第三章气体分子热运动速率和能量的统计分布律
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热学第三章气体分子速率和能量统计分布律
v0 2v0 3v0 4v0 5v0 v
i
1 9
v0 2
2 9
3v0 2
3 9
5v0 2
2 9
7v0 2
1 9v0 92
5v0 2
2021/4/24
15
例4：讨论下列各式的物理意义
1. f (v)dv
平衡态下，分子速率分布在v → v+dv区间内的分子数 占总分子数的比率。
2. Nf (v)dv
求：1） 速率在 vp ~ v 间的分子数；2）速率在 vp ~
间所有分子动能之和 . 3）速率在 1 ~ 2 区间的分子
平均速率。
解： 速率在 v v dv 间的分子数 dN Nf (v)dv
1）
v v Nf ( )dv
vp
2）
vp
1 2
mv2 Nf
(v)dv
3）
2 Nf ()d
1~2
f (v) 4π(
m
)3
2
mv 2
e 2kT
v2
2πkT
dN 4π(
m
)3
2
mv 2
e 2kT
v2dv
N
2πkT
反映理想气体在热动平衡
波尔兹曼常量
f (v) dN Ndv
f (v)
条件下，气体分子按速率
分布的规律 .
o
v
三 三种统计速率
1）最概然速率 v p
f (v)
f max
df (v) 0 dv vvp
v1
v1
平衡态下，分子速率分布在v1 → v2区间内的分子数。
例 5已知f v为 N 个（N 很大）分子组成的系统的速率分
第三章气体分子热运动速率
f (v)
C
0
2021/3/31
v v 0崎山苑工作室
28
（2）常数 C 由归一化条件求得
0v0 f (v)dv 1
0v0 Cdv 1
C v0 1
C
1 v0
（3）平均速率：
v
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0
1
v0
vf (v)dv
v02 2
1 2
v0
崎山苑工作室
0v0
v
1 dv v0
29
例3. 由麦氏分布律导出理想气体分子按平动动能的分布律,并找
f vx ,vy ,vz
m e 2
m
vx2
v
2 y
vz2
2kT
2kT
2021/3/31
dvx、dvy、dvz为速度空间的一个体积元
崎山苑工作室
32
＊速度空间(velocity space)的概念 v 表示分子的速度
以其分量vx、 vy、 vz为轴可构成一直角坐标系，
由此坐标系所确定的空间为速度空间。
崎山苑工作室
15
气体的三种统计速率
(1)最可几速率: 速率分布函数 f (v)中的极大值对应
的分子速率 v p 。
d f (v)
极值条件
0
f
(v)
4
dv
m
2kT
3
2
e
mv2 2kT
v
2
vp
2kT
m
2RT
1.41
RT
温度超高，vp越大；分子的质量越大， vp越小
2021/3/31
崎山苑工作室
h
dN(h) Nf (h)dh
h
C
0
2021/3/31
v v 0崎山苑工作室
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（2）常数 C 由归一化条件求得
0v0 f (v)dv 1
0v0 Cdv 1
C v0 1
C
1 v0
（3）平均速率：
v
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0
1
v0
vf (v)dv
v02 2
1 2
v0
崎山苑工作室
0v0
v
1 dv v0
29
例3. 由麦氏分布律导出理想气体分子按平动动能的分布律,并找
f vx ,vy ,vz
m e 2
m
vx2
v
2 y
vz2
2kT
2kT
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dvx、dvy、dvz为速度空间的一个体积元
崎山苑工作室
32
＊速度空间(velocity space)的概念 v 表示分子的速度
以其分量vx、 vy、 vz为轴可构成一直角坐标系，
由此坐标系所确定的空间为速度空间。
崎山苑工作室
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气体的三种统计速率
(1)最可几速率: 速率分布函数 f (v)中的极大值对应
的分子速率 v p 。
d f (v)
极值条件
0
f
(v)
4
dv
m
2kT
3
2
e
mv2 2kT
v
2
vp
2kT
m
2RT
1.41
RT
温度超高，vp越大；分子的质量越大， vp越小
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崎山苑工作室
h
dN(h) Nf (h)dh
h
第 三 章 气体分子热运动速率和能量的统计分布律
第 三 章 气体分子热运动速率和能量的统计分布律3-1 设有一群粒子按速率分布如下：试求(1)平均速率V ；（2）方均根速率2V （3）最可几速率Vp解：（1）平均速率：18.32864200.5200.4800.3600.2400.12≅++++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=V (m/s)(2) 方均根速率37.322≅∑∑=ii i N V N V(m/s)3-2 计算300K 时，氧分子的最可几速率、平均速率和方均根速率。
解：s m RTV P /395103230031.8223=⨯⨯⨯==-μs m RTV /446103214.330031.8883=⨯⨯⨯⨯==-πμs m RTV/483103230031.83332=⨯⨯⨯==-μ3-3 计算氧分子的最可几速率，设氧气的温度为100K 、1000K 和10000K 。
解：μRTV P 2=代入数据则分别为：T=100K 时 s m V P /1028.22⨯= T=1000K 时 s m V P /1021.72⨯= T=10000K 时 s m V P /1028.23⨯=3-4 某种气体分子在温度T 1时的方均根速率等于温度T 2时的平均速率，求T 2/T 1。
