2016年高考文科数学真题分类汇编：不等式
2016年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅱ)(含解析版)
2016年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．（5分）已知集合A={1，2，3}，B={x|x2＜9}，则A∩B=（）A．{﹣2，﹣1，0，1，2，3}B．{﹣2，﹣1，0，1，2} C．{1，2，3}D．{1，2}2．（5分）设复数z满足z+i=3﹣i，则=（）A．﹣1+2i B．1﹣2i C．3+2i D．3﹣2i3．（5分）函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（）A．y=2sin（2x﹣）B．y=2sin（2x﹣）C．y=2sin（x+）D．y=2sin（x+）4．（5分）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（）A．12πB．πC．8πD．4π5．（5分）设F为抛物线C：y2=4x的焦点，曲线y=（k＞0）与C交于点P，PF ⊥x轴，则k=（）A．B．1C．D．26．（5分）圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（）A．﹣B．﹣C．D．27．（5分）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．20πB．24πC．28πD．32π8．（5分）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=（）A．7B．12C．17D．3410．（5分）下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是（）A．y=x B．y=lgx C．y=2x D．y=11．（5分）函数f（x）=cos2x+6cos（﹣x）的最大值为（）A．4B．5C．6D．712．（5分）已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2﹣x），若函数y=|x2﹣2x﹣3|与y=f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（x m，y m），则x i=（）A．0B．m C．2m D．4m二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13．（5分）已知向量=（m，4），=（3，﹣2），且∥，则m=．14．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最小值为．15．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，则b=．16．（5分）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）等差数列{a n}中，a3+a4=4，a5+a7=6．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=[a n]，求数列{b n}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[2.6]=2．18．（12分）某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数01234≥5保费0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a2a随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：出险次数01234≥5频数605030302010（I）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求P（A）的估计值；（Ⅱ）记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求P（B）的估计值；（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费估计值．19．（12分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别在AD，CD上，AE=CF，EF交BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置．（Ⅰ）证明：AC⊥HD′；（Ⅱ）若AB=5，AC=6，AE=，OD′=2，求五棱锥D′﹣ABCFE体积．20．（12分）已知函数f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．（I）当a=4时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（II）若当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，求a的取值范围．21．（12分）已知A是椭圆E：+=1的左顶点，斜率为k（k＞0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．（I）当|AM|=|AN|时，求△AMN的面积（II）当2|AM|=|AN|时，证明：＜k＜2．请考生在第22～24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，在正方形ABCD中，E，G分别在边DA，DC上（不与端点重合），且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F．（Ⅰ）证明：B，C，G，F四点共圆；（Ⅱ）若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积．[选项4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交与A，B两点，|AB|=，求l的斜率．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣|+|x+|，M为不等式f（x）＜2的解集．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）证明：当a，b∈M时，|a+b|＜|1+ab|．2016年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．（5分）已知集合A={1，2，3}，B={x|x2＜9}，则A∩B=（）A．{﹣2，﹣1，0，1，2，3}B．{﹣2，﹣1，0，1，2} C．{1，2，3}D．{1，2}【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】先求出集合A和B，由此利用交集的定义能求出A∩B的值．【解答】解：∵集合A={1，2，3}，B={x|x2＜9}={x|﹣3＜x＜3}，∴A∩B={1，2}．故选：D．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2．（5分）设复数z满足z+i=3﹣i，则=（）A．﹣1+2i B．1﹣2i C．3+2i D．3﹣2i【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数．【分析】根据已知求出复数z，结合共轭复数的定义，可得答案．【解答】解：∵复数z满足z+i=3﹣i，∴z=3﹣2i，∴=3+2i，故选：C．【点评】本题考查的知识点是复数代数形式的加减运算，共轭复数的定义，难度不大，属于基础题．3．（5分）函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（）A．y=2sin（2x﹣）B．y=2sin（2x﹣）C．y=2sin（x+）D．y=2sin（x+）【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】35：转化思想；4R：转化法；57：三角函数的图像与性质．【分析】根据已知中的函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象，求出满足条件的A，ω，φ值，可得答案．【解答】解：由图可得：函数的最大值为2，最小值为﹣2，故A=2，=，故T=π，ω=2，故y=2sin（2x+φ），将（，2）代入可得：2sin（+φ）=2，则φ=﹣满足要求，故y=2sin（2x﹣），故选：A．【点评】本题考查的知识点是由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，确定各个参数的值是解答的关键．4．（5分）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（）A．12πB．πC．8πD．4π【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5U：球．【分析】先通过正方体的体积，求出正方体的棱长，然后求出球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：正方体体积为8，可知其边长为2，正方体的体对角线为=2，即为球的直径，所以半径为，所以球的表面积为=12π．故选：A．【点评】本题考查学生的空间想象能力，体积与面积的计算能力，是基础题．5．（5分）设F为抛物线C：y2=4x的焦点，曲线y=（k＞0）与C交于点P，PF ⊥x轴，则k=（）A．B．1C．D．2【考点】K8：抛物线的性质．【专题】35：转化思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据已知，结合抛物线的性质，求出P点坐标，再由反比例函数的性质，可得k值．【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点F为（1，0），曲线y=（k＞0）与C交于点P在第一象限，由PF⊥x轴得：P点横坐标为1，代入C得：P点纵坐标为2，故k=2，故选：D．【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质，反比例函数的性质，难度中档．6．（5分）圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（）A．﹣B．﹣C．D．2【考点】IT：点到直线的距离公式；J9：直线与圆的位置关系．【专题】35：转化思想；4R：转化法；5B：直线与圆．【分析】求出圆心坐标，代入点到直线距离方程，解得答案．【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心坐标为：（1，4），故圆心到直线ax+y﹣1=0的距离d==1，解得：a=，故选：A．【点评】本题考查的知识点是圆的一般方程，点到直线的距离公式，难度中档．7．（5分）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．20πB．24πC．28πD．32π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2，在轴截面中圆锥的母线长使用勾股定理做出的，写出表面积，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，做出圆柱的表面积，注意不包括重合的平面．【解答】解：由三视图知，空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2，∴在轴截面中圆锥的母线长是=4，∴圆锥的侧面积是π×2×4=8π，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，∴圆柱表现出来的表面积是π×22+2π×2×4=20π∴空间组合体的表面积是28π，故选：C．【点评】本题考查由三视图求表面积，本题的图形结构比较简单，易错点可能是两个几何体重叠的部分忘记去掉，求表面积就有这样的弊端．8．（5分）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5I：概率与统计．【分析】求出一名行人前25秒来到该路口遇到红灯，即可求出至少需要等待15秒才出现绿灯的概率．【解答】解：∵红灯持续时间为40秒，至少需要等待15秒才出现绿灯，∴一名行人前25秒来到该路口遇到红灯，∴至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为=．故选：B．【点评】本题考查概率的计算，考查几何概型，考查学生的计算能力，比较基础．9．（5分）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=（）A．7B．12C．17D．34【考点】EF：程序框图．【专题】11：计算题；28：操作型；5K：算法和程序框图．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：∵输入的x=2，n=2，当输入的a为2时，S=2，k=1，不满足退出循环的条件；当再次输入的a为2时，S=6，k=2，不满足退出循环的条件；当输入的a为5时，S=17，k=3，满足退出循环的条件；故输出的S值为17，故选：C．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．10．（5分）下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是（）A．y=x B．y=lgx C．y=2x D．y=【考点】4K：对数函数的定义域；4L：对数函数的值域与最值．【专题】11：计算题；4O：定义法；51：函数的性质及应用．【分析】分别求出各个函数的定义域和值域，比较后可得答案．【解答】解：函数y=10lgx的定义域和值域均为（0，+∞），函数y=x的定义域和值域均为R，不满足要求；函数y=lgx的定义域为（0，+∞），值域为R，不满足要求；函数y=2x的定义域为R，值域为（0，+∞），不满足要求；函数y=的定义域和值域均为（0，+∞），满足要求；故选：D．【点评】本题考查的知识点是函数的定义域和值域，熟练掌握各种基本初等函数的定义域和值域，是解答的关键．11．（5分）函数f（x）=cos2x+6cos（﹣x）的最大值为（）A．4B．5C．6D．7【考点】HW：三角函数的最值．【专题】33：函数思想；4J：换元法；56：三角函数的求值；57：三角函数的图像与性质．【分析】运用二倍角的余弦公式和诱导公式，可得y=1﹣2sin2x+6sinx，令t=sinx （﹣1≤t≤1），可得函数y=﹣2t2+6t+1，配方，结合二次函数的最值的求法，以及正弦函数的值域即可得到所求最大值．【解答】解：函数f（x）=cos2x+6cos（﹣x）=1﹣2sin2x+6sinx，令t=sinx（﹣1≤t≤1），可得函数y=﹣2t2+6t+1=﹣2（t﹣）2+，由∉[﹣1，1]，可得函数在[﹣1，1]递增，即有t=1即x=2kπ+，k∈Z时，函数取得最大值5．故选：B．【点评】本题考查三角函数的最值的求法，注意运用二倍角公式和诱导公式，同时考查可化为二次函数的最值的求法，属于中档题．12．（5分）已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2﹣x），若函数y=|x2﹣2x﹣3|与y=f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（x m，y m），则x i=（）A．0B．m C．2m D．4m【考点】&2：带绝对值的函数；&T：函数迭代；3V：二次函数的性质与图象．【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】根据已知中函数函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2﹣x），分析函数的对称性，可得函数y=|x2﹣2x﹣3|与y=f（x）图象的交点关于直线x=1对称，进而得到答案．【解答】解：∵函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2﹣x），故函数f（x）的图象关于直线x=1对称，函数y=|x2﹣2x﹣3|的图象也关于直线x=1对称，故函数y=|x2﹣2x﹣3|与y=f（x）图象的交点也关于直线x=1对称，故x i=×2=m，故选：B．【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，函数的对称性质，难度中档．二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13．（5分）已知向量=（m，4），=（3，﹣2），且∥，则m=﹣6．【考点】9K：平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】11：计算题；29：规律型；5A：平面向量及应用．【分析】直接利用向量共线的充要条件列出方程求解即可．【解答】解：向量=（m，4），=（3，﹣2），且∥，可得12=﹣2m，解得m=﹣6．故答案为：﹣6．【点评】本题考查向量共线的充要条件的应用，考查计算能力．14．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最小值为﹣5．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；59：不等式的解法及应用；5T：不等式．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得B（3，4）．化目标函数z=x﹣2y为y=x﹣z，由图可知，当直线y=x﹣z过B（3，4）时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为：3﹣2×4=﹣5．故答案为：﹣5．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，则b=．【考点】HU：解三角形．【专题】34：方程思想；48：分析法；56：三角函数的求值；58：解三角形．【分析】运用同角的平方关系可得sinA，sinC，再由诱导公式和两角和的正弦公式，可得sinB，运用正弦定理可得b=，代入计算即可得到所求值．【解答】解：由cosA=，cosC=，可得sinA===，sinC===，sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=×+×=，由正弦定理可得b===．故答案为：．【点评】本题考查正弦定理的运用，同时考查两角和的正弦公式和诱导公式，以及同角的平方关系的运用，考查运算能力，属于中档题．16．（5分）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是1和3．【考点】F4：进行简单的合情推理．【专题】2A：探究型；49：综合法；5L：简易逻辑．【分析】可先根据丙的说法推出丙的卡片上写着1和2，或1和3，分别讨论这两种情况，根据甲和乙的说法可分别推出甲和乙卡片上的数字，这样便可判断出甲卡片上的数字是多少．【解答】解：根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3；（1）若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；∴根据甲的说法知，甲的卡片上写着1和3；（2）若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；又甲说，“我与乙的卡片上相同的数字不是2”；∴甲的卡片上写的数字不是1和2，这与已知矛盾；∴甲的卡片上的数字是1和3．故答案为：1和3．【点评】考查进行简单的合情推理的能力，以及分类讨论得到解题思想，做这类题注意找出解题的突破口．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）等差数列{a n}中，a3+a4=4，a5+a7=6．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=[a n]，求数列{b n}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[2.6]=2．【考点】83：等差数列的性质；84：等差数列的通项公式．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，根据已知构造关于首项和公差方程组，解得答案；（Ⅱ）根据b n=[a n]，列出数列{b n}的前10项，相加可得答案．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，∵a3+a4=4，a5+a7=6．∴，解得：，∴a n=；（Ⅱ）∵b n=[a n]，∴b1=b2=b3=1，b4=b5=2，b6=b7=b8=3，b9=b10=4．故数列{b n}的前10项和S10=3×1+2×2+3×3+2×4=24．【点评】本题考查的知识点是等差数列的通项公式，等差数列的性质，难度中档．18．（12分）某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数01234≥5保费0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a2a随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：出险次数01234≥5频数605030302010（I）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求P（A）的估计值；（Ⅱ）记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求P（B）的估计值；（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费估计值．