数值分析第一次作业及参考答案
数值分析
数值分析第一次作业信计2 20121314044 王峥虹一、实验内容:1、已知函数在下列各点的值为:38.064.081.092.098.0|0.18.06.04.02.0|y x -------------------试用4次牛顿插值多项式)(4x P 及三次样条函数)(x S (自然边界条件)对数据进行插值,用图给出(){}10,11,1,008.02.0,=+=i i x y x i i i ,,,)(4x P 及)(x S 。
分析:先求4次插值多项式:根据差分形式的牛顿差值公式:))...(](,...,,[...))(](,,[)](,[)()(1010102100100---++--+-+=n n n x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x f x f x Px=[0.2,0.4,0.6,0.8,1.0];y=[0.98,0.92,0.81,0.64,0.38];n=length(y);z=zeros(n,n);for i=1:nz(i,1)=y(i);endfor k=2:nfor l=k:nz(l,k)=(z(l,k-1)-z(l-1,k-1))/(x(l)-x(l-k+1));endendz结果:4次牛顿插值多项式为:)6.0)(4.0)(2.0(2083.0)4.0)(2.0(625.0)2.0(3.098.04---------=x x x x x x P )8.0)(6.0)(4.0)(2.0(5208.0-----x x x x再求三次样条插值函数:由上面及已知的:⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡075.65.475.30200005.025.00005.025.00005.025.00000243210M M M M M 程序如下:A=[2,0,0,0,0;0.5,2,0.5,0,0;0,0.5,2,0.5,0;0,0,0.5,2,0.5;0,0,0,0,2];B=[0,-3.75,-4.5,-6.75,0]';M=inv(A)*B结果:则由表达式:j j j j j j j j j j j j j j j j h x x h M y h x x h M y h x x M h x x M x S -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+-=+++++666)(6)()(2111231311,...,1,0-=n j得,三次样条插值多项式为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈-+-+----∈-+-+----∈-+-+----∈-+-+---=]0.1,8.0[),8.0(9.1)0.1(3036.3)8.0(0)0.1(5893.2]8.0,6.0[),6.0(3036.3)8.0(0857.4)6.0(5893.2)8.0(8929.0]6.0,4.0[),4.0(0857.4)6.0(6536.4)4.0(8929.0)6.0(3393.1]4.0,2.0[),2.0(6536.4)4.0(9.4)2.0(3393.1)4.0(0)(3333333x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x S 绘制4次插值多项式及三次样条插值多项式的图像:代码:x=[0.2,0.4,0.6,0.8,1.0];y=[0.98,0.92,0.81,0.64,0.38];plot(x,y)hold onfor i=1:1:5y(i)=0.98-0.3*(x(i)-0.2)-0.625*(x(i)-0.2)*(x(i)-0.4)-0.20833*(x(i)-0.2)*(x(i)-0.4)*(x(i)-0.6)-0.5 2083*(x(i)-0.2)*(x(i)-0.4)*(x(i)-0.6)*(x(i)-0.8)endk=[0 1 10 11];x0=0.2+0.08*k;y0=zeros(4);for i=1:1:4y0(i)=0.98-0.3*(x(i)-0.2)-0.625*(x(i)-0.2)*(x(i)-0.4)-0.20833*(x(i)-0.2)*(x(i)-0.4)*(x(i)-0.6)-0. 52083*(x(i)-0.2)*(x(i)-0.4)*(x(i)-0.6)*(x(i)-0.8)endplot(x0,y0,'o',x0,y0)hold ony1=spline(x,y,x0)plot(x0,y1,'o')hold ons=csape(x,y,'variational')fnplt(x,'r')hold ongtext('原图像')gtext('三次样条自然边界')gtext('4次牛顿插值')一、实验内容:2、在区间[]11,-上分别取20,10=n 用两组等距节点对龙格函数22511)(x x f +=作多项式插值及三次样条插值,对每个n 值,分别画出插值函数及)(x f 的图形。
《数值分析》第一章答案
《数值分析》第⼀章答案习题11.以下各表⽰的近似数,问具有⼏位有效数字?并将它舍⼊成有效数。
(1)*1x =451.023, 1x =451.01;(2)*2x =-0.045 113, 2x =-0.045 18;(3)*3x =23.421 3, 3x =23.460 4;(4)*4x =31, 4x =0.333 3;(5)*5x =23.496, 5x =23.494;(6)*6x =96×510, 6x =96.1×510;(7)*7x =0.000 96, 7x =0.96×310-;(8)*8x =-8 700, 8x =-8 700.3。
解:(1) =*1x 451.023 =1x 451.01=-1*1x x 0.01311021-?≤,1x 具有4位有效数字。
→1x 451.0(2) -=*2x 0.045 113 -=2x 0.045 18=-241021x x 0.045 18045113.0-=0.000 06731021-?<2x 具有2位有效数字,045.02-→x(3)=*3x x =-4604.234213.23=-4213.234604.231 10210391.0-?≤3x 具有3位有效数字,4.233→x (不能写为23.5) (4) =*4x 31 ,=4x 0.3333=-4*4x x 41021000033.0-?<,4x 具有4位有效数字,=4x 0.3333(5) =*5x 23.496,=5x 23.494=-5*5x x =-494.23496.2321021002.0-?<5x具有4位有效数字,→5x 23.50 (不能写为23.49)(6) =*6x 51096?710961.0?==-6*6x x 710001.0-?72101021--??≤6x 具有2位有效数字,57610961096.0?=?=x(7) =*7x 0.00096 371096.0-?=x3*71096.0-?=x =-7*7x x 0 7x 精确(8) 8700*8-=x 8x 3.8700-=8*8x x -010213.0?≤=8x 具有4位有效数字,8x 8700-=精确2.以下各数均为有效数字: (1) 0.1062 + 0.947; (3)2.747?6.83; (2)23.46―12.753; (4)1.473 / 0.064 。
数值分析课第一次作业答案answer1
计算机习题: 1. 作多项式 p,以 −1,0,1 为零点,首项系数为 2,并计算 p(3)。 4
答案:p = poly ([−1, 0, 1]),s = polyval(p, 3)。 2. 已知函数在下列各点的值为 xi 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
2
a 6 6e+154 0 1 1
b 10 10e+154 1 -1e+5 -4
c -4 -4e+154 1 1 3.999999
-1e+155 -7e+155 1e+155 答案:第二种方法更准确,因为第一种方法是一个累加的过程。 matlab 的 x = a : h : b 和 x = a + (0 : n) ∗ h 是第二种方法实现的。 代码: format long e a = 0; b = 8; n = 9; h = (b-a)/n; x(1) = a; y(1) = a; for j = 1:n, x(j+1) = x(j) + h; y(j+1) = y(1) + j*h; end [x',y',(a:h:b)',a+(0:n)’*h] 第二章 插值法 1. 当 x = 1, −1, 2 时,f (x) = 0, −3, 4,求 f (x) 的二次插值多项式。 (计算两遍,分别用拉格朗日插值和牛顿插值)
