第1章误差分析
第一章 误差分析与误差的传播习题及解答
有 5 位有效数字，其误差限
，相对误差限
有 2 位有效数字，
有 5 位有效数字， 3. 下列公式如何才比较准确？ （1）
（2） 解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。 （1） （2）
4.设
，假定 是准确的，而对 的测量有
而相对误差却减少。
解：
秒的误差，证明当 增加时 的绝对误差增加，
四、解答题 1. 设 x>0,x*的相对误差为 δ，求 f(x)=ln x 的误差限。
解：求 lnx 的误差极限就是求 f(x)=lnx 的误差限，由公式有
已知 x*的相对误差 满足
，而
，故
即
2. 下列各数
都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几
位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。 解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得
( )
3. 任给实数 a 及向量 x ，则 || ax || a || x ||。
()
二、填空题：
1.设
x*
2.40315 是真值
x
2.40194 的近似值，则
x* 有(3)位有效数字。
2. x*的相对误差约是 x*的相对误差的 1 倍。
2
3. 为了使计算
y 10 3 4 6 x 1 (x 1)2 (x 1)3
5. 的近似值 3.1428 是准确到
近似值。答： 102
6. 取 x 3.142 作为 x 3.141 592 654 ┅的近似值，则 x 有
位有效数字.答：4
7. 近似值 x* 0.231关于真值 x 0.229有( 2 )位有效数字；
8. 3 x* 的相对误差为 x* 的相对误差的(
《试验设计与数据处理》第1章试验数据的误差分析
d p xp x (, n) s
则应将xp从该组试验值
中剔除。
7 10.52 0.066 10.52 0.119
8 10.82 0.366
x 10.45
x 10.40
s= 0.165
s= 0.078
从附录2查取。
(, n)
(1) s (0.05,8) 2.03 0.16 0.320.366 (2) (0.05,7) s 1.94 0.078 0.15220.119
※ 适用场合: 测定次数n >20
※测定次数n <10时，应采用其它准则。如：
格拉布斯准则、狄克逊准则、t检验法等 21
(2) 格拉布斯(Grubbs)准则
序
第一次检验
第二次检验
※ 方法：
号 xi xi x xi xi x
1）计算包括可疑值在内
1 10.29 0.164 10.29 0.111
• 在相同条件下，多次测量同一量时，误差的绝对值和符号 的变化时大时小，时正时负，没有确定的规律；
• 在一次测定中，是不可预知的，但在多次测定中，其误差 的算术平均值趋于零。
※ 随机误差的来源：偶然因素 ※ 随机误差具有一定的统计规律：
(1) 有界性； (2) 正误差和负误差出现的频数大致相等； (3) 绝对值小的误差比大的误差出现的次数多（收敛性）。 (4) 当测量次数n→∞，误差的算术平均值趋于零（抵偿性1）3 。
用来描述试验结果与真值的接近程度，即反映系统误差和随 机误差合成的大小程度。
16
1.5 试验数据误差的估计与检验
※1 随机误差的估计 对试验值精密度高低的判断：
(1) 极差：指一组试验值中最大值与最小值的差值。
第一章测量误差的分析与处理
随机误差大多是由测量过程中大量彼此独立的微小因 素对测量影响的综合结果造成的。这些因素通常是测量者 所不知道的，或者因其变化过分微小而无法加以严格控制 的。如气温和电源电压的微小波动，气流的微小改变等。
例如，仪表使用时的环境温度与校验时不同，并且是变化的，这就会 引起变值系统误差。变值系统误差可以通过实验方法找出产生误差的 原因及变化规律，改善测量条件来加以消除，也可通过计算或在仪表 上附加补偿装置加以校正。
未被充分认识只能估计它的误差范围，在测量结果上标明。
(3)随机误差
在相同条件下(同一观测者，同一台测量器具，相同的环 境条件等)多次测量同一被测量时，绝对值和符号不可预 知地变化着的误差称为随机误差。
(3)准确度：精密度与正确度的综合称准确度，它反映 了测量结果中系统误差和随机误差的综合数值，即测量结 果与真值的一致程度。准确度也称为精确度。
对于同一被 测量的多次 测量，精密 度高的准确 度不一定高， 正确度高的 准确度也不 一定高，只 有精密度和 正确度都高 时，准确度 才会高。
三、不确定度
是表示用测量值代表被测量真值的不肯定程度。
它是对被测量的真值以多大的可能性处于以测量 值为中心的某个量值范围之内的一个估计。
不确定度是测量准确度的定量表示。不确定度愈 小的测量结果，其准确度愈高。在评定测量结果 的不确定度时，应先行剔除坏值并对测量值尽可 能地进行修正。
第二节 随机误差的分布规律
测量系统和测量条件不变时，增加重复测 量次数并不能减少系统误差。
第一章 误差分析与误差的传播习题及解答
四、解答题 1. 设 x>0,x*的相对误差为 δ，求 f(x)=ln x 的误差限。
解：求 lnx 的误差极限就是求 f(x)=lnx 的误差限，由公式有
已知 x*的相对误差 满足
，而
，故
即
2. 下列各数
都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几
位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。 解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得
第一章 误差分析与误差的传播
一、判断题： 1.舍入误差是模型准确值与用数值方法求得的准确值产生的误差。 ( )
x2 2. 用 1- 2 近似表示 cosx 产生舍入误差。
( )
3. 任给实数 a 及向量 x ，则 || ax || a || x ||。
()
二、填空题：
1.设
x*
2.40315 是真值
5. 计算下列矩阵的范数：
1）
，求
2）
，求
3)
，求
解：1）
2）
3）
1 0 1
6.
