分形几何学英国海岸线长度
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分形定义
一、分形几何学 三、数学与数学教育
分形原则
线性分形又称为自相似分形。自相似原则 和迭代生成原则是分形理论的重要原则。 它表征分形在通常的几何变换下具有不变 性，即标度无关性。由自相似性是从不同 尺度的对称出发，也就意味着递归。分形 形体中的自相似性可以是完全相同，也可 以是统计意义上的相似。有规分形只是少 数，绝大部分分形是统计意义上的无规分 形。如科赫曲线（Koch snowflake）、谢 尔宾斯基地毯（Sierpinski carpet）少数。
關係，其斜率為一定值 d：
L k( S)
1 d
历史资料数据
log L log k d log(1 S )
k 3.7, d 0.24
一、分形几何学 三、数学与数学教育
英国海岸线长度？
瑞典数学家柯赫曲线
一、分形几何学 三、数学与数学教育
"分形"一词译于英文，系分形几何的创始人曼德 勃罗（B.B.Mandelbrot）于 1973年由拉丁语 Frangere一词创造而成，词本身具有"破碎"、" 不规则"等含义。如：连绵的山川、飘浮的云朵、 岩石的断裂口、粒子的布朗运动、树冠、花菜、 大层……Mandelbrot把这些部分与整体以某种 方式相似的形体称为分形(fractal)。1973年， 他创立了分形几何学(Fractal Geometry)。在此 基础上，形成了研究分形性质及其应用的科学， 称为分形理论。
一、分形几何学 三、数学与数学教育
Julia集合：{Zn+1=Zn2+C}
数学原理
朱利亚集合由一个复变函数生成，其中C为常数。 在复平面上任意取一个点Z，其值是复数，将其 代入上面方程中进行反复迭代运算，则Z平面上 部分区域收敛，部分区域发散，收敛与发散的边 界，即为Julia集合的图形。根据C、Z0的不同会 生成不同的Julia集合。由上式反复迭代得到的集 合称为Mandelbrot集。
系统产生分形结构充分条件是“吸引子 （Attractor）”。不严格地说，一个吸引子就 是一个集合，并使附近的所有轨道都收敛到这个 集合上。
一、分形几何学 三、数学与数学教育
分形之美
分形几何不仅展示了数学之美，也揭示了世界 的本质，还改变了人们理解自然奥秘的方式。分 形艺术具有和传统艺术一样的和谐、对称等特征 的美学标准。自相似性又揭示了一种新的对称性， 是大小比例的对称，即系统中的每一元素都反应 和含有整个系统的性质和信息，是局部与整体的 对称。 分形图形中那种分叉、缠绕、不规则的边缘和丰 富的变换，给人们一种纯真的追求野性的美感， 一种未开化的、为驯服过的天然情趣。法国印象 派大师雷诺所说的“一览之余则不成艺术”。
一、分形几何学 三、数学与数学教育
产生分形之因
一般认为非线性、随机性、耗散性是出现分形结 构的必要物理条件。非线性是指运动方程中存在 非线性项（迭代）；随机性是反映了系统内在的 随机性；耗散性强调系统的开放性，研究熵变的 过程和机制，即宇宙的“有序与无序，物质与能 量和信息的相互转换的两大循环。”
一、分形几何学 三、数学与数学教育
曼德勃罗集中不同 点对应的朱利亚集
一、分形几何学 三、数学与数学教育
曼德勃罗集与朱利亚集
曼德勃罗图形上的每一个不同的点，对应 一个不同的朱利亚集，朱利亚集（复数c为 定值）和曼德勃罗集是有密切关系的。 那么，曼德勃罗图形上的每一个点是什么 呢？它代表迭代公式中不同的C值。因此， 给定一个C，就能产生一个朱利亚集。的确， 朱利亚集是用与曼德勃罗集同样的非线性 迭代方法产生的： Zn+1 = Zn2 + C
描述宇宙的分形几何
一、分形几何学 三、数学与数学教育
分形图形
三、数学与文化素质教育 一、分形几何学
一、分形几何学 三、数学与数学教育
同一個國家的海岸線長度，竟然有百分之二十 的誤差，Lewis Fry Richardson 指出 ：這種誤 差是因為他們使用不同長度的量尺所導致的。同 時發現海岸線長度 L 與測量尺度 s 的關係如下， 其中，值得注意的是 log(1/s) 與 log(L) 呈線性
第六讲 一种纯真追求野性之美
主讲教师：孙淑娥
目录
一、分形几何学 二、混沌现象
三、分形产生的意义
四、纯真与野性之美
一、分形几何学 三、数学与数学教育 自20世纪以来，人们认识到自然界许多的 随机现象已经难用欧氏几何来描述了。如 植物的形态、海岸线的长度、山脉、星系 分布、云朵聚合、天气模式、肺部支气管 分支及血管微循环管道等等，只能用“分 形”的工具才能作最好的描述。分形形态 是自然界普遍存在的，研究分形，是探讨 自然界的复杂事物的客观规律及其内在联 系的需要，分形提供了新的概念和方法。
一、分形几何学 三、数学与数学教育
重要原则
分维，又称分形维或分数维，作为分形的定量表 征和基本参数，是分形理论的又一重要原则。数 学家豪斯道夫(Hausdoff)在1919年提出了连续 空间的概念,也就是空间维数是可以连续变化的, 它可以是整数也可以是分数,称为豪斯道夫维数。 记作Df,一般的表达式为:K=L^Df,也作 K=(1/L)^(-Df),取对数并整理得Df=lnK/lnL,其 中L为某客体沿其每个独立方向皆扩大的倍数,K 为得到的新客体是原客体的倍数。显然,Df在一 般情况下是一个分数。例如，koch曲线的
Df=lnK/lnL=ln4/ln3=1.26186.