5
f (xi ) 0.98 0.92 0.81 0.64 0.38 求 4 次牛顿插值多项式 P4 (x) 并画图。 答案: 代码: x=0.2:0.2:1.0; y=[0.98,0.92,0.81,0.64,0.38]; n = length(y); if length(x)~=n, error('x and y are not compatible'); end D = zeros(n,n); D(:,1)=y(:); for j=2:n for i=j:n D(i,j) = (D(i,j-1)-D(i-1,j-1))/(x(i)-x(i-j+1)); end end p=D(1,1)*[zeros(1,n-1),1]; for k=2:n p=p+D(k,k)*[zeros(1,n-k),poly(x(1:k-1))]; end x=0.2:0.01:1.0; z=polyval(p,x); plot(x,z) 比较:p = polyf it(x, y, 4)。
(完整版)数值分析第一次作业
问题1:20.给定数据如下表:试求三次样条插值S(x),并满足条件 (1)S`(0.25)=1.0000,S`(0.53)=0.6868; (2)S ’’(0.25)=S ’’(0.53)=0。
分析:本问题是已知五个点,由这五个点求一三次样条插值函数。
边界条件有两种,(1)是已知一阶倒数,(2)是已知自然边界条件。
对于第一种边界(已知边界的一阶倒数值),可写出下面的矩阵方程。
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡432104321034322110d M M M M M 200020000020022d d d d λμμλμλμλ其中μj =j1-j 1-j h h h +,λi=j1-j j h h h +,dj=6f[x j-1,x j ,x j+1], μn =1,λ0=1对于第一种边界条件d 0=0h 6(f[x 0,x 1]-f 0`),d n =1-n h 6(f`n-f `[x n-1,x n ]) 解:由matlab 计算得:由此得矩阵形式的线性方程组为:⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡ 2.1150-2.4286-3.2667-4.3143-5.5200-M M M M M 25714.00001204286.000004000.026000.0006429.023571.0001243210解得 M 0=-2.0286;M 1=-1.4627;M 2= -1.0333; M 3= -0.8058; M 4=-0.6546S(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈-+-+-∈-+-+-∈-+-+-∈-+-+-]53.0,45.0[x 5.40x 9.1087x 35.03956.8.450-x 1.3637-x .5301.67881- ]45.0,39.0[x 9.30x 11.188x 54.010.418793.0-x 2.2384-x .450(2.87040-]39.0,30.0[x 03.0x 6.9544x 9.30 6.107503.0-x 1.9136-x .3902.708779-]30.0,25.0[x 5.20x 10.9662x 0.3010.01695.20-x 4.8758-x .3006.76209-33333333),()()()(),()()()),()()()(),()()()(Matlab 程序代码如下:function tgsanci(n,s,t) %n代表元素数,s,t代表端点的一阶导。
JZX高等数值分析第一次实验作业
相对残差 6.1302e-16 8.7797e-09 8.0295e-09 8.5677e-09 9.1433e-09
a、 m=1 (左为相对残差,右为取对数情况)
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0 1
1.5
0
-5
-10
-15
-20
-25
-30
-35
-40
1000
4.761361
2.9675e-11
5.7069e-04
3.5336e+11
1500
15.646571
1.0778e-11
6.8236e-04
2.3672e+10
3000
132.198513
6.3164e-13
1.1700e-04
2.8110e+11
a、n=1000 时步数与相对残差关系图:(上为相对残差,下为取对数情况下结果)
(2)当 A 最大特征值远大于第二个特征值,最小特征值远小于第二个最小特征值时收敛
性情况。
思路:构造题目要求的矩阵 A。首先随机生成 n 阶矩阵 B,B 不满秩,构造对角阵 A1(最
大特征值远大于第二个最大特征值,最小特征值远小于第二个最小特征值),则由此构
造出对称正定矩阵 A: b1=B’*B; A=b1’*A1*b1。同样设定精确解 Xj 为元素全部为 1 的 n
5、 构造对称不定的矩阵,验证 Lanczos 方法的近似中断,观察收敛曲线中的峰点个数和特
征值的分布关系;观察当出现峰点时,MINRES 方法的收敛性态怎样。
解:思路:类似前两题,首先构造出一个 n 阶对角阵 D,其对角线上有 m 个负值,再对随
西南交大数值分析第一次大作业答案
数值分析大作业1、证明:1-x-sinx=0在[0,1]内有一个根,使用二分法求误差不大于0.5*10^-4的根要迭代多少次,并输出每一步的迭代解和迭代误差证明:令f(x)= 1-x-sinx;f(0)=1,f(1)=-sin1f(0)*f(1)<0f’(x)=1-cosx<0在[0,1]内恒成立所以1-x-sinx=0在[0,1]内恒有一个根程序:function chap2bisecta = 0;b = 1;fprintf('n || a || b || c || r \n')for k=1:15c = (a+b)/2;r=(b-a)/2;fa =1-a-sin(a);fb =1-b-sin(b);fc =1-c-sin(c);fprintf('%d || %f || %f || %f \n',k,a,b,c,r);if abs(fc)<0.5*10^(-4) r=c; sprintf('the root is: %d' , r);elseif fa*fc<0 b=c;elseif fb*fc<0 a=c;endendroot = (a+b)/2结果:n || a || b || c || r1 || 0.000000 || 1.000000 || 0.500000 ||5.000000e-001 ||2 || 0.500000 || 1.000000 || 0.750000 ||2.500000e-001 ||3 || 0.500000 || 0.750000 || 0.625000 ||1.250000e-001 ||4 || 0.500000 || 0.625000 || 0.562500 ||6.250000e-002 ||125 || 0.500000 || 0.562500 || 0.531250 ||3.125000e-002 ||6 || 0.500000 || 0.531250 || 0.515625 ||1.562500e-002 ||7 || 0.500000 || 0.515625 || 0.507813 ||7.812500e-003 ||8 || 0.507813 || 0.515625 || 0.511719 ||3.906250e-003 || 9 || 0.507813 || 0.511719 || 0.509766 ||1.953125e-003 || 10 || 0.509766 || 0.511719 || 0.510742 ||9.765625e-004 || 11 || 0.510742 || 0.511719 || 0.511230 ||4.882813e-004 || 12 || 0.510742 || 0.511230 || 0.510986 ||2.441406e-004 || 13 || 0.510742 || 0.511230 || 0.510986 ||2.441406e-004 || 14 || 0.510742 || 0.511230 || 0.510986 ||2.441406e-004 || 15 || 0.510742 || 0.511230 || 0.510986 ||2.441406e-004 || root =0.510986328125000。
数值分析练习题加答案(一)
数值分析期末考试一、 设80~=x ,若要确保其近似数的相对误差限为0.1%,则它的近似数x 至少取几位有效数字?(4分)解:设x 有n 位有效数字。
