初中数学一元二次方程的根与系数的关系讲义

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一元二次方程的根与系数的关系 ppt课件

把n=4m 代入代数式4m2－5mn＋n2，
得4m2－5m×4m＋(4m)2=0.
综上所述，代数式4m2－5mn＋n2 的值为0 .
知1－练
(3)若关于x 的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a ≠ 0)是“倍根
方程”，求a，b，c 之间的关系.
解：由“倍根方程”的定义可设ax2x2=

=1.

知1－练
2-1.[中考·宜昌] 已知x1，x2 是方程2x2－3x＋1=0 的两根，
则代数式
＋
＋
的值为 ______．
1
知1－练
例 3 已知关于x 的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－2=0.
(1)若该方程有两个实数根，求m 的最小整数值；
知1－练
3-1.[中考·襄阳] 关于x 的一元二次方程x2＋2x＋3－k=0 有
两个不相等的实数根．
(1)求k 的取值范围；
解：b2－4ac＝22－4×1×(3－k)＝－8＋4k.
∵方程有两个不相等的实数根，
∴－8＋4k>0，解得k>2.
知1－练
(2)若方程的两个根为α ，β ，且k2=αβ ＋3k，求k 的值.
8=0 就是“倍根方程”
解题秘方：紧扣“倍根方程”的定义及根与系数的
关系解题，理解“倍根方程”的概念是解题关键.
知1－练
(1)若关于x 的一元二次方程x2－3x＋c=0 是“倍根方程”，
2
则c=________；
知1－练
(2)若(x－ 2)(mx－n) =0(m ≠ 0)是“倍根方程”，求代数式
4m2－5mn＋n2 的值；
解方程(x－2)(mx－n)= 0(m ≠

一元二次方程的根与系数的关系课件

x1 x2 2 2x1x2
3 2
2
2
1 2
13 4
;
2
1 x1
1 x2
x1 x2 x1 x2
3 2
1 2
3.
巩固练习
变式题3 设x1, x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则:
（1）x1+x2= 4 , (2) x1·x2= 1 ,
(3) (x1 x2 )2 12 ,
即：x2=5 .
由于x1·x2=1×5=
m, 3
得：m=15.
答：方程的另一个根是5，m=15.
巩固练习
变式题2 已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是 2 ,求它的另一个根及k的值.
解：设方程的另一个根为x1. 把x=2代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0 解这方程，得 k= - 2 由根与系数关系，得x1●2＝3k 即 2 x1 ＝－6 ∴ x1 ＝－3
九年级数学上册
21.2 解一元二次方程
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
回顾旧知
1. 一元二次方程的求根公式是什么？
x b b2 4ac (b2 4ac 0) 2a
2. 如何用判别式 b2 - 4ac 来判断一元二次方程根的情况？对一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a≠0) b2 - 4ac > 0 时,方程有两个不相等的实数根. b2 - 4ac = 0 时,方程有两个相等的实数根. b2 - 4ac < 0 时,方程无实数根.
x1,, x2 − 12，2
13，1
x1,+ x2
3 2
4 3
x1. x2

一元二次的根与系数的关系讲解

一元二次的根与系数的关系讲解一元二次方程，听起来是不是有点高深？别担心，今天我们就来轻松聊聊它的根与系数的关系，让数学变得更亲民，顺便让你对这个公式有个更深的了解。

1. 一元二次方程的基础知识1.1 方程的样子首先，一元二次方程的标准形式是 ( ax^2 + bx + c = 0 )。

听起来像是天书，但其实这就像是我们的日常生活，有点复杂却又很普通。

这里的 ( a )、( b )、和 ( c ) 就是方程的系数，分别代表不同的“角色”。

记住哦，( a ) 不能等于零，因为那样就变成了一元一次方程了。

1.2 方程的根接下来，咱们来聊聊根。

方程的根就是能让方程成立的 ( x ) 值，也就是那些“救世主”。

一元二次方程的根可以通过求根公式来找到，公式是：。

x = frac{b pm sqrt{b^2 4ac{2a 。

看，这个公式是不是有点吓人？但其实，简单的说就是，我们用系数来计算 ( x )的值，得出根。

2. 根与系数的关系2.1 根的和与积好啦，咱们现在进入重点了。

根与系数的关系有两个重要的概念：根的和和根的积。

根的和是 ( x_1 + x_2 = frac{b{a )，根的积是 ( x_1 cdot x_2 = frac{c{a )。

这就像是人生中的搭档，两个根在方程里一起工作，和谐又有趣。

比如说，假设你有两个好朋友，他们的性格互补，一个内向，一个外向，正好平衡了你们的生活。

2.2 实际应用那么，这些公式有什么实际用处呢？想象一下，你在做生意，或者计划一个活动，常常会遇到需要计算最佳方案的情况。

通过一元二次方程的根与系数关系，你能找到最优解。

就像找到了通往成功的“密码”，让你事半功倍。

3. 总结与思考3.1 乐趣无穷的数学数学其实是个充满乐趣的世界，像是拼图一样，只要你找到合适的拼块，就能看到完整的画面。

一元二次方程就像是其中的一块拼图，让我们看到数字背后的奥秘。

3.2 保持好奇心所以，不要害怕数学的复杂性！保持好奇心，多去探究，才能真正理解它的魅力。

一元二次方程根与系数关系课件

学习目标
掌握一元二次方程根与系数之间的关系。
培养逻辑推理和数学思维能力。
学会利用根与系数的关系解决实际问题。
02
一元二次方程的基本概念
一元二次方程的定义
定义
一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的 0$，$x^2 - 3x + 4 = 0$等。
一元二次方程根与系数的关系
根的和与系数的关系
总结词
一元二次方程的根的和等于二次项系数除以一次项系数所得商的相反数。
详细描述
对于一元二次方程 ax^2 + bx + c = 0，其两个根x1和x2的和为 -b/a。这个性质在解决一些数学问题时非常有用，例如在寻找两个数的和等于某个特定值的问题中。
数学中的一元二次方程问题
几何问题
例如，在直角三角形中，斜边长为c，两直角边长分别为a和b，根据勾股定理，我们可以得到一元二次方程 c^2=a^2+b^2。
代数问题
例如，在解一元二次方程时，我们常常需要使用一元二次方程的根与系数的关系来求解。
其他领域的一元二次方程问题
物理学中的问题
例如，在物理学中，当一个物体从静止开始下落时，其下落距离与时间的关系可以用一元二次方程来表示。
自主学习
在学习的过程中，我积极思考、自主探究，提高了自主学习和解决问题的能力。
对未来学习的展望和计划
深入学习
我计划深入学习一元二次方程的更多性质和应用，进一步拓展数学知识体系。
实践应用
我将尝试将所学知识应用于更广泛的领域，提高解决实际问题的能力。
自主学习
我将继续保持自主学习的习惯，不断探索数学知识的奥秘，提高数学素养。

《一元二次方程的根与系数的关系》一元二次方程PPT优秀课件

(1)x2-2x-1=0
x1+x2=2
x1x2=-1
(2) 2x2 - 3x +12 =0 x1+x2=
(3) 2x2 - 6x =0 (4) 3x2 = 4
x1+x2=3 x1+x2=0
x1x2= x1x2=0 x1x2= -
例1:方程2x2-3x+1=0的两根记作x1,x2 不解方程，求下列代数式的值：
方程
x1
x2
x1+x2
x1x2
x2+3x+2=0 6x2+x-2=0 2x2-3x +1=0
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)；
当b2-4ac≥0时有两个根：
x1 b
b2 4ac 2a
x2 b -
b2 4ac 2a
则x1 x2 b
b2 4ac b 2a
b2 4ac - 2b b
一元二次方程的根与系数的关系
-.
回顾旧知
1.一元二次方程的一般形式是什么？ ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
2.一元二次方程的求根公式是什么？
x b b2 4ac (b2 4ac 0) 2a
同学们，我们来做一个游戏，看谁能更快速的说出下列一元二次方程的两根和与两根积？
（1）x2+3x+2=0 （2）6x2+x-2=0 （3）2x2-3x +1=0
解法一：设方程的另一个根为x1 由根与系数的关系，得
2 ＋ x2 = k+1 2 x2 = 3k
解得 x2 =－3 k =－2
答:方程的另一个根是－3,k的值是－2.
例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值.

