系统建模与动力学分析
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如果能使物体的双侧均受到光滑面约束，则可阻止物体相 互脱离。这种限制物体双侧运动的约束称为双侧约束。
理论力学基本知识_静力学
光滑面约束应用举例
两物体接触面的支持力
齿轮传动，当略去摩擦时，齿廓曲面间的接触也是光滑接 触，因而两齿轮的相互作用力F_n、一定沿着齿廓曲面在啮 合点K的公法线方向。
理论力学基本知识_静力学
刚体约束包括： （1）光滑面约束 当两个物体间的接触表面非常光滑，摩擦力可以忽略不计 时，即构成光滑接触面约束。
光滑接触面的约束反力：作用在接触点处，方向沿着接触 面在该点的公法线，指向受力物体，亦即必为法向压力,通 常用F_n表示
由于光滑面不可能对物体产生拉力，相接触的物体可以自 由脱离接触，因此光滑面约束属于单侧约束。
建立模型的方法可分为：
建立模型
白箱建模问题(机理建模，分析建模):系统结构和参数已知时，根 据系统各部分所依据的物理规律、化学规律以及其它自然规律来 建立相应运动方程的方法。如力学、热学、电学以及相关的工程 技术问题。 灰箱建模问题（综合建模）:系统结构和参数不完全已知时，综合 分析建模和系统辨识。如气象学、生态学经济学等领域的模型。 黑箱建模问题（系统辨识）:系统结构和参数未知时，根据系统对 施加的某种测试信号的响应或其它实验数据，来建立数学模型的。 如生命科学、社会科学等方面的问题，由于因素众多、关系复杂， 可简化为黑箱模型来研究。 简化与精度 存在模型精度和复杂性之间的矛盾，因此，在工程上， 总是在满足一定精度要求的前提下，尽量使数学模型简单。
理论力学基本知识_静力学
辊轴约束的应用举例：桥梁支座。
理论力学基本知识_静力学
二力杆约束： 两端用球铰或平面柱铰与其他物体联结且不计重量的刚 性直杆，称为二力杆。 注意：二力杆件不一定是直杆。 由于二力杆只可能在两端A，B处受到力的作用，根据二 力平衡条件，两端约束力F_A和F_B必大小相等，方向相 反，沿杆的中心轴方向。 二力杆不仅能受拉力， 而且能受压力，属于 双侧约束。
完全约束：约束能够不多不少地恰好完全限制了物体的 运动，使物体实现平衡。 约束程度低于或高于完全约束的约束分别称为不完全约 束和多余约束。
理论力学基本知识_静力学
受到不完全约束的物体仍可能作某种运动；相反，受到 多余约束的物体即使接触部分约束，仍有可能继续保持 平衡。 约束力是一种被动力，其大小和方向不能预先确定，只 能由约束的性质和主动力的状况被动地确定。 约束使物体丧失的自由度越多，则待定的约束力变量也 越多。在静力学中通常将约束力变量的数目称为约束数， 作为衡量约束程度的指标。
建立模型：
建立系统模型：应用物理定律于具体的系统。它可以建立 一数学模型来描述此系统。 简化与精度：决定一合理的简化模型，必须确定哪些物理 变量和关系是重要的，不可忽略的；哪些是对于模型的精度 有决定性作用的。 数学模型不能精确地代表任何物理元件或系统，它总是包含 近似和假设。某些近似和假设限制数学模型的正确性范围。
动态系统的分析和设计 分析：系统分析表示对已知数学模型在给 定的条件下对系统性能的研究。 设计：系统设计是指寻找完成给定任务的 系统的过程。 综合：意思是指用一定的方法来寻找一个 按既定要求完成任务的系统。 系统设计的基本方法：试探法是非常重要 的方法。 系统设计的步骤：建立数学模型---设计--分析---综合---样机---完成任务。
理论力学基本知识_静力学
固定端约束：
约束与被约束物体彼此固结为一体的约束，称为固定端。 例如一端紧固地插入刚性墙内的阳台挑梁、摇臂钻在图 示平面内紧固于立柱上的摇臂、夹紧在卡盘上的工件等， 就是物体受到固定端约束的三个实例。
理论力学基本知识_静力学
