对数函数图像和性质-函数专题平移和变换

函数专题：对数函数图象及其性质（1）
学习目标：
1．知道对数函数的定义
2．能够画出对数函数图象及并通过图象研究函数基本性质
3．会求简单的与对数有关的复合函数的定义域 4.掌握通过图象比较两个对数的大小的方法 学习重点：对数函数的图象、性质及其应用
学习过程：
一、复习引入：
1、指对数互化关系：
2、 )10(≠>=a a a y x
且
的图象和性质
3、我们曾经讨论过细胞分裂问题，某种细胞分裂时，得到的细胞的个数y 是分裂次数x 的
函数，这个函数可以用指数函数y =x
2表示
现在，我们来研究相反的问题，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个……细胞?
二、新课学习： 1．对数函数的定义：
一般地，形如y=a log x （a ＞0且a ≠1）的函数叫对数函数。

练习：判断以下函数是对数函数的为 （ D ）
2A log (32)y x =-、 (1)B log x y x -=、 213
C log y x =、
D ln y x =、
2．对数函数的图象研究：
画出下列函数的图象2()log f x x =， 12
()log f x x = 图像略
3．对数函数的性质：
分析说明：
根据定义知，指数函数和对数函数互为反函数，所以定义域值域互换可得；图像关于y=x 直线对称，所以对数函数的性质及图像就一目了然了。

三、知识应用：
例1：求下列函数的定义域：
（1）2log x y a =； （2）)4(log x y a -=； （3）y =
练习：（1）5log (1)y x =- （2）21
log y x
=
例2. 比较下列各组数中的两个值大小
（1）22log 3.4,log 8.5 （2）0.30.3log 1.8,log 2.7
（3）log 5.1,
log 5.9a a （a ＞0，且a ≠1）
32(4)log 5,log 5
解析技巧：
对数比较大小的步骤：1.与0比其乐无穷 满足口诀“同步为正，不同步为负” 2.与1比其乐融融 满足口诀“每个对数换为a log a 比较” 3.同底比~ 应用公式“换底公式①、②”
四、思考：
2(1)a x ax -+函数f(x)=log 的定义域为R ，求的取值范围？2
函数专题：对数函数图象的平移和变换（2）
探究：如何画)1(log 2+=x y 的图象？
)1(log 2+=x y 的图象可以由对数函数图象经过变换而得到： →=x y 2log )1(log 2+=→x y
新知：1．对数函数图象的变换（c a a ,10≠>且为常数）.
① 左右平移变换. （针对x 变量的变化：符合口诀“左加右减”）
x y a log = −−−−−−−−−−−−−→−)
()(log c x y a +=.
② 上下平移变换. （针对y 变量的变化：符合口诀“上加下减”）
x y a log = −−−−−−−−−−−−−→−)
(c x y a +=log . ③ x y a log =与)(log x y a -=的图象关于 y 轴 对称. x y a log =与x y a log -=的图象关于 x 轴 对称.
x y a log =与)(log x y a --=的图象关于 原点中心 对称.
④ x y a log =−−−−−−−−−−−−−−−−→−)
(x y a log =.
解析说明：针对x 加绝对值，图像关于y 轴对称。

⑤ x y a log =−−−−−−−−−−−−−−−−→−) (x y a log =.
解析说明：针对y 加绝对值，图像关于x 轴对称。

总结结论：函数图像的变换总是连接函数的两大主角同时出现，就像自变量与函数值不可分离又相互对应一样。

所以，当我们看到x 身上发生变化时，那一定出现了关于y 的变换。

反之，也成立。

拓展深入：
怎样才能直接写出对数型函数的单调区间． 【知识链接】
对数函数图象的平移和变换来探究. 【典型例题】
例1．直接写出下列函数的单调区间． （1）)
1(2
log +=x y ； （2）)
(2
log x y -= ； （3）)
2(2
log --=x y ；
（4）2log 2
1+=x y ； （5）x
y 3
1log = ； （6） x y 2log =．
解析技巧：观察函数的单调区间，画出函数图像最直观。

步骤：1.画出指定底数的对数函数图像； 2.根据平移变换口诀进行变换； 3.找准分段点，直接写出增减区间。

变式思考：
例2．讨论方程3log (3)()x a a +=为常数根的情况.
1. 指出下列函数那些是对数函数．
)1(log )1(2+=x y x y 2
1log 2)2(= 1log )3(4+=x y
24log )4(x y = x y x log )5(= )12
1
(log )6()12(≠>
=-a a x y a 且 2. 求下列函数的定义域．
（1）23log y x =； （2）log (3)a y x =-；
（3）y =；（4）)4(log 2
2
1x x y -=.
3. （1）y =的定义域是 （2）)2(log 2
2x x y +=的定义域是
4. 已知)(x f y =的定义域为]2,1(，求函数)(log 2x f y =的定义域.
5. 比较下列实数的大小．
（1）6.0log ,5.0log 22； （2）0.30.3log 2.8,log 2.7； （3）8.0log ,7.0log 1.14.0； （4）2log ,3log 32； . ．
6. 在坐标系中分别画出下列函数的图像，并写出其单调区间。

（1）3log x 1y =－ （2）13
log x y =的图像.
对数函数图象及其性质（1）答案 例一：（1）x ≠0；（2）x ＜4；（3）314⎛⎤
⎥⎝⎦
， 练习：（1）()-1∞，；
（2）()()0,11+∞，
例二：（1）＜；（2）＞；（3）当a ＞1时，＜；当0＜a ＜1时，＞；（4）＜ 四、思考答案：a ＞2或a ＜-2
对数函数图象的平移和变换（2）答案
例一：（1）(]-+∞1，单调递增；（2）()-0∞，单调递减；（3）()--2∞，单调递减； （4）()0+∞，单调递减；（5）()-0∞，单调递增，()0+∞，单调递减； （6）()0,1单调递减，()1+∞，单调递增
变式思考：例2：由口诀可得函数图像，当a ＞0时，方程有两个不相等的实根； 当a=0时，方程有一个实根； 当a ＜0时，方程没有实数根。

作业练习：答案 1. （6）
2. （1）x ≠0；（2）x ＜3；（3）x ＜2；（4）0＜x ＜4.
3. （1）5
+3⎛⎫∞ ⎪⎝⎭
，；（2）
4.
(]2,4
5. （1）＜；（2）＜；（3）＞；（4）＞
6. 画图略，（1）单调区间是：()-1∞，单调递减，()+∞1，单调递增； （2）单调区间是：()0,1单调递减，()1+∞，单调递增。