【试卷】2020-2021学年上学期高三年级理科数学培优试卷(八)及答案
2020-2021学年高考数学理科模拟诊断试题及答案解析
最新高考数学三诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设U=R，若集合A={0，1，2}，B={x|x2﹣2x﹣3＞0}，则A∩∁U B=（）A．{0，1} B．{0，2} C．{1，2} D．{0，1，2}2．已知复数z满足z（1+i）=i2016，则|z|=（）A．1 B．C．D．23．已知a=30.6，b=log2，c=cos300°，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a4．下列命题中真命题的个数为（）①两个变量x，y的相关系数r越大，则变量x，y的相关性越强；②从4个男生3个女生中选取3个人，则至少有一个女生的选取种数为31种．③命题p：∀x∈R，x2﹣2x﹣1＞0的否定为¬p：∃x0∈R，x02﹣2x0﹣1≤0．A．0 B．1 C．2 D．35．执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输入的P值为（）A．2 B．3 C．4 D．56．直线l：kx﹣y+1=0被圆x2+y2﹣4y=0截得的最短弦长为（）A． B．3 C． D．27．已知x、y满足，则z=|3x+y|的最大值为（）A．1 B．6 C．7 D．108．已知f（x）=Asin（2x+ϕ），（A＞0，|ϕ|＜），对任意x都有f（x）≤f（）=2，则g（x）=Acos（2x+ϕ）在区间[0，]上的最大值与最小值的乘积为（）A．B．C．﹣1 D．09．在区间[﹣1，1]内任取两个数x、y，记事件“x+y≤1”的概率为p1，事件“|x﹣y|≤1”的概率为p2，事件“y≤x2”的概率为p3，则（）A．p1＜p2＜p3B．p2＜p3＜p1C．p1＜p3＜p2D．p3＜p2＜p110．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积是（）A．2πB．4πC．πD．5π11．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0），焦距为2c，若l1：y=（x﹣c）与C的左右两支交于一点，l2：y=2（x+c）与C的左支交于两点，则双曲线的离心率的范围是（）A．（1，3）B．（2，3）C．（1，2）D．（，3）12．定义在R上的偶函数f（x）的导函数为f'（x），对定义域内的任意x，都有2f（x）+xf'（x）＜2成立，则使得x2f（x）﹣4f（2）＜x2﹣4成立的x的范围为（）A．{x|x≠±2} B．（﹣2，2）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13．已知=（3，﹣4），=（3，t），向量在方向上的投影为﹣3，则t=______．14．已知（x+）n的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则其展开式各项系数之和等于______．15．在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=3，直线AD1，DC1所成角的正弦值为______．16．△ABC中，∠A=π，AB=2，BC=，D在BC边上，AD=BD，则AD=______．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n+n﹣4（n∈N*）（1）求{a n}的通项公式；（2）设T n为数列{}的前n项，证明：1≤T n＜（n∈N*）．18．某汽车公司为调查4S店个数与该公司汽车销量的关系，对同等规模的A，B，C，D，E五座城市的4S店一季度汽车销量进行了统计，结果如下；城市 A B C D E4S店个数x 3 4 6 5 2销量y（台）28 29 37 31 25（1）根据该统计数据进行分析，求y关于x的线性回归方程；（2）现要从A，B，E三座城市的9家4S店中选取4家做深入调查，求A城市中被选中的4S店个数X的分布列和期望．（=，=﹣）．19．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB=AC=AA1=，BC=4，A1在底面ABC的射影是线段BC 的中点O．（Ⅰ）证明：在侧棱AA1上存在一点E，使得OE⊥平面BB1C1C，并求出AE的长；（Ⅱ）求二面角A1﹣B1C﹣C1的余弦值．20．如图，已知椭圆C1：+y2=1，曲线C2：y=x2﹣1与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于A，B两点，直线MA，MB分别与C1相交于D，E两点，直线MA，MB的斜率分别为k1，k2（1）求k1k2的值；（2）记△MAB，△MDE的面积分别为S1，S2，若=λ，求λ的取值范围．21．已知f（x）=（2﹣a）x﹣2（1+lnx）+a，g（x）=．（1）若a=1，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（2）若对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e2]上方程f（x）=g（x0）总存在两个不等的实数根，求实数a的取值范围．[选修4-1：几何选讲]22．（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D．（Ⅰ）证明：DB=DC；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=4cosθ．（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（2，1），求|PA|+|PB|．[选修4-5：不等式选讲]24．已知正实数a，b，x，y满足a+b=1（1）求a2+2b2的最小值；（2）求证：（ax+by）（ay+bx）≥xy．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设U=R，若集合A={0，1，2}，B={x|x2﹣2x﹣3＞0}，则A∩∁U B=（）A．{0，1} B．{0，2} C．{1，2} D．{0，1，2}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：B={x|x2﹣2x﹣3＞0}={x|x＞3或x＜﹣1}，则∁U B={x|﹣1≤x≤3}，则A∩∁U B={0，1，2}，故选：D2．已知复数z满足z（1+i）=i2016，则|z|=（）A．1 B．C．D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由z（1+i）=i2016，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，再由复数求模公式计算即可得答案．【解答】解：由z（1+i）=i2016，得==．则|z|=．故选：B．3．已知a=30.6，b=log2，c=cos300°，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a【考点】对数值大小的比较．【分析】分别估算每个数的大小，然后比较．【解答】解：a=30.6＞1，b=log2＜0，c=cos300°=cos60°=0.5＞0，故b＜c＜a；故选B．4．下列命题中真命题的个数为（）①两个变量x，y的相关系数r越大，则变量x，y的相关性越强；②从4个男生3个女生中选取3个人，则至少有一个女生的选取种数为31种．③命题p：∀x∈R，x2﹣2x﹣1＞0的否定为¬p：∃x0∈R，x02﹣2x0﹣1≤0．A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据相关性系数的性质进行判断，②利用排列组合的公式进行求解即可③根据全称命题的否定是特称命题进行判断．【解答】解：①两个变量x，y的相关系数|r|越大，则变量x，y的相关性越强，故①错误，②从4个男生3个女生中选取3个人，则至少有一个女生的选取种数﹣=35﹣4=31种，故②正确，③命题p：∀x∈R，x2﹣2x﹣1＞0的否定为¬p：∃x0∈R，x02﹣2x0﹣1≤0，正确，故③正确，故正确的是②③，故选：C．5．执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输入的P值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】循环结构．【分析】根据输入A的值，然后根据S进行判定是否满足条件S≤2，若满足条件执行循环体，依此类推，一旦不满足条件S≤2，退出循环体，求出此时的P值即可．【解答】解：S=1，满足条件S≤2，则P=2，S=1+=满足条件S≤2，则P=3，S=1++=满足条件S≤2，则P=4，S=1+++=不满足条件S≤2，退出循环体，此时P=4故选：C6．直线l：kx﹣y+1=0被圆x2+y2﹣4y=0截得的最短弦长为（）A． B．3 C． D．2【考点】直线与圆的位置关系．【分析】利用配方法将圆的方程化为标准式，求出圆心坐标和半径，判断出直线l过定点且在圆内，可得当l⊥PC时直线l被圆截得的弦最短，由弦长公式求出即可．【解答】解：由x2+y2﹣4y=0得x2+（y﹣2）2=4，∴圆心坐标是C（0，2），半径是2，∵直线l：kx﹣y+1=0过定点P（0，1），且在圆内，∴当l⊥PC时，直线l被圆x2+y2﹣4y=0截得的最短弦长为2=2，故选：A．7．已知x、y满足，则z=|3x+y|的最大值为（）A．1 B．6 C．7 D．10【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，确定目标函数经过的点，利用几何意义求出目标函数的最大值，【解答】解：作出不等式组表示的可行域如图：目标函数z=|3x+y|经过可行域内的点A时，z最大，可得A（3，1）时，取得最大值|3×3+1|=10．故选：D．8．已知f（x）=Asin（2x+ϕ），（A＞0，|ϕ|＜），对任意x都有f（x）≤f（）=2，则g（x）=Acos （2x+ϕ）在区间[0，]上的最大值与最小值的乘积为（）A．B．C．﹣1 D．0【考点】三角函数的最值．【分析】求出f（x）的表达式，从而求出g（x）的表达式，根据三角函数的性质求出g（x）的最大值和最小值即可，从而求出其乘积即可．【解答】解：f（x）=Asin（2x+ϕ），（A＞0，|ϕ|＜），若对任意x都有f（x）≤f（）=2，则A=2，f（）=2sin（2×+φ）=2，∴φ=，∴g（x）=2cos（2x+），x∈[0，]，2x+∈[，]，∴2x+=时，g（x）最大，最大值是，2x+=π时，g（x）最小，最小值是﹣2，故g（x）max•g（x）min=﹣2，故选：A．9．在区间[﹣1，1]内任取两个数x、y，记事件“x+y≤1”的概率为p1，事件“|x﹣y|≤1”的概率为p2，事件“y≤x2”的概率为p3，则（）A．p1＜p2＜p3B．p2＜p3＜p1C．p1＜p3＜p2D．p3＜p2＜p1【考点】几何概型．【分析】作出每个事件对应的平面区域，求出对应的面积，利用几何概型的概率公式进行计算比较即可．【解答】解：分别作出事件对应的图象如图（阴影部分）则阴影部分的面积S1=4﹣=，S2=4﹣×2=3，S3==（）=，∴S3＜S2＜S1，即P3＜P2＜P1，故选：D．10．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积是（）A．2πB．4πC．πD．5π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱垂直于底面，结合直观图判断外接球球心的位置，求出半径，代入球的表面积公式计算即可．【解答】解：由三视图知：几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱垂直于底面，高为1，底面为等腰直角三角形，斜边长为2，如图：∴△ABC的外接圆的圆心为斜边AC的中点D，OD⊥AC，且OD⊂平面SAC，∵SA=1，AC=2，∴SC的中点O为外接球的球心，∴半径R=，∴外接球的表面积S=4π×=5π．故选：D．11．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0），焦距为2c，若l1：y=（x﹣c）与C的左右两支交于一点，l2：y=2（x+c）与C的左支交于两点，则双曲线的离心率的范围是（）A．（1，3）B．（2，3）C．（1，2）D．（，3）【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的性质结合直线和双曲线的位置关系，得到直线斜率和渐近线斜率之间的关系即可得到结论．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x，焦点坐标F1（﹣c，0），F2（c，0），则直线l1：y=（x﹣c）过双曲线的右焦点F2（c，0），l2：y=2（x+c）过双曲线的左焦点F1（﹣c，0），若l1：y=（x﹣c）与C的左右两支交于一点，则直线的斜率满足．l2：y=2（x+c）与C的左支交于两点，则直线的斜率2满足＜2，即＜＜2，则离心率e===，∵＜＜2，∴3＜（）2＜8，4＜1+（）2＜9，则2＜＜3，即2＜e＜3，故离心率的取值范围是（2，3），故选：B12．定义在R上的偶函数f（x）的导函数为f'（x），对定义域内的任意x，都有2f（x）+xf'（x）＜2成立，则使得x2f（x）﹣4f（2）＜x2﹣4成立的x的范围为（）A．{x|x≠±2} B．（﹣2，2）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据已知构造合适的函数，对函数求导，根据函数的单调性，求出函数的取值范围，并根据偶函数的性质的对称性，进行求解即可．【解答】解：当x＞0时，由2f（x）+xf'（x）＜2得2f（x）+xf′（x）﹣2＜0可知：两边同乘以x得：2xf（x）﹣x2f′（x）﹣2x＜0设g（x）=x2f（x）﹣x2则g′（x）=2xf（x）+x2f′（x）﹣2x＜0，恒成立：∴g（x）在（0，+∞）单调递减，由x2f（x）﹣4f（2）＜x2﹣4∴x2f（x）﹣x2＜4f（2）﹣4即g（x）＜g（2），∵f（x）是偶函数，∴g（x）=x2f（x）﹣x2也是偶函数，则不等式g（x）＜g（2）等价为g（|x|）＜g（2），即|x|＞2；则x＞2或x＜﹣2，即实数x的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），故选：C二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13．已知=（3，﹣4），=（3，t），向量在方向上的投影为﹣3，则t= 6 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据投影的定义即可求出．【解答】解：∵=（3，﹣4），=（3，t），∴•=9﹣4t，||=5，∵向量在方向上的投影为﹣3，∴==﹣3，解得t=6，故答案为：614．已知（x+）n的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则其展开式各项系数之和等于729 ．【考点】二项式系数的性质．【分析】由（x+）n的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，可得n=6．令x=1，即可得出．【解答】解：∵（x+）n的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，∴n=6．令x=1，可得：则其展开式各项系数之和=36=729．故答案为：729．15．在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=3，直线AD1，DC1所成角的正弦值为．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】取四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1为直棱柱，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AD1，DC1所成角的正弦值．【解答】解：取四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1为直棱柱，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，建立空间直角坐标系，∵AB=BC=1，AA1=3，∴A（1，0，0），D1（0，0，3），D（0，0，0），C1（0，1，3），=（﹣1，0，3），=（0，1，3），设直线AD1，DC1所成角为θ，cosθ===，∴sinθ==．∴直线AD1，DC1所成角的正弦值为．故答案为：．16．△ABC中，∠A=π，AB=2，BC=，D在BC边上，AD=BD，则AD= ．【考点】三角形中的几何计算．【分析】在△ABC中，根据条件的正弦定理求出角B、C，由边角关系和内角和定理求出∠BAD、∠ADB，在△ABD中，由正弦定理和特殊角的三角函数值求出AD．【解答】解：如图所示：∵在△ABC中，∠A=π，AB=2，BC=，∴由正弦定理得，则sin∠C===，∵∠A是钝角，且0＜∠C＜π，∴∠C=，则∠B=π﹣∠A﹣∠C==，∵AD=BD，∴∠BAD=∠B=，则∠ADB=π﹣∠B﹣∠BAD=，在△ABD中，由正弦定理得，∴AD====，故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n+n﹣4（n∈N*）（1）求{a n}的通项公式；（2）设T n为数列{}的前n项，证明：1≤T n＜（n∈N*）．【考点】数列与不等式的综合；数列递推式．【分析】（1）当n≥2时利用a n=S n﹣S n﹣1计算可知a n=2a n﹣1﹣1，进而可构造首项、公比均为2的等比数列{a n﹣1}，计算即得结论；（2）通过（1）放缩可知＜，进而利用等比数列的求和公式计算即得结论．【解答】（1）解：∵S n=2a n+n﹣4，∴当n=1时，a1=3，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（2a n+n﹣4）﹣（2a n﹣1+n﹣5），即a n=2a n﹣1﹣1，变形，得：a n﹣1=2（a n﹣1﹣1），∴数列{a n﹣1}是首项、公比均为2的等比数列，∴a n﹣1=2n，即a n=1+2n；（2）证明：由（1）可知：=＜，当n≥2时，T n＜1++…+=﹣＜，又∵T n≥T1=1，∴1≤T n＜（n∈N*）．18．某汽车公司为调查4S店个数与该公司汽车销量的关系，对同等规模的A，B，C，D，E五座城市的4S店一季度汽车销量进行了统计，结果如下；城市 A B C D E4S店个数x 3 4 6 5 2销量y（台）28 29 37 31 25（1）根据该统计数据进行分析，求y关于x的线性回归方程；（2）现要从A，B，E三座城市的9家4S店中选取4家做深入调查，求A城市中被选中的4S店个数X的分布列和期望．（=，=﹣）．【考点】线性回归方程．【分析】（I）根据回归系数公式计算回归系数，得出回归方程；（II）X的取值为0，1，2，3，分别计算各取值的概率，得出X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）由==4，==30，==2.7，=﹣=30﹣2.7×4=19.2，y关于x的回归方程为=2.7x+19.2，（2）X的可能取值0，1，2，3，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，A城市中被选中的4S店个数X的分布列：X 0 1 2 3PA城市中被选中的4S店个数X的期望E（X），E（X）=0×+1×+2×+3×=，E（X）=．19．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB=AC=AA1=，BC=4，A1在底面ABC的射影是线段BC的中点O．（Ⅰ）证明：在侧棱AA1上存在一点E，使得OE⊥平面BB1C1C，并求出AE的长；（Ⅱ）求二面角A1﹣B1C﹣C1的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法．【分析】（Ⅰ）连接AO，在△AOA1中，作OE⊥AA1于点E，因为AA1∥BB1，所以，OE⊥BB1，证明BC⊥OE，可得结论，AE=；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面B1CC1的一个法向量、平面A1B1C的法向量，利用向量的夹角公式求二面角A1﹣B1C﹣C1的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：连接AO，在△AOA1中，作OE⊥AA1于点E，因为AA1∥BB1，所以，OE ⊥BB1因为A1O⊥平面ABC，所以BC⊥平面AA1O，所以BC⊥OE，所以OE⊥平面BB1CC又AO==1，AA1=得AE==．（Ⅱ）解：如图，分别以OA，OB，OA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），B（0，2，0），C（0，﹣2，0），A1（0，0，2）由=，得点E的坐标是（，0，），由（Ⅰ）知平面B1CC1的一个法向量为=（，0，）设平面A1B1C的法向量是=（x，y，z），由得可取=（2，1，﹣1），所以cos＜，＞==．20．如图，已知椭圆C1：+y2=1，曲线C2：y=x2﹣1与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于A，B两点，直线MA，MB分别与C1相交于D，E两点，直线MA，MB的斜率分别为k1，k2（1）求k1k2的值；（2）记△MAB，△MDE的面积分别为S1，S2，若=λ，求λ的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）设过原点的直线l：y=tx，联立，得x2﹣ty﹣1=0，从而求出=0，由此能求出k1k2．（2）设直线MA：y=k1x﹣1，直线MB：y=﹣x﹣1，联立，得A（），联立，得D（，），同理，得B（﹣，﹣1），E（，），由此能求出λ的取值范围．【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），E（x3，y3），E（x4，y4），过原点的直线l：y=tx，联立，得x2﹣ty﹣1=0，=（x1，y1+1），=（x2，y2+1），=x1x2+（y1+1）（y2+1）=（t2+1）x1x2+t（x1+x2）+1=0，∴⊥，∴k1k2=﹣1．（2）设直线MA：y=k1x﹣1，直线MB：y=﹣x﹣1，联立，得A（），联立，得D（，），同理，得B（﹣，﹣1），E（，），=（），=（﹣，），=（，），=（，），∴S1=||，S2=|×+×|=，∴λ==（4k12++17）≥．当且仅当，即k1=±1时，取等号，∴λ的取值范围[，+∞）．21．已知f（x）=（2﹣a）x﹣2（1+lnx）+a，g（x）=．（1）若a=1，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（2）若对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e2]上方程f（x）=g（x0）总存在两个不等的实数根，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1），求出切线方程即可；（2）求出g（x）的范围，得到f（x）=g（x0）⇔（2﹣a）（x﹣1）﹣g（x0）=2lnx，记h（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣g（x0），根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：（1）a=1时，f（x）=x﹣2（1+lnx）+1，f′（x）=1﹣=，f（1）=0，f′（1）=﹣1，故切线方程是：y=﹣x+1；（2）g′（x）=（1﹣x）e1﹣x，g（x）在（0，1）递增，在（1，e）递减，而g（0）=0，g（1）=1，g（e）=e2﹣e＞0，∴g（x）∈（0，1]，f（x）=g（x0）⇔（2﹣a）（x﹣1）﹣g（x0）=2lnx，记h（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣g（x0），h（1）=﹣g（x0）＜0，h′（x）=（2﹣a）﹣，①a≥2﹣时，h（x）在（0，e2]递减，不可能有两个零点，②a＜2﹣时，h（x）在（0，）递减，在（，e2]递增，h（）＞a﹣2﹣（a﹣3）﹣g（x0）≥0，h（x）有2个零点，必有h（e2）≥0⇒a≤2﹣，综上：a≤2﹣．[选修4-1：几何选讲]22．（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D．（Ⅰ）证明：DB=DC；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（I）连接DE交BC于点G，由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，由已知角平分线可得∠ABE=∠CBE，于是得到∠CBE=∠BCE，BE=CE．由已知DB⊥BE，可知DE为⊙O的直径，Rt△DBE≌Rt △DCE，利用三角形全等的性质即可得到DC=DB．（II）由（I）可知：DG是BC的垂直平分线，即可得到BG=．设DE的中点为O，连接BO，可得∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．得到CF⊥BF．进而得到Rt△BCF的外接圆的半径=．【解答】（I）证明：连接DE交BC于点G．由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，而∠ABE=∠CBE，∴∠CBE=∠BCE，BE=CE．又∵DB⊥BE，∴DE为⊙O的直径，∠DCE=90°．∴△DBE≌△DCE，∴DC=DB．（II）由（I）可知：∠CDE=∠BDE，DB=DC．故DG是BC的垂直平分线，∴BG=．设DE的中点为O，连接BO，则∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．∴CF⊥BF．∴Rt△BCF的外接圆的半径=．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=4cosθ．（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（2，1），求|PA|+|PB|．【考点】直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（I）将ρ=4cosθ两边同乘ρ，根据直角坐标与极坐标的对应关系得出直角坐标方程；（II）将直线的参数方程代入圆的普通方程，根据参数的几何意义与根与系数的关系得出|PA|+|PB|．【解答】解：（I）∵ρ=4cosθ，∴ρ2=4ρcosθ，∴圆C的直角坐标方程为x2+y2=4x，即（x﹣2）2+y2=4．（II）设点A、B对应的参数分别为t1，t2，将代入（x﹣2）2+y2=4整理得，∴，即t1，t2异号．∴|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|==．[选修4-5：不等式选讲]24．已知正实数a，b，x，y满足a+b=1（1）求a2+2b2的最小值；（2）求证：（ax+by）（ay+bx）≥xy．【考点】不等式的证明．【分析】（1）方法一、求得0＜a＜1，化原式=3（a﹣）2+，由二次函数的最值求法，可得最小值；方法二、运用柯西不等式可得[a2+（b）2][12+（）2]≥（a•1+b•）2，化简即可得到最小值；（2）将不等式的左边展开，合并，运用重要不等式x2+y2≥2xy，整理即可得证．【解答】解：（1）解法一、由a+b=1，可得b=1﹣a，且a＞0，b＞0，可得0＜a＜1，则a2+2b2=a2+2（1﹣a）2=3a2﹣4a+2=3（a﹣）2+，当a=∈（0，1）时，取得最小值；解法二、由柯西不等式可得（a2+2b2）（1+）=[a2+（b）2][12+（）2]≥（a•1+b•）2=（a+b）2=1，即有a2+2b2≥，当且仅当a=2b=，取得最小值；（2）证明：由正实数a，b，x，y满足a+b=1，可得（ax+by）（ay+bx）=abx2+aby2+a2xy+b2xy=ab（x2+y2）+（a2+b2）xy≥2abxy+（a2+b2）xy=xy（a2+b2+2ab）=xy（a+b）2=xy，则（ax+by）（ay+bx）≥xy．2016年10月5日。
2020-2021学年山西省临汾市某校高三(上)8月月考数学(理)试卷答案及解析
