基本不等式与余弦定理综合求解三角形面积的最值探究

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拓展三：三角形面积(定值-最值-范围)问题-(精讲)(解析版)

在ABC 中，，求ABC 的面积．证明见解析证明：在ABC 中，因为C π=2A B B -=sin(A π-cos cos A B +由正弦定理sin a A =cos (2A b =所以ABC 的面积在ABC 中，若ABC 为锐角三角形，且，求ABC 的面积．【答案】(1)3π或sin cos a B同类题型演练．（2023·全国·高三专题练习）已知4,3==a b ，()()23?261a b a b -+=．求a 与b 的夹角θ求a b +；若AB a =，BC b =，求ABC 的面积．【答案】(1)2π313 3 ）)()23261-⋅+=a b a b ， ()()224361-⋅-=a a b b，4,3==a b ，∴6442761a b -⋅-=6a b ⋅=-，∴6cos 43θ⋅-===⨯a b a b0πθ≤≤，∴2θ=；（2） ()()2222162+=+⋅+=+⨯a b aa b b∴13a b +=；因为AB 与BC 的夹角2ππ=33=-ABC 4==AB a ，3==BC b ，所以1sin 2=∠ABCSAB BC ABC ．（2023·全国·高三专题练习）已知对任意若ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a b ，且求c ；若2b a =，过点C 作CH 4AH =，求ABC 的面积【答案】(1)3S = (1)，设ABC 的外接圆半径为sin sin a b A B =所以：sin a (2sin R A +ab ，故所以，2sin R 如图所示：b由4AH =，3AB =，得1BH =，又CH AH ⊥所以ABC 的面积故ABC 的面积为．（2023·全国·332ABC =且∠(1)求DB ；求ACD 的面积．【答案】(1)233 ）由已知S △是ABC 外接圆的直径，33=,CD 34333⨯⨯故ACD 的面积为．（2023·全国1）求()f x 2）设ABC 为锐角三角形，求ABC 的面积．）,2；（2）15）依题意2211()cos sin cos20,π22f x x x x x，由πk，令1k=得ππ2x≤≤.所以()f x的单调递增区间,2.b，所以A为锐角，即π0,02π2A A<<<<.由()0f A=，得，所以2ππ2,33A A==.或3c=.ABCS=2a c =+在锐角ABC 中，，求ABC面积的最大值.(1)0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和因为锐角ABC ，则由余弦定理，2b c +由基本不等式，2b 1sin 2ABCSbc =时，ABC 面积取得最大值．（2023·上海·高三专题练习）如图，在扇形分别为线段OA ，CE(1)求AOB ∠的大小；（舍去），0DCE <∠又CD OA ⊥，所以AOB ∠2）连接OC ，可得π0θ3），则∠Rt ODC 中，Rt OEC 中，30sin CE =所以CDE 的面积112ππ⎛⎫2253sin 2θ⎛ ⎝π0θ3），π0θ3，所以56π，则当2θCDE的面积S取得最大值2253.例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知在ABC中，三个内角,,a b c，且(1)求角B(2)若角B相交于点D，求ABC的面积的最小值0.ABCS=，即ac=（当且仅当a=ABCS=即ABC的面积的最小值为例题4．（2023，已知3(1)求角A的大小；高三专题练习）在ABC 中，内角若ABC 的外接圆半径为，求ABC 的面积最大值．【答案】(1)3π；3. ）解：由题得a a a b b -∴-=0C π<<（2）解：由正弦定理得由余弦定理得2C ab ab -即12ab （当且仅当 11sin 1222ab C =⨯⨯（当且仅当a =即ABC 面积S 的最大值为．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC 中，的面积为S ，且24S a =+(1)求角B 的大小；）解：在ABC 中，由22c b +-，cos B =，)π，，则ABC 为等腰直角三角形，12BC BC ⨯⨯sin BD DC ⨯cos sin D +1cos C+已知向量(sin m x =，(2cos n x =m n =⋅.在ABC 中，内角的对边分别为a ，b 1=，a =，求ABC 的面积的最大值. 【答案】(1)T =212+ ）()2sin m n =⋅=cos 22sin x =则其最小正周期22T π=所以ABC的面积所以该三角形面积的最大值为．（2023·全国高三专题练习）在ABC中，角(,cosc c A=Aπ=上，AD BC=，求ABC面积的最大值.33π；（）最大值为2(cosc A=2sin cosB C=，所以cos C=在ABC中，由正弦定理得因为1AD=，所以BCD△中，由余弦定理得：BCD△外接圆的半径为所以ABC 面积从而ABC 面积1．（202322sin 2A B+·全国·高三专题练习）在ABC 中，角，且ABC 为锐角三角形，求ABC 的面积6π3sin C c =解：ABC 为锐角三角形，所以2=，由正弦定理得15π=⎛ABC 的面积例题3．（2023·全国·高三专题练习）在锐角ABC 中，内角a ，b ，c ，②23ABCCA CB S ⋅=，③(sin sin )C B B +，从这三个条件中任选一个，回答下列问题，，求ABC 面积的取值范围．6π⎤⎥⎦锐角ABC ，∴⎝，由23ABCCA CB S⋅=，锐角ABC ，∴，∵(sin C +由正弦定理，得(c 23c ab -=锐角ABC ，∴由正弦定理sin a A =1sin 2ABCSab C =1sin 2A ⎛ ⎝锐角ABC ，∴2,33ππ⎛∈ ⎝31,22ABCS⎛∈ ⎝ABC 面积的取值范围为．（2022·全国高三专题练习）在ABC 中，内角3sin(b B C +求角A 的大小；若ABC 为锐角三角形，且，求ABC 面积的取值范围【答案】(1)6π3,63).2【详解】（1）因为cos B c =，ABCS=因为ABC为锐角三角形，所以256Bππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-⎪⎩32Bππ<<即ABC面积的取值范围为．（2022春高三树德中学校考阶段练习）锐角ABC中，内角边分别为a，求A；求ABC面积取值范围．【答案】(1)π333 , 82⎫⎪⎪⎭【详解】（1）解：ABCS=3324因为锐角ABC ，所以33,82⎫⎪⎪⎭.2023·全国·高三专题练习）sin Cb A =在ABC 中，由正弦定理知此时就有sin因为ABC 是锐角三角形，又1sin 2ABCSac B 21sin 2a c B c ⋅⋅22sincos cos sin 33sin 8tan C CC ππ-⋅=,62ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以tan C ⎛∈ ⎝ABC S⎛ ⎝∈，故ABC 面积的取值范围是方法二]【由题意求得边a 的取值范围，然后结合面积公式求面积的取值范围】）知ABC的面积因为ABC 为锐角三角形，且221cos 0,21cos 0,2b a A bb a C ab ⎧-=>⎪⎪⎨-⎪=>⎪⎩又由余弦定理得ABCS <，故ABC 面积的取值范围是【数形结合，利用极限的思想求解三角形面积的取值范围】，在ABC 中，过点A 作1AC 由题设及（1）知ABC 的面积ABC S △，因为ABC 为锐角三角形，且位于在线段12C C 上且不含端点，从而cos cos B a <<1cos 3π<，即12<32ABCS <，故ABC 面积的取值范围是三、高考（模拟）题体验已知ABC 中，若ABC 的外接圆面积为，求ABC 面积【答案】(1)158158【详解】（1）因为14，2cos ab ）因为ABC 的外接圆面积为21025B =⨯所以ABC 面积为3．（2022·四川自贡统考一模）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为cos sin A A +上，且2BD DC =，2AD =.A ；求ABC 面积的最大值【答案】(1)A =32【详解】（1）因为3）由2BD DC =得，2()AD AB AC AD -=-，所以1233AD AB AC =+. 所以222144999AD AC A AC B AB =++⋅. 222π4144cos3999c b c b ++⋅=. 221424229994999c b c b c b c b +-⋅≥⋅-⋅==18c b ⋅≤. 11393sin 182222ABCSbc A .故ABC 面积的最大值．（2022·全国22c ab ++求bc的取值范围；，求ABC 的面积．2cos2Cab 及因为ABC 为锐角三角形，且2cos 2C <02b c<<解法二：因为ABC 为锐角三角形，且0<2b c<）解法一：为锐角，且所以ABC 的面积解法二：为锐角，且1）知a =所以由余弦定理得所以ABC 的面积解法三：为锐角，且1）知A =所以ABC 的面积已知ABC的内角求角C的大小；=，求ABC面积的最大值．4sin A a注：若果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)C3）方案一：选条件①．，结合正弦定理，得，故ABC 面积的最大值为模拟预测）在ABC 中，内角，C 所对的边分别为πcos 2C ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.是BAC ∠的平分线，23a =，求ABC 的面积(ABCABDACDSSS=+，则()4b c =+，又22a b =+8安仁县第一中学校考模拟预测）在,ABC 中内角ABCS 的最大值ABCS=即maxABC S（）．（2022·统考模拟预测）在ABC 中，角=2sin 2A B+求ABC 的面积．）由已知，cos 2A B +ABCS=2022·上海CMD 上任一点到(1)若点P 与点C 重合，求POB ∠的大小；在OBP 中，所以14OC =因为sin BC POB ∠所以sin POB ∠（2）,QOM POM AOQ BOP S S S S ==，QOM POM α=∠=，则AOQ ∠=)AOQ QOM S S +122OQ πα⎛⎫-+⋅ ⎪⎝⎭140cos α9．（2022·青海海东·校考模拟预测）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，，求ABC 面积的最大值．1cos 2bc ac =即ABC 面积的最大值为．（2022·π）在ABC中，22AB BC-⋅的长约为11.6米．ππ3。

利用正余弦定理、基本不等式解决三角形面积的最值问题

利用正余弦定理解决三角形面积的范围/最值问题题型一：已知一角和对边例1、△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c, 已知A=π3, a=2,求△ABC面积的取值范围.解法一：利用正弦定理、两角和的正弦公式、二倍角公式及辅助角公式，转化为三角函数求范围/最值.因为S=12bcsinA=√34bc=√34(asinA)2sinBsinC=4√33sinBsinC =4√3sinBsin(π+B)=4√3(√3sinBcosB+1sin2B) =sin2B−√3cos2B+√3=2√3sin (2B−π6)+√3又∵A=π3∴B∈(0,2π3) ∴2B−π6∈(−π6,7π6) ∴sin (2B−π6)∈(−12,1]因此，S∈(0,√3].解法二：利用余弦定理和基本不等式，进而求范围/最值.因为S=12bcsinA=√34bc由余弦定理cosA=b 2+c2−a22bc=12得b2+c2−a2=bc又b2+c2≥2bc(当且仅当b=c时取等号),故b2+c2−a2=bc≥2bc−a2,即bc≤a2=4故S=√34bc≤√3. 又S＞0, 从而S∈(0,√3].解法三：借助三角形的外接圆进行观察，进而求范围/最值.A＇由左图可知，在A靠近B、C的过程中，S逐渐变小；A 当A趋近B、C时，S趋近于0；当A运动到A＇位置时，S取最大值.B C (此时△ABC为等边三角形)变式：锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c, 已知A=π3, a=2,求△ABC面积的取值范围.解法一：由例1知S=2√33sin (2B−π6)+√33又∵A =π3且△ABC 为锐角三角形 ∴B ∈(π6,π2) ∴2B −π∈(π6,5π6)∴sin (2B −π6)∈(12,1] 因此，S ∈(2√33,√3]. 解法二：借助三角形的外接圆进行观察，进而求范围/最值. A ＇如图，AC ⊥BC 时AC =2√33，S=12×2×2√33=2√33；A 当A 运动到A ＇位置时，S 取最大值√3.(此时△ABC 为等边三角形)B DC 因此，S ∈(2√33,√3]. 题型二：已知一角和邻边例2、锐角△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c , 已知A =π3, b =2,求△ABC 面积的取值范围.解法一：利用正弦定理及两角和的正弦公式，转化为三角函数求范围/最值.因为S =12bcsinA =√32c =√32bsinBsinC =√3sinCsinB =√3sin(π3+B)sinB=3√32+12sinB sinB =√3(√32tanB +12)=32tanB +√32又∵A =π3且△ABC 为锐角三角形 ∴B ∈(π6,π2) ∴tanB ∈(√33,+∞], 1tanB ∈(0,√3) 因此，S ∈(√32,2√3).解法二：寻找临界位置(直角三角形)C 如图, 当点B 在B 1位置时∠CB 1A =90°，AB 1=1，S =√32；当点B 在B 2位置时∠ACB 2=90°，B 2C=2√3，S =2√3；A B 1 B B 2 显然点B 位于B 1与B 2之间, 故S ∈(√32,2√3).巩固练习1、△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，且sin 2B−C 2+sinBsinC =34.(1)求角A ；(2)若a =4，且△ABC 为锐角三角形，求△ABC 面积的取值范围； (3)若c =4，且△ABC 为锐角三角形，求△ABC 面积的取值范围.2、△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c .且√3asinAcosB −bcos 2A +b =0. (1)求角B ；(2)若b =6，求BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值； (3)若b =2√3，求△ABC 面积的最大值. 3、设双曲线x 2−y 23=1的左、右焦点分别为F 1、F 2，若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|+|PF 2|的取值范围是 4、锐角△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c .已知sin A+C 5=bsinA a, BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ =2√2c , 则△ABC 面积的取值范围是( ) A.(13,43) B.(√3,4√33) C.(√3,2√3) D.(1,2)参考答案 1. (1)A =π3；(2) (8√33,4√3]；(3)( 2√3,8√3)2. (1)B =2π3；(2)﹣6；(3) √33. (2√7,8)4. B。

