
组合数公式:
Cnm
Anm Amm
n(n 1)(n 2)L m!
(n m 1)
Cnm
n! m!(n
m)!
我们规定:Cn0 1.