静定桁架的内力计算

第二节平面静定桁架的内力计算

桁架是工程中常见的一种杆系结构，它是由若干直杆在其两端用铰链连接而成的几何形状不变的结构。桁架中各杆件的连接处称为节点。由于桁架结构受力合理，使用材料比较经济，因而在工程实际中被广泛采用。房屋的屋架（见图3－10）、桥梁的拱架、高压输电塔、电视塔、修建高层建筑用的塔吊等便是例子。

图3－10房屋屋架

杆件轴线都在同一平面内的桁架称为平面桁架（如一些屋架、桥梁桁架等），否则称为空间桁架（如输电铁塔、电视发射塔等）。本节只讨论平面桁架的基本概念和初步计算，有关桁架的详细理论可参考“结构力学”课本。在平面桁架计算中，通常引用如下假定：

１）组成桁架的各杆均为直杆；

２）所有外力（载荷和支座反力）都作用在桁架所处的平面内，且都作用于节点处；

３）组成桁架的各杆件彼此都用光滑铰链连接，杆件自重不计，桁架的每根杆件都是二力杆。

满足上述假定的桁架称为理想桁架，实际的桁架与上述假定是有差别的，如钢桁架结构的节点为铆接（见图3－11）或焊接，钢筋混凝土桁架结构的节点是有一定刚性的整体节点，

图3－11 钢桁架结构的节点

它们都有一定的弹性变形，杆件的中心线也不可能是绝对直的，但上述三点假定已反映了实际桁架的主要受力特征，其计算结果可满足工程实际的需要。

分析静定平面桁架内力的基本方法有节点法和截面法，下面分别予以介绍。

一、节点法

因为桁架中各杆都是二力杆，所以每个节点都受到平面汇交力系的作用，为计算各杆内力，可以逐个地取节点为研究对象，分别列出平衡方程，即可由已知力求出全部杆件的内力，这就是节点法。由于平面汇交力系只能列出两个独立平衡方程，所以应用节点法往往从只含两个未知力的节点开始计算。

例3－8 平面桁架的受力及尺寸如图3－12ａ所示，试求桁架各杆的内力。

图3－12 例3－8图

解：（1）求桁架的支座反力

以整体桁架为研究对象，桁架受主动力2F以及约束反力、、作用，列平衡方程并求解：

，＝０

，２×－＝０，＝

，＋－２＝０，＝2－=（2）求各杆件的内力

设各杆均承受拉力，若计算结果为负，表示杆实际受压力。设想将杆件截断，取出各节点为研究对象，作A、D、C节点受力图（图3－12ｂ），其中＝，=，=。

平面汇交力系的平衡方程只能求解两个未知力，故首先从只含两个未知力的节点A 开始，逐次列出各节点的平衡方程，求出各杆内力。

节点Ａ：

，＋sin300＝０, ＝－2=－２F（压）

，＋cos300＝０, ＝－0.866=1.73F（拉）

节点Ｄ：

，－＋＝０, ＝==1.73F（拉）

，－２F＝０, ＝２F（拉）

节点Ｃ：

，－ sin600＋sin600＝０，＝＝－２F（压）至此已经求出各杆内力，节点Ｃ的另一个平衡方程可用来校核计算结果：

，－cos600－cos600－＝０

将各杆内力计算结果列于表3-2：

表3－2 例3－8计算结果

杆号 1 2 3 4 5

内力－2F 1.73F 2F －2F 1.73F 例3－9 试求图3－13a所示的平面桁架中各杆件的内力，已知，G=20kN。

(a)(b)

图3－13 例3－9图

解（1）画出各节点受力图，如图3－13b所示，其中＝F i(i=1,2,…,6)。各点未知力个数、平衡方程数如表3－3。由于A点的平衡方程数与未知力个数相等，所以首先讨论A点。

表3－3 未知力个数、平衡方程数

节点 A B C D E

未知力个数 2 3 4 4 2

独立方程数 2 2 2 2 1

（2）逐个取节点，列平衡方程并求解

节点Ａ：

， F1sin300－G=０, （拉）

，－F1cos300－F2=０, F2=－F1cos300=－34.6kN（压）节点B：

，, ＝－34.6kN（压）

， F３－G＝０, F３=G＝20kN（拉）

节点C：

，－F5cos300－F3cos300=０, F5=－F3=－20kN （压）

，cos600－F5cos600=０,

F4=cos600－F5cos600=40+20cos600－(－20)cos600 kN =60kN（拉）将各杆内力计算结果列于表3-4：

表3－4 各杆内力计算结果

杆号 1 2 3 4 5 6

内力/kN 40 －34.6 20 60 －20 －34.6

二、截面法

节点法适用于求桁架全部杆件内力的场合。如果只要求计算桁架内某几个杆件所受的内力，则可用截面法。这种方法是适当地选择一截面，在需要求解其内力的杆件处假想地把桁架截开为两部分，然后考虑其中任一部分的平衡，应用平面任意力系平衡方程求出这些被截断杆件的内力。

例3－10如图3－14ａ所示的平面桁架，各杆件的长度都等于1.0ｍ，在节点Ｅ上作用荷载F１＝21kＮ，在节点Ｇ上作用荷载F２＝15kＮ，试计算杆１、２和３的内力。

图3－14 例3－10图

解：（1）求支座反力

以整体桁架为研究对象，受力图如图3－14ａ所示，列平衡方程：

，＝０

，×3.0－F1×1.0－F2×2.0＝0

，＋－F１－F２＝０

解得：

＝=17kＮ，＝kＮ

（2）求杆１、２和３的内力

作截面ｍｎ假想将此三杆截断，并取桁架的左半部分为研究对象，设所截三杆都受拉力，这部分桁架的受力图如图3－14ｂ所示。列平衡方程：

, －×1.0×sin600－×1.0=0

, F1×0.5＋×1.0×sin600－×1.5＝０

，＋×sin600－F1＝０

解得：