解：因μRTV32=πμ28RT V =由题意得：μRT3πμ28RT =∴T 2/T 1=83π3-5 求0℃时1.0cm 3氮气中速率在500m/s 到501m/s 之间的分子数（在计算中可将dv 近似地取为△v=1m/s ）解：设1.0cm 3氮气中分子数为N ，速率在500~501m/s 之间内的分子数为△N ，由麦氏速率分布律：△ N=V V e KTmN V KTm ∆⋅⋅⋅-22232)2(4ππ∵ V p2=2KTm，代入上式 △N=VV V pP peV V V N ∆--⋅⋅222214π因500到501相差很小，故在该速率区间取分子速率V =500m/s ，又s m V P /402102827331.823≅⨯⨯⨯=- △V=1m/s（vv p =1.24）代入计算得：△N=1.86×10－3N 个3-6 设氮气的温度为300℃，求速率在3000m/s 到3010m/s 之间的分子数△N 1与速率在1500m/s 到1510m/s 之间的分子数△N 2之比。
第 三 章 气体分子热运动速率和能量的统计分布律
第 三 章 气体分子热运动速率和能量的统计分布律3-1 设有一群粒子按速率分布如下：试求(1)平均速率V ；（2）方均根速率2V （3）最可几速率Vp解：（1）平均速率：18.32864200.5200.4800.3600.2400.12≅++++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=V (m/s)(2) 方均根速率37.322≅∑∑=ii i N V N V(m/s)3-2 计算300K 时，氧分子的最可几速率、平均速率和方均根速率。
解：s m RTV P /395103230031.8223=⨯⨯⨯==-μs m RTV /446103214.330031.8883=⨯⨯⨯⨯==-πμs m RTV/483103230031.83332=⨯⨯⨯==-μ3-3 计算氧分子的最可几速率，设氧气的温度为100K 、1000K 和10000K 。
解：μRTV P 2=代入数据则分别为：T=100K 时 s m V P /1028.22⨯= T=1000K 时 s m V P /1021.72⨯= T=10000K 时 s m V P /1028.23⨯=3-4 某种气体分子在温度T 1时的方均根速率等于温度T 2时的平均速率，求T 2/T 1。
解：因μRTV32=πμ28RT V =由题意得：μRT3πμ28RT =∴T 2/T 1=83π3-5 求0℃时1.0cm 3氮气中速率在500m/s 到501m/s 之间的分子数（在计算中可将dv 近似地取为△v=1m/s ）解：设1.0cm 3氮气中分子数为N ，速率在500~501m/s 之间内的分子数为△N ，由麦氏速率分布律：△ N=V V e KTm N V KTm∆⋅⋅⋅-22232)2(4ππ ∵ V p2= 2KTm ，代入上式△N=VV V ppe V V VN∆--⋅⋅222214ρπ因500到501相差很小，故在该速率区间取分子速率V =500m/s ， 又s m V P /402102827331.823≅⨯⨯⨯=- △V=1m/s （vv p =1.24）代入计算得：△N=1.86×10－3N 个3-6 设氮气的温度为300℃，求速率在3000m/s 到3010m/s 之间的分子数△N 1与速率在1500m/s 到1510m/s 之间的分子数△N 2之比。
热学-统计物理3 第3章 气体分子热运动速率和能量的统计分布律
f v
v v pv v 2
讨论
麦克斯韦速率分布中最概然速率 vp 的概念
下面哪种表述正确？
（A） vp 是气体分子中大部分分子所具有的速率. （B） vp 是速率最大的速度值. （C） vp 是麦克斯韦速率分布函数的最大值.
（D） 速率大小与最概然速率相近的气体分子的比 率最大.
例1 计算在 27 C 时，氢气和氧气分子的方均
M
3.方均根速率 v2
v2
N
0
v2dN N
0
v2Nf N
(v)dv
o
v
v2 v2 f (v)dv 4 ( m )3 2 e mv2 2kT v4dv
0
2 kT
0
v4ev2 dv 3
0
8 5
v2 3kT m
v2 3kT 3RT
2kT
v
麦克斯韦速率分布函数的物理意义： f (v) dNv
Nd v
既反映理想气体在热动平衡条件下，分布在速率 v 附近单
位速率区间内的分子数占总分子数的百分比，又表示任意
一分子的速率出现在 v附近单位速率区间内的概率。
如果以速率为横坐标轴，速率分布函数为纵坐标轴，画 出的一条表示f(v) —v之间关系的曲线，称为气体分子的麦 克斯韦速率分布曲线。 ，它形象地描绘出气体分子按速率 分布的情况。
大量分子的速率的算术平均值叫做分子的平均速率.
v
vNf (v)dv
0
vf (v)dv
v 4 (
m
)3 e2 mv2 2kT v2dv
N
0
0
v v pv v 2
讨论
麦克斯韦速率分布中最概然速率 vp 的概念
下面哪种表述正确？
（A） vp 是气体分子中大部分分子所具有的速率. （B） vp 是速率最大的速度值. （C） vp 是麦克斯韦速率分布函数的最大值.
（D） 速率大小与最概然速率相近的气体分子的比 率最大.
例1 计算在 27 C 时，氢气和氧气分子的方均
M
3.方均根速率 v2
v2
N
0
v2dN N
0
v2Nf N
(v)dv
o
v
v2 v2 f (v)dv 4 ( m )3 2 e mv2 2kT v4dv
0
2 kT
0
v4ev2 dv 3
0
8 5
v2 3kT m
v2 3kT 3RT
2kT
v
麦克斯韦速率分布函数的物理意义： f (v) dNv
Nd v
既反映理想气体在热动平衡条件下，分布在速率 v 附近单
位速率区间内的分子数占总分子数的百分比，又表示任意
一分子的速率出现在 v附近单位速率区间内的概率。
如果以速率为横坐标轴，速率分布函数为纵坐标轴，画 出的一条表示f(v) —v之间关系的曲线，称为气体分子的麦 克斯韦速率分布曲线。 ，它形象地描绘出气体分子按速率 分布的情况。
大量分子的速率的算术平均值叫做分子的平均速率.