利用余弦定理、基本不等式解决多边形周长的最值问题

利用余弦定理、基本不等式解决多边形周长的最值问题介绍本文将介绍如何利用余弦定理和基本不等式来解决多边形周长的最值问题。

通过运用这些数学工具，我们可以确定多边形的边长以最大或最小值来优化其周长。

余弦定理余弦定理是解决三角形边长和角度之间关系的重要定理。

对于一个三角形，设其三边分别为a、b、c，对应的角度为A、B、C，则余弦定理可以表示为：其中c是对应的边长，A是对应的角度。

利用余弦定理，我们可以求解三角形的边长，从而进一步计算多边形的周长。

基本不等式基本不等式是数学中常用的一组基本不等式，涵盖了绝对值不等式、均值不等式以及柯西-施瓦茨不等式等。

在解决多边形周长的最值问题时，我们可以利用这些不等式来优化多边形的边长。

例如，使用柯西-施瓦茨不等式，我们可以得到：其中x1、x2、y1、y2分别为多边形的边长。

通过调整x1、x2、y1、y2的取值，我们可以找到使得周长最小或最大的边长组合。

解决多边形周长的最值问题要解决多边形周长的最值问题，我们可以总结出以下步骤：1. 首先，确定多边形的边数和角度数。

2. 根据问题的要求，确定是寻找最小周长还是最大周长。

3. 利用余弦定理计算三角形的边长。

4. 使用基本不等式来优化多边形的边长。

5. 组合多边形的边长，求解最小或最大周长。

请注意，具体问题的解决方法可能因问题而异，因此需要根据具体情况来灵活应用余弦定理和基本不等式。

总结利用余弦定理和基本不等式可以解决多边形周长的最值问题。

通过计算三角形的边长和使用不等式优化多边形的边长，我们可以确定多边形的周长以达到最小或最大值。

在实际问题中，我们可以根据具体情况选择适用的方法来解决多边形周长的最值问题。

应用基本不等式,破解三角形最值

２０２４年３月上半月㊀学习指导㊀㊀㊀㊀应用基本不等式,破解三角形最值◉河南省固始县高级中学㊀沈玉洁㊀㊀利用基本不等式破解三角形中的角㊁边㊁周长㊁面积以及相应代数式等的最值及其综合应用问题,一直是高考命题中的一个重点与难点,交汇点多,综合性强,难度较大,灵活多样,备受各方关注．本文中结合实例,合理通过基本不等式的巧妙放缩,得以确定相应的最值．１角的最值问题利用基本不等式求解三角形中角的最值问题,是高考的一个考点．解决这类问题的关键是,利用正㊁余弦定理及基本不等式求出三角形中相应内角的某一三角函数值的取值范围或进一步利用三角函数的单调性求出角的最值等．例１㊀在әA B C 中,已知０＜A ＜π２,０＜B ＜π２,２s i n A ＝c o s (A ＋B )s i n B ,则t a n A 的最大值为．解析:由２s i n A ＝c o s (A ＋B )s i n B ＝－c o s C s i n B 及正弦定理和余弦定理,可得２a ＝－a ２＋b ２－c２２a bˑb ,化简可得５a ２＋b ２＝c ２．而t a n ２A ＝s i n ２A c o s ２A ＝１c o s ２A－１,又A 为锐角,可得c o s A ＞０,t a n A ＞０,因此只要求出c o s A 的最小值,就可求得t a n A 的最大值．结合基本不等式,利用余弦定理有c o s A ＝b ２＋c ２－a ２２b c ＝３b ２＋２c ２５b c ȡ２３b ２ˑ２c ２５b c ＝２６５,当且仅当３b ２＝２c２,即c ＝６２b 时等号成立,所以t a n ２A ＝１c o s ２A －１ɤ１(２６５)２－１＝１２４,解得t a n A ɤ６１２,则t a n A 的最大值为６１２．点评:解决本题的关键是利用正弦定理㊁余弦定理化角为边的关系式,并结合基本不等式与余弦定理求出角A 的余弦值的取值范围,然后利用三角关系式的变形与转化,以及不等式的性质来确定角A 的正切值的平方的最值,进而获解．２边的最值问题求解三角形中边(或对应的线段长度等)的最值问题是高考的一个基本考点,解决这类问题的关键是利用余弦定理表示出所要求的边,然后利用基本不等式或三角形的三边关系等条件求出边的最值．例２㊀在әA B C 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知３a c o s C －a s i n C ＝３b ．(１)求角A 的大小;(２)若D 为B C 的中点,且A D ＝２,求a 的最大值．解析:(１)由３a c o s C －a s i n C ＝３b ,结合正弦定理,可得３s i n A c o s C －s i n A s i n C ＝３s i n B ＝３s i n (A ＋C ),整理可得－s i n A s i n C ＝３c o s A s i n C ,即t a n A ＝－３．又A ɪ(０,π),所以A ＝２π３．(２)由于D 为B C 的中点,可得２A D ң＝A B ң＋A C ң,式子两边同时平方,有４A D ң２＝AB ң２＋２A Bң A C ң＋A C ң２,又A D ＝２,所以１６＝c ２＋b ２＋２b c c o s A ＝c ２＋b ２－b c ,即b ２＋c ２＝１６＋b c ．而结合余弦定理,可得a ２＝b ２＋c ２－２b c c o s A ＝b ２＋c ２＋b c ＝１６＋２b c ．由基本不等式,可得２b c ɤb ２＋c ２＝１６＋b c ,解得b c ɤ１６,当且仅当b ＝c 时等号成立,所以２b c ＋１６ɤ４８,即a ２＝１６＋２b c ɤ４８,解得a ɤ４３,当且仅当b ＝c ,即әA B C为等腰三角形时,等号成立．所以a 的最大值为４３．点评:利用平面向量的线性关系的两边平方处理以及余弦定理的应用,用b ２＋c ２及b c 的线性关系式表示出a ２是解决本题的关键,同时注意利用基本不等式来合理放缩b ２＋c ２与b c 之间的不等关系,为确定边的最值奠定基础．３三角形周长的最值问题三角形周长的最值问题是高考的一个热点与常见题型,这类问题一般可以求出一条边(或已知一边),然后利用余弦定理表示出另两条边满足的关系式,最后利用基本不等式求出周长的最值．例３㊀在әA B C 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,已知c o s B a b ＋c o s C a c ＋２c o s Ab c＝０．５４学习指导２０２４年３月上半月㊀㊀㊀(１)求A ;(２)若a ＝２３,求әA B C 周长的取值范围．解析:(１)由c o s B a b ＋c o s C a c ＋２c o s Ab c＝０及正弦定理,可得c o s B s i n A s i n B ＋c o s C s i n A s i n C ＋２c o s A s i n B s i n C＝０．整理得s i n C c o s B ＋s i n B c o s C ＋２s i n A c o s A ＝０,即s i n (B ＋C )＝－２s i n A c o s A ．在әA B C 中,s i n (B ＋C )＝s i n A ʂ０,所以可得c o s A ＝－１２,而A ɪ(０,π),可得A ＝２π３．(２)由(１)及余弦定理可得a ２＝b ２＋c ２－２b c c o s A ＝(b ＋c )２－２b c ＋b c ＝(b ＋c )２－b c ,合理变形并结合基本不等式,可得(b ＋c )２＝a ２＋b c ɤa ２＋(b ＋c２)２,当且仅当b ＝c 时等号成立,所以(b ＋c )２ɤ４３a ２＝４３ˑ(２３)２＝１６,解得b ＋c ɤ４．又利用三角形的基本性质有b ＋c ＞a ＝２３,即b ＋c ɪ(２３,４]．所以әA B C 周长的取值范围为(４３,４＋２３]．点评:涉及三角形周长的最值问题,经常在已知或已求得其中一边的基础上,通过另外两边之和的最值转化来综合,而这时往往需要借助基本不等式来合理放缩与应用,同时也离不开三角形的基本性质等．４三角形面积的最值问题三角形面积的最值问题一直是高考命题的一个热点,解决这类问题的关键是找出两边(这两边的夹角往往已知或可求)之积满足的不等关系式,借助基本不等式合理放缩,再利用三角形面积公式解决问题．例４㊀在әA B C 中,D ,E 分别是线段A C ,B D 的中点,øB A C ＝１２０ʎ,A E ＝４,则әA B C 面积的最大值为．(３２３)解析:略．点评:解决本题的关键是利用余弦定理,或利用平面向量中的线性运算,或利用坐标运算等表示出b ,c 满足的关系式,然后利用基本不等式求出b c 满足的不等关系,最后利用三角形面积公式解决问题．５涉及角或边的代数式的最值问题关于三角形中的边长或角的代数式的最值问题是新课标高考的一个新趋向,创新新颖,变化多端,解决这类问题的关键是消元消边或消角,对元素进行统一化处理,然后利用基本不等式求出最值即可．例５㊀记әA B C 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知c o s A １＋s i n A ＝s i n ２B１＋c o s ２B．(１)若C ＝２π３,求B ;(２)求a ２＋b ２c２的最小值．解析:(１)利用二倍角公式,可得c o s A１＋s i n A＝s i n ２B １＋c o s ２B ＝２s i n B c o s B ２c o s ２B ＝s i n Bc o s B ,则有s i n B ＝c o s A c o s B －s i n A s i n B ＝c o s (A ＋B )＝－c o s C ＝－c o s ２π３＝１２,而０＜B ＜π３,所以B ＝π６．(２)由(１)可得－c o s C ＝s i n B ＞０,则知c o s C ＜０,则有C ɪ(π２,π),于是有B ＝C －π２,可得s i n A ＝s i n (B ＋C )＝s i n (２C －π２)＝－c o s ２C ．结合基本不等式,利用正弦定理可得㊀㊀㊀㊀a ２＋b ２c ２＝s i n ２A ＋s i n ２Bs i n ２C＝c o s ２２C ＋c o s ２C s i n ２C＝(１－２s i n ２C )２＋(１－s i n ２C )s i n ２C＝４s i n ４C －５s i n ２C ＋２s i n ２C＝４s i n ２C ＋２s i n ２C－５ȡ２４s i n ２C ˑ２s i n ２C －５＝４２－５,当且仅当４s i n ２C ＝２s i n ２C ,即s i n C ＝１４２时,等号成立．所以a ２＋b ２c ２的最小值为４２－５．点评:解决本题中涉及边的代数式的最值问题的关键在于利用正弦定理化边为角,结合诱导公式与二倍角公式的转化,综合三角关系式的恒等变形,利用基本不等式来确定相应的最值问题．当然,除了巧妙利用基本不等式的放缩来确定三角形中的角㊁边㊁周长㊁面积以及相应的代数式等的最值及其综合应用,还可以利用平面几何图形的直观性质㊁三角函数的有界性㊁函数与方程的基本性质以及导数等相关知识来解决．而这当中基本不等式的放缩与应用是最简单有效的一种方法,也是最常见的,要结合问题的实质加以合理转化,巧妙构建一正㊁二定㊁三相等的条件,为利用基本不等式来处理三角形最值问题提供条件．Z６４。