因为98180648=<<=,所以可得x 的第一位有效数字为8(1分) 又因为21101011000110821--⨯=<⨯⨯≤n ε,令321=⇒-=-n n ,可知x 至少具有3位有效数字(3分)。
二、求矩阵A 的条件数1)(A Cond (4分)。
其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4231A 解:⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-5.05.1121A (1分) 1A =7(1分) 2711=-A (1分)249)(1=A Cond (1分)三、用列主元Gauss 消元法法求解以下方程组(6分)942822032321321321=++-=++--=+-x x x x x x x x x解:→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----5.245.2405.35.230914220321821191429142821120321 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---8175835005,245.24091425.33.2305.245.2409142(4分) 等价三角方程组为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+-=++,8175835,5.245.24,942332321x x x x x x (1分)回代得1,3,5123==-=x x x (1分)四、设.0,2,3,1,103)(3210234=-===-+-=x x x x x x x x f 1)求以3210,,,x x x x 为节3次Lagrange 多项式;(6分) 2)求以3210,,,x x x x 为节3次Newton 多项式;(6分)3)给出以上插值多项式的插值余项的表达式(3分)解:由0,2,3,13210=-===x x x x 可得10)(,34)(,1)(,11)(3210-==-=-=x f x f x f x f即得: +------+------=))()(())()(()())()(())()(()()(312101320130201032103x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x f x L=------+------))()(())()(()())()(())()(()(23130321033212023102x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x f+-+--+-⨯-+-+--+-⨯-)03)(23)(13()0)(2)(1()1()01)(21)(31()0)(2)(3(11x x x x x x326610.)20)(30)(10()2)(3)(1()10()02)(32)(12()0)(3)(1(34x x x x x x x x x -+--=+--+--⨯-+---------⨯2)计算差商表如下:i x )(i x f 一阶差商 二阶差商 三阶差商1 -11 3 -1 5 -2 34 -7 4 0-10-225-1则=+-----+-+-=)2)(3)(1()3)(1(4)1(511)(3x x x x x x x N326610x x x -+--3))2)(3)(1())()()((!4)()(3210)4(3+--=----=x x x x x x x x x x x x f x R ξ五、给定方程组b Ax =,其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100131w w w w A 。
清华大学高等数值分析 第一次实验作业
10
-10
0
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200
300
400
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600
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800
900
迭代次数
图9
m=100时,Lanczos法求解Ax=b的收敛曲线
高等数值分析实验作业一
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Lanzcos 算法的收敛曲线 (阶数 n=1002)
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||rk||/||b||
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迭代次数
图12 m=10时,Minres法求解Ax=b的收敛曲线
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2
Minres 算法的收敛曲线 (阶数 n=1002)
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||rk||/||b||
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600
700
迭代次数
图13
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m=50时,Minres法求解Ax=b的收敛曲线
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0
Lanzcos 算法的收敛曲线 (阶数 n=1002)
m=10 m=50 m=100 m=400 m=800
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数值分析第一次作业解答
数值分析第一次作业解答1:(a) —个问题的病态性如何,与求解它的算法有关系。
x ;(b) 无论问题是否病态,好的算法都会得到它好的近似解。
x ;(C)计算中使用更高的精度,可以改善问题的病态性。
X ;(d) 用一个稳定的算法计算一个良态问题,一定会得到他好的近似解。
V;(e) 浮点数在整个数轴上是均匀分布。
x ;(f) 浮点数的加法满足结合律。
x(g) 浮点数的加法满足交换律。
X ;(h) 浮点数构成有效集合。
V;(i) 用一个收敛的算法计算一个良态问题,一定得到它好的近似解2: 程序t=0.1;n=1:10;e=n/10-n*te = 1.0e-015 *[ 0 0 -0.0555 0 0-0.1110 -0.1110 0 0 0] 由舍人误差造成n=3,6,7 时的结果不为零。
4:两种等价的一元二次方程求解公式-b - Pb2 - 4acx =2a2cx 二-b b2 - 4ac对a=1, b=-100000000, c=1,应采用哪种算法?A二[1,-100000000,1];roots(A);可得:X1 = 100000000;x2=0a=1;b=-100000000;c=1;x1仁(-b-sqrt(b*b-4*a*c))/(2*a)x12=(-b+sqrt(b*b-4*a*c))/(2*a)x2仁2*c/(-b-sqrt(b*b-4*a*c))x22=2*c/(-b+sqrt(b*b-4*a*c))由第一种算法:X1 = 100000000;x2=7.45058 X10由第二种算法:X1 = 13417728;x2=-1.0 X108原因:太小的数作分母。
5:程序:fun cti on y=tt(x)s=0;t=x;n=1;while s+t~=s;s=s+t;t=-x A2/(( n+1)*( n+2))*tn=n+2;endntt(2n 1)eps)(a)t小于计算机的计算精度。
数值分析习题集及答案[1](精)
