微分在近似计算中的应用

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3.3 微分及其在近似计算中的应用

即 y 2x0 x f '( x0 ) x
x0
这个结论具有一般性
x
x
x0 x
x0 x
x0
y 设 y f ( x) 在点 x 处可导, lim 即 f ( x), x 0 x y f ( x) ( 是 x 0时的无穷小量), 因而 x y f ( x)x x ( lim 0),
例3. 用微分的不变性求下列函数的微分： x (2) y esin x (1) y ln(1 e ) ex dx (1)dy d ln(1 ex ) 1 x d(1 e x ) 解： x 1 e 1 e sin x (2)dy d(e ) esin x d(sin x) cos x esin xdx 例4 在等式左端的()中填入适当的函数,使等式成立
1 (2)d(ln(1 x) C ) 1 x 1 (4)d( dx x C ) 2 x (6)d(sin 2 x) ( 2sin x )dsin x
小结
微分的定义及其求法
作业
P25 6（3）（4）
P27 10、11
ln 0.99 ln[1 (0.01)] 0.01
练习在下列括号内填入适当的函数,使等式成立
(1)d(
2x C ) 2dx
1 1 C ) 2 dx (3)d( x x e2 x (5)d( ) e 2 xdx C 2 1 (7) dx ( 1 )d(arctan2 x) 1 4 x 2 2
dx
(2 x tan x x sec x)dx
2 2
练 1、求函数 y x 2 1在 x 1, x 0.1时的改变量与微分.
解： y f ( x0 x) f ( x0 ) f (1.1) f (1)

微分及其在近似计算中的应用

x0 x
x0
按微分的定义 , 知 f ( x)在x0处可微.
这表明:函数 f ( x) 在点 x0可导 , 则函数在点 x0必可微.
由此可见 ,函数 f ( x) 在点 x0处可导与可微是等价的.
由上面推导可以看出 A f ( x0 ) 所以函数 f ( x) 在 x0 处的微分 dy xx0 f ( x0 ) x ………………………… (1) 由 (1) 式可知，自变量微分 dx x x x 所以函数 f ( x) 在 x0 处微分 , 又可写成
当边长从x0变到x0 x时，面积A有相应的改变量 A （x0 x）2 x02 2x0x (x)2
这个 A 2x0x (x)2 由两部分组成第一部分 : 2x0 x 是 x 的线性函数第二部分 :(x)2是比 x 高阶的无穷小 (当x 0时)
NT MN tanq f ( x0 ) . x dy
即 dy NT
y
于是 , 函数 y f ( x) 在点 x0 处的
微分就是曲线 y f ( x)在点M ( x0 , y0 )
处的切线MT, 当横坐标由 x0 变到 x0 x时, 其对应的纵坐标
q
o
的改变量.
P
T
M N
x 0 x0

x
x
二、微分的运算法则
1. 基本初等函数的微分公式 dy f ( x)dx
d(C) 0
d( x ) x 1 dx
d(a x ) a x lna dx 1
d(log a x) x ln a dx d(sin x) cos x dx
d(tan x) sec2 x dx d(sec x) sec x tan x dx

一微分的定义二微分的基本公式三微分的四则运算法则

d(uv) (uv)dx (uv uv)dx
v udx u vdx vdu udv.
定理3.9 设u=u(x)，v=v(x)可微，且 v 0 ，则 u 可微,
v
且有
d(u v)Fra bibliotekvdu v2
udv.
证 d(u) (u)dx vv
uv v2
uv dx
v
udx v2
u
vdx
vdu v2
微分及其运算
一、微分的定义二、微分的基本公式三、微分的四则运算法则四、微分形式的不变性五、微分在近似计算中的应用
一、微分的定义
当正方形的边长从 x0 变到 x0 x 时，相应的面积增量 S (x0 x)2 x02 2x0x (x)2 .函数增量 S 分成两部分，一部分是 x 的线性部分 2x0 x ，一部分是关于x 的高阶无穷小 (x)2 o(x).
即
f (x) f (x0 ) f (x0 ) (x x0 ).
当 f (x0 ), f (x0 ) 容易计算时，就可以用上述的近似公式来计算 x0附近点的函数值.
例6 计算 2的近似值. 解 1.96 1.4, 令 f (x) x,则
2 f (2) f (1.96) f '(1.96) (2 1.96) 1.4 1 0.04 1.414 3. 2 1.4
五、微分在近似计算中的应用
设y=f(x)在 x0 可导，当自变量从 x0 变到x(即取得增量 x x x0)，则有
x f (x) f (x0 ) f (x0 ) (x x0 ) o(x x0 ). 当x很接近 x0 时，即| x || x x0 |很小时，就有近似公式
f (x) f (x0 ) f (x0 ) (x x0 )，