解三角形中的最值、范围问题--高考数学【解析版】

专题25 解三角形中的最值、范围问题近几年高考对解三角形问题考查，大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意22,,a c ac a c ++三者的关系. 高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式.与平面几何相结合的问题，要注重几何图形的特点的利用.由于新教材将正弦定理、余弦定理列入平面向量的应用，与平面向量相结合的命题将会出现.另外，“结构不良问题”作为实验，给予考生充分的选择空间，充分考查学生对数学本质的理解，引导中学数学在数学概念与数学方法的教学中，重视培养数学核心素养，克服“机械刷题”现象．同时，也增大了解题的难度.【重点知识回眸】（一）余弦定理变形应用：变式()()2221cos a b c bc A =+-+在已知,a A 的情况下，配合均值不等式可得到b c +和bc 的最值（二）三角形中的不等关系（1）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可.由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少（2）在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系：sin sin cos cos a b A B A B A B >⇔>⇔>⇒<其中由cos cos A B A B >⇔<利用的是余弦函数单调性，而sin sin A B A B >⇔>仅在一个三角形内有效.（三）解三角形中处理不等关系的几种方法 1．三角形中的最值、范围问题的解题策略和步骤（1）转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求函数的值域（最值）（2）利用均值不等式求得最值（3）①定基本量：根据题意或几何图形厘清三角形中边、角的关系，利用正、余弦定理求出相关的边、角或边角关系，并选择相关的边、角作为基本量，确定基本量的范围．②构建函数：根据正、余弦定理或三角恒等变换将待求范围的变量用关于基本量的函数解析式表示．③求最值：利用基本不等式或函数的单调性等求最值． 2．求解三角形中的最值、范围问题的注意点(1)涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化．(2)注意题目中的隐含条件，如A ＋B ＋C ＝π，0＜A ＜π，b －c ＜a ＜b ＋c ，三角形中大边对大角等．【典型考题解析】热点一三角形角(函数值)相关的最值(范围)问题【典例1】（2021·山西·祁县中学高三阶段练习（理））在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，若sin a c B =，则tan A 的最大值为（） A ．1 B ．32C ．43D ．54【答案】C【分析】先由正弦定理化简得111tan tan C B+=，结合基本不等式求得tan tan 4B C ≥，再由正切和角公式求解即可.【详解】在ABC 中，sin a c B =，所以sin sin sin A C B =，又()sin sin A B C =+，整理得：sin cos cos sin sin sin B C B C B C +=，又sin sin 0B C ≠，得到111tan tan C B+=，因为角A 、B 、C 为锐角，故tan A 、tan B 、tan C 均为正数，故112tan tan B C≥整理得tan tan 4B C ≥，当且仅当tan tan 2B C ==时等号成立，此时tan tan tan tan 1tan tan()11tan tan 1tan tan 1tan tan B C B CA B C B C B C B C+⋅=-+=-=-=---⋅，当tan tan B C 取最小值时，1tan tan B C 取最大值，11tan tan B C-取最小值，故111tan tan B C-⋅的最大值为43，即当tan tan 2B C ==时，tan A 的最大值为43．故选：C ．【典例2】（2021·河南·高三开学考试（文））ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin tan sin sin A A B C =，则cos A 的最小值为________. 【答案】23【分析】先根据题目条件和正弦定理得到2cos a A bc=，结合cos A 的余弦定理表达式，得到,,a b c 的关系，利用此关系求cos A 的最小值.【详解】由条件可知，2sin cos sin sin A A B C=，由正弦定理得2cos a A bc =，由余弦定理得，2222cos 2b c a a A bc bc +-==，化简可得2223a b c =+.所以222222223cos 2333b c b c b c bc A bc bc bc ++-+==≥=，当且仅当b c =时取得等号，cos A 取得最小值23. 故答案为：23【典例3】（2020·浙江·高考真题）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin 30b A a =．（I ）求角B 的大小；（II ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．【答案】（I ）3B π=；（II ）3132⎤+⎥⎝⎦ 【解析】【分析】（I ）方法二：首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定角B 的大小；（II ）方法二：结合(Ⅰ)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有角A 的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定角A 的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得cos cos cos A B C ++的取值范围. 【详解】（I ）[方法一]：余弦定理由2sin 3b A a =，得222233sin 4a a A b ==⎝⎭，即22231cos 4a A b -=．结合余弦定222cos 2b c a A bc +-=，∴2222223124b c a a bc b ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，即224442222222242223b c b c a b c b a c a a c ----++=, 即444222222220a b c a c a b b c +++--=, 即44422222222222a b c a c a b b c a c +++--=,即()()22222a c b ac +-=,∵ABC 为锐角三角形，∴2220a c b +->， ∴222a c b ac +-=，所以2221cos 22a c b B ac +-==，又B 为ABC 的一个内角，故3B π=．[方法二]【最优解】：正弦定理边化角由2sin 3b A a =，结合正弦定理可得：32sin sin 3,sin B A A B =∴=ABC 为锐角三角形，故3B π=.（II ）[方法一]：余弦定理基本不等式因为3B π=，并利用余弦定理整理得222b a c ac =+-，即223()ac a c b =+-．结合22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，得2a c b +≤．由临界状态（不妨取2A π=）可知3a cb+= 而ABC 为锐角三角形，所以3a cb+> 由余弦定理得2222221cos cos cos 222b c a a b c A B C bc ab+-+-++=++， 222b a c ac =+-，代入化简得1cos cos cos 12a c A B C b +⎛⎫++=+⎪⎝⎭ 故cos cos cos A B C ++的取值范围是3132⎤+⎥⎝⎦．[方法二]【最优解】：恒等变换三角函数性质结合(1)的结论有： 12cos cos cos cos cos 23A B C A A π⎛⎫++=++- ⎪⎝⎭131cos cos 22A A A =-+311cos 22A A =++1sin 62A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.由203202A A πππ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩可得：62A ππ<<，2363A πππ<+<，则3sin 6A π⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦，1313sin 622A π⎤+⎛⎫++∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦. 即cos cos cos A B C ++的取值范围是3132⎤+⎥⎝⎦.【整体点评】（I ）的方法一，根据已知条件，利用余弦定理经过较复杂的代数恒等变形求得222a c b ac +-=，运算能力要求较高；方法二则利用正弦定理边化角，运算简洁，是常用的方法，确定为最优解；（II ）的三种方法中，方法一涉及到较为复杂的余弦定理代入化简，运算较为麻烦，方法二直接使用三角恒等变形，简洁明快，确定为最优解. 【总结提升】求角(函数值)的最值(范围)问题一般先将边转化为角表示，再根据三角恒等变换及三角形内角和定理转化为一个角的一个三角函数表示，然后求解．热点二三角形边(周长)相关的最值(范围)【典例4】（2018·北京·高考真题（文））若ABC 2223)a c b +-,且∠C 为钝角，则∠B =_________；ca的取值范围是_________. 【答案】 60 (2,)+∞ 【解析】【分析】根据题干结合三角形面积公式及余弦定理可得tan 3B =3B π∠=；再利用()sin sin C A B =+，将问题转化为求函数()f A 的取值范围问题. 【详解】)22231sin 2ABC S a c b ac B ∆=+-=， 22223a c b ac +-∴=cos 3B =sin 3,cos 3B B B π∴∠=，则231sin cos sin sin 311322sin sin sin tan 2A A Ac C a A A A A π⎛⎫⎛⎫---⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭====+， C ∴∠为钝角，,036B A ππ∠=∴<∠<，)31tan ,3,tan A A ⎛∴∈∈+∞ ⎝⎭，故()2,ca∈+∞.故答案为3π，()2,+∞. 【典例5】（2022·全国·高考真题（理））已知ABC 中，点D 在边BC 上，120,2,2ADB AD CD BD ∠=︒==．当ACAB取得最小值时，BD =________． 31##3-【解析】【分析】设220CD BD m ==>，利用余弦定理表示出22AC AB 后，结合基本不等式即可得解.【详解】设220CD BD m ==>，则在ABD △中，22222cos 42AB BD AD BD AD ADB m m =+-⋅∠=++，在ACD △中，22222cos 444AC CD AD CD AD ADC m m =+-⋅∠=+-，所以()()()2222224421214441243424211m m m AC m m AB m m m mm m ++-++-===-+++++++ ()44233211m m ≥=-+⋅+，当且仅当311m m +=+即31m =时，等号成立，所以当ACAB取最小值时，31m =. 31.【典例6】（2018·江苏·高考真题）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为________．【答案】9 【解析】【详解】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.详解：由题意可知，ABC ABD BCD S S S =+△△△,由角平分线性质和三角形面积公式得111sin1201sin 601sin 60222ac a c ︒=⨯⨯︒+⨯⨯︒，化简得11,1ac a c a c =++=，因此11444(4)()5529,c a c a a c a c a c a c a c+=++=++≥+⋅当且仅当23c a ==时取等号，则4a c +的最小值为9.【典例7】（2020·全国·高考真题（理））ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C ．（1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值. 【答案】（1）23π；（2）33+ 【解析】【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出cos A 的形式，进而求得A ；（2）方法一：利用余弦定理可得到()29AC AB AC AB +-⋅=，利用基本不等式可求得AC AB +的最大值，进而得到结果. 【详解】（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB --=⋅，2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-⋅，()0,A π∈，23A π∴=. （2）[方法一]【最优解】：余弦+不等式由余弦定理得：2222cos BC AC AB AC AB A =+-⋅229AC AB AC AB =++⋅=，即()29AC AB AC AB +-⋅=.22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭（当且仅当AC AB =时取等号）， ()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭，解得：3AC AB +≤AC AB =时取等号），ABC ∴周长323L AC AB BC =++≤+ABC ∴周长的最大值为33+[方法二]：正弦化角（通性通法）设,66ππαα=+=-B C ，则66ππα-<<，根据正弦定理可知23sin sin sin a b cA B C===23(sin sin )b c B C +=+23sin sin 66ππαα⎤⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦233α=≤当且仅当0α=，即6B C π==时，等号成立．此时ABC 周长的最大值为33+ [方法三]：余弦与三角换元结合在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．由余弦定理得229b c bc =++，即2213924⎛⎫++= ⎪⎝⎭b c c ．令13sin ,20,223b c c θπθθ⎧+=⎪⎛⎫∈⎨ ⎪⎝⎭⎪=⎩，得3sin 3b c θθ+==23236πθ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭6C π=时，max ()23b c +=所以ABC 周长的最大值为323+ 【整体点评】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；方法一：求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值. 方法二采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围进行求解最值，如果三角形是锐角三角形或有限制条件的，则采用此法解决.方法三巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦函数求最值问题.【典例8】（2022·全国·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A BA B=++．(1)若23C π=，求B ； (2)求222a b c+的最小值．【答案】(1)π6；(2)425．【解析】【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将cos sin 21sin 1cos2A BA B=++化成()cos sin A B B +=，再结合π02B <<，即可求出；（2）由（1）知，π2C B =+，π22A B =-，再利用正弦定理以及二倍角公式将222a b c +化成2224cos 5cos B B +-，然后利用基本不等式即可解出． (1) 因为2cos sin 22sin cos sin 1sin 1cos 22cos cos A B B B B A B B B ===++，即()1sin cos cos sin sin cos cos 2B A B A B A BC =-=+=-=，而π02B <<，所以π6B =；(2)由（1）知，sin cos 0B C =->，所以πππ,022C B <<<<，而πsin cos sin 2B C C ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以π2C B =+，即有π22A B =-．所以222222222sin sin cos 21cos sin cos a b A B B Bc C B+++-==()2222222cos11cos 24cos 5285425cos cos B BB BB-+-==+-≥=．当且仅当22cos B =222a b c +的最小值为425．【规律方法】求边(周长)的最值(范围)问题一般通过三角中的正、余弦定理将边转化为角的三角函数值，再结合角的范围求解，有时也可将角转化为边，利用均值不等式或函数最值求解．热点三求三角形面积的最值(范围)【典例9】（2023·山西大同·高三阶段练习）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos 2b A a c =+，且2b =，则ABC 面积的最大值为___________. 3133【分析】利用余弦定理进行角化边后，结合基本不等式，三角形面积公式求解.【详解】由余弦定理，2cos 2b A a c =+可化为222222b c a b a c bc +-⋅=+，整理可得2224c a ac b ++==，由余弦定理2221cos 22a cb B ac +-==-，又(0,)B π∈，故23B π=，根据基本不等式22423a c ac ac ac ac =++≥+=，23a c ==取得等号，故133sin 243ABC S ac B ac ==≤，即ABC 面积的最大值为33. 故答案为：33. 【典例10】（2022·全国·高三专题练习）已知A ，B ，C 分别是椭圆22143x y +=上的三个动点，则ABC 面积最大值为_____________. 【答案】92##4.5【分析】作变换'2'3x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩之后椭圆变为圆，方程为224x y '+'=，A B C '''是圆的内接三角形，圆的内接三角形面积最大时为等边三角形，则ABC A B C S bS a'''=，求出A B C S '''，代入即可得出答案. 【详解】作变换'2''3x x y y y =⎧⎪⎨==⎪⎩之后椭圆变为圆，方程为224x y '+'=， A B C '''是圆的内接三角形，设A B C '''的半径为R ，设,,A B C '''所对应边长为,,a b c '''，所以 211sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22A B C Sa b C R A R B C R A B C ''''''''''==⋅⋅⋅=⋅⋅'' 32sin sin sin 23A B C R ++⎛⎫≤ ⎝''⎪⎭'，当且仅当3A B C π===时取等，因为sin y x =在()0,π上为凸函数，则sin sin sin sin 33A B C A B C ''''+'+≤'++，3332222sin sin sin 3322sin 2sin 3334A B C A B C A B C SR R R R π'''++++⎛⎫'⎛⎫⎛⎫=≤==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭'''''，当且仅当3A B C π===时取等，所以圆的内接三角形面积最大时为等边三角形，因此2333343344A B C S R '''==⨯=，又因为ABC A B C S b S a '''=， ∴393322ABC A B C b SS a'''==⨯=. 故答案为：92.【典例11】（2019·全国·高考真题（理））ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin 2A Ca b A +=．（1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围．【答案】(1) 3B π=;(2)33(). 【解析】【分析】(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B 的三角方程，最后根据A,B,C 均为三角形内角解得3B π=.(2)根据三角形面积公式1sin 2ABCSac B =⋅，又根据正弦定理和1c =得到ABCS 关于C 的函数，由于ABC 是锐角三角形，所以利用三个内角都小于2π来计算C 的定义域，最后求解()ABCS C 的值域.【详解】 (1)根据题意sin sin 2A C a b A +=，由正弦定理得sin sin sin sin 2A CA B A +=，因为0A π<<，故sin 0A >，消去sin A 得sinsin 2A CB +=． 0<B π<，02AC π+<<因为故2A C B +=或者2A C B π++=，而根据题意A B C π++=，故2A CB π++=不成立，所以2A CB +=，又因为A BC π++=，代入得3B π=，所以3B π=.(2)因为ABC 是锐角三角形，由（1）知3B π=，A B C π++=得到23A C π+=，故022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62C ππ<<.又应用正弦定理sin sin a cA C=，1c =，由三角形面积公式有：222sin()111sin 33sin sin sin 222sin sin ABCC a A Sac B c B c B c C Cπ-=⋅=⋅=⋅22sincos cos sin 3321231333(sin cos )sin 3tan 38tan C CC C C ππππ--= 又因3,tan 62C C ππ<<>331338tan C << 33ABCS <<. 故ABCS的取值范围是33(【典例12】（2021·河北省曲阳县第一高级中学高三阶段练习）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，)sin 3cos b C a b C =-.(1)求角B 的大小；(2)若点D 满足=a AD cDC ，且||23BD =ABC 面积的最小值. 【答案】(1)π3B = (2)43【分析】（1）由正弦定理把边化为角，再结合三角恒等变换即可求解；（2）由题意得||||=a DC c AD ，进而利用三角面积可转化1sin ||21||sin 2⋅⋅⋅∠===⋅⋅⋅∠△△BCD ABD BC BD DBC DC S BC S AB AD AB BD ABD ，从而有sin sin ∠=∠DBC ABD ，再由面积公式与基本不等式求解即可（1）因为()sin 3cos b C a b C =-，所以()sin sin 3sin sin cos B C A B C =-. 因为sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，所以sin sin 3(sin cos cos sin sin cos )3cos sin =+-=B C B C B C B C B C . 因为sin 0C ≠，所以tan 3B =. 又因为0πB <<，所以π3B =.（2）因为=a AD cDC ，所以点D 在线段AC 上，且||||=a DC c AD . 因为1sin ||21||sin 2⋅⋅⋅∠===⋅⋅⋅∠△△BCDABDBC BD DBC DC S BC S AB AD AB BD ABD ，所以sin sin ∠=∠DBC ABD ，即BD 为ABC ∠的角平分线. 由（1）得π3B =，所以π6ABD CBD ∠=∠=. 由ABC ABD BCD S S S =+△△△，得1π1π1πsin sin sin 232626ac a BD c BD =⋅+⋅，即2()4=+≥ac a c ac ，得16≥ac ，当且仅当a c =时，等号成立，11sin 16sin 432323=≥⨯=△ABC S ac ππ.故ABC 面积的最小值为43. 【规律方法】求三角形面积的最值(范围)的两种思路(1)将三角形面积表示为边或角的函数，再根据条件求范围．(2)若已知三角形的一个内角(不妨设为A)，及其对边，则可根据余弦定理，利用基本不等式求bc 的最值从而求出三角形面积的最值．【精选精练】一、单选题1．（2022·上海市松江一中高三阶段练习）在ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边，B 是A 、C 的等差中项，则a c +与2b 的大小关系是（）A ．2a c b +>B ．2a c b +<C ．2a c b +≥D ．2a c b +≤【答案】D【分析】根据等差中项的性质及内角和的性质求出B ，再由余弦定理及基本不等式计算可得.【详解】解：依题意，在ABC 中B 是A 、C 的等差中项，所以2A+C =B ，又A C B π++=，所以3B π=，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-()22222233a c ac a c ac ac a c ac =+-=++-=+-，又22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，当且仅当a c =时取等号，所以2332a c ac +⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭，所以()()()222213324a c a c ac a c a c +⎛⎫+-≥+-=+ ⎪⎝⎭，即()2214b ac ≥+，即()224b a c ≥+，所以2a c b +≤；故选：D2．（2022·贵州贵阳·高三开学考试（理））已知ABC 的内角,,A B C 对应的边分别是,,a b c ，内角A 的角平分线交边BC 于D 点，且 4=AD ．若(2)cos cos 0b c A a C ++=，则ABC 面积的最小值是（） A ．16 B ．3C ．64 D ．643【答案】B【分析】利用正弦定理及诱导公式可得23A π=，然后利用三角形面积公式及基本不等式即得. 