求矩阵
A
0
1
0
的谱半径.
2 0 2
1 0 1
解 I A 0 1 0 1 3
4分
2 0 2
矩阵 A 的特征值为 1 0, 2 1, 3 3
8分
所以谱半径 A max0,1,3 3
7. 证明向量 X 的范数满足不等式
和
。（ 2.7183 和 8.0000）
12. 、
，则 A 的谱半径
＝
，A 的
＝
（ 11.计算
）
取
，利用（ ）式计算误差最小。
四个选项：
解：
三、选择题
试验设计与数据处理(第三版)李云雁-第1章-误差分析PPT优秀课件
设有n个正试验值：x1，x2，…，xn，则：
1 1 ... 1 n 1
1 x1 x2
xn i1 xi
H
n
n
常用在涉及到与一些量的倒数有关的场合 调和平均值≤几何平均值≤算术平均值
Excel在计算平均值中的应用
13
1.2 误差的基本概念
1.2.1 绝对误差（absolute error）
10
（3）对数平均值（logarithmic mean）
设两个数：x1＞0，x2 ＞0 ，则
说明：
xL
x1 x2 ln x1 ln x2
x1 x2 ln x1
x2 x1 ln 宜使用对数平均值
对数平均值≤算术平均值
如果1/2≤x1/x2≤2 时，可用算术平均值代替
（1）定义： 一定试验条件下，由某个或某些因素按照某一 确定的规律起作用而形成的误差
（2）产生的原因：多方面 （3）特点： 系统误差大小及其符号在同一试验中是恒定的 它不能通过多次试验被发现，也不能通过取多次试验值的
平均值而减小 只要对系统误差产生的原因有了充分的认识，才能对它进
行校正，或设法消除。
数学家华罗庚教授也在国内积极倡导和普及的“优选法” 我国数学家王元和方开泰于1978年首先提出了均匀设计
3
0.2 试验设计与数据处理的意义
0.2.1 试验设计的目的:
合理地安排试验,力求用较少的试验次数获得较好结果 例：某试验研究了3个影响因素： A：A1，A2，A3 B：B1，B2，B3 C：C1，C2，C3 全面试验：27次 正交试验：9次
6
误差分析（error analysis） ：对原始数据的可靠性进 行客观的评定
误差（error） ：试验中获得的试验值与它的客观真实 值在数值上的不一致
1-第一章 数值计算中的误差分析
课程目的和任务： 通过对一些基本声学和水声学问题的分析和
求解，掌握基本声学理论计算与工程研究中常用的 数值计算方法，培养综合运用声学专业知识、数学 知识和计算机技术解决科学研究中手工所不能解算 的问题，具备应用现代计算工具解决工程实际问题 的能力。
前言
水声学主要研究声波在水下的辐射、传播与接收，用 以解决与水下目标探测和信息传输过程有关的各种声学问 题。声波是目前在海洋中唯一能够远距离传播的能量辐射 形式。因此作为信息载体的声波，在海洋中所形成的声场 时空结构，就成为近代水声学的基本研究内容，而提取海 洋中声场信息的结构是我们用来进行水下探测、识别、通 信及环境监测等的手段。
c*
1.2 299792458
4.1 109 (4.002769
109 )
数值计算中的误差分析
有效数字
如果近似值 x* 的绝对误差限是某一位的半个单位，就称其
“准
x*
确”到这一位x*，且从该位开始直到 的第一位非零数字共有n位，
则称近似数 有n位有效数字。
有效数字既能表示近似值的大小，又能表示其精确程度（绝对
学习目的：
提高应用计算机解决实际问题的能力。
前言
数值计算流程：
实际问题
理论模型
数学问题
误差分析
上机计算
程序设计
算法设计
特点：
既具有数学的抽象性与严格性，又具有应用的广泛性与实际实 验的技术性，是一门与计算机紧密结合的实用性很强的有着自身研 究方法与理论体系的计算数学课程。
前言
数学问题可以通过离散化、逼近转化为数值问题，在计算机上 可执行的（指计算公式中只有四则运算和逻辑运算等计算机上能够 执行的计算）求解数值问题的系列计算公式称为数值方法。
第一章数值计算方法与误差分析分析
控制误差传播的例子
例10 计算积分 In=∫01 xn ex-1dx，n=0,1, 2, … , 9 利用分部积分法，可得 In= xn ex-1| 01 –∫01 ex-1dxn
=1– n∫01 xn-1 ex-1dx =1– nIn-1
从而有递推公式
I0= ∫01 ex-1dx= ex-1 | 01 = 1-e-1 ≈0.6321 In= 1– nIn-1 （n=0, 1, 2, … , 9）
所谓算法，是指对一些数据按某种规定的顺序 进行的运算序列。在实际计算中，对于同一问题我 们选用不同的算法, 所得结果的精度往往大不相同。 这是因为初始数据的误差或计算中的舍入误差在计 算过程中的传播，因算法不同而异，于是就产生了 算法的数值稳定性问题。一个算法, 如果计算结果 受误差的影响小，就称这个算法具有较好的数值稳 定性。否则，就称这个算法的数值稳定性不好。