数值分析习题集(适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》)长沙理工大学第一章 绪 论1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差.2. 设x 的相对误差为2%,求nx 的相对误差.3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====⨯4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限:********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数.5. 计算球体积要使相对误差限为1%,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少?6. 设028,Y =按递推公式1n n Y Y -= ( n=1,2,…)计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差?7. 求方程25610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字≈27.982).8. 当N 充分大时,怎样求211Ndx x +∞+⎰?9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2?10. 设212S gt =假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,而相对误差却减小.11. 序列{}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗?12. 计算61)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好?3--13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式ln(ln(x x =-计算,求对数时误差有多大?14. 试用消元法解方程组{101012121010;2.x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠?15. 已知三角形面积1sin ,2s ab c =其中c 为弧度,02c π<<,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ∆∆∆证明面积的误差s ∆满足.s a b c s a b c ∆∆∆∆≤++第二章 插值法1. 根据(2.2)定义的范德蒙行列式,令2000011211121()(,,,,)11n n n n nn n n n x x x V x V x x x x x x x xx x ----==证明()n V x 是n 次多项式,它的根是01,,n x x -,且 101101()(,,,)()()n n n n V x V x x x x x x x ---=--.2. 当x = 1 , -1 , 2 时, f (x)= 0 , -3 , 4 ,求f (x )的二次插值多项式.3.4. 给出cos x ,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数字,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界.5. 设0k x x kh =+,k =0,1,2,3,求032max ()x x x l x ≤≤.6. 设jx 为互异节点(j =0,1,…,n ),求证:i) 0()(0,1,,);nk kj jj x l x x k n =≡=∑ii) 0()()1,2,,).nk jj j xx l x k n =-≡0(=∑7. 设[]2(),f x C a b ∈且()()0f a f b ==,求证21()()().8max max a x ba xb f x b a f x ≤≤≤≤≤-"8. 在44x -≤≤上给出()xf x e =的等距节点函数表,若用二次插值求xe 的近似值,要使截断误差不超过610-,问使用函数表的步长h 应取多少? 9. 若2nn y =,求4n y ∆及4n y δ. 10. 如果()f x 是m 次多项式,记()()()f x f x h f x ∆=+-,证明()f x 的k 阶差分()(0)k f x k m ∆≤≤是m k -次多项式,并且()0(m l f x l +∆=为正整数).11. 证明1()k k k k k k f g f g g f +∆=∆+∆. 12. 证明110010.n n kkn n k k k k f gf g f g g f --+==∆=--∆∑∑13. 证明1200.n j n j y y y -=∆=∆-∆∑14. 若1011()n n n n f x a a x a x a x --=++++有n 个不同实根12,,,n x x x ,证明{10,02;, 1.1()n k njk n a k n j jx f x -≤≤-=-=='∑15. 证明n 阶均差有下列性质: i)若()()F x cf x =,则[][]0101,,,,,,n n F x x x cf x x x =;ii) 若()()()F x f x g x =+,则[][][]010101,,,,,,,,,n n n F x x x f x x x g x x x =+.16. 74()31f x x x x =+++,求0172,2,,2f ⎡⎤⎣⎦及0182,2,,2f ⎡⎤⎣⎦.17. 证明两点三次埃尔米特插值余项是(4)22311()()()()/4!,(,)k k k k R x f x x x x x x ++=ξ--ξ∈并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.18. 求一个次数不高于4次的多项式()P x ,使它满足(0)(1)P P k =-+并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 19. 试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式()P x ,以便使它能够满足以下边界条件(0)(0)0P P ='=,(1)(1)1P P ='=,(2)1P =.20. 设[](),f x C a b ∈,把[],a b 分为n 等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数()n x ϕ并证明当n →∞时,()n x ϕ在[],a b 上一致收敛到()f x .21. 设2()1/(1)f x x =+,在55x -≤≤上取10n =,按等距节点求分段线性插值函数()h I x ,计算各节点间中点处的()h I x 与()f x 的值,并估计误差.22. 求2()f x x =在[],a b 上的分段线性插值函数()h I x ,并估计误差.23. 求4()f x x =在[],a b 上的分段埃尔米特插值,并估计误差.试求三次样条插值并满足条件i) (0.25) 1.0000,(0.53)0.6868;S S '='= ii)(0.25)(0.53)0.S S "="=25. 若[]2(),f x C a b ∈,()S x 是三次样条函数,证明i)[][][][]222()()()()2()()()bbbbaaaaf x dx S x dx f x S x dx S x f x S x dx"-"="-"+""-"⎰⎰⎰⎰;ii) 若()()(0,1,,)i i f x S x i n ==,式中i x 为插值节点,且01n a x x x b =<<<=,则[][][]()()()()()()()()()b aS x f x S x dx S b f b S b S a f a S a ""-"="'-'-"'-'⎰.26. 编出计算三次样条函数()S x 系数及其在插值节点中点的值的程序框图(()S x 可用(8.7)式的表达式).第三章 函数逼近与计算1. (a)利用区间变换推出区间为[],a b 的伯恩斯坦多项式.(b)对()sin f x x =在[]0,/2π上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误差做比较. 2. 求证:(a)当()m f x M ≤≤时,(,)n m B f x M ≤≤. (b)当()f x x =时,(,)n B f x x =. 3. 在次数不超过6的多项式中,求()sin 4f x x =在[]0,2π的最佳一致逼近多项式. 4. 假设()f x 在[],a b 上连续,求()f x 的零次最佳一致逼近多项式. 5. 选取常数a ,使301max x x ax≤≤-达到极小,又问这个解是否唯一?6. 求()sin f x x =在[]0,/2π上的最佳一次逼近多项式,并估计误差.7. 求()xf x e =在[]0,1上的最佳一次逼近多项式.8. 如何选取r ,使2()p x x r =+在[]1,1-上与零偏差最小?r 是否唯一?9. 设43()31f x x x =+-,在[]0,1上求三次最佳逼近多项式.10. 令[]()(21),0,1n n T x T x x =-∈,求***0123(),(),(),()T x T x T x T x .11. 试证{}*()nTx 是在[]0,1上带权ρ=的正交多项式.12. 在[]1,1-上利用插值极小化求11()f x tg x -=的三次近似最佳逼近多项式.13. 