【详解】∵(2)cos cos 0b c A a C ++=， ∴2sin cos sin cos sin cos 0B A C A A C ++=，即()2sin cos sin 2sin cos sin 0B A C A B A B ++=+=，又()0,B π∈，sin 0B >，∴2cos 10A +=，即1cos 2A =-，又()0,A π∈，∴23A π=，由题可知ABCABDACDS SS=+，4=AD ，所以1211sin4sin 4sin 232323bc c b πππ=⨯+⨯，即()4bc b c =+，又()48bc b c bc =+≥，即64bc ≥，当且仅当b c =取等号，所以1213sin 641632322ABCSbc π=≥⨯⨯=. 故选：B.3．（2022·河南·郑州四中高三阶段练习（理））在等腰ABC 中，AB ＝AC ，若AC 边上的中线BD 的长为3，则ABC 的面积的最大值是（） A ．6 B ．12C ．18D ．24【答案】A【分析】利用余弦定理得到边长的关系式，然后结合勾股定理和基本不等式即可求得ABC 面积的最大值．【详解】设2AB AC m ==，2BC n =，由于ADB CDB π∠=-∠，在ABD △和BCD △中应用余弦定理可得：2222949466m m m n m m+-+-=-，整理可得：2292m n =-，结合勾股定理可得ABC 的面积：22222111()2434222S BC AC BC n m n n n =⨯-=⨯⨯-=- 222243(43)62n n n n +-=-≤⨯=，当且仅当22n =时等号成立．则ABC 面积的最大值为6．故选：A.4．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，120ABC ∠=︒ ，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a c + 的最小值为（） A ．8 B ．9 C ．10 D ．7【答案】B【分析】根据三角形面积可得到111a c +=，将4a c +变为11(4)()a c a c++，展开后利用基本不等式，即可求得答案.【详解】由题意得111sin120sin 60sin60222ac a c =+ ，即ac a c =+ ，得111a c+=，得 114(4)()a c a c a c +=++45c a a c =++≥425459c aa c⋅+=+=，当且仅当4c aa c=，即23c a ==时，取等号，故选：B ．二、多选题5．（2020·全国·高三专题练习）如图，ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为),,3cos cos 2sin a b c a C c A b B +=，且3CAB π∠=.若D 是ABC 外一点，1,3DC AD ==，则下列说法中正确的是（）A ．ABC 的内角3B π= B ．ABC 的内角3C π=C ．四边形ABCD 533 D ．四边形ABCD 面积无最大值【答案】AB【分析】根据正弦定理进行边化角求角B ，从而判断选项A ，B 正确；把四边形ABCD 的面积表示成ADC ∠的三角函数，从而根据三角函数求最值【详解】因为()3cos cos 2sin a C c A b B +=，所以由正弦定理，得()23sin cos sin cos 2sin A C C A B +=，所以()23sin 2sin A C B +=，又因为A B C π++=，所以()sin sin A C B +=，所以23sin 2sin B B = 因为sin 0,B ≠所以3sin 2B =，又因为3CAB π∠=，所以20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3B π=，所以3C A B ππ=--=，因此A ，B 正确；四边形ABCD 面积等于231sin 42ABC ACDS SAC AD DC ADC +=+⋅⋅∠()22312cos sin 42AD DC AD DC ADC AD DC ADC =⨯+-⋅⋅∠+⋅⋅∠ ()31916cos 3sin 42ADC ADC =⨯+-⋅∠+⨯∠ 533sin 23ADC π⎛⎫=+∠- ⎪⎝⎭，所以当32ADC ππ∠-=即sin 13ADC π⎛⎫∠-= ⎪⎝⎭时，ABCACDSS+取最大值5332+，所以四边形ABCD 面积的最大值为5332+，因此C ，D 错误故选：AB6．（2022·云南·高三阶段练习）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，4AB AD ==，13AA =，点M 满足12A M MA =，点P 在底面ABCD 的边界及其内部运动，且满足4AMP π∠≤，则下列结论正确的是（）A ．点P 所在区域面积为4πB ．线段1PC 17C ．有且仅有一个点P 使得1MP PC ⊥D ．四面体11P A CD -的体积取值范围为[6,8]【答案】AD【分析】A 选项，由1MA AP ==时，MP 与底面ABCD 的所成角4πθ=求解判断； B 选项，若PC 取最小值时，则线段1PC 长度最小，由A ，P ，C 三点共线求解判断； C 选项，由点P 与点F 重合，由点P 与点E 重合，利用余弦定理求解判断；，D 选项，由点P 位于AE 上时，此时点P 到平面11A CD 的距离最大，当P与点F 重合时，此时点P 到平面11A CD 的距离最小求解判断. 【详解】如图所示：A 选项，当1MA AP ==时，MP 与底面ABCD 的所成角4πθ=，故点P 所在区域为以A 为圆心，1为半径的圆在正方形ABCD 内部部分（包含边界弧长），即圆的14，面积为211144π⨯=π，A 正确；B 选项，当PC 取最小值时，线段1PC 长度最小，由三角形两边之和大于第三边可知：当A ，P ，C 三点共线时，PC 取得最小值，即min ||421PC =-，则221min (421)34282PC =-+=-，B 错误； C 选项，不妨点P 与点F 重合，此时2221134PC FB BC C C =++=，由余弦定理得：1cos MFC ∠=22211123436022234MF C F C M MF C F +-+-==⋅⨯⨯，则12MFC π∠=，同理可得：12MEC π∠=，故多于一个点P 使得1MP PC ⊥，C 错误；D 选项，当点P 位于AE 上时，此时点P 到平面11A CD 的距离最大，最大距离341255AH ⨯==，此时四面体11P A CD -的体积为11111124583325A CD S AH ⋅=⨯⨯⨯⨯=△，当P 与点F 重合时，此时点P 到平面11A CD 的距离最小，最小距离为FK ，因为BFK BAH ∽△△，所以34FK AH =，所以最小体积为3864⨯=，故四面体11P A CD -的体积取值范围为[]6,8 ，D 正确，故选：AD ．三、填空题7．（2022·贵州遵义·高三开学考试（文））在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin sin 2B Cb a B +=，2a =△ABC 周长的最大值为________．【答案】32【分析】根据正弦定理，结合三角恒等变换可得3A π=，再根据余弦定理与基本不等式求解周长最大值即可.【详解】由正弦定理，sin sin 2B C b a B +=即sin sin sin sin 22A B A B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又sin 0B ≠，故sin sin 22A A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即cossin 2AA =. 由二倍角公式有cos2sin cos 222A A A =，因为0,22A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故cos 02A ≠，所以1sin 22A =，所以26A π=，即3A π=.由余弦定理22222cos 3b c bc π=+-，结合基本不等式有()()2222332b c b c bc b c +⎛⎫=+-≥+-⨯ ⎪⎝⎭，即()2124b c +≤，()28b c +≤，故22b c +≤，当且仅当2b c ==时取等号. 故△ABC 周长的最大值为a b c ++的最大值为22232+=. 故答案为：328．（2021·江西南昌·高三阶段练习）已知ABC 的内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，且满足2224,4c c a b ==+，则ABC 的面积取得最大值时，cos C =______．【答案】33434-【分析】根据余弦定理结合同角三角函数的关系可得sin C ，进而表达出ABCS ，结合基本不等式求解ABCS的最值，进而求得cos C 即可.【详解】由余弦定理，()222222243cos 222a b a b a b c b C ab ab a+-++-===-，又()0,C π∈，故2222349sin 1cos 122b a b C C a a -⎛⎫=-=--=⎪⎝⎭，故 2222114949sin 2224ABCa b b a b Sab C ab a --===. 又222416a b c +==，故()2222416496425564254420ABCb b b b b b b S----===222564258405b b +-≤=，当且仅当22256425b b =-，即425b =时取等号. 此时2322721642525a =-⨯=，即4175a =. 故ABC 的面积取得最大值时，42333345cos 23441725b C a ⨯=-=-=-⨯. 故答案为：33434-【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方9．（2021·河南·高三开学考试（理））ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin tan sin sin A A B C =，则sin A 的最大值为________，此时cos B =________．【答案】5366【分析】由已知条件结合正余弦定理可得2223b c a +=，再利用余弦定理结合基本不等式可求出cos A 的最小值，从而可求出sin A 的最大值，则可求出cos2B ，再利用二倍角公式可求出cos B . 【详解】由条件可知，2sin cos sin sin AA B C=，由正弦定理得2cos a A bc =，由余弦定理得，2222cos 2b c a a A bc bc+-==，则2223a b c =+．所以222222223cos 2333b c b c b c bc A bc bc bc ++-+==≥=，当且仅当b c =时取得等号，cos A 取得最小值23．因为()0,A π∈，所以25sin 1cos 3A A =-≤，当且仅当b c =时取得等号，故sin A 的最大值为53．此时B C =，所以2cos2cos()cos 3B A A π=-=-=-，所以222cos 13B -=-，因为角B 为锐角，所以6cos 6B =．故答案为：53，66 10．（2022·全国·高三专题练习）ABC 的外接圆半径为1，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若cos cos 3a B b A +=0CA CB ⋅<，则C ∠=________；32a b +的最大值为_________【答案】23π27 【分析】由余弦定理求得c ，由向量数量积可得C 为锐角，再由正弦定理结合外接圆半径可求得C ，用正弦定理把32a b +表示为A 的三角函数，利用两角和与差的正弦公式变形化函数为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦函数性质得最大值．【详解】222222cos cos 322a c b c b a a B b A a b c ac cb+-+-+=⋅+⋅==,又22sin c R C ==，所以3sin 2C =， 0CA CB ⋅<，所以C 是钝角，所以23C π=，由2sin sin a bA B==得2sin a A =，2sin b B =， 326sin 4sin 6sin 4sin()3a b A B A A π+=+=+-316sin 4(cos sin )4sin 23cos 22A A A A A =+-=+2327(sin cos )77A A =+，设2cos 7ϕ=，3sin 7ϕ=（ϕ为锐角），则3227sin()a b A ϕ+=+，由23C π=得03A π<<，31sin 27ϕ=>，ϕ为锐角，则62ππϕ<<，所以2A πϕ=-时，32a b +取得最大值27．故答案为：23π；27．四、解答题11．（2022·湖北·襄阳五中高三阶段练习）在ABC 中，4tan ,3CAB D ∠=为BC 上一点，32=AD(1)若D 为BC 的中点，32BC =ABC 的面积；(2)若45DAB ∠=︒，求ABC 的面积的最小值. 【答案】(1)9 (2)92【分析】（1）根据中线向量公式可得,b c 关系，结合余弦定理可求452bc =，从而可求面积. （2）根据不同三角形的面积关系可得34355b c bc +=，利用基本不等式可求bc 的最小值，从而可求面积的最小值. （1）因为D 为BC 的中点，所以()12AD AB AC =+， ()222124AD AB AC AB AC ∴=++⋅. 记角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，因为4tan 3A =，故A 为锐角，所以43sin ,cos 55CAB CAB ∠∠==，则221318245c b bc ⎛⎫=++⋅ ⎪⎝⎭. 又由余弦定理得：2231825c b bc =+-⋅两式联立解得：452bc =，所以11454sin 92225ABCS bc CAB ∠==⨯⨯=. （2）445,tan 3DAB A ∠==，()41113tan tan ,sin 475213CAD CAB DAB CAD ∠∠∠∠-∴=-===+， 1132sin 32sin 22ABCCAD BADSSSb CADc DAB ∠∠=+=⋅+⋅ 1sin 2bc CAB ∠=，即34355b c bc +=，即34345323,5554b c bc b c bc +=≥⋅≥（当且仅当153,22b c ==时取得最小值）所以114549sin 22452ABCSbc CAB ∠=≥⨯⨯=.12．（2022·广东广州·高三开学考试）在ABC 中，设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足()2a b b c +=.(1)求证：2C B =； (2)求4cos a bb B+的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)43【分析】（1）由已知及余弦定理可推出2cos b a b C =-,利用正弦定理边化角结合两角和差的正弦公式化简可得()sin sin B C B =-，即可证明结论；（2）利用（1）的结论将4cos a b b B +边化角，结合三角恒等变换可得43=4cos cos cos a b B b B B++，由基本不等式可求得答案. （1）证明：在ABC 中，由已知及余弦定理，得()2222cos a b b c a b ab C +==+-，即2cos b a b C =-,由正弦定理，得sin sin 2sin cos B A B C =-，又()πA B C =-+，故()sin sin 2sin cos sin cos cos sin 2sin cos B B C B C B C B C B C =+-=+-cos sin sin cos B C B C =-()sin C B =-.∵()0sin sin B C B <=-，∴0πC B C <-<<, ∵()πB C B C +-=<，∴B C B =-，故2C B =. （2）由（1）2C B =得()30,πB C B +=∈，∴π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1cos ,12B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由（1）()12cos a b C =+，2C B =得()2522cos 1452cos 52cos 2cos cos cos cos B a b C B b B B B B+-+++===334cos 24cos 43cos cos B B B B =+≥⋅=，当且仅当ππ0,63B ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭时等号成立，所以当π6B =时，4cos a bb B+的最小值为43.13．（2022·广东·高三开学考试）已知锐角ABC 中，角A 、B 、C 所对边为a 、b 、c ，tan tan 33B C ++=(1)求角A ；(2)若4a =，求b c +的取值范围．【答案】(1)π3A = (2)(43,8⎤⎦【分析】（1）利用两角和的正切公式及诱导公式计算可得；（2）利用正弦定理将边化角，再转化为关于B 的三角函数，根据B 的取值范围及正弦函数的性质计算可得. （1）解：因为tan tan 33tan tan B C B C++=，所以tan tan 33tan tan B C B C ++=，所以tan tan 3(tan tan 1)B C B C +=-，从而tan tan 31tan tan B CB C +=--，即tan()3B C +=-，所以tan 3A =，因为(0,π)A ∈，所以π3A =．（2）解：因为4a =，π3A =，由正弦定理，有83sin sin sin 3b c a B C A ===所以83sin 3b B =，83832π833143sin sin cos sin 4cos sin 3333223c C B B B B B ⎛⎫⎛⎫==-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π43sin 4cos 8sin 6b c B B B ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭，又因为ABC 为锐角三角形，所以π022ππ032B B ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，即ππ62B <<，所以ππ2π363B <+<，所以3πsin 126B ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，从而b c +的取值范围为(43,8⎤⎦． 14．（2022·河南·高三开学考试（文））已知,,a b c 分别为ABC 的内角,,A B C 所对的边，且()()sin sin sin sin a c b A C B c B +--+=(1)求角A 的大小；(2)若23a =ABC 面积的最大值.【答案】(1)3π； (2)33.【分析】（1）由正弦定理化角为边，再利用余弦定理及特殊角的三角函数即得；（2）由余弦定理表示出,a b 关系，再由基本不等式得出ab 的最大值，从而可得面积最大值；或利用正弦定理边角互化，然后利用三角恒等变换及三角函数的性质即得．（1）在ABC 中，由题意及正弦定理得()()a c b a c b bc +--+=，整理得222b c a bc +-=，由余弦定理得2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，因为0A π<<，所以3A π=；（2）方法一：由（1）知，3A π=，又23a =，所以22122b c bc bc bc bc =+--=，所以12bc ，当且仅当23b c ==时，等号成立，所以()max 113sin 1233222ABC Sbc A ==⨯⨯=；方法二：由（1）知，3A π=，又23a =，所以由正弦定理，知234sin sin sin sin3a b c A B C π====，所以4sin ,4sin b B c C ==，所以13sin 8sin sin 43sin sin 22ABCSbc A B C B C ==⨯=，又因为23B C π+=，所以23143sin sin 43sin sin 43sin cos sin 322B C B B B B B π⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭31cos223sin222B B ⎛⎫-=+= ⎪ ⎪⎝⎭23sin 236B π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，因为23B C π+=，所以270,23666B B ππππ<<-<-<，所以当262B ππ-=，即3B π=时，ABC 的面积取得最大值，最大值为33.15．（2022·上海·模拟预测）在如图所示的五边形中，620AD BC AB ===，，O 为AB 中点，曲线CMD 上任一点到O 距离相等，角120DAB ABC ∠=∠=︒，P ，Q 关于OM 对称；(1)若点P 与点C 重合，求POB ∠的大小； (2)求五边形MQABP 面积S 的最大值，【答案】(1)33arcsin 14(2)2874【分析】（1）利用余弦定理求出OC ，再利用正弦定理即可得出答案；（2）根据题意可得,QOMPOMAOQBOPS SSS==，则()2AOQQOMMQABP S SS=+五边形，设QOM POM α∠=∠=，则2AOQ BOP πα∠=∠=-，根据三角形的面积公式结合三角函数的性质即可得出答案.(1)解：若点P 与点C 重合，连接OC ，10,6,120OB BC BP ABC ===∠=︒，在OBP 中，2222cos 1003660196OC OB BP OB BP OBP =+-⋅∠=++=，所以14OC =，因为sin sin BC OCPOB OBP=∠∠，所以36sin 332sin 1414BC OBPPOB OC ⨯⋅∠∠===，所以33arcsin14POB ∠=；(2)解：连接,,,QA PB OQ OP ，因为曲线CMD 上任一点到O 距离相等，所以14OP OQ OM OC ====，因为P ，Q 关于OM 对称，所以,QOMPOMAOQBOPSSSS==，设QOM POM α∠=∠=，则2AOQ BOP πα∠=∠=-，则()2AOQQOMMQABP S SS=+五边形112sin sin 222OQ OA OQ OM παα⎡⎤⎛⎫=⋅⋅-+⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦196sin 140cos αα=+()2874sin αϕ=+，其中5tan 7ϕ=，当()sin 1αϕ+=时，MQABP S 五边形取得最大值2874，所以五边形MQABP 面积S 的最大值为2874.16．（2022·广东·广州市真光中学高三开学考试）在平面四边形ABCD 中，30CBD ∠=，4BC =，23BD = (1)若ABD △为等边三角形，求ACD △的面积． (2)若60BAD ∠=，求AC 的最大值．【答案】(1)3 (2)232+【分析】（1）利用余弦定理求出CD 的长，结合勾股定理可知90BDC ∠=，进而可求得ADC ∠的大小，利用三角形的面积公式可求得ACD △的面积；（2）设()0120ADB αα∠=<<，利用正弦定理可得出AD ，利用余弦定理可得出2AC 关于α的表达式，利用三角恒等变换结合正弦型函数的基本性质可求得AC 的最大值. （1）解：在BCD △中，由余弦定理，得2222cos CD BC BD BC BD CBD =+-⋅⋅∠．即231612242342CD =+-⨯⨯⨯=，所以2CD =，所以222BD CD BC +=，因此90BDC ∠=，因为ABD △为等边三角形，所以60ADB ∠=，23AD BD ==，所以150ADC ∠=．所以111sin 2323222ACD S AD CD ADC =⋅⋅⋅∠=⨯⨯⨯=△.（2）解：设()0120ADB αα∠=<<，则120ABD α∠=-，在ABD △中，由正弦定理得sin sin AD BDABD BAD=∠∠，即()23sin60sin 120AD α=-，所以()4sin 120AD α=-．在ACD △中，由余弦定理，得2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⋅⋅∠， ()()()224sin 120424sin 1202cos 90AC ααα⎡⎤=-+-⨯-⨯⨯+⎣⎦ 231314cos sin 16cos sin sin 483sin2162222αααααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++=+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 0120α<<，则02240α<<，故当290α=时，即当45α=时，2AC 取到最大值8316+，即AC 的最大值为232+.17．（2023·河北·高三阶段练习）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4b =，在 ①()(sin sin )(sin sin )b c B C A C a +-=-，②cos2()3cos 1A C B ++= 两个条件中任选一个完成以下问题： (1)求B ；(2)若D 在AC 上，且BD AC ⊥，求BD 的最大值．【答案】(1)π3B = (2)23【分析】（1）选①，利用正弦定理得到222a c b ac +-=，再利用余弦定理求出π3B =；选②：利用诱导公式和二倍角公式得到1cos 2B =，从而求出π3B =；（2）法一：利用余弦定理得到2216a c ac =+-，利用基本不等式求出16ac ≤，求出面积的最大值，从而求出BD 的最大值；法二：利用正弦定理ABC 外接圆的直径，进而利用正弦定理表示面积，利用三角函数的有界性求出面积最大值，进而求出BD 的最大值. (1)若选①，由正弦定理得，()()()b c b c a c a +-=- 即222b c a ac -=-，即222a c b ac +-= ∴2221cos 222a cb ac B ac ac +-===， ∵(0,π)B ∈，∴π3B =，若选②,∵cos 2()3cos cos 2(π)3cos cos 23cos 1A C B B B B B ++=-+=+=， ∴22cos 13cos 1B B -+=，即22cos 3cos 20B B +-=，即cos 2B =-（舍）或1cos 2B =， ∵(0,π)B ∈，∴π3B =， (2)∵BD AC ⊥，BD 为AC 边上的高，当面积最大时，高取得最大值法一：由余弦定理得，22222162cos b a c ac B a c ac ==+-=+-，由重要不等式得162ac ac ac ≥-=，当且仅当a c =时取等，所以1sin 432ABC S ac B =≤△ 所以AC 边上的高的最大值为432312b = 法二：由正弦定理得ABC 外接圆的直径为832sin 3b R B ==，利用正弦定理表示面积得：118383sin sin sin sin 2233ABC S ac B A C B ==⋅△ 1838332π1632πsin sin sin sin 2332333A A A A ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

