对数函数图像和性质-函数专题平移和变换

函数专题：对数函数图象及其性质（1）

学习目标：

1．知道对数函数的定义

2．能够画出对数函数图象及并通过图象研究函数基本性质

3．会求简单的与对数有关的复合函数的定义域 4.掌握通过图象比较两个对数的大小的方法 学习重点：对数函数的图象、性质及其应用

学习过程：

一、复习引入：

1、指对数互化关系：

2、 )10(≠>=a a a y x

且

的图象和性质

3、我们曾经讨论过细胞分裂问题，某种细胞分裂时，得到的细胞的个数y 是分裂次数x 的

函数，这个函数可以用指数函数y =x

2表示

现在，我们来研究相反的问题，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个……细胞?

二、新课学习： 1．对数函数的定义：

一般地，形如y=a log x （a ＞0且a ≠1）的函数叫对数函数。

练习：判断以下函数是对数函数的为 （ D ）

2A log (32)y x =-、 (1)B log x y x -=、 213

C log y x =、

D ln y x =、

2．对数函数的图象研究：

画出下列函数的图象2()log f x x =， 12

()log f x x = 图像略

3．对数函数的性质：

分析说明：

根据定义知，指数函数和对数函数互为反函数，所以定义域值域互换可得；图像关于y=x 直线对称，所以对数函数的性质及图像就一目了然了。 三、知识应用：

例1：求下列函数的定义域：

（1）2log x y a =； （2）)4(log x y a -=； （3）y =

练习：（1）5log (1)y x =- （2）21

log y x

=

例2. 比较下列各组数中的两个值大小

（1）22log 3.4,log 8.5 （2）0.30.3log 1.8,log 2.7

（3）log 5.1,

log 5.9a a （a ＞0，且a ≠1）

32(4)log 5,log 5

解析技巧：

对数比较大小的步骤：1.与0比其乐无穷 满足口诀“同步为正，不同步为负” 2.与1比其乐融融 满足口诀“每个对数换为a log a 比较” 3.同底比~ 应用公式“换底公式①、②”

四、思考：

2(1)a x ax -+函数f(x)=log 的定义域为R ，求的取值范围？2

函数专题：对数函数图象的平移和变换（2）

探究：如何画)1(log 2+=x y 的图象？

)1(log 2+=x y 的图象可以由对数函数图象经过变换而得到： →=x y 2log )1(log 2+=→x y

新知：1．对数函数图象的变换（c a a ,10≠>且为常数）.

① 左右平移变换. （针对x 变量的变化：符合口诀“左加右减”）

x y a log = −−−−−−−−−−−−−→−)

()(log c x y a +=.

② 上下平移变换. （针对y 变量的变化：符合口诀“上加下减”）

x y a log = −−−−−−−−−−−−−→−)

(c x y a +=log . ③ x y a log =与)(log x y a -=的图象关于 y 轴 对称. x y a log =与x y a log -=的图象关于 x 轴 对称.

x y a log =与)(log x y a --=的图象关于 原点中心 对称.

④ x y a log =−−−−−−−−−−−−−−−−→−)

(x y a log =.

解析说明：针对x 加绝对值，图像关于y 轴对称。

⑤ x y a log =−−−−−−−−−−−−−−−−→−) (x y a log =.

解析说明：针对y 加绝对值，图像关于x 轴对称。

总结结论：函数图像的变换总是连接函数的两大主角同时出现，就像自变量与函数值不可分离又相互对应一样。所以，当我们看到x 身上发生变化时，那一定出现了关于y 的变换。反之，也成立。

拓展深入：

怎样才能直接写出对数型函数的单调区间． 【知识链接】

对数函数图象的平移和变换来探究. 【典型例题】

例1．直接写出下列函数的单调区间． （1）)

1(2

log +=x y ； （2）)

(2

log x y -= ； （3）)

2(2

log --=x y ；

（4）2log 2

1+=x y ； （5）x

y 3

1log = ； （6） x y 2log =．

解析技巧：观察函数的单调区间，画出函数图像最直观。

步骤：1.画出指定底数的对数函数图像； 2.根据平移变换口诀进行变换； 3.找准分段点，直接写出增减区间。

变式思考：

例2．讨论方程3log (3)()x a a +=为常数根的情况.

1. 指出下列函数那些是对数函数．

)1(log )1(2+=x y x y 2

1log 2)2(= 1log )3(4+=x y

24log )4(x y = x y x log )5(= )12

1

(log )6()12(≠>

=-a a x y a 且 2. 求下列函数的定义域．

（1）23log y x =； （2）log (3)a y x =-；

（3）y =；（4）)4(log 2

2

1x x y -=.

3. （1）y =的定义域是 （2）)2(log 2

2x x y +=的定义域是

4. 已知)(x f y =的定义域为]2,1(，求函数)(log 2x f y =的定义域.

5. 比较下列实数的大小．

（1）6.0log ,5.0log 22； （2）0.30.3log 2.8,log 2.7； （3）8.0log ,7.0log 1.14.0； （4）2log ,3log 32； . ．

6. 在坐标系中分别画出下列函数的图像，并写出其单调区间。 （1）3log x 1y =－ （2）13

log x y =的图像.