1.2.2.1组合与组合数公式

1.2.2 组合
第1课时 组合与组合数公式
某国际会议中心有A，B，C，D和E，共5种不同功 能的会议室，且每种功能的会议室又有大、中、小和 特小，共4种型号，总共20个会议室． 现在有一个国际学术会议需要选择3 种不同功能的6个会议室，并且每种 功能的会议室选2个型号． 试问：会议中心的工作人员安排会议的方法有多少种？ 通过本节课的学习我们就能顺利地解决上述问题了！
1.理解组合与组合数的概念．（重点） 2.会推导组合数公式，并会应用公式求值． 3.了解组合数的两个性质，并会求值、化简 和证明．（难点）
探究点1 组合
问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天
的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学
参加下午的活动，有多少种不同的选法？
A
2 3
=
6
排列与组合的 概念有什么共同 点与不同点？
排列定义: 一般地，从n个不同元素中取出m (m≤n) 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不 同元素中取出 m 个元素的一个排列.
组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n） 个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元 素的一个组合．
2.已知 C2n =10,则n的值为 ( B )
A.10
B.5
C.3
D.2
【解析】
C2n
nn 1
2
=10,所以n=5或-4(舍).
3.如果 Cn2 ＝28，则n的值为( B )
A.9
B.8
C.7
D.6
【解析】因为
Cn2
n(n 1) , 2
n(n 1) 28, 所以解得n＝8或n=-7(舍). 2
因这此里：Cmnm ,nAAnmmm
nn 1n
N *，且m
2L n m 1
. m!
n，这个公式叫
做组合数公式．
从 n 个不同元素中取出m个元素的排列数
A C A m m m
n
n
m
组合数公式:
Cnm
Anm Amm
n(n 1)(n 2)L m!
(n m 1)
Cnm
பைடு நூலகம்
n! m!(n
m)!
我们规定：Cn0 1.
的子集有多少个?
组合问题
(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准
备多少种车票?
排列问题
有多少种不同的火车票价？
组合问题
(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小
组,共有多少种分法?
组合问题
(4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候,
共需握手多少次?
组合问题
(5)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游 览顺序,有多少种不同的方法?
（2）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁. 乙甲、丙甲、丁甲、丙乙、丁乙、丁丙.
【变式练习】
从10名学生中选出3名学生参加数学竞赛的不同选法种 数为__1_2_0_. 【解析】从10名学生中选出3名的不同选法有
C130
10 9 8 3 2 1
=12（0 种）.
1.给出下面几个问题，其中是组合问题的有( C ) ①由1,2,3,4构成的含有两个元素的集合； ②五个队进行单循环比赛的分组情况； ③由1,2,3组成两位数的不同方法数； ④由1,2,3组成无重复数字的两位数． A.①③ B.②④ C.①② D.①②④ 【解析】①②与顺序无关，是组合问题． ③④与顺序有关，不是组合问题．
2.理解组合数的定义与公式
2.C1300 .
【解析】1.C9969＋C9979＝C399＋C929 ＝9998 97 + 9998＝161700.
3 21 21
2.C1300＝1003929198＝161700.
所以：C399＋C929 =C1300； 推广：Cnm+1＋Cnm =Cnm++11 .
例2 甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环赛， (1)列出所有各场比赛的双方. (2)列出所有冠亚军的可能情况. 解：(1) 甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁.
C A (3) 已知 3 = 2 ,求 n ．
n
n
解：（1）C74
=
7×6×5×4 4×3×2×1
=
35.
（2）C710
=
10×9×8×7×6×5×4 7×6×5×4×3×2×1
=
120.
（3）因为C3n
=
A2n
,所以
n
n - 1n -
3×2×1
2
= n n - 1,所以n = 8.
【变式练习】
计算： 1.C9969＋C9979 .
C42所 有6. 组合个数是：
组合数公式
排列与组合是有区别的，但它们又有联系．
一般地，求从 n 个不同元素中取出m个元
素的排列数，可以分为以下2步：
第1步，先求出从这 n 个不同元素中取出m
个元素的组合数 Cnm ．
第2步，求每一个组合中m个元素的全排列数Amm ．
根据分步乘法计数原理，得到：Anm Cnm Amm
相同排列：元素相同； 元素排列顺序相同.
相同组合：元素相同
思考三:组合与排列有联系吗?
构造排列分成两步完成：先取后 排；而构造组合就是其中一个步骤.
在知道了组合的概念之 后，如何定义组合数的 概念呢？
【即时训练】
判断下列问题是组合问题还是排列问题.
(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素
排列问题
探究点2 组合数
1.从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的所
有组合分别是:
ab , ac , bc (3个)
2.已知4个元素a , b , c , d ,写出每次取出两个元
素的所有组合.
a
b
c
b cd
cd
ab , ac , ad , bc , bd , cd
d
(6个)
组合数:
问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天
的一项活动，有多少种不同的选法？
答案：3种：甲、乙；甲、丙；乙、丙
问题一
从已知的3 个 不同元素中每 次取出2个元 素,按照一定 的顺序排成一 列.
有
顺
序
排列
问题二
从已知的3个 不同元素中 每次取出2个 元素,并成一 组.
无
顺
组合
序
组合定义:
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个 元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元 素的一个组合．
【即时训练】
1.C35 C52 =___2_0____； 2.C1290 =__2__0___.
【解析】1.C35
C52
543 3 2 1
+
54 21
=20.
= 5 43 + 5 43 321 321
= 2354 3 2 1
= 65 4 3 2 1
=C36.
2.C1290 C120 20.
例1 ⑴ 计算：C74 ⑵计算：C170
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同
组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的
组合数，用符号
C
m n
表示.
注意：
Cnm是一个数，应该把它与“组合”区别开来．
从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的
C32 所 3有. 组合个数是: 已知4个元素a ,b , c , d ,则每次取出两个元素的
4.(2016·江苏高考)求 7C36 4C74 的值.
【解析】 7C36 4C74
=7
6 3
5 2
4 1
-4
7 4
6 3
5 2
4 1
=0.
5.从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求 张、王两人中至多有一个人参加，则不同选法的 种数为____9____．
解：C64－C24＝9.
1.理解组合的定义，区别排列与组合之间的关系. （1）有序与无序的区别. （2）同是从n个不同元素中取m个元素，但是组合 一旦取完就结束，而排列还要继续进行排序.
共同点: 都要“从n个不同元素中任取m个元素” 不同点: 排列与元素的顺序有关，
而组合则与元素的顺序无关.
组合是选择的结果，排列 是选择后再排序的结果.
思考一:ab与ba是相同的排列还是相同的组合?为什么? 是相同组合，因为ab与ba元素相同，但顺序不同．
思考二:两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合 呢?