【考点】B2：简单随机抽样．【专题】11：计算题；29：规律型；5I：概率与统计．【分析】（I）求出A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”的人数．总事件人数，即可求P（A）的估计值；（Ⅱ）求出B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”的人数．然后求P（B）的估计值；（Ⅲ）利用人数与保费乘积的和除以总续保人数，可得本年度的平均保费估计值．【解答】解：（I）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．事件A的人数为：60+50=110，该险种的200名续保，P（A）的估计值为：=；（Ⅱ）记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．事件B的人数为：30+30=60，P（B）的估计值为：=；（Ⅲ）续保人本年度的平均保费估计值为==1.1925a．【点评】本题考查样本估计总体的实际应用，考查计算能力．19．（12分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别在AD，CD上，AE=CF，EF交BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置．（Ⅰ）证明：AC⊥HD′；（Ⅱ）若AB=5，AC=6，AE=，OD′=2，求五棱锥D′﹣ABCFE体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】31：数形结合；35：转化思想；5F：空间位置关系与距离；5Q：立体几何．【分析】（1）根据直线平行的性质以菱形对角线垂直的性质进行证明即可．（2）根据条件求出底面五边形的面积，结合平行线段的性质证明OD′是五棱锥D′﹣ABCFE的高，即可得到结论．【解答】（Ⅰ）证明：∵菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别在AD，CD上，AE=CF，∴EF∥AC，且EF⊥BD将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，则D′H⊥EF，∵EF∥AC，∴AC⊥HD′；（Ⅱ）若AB=5，AC=6，则AO=3，B0=OD=4，∵AE=，AD=AB=5，∴DE=5﹣=，∵EF∥AC，∴====，∴EH=，EF=2EH=，DH=3，OH=4﹣3=1，∵HD′=DH=3，OD′=2，∴满足HD′2=OD′2+OH2，则△OHD′为直角三角形，且OD′⊥OH，又OD′⊥AC，AC∩OH=O，即OD′⊥底面ABCD，即OD′是五棱锥D′﹣ABCFE的高．底面五边形的面积S=+=+=12+=，则五棱锥D′﹣ABCFE体积V=S•OD′=××2=．【点评】本题主要考查空间直线和平面的位置关系的判断，以及空间几何体的体积，根据线面垂直的判定定理以及五棱锥的体积公式是解决本题的关键．本题的难点在于证明OD′是五棱锥D′﹣ABCFE的高．考查学生的运算和推理能力．20．（12分）已知函数f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．（I）当a=4时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（II）若当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，求a的取值范围．【考点】66：简单复合函数的导数．【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；52：导数的概念及应用．【分析】（I）当a=4时，求出曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线的斜率，即可求出切线方程；（II）先求出f′（x）＞f′（1）=2﹣a，再结合条件，分类讨论，即可求a的取值范围．【解答】解：（I）当a=4时，f（x）=（x+1）lnx﹣4（x﹣1）．f（1）=0，即点为（1，0），函数的导数f′（x）=lnx+（x+1）•﹣4，则f′（1）=ln1+2﹣4=2﹣4=﹣2，即函数的切线斜率k=f′（1）=﹣2，则曲线y=f（x）在（1，0）处的切线方程为y=﹣2（x﹣1）=﹣2x+2；（II）∵f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1），∴f′（x）=1++lnx﹣a，∴f″（x）=，∵x＞1，∴f″（x）＞0，∴f′（x）在（1，+∞）上单调递增，∴f′（x）＞f′（1）=2﹣a．①a≤2，f′（x）＞f′（1）≥0，∴f（x）在（1，+∞）上单调递增，∴f（x）＞f（1）=0，满足题意；②a＞2，存在x0∈（1，+∞），f′（x0）=0，函数f（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，由f（1）=0，可得存在x0∈（1，+∞），f（x0）＜0，不合题意．综上所述，a≤2．另解：若当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，可得（x+1）lnx﹣a（x﹣1）＞0，即为a＜，由y=的导数为y′=，由y=x﹣﹣2lnx的导数为y′=1+﹣=＞0，函数y在x＞1递增，可得＞0，则函数y=在x＞1递增，则==2，可得＞2恒成立，即有a≤2．【点评】本题主要考查了导数的应用，函数的导数与函数的单调性的关系的应用，导数的几何意义，考查参数范围的求解，考查学生分析解决问题的能力，有难度．21．（12分）已知A是椭圆E：+=1的左顶点，斜率为k（k＞0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．（I）当|AM|=|AN|时，求△AMN的面积（II）当2|AM|=|AN|时，证明：＜k＜2．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】33：函数思想；49：综合法；4M：构造法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（I）依题意知椭圆E的左顶点A（﹣2，0），由|AM|=|AN|，且MA⊥NA，可知△AMN为等腰直角三角形，设M（a﹣2，a），利用点M在E上，可得3（a﹣2）2+4a2=12，解得：a=，从而可求△AMN的面积；（II）设直线l AM的方程为：y=k（x+2），直线l AN的方程为：y=﹣（x+2），联立消去y，得（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12=0，利用韦达定理及弦长公式可分别求得|AM|=|x M﹣（﹣2）|=，|AN|==，结合2|AM|=|AN|，可得=，整理后，构造函数f（k）=4k3﹣6k2+3k ﹣8，利用导数法可判断其单调性，再结合零点存在定理即可证得结论成立．【解答】解：（I）由椭圆E的方程：+=1知，其左顶点A（﹣2，0），∵|AM|=|AN|，且MA⊥NA，∴△AMN为等腰直角三角形，∴MN⊥x轴，设M的纵坐标为a，则M（a﹣2，a），∵点M在E上，∴3（a﹣2）2+4a2=12，整理得：7a2﹣12a=0，∴a=或a=0（舍），∴S△AMN=a×2a=a2=；（II）设直线l AM的方程为：y=k（x+2），直线l AN的方程为：y=﹣（x+2），由消去y得：（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12=0，∴x M﹣2=﹣，∴x M=2﹣=，∴|AM|=|x M﹣（﹣2）|=•=∵k＞0，∴|AN|==，又∵2|AM |=|AN |，∴=，整理得：4k 3﹣6k 2+3k ﹣8=0，设f （k ）=4k 3﹣6k 2+3k ﹣8，则f′（k ）=12k 2﹣12k +3=3（2k ﹣1）2≥0，∴f （k ）=4k 3﹣6k 2+3k ﹣8为（0，+∞）的增函数，又f （）=4×3﹣6×3+3﹣8=15﹣26=﹣＜0，f （2）=4×8﹣6×4+3×2﹣8=6＞0，∴＜k ＜2．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，常用的方法就是联立方程求出交点的横坐标或者纵坐标的关系，通过这两个关系的变形去求解，考查构造函数思想与导数法判断函数单调性，再结合零点存在定理确定参数范围，是难题．请考生在第22～24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，在正方形ABCD 中，E ，G 分别在边DA ，DC 上（不与端点重合），且DE=DG ，过D 点作DF ⊥CE ，垂足为F ．（Ⅰ）证明：B ，C ，G ，F 四点共圆；（Ⅱ）若AB=1，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积．【考点】N8：圆內接多边形的性质与判定．【专题】14：证明题．【分析】（Ⅰ）证明B ，C ，G ，F 四点共圆可证明四边形BCGF 对角互补，由已知条件可知∠BCD=90°，因此问题可转化为证明∠GFB=90°；（Ⅱ）在Rt △DFC 中，GF=CD=GC ，因此可得△GFB ≌△GCB ，则S 四边形BCGF =2S △BCG ，据此解答．【解答】（Ⅰ）证明：∵DF ⊥CE ，∴Rt △DFC ∽Rt △EDC ，∴=，∵DE=DG ，CD=BC ，∴=，又∵∠GDF=∠DEF=∠BCF ，∴△GDF ∽△BCF ，∴∠CFB=∠DFG ，∴∠GFB=∠GFC +∠CFB=∠GFC +∠DFG=∠DFC=90°，∴∠GFB +∠GCB=180°，∴B ，C ，G ，F 四点共圆．（Ⅱ）∵E 为AD 中点，AB=1，∴DG=CG=DE=，∴在Rt △DFC 中，GF=CD=GC ，连接GB ，Rt △BCG ≌Rt △BFG ，∴S 四边形BCGF =2S △BCG =2××1×=．【点评】本题考查四点共圆的判断，主要根据对角互补进行判断，注意三角形相似和全等性质的应用．[选项4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为（x +6）2+y 2=25．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的参数方程是（t 为参数），l 与C 交与A ，B 两点，|AB |=，求l 的斜率．【考点】J1：圆的标准方程；J8：直线与圆相交的性质．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5B：直线与圆．【分析】（Ⅰ）把圆C的标准方程化为一般方程，由此利用ρ2=x2+y2，x=ρcosα，y=ρsinα，能求出圆C的极坐标方程．（Ⅱ）由直线l的参数方程求出直线l的一般方程，再求出圆心到直线距离，由此能求出直线l的斜率．【解答】解：（Ⅰ）∵圆C的方程为（x+6）2+y2=25，∴x2+y2+12x+11=0，∵ρ2=x2+y2，x=ρcosα，y=ρsinα，∴C的极坐标方程为ρ2+12ρcosα+11=0．（Ⅱ）∵直线l的参数方程是（t为参数），∴t=，代入y=tsinα，得：直线l的一般方程y=tanα•x，∵l与C交与A，B两点，|AB|=，圆C的圆心C（﹣6，0），半径r=5，圆心到直线的距离d=．∴圆心C（﹣6，0）到直线距离d==，解得tan2α=，∴tanα=±=±．∴l的斜率k=±．【点评】本题考查圆的极坐标方程的求法，考查直线的斜率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线公式、圆的性质的合理运用．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣|+|x+|，M为不等式f（x）＜2的解集．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）证明：当a，b∈M时，|a+b|＜|1+ab|．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【专题】32：分类讨论；35：转化思想；4C：分类法；4R：转化法；59：不等式的解法及应用．【分析】（I）分当x＜时，当≤x≤时，当x＞时三种情况，分别求解不等式，综合可得答案；（Ⅱ）当a，b∈M时，（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，即a2b2+1＞a2+b2，配方后，可证得结论．【解答】解：（I）当x＜时，不等式f（x）＜2可化为：﹣x﹣x﹣＜2，解得：x＞﹣1，∴﹣1＜x＜，当≤x≤时，不等式f（x）＜2可化为：﹣x+x+=1＜2，此时不等式恒成立，∴≤x≤，当x＞时，不等式f（x）＜2可化为：﹣+x+x+＜2，解得：x＜1，∴＜x＜1，综上可得：M=（﹣1，1）；证明：（Ⅱ）当a，b∈M时，（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，即a2b2+1＞a2+b2，即a2b2+1+2ab＞a2+b2+2ab，即（ab+1）2＞（a+b）2，即|a+b|＜|1+ab|．【点评】本题考查的知识点是绝对值不等式的解法，不等式的证明，难度中档．。
决胜2016年高考数学全国名校试题分项汇编(新课标Ⅱ特刊)专题07不等式(第02期)(原卷版)
第七章 不等式一．基础题组1.(安徽省示范高中2016届高三第一次联考、理、7）设变量,x y 满足约束条件24220x y x y x +≤⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩，则目标函数z x y =-的最小值为（ ）A.2B.-4C.-1D.42.（广东省廉江一中2016届高三月考、理、1）设集合},2|{->=x x S },043|{2≤-+=x x x T 则=T S C R )(( )A ．]1,2(-B ．]4,(--∞C ．]1,(-∞D ．),1[+∞3.(宁夏银川市唐徕回民中学2016届高三月考、理、8）已知f (x)是定义在[0，＋∞)上的单调递增函数，则满足f (2x －1)< f (13) 的x 的取值范围是( ) A ．( 13，23) B ．[ 13，23 ) C ．[ 12，23 ) D ．( 12，23) 4.（广东省广州市荔湾区2016届高三调研测试、理、8）已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-≤+011y y x y x 所表示的平面区域为D ，若直线3y kx =-与平面区域D 有公共点，则k 的取值范围为是A.[3,3]-B.11(,][,)33-∞-+∞C.(,3][3,)-∞-+∞D.11[,]33- 5.(宁夏银川一中2016届高三月考、理、2)下列命题中的假命题是A ．02,1>∈∀-x R x B.0)1(,2>-∈∀*x N xC ．1lg ,00<∈∃x R x D. 2tan ,00=∈∃x R x6.（重庆市巴蜀中学2016届高三月考数学、理、6）若11<<0a b，则下列结论不正确的是( ) A ．22a b < B ．2ab b < C ．0a b <＋D ．a b a b >+＋7.（重庆市巴蜀中学2016届高三月考数学、理、7）已知函数()1f x x x a =++-，若不等式()6f x ≥的解集为(,2][4,)-∞-+∞，则a 的值为( )A ．-7或3B ．-7或5C ．3D ．3或58.(陕西省镇安中学2016届高三月考、理、8）函数x x x y 2-4)ln(2+-=的定义域为A. ），（），（0-1∞∞+B. ），（，（0-]21∞C. ），（0-∞D. ]2-，（∞ 9.（重庆市部分区县2016届高三上学期入学考试、理、4）设x R ∈ ，则“21x -< ”是“220x x +-> ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二．能力题组1.(东北师大附中、吉林市第一中学校等2016届高三五校联考、理、5）若x 、y 满足不等式⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥+-≤-+10303y y x y x ，则z =3x +y 的最大值为（ ）A. 11B. 11-C. 13D. 13-2.(宁夏银川市唐徕回民中学2016届高三月考、理、9）已知函数f (x) =⎩⎨⎧e x－k ，x ≤0，(1－k )x ＋k ，x ＞0 是R 上的增函数,则实数k 的取值范围是( )A ．( 13，23) B ．[13，23 ) C ．( 12，23 ) D ．[ 12，1 ) 3.（云南省玉溪市第一中学2016届高三月考、理、6）若)1,0(∈x ，则下列结论正确的是A ．x x x 2lg >>B ．x x x >>lg 2C ．x x x lg 2>>D ．x x x lg 2>>4.（武汉市部分学校2015-2016 学年新高三调研、理、8）已知函数()22,1,22,1,x x f x x x -⎧≤-=⎨+>-⎩则满足()2f a ≥的实数a 的取值范围是（ ）A. ()(),20,-∞-⋃+∞B. ()1,0-C. ()2,0-D. (][),10,-∞-⋃+∞5.（重庆市巴蜀中学2016届高三月考数学、理、10）若正数a ，b 满足2a b +=，则14+1+1a b +的最小值是( )A ．1B ．94C ．9D ．16 6.(陕西省镇安中学2016届高三月考、理、16）函数()122100x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩，若3)(>a f ，则a 的取值范围是__________.7.（安徽省合肥市第八中学2016届高三阶段考试、理、15）已知函数22()441f x x mx m =-+-，若关于x 的不等式(())0f f x <的解集为空集，则实数m 的取值范围是 。
2016年全国高考数学试题分类汇编考点23不等关系与不等式
考点23 不等关系与不等式一、选择题1.(2016年浙江高考理科·T8)已知实数a ,b ,c ( ) A.若|a 2＋b ＋c|＋|a ＋b 2＋c|≤1,则a 2＋b 2＋c 2＜100B.若|a 2＋b ＋c|＋|a 2＋b-c|≤1,则a 2＋b 2＋c 2＜100 C.若|a ＋b ＋c 2|＋|a ＋b-c 2|≤1,则a 2＋b 2＋c 2＜100 D.若|a 2＋b ＋c|＋|a ＋b 2-c|≤1,则a 2＋b 2＋c 2＜100 【解题指南】可利用特殊值法判断.【试题解析】选D.当a ＝b ＝10,c ＝-110时,A 不适合;当a ＝10,b ＝-100,c ＝0时,B 不适合;当a ＝100,b ＝-100,c ＝0时,C 不适合.2.(2016年天津高考文科·T6)已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增,若实数a 满足f (2|a-1|)＞f (则a 的取值范围是 ( ) A.1∞,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 1∞,2⎛⎫- ⎪⎝⎭∪3,∞2⎛⎫+ ⎪⎝⎭C.13,22⎛⎫⎪⎝⎭D.3,∞2⎛⎫+ ⎪⎝⎭【解题指南】利用f (x )的奇偶性把不等式f (2|a-1|)＞f (脱去f ,转化为指数不等式,然后利用指数函数的性质求解.【试题解析】选C.由f (x )是偶函数,且f (x )在()∞,0-上单调递增可知,在()0,∞+上单调递减.又f ()a 12-＞f (,f (＝f ,可得,a 12-<,即1a 12-<,解得12＜a ＜32. 3.(2016年北京高考理科·T5)已知x ,y ∈R ,且x ＞y ＞0,则 ( ) A.11x y-＞0 B.sinx-siny ＞0C. xy1122-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜0 D.lnx ＋lny ＞0【解题指南】利用不等式的性质和函数的单调性解决问题.【试题解析】选C.11x y-＝错误！未找到引用源。
2016版新课标高考数学题型全归纳文科PPT.第七章 不等式第1节
1 a b a 0, a … 2； … 2（ a, b 同号）. 时取“=”）特例： a b a
（3）其他变形： ( a b) 2 2 2 ①a b … （沟通两和a b 与两平方和 a 2 b 2的不等关系式） 2 a 2 b2 2 2 ② ab „ （沟通两积ab 与两平方和a b 的不等关系式） 2 2 a b ③ab „ （沟通两积ab 与两和a b 的不等关系式） 2 （4）重要不等式串：
综上所述，②③④⑤命题都是真命题. 故选C. 【评注】准确记忆各性质成立的条件，是正确应用的前提. 在不等式的判断 中，特殊值法也是非常有效地方法.
题型83 基本不等式及其应用 2 2 a b 【例7.3】 a b 0 是 ab 的（ 2
A. 充分不必要条件 C. 充要条件
）.
B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
n Ν n a n b 0 ⑺ a b0 ， （注意条件为正）； 1 1 1 1 ab ； ab . ⑻ ab 0 ， ab 0 ， a b a b
✎题型归纳及思路提示
题型81 不等式的性质 【例7.1】 对于实数a, b, c ，有下列命题：①若a b ，则 ac bc ；
2 2 a 2 b2 a b 【解析】 由 a b 0能推出ab ；但反之不然，因为 ab 2 2 的条件是a, b R . 故选A.
【解析】
解法一：推演法.
解法二：赋值法.
故选D.