解三角形中的最值或范围问题

解法探究２０２３年１２月上半月㊀㊀㊀解三角形中的最值或范围问题◉哈尔滨师范大学教师教育学院㊀李鸿媛㊀㊀摘要:解三角形的最值或范围问题是高考考查的热点内容之一,并且对解三角形的命题设计,不只局限于解三角形,而是通常利用正余弦定理㊁三角形面积公式等求解三角形的边㊁角㊁周长和面积的最值等问题．这类问题的解法主要是将边角互化转化为三角函数的最值问题,或利用基本不等式求最值．本文中对这类问题加以归类解析,以提升学生的解题能力．关键词:解三角形;最值;范围１与边有关的最值或范围问题例１㊀在әA B C 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,角B ＝π３,若a ＋c ＝４,则b 的取值范围为．解析:由a ＋c ＝４,B ＝π３,由余弦定理得b ２＝a ２＋c ２－２a c c o s B ,则b ２＝(a ＋c )２－２a c －２a c c o s π３,即b ２＝１６－３a c ．由a ＋c ȡ２a c ,得４ȡ２a c ,即０＜a c ɤ４,于是４ɤb ２＜１６,所以２ɤb ＜４．评析:本题利用已知条件结合余弦定理,借助基本不等式求三角形边的取值范围[１],渗透了逻辑推理㊁数学运算等数学核心素养．例２㊀在әA B C 中,角A ,３２B ,C 成等差数列,且әA B C 的面积为１＋２,则A C 边长的最小值是．解析:由A ,３２B ,C 成等差数列,得A ＋C ＝３B ．又A ＋B ＋C ＝π,所以B ＝π４．设角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,则由S әA B C ＝１２a c s i n B ＝１＋２,可得a c ＝２２＋４．由余弦定理得b ２＝a ２＋c ２－２a c c o s B ,则b ２＝a ２＋c ２－２a c ．又a ２＋c ２ȡ２a c ,则b ２ȡ(２－２)a c ,即b ２ȡ(２－２)(２２＋４),所以b ȡ２(当且仅当a ＝c 时,等号成立)．故A C 边长的最小值为２．评析:本题考查了学生对等差数列的概念㊁三角形内角和定理㊁三角形面积公式㊁余弦定理等的掌握情况．解题的关键是将余弦定理与不等式相结合,进而求出三角形一边的最值．２与角有关的最值或范围问题例３㊀在әA B C 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若A ʂπ２,s i n C ＋s i n (B －A )＝２s i n２A ,则角A 的取值范围为．解法一:在әA B C 中,C ＝π－(A ＋B ),则s i n C ＝s i n (A ＋B ),所以s i n (A ＋B )＋s i n (B －A )＝２s i n ２A ,即２s i n B c o s A ＝２２s i n A c o s A ．又A ʂπ２,则c o s A ʂ０,所以s i n B ＝２s i n A ．由正弦定理,得b ＝２a ,则A 为锐角．又s i n B ＝２s i n A ɪ(０,１],于是可得s i n A ɪ(０,２２],故A ɪ(０,π４]．评析:解法一利用三角形内角和定理㊁两角和与差的正弦公式㊁正弦定理与三角函数的性质等知识,对学生的推理能力㊁运算能力和直观想象能力进行了考查．解法二:在әA B C 中,C ＝π－(A ＋B ),则s i n C ＝s i n (A ＋B ),所以s i n (A ＋B )＋s i n (B －A )＝２s i n ２A ,即２s i n B c o s A ＝２２s i n A c o s A ．又A ʂπ２,则c o s A ʂ０,所以s i n B ＝２s i n A ．由正弦定理,可得b ＝２a ．结合余弦定理,可以得到c o s A ＝b ２＋c ２－a ２２b c ＝１２b ２＋c ２２b c ȡ２１２b ２ c ２２b c ＝２２,当且仅当c ＝２２b 时,等号成立,故A ɪ(０,π４]．评析:解法二考查了三角形内角和定理㊁两角和与差的正弦公式㊁正弦定理㊁余弦定理㊁基本不等式等知识．这种解题方法需要学生灵活运用两个正数的和与积的关系,充分体现学生的数学运算能力和数据分析能力．３与周长有关的最值或范围问题例４㊀әA B C 为锐角三角形,角A ,B ,C 所对的４７２０２３年１２月上半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀边分别为a ,b ,c ,已知３３b s i n C ＋c c o s B ＝a ,且c ＝２,求әA B C 周长的最大值．解析:由３３b s i n C ＋c c o s B ＝a ,根据正弦定理,得３３s i n B s i n C ＋s i n C c o s B ＝s i n A ．由A ＝π－(B ＋C ),得s i n A ＝s i n (B ＋C )．所以３３s i n B s i n C ＋s i n C c o s B ＝s i n (B ＋C ),即３３s i n B s i n C ＝s i n B c o s C ．由s i n B ʂ０,得３３s i n C ＝c o s C ．又c o s C ʂ０,所以t a n C ＝３．而０＜C ＜π,则C ＝π３．根据正弦定理,得a ＝４３３s i n A ,b ＝４３３s i n B ,则a ＋b ＋c ＝４３３s i n A ＋４３３s i n B ＋２＝４３３s i n A ＋４３３s i n (２π３－A )＋２＝４３３(３２s i n A ＋３２c o s A )＋２＝４s i n (A ＋π６)＋２．由әA B C 为锐角三角形,可知０＜A ＜π２,０＜２π３－A ＜π２,ìîíïïïï解得π６＜A ＜π２．所以π３＜A ＋π６＜２π３．因此３２＜s i n (A ＋π６)ɤ１．故２３＋２＜４s i n (A ＋π６)＋２ɤ６．因此әA B C 周长的最大值为６．评析:这道题解题的关键是利用正弦定理将边化为角,转化为求三角函数的最值问题[２],考查了逻辑推理和数学运算等核心素养．４与面积有关的最值或范围问题例５㊀әA B C 的内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,已知２(c －a c o s B )＝３b ．(１)求角A ;(２)若a ＝２,求әA B C 面积的取值范围．解法一:(１)略．(２)由(１)知A ＝π６,又a ＝２,根据正弦定理,可得b ＝４s i n B ,c ＝４s i n C ．由C ＝π－A －B ＝５π６－B ,得s i n C ＝s i n (５π６－B )．所以,S әA B C ＝１２b c s i n A ＝１４b c ＝４s i n B s i n C ＝４s i n B s i n(５π６－B )＝４s i n B (１２c o s B ＋３２s i n B )＝２s i n B c o s B ＋２３s i n ２B ＝s i n２B －３c o s ２B ＋３＝２s i n (２B －π３)＋３．由０＜B ＜５π６,得－π３＜２B －π３＜４π３,所以可知－３２＜s i n (２B －π３)ɤ１,故０＜S әA B C ɤ２＋３,即әA B C 面积的取值范围为(０,２＋３]．解法二:(１)略．(２)由(１)知A ＝π６,a ＝２,则S әA B C ＝１４b c ．由c o s A ＝b ２＋c ２－a ２２b c ＝b ２＋c ２－４２b c ＝３２,可得b ２＋c ２－４＝３b c ．又b ２＋c ２ȡ２b c ,则０＜b c ɤ４２－３＝４(２＋３),所以０＜S әA B C ɤ２＋３．故әA B C 面积的取值范围为(０,２＋３]．评析:本题求解三角形面积的取值范围,解法一通过正弦定理将边转化为角,再利用三角函数的性质,求解三角形面积的取值范围．解法二先利用余弦定理,结合不等式b ２＋c ２ȡ２b c ,求解b c 的取值范围,接着利用三角形面积S әA B C ＝１２b c s i n A 求出面积的取值范围[３]．这两种解法都考查了数学运算㊁逻辑推理等数学核心素养．数学这门学科需要学生具备较强的逻辑推理能力㊁运算能力㊁直观想象能力等．针对解三角形最值或范围问题,学生需要熟练掌握三角形的面积公式㊁同角三角函数的基本关系㊁正弦定理㊁余弦定理㊁基本不等式等知识,并能够进行综合运用．参考文献:[１]刘海涛．谈解三角形中有关求范围或最值的解题策略[J ]．数理化学习(高中版),２０２２(７):３Ｇ７．[２]张露梅．解三角形中的范围或最值问题[J ]．中学生数理化(高二数学),２０２１(１１):３５Ｇ３６．[３]玉素贞．解三角形最值问题的两种转化策略分析[J ]．考试周刊,２０２１(４９):８５Ｇ８６．Z５７。

三角形的不等式性质总结

三角形的不等式性质总结三角形是几何学中的一个基本形状，具有多种特性和性质。

其中，三角形的不等式性质在解决三角形问题时起着重要的作用。

本文将总结三角形的不等式性质，帮助读者认识和理解三角形的性质以及在相关问题中的应用。

1. 三角形边长不等式三角形的任意两边之和必须大于第三边。

假设三角形的三边长度分别为a、b、c，根据三角形边长不等式，我们可以得到以下三个不等式：a +b > cb +c > aa + c > b例如，如果一个三角形的两边分别为3cm和4cm，那么剩余一边的长度必须大于1cm，才能构成一个三角形。

三角形边长不等式的应用使得我们可以判断给定三边长度是否能够构成一个三角形。

2. 三角形角度不等式三角形的三个内角之和等于180度。

根据三角形的角度不等式，我们可以得到以下三个不等式：∠A + ∠B + ∠C = 180°∠A < 180°∠B < 180°∠C < 180°其中，∠A、∠B和∠C分别表示三角形的三个内角。

这些不等式告诉我们三角形的角度之和是一个固定值，并且每个角度必须小于180度。

3. 三角形边长与角度之间的关系不等式三角形的边长和对应角度之间存在一定的关系。

根据三角形的正弦定理和余弦定理，我们可以得到以下不等式：a/sin∠A = b/sin∠B = c/sin∠Cc^2 = a^2 + b^2 - 2abcos∠Cb^2 = a^2 + c^2 - 2accos∠Ba^2 = b^2 + c^2 - 2bccos∠A其中，a、b、c分别表示三角形的三边长度，∠A、∠B和∠C分别表示对应的内角。

这些不等式描述了三角形的边长与角度之间的关系，可以用于求解未知的边长或角度。

4. 三角形面积的不等式三角形的面积可以通过海伦公式或三角形的高和底边长度计算得到。

根据三角形面积的不等式，我们可以得到以下不等式：面积S = 1/2 * a * b * sin∠C面积S = 1/2 * b * c * sin∠A面积S = 1/2 * c * a * sin∠B这些不等式告诉我们三角形的面积与边长和对应角度的正弦值之间存在一定的关系，可以通过这些关系计算三角形的面积。

解三角形教案1

解三角形（一）教学目标1.知识与技能：(1) 掌握正、余弦定理、重要不等式、基本不等式、函数值域等相关的知识。

(2) 掌握解决三角形问题中最值问题的常规方法：不等式法和函数法。

2.过程与方法：进一步体会函数，不等式，平面几何等知识的交汇融合；通过周长、面积最值得求解培养学生分析、归纳能力及知识迁移的能力。

3.情感、态度与价值观：(1) 学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题。

(2) 培养学生数学素养和逻辑思维能力。

（二）教学重点与难点重点：理解并掌握正弦定理、余弦定理、重要不等式、基本不等式及平面几何知识等的应用。

难点：三角形最值问题中通法通解的形成及贯彻；数形结合思想，函数思想的培养。

（三）教学过程设计一、知识回顾、归纳总结：三角形性质：1.角的关系：A B C π++=，外角等于不相邻两个内角和。

2.边的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

3.角与边的关系：①大角对大边，等角对等边 ②正弦定理及变形：变形：③余项定理及变形： 2()sin sin sin a b c R R ABC A B C===∆为外接圆半径2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C=== sin sin sin 222a b c A B C R R R=== ::sin :sin :sin a b c A B C =2222cos a b c bc A=+-222cos 2b c a A bc+-=ABC C a b c ∆=++4.周长与面积：重要不等式、均值不等式：重要不等式：均值不等式：变形：二、例题讲解、规范解答：注意：分析周长或面积取到最大值的条件。

12ABC S ∆=⨯底高111sin sin sin 222ABC S ab C ac B bc A ∆===时取等）当且仅当b a R b a ab b a =∈≥+,,(222时取等）当且仅当b a b a abb a =>>≥+,0,0(22()2a b ab +≤cos _______ABC A B C a b c a b c B ∆的内角、、所对的边分别为、例1:(2014陕西、；若、、成等比数列求的最小值)2cos(),cos a b A C ABC A B C a b c c C C c ABC c ABC ++∆==∆=∆的内角、、所对的边分别为、、；若(1)求的大小(2)若求面积的最大值(例2:(2016吉林白山一模改编)3)若求周长的最大值12c a b =+变式：(1)求若求的最大值a b c 解：、、称等比数列2b ac ∴=222cos 2a c b B ac +-=222a c ac ac+-=22ac ac ac -≥12=a c ==当且仅当,""成立小结：小结：“知二求最值”知二：角及其所对的边，求三角形周长、面积最值，一般在等腰时候取到最值，如是“类周长面积”不一定是在等腰的时候取到最值。

解三角形中面积与周长最值问题探究

㊀㊀㊀解三角形中面积与周长最值问题探究◉广州市玉岩中学㊀余国超㊀㊀１引言解三角形是高考必考内容,其中有关变化三角形面积与周长的最值问题也是其他考试的热点之一,本文中介绍其中几种常见的模型,帮助学生找到解决此类问题的一般思路．２问题探究在研究三角形有关性质与特点过程中,我们知道三角形涉及到六个元素,即三边三角．如果三角形已知其中三个元素,并且这三个元素至少有一条边,在这样的条件下,利用方程的思想及正弦或余弦定理,可以求解三角形,即此时三角形是确定的．当三角形的条件只已知一边一角时,三角形的形状不确定,在其变化过程中面积与周长就会在一定范围内变化．在已知一边及一角的情况,变化三角形主要存在两种模型,即已知一边及其对角和已知一边及其邻角．下面笔者就对这两种模型进行讨论．模型一㊀在三角形中,已知一边及其对角,求三角形面积与周长的最值．例１㊀әA B C 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知a ＝２,øA ＝π３,求әA B C 面积的最值．图１分析:在此问题中,如果从平面几何的角度去研究,如图１所示,三角形已知B C ＝２,øA ＝π３,利用正弦定理可知其外接圆确定,由图形可知,әA B C 底边确定,当其为等边三角形时高最大,其面积最大,无最小值．如果我们用函数的观点解决该三角形面积的最值问题,需要引入恰当的变量,建立函数关系,再利用函数的观点求函数的最值．对于三角形来说,其牵涉到两类元素,即边和角,那么就可以从边或者角入手,引入边或者角做变量表示面积,然后用函数的方法或者基本不等式求其最值．解法一:由余弦定理得,a ２＝b ２＋c ２－b c ,即４＝b ２＋c ２－b c①由面积公式得S ＝１２b c s i n A ＝３４b c ．在①式中,由基本不等式可得４＝b ２＋c ２－b c ȡ２b c －b c ,即b c ɤ４,当b ＝c 时,b c ()m a x ＝４,所以S m a x ＝３．解法二:由正弦定理b s i n B ＝c s i n C ＝a s i n A ＝４３３,得b ＝４３３s i n B ,c ＝４３３s i n C ,所以S ＝１２b c s i n A ＝４３３s i n B s i n C ．因为B ＋C ＝２π３,所以S ＝４３３s i n B ˑs i n ２π３－B æèçöø÷,化简得S ＝２３３s i n ２B －π６æèçöø÷＋３３,其中０＜B ＜２π３．所以当B ＝π３时,S m a x ＝３．在以上两种方法中,解法一是以边做变量,利用余弦定理确定两边的关系式,再利用基本不等式求出两边乘积的最值,最终就求出面积的最值;而解法二是以角度为变量,利用正弦定理表示边,从而用角表示了面积,最终将三角形面积的最值问题转化为三角函数求最值．两种方法在解决三角形没有其他限定条件的时候都适用,相比较而言,利用基本不等式求最值计算量相对较小．对于求面积的最值问题,两种方法的本质都是引入恰当的变量,通过建立函数关系式,用函数的观点求其最值,运用相同的思路,也可以求三角形周长的最值．真题再现(２０２０Ⅱ卷理科)әA B C 中,s i n ２A －s i n ２B －s i n ２C ＝s i n B s i n C ．(１)求A ;(２)若B C ＝３,求әA B C 周长的最大值．解析:(１)由正弦定理可得:B C ２－A C ２－A B ２＝A C AB ,所以c o s A ＝A C ２＋A B ２－B C ２２A C A B ＝－１２．因为A ɪ０,π(),所以A ＝２π３．(２)由余弦定理得:B C ２＝A C ２＋A B ２－２A CA B c o s A ＝A C ２＋A B ２＋A C A B ＝９,即A C ＋A B ()２－A C A B ＝９．由A C A B ɤA C ＋A B ２æèçöø÷２(当且仅当A C ＝A B 时取等号),得３６２０２２年４月上半月㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀复习指引复习备考Copyright ©博看网. All Rights Reserved.㊀㊀㊀９＝A C＋A B()２－A C A BȡA C＋A B()２－A C＋A B２æèçöø÷２＝３４A C＋A B()２．解得:A C＋A Bɤ２３(当且仅当A C＝A B时取等号)．所以әA B C周长L＝A C＋A B＋B Cɤ３＋２３．因此әA B C周长的最大值为３＋２３．思考:如果三角形有约束条件时,以上两种方法还可以用来求面积或者周长的最值吗我们将以上问题变式后提出以下两个问题．变式１:钝角әA B C的内角A,B,C的所对边分别为a,b,c,已知a＝２,øA＝π３,әA B C的面积存在最值吗若存在,请求出最值;若不存在,请求出面积的取值范围．变式２:锐角әA B C的内角A,B,C的所对边分别为a,b,c,已知a＝２,øA＝π３,求әA B C面积的取值范围．分析:在变式１中将三角形变为钝角三角形,如果还采用基本不等式去解决问题,会发现等号成立的条件不成立,因此不能判断三角形的面积是否存在最值,更不能求出其面积的取值范围;在变式２中将三角形改为锐角三角形,问题改为求面积的取值范围,若采用基本不等式,可以求得面积有最大值,但不能求得三角形面积的最小值或者范围的下界,此时显然用基本不等式不能完整地解决此类问题．因此引入角度做变量,用角度表示边后将函数转化为三角函数求值域问题,不过需要注意角度的取值范围．通过对以上几个问题的探究,如果已知条件是对边及对角,并且对三角形的形状没有做要求的时候,用边做变量,利用余弦定理建立变量之间的关系,再用基本不等式求面积或者周长的最值,此方法计算量较小,但对三角形的形状有限制的时候,如果基本不等式成立的条件不能成立,此时则需要引入角度做变量,转化为三角函数去求面积和周长的最值㊁范围．模型二㊀在三角形中,已知一边及其邻角,求三角形面积与周长的最值．例２㊀(２０１９课标Ⅲ卷)әA B C的内角A,B,C所对边分别为a,b,c,已知a s i n A＋C２＝b s i n A．(１)求B;(２)若әA B C为锐角三角形,且c＝１,求әA B C面积的取值范围．图２分析:(１)易得B＝６０ʎ．对于第(２)问,从平面几何角度,要满足三角形为锐角三角形,由图２可知C在C１与C２之间移动,当C逼近C１时,面积逼近最小值,当C逼近C２时,面积逼近最大值,结合图形可以求出满足条件的面积取值范围．应用模型一的思想,则可以引入边长或者角度建立函数关系式,如果边长入手,利用余弦定理得b２＝a２＋１－a,面积S＝１２a c s i n B＝３４a,要求面积的取值范围,必须求出a的取值范围,而此题中对三角形的形状有限制,在限制条件下去求边长的取值范围较难,所以引入边长做变量去求面积的取值范围在本题中不可取,因此引入角度做变量去解决本题较易处理．解:(１)由正弦定理得s i n A s i n A＋C２＝s i n B s i n A．因为s i n Aʂ０,所以s i n A＋C２＝s i n B．由A＋B＋C＝１８０ʎ,可得s i n A＋C２＝c o s B２,故c o s B２＝２s i n B２c o s B２．因为c o s B２ʂ０,所以s i n B２＝１２,因此B＝６０ʎ．(２)由题设及(１)知әA B C的面积SәA B C＝３４a．由正弦定理得a＝c s i n As i n C＝s i n１２０ʎ－C()s i n C＝３２t a n C＋１２．由于әA B C为锐角三角形,故０ʎ＜A＜９０ʎ,０ʎ＜C＜９０ʎ．由(１)知A＋C＝１２０ʎ,所以３０ʎ＜C＜９０ʎ,t a n Cɪ３３,＋¥æèçöø÷．因此,１２＜a＜２,从而３８＜SәA B C＜３２．故әA B C面积的取值范围是３８,３２æèçöø÷．３结束语在三角形中,已知两边长,求三角形面积与周长的最值的时候,此类问题相对较易,这里就不做深入探讨．通过对形状不确定三角形的面积与周长的研究,可以总结出处理此类问题的一般思路,即从角或者边入手,建立函数关系,再去求最值．如果三角形的形状没有限定,一般选择从边入手,利用基本不等式求最值,这样计算量相对较小,如果是三角形的形状有限定,利用基本不等式时等号成立的条件不成立,那就需要从角入手,利用三角函数的知识解决,一般来说,利用角度都可以解决此类问题,应注意计算的准确性以及角的取值范围,利用相同的思路也可以解决三角形中某些线段的最值问题．Z４６复习备考复习指引㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀２０２２年４月上半月Copyright©博看网. All Rights Reserved.。