在固定端约束范围内任选一点作为简化中心，可将约束 力简化为一个力F_A和一个力矩M_A。
GPS与INS融合姿态 测量系统建模：
建立数学模型的步骤：
画系统的简图，并决定变量； 应用物理定律，写出每个元件的方程，根据系统图 综合这些方程，得到数学模型； 对模型进行简化； 为了验证模型的正确性，把由模型方程所得到解的 性能预示与实验结果比较。如果偏差很大，模型必 须重新建立。
头立铣刀的数学模型
分布力与集中力： 分布作用在一定的接触面上，作用面积较大的力称为分 布力。例如作用在高层建筑上的风压力和水平桌面对物 体的支承力。
理论力学基本知识_静力学
如果力作用的面积很小，以至可以近似地看成作用在一 个点上，则称为集中力。例如起重机悬臂梁上悬挂重物 的绳索及钢索的拉力 F 和 F 。 工程中常将作为主动力的分布力称 为分布载荷，如水压、土压和风载 将物体的受力表面划分为无数 A 面积，设任意点处微元面积 作用力为 F ，令
在刚体上某一已知力系加上或减去任何一个平衡力系后 与原力系等效。
平衡力系：满足平衡条件的力系称为平衡力系。 等效力系：处于平衡状态的同一刚体可作用有不同的平 衡力系，这些不同的力系对刚体的作用效果完全相同， 因此称它们互为等效力系。 若作用于同一刚体的两组不同力系能使该刚体的运动状 态产生完全相同的变化，则称这两组力系互为等效。
力矢量的坐标表示 力矢量F可用相对于（Oxyz）各轴的投影F_x，F_y ， F_z表示为
F Fx i Fy j Fz k
其中 ( i , j , k ) 称为基矢量。各轴的投影等于力矢量与 该轴基矢量的标积。
Fx F i F cos( F , i ) Fy F j F cos( F , j ) Fz F k F cos( F , k )
理论力学基本知识_静力学
百度文库
辊轴约束：在固定平面圆柱铰链支座的下部安装 若干刚性滚子即构成辊轴约束，或称辊轴支座。 辊轴约束力沿滚动方向无约束作用，只能沿支持 平面的法线方向，构成一平行力系。 合力F的作用线必通过铰链中心，且垂直于支承平 面。
根据不同滚子的结构，辊轴约束可以是单侧约束， 也可以是双侧约束。
F1
A
B
F2
理论力学基本知识_静力学
公理二、力的平行四边形公理 作用在物体上同一点的两个力可合成为在该点的一个合 力，其大小和方向可由这两个力矢为邻边所作的平行四 边形的对角线表示，且具有相同的作用点。 它表明力的合成符合矢量求和规则。
F2
F
F
F2
F1
F1
理论力学基本知识_静力学
公理三、加减平衡力系公理
F 等。
微元 上的 F
F q lim A 0 A
称为分布载荷在该点处的载荷密度。
理论力学基本知识_静力学
例：水坝受高度为h的水压作用，试计算此分布载荷的 合力，对坝基点A的矩以及合力作用线位置。 高度为y的点P处单位宽载荷密度为
q g (h y )
微元高度dy的作用力dF=qdy，合力为
理论力学基本知识_静力学
工程上常见的约束有柔索约束和刚体约束。
柔索约束：
绳索、链条和胶带通称为柔索，它不可伸长，只能受 拉力作用。 柔索对物体的约束力F只能沿拉直的柔索方向。 柔索不能承受压力，它只能阻止物体使它伸长的运动 趋势，而对于使它缩短的运动趋势则不起任何约束作 用。这种只限制物体单侧运动的约束称为单侧约束。
理论力学基本知识_静力学
理论力学基本知识_静力学
如果杆件为直杆，将其切断。根据切断部分平衡的条件， 切断面必存在力分别与各端点的约束力构成平衡力系(见 图)。该作用力称为杆件的内力。它们大小相等方向相反。
理论力学基本知识_静力学
二力杆约束应用举例：下图为铁路桁架桥，各杆之间通 常采用铆接或焊接的方法连接，力学上抽象为铰链连接， 其弦杆即为二力杆。
理论力学基本知识