题型84 利用基本不等式求函数最值
【分析】
【解析】
【评注】
解（1）时，应注意积为定值这个前提条件；
【分 析】判断命题的真假，要紧扣不等式的性质，应注意条件与结论之
2016年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅱ)(含解析版)
2016年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．（5分）已知集合A={1，2，3}，B={x|x2＜9}，则A∩B=（）A．{﹣2，﹣1，0，1，2，3}B．{﹣2，﹣1，0，1，2}C．{1，2，3}D．{1，2}2．（5分）设复数z满足z+i=3﹣i，则=（）A．﹣1+2i B．1﹣2i C．3+2i D．3﹣2i3．（5分）函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（）A．y=2sin（2x﹣）B．y=2sin（2x﹣）C．y=2sin（x+）D．y=2sin（x+）4．（5分）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（）A．12πB．πC．8πD．4π5．（5分）设F为抛物线C：y2=4x的焦点，曲线y=（k＞0）与C交于点P，PF ⊥x轴，则k=（）A．B．1C．D．26．（5分）圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（）A．﹣B．﹣C．D．27．（5分）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．20πB．24πC．28πD．32π8．（5分）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=（）A．7B．12C．17D．3410．（5分）下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是（）A．y=x B．y=lgx C．y=2x D．y=11．（5分）函数f（x）=cos2x+6cos（﹣x）的最大值为（）A．4B．5C．6D．712．（5分）已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2﹣x），若函数y=|x2﹣2x﹣3|与y=f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（x m，y m），则x i=（）A．0B．m C．2m D．4m二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13．（5分）已知向量=（m，4），=（3，﹣2），且∥，则m=．14．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最小值为．15．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，则b=．16．（5分）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）等差数列{a n}中，a3+a4=4，a5+a7=6．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=[a n]，求数列{b n}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[2.6]=2．18．（12分）某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：（I）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求P（A）的估计值；（Ⅱ）记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求P（B）的估计值；（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费估计值．19．（12分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别在AD，CD上，AE=CF，EF交BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置．（Ⅰ）证明：AC⊥HD′；（Ⅱ）若AB=5，AC=6，AE=，OD′=2，求五棱锥D′﹣ABCFE体积．20．（12分）已知函数f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．（I）当a=4时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（II）若当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，求a的取值范围．21．（12分）已知A是椭圆E：+=1的左顶点，斜率为k（k＞0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．（I）当|AM|=|AN|时，求△AMN的面积（II）当2|AM|=|AN|时，证明：＜k＜2．请考生在第22～24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，在正方形ABCD中，E，G分别在边DA，DC上（不与端点重合），且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F．（Ⅰ）证明：B，C，G，F四点共圆；（Ⅱ）若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积．[选项4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交与A，B两点，|AB|=，求l的斜率．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣|+|x+|，M为不等式f（x）＜2的解集．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）证明：当a，b∈M时，|a+b|＜|1+ab|．2016年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．（5分）已知集合A={1，2，3}，B={x|x2＜9}，则A∩B=（）A．{﹣2，﹣1，0，1，2，3}B．{﹣2，﹣1，0，1，2}C．{1，2，3}D．{1，2}【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】先求出集合A和B，由此利用交集的定义能求出A∩B的值．【解答】解：∵集合A={1，2，3}，B={x|x2＜9}={x|﹣3＜x＜3}，∴A∩B={1，2}．故选：D．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2．（5分）设复数z满足z+i=3﹣i，则=（）A．﹣1+2i B．1﹣2i C．3+2i D．3﹣2i【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数．【分析】根据已知求出复数z，结合共轭复数的定义，可得答案．【解答】解：∵复数z满足z+i=3﹣i，∴z=3﹣2i，∴=3+2i，故选：C．。
2016年高考试题分类汇编(不等式)
2016年高考试题分类汇编（不等式）考点1 不等式的性质1.（2016·北京卷·理科）已知,x y R ∈，且0x y >>，则 A. 110x y-> B.sin sin 0x y -> C.11()()022x y -< D.ln ln 0x y +> 2.（2016·天津卷·文科）设0>x ，R y ∈，则“y x >”是“||y x >”的A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件3.（2016·浙江卷·文科）已知,0a b >，且1a ≠，1b ≠，若log 1a b >，则A.(1)(1)0a b --<B.(1)()0a a b -->C.(1)()0b b a --<D.(1)()0b b a -->4.（2016·四川卷·文科）设p :实数,x y 满足1x >且1y >，q : 实数,x y 满足 2x y +>，则p 是q 的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件考点2 解不等式或证明不等式考法1 一元二次不等式1.（2016·全国卷Ⅰ·理科）设集合{}2430A x x x =-+<，{}230B x x =->,则A B = A.3(3,)2-- B.3(3,)2- C.3(1,)2 D.3(3)2， 2.（2016·全国卷Ⅱ·理科）已知集合{1,2}A =,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A B =A.{}1B.{}12，C.{}012,3，，D.{}1,012,3-，，3.（2016·全国卷Ⅲ·理科）设集合{}(2)(3)0S x x x =--≥，{}0T x x =>，则S T =IA.[]23，B.(][),23-∞+∞，UC.[)3+∞，D.(][)0,23+∞，U4.（2016·浙江卷·理科）已知集合{}13P x R x =∈≤≤, {}24Q x R x =∈≥,则()P Q =R ðA ．[]23，B ．(]2,3-C ．[)1,2D ．(,2][1,)-∞-+∞5.（2016·山东卷·理科）设集合{}2,x A y y x R ==∈，{}210B x x =-<，则 A B = A.(1,1)- B.(0,1) C.(1,)-+∞ D.(0,)+∞6.（2016·全国卷Ⅱ·文科）已知集合{}123A =，，，{}29B x x =<，则A B =A.{}210123--，，，，，B.{}21012--，，，，C.{}123，，D.{}12，7.（2016·江苏卷）函数y =的定义域是 .考法2 分式不等式或高次不等式考法3 含有绝对值符号的不等式考法4 数的大小比较1.（2016·全国卷Ⅰ·理科）若1a b >>，01c <<则A.c c a b <B.c c ab ba <C.log log b a a c b c <D.log log a b c c <2.（2016·全国卷Ⅰ·理科）若0a b >>，01c <<则A.log log a b c c <B.log log c c a b <C.c c a b <D.a b c c >3.（2016·全国卷Ⅲ·文理）已知432a =，254b =，1325c =，则A.b a c <<B.a b c <<C.b c a <<D.c a b << 考点3 基本不等式考点4 线性规划1.（2016·全国卷Ⅱ·文科）若,x y 满足约束条件103030 x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =-的最小值为_______.2.（2016·全国卷Ⅲ·理科）若,x y满足约束条件1020220x yx yx y-+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则z x y=+的最大值为_______.3.（2016·北京卷·理科）若,x y满足203x yx yx-≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2x y+的最大值为A.0B.3C.4D.54.（2016·天津卷·理科）设变量,x y满足约束条件2023603290x yx yx y-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，则目标函数25z x y=+的最小值为A.4- B.6 C.10 D.175.（2016·全国卷Ⅲ·文科）设,x y满足约束条件2102101x yx yx-+≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，则235z x y=+-的最小值为______.6.（2016·浙江卷·文科）若平面区域30230230x yx yx y+-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是7.（2016·浙江卷·理科）在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P 在直线l上的投影．由区域20340xx yx y-≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩中的点在直线20x y+-=上的投影构成的线段记为AB，则AB=A．．4 C．．68.（2016·山东卷·理科）若变量,x y 满足 2 2390 x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则22x y +的最大值是A.4B.9C.10D.129.（2016·江苏卷）已知实数,x y 满足240220330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则22x y +的取值范围是 .考点5不等式选讲1.（2016·全国卷Ⅰ·理科）已知函数()123f x x x =+--. （Ⅰ）在答题卡第（24）题图中画出()y f x =的图像； （Ⅱ）求不等式()1f x >的解集.2.（2016·全国卷Ⅰ·理科）已知函数11()22f x x x =-++，M 为不等式()2f x < 的解集.（Ⅰ）求M ；（Ⅱ）证明：当,a b M ∈时，1a b ab +<+.3.（2016·全国卷Ⅲ·理科）已知函数()2f x x a a =-+.（Ⅰ）当2a =时，求不等式()6f x ≤的解集； （Ⅱ）设函数()21g x x =-，当x R ∈时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围.4.（2016·江苏卷）设0a >，13a x -<，23a y -<，求证：24x y a +-<.。
2016年高考数学试题分类解析考点47 不等式选讲
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考点47 不等式选讲1.(2016·全国卷Ⅰ高考文科·T24)同(2016·全国卷Ⅰ高考理科·T24)选修4—5:不等式选讲 已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|.(1)画出y=f(x)的图像.(2)求不等式|f(x)|>1的解集.【解析】(1)如图所示:(2)f(x)=x 4,x 1,33x 2,1x ,234x,x ,2⎧⎪-≤-⎪⎪--<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩|f(x)|>1,当x ≤-1时,|x-4|>1,解得x>5或x<3,∴x ≤-1.当-1<x<32时,|3x-2|>1,解得x>1或x<13,∴-1<x<13或1<x<32.当x ≥32时,|4-x|>1,解得x>5或x<3, ∴32≤x<3或x>5.综上,x<13或1<x<3或x>5,∴|f(x)|>1的解集为1∞,3⎛⎫- ⎪⎝⎭∪(1,3)∪(5,+∞). 2.(2016·全国卷Ⅱ文科·T24)同(2016·全国卷Ⅱ理科·T24)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=11x +x 22-+,M 为不等式f(x)<2的解集. (1)求M.(2)证明:当a,b ∈M 时,|a+b|<|1+ab|.【解题指南】(1)函数解析式含有绝对值,需要讨论去掉绝对值符号后,再解不等式.(2)可以用分析法分析,用综合法证明.【解析】(1)当x<-12时,f(x)=12 -x-x-12=-2x<2,解得-1<x<-12;当-12≤x ≤12时,f(x)=12 -x+x+12=1<2恒成立;当x>12时,f(x)=2x<2,解得12<x<1.综上可得,M={x|-1<x<1}.(2)当a,b ∈(-1,1)时,有(a 2-1)(b 2-1)>0,即a 2b 2+1>a 2+b 2,则a 2b 2+2ab+1>a 2+2ab+b 2,则(ab+1)2>(a+b)2,即|a+b|<|ab+1|.3.(2016·全国卷Ⅲ·文科·T24)与(2016·全国卷3·理科·T24)相同选修4-5:不等式选讲已知函数f(x)=|2x-a|+a.(1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集.(2)设函数g(x)=|2x-1|,当x ∈R 时,f(x)+g(x)≥3,求a 的取值范围.【解析】(1)当a=2时,f(x)= |2x-2| +2,解不等式|2x-2|+2≤6得-1≤x ≤3.因此f(x)≤6的解集为{}x 1x 3-≤≤.(2)当x ∈R 时, f(x)+g(x)=2x a - +a+12x - ≥2x a 12x -+-+a =1a -+a,所以当x ∈R 时,f(x)+g(x)≥3等价于1a -+a ≥3, ①当a 1时,①等价于 ≤1a 3,无解a -+≥当a 1时,①等价于 a 1a 3,解得a 2.>-+≥≥所以a 的取值范围是)2,∞.⎡+⎣4.(2016·江苏高考T21)D.[选修4-5:不等式选讲]设a>0, |x-1|<3a ,|y-2|<错误！未找到引用源。
2016年全国高考文科数学试题及答案
2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
234（1B =2} （（2（A (3)=sin()y A x ωϕ+（A ）2sin(2)6y x π=-（B ）2sin(2)3y x π=-（C ）2sin(2+)6y x π=（D ）2sin(2+)3y x π=(4)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（A）12π（B）323π（C）8π（D）4π(5)设F为抛物线C：y2=4x的焦点，曲线y=kx（k>0）与C交于点P，PF⊥x 轴，则k=（A）12（B）1（C）32（D）2(6)圆（A(7)（A(8)40秒.若（A(9)（A（B（C）17（D）34(10)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是（A）y=x（B）y=lg x（C）y=2x（D）y=(11)函数π()cos 26cos()2f x x x =+-的最大值为（A ）4（B ）5 （C ）6 （D ）7(12)已知函数f (x )（x ∈R ）满足f (x )=f (2-x )，若函数y =|x 2-2x -3|与y =f (x )图像的交点为（x 1,y 1），(x 2,y 2)，…，（x m ,y m ），则1=mi i x =∑(A)0(B)m (C)2m (D)4m(13)(14)（15513C =，a =1（16（17等差数列{n a }中，34574,6a a a a +=+=（I ）求{n a }的通项公式；(II)设n b =[n a ]，求数列{n b }的前10项和，其中[x]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2 （18）(本小题满分12分)某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：（I ）记A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”。
2016年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅲ)(含解析版)