基本不等式与余弦定理综合求解三角形面积的最值探究知识讲解

基本不等式与余弦定理综合求解三角形面积的最值探究基本不等式与余弦定理综合求解三角形面积的最值探究建水县第二中学：贾雪光从最近几年高考试题的考查情况看，解三角形部分的考查中主要是对用正、余弦定理来求解三角形、实际应用问题，这两种常见考法中，灵活应用正余弦定理并结合三角形中的内角和定理，大边对大角，等在三角形中进行边角之间的相互转化，以及与诱导公式特别是C B A sin )sin(=+、C B A sin 2cos =+的联系是关键。

于是多数教师在复习备考过程中，往往都会将大量的时间和精力花在对正余弦定理的变形，转化，变式应用上，当然这也无可厚非，但是我在高考备考复习教学中发现了这样一类题目，如： 1、在锐角△ABC 中，a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边，且A A 22sin 21cos =+，7=a 求△ABC 的面积的最大值；2、已知向量)21,(sin A M =与)cos 3sin ,3(A A N +=共线，其中A 是△ABC 的内角，（1）求角A 的大小；（2）若BC=2，求△ABC 的面积S 的最大值。

3、△ABC 中，a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边，向量)2cos ,2(cos ),1,4(2A A N M =-=，27=•N M ，（1）求角A 的大小；（2）若3=a 是判断当c b ⋅取得最大值时△ABC 的形状。

面对这样的问题，我们如何来引导学生很自然的过度，用一种近乎水到渠成的方法来求解呢？实际上我们在教学和学习的过程中往往会忽略一个很明显的问题，那就是余弦定理与基本不等式的综合，如果我们在讲授正余弦定理的时候能在引入正课时多下一点功夫，我们就会有意外的收获哦。

我在教学中是这样处理的：实际上在余弦定理中我们总有这样一组公式：A bc c b a cos 2222⋅-+=,B ac c a b cos 2222⋅-+=,C ab b a c cos 2222⋅-+=同时在基本不等式中我们总有这样一组公式：bc c b 222≥+，ac c a 222≥+ ，ab a b 222≥+在三角形中各边都是正数，所以上面三个式子在a 、 b 是三角形的三边时总是成立的，如果我们将两组公式综合后会发现这样的一组公式即：)cos 1(22A bc a -⋅≥,)cos 1(22C ac b -⋅≥)cos 1(22c ab c -⋅≥于是我们就有方程等式，得到了一组不等式，而在涉及到最值得求解时，我们常用的处理方法是，一求函数值域；二、导函数；三、基本不等式即均值定理；但是前两种方法显然都不可能用于求解上面两个题目类型的求解，于是在涉及到与解三角形有关的三角形的面积的最大值时我们就只能考虑用均值定理了，自然也就要用到上面我们推导得出的这一组公式罗。

利用正余弦定理的巧妙解决三角形中的最值问题

利用正余弦定理的巧妙解决三角形中的最值问题已知一边和其对角，求三角函数一些表达式的最值问题，三角形中的范围问题是一类重要的问题，在高考中经常出现，通常解决有两种思路，一是正弦定理与辅助角相结合，二是余弦定理与基本不等式相结合。

本文进行从题型上归纳总结，注重方法的引领的提高。

题目的基本设问题方式是：已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，3π=A ，3=a ，求c b +，bc ，c b 32+，2232c b +的范围题型一求周长的范围或最值变式： c b +的取值范围⇔C B sin sin +的取值范围,已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，cos sin 0a C C b c --=.（1）求A 的大小；（2）若a =7，求ABC ∆的周长的取值范围．试题解析：（1）由正弦定理得：cos sin 0sin cos sin sin sin a C C b c A C A C B C --=⇔=+sin cos sin sin(A )sin 1cos 1sin(30)2303060A C A C C C A A A A A ︒︒︒︒⇔+=++⇔-=⇔-=⇔-=⇔=（2）由已知：0,0b c >>，7=>+a c b 由余弦定理()()()()22222231492cos 3344b c bc b c bc b c b c b c π=+-=+-≥+-+=+ （当且仅当b c =时等号成立）∴()2449b c +≤⨯，又7,714b c b c +>∴<+≤.从而ABC ∆的周长的取值范围是(14,21]2若)0(cos sin cos 3)(2>-=ωωωωx x x x f 的图像与直线)0(>=m m y 相切，并且切点横坐标依次成公差为π的等差数列. （Ⅰ）求ω和m 的值；（Ⅱ）ABC ∆中a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边。

求解三角形面积最值问题的三种方法

知识导航三角形面积的最值问题在高考数学试题中屡屡出现.此类问题综合性较强，不仅考查了解三角形的知识、三角函数知识，还考查了求最值的方法.很多同学在遇到此类问题时，不知如何下手.下面介绍三种求解三角形面积最值问题的方法.一、坐标法坐标法是指建立直角坐标系，给各个点赋予坐标，通过坐标运算解答问题的方法.运用坐标法解题的关键是结合题意和图形建立合适的直角坐标系.在运用坐标法解题时，常需要用坐标表示三角形的顶点，利用两点之间的距离公式以及点到直线的距离公式求得三角形的边长和高，进而求得三角形面积的最值.例1.满足条件AB =2，AC =2BC 的△ABC 面积的最大值是_____.解：以AB 为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，则A ()-1,0,B ()1,0,设点C ()x ,y ，由AC=2BC ，可得()x +12+y 2=2×()x -12+y 2，化简得()x -32+y 2=8(y ≠0)，即点C 的轨迹是以()3,0为圆心，以22为半径的圆，因此当点C 位于最高点时，△ABC 面积有最大值，此时点C 到AB 的距离为22，而AB =2，由三角形的面积公式可得△ABC 面积的最大值为22.这里通过建立直角坐标系，将问题转化为动点到定直线的最大距离问题，确定C 点的位置，便可求得三角形面积的最大值.二、导数法导数法是求最值问题的常用方法.在求三角形面积的最值时，我们可以先根据题意求出三角形面积的表达式，然后构造函数，将问题转化为求函数的最值问题来求解.例2.在△ABC 中，已知7a 2+b 2+c 2=43，且∠B =∠C ,则△ABC 面积的最大值为_____.解：由∠B =∠C 得b =c ，即7a 2+b 2+c 2=7a 2+2b 2=43，由余弦定理得cos A =2b 2-a22b 2，即b 2，则S △ABC =12bc sin A =12b 2，令S =，则S '=8-7cos A ，令S'=0，可得cos A 0=78.当A∈()0,A 0'＞0；当A ∈()A 0，π，S '＜0；所以当sin A =时，S 最大，S △ABC 最大值为.这里首先利用余弦定理将边化角，用三角函数解析式表示三角形的面积，根据问题的条件从边长或角度中选取一个作为函数的变量，通过求导讨论函数的单调性和最值，便能求出三角形面积的最值.在求解过程中，还应该注意变量的取值范围.三、基本不等式法所谓基本不等式法，是指利用基本不等式及其变形式求得三角形面积的最值的方法.采用该方法解题，通常需从三角形的边长入手，建立面积和三边边长之间的关系式，然后运用基本不等式法来求得三角形面积的最值.例3.已知△ABC 三边分别是a 、b 、c ，a 2+b 2+2c 2=8，则△ABC 面积的最大值为_____.解：由余弦定理c 2=a 2+b 2-2ab cos C 可得a 2+b 2+2()a 2+b 2-2ab cos C =8，∴cos C =3()a 2+b 2-84ab，∵S =12ab sin C ,∴sin C =2S ab ，∵sin 2C +cos 2C =1，∴æèöø2S ab 2+éëêêùûúú3()a 2+b 2-84ab 2=1，化简得64S 2=16a 2b 2-[]3()a 2+b 2-82，∴64S 2≤[]2()a 2+b 22-[]3()a 2+b 2-82∴S 2≤45，即S ≤(当a =b =c =时等号成立)，即S △ABC 最大值为.解答本题，首先需运用余弦定理和三角形的面积公式求得△ABC 的面积表达式，然后利用基本不等式ab ≤æèöøa +b 22求得三角形面积的最值.上述三种方法有其各自的优势和特点.坐标法常用于解答与动点有关的三角形面积问题；导数法适用于解答三角形面积表达式较为复杂的问题；基本不等式法适用于解答三角形面积表达式能配凑为两式之和或积的问题.（作者单位：山东省滨州市邹平市魏桥中学）乔丹=15[]40-5()a 2+b 2∙]5)a 2+b 2-8≤15æèöø40-822=1625,36。