简化计算步骤、减少运算次数、避免误差积累的例子
又如计算
1/(1*2)+1/(2*3)+…+1/(1000*1001)
的值。 若一项一项进行计算，不仅计算次数多，而 且误差积累也很大。若简化成 1－1/1001 进行计 算，则整个计算只要一次求倒数和一次减法。
（四）要避免绝对值小的数作除数
由式 ε(x1/x2)≈d(x1/x2)≈[x2ε(x1)－x1ε(x2)]/ x22 , (x2≠0) 可知，当除数x2接近于零时，商的绝对误差就可能很大。因此 , 在数值计算中要尽量避免绝对值小的数作除数, 避免的方法是把 算式变形或改变计算顺序。 例8 当x接近于0时 (1-cosx)/sinx 的分子、分母都接近0，为避免绝对值小的数作除数，可将原式 化为 (1-cosx)/sinx=sinx/(1+cosx) 例9 当x 很大时，可化 x/[(x+1)0.5－x0.5]=x[(x+1)0.5 + x0.5]
试验设计与数据处理(第三版)李云雁 第1章 误差分析.ppt
1.2.2 相对误差（relative error）
（1）定义：
相对误差
绝对误差 真值
或
ER
x xt
x
xt xt
（2）说明：
真值未知，常将Δx与试验值或平均值之比作为相对误差：
ER
x x
或
ER
x x
可以估计出相对误差的大小范围：
ER
x xt
x xt max
相对误差限或相对误差上界
∴ xt x(1 ER )
设有n个正试验值：x1，x2，…，xn，则：
1 1 ... 1 n 1
1 x1 x2
xn i1 xi
H
n
n
常用在涉及到与一些量的倒数有关的场合 调和平均值≤几何平均值≤算术平均值
Excel在计算平均值中的应用
1.2 误差的基本概念
1.2.1 绝对误差（absolute error）
真值：在某一时刻和某一状态下，某量的客观值或实际值 真值一般是未知的 相对的意义上来说，真值又是已知的 ➢ 平面三角形三内角之和恒为180° ➢ 国家标准样品的标称值 ➢ 国际上公认的计量值 ➢ 高精度仪器所测之值 ➢ 多次试验值的平均值
1.1.2 平均值（mean）
（1）算术平均值（arithmetic mean）
（3）对数平均值（logarithmic mean）
设两个数：x1＞0，x2 ＞0 ，则
说明：
xL
x1 x2 ln x1 ln x2
x1 x2 ln x1
x2 x1 ln x2
x2
x1
若数据的分布具有对数特性，则宜使用对数平均值
对数平均值≤算术平均值
如果1/2≤x1/x2≤2 时，可用算术平均值代替
第1章_试验数据的误差分析
1 试验数据的误差分析
1.5 试验数据误差的统计假设检验 1.5.1 随机误差的检验 1.5.1.1 2 检验（ 2-test，卡方检验）
（1）目的： 在试验数据的总体方差2已知的情况下，对试验数据的
随机误差或精密度进行检验。
（2）检验步骤：
①计算统计量 2
若试验数据 x1, x2 , , xn 服从正态分布，则 服从自由度为 df n 1 的 2 分布
2
(n
1)s2
2
Page 26
1 试验数据的误差分析
②查临界值 2 (df ) ——显著性水平。一般取0.01或0.05，表示有显著差异的概率
③检验
◈双侧（尾）检验(two-sided/tailed test) ： 若
n
n
等精度试验值；
试验值服从正态分布。
Page 3
1 试验数据的误差分析
1.1.2 平均值(mean)
（2）加权平均值(weighted mean)：
n
xw
w1x1 w2 x2 wn xn w1 w2 wn
wi xi
i 1 n
wi
i 1
加权和 wi——权重
适合不同精度的试验值或可靠性不一致时的场合。
①真值未知，常将Δx与试验值
或平均值之比作为相对误差：
ER
x x
或
x ER x
②可以估计出相对误差 的大小范围：
ER
x xt
x xt max
相对误差限或相对误差上界
∴ xt x(1 ER )
③相对误差常常表示为 百分数（%）或千分数 （‰）。
Page 12
1 试验数据的误差分析
例1-3 已知某样品质量的称量结果为：(58.7±0.2g），试 求其相对误差。
第1章 误差分析
第1章误差分析利用计算机进行数值计算几乎全都是近似计算：计算机所能表示的数的个数是有限的，我们需要用到的数的个数是无限的，所以在绝大多数情况下，计算机不可能进行绝对精确的计算。
定义：设x *为某个量的真值，x为x *的近似值，称x *- x为近似值x的误差，通常记为e(x)，以表明它是与x有关的量。
