微分在近似计算中的应用

为a , 那末 A a 叫做 a的绝对误差 . Aa 而绝对误差与 a 的比值 叫做a的相对误差 . a
问题:在实际工作中 绝对误差与相对误差无法求得 问题 在实际工作中,绝对误差与相对误差无法求得 在实际工作中 绝对误差与相对误差无法求得?
办法:将误差确定在某一个范围内. 办法:将误差确定在某一个范围内.
三、误差估计
由于测量仪器的精度、 由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法 等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差， 等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差， 而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误 我们把它叫做间接测量误差 间接测量误差. 差，我们把它叫做间接测量误差. 定义： 定义： 如果某个量的精度值为 A,它的近似值
一、计算函数增量的近似值
若y = f ( x )在点x 0处的导数 f ′( x0 ) ≠ 0, 且 x 很小时 ,
y
x = x0
≈ dy
x = x0
= f ′( x 0 ) x .
例1 半径10厘米的金属圆片加热后 , 半径伸长了 0.05厘米,问面积增大了多少 ? 解 设A = πr 2 , r = 10厘米, r = 0.05厘米.
= 0.0241 ( m 2 ). ∴ 面积的绝对误差为 δ y = 4.82 × 0.005 δ y 0.0241 ≈ 0.4%. ∴ 面积的相对误差为 = y 5.8081
四、小结
近似计算的基本公式
当 x 很小时 ,
y
x = x0
≈ dy
x = x0
= f ′( x 0 ) x .
f ( x ) ≈ f ( x 0 ) + f ′( x 0 ) ( x x 0 ),
当x = 0时, 时
f ( x ) ≈ f ( 0 ) + f ′( 0 ) x .
一、填空题： 填空题： 1、利用公式 f ( x ) ≈ f ( x 0 ) + f ′( x 0 )( x x 0 ) 计算 f ( x ) 要求______很小. ______很小 时，要求______很小. 2、当 x ≈ 0 时 ， 由 公 式 y ≈ dy 可 近 似 计 算 ln(1 x ) ≈ _______ ； tan x ≈ ________ ，由此得 tan 45° ≈ _______ ；ln 1.002 ≈ ________ .
n
例2 计算下列各数的近似值 .
(1) 998.5;
解 (1)
3
3
( 2) e
0.03
.
998.5 = 3 1000 1.5
1.5 ) = 103 1 0.0015 = 1000(1 1000 1 ≈ 10(1 × 0.0015) = 9.995. 3
3
( 2) e
0.03
≈ 1 0.03 = 0.97.
例1 计算 cos 60o 30′的近似值 . 解
( x 很小时 )
设f ( x ) = cos x , ∴ f ′( x ) = sin x , ( x为弧度 )
π π ∵ x 0 = , x = , 3 360
π 1 ∴ f( )= , 3 2
3 π f ′( ) = . 3 2 π π π π π o ) ≈ cos sin ∴ cos 60 30′ = cos( + 3 360 3 3 360 1 3 π ≈ 0.4924. = 2 2 360
练习题答案
2、 一、1、 x x 0 ； 2、 x, x , 0.01309, 0.002. 2 二、 π ≈ 0.0021. 2160 厘米. 三、约需加长 2.23 厘米. o -0.96509； 2、 3、 四、1、-0.96509； 2、 30 47′ ； 3、9.9867. 六、3%. 弧度)= 七、δ α = 0.00056 (弧度)=1′ 55′′ .
如果某个量的精度值是 A, 测得它的近似值是 a , 又知道它的误差不超过 δ A ,即 A a ≤ δA, δA 那末δ A叫做测量 A的绝对误差限 , 而 叫做测量 a A的相对误差限 .
通常把绝对误差限与相对误差限简称为绝对误 通常把绝对误差限与相对误差限简称为绝对误 相对误差. 差与相对误差
2.求f ( x )在点x = 0附近的近似值;
令 x0 = 0, x = x .
∵ f ( x 0 + x ) ≈ f ( x 0 ) + f ′( x 0 ) x ,
∴ f ( x ) ≈ f ( 0 ) + f ′( 0 ) x .
常用近似公式 ( x 很小时 )
1 (1) 1 + x ≈ 1 + x; ( 2) sin x ≈ x ( x为弧度 ); n ( 3) tan x ≈ x ( x为弧度 ); (4) e x ≈ 1 + x; (5) ln(1 + x ) ≈ x . 1 1 1 n n 证明 (1) 设 f ( x ) = 1 + x , f ′( x ) = (1 + x ) , n 1 f (0) = 1, f ′(0) = . n x ′( 0 ) x = 1 + . ∴ f ( x ) ≈ f ( 0) + f n
π 3 计算球的体积时，相对误差有多大？ V = D 计算球的体积时，相对误差有多大？ 6
某厂生产 教材 2-18 图） （ 所示的扇形板， 七、 所示的扇形板， 半径R =200 毫米， 产品检验时， 毫米，要求中心角α 为55° 产品检验时，一般用测量 弦长 L 的办法来间接测量中心角α ，如果测量弦长L 毫米， 时的误差δ L =0.1 毫米，问由此而引起的中心角测量 是多少？ 误差 δ α 是多少？
求近似值： 四 、求近似值 ： 3、 1 、 tan 136 ° ；2 、 arcsin 0 .5002 ； 3 、 3 996 .
五、设 A > 0 ，且 B << A n ，证明 B n An + B ≈ A + ，并计算10 1000 的近似值 . nA n 1 1%的相对误差 的相对误差， 六、已知测量球的直径 D 有 1%的相对误差，问用公式
例3 正方形边长为 2.41 ± 0.005米, 求出它的面积 ,
并估计绝对误差与相对 误差.
y = x2. 解 设正方形边长为 x , 面积为 y , 则
当x = 2.41时,
y = ( 2.41) 2 = 5.8081( m 2 ).
x = 2.41
y′
x = 2.41
= 2x
= 4.82.
∵ 边长的绝对误差为 δ x = 0.005,
二、 利用 微 分 计 算 当 x 由 45° 变 到 45°10′ 时 ， 函 数 y = cos x 的增量的近似值(1° = 0.017453 弧度). 的增量的近似值( 弧度).
,
练习题
三、 已知单摆的振动周期T = 2π
l ， 其中 g = 980 厘 g
为摆长（单位为厘米） ，设原摆长为 米/秒 2， l 为摆长（单位为厘米） 设原摆长为 20 ， 厘米， 厘米，为使周期T 增大 0.05 秒，摆长约需加长多 少？
= π (厘米 2 ). ∴ A ≈ d = 2πr r = 2π × 10 × 0.05
二、计算函数的近似值
1.求f ( x )在点x = ຫໍສະໝຸດ Baidu0附近的近似值;
y = f ( x 0 + x ) f ( x 0 ) ≈ f ′( x 0 ) x .
f ( x 0 + x ) ≈ f ( x 0 ) + f ′( x 0 ) x .