解三角形的最值和范围问题 (学生版)-高中数学

解三角形的最值和范围问题【新高考专用】【题型1三角形、四边形面积的最值或范围问题】【题型2三角形边长的最值或范围问题】【题型3三角形周长的最值或范围问题】【题型4三角形的角(角的三角函数值)的最值或范围问题】【题型5利用基本不等式求最值(范围)】【题型6转化为三角函数求最值(范围)】【题型7转化为其他函数求最值(范围)】【题型8“坐标法”求最值(范围)】【题型9与平面向量有关的最值(范围)问题】1、解三角形的最值和范围问题解三角形中的最值或范围问题，通常涉及与边长、周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，一直是高考的热点与重点，有时也会与三角函数、平面向量等知识综合考查，主要是利用三角函数、正余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等工具研究三角形问题，解决此类问题的关键是建立起角与边的数量关系.【知识点1三角形中的最值和范围问题】1．三角形中的最值(范围)问题的常见解题方法：(1)利用正、余弦定理结合三角形中的不等关系求最值(范围)；(2)利用基本不等式求最值(范围)；(3)转化为三角函数求最值(范围)；(4)转化为其他函数求最值(范围)；(5)坐标法求最值(范围).2．三角形中的最值(范围)问题的解题策略：(1)正、余弦定理是求解三角形的边长、周长或面积的最值(范围)问题的核心，要牢牢掌握并灵活运用．解题时要结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等研究其最值(范围)．(2)转化为三角函数求最值(范围)问题的解题策略三角形中最值(范围)问题，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，一般采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围.(3)坐标法求最值(范围)求最值(范围)问题的解题策略“坐标法”也是解决三角形最值问题的一种重要方法.解题时，要充分利用题设条件中所提供的特殊边角关系，建立合适的直角坐标系，正确求出关键点的坐标，将所要求的目标式表示出来并合理化简，再结合三角函数、基本不等式等知识求其最值．【题型1三角形、四边形面积的最值或范围问题】1.(2024·河北石家庄·三模)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,c=4,ab=9．(1)若sin C=23，求sin A⋅sin B的值；(2)求△ABC面积的最大值．2.(2024·全国·模拟预测)记锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b cos A=3-a cos B，2a sin C=3.(1)求A.(2)求△ABC面积的取值范围.3.(2024·辽宁·模拟预测)如图，在平面内，四边形ABCD满足B，D点在AC的两侧，AB=1，BC=2，△ACD为正三角形，设∠ABC=α.(1)当α=π3时，求AC；(2)当α变化时，求四边形ABCD面积的最大值.4.(2024·上海·三模)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3a=2c sin A．(1)求sin C的值；(2)若c=3，求△ABC面积S的最大值．【题型2三角形边长的最值或范围问题】1.(2024·四川·三模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足2c sin B cos A=b sin A cos B+cos A sin B.(1)求A；(2)若△ABC的面积为163，D为AC的中点，求BD的最小值.2.(2024·江西·模拟预测)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别记为a，b，c，且tan A=cos B-sin Ccos C+sin B．(1)若B=π6，求C的大小．(2)若a=2，求b+c的取值范围．3.(2024·广东广州·三模)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=b sin A2+a cos B．(1)求A；(2)若D是边BC上一点(不包括端点)，且∠ABD=∠BAD，求CDBD的取值范围．4.(2024·江西鹰潭·二模)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a，b，c，满足1-sin Acos A =sin B cos B.(1)求证：A+2B=π2；(2)求a2+b2c2的最小值.【题型3三角形周长的最值或范围问题】1.(2024·安徽淮北·二模)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知c-b=2c sin2A2(1)试判断△ABC的形状；(2)若c=1，求△ABC周长的最大值.2.(2024·四川绵阳·模拟预测)已知在△ABC中，D为BC边的中点，且AD=5．(1)若△ABC的面积为2，cos∠ADC=55，求B；(2)若AB2+AC2=18，求△ABC的周长的最大值．3.(2024·云南曲靖·二模)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且a cos C+3c sin A=b+c.(1)求角B的取值范围；(2)已知△ABC内切圆的半径等于32，求△ABC周长的取值范围.=2b.4.(2024·湖南常德·一模)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c，且acos C(1)判断△ABC的形状；(2)若△ABC的外接圆半径为2，求△ABC周长的最大值.【题型4三角形的角(角的三角函数值)的最值或范围问题】1.(2024·内蒙古呼和浩特·一模)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c．若a=3,b=2，则B+C的取值范围是()A.2π3,5π6B.2π3,πC.5π6,πD.π2,5π62.(2024·内蒙古呼和浩特·二模)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若1b2+54a2=c2a2b2，则tan A-1tan C的最小值为()A.13B.23C.29D.193.(2024·陕西宝鸡·二模)△ABC中，D为BC边的中点，AD=1.(1)若△ABC的面积为23，且∠ADC=2π3，求sin C的值；(2)若BC=4，求cos∠BAC的取值范围．4.(2024·北京石景山·一模)在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且2b sin A-3a=0．(1)求角B的大小；(2)求cos A+cos C的取值范围．【题型5利用基本不等式求最值(范围)】1.(2024·山西太原·三模)已知△ABC中，A=120°，D是BC的中点，且AD=1，则△ABC面积的最大值()A.3B.23C.1D.22.(2024·黑龙江哈尔滨·三模)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且a=3,BC边上中线AD长为1，则bc最大值为()A.74B.72C.3D.233.(2024·安徽合肥·二模)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知c=2,1tan A +1tan B+1tan A tan B=1．则△ABC面积的最大值为()A.1+2B.1+3C.22D.234.(2024·浙江台州·二模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a cos C=2c cos A，则bca2的最大值为()A.3B.32C.32D.3【题型6转化为三角函数求最值(范围)】1.(2024·辽宁沈阳·模拟预测)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin2C-sin C sin Bcos2B-cos2A=1.(1)求角A的大小；(2)若△ABC为锐角三角形，点F为△ABC的垂心，AF=6，求CF+BF的取值范围.2.(2024·辽宁·模拟预测)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,c-3bsin C= a-bsin A+sin B．(1)求A；(2)若△ABC为锐角三角形，且b=6，求△ABC的周长l的取值范围．3.(2024·河北衡水·一模)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，三角形面积为S，若D为AC边上一点，满足AB⊥BD,BD=2，且a2=-233S+ab cos C.(1)求角B；(2)求2AD +1CD的取值范围.4.(2024·福建漳州·模拟预测)如图，在四边形ABCD中，∠DAB=π2，B=π6，且△ABC的外接圆半径为4.(1)若BC=42，AD=22，求△ACD的面积；(2)若D=2π3，求BC-AD的最大值.【题型7转化为其他函数求最值(范围)】1.(2024·四川成都·模拟预测)设锐角△ABC 的三个内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，且c =2,B =2C ，则a +b 的取值范围为()A.2,10B.2+22,10C.2+22,4+23D.4+23,102.(2024·全国·模拟预测)已知△ABC 是锐角三角形，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ．若a 2-b 2=bc ，则b a +c的取值范围是()A.33,22B.2-3,1C.2-3,2-1D.2+1,3+23.(2023·全国·模拟预测)已知△ABC 为锐角三角形，其内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos B =cos2A .(1)求ba的取值范围；(2)若a =1，求△ABC 周长的取值范围.4.(2024·全国·模拟预测)已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，S △ABC =b 2-c 2+164⋅tan C .(1)求a 的值；(2)若D 为线段BC 上一点且满足BD =1,DA 平分∠BAC ，求△ABC 的面积的取值范围.【题型8“坐标法”求最值(范围)】1.(23-24高一下·四川宜宾·期末)如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，∠BCD =60°，∠ADC =150°，BE =3EC ，CD =233，BE =3，若点F 为边AD 上的动点，则EF ⋅BF 的最小值为()A.1B.1516C.3132D.22.(2023·安徽马鞍山·模拟预测)已知平行四边形ABCD 中，∠ADC =60°，E ，F 分别为边AB ，BC 的中点，若DE ⋅DF=13，则四边形ABCD 面积的最大值为()A.2B.23C.4D.433.(2023·全国·模拟预测)在等腰△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边为a ，b ，c ，B =C =π6，a =23，P 是△ABC 外接圆上一点，则P A ⋅PB +PB ⋅PC +PC ⋅P A的取值范围是()A.-3,23B.-1,33C.-2,30D.-4,204.(2024·江西南昌·三模)如图，在扇形OAB 中，半径OA =4，∠AOB =90°，C 在半径OB 上，D 在半径OA 上，E 是扇形弧上的动点(不包含端点)，则平行四边形BCDE 的周长的取值范围是()A.8,12B.82,12C.8,82D.4,82【题型9与平面向量有关的最值(范围)问题】1.(2023·河南开封·三模)已知e 1 、e 2 为单位向量，e 1 -e 2 =3，非零向量a 满足a-2e 2 =1，则e 1 -a 的最小值为()A.7B.7-1C.3D.3-12.(23-24高三上·北京通州·期末)在菱形ABCD 中，AB =2,∠BAD =60°,E 是BC 的中点，F 是CD 上一点(不与C ，D 重合)，DE 与AF 交于G ，则AG ⋅DG的取值范围是()A.0,23B.0,43C.0,2D.0,33.(2024·福建泉州·模拟预测)已知平行四边形ABCD 中，AB =2，BC =4，B =2π3，若以C 为圆心的圆与对角线BD 相切，P 是圆C 上的一点，则BD ⋅CP -CB的最小值是()A.8-23B.4+23C.12-43D.6+234.(2023·福建厦门·二模)在△AOB 中，已知OB =2，AB=1，∠AOB =45°，若OP =λOA +μOB，且λ+2μ=2，μ∈0,1 ，则OA 在OP 上的投影向量为me (e为与OP 同向的单位向量)，则m 的取值范围是()A.-22,1B.22,1C.-22,1D.22,1一、单选题1.(2024·江苏连云港·模拟预测)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a =1，b cos A =1+cos B ，则边b 的取值范围为()A.0,1B.1,2C.0,2D.2,32.(2024·安徽合肥·模拟预测)已知△ABC 角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 满足2b a -c =sin A +sin Csin B ，则角B 的最大值为()A.π6B.π4C.π3D.2π33.(2024·广东东莞·模拟预测)已知在同一平面内的三个点A ，B ，C 满足AB =2，CA CA -CBCB≥1，则AC +BC的取值范围是()A.0,1 B.0,2 C.0,3 D.0,234.(2024·河南·三模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a cos A+b cos B =3ccos C ，则tan A +tan C 的最小值是()A.43B.83C.23D.45.(2024·河南·模拟预测)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足b 3+c 3b +c=a 2．若a =23，则b 2+c 2的取值范围为()A.12,24B.20,24C.12,24D.20,246.(2024·江西·二模)在△ABC 中，若sin A =2cos B cos C ，则cos 2B +cos 2C 的取值范围为()A.1,65B.1,2+12C.65,2D.2+12,2 7.(2024·全国·二模)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2a cos A =b cos C +c cos B ，且a =4sin A ，则△ABC 周长的最大值为()A.42B.62C.43D.638.(2024·陕西咸阳·三模)为了进一步提升城市形象，满足群众就近健身和休闲的需求，2023年某市政府在市区多地规划建设了“口袋公园”.如图，在扇形“口袋公园”OPQ 中，准备修一条三角形健身步道OAB ，已知扇形的半径OP =3，圆心角∠POQ =π3，A 是扇形弧上的动点，B 是半径OQ 上的动点，AB ⎳OP ，则△OAB 面积的最大值为()A.334B.34C.335D.35二、多选题9.(2024·江苏南京·二模)已知△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，O 为△ABC 的重心，cos A =15，AO =2，则()A.AO =13AB +13ACB.AB ⋅AC ≤3C.△ABC 的面积的最大值为36D.a 的最小值为2510.(2024·湖南·二模)在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，且c =b 2cos A +1 ，则下列结论正确的有()A.A =2BB.若a =3b ，则△ABC 为直角三角形C.若△ABC 为锐角三角形，1tan B -1tan A 的最小值为1D.若△ABC 为锐角三角形，则c a 的取值范围为22,23311.(2024·河北邯郸·三模)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，面积为34a 2+c 2-b 2，则下列说法正确的是()A.cos A cos C 的取值范围是-12,14B.若D 为边AC 的中点，且BD =1，则△ABC 的面积的最大值为33C.若△ABC 是锐角三角形，则a c 的取值范围是12,2 D.若角B 的平分线BE 与边AC 相交于点E ，且BE =3，则a +4c 的最小值为10三、填空题12.(2024·北京·三模)在△ABC 中，a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边，且a +c =2b ，则角B 的取值范围为0,π3 ．13.(2024·陕西安康·模拟预测)在△ABC 中，内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，若b =2，2a cos C=2cos B +c cos C ，则2a +c 的最大值为4213.14.(2024·江苏盐城·一模)在△ABC 中，已知AB =2，BC =3，点P 在△ABC 内，且满足CP =2，∠APC +∠ABC =π，则四边形ABCP 面积的最大值为.四、解答题15.(2024·山东菏泽·模拟预测)在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知AB ⋅AC -BA ⋅BC =λAB 2(1)若λ=1，判断△ABC 的形状；(2)若λ=12，求tan B -A 的最大值.16.(2024·江苏盐城·模拟预测)在△ABC 中，已知角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin 2B 2+b sin 2A 2=3ab2a +b +c．(1)求角C 的大小；(2)若△ABC 为锐角三角形，求a +bc的取值范围．17.(2024·重庆渝中·模拟预测)已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，且满足3ca-sin B =tan A ⋅cos B .(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 为锐角三角形且a =26，求△ABC 面积的取值范围.18.(2024·四川南充·模拟预测)在△ABC中，sin Csin A+sin B =sin A-sin B sin B+sin C.(1)求A；(2)若BC=3，求△ABC周长的最大值.19.(2024·陕西商洛·模拟预测)在锐角△ABC中.内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a-2c cos B=c.(1)求证：B=2C；(2)求sin B+23cos2C的取值范围.。

解三角形中的最值与范围问题(解析版)

专题5解三角形中的最值与范围问题一、三角形中的最值范围问题处理方法1、利用基本不等式或常用不等式求最值：化角为边余弦定理公式里有“平方和”和“积”这样的整体，一般可先由余弦定理得到等式，再由基本不等式求最值或范围，但是要注意“一正二定三相等”，尤其是取得最值的条件。

2、转为三角函数求最值：化边为角如果所求整体结构不对称，或者角度有更细致的要求，用余弦定理和基本不等式难以解决，这时候可以转化为角的关系，消元后使得式子里只有一个角，变为三角函数最值问题进行解决。

要注意三角形隐含角的范围、三角形两边之和大于第三边。

二、边化角与角化边的变换原则在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：(1)若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； (2)若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； (3)若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； (4)代数式变形或者三角恒等变换前置；(5)含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；(6)同时出现两个自由角(或三三个自由角)时，要用到三角形的内角和定理．【分析】设220CDBD m ==>，利用余弦定理表示出22AC AB 后，结合基本不等式即可得解. 【详解】[方法一]：余弦定理设220CDBD m ==>，则在ABD △中，2222cos 42AB BD AD BD AD ADB m m =+⋅∠=++，在ACD 中，22222cos 444AC CD AD CD AD ADC m m =+−⋅∠=+−，所以()()()2222224421214441243424211m m m AC m m AB m m m mm m ++−++−===−+++++++44≥=−当且仅当311m m +=+即1m =−时，等号成立，所以当ACAB取最小值时，1m =−.1.[方法二]：建系法令 BD=t ，以D 为原点，OC 为x 轴，建立平面直角坐标系. 则C （2t,0），A （1，B （-t,0）()()()2222222134441244324131111t AC t t AB t t t t t t BD −+−+∴===−≥−++++++++==当且仅当即时等号成立。

基本不等式和余弦定理求三角形周长取值范围

基本不等式和余弦定理求三角形周长取值范围在数学的世界里，有些东西总是让人感到既神秘又有趣。

今天咱们来聊聊三角形的周长，还有那个不常见但又很有用的基本不等式和余弦定理。

相信我，这绝对是个值得一探究竟的话题，尽管听起来可能有点干，但我会尽量让它变得轻松点儿。

想象一下你在阳光明媚的日子里，和朋友们在公园里玩耍。

突然，你们发现了一个三角形的图案，心血来潮想要测量它的周长。

周长就是三角形三条边加起来的长度。

简单吧？但是，三角形的边长可不是随便的哦。

它们之间可是有很多讲究的，特别是涉及到基本不等式。

根据这个不等式，三角形的任意两边之和必须大于第三边。

这听起来像是个老生常谈，但它可是三角形存在的基础。

想想吧，假如你有两根绳子，分别长3米和4米。

如果你试图把它们拼成一个三角形，第三根绳子要多长呢？不得不说，第三根绳子的长度必须小于7米，也得大于1米。

这样，才能保证这三根绳子真的能围成一个三角形。

太有趣了，对吧？你看看，如果你把这两条边长都变长，第三条边的限制也会跟着变。

这就是基本不等式的魅力所在。

它就像是一位严厉但又充满智慧的老师，时刻提醒着我们要遵循规则。

说到这里，余弦定理就悄悄地走进了我们的视线。

想象一下，如果你要计算一个三角形的周长，但又不想先量出每一条边的长度，你就可以借助余弦定理了。

这个定理告诉我们，如果你知道了三条边的长度，还可以通过其中任意两边和夹角来算出第三边。

这就像是玩拼图游戏，只要找对位置，就能把整个图案拼出来。

余弦定理还让我们能轻松算出三角形的角度。

比如说，知道两边的长度和夹角，就能算出另外一边。

这对那些喜欢解谜的朋友来说，真是个大杀器。

不信你试试，随便给个数字，把它们放进去，你会发现原来数学也可以这么好玩！感觉就像是在玩“猜谜语”，猜对了就能获得快乐，没猜对也无妨，反正咱们还有下次。

再说回周长，假如你已经通过基本不等式和余弦定理找到了边的长度，那么计算周长就变得简单无比。

想象一下，你和朋友们一起在海边，搭了个三角形的沙堡。

解三角形中的最值与范围问题-高考数学复习

∴f(x)＝x＋122－54∈(1,5)， ∴bc22＋bc－1∈(1,5)， ∴a＋b c的取值范围是(1,5).
课时精练
一、单项选择题 1.已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 B＝π3，a＝4，且
三角形有两解，则 b 的取值范围是
A.(2 3，＋∞)
√B.(2 3，4)
(2)求a＋b c的取值范围.
由(1)知，c2＝b2＋ab， ∴a＝c2－b b2，c>b，由三角形三边关系可得ab＋＋bc>>ac，，
代入化简可得b<c<2b，
∴a＋b c＝c2－bb22＋bc＝bc22＋bc－1，令 x＝bc，则 x∈(1,2)，f(x)＝x2＋x－1,1<x<2，
以a12＋b12的最大值为2156.
解决此类题目，一是利用正余弦定理，转化成边的函数，或转化成关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解；二是利用三角恒等变换构造关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解.
跟踪训练 3 (2023·浙江联考)已知△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别
所以1b＝sin A＝sin 2C，
所以a12＋b12＝sin2C＋sin22C＝1－c2os 2C＋(1－cos22C)＝－cos22C－
1 2cos
2C＋32，
因为△ABC为锐角三角形，且B＝C，
则有π4<C<π2，得π2<2C<π，所以－1<cos 2C<0，由二次函数的性质可得，当 cos 2C＝－14时，a12＋b12取得最大值1265，所
解三角形中的最值与范围问题
重点解读
解三角形中的最值或范围问题，通常涉及与边长、周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，一直是高考的热点与重点，主要是利用三角函数、正余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等工具研究三角形问题，解决此类问题的关键是建立起角与边的数量关系.