一元二次方程根与系数关系(知识讲解)九年级数学上册基础知识讲与练

专题2.14 一元二次方程根与系数关系（知识讲解）【学习目标】掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用. 【要点梳理】一元二次方程的根与系数的关系 1.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程的两个实数根是，那么，. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.2. 一元二次方程的根与系数的关系的应用⎧⎪⎪⎪→→⎨⎪⎪⎪⎩知识框图：1、求代数式的值2、求待定系数一元二次方程求根公式根与系数关系应用3、构造方程4、解特殊的二元二次方程组5、二次三项式的因式分解【典型例题】类型一、由根与系数关系直接求值1．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－3x －1＝0的两根，不解方程求下列各式的值：（1）2211+x x （2）1211+x x 【答案】（1）11；（2）－3．【分析】由一元二次方程的根与系数的关系可得12123,1x x x x +=⋅=-；（1）将所求式子变形为(x 1＋x 2)2－2x 1x 2 ，然后整体代入上面两个式子计算即可；（2）将所求式子变形为1212x x x x +⋅，然后整体代入上面两个式子计算即可．解：∵x 1，x 2是一元二次方程x 2－3x －1＝0的两根，∵12123,1x x x x +=⋅=-，（1）2211+x x ＝ (x 1＋x 2)2－2x 1x 2 ＝32－2×(－1)＝11；)0(02≠=++a c bx ax 21x x ，a b x x -=+21ac x x =21（2）12121211331x x x x x x ++===-⋅-．【点拨】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，属于基本题目，熟练掌握一元二次方程的两根之和与两根之积与系数的关系是解题关键．举一反三：【变式1】利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：（1）2760x x ++=；（2）22320x x --=．【答案】（1）12127,6x x x x +=-=；（2）12123,12x x x x +==-【分析】直接运用一元二次方程根与系数的关系求解即可．解：（1）这里1,7,6a b c ===．22Δ474164924250b ac =-=-⨯⨯=-=>，∵方程有两个实数根．设方程的两个实数根是12,x x ，那么12127,6x x x x +=-=．（2）这里2,3,2a b c ==-=-．22Δ4(3)42(2)916250b ac =-=--⨯⨯-=+=>，∵方程有两个实数根．设方程的两个实数根是12,x x ，那么12123,12x x x x +==-．【点拨】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知1212,b cx x x x a a+=-=是解题的关键．【变式2】甲、乙两人同解一个二次项系数为1的一元二次方程，甲抄错了常数项，解得两根分别为3和2，乙抄错了一次项系数，解得两根分别为－5和－1，求原来的方程.【答案】2550x x -+= 【分析】解法一：利用甲乙解出的根，可以得出两个一元二次方程，取甲方程的一次项系数，取乙方程的常数项，即可重新组合出原来正确的方程．解法二：利用根与系数的关系，取甲方程的一次项系数，取乙方程的常数项，即可重新组合出原来正确的方程．解：解法一：设原一元二次方程为2+a b 0+=x x ，代入甲解出的两根3、2得9+3a+b=04+2a+b=0⎧⎨⎩，解得a=5b=6-⎧⎨⎩，因为甲抄错常数项，所以取a=5-同理，代入乙解出的两根－5和－1，可得a=6b=5⎧⎨⎩，而乙抄错了常数项，所以取b=5，综上可得原方程为2550x x -+=解法二：甲抄错常数项，解得两个为3和2，两根之和正确；乙抄错了一次项系数，解得两根为－5和－1，则两根之积正确．设原方程的两根分别为1x 、2x ，可得12+=5x x ，12=5x x ，所以原方程就是2550x x -+=．【点拨】在没有学习根与系数关系之前，可用方程的解的性质，代入两根求出方程系数，学习之后可直接利用根与系数关系得出方程系数，更为简单．类型二、由根与系数关系求参数的值2．关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m --+=的两根为,a b ，且4a b ab +=-，求m 的值．嘉佳的解题过程如下：解：221,a b m ab m +=-=，2214m m ∴-=-，整理，得2230m m --=，解得121,3m m =-=．嘉佳的解题过程漏了考虑哪个条件？请写出正确的解题过程．【答案】m 的值为1-．【分析】根据一元二次方程根的判别式结合根与系数的关系解答．解：嘉佳的解题过程漏了考虑0∆这一条件．正确的解题过程如下：根据题意得22(21)40m m ∆=--，解得14m． 221,a b m ab m +=-=，2214m m ∴-=-，整理得2230m m --=，解得121,3m m =-=（舍去）， m ∴的值为1-．【点拨】本题中忽略0∆这一条件导致错解针对这一类题，我们一定要看清题目中所给的条件，考虑一元二次方程有解的条件是“0∆”，才能得出正确结果．举一反三：【变式1】已知1x 、2x 是方程2220x kx k k -+-=的两个实根，是否存在常数k ，使122132x x x x +=成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．【答案】不存在．理由见分析【分析】根据根与系数关系列出关于k 的方程，根据方程有实数根列出关于k 的不等式，求解即可．解：不存在．∵1x 、2x 是方程2220x kx k k -+-=的两个实根， ∵240b ac -≥，即22(2)4()0k k k ---≥，解得，0k ≥；由题意可知122x x k +=，212x x k k =-，∵12121212122221122()232x x x x x x x x x x x x x x +=+-=+=， ∵222(2)32)2(k k k k k --=-，解得120,7k k ==-，经检验，27k =-是原方程的解，∵0k ≥，∵不存在常数k ，使122132x x x x +=成立．【点拨】本题考查了一元二次方程根与系数关系和解方程，解题关键是根据根与系数关系列出方程并求解，注意：根的判别式要大于或等于0．【变式2】已知方程2 420x x m +-=的一个根比另一个根小4，求这两个根和m 的值．【答案】10x =，24x =-，0m =【分析】设两根为x 1和x 2，根据根与系数的关系得x 1+x 2，x 1·x 2，由|x 2-x 1|=4两边平方，得(x 1+x 2)2-4x 1·x 2=16，代入解得m ，此时方程为x 2+4x=0，解出两根 .解：x 2+4x -2m=0设两根为x 1和x 2，则∵=16+8m>0，且x 1+x 2=-4，x 1·x 2=-2m 由于|x 2-x 1|=4两边平方得x 12-2x 1·x 2+x 22=16 即(x 1+x 2)2-4x 1·x 2=16 所以16+8m=16 解得：m=0此时方程为x 2+4x=0，解得 x 1=0 ， x 2=−4 .【点拨】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，解题的关键是灵活利用一元二次方程根与系数的关系，以及完全平方公式进行变形，求出两根．类型三、根的判断别与根与系数关系综合3、已知一元二次方程220x x m -+=．（1）若方程有两个实数根，求m 的范围；（2）若方程的两个实数根为12x x 、，且1233x x +=，求m 的值．【答案】（1）1m ≤；（2)34m = 【分析】（1）一元二次方程220x x m -+=有两个实数根，∵≥0，把系数代入可求m 的范围；（2）利用根与系数的关系，已知122x x +=结合1233x x +=，先求12x x 、，再求m ．解：（1）∵方程220x x m -+=有两个实数根，∵()22424440b ac m m =-=--=-≥，解得1m ≤；（2）由根与系数的关系可知，122x x +=，12x x m =，解方程组1212233x x x x +=⎧⎨+=⎩，解得123212x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∵12313224m x x ==⨯=．【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握根的判别式、根与系数的关系是解题的关键．【变式1】已知关于x 的一元二次方程2(8)80x k x k -++=．（1）证明：无论k 取任何实数，方程总有实数根．（2）若221268x x +=，求k 的值．（3）若等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长．【答案】（1）证明见分析；（2）2k =±；（3）这个等腰三角形的周长为21或18．【分析】（1）根据根的判别式即可得到结论；（2）先计算∵＝（8＋k ）2−4×8k ，整理得到∵＝（k−8）2，根据非负数的性质得到∵≥0，然后根据∵的意义即可得到结论；（3）先解出原方程的解为x 1＝k ，x 2＝8，然后分类讨论：腰长为8时，则k ＝8；当底边为8时，则得到k ＝5，然后分别计算三角形的周长．解：（1）22(8)48(8)k k k ∆=+-⨯=-．2(8)0k -，0∴∆，∴无论k 取任何实数，方程总有实数根；（2）221212128,8,68x x k x x k x x +=+=+=，()2221212122x x x x x x +=++，2(8)6816k k ∴+=+，解得2k =±；（3）解方程2(8)80x k x k -++=得12,8x k x ==．∵当腰长为8时，8k ． 85138+=>，能构成三角形，∴周长为88521++=．∵当底边长为8时，5k =．55108+=>∴能构成三角形，周长为55818++=．综上，这个等腰三角形的周长为21或18．【点拨】本题考查了一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝−b a ，x 1•x 2＝ca．也考查了一元二次方程的判别式和等腰三角形的性质，掌握这些知识点是解题关键．【变式2】已知关于x 的一元二次方程()22121202x k x k -++-=．（1）求证：无论k 为何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根1x ，2x 满足123x x -=，求k 的值．【答案】（1）见分析（2）0，-2 【分析】（1）根据根的判别式即可求证出答案；（2）可以根据一元二次方程根与系数的关系得k 与的1x 、2x 的关系式，进一步可以求出答案.解：(1)证明：∵()222121422492k k k k ⎛⎫∆=+-⨯-=++ ⎪⎝⎭()2217k =++，∵无论k 为何实数，()2210k +≥， ∵()22170k +∆=+>，∵无论k 为何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2)由一元二次方程根与系数的关系得： 1221x x k +=+，212122x x k =-， ∵123x x -=， ∵()2129x x -=， ∵()2121249x x x x +-=，∵()221214292k k ⎛⎫+-⨯-= ⎪⎝⎭，化简得：220k k +=，解得0k =，2-．【点拨】本题主要考查根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握概念和运算技巧即可解题.类型四、根与系数关系拓展应用14、已知m ，n 是方程x 2﹣2x ﹣1＝0的两个根，是否存在实数a 使﹣（m +n ）（7m 2﹣14m +a ）（3n 2﹣6n ﹣7）的值等于8？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．【答案】存在，a ＝-6 【分析】根据方程的解的定义得出m 2-2m =1，n 2-2n =1，m +n =2，再整体代入即可得出a 的值．解：存在，理由如下：∵m ，n 是方程x 2﹣2x ﹣1＝0的两个根， ∵m 2﹣2m ＝1，n 2﹣2n ＝1，m +n ＝2， ∵﹣（m +n ）（7m 2﹣14m +a ）（3n 2﹣6n ﹣7）＝﹣（m +n ）[7（m 2﹣2m ）+a ][3（n 2﹣2n ）﹣7] ＝﹣2×（7+a ）（3﹣7）＝8（7+a ），由8（7+a ）＝8得a ＝﹣6，∵存在实数a ＝﹣6，使﹣（m +n ）（7m 2﹣14m +a ）（3n 2﹣6n ﹣7）的值等于8．【点拨】本题考查了一元二次方程的解、根与系数的关系，解题的关键是得出m 2-2m =1，n 2-2n =1，m +n =2，注意解题中的整体代入思想．【变式1】阅读材料：已知方程p 2﹣p ﹣1＝0，1﹣q ﹣q 2＝0且pq ≠1，求1pq q+的值．解：由p 2﹣p ﹣1＝0，及1﹣q ﹣q 2＝0可知p ≠0，又∵pq ≠1，∵p ≠1q．∵1﹣q ﹣q 2＝0可变形为211()-q q ﹣1＝0，根据p 2﹣p ﹣1＝0和211()-q q﹣1＝0的特征，∵p 、1q 是方程x 2﹣x ﹣1＝0的两个不相等的实数根，则p +1q，即11pq q +=．根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答．已知：2m 2﹣5m ﹣1＝0，21520n n+-=，且m ≠n ，求：（1）mn 的值；（2）2211m n +．【答案】(1)12-；29．【分析】（1）由题意可知：可以将方程22510m m --=化简为21520m m+-=的形式，根据根与系数的关系直接得：11m n的值；（2）将2211m n +变形为2112m n mn ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭求解．解：由22m 5m 10--=知m≠0，∵21520m m+-=， ∵21520n n+-=，m ≠n ， ∵11m n≠， ∵1m 和1n是方程2520x x +-=的两个根，（1）由1m 和1n 是方程2520x x +-=的两个根得112m n⋅=-， ∵12mn =-；经检验：12mn =-是原方程的根，且符合题意．（2）由1m和1n是方程2520x x+-=的两个根得115m n+=-，112m n⋅=-，∵2221111225429 m n m n mn⎛⎫+=+-=+=⎪⎝⎭．【点拨】本题考查一元二次方程根与系数关系，代数式的值，乘法公式，掌握一元二次方程根与系数关系与乘法公式恒等变形是解题关键．【变式2】定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根为x1，x2（x1＜x2），分别以x1，x2为横坐标和纵坐标得到点M（x1，x2），则称点M为该一元二次方程的衍生点．（1）若方程为x2﹣2x＝0，写出该方程的衍生点M的坐标．（2）若关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+2m＝0（m＜0）的衍生点为M，过点M向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值．（3）是否存在b，c，使得不论k（k≠0）为何值，关于x的方程x2+bx+c＝0的衍生点M始终在直线y＝kx﹣2（k﹣2）的图象上，若有请直接写出b，c的值，若没有说明理由．【答案】（1）衍生点为M（0，2）；（2）12-；（3）存在，b＝﹣6，c＝8；【分析】（1）求出方程的两根，根据一元二次方程的衍生点即可解决问题；（2）求出方程的两根，根据一元二次方程的衍生点的定义，再利用正方形的性质构建方程即可解决问题；（3）求出定点，利用根与系数的关系解决问题即可；解：（1）∵x2﹣2x＝0，∵x（x﹣2）＝0，解得：x1＝0，x2＝2故方程x2﹣2x＝0的衍生点为M（0，2）．（2）x2﹣（2m+1）x+2m＝0（m＜0）∵m＜0∵2m＜0解得：x1＝2m，x2＝1，方程x2﹣（2m+1）x+2m＝0（m＜0）的衍生点为M（2m，1）．点M在第二象限内且纵坐标为1，由于过点M向两坐标轴做垂线，两条垂线与x 轴y轴恰好围城一个正方形，所以2m ＝﹣1，解得12m =-．（3）存在．直线y ＝kx ﹣2（k ﹣2）＝k （x ﹣2）+4，过定点M （2，4）， ∵x 2+bx+c ＝0两个根为x 1＝2，x 2＝4， ∵2+4＝﹣b ，2×4＝c ， ∵b ＝﹣6，c ＝8．【点拨】本题考查一元二次方程的解法及根与系数的关系、正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题．类型五、根与系数关系拓展应用25、如图，在平面直角坐标系中，∵ABC 的BC 边与x 轴重合，顶点A 在y 轴的正半轴上，线段OB ，OC （OB OC <）的长是关于x 的方程2760x x -+=的两个根，且满足CO ＝2AO ．(1)求直线AC 的解析式；(2)若P 为直线AC 上一个动点，过点P 作PD ∵x 轴，垂足为D ，PD 与直线AB 交于点Q ，设∵CPQ 的面积为S （0S ≠），点P 的横坐标为a ，求S 与a 的函数关系式；(3)点M 的坐标为()m,2，当∵MAB 为直角三角形时，直接写出m 的值．【答案】(1)132y x =+； (2)22721,6042721,6042a a a a S a a a ⎧+-⎪⎪=⎨⎪---<<⎪⎩或；(3)m 的值为－3或－1或2或7；【分析】（1）根据一元二次方程的解求出OB 和OC 的长度，然后得到点B ，点C 坐标和OA 的长度，进而得到点A 坐标，最后使用待定系数法即可求出直线AC 的解析式；（2）根据点A ，点B 坐标使用待定系数法求出直线AB 的解析式，根据直线AB 解析式和直线AC 解析式求出点P ，Q ，D 坐标，进而求出PQ 和CD 的长度，然后根据三角形面积公式求出S ，最后对a 的值进行分类讨论即可；（3）根据∵MAB 的直角顶点进行分类讨论，然后根据勾股定理求解即可．(1)解：解方程2760x x -+=得16x =，21x =，∵线段OB ，OC （OB OC <）的长是关于x 的方程2760x x -+=的两个根，∵OB ＝1，OC ＝6，∵()10B ,，()6,0C -， ∵CO ＝2AO ，∵OA ＝3，∵()0,3A ，设直线AC 的解析式为()0y kx b k =+≠，把点()0,3A ，()6,0C -代入得603k b b -+=⎧⎨=⎩，解得123k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∵直线AC 的解析式为132y x =+； (2)解：设直线AB 的解析式为y =px +q ，把()0,3A ，()10B ,代入直线AB 解析式得30q p q=⎧⎨=+⎩，解得33p q =-⎧⎨=⎩， ∵直线AB 的解析式为33y x =-+，∵PD ∵x 轴，垂足为D ，PD 与直线AB 交于点Q ，点P 的横坐标为a ， ∵1,32P a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，(),33Q a a -+，(),0D a ， ∵()1733322PQ a a a ⎛⎫=-+-+= ⎪⎝⎭，6CD a =+， ∵1176222S PQ CD a a =⋅=⨯⋅+，当点P 与点A 或点C 重合时，即当a =0或6a =-时，此时S =0，不符合题意，当6a <-时，()21772162242S a a a a ⎛⎫⎡⎤=⨯--+=+ ⎪⎣⎦⎝⎭，当60a -<<时，()21772162242S a a a a ⎛⎫=⨯-+=-- ⎪⎝⎭，当0a >时，()21772162242S a a a a =⨯+=+， ∵22721,6042721,6042a a a a S a a a ⎧+-⎪⎪=⎨⎪---<<⎪⎩或； (3)解：∵()0,3A ，()10B ,，(),2M m ， ∵AB ==AM ==，BM =当∵MAB =90°时，222AM AB BM +=，∵222+=，解得3m =-，当∵ABM =90°时，222AB BM AM+=，∵222+=，解得m =7，当∵AMB =90°时，222AM BM AB +=，∵222+=，解得11m =-，22m =，∵m 的值为－3或－1或2或7．【点拨】本题考查解一元二次方程、待定系数法求一次函数解析式、三角形面积公式、勾股定理，正确应用分类讨论思想是解题关键．【变式1】PAC △在平面直角坐标系中的位置如图所示，AP 与y 轴交于点(0,2)B ，点P 的坐标为(1,3)-，线段OA ，OC 的长分别是方程29140x x -+=的两根，OC OA >．(1)求线段AC 的长；(2)动点D 从点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿x 轴负半轴向终点C 运动，过点D 作直线l 与x 轴垂直，设点D 运动的时间为t 秒，直线l 扫过四边形OBPC 的面积为S ，求S 与t 的关系式；(3)M 为直线l 上一点，在平面内是否存在点N ，使以A ，P ，M ，N 为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)9 (2)()()221201217317424t t t S t t t ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎩ (3)存在满足条件的N 点，其坐标为（2，3）或（-4，0）或（-1，-3）．【分析】（1）解方程可求得OA 、OC 的长，则可求得A 、C 的坐标，从而可得AC 长；（2）分两种情况：∵当0＜t ≤1时；∵当1＜t ≤7时，利用梯形的面积公式即可求解；（3）分两种情况：∵AP 为正方形的对角线时，∵AP 为正方形的边时，根据正方形以及等腰直角三角形的性质，可求得N 点坐标．(1)解：解方程x 2﹣9x +14＝0可得x ＝2或x ＝7，∵线段OA ，OC 的长分别是方程x 2﹣9x +14＝0的两根，且OC ＞OA ，∵OA ＝2，OC ＝7，∵A （2，0），C （﹣7，0），279.AC(2) 解：过点P 作PH ∵OC 于H ，而()1,3P - ，1OH ∴=，3PH = ，6CH =设直线AB 解析式为y ＝kx +b ，而点B （0，2），∵32k b b -+=⎧⎨=⎩，解得12k b =-⎧⎨=⎩， ∵直线AB 解析式为y ＝﹣x +2，∵如图1所示，当0＜t ≤1时，点E （﹣t ，t +2），∵S ＝S 梯形OBED ＝21122222t t t t （0＜t ≤1）； ∵如图2所示，当1＜t ≤7时，设直线CP 解析式为y ＝mx +n ，∵C （﹣7，0），点P 的坐标为（﹣1，3），∵703m n m n -+=⎧⎨-+=⎩ ，解得1272m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∵直线CP 解析式为1722y x =+，设17,22E t t ， ∵DE ＝1722t ， ∵S ＝S 梯形OBPH +S 梯形HPED ＝11172+31+132222t t 217317424t t t ；综上，()()221201217317424t t t S t t t ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎩；图1 图2(3) 分两种情况：∵AP 为正方形的对角线时，如图3所示，∵A （2，0），B （0，2），∵∵OAB ＝45°，∵四边形AMPN 是正方形，∵∵P AN ＝45°，∵NAM ＝90°，∵∵OAB +∵P AN ＝90°，∵点M 在x 轴上，NA ∵x 轴，NP x ∥轴，∵N （2，3）；∵AP 为正方形的边时，如图4所示，∵∵OAB ＝45°，四边形AMNP 是正方形，∵∵NAM ＝∵OAB ＝45°，AP ＝AM ，∵HN ＝PH ＝3，∵N （-4，0）；如图5所示，四边形ANMP 是正方形，∵PH ＝NH ＝3，∵()1,3N --；∵N （-4，0）或（-1，-3），综上可知，存在满足条件的N 点，其坐标为（2，3）或（-4，0）或（-1，-3）．图3 图4 图5【点拨】本题为四边形的综合题，考查了一元二次方程、勾股定理、待定系数法、正方形的性质、等腰直角三角形的性质等知识．在（1）中求得OA 、OC 的长是解题的关键，在（2）中分类讨论是解题的关键，在（3）中分类思想的运用是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．【变式2】菱形ABCD 的边长为5，两条对角线AC 、BD 相交于O 点，且AO ，BO 的长分别是关于x 的方程22(21)30x m x m +-++=的两根，求m 的值．【答案】3m =-．【分析】由题意可知：菱形ABCD 的边长是5，则AO 2+BO 2=25，则再根据根与系数的关系可得：AO +BO =−(2m −1)，AO ∙BO =m 2+3；代入AO 2+BO 2中，得到关于m 的方程后，即可求得m 的值．解：∵AO ，BO 的长分别是关于x 的方程22(21)30x m x m +-++=的两根，设方程的两根为1x 和2x ，可令1OA x =，2OB x =，∵四边形ABCD 是菱形，∵AC BD ⊥，在Rt AOB 中：由勾股定理得：222OA OB AB +=，∵222125+=x x ，则()21212225x x x x +-=，由根与系数的关系得：12(21)x x m +=--，2123x x m ⋅=+，∵[]()22(21)2325m m ---+=，整理得：22150m m --=，解得：15m =，23m =-又∵0∆>，∵()22(21)430--+>m m ，解得114m <-， ∵3m =-．【点拨】此题主要考查了菱形的性质、勾股定理、以及根与系数的关系，将菱形的性质与一元二次方程根与系数的关系，以及代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．。