与误差作斗争是时计算方法研究的永恒的主体，由于时间和经验的关系，我们仅对这方面的只是做一个最基本的介绍。
1.1 误差的来源误差的来源是多方面的，但主要来源为：描述误差，观测误差，截断误差和舍入误差。
1描述误差为了便于数学分析和数值计算，人们对实际问题的数学描述通常只反映出主要因素之间的数量关系，而忽略次要因素的作用,由此产生的误差称为描述误差。
对实际问题进行数学描述通常称为是建立数学模型，所以描述误差也称为是模型误差。
2观测误差描述实际问题或实际系统的数学模型中的某些参数往往是通过实验观测得到的。
由试验得到的数据与实际数据之间的误差称为观测误差。
比如我们用仪表测量电压、电流、压力、温度时，指针通常会落在两个刻度之间，读数的最后一位只能是估计值，从而也产生了观测误差。
3.舍入误差几乎所有的计算工具，当然也包括电子计算机，都只能用一定数位的小数来近似地表示数位较多或无限的小数，由此产生的误差称为舍入误差。
4.截断误差假如真值x*为近似值系列{x n}的极限,由于计算机只能执行有限步的计算过程，所以我们只能选取某个x N作为x*的近似值，由此产生的误差称为截断误差。
我们可以通过函数的泰勒展式来理解截断误差：设f(x)可以在x=x0处展开为泰勒级数，记f N(x)为前N+1项的和，R N(x)为余项，如果用f N(x)近似表示f(x)，则R N(x)就是截断误差。
提示：在我们的课程中，重点是考虑尽可能减小截断误差，尽可能消除舍入误差的副作用。
1.2 误差基本概念1.绝对误差与相对误差定义：设x*为某个量的真值，x为x*的近似值，我们称|x*- x|为近似值x的绝对误差；称|x *- x|/|x*|为近似值x的相对误差。
第一章误差分析的基本概念
计算方法-1 -第一章 误差分析的基本概念§ 1误差的来源1. 误差概念:精确值与近似值之差称为误差，也叫绝对误差。
2. 产生误差的主要原因① 模型误差：在解决实际问题时，在一定条件下抓住主要因素将现实系统理想化的数学描述称为实 际问题的数学模型，这种数学描述常常是近似的，数学模型与实际系统之间存在误差，这种误差称为模 型误差。
② 观测误差：数学模型中往往含有一些由观测得到的物理量（如温度、电阻、长度）或由物理量估 算出的模型参数，这些观测物理量或模型参数常常与实际数据存在误差。
这种由观察产生的误差称为观 测误差。
③ 截断误差：数值计算中用有限运算近似代替无穷过程产生的误差。
例如计算一个无穷次可微函数 的函数值时，理论上只要能算出这个函数的泰勒级数值即可，但是实际工程上仅用泰勒级数中前面有限 项来近似计算函数值，而舍去高阶无穷小量。
这个被舍的高阶无穷小量正是截断误差。
④ 舍入误差：计算中按四舍五入进行舍入而引起的误差或因计算机字长有限，数据在内存中存放时 进行了舍入而引起的误差。
3. 举例说明例1设一根铝棒在温度t 时的实际长度为L t ,在t=0 C 时的实际长度为 L o ,用i t 来表示铝棒在温度为t 时的长度计算值，并建立一个数学模型： I tL °（1「.t ）,其中a 是由实验观察得到的常数:-二（0.0000238 ± 0.0000001 ） 1/ C,称L t —I t 为模型误差，0.0000001/ C 是a 的观测误差。
这个问题中模型 误差产生的原因是：实际上 L t 与t 2有微弱关系，也就是说模型未能完全反映物理过程。
为了计算近似值，可取前面有限项计算•如取前面五项计算，计算过程中与计算结果都取五位小数得e ~1+1 + 1/2+1/6+1/24疋2.7083, e 取五位小数时的准确值为~ =2.71828，于是截断误差为：□0' —:2.71828 -2.7083 = 0.00995 n总n !这表明：只要在计算中采用了有限步运算近似代替无限步运算的方法，截断误差就一定存在。
数值计算方法matlab 第一章 误差分析
1 第一章作业1.对一个数求和100000次。
对数1以单精度方式求和，对数0.00001分别以单精度和双精度方式求和。
问题分析：单精度方式使用函数single()，双精度求和为matlab自动调整，不需要特别说明。
程序编写如下：运行结果：实验结果分析：不难看出，对于1进行单精度求和得到的结果和期望值一致，但是对0.00001进行单精度求和的结果却存在误差，对0.00001进行双进度求和，误差得到减小。
这是由于量化误差造成的，0.00001在计算机中并不能准确表示，只能对其进行量化处理，得到一个和真值有一点区别的量化值，小量计算中可以忽略，但在计算了100000后误差积累，导致了最后的结果误差较大。
双精度的情况下，该误差小得多。
当x=0.1时，从1x -开始，然后每次加入一项来分别计算。