2020-2021学年山西省临汾市某校高三（上）8月月考数学（理）试卷一、选择题1. 已知集合A ={x|x 2−4x −5<0}，B ={x||x|>√2}，则A ∩B =( ) A.(5,+∞) B.(1,√2) C.(−√2,5) D.(√2,5)2. 如图，在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是OA →，OB →，则复数z 1+z1z 2的虚部为( )A.1B.3C.−1D.23. 已知cos (θ−3π2)=513，且cos θ>sin θ，则sin (2θ−2π)=( )A.−60169B.60169C.−120169D.1201694. “净拣棉花弹细，相合共雇王孀，九斤十二是张昌，李德五斤四两．纺讫织成布匹，一百八尺曾量．两家分布要明彰，莫使些儿偏向．”这首古算诗题出自《算法统宗》中的《棉布均摊》，它的意思如下：张昌拣棉花九斤十二两，李德拣棉花五斤四两．共同雇王孀来帮忙细弹、纺线、织布．共织成布匹一百零八尺长，则（注：古代一斤是十六两）( ) A.按张昌37.8尺，李德70.2尺分配就合理了 B.按张昌70.2尺，李德37.8尺分配就合理了 C.按张昌42.5尺，李德65.5尺分配就合理了 D.按张昌65.5尺，李德42.5尺分配就合理了5. 已知直线l ⊂平面α，则“直线m ⊥平面α”是“m ⊥l ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6. 若实数x ，y 满足不等式组 {x +y ≤1,x −2y ≥−2,x +2y ≥−2, 则目标函数z =3x +y 的最大值为( )A.3B.6C.9D.127. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若B ，A ，C 成等差数列，且b =a cos C +ac cos A ，则△ABC 外接圆的面积为( )A.π3 B.2π3C.πD.4π38. 若函数f (x )=e |2x−m| ，且f (2x −1)=f (1−2x )，则f (ln 3)+f (−ln 3)=( ) A.0 B.9e +9eC.12D.189. 执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为( )A.−12B.0C.−1D.110. 已知函数f (x )=sin ωx −√3cos ωx (ω>0)的图象与x 轴的两个相邻交点的距离为π，把f (x )图象上每一点的横坐标缩小到原来的一半，再沿x 轴向左平移π3个单位长度，然后纵坐标扩大到原来的2倍得到函数g (x )的图象，若g (x )在[−a,a ]上单调递增，则a 的最大值为( )A.π12B.π6C.π4D.5π1211. 若xe x =3，ln y −3e y=1，则xy =( )A.3B.3eC.3eD.e12. 已知某正三棱锥侧棱与底面所成角的余弦值为2√1919，球O 1为该三棱锥的内切球．若球O 2与球O 1相切，且与该三棱锥的三个侧面也相切，则球O 2与球O 1的表面积之比为( ) A.49 B.19C.925D.125二、填空题已知P (2,6)为抛物线C ：y 2=2px (p >0)上一点，抛物线C 的焦点为F ，则|PF|=________．已知平面向量a →，b →满足|a →|=|b →|=|a →+b →|，则a →与a →−b →夹角的大小为________.某学校组织劳动实习，其中两名男生和两名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主人与四名同学站一排合影留念．已知农场主人站在中间，两名男生不相邻，则不同的站法共有________种．已知F 1为双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左焦点，P 是双曲线右支上一点，线段PF 1与以该双曲线实轴为直径的圆相交于A ，B 两点，且F 1A →=AB →=BP →，则该双曲线的离心率为________. 三、解答题已知数列{a n }满足a 1=12，且对于任意m ，t ∈N ∗，都有a m+t =a m ⋅a t . (1)求{a n }的通项公式； (2)设b n =(−1)n−1a n a n+1，求数列{b n }的前n 项和T n .如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，△ABC 是以BC 为斜边的等腰直角三角形，O ，M 分别为BC ，AA 1的中点．(1)证明：OM//平面CB 1A 1；(2)若四边形BB 1C 1C 为正方形，求平面MOB 1与平面CB 1A 1所成二面角的正弦值．已知甲盒中有三个白球和三个红球，乙盒中仅装有三个白球，球除颜色外完全相同，现从甲盒中任取三个球放入乙盒中．(1)求乙盒中红球个数X 的分布列与期望；(2)求从乙盒中任取一球是红球的概率．已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右顶点为A ，斜率为k (k ≠0)的直线l 交E 于A ，B 两点．当k =√32时，|AB|=√7，且△OAB 的面积为ab2．（O 为坐标原点） (1)求椭圆E 的方程；(2)设F 为E 的右焦点，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若BF ⊥HF ，且|MA|=|MO|，求k 的值．已知函数f (x )=(x 2+4x +3)ln (x +1)−52x 2+(a −3)x .(1)当a =−8时，求f (x )的单调性；(2)如果对任意x ≥0，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =sin t +cos t +2,y =sin t −cos t （t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为θ=α(0≤α<π,ρ∈R ).(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)已知曲线C与直线l交于A，B两点，若|OA|+|OB|=2√3，求直线l的直角坐标方程．已知函数f(x)=2|x−1|.(1)求不等式f(x)<3x−4的解集；(2)已知函数g(x)=f(x)+|2x|的最小值为m，且a，b，c都是正数，a+2b+c=m，证明：1a+b +1b+c≥2.参考答案与试题解析2020-2021学年山西省临汾市某校高三（上）8月月考数学（理）试卷一、选择题1.【答案】D【考点】绝对值不等式一元二次不等式的解法交集及其运算【解析】本题考查集合的交集运算，考查运算求解能力．【解答】解：因为A=(−1,5)，B=(−∞,−√2)∪(√2,+∞)，所以A∩B=(√2,5).故选D．2.【答案】B【考点】复数代数形式的混合运算复数代数形式的乘除运算复数的代数表示法及其几何意义【解析】本题考查复数的四则运算，考查运算求解能力．【解答】解：由图知，z1=1+2i，z2=2−i，则z1+z1z2=1+2i+1+2i2−i=1+3i，所以复数z1+z1z2的虚部为3．故选B．3.【答案】C【考点】二倍角的正弦公式诱导公式同角三角函数间的基本关系【解析】本题考查三角恒等变换，考查运算求解能力．【解答】解：∵cos(θ−3π2)=−sinθ=513，∴sinθ=−513，∴cosθ=±1213．又∵cosθ>sinθ，∴cosθ=1213，∴sin(2θ−2π)=sin2θ=2sinθcosθ=−120169．故选C．4.【答案】B【考点】生活中概率应用【解析】【解答】解：九斤十二两等于9.75斤，五斤四两等于5.25斤，所以按张昌9.759.75+5.25×108=70.2尺，李德 5.259.75+5.25×108=37.8尺分配就合理了.故选B．5.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断空间中直线与平面之间的位置关系【解析】本题考查线面垂直的判定、性质定理以及充分必要条件，考查逻辑推理能力．【解答】解：∵直线m⊥平面α，∴m垂直于平面α内所有直线．又∵直线l⊂平面α，∴直线m⊥直线l．反之不成立．故选A．6.【答案】C【考点】求线性目标函数的最值【解析】本题考查线性规划，考查运算求解能力．【解答】解：如图作出可行域，联立{x+y=1,x+2y=−2,解得{x=4,y=−3.当直线3x+y=0平移到过点(4,−3)时，z取得最大值9 .故选C .7.【答案】A【考点】等差中项两角和与差的正弦公式解三角形正弦定理【解析】本题考查正弦定理以及三角恒等变换，考查运算求解能力．【解答】解：因为B，A，C成等差数列，所以2A=B+C，则A=π3．已知b=a cos C+ac cos A，由正弦定理可知，sin B=sin A cos C+a sin C cos A，由sin B=sin[π−(A+C)]=sin(A+C)=sin A cos C+cos A sin C，易得a=1．所以△ABC外接圆的半径为a2sin A=√33，从而△ABC外接圆的面积为(√33)2π=π3.故选A .8.【答案】D【考点】函数的求值【解析】本题考查函数图象的对称性，考查数形结合的数学思想．【解答】解：由f(2x−1)=f(1−2x)，可知函数f(x)=e|2x−m|的图象关于y轴对称，则m2=0，得m=0，故f(x)=e|2x|，f(ln3)+f(−ln3)=2f(ln3)=2e2ln3=18．故选D.9.【答案】B【考点】程序框图【解析】本题考查程序框图，考查逻辑推理能力．【解答】解：由程序框图可知，第一次循环，i=1，a1=−12，S=−12；第二次循环，i=2，a2=−12，S=−1；第三次循环，i=3，a3=1，S=0；⋯⋯；第八次循环，i=8，a8=−12，S=−1；第九次循环，i=9，a9=1，S=0.由于i=9>8，停止循环，所以输出S=0．故选B．10.【答案】A【考点】两角和与差的正弦公式函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换正弦函数的单调性正弦函数的图象【解析】本题考查三角函数的图象及其性质，考查数形结合的数学思想，逻辑推理能力．【解答】解：由题意，知f(x)=sinωx−√3cosωx=2sin(ωx−π3)．因为函数f(x)的图象与x轴的两个相邻交点的距离为π，所以函数f(x)的最小正周期T=2πω=2π，所以ω=1，所以f(x)=2sin(x−π3)．由题意，可得g(x)=4sin[2(x+π3)−π3]=4sin(2x+π3)，所以由−π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ（k∈Z），得−5π12+kπ≤x≤π12+kπ（k∈Z），因此[−a,a]⊂[−5π12,π12]，则−a<a，−a≥−5π12，a≤π12，即0<a≤π12，从而a的最大值为π12．故选A．11.【答案】B【考点】对数及其运算指数函数的单调性与特殊点【解析】本题考查指数、对数之间的转化关系，考查逻辑推理能力，运算求解能力．【解答】解：由ln y−3ey=1，可得ln ye =3ey．则yeln ye=3，令t=ln ye，则te t=3．又因为y=xe x在(0,+∞)上单调递增，所以t=x，即y=e x+1，则xy=xe x+1=3e .故选B .12.【答案】C【考点】多面体的内切球问题直线与平面所成的角球的表面积和体积【解析】本题考查三棱锥内切球的应用，考查空间想象能力，逻辑推理能力．【解答】解：如图，取△ABC的外心O，连接PO，AO，则PO必过O1，O2，且PO⊥平面ABC，可知∠PAO为侧棱与底面所成的角，即cos∠PAO=2√1919.取AB的中点M，连接PM，MC.设圆O1，O2的半径分别为R，r，令OA=2，则PA=√19，AB=2√3，AM=√3，OM=1，PM=√PA2−AM2=4，所以rPO2=OMPM=14，即PO2=4r.从而PO 1=4r +r +R =5r +R ， 所以R PO 1=R 5r+R=14，则rR =35，所以球O 2与球O 1的表面积之比为925．故选C ． 二、填空题 【答案】132【考点】抛物线的标准方程 【解析】本题考查抛物线的标准方程，考查运算求解能力.【解答】解：由P(2,6)为抛物线C:y 2=2px(p >0)上一点， 得62=4p ，可得p =9， 则|PF |=2+92=132.故答案为：132.【答案】 π6【考点】数量积表示两个向量的夹角 向量的模【解析】本题考查平面向量，考查运算求解的能力． 【解答】解：由|a →|=|b →|=|a →+b →|，得|a →+b →|2=|a →|2+|b →|2+2|a →|⋅|b →|cos <a →,b →>， 得cos <a →,b →>=−12， |a →−b →|2=|a →|2+|b →|2−2|a →|⋅|b →|cos <a →,b →> =3|a →|2，∴ cos <a →,a →−b →>=a →⋅(a →−b →)|a →|⋅|a →−b →|=√32， ∴ <a →,a →−b →>=π6． 故答案为：π6．【答案】 16【考点】排列、组合及简单计数问题 【解析】本题考查计数原理，考查逻辑推理能力． 【解答】解：农场主人在中间共有A 44=24种站法，农场主人在中间，两名男生相邻共有2A 22⋅A 22=8种站法， 故所求站法共有24−8=16（种）. 故答案为：16． 【答案】 √975【考点】双曲线的离心率 平行向量的性质【解析】本题考查双曲线与圆的几何性质，考查数形结合的数学思想． 【解答】解：设F 2为双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的右焦点，连结PF 2； 取AB 的中点M ，连结OM ，OA ，如图所示，则OM ⊥PF 1． 因为F 1A →=AB →=BP →， 所以M 是PF 1的中点，则OM//PF 2 ，|OM|=12|PF 2|且PF 2⊥PF 1．设|AB|=t，则|PF1|=3t，|PF2|=3t−2a，|AM|=t2．因为|OM|2+|AM|2=|OA|2，所以(3t−2a2)2+(t2)2=a2，解得t=65a，则|PF1|=185a，|PF2|=85a.又因为|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，所以(185a)2+(85a)2=(2c)2，可得c 2a2=9725，所以e2=9725，即该双曲线的离心率e=√975.故答案为：√975.三、解答题【答案】解：(1)∵对于任意m，t∈N∗，都有a m+t=a m⋅a t成立，∴令m=n，t=1，得a n+1=a n⋅a1，∴a n+1=12a n，n∈N∗，∴数列{a n}是首项和公比都为12的等比数列，∴a n=12⋅(12)n−1=(12)n，n∈N∗．(2)∵b n=(−1)n−1a n a n+1=(−1)n−1⋅2n⋅2n+1=(−1)n−1⋅22n+1，∴T n=23−25+27−29+⋯+(−1)n−1⋅22n+1=23[1−(−22)n]1−(−22)=85−(−1)n⋅22n+35.【考点】等比数列的前n项和等比关系的确定等比数列的通项公式【解析】无无【解答】解：(1)∵对于任意m，t∈N∗，都有a m+t=a m⋅a t成立，∴令m=n，t=1，得a n+1=a n⋅a1，∴a n+1=12a n，n∈N∗，∴数列{a n}是首项和公比都为12的等比数列，∴a n=12⋅(12)n−1=(12)n，n∈N∗．(2)∵b n=(−1)n−1a n a n+1=(−1)n−1⋅2n⋅2n+1=(−1)n−1⋅22n+1，∴T n=23−25+27−29+⋯+(−1)n−1⋅22n+1=23[1−(−22)n]1−(−22)=85−(−1)n⋅22n+35.【答案】(1)证明：如图，连接BC1，交CB1于点N，连接A1N，ON，则N为CB1的中点．因为O为BC的中点，所以ON//BB1，且ON=12BB1.又MA1//BB1，MA1=12BB1，所以ONA1M为平行四边形，即OM//A1N.因为OM⊄平面CB1A1，所以OM//平面CB1A1．(2)解：连接OA，令BC=2，因为AB=AC，O为BC的中点，所以AO⊥BC.又三棱柱ABC−A1B1C1是直三棱柱，ON//BB1，所以OA，OB，ON互相垂直，分别以OB→，ON→，OA→的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O−xyz．因为AB =AC =√2，BC=AA 1=2，所以O(0,0,0)，B 1(1,2,0)，M(0,1,1)，C(−1,0,0)， 所以OM →=NA 1→=(0,1,1)，OB 1→=(1,2,0)，CB 1→=(2,2,0). 设平面MOB 1的法向量为m →=(x,y,z)， 则{OM →⋅m →=0,OB 1→⋅m →=0, 即{y +z =0,x +2y =0,令z =1，可得y =−1，x =2，所以平面MOB 1的一个法向量为m =(2,−1,1). 设平面CB 1A 1的法向量为n →=(a,b,c)， 则{NA 1→⋅n →=0,CB 1→⋅n →=0, 即{b +c =0,2a +2b =0,令c =1，可得b =−1，a =1，所以平面CB 1A 1的一个法向量为n →=(1,−1,1)， 所以cos ⟨n →,m →⟩ =222222=3√2=2√23， 所以平面MOB 1与平面CB 1A 1所成二面角的正弦值为13． 【考点】用空间向量求平面间的夹角 直线与平面平行的判定【解析】 此题暂无解析 【解答】(1)证明：如图，连接BC 1，交CB 1于点N ，连接A 1N ，ON ，则N 为CB 1的中点．因为O 为BC 的中点，所以ON//BB 1，且ON =12BB 1. 又MA 1//BB 1，MA 1=12BB 1，所以ONA 1M 为平行四边形，即OM//A 1N . 因为OM ⊄平面CB 1A 1， 所以OM//平面CB 1A 1．(2)解：连接OA ，令BC =2， 因为AB =AC ，O 为BC 的中点， 所以AO ⊥BC .又三棱柱ABC −A 1B 1C 1是直三棱柱，ON//BB 1， 所以OA ，OB ，ON 互相垂直，分别以OB →，ON →，OA →的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz ．因为AB =AC =√2，BC =AA 1=2，所以O(0,0,0)，B 1(1,2,0)，M(0,1,1)，C(−1,0,0)， 所以OM →=NA 1→=(0,1,1)，OB 1→=(1,2,0)，CB 1→=(2,2,0). 设平面MOB 1的法向量为m →=(x,y,z)， 则{OM →⋅m →=0,OB 1→⋅m →=0, 即{y +z =0,x +2y =0,令z =1，可得y =−1，x =2，所以平面MOB 1的一个法向量为m =(2,−1,1). 设平面CB 1A 1的法向量为n →=(a,b,c)，则{NA 1→⋅n →=0,CB 1→⋅n →=0, 即{b +c =0,2a +2b =0,令c =1，可得b =−1，a =1，所以平面CB 1A 1的一个法向量为n →=(1,−1,1)， 所以cos ⟨n →,m →⟩=√22+(−1)2+12×√12+(−1)2+12=32=2√23， 所以平面MOB 1与平面CB 1A 1所成二面角的正弦值为13． 【答案】解：(1)由题意知X 的可能取值为0，1，2，3， P(X =0)=C 30C 33C 63=120， P(X =1)=C 31C 32C 63=920， P(X =2)=C 32C 31C 63=920，P(X =3)=C 33C 30C 63=120，所以X 的分布列为：所以E(X)=0×120+1×920+2×920+3×120=32． (2)当乙盒中红球个数为0时，P 1=0， 当乙盒中红球个数为1时，P 2=920×16=340，当乙盒中红球个数为2时，P 3=920×26=320， 当乙盒中红球个数为3时，P 4=120×36=140，所以从乙盒中任取一球是红球的概率为P 1+P 2+P 3+P 4=14． 【考点】互斥事件的概率加法公式 离散型随机变量的期望与方差 离散型随机变量及其分布列古典概型及其概率计算公式【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)由题意知X 的可能取值为0，1，2，3， P(X =0)=C 30C 33C 63=120， P(X =1)=C 31C 32C 63=920，P(X =2)=C 32C 31C 63=920， P(X =3)=C 33C 30C 63=120，所以X 的分布列为：所以E(X)=0×120+1×920+2×920+3×120=32． (2)当乙盒中红球个数为0时，P 1=0， 当乙盒中红球个数为1时，P 2=920×16=340， 当乙盒中红球个数为2时，P 3=920×26=320，当乙盒中红球个数为3时，P 4=120×36=140，所以从乙盒中任取一球是红球的概率为P 1+P 2+P 3+P 4=14．【答案】 解：(1)由当k =√32时，△OAB 的面积为ab2，可知此时B 为椭圆的下顶点．所以k =b a=√32，|AB|=√a 2+b 2=√7，得a 2=4，b 2=3， 所以椭圆E 的方程为x 24+y 23=1．(2)设B (x B ,y B )，直线l 的方程为y =k(x −2)， 由方程组 {x 24+y 23=1,y =k (x −2),消去y ， 整理得(4k 2+3)x 2−16k 2x +16k 2−12=0， 解得x =2或x =8k 2−64k 2+3，由题意得x B =8k 2−64k 2+3，从而y B =−12k4k 2+3. 因为|MA|=|MO|，所以M 的坐标为(1,−k)，因此直线MH 的方程为y =−1k x +1k −k ，则H 的坐标为(0,1k −k)． 由BF ⊥HF 得BF →⋅HF →=0．由(1)知F (1,0)，则FH →=(−1,1k −k)，BF →=(9−4k 24k 2+3,12k4k 2+3)， 所以4k 2−94k 2+3+12k4k 2+3(1k −k)=0， 解得k =−√64或k =√64， 所以直线l 的斜率k =−√64或k =√64． 【考点】圆锥曲线的综合问题 直线与椭圆的位置关系 椭圆的标准方程 【解析】 无 【解答】 解：(1)由当k =√32时，△OAB 的面积为ab2，可知此时B 为椭圆的下顶点．所以k =ba =√32，|AB|=√a 2+b 2=√7，得a 2=4，b 2=3，所以椭圆E 的方程为x 24+y 23=1．(2)设B (x B ,y B )，直线l 的方程为y =k(x −2)， 由方程组 {x 24+y 23=1,y =k (x −2),消去y ， 整理得(4k 2+3)x 2−16k 2x +16k 2−12=0， 解得x =2或x =8k 2−64k 2+3，由题意得x B =8k 2−64k 2+3，从而y B =−12k4k 2+3. 因为|MA|=|MO|，所以M 的坐标为(1,−k)，因此直线MH 的方程为y =−1k x +1k −k ，则H 的坐标为(0,1k −k)．由BF ⊥HF 得BF →⋅HF →=0．由(1)知F (1,0)，则FH →=(−1,1k−k)，BF →=(9−4k 24k 2+3,12k4k 2+3)，所以4k 2−94k 2+3+12k 4k 2+3(1k −k)=0，解得k =−√64或k =√64， 所以直线l 的斜率k =−√64或k =√64． 【答案】解：(1)当a =−8时，f(x)的定义域为(−1,+∞)， f ′(x)=(2x +4)ln (x +1)−4x −8 =(2x +4)[ln (x +1)−2]， 令f ′(x)=0，解得x =e 2−1，当−1<x <e 2−1时，f ′(x)<0，则f(x)在(−1,e 2−1)上单调递减； 当x >e 2−1时，f ′(x)>0，则f(x)在(e 2−1,+∞)上单调递增． (2)当x ≥0时，f ′(x)=(2x +4)ln (x +1)−4x +a ， 设函数g(x)=f ′(x)=(2x +4)ln (x +1)−4x +a ， 则g ′(x)=2ln (x +1)−2xx+1. 设函数ℎ(x)=2ln (x +1)−2x x+1，x ∈[0,+∞)，则ℎ′(x)=2x(x+1)2≥0.又ℎ(x)≥ℎ(0)=0，从而g ′(x)≥0， 所以f ′(x)在[0,+∞)上单调递增.当a ≥0时，f ′(x)≥f ′(0)=a ≥0，则f(x)在[0,+∞)上单调递增， 又f(0)=0，符合题意.当a <0时，设f ′(x)在(0,+∞)上的唯一零点为x 0. 当x ∈[0,x 0)时，f ′(x)<0； 当x ∈(x 0,+∞)时，f ′(x)>0，故f(x)在(0,x 0)上单调递减，在(x 0,+∞)上单调递增， 所以f(x 0)<f(0)=0，不符合题意. 综上，a 的取值范围为[0,+∞)． 【考点】利用导数研究不等式恒成立问题 函数恒成立问题利用导数研究函数的单调性【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)当a =−8时，f(x)的定义域为(−1,+∞)， f ′(x)=(2x +4)ln (x +1)−4x −8=(2x +4)[ln (x +1)−2]， 令f ′(x)=0，解得x =e 2−1，当−1<x <e 2−1时，f ′(x)<0，则f(x)在(−1,e 2−1)上单调递减； 当x >e 2−1时，f ′(x)>0，则f(x)在(e 2−1,+∞)上单调递增． (2)当x ≥0时，f ′(x)=(2x +4)ln (x +1)−4x +a ， 设函数g(x)=f ′(x)=(2x +4)ln (x +1)−4x +a ， 则g ′(x)=2ln (x +1)−2xx+1.设函数ℎ(x)=2ln (x +1)−2x x+1，x ∈[0,+∞)， 则ℎ′(x)=2x(x+1)2≥0.又ℎ(x)≥ℎ(0)=0，从而g ′(x)≥0， 所以f ′(x)在[0,+∞)上单调递增.当a ≥0时，f ′(x)≥f ′(0)=a ≥0，则f(x)在[0,+∞)上单调递增， 又f(0)=0，符合题意.当a <0时，设f ′(x)在(0,+∞)上的唯一零点为x 0. 当x ∈[0,x 0)时，f ′(x)<0； 当x ∈(x 0,+∞)时，f ′(x)>0，故f(x)在(0,x 0)上单调递减，在(x 0,+∞)上单调递增， 所以f(x 0)<f(0)=0，不符合题意. 综上，a 的取值范围为[0,+∞)． 【答案】解：(1)由曲线C 的参数方程{x =sin t +cos t +2,y =sin t −cos t （t 为参数），得曲线C 的普通方程为(x −2)2+y 2=2， 得x 2+y 2−4x +2=0，曲线C 的极坐标方程为ρ2−4ρcos θ+2=0．(2)将直线l 的极坐标方程代入曲线C 的极坐标方程， 得ρ2−4ρcos α+2=0， 又ρ1⋅ρ2=2>0，所以|OA|+|OB|=|ρ1+ρ2|=|4cos α|=2√3， 即α=π6或5π6，所以直线l 的直角坐标方程为y =±√33x ． 【考点】 圆的参数方程 圆的极坐标方程 直线与圆的位置关系 【解析】左侧图片未给出解析． 左侧图片未给出解析． 【解答】解：(1)由曲线C 的参数方程{x =sin t +cos t +2,y =sin t −cos t （t 为参数），得曲线C 的普通方程为(x −2)2+y 2=2， 得x 2+y 2−4x +2=0，曲线C 的极坐标方程为ρ2−4ρcos θ+2=0．(2)将直线l 的极坐标方程代入曲线C 的极坐标方程， 得ρ2−4ρcos α+2=0， 又ρ1⋅ρ2=2>0，所以|OA|+|OB|=|ρ1+ρ2|=|4cos α|=2√3， 即α=π6或5π6，所以直线l 的直角坐标方程为y =±√33x ． 【答案】(1)解：由题可得2|x −1|<3x −4， 所以−(3x −4)<2(x −1)<3x −4， 解得x >2，所以不等式f (x )<3x −4的解集为(2,+∞) ．(2)证明：g (x )=2|x −1|+|2x|≥|2x −2−2x|=2， 则m =2，则(a +b )+(b +c )=2，故1a+b +1b+c =12(1a+b +1b+c )[(a +b)+(b +c)] =12(2+b+ca+b +a+bb+c )≥2，当且仅当a +b =b +c =1时取等号． 【考点】绝对值不等式的解法与证明 基本不等式在最值问题中的应用【解析】 （1）解：由题可得|x −1|<3x −4，所以−(3x −4)<2(x −1)<3x −4， 解得x >2,所以不等式f (x )<3x −4的解集为(2,+∞) ．【解答】(1)解：由题可得2|x −1|<3x −4， 所以−(3x −4)<2(x −1)<3x −4， 解得x >2，所以不等式f (x )<3x −4的解集为(2,+∞) ．(2)证明：g (x )=2|x −1|+|2x|≥|2x −2−2x|=2， 则m =2，则(a +b )+(b +c )=2，故1a+b +1b+c =12(1a+b +1b+c )[(a +b)+(b +c)]=12(2+b+ca+b+a+bb+c)≥2，当且仅当a+b=b+c=1时取等号．。
九师联盟2020-2021学年度第一学期高三8月质量检测理科数学试题(答案和解析)(2020.08)
2020〜2021学年高三8月质量检测理科数学考生注意；1 •本试卷分选择姻和非选择姻网部分。
漓分150分•考试时间120分钟。
2.答題前，考生务必用直径0・5壬耒黑色晏氷签字笔将密対线內项目填坊蒲楚。
3•曲生作答时•请将签架答在答题卡上6选择題每小姻选出答案后•用2B铅笔把答題卡上对总趣目的答案标号涂黑；非选择題请用直径0・5毫米黑色晏水签字笔在咨题卡上备題的签粗区域内作牡•超出答题区域书写的答舉不坯,奁呼粵举、拿鬧竽占作管不密。
................4•亲上豪主金矗玩范也讨鸟為也」• • •一■选择题;本题共12小题■毎小题5分•共60分°在每小题给出的四个选项中■只有一项是符合题目要求的。
1•已久凍合M= {才IF一*0},N= {— 1,0,1,2}，则 Mf]N=A, {-1,0,1} B, {-1,0} C «O,計D, {1,2}2.设w= 1 —占（i为虚数甲位》，则| T =C TAJ3・某工厂生产儿B・C三种不同型号的产品•某月生产这三种产品的数址之比依次为2 ：“ ：3•现用分层抽样方法抽取一个容证为120的样本•已知B种型号产品抽取了 60件•则«=A.3B.4C.5D.G4•在（2 —才尸心+ 0展开式中•含芒的项的系数是A. 220B. 一 220C. 100 IX 一 100D•遥6.2019年北京亚冈会的言祥物“小9?芽“小曲花”是一对代农行生命与希中、動为与芙好、活泼町爱的园艺小兄妹.逵型创立来ri东方文化中仃子图的“吉护娃娃'•，通过头饰、道典、服装创总的巧妙纽合•被赋孑了酬及囲艺刘识、传播绿色理念的特殊使命.现从5张分别卬冇“小叨芽”“小萌花”“"丹花”“菊花"“砌肖花”的这5个图案的卡片（卡片的形状、大小、质地均相同）中随机选取3张，则“小萌劳”和“小萌花"代片都在内的慨率为A - 57. 已知/Cr)=|〒务(a€R)是奇函数•且实数点满足/⑵一1)<冬则代的取值范网是A ・(一8. —1)B ・(一l.+oo) C. ( —OO t 0) I). (0t4-oo)&将•函数 /(x) =sin((ai'+芋 )(3>0)的图象向左平移予个单位长度，若所得图象与原图象关于工轴对称，则/(f)=A-f9•已知圆C ： G-y3)2 + <y-l)2 = l 和两点A(—八O)・B(f ・O)(f>O> •若圆C 上存在点P •使得ZAPB =90\则f 的取值范围是A.(0,2] 10. 3D 打印皿于快速成形技术的一种•它是一种以数字模型文件为荃础•运用粉耒状 金屈或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠累积的方式来构造物体的技术(II 卩“积层 造型法”〉.过左帘在模具制造、工业设汁等领域被用于制造模型•现正用于一些产 品的直接制造那别是一些高价值应川(比如傩关节、牙齿或一些飞机零部件等). 已知利用3D 打印技术制作如图所示的模型.该模別为在鬪锥底内挖去一个正方体 后的剩余部分(正方体四个顶点在関锥母线上•四个顶点在恻锥底而上)•恻锥底而应径为1072 cm,"•线与底面所成角的正切值为©•打印所用丿京料密度为1 M/cmh 不考虑打印损耗■制作该模型所需原料的质圧约为(取兀14,箱确到0.1)A. 609. 4 gB. 447. 3 gC. 39& 3 gD. 357. 3 g 11. 在△ ABC«|».内角的对边分別为a.b.c.且三边互不相等，若a= 1・3=令”十+十4cos C=0,则△/W3C 的而积足A.普B.會C.yD.112. 已知甫数fCr)=< / ______________ 若函数g(P = /a)—创/+2|有三个零点，则实数怡(丿一/十4*一3 ■ 1VY3,的取值范围是A 心辔)u(5£]B HF)U (5+S )c.(o •今)D.仕卄) 二、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分。