初三数学一元二次方程根与系数的关系及其应用知识精讲

初三数学一元二次方程根与系数的关系及其应用知识精讲一元二次方程根与系数的关系及其应用一元二次方程ax bx c a 200++=≠()的根x x 12、是由系数a 、b 、c 决定的，它们之间有密切的关系。

x x b a x x c a1212+=-=，这就是根与系数的关系，也称为韦达定理。

反之，一元二次方程的两根也制约着这个方程的系数，当a =1时，有()b x x =-+12，c x x =12，从而有以两个数x x 12、为根的二次项系数为1的一元二次方程是()x x x x x x 212120-++=。

需要指出，韦达定理应该是在判别式大于等于零的前提下使用，即在保证一元二次方程有实数根的条件下使用。

一元二次方程的韦达定理，揭示了根与系数的一种必然联系，利用这个关系，我们可以解决诸如已知一根求另一根，求根的代数式的值，构造方程，确定系数等问题，它是中学数学中的一个有用的工具。

例（2002·南京）已知：关于x 的方程x kx 220--= （1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根为x x 12、，如果()21212x x x x +>，求k 的取值范围。

解：（1）证明： ∆=-=+>b ac k 22480 ∴原方程有两个不相等的实数根（2） x x k x x 12122+==-，又() 21212x x x x +>∴>-∴>-221k k说明：本题侧重考察对基本知识点的掌握，难度不大，可以说是中考中的送分题，同学们应该把这类题的分数拿到手。

例（2000上海）已知关于x 的一元二次方程()mx m x m m 221200--+-=>()（1）求证：这个方程有两个不相等的实数根；（2）如果这个方程的两个实数根分别为x x 12、，且()()x x m 12335--=，求m 的值。

解：（1）证明：()[]()∆=----21422m m m=-+-+=+441484122m m m m mm m >∴4+>010， ∴方程有两个不相等的实数根（2）由()()x x m 12335--= ()x x x x m 12123950-++-=x x m mx x m m1212212+=-=-()∴---+-=m m m mm 2321950 解得：m m 12115==-，经检验m m 12、都是方程的根。

2022年九年级数学上册《一元二次方程的根与系数的关系》教材预习辅导讲义(附解析)