函数的微分与微分近似计算

函数的微分与微分近似计算函数的微分是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点上的局部变化率。

在实际应用中，我们经常需要计算函数在某一点上的微分，以便进行问题的求解和分析。

本文将介绍函数的微分的概念、计算方法以及微分近似计算的方法。

一、函数的微分概念函数的微分是指函数在某一点上的局部变化率。

对于一元函数来说，函数的微分可以通过函数的导数来计算。

设函数y=f(x)，若在点x处存在函数的导数f'(x)，则函数在点x处的微分记为dy，满足以下关系式：dy = f'(x)·dx其中，dx表示自变量x的微小增量。

函数的微分dy表示了函数y在点x处的微小变化量。

二、函数的微分计算方法对于已知的函数，我们可以通过求导的方式计算函数在某一点处的微分。

以常见的函数类型为例，介绍函数微分的计算方法。

1. 常数函数的微分计算对于常数函数y=c，其中c为常数，它的导数f'(x)恒为0，因此其微分dy也恒为0。

2. 幂函数的微分计算对于幂函数y=x^n，其中n为常数，该函数的导数为f'(x)=n·x^(n-1)，因此它的微分dy可以表示为：dy = n·x^(n-1)·dx3. 指数函数的微分计算对于指数函数y=a^x，其中a为常数且a>0且a≠1，该函数的导数为f'(x)=a^x·ln(a)，因此它的微分dy可以表示为：dy = a^x·ln(a)·dx4. 对数函数的微分计算对于对数函数y=log_a(x)，其中a为常数且a>0且a≠1，该函数的导数为f'(x)=1/(x·ln(a))，因此它的微分dy可以表示为：dy = 1/(x·ln(a))·dx很多其他类型的函数，例如三角函数、反三角函数、双曲函数等，也都有对应的微分计算方法，可以通过求导的方式进行计算。

利用微分近似计算cos59度30分

利用微分近似计算cos59度30分为了计算cos59度30分的近似值，我们可以使用微分近似方法。

首先，我们需要定义一个函数来表示余弦函数：f(x) = cos(x)。

根据微分的定义，函数f在其中一点a处的导数可以表示为：f'(a) = lim(h->0) [f(a + h) - f(a)] / h。

我们可以利用这个定义来近似计算cos59度30分。

我们将59度30分转换为弧度表示。

由于1度等于π/180弧度，59度30分可以表示为59.5 × π/180弧度。

现在我们可以计算函数f(x) = cos(x)在a = 59.5 × π/180附近的导数。

f'(a) = lim(h->0) [f(a + h) - f(a)] / h≈[f(a+h)-f(a)]/h我们可以选择一个很小的数作为h的值，例如0.001、然后，我们计算f(a+h)和f(a)的差异，并除以h。

f(a + h) ≈ cos(a + h)≈ cos(59.5 × π/180 + 0.001)f(a) = cos(a)≈ cos(59.5 × π/180)现在，我们可以计算近似导数f'(a)的值。

f'(a) ≈ [cos(59.5 × π/180 + 0.001) - cos(59.5 × π/180)] / 0.001我们可以使用计算器或计算机来计算这个值。