设()xf x e =在[]1,1-上的插值极小化近似最佳逼近多项式为()n L x ,若nf L ∞-有界,证明对任何1n ≥,存在常数n α、n β,使11()()()()(11).n n n n n T x f x L x T x x ++α≤-≤β-≤≤14. 设在[]1,1-上234511315165()128243843840x x x x x x ϕ=-----,试将()x ϕ降低到3次多项式并估计误差.15. 在[]1,1-上利用幂级数项数求()sin f x x =的3次逼近多项式,使误差不超过0.005.16. ()f x 是[],a a -上的连续奇(偶)函数,证明不管n 是奇数或偶数,()f x 的最佳逼近多项式*()n n F x H ∈也是奇(偶)函数.17. 求a 、b 使[]220sin ax b x dx π+-⎰为最小.并与1题及6题的一次逼近多项式误差作比较.18. ()f x 、[]1(),g x C a b ∈,定义 ()(,)()();()(,)()()()();b baaa f g f x g x dxb f g f x g x dx f a g a =''=''+⎰⎰问它们是否构成内积?19. 用许瓦兹不等式(4.5)估计6101x dx x +⎰的上界,并用积分中值定理估计同一积分的上下界,并比较其结果.20. 选择a ,使下列积分取得最小值:1122211(),x ax dx x ax dx----⎰⎰.21. 设空间{}{}10010121,,,span x span x x 1ϕ=ϕ=,分别在1ϕ、2ϕ上求出一个元素,使得其为[]20,1x C ∈的最佳平方逼近,并比较其结果.22. ()f x x =在[]1,1-上,求在{}2411,,span x x ϕ=上的最佳平方逼近.23.sin (1)arccos ()n n x u x +=是第二类切比雪夫多项式,证明它有递推关系()()()112n n n u x xu x u x +-=-.24. 将1()sin2f x x=在[]1,1-上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最佳平方逼近多项式并画出误差图形,再计算均方误差.25. 把()arccos f x x =在[]1,1-上展成切比雪夫级数.26.2y a bx =+.27.用最小二乘拟合求.29. 编出用正交多项式做最小二乘拟合的程序框图. 30. 编出改进FFT 算法的程序框图. 31. 现给出一张记录{}{}4,3,2,1,0,1,2,3k x =,试用改进FFT 算法求出序列{}k x 的离散频谱{}k C (0,1,,7).k =第四章 数值积分与数值微分1. 确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度:(1)101()()(0)()hhf x dx A f h A f A f h --≈-++⎰; (2)21012()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰;(3)[]1121()(1)2()3()/3f x dx f f x f x -≈-++⎰;(4)[][]20()(0)()/1(0)()hf x dx h f f h ah f f h ≈++'-'⎰.2. 分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分:(1)120,84xdx n x =+⎰; (2)1210(1),10x e dx n x --=⎰;(3)1,4n =⎰;(4),6n =.3. 直接验证柯特斯公式(2.4)具有5次代数精度.4. 用辛普森公式求积分10x e dx-⎰并计算误差. 5. 推导下列三种矩形求积公式:(1)2()()()()()2ba f f x dxb a f a b a 'η=-+-⎰; (2)2()()()()()2baf f x dx b a f b b a 'η=---⎰; (3)3()()()()()224baa b f f x dx b a f b a +"η=-+-⎰. 6. 证明梯形公式(2.9)和辛普森公式(2.11)当n →∞时收敛到积分()baf x dx⎰.7. 用复化梯形公式求积分()baf x dx⎰,问要将积分区间[],a b 分成多少等分,才能保证误差不超过ε(设不计舍入误差)?8.1x e dx-,要求误差不超过510-.9. 卫星轨道是一个椭圆,椭圆周长的计算公式是S a =θ,这里a 是椭圆的半长轴,c 是地球中心与轨道中心(椭圆中心)的距离,记h 为近地点距离,H 为远地点距离,6371R =公里为地球半径,则(2)/2,()/2a R H h c H h =++=-.我国第一颗人造卫星近地点距离439h =公里,远地点距离2384H =公里,试求卫星轨道的周长.10. 证明等式3524sin3!5!n n nnππππ=-+-试依据sin(/)(3,6,12)n n n π=的值,用外推算法求π的近似值.11. 用下列方法计算积分31dyy ⎰并比较结果.(1) 龙贝格方法;(2) 三点及五点高斯公式;(3) 将积分区间分为四等分,用复化两点高斯公式.12. 用三点公式和五点公式分别求21()(1)f x x =+在x =1.0,1.1和1.2处的导数值,并估计误()f x第五章 常微分方程数值解法1. 就初值问题0)0(,=+='y b ax y 分别导出尤拉方法和改进的尤拉方法的近似解的表达式,并与准确解bx ax y +=221相比较。
(完整版)数值分析第一次作业
问题1:20.给定数据如下表:试求三次样条插值S(x),并满足条件 (1)S`(0.25)=1.0000,S`(0.53)=0.6868; (2)S ’’(0.25)=S ’’(0.53)=0。
分析:本问题是已知五个点,由这五个点求一三次样条插值函数。
边界条件有两种,(1)是已知一阶倒数,(2)是已知自然边界条件。
对于第一种边界(已知边界的一阶倒数值),可写出下面的矩阵方程。
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡432104321034322110d M M M M M 200020000020022d d d d λμμλμλμλ其中μj =j1-j 1-j h h h +,λi=j1-j j h h h +,dj=6f[x j-1,x j ,x j+1], μn =1,λ0=1对于第一种边界条件d 0=0h 6(f[x 0,x 1]-f 0`),d n =1-n h 6(f`n-f `[x n-1,x n ]) 解:由matlab 计算得:由此得矩阵形式的线性方程组为:⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡ 2.1150-2.4286-3.2667-4.3143-5.5200-M M M M M 25714.00001204286.000004000.026000.0006429.023571.0001243210解得 M 0=-2.0286;M 1=-1.4627;M 2= -1.0333; M 3= -0.8058; M 4=-0.6546S(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈-+-+-∈-+-+-∈-+-+-∈-+-+-]53.0,45.0[x 5.40x 9.1087x 35.03956.8.450-x 1.3637-x .5301.67881- ]45.0,39.0[x 9.30x 11.188x 54.010.418793.0-x 2.2384-x .450(2.87040-]39.0,30.0[x 03.0x 6.9544x 9.30 6.107503.0-x 1.9136-x .3902.708779-]30.0,25.0[x 5.20x 10.9662x 0.3010.01695.20-x 4.8758-x .3006.76209-33333333),()()()(),()()()),()()()(),()()()(Matlab 程序代码如下:function tgsanci(n,s,t) %n代表元素数,s,t代表端点的一阶导。
数值分析习题(含标准答案)
]第一章 绪论姓名 学号 班级习题主要考察点:有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。
1若误差限为5105.0-⨯,那么近似数有几位有效数字(有效数字的计算) 解:2*103400.0-⨯=x ,325*10211021---⨯=⨯≤-x x 故具有3位有效数字。