初中数学《一元二次方程的根与系数的关系》教材讲义及过关练一元二次方程根的判别式 1.一元二次方程根的判别式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.【点拨】利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤： ①把一元二次方程化为一般形式； ②确定的值； ③计算的值；④根据的符号判定方程根的情况. 2. 一元二次方程根的判别式的逆用在方程中，（1）方程有两个不相等的实数根﹥0；（2）方程有两个相等的实数根=0；（3）方程没有实数根﹤0.【点拨】（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件；（2）若一元二次方程有两个实数根则 ≥0. 一元二次方程的根与系数的关系 1.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程的两个实数根是，那么，. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.)0(02≠=++a c bx ax ac b 42-)0(02≠=++a c bx ax ∆ac b 42-=∆c b a .,ac b 42-ac b 42-()002≠=++a c bx ax ⇒ac b 42-⇒ac b 42-⇒ac b 42-ac b 42-)0(02≠=++a c bx ax 21x x ，a b x x -=+21acx x =21教材知识总结也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 2.一元二次方程的根与系数的关系的应用(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x 1、x 2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：①；②； ③；④； ⑤；⑥；⑦⑧； ⑨； ⑩．(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程；以两个数为根的一元二次方程是.(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；（6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. 设一元二次方程的两根为、，则 ①当△≥0且时，两根同号．当△≥0且，时，两根同为正数；当△≥0且，时，两根同为负数． ②当△＞0且时，两根异号．当△＞0且，时，两根异号且正根的绝对值较大；222121212()2x x x x x x +=+-12121211x x x x x x ++=2212121212()x x x x x x x x +=+2221121212x x x x x x x x ++=2121212()2x x x x x x +-=22121212()()4x x x x x x -=+-12()()x k x k ++21212()x x k x x k =+++2212121212||()()4x x x x x x x x -=-=+-22212121222222121212()211()x x x x x x x x x x x x ++-+==2212121212()()4x x x x x x x x -=±-=±+-22212121212||||(||||)+2||x x x x x x x x +=+=+2121212()22||x x x x x x =+-+20(0)ax bx c a ++=≠1x 2x 120x x >120x x >120x x +>120x x >120x x +<120x x <120x x <120x x +>当△＞0且，时，两根异号且负根的绝对值较大．【点拨】（1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱；（2）若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根（，为有理数）．【例题1】设方程2320x x --=两个根为1x 、2x ，则2212x x +=（）A ．922+B ．922-C ．92+D ．92-【例题2】若1x 、2x 是一元二次方程2350x x +-=的两根，则12x x ⋅的值是（） A ．3B ．-3C ．5D ．-5【例题3】已知一元二次方程2202210x x -+=的两个根分别为12,x x ，则21202212x x -+的值为（） A ．1- B ．0 C ．2022- D ．2021-一、单选题1．若关于x 的方程250x x a -+=有一个根是2，则另一个根是（） A ．6B ．3C ．3-D ．7-2．已知1x 、2x 是一元二次方程2630x x -+=的两个实数根，则1211+x x 的值为（） A ．2B ．2-C ．12D ．12-3．已知关于x 的一元二次方程x 2+mx +3=0有两个实数根x 1=1，x 2=n ，则代数式(m +n )2022的值为（） A ．1B ．0C ．20223D ．202274．在解一元二次方程x 2+px +q ＝0时，小红看错了常数项q ，得到方程的两个根是﹣4，2，小明看错了一次项系数p ，得到方程两个根是4，﹣3，则原来的方程是（） A ．x 2+2x ﹣8＝0B ．x 2+2x ﹣12＝0C ．x 2﹣2x ﹣12＝0D ．x 2﹣2x ﹣8＝05．已知方程220x mx ++=的一个根是1，则它的另一个根是（） A ．1B ．2C ．2-D ．36．关于方程2320x x -+=的根的说法中，正确的是（） A ．没有实数根B ．两实数根的和为2-C ．有两个不相等的实数根D ．两实数根的积为3二、填空题120x x <120x x +<∆a b +a b -a b 看例题，涨知识课后习题巩固一下7．已知m ，n 是一元二次方程2320x x --=的两个根，则22m n mn +=_______．8．写出一个一元二次方程，使它的两根之和是4，并且两根之积是2，这个一元二次方程是________． 9．已知方程2210x x --=的两根分别是1x ，2x ，则12x x +的值为_________． 10．若一元二次方程2320x x --=的两个实数根为a ，b ，则a ab b -+的值为_______．三、解答题11．已知，关于x 的一元二次方程()22210x a x a a --+-=，(1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若方程两根的绝对值相等，求a 的值．12．已知12,x x 是一元二次方程23260x x +-=的两个根，求1233x x +的值． 13．已知关于x 的方程22x 2mx m 90-+-=． (1)求证：此方程有两个不相等的实数根；(2)设此方程的两个根分别为1x ，2x ，若126x x +=，求m 的值．14．已知关于x 的一元二次方程()222120x a x a a --+--=有两个不相等的实数根1x ，2x ．(1)求a 的取值范围；(2)若1x ，2x 满足22121216x x x x +-=，求a 的值．1.3 一元二次方程的根与系数的关系答案解析一元二次方程根的判别式 1.一元二次方程根的判别式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；)0(02≠=++a c bx ax ac b 42-)0(02≠=++a c bx ax ∆ac b 42-=∆教材知识总结（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.【点拨】利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤： ①把一元二次方程化为一般形式； ②确定的值； ③计算的值；④根据的符号判定方程根的情况. 2. 一元二次方程根的判别式的逆用在方程中，（1）方程有两个不相等的实数根﹥0；（2）方程有两个相等的实数根=0；（3）方程没有实数根﹤0.【点拨】（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件；（2）若一元二次方程有两个实数根则 ≥0. 一元二次方程的根与系数的关系 1.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程的两个实数根是，那么，. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 2.一元二次方程的根与系数的关系的应用(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x 1、x 2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：①；②； c b a .,ac b 42-ac b 42-()002≠=++a c bx ax ⇒ac b 42-⇒ac b 42-⇒ac b 42-ac b 42-)0(02≠=++a c bx ax 21x x ，a b x x -=+21acx x =21222121212()2x x x x x x +=+-12121211x x x x x x ++=③；④； ⑤；⑥；⑦；⑧； ⑨； ⑩．(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程；以两个数为根的一元二次方程是.(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；（6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. 设一元二次方程的两根为、，则 ①当△≥0且时，两根同号．当△≥0且，时，两根同为正数；当△≥0且，时，两根同为负数． ②当△＞0且时，两根异号．当△＞0且，时，两根异号且正根的绝对值较大；当△＞0且，时，两根异号且负根的绝对值较大．【点拨】（1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱；（2）若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根（，为有理数）．【例题1】设方程2320x x --=两个根为1x 、2x ，则2212x x +=（）A ．922+B ．922-C ．92+D ．92-【答案】A2212121212()x x x x x x x x +=+2221121212x x x x x x x x ++=2121212()2x x x x x x +-=22121212()()4x x x x x x -=+-12()()x k x k ++21212()x x k x x k =+++2212121212||()()4x x x x x x x x -=-=+-22212121222222121212()211()x x x x x x x x x x x x ++-+==2212121212()()4x x x x x x x x -=±-=±+-22212121212||||(||||)+2||x x x x x x x x +=+=+2121212()22||x x x x x x =+-+20(0)ax bx c a ++=≠1x 2x 120x x >120x x >120x x +>120x x >120x x +<120x x <120x x <120x x +>120x x <120x x +<∆a b +a b -a b 看例题，涨知识【分析】()2221212122x x x x x x +=+-，由韦达定理可知，123x x +=，122x x =-，代入即可求解．【解析】()2221212122x x x x x x +=+- 由韦达定理可知，123x x +=，122x x =-则2212x x +=(2322922-⨯-=+故选A ．【例题2】若1x 、2x 是一元二次方程2350x x +-=的两根，则12x x ⋅的值是（） A ．3 B ．-3 C ．5 D ．-5【答案】D【分析】根据一元二次方程根与系数的关系计算求值即可；【解析】解：∵1x 、2x 是一元二次方程2350x x +-=的两根， ∴12551x x -==-，故选：D ．【例题3】已知一元二次方程2202210x x -+=的两个根分别为12,x x ，则21202212x x -+的值为（） A ．1- B ．0 C ．2022- D ．2021-【答案】B【分析】根据一元二次方程解的定义及根与系数的关系可得21120221x x =-，121x x ⋅=，再代入通分计算即可求解．【解析】∵方程2202110x x -+=的两根分别为1x 、2x ，∴211202210x x -+=，121x x ⋅=， ∴21120221x x =-，∴21220221x x -+=121220221202x x --+ =12222202212022x x x x x ⋅--+ =222022120221x x ⨯--+=221x x -+ 11=-+0=故选：B ．一、单选题1．若关于x 的方程250x x a -+=有一个根是2，则另一个根是（） A ．6 B ．3 C ．3- D ．7-【答案】B【解析】解：设另一个根为m ，由根和系数的关系有：25m += 解得3m = 故选：B ．2．已知1x 、2x 是一元二次方程2630x x -+=的两个实数根，则1211+x x 的值为（） A ．2 B ．2- C ．12D ．12-【答案】A【分析】通分：21121212121211x x x x x x x x x x x x ++=+=⋅⋅⋅，根据韦达定理：一元二次方程根与系数的关系：12b x x a+=-，12cx x a⋅=可得出答案．【解析】解：由韦达定理：12bx x a +=-，12c x x a⋅=可得211212*********23x x x x x x x x x x x x ++=+===⋅⋅⋅，故选：A ．3．已知关于x 的一元二次方程x 2+mx +3=0有两个实数根x 1=1，x 2=n ，则代数式(m +n )2022的值为（） A ．1 B ．0C ．20223D ．20227【答案】A【分析】直接利用根与系数的关系得出两根之和，进而得出答案．【解析】解：∵关于x 的一元二次方程x 2+mx +3=0有两个实数根x 1=1，x 2=n ， ∴1+n =-m ，解得：m +n =-1，故（m +n ）2022=1．故选：A ．4．在解一元二次方程x 2+px +q ＝0时，小红看错了常数项q ，得到方程的两个根是﹣4，2，小明看错了一次项系数p ，得到方程两个根是4，﹣3，则原来的方程是（） A ．x 2+2x ﹣8＝0 B ．x 2+2x ﹣12＝0C ．x 2﹣2x ﹣12＝0D ．x 2﹣2x ﹣8＝0【答案】B课后习题巩固一下【分析】先设这个方程的两根是α、β，根据一元二次方程根与系数的关系，从而得出符合题意的方程．【解析】解：设此方程的两个根是α、β，根据题意得：α+β＝﹣p ＝-4+2=﹣2，αβ＝q ＝4×（-3）=﹣12，原来的一元二次方程是x 2+2x ﹣12＝0．故选：B5．已知方程220x mx ++=的一个根是1，则它的另一个根是（） A ．1 B ．2 C ．2- D ．3【答案】B【分析】设方程的另一个根为x 1，根据两根之积等于ca，即可得出关于x 1的一元一次方程，解之即可得出结论．【解析】解：设方程的另一个根为x 1，根据题意得：11x ⨯ =2，解得 x 1=2．故选:B ．6．关于方程2320x x -+=的根的说法中，正确的是（） A ．没有实数根B ．两实数根的和为2-C ．有两个不相等的实数根D ．两实数根的积为3【答案】C【分析】根据一元二次方程的判别式得到根的情况，根据一元二次方程的根与系数的关系得到两根之和与两根之积，最后对四个选项进行判断即可．【解析】解：∵2320x x -+=， ∴2(3)41210∆=--⨯⨯=>． ∴该方程有两个不相等的实数根．故A 选项不符合题意，C 选项符合题意． ∵2320x x -+=有两个不相等的实数根， ∴两实数根之和为331--=，两实数根之积为221=．故B 选项不符合题意，D 选项不符合题意．故选：C ．二、填空题7．已知m ，n 是一元二次方程2320x x --=的两个根，则22m n mn +=_______．【答案】6-【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可知：m +n =3，mn =-2，由此即可求解．【解析】解：由题意得，m +n =3，mn =-2，∴()()22326m n mn mn m n +=+=⨯-=-，故答案为：-6．8．写出一个一元二次方程，使它的两根之和是4，并且两根之积是2，这个一元二次方程是________．【答案】2420x x -+=【分析】设此一元二次方程为()200++=≠ax bx c a ，根据两根之和是4，两根之积是2，利用a 表示b ，c ，即可得出一元二次方程．【解析】解：设此一元二次方程为()200++=≠ax bx c a ，且1x ，2x 为一元二次方程的两个根，∵它的两根之各是4，两根之积是2 ∴124bx x a +=-=，122c x x a==， ∴4b a =-，2c a =，代入一元二次方程得：()24200ax ax a a -+=≠，即2420x x -+=，故答案为：2420x x -+=．9．已知方程2210x x --=的两根分别是1x ，2x ，则12x x +的值为_________．【答案】14【分析】由根与系数的关系122bx x a+=-，即可求出答案．【解析】解：∵方程2210x x --=的两根分别是1x ，2x ， ∴12112224b x x a -+=-=-=⨯；故答案为：14． 10．若一元二次方程2320x x --=的两个实数根为a ，b ，则a ab b -+的值为_______．【答案】5【分析】先根据根与系数的关系得到3,2,a b ab +==-然后利用整体代入的方法计算．【解析】解：根据题意得3,2,a b ab +==-()32 5.a ab b a b ab -+=+-=--=故答案为：5. 三、解答题11．已知，关于x 的一元二次方程()22210x a x a a --+-=，(1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若方程两根的绝对值相等，求a 的值．【答案】(1)证明见解析；(2)12【分析】（1）只需证明0∆>即可；（2）利用根与系数的关系列出两根之和的表达式，因为两根互为相反数，故由两根之和等于0即可求出a 的值．【解析】(1)解：[]22(21)4()10a a a ∆=----=>， ∴该方程有两个不相等的实数根．(2)解：12x x ≠，且12x x =，∴12x x =-，即120x x +=，∴210a -=，解得12a =． 12．已知12,x x 是一元二次方程23260x x +-=的两个根，求1233x x +的值．【答案】1 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出x 1+x 2=-23，x 1x 2=-2的值，将所求式子变形后，代入即可求出值．【解析】解：∵x 1，x 2是一元二次方程3x 2+2x -6=0的两个根，∴x 1+x 2=-23，x 1x 2=63-=-2， ∴()121212333x x x x x x ++= 23312⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭==-． 13．已知关于x 的方程22x 2mx m 90-+-=．(1)求证：此方程有两个不相等的实数根；(2)设此方程的两个根分别为1x ，2x ，若126x x +=，求m 的值．【答案】(1)见解析；(2)3【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＞0，由此可证出此方程有两个不相等的实数根；（2）利用根与系数的关系可得122x x m +=即可找出关于m 的一元一次方程，解之即可得出结论．【解析】(1)根据题意可知：22(2)4(9)360m m ∆=--=>，∴方程有两个不相等的实数根；(2)有题意得：122x x m +=∴1226x x m +==，解得3m =14．已知关于x 的一元二次方程()222120x a x a a --+--=有两个不相等的实数根1x ，2x ．(1)求a 的取值范围；(2)若1x ，2x 满足22121216x x x x +-=，求a 的值．【答案】(1)3a <；(2)1a =-【分析】（1）由一元二次方程根的情况与判别式的关系得出不等式求解即可；（2）由一元二次方程根与系数关系，结合题中条件得出方程求解即可．【解析】(1)解：∵关于x 的一元二次方程()222120x a x a a --+--=有两个不相等的实数根，∴()()2221420a a a ∆=----->⎡⎤⎣⎦，解得：3a <；(2)解：∵关于x 的一元二次方程()222120x a x a a --+--=， ∴()1221x x a +=-，2122x x a a =--，∵22121216x x x x +-=， ∴()21212316x x x x +-=，即()()22213216a a a ----=⎡⎤⎣⎦，十字相乘因式分解得：11a =-，26a =， ∵3a <，∴1a =-．。

一元二次方程的根与系数的关系ppt课件

2
2
3
1 13
2 ;
2
2 4
2.整体代入：运用韦
达定理.
【整体思想】
【类比学习】常见的变式求值
利用根与系数的关系，求一元二次
方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根x1，x2的
相关代数式的值.
x1 x2 x1 x2
( x1 x2 ) 2 2 x1 x2
1
2
【发现、猜想】
当二次项系数不为1时，两根之
和等于一次项系数与二次项系数
的比的相反数；
两根之积等于常数项与二次项系数
的比.
探究新知（二）
【类比学习】当二次项系数不为1时，一元二次方程的两
根之和、两根之积与系数有什么关系呢？
如：
9x2 6x 1 0
方法2 二次项系数化为1，得：
6
1
两根之积等于常数项.
【猜想】当二次项系数为1时，方程 x2+px+q=0的两根为 x1，x2
x1+x2= -p , x1 ·x2=q
探究新知（一）
【验证】方程(x－x1)(x－x2)＝0 (x1，x2为已知数)的两根为x1
和x2，将方程化为x2＋px＋q＝0的形式，你能看出x1，x2与
p，q之间的关系吗？
∵x1+x2＝6，x1＝2，
∴x2＝4.
又∵x1 ·x2＝p2－2p＋5＝2×4＝8，
∴p2－2p－3＝0，
解得 p＝3或p＝－1.
答：方程的另一个根是4 ，p＝3或p＝－1.
【解题方法】
知：二次项和一次项系数
求：常数项
①先运用两根之和求出另一根；

根与系数的关系讲义

一元二次方程根与系数的关系精讲精练如果方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为12,x x ，（此时判别式）则12x a=；22x a=。

可得（韦达定理）12b x x a+=-；12c x x a∙=。

解析：如果方程20x px q ++=的两根为12,x x ，（此时判别式）可得：12x x p +=-；12x x q ∙=。

推理可得：一，以12,x x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是21212()0x x x x x x -++=；二，如果方程20(0)a x b x c a ++=≠的两根为12,x x ，则2a xb xc ++可因式分解为12()()a x x x x --。

例题一：设12,x x 是方程22630x x -+=的根，求（1）12x x += ；（2）12x x ∙= ；（3）1211x x += ；（4）2112x x x x += ；（5）12(2)(2)x x ++= ；（6= ；（7）212()x x -= ；（8）12x x -= 。

变式练习：设12,x x 是方程2310x x -+=的根，求（1）12x x += ；（2）12x x ∙= ；（3）1211x x += ；（4）2112x x x x += ；（5）12(2)(2)x x ++= ；（6= ；（7）212()x x -= ；（8）12x x -= 。

例题二：已知方程的一个根是，求它的另一个根及b 的值。

例题三：已知关于x 的一元二次方程与有一个相同的根，求k的值。

例题四：已知方程（1）若方程两根之差为5，求k 。

（2）若方程一根是另一根2倍，求这两根之积。

例题五：已知方程两根之比为1：3，判别式值为16，求a、b的值。

例题六：已知是关于x的一元二次方程的两个实数根。

（1）用含m的代数式表示；（2）当时，求m的值。

课后练习：一. 选择题。

1. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，则k与另一根分别为（）A. 2，-1B. -1，2C. -2，1D. 1，-22. 已知方程的两根互为相反数，则m的值是（）A. 4B. -4C. 1D. -13. 若方程有两负根，则k的取值范围是（）A. B. C. D.4. 若方程的两根中，只有一个是0，那么（）A. B.C. D. 不能确定5. 方程的大根与小根之差等于（）A. B. C. 1 D.6. 以为根的，且二次项系数为1的一元二次方程是（）A. B.C. D.二. 填空题。