将59.5乘以π/180，加上0.001，然后求余弦值。

再将59.5乘以π/180，求余弦值。

最后，将这两个值相减，再除以0.001通过这个计算，我们可以得到cos59度30分的近似值。

请注意，这个近似值是基于微分方法的近似，并不是精确的值。

然而，对于大多数实际应用来说，这个近似值已经足够准确了。

微分和其在近似计算中的应用

六、微分形式旳不变性
设函数 y f ( x)有导数 f ( x),
(1) 若x是自变量时, dy f ( x)dx;
(2) 若x是中间变量时, 即另一变量 t 的可
微函数 x (t), 则
(t)dt dx,
dy f ( x)dx.
结论：无论 x是自变量还是中间变量 , 函数 y f ( x)的微分形式总是 dy f ( x)dx
微分 dy叫做函数增量 y的线性主部(.微分旳实质)
由定义知:
(1) dy是自变量的改变量 x的线性函数;
(2) y dy o(x)是比x高阶无穷小;
(3) 当A 0时, dy与y是等价无穷小;
y dy
1
o(x) A x
1
( x 0).
(4) A是与x无关的常数, 但与f ( x)和x0有关;
函数旳变化率问题
导数旳概念
函数旳增量问题
微分旳概念
求导数与微分旳措施,叫做微分法.
研究微分法与导数理论及其应用旳科学,叫做微分学.
★ 导数与微分旳联络: 可导可微.
★ 导数与微分旳区别:
1. 函数 f ( x) 在点x0处的导数是一个定数 f ( x0 ),
而微分 dy f ( x0 )( x x0 ) 是x的线性函数, 它的
该函数的导数. 导数也叫"微商".
四、微分旳几何意义
几何意义:(如图)
y
T
当y是曲线的纵
坐标增量时, dy 就是切线纵坐标对应的增量 .
y f (x)
）
o
当 x 很小时, 在点M的附近,
N
P
o(x)
M
dy y
x
x0 x0 x

(2021年整理)高等数学2-8微分在近似计算中的应用

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内容提要计算函数增量的近似值计算函数的近似值
误差估计
重点
分析
计算函数的近似值
(完整版)高等数学2-8微分在近似计算中的应用
编辑整理:张嬗雒老师
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章节题目。

高等数学教学过程中理论与实际相结合之“微分在近似计算中的应用”教学设计

第 33 卷第 8 期2020 年 8 月江西电力职业技术学院学报Journal of Jiangxi Vocational and Technical College of ElectricityVol.33 No.8Aug.2020高等数学教学过程中理论与实际相结合之“微分在近似计算中的应用”教学设计游磊（江苏旅游职业学院，江苏扬州 225000）摘要：在高等数学中，微分和积分是微积分的两大重要分支，这足以说明“微分”的重要地位。

微分在数学、物理、工程等相关领域中有着非常重要的应用，而近似计算是在解决问题过程中常用的一种方法，是一个非常有效的解题工具。

分析利用微分把一些复杂的计算用简单的近似来代替，并对微分的数字设计进行探讨。

关键词：微分；近似计算；应用；教学设计中图分类号：O13；G642.4 文献标识码：B 文章编号：1673-0097(2020)08-0020-03The Teaching Design of "the Application of Differential in Approximate Calculation" in Advanced MathematicsYOU Lei(Jiangsu V ocational College of Tourism, Yangzhou 225000,China)Abs t ract: In advanced mathematics, differential and integral are two important branches of calculus, which is sufficient to illus trate the important position of "differential". Differential has very important application in mathematics, physics, engineering and other related fields. Approximate calculation is a commonly used method in the process of solving problems, which is a very effective problem-solving tool. This paper analyzes the application of differential to replace some complex calculations with simple approximations, and probes into the digital design of differential.Keywords: Differential; Approximate Calculation; Application; Teaching Design1 教学背景“高等数学”课程是高职院校工科各专业一门必修的公共基础课，也是提升学生综合素质不可缺少的一门重要课程。