2016年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合A={0，2，4，6，8，10}，B={4，8}，则∁A B=（）A．{4，8}B．{0，2，6}C．{0，2，6，10}D．{0，2，4，6，8，10}2．（5分）若z=4+3i，则=（）A．1B．﹣1C．+i D．﹣i3．（5分）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120°4．（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（）A．各月的平均最低气温都在0℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20℃的月份有5个5．（5分）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（）A．B．C．D．6．（5分）若tanθ=，则cos2θ=（）A．B．C．D．7．（5分）已知a=，b=，c=，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b 8．（5分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（）A．3B．4C．5D．69．（5分）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则sinA=（）A．B．C．D．10．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A．18+36B．54+18C．90D．8111．（5分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（）A．4πB．C．6πD．12．（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C 的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x+3y﹣5的最小值为．14．（5分）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=2sinx的图象至少向右平移个单位长度得到．15．（5分）已知直线l：x﹣y+6=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B 分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．则|CD|=．16．（5分）已知f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）=e﹣x﹣1﹣x，则曲线y=f （x）在点（1，2）处的切线方程是．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）已知各项都为正数的数列{a n}满足a1=1，a n2﹣（2a n+1﹣1）a n﹣2a n+1=0．（1）求a2，a3；（2）求{a n}的通项公式．18．（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：y i=9.32，t i y i=40.17，=0.55，≈2.646．参考公式：相关系数r=，回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（Ⅰ）证明MN∥平面PAB；（Ⅱ）求四面体N﹣BCM的体积．20．（12分）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．21．（12分）设函数f（x）=lnx﹣x+1．（1）讨论f（x）的单调性；（2）证明当x∈（1，+∞）时，1＜＜x；（3）设c＞1，证明当x∈（0，1）时，1+（c﹣1）x＞c x．请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．（1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．2016年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合A={0，2，4，6，8，10}，B={4，8}，则∁A B=（）A．{4，8}B．{0，2，6}C．{0，2，6，10}D．{0，2，4，6，8，10}【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【专题】11：计算题；29：规律型；5J：集合．【分析】根据全集A求出B的补集即可．【解答】解：集合A={0，2，4，6，8，10}，B={4，8}，则∁A B={0，2，6，10}．故选：C．【点评】本题考查集合的基本运算，是基础题．2．（5分）若z=4+3i，则=（）A．1B．﹣1C．+i D．﹣i【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5N：数系的扩充和复数．【分析】利用复数的除法以及复数的模化简求解即可．【解答】解：z=4+3i，则===﹣i．故选：D．【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力．3．（5分）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120°【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【专题】11：计算题；41：向量法；49：综合法；5A：平面向量及应用．【分析】根据向量的坐标便可求出，及的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出cos∠ABC的值，根据∠ABC的范围便可得出∠ABC的值．【解答】解：，；∴；又0°≤∠ABC≤180°；∴∠ABC=30°．故选：A．【点评】考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角．4．（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（）A．各月的平均最低气温都在0℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20℃的月份有5个【考点】F4：进行简单的合情推理．【专题】31：数形结合；4A：数学模型法；5M：推理和证明．【分析】根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图进行推理判断即可．【解答】解：A．由雷达图知各月的平均最低气温都在0℃以上，正确B．七月的平均温差大约在10°左右，一月的平均温差在5°左右，故七月的平均温差比一月的平均温差大，正确C．三月和十一月的平均最高气温基本相同，都为10°，正确D．平均最高气温高于20℃的月份有7，8两个月，故D错误，故选：D．【点评】本题主要考查推理和证明的应用，根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图，利用图象法进行判断是解决本题的关键．5．（5分）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（）A．B．C．D．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】11：计算题；38：对应思想；4B：试验法；5I：概率与统计．【分析】列举出从M，I，N中任取一个字母，再从1，2，3，4，5中任取一个数字的基本事件数，然后由随机事件发生的概率得答案．【解答】解：从M，I，N中任取一个字母，再从1，2，3，4，5中任取一个数字，取法总数为：（M，1），（M，2），（M，3），（M，4），（M，5），（I，1），（I，2），（I，3），（I，4），（I，5），（N，1），（N，2），（N，3），（N，4），（N，5）共15种．其中只有一个是小敏的密码前两位．由随机事件发生的概率可得，小敏输入一次密码能够成功开机的概率是．故选：C．【点评】本题考查随机事件发生的概率，关键是列举基本事件总数时不重不漏，是基础题．6．（5分）若tanθ=，则cos2θ=（）A．B．C．D．【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】11：计算题；35：转化思想；56：三角函数的求值．【分析】原式利用二倍角的余弦函数公式变形，再利用同角三角函数间的基本关系化简，将tanθ的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵tanθ=，∴cos2θ=2cos2θ﹣1=﹣1=﹣1=．故选：D．【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．7．（5分）已知a=，b=，c=，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【考点】4Y：幂函数的单调性、奇偶性及其应用．【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】b==，c==，结合幂函数的单调性，可比较a，b，c，进而得到答案．【解答】解：∵a==，b=，c==，综上可得：b＜a＜c，故选：A．【点评】本题考查的知识点是指数函数的单调性，幂函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．8．（5分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（）A．3B．4C．5D．6【考点】EF：程序框图．【专题】11：计算题；27：图表型；4B：试验法；5K：算法和程序框图．【分析】模拟执行程序，根据赋值语句的功能依次写出每次循环得到的a，b，s，n的值，当s=20时满足条件s＞16，退出循环，输出n的值为4．【解答】解：模拟执行程序，可得a=4，b=6，n=0，s=0执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=6，n=1不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=10，n=2不满足条件s＞16，执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=16，n=3不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=20，n=4满足条件s＞16，退出循环，输出n的值为4．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的a，b，s的值是解题的关键，属于基础题．9．（5分）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则sinA=（）A．B．C．D．【考点】HT：三角形中的几何计算；HU：解三角形．【专题】11：计算题；35：转化思想；58：解三角形．【分析】由已知，结合勾股定理和余弦定理，求出AB，AC，再由三角形面积公式，可得sinA．【解答】解：∵在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，∴AB=BC，由余弦定理得：AC===BC，故BC•BC=AB•AC•sinA=•BC•BC•sinA，∴sinA=，故选：D．【点评】本题考查的知识点是三角形中的几何计算，熟练掌握正弦定理和余弦定理，是解答的关键．10．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A．18+36B．54+18C．90D．81【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离；5Q：立体几何．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四棱柱，进而得到答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四棱柱，其底面面积为：3×6=18，侧面的面积为：（3×3+3×）×2=18+18，故棱柱的表面积为：18×2+18+18=54+18．故选：B．【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．11．（5分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（）A．4πB．C．6πD．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离；5Q：立体几何．【分析】根据已知可得直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为，代入球的体积公式，可得答案．【解答】解：∵AB⊥BC，AB=6，BC=8，∴AC=10．故三角形ABC的内切圆半径r==2，又由AA1=3，故直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为，此时V的最大值=，故选：B．【点评】本题考查的知识点是棱柱的几何特征，根据已知求出球的半径，是解答的关键．12．（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C 的离心率为（）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意可得F，A，B的坐标，设出直线AE的方程为y=k（x+a），分别令x=﹣c，x=0，可得M，E的坐标，再由中点坐标公式可得H的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值．【解答】解：由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），设直线AE的方程为y=k（x+a），令x=﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x=0，可得E（0，ka），设OE的中点为H，可得H（0，），由B，H，M三点共线，可得k BH=k BM，即为=，化简可得=，即为a=3c，可得e==．另解：由△AMF∽△AEO，可得=，由△BOH∽△BFM，可得==，即有=即a=3c，可得e==．故选：A．【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的方程和性质，以及直线方程的运用和三点共线的条件：斜率相等，考查化简整理的运算能力，属于中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x+3y﹣5的最小值为﹣10．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；35：转化思想；44：数形结合法；59：不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得，即A（﹣1，﹣1）．化目标函数z=2x+3y﹣5为．由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为2×（﹣1）+3×（﹣1）﹣5=﹣10．故答案为：﹣10．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14．（5分）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=2sinx的图象至少向右平移个单位长度得到．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】39：运动思想；49：综合法；57：三角函数的图像与性质．【分析】令f（x）=2sinx，则f（x﹣φ）=2in（x﹣φ），依题意可得2sin（x﹣φ）=2sin（x﹣），由﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），可得答案．【解答】解：∵y=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），令f（x）=2sinx，则f（x﹣φ）=2in（x﹣φ）（φ＞0），依题意可得2sin（x﹣φ）=2sin（x﹣），故﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），即φ=﹣2kπ+（k∈Z），当k=0时，正数φmin=，故答案为：．【点评】本题考查函数y=sin x的图象变换得到y=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象，得到﹣φ=2kπ﹣（k∈Z）是关键，属于中档题．15．（5分）已知直线l：x﹣y+6=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B 分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．则|CD|=4．【考点】J8：直线与圆相交的性质．【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5B：直线与圆．【分析】先求出|AB|，再利用三角函数求出|CD|即可．【解答】解：由题意，圆心到直线的距离d==3，∴|AB|=2=2，∵直线l：x﹣y+6=0∴直线l的倾斜角为30°，∵过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，∴|CD|==4．故答案为：4．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，考查学生的计算能力，比较基础．16．（5分）已知f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）=e﹣x﹣1﹣x，则曲线y=f （x）在点（1，2）处的切线方程是y=2x．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】11：计算题；33：函数思想；4A：数学模型法；53：导数的综合应用．【分析】由已知函数的奇偶性结合x≤0时的解析式求出x＞0时的解析式，求出导函数，得到f′（1），然后代入直线方程的点斜式得答案．【解答】解：已知f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）=e﹣x﹣1﹣x，设x＞0，则﹣x＜0，∴f（x）=f（﹣x）=e x﹣1+x，则f′（x）=e x﹣1+1，f′（1）=e0+1=2．∴曲线y=f（x）在点（1，2）处的切线方程是y﹣2=2（x﹣1）．即y=2x．故答案为：y=2x．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了函数解析式的求解及常用方法，是中档题．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）已知各项都为正数的数列{a n}满足a1=1，a n2﹣（2a n+1﹣1）a n﹣2a n+1=0．（1）求a2，a3；（2）求{a n}的通项公式．【考点】8H：数列递推式．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）根据题意，由数列的递推公式，令n=1可得a12﹣（2a2﹣1）a1﹣2a2=0，将a1=1代入可得a2的值，进而令n=2可得a22﹣（2a3﹣1）a2﹣2a3=0，将a2=代入计算可得a3的值，即可得答案；（2）根据题意，将a n2﹣（2a n+1﹣1）a n﹣2a n+1=0变形可得（a n﹣2a n+1）（a n+a n+1）=0，进而分析可得a n=2a n+1或a n=﹣a n+1，结合数列各项为正可得a n=2a n+1，结合等比数列的性质可得{a n}是首项为a1=1，公比为的等比数列，由等比数列的通项公式计算可得答案．【解答】解：（1）根据题意，a n2﹣（2a n+1﹣1）a n﹣2a n+1=0，当n=1时，有a12﹣（2a2﹣1）a1﹣2a2=0，而a1=1，则有1﹣（2a2﹣1）﹣2a2=0，解可得a2=，当n=2时，有a22﹣（2a3﹣1）a2﹣2a3=0，又由a2=，解可得a3=，故a2=，a3=；（2）根据题意，a n2﹣（2a n+1﹣1）a n﹣2a n+1=0，变形可得（a n﹣2a n+1）（a n+1）=0，即有a n=2a n+1或a n=﹣1，又由数列{a n}各项都为正数，则有a n=2a n+1，故数列{a n}是首项为a1=1，公比为的等比数列，则a n=1×（）n﹣1=（）n﹣1，故a n=（）n﹣1．【点评】本题考查数列的递推公式，关键是转化思路，分析得到a n与a n+1的关系．18．（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：y i=9.32，t i y i=40.17，=0.55，≈2.646．参考公式：相关系数r=，回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．【考点】BK：线性回归方程．【专题】11：计算题；35：转化思想；5I：概率与统计．【分析】（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，将已知数据代入相关系数方程，可得答案；（2）根据已知中的数据，求出回归系数，可得回归方程，2016年对应的t值为9，代入可预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．【解答】解：（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，理由如下：∵r==≈≈≈0.993，∵0.993＞0.75，故y与t之间存在较强的正相关关系；（2）==≈≈0.103，=﹣≈1.331﹣0.103×4≈0.92，∴y关于t的回归方程=0.10t+0.92，2016年对应的t值为9，故=0.10×9+0.92=1.82，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量为1.82亿吨．【点评】本题考查的知识点是线性回归方程，回归分析，计算量比较大，计算时要细心．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（Ⅰ）证明MN∥平面PAB；（Ⅱ）求四面体N﹣BCM的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行．【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）取BC中点E，连结EN，EM，得NE是△PBC的中位线，推导出四边形ABEM是平行四边形，由此能证明MN∥平面PAB．（Ⅱ）取AC中点F，连结NF，NF是△PAC的中位线，推导出NF⊥面ABCD，延长BC至G，使得CG=AM，连结GM，则四边形AGCM是平行四边形，由此能求出四面体N﹣BCM的体积．【解答】证明：（Ⅰ）取BC中点E，连结EN，EM，∵N为PC的中点，∴NE是△PBC的中位线∴NE∥PB，又∵AD∥BC，∴BE∥AD，∵AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，∴BE=BC=AM=2，∴四边形ABEM是平行四边形，∴EM∥AB，∴平面NEM∥平面PAB，∵MN⊂平面NEM，∴MN∥平面PAB．解：（Ⅱ）取AC中点F，连结NF，∵NF是△PAC的中位线，∴NF∥PA，NF==2，又∵PA⊥面ABCD，∴NF⊥面ABCD，如图，延长BC至G，使得CG=AM，连结GM，∵AM CG，∴四边形AGCM是平行四边形，∴AC=MG=3，又∵ME=3，EC=CG=2，∴△MEG的高h=，∴S△BCM===2，∴四面体N﹣BCM的体积V N﹣BCM===．【点评】本题考查线面平行的证明，考查四面体的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20．（12分）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．【考点】J3：轨迹方程；K8：抛物线的性质．【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）连接RF，PF，利用等角的余角相等，证明∠PRA=∠PQF，即可证明AR∥FQ；（Ⅱ）利用△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求出N的坐标，利用点差法求AB中点的轨迹方程．【解答】（Ⅰ）证明：连接RF，PF，由AP=AF，BQ=BF及AP∥BQ，得∠AFP+∠BFQ=90°，∴∠PFQ=90°，∵R是PQ的中点，∴RF=RP=RQ，∴△PAR≌△FAR，∴∠PAR=∠FAR，∠PRA=∠FRA，∵∠BQF+∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR，∴∠FQB=∠PAR，∴∠PRA=∠PQF，∴AR∥FQ．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），F（，0），准线为x=﹣，S△PQF=|PQ|=|y1﹣y2|，设直线AB与x轴交点为N，∴S△ABF=|FN||y1﹣y2|，∵△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，∴2|FN|=1，∴x N=1，即N（1，0）．设AB中点为M（x，y），由得=2（x1﹣x2），又=，∴=，即y2=x﹣1．∴AB中点轨迹方程为y2=x﹣1．【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于中档题．21．（12分）设函数f（x）=lnx﹣x+1．（1）讨论f（x）的单调性；（2）证明当x∈（1，+∞）时，1＜＜x；（3）设c＞1，证明当x∈（0，1）时，1+（c﹣1）x＞c x．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】35：转化思想；48：分析法；53：导数的综合应用；59：不等式的解法及应用．