一维热传导方程的数值解

为一直线， 右端为 ! # & ， 每一条曲线左边的开始端平坦， 这正是由于在 ! # & 图 3 中 # # $ 是初始状态， 处为第二类齐次边界条件的原因 ! 而右端 ! # $ 的温度始终为 $， 这是由于该点的边界条件为第一类齐 次边界条件的原因 ! 在图 4 中 ! # & 端的变化曲线开始时变化缓慢， 而在中间 ! # $ ! %& 的附近温度上升 较快， 两边相对缓慢 ! 比较可知， 例 2 和例 ’ 导热细杆中的温度变化规律左右是对调的 !
" " ! E !) IA，* I " !)，* F !) FA，* " " "$ #$ 用向前差分近似代替对时间的偏微分， 即
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"! E !)，* FA I !)，* "" #" 以 （$） （@） 、 代入 （A） 式得 !)，* FA I !)，* * I " ! )， * F ! ) FA， * " ! ) IA， % )， *） E # F（ " #" #$ 解得 （ )， !)，* FA E （ + !) IA，* F !) FA，* ）F（A I " + ） !)，* F #"% *） 其中 "# " + E# " #$
2
结语
那么同时将 ’ # / 和 ’ # ( 两个边界点进行类似于 （/3） 及 （(’） /）如果数理方程为 (( 类边界条件， 式处理即可 ! 那么初始条件中含有 “初始速度” ， 即 "（ （ !） ， 利用向后差分法得 (）如果是波动方程， # ）5 # # $ # ) # !， （ ’， & ） " ’， ( 6 " ’， $ "" （ !） # # ) ("# "# 则 （ !） " ’， "#) $ # " ’， ( 6 ( 式便得以求解 ! 利用 （27） 参考文献：
（"2） （"3） （"4）
例 & 的数值计算结果如图 1 所示 %
图&
万方数据
例 " 中相同 % 不同 ’ 的温度变化曲线
图1
例 & 中相同 % 不同 ’ 的温度变化曲线
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淮阴师范学院学报 （自然科学版）
第(卷
从结果可以知道热传导杆两端的温度始终保持为 !， 杆的中点温度总是高于其它点温度， 各点温度 随着时间变化逐渐降低 "
收稿日期： "##$C#"C"A 万方数据 作者简介：徐建良 （AD?$C） ， 男， 江苏武进人， 讲师， 主要从事物理教学研究 >
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第1期
徐建良等： 一维热传导方程的数值解
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根据式 （!） ， 如果已知 （不同 坐标每一个格点的温度值， 并且由 "" 类边界条件可知两边界 " # " ! "） 及 " # # 上的温度值， 那么就可以求出 ! $ " 坐标上每一个格点上的温度值 % 因此， 利用 （!） 式从初始条 件 ! # " 开始， 就可逐步算出每一个格点上的温度值， 运算过程如图 " 所示 % 这里必须特别指出的是算法的稳定性问题， 即解达到稳定的条件是 %& & " $ #! & ! & !’ （’）
一维热传导方程的数值解
徐建良，汤炳书
（连云港高等师范专科学校 物理系， 江苏 连云港 """##?）
摘
要：利用差分法对数理方程的多个较复杂的一维热传导问题进行分析， 并进行数值计算，
给出了直观的图象 > 关键词：差分法；一维热传导方程；边界条件 中图分类号：’@@A > ! 文献标识码：+ 文章编号： （"##$） A?BAC?%B? #!C#"A#C#@
这是一个两端温度为 +. ， 并且具有热源的定解问题 % 本定解问题有解析解， 其解为 （ ’， ( % ）# 由数值计算得出的结果如图 & 所示 % 例& 设定解问题为
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淮阴师范学院学报 （自然科学版）
第2卷
齐次边界条件的原因 ! 图 " 中 ! # $ 的变化曲线开始时变化缓慢， 而在 ! # $ ! %& 的附近温度上升较快， 两边相对缓慢 ! 例’ 设一维热传导问题为 " # $ ( " ) % *+, !! （$ - ! - & ）（$ - # - . ） !! & # " （$， ） ， （ # # $ "! & ， # ）# $ （$ ! # ! . ） " （ !， $）# /$$0 ! 1 & （$ ! # ! & ） （2(） （22） （2’）
图’
例 9 中相同 & 不同 % 的温度变化曲线
图4
例 9 中相同 % 不同 & 的温度变化曲线
图 * 中 & # / 是初始状态， 为一直线， 左端为 % # /， 每一条曲线左边的开始端平坦， 这正是由于在 % 万方数据 这是由于该点的边界条件为第一类 # / 处为第二类齐次边界条件的原因 ( 而右端 % # ) 的温度始终为 /，
第+期
徐建良等： 一维热传导方程的数值解
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图"Βιβλιοθήκη Baidu
第一类边界条件下热传导方程的图解
例"
设定解问题为 ( # & & ( $ ) ()* "’ （+ , ’ , * ）（+ , % , - ） ’’ * % ( （+， （ *， % ）# +， ( % ）# + （+ ! % ! - ） ( （ ’， ） （ + # + + ! ’ ! *） （"+） （""） （"&）
这是一个 % # ) 端为第二类齐次边界条件的并且具有热源的热传导混合问题， 即" （ & ）# / ( 在编程时， 温度采用国际温标 ( 设 ) # "5， 时间范围为 / 6 " , ， 将 ) 分割为 "// 份， 时间分为 )// 份 ( + # $&+/ 7 3 ,， 时空网格有 "/" 8 )/" 个格点 ( 例 + 的数值计算结果如图 *、 图 & 所示 (
第 ! 卷第 ! 期 "##$ 年 % 月
淮阴师范学院学报 （自然科学版）
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［/］ ［(］ ［2］ ［’］ 佩卡姆 8 9! :;<=> 解大学物理题 ［?］ 电子工业出版社， ! 北京： /43% ! 沙瓦陀里 ? @! 工程学中的数值方法 ［?］ 高等教育出版社， ! 北京： /4%4 ! 梁昆淼 ! 数学物理方法 ［?］ 高等教育出版社， ! 北京： /44% ! 徐效海 ! 数学物理方法引论 ［?］ 南京大学出版社， ! 南京： /444 !