函数的微分及其在近似计算中的应用

3
3、问题：函数可微的条件是什么？ A = ? 问题：函数可微的条件是什么？可微, 则有(1)成立成立，设函数 y = f (x) 在点 x0 可微则有成立，即
∆y = A∆x + o(∆x)
等式两端除以 ∆x , 得
o( ∆ x ) ∆y = A+ . ∆x ∆x
于是, 于是当 ∆x → 0时, 由上式就得到 o(∆x ) ∆y = lim A + lim = A. f ′( x 0 ) = ∆ x → 0 ∆x →0 ∆x ∆x 可微，因此, 因此如果函数 f (x) 在点 x 0 可微，则 f (x)在点 x 0也一定可导且也一定可导,
函数在任意点的微分,称为函数的微分,记作函数在任意点的微分称为函数的微分记作 dy 或 df ( x ), 即称为函数的微分 dy = f ′( x ) ∆ x . 如函数 y = cos x 的微分为
dy = (cos x )' ∆ x = − sin x ∆ x 显然，显然，函数的微分 dy = f ′( x )∆x 与 x 和 ∆x 有关。有关。
′
1 d (log a x ) = dx, x ln a 1 d (ln x ) = dx , x 1 d (arcsinx) = dx, 2 1− x 1 d (arccosx) = − dx, 1 − x2 1 d (arctanx) = dx, 2 1+ x
1 (arccot x) = − 2 . 1+ x
dy = ( x 3 )′∆x = 3 x 2 ∆x.
再求函数当 x = 2 , ∆ x = 0 . 02 时的微分
dy
x =2 ∆x =0.02

微分在近似计算中的应用教案

微分在近似计算中的应用教学目的：1、理解微分的几何意义2、掌握微分在近似计算的应用3、掌握微分在误差估算的应用教学重点：1、微分在近似计算的应用2、微分在误差估算的应用教学难点：1、微分在近似计算的应用2、微分在误差估算的应用教学过程：1、回顾函数微分内容，微分的概念，定义，以及微分的运算2、导入新课3、讲授新课（1）1、理解微分的几何意义（2）微分在近似计算的应用（3）微分在误差估算的应用4、例题分析5、课堂小结6、布置作业微分在近似计算中的应用在工程问题中，经常会遇到一些复杂的计算公式，如果直接用这些公式进行计算是很费力的，利用微分往往可以把一些复杂的计算公式改用简单的近似公式来代替。

1．函数增量的近似计算如果()y f x =在0x 点可微,则函数的增量 0()()()y f x x o x dy o x '∆=∆+∆=+∆, 当||x ∆很小时,有 0()y f x x '∆≈∆例1 半径10厘米的金属原片加热后半径伸长了0.05厘米，问面积增大了多少？解：设2A r π=，10r =厘米，0.05r ∆=厘米，则22100.05A dA r r πππ∆≈=⋅∆=⨯⨯=（2厘米）例2 有一批半径为1cm 的球, 为了提高球面的光洁度, 要镀上一层铜, 厚度定为0.01cm ，估计一下每只球需用铜多少g (铜的密度是8.9g/cm 3)?解: 先求出镀层的体积，再求相应的质量。

因为镀层的体积等于两个球体体积之差V ∆，所以它就是球体体积343V R π= 当R 自0R 取得增量R ∆时的增量，我们求V 对R 的导数:003204()4,3R R R R V R R ππ==''==204.V R R π∆≈⋅∆ 将0 1, 0.01 R R =∆=带入上式，得 234 3.1410.010.13().V cm ∆≈⨯⨯⨯= 于是镀每只球需用的铜约为0.138.9 1.16().g ⨯=2．函数值的近似计算由00()()y f x x f x ∆=+∆-，00()()dy f x dx f x x ''==∆，y dy ∆≈得000()()()f x x f x f x x '+∆≈+∆,令0x x x =+∆, 有000()()()()f x f x f x x x '≈+-（用导数作近似计算公式）. 若00x =，则 ()(0)(0).f x f f x '≈+说明：（1）要计算()f x 在x 点的数值，直接计算()f x 比较困难，而在x 点附近一点0x 处的函数值0()f x 和它的导数0()f x '却都比较容易求出,于是可以利用000()()()f x f x x x '+-作为()f x 的近似值, x 与0x 越接近越精确。