一、分形几何学 三、数学与数学教育 分数维度是基于分形理论产生的。由于图 形拥有自相似性，产生了分数维度。 英国的海岸线为什么测不准?因为欧氏一维 测度与海岸线的维数不一致。根据曼德布 罗特的计算,英国海岸线的维数为1.25(M)。 有了分维,海岸线的长度就确定了。 美国物理学大师约翰·惠勒说过：今后谁不 熟悉分形，谁就不能被称为科学上的文化 人。 海岸线长度不准的原因
Zk序列有两种情况：1）自由的朝着无穷大方向 扩散，即发散；2）被限制在复平面的某一区域 内，即收敛。
一、分形几何学 三、数学与数学教育
数学原理
朱利亚集合生成的图形，由于C可以是任意 值，所以当C取不同的值时，制出的图形也 不相同。
一、分形几何学 三、数学与数学教育
曼德勃罗集与朱利亚集
Leabharlann Baidu
从朱利亚集的生成过程可以看出：对应于 曼德勃罗集中的每一个点，都有一个朱利 亚集。下图左侧图是曼德勃罗集，右侧是 对应于曼德勃罗图形中（x=0.379,y=0.184） 处的朱利亚集。
一、分形几何学 三、数学与数学教育
分形原则
线性分形又称为自相似分形。自相似原则 和迭代生成原则是分形理论的重要原则。 它表征分形在通常的几何变换下具有不变 性，即标度无关性。由自相似性是从不同 尺度的对称出发，也就意味着递归。分形 形体中的自相似性可以是完全相同，也可 以是统计意义上的相似。有规分形只是少 数，绝大部分分形是统计意义上的无规分 形。如科赫曲线（Koch snowflake）、谢 尔宾斯基地毯（Sierpinski carpet）少数。
關係，其斜率為一定值 d：
L k( S)
1 d
历史资料数据
log L log k d log(1 S )
k 3.7, d 0.24
一、分形几何学 三、数学与数学教育
英国海岸线长度？
瑞典数学家柯赫曲线
一、分形几何学 三、数学与数学教育
"分形"一词译于英文，系分形几何的创始人曼德 勃罗（B.B.Mandelbrot）于 1973年由拉丁语 Frangere一词创造而成，词本身具有"破碎"、" 不规则"等含义。如：连绵的山川、飘浮的云朵、 岩石的断裂口、粒子的布朗运动、树冠、花菜、 大层……Mandelbrot把这些部分与整体以某种 方式相似的形体称为分形(fractal)。1973年， 他创立了分形几何学(Fractal Geometry)。在此 基础上，形成了研究分形性质及其应用的科学， 称为分形理论。
一、分形几何学 三、数学与数学教育
Julia集合：{Zn+1=Zn2+C}
数学原理
朱利亚集合由一个复变函数生成，其中C为常数。 在复平面上任意取一个点Z，其值是复数，将其 代入上面方程中进行反复迭代运算，则Z平面上 部分区域收敛，部分区域发散，收敛与发散的边 界，即为Julia集合的图形。根据C、Z0的不同会 生成不同的Julia集合。由上式反复迭代得到的集 合称为Mandelbrot集。
系统产生分形结构充分条件是“吸引子 （Attractor）”。不严格地说，一个吸引子就 是一个集合，并使附近的所有轨道都收敛到这个 集合上。
一、分形几何学 三、数学与数学教育
分形之美
分形几何不仅展示了数学之美，也揭示了世界 的本质，还改变了人们理解自然奥秘的方式。分 形艺术具有和传统艺术一样的和谐、对称等特征 的美学标准。自相似性又揭示了一种新的对称性， 是大小比例的对称，即系统中的每一元素都反应 和含有整个系统的性质和信息，是局部与整体的 对称。 分形图形中那种分叉、缠绕、不规则的边缘和丰 富的变换，给人们一种纯真的追求野性的美感， 一种未开化的、为驯服过的天然情趣。法国印象 派大师雷诺所说的“一览之余则不成艺术”。