北师大版九年级上册第二单元一元二次方程根与系数的关系复习讲义

2()2ba c a+2210⨯-=为偶数时，才使用配方法，否则可以考虑使20x = ⇒0 (0)a ≠定的两个根为0①-②得：2212)2x x x -221)4x x x -①②222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-， 2121212||()4x x x x x x -=+-，2212121212()x x x x x x x x +=+，33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．韦达定理体现了整体思想．【课堂练习】1．设x 1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根，则x 12＋x 22的值为_________2．已知x 1，x 2是方程2x 2－7x ＋4＝0的两根，则x 1＋x 2＝，x 1·x 2＝，（x 1－x 2）2＝ 3．已知方程2x 2－3x+k=0的两根之差为212，则k= ;4．若方程x 2+(a 2－2)x －3=0的两根是1和－3，则a= ;5．若关于x 的方程x 2+2(m －1)x+4m 2=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m 的值为 ;6．设x 1,x 2是方程2x 2－6x+3=0的两个根，求下列各式的值： (1)x 12x 2+x 1x 22(2) 1x 1 －1x 27．已知x 1和x 2是方程2x 2－3x －1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：2221x 1x 1+（2）构造新方程理论：以两个数为根的一元二次方程是。

例解方程组 x+y=5 xy=6解：显然，x ，y 是方程z 2-5z+6＝0 ① 的两根由方程①解得 z 1=2,z 2=3∴原方程组的解为 x 1=2,y 1=3 x 2=3,y 2=2显然，此法比代入法要简单得多。

（3）定性判断字母系数的取值范围例一个三角形的两边长是方程的两根，第三边长为2，求k 的取值范围。

一元二次方程的根与系数的关系说课讲稿

一元二次方程的根与系数的关系说课稿四川省邻水中学实验学校何志军一. 设计理念：一元二次方程根与系数的关系，体现“做数学”的理念，充分展现知识的形成过程，从而突破本节课教学设计中，我始终把对知识的学习与师生的共同活动与交流相结合，为学生提供自主学习的空间和活动机会，让学生动手、动口、动眼、动脑进行探索，鼓励学生主动探索，大胆地猜想，大胆地表述，在合作交流中获取的难点。

在构思这节课时，感到教材中所提供的方法固然能更加直接的引出根与系数的关系，但忽略了定理最初形成的过程（即：为何要检验两根之和，两根之积？）。

因此我根据前面所学内容，从判断两个数是不是一元二次方程的两根入手，再引导学生观察并发现数字系数的一元二次方程的根与系数的关系。

此时所得出的恰好是二次项系数为数字系数的方程，这种方程有这种规律，是不是对二次项系数不为数字系数的方程也同样有这种规律呢？于是引出下文，并推及到一元二次方程根与系数的关系的出现与证明。

然后加入对数学家韦达的介绍，及我国古代数学家在根与系数关系上的贡献，激发学生的爱科学，用科学的情感，提高学生对学习的兴趣。

最后，再由学生自主小结，谈体会，给整节课画上圆满的句号。

二．教材分析1.教材的地位和作用一元二次方程根与系数的关系是新人教版教材九年级数学（上）4042p 选学内容，学生是在学习了一元二次方程的解法和根的判别式之后引入的。

在旧教材中是一个基本知识点，称“韦达定理”，而新教材将它处理成为一个探究性的选学内容。

它深化了两根与系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，可以用来解决一元二次方程快速验根的问题，还可以解决其他一些相关的简单问题，是方程理论的重要组成部分。

一元二次方程的根与系数的关系，在中考中多以填空，选择，解答题的形式出现，也常与几何、二次函数等问题结合，利于数学问题的解决。

2．教学重点和难点：重点：一元二次方程根与系数的关系和应用。

难点：探索一元二次方程根与系数的关系。

初三数学一元二次方程根和系数关系解析

初三数学一元二次方程根和系数关系解析一元二次方程是我们初中数学中非常重要的内容，它的根和系数之间存在着一些有趣的关系。

在本文中，我们将对一元二次方程的根和系数之间的关系进行深入分析。

一、一元二次方程的一般形式一元二次方程一般可以写成如下形式：ax² + bx + c = 0，其中a、b和c分别是方程的系数，其中a≠0。

这里的a决定了方程的开口方向，b决定了方程的对称轴位置，c决定了方程与x轴的交点。

二、一元二次方程的根和系数之间的关系1. 判别式一元二次方程的判别式可以用来判断方程的根的情况。

判别式的计算公式为Δ = b² - 4ac，其中Δ表示判别式。

①当Δ > 0时，方程有两个不相等的实根。

②当Δ = 0时，方程有两个相等的实根。

③当Δ < 0时，方程没有实根，但可能有共轭复根。

2. 根与系数之间的关系通过解一元二次方程，我们可以得到根与系数之间一些有趣的关系。

①根的和与系数的关系设方程的两个根为x₁和x₂，则有：x₁ + x₂ = -b/a。

我们可以通过求和的方式得到方程中b和a之间的关系。

②根的积与系数的关系设方程的两个根为x₁和x₂，则有：x₁ * x₂ = c/a。

我们可以通过求积的方式得到方程中c和a之间的关系。

三、例题分析现在，我们通过一个例题来更好地理解一元二次方程的根和系数之间的关系。

例题：已知一元二次方程 x² - 4x + k = 0 的两个根互为相反数，求k 的值。

解析：根据题意可知，设方程的两个根为x₁和-x₁，则有：x₁ + (-x₁) = 4/a，即 -2x₁ = 4/a。

由于根互为相反数，可以把方程改写成2x₁² - 4x₁ + k = 0。

根据根和系数的关系可知：2x₁² - 4x₁ + k = 0 中的系数-4与k之间存在关系 k = 2/a。

综上，根据题意可以得出k = 2/a。

通过这个例题，我们可以清楚地看到根和系数之间的关系以及如何利用根与系数之间的关系解题。

一元二次方程根与系数关系试讲

一元二次方程根与系数关系试讲同学们，咱们今天来聊聊一元二次方程根与系数的关系，这可是数学世界里一个超级有趣的事儿！咱先想想，一元二次方程就像个神秘的宝盒，里面藏着根和系数这两个宝贝。

那这俩宝贝之间到底有啥秘密联系呢？比如说，方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a \neq 0$），它的两个根是$x_1$和$x_2$，那它们和系数$a$、$b$、$c$之间可有着奇妙的关系呢！咱来类比一下，这根与系数的关系，就好像是好朋友之间的默契。

系数决定了方程的“性格”，而根呢，就像是方程表现出来的“行为”。

你看，如果两根之和$x_1 + x_2$，它等于啥？是不是等于$-\frac{b}{a}$？这就好比是两个小伙伴手拉手，力量的总和有着特定的规律。

再瞧瞧两根之积$x_1x_2$，等于$\frac{c}{a}$。

这是不是像两个小伙伴分享的宝贝，数量也有着固定的模式？咱来做个具体的例子感受感受。

比如方程$x^2 - 5x + 6 = 0$，咱们解出来根是$2$和$3$。

那两根之和$2 + 3 = 5$，嘿，正好等于$-\frac{-5}{1}$。

两根之积$2×3 = 6$，也正好是$\frac{6}{1}$。

神奇不？同学们，想想看，如果咱们能熟练掌握这个关系，那解一元二次方程是不是就像囊中取物一样简单？遇到问题，咱们不用费劲地去慢慢求解，直接就能根据系数猜出根的大概情况。

这就好像你知道了一个人的习惯和特点，就能猜到他在某些情况下会怎么做。

数学的世界就是这么奇妙，到处都藏着这样的小秘密，等着咱们去发现。

所以啊，同学们，一定要把这个根与系数的关系牢牢记住，它可是咱们在数学海洋里畅游的有力工具！只要用心去理解，去运用，数学就会变得简单又有趣！。

一元二次方程的根与系数的关系讲解

一元二次方程的根与系数的关系讲解一元二次方程是数学中常见的一种方程形式，它可以用来描述一条抛物线的轨迹。

一元二次方程的一般形式为:ax^2 + bx + c = 0其中，a、b、c是实数系数，且a ≠ 0。

一元二次方程的根是方程的解，即使得方程成立的x的值。

根据一元二次方程的求根公式，如果判别式D = b^2 - 4ac大于0，则方程有两个不相等的实根；如果D = 0，则方程有两个相等的实根；如果D 小于0，则方程没有实根，但可以有两个共轭复根。

这些根与方程的系数之间有一定的关系。

首先，通过一元二次方程的求根公式可以得出方程的根与系数之间的关系。

对于方程ax^2 + bx + c = 0，求根公式为：x1 = (-b + √D) / (2a)x2 = (-b - √D) / (2a)其中，D = b^2 - 4ac。