2020-2021高三数学上期末试卷(带答案)(8)
2020-2021高三数学上期末试卷(带答案)(8)一、选择题1．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若2342S S S =+，12a =，则2a =（ ）A ．2B ．-4C ．2或-4D ．42．设,x y 满足约束条件 202300x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≤⎩，则46y x ++的取值范围是A ．3[3,]7- B ．[3,1]- C ．[4,1]-D ．(,3][1,)-∞-⋃+∞3．等差数列{}n a 中，已知70a >，390a a +<，则{}n a 的前n 项和n S 的最小值为（ ） A ．4SB ．5SC ．6SD ．7S4．程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多十七，要将第八数来言.务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为（ ） A ．65 B ．184 C ．183 D ．1765．在ABC ∆中，2AC =,22BC =,135ACB ∠=o ，过C 作CD AB ⊥交AB 于D ，则CD =( ) A ．25B ．2C ．3D ．56．在等差数列{}n a 中，若1091a a <-，且它的前n 项和n S 有最大值，则使0n S >成立的正整数n 的最大值是（ ） A ．15 B ．16C ．17D ．147．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若∠C=120°，c=a ，则A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定8．在等差数列{a n }中，a 1＞0，a 10·a 11＜0，若此数列的前10项和S 10＝36，前18项的和S 18＝12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是 （ ） A ．24B ．48C ．60D ．849．已知01x <<，01y <<，则()()()()222222221111x y x y x y x y ++--+-+- ）A 5B ．2C 10D ．2310．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2，n S ，3n a 成等差数列，则5S 的值是（ ） A ．243- B ．242- C ．162- D ．24311．在中，，，，则A ．B ．C ．D ．12．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1112n n a S a +＝，＝， 则n S ＝( )A ．12n -B ．13()2n -C ．12()3n - D ．112n - 二、填空题13．已知,x y 满足约束条件420y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最大值为__________．14．已知函数1()f x x x=-，数列{}n a 是公比大于0的等比数列，且61a =，1239101()()()()()f a f a f a f a f a a +++⋅⋅⋅++=-，则1a =_______.15．已知变量,x y 满足约束条件2{41y x y x y ≤+≥-≤，则3z x y =+的最大值为____________．16．已知数列{}n a 中，45n a n =-+，等比数列{}n b 的公比q 满足1(2)n n q a a n -=-≥，且12b a =，则12n b b b +++=L __________．17．若正数,a b 满足3ab a b =++，则+a b 的取值范围_______________。
2020-2021学年高三数学(理科)调研统一考试试题及答案解析
机密★启用前普通高中调研统一测试高三数学(理工类)★祝考试顺利★注意事项：1. 本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。
答卷前，请考生认真阅读答题卡上的注意事项。
考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上指定位置，将考号对应数字涂黑。
用2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。
2. 回答第I 卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3. 回答第II 卷时，用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4. 考生必须保持答题卡的清洁。
考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 集合A = { x | x < a }，B = { x | 1 < x < 2}，若A B =R R U ð，则实数a 的取值范围是 A ．a ≤1 B ．a < 1 C ．a ≥2 D ．a > 22. 若向量a = (2，－1，0)，b = (3，－4，7)，且(t a + b )⊥a ，则实数t 的值是 A ．0 B ．1 C ．－2 D ．23. 已知等比数列{a n }的公比为3，且a 1 + a 3 = 10，则a 2a 3a 4的值为 A ．27 B ．81 C ．243 D ．7294. 已知函数y = f (x ) + x 是偶函数，且f (2) = 1，f (－2) = A ．1 B ．5 C ．－1 D ．－55. 由曲线3y x =与直线4y x =所围成的平面图形的面积为 A ．4 B ．8 C ．12 D ．166.f (x )是定义在R 上的以2为周期的奇函数，f (3) = 0，则函数y = f (x )在区间(－2，5)内的零点个数为 A ．6B ．5C ．4D ．37. 实数x 、y 满足条件104312020x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪-⎩≥≤≥，则211x y z x -+=+的最大值为A ．45B ．54C ．916D ．128. 向量a 、b 、c 满足a + b + c = 0，a ⊥b ，(a －b )⊥c ，||||||||||||M a =++a b c b c ，则M = A ．3 B ．32 C ．22+D ．321+9. 如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F ，且2EF =，则下列结论中错误的是A ．AC ⊥BEB ．EF ∥平面ABCDC ．三棱锥A －BEF 的体积为定值D ．异面值线AE 、BF 所成的角为定值10. 将函数()sin(2)6f x x π=+的图像向左平移(0)2πϕϕ<<个单位得到()y g x =的图像，若对满足12|()()|2f x g x -=的x 1、x 2，12min ||4x x π-=，则ϕ的值是A ．6πB ．4πC ．3πD ．512π 11. 若定义在R 上的函数f (x )满足(0)1f =-，其导函数()f x '满足()1f x k '>>，则下列结论中一定正确的是A ．11()f k k<B ．11()1f k k >- C ．11()11f k k >-- D ．1()11kf k k >-- 12. 已知F 1、F 2分别是双曲线C ：22221(00)x y a b a b-=>>，的左、右焦点，若F 2关于渐近线的对称点恰落在以F 1为圆心，| OF 1 |为半径的圆上，则双曲线C 的离心率为A ．3B ．3C ．2D ．2第Ⅱ卷第Ⅱ卷包括必考题和选考题两部分。
广东省东莞市2020届高三上学期期末调研测试理科数学试题(含答案解析)
广东省东莞市2020届高三上学期期末调研测试理科数学试题（含答案解析）高考真题高考模拟高中联考期中试卷期末考试月考试卷学业水平同步练习广东省东莞市2020届高三上学期期末调研测试理科数学试题（含答案解析）1 已知集合，则集合A∩B=（）A.{2,3}B.{－1,1}C.{1,2,3}D.【答案解析】 A【分析】解一元二次不等式求得集合，解一元一次不等式求得集合，由此求得【详解】由，解得，所以..，所以.故选：A2 己知，其中i为虚数单位，则（）A. －1B. 1C. 3D. －3【答案解析】 D【分析】整理等式为,等号左右两边实部、虚部对应相等,进而求得【详解】由题,,所以,则,故选：D3 已知向量,满足，,且与的夹角为60°，则（）A. 1B. 3C.D.【答案解析】 A【分析】对作平方处理,整理后即可求得【详解】由题,,解得,故选：A4 已知数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，，则（）A. 42B. 21C. 7D. 3【答案解析】 B【分析】利用等差数列的性质求出的值，然后利用等差数列求和公式以及等差中项的性质可求出的值.【详解】由等差数列的性质可得，.故选：B.5 某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业者岗位分布图（90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生），则下列结论中不一定正确的是（）整个互联网行业从业者年龄分布饼状图 90后从事互联网行业者岗位分布图A. 互联网行业从业人员中90后占一半以上B. 互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多C. 互联网行业中从事设计岗位的人数90后比80前多D. 互联网行业中从事市场岗位的90后人数不足总人数的10%【答案解析】 B【分析】根据行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业者岗位分布图中的数据进行分析,即可判断选项【详解】对于选项A,由饼状图可得90后占,故A正确；对于选项B,互联网行业中从事技术岗位的人数90后占总体的,故B错误；对于选项C,互联网行业中从事设计岗位的人数90后占总体的,故C正确；对于选项D,互联网行业中从事市场岗位的90后占总体的,故D正确,故选：B6 函数（其中为自然对数的底数）的图象大致为（）A. B.C. D.【答案解析】 D【分析】先根据函数的奇偶性排除A、C,再由时,的趋向性判断选项即可【详解】由题,的定义域为,因为,所以是偶函数,图象关于轴对称,故排除A、C；又因为,则当时,,,所以,故选：D7 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当时，，那么的值为（）A. B.－3 C. 3 D.【答案解析】 D【分析】利用奇函数的性质可得,代入解析式求解即可【详解】由题,,因为是定义在上的奇函数,所以,故选：D8 如图，我国古代珠算算具算盘每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面两颗叫上珠，下面5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠中任取3颗，至少含有一颗上珠的概率为（）A B. C. D.【答案解析】 A【分析】利用间接法,先找到不含上珠的概率,进而其对立事件概率即为所求【详解】由题,则,故选：A9 已知函数，将的图象上所有点向右平移个单位长度，得到的图象关于直线对称，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案解析】 C【分析】由条件利用的图象变换规律求得平移后的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，得出结论.【详解】解：将函数图象上所有点向右平移个单位长度得到函数的图象，令，得，，，则的最小值为，故选：C.10 设是给定的平面，A、B是不在内的任意两点．有下列四个命题：①在内存在直线与直线AB异面；②在内存在直线与直线AB相交；③存在过直线AB的平面与垂直；④存在过直线AB的平面与平行．其中，一定正确的是（）A. ①②③B. ①③C. ①④D. ③④【答案解析】 B【分析】根据直线和平面的位置关系,找到反例,即可判断选项【详解】由题,对于②,当直线平面时,②不成立；对于④,当直线平面时,④不成立；对于①③,根据直线与平面的位置关系,显然成立,故选：B11 已知圆O的半径是，点P是圆O内部一点（不包括边界），点A是圆O圆周上一点，且，则的最小值为（）A. B. 12 C. D. 13【答案解析】 C【分析】由可得,则当时, ,再根据,则将代入求解即可【详解】由题,因为,所以,则当,即时,,因为,所以当取得最小值时,,故选：C12 已知球O是正四面体的外接球，，点E在线段上，且，过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的最小值是（）A. B. C. D.【答案解析】 A【分析】由题可得,当截面时,截面面积最小,设正四面体棱长为,先求得正四面体的外接球半径为,再求得,进而求得截面圆的半径,从而得到截面圆面积【详解】由题,设平面为过的球的截面,则当平面时,截面积最小,设截面半径为,球的半径为,则,因为正四面体棱长为,设过点垂直于平面的直线交平面于点,则,令,,则,在中,,即,则,在中,,即,则, 解得,则,在中,,因为点在线段上,,设中点为,则,所以,在中,,即,所以,因为,所以,所以截面面积为,故选：A13 “角谷定理”的内容为对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2；如此循环，最终都能够得到1．右图为研究角谷定理的一个程序框图．若输入n的值为6，则输出i的值为_______．【答案解析】 8【分析】根据所给数值判定是否满足判断框中的条件,然后执行循环语句,一旦满足条件就退出循环,执行语句输出,从而到结论【详解】当时,是偶数,则,；当时,不是偶数,则,；当时,是偶数,则,；当时,不是偶数,则,；当时,是偶数,则,；当时,是偶数,则,；当时,是偶数,则,；当时,是偶数,则,故答案为：814 已知，则___________【答案解析】【分析】利用转化为已知角的函数值求解即可.【详解】解：，故答案为：.15 若展开式中的系数为13，则展开式中各项系数和为______（用数字作答）．【答案解析】 64【分析】先根据的系数为13求得,再令即可求得展开式中各项系数和【详解】由题,的系数为,则,所以原式为,令,则展开式中各项系数和为,故答案为：6416 已知函数（其中为自然对数的底数），则不等式的解集为_____．【答案解析】【分析】先分别求得与的分段函数形式,再讨论与的情况,根据函数单调性求解即可【详解】由题,欲解,即,,,当时,单调递增,,在单调递减,在上单调递减,则,所以满足,当时,单调递减,在上递减,在上递增,则另,即,解得,所以当时,,综上,,故答案为：17 已知数列{an}中，且（1）求证：数列为等比数列；（2）求数列{an}的前n项和Sn．【答案解析】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）根据递推公式可得,即可证明；（2）由（1）,进而利用分组法求得数列的和即可【详解】（1）证明：∵,∴,∴,,∴为等比数列,首项为,公比为3（2）解：由（1）得,,∴,18 如图，在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且．（1）求角A的大小；（2）若，边上的中线的长为7，求△ABC的面积．【答案解析】（1）；（2）【分析】（1）利用正弦定理化边为角可得,则,进而求得角即可；（2）由（1）可得,则,设,则,在中,根据余弦定理得,可得,进而求得的面积即可【详解】（1）因为,根据正弦定理,得,即,所以,整理得,因为,所以,又因为,则（2）由（1）知,又因为,所以,所以,因为是中点,设,则,在中,根据余弦定理,得,即即,解得,故的面积19 如图，在四棱锥S﹣ABCD中，已知四边形ABCD是边长为的正方形，点S在底面ABCD 上的射影为底面ABCD的中心点O，点P在棱上，且的面积为1．（1）若点P是的中点，求证：平面平面；（2）在棱上是否存在一点P使得二面角的余弦值为？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由．【答案解析】（1）证明见解析；（2）存在点符合题意，点为棱靠近端点的三等分点【分析】（1）利用等腰三角形“三线合一”证明平面,进而证明平面平面；（2）分别以为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,设,利用平面的法向量求二面角,进而计算得到即可【详解】（1）∵点在底面上的射影为点,∴平面,∵四边形是边长为的正方形,∴,∵三角形的面积为1,∴,即,∴,∵,点是的中点,∴,同理可得,又因为,平面,∴平面,∵平面,∴平面平面（2）存在,如图,连接,易得两两互相垂直,分别以为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,则,假设存在点使得二面角余弦值为,不妨设,∵点在棱上,∴,又,∴,∴,,,设平面的法向量为,则,∴,令,可得,∴平面一个法向量为,又平面的一个法向量为,二面角的余弦值为,∴,即,解得或（舍）所以存在点符合题意,点为棱靠近端点的三等分点20 东莞的轻轨给市民出行带来了很大的方便，越来越多的市民选择乘坐轻轨出行，很多市民都会开汽车到离家最近的轻轨站，将车停放在轻轨站停车场，然后进站乘轻轨出行，这给轻轨站停车场带来很大的压力．某轻轨站停车场为了解决这个问题，决定对机动车停车施行收费制度，收费标准如下：4小时内（含4小时）每辆每次收费5元；超过4小时不超过6小时，每增加一小时收费增加3元；超过6小时不超过8小时，每增加一小时收费增加4元，超过8小时至24小时内（含24小时）收费30元；超过24小时，按前述标准重新计费．上述标准不足一小时的按一小时计费．为了调查该停车场一天的收费情况，现统计1000辆车的停留时间（假设每辆车一天内在该停车场仅停车一次），得到下面的频数分布表：（小时）频数（车次）10010020020035050以车辆在停车场停留时间位于各区间的频率代替车辆在停车场停留时间位于各区间的概率．（1）现在用分层抽样的方法从上面1000辆车中抽取了100辆车进行进一步深入调研，记录并统计了停车时长与司机性别的2×2列联表：男女合计不超过6小时306小时以上20合计100完成上述列联表，并判断能否有90%的把握认为“停车是否超过6小时”与性别有关？（2）（i）X表示某辆车一天之内（含一天）在该停车场停车一次所交费用，求X的概率分布列及期望；（ii）现随机抽取该停车场内停放的3辆车，表示3辆车中停车费用大于的车辆数，求的概率．参考公式：，其中0.400.250.150.100.050.0250.7801.3232.0722.7063.8415.024【答案解析】（1）列联表见解析，没有超过90%的把握认为“停车是否超过6小时”与性别有关；（2）（i）分布列见解析，；（ii）【分析】（1）先根据频数分布表填写列联表,再将数据代入公式求解即可；（2）（i）的可取值为5,8,11,15,19,30,根据频数分布表分别求得概率,进而得到分布列,并求得期望；（ii）先求得,则,进而求得概率即可【详解】（1）由题,不超过6小时的频率为,则100辆车中有40辆不超过6小时,60辆超过6小时,则列联表如下：男女合计不超过6小时1030406小时以上204060合计3070100根据上表数据代入公式可得所以没有超过90%的把握认为“停车是否超过6小时”与性别有关（2）（i）由题意知：的可取值为5,8,11,15,19,30,则所以的分布列为：5811151930∴（ii）由题意得,所以,所以21 已知函数（其中为自然对数的底数）．（1）求f(x)的单调性；（2）若，对于任意，是否存在与a有关的正常数，使得成立？如果存在，求出一个符合条件的；否则说明理由．【答案解析】（1）当时,在上的单调递增；当时,在上单调递减,在上单调递增；（2）存在与有关的正常数【分析】（1）求导可得,分别讨论,,时的情况,进而判断单调性即可；（2）存在与有关的正常数使得,即,则,设,满足即可,利用导数可得,再设,利用导函数判断函数性质即可求解【详解】（1）,①当时,恒成立,所以在上单调递增；②当时,,,所以在上的单调递增；③当时,令,得,当时,,单调递减；当时,,单调递增；综上所述：当时,在上的单调递增；当时,在上单调递减,在上单调递增（2）存在,当时,,设存在与有关的正常数使得,即,需求一个,使成立,只要求出的最小值,满足,∵,∴在上单调递减,在上单调递增,∴,只需证明在内成立即可,令,,∴在单调递增,∴,所以,故存在与有关的正常数使成立22 在直角坐标系xOy中，圆C的普通方程为．在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为．（1）写出圆C的参数方程和直线的直角坐标方程；（2）设点P在C上，点Q在上，求的最小值及此时点的直角坐标．【答案解析】（1）圆C的参数方程：，直线：；（2），此时点的坐标为【分析】（1）整理圆的方程为,即可写出参数方程,利用将直线方程写为直角坐标方程即可；（2）法一：利用参数方程设曲线上的点,利用点到直线距离公式可得,则根据三角函数的性质求处最值,并将代回求得坐标；法二：为圆心到直线距离减去半径,再利用弦与直线垂直的性质得所在直线为,联立直线与圆的方程即可求得交点的坐标【详解】（1）圆的方程可化为,圆心为,半径为,∴圆的参数方程为（为参数）,直线的极坐标方程可化为,∵,∴直线的直角坐标方程为（2）法一：设曲线上的点,点到直线：的距离：,当时,,此时点坐标为,所以,此时点的坐标为法二：曲线是以为圆心,半径为的圆,圆心到直线的距离,所以,此时直线经过圆心,且与直线垂直,,所以,所在直线方程为,即, 联立直线和圆的方程,解得或, 当取得最小值时,点的坐标为,所以,此时点的坐标为23 已知函数．（1）解不等式；（2）记函数f(x)的最大值为s，若，证明：．【答案解析】（1）；（2）证明见解析【分析】（1）将函数整理为分段函数形式可得,进而分类讨论求解不等式即可；（2）先利用绝对值不等式的性质得到的最大值为3,再利用均值定理证明即可【详解】（1）由题,,①当时,恒成立,所以；②当时,即,所以；③当时,显然不成立,所以不合题意：综上所述,不等式的解集为（2）由（1）知,于是,由基本不等式可得,当且仅当时取等,所以。
【试卷】2020-2021学年上学期高三年级理科数学培优试卷(十)及答案
2020-2021学年上学期高三年级理科数学培优试卷(十)考试内容：一轮复习一、单选题1．（a ）函数2cos 2sin y x x =+，x ∈R 的值域是（ ）A ．[0,1]B ．1[,1]2C ．[1,2]-D ．[0,2]2．（a ）已知3cos 5α=-，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12sin 13=-β，β是第三象限角， 则cos()βα-的值是（ ）A ．3365-B ．6365C ．5665D ．1665- 3．（a ）已知cos61cos127cos 29cos37a ︒︒︒︒=⋅+⋅，22tan131tan 13b ︒︒=+，c =，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c <<B ．a b c >>C ．c a b >>D ．a c b <<4．（a ）将函数()()12sin sin f x x x x =-的图象向左平移3π个单位长度得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的解析式是（ ）A ．()2sin 22g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()2cos2g x x =C ．()22cos 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ D ．()()2sin 2g x x π=+5．（b ）已知π1sin 23sin()4αα+=-，则sin 2α=( )A B ．12 C ．2 D二、填空题6．（a ）若tan 34πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则225sin 3sin cos 2cos θθθθ-+=________.7．（a ）已知1sin 62πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos 3πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭_________.8．（a ）若函数()2cos 21,,33f x x x x ππ⎡⎤=--∈-⎢⎥⎣⎦的图象与直线y m =恰有两个不同交点，则m 的取值范围是______.9．（b ）如果向量()()cos sin 2016cos sin 1a b αααα=+=-，，，，且a b ∥，那么1tan 21cos 2αα++的值是 _____.三、解答题10．（a ）已知函数()sin 2sin(2)cos 233f x x x x a ππ⎛⎫=++-++ ⎪⎝⎭，x ∈R . （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，恒有()0f x >成立，求实数a 的取值范围.2020-2021学年上学期高三年级理科数学培优试卷(十)参考答案1．A【解析】因为函数y ＝cos2x +sin 2x ＝cos2x 1122+-cos2x 1122=+cos2x ．因为x ∈R ，所以cos2x ∈[﹣1，1]， 所以1122+cos2x ∈[0，1]． 故选：A ． 2．A【解析】 因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以4sin 5α， 因为β是第三象限角，所以5cos 13β=-， 所以33cos()cos cos sin sin .65βααβαβ-=+=-3．D【解析】由题意，可得cos61cos127cos 29cos37a ︒︒︒︒=⋅+⋅=()sin 29cos53cos 29sin53︒︒︒︒⋅-+⋅ ()sin 5329sin 24︒︒︒=-=；222222sin132tan132sin13cos13cos13sin 26sin 131tan 13cos 13sin 131cos 13b ︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒====+++；sin 25c ︒==. 又因为函数sin y x =在[0,]2π上是增函数，所以b c a >>，故选D .4．A【解析】 ()()212sin sin 12sin cos cos 22f x x x x x x x x x =-+=--=12cos 2sin 22cos 2cos sin 2sin 2cos 222333x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位，得到的函数为()2cos 233g x x ππ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()2cos 22cos 22sin 22x x x ππ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭，故选：A. 5．B【解析】 令π4αβ-=，则π4αβ=-，π222αβ=-， π1sin 23sin()4αα+=-可化为1cos23sin ββ+=， 即222sin 3sin ββ-=，22sin 3sin 20ββ+-=，(sin 2)(2sin 1)0ββ+-=， 所以1sin 2β=，则21sin 2cos212sin 2αββ==-=， 故选B ．6．75 【解析】tan tan 144tan tan 4421tan tan 44ππθππθθππθ⎛⎫+- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭=+-== ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎣⎦++⋅ ⎪⎝⎭， ∴原式2222225sin 3sin cos 2cos 5tan 3tan 27sin cos tan 15θθθθθθθθθ-+-+===++. 7．1【解析】 解：1sin 62πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos 62πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos cos 311cos cos sin sin 126666662πππθθππππθθ⎛⎫⎛⎫∴-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为：1.8．(3,2]--【解析】()3sin2cos212sin 216f x x x x π⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，画出()f x 的图象，可得32m -<≤-.9．2017【解析】由a b ∥，得()cos sin 2016cos sin αααα+=-，∴cos sin 2016cos sin αααα+=-. ∴()()22211sin 21sin 2(sin cos )cos sin tan 2cos 2cos 2cos 2cos sin cos sin cos sin cos sin αααααααααααααααααα++++=+===-+--2016=.∴1tan 21201612017cos 2αα++=+=. 故答案为：201710．（1）π（2）(1,)+∞【解析】解：（1）()sin 2sin 2cos233f x x x x a ππ⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ sin 2cos2224x x a x a π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭， ∴函数()f x 的最小正周期22T ππ==. （2）∵,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， ∴32,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，∴sin 24x π⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦2[4x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭， 故函数()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为1a -+. 由()0f x >恒成立，故有10a -+>，解得1a >.故实数a 的取值范围为(1,)+∞.【点睛】本题考查正弦函数的性质，两角和与差的正弦公式，及三角函数的周期公式的应用，考查化简、变形能力．。