v
vNf (v)dv
0
vf (v)dv
v 4 (
m
)3 e2 mv2 2kT v2dv
N
0
0
第三章 气体分子热运动速率和能量的统计分布规律
Ndv
2kT
1.麦克斯韦速率分布函数f()的物理意义
由 dN f (υ)dυ N
f (υ) dN Ndυ
f()表示：在速率附近的单位速率区间内的分子数占总 分子数的百分比。或分子速率出现在附近的单位速率区间内
的概率概率密度。
f (υ)dυ dN
N
—在速率区间 ~ +d 内的分子数占
例 (1) n f()d 的物理意义是什么？(n是分子的数密度)
(2) 写出速率不大于最可几速率p的分子数占总分子数
的百分比。
解 nf (υ)dυ Nf (υ)dυ dN
V
V
n f()d —表示单位体积中，速率在 ~+d 内的分子数。
(2) 写出速率不大于最可几速率p的分子数占总分子数的
dN v y N
g(y )dy
dNvz N
g(z )dz
（2）由独立概率相乘原理，粒子出现在x ~x+dx,y ~y+dy,z ~z+dz的
概率为：
dNv N
g(x )g(y )g(z )dxdydz
F • dxdydz
F就是速度分布函数
（3）由于粒子在任何方向上运动的概率相等，所以F应该与速度的方向 无关，应该是速度的大小的函数。
dNv N
1
3 3
e dv dv dv (vx2 vy2 vz2 ) / 2 xyz
转化成球坐标：
dvxdvydvz v2 sin dddv
vx2
v
2 y
vz2
v2
麦克斯韦速度分布：dNv 1 v2ev2 / 2 sin dddv N 3 3
热力学-3.气体分子动理论速率与能量
1.59 RT M
一般用于计算分子运动的平均距离；
同理，方均根速率
v2 v2 f (v)dv
3kT
3RT 1.73 RT
0
m
M
M
方均根速率用来计算分子平均动能。
最概然速率
2kT 2RT
RT
vp
m
1.41
M
M
最概然速率用在讨论分子速率分布。
f(v)
O
vp v v2
•在气体动理论方面，他提出气体分子按 速率分布的统计规律。
1。由于分子受到频繁的碰撞，每个分子热运动的速率是变化的， 要某一分子具有多大的运动速率没有意义，所以只能估计在某 个速率间隔内出现的概率；
2。哪怕是相同的速率间隔，但是不同的速率附近，其概率是不 等的。
速率接近为0的可能性很小，速率非常大的可能性也很小， 而居中速率的可能性则较大。
f (v) dN Ndv
速率分布函数
理解分布函数的几个要点： 1.条件：一定温度（平衡态）和确定的气体系统，T和m是一定的；
2.范围：（速率v附近的）单位速率间隔，所以要除以dv； 3.数学形式：（分子数的）比例，局域分子数与总分子数之比。
f (v)dv dN N
N v1 v2
v2
f (v)dv
第三章 气体分子热运动 速率和能量的统计分布律
内容回顾
第一章 平衡态和温度 第二章 压强和温度的微观本质
平均效果
气体分子按速率分布的统计规律最早是由麦克斯韦于
1859年在概率论的基础上导出的，1877年玻耳兹曼由经典统 计力学中导出，1920年斯特恩从实验中证实了麦克斯韦分子 按速率分布的统计规律。
热学[李椿 章立源 钱尚武]习题解答_第三章气体分子热运动速率与能量的统计分布律
![热学[李椿 章立源 钱尚武]习题解答_第三章气体分子热运动速率与能量的统计分布律](https://img.taocdn.com/s3/m/581192a543323968001c927e.png)
第 三 章 气体分子热运动速率和能量的统计分布律3-1 设有一群粒子按速率分布如下：试求(1)平均速率V ；（2）方均根速率2V （3）最可几速率Vp解：（1）平均速率：18.32864200.5200.4800.3600.2400.12≅++++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=V (m/s)(2) 方均根速率37.322≅∑∑=ii i N V N V(m/s)3-2 计算300K 时，氧分子的最可几速率、平均速率和方均根速率。
解：s m RTV P /395103230031.8223=⨯⨯⨯==-μs m RTV /446103214.330031.8883=⨯⨯⨯⨯==-πμs m RTV/483103230031.83332=⨯⨯⨯==-μ3-3 计算氧分子的最可几速率，设氧气的温度为100K 、1000K 和10000K 。
解：μRTV P 2=代入数据则分别为：T=100K 时 s m V P /1028.22⨯= T=1000K 时 s m V P /1021.72⨯= T=10000K 时 s m V P /1028.23⨯=3-4 某种气体分子在温度T 1时的方均根速率等于温度T 2时的平均速率，求T 2/T 1。
解：因μRTV32=πμ28RT V =由题意得：μRT3πμ28RT =∴T 2/T 1=83π3-5 求0℃时1.0cm 3氮气中速率在500m/s 到501m/s 之间的分子数（在计算中可将dv 近似地取为△v=1m/s ）解：设1.0cm 3氮气中分子数为N ，速率在500~501m/s 之间内的分子数为△N ，由麦氏速率分布律：△ N=V V e KTm N V KTm∆⋅⋅⋅-22232)2(4ππ ∵ V p2= 2KTm ，代入上式 △N=VV V ppe V V VN∆--⋅⋅222214ρπ因500到501相差很小，故在该速率区间取分子速率V =500m/s ， 又s m V P /402102827331.823≅⨯⨯⨯=- △V=1m/s （vv p=）代入计算得：△N=×10－3N 个3-6 设氮气的温度为300℃，求速率在3000m/s 到3010m/s 之间的分子数△N 1与速率在1500m/s 到1510m/s 之间的分子数△N 2之比。
热学-第三章气体分子热运动速率和能量分布
等概率性
在平衡态下，系统从任意一个微观状态转移到另一个 微观状态的概率相等。
宏观态与微观态等概率性的意义
平衡态是系统内部最混乱的状态，即系统内部各个分 子运动状态的分布最均匀，没有明显的有序性。
热力学概率与宏观态的等概率性
热力学概率
宏观态等概率性与热力学概 率的关系
在平衡态下，系统处于各个宏观态的概率相等，即 热力学概率相等。
了解气体分子的能量分布和速度分布有助于深入理解热力学的基本原理，如温度 、内能、熵等概念。
03 气体分子的碰撞和动量传 递
气体分子间的碰撞频率
总结词
气体分子间的碰撞频率与气体分子的速度分布和分子间的距离有关，是气体分子热运动的重要参数。
详细描述
气体分子间的碰撞频率是指在单位时间内，两个分子相互碰撞的次数。由于气体分子的速度分布和分 子间的距离不同，碰撞频率也会有所差异。在理想气体中，碰撞频率可以用公式计算，它与气体分子 的平均自由程和分子速度有关。
定义
气体分子在热运动中具有的 平均能量是指所有气体分子 的总能量除以分子总数。
计算公式
平均能量 = (总能量) / (分子 总数)
影响因素
温度和物质的种类会影响气 体分子的平均能量。
气体分子的最可几能量
01
定义
气体分子在热运动中具有的最可 几能量是指一定温度下，占据一 定数量的分子的主要能量的值。
熵与自然过程的不可逆性
熵与自然过程的不可逆性密切相关，因为高熵状态对应于无序程度较高的状态，低熵状态对应于有序 程度较高的状态。
在自然过程中，由于熵增加原理的作用，系统总是向着高熵状态发展，即从有序向无序发展。因此，许 多自然过程都是不可逆的。
例如，物体受热会膨胀，但自发地收缩；化学反应会进行到底，但自发地逆向反应很困难；生物体衰老 和死亡后不能自发地恢复青春等。这些都是由于系统内部熵增加导致的不可逆过程。
第3章 气体分子热运动速率和能量的统计分布
每个分子的速度可用一个以坐标原点为起点的矢量表示
v vxi vy j vzk
速度空间体积元
速率分布是速度矢量大小被限制在一定区间
满足此条件的速度矢量其端点位于半径为 v，厚度为dv的球壳内
球壳体积为
17
用球壳体积
代替
并注意 v2 vx2 v2y vz2 得麦克斯韦速率分布
dN 4π(
n n 1 n
•分子数∆n 越大，涨落的百分数就越小，涨落现象越不显著。
• 麦克斯韦速率分布律只对大量分子组成的体系才成立。 9
三、用麦克斯韦速率分布函数求平均值
平均速率（算术平均值）
离散型
v v1N1 v2N2 viNi vnNn i viNi
N
N
连续型
N
v 0 vdN 0 vNf (v)dv
•当R 以一定的角速度转动，铋分子由S3到达G需用一段时间。 • 这段时间内R己转过一角度，铋分子不再沉积在板上P处。 • 不同速率的分子将沉积在不同的地方．速率大的分子由S3到G所需
的时间短，沉积在距P较近的地方，速率小的分子沉积在距P较远 的地方。
34
•设速率为 v的分子沉积在P’处以s 表示弧PP’的长度。 表示R的
N1, N2,…, Ni, …
小球在槽内的分配情况，称为一种分布。
总数足够大，槽内的小球的数目与小球总数之比
..........
