数值分析第一次作业及参考答案

数值计算方法第一次作业及参考答案

1. 已测得函数()y f x =的三对数据：（0，1），（－1，5），（2，－1），

（1）用Lagrange 插值求二次插值多项式。（2）构造差商表。（3）用Newton 插值求二次插值多项式。

解：(1)Lagrange 插值基函数为

0(1)(2)1

()(1)(2)(01)(02)2

x x l x x x +-=

=-+-+-

同理 1211

()(2),()(1)36

l x x x l x x x =

-=+ 故 2

20

2151

()()(1)(2)(2)(1)

23631

i i i p x y l x x x x x x x x x =-==-+-+-++=-+∑ （2）令0120,1,2x x x ==-=，则一阶差商、二阶差商为

011215

5(1)

[,]4,

[,]20(1)

12

f x x f x x ---=

=-=

=-----

0124(2)

[,,]102

f x x x ---=

=-

实际演算中可列一张差商表：

（3）用对角线上的数据写出插值多项式

2

2()1(4)(0)1*(0)(1)31P x x x x x x =+--+-+=-+

2. 在44x -≤≤上给出()x

f x e =的等距节点函数表，若用二次插值求x

e 的近似值，要使

截断误差不超过6

10-，问使用函数表的步长h 应取多少

解：

()40000(),

(),[4,4],,,, 1.x k x f x e f x e e x x h x x h x x th t ==≤∈--+=+≤考察点及

(3)

2000

4

43

4

3

()

()[(()]()[()]

3!

(1)(1)

(1)(1)

3!3!

.(4,4).

6

f

R x x x h x x x x h

t t t

e

t h th t h e h

e

ξ

ξ

=----+

-+

≤+⋅⋅-=

≤∈-

则

4

36

((1)(1)

100.006.

t t t

h

-

-+±

<<

Q在点

得

3.求2

()

f x x

=在［a,b］上的分段线性插值函数()

h

I x，并估计误差。

解：

22

22

11

1

111

22

11

11

1

()

()

k k k k

h k k

k k k k k k

k k k k

k k k k

k k

x x x x x x

I x x x x

x x x x x x

x x x x

x x x x x

x x

++

+

+++

++

++

+

---

=+=

---

⋅-⋅

-=+-

-

[]

2

11

22

11

()()()[()]

11

()()

44

h h k k k k

k k k k

R x f x I x x x x x x x

x x x x x x h

++

++

=-=-+-

=--≤-=

4.已知单调连续函数()

y f x

=的如下数据

用插值法计算x约为多少时() 1.

f x=（小数点后至少保留4位）

解：作辅助函数()()1,

g x f x

=-则问题转化为x为多少时，()0.

g x=此时可作新

的关于()

i

g x的函数表。由()

f x单调连续知()

g x也单调连续，因此可对()

g x的数值进行反插。的牛顿型插值多项式为

1()0.110.097345( 2.23)0.451565( 2.23)( 1.10)

0.255894( 2.23)( 1.10)(0.17)

x g y y y y

y y y

-

==-+++++

-++-

故 1(0) 1.321497.x g -==

5. 设函数()f x 在区间[0,3]上具有四阶连续导数,试用埃尔米特插值法,求一个次数不高

于3的多项式3()P x ，使其满足3(0)0P =，3(1)1P =，3'(1)3P =,3(2)1P = 。并写出误差估计式。

解：由所给条件可用埃尔米特插值法确定多项式3()P x ， 32357()722

p x x x x =-+-

2112(1)()(2);()(1)(2);();2

x x x x x x x x x x αβα-=--=---=

由题意可设23()()()()(1)(2)R x f x p x k x x x x =-=--

为确定待定函数()k x ，作辅助函数： 23()()()()(1)(2)g t f t p t k t t t t =---- 则()g t 在[0,3]上存在四阶导数且在[0,3]上至少有5个零点,0,1,2(1t x t ==为二重零点），反复应用罗尔定理，知至少有一个零点(0,3)ξ∈使4()0g ξ=，从而得

(4)

1()()4!

k x f ξ=

。 故误差估计式为(4)

21()()(1)(2)(0,3)4!

R x f x x x ξξ=

--∈

6. 设函数()y f x =在节点0,1,2,3x =的函数值均为零，试分别求满足下列边界条件下的

三次样条插值函数()S x ：

（1）'

'

(0)1,(3)0f f == （2）''

''

(0)1,(3)0f f ==

解：（1）取i x 处的一阶导数i m 作为参数，1,2i =。由于

11111

,1,3([,][,])022

i i i i i i i i i i i i i h g f x x f x x h h λμλλμ-+-=

==-==+=+

以及由三转角方程 112,1,2i i i i i i m m m g i λμ-+++==