在每加入一个新项后，计算近似百分比相对误差，直到近似误差估计值的绝对值小于与五位有效数字一致的误差准则时停止计算。
问题分析：本例中，要保证5位有效数字，因此容限误差为：256s (0.510)%510--ε=⨯=⨯近似百分比误差为： -100%a ε=⨯当前近似值前一近似值当前近似值真误差为：-100%ε=⨯真值近似值真值跳出循环的标准为：a |s |ε<ε程序编写如下：运行结果如下：3实验结果分析：实验结果表明，当计算到第6次时，近似误差就已经小于了容限值，循环结束。
随着添加多的项数，实际误差和近似误差都减小了，说明了计算精度在逐步提高。
我们可以通过改的值来调节所需要的计算精度。
变s。
第一章 误差分析与数据分析
(a)
(b )
23.5m的近似值，其绝对误差限等于该近似 值末位的半个单位。
截断误差求解数学模型所用的数值计算方法如果是近似的方法那么只能得到数学模型的近似解由此产生的误差称为截断误差或方法误差
第一章
误差分析与数据分析
第一节 误差分析 1.1 误差的来源和分析 1 模型误差
反映实际问题有关量之间的计算公式，即 数学模型，通常只是近似的。由此产生的 数学模型的解与实际问题的解之间的误差， 称为模型误差。
a
称为近似值 a 的相对误差限和相对误差界，有er r 。
例 1 用最小刻度为毫米的卡尺测量直杆甲和直杆乙，分别读出长度 r ( a) 、 r (b) 各是多少？两杆的实 a=312mm 和 b=24mm，问 (a) 、 (b) 、 际长度 x 和 y 的范围？
解： (a) = (b) =0.5mm
5 尽量减少运算次数
定义 设 a 是数 x 的近似值，如果 a 的绝对误差限是它的某一位的半个 单位，并且从该位到它的第一位非零数字共有 n 位，则称用 a 近似 x 时具有 n 位有效数字。
数 a 可以写成如下形式： 0.a1a2…ak × a= 10m a 其中 m 是整数，ai 是 0 到 9 中的一个数字， 1 0。 如果 a 作为 x 的近似值，且
如，由Taylor(泰勒)公式，函数f(x)可表示为，
为简化计算，当误差不大时，去掉上式 右端的最后一项，得近似公式：
此近似公式的误差就是截断误差。
4 舍入误差 由于计算机的字长有限，参加运算的数据 以及运算结果在计算机上存放会产生误差， 这种误差称为舍入误差或计算误差。 如 1/3=0.333333333 (1.000002)2-1.000004=0 在数值分析中，主要研究截断误差和舍入误 差对计算结果的影响，而一般不考虑模型误 差和观测误差。
第1章过程检测技术基础-误差分析基础
常州大学信息学院
过程检测技术及仪表
误差与随机误差的处理方式
1、系统误差的处理
➢系统误差的综合 ➢系统误差的分配
误差分析基础
Changzhou University
常州大学信息学院
过程检测技术及仪表
误差分析基础
例2：某仪表的技术说明指出：当仪表在环境温度20℃+5℃、电源电 压200V+5%、湿度<80%时的基本误差为2.5%。若环境温度超出该范围， 则将产生0.2%/℃误差；电源电压变化±10%时，则将产生±2%的附加 误差；湿度>80%时也将产生1%的附加误差，现在35℃时使用该表，湿 度>80%，电源电压为220 V,试估计测量误差。
Changzhou University
常州大学信息学院
过程检测技术及仪表
误差分析基础
具有这样特性的事件称之为服从正态分布（高斯分布），正 态分布的概率密度：
f
x
1
2
exp
xu
2 2
2
1
2
exp
2
2 2
测量值分布中心可用求算术平均值的方法求得：
1 N
u B x N i1 Xi
常州大学信息学院
过程检测技术及仪表
例4：有一电位差计如图所示，现假定检流计G的误差忽略不计， 且R1=10Ω, R2=10Ω, Rp=5Ω, R3=490Ω, R4=235Ω,当随机误差不考 虑时，问个电阻的误差如何分配，才能保证其测量误差小于1%。
Changzhou University
常州大学信息学院
过程检测技术及仪表
误差分析基础
例如，温度、气压等环境条件的变化和仪表电池 电压随使用时间的增长而逐渐下降，则可能产生 变值系统误差。
第一章误差
数的相对误差。
r* 0 , 使 如果 存在
er ( x)
* r
r* 为近似数 成立，则称正数
x 的相对误
*
差限，常用百分数表示。
例如 比较两个近似数：
x1 100 2
（4）舍入误差：由于计算机计算字长限制，自动
进行四舍五入而产生的误差。
误差是不可避免的，要做到与实际问题的绝对 准确是办不到的。因此，我们主要研究怎样尽量设 法减少截断误差和舍入误差，提高计算精度。
例如 在计算机上计算
1 3 1 5 1 7 1 9 sin x x x x x x 3! 5! 7! 9!