理论力学所研究的力学规律仅限于经典力学的范畴， 它是以牛顿定律为基础建立起来的力学理论，它的结 论不适用于原子、电子等微观粒子的运动，或速度接 近于光速的物体运动。后两种运动属于量子力学和相 对论的研究对象。 理论力学的内容由三部分组成：静力学、运动学和动 力学。 静力学研究力系的简化，以及物体在力系作用下的平 衡规律。 运动学从几何学的观点研究物体的运动。 动力学则研究物体的运动与作用于物体的力之间的关 系。
公理五、刚化公理
刚体的平衡条件是变形体平衡的必要但不充分条件。
即能使变形体平衡的力系若作用于刚体，也必然能使 刚体平衡，但反之则不一定。
理论力学基本知识_静力学
约束：对物体空间位置的限制。
约束（反）力：当物体沿着约束所能阻碍的方向有运动 趋势时，约束对物体就有阻碍运动的力作用，这种作用 力称为约束反力，简称反力。约束反力的方向总是与约 束所能阻碍物体运动的方向相反。
F1
F2
F3
理论力学基本知识_静力学
公理四、作用与反作用公理
两物体上相互作用的一对力，它们必定同时存在且等 值、反向、共线。即牛顿第三定律。
注意不要将作用力与反作用力性质与二力平衡条件相 混淆，前者的两力分别作用于不同物体，而后者的两 力作用于同一物体。
理论力学基本知识_静力学
理论力学基本知识
理论力学基本知识_静力学
静力学主要讨论以下两个基本问题： （1）力系的等效替换和简化； （2）力系的平衡条件及其应用。 静力学的全部理论建立在下面五个公理的基础上。 公理一、两力平衡公理 作用在同一刚体上的两个力，它们使刚体处于平衡的必 要和充分条件是：这两个力等值、反向、共线。
理论力学基本知识_静力学
力系的等效替换：一个力系用其等效力系来代替，称 为力系的等效替换。 力系的简化：用一个简单力系等效替换一个复杂力系， 称为力系的简化。因此，平衡力系也可定义为简化结 果为零的力系。
N
F
mg
F
理论力学基本知识_静力学
利用二力平衡条件和增减平衡力系原理还可以证明以 下推论： 推论1：作用于刚体上的力，可以沿其作用线任意移 动，而不改变对刚体的效应。这一性质称为力的可传 性原理。
h h 0 0
F qdy g (h y)dy gh 2 / 2
水压对点A的矩为
h h 0 0
q
A
P
y
dy
h
M A qydy g (h y) ydy gh3 / 6
作用线高度为
yC M A / F h / 3
理论力学基本知识_静力学
理论力学基本知识_静力学
总结： 以上介绍几种典型约束时，都作了一些理想化假定，例 如柔索不可伸长，接触面绝对光滑等。
满足这些理想化条件的约束称为理想约束，它是对实际 约束的一种理想化抽象。
当实际约束存在的非理想因素足够微小时，理想约束可 以足够准确地反应实际约束。
理论力学基本知识_静力学
F
F F
F
F
理论力学基本知识_静力学
推论2：刚体受三力作用而平衡，若其中两力相交， 则此三力共面共点，这一性质称为三力平衡汇交定理。 注意：作用于刚体的力是滑动矢量， 即力的作用线可以任意滑动。上述 结论完全不适用于变形体。对于变 形体，力的作用效果和作用点密切 相关。作用点不得任意改变的矢量 称为定位矢量，作用于变形体的力 是定位矢量。
理论力学基本知识_静力学
(F , i ) 等表示括号内二矢量的夹角，F 为 F 的模。
F Fx2 Fy2 Fz2
二次投影法。
z
Fz
F
Fy
y
Fx
Fxy
x
理论力学基本知识_静力学
力对点的矩 当可绕固定点O转动的刚体上受到力F的作用时，原来 静止的刚体将以F的作用线与O点所组成的平面的法线 为轴产生转动趋势，方向取决于力在该平面内的指向， 强弱程度取决于力F的大小和O点到F的作用线的垂直 距离h的乘积。例如用球铰链联结的台灯和汽车操纵杆
理论力学基本知识_静力学
（1）光滑铰链约束
球铰链约束：通过球和球壳将两个构建连接在一起， 被连接的构建可绕球心作相对转动。例如汽车的操纵 杆。
理论力学基本知识_静力学