江苏省南通市2020-2021学年度高三年级第一学期期初调研数学试题(解析版)
江苏省南通市2021届高三上学期开学考试数学试题2020．9一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．记全集U ＝R ，集合A ＝{}216x x ≥，集合B ＝{}22x x ≥，则U (A)B ＝A ．[4，+∞)B ．(1，4]C ．[1，4)D ．(1，4)2．已知5log 2a =，7log 2b =，20.5a c -=，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．b ＜a ＜c B ．a ＜b ＜c C ．c ＜b ＜a D ．c ＜a ＜b3．若3cos()5αβ+=，5sin()413πβ-=，α，β∈(0，2π)，则cos()4πα+＝ A ．3365- B ．3365 C ．5665 D ．1665-4．我国即将进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配2~3艘驱逐舰，1~2艘核潜艇.船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同的组建方法种数为 A ．30 B ．60 C ．90 D ．1205．函数()2sin()f x x ωϕ=+(ω＞0，ϕ＜π)的部分图像如图所示，且()f x 的图像过A(2π，1)，B(2π，﹣1)两点，为了得到()2sin g x x ω=的图像，只需将()f x 的图像 A ．向右平移56π B ．向左平移56π C ．向左平移512π D ．向右平移512π第5题 第6题6．《易经》是中国传统文化中的精髓，上图是易轻八卦图(含乾、坤、舞、震、坎、离、良、兑八卦)，每一卦由三根线组成( -表示一根阳线，--表示一根阴线)，从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为A ．18B ．14 C ．38 D ．12 7．设F 1，F 2分别为双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与圆O ：222x y a +=相切，l 与C 的渐近线在第一象限内的交点是P ，若PF 2⊥x 轴，则双曲线的离心率等于AB ．2 C．．48．对于函数()y f x =，若存在区间[a ，b]，当x ∈[a ，b]时的值域为[ka ，kb](k ＞0)，则称()y f x =为k 倍值函数．若()e 2x f x x =+是k 倍值函数，则实数k 的取值范围是A ．(e ＋1，+∞)B ．(e ＋2，+∞)C ．(1e e +，+∞)D ．(2e e+，+∞)二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．下列说法正确的是A ．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a 后，方差也变为原来的a 倍B ．设有一个回归方程y ＝3﹣5x ，变量x 增加1个单位时，y 平均减少5个单位C ．线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱D ．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，2σ)(σ＞0)，则P(ξ＞1)＝0.5 10．已知抛物线C ：22y px =过点P(1，1)，则下列结论正确的是A ．点P 到抛物线焦点的距离为32B ．过点P 作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q ，则△OPQ 的面积为532C ．过点P 与抛物线相切的直线方程为x ﹣2y ＋1＝0D ．过P 作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于点M ，N ，则直线MN 的斜率为定值 11．在△ABC 中，已知bcosC ＋ccosB ＝2b ，且111tan A tan B sin C+=，则 A ．a ，b ，c 成等比数列B ．sinA ：sinB ：sinC ＝2：1C ．若a ＝4，则S △ABCD ．A ，B ，C 成等差数列12．已知函数()ln f x x x =，若120x x <<，则下列选项正确的是A ．1212()()0f x f x x x -<-B ．1122()()x f x x f x +<+C ．2112()()x f x x f x <D ．当211ex x >>时，11222112()()()()x f x x f x x f x x f x +>+ 三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．高二某班共有60名学生，其中女生有20名，三好学生占全班人数的16，而且三好学生中女生占一半．现在从该班任选一名同学参加某一座谈会．则在已知没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率为 ．14．曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为 ．15．已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范围是 ． 16．椭圆与双曲线有相同的焦点F 1(﹣c ，0)，F 2(c ，0)，椭圆的一个短轴端点为B ，直线F 1B 与双曲线的一条渐近线平行．若椭圆与双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则12e e ＝ ；且22123e e +的最小值为 ．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知函数2()cos 2sin 1f x x x x =+-．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(A)2f =，C ＝4π，c ＝2，求△ABC 的面积． 18．（本小题满分12分）2020年寒假是特殊的寒假，因为疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为了研究学生在网上学习的情况，某学校在网上随机抽取120名学生对线上教育进行调查，其中男生与女生的人数之比为11：13，其中男生30人对于线上教育满意，女生中有15名表示对线上教育不满意．（1； （2）从被调查中对线上教育满意的学生中，利用分层抽样抽取8名学生，再在8名学生中抽取3名学生，作学习经验介绍，其中抽取男生的个数为ξ．求出ξ的分布列及期望值．附公式及表：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．19．（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在原点，其焦点与双曲线22221x y -=的焦点重合，点P(0)在椭圆C 上，动直线l ：y ＝kx ＋m 交椭圆于不同两点A ，B ，且OA OB 0⋅=(O 为坐标原点)．（1）求椭圆的方程；（2）讨论7m 2﹣12k 2是否为定值；若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 20．（本小题满分12分）已知函数2()f x x bx c =++，且()0f x ≤的解集为[﹣1，2]． （1）求函数()f x 的解析式；（2）解关于x 的不等式()2(1)mf x x m >--(m ≥0)；（3）设()31()2f x x g x +-=，若对于任意的1x ，2x ∈[﹣2，1]都有12()()g x g x M -≤，求M 的最小值． 21．（本小题满分12分）已知221()(ln )x f x a x x x -=-+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）当a ＝1时，证明3()()2f x f x '>+对于任意的x ∈[1，2]成立． 22．（本小题满分12分）已知点P 是抛物线C 1：24y x =的准线上任意一点，过点P 作抛物线的两条切线PA 、PB ，其中A 、B 为切点．（1）证明：直线AB 过定点，并求出定点的坐标；（2）若直线AB 交椭圆C 2：22143x y +=于C 、D 两点，S 1，S 2分别是△PAB ，△PCD 的面积，求12S S 的最小值．江苏省南通市2021届高三上学期开学考试数学试题2020．9一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．记全集U ＝R ，集合A ＝{}216x x ≥，集合B ＝{}22x x ≥，则U (A)B ＝A ．[4，+∞)B ．(1，4]C ．[1，4)D ．(1，4)答案：C解析：∵集合A ＝{}{}21644x x x x x ≥=≥≤-或，∴{}UA 44x x =-<<，又∵B ＝{}{}221x x x x ≥=≥，∴U (A)B ＝[1，4)，故选C ．2．已知5log 2a =，7log 2b =，20.5a c -=，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．b ＜a ＜c B ．a ＜b ＜c C ．c ＜b ＜a D ．c ＜a ＜b 答案：A解析：∵555log 2log 1<=，∴1a <，∴210.50.52a -->=，∴2c >， 又57log 2log 2>，a b >，∴b ＜a ＜c ，故选A ．3．若3cos()5αβ+=，5sin()413πβ-=，α，β∈(0，2π)，则cos()4πα+＝ A ．3365- B ．3365 C ．5665 D ．1665-答案：C解析：∵α，β∈(0，2π)，∴αβ+∈(0，π)，4πβ-∈(4π-，4π)，∴4sin()5αβ+=，12cos()413πβ-=，∴cos()cos[()()]cos()cos()sin()444πππααββαββαβ+=+--=+-++3124556sin()451351365πβ-=⨯+⨯=，故选C ．4．我国即将进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配2~3艘驱逐舰，1~2艘核潜艇.船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同的组建方法种数为 A ．30 B ．60 C ．90 D ．120 答案：B解析：有两种情况，①一艘航母配2搜驱逐舰和1搜核潜艇，另一艘航母配3搜驱逐舰和2搜核潜艇，②一艘航母配2搜驱逐舰和2搜核潜艇，另一艘航母配3搜驱逐舰和1搜核潜艇，2122535360C C C C +=，故选B ．5．函数()2sin()f x x ωϕ=+(ω＞0，ϕ＜π)的部分图像如图所示，且()f x 的图像过A(2π，1)，B(π，﹣1)两点，为了得到()2sin g x x ω=的图像，只需将()f x 的图像A ．向右平移56πB ．向左平移56πC ．向左平移512πD ．向右平移512π 答案：C解析：由题意知22T π=，T π=，∴ω＝2，2226k ππϕπ⨯+=+，526k ϕππ=-+， ∵ϕ＜π，∴56ϕπ=-，∴55()2sin(2)2sin 2()612f x x x ππ=-=-，故选C ．6．《易经》是中国传统文化中的精髓，上图是易轻八卦图(含乾、坤、舞、震、坎、离、良、兑八卦)，每一卦由三根线组成( -表示一根阳线，--表示一根阴线)，从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为A ．18 B ．14 C ．38 D ．12答案：C解析：P ＝38，故选C ．7．设F 1，F 2分别为双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与圆O ：222x y a +=相切，l 与C 的渐近线在第一象限内的交点是P ，若PF 2⊥x 轴，则双曲线的离心率等于AB ．2 C．．4 答案：A解析：12tan P F F 2bc aa b c∠==，222b a =，223c a =，e =A ．8．对于函数()y f x =，若存在区间[a ，b]，当x ∈[a ，b]时的值域为[ka ，kb](k ＞0)，则称()y f x =为k 倍值函数．若()e 2x f x x =+是k 倍值函数，则实数k 的取值范围是A ．(e ＋1，+∞)B ．(e ＋2，+∞)C ．(1e e +，+∞)D ．(2e e+，+∞)答案：B解析：()e 2xf x x =+是单调增函数，故e 2e 2ab a kab kb⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，故a ，b 是方程e 2x x kx +=的两个根，令()e (2)x g x k x =+-，()e (2)x g x k '=+-，当k ＞2，x ＝ln(2)k -时，()g x 有最小值为(ln(2))2(2)ln(2)0g k k k k -=----<，解得k ＞e ＋2，故选B ．二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．下列说法正确的是A ．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a 后，方差也变为原来的a 倍B ．设有一个回归方程y ＝3﹣5x ，变量x 增加1个单位时，y 平均减少5个单位C ．线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱D ．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，2σ)(σ＞0)，则P(ξ＞1)＝0.5 答案：BD解析：选项A ，方差变为原来的a 2倍，故A 错误；线性相关系数r 的绝对值越大，两个变量的线性相关性越强；线性相关系数r 的绝对值越接近0，线性相关性越弱，由此可见C 错误，故选BD ．10．已知抛物线C ：22y px =过点P(1，1)，则下列结论正确的是A ．点P 到抛物线焦点的距离为32B ．过点P 作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q ，则△OPQ 的面积为532C ．过点P 与抛物线相切的直线方程为x ﹣2y ＋1＝0D ．过P 作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于点M ，N ，则直线MN 的斜率为定值 答案：BCD解析：∵抛物线C ：22y px =过点P(1，1)，∴12p =，∴2y x =，故该抛物线焦点坐标为(14，0)，准线方程为x ＝14-，故点P 到抛物线焦点的距离为54，故A 错误；△OPQ 的面积215442sin 3225p S θ===⨯，故B 正确；设过点P 的直线方程为1y kx k =+-，与抛物线联立并化简得210ky y k -+-=，14(1)0k k --=，解得k ＝12，故过点P 与抛物线相切的直线方程为x ﹣2y ＋1＝0，C 正确；设PM 的斜率为k ，则PN 的斜率为﹣k ，求得M(22(1)k k -，1k k -)，N(22(1)k k+，1k k +-)，求得MN 的斜率为12-，D 正确，故选BCD ． 11．在△ABC 中，已知bcosC ＋ccosB ＝2b ，且111tan A tan B sin C+=，则 A ．a ，b ，c 成等比数列B ．sinA ：sinB ：sinC ＝2：1C ．若a ＝4，则S △ABCD ．A ，B ，C 成等差数列答案：BC 解析：由111tan A tan B sin C +=得，cos cos 1sin sin sin A B A B C+=，2sin sin sin A B C =，故ab ＝c 2，故a ，c ，b 成等比数列，故A 错误；∵bcosC ＋ccosB ＝2b ，∴a ＝2b ，又ab ＝c 2，∴c＝b ，∴a ：b ：c ＝2：1，∴sinA ：sinB ：sinC ＝2：1B 正确；cosC ＝222412322214a b c ab +-+-==⨯⨯，sinC＝，∴S ＝11sin 422a b C ⨯⨯=⨯⨯2=，故C 正确；cosB＝22228a c b ac +-==，故B ≠60°，故D 错误，故选BC ． 12．已知函数()ln f x x x =，若120x x <<，则下列选项正确的是A ．1212()()0f x f x x x -<- B ．1122()()x f x x f x +<+ C ．2112()()x f x x f x < D ．当211ex x >>时，11222112()()()()x f x x f x x f x x f x +>+ 答案：CD解析：首先注意到函数()ln f x x x =，在(0，1e )单调递减，在(1e，+∞)单调递增，故A 错误，112221121112()()()()()[()()]0x f x x f x x f x x f x x x f x f x +>+⇒-->，故D 正确；令()()ln g x f x x x x x =+=+，不是单调函数，故B 错误；令()()ln f x h x x x==，是单调增函数，故C 正确，故选CD ．三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．高二某班共有60名学生，其中女生有20名，三好学生占全班人数的16，而且三好学生中女生占一半．现在从该班任选一名同学参加某一座谈会．则在已知没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率为 ． 答案：18解析：P ＝51408=．14．曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为 ． 答案：2y x =解析：ln 1y x x =++，11y x'=+，设切点横坐标为0x ，001121x x +=⇒=，所以切点(1，2)，故切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =．15．已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范围是 ． 答案：(﹣2，6)解析：点P 与点F 重合时，AP AB ⋅有最小值为﹣2，当点P 与点C 重合时，AP AB ⋅有最大值为6，故AP AB ⋅的取值范围是(﹣2，6)．16．椭圆与双曲线有相同的焦点F 1(﹣c ，0)，F 2(c ，0)，椭圆的一个短轴端点为B ，直线F 1B 与双曲线的一条渐近线平行．若椭圆与双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则12e e ＝ ；且22123e e +的最小值为 ．答案：1；解析：设椭圆方程为2222111x y a b +=，双曲线方程为2222221x y a b -=，则由直线F 1B 与双曲线的一条渐近线平行，得222222212121222222222211b b b b a c c a e c a c a c a e --=⇒=⇒=⇒=，∴12e e ＝1；所以2212123e e e +≥=21223e e ⎧=⎪⎨⎪=⎩取等号．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知函数2()cos 2sin 1f x x x x =+-．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(A)2f =，C ＝4π，c ＝2，求△ABC 的面积．解：（1）∵()221f x sin x =+-=﹣cos2x＝2sin （2x 6π-）， 令2kπ2π-≤2x 6π-≤2kπ2π+，k ∈Z ，解得kπ6π-≤x≤kπ3π+，k ∈Z ，∴函数f （x ）的单调递增区间为：[kπ6π-，kπ3π+]，k ∈Z ．（2）∵f （A ）＝2sin （2A 6π-）＝2， ∴sin （2A 6π-）＝1， ∵A ∈（0，π），2A 6π-∈（6π-，116π），∴2A 62ππ-=，解得A 3π=，∵C 4π=，c ＝2，∴由正弦定理sin a b sinA B =，可得2sin sin 12c B b sinC ππ⎛⎫⨯+ ⎪⋅===+ ∴S △ABC 12=absinC 12=（1322+⨯=． 18．（本小题满分12分）2020年寒假是特殊的寒假，因为疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为了研究学生在网上学习的情况，某学校在网上随机抽取120名学生对线上教育进行调查，其中男生与女生的人数之比为11：13，其中男生30人对于线上教育满意，女生中有15名表示对线上教育不满意．（1； （2）从被调查中对线上教育满意的学生中，利用分层抽样抽取8名学生，再在8名学生中抽取3名学生，作学习经验介绍，其中抽取男生的个数为ξ．求出ξ的分布列及期望值．附公式及表：22()n ad bc K -=，其中n a b c d =+++．解：（1）因为男生人数为：120551113⨯=+，所以女生人数为1205565-=，于是可完成22⨯列联表，如下： 根据列联表中的数据，得到K 的观测值2120(30152550)960 6.713 6.63555658040143k ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”（2）由（1）可知男生抽3人，女生抽5人，依题可知ξ的可能取值为0,1,2,3，并且ξ服从超几何分布，()()335380,1,2,3k kC C P k k C ξ-===，即 3215533388515(0),(1)2828C C C P P C C ξξ======, 1235333388151(2),(3)5656C C C P P C C ξξ======. 可得分布列为可得1519()0123282856568E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.19．（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在原点，其焦点与双曲线22221x y -=的焦点重合，点P(0)在椭圆C 上，动直线l ：y ＝kx ＋m 交椭圆于不同两点A ，B ，且OA OB 0⋅=(O 为坐标原点)．（1）求椭圆的方程；（2）讨论7m 2﹣12k 2是否为定值；若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 解：（1）因为双曲线22221x y-=的焦点为()1,0，所以在椭圆C 中1c =，设椭圆C 的方程为()2222110y x a a a +=>-， 由点(P 在椭圆C 上得2311a =-，解得242a a =⇒=，则b == 所以椭圆C 的方程为22143x y +=（2）22712m k -为定值，理由如下：设()()1122,,,A x y B x y ，由0OA OB ⋅=可知12120x x y y +=，联立方程组()222223484120143y kx mk x mkx m x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩， 由()()2222644344120m k k m ∆=-+->得2234m k <+，21212228412,3434km m x x x x k k -+=-=++，① 由12120x x y y +=及y kx m =+得()()12120x x kx m kx m +++=，整理得()()22121210k x x km x x m ++++=，将①式代入上式可得()222224128103434m kmk km m k k-+⋅-⋅+=++， 同时乘以234k +可化简得()()222222214128340k m k m m m k +--++=，所以22712=12m k -，即22712m k -为定值. 20．（本小题满分12分）已知函数2()f x x bx c =++，且()0f x ≤的解集为[﹣1，2]． （1）求函数()f x 的解析式；（2）解关于x 的不等式()2(1)mf x x m >--(m ≥0)；（3）设()31()2f x x g x +-=，若对于任意的1x ，2x ∈[﹣2，1]都有12()()g x g x M -≤，求M 的最小值． 解：（1）因为()0f x ≤的解集为[1,2]-，所以20x bx c ++=的根为1-，2， 所以1b -=，2c =-，即1b =-，2c =-；所以2()2f x x x =--；（2）()2(1)mf x x m >--，化简有2(2)2(1)m x x x m -->--，整理(2)(1)0mx x -->， 所以当0m =时，不等式的解集为(,1)-∞， 当02m <<时，不等式的解集为2(,1),m ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭， 当2m =时，不等式的解集为(,1)(1,)-∞+∞，当2m >时，不等式的解集为()2(,)1,m-∞+∞，（3）因为[2,1]x ∈-时2()3123f x x x x +-=+-，根据二次函数的图像性质，有2()3123[4,0]f x x x x +-=+-∈-，则有2()3123()22f x x x xg x +-+-==，所以，1(),116g x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 因为对于任意的12,[2,1]x x ∈-都有12|()()|g x g x M -≤， 即求12|()()|Max g x g x M -≤，转化为()()Max Min g x g x M -≤， 而()(1)1Max g x g ==，1()(1)16Min g x g =-=，所以， 此时可得1516M ≥， 所以M 的最小值为1516.21．（本小题满分12分）已知221()(ln )x f x a x x x -=-+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）当a ＝1时，证明3()()2f x f x '>+对于任意的x ∈[1，2]成立． 解：（1）的定义域为；223322(2)(1)'()a ax x f x a x x x x--=--+=. 当，时，'()0f x >，单调递增；(1,),'()0x f x ∈+∞<时，单调递减.当时，3(1)22'()()()a x f x x x x a a-=+-. ① ，，当或x ∈时，'()0f x >，单调递增；当x ∈时，'()0f x <，单调递减；② 时，，在x ∈内，'()0f x ≥，单调递增；③ 时，，当或x ∈时，'()0f x >，单调递增；当x ∈时，'()0f x <，单调递减.综上所述， 当时，函数在内单调递增，在内单调递减； 当时，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增； 当时，在内单调递增； 当，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增.（2）由（Ⅰ）知，时，22321122()'()ln (1)x f x f x x x x x x x --=-+---+23312ln 1x x x x x =-++--，，令，.则()'()()()f x f x g x h x -=+， 由1'()0x g x x-=≥可得，当且仅当时取得等号.又24326'()x x h x x --+=，设，则在x ∈单调递减，因为， 所以在上存在使得时，时，，所以函数()h x 在上单调递增；在上单调递减， 由于，因此，当且仅当取得等号， 所以3()'()(1)(2)2f x f xgh ->+=， 即3()'()2f x f x >+对于任意的恒成立22．（本小题满分12分）已知点P 是抛物线C 1：24y x =的准线上任意一点，过点P 作抛物线的两条切线PA 、PB ，其中A 、B 为切点．（1）证明：直线AB 过定点，并求出定点的坐标；（2）若直线AB 交椭圆C 2：22143x y +=于C 、D 两点，S 1，S 2分别是△PAB ，△PCD 的面积，求12S S 的最小值．解：（1）证明：设点()11,A x y 、()22,B x y ， 则以A 为切点的切线方程为()1112y y x x y -=-，即()112y y x x =+， 同理以B 为切点的切线方程为()222y y x x =+，两条切线均过点()1,P t -，()()11222121ty x ty x ⎧=-+⎪∴⎨=-+⎪⎩，即1122220220x ty x ty --=⎧⎨--=⎩，所以，点A 、B 的坐标满足直线220x ty --=的方程， 所以，直线AB 的方程为220x ty --=，在直线AB 的方程中，令0y =，可得1x =，所以，直线AB 过定点()1,0；（2）设点P 到直线AB 的距离为d ，则1212PABPCDd AB AB S S CD d CD ⋅==⋅△△. 由题意可知，直线AB 不与x 轴重合，可设直线AB 的方程为1x my =+，设()33,C x y 、()44,D x y ，由241y x x my ⎧=⎨=+⎩，得2440y my --=，()21610m ∆=+>恒成立，由韦达定理得124y y m +=，124y y =-，由弦长公式可得()21241AB y y m =-==+由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2234690m y my ++-=，()()22236363414410m m m ∆=++=+>恒成立.由韦达定理得342634m y y m +=-+，342934y y m =-+，由弦长公式得()234212134m CD y m +=-==+.()()2222241344433312134PAB PCD m AB S m m S CD m m ++∴====+≥++△△，当且仅当0m =时，等号成立.因此，12S S 的最小值为43.。