.. . .
.......
. . .
. . .
. . .
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v vxi vy j vzk
速度空间体积元
速率分布是速度矢量大小被限制在一定区间
满足此条件的速度矢量其端点位于半径为 v，厚度为dv的球壳内
球壳体积为
17
用球壳体积
代替
并注意 v2 vx2 v2y vz2 得麦克斯韦速率分布
dN 4π(
n n 1 n
•分子数∆n 越大，涨落的百分数就越小，涨落现象越不显著。
• 麦克斯韦速率分布律只对大量分子组成的体系才成立。 9
三、用麦克斯韦速率分布函数求平均值
平均速率（算术平均值）
离散型
v v1N1 v2N2 viNi vnNn i viNi
N
N
连续型
N
v 0 vdN 0 vNf (v)dv
•当R 以一定的角速度转动，铋分子由S3到达G需用一段时间。 • 这段时间内R己转过一角度，铋分子不再沉积在板上P处。 • 不同速率的分子将沉积在不同的地方．速率大的分子由S3到G所需
的时间短，沉积在距P较近的地方，速率小的分子沉积在距P较远 的地方。
34
•设速率为 v的分子沉积在P’处以s 表示弧PP’的长度。 表示R的
N1, N2,…, Ni, …
小球在槽内的分配情况，称为一种分布。
总数足够大，槽内的小球的数目与小球总数之比
..........
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.......
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气体分子热运动速率和能量的统计分布律
f (v)
dS
o v v dv
物理意义
表示在温度为 T 的平衡
状态下，速率在 v 附近单位
速率区间 的分子数占总数的
v 百分比 .
热学
3
dN f (v)dv dS N
表示速率在 v v dv
区间的分子数占总分子数的 百分比 .
归一化条件
N
0
dN N
0
f
(v)dv
1
f (v)
速率位于 v v dv 内分子数
热学
11
麦克斯韦（James Clerk
Maxwell 1831-1879)
1861年选为伦敦皇家学会会员。1865年春辞去教职回到家乡系统
地总结他的关于电磁学的研究成果，完成了电磁场理论的经典巨著
《论电和磁》，并于1873年出版，1871年受聘为剑桥大学新设立
的卡文迪什试验物理学教授，负责筹建著名的卡文迪什实验室，
麦克斯韦是19世纪伟大的英国物理学家、数 学家。1831年11月13日生于苏格兰的爱丁堡， 自幼聪颖，父亲是个知识渊博的律师，使麦克斯 韦从小受到良好的教育。10岁时进入爱丁堡中学 学习，14岁就在爱丁堡皇家学会会刊上发表了一 篇关于二次曲线作图问题的论文，已显露出出众 的才华。1847年进入爱丁堡大学学习数学和物 理。1850年转入剑桥大学三一学院数学系学习， 1854年以第二名的成绩获史密斯奖学金，毕业 留校任职两年。1856年在苏格兰阿伯丁的马里 沙耳任自然哲学教授。1860年到伦敦国王学院 任自然哲学和天文学教授。
vp
2kT m
2 RT M
v
8kT πm
v2 3kT m
热学
9
f (v)
热学第三章
3/ 2
1
1
1
1/ 2
1
1/ 2
1
1 y m −2v2 / kT f (vy ) = e 2πkT 1 m −2vz2 / kT f (vz ) = e 2πkT 1/ 2
1/ 2
f (v) = f (vx ) f (vy ) f (vz )
积分公式：
translation rotation
2
如果某种气体的分子有t个平动自由度，r个转 动由度，s个振动自由度，则分子的平均平动 s t kT ， kT 能，平均转动能和平均振动能就分别为 2 2 r 1 kT 和 2 ，而分子的平均总动能即为 (t + r + s)kT
2
注意：能量均分定理是一种统计规律。对于个别分子，在任一瞬时 它的各种形式动能不具有上述关系。大量粒子通过碰撞，使各种形 式的动能发生传递和转换，从而实现能量均分的统计结果。
e
v dv
m = 4π 2πkT 3RT = M v =
__ 2
3/ 2
∫
1 ∞ − mv2 / kT 4 2 0
e
v dv
3RT M
积分公式：
∫
∞
0
e
−λv2 3
1 v dv = 2 2λ
,
∫
∞
0
e
−λv2 4
v dv =
3 π 8 λ5
比较：
vp =
2RT M
, v=
8RT πM
§2 用分子射线实验验证麦克斯韦速度分布律（1）
一、分子射线
S 金属蒸气
S1
S2
准直器
§2 用分子射线实验验证麦克斯韦速度分布律（2）
第三章气体分子热运动速率和能量的统计分布律
麦克斯韦严谨的科学态度和科学研究方法是人类极其宝贵的精 神财富。
热学
14
讨论
麦克斯韦速率分布中最概然速率 vp 的概念
下面哪种表述正确？
（A） vp 是气体分子中大部分分子所具有的速率. （B） vp 是速率最大的速度值. （C） vp 是麦克斯韦速率分布函数的最大值.
（D） 速率大小与最概然速率相近的气体分子的比 率最大.
N
N
v
v f (v)dv
8kT
0
πm
v 1.60 kT 1.60 RT
f (v)
m
M
3）方均根速率 v2
o
v
v2
N
0
v2dN N
0
v2
Nf
N
(v)dv
v2 3kT m
热学
8
vp v v2
vrms
v2
3kT m
3RT M
v 1.60 kT 1.60 RT
m
M
vp
2kT m
为清楚起见 , 从正面来
观察。
铁钉
隔板
热学
28
统计规律和方法
伽尔顿板 再投入小球： 经一定段时间后 , 大量小
球落入狭槽。
分布情况：中间多，两边少。
重复几次 ，结果相似。
单个小球运动是随机的 , 大量小球运动分布是确定的。
大量偶然事件整体所遵 循的规律 —— 统计规律。
热学
小球数按空间 位置 分布曲线
v2
dN 4π(
m
)3
2
e
mv2 2 kT
v2
dv
N
2πkT
热学
5
反映理想气体在热动 平衡条件下，各速率区间 分子数占总分子数的百分
热学
14
讨论
麦克斯韦速率分布中最概然速率 vp 的概念
下面哪种表述正确？
（A） vp 是气体分子中大部分分子所具有的速率. （B） vp 是速率最大的速度值. （C） vp 是麦克斯韦速率分布函数的最大值.