圆柱铰链约束：通过带有紧锁螺母的圆柱钉将两个钻有同 直径孔的构件连接在一起。被连接的构件可绕钉轴作相对 转动。例如向心滚动轴承。
理论力学基本知识_静力学
光滑面约束应用举例
两物体接触面的支持力
齿轮传动，当略去摩擦时，齿廓曲面间的接触也是光滑接 触，因而两齿轮的相互作用力F_n、一定沿着齿廓曲面在啮 合点K的公法线方向。
理论力学基本知识_静力学
刚体约束包括： （1）光滑面约束 当两个物体间的接触表面非常光滑，摩擦力可以忽略不计 时，即构成光滑接触面约束。
光滑接触面的约束反力：作用在接触点处，方向沿着接触 面在该点的公法线，指向受力物体，亦即必为法向压力,通 常用F_n表示
由于光滑面不可能对物体产生拉力，相接触的物体可以自 由脱离接触，因此光滑面约束属于单侧约束。
建立模型的方法可分为：
建立模型
白箱建模问题(机理建模，分析建模):系统结构和参数已知时，根 据系统各部分所依据的物理规律、化学规律以及其它自然规律来 建立相应运动方程的方法。如力学、热学、电学以及相关的工程 技术问题。 灰箱建模问题（综合建模）:系统结构和参数不完全已知时，综合 分析建模和系统辨识。如气象学、生态学经济学等领域的模型。 黑箱建模问题（系统辨识）:系统结构和参数未知时，根据系统对 施加的某种测试信号的响应或其它实验数据，来建立数学模型的。 如生命科学、社会科学等方面的问题，由于因素众多、关系复杂， 可简化为黑箱模型来研究。 简化与精度 存在模型精度和复杂性之间的矛盾，因此，在工程上， 总是在满足一定精度要求的前提下，尽量使数学模型简单。
理论力学基本知识_静力学
辊轴约束的应用举例：桥梁支座。
理论力学基本知识_静力学
二力杆约束： 两端用球铰或平面柱铰与其他物体联结且不计重量的刚 性直杆，称为二力杆。 注意：二力杆件不一定是直杆。 由于二力杆只可能在两端A，B处受到力的作用，根据二 力平衡条件，两端约束力F_A和F_B必大小相等，方向相 反，沿杆的中心轴方向。 二力杆不仅能受拉力， 而且能受压力，属于 双侧约束。
完全约束：约束能够不多不少地恰好完全限制了物体的 运动，使物体实现平衡。 约束程度低于或高于完全约束的约束分别称为不完全约 束和多余约束。
理论力学基本知识_静力学
受到不完全约束的物体仍可能作某种运动；相反，受到 多余约束的物体即使接触部分约束，仍有可能继续保持 平衡。 约束力是一种被动力，其大小和方向不能预先确定，只 能由约束的性质和主动力的状况被动地确定。 约束使物体丧失的自由度越多，则待定的约束力变量也 越多。在静力学中通常将约束力变量的数目称为约束数， 作为衡量约束程度的指标。
建立模型：
建立系统模型：应用物理定律于具体的系统。它可以建立 一数学模型来描述此系统。 简化与精度：决定一合理的简化模型，必须确定哪些物理 变量和关系是重要的，不可忽略的；哪些是对于模型的精度 有决定性作用的。 数学模型不能精确地代表任何物理元件或系统，它总是包含 近似和假设。某些近似和假设限制数学模型的正确性范围。
动态系统的分析和设计 分析：系统分析表示对已知数学模型在给 定的条件下对系统性能的研究。 设计：系统设计是指寻找完成给定任务的 系统的过程。 综合：意思是指用一定的方法来寻找一个 按既定要求完成任务的系统。 系统设计的基本方法：试探法是非常重要 的方法。 系统设计的步骤：建立数学模型---设计--分析---综合---样机---完成任务。
理论力学基本知识_静力学
固定端约束：
约束与被约束物体彼此固结为一体的约束，称为固定端。 例如一端紧固地插入刚性墙内的阳台挑梁、摇臂钻在图 示平面内紧固于立柱上的摇臂、夹紧在卡盘上的工件等， 就是物体受到固定端约束的三个实例。
理论力学基本知识_静力学
在固定端约束范围内任选一点作为简化中心，可将约束 力简化为一个力F_A和一个力矩M_A。
GPS与INS融合姿态 测量系统建模：