、
避免两接近的近似数相减！
e xy x y max e x , e y , er xy er x er y ;
x y e x x e y e , 2 y y
k sk ak x0 , k 0,1, , n 解、算法一： n P k 0 sk
算法二：
Tn an , Tk x0Tk 1 ak , k n 1, n 2, , 2,1,0 P T0
二、选择算法数值稳定性较好的算法 例2：计算积分
n 位有效数字。
准确数有无限位有效数字。
练习:
若 x 3.14159265 ，分别判断下列近似
数有几位有效数值 。
1、x1 3.1382673
三位有效数值
三位有效数值
2、x2 3.1410673
第一章 试验数据的误差分析
第一章试验数据的误差分析（I）教学内容与要求（1）了解真值的基本概念，理解平均值的表示方法；（2）理解误差的基本概念及表示方法；（3）理解试验数据误差的来源及分类；（4）理解描述试验数据的精准度的三个术语：精密度、正确度和准确度；（5）理解随机误差的估计方法，理解秩和检验法在系统误差检验中的应用，掌握可疑数据的取舍规则；（6）理解有效数字的含义、有效数字的运算；（7）掌握误差的传递的基本原理；（8）了解Excel在误差分析中的应用。
（II）教学重点可疑数据的取舍规则，误差的传递。
（III）教学难点误差的传递。
通过实验测量所得的大批数据是实验的初步结果，但在实验中由于测量仪表和人的观察等方面的原因，实验数据总存在一些误差，即误差的存在是必然的，具有普遍性的。
因此，研究误差的来源及其规律性，尽可能地减小误差，以得到准确的实验结果，对于寻找事物的规律，发现可能存在的新现象是非常重要的。
误差估算与分析的目的就是评定实验数据的准确性，通过误差估算与分析，可以认清误差的来源及其影响，确定导致实验总误差的最大组成因数，从而在准备实验方案和研究过程中，有的放矢地集中精力消除或减小产生误差的来源，提高实验的质量。
目前对误差应用和理论发展日益深入和扩展，涉及内容非常广泛，本章只就化工基础实验中常遇到的一些误差基本概念与估算方法作一扼要介绍。
1.1 实验数据的真值和平均值1.1.1真值真值是指某物理量客观存在的确定值。
对它进行测量时，由于测量仪器、测量方法、环境、人员及测量程序等都不可能完美无缺，实验误差难于避免，故真值是无法测得的，是一个理想值。
在分析实验测定误差时，一般用如下方法替代真值：(1)实际值是现实中可以知道的一个量值，用它可以替代真值。
如理论上证实的值，像平面三角形内角之和为180°；又如计量学中经国际计量大会决议的值，像热力学温度单位—绝对零度等于－273.15K；或将准确度高一级的测量仪器所测得的值视为真值。
误差分析与数据处理
第一章 误差分析与数据处理1-1 误差分析的意义何在？1-2 误差有几种类型？总结系统误差与随机误差的异同点。
1-3 试验数据的准确度和精密度如何表示，它们之间有何关系？ 1-4 什么叫有效数字，有效数字的误差如何计算？ 1-5 数据有几种表示方法，各有何优缺点？ 1-6 可疑观测值的取舍有哪些方法？简述其步骤。
1-7 测得某三角块的三个角度之和为180º00′02″，试求测量的绝对误差和相对误差。
1-8 在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为50 mm ，已知其最大绝对误差为1 m ，试问该被测件的真实长度为多少?1-9 在测量某一长度时，读数值为2.31 m ，其最大绝对误差为20 m ，试求其最大相对误差。
1-10 使用凯特摆时，g 由公式2212/)(4T h h g +=π给定。
今测出长度(h 1+h 2)为(1.04230±0.00005) m ，振动时间T 为(2.0480±0.0005) s 。
试求g 及其最大相对误差。
如果(h 1+h 2)测出为(1.04220±0.0005) m ，为了使g 的误差能小于0.001 m/s 2，T 的测量必须精确到多少?1-11 检定2.5级（即引用误差为2.5%）、量程为100 V 的电压表，发现50 V 刻度点的示值误差2 V 为最大误差，问该电压表是否合格?1-12 为什么在使用微安表等各种电表时，总希望指针在全量程的2/3范围内使用?1-13用两种方法测量L 1=50 mm ，L 2=80 mm ，测量结果为50.004 mm ，80.006 mm 。
试评定两种方法测量精度的高低。
1-14 多级弹导火箭的射程为10000 km 时，其射击偏离预定点不超过0.1 km ，优秀射手能在距离50 m 远处准确地射中直径为2 cm 的靶心，试评述哪一个射击精度高?1-15 测量某物体重量共8次，测得数据(单位为g)为236.45，236.37，236.51，236.34，236.39，236.48，236.47，236.40。