2020-2021学年福建省福州八中高三(上)第一次质检数学理科试题Word版含解析
2020-2021学年福建省福州八中高三（上）第一次质检数学理科试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x∈Z|（x+1）（x﹣2）≤0}，B={x|﹣2＜x＜2}，则A∩B=（）A．{x|﹣1≤x＜2} B．{﹣1，0，1} C．{0，1，2} D．{﹣1，1}2．有下列四个命题：（1）“若x+y=0，则x、y互为相反数”的否命题；（2）“若a＞b，则a2＞b2”的逆否命题；（3）“若x≤﹣3，则x2﹣x﹣6＞0”的否命题；（4）“对顶角相等”的逆命题．其中真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．33．已知a，b是实数，则“”是“log3a＞log3b”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．若命题“∃x0∈R，使得x2+mx+2m﹣3＜0”为假命题，则实数m的取值范围是（）A．[2，6] B．[﹣6，﹣2] C．（2，6）D．（﹣6，﹣2）5．下列函数中，值域是（0，+∞）的是（）A．y=2x+1（x＞1）B．y=x2﹣x+1 C．D．y=6．若sin（﹣α）=，则2cos2（+）﹣1=（）A．B． C．D．7．平面向量夹角为=（）A．7 B．C．D．38．函数y=的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．9．若a ＞b ＞1，0＜c ＜1，则（ ） A ．a c ＜b c B ．ab c ＜ba cC ．alog b c ＜blog a cD ．log a c ＜log b c10．设f 0（x ）=sinx ，f 1（x ）=f 0′（x ），f 2（x ）=f 1′（x ），…，f n+1（x ）=f n ′（x ），n ∈N ，则f 2016（x ）=（ ） A ．sinxB ．﹣sinxC ．cosxD ．﹣cosx11．已知函数，则关于a 的不等式f （a ﹣2）+f （a 2﹣4）＜0的解集是（ ）A ．B ．（﹣3，2）C ．（1，2）D ．12．函数f （x ）=﹣x 2+3x+a ，g （x ）=2x ﹣x 2，若f （g （x ））≥0对x ∈[0，1]恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[﹣e ，+∞） B ．[﹣ln2，+∞） C ．[﹣2，+∞）D ．（﹣，0]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，当x ＜0时，f （x ）=，那么f （）的值是 ． 14．设α是第二象限角，P （x ，4）为其终边上一点，且，则x= ，tan α= ．15．已知向量=（k ，12），=（4，5），=（k ，10），且A 、B 、C 三点共线，则k= ．16．已知f （x ）是定义在R 上且周期为4的函数，在区间[﹣2，2]上，，其中m ，n ∈R ，若f （1）=f （3），则= ．三、解答题：解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．（12分）已知a ＞0，a ≠1，命题p ：“函数f （x ）=a x 在（0，+∞）上单调递减”，命题q ：“关于x 的不等式x 2﹣2ax+≥0对一切的x ∈R 恒成立”，若p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，求实数a的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）=5sinxcosx﹣5求：（1）函数f（x）的最小正周期；（2）函数f（x）的单调递增区间．19．（12分）设函数f（x）=a x﹣（k﹣1）a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．（1）求k值；（2）若f（1）=，且g（x）=a2x+a﹣2x﹣2m•f（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣2，求m的值．20．（12分）设△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若向量=（cos，sin），=（cos，cos），且与的角为．（1）求角C的值；（2）已知边，△ABC的面积，求a+b的值．21．（12分）设函数f（x）=x2﹣mlnx，g（x）=x2﹣（m+1）x（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当m≥0时，讨论函数f（x）与g（x）图象的交点个数．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．2020-2021学年福建省福州八中高三（上）第一次质检数学理科试题参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x∈Z|（x+1）（x﹣2）≤0}，B={x|﹣2＜x＜2}，则A∩B=（）A．{x|﹣1≤x＜2} B．{﹣1，0，1} C．{0，1，2} D．{﹣1，1}【分析】求出A中不等式的解集，找出解集中的整数解确定出A，求出A与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式解得：﹣1≤x≤2，x∈Z，即A={﹣1，0，1，2}，∵B={x|﹣2＜x＜2}，∴A∩B={﹣1，0，1}，故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．有下列四个命题：（1）“若x+y=0，则x、y互为相反数”的否命题；（2）“若a＞b，则a2＞b2”的逆否命题；（3）“若x≤﹣3，则x2﹣x﹣6＞0”的否命题；（4）“对顶角相等”的逆命题．其中真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】（1）写出否命题并判断真假性，（2）判断原命题是假命题，得出它的逆否命题是假命题，（3）写出否命题并判断它的真假性，（4）写出逆命题，再判断真假性．【解答】解：对于（1），“若x+y=0，则x、y互为相反数”的否命题是“若x+y≠0，则x、y互为相反数”，是真命题；对于（2），“若a＞b，则a2＞b2”是假命题，则它的逆否命题是假命题；对于（3），“若x≤﹣3，则x2﹣x﹣6＞0”的否命题是“若x＞﹣3，则x2﹣x﹣6≤0”，是假命题；对于（4），“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，它是假命题．综上，以上真命题的个数是1．故选：B．【点评】本题考查了四种命题以及命题真假的判断问题，是基础题目．3．已知a，b是实数，则“”是“log3a＞log3b”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：若“”，则a＞b，若“log3a＞log3b”，则a＞b＞0．所以“”是“log3a＞log3b”的必要不充分条件．故选B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用指数函数和对数函数的单调性进行判断，注意对数函数定义域的要求．4．若命题“∃x0∈R，使得x2+mx+2m﹣3＜0”为假命题，则实数m的取值范围是（）A．[2，6] B．[﹣6，﹣2] C．（2，6）D．（﹣6，﹣2）【分析】先写出原命题的否定，再根据原命题为假，其否定一定为真，利用不等式对应的是二次函数，结合二次函数的图象与性质建立不等关系，即可求出实数m的取值范围．【解答】解：命题“∃x∈R，使得”的否定为：“∀x∈R，都有”，由于命题“∃x∈R，使得”为假命题，则其否定为：“∀x∈R，都有”，为真命题，∴△=m2﹣4（2m﹣3）≤0，解得2≤m≤6．则实数m的取值范围是[2，6]．故选A．【点评】本题考查二次不等式恒成立，解决此类问题要结合二次函数的图象与性质处理．5．下列函数中，值域是（0，+∞）的是（）A．y=2x+1（x＞1）B．y=x2﹣x+1 C．D．y=【分析】根据不等式的性质，配方法求二次函数的值域，反比例函数的值域便可求出每个选项的函数的值域，从而找出正确选项．【解答】解：A．x＞1；∴2x+1＞3；即y＞3；∴该函数的值域为（3，+∞）；∴该选项错误；B.；∴该函数的值域为；∴该选项错误；C.，x≠0；∴y≠0；∴该函数的值域为{y|y≠0}；D.，x2＞0；∴；即y＞0；∴该函数的值域为（0，+∞）；∴该选项正确．故选D．【点评】考查根据不等式的性质求函数的值域，反比例函数的值域，以及配方法求二次函数的值域．6．若sin（﹣α）=，则2cos2（+）﹣1=（）A．B． C．D．【分析】由条件利用二倍角的余弦公式、诱导公式，求得要求式子的值．【解答】解：若，则=cos（+α）=sin[﹣（+α）]=sin （﹣α）=，故选：A．【点评】本题主要考查二倍角的余弦公式、诱导公式的应用，属于基础题．7．平面向量夹角为=（）A．7 B．C．D．3【分析】求出，利用=，直接求出结果即可．【解答】解：因为平面向量夹角为，∴，所以===．故选C．【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量的模的求法，考查计算能力．8．函数y=的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据函数的定义域，取值范围和取值符号，进行排除即可．【解答】解：函数的定义域为{x|x≠0}，排除A．当x→﹣∞时，y→+∞，排除B，当x→+∞时，x3＜3x﹣1，此时y→0，排除D，故选：C【点评】本题主要考查函数图象的识别，根据函数的性质结合极限思想是函数图象的基本方法．9．若a ＞b ＞1，0＜c ＜1，则（ ） A ．a c ＜b c B ．ab c ＜ba cC ．alog b c ＜blog a cD ．log a c ＜log b c【分析】根据已知中a ＞b ＞1，0＜c ＜1，结合对数函数和幂函数的单调性，分析各个结论的真假，可得答案．【解答】解：∵a ＞b ＞1，0＜c ＜1，∴函数f （x ）=x c 在（0，+∞）上为增函数，故a c ＞b c ，故A 错误；函数f （x ）=x c ﹣1在（0，+∞）上为减函数，故a c ﹣1＜b c ﹣1，故ba c ＜ab c ，即ab c ＞ba c ；故B 错误；log a c ＜0，且log b c ＜0，log a b ＜1，即=＜1，即log a c ＞log b c ．故D 错误；0＜﹣log a c ＜﹣log b c ，故﹣blog a c ＜﹣alog b c ，即blog a c ＞alog b c ，即alog b c ＜blog a c ，故C 正确； 故选：C【点评】本题考查的知识点是不等式的比较大小，熟练掌握对数函数和幂函数的单调性，是解答的关键．10．设f 0（x ）=sinx ，f 1（x ）=f 0′（x ），f 2（x ）=f 1′（x ），…，f n+1（x ）=f n ′（x ），n ∈N ，则f 2016（x ）=（ ） A ．sinxB ．﹣sinxC ．cosxD ．﹣cosx【分析】根据题中已知条件先找出函数f n （x ）的规律，便可发现f n （x ）的循环周期为4，从而求出f 2016（x ）的值． 【解答】解：f 0（x ）=sinx f 1（x ）=f 0′（x ）=cosx f 2（x ）=f 1′（x ）=﹣sinx f 3（x ）=f 2′（x ）=﹣cosx f 4（x ）=f 3′（x ）=sinx…由上面可以看出，以4为周期进行循环2016÷4=504，所以f2016（x）=f（x）=sinx．故选A．【点评】本题考查了导数的运算，根据导数求出fn（x）的表达式，由已知导函数求原函数解析式，逆向求解的方法，本题属于基础题．11．已知函数，则关于a的不等式f（a﹣2）+f（a2﹣4）＜0的解集是（）A．B．（﹣3，2）C．（1，2）D．【分析】根据已知中的函数解析式，先分析函数的单调性和奇偶性，进而根据函数的性质及定义域，可将不等式f（a﹣2）+f（a2﹣4）＜0化为1＞a﹣2＞4﹣a2＞﹣1，解不等式组可得答案．【解答】解：函数的定义域为（﹣1，1）∵f（﹣x）=﹣sinx=﹣f（x）∴函数f（x）为奇函数又∵f′（x）=+cosx＞0，∴函数在区间（﹣1，1）上为增函数，则不等式f（a﹣2）+f（a2﹣4）＜0可化为：f（a﹣2）＜﹣f（a2﹣4）即f（a﹣2）＜f（4﹣a2），即﹣1＜a﹣2＜4﹣a2＜1解得＜a＜2故关于a的不等式f（a﹣2）+f（a2﹣4）＜0的解集是（，2）．故选：A．【点评】本题考查的知识点是函数的单调性和奇偶性的性质，解不等式，是函数图象和性质与不等式的综合应用，属于中档题．12．函数f（x）=﹣x2+3x+a，g（x）=2x﹣x2，若f（g（x））≥0对x∈[0，1]恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣e，+∞）B．[﹣ln2，+∞）C．[﹣2，+∞）D．（﹣，0]【分析】确定g（x）在x∈[0，1]上的值域为[1，g（x0）]]，（g（x）=，再分离参数求最大值，即可求实数a的取值范围．【解答】解：令t=g（x），x∈[0，1]，则g′（x）=2x ln2﹣2x设g′（x0）=0，则函数在[0，x]上单调递增，在[x，1]上单调递减，g（x）在x∈[0，1]上的值域为[1，g（x0）]]，（g（x）=∴f（t）≥0，即a≥t2﹣3t，∴a≥﹣2．故选：C．【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x＜0时，f（x）=，那么f（）的值是．【分析】由已知可得f（）=f（﹣），结合当x＜0时，f（x）=，可得答案．【解答】解：∵当x＜0时，f（x）=，∴f（﹣）==，又∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（）=f（﹣）=，故答案为：【点评】本题考查的知识点是函数求值，函数的奇偶性，难度中档．14．设α是第二象限角，P（x，4）为其终边上一点，且，则x= ﹣3 ，tanα= ﹣．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得x的值，可得tanα的值．【解答】解：∵α是第二象限角，P（x，4）为其终边上的一点，∴x＜0，∵cosα==，∴x=﹣3，∴tanα=﹣，故答案为：﹣3，﹣【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．15．已知向量=（k，12），=（4，5），=（k，10），且A、B、C三点共线，则k= 4 ．【分析】利用向量共线定理即可得出．【解答】解：∵==（4﹣k，﹣7），==（k﹣4，5），A、B、C三点共线，∴5（4﹣k）+7（k﹣4）=0，解得k=4．故答案为：4．【点评】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16．已知f（x）是定义在R上且周期为4的函数，在区间[﹣2，2]上，，其中m，n∈R，若f（1）=f（3），则= 8 ．【分析】由函数的周期性可得f（﹣2）=f（2），f（1）=f（﹣1），可得m和n的方程组，解方程组求解定积分可得．【解答】解：∵f（x）是定义在R上且周期为4的函数，在区间[﹣2，2]上有，且f（1）=f（3），∴f（﹣2）=f（2），f（1）=f（3）=f（﹣1），∴﹣2m+2=，=﹣m+2，联立解得m=﹣2，n=10，∴=•（mx2+nx）=m+n=8故答案为：8【点评】本题考查定积分的求解，涉及分段函数以及函数的周期性，属中档题．三、解答题：解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．（12分）已知a＞0，a≠1，命题p：“函数f（x）=a x在（0，+∞）上单调递减”，命题q：“关于x的不等式x2﹣2ax+≥0对一切的x∈R恒成立”，若p∧q为假命题，p∨q为真命题，求实数a的取值范围．【分析】第一步：分别求出p，q为真时a的取值范围；第二步：由题设“p∧q为假命题，p∨q为真命题”推断p，q的真假性；第三步：综合前面两步，由p，q的真假性即可求出a的取值范围．【解答】解：若p为真，则0＜a＜1；若q为真，则△=4a2﹣1≤0，得，又a＞0，a≠1，∴．因为p∧q为假命题，p∨q为真命题，所以p，q中必有一个为真，且另一个为假．①当p为真，q为假时，由；②当p为假，q为真时，无解．综上，a的取值范围是．【点评】1．求解本题时，应注意大前提“a＞0，a≠1”，a的取值范围是在此条件下进行的．2．本题考查了根据复合命题的真假反过来推断简单命题的真假，求解此类问题时，应熟记以下结论：（1）“或”命题p∨q的真假：一真为真，两假才假；（2）“且”命题p∧q的真假：一假为假，两真才真；（3）p的否定￢p：与p的真假相反．18．（12分）已知函数f（x）=5sinxcosx﹣5求：（1）函数f（x）的最小正周期；（2）函数f（x）的单调递增区间．【分析】（1）运用二倍角的正弦和余弦公式，及两角差的正弦公式，化简函数f（x），再由正弦函数的周期公式计算得答案；（2）利用正弦函数的单调性，解不等式即可得答案．【解答】解：（1）∵f（x）=5sinxcosx﹣5====，∴最小正周期T=；（2）由题意，解不等式，得．∴f（x）的单调递增区间是．【点评】本题考查三角函数的二倍角公式和两角和的正弦公式，考查正弦函数的周期性和单调性，属于中档题．19．（12分）设函数f（x）=a x﹣（k﹣1）a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．（1）求k值；（2）若f（1）=，且g（x）=a2x+a﹣2x﹣2m•f（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣2，求m的值．【分析】（1）利用奇函数的性质f（0）=0即可得出；（2）利用f（1）=，可得a．可得g（x）=（2x﹣2﹣x）2﹣2m（2x﹣2﹣x）+2．再利用指数函数与二次函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）∵f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，∴1﹣（k﹣1）=0，∴k=2，经检验知：k=2满足题意．（2）∵f（1）=，a﹣=，即2a2﹣3a﹣2=0，解得a=2或﹣，其中a=﹣舍去．∴g（x）=22x+2﹣2x﹣2m（2x﹣2﹣x）=（2x﹣2﹣x）2﹣2m（2x﹣2﹣x）+2．令t=f（x）=2x﹣2﹣x，由（1）可知f（x）=2x﹣2﹣x为增函数，∵x≥1，∴t≥f（1）=，令h（t）=t2﹣2mt+2=（t﹣m）2+2﹣m2（t≥），=2﹣m2=﹣2，∴m=2．…（10分）若m≥，当t=m时，h（t）min若m＜，当t=时，h（t）=﹣﹣3m=﹣2，解得m=＞，舍去．min综上可知：m=2．【点评】本题考查了函数的奇偶性、用指数函数与二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．（12分）设△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若向量=（cos，sin），=（cos，cos），且与的角为．（1）求角C的值；（2）已知边，△ABC的面积，求a+b的值．【分析】（1）由平面向量数量积的运算，两角差的余弦函数公式可求，结合范围C∈（0，π），可求C的值．（2）由已知及余弦定理可求，利用三角形面积公式可求ab=6，联立即可解得a+b的值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵=|•|||•cos，且||=||=1，…（2分）∴，即，…（4分）又∴C∈（0，π），∴．…（6分）（2）由c2=a2+b2﹣2abcosC，得，①由，②…（10分）由①②得，∵a、b∈R+∴．…（12分）【点评】本题主要考查了平面向量数量积的运算，两角差的余弦函数公式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．21．（12分）设函数f（x）=x2﹣mlnx，g（x）=x2﹣（m+1）x（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当m≥0时，讨论函数f（x）与g（x）图象的交点个数．【分析】（1）先求出函数的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间；（2）问题转化为求函数F（x）=f（x）﹣g（x）=﹣x2﹣mlnx+（m+1）x的零点个数问题，通过求导，得到函数F（x）的单调区间，求出F（x）的极小值，从而求出函数h（x）的零点个数即f（x）和g（x）的交点个数．【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=，当m≤0时，f′（x）≥0，所以函数f（x）的单调增区间是（0，+∞），无减区间；当m＞0时，f′（x）=；当0＜x＜时，f′（x）＜0，函数f（x）的单调递减；当x＞时，f′（x）＞0，函数f（x）的单调递增．综上：当m≤0时，函数f（x）的单调增区间是（0，+∞），无减区间；当m＞0时，函数f（x）的单调增区间是（，+∞），减区间是（0，）；（2）解：令F（x）=f（x）﹣g（x）=﹣x2+（m+1）x﹣mlnx，x＞0，问题等价于求函数F（x）的零点个数，当m=0时，F（x）=﹣x2+x，x＞0，有唯一零点；当m≠0时，F′（x）=﹣，当m=1时，F′（x）≤0，函数F（x）为减函数，注意到F（1）=＞0，F（4）=﹣ln4＜0，所以F（x）有唯一零点；当m＞1时，令F′（x）＞0，解得：1＜x＜m，令F′（x）＜0，解得：x＞m或x＜1，∴F（x）在（0，1）递减，在（1，m）递增，在（m，+∞）递减，∴F（x）极小值=h（1）=m+＞0，∴F（x）和x轴有1个交点，综上，函数F（x）有唯一零点，即两函数图象总有一个交点．【点评】本题考察了导数的应用，考察函数的单调性问题，考察转化思想，函数的零点问题，是一道中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．【分析】（Ⅰ）由曲线C1的参数方程利用同角三角函数的基本关系消去t，化为直角坐标方程．再根据x=ρcosθ、y=ρsinθ化为极坐标方程．（Ⅱ）把曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程，联立方程组求得C1与C2交点的直角坐标，再化为极坐标．【解答】解：（Ⅰ）由曲线C1的参数方程为（t为参数），利用同角三角函数的基本关系消去t，化为直角坐标方程为（x﹣4）2+（y﹣5）2=25．再根据x=ρcosθ、y=ρsinθ化为极坐标方程为ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0．（Ⅱ）∵曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ，即ρ2=2ρsinθ，即x2+（y﹣1）2=1．由，求得，或，故C1与C2交点的直角坐标为（1，1）、（0，2），故C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）为（，）、（2，）．【点评】本题主要考查把点的极坐标化为直角坐标、把参数方程化为普通方程的方法，利用了公式x=ρcosθ、y=ρsinθ，属于基础题．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．【分析】（1）不等式等价于，或，或，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（2）原命题等价于﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即①，或②，或③．解①可得x≤1，解②可得x∈∅，解③可得x≥4．把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集为 {x|x≤1或x≥4}．（2）原命题即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．故当 1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3，2﹣x的最小值为0，故a的取值范围为[﹣3，0]．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．。
2020-2021学年高三数学(理科)高三第一次调研考试及答案解析
最新高三年级第一次调研考试数学（理科）一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{A x y =，2{log 1}B x x =≤，则A B =I （ ） A ．{31}x x -≤≤ B ．{01}x x <≤ C ．{32}x x -≤≤ D ．{2}x x ≤ 【答案】B【解析】{31}A x x =-≤≤，∴{02}B x x =<≤，A B =I {01}x x <≤．2．设i 为虚数单位，复数z 满足i 34i z ⋅=+，则z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】D 【解析】34i43i iz +==-，故选D ． 3．已知平面向量a ，b 满足2=a ，1=b ，a 与b 的夹角为120o ，且()(2)λ+⊥-a b a b ，则实数λ的值为（ ）A ．7-B ．3-C ．2D ．3 【答案】D【解析】∵()(2)λ+⊥-a b a b ，∴22()(2)2(21)λλλ+⋅-=-+-⋅a b a b a b a b ， 8(21)930λλλ=---=-=， ∴3λ=．4．若变量,x y 满足约束条件220,330,0.x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩则z x y =-的最小值为（ ）A ．3-B ．1C ．2-D ．2 【答案】C5．公差为1的等差数列{}n a 中，136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前10项和为（ ） A ．65 B ．80 C ．85 D ．170 【答案】C【解析】∵2316a a a =⋅，∴2111(2)(5)a d a a d +=⋅+， ∴2111(2)(5)a a a +=⋅+，即14a =．∴101094101852S ⨯=⨯+⨯=． 6．若函数()2sin(2)()2f x x πϕϕ=+<的图像过点(,1)6π，则该函数图像的一条对称轴方程是（ ） A ．12x π=B ．512x π=C ．6x π=D ．3x π=【答案】D【解析】∵()2sin()163f ππϕ=+=，∴1sin()32πϕ+=．∵2πϕ<，5636πππϕ-<+<，∴36ππϕ+=，∴6πϕ=-，()2sin(2)6f x x π=-∵()23f π=，故选D ．7．261(2)()x x x+-的展开式中常数项为（ ）A ．40-B ．25-C ．25D ．55 【答案】B【解析】61()x x-的通项662166(1)(1)r r r r r r rr T C x x C x ---+=-=-，令622r -=-，得4r =；令620r -=，得3r =．∴常数项为443366(1)2(1)25C C -+⋅-=-．8．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则在该几何体中，最长的棱的长度是（ ） A ．42 B ．25 C ．6 D ．43【答案】D【解析】该几何体为边长为4的正方体的部分，如图，最长的边为43PC =．9．4名同学参加3项不同的课外活动，若每名同学可自由选择参加其中的一项，则每项活动至少有一名同学参加的概率为（ ） A ．49 B ．427 C ．964 D ．364【答案】A【解析】∵23434439C A P ==． CD AB P10．点S 、A 、B 、C的同一球面上，点S 到平面ABC 的距离为12，AB BC CA === 则点S 与ABC ∆中心的距离为（ ）ABC ．1D ．12【答案】B【解析】设球心为O ,ABC ∆中心为1O ，ABC ∆外接圆半径13r ==， 依题意，1OO ⊥平面ABC ，∴11OO ==．作21SO OO ⊥，垂足为2O ，则1212O O =， ∴2O 为1OO的中点，∴1SO SO R ==．11．过点(0,2)b 的直线l 与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条斜率为正值的渐进线平行，若双曲线C 的右支上的点到直线l 的距离恒大于b ，则双曲线C 的离心率为取值范围是（ ） A ．(1,2] B ．(2,)+∞ C ．(1,2) D．【答案】A【解析】直线l 的方程为2by x b a=+， ∵双曲线C 的右支上的点到直线l 的距离恒大于b ，直线l 和直线by x a =b ≥，∴2()14b a+≤，∴2223c a a -≤，∴12e <≤． 12．函数2()ln f x x ax x =-+有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ． (0,1)B ．(,1)-∞C ．21(,)e e +-∞D ．21(0,)ee + 【答案】A【解析】2()ln 0f x x ax x =-+=，得2ln 1x a x x =+， 令2ln 1()x g x x x =+，则 24212ln 1()x x xx g x x x⋅-'=-312ln x x x --=， 令()12ln h x x x =--，则2()10h x x'=--<，∴()12ln h x x x =--在(0,)+∞上为单调减函数，∵(1)0h =，∴(0,1)x ∈时，()0h x >，(1,)x ∈+∞时，()0h x <， ∴(0,1)x ∈时，()0g x '>，(1,)x ∈+∞时，()0g x '<， ∴()g x 在1x =处取得极大值，也是最大值， ∵(1)1g =，∴1a <．