（D） 速率大小与最概然速率相近的气体分子的比 率最大.
N
N
v
v f (v)dv
8kT
0
πm
v 1.60 kT 1.60 RT
f (v)
m
M
3）方均根速率 v2
o
v
v2
N
0
v2dN N
0
v2
Nf
N
(v)dv
v2 3kT m
热学
8
vp v v2
vrms
v2
3kT m
3RT M
v 1.60 kT 1.60 RT
m
M
vp
2kT m
为清楚起见 , 从正面来
观察。
铁钉
隔板
热学
28
统计规律和方法
伽尔顿板 再投入小球： 经一定段时间后 , 大量小
球落入狭槽。
分布情况：中间多，两边少。
重复几次 ，结果相似。
单个小球运动是随机的 , 大量小球运动分布是确定的。
大量偶然事件整体所遵 循的规律 —— 统计规律。
热学
小球数按空间 位置 分布曲线
v2
dN 4π(
m
)3
2
e
mv2 2 kT
v2
dv
N
2πkT
热学
5
反映理想气体在热动 平衡条件下，各速率区间 分子数占总分子数的百分
§3.1 气体分子的速率分布
mv 2 Av 2 exp 2kT
可以通过归一化可求出系数 A 。
0
m v2 Av2 exp dv 1 2kT
m 3/ 2 A 4 ( ) 2kT
三、用麦克斯韦速率分布函数求平均值
(1) 平均速率
v vf (v)dv
1/ 2
mv i2 exp 2kT
dvi
其中i 可分别代表x、y、z。
x 方向速度分量的概率
分布曲线如图所示,它对 称于纵轴，图中打上斜线 狭条面积即
2 m vx dN (vx ) m 1/ 2 f (vx )dvx ( ) exp dvx N 2kT 2kT
v v2
v p : v : v 2 1 : 1.128: 1.224
四、 麦克斯韦速度分布
前面已指出，麦克斯韦是先导出速度分布，然后再 从速度分布得到速率分布的。
本节中介绍麦克斯韦速度分布。
为了说明速度分布的含义，先介绍速度空间的概念。
速度矢量
要描述气体分子的速度大小和方向，
需引入速度矢量这一概念.
§1 . 气体分子的速率分布律 大数分子无规则运动及它们之间频繁地相互碰撞;
分子以各种大小不同的速率随机地向各个方向运动;
在频繁的碰撞过程中，分子间不断交换动量和能量，使 每一分子的速度不断变化。
处于平衡态的气体，虽然每个分子在每一瞬时的 速度大小、方向都在随机地变化着，但是大多数分子 之间存在一种统计相关性，这种统计相关性表现为平 均说来气体分子的速率（指速度的大小）介于任何 v 到v + dv 的概率（即速率分布函数）是不会改变的。
右图示意表示了麦克斯韦速率
第三章 气体分子热运动速率和分布函数_电子教案白
第三章 气体分子热运动速率和能量的 统计分布律
第 一 节 气体分子的速率分布律
一、 速率分布函数 1．分子速率分布 平衡态下，分布在各速率区间内的分子数占总 分子数的百分率。令 N 为分子数，平衡态下在速率 v : v + dv 内
dN dN = f (v) dv ⇒ f (v) = Ndv N 2、物理意义：在速率 v 附近，单位速率间隔内出现的分子数占总
2
N = 2.6875 ×1019 个 ∆N = 2.484 ×1017
（2） v = vp＝
2 kT m0
3
∆v =
− m0 v 2 2 kT
vp 100 4 −1 11 = 4π ( 2 ) 2 e N vp
例：理想气体，求 v = 的分子数的比值。
v 2 ∆v =
解： （1） f (v) =
dN 4πA 2 = v = kv 2 Ndv N
vF
（2）
∫
∞
0
f (v)dv = ∫
∞ 2
0
4π Av 2 vF 3 dv = 1 = 4π A N 3N
vF 2
A=
3N 4π vF 3
（3） v =
2
∫
0
v f (v)dv = ∫
0
2 vF 4π Av2 3 2 3v v dv = ∫ v 3 dv = vF 2 0 N vF 5
2 2 =1:2:4 ，则 p : p : p =？ : v 2 2 : vC C B A B
1
解：
pA : pB : pC = nkTA : nkTB : nkTC
∵ (v ) : (v ) : (v ) =
1 2 2 A
1 2 2 B
第 一 节 气体分子的速率分布律
一、 速率分布函数 1．分子速率分布 平衡态下，分布在各速率区间内的分子数占总 分子数的百分率。令 N 为分子数，平衡态下在速率 v : v + dv 内
dN dN = f (v) dv ⇒ f (v) = Ndv N 2、物理意义：在速率 v 附近，单位速率间隔内出现的分子数占总
2
N = 2.6875 ×1019 个 ∆N = 2.484 ×1017
（2） v = vp＝
2 kT m0
3
∆v =
− m0 v 2 2 kT
vp 100 4 −1 11 = 4π ( 2 ) 2 e N vp
例：理想气体，求 v = 的分子数的比值。
v 2 ∆v =
解： （1） f (v) =
dN 4πA 2 = v = kv 2 Ndv N
vF
（2）
∫
∞
0
f (v)dv = ∫
∞ 2
0
4π Av 2 vF 3 dv = 1 = 4π A N 3N
vF 2
A=
3N 4π vF 3
（3） v =
2
∫
0
v f (v)dv = ∫
0
2 vF 4π Av2 3 2 3v v dv = ∫ v 3 dv = vF 2 0 N vF 5
2 2 =1:2:4 ，则 p : p : p =？ : v 2 2 : vC C B A B
1
解：
pA : pB : pC = nkTA : nkTB : nkTC
∵ (v ) : (v ) : (v ) =
1 2 2 A
1 2 2 B
热学 (3 第三章 气体分子热运动速率和能量的统计分布率)
或概率密度。
f ()d dN
N
dN
2
＝
f
( )d
N 1
表示速率分布在→+d内的
分子数占总分子数的概率
表示速率分布在1→2内的分
子数占总分子数的概率
N
0
dN N
0
f
d
1
归一化条件
应注意的问题:
分布函数是一个统计结果，以上各种讨论都是建立在众多分子微 观运动基础上的，分子的数目越大，结论越正确。所以：
1、作速率分布曲线。 2、由N和vo求常数C。 3、求粒子的平均速率。 4、求粒子的方均根速率。
f (v)
C ( vo> v > 0) 0 ( v > vo )
f (v)
解：
f (v)dv
0
vo 0
Cdv
Cvo
1
C
C 1 vo
o
vo v
o f ()d o Cd C o2
3. 方均根速率
2
2
f
d
0
3
2
4
m
2 kT
2
e
m 2 2kT
4
d
3kT
3RT
0
mM
2 3kT 3RT
m
M
4. 三种速率的比较
最概然速率
p
2kT m
2RT M
平均速率
8kT 8RT m M
方均根速率
一、速率分布函数
气体分子处于无规则的热运动之中，由于碰撞，每个分子的速度都
f ()d dN
N
dN
2
＝
f
( )d