2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少(有效数字的计算) 解:10314159.0⨯= π,欲使其近似值*π具有4位有效数字,必需!41*1021-⨯≤-ππ,3*310211021--⨯+≤≤⨯-πππ,即14209.314109.3*≤≤π即取( , )之间的任意数,都具有4位有效数字。
3已知2031.1=a ,978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值,问b a +,b a ⨯有几位有效数字(有效数字的计算)解:3*1021-⨯≤-aa ,2*1021-⨯≤-b b ,而1811.2=+b a ,1766.1=⨯b a 2123****102110211021)()(---⨯≤⨯+⨯≤-+-≤+-+b b a a b a b a故b a +至少具有2位有效数字。
2123*****10210065.01022031.1102978.0)()(---⨯≤=⨯+⨯≤-+-≤-b b a a a b b a ab 故b a ⨯至少具有2位有效数字。
4设0>x ,x 的相对误差为δ,求x ln 的误差和相对误差(误差的计算)~解:已知δ=-**xx x ,则误差为 δ=-=-***ln ln xx x x x则相对误差为******ln ln 1ln ln ln xxx x xxx x δ=-=-5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=,底面半径r 的值为cm r 5*=,已知cm h h 2.0||*≤-,cm r r 1.0||*≤-,求圆柱体体积h r v2π=的绝对误差限与相对误差限。
(误差限的计算)解:*2******2),(),(h h r r r h r r h v r h v -+-≤-ππ绝对误差限为πππ252.051.02052)5,20(),(2=⨯⋅+⨯⋅⋅⋅≤-v r h v相对误差限为%420120525)5,20()5,20(),(2==⋅⋅≤-ππv v r h v 6设x 的相对误差为%a ,求nx y =的相对误差。
数值分析习题参考答案1
部分习题参考答案习题一1. 分别有3位、5位与4位有效数字2. 分别有5位、3位、4位与3位有效数字3. 有3位有效数字; 绝对误差为 -0、0012;相对误差-0、0005570514. (1) (2)(3)6、提示:注意字长为8位得计算机上得机器数系得特点与计算机对数得接收与运算处理。
7、提示:通过证明进行说明,这里 8、,不稳定 9、最好10、采用j 从10000到2得顺序相加,或通过进行化简计算。
11、本题有递推公式得出得就就就是。
算法1、2、For k=n-1,n-2,…,1,0 做12、提示:仿照例1、9做之。
习题二 2、提示:3、取迭代函数讨论之。
4、由确定k,迭代次数59、5、迭代公式及区间为,数列得极限值。
6、x 3=0、567143 7、,用New to n迭代公式及定理6做,根1、030 8、两个根: ;9、取,当时,取区间,用定理6做,当时,由做转换讨论。
极限为 11提示:由可得,或由用定理2、4 12、()()()()()()()()()()()()()()()()()222******1*22*****1*2***2*3(),()2'()2!()'()'()2'()'()'()2()'()2k k kk k k k k k k k k k k k kk k k k k k f f y x x x f y f x f x y x y x f x f x f f y x x y x y x y x y x f x f x f x y x f f x f x y x f x y x f x x f f x ξξξξξξ+'''''-=-=+-+-'''∴-=--=------''⎛⎫'=--- ⎪⎝⎭-''''=-+()()()()()2*13*121*32()2'()()()()4'()2'()k k kk k k f x x f x x xf f f f x x f x f x ξξξξξ⎛⎫''⨯- ⎪⎝⎭''-''''⎛⎫''=+- ⎪⎝⎭13、提示:借助代入中约化。
《数值分析》练习题及答案解析
《数值分析》练习题及答案解析第一章 绪论主要考查点:有效数字,相对误差、绝对误差定义及关系;误差分类;误差控制的基本原则;。
1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有( )和( )位有效数字.A .4和3B .3和2C .3和4D .4和4 答案:A2. 设 2.3149541...x *=,取5位有效数字,则所得的近似值x=___________ .答案:2.31503.若近似数2*103400.0-⨯=x 的绝对误差限为5105.0-⨯,那么近似数有几位有效数字 解:2*103400.0-⨯=x ,325*10211021---⨯=⨯≤-x x 故具有3位有效数字。
4 . 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少?解:10314159.0⨯= π,欲使其近似值*π具有4位有效数字,必需!41*1021-⨯≤-ππ,3*310211021--⨯+≤≤⨯-πππ,即14209.314109.3*≤≤π即取( , )之间的任意数,都具有4位有效数字。
第二章 非线性方程求根 主要考查点:二分法N 步后根所在的区间,及给定精度下二分的次数计算;非线性方程一般迭代格式的构造,(局部)收敛性的判断,迭代次数计算; 牛顿迭代格式构造;求收敛阶;1.用二分法求方程012=--x x 的正根,要求误差小于0.05。
(二分法)解:1)(2--=x x x f ,01)0(<-=f ,01)2(>=f ,)(x f 在[0,2]连续,故[0,2]为函数的有根区间。
"(1)计算01)1(<-=f ,故有根区间为[1,2]。
(2)计算041123)23()23(2<-=--=f ,故有根区间为]2,23[。
(3)计算0165147)47()47(2>=--=f ,故有根区间为]47,23[。
(4)计算06411813)813()813(2>=--=f ,故有根区间为]813,23[。
数值分析(宋)第1次大作业Hilbert矩阵病态问题研究
Hilbert 矩阵病态问题研究 (数值分析第一次大作业) 姓名:** 学号:** 班级:**1)Hilbert 矩阵的阶数n 与ln(())n cond H 的关系猜想:ln(())n cond H 与n 呈线性关系,其中()n cond H 按2范数计算。
绘制ln(())n cond H n 曲线。
分别取11050500n ≤≤、、,得到ln(())n cond H n 曲线如图1-1、图1-2及图1-3所示。
程序详见附录1。
图1-1. 110n ≤≤由图1-1可知,110n ≤≤,ln(())n cond H 是n 的线性函数,猜想正确。
图1-2. 150n ≤≤由图1-2知,当15n >时,ln(())n cond H 与n 之间的线性关系已经不存在,而且ln(())n cond H 的值大致在(40,50)内间波动,猜想与实际不完全相符。
图1-3. 1500n ≤≤图1-3进一步说明了ln(())n cond H 与n 之间的变化关系:当n 小于某一值(设该值为k )时,ln(())n cond H 是n 的线性函数,而当n 大于k 时,随着n 的增大,ln(())n cond H 与n 间的线性关系不再成立,且其值在某一区间内波动。
为进一步确定k 的大小,绘制114n ≤≤时的曲线,如图1-4所示,可知k 的取值应为13。
图1-4. 114n ≤≤2)由n H 至ˆnH 的预处理 绘制ˆln(()/())n n cond H cond H n 曲线。
其中11ˆn nH D H D --=,D 为由n H 的对角元素开方构成的对角矩阵。
条件数按2范数计算。
程序详见附录2。
分别取11350500n ≤≤、、,得到如图2-1、图2-2和图2-3所示曲线。
由曲线图像可知:当Hilbert 矩阵的阶数12n ≤时,ˆln(()/())n ncond H cond H 随n 增大而逐渐减小,而n 继续增大时,ˆln(()/())n n cond H cond H 的取值将在区间(-7,4)内波动,且主要集中在(0,-3)区间内。
数值分析课后习题答案
x2 6.6667x2 8.205
再解
1
15 56
x31.785,7得 x35.769
1 25069x4 0.47847x4 1.4872
1 x5 5.3718 x5 5.3718
2-10.证明下列不等式:
(1)x-yx-z+z-y; (2)|x-y|x-y;
证明 (1)x-y=(x-z)+(z-y)x-z+z-y
b.用Gauss消元法
102 x y 1 x y 2
回代得解: y=1, x=0.