第1章_试验数据的误差分析
x 0.2 ER 3 10 3 或0.3% x 58.7
Page 13
1 试验数据的误差分析
例 1-4 已知由试验测得水在 20 ℃时的密度 ρ =997.9kg/m3, 又 已知其相对误差为0.05%，试求ρ 所在的范围。 解：
x 997.9 0.05% 0.5kg / m3 所以所在的范围： 997.4kg / m 998.4kg / m
②可以估计出相对误差 的大小范围：
ER
x x xt xt
max
相对误差限或相对误差上界
∴
xt x(1 ER )
③相对误差常常表示为 百分数（%）或千分数
（‰）。
Page 12
1 试验数据的误差分析
例 1-3 已知某样品质量的称量结果为： (58.7±0.2g ），试 求其相对误差。 解：依题意，称量的绝对误差为0.2g，所以相对误差为
Page 20
1 试验数据的误差分析
（3）精密度判断 ①极差（range）：
R xmax xmin
n 2 i n
R↓，精密度↑
②标准差（standard error）
( xi x)
i 1
n
2
n
2 ( x x ) i i 1 n
2 x ( x ) i /n i 1 i 1
（1）含义： ◈反映了随机误差大小的程度； ◈在一定的试验条件下，多次试验值的彼此符合程度 例：甲：11.45，11.46，11.45，11.44 乙：11.39，11.45，11.48，11.50 （2）说明： 可以通过增加试验次数而达到提高数据精密度的目的； 试验数据的精密度是建立在数据用途基础之上的； 试验过程足够精密，则只需少量几次试验就能满足要求。
计算方法 第一章 误差
五、误差的传播与估计
1.误差估计的一般公式：（略） 2.误差在算术运算中的传播：大小相近的同号
数相减、乘数的绝对值很大以及除数接近于0 等，在数值计算中应设法避免。 3.前例的误差分析：从相对误差来看，前两种 算法比后两种大许多。
六、算法的数值稳定性
▪ 定义：凡一种算法的计算结果受舍入误差的 影响小者称它为数值稳定的算法。
y=1000的相对误差限分别为
r
(
x)
Байду номын сангаас
1 10
0.1，
r
(
y)
5 1000
0.005
r (x) r (y)
故y的精度比x高得多。
四、有效数字
★定义：若近似值x 的绝对误差限是某一位上 的半个单位，且该位直到 x的第一位非零数 字一共有n位，则称近似值 x有n位有效数字， 或说 精确x到该位。
※用四舍五入法得到的近似数都是准确到末位 的有效数字。
第一章 误差
一、误差的种类及其来源 二、绝对误差和绝对误差限 三、相对误差和相对误差限 四、有效数字 五、误差的传播与估计 六、算法的数值稳定性
一、误差的种类及其来源
1.描述误差：也称环境误差或模型误差 将复杂的物理现象抽象、归结为数学
模型，往往只得忽略一些次要的因素，从 而造成误差。 2.观测误差：也称初值误差
实际使用的初始数据往往都是通过人 们实际观察测量得来的，这些测得的数据 都只能是近似的，称为参数误差。
3.截断误差：
计算时只能完成有限次运算，需要对一些 无穷计算过程（如微分、积分、无穷级数求 和等）进行截断，即仅保留无穷过程的前段 有限序列而舍弃它的后段。
4.舍入误差：四舍五入所造成的误差。 ※前两种为非过失误差，无法避免；后两种为
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
0.2.2 数据处理的目的
通过误差分析，评判试验数据的可靠性； 确定影响试验结果的因素主次，抓住主要矛盾，提高试
验效率； 确定试验因素与试验结果之间存在的近似函数关系，并
能对试验结果进行预测和优化； 试验因素对试验结果的影响规律，为控制试验提供思路； 确定最优试验方案或配方。
i1
i1
n1
n1
n1
表示试验值的精密度，标准差↓，试验数据精密度↑
第1章误差分析
1.3 试验数据误差的来源及分类
1.3.1 随机误差 （random error ）
（1）定义：以不可预知的规律变化着的误差，绝对误差时 正时负，时大时小
（2）产生的原因： 偶然因素 （3）特点：具有统计规律 小误差比大误差出现机会多 正、负误差出现的次数近似相等 当试验次数足够多时，误差的平均值趋向于零 可以通过增加试验次数减小随机误差 随机误差不可完全避免的
ER
x xt
x xt max
相对误差限或相对误差上界
∴ xt x(1 ER )
相对误差常常表示为百分数（%）或千分数（‰）
第1章误差分析
1.2.3 算术平均误差 (average discrepancy)
定义式：
n
n
xi x di
i1
i1
n
n
d i —— 试验值 x i 与算术平均值 x 之间的偏差