【分析】（1）求出导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，注意函数的定义域；（2）由题意可得即证lnx＜x﹣1＜xlnx．运用（1）的单调性可得lnx＜x﹣1，设F（x）=xlnx﹣x+1，x＞1，求出单调性，即可得到x﹣1＜xlnx成立；（3）设G（x）=1+（c﹣1）x﹣c x，求G（x）的二次导数，判断G′（x）的单调性，进而证明原不等式．【解答】解：（1）函数f（x）=lnx﹣x+1的导数为f′（x）=﹣1，由f′（x）＞0，可得0＜x＜1；由f′（x）＜0，可得x＞1．即有f（x）的增区间为（0，1）；减区间为（1，+∞）；（2）证明：当x∈（1，+∞）时，1＜＜x，即为lnx＜x﹣1＜xlnx．由（1）可得f（x）=lnx﹣x+1在（1，+∞）递减，可得f（x）＜f（1）=0，即有lnx＜x﹣1；设F（x）=xlnx﹣x+1，x＞1，F′（x）=1+lnx﹣1=lnx，当x＞1时，F′（x）＞0，可得F（x）递增，即有F（x）＞F（1）=0，即有xlnx＞x﹣1，则原不等式成立；（3）证明：设G（x）=1+（c﹣1）x﹣c x，则需要证明：当x∈（0，1）时，G（x）＞0（c＞1）；G′（x）=c﹣1﹣c x lnc，G′′（x）=﹣（lnc）2c x＜0，∴G′（x）在（0，1）单调递减，而G′（0）=c﹣1﹣lnc，G′（1）=c﹣1﹣clnc，由（1）中f（x）的单调性，可得G′（0）=c﹣1﹣lnc＞0，由（2）可得G′（1）=c﹣1﹣clnc=c（1﹣lnc）﹣1＜0，∴∃t∈（0，1），使得G′（t）=0，即x∈（0，t）时，G′（x）＞0，x∈（t，1）时，G′（x）＜0；即G（x）在（0，t）递增，在（t，1）递减；又因为：G（0）=G（1）=0，∴x∈（0，1）时G（x）＞0成立，不等式得证；即c＞1，当x∈（0，1）时，1+（c﹣1）x＞c x．【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查不等式的证明，注意运用构造函数法，求出导数判断单调性，考查推理和运算能力，属于中档题．请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．（1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD．【考点】NC：与圆有关的比例线段．【专题】35：转化思想；49：综合法；5M：推理和证明．【分析】（1）连接PA，PB，BC，设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，∠PBA=∠4，∠PAB=∠5，运用圆的性质和四点共圆的判断，可得E，C，D，F共圆，再由圆内接四边形的性质，即可得到所求∠PCD的度数；（2）运用圆的定义和E，C，D，F共圆，可得G为圆心，G在CD的中垂线上，即可得证．【解答】（1）解：连接PB，BC，设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，∠PBA=∠4，∠PAB=∠5，由⊙O中的中点为P，可得∠4=∠5，在△EBC中，∠1=∠2+∠3，又∠D=∠3+∠4，∠2=∠5，即有∠2=∠4，则∠D=∠1，则四点E，C，D，F共圆，可得∠EFD+∠PCD=180°，由∠PFB=∠EFD=2∠PCD，即有3∠PCD=180°，可得∠PCD=60°；（2）证明：由C，D，E，F共圆，由EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G 可得G为圆心，即有GC=GD，则G在CD的中垂线，又CD为圆G的弦，则OG⊥CD．【点评】本题考查圆内接四边形的性质和四点共圆的判断，以及圆的垂径定理的运用，考查推理能力，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程；5S：坐标系和参数方程．【分析】（1）运用两边平方和同角的平方关系，即可得到C1的普通方程，运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，以及两角和的正弦公式，化简可得C2的直角坐标方程；（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，代入椭圆方程，运用判别式为0，求得t，再由平行线的距离公式，可得|PQ|的最小值，解方程可得P的直角坐标．另外：设P（cosα，sinα），由点到直线的距离公式，结合辅助角公式和正弦函数的值域，即可得到所求最小值和P的坐标．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），移项后两边平方可得+y2=cos2α+sin2α=1，即有椭圆C1：+y2=1；曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2，即有ρ（sinθ+cosθ）=2，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x+y﹣4=0，即有C2的直角坐标方程为直线x+y﹣4=0；（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，联立可得4x2+6tx+3t2﹣3=0，由直线与椭圆相切，可得△=36t2﹣16（3t2﹣3）=0，解得t=±2，显然t=﹣2时，|PQ|取得最小值，即有|PQ|==，此时4x2﹣12x+9=0，解得x=，即为P（，）．另解：设P（cosα，sinα），由P到直线的距离为d==，当sin（α+）=1时，|PQ|的最小值为，此时可取α=，即有P（，）．【点评】本题考查参数方程和普通方程的互化、极坐标和直角坐标的互化，同时考查直线与椭圆的位置关系，主要是相切，考查化简整理的运算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；59：不等式的解法及应用．【分析】（1）当a=2时，由已知得|2x﹣2|+2≤6，由此能求出不等式f（x）≤6的解集．（2）由f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，得|x﹣|+|x﹣|≥，由此能求出a的取值范围．【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=|2x﹣2|+2，∵f（x）≤6，∴|2x﹣2|+2≤6，|2x﹣2|≤4，|x﹣1|≤2，∴﹣2≤x﹣1≤2，解得﹣1≤x≤3，∴不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣1≤x≤3}．（2）∵g（x）=|2x﹣1|，∴f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，2|x﹣|+2|x﹣|+a≥3，|x﹣|+|x﹣|≥，当a≥3时，成立，当a＜3时，|x﹣|+|x﹣|≥|a﹣1|≥＞0，∴（a﹣1）2≥（3﹣a）2，解得2≤a＜3，∴a的取值范围是[2，+∞）．【点评】本题考查含绝对值不等式的解法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．。
不等式问题
第2讲不等式问题高考定位 1.利用不等式性质比较大小、不等式的求解、利用基本不等式求最值、线性规划、绝对值不等式的应用问题是高考的热点，主要以选择题、填空题为主；2.在解答题中，特别是在解析几何中求最值、范围问题或在解决导数问题时常利用不等式进行求解，难度较大．真题感悟1．(2016·浙江卷)已知实数a，b，c()A．若|a2＋b＋c|＋|a＋b2＋c|≤1，则a2＋b2＋c2＜100B．若|a2＋b＋c|＋|a2＋b－c|≤1，则a2＋b2＋c2＜100C．若|a＋b＋c2|＋|a＋b－c2|≤1，则a2＋b2＋c2＜100D．若|a2＋b＋c|＋|a＋b2－c|≤1，则a2＋b2＋c2＜100解析由于此题为选择题，可用特值排除法找正确选项．对选项A，当a＝b＝10，c＝－110时，可排除此选项；对选项B，当a＝10，b＝－100，c＝0时，可排除此选项；对选项C，当a＝10，b＝－10，c＝0时，可排除此选项．故选D.答案 D2．(2018·北京卷)能说明“若a>b，则1a<1b”为假命题的一组a，b的值依次为________．解析由题意知，当a＝1，b＝－1时，满足a>b，但是1a>1b，故答案可以为1，－1.(答案不唯一，满足a>0，b<0即可) 答案1，－1(答案不唯一)3．(2018·天津卷)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋18b的最小值为________．解析 由题知a －3b ＝－6，因为2a >0，8b >0，所以2a ＋18b ≥2×2a ×18b ＝2×2a －3b ＝22－6＝14，当且仅当2a ＝18b ，即a ＝－3，b ＝1时取等号．答案 144．(2018·浙江卷)若x ，y满足约束条件⎩⎨⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤6，x ＋y ≥2，则z ＝x ＋3y 的最小值是________，最大值是________．解析 由题可得，该约束条件表示的平面区域是以(2，2)，(1，1)，(4，－2)为顶点的三角形及其内部区域(图略)．由线性规划的知识可知，目标函数z ＝x ＋3y 在点(2，2)处取得最大值，在点(4，－2)处取得最小值，则最小值z min ＝4－6＝－2，最大值z max ＝2＋6＝8. 答案 －2 85．(2017·浙江卷)已知a ∈R ，函数f (x )＝|x ＋4x －a |＋a 在区间[1，4]上的最大值是5，则a 的取值范围是________．解析 当x ∈[1，4]时，x ＋4x ∈[4，5]，下面对a 分三种情况讨论：当a ≥5时，f (x )＝a －x －4x ＋a ＝2a －x －4x ，函数的最大值为2a －4＝5，解得a ＝92(舍去)；当a ≤4时，f (x )＝x ＋4x －a ＋a ＝x ＋4x ≤5，此时满足题意； 当4＜a ＜5时，[f (x )]max ＝max{|4－a |＋a ，|5－a |＋a }， 则⎩⎪⎨⎪⎧|4－a |＋a ≥|5－a |＋a ，|4－a |＋a ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧|4－a |＋a ＜|5－a |＋a ，|5－a |＋a ＝5， 解得a ＝92或4＜a ＜92.综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，92.答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，92考 点 整 合1．简单分式不等式的解法(1)f （x ）g （x ）＞0(＜0)f (x )g (x )＞0(＜0)； (2)f （x ）g （x ）≥0(≤0)f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. 2．(1)解含有参数的一元二次不等式，要注意对参数的取值进行讨论：①对二次项系数与0的大小进行讨论；②在转化为标准形式的一元二次不等式后，对判别式与0的大小进行讨论；③当判别式大于0，但两根的大小不确定时，对两根的大小进行讨论；④讨论根与定义域的关系． (2)四个常用结论①ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎨⎧a ＞0，Δ＜0.②ax 2＋bx ＋c ＜0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎨⎧a ＜0，Δ＜0.③a ＞f (x )恒成立a ＞f (x )max . ④a ＜f (x )恒成立a ＜f (x )min .3．利用基本不等式求最值已知x ，y ∈R ＋，则(1)若x ＋y ＝S (和为定值)，则当x ＝y 时，积xy 取得最大值S 24⎝ ⎛⎭⎪⎫xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝S 24；(2)若xy ＝P (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值2P (x ＋y ≥2xy ＝2P )．4．二元一次不等式(组)和简单的线性规划(1)线性规划问题的有关概念：线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等． (2)解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤：①画出可行域；②根据线性目标函数的几何意义确定其取得最优解的点；③求出目标函数的最大值或者最小值． 5．|x －a |＋|x －b |≥c (c >0)和|x －a |＋|x －b |≤c (c >0)型不等式的解法： (1)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； (2)利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；(3)通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 6．不等式的证明不等式的证明要注意和不等式的性质结合起来，常用的方法有：比较法、作差法、作商法(要注意讨论分母)、分析法、综合法、数学归纳法、反证法，还要结合放缩和换元的技巧.热点一 利用基本不等式求最值 [考法1] 基本不等式的简单应用【例1－1】 (1)若直线x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)过点(1，2)，则2a ＋b 的最小值为________．(2)已知函数f (x )＝2x＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，若对于任意x ∈R ，不等式f (2x )≥mf (x )－6恒成立，则实数m 的最大值为________．解析 (1)∵直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1，2)，∴1a ＋2b ＝1(a >0，且b >0)， 则2a ＋b ＝(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＝4＋b a ＋4a b ≥4＋2b a ·4ab＝8， 当且仅当b a ＝4ab ，即a ＝2，b ＝4时上式等号成立． 因此2a ＋b 的最小值为8.(2)由条件知f (2x )＝22x ＋2－2x ＝(2x ＋2－x )2－2＝(f (x ))2－2. ∵f (2x )≥mf (x )－6对于x ∈R 恒成立，且f (x )>0， ∴m ≤（f （x ））2＋4f （x ）对于x ∈R 恒成立．又（f （x ））2＋4f （x ）＝f (x )＋4f （x ）≥2f （x ）·4f （x ）＝4，且（f （0））2＋4f （0）＝4，∴m ≤4，故实数m 的最大值为4. 答案 (1)8 (2)4探究提高 1.利用基本不等式求最值，要注意“拆、拼、凑”等变形，变形的原则是在已知条件下通过变形凑出基本不等式应用的条件，即“和”或“积”为定值，等号能够取得．2．特别注意：(1)应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，则应结合函数的单调性求解．(2)若两次连用基本不等式，要注意等号的取得条件的一致性，否则会出错．[考法2]带有约束条件的基本不等式问题【例1－2】(1)已知两个正数x，y满足x＋4y＋5＝xy，则xy取最小值时，x，y 的值分别为()A．5，5 B．10，52C．10，5 D．10，10(2)(2018·学军中学模拟)设x，y为实数，若4x2＋y2＋xy＝1，则2x＋y的最大值是________．解析(1)∵x＞0，y＞0，∴x＋4y＋5＝xy≥24xy＋5，即xy－4xy－5≥0，可求xy≥25，当且仅当x＝4y时取等号，即x＝10，y＝52.(2)∵4x2＋y2＋xy＝1，∴(2x＋y)2－3xy＝1，即(2x＋y)2－32·2xy＝1，∴(2x＋y)2－32·⎝⎛⎭⎪⎫2x＋y22≤1，解之得(2x＋y)2≤85，即2x＋y≤2105.等号当且仅当2x＝y＞0，即x＝1010，y＝105时成立．答案(1)B(2)210 5探究提高 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，或对约束条件中的一部分利用基本不等式，构造不等式进行求解．【训练1】 (1)若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab 的最小值为________． (2)已知正项等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n 的最小值为________．解析 (1)∵a ，b ∈R ，ab >0，∴a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab ≥24ab ·1ab ＝4，当且仅当⎩⎨⎧a 2＝2b 2，4ab ＝1ab ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝22，b 2＝24时取得等号． (2)设等比数列{a n }的公比为q ， ∵a 7＝a 6＋2a 5，∴a 5q 2＝a 5q ＋2a 5，∴q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)． ∴a m ·a n ＝a 1·2m －1·a 1·2n －1＝4a 1，平方得2m ＋n －2＝16＝24， ∴m ＋n ＝6，∴1m ＋4n ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n (m ＋n )＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋n m ＋4m n ≥16(5＋4)＝32，当且仅当n m ＝4mn ，即n ＝2m ，亦即m ＝2，n ＝4时取等号． 答案 (1)4 (2)32热点二 含参不等式恒成立问题 [考法1] 分离参数法解决恒成立问题【例2－1】 (1)关于x 的不等式x ＋4x －1－a 2＋2a ＞0对x ∈(0，＋∞)恒成立，则实数a 的取值范围为________．(2)已知x ＞0，y ＞0，x ＋y ＋3＝xy ，且不等式(x ＋y )2－a (x ＋y )＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析 (1)设f (x )＝x ＋4x ，因为x ＞0，所以f (x )＝x ＋4x ≥2x ·4x ＝4.又关于x 的不等式x ＋4x －1－a 2＋2a ＞0对x ∈(0，＋∞)恒成立，所以a 2－2a ＋1＜4，解得－1＜a ＜3，所以实数a 的取值范围为(－1，3)．(2)要使(x ＋y )2－a (x ＋y )＋1≥0恒成立，则有(x ＋y )2＋1≥a (x ＋y )，即a ≤(x ＋y )＋1x ＋y恒成立． 由x ＋y ＋3＝xy ，得x ＋y ＋3＝xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22， 即(x ＋y )2－4(x ＋y )－12≥0，解得x ＋y ≥6或x ＋y ≤－2(舍去)．设t ＝x ＋y ，则t ≥6，(x ＋y )＋1x ＋y ＝t ＋1t .设f (t )＝t ＋1t ，则在t ≥6时，f (t )单调递增，所以f (t )＝t ＋1t 的最小值为6＋16＝376，所以a ≤376，即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，376.答案 (1)(－1，3) (2)⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，376探究提高 对于含参数的不等式恒成立问题，常通过分离参数，把求参数的范围化归为求函数的最值问题，a ＞f (x )恒成立a ＞f (x )max ；a ＜f (x )恒成立a ＜f (x )min .[考法2] 函数法解决恒成立问题【例2－2】 (1)已知f (x )＝x 2－2ax ＋2，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，则a 的取值范围为________．(2)已知二次函数f (x )＝ax 2＋x ＋1对x ∈[0，2]恒有f (x )＞0.则实数a 的取值范围为________．解析 (1)法一 f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，此二次函数图象的对称轴为x ＝a ，①当a ∈(－∞，－1)时，结合图象知，f (x )在[－1，＋∞)上单调递增，f (x )min ＝f (－1)＝2a ＋3.要使f (x )≥a 恒成立，只需f (x )min ≥a ， 即2a ＋3≥a ，解得－3≤a ＜－1；②当a ∈[－1，＋∞)时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2， 由2－a 2≥a ，解得－2≤a ≤1.∴－1≤a ≤1. 综上所述，所求a 的取值范围为－3≤a ≤1.法二 设g (x )＝f (x )－a ，则g (x )＝x 2－2ax ＋2－a ≥0在[－1，＋∞)上恒成立， 即Δ＝4a 2－4(2－a )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，a ＜－1，g （－1）≥0，解得－3≤a ≤1. (2)法一 函数法．若a ＞0，则对称轴x ＝－12a ＜0， 故f (x )在[0，2]上为增函数，且f (0)＝1， 因此在x ∈[0，2]上恒有f (x )＞0成立． 若a ＜0，则应有f (2)＞0，即4a ＋3＞0， ∴a ＞－34.∴－34＜a ＜0.综上所述，a 的取值范围是a ＞－34且a ≠0. 法二 分离参数法．当x ＝0时，f (x )＝1＞0成立．当x ≠0时，ax 2＋x ＋1＞0变为a ＞－1x 2－1x ，令g (x )＝－1x 2－1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ≥12.∴当1x ≥12时，g (x )∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34. ∵a ＞－1x 2－1x ，∴a ＞－34.又∵a ≠0，∴a 的取值范围是a ＞－34且a ≠0. 答案 (1)[－3，1] (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0∪(0，＋∞)探究提高 参数不易分离的恒成立问题，特别是与二次函数有关的恒成立问题的求解，常用的方法是借助函数图象根的分布，转化为求函数在区间上的最值或值域问题．【训练2】 (1)若不等式x 2－ax ＋1≥0对于一切a ∈[－2，2]恒成立，则x 的取值范围是________． (2)已知不等式2x －1≥15|a 2－a |对于x ∈[2，6]恒成立，则a 的取值范围是________． 