N 1
表示速率分布在→+d内的
分子数占总分子数的概率
表示速率分布在1→2内的分
子数占总分子数的概率
N
0
dN N
0
f
d
1
归一化条件
应注意的问题:
分布函数是一个统计结果，以上各种讨论都是建立在众多分子微 观运动基础上的，分子的数目越大，结论越正确。所以：
1、作速率分布曲线。 2、由N和vo求常数C。 3、求粒子的平均速率。 4、求粒子的方均根速率。
f (v)
C ( vo> v > 0) 0 ( v > vo )
f (v)
解：
f (v)dv
0
vo 0
Cdv
Cvo
1
C
C 1 vo
o
vo v
o f ()d o Cd C o2
3. 方均根速率
2
2
f
d
0
3
2
4
m
2 kT
2
e
m 2 2kT
4
d
3kT
3RT
0
mM
2 3kT 3RT
m
M
4. 三种速率的比较
最概然速率
p
2kT m
2RT M
平均速率
8kT 8RT m M
方均根速率
一、速率分布函数
气体分子处于无规则的热运动之中，由于碰撞，每个分子的速度都
第三章 气体分子热运动速率和能量的统计分布
第三章
气体分子热运动速率 和能量的统计分布
1
第三章 气体分子热运动速率和能量的 统计分布
§1 气体分子的速率分布律 §2 用分子射线实验验证麦克斯韦速度分布律 §3 玻尔兹曼分布律 重力场中微粒按高度的分布 §4 能量按自由度均分定理
2
§1 气体分子的速率分布律
一、速率分布函数
设总分子数N，速率区间v ~ v+dv内分子数 dN占总 分子数的比率为： dN f (v)dv ，其中：
1mol理想气体内能为：
Um
1 2
(r
t
2s)RT
，因此：
CV ,m
1 2
(r
t
2s)R
只与自由度有关
单原子分子气体：
CV ,m
3 2
R
双原子分子气体：
7 CV ,m 2 R
35
五、经典理论的缺陷
CV ,m
根据经典理论：
7R 2
一切双原子分子CV,m相同
5R 2
CV,m与温度无关
3R 2
T/K
理论与实验的不符，根本在于它是建立在经典概念，即能量 连续分布的基础上的。只有用量子理论才能进行较完满的解释。
单位时间内碰到单位面积器壁上速度在vx~vx+dv之间的分子数为：
nvx
f
(vx )dvx
nvx
m
2kT
1/ 2
e dv mvx2 / 2kT x
单位时间内碰到单位面积器壁的总分子数为：
0 nvx f (vx )dvx
n
m
1/ 2
2kT
e v dv mvx2 / 2kT
0
xx
n
kT
气体分子在空间位 置不再呈均匀分布
气体分子热运动速率 和能量的统计分布
1
第三章 气体分子热运动速率和能量的 统计分布
§1 气体分子的速率分布律 §2 用分子射线实验验证麦克斯韦速度分布律 §3 玻尔兹曼分布律 重力场中微粒按高度的分布 §4 能量按自由度均分定理
2
§1 气体分子的速率分布律
一、速率分布函数
设总分子数N，速率区间v ~ v+dv内分子数 dN占总 分子数的比率为： dN f (v)dv ，其中：
1mol理想气体内能为：
Um
1 2
(r
t
2s)RT
，因此：
CV ,m
1 2
(r
t
2s)R
只与自由度有关
单原子分子气体：
CV ,m
3 2
R
双原子分子气体：
7 CV ,m 2 R
35
五、经典理论的缺陷
CV ,m
根据经典理论：
7R 2
一切双原子分子CV,m相同
5R 2
CV,m与温度无关
3R 2
T/K
理论与实验的不符，根本在于它是建立在经典概念，即能量 连续分布的基础上的。只有用量子理论才能进行较完满的解释。
单位时间内碰到单位面积器壁上速度在vx~vx+dv之间的分子数为：
nvx
f
(vx )dvx
nvx
m
2kT
1/ 2
e dv mvx2 / 2kT x
单位时间内碰到单位面积器壁的总分子数为：
0 nvx f (vx )dvx
n
m
1/ 2
2kT
e v dv mvx2 / 2kT
0
xx
n
kT
气体分子在空间位 置不再呈均匀分布
03 热学讲义 第三章 气体分子热运动速率和能量的统计分布律
v vf v dv
0
1 即 v N
0
vNf v dv
当分子速率满足麦氏分布时
v
0
m v 4π 2 π kT
32
ve
mv 2 2 2 kT
dv 8kT
m
8RT M mol
3、方均根速率
v v 2 f v dv
N
0
dN f v dv 1 0 N
归一化条件
应注意的问题: 分布函数是一个统计结果，以上各种讨论都是建立在众多分子 微观运动基础上的，分子的数目越大，结论越正确。所以： 1）少数分子谈不上概率分布 偶然事件少了，或分子数少了，就不能表现出稳定的统计特性。 2）统计规律表现出涨落 3）“具有某一速率的分子有多少”是不恰当的说法 f (v)是针对v附近单位速率间隔的，离开速率间隔来谈分子数 有多少就没有意义了。 4 ）气体由非平衡到平衡的过程是通过分子间的碰撞来实现的。 因此，分子间的碰撞是使分子热运动达到并保持确定分布的决 定因素。
f (v)dv
(v)dv
速率在v-v+dv内的分子数占总分子数的百分比 速率在v-v+dv内的分子数
(2) Nf
v2
(3)
v1
v1
f (v)dv 速率在v1→v2内的分子数占总分子数的百分比
速率在v1→v2内的分子数
v2
(4)
Nf (v)dv
练习 在平衡状态下，已知理想气体分子的麦克斯韦速率分 布函数为 f (v ) 、分子质量为 m 、最可几速率为v P ，试说 明下列各式的物理意义： （１）
2
v p 1.41 v 1.60
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- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
麦克斯韦主要从事电磁理论、分子物理学、统计物理学、光学、 力学、弹性理论方面的研究。尤其是他建立的电磁场理论，将电学、 磁学、光学统一起来，是19世纪物理学发展的最光辉的成果，是科 学史上最伟大的综合之一。
麦克斯韦大约于1855年开始研究电磁学，在潜心研究了法拉第 关于电磁学方面的新理论和思想之后，坚信法拉第的新理论包含着 真理。于是他抱着给法拉第的理论“提供数学方法基础”的愿望， 决心把法拉第的天才思想以清晰准确的数学形式表示出来。他在前 人成就的基础上，对整个电磁现象作了系统、全面的研究，
dNNf(v)dv
v
速率位于 v1v2 区间的分子数
N v2 Nf (v)dv v1
速率位于 v1v2 区间的分子数占总数的百分比
S N (v N 1 v2)v v 1 2f(v)dv
二、麦克斯韦速率分布函数
麦氏分布函数
f(v)4π(2πm kT)32em 2kvT 2v2
dN4π( m )32em 2kvT2v2dv N 2πkT
§1. 气体分子的速率分布律
一、速率分布函数
分子速率分布图
N/(Nv分)子速率分布图
N ：分子总数
S
o
vvv v
N 为速率在 v vv 区间的分子数.