建立数学模型的步骤：
画系统的简图，并决定变量； 应用物理定律，写出每个元件的方程，根据系统图 综合这些方程，得到数学模型； 对模型进行简化； 为了验证模型的正确性，把由模型方程所得到解的 性能预示与实验结果比较。如果偏差很大，模型必 须重新建立。
头立铣刀的数学模型
分布力与集中力： 分布作用在一定的接触面上，作用面积较大的力称为分 布力。例如作用在高层建筑上的风压力和水平桌面对物 体的支承力。
理论力学基本知识_静力学
如果力作用的面积很小，以至可以近似地看成作用在一 个点上，则称为集中力。例如起重机悬臂梁上悬挂重物 的绳索及钢索的拉力 F 和 F 。 工程中常将作为主动力的分布力称 为分布载荷，如水压、土压和风载 将物体的受力表面划分为无数 A 面积，设任意点处微元面积 作用力为 F ，令
在刚体上某一已知力系加上或减去任何一个平衡力系后 与原力系等效。
平衡力系：满足平衡条件的力系称为平衡力系。 等效力系：处于平衡状态的同一刚体可作用有不同的平 衡力系，这些不同的力系对刚体的作用效果完全相同， 因此称它们互为等效力系。 若作用于同一刚体的两组不同力系能使该刚体的运动状 态产生完全相同的变化，则称这两组力系互为等效。
力矢量的坐标表示 力矢量F可用相对于（Oxyz）各轴的投影F_x，F_y ， F_z表示为
F Fx i Fy j Fz k
其中 ( i , j , k ) 称为基矢量。各轴的投影等于力矢量与 该轴基矢量的标积。
Fx F i F cos( F , i ) Fy F j F cos( F , j ) Fz F k F cos( F , k )
理论力学基本知识_静力学
百度文库
辊轴约束：在固定平面圆柱铰链支座的下部安装 若干刚性滚子即构成辊轴约束，或称辊轴支座。 辊轴约束力沿滚动方向无约束作用，只能沿支持 平面的法线方向，构成一平行力系。 合力F的作用线必通过铰链中心，且垂直于支承平 面。
根据不同滚子的结构，辊轴约束可以是单侧约束， 也可以是双侧约束。
F1
A
B
F2
理论力学基本知识_静力学
公理二、力的平行四边形公理 作用在物体上同一点的两个力可合成为在该点的一个合 力，其大小和方向可由这两个力矢为邻边所作的平行四 边形的对角线表示，且具有相同的作用点。 它表明力的合成符合矢量求和规则。
F2
F
F
F2
F1
F1
理论力学基本知识_静力学
公理三、加减平衡力系公理
F 等。
微元 上的 F
F q lim A 0 A
称为分布载荷在该点处的载荷密度。
理论力学基本知识_静力学
例：水坝受高度为h的水压作用，试计算此分布载荷的 合力，对坝基点A的矩以及合力作用线位置。 高度为y的点P处单位宽载荷密度为
q g (h y )
微元高度dy的作用力dF=qdy，合力为
理论力学基本知识_静力学
工程上常见的约束有柔索约束和刚体约束。
柔索约束：
绳索、链条和胶带通称为柔索，它不可伸长，只能受 拉力作用。 柔索对物体的约束力F只能沿拉直的柔索方向。 柔索不能承受压力，它只能阻止物体使它伸长的运动 趋势，而对于使它缩短的运动趋势则不起任何约束作 用。这种只限制物体单侧运动的约束称为单侧约束。
理论力学基本知识_静力学
理论力学基本知识_静力学
如果杆件为直杆，将其切断。根据切断部分平衡的条件， 切断面必存在力分别与各端点的约束力构成平衡力系(见 图)。该作用力称为杆件的内力。它们大小相等方向相反。
理论力学基本知识_静力学
二力杆约束应用举例：下图为铁路桁架桥，各杆之间通 常采用铆接或焊接的方法连接，力学上抽象为铰链连接， 其弦杆即为二力杆。
理论力学基本知识
理论力学所研究的力学规律仅限于经典力学的范畴， 它是以牛顿定律为基础建立起来的力学理论，它的结 论不适用于原子、电子等微观粒子的运动，或速度接 近于光速的物体运动。后两种运动属于量子力学和相 对论的研究对象。 理论力学的内容由三部分组成：静力学、运动学和动 力学。 静力学研究力系的简化，以及物体在力系作用下的平 衡规律。 运动学从几何学的观点研究物体的运动。 动力学则研究物体的运动与作用于物体的力之间的关 系。