从上述求根公式可以看出，方程的根与系数a、b、c之间是存在一定的关系的。

1. 根与系数a的关系：- 当系数a增大时，方程的抛物线变得更陡峭，根的取值范围也会相应变大。

- 当系数a减小时，方程的抛物线变得更平缓，根的取值范围也会相应变小。

- 如果系数a为负数，则方程的抛物线开口朝下，根的取值范围相反。

2. 根与系数b的关系：- 系数b影响方程的根的位置，但不会改变根的取值范围。

- 如果系数b为正数，则方程的两个根都向左平移；如果系数b 为负数，则方程的两个根都向右平移。

3. 根与系数c的关系：- 系数c影响方程的根的位置，但不会改变根的取值范围。

- 如果系数c为正数，则方程的两个根都向上平移；如果系数c 为负数，则方程的两个根都向下平移。

综上所述，一元二次方程的根与系数之间存在一定的关系。

不同的系数会对方程的根造成不同的影响，通过调整系数的值，我们可以改变方程的根的位置和取值范围，从而使方程与具体问题相适应。

5-3-3 一元二次方程根与系数的关系.讲义教师版

一、韦达定理如果20(0)ax bx c a ++=≠的两根是1x ，2x ，则12b x x a +=-，12cx x a=．（隐含的条件：0∆≥）特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设1x ，2x 是方程20x px q ++=的两个根，则12x x p +=-，12x x q ⋅=．二、韦达定理的逆定理以两个数1x ，2x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是21212()0x x x x x x -++=．一般地，如果有两个数1x ，2x 满足12b x x a +=-，12cx x a=，那么1x ，2x 必定是20(0)ax bx c a ++=≠的两个根．三、韦达定理与根的符号关系在24b ac ∆=-≥0的条件下，我们有如下结论：⑴当0c a<时，方程的两根必一正一负．若0b a -≥，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若0ba -<，则此方程的正根小于负根的绝对值．知识点睛中考要求一元二次方程根与系数的关系⑵当0c a>时，方程的两根同正或同负．若0b a ->，则此方程的两根均为正根；若0ba -<，则此方程的两根均为负根．更一般的结论是：若1x ，2x 是20(0)ax bx c a ++=≠的两根（其中12x x ≥），且m 为实数，当0∆≥时，一般地： ① 121()()0x m x m x m --<⇔>，2x m <② 12()()0x m x m -->且12()()0x m x m -+->1x m ⇔>，2x m > ③ 12()()0x m x m -->且12()()0x m x m -+-<1x m ⇔<，2x m <特殊地：当0m =时，上述就转化为20(0)ax bx c a ++=≠有两异根、两正根、两负根的条件．其他有用结论：⑴若有理系数一元二次方程有一根a +a a ，b 为有理数）． ⑵若0ac <，则方程20(0)ax bx c a ++=≠必有实数根． ⑶若0ac >，方程20(0)ax bx c a ++=≠不一定有实数根． ⑷若0a b c ++=，则20(0)ax bx c a ++=≠必有一根1x =． ⑸若0a b c -+=，则20(0)ax bx c a ++=≠必有一根1x =-．四、韦达定理的应用⑴已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； ⑵已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； ⑶已知方程的两根，求作方程； ⑷结合根的判别式，讨论根的符号特征；⑸逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理；⑹利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱．一、已知一元二次方程的一根求另一根【例1】已知关于x 的方程220x kx +-=的一个解与方程131x x +=-解相同． ⑴求k 的值；⑵求方程220x kx +-=的另一个解．【考点】已知一元二次方程的一根求另一根【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】解131x x +=-得2x =，所以方程220x kx +-=有一根为2，设另一根为2x ，则有22222x k x +=-⎧⎨=-⎩，所以211k x =-⎧⎨=-⎩．例题精讲【答案】⑴-1 ⑵-1【巩固】若方程240x x c -+=的一个根为2+，则方程的另一个根为，c = ．【考点】已知一元二次方程的一根求另一根【难度】3星【题型】填空【关键词】【解析】略【答案】2-1c =二、确定一元二次方程中字母参数的值或取值范围【例10】已知方程2230x mx -+=的两根的平方和为5，则m=__________．【考点】确定一元二次方程中字母参数的值或取值范围【难度】5星【题型】填空【关键词】【解析】设2230x mx -+= 的两根分别为12,x x ，则12,2m x x +=123.2x x = 而22222121212()23,35,44m m x x x x x x +=+-=-∴-=即232,m m =∴=±【答案】±【巩固】已知关于x 的方程2210x mx m -+-=的两个实数根的平方和为23，求m 的值【考点】确定一元二次方程中字母参数的值或取值范围【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】1212,21x x m x x m +==-，221223x x +=，即,21212()223x x x x +-=，得22(21)23m m m --=，解得127,3m m ==-，但当7m =时，274(271)0∆=-⨯⨯-<，7m =应舍去，故3m =-．【答案】-3【巩固】已知关于x 的方程22210x x k ++-=的两根平方差等于2，求k 的值．【考点】确定一元二次方程中字母参数的值或取值范围【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】设方程两根为1x 、2x ，由一元二次方程根与系数关系，122x x +=-，2121x x k ⋅=-．因为22122x x -=，得()()12122x x x x +-=，即()1222x x --=，211x x -=．两边平方配方，得()2212141x x x x +-=，所以()24411k --=．解这个方程，得12k =±．经检验，符合题意．【答案】12±【例2】已知12,x x 为方程20x px q ++=的两根，且126x x +=，221220x x +=，求,p q 的值．【考点】确定一元二次方程中字母参数的值或取值范围【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】6p =-，8q =．【巩固】已知关于x 的方程222(2)50x m x m +++-=有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m 的值．【考点】确定一元二次方程中字母参数的值或取值范围【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】有实数根，则△≥0，且22121216x x x x +=+，联立解得m 的值．依题意有：12212221212222(2)5164(2)4(5)0x x m x x m x x x x m m +=-+⎧⎪=-⎪⎨+=+⎪⎪∆=+--≥⎩由①②③解得：1m =-或15m =-，又由④可知m ≥94-∴15m =-舍去，故1m =-【答案】-1【巩固】设1x 、2x 是方程()222120x k x k -+++=的两个不同的实根，且()()12118x x ++=，则k 的值是．【考点】确定一元二次方程中字母参数的值或取值范围【难度】3星【题型】填空【关键词】【解析】由根与系数的关系得()1221x x k +=+，2122x x k ⋅=+．且有()()224142840k k k ∆=+-+=->，即12k >．所以()()12118x x ++=．从而2230k k +-=，解之得3k =-或1k =．又12k >，所以1k =．【答案】1k =【巩固】已知关于x 的方程22(23)30x k x k +-+-=有两个实数根1x ，2x ，且121211x x x x +=+，求k 值．【考点】确定一元二次方程中字母参数的值或取值范围【难度】4星【题型】解答【关键词】分类讨论【解析】∵方程22(23)30x k x k +-+-=有两个实数根1x ，2x ，∴2212212(23)4(3)21120(23)3k k k x x k x x k ⎧∆=---=-≥⎪+=--⎨⎪⋅=-⎩，由（1）得：74k ≤．∵121211x x x x +=+，∴121212x x x x x x ++=，120x x +=或121x x = ① 当120x x +=时，320k -=，32k =，∵3724k =<，所以32k =符合题意．② 当121x x =时，231k -=，2k =±，∵74k ≤，∴2k =舍去．∴k 的值为32或2-．此题是已知方程两根满足的条件，求参数的取值．【答案】32或2-【巩固】已知12,x x 是方程24440ax ax a -++=的两实根，是否能适当选取a 的值，使得1221(2)(2)x x x x --的值等于54________________．【考点】确定一元二次方程中字母参数的值或取值范围【难度】3星【题型】填空【关键词】【解析】显然a≠0由∆=21616(4)0a a a -+≥得a < 0由韦达定理知121241,4a x x x x a++== 所以122122121221212(2)(2)52()92()9(4)24x x x x x x x x x x x x a a --=-+=-++=- 364a a +=若有12215(2)(2),4x x x x --=则365,44a a +=∴ 9a =，这与a < 0 矛盾，故不存在a ，使12215(2)(2).4x x x x -⋅-=【答案】不存在【例3】已知关于y 的方程220y ay a -+-=，分别写出下列情形中a 所满足的条件：⑴方程有两个正实数根；⑵方程两根异号．【考点】确定一元二次方程中字母参数的值或取值范围【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】2(2)40a ∆=-+>，所以不论a 取何值，方程都有两个不等的实数根．⑴由根与系数的关系可得020a a >⎧⎨->⎩，解得2a >；⑵两根异号积小于零，即20a -<，2a <．【答案】⑴2a >；⑵2a <【例4】已知关于x 的方程22290x mx m ++-=只有一个正根，求m 的取值范围．【考点】确定一元二次方程中字母参数的值或取值范围【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】原方程可化为：2()9x m +=，解得13x m =--，23x m =-，显然12x x <，根据题意可得：1200x x ⎧⎨>⎩≤，即3030m m --⎧⎨->⎩≤，解得33m -<≤．【答案】33m -<≤【巩固】已知关于x 的方程22290x mx m ++-=至少有一个正根，求m 的取值范围．【考点】确定一元二次方程中字母参数的值或取值范围【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】原方程可化为：2()9x m +=，解得13x m =--，23x m =-，显然12x x <，根据题意只需20x >，即30m -+>，即3m <．【答案】3m <【例11】已知关于x 的方程211300x x a -++=的两根都大于5，求a 的取值范围．【考点】确定一元二次方程中字母参数的值或取值范围【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】设1x ，2x 是方程的两根，1212121212(5)(5)5()250301112141200x x x x x x x x a x x a --=-++>⎧⎪=+⎪⎨+=⎪⎪∆=--⎩≥，解得104a <≤．【答案】104a <≤【巩固】已知关于x 的方程24280x x m --+=的一个根大于1，另一个根小于1，求m 的取值范围．【考点】确定一元二次方程中字母参数的值或取值范围【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】设1x ，2x 是方程的两根，且11x >，21x <，即110x ->，210x -<，1212121212(1)(1)()10284164(28)0x x x x x x x x m x x m --=-++<⎧⎪=-+⎪⎨+=⎪⎪∆=+->⎩，解得52m >．【答案】52m >【巩固】关于x 的方程2230x mx m -+=的两根12,x x 满足212()16x x -=，如果关于x 的另一个方程22690x mx m -+-=的两实根都在12,x x 之间，求m 的值．【考点】确定一元二次方程中字母参数的值或取值范围【难度】3星【题型】解答【关键词】2003年，北京市，中考试题【解析】设方程2230x mx m -+=的两根为1x 、2x ，不妨设12x x <，则211230x mx m -+=，222230x mx m -+=，且1x m =-2x m =+ 又212()16x x -=，故22121212()2()26412161x x m x x x x m m m m -=+--=-=⇒=-或4m = 将1m =-代入2230x mx m -+=可得，2230x x +-=，故13x =-，21x =．将4m =代入2230x mx m -+=可得，2181202x x x -+=⇒=，26x =．又[]22690(3)(23)0x mx m x x m -+-=⇒---=，故3x =或23x m =- 由题意可知，当1m =-时，21x =，而31>，故不满足题意．当4m =时，235m -=，此时满足题意，故4m =．也可采用如下解法：设方程22690x mx m -+-=的两根为α、β，则 []22690(3)(23)0x mx m x x m -+-=⇒---=，故3x =或23x m =-由题意可知124x x αβ-<-==，故23415m m αβ-=-<⇒<< 又212()16x x -=，故2412161m m m -=⇒=-或4m = 故4m =．【答案】4【例12】实数k 为何值时，关于x 的一元二次方程2(23)(24)0x k x k --+-=．⑴有两个正根？⑵两根异号，且正根的绝对值较大？ ⑶一根大于3，一根小于3？【考点】确定一元二次方程中字母参数的值或取值范围【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】[]2(23)(24)0(1)(24)0x k x k x x k --+-=⇒---=，故1x =或24x k =- ⑴若两根均为正，则240k ->，故2k >；⑵若两根异号，且正根的绝对值较大，则0421k <-<，故322k <<； ⑶由13<可知，72432k k ->⇒>．【答案】⑴2k >；⑵322k <<；⑶72k >【巩固】已知1x 、2x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．⑴是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．⑵求使12212x xx x +-的值为整数的实数k 的整数值．【考点】确定一元二次方程中字母参数的值或取值范围【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】⑴由k ≠0和△≥0⇒k ＜0∵121x x +=，1214k x x k+=∴212121212(2)(2)2()9x x x x x x x x --=+-9342k k +=-=-∴95k =，而k ＜0∴不存在．⑵12212x x x x +-＝21212()4x x x x +-＝41k -+，要使41k -+的值为整数，而k 为整数，1k +只能取±1、±2、±4，又k ＜0∴存在整数k 的值为-2、-3、-5【答案】⑴不存在 ⑵-2、-3、-5【例13】已知12,x x （12x x <）是方程2(1)0x m x n --+=的两个实数根，12,y y 是方程2(1)60y n y m ++-=的两实数根，且112x y -=，222y x -=，求,m n 的值．【考点】确定一元二次方程中字母参数的值或取值范围【难度】5星【题型】解答【关键词】【解析】根据题意，对方程2(1)0x m x n --+=有211212[(1)]401m n x x m x x n ⎧∆=---≥⎪+=-⎨⎪⋅=⎩ 对方程2(1)60y n y m ++-=有221212(1)240(1)6n m y y n y y m ⎧∆=++≥⎪+=-+⎨⎪⋅=-⎩112x y -=，222y x -=∴1212x x y y +=+又112y x =-，222y x =+12121212(2)(2)2()4y y x x x x x x ∴⋅=-+=⋅+-- ∴12(1)162()4n m m n x x -+=-⎧⎨-=+--⎩(1)(2) 由⑴得：m n =-，代入⑵得：122()54x x n -=+⑶ 又12x x <，540n ∴+<，对⑶两边平方得：22124()(54)x x n -=+，即：2212124[()4](54)x x x x n +-⋅=+ 224[(1)4](54)n n n ∴---=+，整理得：271640n n ++= 解得：12n =-，227n =-当27n =-时，540n +>与540n +<矛盾，舍去．当2n =-时，5460n +=-<，此时2m =，170∆=>，2490∆=>． 2m ∴=，2n =-．