102 x Байду номын сангаасy 1
100y 100
再用列主元Gauss消元法
102 x y 1 x y 2
回代得解: y=1, x=1.
x y
y 1
2
2-8.用追赶法求解方程组:
4 1
x1 100
1 4 1
x2 0
3-8.判定求解下列方程组的SOR方法的收敛性.
2 1 0 0 x1 1
1
0 0
2 1 0
1 2 1
0 12
x2 x3 x4
0 00
解 直接可验证系数矩阵A是负定矩阵,所以-A是对称
1-3.为了使101/2的相对误差小于0.01%,试问应取几位 有效数字?
解 因为101/2=3.162…=0.3162…10,若具有n位有效 数字,则其绝对误差限为0.5 101-n ,于是有
r=0.5101-n/3.162…<0.5101-n/3<0.01% 因此只需n=5.即取101/2=3.1623
1 2
0
12 1,
1 2
1 2
0
12
数值分析习题与答案
第一章绪论习题一1.设x>0,x*的相对误差为δ,求f(x)=ln x的误差限。
解:求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限,由公式(1.2.4)有已知的相对误差满足,而,故即2.有5位有效数字,其误差限,相对误差限有2位有效数字,有5位有效数字,3.(1)(2)解:要使计算较准确,主要是避免两相近数相减,故应变换所给公式。
(1)(2)4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。
5.计算取,利用:式计算误差最小。
1. 给定的数值表解:计(误差限,因误差限,故2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表,若用二次插值法求的近似值,要使误差不超过,函数表的步长h应取多少?解:用误差估计式(5.8),令因得3. 若,求和.解:由均差与导数关系于是4. 若互异,求的值,这里解:,由均差对称性可知当有而当P=n+1时于是得5. 求证.解:解:只要按差分定义直接展开得6. 已知由式由此可得f(0.23) N3(0.23)=0.23203由余项表达式(5.15)可得由于7. 给定f(x)=cosx的函数表用Newton等距插值公式计算cos 0.048及cos 0.566的近似值并估计误差解:先构造差分表计算,用误差估计由公式(5.17)得其中计算时用Newton后插公式(5.18)误差估计由公式(5.19)得这里8.使,显然,再令由9. 令称为第二类的表达式,并证明是[]上带权解:因10. 用最小二乘法求一个形如的经验公式,使它拟合下列数据,并计算均方误差.解:本题给出拟合曲线,即,故法方程系数解得最小二乘拟合曲线为11.满足条件的插值多项式(2) ,).设为互异节点,=( ),=( ).(4) 设是区间[0,1]上权函数为ρ(x)=x的最高项系数为1的正交多项式序列,其中,则=( ),=( )答:(1)(2)(3)(4)习题1.解 6.13)对)求出,按式()求得2. 用由(6.8)式估计误差,因,故3. 确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精确度尽量高,并指明求积公式所具有的代数精确度.(1)(2)(3)解:本题直接利用求积公式精确度定义,则可突出求积公式的参数。
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数值计算方法第一次作业及参考答案1. 已测得函数()y f x =的三对数据:(0,1),(-1,5),(2,-1),(1)用Lagrange 插值求二次插值多项式。
(2)构造差商表。
(3)用Newton 插值求二次插值多项式。
解:(1)Lagrange 插值基函数为0(1)(2)1()(1)(2)(01)(02)2x x l x x x +-==-+-+-同理 1211()(2),()(1)36l x x x l x x x =-=+ 故 2202151()()(1)(2)(2)(1)23631i i i p x y l x x x x x x x x x =-==-+-+-++=-+∑ (2)令0120,1,2x x x ==-=,则一阶差商、二阶差商为0112155(1)[,]4,[,]20(1)12f x x f x x ---==-==-----0124(2)[,,]102f x x x ---==-实际演算中可列一张差商表:(3)用对角线上的数据写出插值多项式22()1(4)(0)1*(0)(1)31P x x x x x x =+--+-+=-+2. 在44x -≤≤上给出()xf x e =的等距节点函数表,若用二次插值求xe 的近似值,要使截断误差不超过610-,问使用函数表的步长h 应取多少解:()40000(),(),[4,4],,,, 1.x k x f x e f x e e x x h x x h x x th t ==≤∈--+=+≤考察点及(3)200044343()()[(()]()[()]3!(1)(1)(1)(1)3!3!.(4,4).6fR x x x h x x x x ht t tet h th t h e heξξ=----+-+≤+⋅⋅-=≤∈-则436((1)(1)100.006.t t th--+±<<Q在点得3.求2()f x x=在[a,b]上的分段线性插值函数()hI x,并估计误差。
解:22221111112211111()()k k k kh k kk k k k k kk k k kk k k kk kx x x x x xI x x x xx x x x x xx x x xx x x x xx x+++++++++++---=+=---⋅-⋅-=+--[]2112211()()()[()]11()()44h h k k k kk k k kR x f x I x x x x x x xx x x x x x h++++=-=-+-=--≤-=4.已知单调连续函数()y f x=的如下数据用插值法计算x约为多少时() 1.f x=(小数点后至少保留4位)解:作辅助函数()()1,g x f x=-则问题转化为x为多少时,()0.g x=此时可作新的关于()ig x的函数表。
由()f x单调连续知()g x也单调连续,因此可对()g x的数值进行反插。
的牛顿型插值多项式为1()0.110.097345( 2.23)0.451565( 2.23)( 1.10)0.255894( 2.23)( 1.10)(0.17)x g y y y yy y y-==-+++++-++-故 1(0) 1.321497.x g -==5. 设函数()f x 在区间[0,3]上具有四阶连续导数,试用埃尔米特插值法,求一个次数不高于3的多项式3()P x ,使其满足3(0)0P =,3(1)1P =,3'(1)3P =,3(2)1P = 。
并写出误差估计式。