O 2AC BSOO 1∵1x e=时，2()0g x e e =-+<， x →+∞时，()0g x >，∴0a >， 综上，(0,1)a ∈．二、填空题：本大题4小题，每小题5分，满分20分13．已知(),()f x g x 分别是定义域为R 的奇函数和偶函数，且()()3xf xg x +=，则(1)f 的值为______． 【答案】43【解析】∵()(),()()f x f x g x g x -=--=，∵()()3xf xg x +=，∴(1)(1)31(1)(1)3f g f g +=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，∴(1)(1)31(1)(1)3f g f g +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，∴1343(1)23f -==． 14．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的n 值为______． （参考数据：sin150.2588=o ，sin 7.50.1305=o ）【答案】24【解析】由程序框图可知：15．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F ，且倾斜角为4π的直线与抛物线交于,A B 两点，若弦AB 的垂直平分线经过点(0,2)，则p 等于______． 【答案】45【解析】直线AB 的方程为2p y x =-，由222(0)p y x y px p ⎧=-⎪⎨⎪=>⎩，得2220y py p --=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 的中点00(,)x y ，则1202y y y p +==，00322p x y p =+=，∴弦AB 的垂直平分线方程为3()2y p x p -=--，∵弦AB 的垂直平分线经过点(0,2)，∴322p p -=，∴45p =．16．数列{}n a 满足221211,,(2)2,.n n n n n a n a n a a n ---⎧ <⎪=≥⎨≥⎪⎩，若{}n a 为等比数列，则1a 的取值范围是______． 【答案】9[,)2+∞【解析】当212a <时，2224a ==，∵2243a =<，∴2339a ==．∵2394a =<，∴24416a ==．若{}n a 为等比数列，则2324a a a =，即29416=⨯，显然不成立，∴14a ≥．当212a =时，2128a a ==， ∵2283a =<，∴2339a ==．若{}n a 为等比数列，则2213a a a =，即2849=⨯，显然不成立，∴14a ≠．当212a >时，212a a =． ①当2123a <时，2339a ==，若{}n a 为等比数列，则2213a a a =，即211(2)9a a =，194a =与14a >矛盾，故192a ≥． ②当2123a ≥时，312a a =，满足2213a a a =．∴1a 的取值范围是9[,)2+∞．三、解答题：本大题共8小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，60C =o，D 是BC 上一点，31,20,21AB BD AD ===．（1）求cos B 的值；（2）求sin BAC ∠的值和边BC 的长．DBCA【解析】（1）在ABD ∆中，31,20,21AB BD AD ===，根据余弦定理，有222cos 2AB BD AD B AB BD +-=⋅222312021232312031+-==⨯⨯．222cos 2AB BD AD B AB BD+-=⋅（2）∵0B π<<，∴223123sin 1()3131B =-=．∴sin sin[180(600)]sin(60)BAC B B ∠=-+=+o o osin 60cos cos60sin B B =+o o3231123353312=⨯+⨯=． 在ABC ∆中，根据正弦定理，有sin sin BC ABBAC C =∠∠, ∴35331sin 6235sin 32AB BAC BC C ⨯∠===∠．18．（本小题满分12分）根据某水文观测点的历史统计数据，得到某河流水位X （单位：米）的频率分布直方图如下：将河流水位在以上6段的频率作为相应段的概率，并假设每年河流水位互不影响 （1）求未来三年，至多有1年河流水位[27,31)X ∈的概率（结果用分数表示）；（2）该河流对沿河A 企业影响如下：当[23,27)X ∈时，不会造成影响；当[27,31)X ∈时，损失10000元；当[31,35)X ∈时，损失60000元，为减少损失，现有种应对方案： 方案一：防御35米的最高水位，需要工程费用3800元； 方案二：防御不超过31米的水位，需要工程费用2000元； 方案三：不采取措施；试比较哪种方案较好，并请说理由．【解析】（1）由二项分布得，在未来3年，至多有1年河流水位[27,31)X ∈的概率为：031213333127()()()44432P C C =+=． ∴在未来3年，至多有1年河流水位[27,31)X ∈的概率为2732． （2）由题意可知(2327)0.74P X ≤<=，(2731)0.25P X ≤<=，(3135)0.01P X ≤<=，用123,,X X X 分别表示采取方案1,2,3的损失，由题意知13800X =，X 的分布列如下：20.012600⨯=．X 的分布列如下：30.013100⨯=．因为采取方案2的平均损失最小，所以采取方案2较好． 19．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60ABC ∠=o ，PA PB ⊥，2PC =． （1）求证：平面PAB ⊥平面ABCD ；（2）若PA PB =，求二面角A PC D --的余弦值.【解析】（1）取AB 中点O ，连接AC 、CO 、PO ， ∵四边形ABCD 是边长为2的菱形，∴2AB BC ==． ∵60ABC ∠=o ，∴ABC ∆是等边三角形． ∴CO AB ⊥，OC =∵PA PB ⊥，∴112PO AB ==．∵2PC =，∴222OP OC PC +=．∴CO PO ⊥． ∵AB PO O =I ，∴CO ⊥平面PAB ．∵CO ⊂平面ABCD ，∴平面PAB ⊥平面ABCD ．（2）∵22222211OP OA PA +=+==，∴PO AO ⊥． 由（1）知，平面PAB ⊥平面ABCD ，∴PO ⊥平面∴直线,,OC OB OP 两两垂直．∴以O 为原点建立空间直角坐标系O xyz -,如图，则(0,0,0),(0,1,0),(0,1,0),2,0),(0,0,1)O A B C D P --．∴(0,1,1),1),(0,2,0)AP PC DC ==-=u u u r u u u r u u u r． 设平面APC 的法向量为(,,)x y z =，由00AP PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u rm m ，得00y z z +=⎧⎪-=，取1x =，得(1,=m ， PADCBD设平面PCD 的法向量为(,,)x y z =n ，由00PC DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u rn n，得020z y -==⎪⎩，取1x =，得=n ，∴cos ,7⋅<>==⋅m n m n m n ，由图可知二面角A PC D --为锐二面角， ∴二面角A PC D --．20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的离心率为2，直线0x y ++=与椭圆E 仅有一个公共点（1）求椭圆E 的方程；（2）直线l 被圆22:3O x y +=截得的弦长为3，且与椭圆E 交于,A B 两点，求ABO ∆面积的最大值． 【解析】（1）∵2c e a ===，∴222a b =．∴故E 方程可化为222212x y b b +=，由2222012x y x y bb ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩，得223620x b ++-=，∴2212(62)0b ∆=--=，解得21b =． ∴椭圆E 的方程为2212x y +=． （2）记O 到直线l 的距离为d ，由垂径定理可得223()32d +=，解得d =当直线l 与y 轴平行，由题意可得直线l的方程为x =±．由22212x x y ⎧=±⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得4y =±，∴2AB =．∴128ABO S AB d ∆=⋅=． 当直线l 与y 轴不平行，设直线l 的方程为y kx m =+，∴d ==223(1)4m k =+．由2212y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2221()2102k x kmx m +++-=． ∴222222151(2)4()(1)4220222k km k m k m ∆=-+-=-+=+>， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则2121222422,2121km m x x x x k k -+=-=++．∴221212(1)[()4]AB k x x x x =++-2222(22)(51)(21)k k k ++=+424210122441k k k k ++=++24212522441k k k -=+++， 令2122t k =-，则12t ≥-． 2555269922293332444t t t AB t t t t t t=+=+≤+=+++++⋅，当且仅当32t =时，等号成立， ∵2652>，∴当32t =时，即1k =±时，max 12632()232ABO S h ∆=⨯⋅=．∵303282<，∴1k =±时，max 32()2ABO S ∆=．21．（本小题满分12分）已知函数()(1)xf x x e =+和函数2()()(1)xg x e a x =--（e 为自然对数的底数）．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）判断函数()g x 的极值点的个数，并说明理由； （3）若函数()g x 存在极值为22a ，求a 的值.【解析】（1）()(2)xf x x e '=+，令()0f x '>，解得2x >-．∴()f x 的单调增区间为(2,)-+∞，减区间为(,2)-∞-．（2）()(1)[(1)2)(1)[()2)xg x x x e a x f x a '=-+-=--，当(,1)x ∈-∞-，()(1)0xf x x e =+≤．①当0a e <<时，由（1）知，()f x 在(1,)-+∞单调增，且(1)20,(1)2220f a f a e a --<-=->， ∴∃唯一的0(1,1)x ∈-，使得0()0f x =．当0(,)x x ∈-∞时，()20f x a -<，故()0g x '>．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时写清题号 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在直角ABC ∆中，AB BC ⊥，D 为BC 边上异于,B C 的一点，以AB 为直径作圆O ，并分别交,AC AD 于点,E F ．（1）证明：,,,C E F D 四点共圆；（2）若D 为BC 的中点，且3AF =，1FD =，求AE 的长．【解析】（1）连结EF 、BE ，则ABE AFE ∠=∠， ∵AB 是⊙O 的直径，∴AE BE ⊥． ∵AB BC ⊥，∴ABE C ∠=∠， ∴AFE C ∠=∠，即180EFD C ∠+∠=o， ∴,,,C E F D 四点共圆．（2）∵AB BC ⊥，AB 是⊙O 的直径，∴BC 是 O 的切线，24DB DF DA =⋅=，即2BD =．∴AB ==∵D 为BC 的中点，∴4BC =，AC ==∵,,,C E F D 四点共圆，∴AE AC ⋅=∴12=,即7AE =．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为cos (sin x t t y t αα=⎧⎨=⎩为参数，0)απ<<，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为(0)1cos pp ρθ=>-．（1）写出直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求11OA OB+的值． 【解析】（1）由cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩，得当2πα=时，直线为0x =，其极坐标方程为2πθ=和32πθ=；当2πα≠时，消去参数t 得tan y x α=⋅，又0απ<<，∴直线l 是过原点且倾斜角为α的直线， ∴直线l 的极坐标方程为θα=和θαπ=+综上所述，直线l 的极坐标方程为θα=和(0)θαπαπ=+<<．由1cos pρθ=-，得cos p ρρθ-=，∵222x y ρ=+，cos x ρθ=，∴222()x y x p +=+，整理得22()2py p x =+．（2）设1122(,),(,)A B ρθρθ，由1cos p θαρθ=⎧⎪⎨=⎪-⎩，11cos p ρθ=-，即1cos p OA θ=-, 由1cos p θαπρθ=+⎧⎪⎨=⎪-⎩，21cos p ρθ=+，即1cos p OB θ=+, ∴111cos 1cos 2OA OB p p pθθ-++=+=． 24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()3()f x x a x a R =++-∈． （1）当1a =时，求不等式()8f x x ≥+的解集； （2）若函数()f x 的最小值为5，求a 的值． 【解析】（1）当1a =时，不等式()8f x x ≥+ 可化为138x x x ++-≥+，∴1228x x x <-⎧⎨-≥+⎩，或1348x x -≤<⎧⎨≥+⎩，或3228x x x ≥⎧⎨-≥+⎩，解得2x ≤-，或10x ≥，∴原不等式的解集为(,2][10,)-∞-+∞U ．（2）∵()3f x x a x =++-()(3)3x a x a ≥+--=+，令35a +=，解得2a =，或8a =-．。
2020-2021学年高三数学(理科)教学质量检测试题及答案解析
最新普通高中高三教学质量监测理科数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
l ．已知集合A ＝{x ｜y ，B ＝{x ｜2x －1＞0}，则A ∩B ＝A ．（－∞，－1）B ．[0，1）C ．（1，＋∞）D ．[0，＋∞）2．已知复数z ＝2＋i ，则221z z z －－＝A ．1322i ＋B ．1322i －－C ．1122i －－D ．1122i ＋3．已知双曲线C ：22221x y a b－＝（a ＞0，b ＞0）的离心率为2，且经过点（2，则双曲线C 的标准方程为A ．22123x y －＝B ．22139x y －＝C ．22146x y －＝ D ．221x y －＝ 4．已知等差数列{n a }，满足a 1＋a 5＝6，a 2＋a 14＝26，则{n a }的前10项和S 10＝ A ．40 B ．120 C ．100 D ．805．下列命题中正确的是A ．x ＝1是2x －2x ＋1＝0的充分不必要条件B ．在△ABC 中，A ＞B 是cosA ＜cosB 的必要不充分条件 C ．n ∃∈N ﹡，22n ＋5n ＋2能被2整除是假命题D ．若p ∧（q ⌝）为假，p ∨（q ⌝）为真，则p ，q 同真或同假6．已知定义在R 上的函数f （x ）在[1，＋∞）上单调递增，且f （x ＋1）为偶函数，则 A ．f （0）＜f （12） B ．f （－2）＞f （2） C ．f （－1）＜f （3） D ．f （－4）＝f （4） 7．执行如图所示的程序框图，输出的结果是A ．56B ．36C ．54D ．648．若x ，y 满足不等式组2010080x y x y x y ⎧⎪⎨⎪⎩－＋＞－5＋≤＋－≤，则z ＝｜x －3｜＋2y 的最小值为A ．4B ．265C ．6D ． 79．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A ．8＋73πB ．8＋83πC ．8＋103πD ．8＋3π10．已知函数f （x ）＝｜sinx ｜＋｜cosx ｜，则下列结论中错误的是 A ．f （x ）是周期函数 B ．f （x ）的对称轴方程为x ＝4k π，k ∈Z C ．f （x ）在区间（4π，34π）上为增函数D ．方程f （x ）＝65在区间[32π－，0]有6个根11．已知抛物线Γ：2x ＝8y 的焦点为F ，直线l 与抛物线Γ在第一象限相切于点P ，并且与直线y ＝－2及x 轴分别交于A 、B 两点，直线PF 与抛物线Γ的另一交点为Q ，过点B作BC ∥AF 交PF 于点C ，若｜PC ｜＝｜QF ｜，则｜PF ｜＝A 5 1B ．25C ．35D ．5512．若关于x 的不等式xlnx ＋x －kx ＋3k ＞0对任意x ＞1恒成立，则整数k 的最大值为 A ．4 B ．3 C ．2 D ．5第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2020-2021学年贵州省贵阳市高三(上)8月摸底数学试卷(理科) (含解析)
2020-2021学年贵州省贵阳市高三(上)8月摸底数学试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2−4x−5<0},B={−1,0,1,2,3,5},则A∩B=()A. {−1,0}B. {−1,0,1}C. {0,1,2}D. {0,1,2,3}2.已知复数z=1+2ii，则复数z等于()A. 2−iB. 2+iC. −2+iD. −2−i3.已知向量a⃗=(1,−4)，b⃗ =(2,m)，若a⃗⊥b⃗ ，则实数m=()A. −2B. −12C. 12D. 24.某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为()A. 6+√3B. 6+2√3C. 12+√3D. 12+2√35.某教育局为了解“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2017年1月至2017年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程(单位：公里)的数据，绘制了下面的折线图.根据折线图，下列结论正确的是()A. 月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数B. 月跑步平均里程逐月增加C. 月跑步平均里程高峰期大致在8、9月D. 1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳6.设f(x)={|x−1|−1,−1≤x≤111+x2,x>1或x<−1，则f[f(12)]等于()A. 12B. 413C. −95D. 25117.等差数列{a n}中，前n项的和为S n，若a7=1，a9=5，则S15的值是()A. 90B. 45C. 30D. 4528.正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，E为A1B1的中点，则下列四个命题：其中真命题的个数是()①点E到平面ABC1D1的距离为12；②直线BC与平面ABC1D1所成的角等于45°③空间四边形ABCD1在正方体六个面内形成六个射影，其面积最小值是12④AE与DC所成角的余弦值为√55A. 1B. 2C. 3D. 49.函数y=2|x|sin2x的图象可能是()A. B.C. D.10.已知F1,F2是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，若点F2关于双曲线渐近线的对称点A满足∠F1AO=∠AOF1(O为坐标原点)，则双曲线的离心率e=() A. √2 B. 2 C. √3 D. 3211.已知函数f(x)=1x2+1,x∈R，则f(12)=()A. 15B. 54C. 23D. 4512.已知a=log0.30.5，b=log30.5，c=log0.50.9，则()A. ab<ac<a+bB. a+b<ab<acC. ac<ab<a+bD. ab<a+b<ac二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知α∈(0,π2)，2sin2α=cos2α+1，则sinα=________．14.在二项式(x2−1x )5的展开式中，二项式系数之和是_____，含x4的项的系数_______．15.已知O为坐标原点，B与F分别为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点与右焦点，若|OB|=|OF|，则该椭圆的离心率是______．16.设等比数列{a n}满足a1+a2=−1，a1−a3=−3，则a4=______．三、解答题（本大题共8小题，共94.0分）17.已知△ABC的周长为√2+1，且sinA+sinB=√2sinC(I)求边AB的长；(Ⅱ)若△ABC的面积为16sinC，求角C的度数．18.为选拔选手参加“中国谜语大会”，某中学举行了一次“谜语大赛”活动．为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数作为样本(样本容量为n)进行统计．按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图(图中仅列出了得分在[50,60)，[90,100]的数据)．(Ⅰ)求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；(Ⅱ)在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上(含80分)的学生中随机抽取3名学生参加“中国谜语大会”，设随机变量X表示所抽取的3名学生中得分在(80,90].内的学生人数，求随机变量X的分布列及数学期望．19.如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PB⊥BC,PD⊥CD，且PA=2，E为PD中点．(1)求证：PA⊥平面ABCD；(2)求二面角A−BE−C的余弦值．20. 已知点A(m,0)和B(0,n)，且m 2+n 2=16.动点P 满足BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PA⃗⃗⃗⃗⃗ ，记动点P 的轨迹为曲线C ． (1)求曲线C 的方程；(2)设不经过点H(0,1)的直线y =2x +t 与曲线C 相交于两点M ，N.若直线HM 与HN 的斜率之和为1，求实数t 的值．21. 已知函数，(1)若a =1，求f(x)的极值；(2)若存在x 0∈[1,e]，使得f(x 0)<g(x 0)成立，求实数a 的取值范围．22. 在平面直角坐标系xOy 中，点P 是曲线C 1：{x =t +1t y =2(t −1t )(t 为参数)上的动点，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为：ρ=2sinθ−3cosθ．(1)求曲线C 1，C 2的直角坐标下普通方程；(2)已知点Q 在曲线C 2上，求|PQ|的最小值以及取得最小值时P 点坐标．23. 设f(x)=|x +a|−|x +1|．(Ⅰ)求不等式f(a)>1的解集；(Ⅱ)当x ∈R 时，f(x)≤2a(a ∈R)，求实数a 的取值范围．24. 已知数列{a n }是递增的等差数列，a 2=3，若a 1，a 3−a 1，a 8+a 1成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n =3a n a n+1，数列{b n }的前n 项和S n ，求满足S n >3625⁄的最小的n 的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：∵A={x|−1<x<5}，B={−1,0，1，2，3，5}，∴A∩B={0,1，2，3}．故选：D．可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：A解析：解：化简可得z=1+2ii=(1+2i)ii2=−2+i−1=2−i故选：A分子分母同乘以i，化简可得．本题考查复数的代数形式的乘除运算，属基础题．3.答案：C解析：解：∵向量a⃗=(1,−4)，b⃗ =(2,m)，a⃗⊥b⃗ ，∴a⃗⋅b⃗ =2−4m=0，解得实数m=12．故选：C．利用向量垂直的性质能求出实数m的值．本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4.答案：D。
2020-2021学年高三数学高考复习数学(理科)期末检测试题及答案解析
最新度高三期末监测试题理科数学注意事项：1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、错涂、多涂的答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．第Ⅰ卷一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 已知集合P ={x |1<2x <2}，Q ={x |log 12x >1}，则=Q P I ( )A ．(0,12)B ．(12,1)C ．(−1,12) D ．(0,1)2.i 是虚数单位,复数(1+i )41−i的虚部为( )A ．2iB ．-2iC ．2D ．-23.将函数sin()()6y x x R π=+∈的图象上所有点的纵坐标不变横坐标缩小到原来的１２倍，再把图象上各点向左平移4π个单位长度，则所得的图象的解析式为( ) A ．)652sin(π+=x y B ．)621sin(π+=x yC ．)322sin(π+=x yD ．)12521sin(π+=x y4.已知βα,是两个不同的平面，n m ,是两条不同的直线，给出下列命题： ①若βα⊂⊥m m ,，则βα⊥； ②若α⊥⊥m n m ,，则α//n ；③若βαα⊥,//m ，则β⊥m ； ④若m n m //,=βαI ，且βα⊄⊄n n ,， 则βα//,//n n ，其中真命题的个数是 （ ） A ．0B ．1C ．2D ．35．设a ，b 是两个非零向量．下列命题正确的是（ ）A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥bB ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ使得a ＝λbD ．若存在实数λ，使得a ＝λb ，则|a ＋b |＝|a |－|b |6. 用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）·…·（n+n ）=2n ·1·3·…·（2n －1）”，从“n=k 到n=k+1”左端需增乘的代数式为( ) A ．2(2k+1) B ．2k+1 C ．112++k k D ．132++k k 7. 如果执行右边的程序框图，且输入6n =， 4m =，则输出的p = ( )A ．240B ．120C ．720D ．3608.） A 9.某校选定甲、乙、丙、丁、戊共5名教师去3个边远地区支教 (每地至少1人)，其中甲和乙一定不同地，甲和丙必须同地，则不同 的选派方案共有( )种.A.27B.30C.33D.3610. 当实数,x y 满足240101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩时，14ax y ≤+≤恒成立，则实数a 的取值范围（ ）A ．]23,1[B ．]2,1[-C ．)2,1[-D ．)23,1[ 11．已知函数22)1lg()(221---=x x x f ；()111)(2-+⋅-=x x x x f ；)1(log )(23++=x x x f a ，)1,0(≠>a a ；⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅=21121)(4xx x f ，()0≠x ，下面关于这四个函数奇偶性的判断正确的是（ ）A ．都是偶函数B ．一个奇函数，一个偶函数，两个非奇非偶函数C ．一个奇函数，两个偶函数，一个非奇非偶函数D ． 一个奇函数，三个偶函数12.若过点A (2，m )可作函数x x x f 3)(3-=对应曲线的三条切线，则实数m 的取值范围（ ）A ．]6,2[-B ．)1,6(-C ．)2,6(-D ．)2,4(-第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2020-2021高三数学上期末试卷含答案(8)