【答案】2m =，2n =-【巩固】已知关于x 的方程24832x nx n --=和()223220x n x n -+-+=，是否存在这样的n 值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的n 值；若不存在，请说明理由．【考点】确定一元二次方程中字母参数的值或取值范围【难度】5星【题型】解答【关键词】【解析】()()284432n n ∆=--⨯⨯--()283230n =++>．可见，n 为任意实数，方程2483x nx n --2=都有实数根，记这两个实数根为α、β，则2n αβ+=，324n αβ--=．()()2224432n n αβαβαβ-=+-=++．由方程()223220x n x n -+-+=得()()2210x n x n -++-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，解得122x n =+，21x n =-．若1x 为整数，则243222n n n ++=+，从而10n =，214n =-．当10n =时，12x =是整数．当214n =-时，132x =不是整数，舍去．若2x 为整数，则24321n n n ++=-，从而3412n n ==-．当12n =-时，232x =不是整数，舍去．综上可知，当0n =时，第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根．【答案】存在，0n =【巩固】已知方程20x ax b +-=的根是a 和c ，方程20x cx d ++=的根是b 和d ．其中，a 、b 、c 、d 为不同实数，求a 、b 、c 、d 的值．【考点】确定一元二次方程中字母参数的值或取值范围【难度】5星【题型】解答【关键词】2008年，全国初中数学联赛，四川初赛【解析】∵方程20x ax b +-=的根是a 和c ，∴a c a +=-，ac b =-．∵20x cx d ++=的根是b 和d ，∴b d c +=-，bd d =， ⑴若0d ≠，则由bd d =知1b =．由a c a +=-知2c a =-，由ac b =-知221a -=-，解得a =当a =时，c =1d c b =--=-；…………⑴当a =c1d c b =--=-．………⑵经验证，a =1b =，2c =，1d =-是符合条件的两组解．⑵若0d =，则b c =-，由a c a +=-知2c a =-，由ac b =-知ac c = 若0c =，则0a =，这与a 、b 、c 、d 是不同的实数矛盾．若0c ≠，则1a =，再由2c a =-知2c =-，从而2b c =-=．经验证，1a =，2b =，2c =-，0d =也是符合条件的解．【例14】关于x 的二次方程2251x x m -=-有实根α和β，且||||6αβ+≤，确定m 的取值范围．【考点】确定一元二次方程中字母参数的值或取值范围【难度】5星【题型】解答【关键词】分类讨论【解析】不妨设方程的根αβ≥，由求根公式得α=，β=⑴当50时，即21m ≤，方程的两个根均为非负数，故 ||||56αβαβ+=+=<，符合要求，所以21m ≤．⑵当50-，即21m >，α为正数，β为负数，故||||αβαβ+=-所以216m ⎧>⎪<，解之得21514m <<．由⑴、⑵有2154m ≤，即m <<综上，m 的取值范围为m <<【答案】m <<【例15】已知m ，n 是有理数，并且方程20x mx n ++=2，那么m n +=_______．【考点】确定一元二次方程中字母参数的值或取值范围【难度】3星【题型】填空【关键词】2001年，天津市，竞赛试题【解析】由于m ，n 是有理数，并且方程20x mx n ++=2，所以方程的另一个根是2．由韦达定理知：(2)2)m -=+，(2)2)n =-⨯ ∴4m =，1n =-，∴4mn =-，3m n +=．【答案】3【例16】若实数a 使得对于每一个实数z ，关于x 、y 的方程组22231x ay zxy z z +=⎧⎨=++⎩总有实数解，则a 的取值范围是__________．【考点】确定一元二次方程中字母参数的值或取值范围【难度】5星【题型】填空【关键词】分类讨论【解析】若0a =，则方程组变为22231x zxy z z =⎧⎨=++⎩取0z =，得0x =，且01=，这不可能，故0a ≠．则原方程组等价于2223x ay zxay az az a+=⎧⎨=++⎩ 可知x 、ay 是关于t 的一元二次方程222230t zt az az a -+++= ……①的两个实根，所以式①的判别式()22144230z az az a ∆=-++≥．因此，对于任意的实数z ，()21230a z az a ---≥……②，由式②知，120a ->，且式②的判别式()()22941240a a a a a ∆=+-=+≤，即4a -≤≤0．又0a ≠，所以a 的取值范围为40a -<≤．【答案】40a -<≤三、求与一元二次方程两根有关的代数式的值【例17】已知α、β是方程2250x x +-=的两个实数根，22ααβα++的值为【考点】求与一元二次方程两根有关的代数式的值【难度】3星【题型】填空【关键词】【解析】2250αα+-=，5αβ=-，即225αα+=，5αβ=-，原式()()22550αααβ=++=+-=【答案】0【巩固】已知α、β是方程2520x x ++=+【考点】求与一元二次方程两根有关的代数式的值【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】方法一：由一元二次方程根与系数关系得5αβ+=-，2a β=．因为()222222522αββαβααβαβαβαβ+++=++===，0+>=．方法二：注意到α、β都是负数，++=【例18】已知方程22350x x --=的两根为12x x ，，求： ⑴2212x x +； ⑵3312x x + ⑶5512x x +【考点】求与一元二次方程两根有关的代数式的值【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】由韦达定理得：1232x x +=，1252x x ⋅=-． ⑴()2221212122x x x x x x +=+-95292424⎛⎫=-⨯-=⎪⎝⎭． ⑵由⑴的结果，有()()3322221212121221x x x x x x x x x x +=++-- ()()()2212121212x x x x x x x x =++-+329532422⎛⎫=⨯--⨯ ⎪⎝⎭ 1178=． ⑶由⑴、⑵的结果，有()()()4433221212121212x x x x x x x x x x +=++-+31175292824⎛⎫=⨯--⨯ ⎪⎝⎭64116=．所以()()()5544331212121212x x x x x x x x x x +=++-+3641511721628⎛⎫=⨯--⨯ ⎪⎝⎭309332=．【答案】⑴294 ⑵1178⑶309332【巩固】1x 、2x 是方程22350x x --=的两个根，不解方程，求下列代数式的值：⑴2212x x + ⑵12x x - ⑶2212233x x x +-【考点】求与一元二次方程两根有关的代数式的值【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】⑴2212x x +＝21212()2x x x x +-＝174⑵12x x -132⑶原式＝2221222()(23)x x x x ++-＝1754+＝1124【答案】⑴174 ⑵132⑶1124【例19】关于x 的方程22410x kx +-=的一个根是－2，则方程的另一根是；k ＝．【考点】求与一元二次方程两根有关的代数式的值【难度】3星【题型】填空【关键词】【解析】设另一根为1x ，由根与系数的关系可建立关于1x 和k 的方程组，解之即得．【答案】52，－1【例20】如果a ，b 都是质数，且213a a m -+，2130b b m -+=，求b aa b+的值．【考点】求与一元二次方程两根有关的代数式的值【难度】3星【题型】解答【关键词】2001年，全国初中数学竞赛试题，分类讨论【解析】当a b =时，2b aa b+=；当a b ≠时，a 、b 为方程2130x x m -+=的两个根，所以13a b +=，则2a =，11b =或2b =，11a =．所以2221112511222b a b a a b ab ++==+=．【答案】当a b =时，2b a a b +=；当a b ≠时，12522b a a b +=【例21】如果实数,a b 满足 213140a a --=，213140b b --=，则b aa b+的值为多少？【考点】求与一元二次方程两根有关的代数式的值【难度】3星【题型】解答【关键词】分类讨论【解析】当a b =时，2b aa b+=；当a b ≠时，,a b 为方程213140x x--=的两个根，所以，13a b +=，14ab =-．22222()2()13197221414a b ab a b b a b a a b ab ab ab +-++∴+===-=-=--【答案】当a b =时，2b a a b +=；当a b ≠时，19714b a a b +=-【例22】如果实数,a b 分别满足222a a +=，222b b +=，求11a b+的值【考点】求与一元二次方程两根有关的代数式的值【难度】3星【题型】解答【关键词】分类讨论【解析】由题意知：,a b 为方程2220x x +-=的两个根，且0,0a b ≠≠，解方程2220x x +-=得：11x =-+21x =--⑴当a b ≠时，有2a b +=-，2ab =-，11212a b a b ab +-∴+===-；⑵当a b =时，方程的根为11x =-+21x =--当1a b ==-+1121a b a ∴+===+；当1a b ==-1121a b a ∴+===-【答案】当a b ≠时，111a b +=；当a b =时，当1a b ==-+时，111a b+，当1a b ==--111a b+=【例23】已知2221αα+=，2221ββ+=，求αβ-的值．【考点】求与一元二次方程两根有关的代数式的值【难度】3星【题型】解答【关键词】分类讨论【解析】有两种情况：⑴若αβ=，则0αβ-=；⑵若αβ≠，根据题意，α、β是方程2221x x +=，即22210x x +-=的根，则αβ-=【答案】当αβ=时，0αβ-=；当αβ≠时，αβ-【例24】阅读材料：设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根是1x 、2x ，则根与系数关系为：12bx x a+=-，12c x x a=．已知210p p --=，210q q --=，且1pq ≠，求1pq q+的值．【考点】求与一元二次方程两根有关的代数式的值【难度】3星【题型】解答【关键词】2007～2008，北大附中，初三第一学期期中试题，材料创新题【解析】由210p p --=，210q q --=有0p ≠，0q ≠，又1pq ≠，所以1p q≠则210q q --=可变形为211()10q q --=．由210p p --=及1p q ≠，可知p 与1q是方程210x x --=的根，因此111pq p q q+=+=．【答案】1【例25】根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答：已知22510m m --=，21520n n+-=且m n ≠，求11m n +的值．【考点】求与一元二次方程两根有关的代数式的值【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】由22510m m --=可知，0m ≠，故25120m m --=，即21520m m+-= 又21520nn +-=，m n ≠，故1m 、1n 是方程2520x x +-=的两根由根系关系可知，115m n+=-．【答案】-5【例26】若1ab ≠，且有25200190a a ++=及29200150b b ++=，则a b = ，1a b+= ．【考点】求与一元二次方程两根有关的代数式的值【难度】3星【题型】填空【关键词】2001年，全国初中数学联赛试题【解析】29200150b b ++=，2115200190b b++=，又25200190a a ++=，所以a ，1b可以看作是方程25200190x x ++=的两个根．由韦达定理，得：195a a b b ⋅==，120015a b +=-．【答案】20015-【例27】设实数,s t 分别满足2199910s s ++=，299190t t ++=并且1st ≠，求41st s t++的值．【考点】求与一元二次方程两根有关的代数式的值【难度】4星【题型】解答【关键词】1999年，全国初中数学联赛试题【解析】由299190t t ++=可知，0t ≠，故21119()9910t t +⋅+=．又2199910s s ++=，11st s t ≠⇒≠，故s 、1t是方程2199910x x ++=的两根，从而可知19919s t +=-，119s t =，故41199195445191919st s s s t t t ++-=++⋅=-+⨯==-．注意：此处方程是构造成2199910x x ++=还是299190x x ++=主要是根据待求式的结构特点而定，待求式含1t，构造方程2199910x x ++=更快．其实构造成299190x x ++=也可，不过此时两根变为1s和t ，由根系关系可知199t s +=-，19t s=，故144195519t st s s t t s++++-===-．【答案】-5【例28】设方程2(1998)1997199910x x -⋅-=的大根为a ，方程2199819900x x --=的小根为b ，则a b -=_____________．【考点】求与一元二次方程两根有关的代数式的值【难度】4星【题型】填空【关键词】【解析】由观察知，1是方程2(1998)1997199910x x -⋅-=的根，由韦达定理知，另一根为211998-．于是1a =，又从观察知，1也是方程2199819990x x +-=的根，所以由韦达定理知它的另一根为-1999，从而 1999b =-，故1(1999)2000a b -=--=．【答案】2000【例29】设1x 、2x 是方程23560x x --=的两根，则代数式()()122121x x --的值是，代数式1221x x x x +的值是．【考点】求与一元二次方程两根有关的代数式的值【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】由一元二次方程根与系数的关系：1253x x +=，122x x ⋅=-．由此可得 ()()()()1212125312121421422133x x x x x x --=-++=--⨯+=-；()()2222121212122112125222613218x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫-⨯- ⎪+-+⎝⎭+====--．【答案】()()123121213x x --=-；12216118x xx x +=-【例30】已知α，β是一元二次方程210x x +-=的两个根，求5325αβ+的值．【考点】求与一元二次方程两根有关的代数式的值【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】应为α是方程210x x +-=的根，所以210αα+-=，即21αα=-．()24211223ααααα=-=-+=-， ()542232353αααααααα=⋅=-=-=-．同理()322121ββββββββ=⋅=-=-=-．所以()()()5325253521101121αβαβαβ+=-+-=+-=-．【答案】-21【巩固】已知m 是不等式组210430m m -≥⎧⎨->⎩的整数解，α、β是关于x 的方程20x mx m --=的两个实根，求：⑴ 33αβ+的值；⑵ 43αβ+的值．【考点】求与一元二次方程两根有关的代数式的值【难度】4星【题型】解答【关键词】2007年，三帆中学，初三第一次月考试题，附加题【解析】2101443023m m m -⎧⇒<⎨->⎩≥≤，又m 是整数，故1m =，210x x --=，,αβ=又α、1c <是210x x --=的两个实根，故210αα--=，210ββ--=．故()()()332211224αβααββααββαβ+=+++=+++=++=．故4b =，()43325αβαβ+=++=．点评：本题主要介绍利用根的定义来解题，其中的“降次”技巧值得注意．本题的相关结论可用韦达定理来求解，但不建议使用．【答案】⑴4 ⑵5四、根据一元二次方程的两根构造一元二次方程【例31】设20x px q -+=的两实数根为αβ、，那么33αβ、为两根的一元二次方程是____________．【考点】根据一元二次方程的两根构造一元二次方程【难度】3星【题型】填空【关键词】【解析】由韦达定理知,.p q αβαβ+==所以3322()[()2](3),p p q αβαβαβαβ+=++-=-3333()q αβαβ==所以，以33,αβ为两根的一元二次方程为223(3)0x p p q x q --+=【答案】223(3)0x p p q x q --+=【巩固】已知方程2980x x -+=，求作一个一元二次方程，使它的一个根为原方程两个根和的倒数，另一个根为原方程两根差的平方．【考点】根据一元二次方程的两根构造一元二次方程【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】设12,x x 为方程2980x x -+=的两个根，由韦达定理得：12129,8x x x x +=⋅=所求方程的两个根为121x x +，212()x x -．22121212121211()()4x x x x x x x x x x +-=++-⋅++2119484999=+-⨯=， 221212121212()4149()9x x x x x x x x x x +-⋅⋅-==++ ∴所求方程为：244249099y y -+=．【答案】244249099y y -+=【例32】已知某二次项系数为1的一元二次方程的两个实根为p 、q ，且()22156p q p p q pq ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩，试求这个一元二次方程．