综述微分和泰勒展开公式的关系

微分和泰勒展开公式是数学分析中两个重要的概念和工具，它们在数学推导和物理问题求解中起着至关重要的作用。

本文将综述微分和泰勒展开公式的关系，旨在深入探讨它们之间的内在通联和应用。

一、微分的基本概念1.微分的定义和性质2.微分在函数求导和近似计算中的应用3.微分的几何意义和物理意义二、泰勒展开公式的基本原理1.泰勒展开公式的定义和表达形式2.泰勒展开公式在函数逼近和级数求和中的应用3.泰勒展开公式的推导和证明方法三、微分和泰勒展开公式的关系1.微分与泰勒展开公式的通联和区别2.微分在泰勒展开公式中的角色和作用3.泰勒展开公式的导出过程中涉及微分的应用四、微分和泰勒展开公式在数学分析中的应用1.微分和泰勒展开公式在函数极值和凹凸性判定中的应用2.微分和泰勒展开公式在函数逼近和近似计算中的应用3.微分和泰勒展开公式在泛函分析和微分方程求解中的应用五、微分和泰勒展开公式在物理问题中的应用1.微分和泰勒展开公式在力学和动力学中的应用2.微分和泰勒展开公式在电磁学和热力学中的应用3.微分和泰勒展开公式在量子力学和相对论中的应用六、结论微分和泰勒展开公式作为数学分析中的重要概念和工具，不仅在理论研究中发挥着重要作用，也在物理问题求解中具有广泛的应用前景。

深入理解微分和泰勒展开公式的关系，对于加深对数学分析和物理学知识的理解和应用具有重要意义。

通过以上关于微分和泰勒展开公式的综述，我们可以更全面深入地了解它们的内在通联和应用，希望本文能对相关领域的研究者和学习者有所启发和帮助。

七、微分的基本概念微分是微积分学中的一个基本概念，它源自导数的概念。

在数学上，微分可以解释为函数的局部线性逼近，可以用来求函数的变化率、切线方程、极值点等等。

微分的定义和性质是我们理解微分和泰勒展开公式的基础。

微分的定义是指当自变量的增量趋于0时，函数增量与自变量增量之比的极限，即：\[ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}微分的一些基本性质包括线性性、乘积法则、商法则等，这些性质对于微分求导以及在泰勒展开中的应用都起着重要的作用。

第十四讲微分的近似计算

第十四讲微分的近似计算微分是数学分析中的重要概念之一，它描述了函数在其中一点的变化率。

在实际应用中，我们常常需要对函数进行近似计算。

本文将介绍微分的近似计算方法，包括线性逼近、泰勒展开和拉格朗日中值定理等。

首先，我们来看线性逼近方法。

线性逼近是一种简单且直观的计算方法，它基于线性近似的原理。

对于一个在$x=a$处可导的函数$f(x)$，我们可以使用线性逼近来近似计算$f(x)$在$x=a+h$处的值。

根据导数的定义，我们有$f'(a)=\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$。

将$h$取得很小，我们可以将$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$近似为$f'(a)$，得到$f(a+h) \approx f(a)+hf'(a)$。

这个近似值称为函数$f(x)$在$x=a+h$处的线性逼近值。

接下来是泰勒展开方法。

泰勒展开是一种比线性逼近更精确的近似计算方法，它基于多项式的原理。

对于一个在$x=a$处可导的函数$f(x)$，泰勒展开可以将函数$f(x)$在$x=a$处的值展开为无穷级数的形式。

具体而言，泰勒展开可以近似表示为$f(x) \approx f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+..+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+..$，其中$f^{(n)}(a)$表示函数$f(x)$在$x=a$处的$n$阶导数。

这种展开形式可以近似计算$f(x)$在$x=a+h$处的值。

最后是拉格朗日中值定理方法。

拉格朗日中值定理是微积分中的一种重要定理，它给出了函数在其中一区间内的平均变化率与极值点处的变化率之间的关系。

对于一个在$x=a$和$x=b$之间连续且可导的函数$f(x)$，拉格朗日中值定理可以得到$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$，其中$c\in (a,b)$。