S NN
表示速率在 v vv区间的分
子数占总数的百分比 .
分布函数 f(v )li m N 1li m N 1d N v 0 N vN v 0 vN d v
麦克斯韦（James Clerk
Maxwell 1831-1879)
凭借他高深的数学造诣和丰富的想象力接连发表了电磁场理论的三篇论文： 《论法拉第的力线》（1855年12 月至1856年2月）；《论物理的力线》 （1861至1862年）；《电磁场的动力学理论》（1864年12月8日）。对 前人和他自己的工作进行了综合概括，将电磁场理论用简洁、对称、完美 数学形式表示出来，经后人整理和改写，成为经典电动力学主要基础的麦 克斯韦方程组。据此，1865年他预言了电磁波的存在，电磁波只可能是 横波，并计算了电磁波的传播速度等于光速，同时得出结论：光是电磁波 的一种形式，揭示了光现象和电磁现象之间的联系。1888年德国物理学 家赫兹用实验验证了电磁波的存在。麦克斯韦于1873年出版了科学名著 《电磁理论》。系统、全面、完美地阐述了电磁场理论。这一理论成为经 典物理学的重要支柱之一。在热力学与统计物理学方面麦克斯韦也作出了 重要贡献，他是气体动理论的创始人之一。1859年他首次用统计规律— 麦克斯韦速度分布律，从而找到了由微观两求统计平均值的更确切的途径。 1866年他给出了分子按速度的分布函数的新推导方法，这种方法是以分 析正向和反向碰撞为基础的。
O2
H2
o v p1 vp2
v
N2 分子在不同温 度下的速率分布
o v p 0 v pH
v
同一温度下不同 气体的速率分布
麦克斯韦（James Clerk Maxwell 1831-1879)
麦克斯韦是19世纪伟大的英国物理学家、数 学家。1831年11月13日生于苏格兰的爱丁堡， 自幼聪颖，父亲是个知识渊博的律师，使麦克斯 韦从小受到良好的教育。10岁时进入爱丁堡中学 学习，14岁就在爱丁堡皇家学会会刊上发表了一 篇关于二次曲线作图问题的论文，已显露出出众 的才华。1847年进入爱丁堡大学学习数学和物 理。1850年转入剑桥大学三一学院数学系学习， 1854年以第二名的成绩获史密斯奖学金，毕业 留校任职两年。1856年在苏格兰阿伯丁的马里 沙耳任自然哲学教授。1860年到伦敦国王学院 任自然哲学和天文学教授。
f (v)
m
M
3）方均根速率 v 2
o
v
v20NvN 2dN0v2N N f(v)dv
v2
3kT m
vrms
v2
3kT m
3RT M
vp v v2
v1.60 kT 1.60 RT
m
M
vp
2kT m
vp
2kT m
2RT M
v
8kT πm
v2 3kT m
f (v)
f (v)
T130K0
T2120K0
麦克斯韦（James Clerk
Maxwell 1831-1879)
他引入了迟豫时间的概念，发展了一般形式的输运理论，并把它应 用于扩散、热传导和气体内摩擦过程。1867年引入了“统计力学” 这个术语。麦克斯韦是运用数学工具分析物理问题和精确地表述科 学思想的大师，他非常重视实验，由他负责建立起来的卡文迪什实 验室，在他和以后几位主任的领导下，发展成为举世闻名的学术中 心之一。他善于从实验出发，经过敏锐的观察思考，应用娴熟的数 学技巧，从缜密的分析和推理，大胆地提出有实验基础的假设，建 立新的理论，再使理论及其预言的结论接受实验检验，逐渐完善， 形成系统、完整的理论。特别是汤姆孙W卓有成效地运用类比的方 法使麦克斯韦深受启示，使他成为建立各种模型来类比研究不同物 理现象的能手。在他的电磁场理论的三篇论文中多次使用了类比研 究方法，寻找到了不同现象之间的联系，从而逐步揭示了科学真理。
f (v)
dS
o vvdv
物理意义
表示在温度为 T 的平衡
状态下，速率在 v 附近单位
速率区间 的分子数占总数的
v 百分比 .
dNf(v)dvdS N
表示速率在 v vdv
区间的分子数占总分子数的 百分比 .
归一化条件
0NdN N0f(v)dv1
f (v)
S
o
v 1 v2
速率位于 v vdv内分子数
反映理想气体在热动 平衡条件下，各速率区间 分子数占总分子数的百分
f (v) dN Ndv
f (v)
比的规律 .
o
v
三、用麦克斯韦速率分布函数求平均值
三种统计速率
（1）最概然速率v p
f (v)
f max
df (v dv
)
vvp
0
o vp
v
根据分布函数求得
vp
2kT 1.4克斯韦（James Clerk
Maxwell 1831-1879)
1861年选为伦敦皇家学会会员。1865年春辞去教职回到家乡系统 地总结他的关于电磁学的研究成果，完成了电磁场理论的经典巨著 《论电和磁》，并于1873年出版，1871年受聘为剑桥大学新设立 的卡文迪什试验物理学教授，负责筹建著名的卡文迪什实验室， 1874年建成后担任这个实验室的第一任主任，直到1879年11月5 日在剑桥逝世。
vp
1.41
RT M
物理意义
气体在一定温度下分布在最概然
速率 v p 附近单位速率间隔内的相对
分子数最多 .