解析 (1)因为a ∈[－2，2]，可把原式看作关于a 的函数， 即g (a )＝－xa ＋x 2＋1≥0，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧g （－2）＝x 2＋2x ＋1≥0，g （2）＝x 2－2x ＋1≥0，解之得x ∈R .(2)设y ＝2x －1，y ′＝－2（x －1）2＜0，故y ＝2x －1在x ∈[2，6]上单调递减，即y min ＝26－1＝25， 故不等式2x －1≥15|a 2－a |对于x ∈[2，6]恒成立等价于15|a 2－a |≤25恒成立，化简得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2≤0，a 2－a ＋2≥0，解得－1≤a ≤2，故a 的取值范围是[－1，2]． 答案 (1)R (2)[－1，2] 热点三 线性规划问题【例3】 (1)(2017·浙江卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥0，x ＋y －3≥0，x －2y ≤0，则z ＝x ＋2y 的取值范围是( ) A ．[0，6] B ．[0，4] C ．[6，＋∞)D ．[4，＋∞)(2)(2018·金华一中模拟)已知a ＞0，x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a （x －3），若z ＝2x＋y 的最小值为1，则a ＝( ) A.14 B.12C ．1D ．2解析 (1)不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示． 由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，x ＋y －3＝0，解得A (2，1)． 线性目标函数z ＝x ＋2y 在点A 处取得最小值4，无最大值． (2)由约束条件画出可行域(如图所示的△ABC 及其内部)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝a （x －3）， 得A (1，－2a )，当直线2x ＋y －z ＝0过点A 时，z ＝2x ＋y 取得最小值， 所以1＝2×1－2a ，解得a ＝12. 答案 (1)D (2)B探究提高 对于线性规划中的参数问题，需注意：(1)当最值是已知时，目标函数中的参数往往与直线斜率有关，解题时应充分利用斜率这一特征加以转化．(2)当目标函数与最值都是已知，且约束条件中含有参数时，因为平面区域是变动的，所以要抓住目标函数及最值已知这一突破口，先确定最优解，然后变动参数范围，使得这样的最优解在该区域内即可．【训练3】 (1)(2018·北京卷)若x ，y 满足x ＋1≤y ≤2x ，则2y －x 的最小值是________．(2)(2018·全国Ⅰ卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －2y －2≤0，x －y ＋1≥0，y ≤0，则z ＝3x ＋2y 的最大值为________．解析 (1)法一 x ＋1≤y ≤2x 表示的平面区域如图中阴影部分所示，令z ＝2y －x ，易知z ＝2y －x 在点A (1，2)处取得最小值，最小值为3.法二 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤－1，2x －y ≥0，则2y －x ＝－3(x －y )＋(2x －y )≥3，所以2y －x 的最小值为3.(2)作出可行域为如图所示的△ABC 所表示的阴影区域，作出直线3x ＋2y ＝0，并平移该直线，当直线过点A (2，0)时，目标函数z ＝3x ＋2y 取得最大值，且z max ＝3×2＋2×0＝6.答案 (1)3 (2)6热点四 绝对值不等式的综合应用【例4】 (2016·浙江卷)已知a ≥3，函数F (x )＝min{2|x －1|，x 2－2ax ＋4a －2}，其中min{p ，q }＝⎩⎨⎧p ，p ≤q ，q ，p ＞q .(1)求使得等式F (x )＝x 2－2ax ＋4a －2成立的x 的取值范围； (2)①求F (x )的最小值m (a )；②求F (x )在区间[0，6]上的最大值M (a )．解 (1)由于a ≥3，故当x ≤1时，(x 2－2ax ＋4a －2)－2|x －1|＝x 2＋2(a －1)(2－x )＞0，当x ＞1时，(x 2－2ax ＋4a －2)－2|x －1| ＝(x －2)(x －2a )．所以使得等式F (x )＝x 2－2ax ＋4a －2成立的x 的取值范围是[2，2a ]．(2)①设函数f (x )＝2|x －1|，g (x )＝x 2－2ax ＋4a －2，则f (x )min ＝f (1)＝0，g (x )min ＝g (a )＝－a 2＋4a －2，所以，由F (x )的定义知m (a )＝min {}f （1），g （a ）， 即m (a )＝⎩⎨⎧0，3≤a ≤2＋2，－a 2＋4a －2，a ＞2＋ 2.②当0≤x ≤2时，F (x )＝f (x )≤max {}f （0），f （2）＝2＝F (2)． 当2≤x ≤6时，F (x )＝g (x )≤max {}g （2），g （6） ＝max {}2，34－8a ＝max {}F （2），F （6）. 所以M (a )＝⎩⎨⎧34－8a ，3≤a ＜4，2，a ≥4.探究提高 1.处理函数问题，数形结合和分类讨论是最常见的思想方法，准确地画出图象可以回避许多冗长的计算，从而直指问题的核心．最值函数是浙江省高考的特色．2．高考对函数的考查主要集中在两个方面，在知识方面一般考查求函数的最值，研究函数的零点、单调性等问题；在思想方法上一般考查分类讨论思想和数形结合思想．【训练4】 (2017·浙江五校联考)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )，记M (a ，b )是|f (x )|在区间[－1，1]上的最大值． (1)证明：当|a |≥2时，M (a ，b )≥2；(2)当a ，b 满足M (a ，b )≤2时，求|a |＋|b |的最大值． (1)证明 由f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋b －a 24，得对称轴为直线x ＝－a 2.由|a |≥2，得|－a2|≥1，故f (x )在[－1，1]上单调， 所以M (a ，b )＝max{|f (1)|，|f (－1)|}． 当a ≥2时，由f (1)－f (－1)＝2a ≥4， 得max{f (1)，－f (－1)}≥2， 即M (a ，b )≥2.当a ≤－2时，由f (－1)－f (1)＝－2a ≥4， 得max{f (－1)，－f (1)}≥2， 即M (a ，b )≥2.综上，当|a |≥2时，M (a ，b )≥2.(2)解 由M (a ，b )≤2得|1＋a ＋b |＝|f (1)|≤2， |1－a ＋b |＝|f (－1)|≤2， 故|a ＋b |≤3，|a －b |≤3.由|a |＋|b |＝⎩⎨⎧|a ＋b |，ab ≥0，|a －b |，ab ＜0，得|a |＋|b |≤3.当a ＝2，b ＝－1时，|a |＋|b |＝3，且|x 2＋2x －1|在[－1，1]上的最大值为2，即M (2，－1)＝2.所以|a |＋|b |的最大值为3.1．多次使用基本不等式的注意事项当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法． 2．基本不等式除了在客观题考查外，在解答题的关键步骤中也往往起到“巧解”的作用，但往往需先变换形式才能应用．3．解决线性规划问题首先要作出可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．4．解答不等式与导数、数列的综合问题时，不等式作为一种工具常起到关键的作用，往往涉及到不等式的证明方法(如比较法、分析法、综合法、放缩法、换元法等)．在求解过程中，要以数学思想方法为思维依据，并结合导数、数列的相关知识解题，在复习中通过解此类问题，体会每道题中所蕴含的思想方法及规律，逐步提高自己的逻辑推理能力.一、选择题1．(2018·天津卷)设x ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12<12”是“x 3<1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 由⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12<12，得0<x <1，所以0<x 3<1；由x 3<1，得x <1，不能推出0<x <1.所以“⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12<12”是“x 3<1”的充分而不必要条件．故选A.答案 A2．已知a ＝243，b ＝323，c ＝2513，则( ) A ．b ＜a ＜c B ．a ＜b ＜c C ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b解析 a ＝243＝316，b ＝323＝39，c ＝2513＝325，所以b ＜a ＜c . 答案 A3．(2018·天津卷)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≤5，2x －y ≤4，－x ＋y ≤1，y ≥0，则目标函数z ＝3x ＋5y的最大值为( ) A ．6B ．19C ．21D ．45解析 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线y ＝－35x ，平移该直线，当经过点C 时，z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝1，x ＋y ＝5得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，即C (2，3)，所以z max ＝3×2＋5×3＝21，故选C.答案 C4．(2016·浙江卷)已知a ，b ＞0且a ≠1，b ≠1，若log a b ＞1，则( ) A ．(a －1)(b －1)＜0 B ．(a －1)(a －b )＞0 C ．(b －1)(b －a )＜0D ．(b －1)(b －a )＞0解析 由a ，b ＞0且a ≠1，b ≠1，及log a b ＞1＝log a a 可得： 当a ＞1时，b ＞a ＞1，当0＜a ＜1时，0＜b ＜a ＜1， 代入验证只有D 满足题意． 答案 D5．已知当x ＜0时，2x 2－mx ＋1＞0恒成立，则m 的取值范围为( ) A ．[22，＋∞) B ．(－∞，22] C ．(－22，＋∞)D ．(－∞，－22)解析 由2x 2－mx ＋1＞0，得mx ＜2x 2＋1， 因为x ＜0，所以m ＞2x 2＋1x ＝2x ＋1x . 而2x ＋1x ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－2x ）＋1（－x ）≤ －2（－2x ）×1（－x ）＝－2 2.当且仅当－2x ＝－1x ，即x ＝－22时取等号，所以m ＞－2 2. 答案 C6．(2018·杭州质检)若实数a ，b ，c 满足对任意实数x ，y 有3x ＋4y －5≤ax ＋by ＋c ≤3x ＋4y ＋5，则( ) A ．a ＋b －c 的最小值为2 B ．a －b ＋c 的最小值为－4 C ．a ＋b －c 的最大值为4 D ．a －b ＋c 的最大值为6解析 由题意可得－5≤(a －3)x ＋(b －4)y ＋c ≤5恒成立，所以a ＝3，b ＝4，－5≤c ≤5，则2≤a ＋b －c ≤12，即a ＋b －c 的最小值是2，最大值是12，A 正确，C 错误；－6≤a －b ＋c ≤4，则a －b ＋c 的最小值是－6，最大值是4，B 错误，D 错误，故选A. 答案 A7．(2018·全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1，0)D ．(－∞，0)解析 当x ≤0时，函数f (x )＝2－x 是减函数，则f (x )≥f (0)＝1.作出f (x )的大致图象如图所示，结合图象可知，要使f (x ＋1)＜f (2x )，则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x <0，所以x <0，故选 D.答案 D 二、填空题8．(2018·全国Ⅱ卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y －5≥0，x －2y ＋3≥0，x －5≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．解析 法一 画出可行域如图中阴影部分所示．目标函数z ＝x ＋y 可化为y ＝－x ＋z ，作出直线y ＝－x ，并平移，当平移后的直线经过点B 时，z 取得最大值．联立⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，x －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝4，所以B (5，4)，故z max ＝5＋4＝9.法二 画图(图略)知可行域是封闭的三角形区域，易求得可行域的三个顶点的坐标分别是(1，2)，(5，4)，(5，0)，依次代入目标函数z ＝x ＋y 可求得z 的值是3，9，5，故z max ＝9. 答案 99．已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数，若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________． 解析 f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋1e x ≥3x 2－2＋2e x ·1ex ＝3x 2≥0且f ′(x )不恒为0，所以f (x )为单调递增函数．又f (－x )＝－x 3＋2x ＋e －x －e x ＝－(x 3－2x ＋e x －1e x )＝－f (x )， 故f (x )为奇函数，由f (a －1)＋f (2a 2)≤0，得f (2a 2)≤f (1－a )， ∴2a 2≤1－a ，解之得－1≤a ≤12， 故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，1210．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12>1的x 的取值范围是________．解析 当x ≤0时，f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝(x ＋1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋1，原不等式化为2x ＋32>1，解得－14<x ≤0； 当0<x ≤12时，f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝2x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋1，原不等式化为2x ＋x ＋12>1，该式恒成立； 当x >12时，f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝2x ＋2x －12，又x >12时，2x ＋2x －12>212＋20＝1＋2>1恒成立． 综上可知，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞11．(2018·全国Ⅲ卷)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧2x ＋y ＋3≥0，x －2y ＋4≥0，x －2≤0，则z ＝x ＋13y 的最大值是________．解析 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，又目标函数z ＝x ＋13y ，结合图象易知y ＝－3x ＋3z 过直线x ＝2与直线x －2y ＋4＝0的交点A (2，3)时，z ＝x ＋13y 取得最大值，即z max ＝2＋13×3＝3.答案 312．(2017·北京卷改编)已知x ≥0，y ≥0，且x ＋y ＝1，则x 2＋y 2的最小值为________，最大值为________．解析 法一 ∵x ≥0，y ≥0且x ＋y ＝1，∴2xy ≤x ＋y ＝1，当且仅当x ＝y ＝12时取等号，从而0≤xy ≤14， 因此x 2＋y 2＝(x ＋y )2－2xy ＝1－2xy ， 所以12≤x 2＋y 2≤1.法二 可转化为线段AB 上的点到原点距离平方的范围．AB 上的点到原点距离的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1，则x 2＋y 2的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.答案12 113．已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|，则：(1)不等式f (x )≥1的解集为________；(2)若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，则m 的取值范围为________．解析(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x <－1，2x －1，－1≤x ≤2，3，x >2.当x <－1时，f (x )≥1无解；当－1≤x ≤2时，由2x －1≥1，得1≤x ≤2； 当x >2时，f (x )≥1恒成立． 故f (x )≥1的解集为[1，＋∞)．(2)由f (x )≥x 2－x ＋m 得m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x .而|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ≤|x |＋1＋|x |－2－x 2＋|x |＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |－322＋54≤54，故m 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，54. 答案 (1)[1，＋∞) (2)⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，54三、解答题 14．已知函数f (x )＝2x x 2＋6. (1)若f (x )＞k 的解集为{x |x ＜－3，或x ＞－2}，求k 的值； (2)对任意x ＞0，f (x )≤t 恒成立，求t 的取值范围． 解 (1)f (x )＞k kx 2－2x ＋6k ＜0.由已知{x |x ＜－3，或x ＞－2}是其解集，得kx 2－2x ＋6k ＝0的两根是－3，－2. 由根与系数的关系可知(－2)＋(－3)＝2k ，即k ＝－25. (2)因为x ＞0，f (x )＝2x x 2＋6＝2x ＋6x≤226＝66，当且仅当x ＝6时取等号．由已知f (x )≤t 对任意x ＞0恒成立，故t ≥66，即t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫66，＋∞.15．已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c (b ，c ∈R )，对任意的x ∈R ，恒有f ′(x )≤f (x )．(1)证明：当x ≥0时，f (x )≤(x ＋c )2；(2)若对满足题设条件的任意b ，c ，不等式f (c )－f (b )≤M (c 2－b 2)恒成立，求M 的最小值．(1)证明 易知f ′(x )＝2x ＋b .由题设，对任意的x ∈R ，2x ＋b ≤x 2＋bx ＋c ，即x 2＋(b －2)x ＋c －b ≥0恒成立，所以(b －2)2－4(c －b )≤0，从而c ≥b 24＋1，于是c ≥1， 且c ≥2 b 24×1＝|b |， 因此2c －b ＝c ＋(c －b )＞0.故当x ≥0时，有(x ＋c )2－f (x )＝(2c －b )x ＋c (c －1)≥0，即当x ≥0时，f (x )≤(x ＋c )2.(2)解 由(1)知c ≥|b |.当c ＞|b |时，有M ≥f （c ）－f （b ）c 2－b 2＝c 2－b 2＋bc －b 2c 2－b 2＝c ＋2b b ＋c. 令t ＝b c ，则－1＜t ＜1，c ＋2b b ＋c ＝2－11＋t. 而函数g (t )＝2－11＋t(－1＜t ＜1)的值域是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32， 因此，当c ＞|b |时，M 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞. 当c ＝|b |时，由(1)知b ＝±2，c ＝2.此时f (c )－f (b )＝－8或0，c 2－b 2＝0，从而f (c )－f (b )≤32(c 2－b 2)恒成立．综上所述，M 的最小值为32.。
2016年高考数学试题分类汇编E单元 不等式