【考点】根据一元二次方程的两根构造一元二次方程【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】()()0x p x q --=，即()20x p q x pq -++=，由()22156p q p p q pq ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩得()()56p q pq pq p q ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩ 令p q m +=，pq n =，即56m n mn +=⎧⎨=⎩，解得32m n =⎧⎨=⎩，23m n =⎧⎨=⎩当32m n =⎧⎨=⎩，32p q pq +=⎧⎨=⎩，此时方程为2320x x -+=，解得12p q =⎧⎨=⎩或21p q =⎧⎨=⎩．当23m n =⎧⎨=⎩，23p q pq +=⎧⎨=⎩，此时方程为2230x x -+=，p 、q 不存在．【答案】2320x x -+=【巩固】已知关于x 的方程24470x bx b ++=有两个相等的实数根，1y 、2y 是关于y 的方程()2240y b y +-+= 2一元二次方程．【考点】根据一元二次方程的两根构造一元二次方程【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】由求根公式知，()244470b b -⨯⨯=，解得10b =，27b =，当0b =时，方程无解；当7b =时，方程2540y y -+=，解得14y =，21y =2=1，故所求方程为 ()()2120y y --=．化成一般式即可．【答案】()()2120y y --=五、根与系数关系的其他应用【例33】已知a b c >>，1a b c ++=，2223a b c ++=．求证：2132b c -<+<．【考点】根与系数关系的其他应用【难度】6星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】由已知得：1b c a +=-，22()21b c bc a +-=-．从而21bc a a =--．因此，以b 、c 为根的方程为()22110x a x a a +-+--=．又b c >，则有()()221410a a a ∆=---->，整理得23250a a --<．解得513a -<<．故23b c +>-．同理，513b -<<，513c -<<．下证12a >，用反证法．若12a ≤，由a b c >>，有112b -<<，112c -<<．所以21a <，21b <，21c <，因此2223a b c ++<，矛盾．综上，2132b c -<+<．【巩固】已知方程240ax x b ++=(0)a <的两实根为1x 、2x ，方程230ax x b ++=的两实根为α、β． ⑴ 若a 、b 均为负整数，且||1αβ-=，求a 、b 的值；⑵ 若12αβ<<<，12x x <，求证：1221x x -<<<．【考点】根与系数关系的其他应用【难度】5星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】⑴ 由题意得3a αβ+=-，baαβ=，由()2141αβαβαβ-=⇒+-=2941b a a⇒-=()49a a b ⇒+=．又a 、b 均为负整数，所以1a =-，49a b +=-．故1a =-，2b =-．⑵ 因为12αβ<<<，所以30460a b a b ++>⎧⎨++<⎩．从而430a b a b ++>++>，即当1x =时，240ax x b ++>．由48460a b a b -+<++<，即当2x =-时，240ax x b ++<．因为0a <，所以1221x x -<<<．【例34】已知a b ，为正整数，关于x 的方程220x ax b -+=的两个实数根为12x x ，，关于y 的方程220y ay b ++=的两个实数根为12y y ，，且满足11222008x y x y ⋅-⋅=．求b 的最小值．【考点】根与系数关系的其他应用【难度】5星【题型】解答【关键词】【解析】由韦达定理，得122x x a +=，12x x b ⋅=；122y y a +=-，12y y b ⋅=．即()()()()()12121212122y y a x x x x y y b x x ⎧+=-=-+=-+-⎪⎨⋅==-⋅-⎪⎩解得：1122y x y x =-⎧⎨=-⎩或1221y x y x =-⎧⎨=-⎩把12y y ，的值分别代入1122x y x y ⋅-⋅=2008，得()()11222008x x x x ⋅--⋅-=或()()12212008x x x x ⋅--⋅-=（不成立）即22212008x x -=，()()2121x x x x +-=2008，因为1212200x x a x x b +=>⋅=>，．所以10x >，20x >．于是有22008a ．即50215022251a ==⨯=⨯，因为a b ，都是正整数，所以221502a a b =⎧⎨-=⎩或25021a a b =⎧⎨-=⎩或222251a a b =⎧⎨-=⎩或22514a a b =⎧⎨-=⎩ 分别解得：211502a b =⎧⎨=-⎩或25025021a b =⎧⎨=-⎩或222251a b =⎧⎨=-⎩或22512514a b =⎧⎨=-⎩经检验只有：2250225150212514a a b b ==⎧⎧⎨⎨=-=-⎩⎩，　符合题意．所以b 的最小值为：2251462997b =-=．【答案】62997【例35】已知2007())()0()a b b c c a a b -+-+-=≠，求2()()()c b c a a b ---的值．【考点】根与系数关系的其他应用【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】∵22007=是方程2()()()0a b x b c x c a -+-+-=的一个根．又∵()()()0a b b c c a -+-+-=， ∴此方程的另一个根为1，1c b a b -=-1c aa b-=- ∴2()()()c b c a c b c aa b a b a b ----=⨯---1)=2007=+ 此题根据给出的等式构造一元二次方程，再通过观察系数特点找出其中一个根，运用韦达定理求出代数式的值．【答案】20071．已知关于x 的方程2130x x k -+=的两根α、β满足条件31αβ-=，求k 的值．【考点】确定一元二次方程中字母参数的值或取值范围【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】由一元二次方程根与系数的关系，得13αβ+=，与31αβ-=联列方程组，解得10α=，3β=．所以30k αβ==．【答案】302．已知关于x 的方程260x x c -+=的一个根是另一个根的平方，求c 的值．【考点】确定一元二次方程中字母参数的值或取值范围【难度】3星【题型】解答【关键词】课后作业【解析】设方程的两根分别为t 和2t ，由一元二次方程根与系数的关系，得226t t t t c⎧+=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得t 的值为2或3-，进而求得8c =或27c =-．【答案】8c =或27c =-3．方程222(1)40x m x m +-++=的两个实根，且这两根的平方和比这两根之积大21，那么m =______________．【考点】确定一元二次方程中字母参数的值或取值范围【难度】3星【题型】填空【关键词】【解析】由已知得∆>0，高两根为12,x x ，有22121221x x x x +=+由∆=22[2(2)]41(4)160m m m --⨯⨯+=->∴0m <，由22121221x x x x +=+，得2121212()221x x x x x x +-=+即21212()3210x x x x +--=亦即22[2(2)]3(4)210m m ---⋅--= ∴216170,m m --=于是1217,1m m ==- 又∵0m <, ∴1m =-【答案】-14．已知12,x x 是一元二次方程224(35)60x m x m ---=的两个实数根，且123||2x x =，则m=__________．【考点】确定一元二次方程中字母参数的值或取值范围【难度】3星【题型】填空【关键词】【解析】∴方程有两个实数根，由韦达定理知21212353,42m x x x x m -+==-∵123||,2x x =而由212302x x m =-<知，12,x x 异号．故1232x x -令123,2,x k x k ==-则得23533(2),(3)(2),42m k k k k m -+-=-=- 从上面两式消去k ，得223536()42m m --=-即2650,m m -+=解之得121, 5.m m ==【答案】121, 5.m m ==5．已知关于x 的方程()()2212110t x t x ---+=的两根倒数之和大于0，求t 的取值范围．【考点】确定一元二次方程中字母参数的值或取值范围【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】根据题意，210t -≠，即1t ≠±．设方程两根为1x 、2x ，则21212122211112111t x x t t x x x x t -+-+===--，同时应考虑方程有解，由此列出不等式组()()2221021410t t t ->⎧⎪⎨---⎪⎩≥，解这个一元一次不等式组，得1524t <≤．所以t 的取值范围是1524t <≤且1t ≠．【答案】1524t <≤且1t ≠6．已知二次方程2(23)100kx k x k --+-=的两根都是负数，则k 的取值范围是____________．【考点】确定一元二次方程中字母参数的值或取值范围【难度】3星【题型】填空【关键词】【解析】此方程丙实根为12,x x ，由已知得12120000k x x x x ≠⎧⎪∆≥⎪⎨+<⎪⎪>⎩ 即：30(23)4(10)023100k k k k k k k k≠⎧⎪---≥⎪⎪-⎨>⎪⎪->⎪⎩ 得：∴0928302100,k k k k k k ≠⎧⎪⎪≥-⎪⎨⎪><⎪⎪><⎩或或即9028k -≤<或10k >．【答案】9028k -≤<或10k >7．已知1x 、2x 是关于x 的一元二次方程2244(1)0x m x m +-+=的两个非零实数根，问：1x 与2x 能否同号？若能同号请求出相应的m 的取值范围；若不能同号，请说明理由．【考点】确定一元二次方程中字母参数的值或取值范围【难度】5星【题型】解答【关键词】分类讨论【解析】由3216m ∆=-+≥0得m ≤12．121x x m +=-+，21214x x m =≥0 ∴1x 与2x 可能同号，分两种情况讨论：⑴若1x ＞0，2x ＞0，则12120x x x x +>⎧⎨>⎩，解得m ＜1且m ≠0∴m ≤12且m ≠0⑵若1x ＜0，2x ＜0，则121200x x x x +<⎧⎨>⎩，解得m ＞1与m ≤12相矛盾综上所述：当m ≤12且m ≠0时，方程的两根同号．【答案】当m ≤12且m ≠0时，方程的两根同号8．关于x 的二次方程22(1)40(0)mx m x m ---=≠的两根一个比1大，另一个比1小，则m 的取值范围是______________．【考点】确定一元二次方程中字母参数的值或取值范围【难度】3星【题型】填空【关键词】【解析】设方程有两个根为12,x x ，由韦达定理得12122(1)4,,m x x x x m m-+=⋅=- 又由已知，有121212(1)(1)0,()10x x x x x x --<-++<即故有2(1)410m m m ---+<∴20m m+>，∴0m >或2m <-【答案】0m >或2m <-9．已知方程2350x x +-=的两根为1x 、2x ，则2212x x += 【考点】求与一元二次方程两根有关的代数式的值【难度】3星【题型】填空【关键词】【解析】123x x +=-，125x x ⋅=-，()()()2222121212232519x x x x x x +=+-=--⨯-= 【答案】1910．已知1x ，2x 是方程2310x x -+=的两个实数根，则1211x x += ．【考点】求与一元二次方程两根有关的代数式的值【难度】3星【题型】解答【关键词】2005年，温州市中考试题【解析】由韦达定理知：12123,1x x x x +=⋅=．所以：121212113x x x x x x ++==⋅．【答案】311．已知1x ，2x 是方程2310x x -+=的两个实数根，则2212x x += ,12(2)(2)x x -⋅-= ,221122x x x x +⋅+= ,2112x xx x += ,12x x -= ，2212x x -= ,1211x x -= ,2112x x x x -= ．【考点】求与一元二次方程两根有关的代数式的值【难度】3星【题型】填空【关键词】【解析】2222121212()23217x x x x x x +=+-⋅=-⨯=，121212(2)(2)2()412341x x x x x x -⋅-=⋅-++=-⨯+=-,22211221212()918x x x x x x x x +⋅+=+-⋅=-=, 2221211212771x x x x x x x x ++===⋅, 222121212()()43415x x x x x x -=+-⋅=-⨯=，∴12x x -=∴22121212()()3(x x x x x x -=+-=⨯=± 2112121155x x x x x x --===．22212112123535x x x x x x x x --===⋅．此题是韦达定理的灵活运用，包含了各种变形情况．【答案】22127x x +=；12(2)(2)1x x -⋅-=-；2211228x x x x +⋅+=；21127x x x x +=；2212x x -=±；12115x x -=；211235x x x x -=12．已知x 、y 均为实数，且满足17xy x y ++=，2266x y xy +=．求432234x x y x y xy y ++++的值．【考点】求与一元二次方程两根有关的代数式的值【难度】5星【题型】解答【关键词】2007～2008，北大附中，初三第一学期期中试题，分类讨论【解析】由已知17xy x y ++=，c ，所以xy 和x y +是方程217660t t -+=①的两个实数根．解方程①得16t =，211t =．即6xy =，11x y +=；或者11xy =，6x y +=．当6xy =，11x y +=时，x 、y 是方程21160u u -+=②的两个根．因为()2111460∆=--⨯>，所以方程②有实数根．这时()22222112612112109x y x y xy +=+-=-⨯=-=． 432234x x y x y xy y ++++442233x y x y x y xy =++++ ()()2222222x y x y xy x y =+-++2210966109=-+⨯12499=．当11xy =，6x y +=时，x 、y 是方程26110v v -+=③的两个根．因为()2264110∆=--⨯<，所以方程③没有实数根．综上可知432234x x y x y xy y ++++的值为12499．【答案】1249913．设a 、b 、c 、d 为互不相等的实数，且()()22221a c ad --=，()()22221b c b d --=，则2222ab cd -=（）．A ．0B ．1-C ．1D ．无法确定【考点】求与一元二次方程两根有关的代数式的值【难度】4星【题型】选择【关键词】【解析】2a 、2b 是方程()()221x c x d --=的两个根，展开得()2222210x c d x c d -++-=．由根与系数的关系得22221a b c d =-．故22221a b c d -=-【答案】B14．求一个一元二次方程，使它的两个根是32-和3．【考点】根据一元二次方程的两根构造一元二次方程【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】方法一：设所求一元二次方程为20x px q ++=，由一元二次方程根与系数关系，得33322p -=-+=，即32p =-；39322q =-⨯=-．所以所求方程为239022x x --=，即22390x x --=．方法二：根据题意，满足条件的方程可以记作()3302x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，整理可得239022x x --=．【答案】239022x x --=15．当a 取遍0到5的所有实数时，满足3(38)b a a =-的整数b 的个数是_____. 【考点】根与系数关系的其他应用【难度】5星【题型】解答【关键词】竞赛选题【解析】略【答案】1316．如果方程20(0)ax bx c a ++=≠的根之比等于常数k ，则系数a ，b ，c 之间的关系是____________．【考点】根与系数关系的其他应用【难度】4星【题型】填空【关键词】【解析】设方程的两要有为12,x x ，且12,x kx =由韦达定理知122(1),b x x k x a+=+=-由此两式消去得2[](1)b ck a k a-=+即22(1)kb k ac =+ 【答案】22(1)kb k ac =+17．设实数a 、b 、c 满足0a b c ++=，2abc =．则333||||||u a b c =++的最小值为___________．【考点】根与系数关系的其他应用【难度】5星【题型】解答【关键词】【解析】由题设知，a 、b 、c 必为一正两负．不妨设0a >、0b <、0c <．∵b c a +=-，2bc a=，∴b 、c 为方程220x ax a ++=的两个负根．于是，有280a a∆=-≥．解得38a ≥，2a ≥．故333u a b c =--()()233a b c b c bc ⎡⎤=-++-⎣⎦326a a a a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭326a =-28610⨯-=≥．当且仅当38a =，即2a =时，上式等号成立．此时，1b c ==-．因此u 的最小值为10．【答案】10。