公理五、刚化公理
刚体的平衡条件是变形体平衡的必要但不充分条件。
即能使变形体平衡的力系若作用于刚体，也必然能使 刚体平衡，但反之则不一定。
理论力学基本知识_静力学
约束：对物体空间位置的限制。
约束（反）力：当物体沿着约束所能阻碍的方向有运动 趋势时，约束对物体就有阻碍运动的力作用，这种作用 力称为约束反力，简称反力。约束反力的方向总是与约 束所能阻碍物体运动的方向相反。
F1
F2
F3
理论力学基本知识_静力学
公理四、作用与反作用公理
两物体上相互作用的一对力，它们必定同时存在且等 值、反向、共线。即牛顿第三定律。
注意不要将作用力与反作用力性质与二力平衡条件相 混淆，前者的两力分别作用于不同物体，而后者的两 力作用于同一物体。
理论力学基本知识_静力学
理论力学基本知识
理论力学基本知识_静力学
静力学主要讨论以下两个基本问题： （1）力系的等效替换和简化； （2）力系的平衡条件及其应用。 静力学的全部理论建立在下面五个公理的基础上。 公理一、两力平衡公理 作用在同一刚体上的两个力，它们使刚体处于平衡的必 要和充分条件是：这两个力等值、反向、共线。
理论力学基本知识_静力学
力系的等效替换：一个力系用其等效力系来代替，称 为力系的等效替换。 力系的简化：用一个简单力系等效替换一个复杂力系， 称为力系的简化。因此，平衡力系也可定义为简化结 果为零的力系。
N
F
mg
F
理论力学基本知识_静力学
利用二力平衡条件和增减平衡力系原理还可以证明以 下推论： 推论1：作用于刚体上的力，可以沿其作用线任意移 动，而不改变对刚体的效应。这一性质称为力的可传 性原理。
h h 0 0
F qdy g (h y)dy gh 2 / 2
水压对点A的矩为
h h 0 0
q
A
P
y
dy
h
M A qydy g (h y) ydy gh3 / 6
作用线高度为
yC M A / F h / 3
理论力学基本知识_静力学
理论力学基本知识_静力学
总结： 以上介绍几种典型约束时，都作了一些理想化假定，例 如柔索不可伸长，接触面绝对光滑等。
满足这些理想化条件的约束称为理想约束，它是对实际 约束的一种理想化抽象。
当实际约束存在的非理想因素足够微小时，理想约束可 以足够准确地反应实际约束。
理论力学基本知识_静力学
F
F F
F
F
理论力学基本知识_静力学
推论2：刚体受三力作用而平衡，若其中两力相交， 则此三力共面共点，这一性质称为三力平衡汇交定理。 注意：作用于刚体的力是滑动矢量， 即力的作用线可以任意滑动。上述 结论完全不适用于变形体。对于变 形体，力的作用效果和作用点密切 相关。作用点不得任意改变的矢量 称为定位矢量，作用于变形体的力 是定位矢量。
理论力学基本知识_静力学
(F , i ) 等表示括号内二矢量的夹角，F 为 F 的模。
F Fx2 Fy2 Fz2
二次投影法。
z
Fz
F
Fy
y
Fx
Fxy
x
理论力学基本知识_静力学
力对点的矩 当可绕固定点O转动的刚体上受到力F的作用时，原来 静止的刚体将以F的作用线与O点所组成的平面的法线 为轴产生转动趋势，方向取决于力在该平面内的指向， 强弱程度取决于力F的大小和O点到F的作用线的垂直 距离h的乘积。例如用球铰链联结的台灯和汽车操纵杆
理论力学基本知识_静力学
（1）光滑铰链约束
球铰链约束：通过球和球壳将两个构建连接在一起， 被连接的构建可绕球心作相对转动。例如汽车的操纵 杆。
理论力学基本知识_静力学
圆柱铰链约束：通过带有紧锁螺母的圆柱钉将两个钻有同 直径孔的构件连接在一起。被连接的构件可绕钉轴作相对 转动。例如向心滚动轴承。