2020-2021高三数学上期末试卷含答案(8)一、选择题1．设,x y 满足约束条件 202300x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≤⎩，则46y x ++的取值范围是A ．3[3,]7- B ．[3,1]- C ．[4,1]-D ．(,3][1,)-∞-⋃+∞2．等差数列{}n a 中，已知70a >，390a a +<，则{}n a 的前n 项和n S 的最小值为（ ） A ．4SB ．5SC ．6SD ．7S3．已知正数x 、y 满足1x y +=，且2211x y m y x +≥++，则m 的最大值为（ ） A ．163B ．13C ．2D ．44．若0a b <<,则下列不等式恒成立的是 A ．11a b> B ．a b -> C ．22a b > D ．33a b <5．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若36=2S =18S ，，则105S S 等于( )A ．－3B ．5C ．33D ．－316．在等差数列{}n a 中，若1091a a <-，且它的前n 项和n S 有最大值，则使0n S >成立的正整数n 的最大值是（ ） A ．15B ．16C ．17D ．147．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()cos 4cos a B c b A =-，则cos2A =（ ） A ．78B ．18C ．78-D ．18-8．已知等比数列{}n a 的各项都是正数，且13213,,22a a a 成等差数列，则8967a a a a +=+ A ．6B ．7C ．8D ．99．已知数列{}n a 中，()111,21,n n na a a n N S *+==+∈为其前n 项和，5S的值为（ ）A ．63B ．61C ．62D ．5710．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,3)n n S +*()n N ∈在函数32xy =⨯的图象上，等比数列{}n b 满足1n n n b b a ++=*()n N ∈，其前n 项和为n T ，则下列结论正确的是（ ） A ．2n n S T =B ．21n n T b =+C ．n n T a >D ．1n n T b +<11．已知x ，y 均为正实数，且111226x y +=++，则x y +的最小值为（ ） A ．20B ．24C ．28D ．3212．一个递增的等差数列{}n a ，前三项的和12312a a a ++=，且234,,1a a a +成等比数列，则数列{}n a 的公差为 ( ) A ．2±B ．3C ．2D ．1二、填空题13．设函数2()1f x x =-，对任意2,3x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，24()(1)4()x f m f x f x f m m ⎛⎫-≤-+⎪⎝⎭恒成立，则实数m 的取值范围是 .14．计算：23lim 123n n nn→+∞-=++++L ________15．数列{}21n-的前n 项1,3,7..21n-组成集合{}()*1,3,7,21nn A n N=-∈，从集合nA中任取()1,2,3?··n k k =个数，其所有可能的k 个数的乘积的和为（若只取一个数，规定乘积为此数本身），记12n n S T T T =++⋅⋅⋅+，例如当1n =时，{}1111,1,1===A T S ；当2n =时，{}21221,2,13,13,13137A T T S ==+=⨯=++⨯=，试写出n S =___16．(广东深圳市2017届高三第二次（4月）调研考试数学理试题)我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法---“三斜求积术”，即ABC △的面积S =，其中a b c 、、分别为ABC △内角、、A B C 的对边.若2b =，且tan C =，则ABC △的面积S 的最大值为__________．17．已知等比数列{}n a 满足232,1a a ==，则12231lim ()n n n a a a a a a +→+∞+++=L ________________.18．已知数列{}n a 满足51()1,62,6n n a n n a a n -⎧-+<⎪=⎨⎪≥⎩，若对任意*n N ∈都有1n n a a +>，则实数a 的取值范围是_________.19．已知不等式250ax x b -+>的解集是{}|32x x -<<-，则不等式250bx x a -+>的解集是_________.20．已知()()0f x kx k =>，若正数a 、b 满足()()()()f a f b f a f b +=，且4a b f f k k ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为1，则实数k 的值为______． 三、解答题21．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足37a =，999S =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若()2n n n a b n N *=∈，求数列{}n b 的前n 项和n T . 22．已知正项等比数列{}n a 满足26S =，314S =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2log n n b a =，已知数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T 证明：1n T <．23．已知公比为4的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且485S =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{(1)}n n a -的前n 项和n T ． 24．已知函数221()cos sin ,(0,)2f x x x x p =-+?． （1）求()f x 的单调递增区间；（2）设ABC V 为锐角三角形，角A所对边a =，角B 所对边5b =，若()0f A =，求ABC V 的面积．25．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22222230a c b ac +-+=. （1）求cos B 的值； （2）求sin 24B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 26．在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，角A 、B 、C 的度数成等差数列，b =.（1）若3sin 4sin C A =，求c 的值； （2）求a c +的最大值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】 先作可行域，而46y x ++表示两点P （x,y ）与A （-6,-4）连线的斜率，所以46y x ++的取值范围是[,][3,1]AD AC k k =-，选B.点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.2．C解析：C 【解析】 【分析】先通过数列性质判断60a <，再通过数列的正负判断n S 的最小值. 【详解】∵等差数列{}n a 中，390a a +<，∴39620a a a +=<，即60a <.又70a >，∴{}n a 的前n 项和n S 的最小值为6S . 故答案选C 【点睛】本题考查了数列和的最小值，将n S 的最小值转化为{}n a 的正负关系是解题的关键.3．B解析：B 【解析】 【分析】由已知条件得()()113x y +++=，对代数式2211x y y x +++变形，然后利用基本不等式求出2211x y y x +++的最小值，即可得出实数m 的最大值. 【详解】正数x 、y 满足1x y +=，则()()113x y +++=，()()()()()()222222221212111111111111y x y x y x x y y x y x y x y x +-+-⎡⎤⎡⎤----⎣⎦⎣⎦+=+=+=+++++++++444444141465111111y x x y y x x y x y =+-+++-+=+++-=+-++++++()()14441111525311311y x x y x y x y ⎛⎫⎛⎫++=++++-=++-⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦++++⎝⎭⎝⎭412533⎛≥⨯+-= ⎝， 当且仅当12x y ==时，等号成立，即2211x y y x +++的最小值为13，则13m ≤. 因此，实数m 的最大值为13. 故选：B. 【点睛】本题考查利用基本不等式恒成立求参数，对代数式合理变形是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.4．D解析：D 【解析】 ∵0a b << ∴设1,1a b =-= 代入可知,,A B C 均不正确对于D ，根据幂函数的性质即可判断正确 故选D5．C解析：C 【解析】 【分析】由等比数列的求和公式结合条件求出公比，再利用等比数列求和公式可求出105S S . 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q （公比显然不为1），则()()61636333111119111a q S q q q S qa q q---===+=---，得2q =， 因此，()()101105510555111111233111a q S q q q S q a qq---===+=+=---，故选C. 【点睛】本题考查等比数列基本量计算，利用等比数列求和公式求出其公比，是解本题的关键，一般在求解等比数列问题时，有如下两种方法：（1）基本量法：利用首项和公比列方程组解出这两个基本量，然后利用等比数列的通项公式或求和公式来进行计算；（2）性质法：利用等比数列下标有关的性质进行转化，能起到简化计算的作用．6．C解析：C 【解析】 【分析】由题意可得90a >，100a <，且9100a a +<，由等差数列的性质和求和公式可得结论． 【详解】∵等差数列{}n a 的前n 项和有最大值， ∴等差数列{}n a 为递减数列，又1091a a <-， ∴90a >，100a <， ∴9100a a +<， 又()118181802a a S +=<，()117179171702a a S a +==>，∴0n S >成立的正整数n 的最大值是17， 故选C ． 【点睛】本题考查等差数列的性质，涉及等差数列的求和公式，属中档题．7．C解析：C 【解析】【分析】根据题目条件结合三角形的正弦定理以及三角形内角和定理可得sin A ，进而利用二倍角余弦公式得到结果. 【详解】∵()cos 4cos a B c b A =-． ∴sin A cos B ＝4sin C cos A ﹣sin B cos A 即sin A cos B +sin B cos A ＝4cos A sin C ∴sin C ＝4cos A sin C ∵0＜C ＜π，sin C ≠0． ∴1＝4cos A ，即cos A 14=， 那么27cos2218A cos A =-=-． 故选C 【点睛】本题考查了正弦定理及二倍角余弦公式的灵活运用，考查计算能力，属于基础题．8．D解析：D 【解析】 【分析】设各项都是正数的等比数列{a n }的公比为q ，（q ＞0），由题意可得关于q 的式子，解之可得q ，而所求的式子等于q 2，计算可得． 【详解】设各项都是正数的等比数列{a n }的公比为q ，（q ＞0）由题意可得31212322a a a ⨯=+， 即q 2-2q-3=0， 解得q=-1（舍去），或q=3，故()26728967679a a qa a q a a a a ．++===++ 故选：D ． 【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式，求出公比是解决问题的关键，属基础题．9．D解析：D 【解析】解：由数列的递推关系可得：()11121,12n n a a a ++=++= ， 据此可得：数列{}1n a + 是首项为2 ，公比为2 的等比数列，则：1122,21n n n n a a -+=⨯⇒=- ，分组求和有：()5521255712S ⨯-=-=- .本题选择D 选项.10．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】由题意可得：332,323n nn n S S +=⨯=⨯- ，由等比数列前n 项和的特点可得数列{}n a 是首项为3，公比为2的等比数列，数列的通项公式：132n n a -=⨯ ，设11n nb b q -= ，则：111132n n n b q b q --+=⨯ ，解得：11,2b q == ，数列{}n b 的通项公式12n nb -= ，由等比数列求和公式有：21nn T =- ，考查所给的选项：13,21,,n n n n n n n n S T T b T a T b +==-<< .本题选择D 选项.11．A解析：A 【解析】分析：由已知条件构造基本不等式模型()()224x y x y +=+++-即可得出. 详解：,x y Q 均为正实数，且111226x y +=++，则116122x y ⎛⎫+= ⎪++⎝⎭(2)(2)4x y x y ∴+=+++-116()[(2)(2)]422x y x y =++++-++226(2)46(242022y x x y ++=++-≥+-=++ 当且仅当10x y ==时取等号.x y ∴+的最小值为20. 故选A.点睛：本题考查了基本不等式的性质，“一正、二定、三相等”.12．C解析：C 【解析】【分析】 【详解】解：∵234,,1a a a +成等比数列， ∴，∵数列{}n a 为递增的等差数列，设公差为d ， ∴，即，又数列{}n a 前三项的和，∴，即，即d ＝2或d ＝−2（舍去）， 则公差d ＝2． 故选：C ．二、填空题13．【解析】【分析】【详解】根据题意由于函数对任意恒成立分离参数的思想可知递增最小值为即可知满足即可成立故答案为解析：33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭【解析】 【分析】 【详解】根据题意，由于函数2()1f x x =-，对任意2,3x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，24()(1)4()x f m f x f x f m m ⎛⎫-≤-+ ⎪⎝⎭恒成立，22222()4(1)(1)11xm x x m m--≤--+-，分离参数的思想可知，,递增，最小值为53，即可知满足33,⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭即可成立故答案为,⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭． 14．【解析】【详解】结合等差数列前n 项和公式有：则： 解析：6【解析】 【详解】结合等差数列前n 项和公式有：()11232n n n +++++=L ，则：()()226231362lim lim lim lim61123111n n n n n n n n n n n n n n n→+∞→+∞→+∞→+∞----====+++++++L . 15．【解析】【分析】通过计算出并找出的共同表示形式进而利用归纳推理即可猜想结论【详解】当时则由猜想：故答案为：【点睛】本题考查元素与集合关系的判断以及数列前项和的归纳猜想属于中档题 解析：1()221n n +-【解析】 【分析】通过计算出3S ，并找出1S 、2S 、3S 的共同表示形式，进而利用归纳推理即可猜想结论． 【详解】当3n =时,{}31,3,7A =，则113711T =++=,213173731T =⨯+⨯+⨯=,313721T =⨯⨯=,∴312311312163S T T T =++=++=,由1212112121S ⨯==-=-，2332272121S ⨯==-=-， 34623632121S ⨯==-=-，⋯猜想：(1)221n n n S +=-.故答案为：1()221n n +-.【点睛】本题考查元素与集合关系的判断以及数列前n 项和的归纳猜想,属于中档题.16．【解析】由题设可知即由正弦定理可得所以当时故填【解析】由题设可知)sin sin sin cos cos sin cos C C B C B C C =⇒=+，即sin C A =，由正弦定理可得c =，所以S ==242a a =⇒=时，max S ==17．【解析】【分析】求出数列的公比并得出等比数列的公比与首项然后利用等比数列求和公式求出即可计算出所求极限值【详解】由已知所以数列是首项为公比为的等比数列故答案为【点睛】本题考查等比数列基本量的计算同时 解析：323【解析】【分析】求出数列{}n a 的公比，并得出等比数列{}1n n a a +的公比与首项，然后利用等比数列求和公式求出12231n n a a a a a a ++++L ，即可计算出所求极限值.【详解】 由已知3212a q a ==，23112()()22n n n a --=⨯=，3225211111()()()2()2224n n n n n n a a ----+=⋅==⋅，所以数列{}1n n a a +是首项为128a a =，公比为1'4q =的等比数列， 11223118[(1()]3214[1()]13414n n n n a a a a a a -+-+++==--L ， 1223132132lim ()lim [1()]343n n n n n a a a a a a +→+∞→∞+++=-=L . 故答案为323. 【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，同时也考查了利用定义判定等比数列、等比数列求和以及数列极限的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.18．【解析】【分析】由题若对于任意的都有可得解出即可得出【详解】∵若对任意都有∴∴解得故答案为【点睛】本题考查了数列与函数的单调性不等式的解法考查了推理能力与计算能力属于中档题 解析：17,212⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】由题若对于任意的*n N ∈都有1n n a a +>，可得5610012a a a a -＜，＞，＜＜． 解出即可得出．【详解】 ∵511,62,6n n a n n a a n -⎧⎛⎫-+<⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪≥⎩，若对任意*n N ∈都有1n n a a +>， ∴5610012a a a a -＜，＞，＜＜．． ∴11 0()510122a a a a --⨯+＜，＞，＜＜ ， 解得17 212a ＜＜． 故答案为17,212⎛⎫⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了数列与函数的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 19．【解析】【分析】根据不等式的解集是求得的值从而求解不等式的解集得到答案【详解】由题意因为不等式的解集是可得解得所以不等式为即解得即不等式的解集为【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法其中解答中根 解析：11(,)23-- 【解析】【分析】根据不等式250ax x b -+>的解集是{}|32x x -<<-，求得,a b 的值，从而求解不等式250bx x a -+>的解集，得到答案.【详解】由题意，因为不等式250ax x b -+>的解集是{}|32x x -<<-， 可得53(2)(3)(2)a b a ⎧-+-=⎪⎪⎨⎪-⨯-=⎪⎩，解得1,6a b =-=-，所以不等式250bx x a -+>为26510x x --->，即2651(31)(21)0x x x x ++=++<，解得1123x -<<-， 即不等式250bx x a -+>的解集为11(,)23--.【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，其中解答中根据三个二次式之间的关键，求得,a b 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.20．9【解析】【分析】由求出满足的关系然后利用基本不等式求出的最小值再由最小值为1可得【详解】∵∴即∴当且仅当时等号成立∴故答案为：9【点睛】本题考查基本不等式求最值解题时需用凑配法凑出基本不等式所需的 解析：9【解析】【分析】由()()()()f a f b f a f b +=求出,a b 满足的关系，然后利用基本不等式求出4()()a b f f k k+的最小值，再由最小值为1可得k ． 【详解】∵()()()()f a f b f a f b +=，()f x kx =,∴ka kb ka kb +=⋅，即11k a b +=，∴4()()a b f f k k +111144()(4)(5)a b a b a b k a b k b a =+=++=++19(5k k ≥+=，当且仅当4a b b a =时等号成立． ∴91k=，9k =． 故答案为：9．【点睛】本题考查基本不等式求最值．解题时需用凑配法凑出基本不等式所需的定值，然后才可用基本不等式求最值，同时还要注意等号成立的条件，等号成立的条件取不到，这个最值也取不到．三、解答题21． （Ⅰ）21n a n =+，n *∈N （Ⅱ）2552n nn T +=-【解析】试题分析：（1）先根据条件列出关于首项与公差的方程组,解得首项与公差,代入等差数列通项公式即可（2）利用错位相减法求和, 利用错位相减法求和时，注意相减时项的符号变化，中间部分利用等比数列求和时注意项数，最后要除以1q - 试题解析：（Ⅰ）由题意得：1127989992a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩,解得132a d =⎧⎨=⎩ , 故{}n a 的通项公式为21n a n =+，*n N ∈ （Ⅱ）由（Ⅰ）得：212n n n b += 23435792122222n n n T +=++++⋯+ ① 234113572121222222n n n n n T +-+=+++⋯++ ② ①－②得：23411311112122222222n n n n T ++⎛⎫=++++⋯+- ⎪⎝⎭ 152522n n ++=- 故2552n n n T +=- 点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.22．（1）2n n a =； （2）见解析.【解析】【分析】（1）由等比数列前n 项和公式求出公比q 和首项1a ，得通项公式；（2）用裂项相消法求出和n T ，可得结论．【详解】（1）设等比数列的首项及公比分别为10a >，0q >，26S =Q ，314S =，显然1q ≠，()()21311611141a q q a q q ⎧-⎪=-⎪∴⎨-⎪=⎪-⎩，解得122a q =⎧⎨=⎩， 2n n a ∴=；（2）证明：由（1）知，n b n =，则11111(1)1n n b b n n n n +==-++， 121n n n T b b b b -∴=++⋯⋯++1111111111223111n n n n n =-+-+⋯⋯+-+-=--++, *n N ∈Q ,1n T ∴<．【点睛】本题考查等比数列的前n 项和与通项公式，考查裂项相消法求数列的和．基本量法是解决等差数列和等比数列的常用方法．裂项相消法、错位相减法、分组（并项）求和法是数列求和的特殊方法，它们针对的是特殊的数列求和．23．（1）14n n a -=，*n N ∈；（2）4(34)49n n n T +-⋅=． 【解析】【分析】（1）设公比为q ，运用等比数列的求和公式，解方程可得首项，进而得到所求通项公式；（2）求得1(1)(1)4n n n a n --=-⋅，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，化简可得所求和．【详解】（1）设公比q 为4的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且485S =， 可得41(14)8514a -=-，解得11a =， 则14n n a -=，*n N ∈；（2）1(1)(1)4n n n a n --=-⋅，前n 项和2310142434(1)4n n T n -=+⋅+⋅+⋅+⋯+-⋅，23440142434(1)4n n T n =+⋅+⋅+⋅+⋯+-⋅，两式相减可得23134444(1)4n n n T n --=+++⋯+--⋅14(14)(1)414n n n --=--⋅-， 化简可得4(34)49nn n T +-⋅=． 【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用、数列的错位相减法，考查化简运算能力，属于中档题．24．（1）,2p p 轹÷ê÷÷êøë；（2）4 【解析】【分析】（1）利用降次公式化简()f x ，然后利用三角函数单调区间的求法，求得()f x 的单调递增区间.（2）由()0f A =求得A ，用余弦定理求得c ，由此求得三角形ABC 的面积.【详解】（1）依题意()()2211()cos sin cos 20,π22f x x x x x =-+=+?，由2ππ22πk x k -≤≤得πππ2k x k -≤≤，令1k =得ππ2x ≤≤.所以()f x 的单调递增区间,2p p 轹÷ê÷÷êøë. （2）由于a b <，所以A 为锐角，即π0,02π2A A <<<<.由()0f A =，得11cos 20,cos 222A A +==-，所以2ππ2,33A A ==. 由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-⋅，2560c c -+=，解得2c =或3c =.当2c =时，222cos 02a c b B ac +-==<，则B 为钝角，与已知三角形ABC 为锐角三角形矛盾.所以3c =.所以三角形ABC的面积为11sin 5322bc A =⨯⨯= 【点睛】本小题主要考查二倍角公式，考查三角函数单调性的求法，考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题.25．（1）34-（2）16 【解析】试题分析：（1）利用余弦定理表示出cosB ，将已知等式代入即可求出cosB 的值；（2）由cosB 可求出sin 2,cos 2B B 的值，然后利用两角和的余弦公式可得结果.试题解析：（1）由22222230a c b ac +-+=，得22232a cb ac +-=-， 根据余弦定理得222332cos 224ac a c b B ac ac -+-===-； （2）由3cos 4B =-，得sin B =∴sin22sin cos B B B ==21cos22cos 18B B =-=，∴1sin 2sin2cos cos2sin 4448B B B πππ⎫⎛⎫+=+=+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．26．(1)4c =；(2)【解析】【分析】【详解】(1) 由角,,A B C 的度数成等差数列，得2B A C =+. 又,3A B C B ππ++=∴=.由正弦定理，得34c a =,即34c a =. 由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-,即22331132442c c c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭，解得4c =. (2)由正弦定理，得,.sin sin sin a c b a A c C A C B ====∴==)()sin sin sin sin sin sin 3a c A C A A B A A π⎤⎛⎫⎤∴+=+=++=++ ⎪⎥⎦⎝⎭⎦3sin sin 26A A A π⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭. 由203A π<<，得5666A πππ<+<. 所以当62A ππ+=，即3A π=时，()max a c +=【方法点睛】解三角形问题基本思想方法：从条件出发，利用正弦定理(或余弦定理)进行代换、转化．逐步化为纯粹的边与边或角与角的关系，即考虑如下两条途径：①统一成角进行判断，常用正弦定理及三角恒等变换；②统一成边进行判断，常用余弦定理、面积公式等．。
2020-2021学年数学理科高考模拟试题及答案解析八