一、分形几何学 三、数学与数学教育
产生分形之因
一般认为非线性、随机性、耗散性是出现分形结 构的必要物理条件。非线性是指运动方程中存在 非线性项（迭代）；随机性是反映了系统内在的 随机性；耗散性强调系统的开放性，研究熵变的 过程和机制，即宇宙的“有序与无序，物质与能 量和信息的相互转换的两大循环。”
一、分形几何学 三、数学与数学教育
曼德勃罗集中不同 点对应的朱利亚集
一、分形几何学 三、数学与数学教育
曼德勃罗集与朱利亚集
曼德勃罗图形上的每一个不同的点，对应 一个不同的朱利亚集，朱利亚集（复数c为 定值）和曼德勃罗集是有密切关系的。 那么，曼德勃罗图形上的每一个点是什么 呢？它代表迭代公式中不同的C值。因此， 给定一个C，就能产生一个朱利亚集。的确， 朱利亚集是用与曼德勃罗集同样的非线性 迭代方法产生的： Zn+1 = Zn2 + C
描述宇宙的分形几何
一、分形几何学 三、数学与数学教育
分形图形
三、数学与文化素质教育 一、分形几何学
一、分形几何学 三、数学与数学教育
同一個國家的海岸線長度，竟然有百分之二十 的誤差，Lewis Fry Richardson 指出 ：這種誤 差是因為他們使用不同長度的量尺所導致的。同 時發現海岸線長度 L 與測量尺度 s 的關係如下， 其中，值得注意的是 log(1/s) 與 log(L) 呈線性
第六讲 一种纯真追求野性之美
主讲教师：孙淑娥
目录
一、分形几何学 二、混沌现象
三、分形产生的意义
四、纯真与野性之美
一、分形几何学 三、数学与数学教育 自20世纪以来，人们认识到自然界许多的 随机现象已经难用欧氏几何来描述了。如 植物的形态、海岸线的长度、山脉、星系 分布、云朵聚合、天气模式、肺部支气管 分支及血管微循环管道等等，只能用“分 形”的工具才能作最好的描述。分形形态 是自然界普遍存在的，研究分形，是探讨 自然界的复杂事物的客观规律及其内在联 系的需要，分形提供了新的概念和方法。
一、分形几何学 三、数学与数学教育
重要原则
分维，又称分形维或分数维，作为分形的定量表 征和基本参数，是分形理论的又一重要原则。数 学家豪斯道夫(Hausdoff)在1919年提出了连续 空间的概念,也就是空间维数是可以连续变化的, 它可以是整数也可以是分数,称为豪斯道夫维数。 记作Df,一般的表达式为:K=L^Df,也作 K=(1/L)^(-Df),取对数并整理得Df=lnK/lnL,其 中L为某客体沿其每个独立方向皆扩大的倍数,K 为得到的新客体是原客体的倍数。显然,Df在一 般情况下是一个分数。例如，koch曲线的
Df=lnK/lnL=ln4/ln3=1.26186.
一、分形几何学 三、数学与数学教育 分数维度是基于分形理论产生的。由于图 形拥有自相似性，产生了分数维度。 英国的海岸线为什么测不准?因为欧氏一维 测度与海岸线的维数不一致。根据曼德布 罗特的计算,英国海岸线的维数为1.25(M)。 有了分维,海岸线的长度就确定了。 美国物理学大师约翰·惠勒说过：今后谁不 熟悉分形，谁就不能被称为科学上的文化 人。 海岸线长度不准的原因
Zk序列有两种情况：1）自由的朝着无穷大方向 扩散，即发散；2）被限制在复平面的某一区域 内，即收敛。
一、分形几何学 三、数学与数学教育
数学原理
朱利亚集合生成的图形，由于C可以是任意 值，所以当C取不同的值时，制出的图形也 不相同。
一、分形几何学 三、数学与数学教育
曼德勃罗集与朱利亚集
Leabharlann Baidu
从朱利亚集的生成过程可以看出：对应于 曼德勃罗集中的每一个点，都有一个朱利 亚集。下图左侧图是曼德勃罗集，右侧是 对应于曼德勃罗图形中（x=0.379,y=0.184） 处的朱利亚集。