初中数学一元二次方程的根与系数的关系讲义

初中数学一元二次方程的根与系数的关系讲义

1．探索一元二次方程的根与系数的关系．

2．会不解方程利用一元二次方程的根与系数解决问题．

一、情境导入

一般地，对于关于x的方程x2＋px＋q＝0(p，q为已知常数，p2－4q≥0)，试用求根

公式求出它的两个解x 1、x 2，算一算x 1＋x 2、x 1·x 2的值，你能得出什么结果？

二、合作探究

探究点：一元二次方程根与系数的关系

【类型一】利用一元二次方程根与系数的关系求关于方程根的代数式的值

已知m 、n 是方程2x 2－x －2＝0的两

实数根，则1m ＋1

n

的值为( )

A ．－1 B.12 C ．－1

2

D ．1

解析：根据根与系数的关系，可以求出m ＋n 和mn 的值，再将原代数式变形后，整体代入计算即可．因为m 、n 是方程

2x 2－x －2＝0

的两实数根，所以m ＋n ＝1

2

，mn ＝－

1，1

m ＋1

n

＝

n ＋m mn

＝

1

2

－1＝－1

2

.故选C. 方法总结：解题时先把代数式变形成与两根和、积有关的形式，注意前提：方程有两个实数根时，判别式大于或等于0.

【类型二】根据方程的根确定一元二次方程

已知一元二次方程的两根分别是4和－5，则这个一元二次方程是( )

A．x2－6x＋8＝0 B．x2＋9x－1＝0

C．x2－x－6＝0 D．x2＋x－20＝0

解析：∵方程的两根分别是4和－5，设两根为x1，x2，则x1＋x2＝－1，x1·x2＝－20.如果令方程ax2＋bx＋c＝0中，a＝1，则－b＝－1，c＝－20.∴方程为x2＋x－20＝0.故选D.

方法总结：先把所构造的方程的二次项系数定为1，利用一元二次方程根与系数的关系确定一元二次方程一次项系数和常数项．

【类型三】根据根与系数的关系确定方程的解

(2014·云南曲靖)已知x＝4是一元二次方程x2－3x＋c＝0的一个根，则另一个根为________．

解析：设另一根为x1，则由根与系数的关系得x1＋4＝3，∴x1＝－1.故答案为x＝－1.

方法总结：解决这类问题时，利用一元二次方程的根与系数的关系列出方程即可解决．【类型四】利用一元二次方程根与系数的关系确定字母系数

(2014·山东烟台)关于x的方程x2－ax ＋2a＝0的两根的平方和是5，则a的值是( )

A．－1或5 B．1

C．5 D．－1

解析：将两根平方和转化为用两根和、积表示的形式，从而利用一元二次方程根与系数的关系解决．设方程两根为x1，x2，由题意，得x21＋x22＝5.∴(x1＋x2)2－2x1x2＝5.∵x1＋x2＝a，x1x2＝2a，∴a2－2×2a＝5.解得a1＝5，a2＝－1.又∵Δ＝a2－8a，当a＝5时，Δ<0，此时方程无实数根，所以舍去a＝5.当a＝－1时，Δ>0，此时方程有两实数根．所以取a ＝－1.故选D.

方法总结：解答此类题的关键是将与方程两根有关的式子转化为用两根和、积表示的形式，从而利用一元二次方程根与系数的关系解决问题．注意不要忽略题目中的隐含条件Δ≥0，导致解答不全面．

【类型五】一元二次方程根与系数的关系和根的情况的综合应用

已知x1、x2是一元二次方程(a－6)x2＋2ax＋a＝0的两个实数根．

(1)是否存在实数a，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；

(2)求使(x1＋1)(x2＋1)为负整数的实数a的整数值．

解：(1)根据题意，得Δ＝(2a)2－4×a(a－6)＝24a≥0.解得a≥0.又∵a－6≠0，∴a≠6.由

根与系数关系得：x1＋x2＝－

2a

a－6，

x1x2＝

a

a－6.由－

x1＋x1x2＝4＋x2得x1＋x2＋4＝x1x2，

∴－2a

a－6＋4＝a

a－6，解得a＝24.经检验a＝24是方程－

2a

a－6＋4＝

a

a－6的解．即存在

a＝

24，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立．

(2)原式＝x1＋x2＋x1x2＋1＝－2a

a－6＋

a

a－6＋1＝

6

6－a

为负整数，则6－a为－1或－2，

－3，－6.解得a＝7或8，9，12.

三、板书设计

教学过程中，强调一元二次方程的根与系数的关系是通过求根公式得到的，在利用此关系确定字母的取值时，一定要记住Δ≥0这个前提条件.