微分在近似计算中的应用

二、计算函数的近似值
1. 求f ( x)在点x x0附近的近似值
y f ( x x) f ( x )
0
0
f ( x0 ) x.
f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 ) x. ( x 很小时)
例3 计算sin30o30的近似值 .
解设 f ( x) sin x, f ( x) cos x, ( x为弧度)
而绝对误差与a 的比值 A a 叫做 a 的相对误差 . a
问题:在实际工作中,绝对误差与相对误差如何求得?
办法:将误差确定在某一个范围内.
如果某个量的精确值是 A ,测得它的近似值
是 a,又知道它的误差不超过 ,即 A
Aa A,
那末叫做测量 A的绝对误差限,而 A 叫做测量
A
a
A 的相对误差限.
f (0) 1, f (0) 1 . n
f
( x)
1
(1
1 1
x)n ,
n
f ( x) f (0) f (0)x 1 1 x.
n
例4 计算下列各数的近似值 :
(1) 3 998.5; (2) e0.03 .
解 (1) 3 998.5 3 1000 1.5
3 1000(1 1.5 ) 103 1 0.0015 1000
所以它就是球体体积
V
4 R3当
3
R自
R0 取得
增量 R 时的增量，我们求 V 对 R 的导数:
V
(4 R3 )
4R 2 ,
R R0
3
R R0
0
V 4R02 R.
将 R0 1,R 0.01 代入上式，得
V 4 3.14 12 0.01 0.13(cm3 ).

一、微分的概念

f ( x ) (Δ x )2 f ( x ) (d x )2 .
或写作 d 2 y f ( x )d x 2 , 称为 f 的二阶微分.
注由于 Δ x 与 x 无关, 因此 x 的二阶微分 d(Δ x )
d(d x ) d 2 x 0, 它与 d x 2 (d x )2 , d( x 2 ) 2 x d x
sin x x, tan x x, ln1 x x , e x 1 x .
例5 试求 sin 33o 的近似值 ( 保留三位有效数字 ). π π π ), 取 f ( x ) sin x , x0 , 解 sin 33 sin( 6 60 6 x π , 由公式 (9) 得到 60
果已知测量值 x0 的误差限为 x , 即
| Δ x | | x x0 | x ,
则当 x 很小时, 量 y0 的绝对误差估计式为:
| Δ y | | f ( x ) f ( x0 ) | | f ( x0 )Δ x | | f ( x0 ) | x .
Δ x 的线性部分 2 xΔ x 和 Δ x 的高阶部分( Δ x )2.因
此, 当边长 x 增加一个微小量 Δ x 时, Δ S 可用 Δ x
的线性部分来近似. 由此产生的误差是一个关于
2 ( Δ x ) 的高阶无穷小量 , 即以 Δ x 为边长的小 Δx
正方形(如图).
x2
2
xΔ x
Δx
xΔ x
d (sin x ) cos x dx ;
ห้องสมุดไป่ตู้
d (a ) a ln a dx .
x
x
二、微分的运算法则
由导数与微分的关系,可方便得出微分运算法则:

2.5函数的微分及其在近似计算中的应用

2.5 函数微分及其在近似计算中的应用
例2.5.10 要在一个半径为10cm的球的外侧, 镀上一层厚度为0.1cm的铜，估计要用多少克铜 ?(已知铜的密度为8.9( g / cm3 ), 取 3.14).
解设球半径为R，体积为V
4 3 则球体的体积函数为 V R ,V 4R 2 , 3
(6) arcsin x x (7) arctan x x
2.5 函数微分及其在近似计算中的应用
证：
n
1 1 x 1 x n
1 n n
1 n (1)设f ( x) 1 x ，则f ( x) (1 x) n

1 n n (1 x)
n 1
,
f (0) 1 0 1, f (0)
(1) d (C ) 0(C为常数； )
(2)d ( xu ) uxu 1 dx;
1 (5)d (loga x) dx; x ln a (8)d (cos x) sin x dx;
(4)d (e ) e dx;
x
x
(3)d (a x ) a x ln a dx; 1 (6)d (ln x) dx; x (9)d (tan x) sec 2 dx;
1 1 x
2
dx; (14)d (arccos x)
dx;
1 (15)d (arctan x) dx; 2 1 x
1 (16)d (arc cot x) dx. 2 1 x
2.5 函数微分及其在近似计算中的应用
2.微分的四则运算法则设u和v都是x的可微函数, 则
(2) cos t dt
1