数 学E 单元 不等式E1 不等式的概念与性质 8．B6,B7,B8,E1[2016·全国卷Ⅰ] 若a >b >0,0<c <1,则( ) A ．log a c <log b c B ．log c a <log c b C ．a c <b c D ．c a >c b8．B [解析] 当0<c <1时,函数y ＝log c x 单调递减,而a >b >0,所以log c a <log c b ,所以B 正确；当1>a >b >0时,有log a c >log b c ,所以A 错误；利用y ＝x c 在第一象限内是增函数即可得到a c >b c ,所以C 错误；利用y ＝c x 在R 上为减函数可得c a <c b ,所以D 错误．E2 绝对值不等式的解法 5．A2、E2[2016·天津卷] 设x >0,y ∈R ,则“x >y ”是“x >|y |”的( ) A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件 5．C [解析] 由x >|y |可得－x <y <x ,即由x >|y |可得x >y ,必要性成立；当x ＝1,y ＝－3时,x >y 成立,x >|y |不成立,即充分性不成立．1．E2[2016·上海卷] 设x ∈R ,则不等式|x －3|<1的解集为________．1．(2,4) [解析] 由题意得－1<x －3<1,解得2<x <4,故不等式的解集为(2,4)． E3 一元二次不等式的解法12．B12,C6,E3[2016·全国卷Ⅰ] 若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞,＋∞)单调递增,则a 的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．[－1,13]C ．[－13,13 ]D ．[－1,－13]12．C [解析] 方法一：对函数f (x )求导得f ′(x )＝1－23cos 2x ＋a cos x ＝－43cos 2x ＋a cos x＋53,因为函数f (x )在R 上单调递增,所以f ′(x )≥0,即－43cos 2x ＋a cos x ＋53≥0恒成立．设t ＝cos x ∈[－1,1],则g (t )＝4t 2－3at －5≤0在[－1,1]上恒成立,所以有⎩⎪⎨⎪⎧g （－1）＝4×（－1）2－3a ×（－1）－5≤0，g （1）＝4×12－3a ×1－5≤0，解得－13≤a ≤13. 方法二：取a ＝－1,则f (x )＝x －13sin 2x －sin x ,f ′(x )＝1－23cos 2x －cos x ,但f ′(0)＝1－23－1＝－23<0,不满足f (x )在(－∞,＋∞)单调递增,排除A,B,D,故选C.E4 简单的一元高次不等式的解法 E5 简单的线性规划问题4．E5[2016·山东卷] 若变量x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是( )A ．4B ．9C ．10D ．124．C [解析] 可行域如图所示,设z ＝x 2＋y 2,联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －3y ＝9，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，由图可知,当圆x 2＋y 2＝z 过点(3,－1)时z 取得最大值,即(x 2＋y 2)max ＝32＋(－1)2＝10.4．E5[2016·浙江卷] 若平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，x －2y ＋3≥0夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最小值是( )A.355B. 2C.322D. 5 4．B [解析] 由题意得,可行域如图中阴影部分所示,其中A (1,2),B (2,1),C (3,3),斜率为1的两平行直线与AB 垂直,故这两条平行直线间的距离的最小值是|AB |＝（1－2）2＋（2－1）2＝ 2.7．E5[2016·北京卷] 已知A (2,5),B (4,1)．若点P (x ,y )在线段AB 上,则2x －y 的最大值为( )A ．－1B ．3C ．7D ．87．C [解析] 设z ＝2x －y ,则y ＝2x －z .易知当y ＝2x －z 的图像过点B 时,z 取得最大值,即最大值为7.7．E5[2016·上海卷] 若x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，y ≥x ＋1，则x －2y 的最大值为________．7．－2 [解析] 由不等式组画出可行域,如图中阴影部分所示,令z ＝x －2y ,当直线y ＝12x－12z 经过点P (0,1)时,z 取得最大值,且最大值为－2.16．E5[2016·全国卷Ⅰ] 某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时．生产一件产品A 的利润为2100元,生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．16．216 000 [解析] 设生产产品A 、产品B 分别为x件、y 件,利润之和为z 元,则⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤300，10x ＋3y ≤900，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N ，目标函数为z ＝2100x ＋900y .作出二元一次不等式组表示的平面区域为图中阴影部分内(包括边界)的整点,即可行域．由图可知当直线z ＝2100x ＋900y 经过点M 时,z 取得最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋3y ＝900，5x ＋3y ＝600，得M 的坐标为(60,100),所以当x ＝60,y ＝100时,z max ＝2100×60＋900×100＝216 000.14．E5[2016·全国卷Ⅱ] 若x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0，则z ＝x －2y 的最小值为________．14．－5 [解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0画出可行域(图中阴影部分所示),则z ＝x －2y 在B 处取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x －3＝0，得B (3,4),所以z min ＝3－8＝－5.12．E5、H2[2016·江苏卷] 已知实数x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是________．12.45,13 [解析] 可行域如图中阴影部分所示,x 2＋y 2为可行域中任一点(x ,y )到原点(0,0)的距离的平方．由图可知,x 2＋y 2的最小值为原点到直线AC 的距离的平方,即|－2|52＝45,最大值为OB 2＝22＋32＝13.E6 2a b+≤10．B7,E6[2016·四川卷] 设直线l 1,l 2分别是函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－ln x ，0<x <1，ln x ，x >1图像上点P 1,P 2处的切线,l 1与l 2垂直相交于点P ,且l 1,l 2分别与y 轴相交于点A ,B ,则△P AB 的面积的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(0,＋∞)D ．(1,＋∞)10．A [解析] 不妨设P 1,P 2两点的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),其中0<x 1<1<x 2.由题意可知,f ′(x )＝⎩⎨⎧－1x，0<x <1，1x，x >1.由于l 1,l 2分别是点P 1,P 2处的切线, 所以l 1的斜率为－1x 1,l 2的斜率为1x 2.又l 1与l 2垂直,且0<x 1<x 2,所以－1x 1·1x 2＝－1,即x 1·x 2＝1,可以写出l 1与l 2的方程分别为l 1：y ＝－1x 1(x －x 1)－ln x 1,l 2：y ＝1x 2(x －x 2)＋ln x 2.则点A 的坐标为(0,1－ln x 1),点B 的坐标为(0,－1＋ln x 2),由此可得|AB |＝2－ln x 1－ln x 2＝2－ln(x 1·x 2)＝2.联立⎩⎨⎧y ＝－1x 1（x －x 1）－ln x 1，y ＝1x 2（x －x 2）＋ln x 2，解得交点P 的横坐标为2x 1＋x 2,故S △P AB ＝12×2×2x 1＋x 2＝2x 1＋1x 1≤1,当且仅当x 1＝1x 1,即x 1＝1时,等号成立．而0<x 1<1,所以0<S △P AB <1,故选A.13．E6[2016·上海卷] 设a >0,b >0.若关于x ,y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋y ＝1，x ＋by ＝1无解,则a ＋b 的取值范围是________．13．(2,＋∞) [解析] 将方程组中的第一个方程化为y ＝1－ax ,代入第二个方程整理得(1－ab )x ＝1－b ,由方程组无解得1－ab ＝0且1－b ≠0,所以ab ＝1且b ≠1.由基本不等式得a ＋b >2ab ＝2,故a ＋b 的取值范围是(2,＋∞)．14．C8、E6[2016·江苏卷] 在锐角三角形ABC 中,若sin A ＝2sin B sin C ,则tan A tan B tan C 的最小值是________．14．8 [解析] 方法一：∵sin A ＝2sin B sin C ,sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ,∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C ,两边同除以cos B cos C ,可得tan B ＋tan C ＝2tan B tan C ,tan A tan B tan C ＝－tan(B ＋C )tan B tan C ＝－tan B ＋tan C 1－tan B tan C ·tan B tan C ＝2（tan B tan C ）2tan B tan C －1,由三角形为锐角三角形得tan B >0,tan C >0,tan A ＝tan B ＋tan Ctan B tan C －1>0,即tan B tan C －1>0.令tan B tan C －1＝t (t >0),则tan A tan B tan C ＝2（t ＋1）2t ＝2t ＋1t＋2≥8,当t ＝1,即tan B tan C ＝2时取等号．方法二：同方法一可得tan B ＋tan C ＝2tan B tan C , 又tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ＋(1－tan B tan C )·tan(B ＋C )＝tan A －tan A ＋tan A tan B tan C ＝tan A tan B tan C ,所以tan A tan B tan C ＝tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ＋2tan B tan C ≥22tan A tan B tan C⇒tan A tan B tan C ≥8,当且仅当tan A ＝2tan B tan C ＝4时取等号． E7 不等式的证明方法 E8 不等式的综合应用21．B11,B12,E8[2016·四川卷] 设函数f (x )＝ax 2－a －ln x ,g (x )＝1x －ee x ,其中a ∈R ,e ＝2.718…为自然对数的底数．(1)讨论f (x )的单调性；(2)证明：当x >1时,g (x )>0；(3)确定a 的所有可能取值,使得f (x )>g (x )在区间(1,＋∞)内恒成立．21．解：(1)f ′(x )＝2ax －1x ＝2ax 2－1x(x >0)．当a ≤0时,f ′(x )<0,f (x )在(0,＋∞)内单调递减．当a >0时,由f ′(x )＝0,有x ＝12a .当x ∈（0,12a）时,f ′(x )<0,f (x )单调递减； 当x ∈（12a,＋∞）时,f ′(x )>0,f (x )单调递增． (2)证明：令s (x )＝e x －1－x ,则s ′(x )＝e x －1－1. 当x >1时,s ′(x )>0,所以e x －1>x ,从而g (x )＝1x －1e x －1>0.(3)由(2)知,当x >1时,g (x )>0.当a ≤0,x >1时,f (x )＝a (x 2－1)－ln x <0,故当f (x )>g (x )在区间(1,＋∞)内恒成立时,必有a >0.当0<a <12时,12a >1.由(1)有f （12a ）<f (1)＝0,而g （12a）>0, 所以此时f (x )>g (x )在区间(1,＋∞)内不恒成立． 当a ≥12时,令h (x )＝f (x )－g (x )(x ≥1)．当x >1时,h ′(x )＝2ax －1x ＋1x 2－e 1－x>x －1x ＋1x 2－1x ＝x 3－2x ＋1x 2>x 2－2x ＋1x 2>0.因此,h (x )在区间(1,＋∞)单调递增．又因为h (1)＝0,所以当x >1时,h (x )＝f (x )－g (x )>0,即f (x )>g (x )恒成立． 综上,a ∈[12,＋∞）.E9 单元综合1．[2016·河北“五个一联盟”质检]若对任意正实数x ,不等式1x 2＋1≤ax恒成立,则实数a的最小值为 ( )A ．1 B. 2 C.12 D.221．C [解析] 由题意得a ≥x x 2＋1恒成立,由于x x 2＋1＝1x ＋1x≤12(当且仅当x ＝1时取等号),故x x 2＋1的最大值为12,所以a ≥12,即实数a 的最小值为12.2．[2016·江西三校联考]若关于x ,y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＋y ≥0，kx －y ＋1≥0表示的平面区域是等腰直角三角形区域,则其表示的区域面积为( )A ．1或14 B.12或18 C ．1或12 D.12或142．D [解析] 作出不等式组表示的平面区域,如图所示,直线kx －y ＋1＝0过定点A (0,1)．当直线kx －y ＋1＝0与y 轴垂直时,围成的区域符合条件,区域面积为S △ABO ＝12；当直线kx －y ＋1＝0与直线x ＋y ＝0垂直时,围成的区域也符合条件,区域面积为S △ACO ＝14.6．[2016·西安一中模拟]某长方体的三视图如图K326,长度为10的体对角线在正视图中的投影长度为6,在侧视图中的投影长度为5,则该长方体的全面积为( )A ．3 5＋2B ．6 5＋4C ．6D ．1066．B [解析] 设长方体的长、宽、高分别是x ,y ,z ,则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋z 2＝10，x 2＋z 2＝6，y 2＋z 2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，z ＝1，所以该长方体的全面积为S ＝2(xy ＋yz ＋zx )＝2×(25＋2＋5)＝65＋4.。
2016届高考数学(文)考纲解读及热点难点试题演练专题03不等式(专题)(解析版)
专题3 不等式【2016年高考考纲解读】 2016高考对本内容的考查主要有：(1)一元二次不等式是C 级要求，线性规划是A 级要求． (2)基本不等式是C 级要求，理解基本不等式在不等式证明、函数最值的求解方面的重要应用．试题类型可能是填空题，同时在解答题中经常与函数、实际应用题综合考查，构成中高档题.【重点、难点剖析】 1．不等式的解法(1)求解一元二次不等式的基本思路：先化为一般形式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)，再求相应一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集． (2)解含参数不等式的难点在于对参数的恰当分类，关键是找到对参数进行讨论的原因．确定好分类标准、层次清楚地求解．2．基本不等式(1)基本不等式a 2＋b 2≥2ab 取等号的条件是当且仅当a ＝b . (2)几个重要的不等式：①ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．②a 2＋b 22≥a ＋b2≥ab ≥2aba ＋b(a ＞0，b ＞0)． ③a ＋1a≥2(a ＞0，当a ＝1时等号成立)．④2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2(a ，b ∈R ，当a ＝b 时等号成立)． (3)最值问题：设x ，y 都为正数，则有①若x ＋y ＝s (和为定值)，则x ＝y 时，积xy 取得最大值s 24；②若xy ＝p (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值2p . 3．不等式的恒成立、能成立、恰成立问题 (1)恒成立问题若不等式f (x )>A 在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上f (x )min >A ； 若不等式f (x )<B 在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上f (x )max <B ；(2)能成立问题若在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )>A 成立，则等价于在区间D 上f (x )max >A ；若在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )<B 成立，则等价于在区间D 上f (x )min <B ；(3)恰成立问题若不等式f (x )>A 在区间D 上恰成立，则等价于不等式f (x )>A 的解集为D ； 若不等式f (x )<B 在区间D 上恰成立，则等价于不等式f (x )<B 的解集为D .4．使用基本不等式以及与之相关的不等式求一元函数或者二元函数最值时，基本的技巧是创造使用这些不等式的条件，如各变数都是正数，某些变数之积或者之和为常数等，解题中要根据这个原则对求解目标进行适当的变换，使之达到能够使用这些不等式求解最值的目的．在使用基本不等式求函数的最值、特别是求二元函数最值时一定要注意等号成立的条件，尽量避免二次使用基本不等式．5．平面区域的确定方法是“直线定界、特殊点定域”，二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的半平面的交集．线性目标函数z ＝ax ＋by 中的z 不是直线ax ＋by ＝z 在y 轴上的截距，把目标函数化为y ＝－ab x ＋z b ，可知z b是直线ax ＋by ＝z 在y 轴上的截距，要根据b 的符号确定目标函数在什么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值.【题型示例】题型1 不等式与不等式的性质例1.(2015·浙江，6)有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位：m 2)分别为x ，y ，z ，且x ＜y ＜z ，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m 2)分别为a ，b ，c ，且a ＜b ＜c .在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是( )A.ax ＋by ＋czB.az ＋by ＋cxC.ay ＋bz ＋cxD.ay ＋bx ＋cz 【答案】 B 【解析】【变式探究】(2014·浙江，7)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0＜f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( )A.c ≤3B.3＜c ≤6C.6＜c ≤9D.c ＞9【答案】 C 【解析】 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c －1＋a －b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6b ＝11，又0＜f (－1)＝c －6≤3，所以6＜c ≤9.【举一反三】(2014·四川，5)若a ＞b ＞0， c ＜d ＜0，则一定有( ) A.a d ＞b c B.a d ＜b c C.a c ＞b dD.a c ＜b d【答案】 B【解析】 ∵c ＜d ＜0， ∴0＞1c ＞1d，∴－1d ＞－1c＞0，又a ＞b ＞0， ∴－a d ＞－b c，故选B. 题型2 不等式的解法例2.(2015·山东，8)若函数f (x )＝2x ＋12x －a 是奇函数，则使f (x )＞3成立的x 的取值范围为( )A.(－∞，－1)B.(－1，0)C.(0，1)D.(1，＋∞) 【答案】 C 【解析】【变式探究】(2015·广东，11)不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________(用区间表示). 【答案】 (－4，1)【解析】 不等式－x 2－3x ＋4>0，即x 2＋3x －4<0，解得－4<x <1. 【举一反三】(2015·江苏，7)不等式2x 2－x ＜4的解集为________. 【答案】 {x |－1＜x ＜2}【解析】 ∵2x 2－x ＜4＝22， ∴x 2－x ＜2，即x 2－x －2＜0，解得－1<x <2. 题型3 不等式表示的平面区域例3.(2015·重庆，10)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为( )A.－3B.1C.43 D.3 【答案】 B 【解析】【变式探究】(2014·福建，11)已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( )A.5B.29C.37D.49 【答案】 C 【解析】【举一反三】设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－32，6B.⎣⎡⎦⎤－32，－1C.[－1，6]D.⎣⎡⎦⎤－6，32【答案】 A题型4 简单的线性规划问题例4.(2015·安徽，5)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥1，则z ＝－2x ＋y 的最大值是( )A.－1B.－2C.－5D.1 【答案】 A 【解析】【变式探究】(2015·广东，11)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤2，x ＋y ≥0，x ≤4，则z ＝2x ＋3y 的最大值为( )A.2B.5C.8D.10【解析】 如图，过点(4，－1)时，z 有最大值z max ＝2×4－3＝5.【举一反三】(2015·天津，2)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x －2y ≤0，x ＋2y －8≤0，则目标函数z ＝3x＋y 的最大值为( )A.7B.8C.9D.14 【答案】 C 【解析】作出约束条件对应的可行域，如图中阴影部分，作直线l ：3x ＋y ＝0，平移直线l 可知，经过点A 时，z ＝3x ＋y 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝0，x ＋2y －8＝0，得A (2，3)，故z max ＝3×2＋3＝9.选C.【变式探究】(2015·陕西，11)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )A.12万元B.16万元C.17万元D.18万元【答案】 D 【解析】【变式探究】(2015·福建，10)变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －2y ＋2≥0，mx －y ≤0.若z ＝2x －y 的最大值为2，则实数m 等于( )A.－2B.－1C.1D.2 【答案】 C【解析】 由图形知A ⎝⎛⎭⎫－23，23，B ⎝⎛⎭⎫22m －1，2m 2m －1，O (0，0).只有在B 点处取最大值2， ∴2＝42m －1－2m 2m －1.∴m ＝1.题型5 基本不等式例5.(2015·湖南，7)若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( ) A. 2 B.2 C.2 2 D.4 【答案】 C 【解析】【变式探究】(2015·福建，5)若直线x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于( )A.2B.3C.4D.5 【答案】 C【解析】 由题意1a ＋1b ＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥4，当且仅当a ＝b ＝2时，取等号.故选C.【举一反三】(2015·陕西，10)设f (x )＝ln x ，0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )A.q ＝r ＜pB.q ＝r ＞pC.p ＝r ＜qD.p ＝r ＞q 【答案】 C 【解析】。