第1章误差分析
第1章 试验数据的误差分析
第1章误差分析
误差分析（error analysis） ：对原始数据的可靠性进 行客观的评定
误差（error） ：试验中获得的试验值与它的客观真实 值在数值上的不一致
➢ 试验结果都具有误差，误差自始至终存在于一切科学实 验过程中
➢ 客观真实值——真值
第1章误差分析
1.1 真值与平均值
1.1.1 真值（true value）
真值：在某一时刻和某一状态下，某量的客观值或实际值 真值一般是未知的 相对的意义上来说，真值又是已知的 ➢ 平面三角形三内角之和恒为180° ➢ 国家标准样品的标称值 ➢ 国际上公认的计量值 ➢ 高精度仪器所测之值 ➢ 多次试验值的平均值
对数平均值≤算术平均值
如果1/2≤x1/x2≤2 时，可用算术平均值代替
第1章误差分析
（4）几何平均值（geometric mean） 设有n个正试验值：x1，x2，…，xn，则
1
xGnx1x2...xn (x1x2...xn)n
当一组试验值取对数后所得数据的分布曲线更加对称时， 宜采用几何平均值。
试验设计与数据处理
（第二版）
Experiment Design and Data Processing
第1章误差分析
引言
第1章误差分析
0.1 试验设计与数据处理的发展概况
20世纪20年代，英国生物统计学家及数学家费歇 （R．A．Fisher）提出了方差分析
20世纪50年代，日本统计学家田口玄一将试验设计中应用 最广的正交设计表格化
第1章误差分析
1.1.2 平均值（mean）
（1）算术平均值（arithmetic mean）
n
x x1 x2 ...xn i1 xi
n
n
适合： 等精度试验值 试验值服从正态分布
第1章误差分析
（2）加权平均值(weighted mean)
n
xW
w1x1 w2x2 ...wnxn w1 w2 ...wn
数学家华罗庚教授也在国内积极倡导和普及的“优选法” 我国数学家王元和方开泰于1978年首先提出了均匀设计
第1章误差分析
0.2 试验设计与数据处理的意义
0.2.1 试验设计的目的:
合理地安排试验,力求用较少的试验次数获得较好结果 例：某试验研究了3个影响因素： A：A1，A2，A3 B：B1，B2，B3 C：C1，C2，C3 全面试验：27次 正交试验：9次
绝对误差=量程×精度等级%
第1章误差分析
1.2.2 相对误差（relative error）
（1）定义：
相对误差绝真 对值 误差
或
ER
x
xt 或
x xt xt
（2）说明：
真值未知，常将Δx与试验值或平均值之比作为相对误差：
ER
x x
或
x ER x
第1章误差分析
可以估计出相对误差的大小范围：
行校正，或设法消除。
wixi
i1 n
wi
i1
wi——权重
加权和
适合不同试验值的精度或可靠性不一致时
第1章误差分析
（3）对数平均值（logarithmic mean）
设两个数：x1＞0，x2 ＞0 ，则
说明：
xL
x1x2 lnx1lnx2
x1x2 lnx1
x2x1 lnx2
x2
x1
若数据的分布具有对数特性，则宜使用对数平均值
第1章误差分析
1.3.2 系统误差（systematic error）
（1）定义： 一定试验条件下，由某个或某些因素按照某一 确定的规律起作用而形成的误差
（2）产生的原因：多方面 （3）特点： 系统误差大小及其符号在同一试验中是恒定的 它不能通过多次试验被发现，也不能通过取多次试验值的
平均值而减小 只要对系统误差产生的原因有了充分的认识，才能对它进
几何平均值≤算术平均值
第1章误差分析
（5）调和平均值（harmonic mean）
设有n个正试验值：x1，x2，…，xn，则：
1 1 ... 1 n 1
1 x1 x2
xn i1 xi
H
n
n
常用在涉及到与一些量的倒数有关的场合 调和平均值≤几何平均值≤算术平均值
第1章误差分析
1.2 误差的基本概念
可以反映一组试验数据的误差大小
第1章误差分析
1.2.4 标准误差 (standard error)
当试验次数n无穷大时，总体标准差：
n
n
n
(xi x)2
xi2( xi)2/n
i1
i1
i1
n
n
试验次数为有限次时，样本标准差：
n
n
n
n
di2
(xi x)2
xi2( xi)2/n
s i1 i1
1.2.1 绝对误差（absolute error）
（1）定义
绝对误差＝试验值－真值
或
x xxt
（2）说明 真值未知，绝对误差也未知 可以估计出绝对误差的范围：
或
xxxt xm ax
绝对误差限或绝对误差上界
xt
xx max
第1章误差分析
绝对误差估算方法： ➢ 最小刻度的一半为绝对误差； ➢ 最小刻度为最大绝对误差； ➢ 根据仪表精度等级计算：