解:由所给条件可用埃尔米特插值法确定多项式3()P x , 32357()722p x x x x =-+-2112(1)()(2);()(1)(2);();2x x x x x x x x x x αβα-=--=---=由题意可设23()()()()(1)(2)R x f x p x k x x x x =-=--为确定待定函数()k x ,作辅助函数: 23()()()()(1)(2)g t f t p t k t t t t =---- 则()g t 在[0,3]上存在四阶导数且在[0,3]上至少有5个零点,0,1,2(1t x t ==为二重零点),反复应用罗尔定理,知至少有一个零点(0,3)ξ∈使4()0g ξ=,从而得(4)1()()4!k x f ξ=。
故误差估计式为(4)21()()(1)(2)(0,3)4!R x f x x x ξξ=--∈6. 设函数()y f x =在节点0,1,2,3x =的函数值均为零,试分别求满足下列边界条件下的三次样条插值函数()S x :(1)''(0)1,(3)0f f == (2)''''(0)1,(3)0f f ==解:(1)取i x 处的一阶导数i m 作为参数,1,2i =。
由于11111,1,3([,][,])022i i i i i i i i i i i i i h g f x x f x x h h λμλλμ-+-===-==+=+以及由三转角方程 112,1,2i i i i i i m m m g i λμ-+++==得 012123112022112022m m m m m m ⎧++=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩ 由于031,0,m m ==从而 12124140m m m m +=-⎧⎨+=⎩解之可得124/15,1/15m m =-=故 2(1)(1511)/15,[0,1]()(1)(2)(73)/15,[1,2](3)(2)/15,[2,3]x x x x S x x x x x x x x --∈⎧⎪=---∈⎨⎪--∈⎩(2)取i x 处的二阶导数i M 作为参数,1,2i =。
由于111111,1,6[,,]022i i i i i i i i i i h d f x x x h h μλμ--+-===-===+以及由三弯矩方程0121112311202221,2112022i i i i i iM M M M M M d i M M M μλ-+⎧++=⎪⎪++==⇒⎨⎪++=⎪⎩ 由于031,0,M M ==代入方程可得 134/15,1/15,M M =-=故 (1)(1926)/90,[0,1]()(1)(2)(512)/90,[1,2](3)(2)(4)/90,[2,3]x x x x S x x x x x x x x x --∈⎧⎪=---∈⎨⎪---∈⎩7.编程实现题:略。
8、试求 ()sin ,[0,]2f x x x π=∈最佳一次一致逼近多项式。
解:因为''()sin f x x =-在[0,/2]π内不变号,故最佳一次一致逼近多项式为*1111()[(0)()]/2(/2)P x f f x a x x =++-式中 '11111(/2)(0)20.63661977()cos 0.88068924/20f f a a f x x x πππ-=====⇒=-从而 *1111()(sin )/2(/2)0.105256830.63661977P x x a x x x =+-=+9、给定43()1f x x x =+-,试利用最小零偏差定理,即切比雪夫多项式的最小零偏差性质,在[0,1]上求()f x 的三次最佳一致逼近多项式。
2342234(()21,()43,()881)T x x T x x x T x x x =-=-=-+解:令4311121()()()3() 1.222t t t t x f x f +++=-⇒==+- 设*3()P x 为()f x 在[0,1]上的三次最佳一致逼近多项式,由于1()2t f +的首项系数为412,故 *3441*43423*434233211116[()()]()2221111()()()1(881)2221681()(31)[8(21)8(21)1]168511293.[0,1]44128t t f P T t t t t P t t P x x x x x x x x x -++-=+++⇒=+---+⨯⇒=+-----+⨯=-+-∈10、设{}{}100101121,,,span x span x x ϕϕ==,分别在12ϕϕ、上求一函数,使其为2[0,1]x C ∈的最佳平方逼近,并比较其结果。
解:**01112000100121110011220100***010*1***101221221 (,)11,(,),211(,),(,),3211(,)1,(,),34111123()611161234a a xdx xdx x dx f x dx f x xdx a a a x xa a a fϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕδ=+========⋅==⋅=⎧+=⎧⎪=-⎪⎪⇒⇒⇒=-+⎨⎨⎪⎪=+=⎩⎪⎩=-⎰⎰⎰⎰⎰*1(1)设因1*(,)0.00556k k k a f ϕ=≈∑**100*1012011110021001010001100011110121021031101000**01**01(2)()11(,)(),(,)(,),201202111(,)(),(,),(,).203103104111201202103111202203104x b x b x x dx x x dx x dx f x dx f x dx b b b b ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ=+====⋅=======⎧+=⇒+=⎰⎰⎰⎰⎰设*0*1*10010121122*4222375.24253375.14825()375.24253375.14825.11(,)[375.24253375.14825]0.16406103104k k k b b x x x fb f x dx ϕδϕ=⎪⎧≈⎪⇒⎨⎨≈-⎩⎪⎪⎩⇒=-=-=-⨯-⨯≈∑⎰ 由结果知(1)比(2)好。
11、用最小二乘法求一个形如2y a bx =+的经验公式,使它与下列数据拟合,并计算均方误差。
44222010000442011001044411110044000042110()1,().(,)()15,(,)(,)()()5327,(,)()()7277699,(,)()271.4,(,)()i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i x x x x x x x x x x y x y y y x y x ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ==========================∑∑∑∑∑∑∑∑∑因有422201222369321.5,55327271.40.972604553277277699369321.50.05003510.97260450.0500351.(,)(,)0.016954.0.130207526.i i y a b a a b b y x y a y b y δϕϕδ==+==⎧⎧⇒⇒⎨⎨+==⎩⎩⇒=+=--==∑12、用格拉姆-施密特方法构造正交多项式求()sin f x x π=在[0,1]上的二次最佳平方逼近多项式。