2016年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(上海卷,含解析)
2016年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（某某卷，含解析）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.，则不等式1、设_______.的解集为【答案】【解析】试题分析：的解集为，故不等式.考点：绝对值不等式的基本解法.2、设，期中为虚数单位，则=______________________【答案】-3【解析】试题分析：考点：1.复数的运算；2.复数的概念.3、已知平行直线，则的距离_______________【答案】【解析】试题分析：利用两平行线间距离公式得考点：主要考查两平行线间距离公式.4、某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据的中位数是_________（米）【答案】1.76 【解析】试题分析：将这6位同学的身高按照从矮到高排列为：1.69,1.72,1.75，1.77,1.78，1.80，这六个数的中位数是1.75与1.77的平均数，显然为1.76. 考点：主要考查了中位数的概念.______.，则常数5的最大值为、若函数5 【答案】的最大值为，故函数，其中试题分析：【解析】.，解得，由已知，考点：三角函数的图象和性质. 6、已知点在函数的图像上，则【答案】考点：反函数的概念以及指对数式的转化._______.的最大值为则满足、若7 【答案】经过，当直线由不等式组画出可行域，如图，令试题分析：【解析】.取得最大值，且为时，点考点：线性规划及其图解法.8.方程在区间上的解为___________【答案】【解析】试题分析：化简得：，所以，解得或（舍去），所以在区间[0，2π]上的解为.考点：二倍角公式及三角函数求值.9、在的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________ 【答案】112【解析】试题分析：由二项式定理得：二项式所有项的二项系数之和为，由题意得，所以，考点：中二项式的通项为，求常数项则令，所以，所以.考点：二项式定理.10、已知的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________【答案】【解析】试题分析：利用余弦定理可求得最大边7所对应角的余弦值为，所以此角的正弦值为，由正弦定理得,所以考点：正弦、余弦定理.11、某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为______.【答案】【解析】试题分析：种方法，则甲、乙两位同学各自所选的两种水果相同的种水果每两种分为一组，有4将.概率为考点：.古典概型X 的取值上一个动点，则是曲线P 1),−(0,B (1.0),A (0,0),O 如图，已知点12.围是.【答案】【解析】试题分析：由题意，设,，则，又,所以.考点：1.数量积的运算；2.数形结合的思想..围是X 的取值无解，则的方程组y ,x 若关于>0. b >0,a 设13. 【答案】考点：方程组的思想以及基本不等式的应用.则，若对任意的.项和n 的前}n a {为n S 个不同的数组成，k 由}n a {无穷数列14.k 的最大值为. 【答案】4，于是，则时，若；当或时，当试题分析：【解析】其中数列.时，，当从而存在.，于是，则，若.，……满足条件，所以1,0,0-，2,1：考点：数列的项与和. 二、选择题（5×4=20） 15.设，则“”是“”的（） （A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件 （C ）充要条件（D ）既非充分也非必要条件 【答案】A【解析】试题分析：，所以是充分非必要条件，选A.考点：充要条件的中点，则下列直线中与直线1BB 、BC 分别为F 、E 中，1D 1C 1B 1A −ABCD 如图，在正方体16.EF 相交的是（）1B 1A 直线(B)1 AA 直线(A) 1C 1B 直线(D) 1D 1A 直线(C)【答案】D【解析】试题分析： 都是异面直线，故选中直线与C ，B ，A 在同一平面内，是相交的，其他与只有D ．考点：异面直线 ，则满足条件的有序实数都有x 若对任意实数.，设17.对(a ,b )的对数为（）(A)1 (B)2 (C)3 (D)4【答案】B，，试题分析：【解析】 ，，又．B ，只有这两组．故选注意到考点：三角函数 18、设、、是定义域为的三个函数，对于命题：①若、、均为增函数，则、、中至少有一个增函数；②若、、均是以为周期的函数，则、、均是以为周期的函数，下列判断正确的是（） 、①和②均为真命题、①和②均为假命题、①为真命题，②为假命题、①为假命题，②为真命题【答案】D 【解析】 试题分析： 因为必为周期为的函数，所以②正确；增函数减增函数不一定为增函数，因此①不一定.选D.函数性质 考点：1.抽象函数；2.函数的单调性；3.函数的周期性. 三、解答题（74分） 19. （本题满分12分），长为旋转一周形成圆柱，如图，1OO （及其内部）绕O 1O 1AA 的正方形1将边长为.的同侧O 1O 1AA 在平面C 与1B ，其中长为（1）求圆柱的体积与侧面积；.所成的角的大小OC 与1B 1O ）求异面直线2（ 【答案】（1）；（2）．．圆柱的侧面积考点：1.几何体的体积；2.空间的角.20.（本题满分14分）有一块正方形菜地,所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到点或河边运走。
2016年高考数学文试题分类汇编不等式
2016年高考数学文试题分类汇编不等式一、选择题一、（2016年山东高考）假设变量x，y知足2,239,0,x yx yx+≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则x2+y2的最大值是（A）4（B）9（C）10（D）12 【答案】C2、（2016年浙江高考）假设平面区域30,230,230x yx yx y+-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩夹在两条斜率为1的平行直线之间，那么这两条平行直线间的距离的最小值是（）【答案】B3、（2016年浙江高考）已知a，b>0，且a≠1，b≠1，假设4log>1b，那么（）A.(1)(1)0a b--< B. (1)()0a a b-->C. (1)()0b b a--< D. (1)()0b b a-->【答案】D二、填空题一、（2016年北京高考）函数()(2)1xf x xx=≥-的最大值为_________.【答案】22、（2016江苏省高考）已知实数x，y知足240220330x yx yx y-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，那么x2+y2的取值范围是▲ . 【答案】4[,13]53、（2016年上海高考）设x∈R，那么不等式31x-<的解集为_______.【答案】)4,2(4、（2016上海高考）若,x y 知足0,0,1,x y y x ≥⎧⎪≥⎨⎪≥+⎩则2x y -的最大值为_______.【答案】2-五、（2016全国I 卷高考）某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料 kg ，乙材料 kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元。
该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，那么在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为元.【答案】2160006、（2016全国II 卷高考）若x ，y 知足约束条件103030x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，那么2z x y =-的最小值为__________【答案】5-7、（2016全国III 卷高考）若,x y 知足约束条件210,210,1,x y x y x -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩那么235z x y =+-的最大值为_____________.【答案】10-8、（2016年浙江高考）11、（2016江苏省高考）函数y =232x x --的概念域是 ▲ .【答案】[]3,1-三、解答题一、（2016年天津高考）某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A,B,C 三种要紧原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙中肥料所需三种原料的吨数如下表所示：现有A 种原料200吨，B 种原料360吨，C 种原料300吨，在此基础上生产甲乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元.别离用x,y 表示生产甲、乙两种肥料的车皮数.(Ⅰ)用x,y 列出知足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(Ⅱ)问别离生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润.（Ⅰ）解：由已知y x ,知足的数学关系式为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+003001033605820054y x y x y x y x ，该二元一次不等式组所表示的区域为图1中的阴影部份.(1)（Ⅱ）解：设利润为z 万元，那么目标函数y x z 32+=，这是斜率为32-，随z 转变的一族平行直线.3z 为直线在y 轴上的截距，当3z 取最大值时，z 的值最大.又因为y x ,知足约束条件，因此由图2可知，当直线y x z 32+=通过可行域中的点M 时，截距3z 的值最大，即z 的值最大.解方程组⎩⎨⎧=+=+30010320054y x y x 得点M 的坐标为)24,20(M ，因此112243202max =⨯+⨯=z .答：生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元.。
决胜2016年高考全国名校试题数学(文)分项汇编(浙江特刊)专题06 不等式(第01期) 含解析
一．基础题组1。
【浙江省慈溪中学2016届高三上学期期中考试数学(理）试题】已知正实数a ，b 满足321=+b a ，则()()21++b a 的最小值是 （ ） A.163B.950 C.499D. 6【答案】B.考点:基本不等式求最值．【思路点睛】用基本不等式求函数的最值,关键在于将函数变形为两项和或积的形式,然后用基本不等式求出最值,在求条件最值时，一种方法是消元，转化为函数最值;另一种方法是将要求最值的表达式变形,然后用基本不等式将要求最值的表达式放缩为一个定值，但无论哪种方法在用基本不等式解题时都必须验证等号成立的条件． 2【浙江省绍兴市第一中学2016届高三上学期期中考试数学(理）试题】设点(1,0)A ，(2,1)B ，如果直线1=+by ax 与线段AB 有一个公共点,那么22b a +（ ）A ．最小值为51 B. 最小值为55C 。
最大值为51 D 最大值为55 【答案】A. 【解析】试题分析:分析题意可知，A 点与B 点在直线1ax by +=的两侧或有一个点在直线1ax by +=上,∴(1)(21)0a a b -+-≤，且101210a a a b -=⎧⇒=⎨+-=⎩，1b =-不同时成立，画出如下可行域，故可知222min 2211()()521ab +==+，无最大值,故选A ．考点:线性规划的运用．3。
【浙江省慈溪中学2016届高三上学期期中考试数学（理）试题】定义,max{,},a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩,设实数x ,y 满足约束条件22x y ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩,则max{4,3}z x y x y =+-的取值范围是（ )A.[7,10]-B.[8,10]- C 。
[6,8]- D 。
[7,8]- 【答案】A 。
考点：线性规划的运用．4.【浙江省嘉兴市第一中学2016届高三上学期能力测试数学（理）试题】设2z x y=-+，实数,x y满足2,1,2.xx yx y k≤⎧⎪-≥-⎨⎪+≥⎩若z的最大值是0,则实数k=_______，z的最小值是_______．【答案】4,4-考点：简单的线性规划问题．【技巧点睛】平面区域的确定方法是“直线定界、特殊点定域”，二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的半平面的交集．线性目标函数z ax by ＝＋中的z 不是直线ax by z ＋＝在y 轴上的截距,把目标函数化a z y x bb=-+可知z b是直线ax by z ＋＝在y 轴上的截距，要根据b的符号确定目标函数在什么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值．5.【浙江省绍兴市第一中学2016届高三上学期期中考试数学(理）试题】设x ，y 满足约束条件3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩,若目标函数x yz a b=+(0a >,0b >）的最大值为10，则54a b +的最小值为 ． 【答案】8。
2016年全国各地高考数学试题及解答分类大全(不等式)
(Ⅱ)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润.
【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）生产甲种肥料 20 车皮，乙种肥料 24 车皮时利润最大，且最大利润为112
万元
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考点：线性规划 【名师点睛】解线性规划应用问题的一般步骤是：(1)分析题意，设出未知量；(2)列出线性约束条件 和目标函数；(3)作出可行域并利用数形结合求解；(4)作答．而求线性规划最值问题，首先明确可行 域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直 线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数 最值取法.
x y 1 0
2.（2016
全国Ⅱ文）若
x，y
满足约束条件
x
y
3
0
，则
z
x
2
y
的最小值为__________
x 3 0
【答案】 5
考点： 简单的线性规划.
【名师点睛】利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：
(1)在平面直角坐标系内作出可行域；
(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；
(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解；
(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．
2x y 1 0,
3.（2016
全国Ⅲ文）若
x,
y
满足约束条件
x
2
y
1
0,
则 z 2x 3y 5 的最大值为___________.
x 1,
【答案】 10
2016-2021高考数学真题分类汇编第14讲不等式
10．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)若 满足约束条件 ,则 的最大值为_____.
11．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料 ，乙材料 ，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料 ，乙材料 ，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料 ，乙材料 ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元．
5．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)若x，y满足约束条件 ，则z=3x+2y的最大值为_________．
6．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)若 满足约束条件 则 的最大值为_________．
7．(2018年高考7年高考数学新课标Ⅰ卷理科)设 满足约束条件 ,则 的最小值为____．
第14讲：不等式
1．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)已知 ， ， ，则( )
A．
B．
C．
D．
2．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)设 ， ，则( )
A． B． C． D．
3．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科)设 ， 满足约束条件 ，则 的最小值是
A． B． C． D．
4．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)若x，y满足约束条件 则z=x+7y 最大值为__________．
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2016年高考数学文试题分类汇编
不等式
一、选择题
1、（2016年山东高考）若变量x ，y 满足2,239,0,x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩
则x 2+y 2的最大值是
（A ）4（B ）9（C ）10（D ）12
【答案】C
2、（2016年浙江高考）若平面区域30,230,230x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩
夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这
两条平行直线间的距离的最小值是（ ）
【答案】B
3、（2016年浙江高考）已知a ，b >0，且a ≠1，b ≠1，若4log >1b ，则（ ）
A.(1)(1)0a b --<
B. (1)()0a a b -->
C. (1)()0b b a --<
D. (1)()0b b a --> 【答案】D
二、填空题
1、（2016年北京高考）函数()(2)1
x f x x x =
≥-的最大值为_________. 【答案】2 2、（2016江苏省高考） 已知实数x ，y 满足240220330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩
，则x 2+y 2的取值范围是 ▲ . 【答案】4[,13]5
3、（2016年上海高考）设x ∈R ，则不等式31x -<的解集为_______.
【答案】)4,2(
4、（2016上海高考）若,x y 满足0,0,1,x y y x ≥⎧⎪≥⎨⎪≥+⎩
则2x y -的最大值为_______.
【答案】2-
5、（2016全国I 卷高考）某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元。
该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元.
【答案】216000
6、（2016全国II 卷高考）若x ，y 满足约束条件103030x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩
，则2z x y =-的最小值为
__________
【答案】5-
7、（2016全国III 卷高考）若,x y 满足约束条件210,210,1,x y x y x -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩
则235z x y =+-的最大
值为_____________.
【答案】10-
11、（2016江苏省高考）函数y
的定义域是 ▲ .
【答案】[]3,1-
三、解答题
1、（2016年天津高考）某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A,B,C 三种主要原料.生产1
车皮甲种肥料和生产1车皮乙中肥料所需三种原料的吨数如下表所示：
现有A 种原料200吨，B 种原料360吨，C 种原料300吨，在此基础上生产甲乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元.分别用x,y 表示生产甲、乙两种肥料的车皮数.
(Ⅰ)用x,y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
(Ⅱ)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润.
（Ⅰ）解：由已知y x ,满足的数学关系式为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+0
03001033605820054y x y x y x y x ，该二元一次不等式组所表示的
区域为图1中的阴影部分.
(1)
（Ⅱ）解：设利润为z 万元，则目标函数y x z 32+=，这是斜率为32-
，随z 变化的一族平行直线.3z 为直线在y 轴上的截距，当3
z 取最大值时，z 的值最大.又因为y x ,满足约束条件，所以由图2可知，当直线y x z 32+=经过可行域中的点M 时，截距3
z 的值最大，即z 的值
最大.解方程组⎩⎨⎧=+=+300
10320054y x y x 得点M 的坐标为)24,20(M ，所以
112243202max =⨯+⨯=z .
答：生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元.。