最新高三年级统一考试数学试卷（理科）注意事项：1、本试卷本分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第（22）～（24）题为选考题，其它题为必考题.2、考生作答时，将答案答在答题卡上，写在本试卷上无效.3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集{}=01,2,3,4,5,6U ，，集合{}=0,1,2,3A ，{}=3,4,5B ，则(∁UA )=B（A ）{}3（B ）{}4,5 （C ）{}4,56， （D ）{}0,1,2 2 ．双曲线2213y x -=的渐近线方程为 （A ）3y x =± （B ）33y x =± （C ）2y x =± （D ）233y x =± 3．二项式621(2)x x+的展开式中，常数项的值是 （A ）240（B ）60（C ）192（D ）1804．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（A ）2)(x x f = （B ）xx f 1)(=（C ）xe xf =)(（D ）x x f sin )(=5．αβ，表示不重合的两个平面，m ，l 表示不重合的两条直线．若m αβ=，l α⊄，l β⊄，则“l ∥m ”是“l ∥α且l ∥β”的（A ）充分且不必要条件 （B ）必要且不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件6．若2(2)3ln 21ax dx x+=+⎰，则常数a 的值为（A ）1（B ）2 （C ）-1 （D ）07．在ABC ∆中，2sin sin sin A B C =，π3A ∠=，则B ∠等于 （A ）6π （B ）3π （C ）4π （D ）3π或23π8．设函数()11sin 3cos 222f x x x πθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+< ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且其图像关于y 轴对称，则函数()y f x =的一个单调递减区间是()A 0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭()B ,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭()C ,24ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭()D 3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭9．在如图所示的空间直角坐标系O xyz -中，一个四面体的顶点坐标分别是（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为10. 已知12,F F 分别为椭圆22221(0)x ya b a b+=>>的左、右焦点，P 为椭圆上一点，且2PF 垂直于x 轴．若122||2||F F PF =，则该椭圆的离心率为 （A ）512- （B ）312- （C ）32 （D ）2211. 在△ABC 中，AB=1，AC=2，120A ∠=︒，点O 是△ABC 的外心，存在实数,λμ，使AO AB AC λμ=+，则（A ）53,44λμ== （B ）45,36λμ== （C ）57,36λμ== （D ）43,34λμ==12.已知函数()22211,,2(),()441ln 1,,2x x x f x g x x x x x ⎧+⎛⎫∈-∞- ⎪⎪⎪⎝⎭==--⎨⎡⎫⎪+∈-+∞⎪⎢⎪⎣⎭⎩，对于任意的a R ∈，存在实数b 使得()()0f a g b +=，则b 的取值范围是 （A ）1ln,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ （B ）11,ln 2⎛⎤- ⎥⎝⎦ （C ）()1,5- （D ）[)1,5-数学试卷（理科）第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题〜第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题〜第：24题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题共4小题，每小题5分，共20分. 13．i 是虚数单位，复数iiZ -+=221，则=Z ． 14．某校举行的数学建模比赛，全体参赛学生的比赛成绩ξ近似服从正态分布2(70,)N σ，(0)σ>，参赛学生共600名.若ξ在()70,90内的取值概率为0.48，那么90分以上（含90分）的学生人数为.15．设不等式组1,0,20y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一点M ，则点M落在圆221x y +=内的概率为___________． 16．设P 是函数()2()0f x x x x=+>的图像上任意一点，过点P 分别向直线y x =和y 轴作垂线，垂足分别为,A B ，则PA PB ⋅= ___________.三、解答题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17.（本小题满分12分） 已知数列{n a }满足()()*11222,1n n n a a a n N n ++==∈+（I ）求{n a }的通项公式；（II ）设{n a }的前n 项和为n S ，证明：12311111n n S S S S n ++++≤+.18．（本小题满分12分）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.（Ⅰ）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率；（Ⅱ）用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望()E X 及方差()D X .日销售量个频率组距日销售量（个）19. （本小题满分12分）己知三棱柱111ABC A B C -，1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，90BCA ∠=︒，2AC BC ==，又知11BA AC ⊥(Ⅰ)求证：1AC ⊥平面1A BC ；(Ⅱ)求二面角1A A B C --的余弦值.20．（本小题满分12分） 已知直线l 的方程是1y x =-和抛物线2:C x y =，自l 上任意一点P 作抛物线的两条切线，设切点分别为,A B ， （Ⅰ）求证：直线AB 恒过定点. （Ⅱ）求△PAB 面积的最小值.DB 1A 1CBAC 121．（本小题满分12分）已知bx ax x x f --=2ln )(．记()f x 的导函数是/()f x .(Ⅰ)若1a =-，函数()f x 在其定义域内是增函数，求b 的取值范围；(Ⅱ))(x f 的图象与x 轴交于))(0,(),0,(2121x x x B x A <)两点,AB 中点为0(,0)C x ，求证：0)(0<'x f ．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲如图，ABC △内接于圆O ，AD 平分BAC ∠交圆O 于点D ，过点B 作圆O 的切线交直线AD 于点E .（Ⅰ）求证：EBD CBD ∠=∠； （Ⅱ）求证：AB BE AE DC ⋅=⋅.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程是2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2sin ρθ=. (Ⅰ)写出1C 的极坐标方程和2C 的直角坐标方程； (Ⅱ)已知点1M 、2M 的极坐标分别为1,2π⎛⎫⎪⎝⎭和()2,0，直线12M M 与曲线2C 相交于,P Q 两点，射线OP 与曲线1C 相交于点A ，射线OQ 与曲线1C 相交于点B ，求2211OA OB +的值.24．（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲 已知函数()|2||2|,f x x x a a R =---∈. （Ⅰ）当3a =时，解不等式()0f x >；（Ⅱ）当(,2)x ∈-∞时，()0f x <恒成立，求a 的取值范围.数学试卷（理科）参考答案一、选择题：BAAD CABC DABC 二、填空题：13、1；14、12；15、8π；16、1-. 三、解答题： 17．（Ⅰ）解： 12211231n n n n n n n a a a a a a a a a a -----=⋅⋅⋅⋅⋅ ()()11*1132221122n n n n n n a n n N n n n --+-=⋅⋅⋅⋅=+∈---------------------5分 （Ⅱ）()012122324212n n S n -=⋅+⋅+⋅+++ 设2n S =()12322324212n n ⋅+⋅+⋅+++⋅二式相减得()()()112122122221221221n n n n n S n n ----=++++-+⋅=+-+⋅-所以2nn S n =⋅ -----------------8分因为()0111nn n C C +=++，所以1n ≥时，21nn ≥+（直接写21nn ≥+不扣分）所以()11111211n n S n n n n n =≤=-⋅⋅++ ---------------10分 所以123111111111111223111n nS S S S n n n n ++++≤-+-++-=-=+++-----12分（当且仅当1n =时等号“=”成立）18．解（1）设天未来连续，个日销售量低于，个日销售量不低于3{B }50{A }100{A 21===里有连续2天的日销售量不低于100个且另一天销售量低于50个.所以108.0215.06.06.0B P 15.050003.0A P 6.050002.0004.0006.0A P 21=⨯⨯⨯==⨯==⨯++=）（）（）（）（----------------------------------------4分（2）X 可能的取值为0,1,2,3，相应的概率为216.06.03P 432.06.016.02P 288.06.016.01P 064.06.010P 333223213303=⋅===-⋅⋅===-⋅⋅===-⋅==C X C X C X C X ）（）（）（）（）（）（）（---------------------------------------6分分布列为:-----------8分72.06.016.03D 8.16.03E 6.0,3B ~=-⨯⨯==⨯=）（）（，）（），所以（因为X X X---------------------------------------12分 19.解（Ⅰ）︒=∠90BCA 得AC BC ⊥， 因为⊥D A 1底ABC ，所以BC D A ⊥1 又D AC D A = 1，所以⊥BC 面AC A 1， 所以1AC BC ⊥因为11AC BA ⊥，B BC BA = 1， 所以⊥1AC 底BC A 1……………………4分 (Ⅱ)以C 为坐标原点，射线CA ，CB 为别为,x y 轴，过C 垂直于底面ABC 的直线为z 轴建立空间直线坐标系（如图），---------------5分由（Ⅰ）知平面1A BC 的法向量为()()()11,0,32,0,03,0,3AC =--=-，-----6分()()()10,2,01,0,31,2,3A B =-=--，()()()0,2,02,0,02,2,0AB =-=-设平面1ABA 的法向量为()000,,m x y z =，则10,0m AB m AB ⋅=⋅=即00000230220x y z x y ⎧-+-=⎪⎨-+=⎪⎩，从而11,1,3m ⎛⎫= ⎪⎝⎭--------------------------9分11121cos ,77233m AC m AC m AC -===-⋅---------------------11分 X 0 1 2 3 P0.0640.2880.4320.216y xzDB 1A 1CBC 1A因为1,m AC 均指向1A A B C --外部，所以二面角1A A B C --的余弦为77-----12分 20．（Ⅰ）证明：设()()()22112200,,,,,A x x B x x P x y因为()/'22y x x ==，所以切线PA 的方程是()21112y x x x x -=-即2112y x x x += ①，同理切线PB 的方程是2222y x x x +=②--------3分 由①②得0120122,x x x y x x =+=，显然直线AB 存在斜率. 设直线AB 的方程是y kx b =+，代入2x y =得20x kx b --=所以1212,x x k x x b +==-，即00,2kx y b ==-，③ 代入001y x =-得12kb -=--------------------------------------------5分 即直线AB 的方程是112y k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，恒过定点1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭-------------6分 （Ⅱ）解：()()()()222222121212121AB x x x x x x x x ⎡⎤=-+-=-++⎣⎦()()2212121241x x x x x x ⎡⎤⎡⎤=+-++⎣⎦⎣⎦()()()()222241241kb k kk k =++=-++--------------------9分点P 到直线AB 的距离是2002211242121k x y k k d kk⎛⎫--+ ⎪-+⎝⎭==++-----10分△PAB 的面积()3322221113324132444AB d k k k =⋅=⋅-+=-+≥当1k =时△PAB 的面积取得最小值334-----------------------12分 21解(1)依题意：2()ln f x x ax bx =--．∴1()2f x x b x'=+- ∵()f x 在(0,)+∞上递增，∴1()20f x x b x'=+-≥对(0,)x ∈+∞恒成立，即12b x x ≤+对(0,)x ∈+∞恒成立，只需min 1(2)b x x≤+．---------- 3分 ∵0x >，∴1222x x +≥，当且仅当22x =时取“＝”， ∴22b ≤，∴b 的取值范围为(,22]-∞．------------------- 5分(2)由已知得221111111222222222()ln ln ()ln ln f x x ax bx x ax bx f x x ax bx x ax bx ⎧⎧=--=+⎪⎪⇒⎨⎨=--=+⎪⎪⎩⎩两式相减，得11212122ln ()()()x a x x x x b x x x =+-+-112122ln ()[()]x x x a x x b x ⇒=-++． 由1()2f x ax b x '=--及0122x x x =+，得 10012012121221221()2[()]ln x f x ax b a x x b x x x x x x x x '=+-=-++=-++- 11212111212212222(1)2()11[ln ][ln ](1)x x x x x x x x x x x x x x x x --=-=--+-+------------8分 令()()()1221.ln 011t x t t t t x t ϕ-==-<<+． ∵()()()2/101t t t t ϕ-=-<+，∴()t ϕ在(0,1)上递减，---------10分 ∴()(1)0t ϕϕ>=． 又12x x <，0()0f x '∴< ------------- 12分 22. （1）∵BE 为圆O 的切线，∴∠EBD=∠BAD ………………2分又∵AD 平分∠BAC ∴∠EBD =∠CAD ………………4分 又∵∠CBD=∠CAD ∴∠EBD=∠CBD …………5分（2）在△EBD 和△EAB 中，∠E=∠E ，∠EBD=∠EAB∴△EBD ∽△EAB ………………7分 ∴BE BD AE AB =∴AB •BE=AE •BD ………9分 E DOAC B又∵AD 平分∠BAC ∴BD=DC 故AB •BE=AE •DC ………………10分23.解：（1）曲线1C 的普通方程为2214x y +=， 化成极坐标方程为2222cos sin 14ρθρθ+=-----------3分曲线2C 的直角坐标方程为()2211x y +-=……………5分（2）在直角坐标系下，()10,1M ，()22,0M ，线段PQ 是圆()2211x y +-=的直径 ∴90POQ ∠=由OP OQ ⊥得OA OB ⊥,A B 是椭圆2214x y +=上的两点，在极坐标下，设()12,,,2A B πρθρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 分别代入222211cos sin 14ρθρθ+=中， 有222211cos sin 14ρθρθ+=和222222cos 2sin 142πρθπρθ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭++= ⎪⎝⎭ 22211cos sin ,4θθρ∴=+22221sin cos 4θθρ=+ 则22121154ρρ+=，即221154OA OB+=. ……………10分 24．解：（1）1, 23()53, 2231, 2x x f x x x x x ⎧⎪->⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪-<⎪⎩……………………2分210, 1,35352530, ,2323x x x x x x x >-><∅≤≤-><≤<当时，即解得当时，即解得 3310, 1,122x x x x <->><<当时，即解得 513x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭不等式解集为……………………6分 （2）22|2|02|2|23a x x a x x a x a x +---<⇒-<-⇒<->或恒成立 即4a ≥……………10分。
2020-2021学年高三数学(理科)上学期期末考试检测题及答案解析
最新度第一学期高三期末考试理科数学试题一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数z 满足32z iz i+=+,则z 的虚部为( ) A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 2．03tan153tan151-=+( ) A ．1- B ．3 C ．1 D ．3 3．设命题p :若23x x >,则0x <,其逆否命题为( )A ．若0x ≥,则23x x ≤B ．若0x >,则 23x x <C ．若23x x >,则0x ≥D ．若23x x ≤,则0x >4．现有1000件产品,甲产品有10件,乙产品有20件,丙产品有970件,现随机不放回抽取3件产品,恰好甲乙丙各一件的概率是( )A ．311131020970331000()A C C C CB ．311131020970131000()AC C C C C ．31113102097031000A C C C CD ．31113102097031000A C C C A 5．如图是函数()cos()f x A x ωϕ=+的一段图像，则函数()f x 图像上的最高点坐标为( ) A ．(2)2k k Z π∈，， B ．(2)k k Z π∈，， C ．(22)6k k Z ππ-∈，， D ．(2)12k k Z ππ-∈，，6．已知一正三棱台上底边长为3，下底边长为6，高为3，则此三棱台体积为( ) A ．6334 B ．2134 C ．4534D ．15347．如图是一平行六面体(底面为平行四边形的四棱柱)1111ABCD A B C D -，E 为BC 延长线上一点，2BC CE =u u u r u u u r ,则1D E =u u u u r( )A ．1AB AD AA ++u u u r u u u r u u u r B ．112AB AD AA +-u u u r u u u r u u u r C ．1AB AD AA +-u u u r u u u r u u u r D ．113AB AD AA +-u u u r u u u r u u u r 试卷类型：AA 1B 1C 1AC DD 1BE（第7题图）（第5题图）2-23π6π8．227(3)x y y +-展开式中，122x y 项系数为( )A ．7B ．7-C ．42D ．42- 9．执行右图的程序框图，若输入100k =，则输出的n =( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．910．点00()P x y ，为双曲线22:149x y C -=上一点,12B B 、为C 的虚轴顶 点，128PB PB ⋅<uuu r uuu r，则0x 的范围是( )A．(2][21313--，U B．(2)(21313--，U C．(2][2--U D．(2)(2--U11．如左上图，是圆锥一部分和四分之一球组成的组合体的三视图，则此几何体的体积为( )A ．83π B ．163π C ．143π D ．23π 12．函数21()(1)1ln (0)2f x x a x x a =-+++>，若存在唯一一个整数0x 使0()0f x <成立，则a 的范围是( ) A ．(01)， B ．(01]， C ．(022ln 2)+， D ．111(ln 2)222+，二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若函数11)(-++=ax x x f 是偶函数，则a = ．14．圆C 的圆心C 在x 轴上，圆C 经过抛物线2:16D y x =的焦点且与D 相切，则C 的半径是 ．15．变量x y ，满足3202304120x y x y x y --≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，则22(3)(3)x y -+-的范围是 ．（第9题图）（第11题图）俯视图左视图正视图324（图1）（图2）16．如右下图，四边形ABCD 中，0135BAD ∠=，0120ADC ∠=，045BCD ∠=，060ABC ∠=，2BC =，则线段AC 长度的取值范围是 ．三、解答题: 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分） 正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2364nn n a a S +=+（1）求{}n a 的通项公式（2）设2nn n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T .18．（本小题满分12分）2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，给当地人民造成了巨大的财产损失，适逢暑假，小张调查了当地某小区的100户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[]2000,0，(]4000,2000，(]6000,4000，(]8000,6000，(]10000,8000五组，并作出如下频率分布直方图（图1）：（1）台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小张调查的100户居民捐款情况如右下表格，在图2表格空白处填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？（2）将上述调查所得到的频率视为概率。
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2020-2021学年上学期高三年级理科数学培优试卷(八)考试内容：一轮复习一、单选题1．（b ）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且面积为S .若cos cos sin b C c B a A +=，()22214S b a c =+-，则角B 等于（ ） A ．2πB ．3π C ．4π D ．6π 2．（b ）在ABC △中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，则ABC △的形状为（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形3．（b ）已知锐角ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()2c a a b =+，则()2cos cos A C A -的取值范围是（）A ．2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．1,22⎛ ⎝⎭C ．,22⎛ ⎝⎭D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭4．（b ）在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且c =2sin tan A Ca c=，若sin()sin 2sin 2A B C B -+=，则a b +=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5．（b ）在ABC △中，18sinAsinBsinC =，且ABC ∆面积为1，则下列结论不正确的是（ ）A ．8a b a b -< B ．()8ab a b +>C ．()2216a b c+<D ．6a b c ++>二、填空题6．（b ）在ABC ∆中，4B π=，BC 边上的高等于13BC ，则sin A =__________． 7．（b ）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2,sin ,a b B C +==sin2C=______________. 8．（b ）如图，在三角形ABC ∆中，D 为BC 边上一点，AD AB ⊥ 且BD 2CD =，1tan 5CAD ∠=，则tan B 为______.三、解答题9．（b ）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求角B 的大小；（2）若D 为AC 的中点，且1BD =，求ABC S ∆的最大值.10．（b ）如图，在四边形ABCD 中，已知1AB =，2BC =，AC CD =（1）若3ACD π∠=，且ADC ∆的面积为34，求ABC ∆的面积: （2）若AC CD ⊥，求BD 的最大值.2020-2021学年上学期高三年级理科数学培优试卷(八)参考答案1．C 【解析】∵cos cos sin b C c B a A +=，∴2sin cos sin cos sin B C C B A +=，即2sin()sin B C A +=. 又B C A +=π-，(0,)A π∈，∴sin 1A =，即2A π=.∵()22211sin 42S b a c ab C =+-=，由余弦定理知2222cos b a c ab C +-=， ∴cos sin C C =，∴tan 1C =，又(0,)C π∈，∴4C π，∴4B π=.故选C. 2．D 【解析】由题意知，(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅， 结合正弦定理，化简可得(cos )(cos )a c B b b c A a -⋅⋅=-⋅⋅， 所以cos cos 0a A b B -=，则sin cos sin cos 0B B A A -=， 所以sin 2sin 20B A -=，得22B A =或22180B A +=， 所以三角形是等腰或直角三角形． 故选：D ． 3．C 【解析】由余弦定理得222cos 2a b c ab +-=，因为()2c a a b =+，则2222cos 22a b a ab b abab ab+---==，即2cos a C b a =-； 由正弦定理得2sin cos sin sin A C B A =-，所以2sin cos sin()sin A C A C A =+-，即sin cos sin cos sin C A A C A -=， 即sin()sin C A A -=. 又因为,(0,)2A C π∈，所以C A A -=，即2C A =.因为02C <<π，2A C ππ<+<，所以64A ππ<<，所以()2cos cos cos A A C A =∈-. 4．B 【解析】 利用正弦定理化简2sin tan A C a c =得1cos 02C =>，所以C为锐角，且sin C ==由于()sin sin C A B =+，所以由sin()sin 2sin 2A B C B -+=得sin()sin()2sin 2A B A B B -++=，化简得sin cos 2sin cos A B B B =.若cos 0B =，则90B =，故2222,1,1,3b a b c a a b ==-==+=.若cos 0B ≠，则sin 2sin A B =，由余弦定理得222422cos 3c b b b b C =+-⋅⋅=，解得1,22,3b a b a b ===+=.综上所述，3a b +=，故选B.5．C 【解析】根据三角形面积为1得1sin 121sin 121sin 12ab C ac B bc A ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，三个式子相乘，得到2221sin sin sin 18a b c A B C =，由于18sinAsinBsinC =，所以8abc =.所以()222216a b c a bc abc +≥⋅==，故C 选项错误.所以本小题选C. 【点睛】本小题主要考查三角形面积公式，考查基本不等式的运用，属于中档题. 6详解：∵在ABC 中，4B π=，BC 边上的高等于13BC ，∴3AB BC =，由余弦定理得：AC ===，故1111sin sin 232233BC BC AB AC A BC BC A ⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅，∴sin A =. 7【解析】由sin B C =及正弦定理得b =，又2a b +=，∴a =．∴22C A B π==-. 在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin a cA C=，∴sin sin()cos 2sin cos22222c cC C C ===-，∴sin24C ==．8．53【解析】解:如图,延长AD,过点C 作CE AD ⊥,垂足为E,1tan 5CAD ∠=,15CE AE ∴=,设CE x =,则5AE x =,CDE BDA ∠=∠, CED BAD ∠=∠, ~CDE BDA ∴,则DE CDAD BD =, 2BD CD =,12DE CD AD BD ∴==, 53DE x ∴=,53DE x ∴=,5tan 3B ∴=.故答案为:53.9．（1）3π；（23【解析】（1）由正弦定理及sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭得sin sin sin cos 6B A A B π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 由()0,A π∈知sin 0A >，则31sin cos cos sin 622B B B B π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，化简得sin 3B B =，tan 3B ∴=. 又()0,B π∈，因此，3B π=；（2）如下图，由13sin 2ABC S ac B ∆==，又D 为AC 的中点，则2BD BA BC =+， 等式两边平方得22242BD BC BC BA BA =+⋅+， 所以2222423a c BA BC a c ac ac =++⋅=++≥， 则43ac ≤，当且仅当a c =时取等号，因此，ABC ∆3433=. 10．(1) 12；(2)3 【解析】（1）由221133sin sin 22344ADC S AC AD ACD AC AC π∆=⋅∠===得：1AC = 222AB AC BC ∴+=，即AB AC ⊥ 1122ABC S AB AC ∆∴=⋅= （2）设ACB α∠=，ABC β∠=在ABC ∆中，由正弦定理sin sin AC ABβα=得：sin sin AC αβ=…① 由余弦定理2222cos AC AB BC AB BC β=+-⋅得：2322AC β=-…② 在DBC ∆中，由余弦定理2222cos 2BD CB DC CB DC πα⎛⎫=+-⋅+⎪⎝⎭得： 22222sin BD AC AC α=++将①②代入整理得：)2522sin cos 54sin 4BD πβββ⎛⎫=+-=+-⎪⎝⎭当sin 14πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即34πβ=时，2BD 取最大值9 max 3BD ∴=。