三角函数中的面积和周长最值问题.doc

三角函数中的面积和周长最值问题.doc
解三角形题目，一般来说难度并不大，但是三角形周长和面积的最值问题还是有一些难度的。

一般是填空题最后一个，或者是第一个大题第二问。

面积最值问题一般来说非常简单，周长最值问题还是有一些难度的。

面积问题：余弦定理+不等式！
解析：式子处理还是比较简单的，正弦角化边，最后处理出来cosA=1/2 A=π/3。

三角形的面积公式S=bcsinA/2 所以要求面积最大值，也就是求bc 的最大值。

这里一般还是利用余弦定理a²=b²+c²-2bcXcosA 得到a²=b²+c²-bc。

再根据基本不等式，可以得到bc+4≥2bc 所以bc≤4 所以面积最大值为√3。

周长问题：边化角，用三角函数来求。

比如，l=a+b+c=√3+2RsinB+2RsinC 我们知道a/sinA=2
所以l=√3+2sinB+2sinC
很显然，要想求l的取值范围，我们需要处理成只含一个三角函数符号的式子。

所以再根据三角形内角和等于180°，A=π/3 ，所以 C=2π/3－B 所以最后l=2√3sin（C+π/6）+√3
又因为三角形是锐角三角形，所以C的取值范围在π/6＜C＜π/2。

所以π/3＜C+π/6＜2π/3 所以√3/2＜sin（C+π/6）≤1
所以周长的取值范围是（3+√3,3√3]。

借助基本不等式,解决三角形最值问题

所以b +c =433s i n B +s i n 2π3-B=432s i n B +12c o s B =4s i n B +π6 ㊂由于π6<B <π2,则有π3<B +π6<2π3,可得32<s i n B +π6ɤ1,所以b +c =4s i n B +π6ɪ23,4 ㊂所以әA B C 周长的取值范围为(2+23,6]㊂点评:解决涉及三角函数与平面向量的综合问题的常见方式有:利用平面向量的概念㊁公式等合理构建对应的关系式,将向量问题三角化,进而通过三角函数的恒等变换及图像性质等来分析与解决问题㊂在实际解决三角函数模块的解答题时,审清题意是解决问题的关键㊂合理挖掘具体的问题条件,创设解题的主要材料,联系并构建条件间的内在联系,特别是相关的角㊁相关的三角关系式等之间的联系是解题的必经之路㊂审视条件要充分挖掘每一个条件的内涵和隐含信息,发掘条件的内在联系,进而借助对应的三角恒等变换公式㊁解三角形中的定理,以及平面向量中的公式等加以巧妙转化与综合应用,考查四基与基本能力等,成为高考命题的一个重要题型与考查方向㊂(责任编辑王福华)ʏ江苏省苏州市桃坞高级中学校甄艳解三角形中的最值(或范围)问题是高考中最为常见的一类综合应用问题,也是一个热点与重点问题㊂基本不等式是破解三角形中的最值(或范围)问题的一个重点与基本点,特别在涉及解三角形的解答题中加以合理创设,综合性强,难度较大,且与其相关的问题灵活多样,备受各方关注㊂一、角的最值问题在解三角形的解答题中,利用基本不等式求角的最值问题是高考的一个考点,解决这类问题的关键是利用正㊁余弦定理及基本不等式求出角的某一三角函数值的范围,然后利用三角函数的单调性求出角的最值㊂例1 在әA B C中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且s i n C c o sB2=233-c o s Cs i n B 2㊂(1)当B =π3时,求s i n C +s i n A 的值;(2)求B 的最大值㊂分析:(1)根据题设条件,将角代入构建对应的三角关系式,通过所求关系式的诱导公式变形与两角和正弦公式的应用,合理转化得以求解;(2)利用三角关系式两边同乘以2c o s B 2进行恒等变形,合理化简并利用正弦定理化角为边,利用余弦定理确定c o s B 的表达式,通过基本不等式的应用来确定c o s B 的最值,并利用余弦函数的图像与性质来确定角B 的最大值㊂解:(1)由题意,可得s i n C c o sπ6=233-c o s Cs i n π6,即32s i n C +12c o s C =33㊂所以s i n C +s i n A =s i n C +s i n (π-C -B )=s i n C +s i n C +π3=32s i n C +32c o s C =332s i n C +12c o s C=1㊂51解题篇创新题追根溯源高考数学 2024年1月(2)在s i n C c o s B 2=233-c o s C㊃s i n B 2的两边同乘以2c o s B 2,得2s i n C c o s2B 2=233-c o s C㊃2s i n B 2c o s B 2,即s i n C ㊃(1+c o s B )=233-c o s Csi n B ,化简整理得s i n C +s i n A =233s i n B ,由正弦定理可得a +c =233b ㊂在әA B C 中,由余弦定理可得c o s B =a 2+c 2-b 22ac =(a +c )2-b 2-2a c 2a c =b26a c-1,利用基本不等式有a c ɤa +c22=13b 2,当且仅当a =c 时等号成立,此时c o s B =b 26a c-1ȡ-12㊂由于B ɪ(0,π),而y =c o s x 在(0,π)上单调递减,故B 的最大值为2π3㊂点评:解决本题第(2)问的关键是利用倍角公式㊁余弦定理及基本不等式求出角B 的余弦值的范围,然后利用余弦函数的单调性求出角B 的最大值㊂结合三角形的应用场景,合理确定与角有关的三角函数,借助三角函数的单调性来确定相应角的最值(或范围),这是解决问题的理论依据所在㊂二㊁边的最值问题在解三角形的解答题中,涉及求边的最值问题是高考的一个考点,解决这类问题的关键是利用余弦定理表示出所要求的边,然后利用基本不等式或相关的变式,以及三角形三边的关系求出边的最值(或范围)等㊂例2 记әA B C 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知c o s C +(c o s B -22s i n B )c o s A =0㊂(1)求c o s A 的值;(2)若b +c =1,求a 的取值范围㊂分析:(1)将题设等式的第一项利用诱导公式化简,第二项利用单项式乘多项式法则计算,整理后根据s i n A 不为0构建涉及s i n A 与c o s A 与关系式,结合平方关系联立方程组,通过方程组的求解得以确定c o s A 的值;(2)由b +c =1,利用余弦定理和基本不等式可求a 的取值范围㊂解:(1)因为c o s C +(c o s B -22㊃s i n B )c o s A =0,而c o s C =c o s (π-A -B )=-c o s (A +B )=-c o s A c o s B +s i n A ㊃s i n B ,所以-c o s A c o s B +s i n A s i n B +c o s A c o s B -22s i n B c o s A =0,化简得s i n A s i n B -22s i n B c o s A =0㊂又0<A <π,0<B <π,所以s i n B ʂ0,s i n A >0,所以s i n A =22c o s A >0,所以c o s A >0,所以A 为锐角㊂联立s i n A =22c o s A ,s i n 2A +c o s 2A =1,可得9c o s 2A=1,所以c o s A =13㊂(2)由余弦定理可知a 2=b 2+c 2-2b c c o s A =(b +c )2-83b c ,利用基本不等式有b c ɤb +c22,所以a 2ȡ13(b +c )2=13,解得a ȡ33,当且仅当b =c =12时等号成立㊂由三角形的基本性质知a <b +c =1㊂综上可得,a 的取值范围为33,1㊂点评:利用余弦定理用(b +c )2表示出a 2是解决本题的关键,另外,在利用基本不等式求出a 的下界后,还要注意利用三角形三边的关系求出a 的上界,从而求出a 的取值范围㊂在求解三角形中边的最值(或范围)问题时,要注意充分利用条件确定相关的上界与下界,这里往往离不开基本不等式及三角形的基本性质㊂三㊁周长的最值问题在解三角形的解答题中,三角形周长的最值问题是高考的一个热点,这类问题一般可以求出一条边,然后利用余弦定理表示出另两条边满足的关系式,最后利用基本不等61 解题篇创新题追根溯源高考数学 2024年1月式求出周长的最值㊂例3 在әA B C中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若A B ң㊃A C ң=92,b s i n A =4(s i n A c o s C +c o s A s i n C )㊂(1)求a 的长度;(2)求әA B C 周长的最大值㊂分析:(1)根据题设条件,利用正弦函数两角和公式与三角函数诱导公式将已知条件化解为b s i n A =4s i n B ,再利用正弦定理将其转化即可求解;(2)通过向量数量积公式与余弦定理可得b 2+c 2=25,再利用基本不等式即可求得b +c 的最大值,进而得以求解әA B C 周长的最大值㊂解:(1)由b s i n A =4(s i n A c o s C +c o s A s i n C )得b s i n A =4s i n B ㊂由正弦定理得a b =4b ,解得a =4㊂(2)由A B ң㊃A C ң=92得b c c o s A =92㊂利用余弦定理得b c ㊃b 2+c 2-162b c =92,整理得b 2+c 2=25,由基本不等式得25=b 2+c 2ȡ(b +c )22,所以b +c ɤ52,当且仅当b =c =522时等号成立㊂所以әA B C 周长的最大值为4+52㊂点评:解决本题第(2)问的关键就是构建两边平方和的关系b 2+c 2=25,进而利用基本不等式的变形公式加以转化,得以求解b +c 的最大值,为进一步确定三角形的周长的最值提供条件㊂在解决涉及三角形的周长的最值(或范围)问题时,要注意三角形的三边中相应的常量与变量,合理构建变量的线性关系式加以综合与应用㊂四、面积的最值问题在解三角形的解答题中,三角形面积的最值(或范围)问题是高考的一个热点,解决这类问题的关键是找出两边之积满足的不等关系式,然后利用三角形面积公式解决问题㊂这里比较常用的思维是利用基本不等式思维来转化与应用㊂例4 在әA B C中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且3a s i n B -b c o s A=b ㊂(1)求角A 的大小;(2)若a =2,求әA B C 面积的最大值㊂分析:(1)由题中的关系式利用正弦定理转化为涉及角的关系式,通过恒等变形,并结合辅助角公式(或范围),利用角的取值范围加以分析与求解;(2)通过余弦定理构建对应的关系式,利用基本不等式得以确定b c 的最大值,进一步确定әA B C 面积的最大值㊂解:(1)依题意,利用正弦定理可得3s i n A s i n B -s i n B c o s A =s i n B ,又s i n B ʂ0,所以3s i n A -c o s A =1,所以32s i n A -12c o s A =12,即s i n A -π6=12㊂又因为A ɪ(0,π),所以A -π6ɪ-π6,5π6,所以A -π6=π6,即A =π3㊂(2)利用余弦定理可得a 2=b 2+c 2-2b c c o s A ,即4=b 2+c 2-b c ,结合基本不等式可得4=b 2+c 2-b c ȡ2b c -b c =b c ,即b c ɤ4,当且仅当b =c =2时等号成立㊂所以S =12b c s i n A ɤ12ˑ4ˑ32=3,即әA B C 面积的最大值为3㊂点评:解决本题第(2)问的关键是利用余弦定理表示出b ,c 满足的关系式,然后利用基本不等式求出b c 满足的不等关系,最后利用三角形的面积公式解决问题㊂注意在确定三角形面积的最值(或范围)时,往往在定角背景下两夹边的乘积的最值确定,或是两边定值背景下夹角的正弦值的最值确定㊂借助基本不等式思维确定三角形中的最值(或范围)问题,主要是利用三角形中的角㊁边㊁周长㊁面积等的关系式的定和或定积的结构特征,利用基本不等式来确定最值㊂解题的关键是利用解三角形进行统一化处理,或统一化边,或统一化角,结合仅含边或角的关系式的变形与应用来达到目的㊂(责任编辑王福华)71解题篇创新题追根溯源高考数学 2024年1月。

解三角形面积最值问题

解三角形面积最值问题一、问题描述解三角形面积最值问题是指在所有满足条件的三角形中，找到面积最大或最小的三角形。

通常情况下，给定三角形的边长或角度，需要求出其面积，并在所有可能的情况中找到最大或最小值。

二、解法分类解决三角形面积最值问题有多种方法，可以根据不同的条件和要求进行分类。

1. 基于边长或高度当已知三角形的边长或高度时，可以通过海伦公式、正弦定理、余弦定理等方法求得其面积，并比较不同情况下的面积大小来确定最大或最小值。

2. 基于夹角当已知三角形夹角时，可以通过正弦函数和余弦函数求得其高度，并进而计算出面积。

此时需要注意夹角所在的位置（锐角、直角、钝角），以及是否为等腰三角形等特殊情况。

3. 基于坐标当已知三个顶点在平面直角坐标系中的坐标时，可以利用向量叉乘公式计算出其面积。

此方法适用于任意形状的三角形，但需要进行向量运算和矩阵求逆等复杂计算。

三、具体实现以下以基于边长或高度的方法为例，介绍解决三角形面积最值问题的具体实现。

1. 求解最大面积（1）已知三角形三边a、b、c，可以通过海伦公式计算出其半周长s=(a+b+c)/2，进而得到面积S=sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))。

为了求得最大面积，需要考虑以下情况：① a+b>c，b+c>a，c+a>b，即任意两边之和大于第三边；② a>0，b>0，c>0，即三边长度均为正数。

在满足以上条件的前提下，可以比较不同情况下的面积大小来确定最大值。

例如，在已知三角形周长P=a+b+c固定的情况下，当两条边相等时（即等腰三角形），其面积最大。

（2）已知三角形两边a、b和夹角C（余弦值cosC），可以通过余弦定理计算出第三边c=sqrt(a^2+b^2-2abcosC)，进而得到半周长s=(a+b+c)/2和面积S=sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))。

在满足 a+b>c 和cosC<=1 的前提下，可以比较不同情况下的面积大小来确定最大值。

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基本不等式与余弦定理综合求解三角形面积的最值探究
建水县第二中学：贾雪光
从最近几年高考试题的考查情况看，解三角形部分的考查中主要是对用正、余弦定理来求解三角形、实际应用问题，这两种常见考法中，灵活应用正余弦定理并结合三角形中的内角和定理，大边对大角，等在三角形中进行边角之间的相互转化，以及与诱导公式特别是C B A sin )sin(=+、C B A sin 2
cos
=+的联系是关键。

于是多数教师在复习备考过程中，往往都会将大量的时间和精力花在对正余弦定理的变形，转化，变式应用上，当然这也无可厚非，但是我在高考备考复习教学中发现了这样一类题目，如： 1、
在锐角△ABC 中，a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边，且A A 22sin 2
1cos =+，7=a 求△ABC 的面积的最大值；2、已知向量)2
1,(sin A M =与)cos 3sin ,3(A A N +=共线，其中A 是△ABC 的内角，（1）求角A 的大小；（2）若BC=2，求△ABC 的面积S 的最大值。

3、△ABC 中，a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边，向量)2cos ,2(cos ),1,4(2A A N M =-=，2
7=•N M ，（1）求角A 的大小；（2）若3=a 是判断当c b ⋅取得最大值时△ABC 的形状。

我在教学中是这样处理的：实际上在余弦定理中我们总有这样一组公式：
A bc c b a cos 2222⋅-+=,
B ac c a b cos 2222⋅-+=,
C ab b a c cos 2222⋅-+=
同时在基本不等式中我们总有这样一组公式：bc c b 222≥+，ac c a 222≥+ ，ab a b 222≥+在三角形中各边都是正数，所以上面三个式子在a 、 b 是三角形的三边时总是成立的，如果我们将两组公式综合后会发现这样的一组公式即：)cos 1(22A bc a -⋅≥,)cos 1(22C ac b -⋅≥ )cos 1(22c ab c -⋅≥于是我们就有方程等式，得到了一组不等式，而在涉及到最值得求解时，我们常用的处理方法是，一求函数值域；二、导函数；三、基本不等式即均值定理；但是前两种方法显然都不可能用于求解上面两个题目类型的求解，于是在涉及到与解三角形有关的三角形的面积的最大值时我们就只能考虑用均值定理了，自然也就要用到上面我们推导得出的这一组公式罗。

于是我没有：
例1：在锐角△ABC 中，a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边，且A A 22sin 2
1cos =+，7=a 求
△ABC 的面积的最大值。

解析：由已知条件A A 22sin 21cos =+有21sin cos 22-=-A A 即212cos -=A 所以知道2A=32π解得A=3
π，同时由于A bc c b a cos 2222⋅-+=、bc c b 222≥+知3cos 27222π⋅-+=bc c b 即有：bc bc -≥27也就是有7≤bc 同时又因为237213sin 21sin 21⋅⋅≤==
∆πbc A bc S ABC 于是有：437≤
∆ABC S 即△ABC 的面积的最大值是437 例2：已知向量)2
1,(sin A M =与)cos 3sin ,3(A A N +=共线，其中A 是△ABC 的内角，（1）求角A 的大小；（2）若BC=2，求△ABC 的面积S 的最大值。

解析：由两向量共线知：3sin cos 3sin 22=+A A A 即：32sin 32cos 1=+-A A 也就是说 22cos 2sin 3=-A A 有辅助角公式可知2)62sin(2=-πA 即有1)62sin(=-πA 解得角3π
=A ，又由于：A bc c b a cos 2222⋅-+=、bc c b 222≥+知3cos
22222π⋅-+=bc c b 即有：bc bc -≥24也就是有4≤bc 同时又因为2
34213sin 21sin 21⋅⋅≤==∆πbc A bc S ABC 于是有：34
34=≤
∆ABC S 即△ABC 的面积的最大值是3 3、△ABC 中，a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边，向量)2cos ,2(cos ),1,4(2A A N M =-=，2
7=•N M ，（1）求角A 的大小；（2）若3=a 是判断当c b ⋅取得最大值时△ABC 的形状。

解析：（1）由27=•N M 解得21cos =A 所以3
π=A （2）在△ABC 中A bc c b a cos 2222⋅-+=且3=a 3π
=A bc c b 222≥+所以有
bc c b bc c b -+=⋅-+=222223cos 23π
即有3≤bc 当且仅当c b =时取等号，此时有c b a ==所以当
△ABC 面积最大时，三角形式正三角形。

从以上三个例子中我们可以发现，在解三角形的过程中，如果涉及到要求三角形面积的最大值时，可以考虑余弦定理与基本不等式综合，用基本不等式来构造不等关系，从而求解最值，以上是我在教学实践中所发现的点滴规律，展示出来供各位奋斗在教学一线的数学教师参考，与各位辛勤的同仁分享，希望能对你的教学有所帮助。