数理方程中混合问题的解法通常是比较复杂的， 有时很难有解析解， 即便解出， 其解的形式也通常
［A $］ 是一个无穷级数形式 探讨利用差分法对数理方程进行数值解的 > 本文以一维热传导混合问题为例，
方法 >
A
第一类边界条件的一维热传导混合问题的解法
设含第一类边界条件的一维热传导混合问题为：
{
!" E # " !$$ F （ % $， " ）（# G $ G & ）（# G " G H ） （#， （ ， ! （ &， （ ! " ）E ! " ）E ! A "） " " ）（# ! " ! H ） （ $， （ $ ）（# ! $ ! & ） ! #）E "
式算出 ( # " 上的各点温度值， 再由 （$&） 式算出边界 % # ) ， 即 ( # " ! " 上各点的 这样就可先由 （$’） 温度值（ 和 （$’） 式运算过程如图 ) ( ( $&）
图*
例 + 中相同 & 不同 % 的温度变化曲线
图&
例 + 中相同 % 不同 & 的温度变化曲线
例+
设一维热传导问题为 ! # * $ ! ! + ,-. #% （/ 0 % 0 ) ）（/ 0 & 0 1 ） %% ) & !（/， （ )， & ）# /， ! & ）# / （/ ! & ! 1 ） % ! （ %， （ ) % %） /）# "//2 3 ) （/ ! % ! ) ） （$4） （+/） （+"）
图 - #$ 类边界条件下的运行图
图 . $# 类边界条件下的运行图
# " # $# 类边界条件的处理办法 设 ! % ’ 端满足第二类边界条件， 即 （ #） （#(） "（ # ）& ! % ’ % ! ! !， 那么也不能直接利用 （’） 式， 必须首先利用 （#(） 式及初始条件 （(） 逐步求出边界 ! % ’ 及其他各点处各 时刻的温度值 " 因 ! % ’ 处对应 $ % ( * $， 则由 （$+） 式得 ) "(，% * "( *#，% !"( *$，% （ %） % %! #"! !! 所以 （ (， （ %） "( *#，% % " % ）* #"! ! 令 （’） 式中 $ % ( * $ 得 （ ( * $， " $，% *$ % （ ) " !，% * " #，% ）*（$ ) # ) ） " $，% * "#& %） 万方数据 由 （#.） （#/） 、 式解得 （#.） （#/） （#-）
#
含第二类边界条件的一维热传导混合问题的数值解法
# " $ #$ 类边界条件的处理办法 设 ! % ! 端满足第二类边界条件， 即 （ #） "（ # ）& ! % ! % ! ! !， （$’） 式求解， 必须首先利用 （$’） 式及初始条件 （(） 逐步求出边界 ! % ! 及其 则此时就不能直接利用 （’） 他各点处各时刻的温度值 " 因 ! % ! 处对应 $ % $， 则由 （$’） 式得 ) " !，% * " #，% !" $，% （ %） % %! #"! !! 所以 （ %） " !，% % " #，% ) #"! ! 式中 $ % $ 得 令 （’） （ " !，% * " #，% ）*（$ ) # （$， " $，% *$ % # " $，% * "#& %） #） （#!） 、 式解得 由 （$,） （ " #，% ) "! （ %） ）*（$ ) # （$， " $，% *$ % # " $，% * "#& %） # #） ! 中 $ % # 则得 再令 （’） （ " $，% * " (，% ）*（$ ) # （#， （##） " #，% *$ % # " #，% * "#& %） #） 式算出 $ % # 上的各点温度值， 再由 （#$） 式算出边界 ! % !， 即 $ % $ 上各点的温度 这样就可先由 （##） 值（ 和 （##） 式的运算过程如图 - " " #$） （#$） （#!） （$,） （$+）
（A） （"） （!）
这是一个 AA 类非齐次边界条件的一维热传导问题， 通常这一类混合问题是很难解的， 即便解出， 其解也 通常是一个无穷级数的形式， 对该解的物理意义不能直接讨论， 不能给出直观的图象 > A>A 计算方法 为求解方程 （A） ， 首先定义函数 ! （ $， 的时间与空间的网格， 将 $ 坐标分成 ’ 等份， 将 " 坐标分成 ( "） 等份 > 令 ) 表示位置 $ 横轴， * 表示时间 " 纵轴 > 网格上每个格点对应一个温度值 > 用中心差分近似代替对 空间的偏微分， 即
（2%） （27）
!"#$%&’() *()’")(+&,- ,. /-$A 0&#$-1&,-() 2$(+ *,-0"’+&,- 34"(+&,BC D+E,AF+E,G，H;I@ :+,GA*JK