高职高专模具设计与制造专业《高等数学》课程之“微分在近似计算中的应用”的教学设计

离职高毫模具设计与制造董业《高等数学》课程之“ 微分在近似计算巾响应用’ ’ 硇教学设计
襄阳职业技术学院郑晓珍
［摘要］近似计算是科技工作中经常遇到的问题，用什么公式作近似计算？近似公式应该满足有“ 足够好的精确度 ” 和“ 容易计算”
科技信息
溶液。记录刚刚产生浑浊时电解质溶液的滴数，并列于表６中。
表６
溶胶ｌＯｍＬ。然后用滴管分别滴人表中所列各种电解质溶液５滴，充分振荡后静置约ｌＯ至ｌ５分钟。比较沉淀的多少，并列于表８中。
表８
自制Ｆｅ（ＯＨ），溶胶
０．２ｍｏｌ／Ｌ０．６ｍｏｌ／Ｌ
５Ｄ５Ｄ
多较多
自制Ｆｅ（ＯＨ），溶胶
四、结论
电解质
ＮａＣ１
电解质溶液浓度浑浊时所用电解质溶液的量（滴）
０．２ｏｏｔｌ／Ｌ８Ｄ
Ｎａ２ＳＯ４
０．５４ｍｏｌ／Ｌ
在３个清洁、干燥的５０ｍＬ锥形瓶内，用移液管各加入ｌＯｍＬＦｅ（ＯＨ），溶胶。然后用滴管分别滴人表中所列各种电解质溶液，每加入一滴要充分振荡，至少一分钟内溶胶不会出现浑浊才可以加入第二滴电解质溶液。记录刚刚产生浑浊时电解质的溶液的滴数，并列于表７中。３、增大ＮａＰＯ的浓度后加相同量试剂静置后比较沉淀量的多少在３个清洁、干燥的５０ｍＬ锥形瓶内，用移液管各加入自制Ｆｅ（ＯＨ）

微分在近似计算中的应用的研究性报告

微分在近似计算中的应用的研究性报告
近年来，随着人工智能技术的飞速发展，微分在近似计算中的应用将带来许多
先进的计算能力及独特的工程技术应用。

微小的变化是微分中常用的定义，而近似计算则是对某一阶段变化的快速评估，因此，将微分应用于近似计算中可以实现更加精确快捷的计算能力，它可以把枯燥的、复杂的数学模型微分化，从而有效地将复杂的问题简化。

微分在近似计算中的应用可以体现在许多领域，比如软件安全、计算财务等，
如果能够准确地估算出变化率，则可以更好地了解软件使用的正确性、正确性以及计算财务变化趋势等。

另外，微分也用于通信领域，如果了解软件等应用的网络数据量和网络数据量
的变化趋势，则可以更好地提升软件等应用在重要业务场景中的安全性。

同样，微分还可以用于风险控制、物流和供应链管理等领域，从而更好地了解业务环境的变化趋势和应对措施。

综上所述，微分在近似计算中应用效果显著，可以有效将复杂的问题简化，使
得我们简单、快速、准确地评估出变化率并正确决策，从而在不同领域取得良好的应用效果。

微分在近似计算中的应用

所以 sinx ≈sin0+ cos0 · x=x
所以 ln(1+x ) ≈x
由于 (ln(1+ x)) = 1/(1+x) 由于 (e x) =e x
所以 e x ≈ x
总结
1.微分的近似计算的方法就是利用函数曲线在某点的附近的近似直线（切线）来计算函数近似值的方法
2.如果函数在某点函数值及其导数值容易计算时，就可以利用微分近似计算公式来计算函数在该点附 .
解设 f (x) = arctan x , 所以 f (x ) =(arctan x)=1/(1+x2)
设 x0=1, x=0.05 ，所以 f (1 ) =arctan 1= /4
由得
f (1 ) =1/(1+12) = 1/2
f (x0+x ) ≈f (x0)+ f (x0)· x f (1.05 ) ≈f (1)+ f (1)· 0.05

4
0.025
当 |x| << 1 时，由近似公式 f (x0+x ) ≈f (x0)+ f (x0)· x
即当 x0=0 ,|x| = |x| << 1 时，
f (x ) ≈f (0)+ f (0)· x 如当 x0=0 ,|x| = |x| << 1 时，
由于 (sin x) =cos x
微分在近似计算中的应用
淮南职业技术学院
什么是瞬时速度？
怎样计算函数值呢？计算近似值也是需要的。
切线方程： y=f (x0)+f (x0)(x-x0)
y = f(x) y0
x0
微分在近似计算中的应用 !