2）平均速率 v
v v 1 d N 1 v 2 d N 2 N v id N i v n d N n
N
v0 vdN0 vNf(v)dv
N
N
v
vf (v)dv
8kT
0
πm
v1.60kT1.60RT
麦克斯韦大约于1855年开始研究电磁学，在潜心研究了法拉第 关于电磁学方面的新理论和思想之后，坚信法拉第的新理论包含着 真理。于是他抱着给法拉第的理论“提供数学方法基础”的愿望， 决心把法拉第的天才思想以清晰准确的数学形式表示出来。他在前 人成就的基础上，对整个电磁现象作了系统、全面的研究，
dNNf(v)dv
v
速率位于 v1v2 区间的分子数
N v2 Nf (v)dv v1
速率位于 v1v2 区间的分子数占总数的百分比
S N (v N 1 v2)v v 1 2f(v)dv
二、麦克斯韦速率分布函数
麦氏分布函数
f(v)4π(2πm kT)32em 2kvT 2v2
dN4π( m )32em 2kvT2v2dv N 2πkT
§1. 气体分子的速率分布律
一、速率分布函数
分子速率分布图
N/(Nv分)子速率分布图
N ：分子总数
S
o
vvv v
N 为速率在 v vv 区间的分子数.
S NN
表示速率在 v vv区间的分
子数占总数的百分比 .
分布函数 f(v )li m N 1li m N 1d N v 0 N vN v 0 vN d v
麦克斯韦（James Clerk
Maxwell 1831-1879)
凭借他高深的数学造诣和丰富的想象力接连发表了电磁场理论的三篇论文： 《论法拉第的力线》（1855年12 月至1856年2月）；《论物理的力线》 （1861至1862年）；《电磁场的动力学理论》（1864年12月8日）。对 前人和他自己的工作进行了综合概括，将电磁场理论用简洁、对称、完美 数学形式表示出来，经后人整理和改写，成为经典电动力学主要基础的麦 克斯韦方程组。据此，1865年他预言了电磁波的存在，电磁波只可能是 横波，并计算了电磁波的传播速度等于光速，同时得出结论：光是电磁波 的一种形式，揭示了光现象和电磁现象之间的联系。1888年德国物理学 家赫兹用实验验证了电磁波的存在。麦克斯韦于1873年出版了科学名著 《电磁理论》。系统、全面、完美地阐述了电磁场理论。这一理论成为经 典物理学的重要支柱之一。在热力学与统计物理学方面麦克斯韦也作出了 重要贡献，他是气体动理论的创始人之一。1859年他首次用统计规律— 麦克斯韦速度分布律，从而找到了由微观两求统计平均值的更确切的途径。 1866年他给出了分子按速度的分布函数的新推导方法，这种方法是以分 析正向和反向碰撞为基础的。
O2
H2
o v p1 vp2
v
N2 分子在不同温 度下的速率分布
o v p 0 v pH
v
同一温度下不同 气体的速率分布
麦克斯韦（James Clerk Maxwell 1831-1879)
麦克斯韦是19世纪伟大的英国物理学家、数 学家。1831年11月13日生于苏格兰的爱丁堡， 自幼聪颖，父亲是个知识渊博的律师，使麦克斯 韦从小受到良好的教育。10岁时进入爱丁堡中学 学习，14岁就在爱丁堡皇家学会会刊上发表了一 篇关于二次曲线作图问题的论文，已显露出出众 的才华。1847年进入爱丁堡大学学习数学和物 理。1850年转入剑桥大学三一学院数学系学习， 1854年以第二名的成绩获史密斯奖学金，毕业 留校任职两年。1856年在苏格兰阿伯丁的马里 沙耳任自然哲学教授。1860年到伦敦国王学院 任自然哲学和天文学教授。
f (v)
m
M
3）方均根速率 v 2
o
v
v20NvN 2dN0v2N N f(v)dv
v2
3kT m
vrms
v2
3kT m
3RT M
vp v v2
v1.60 kT 1.60 RT
m
M
vp
2kT m
vp
2kT m
2RT M
v
8kT πm
v2 3kT m
f (v)
f (v)
T130K0
T2120K0
麦克斯韦（James Clerk
Maxwell 1831-1879)
他引入了迟豫时间的概念，发展了一般形式的输运理论，并把它应 用于扩散、热传导和气体内摩擦过程。1867年引入了“统计力学” 这个术语。麦克斯韦是运用数学工具分析物理问题和精确地表述科 学思想的大师，他非常重视实验，由他负责建立起来的卡文迪什实 验室，在他和以后几位主任的领导下，发展成为举世闻名的学术中 心之一。他善于从实验出发，经过敏锐的观察思考，应用娴熟的数 学技巧，从缜密的分析和推理，大胆地提出有实验基础的假设，建 立新的理论，再使理论及其预言的结论接受实验检验，逐渐完善， 形成系统、完整的理论。特别是汤姆孙W卓有成效地运用类比的方 法使麦克斯韦深受启示，使他成为建立各种模型来类比研究不同物 理现象的能手。在他的电磁场理论的三篇论文中多次使用了类比研 究方法，寻找到了不同现象之间的联系，从而逐步揭示了科学真理。
f (v)
dS
o vvdv
物理意义
表示在温度为 T 的平衡
状态下，速率在 v 附近单位
速率区间 的分子数占总数的
v 百分比 .
dNf(v)dvdS N
表示速率在 v vdv
区间的分子数占总分子数的 百分比 .
归一化条件
0NdN N0f(v)dv1
f (v)
S
o
v 1 v2
速率位于 v vdv内分子数
反映理想气体在热动 平衡条件下，各速率区间 分子数占总分子数的百分
f (v) dN Ndv
f (v)
比的规律 .
o
v
三、用麦克斯韦速率分布函数求平均值
三种统计速率
（1）最概然速率v p
f (v)
f max
df (v dv
)
vvp
0
o vp
v
根据分布函数求得
vp
2kT 1.4克斯韦（James Clerk
Maxwell 1831-1879)
1861年选为伦敦皇家学会会员。1865年春辞去教职回到家乡系统 地总结他的关于电磁学的研究成果，完成了电磁场理论的经典巨著 《论电和磁》，并于1873年出版，1871年受聘为剑桥大学新设立 的卡文迪什试验物理学教授，负责筹建著名的卡文迪什实验室， 1874年建成后担任这个实验室的第一任主任，直到1879年11月5 日在剑桥逝世。
vp
1.41
RT M
物理意义
气体在一定温度下分布在最概然
速率 v p 附近单位速率间隔内的相对
分子数最多 .
2）平均速率 v
v v 1 d N 1 v 2 d N 2 N v id N i v n d N n
N
v0 vdN0 vNf(v)dv
N
N
v
vf (v)dv
8kT
0
πm
v1.60kT1.60RT