人教新课标版数学高二-人教B版必修5练习 3.2 均值不等式(一)

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人教版数学高二B版必修5学案3.2均值不等式

数学人教B 必修5第三章3.2 均值不等式1．探索并了解均值不等式的证明过程，理解均值不等式成立的条件，等号成立的条件及几何意义．2．会用均值不等式解决简单的问题．3．掌握运用均值不等式a ＋b2≥ab 求最值的常用方法及需注意的问题．1．重要不等式：对于任意实数a ，b ，有a 2＋b 2____2ab ，当且仅当______时，等号成立．(1)重要不等式成立的条件是a ，b ∈R .它既可以是具体的数字，也可以是比较复杂的代数式，因此应用范围较广；(2)等号成立的条件是当且仅当a ＝b ，即当a ＝b 时，等号成立；反之，等号成立时有a ＝b .【做一做1】不等式a ＋1≥2a (a ＞0)中等号成立的条件是( )． A ．a ＝2 B ．a ＝1C ．a ＝12 D ．a ＝02．(1)均值不等式：如果a ，b ∈R ＋，那么__________，当且仅当______时，等号成立．也叫基本不等式．(2)对任意两个正实数a ，b ，数a ＋b2叫做a ，b 的______，数ab 叫做a ，b 的________，故基本不等式用语言叙述是____________________________________．公式变形：(1)a ＋b ≥2ab ，ab ≤(a ＋b 2)2(a ，b ∈R ＋)，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(2)a ＋1a ≥2(a ∈R ＋)，当且仅当a ＝1时，等号成立．(3)a b ＋ba ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时，等号成立．【做一做2－1】若x ＞0，则x ＋2x的最小值为________．【做一做2－2】已知0＜x ＜13，则函数y ＝x (1－3x )的最大值是__________．3．已知x ，y 都为正数，则(1)若x ＋y ＝S (和为定值)，则当______时，积xy 取得最大值________． (2)若xy ＝P (积为定值)，则当______时，和x ＋y 取得最小值________．(1)应用上述性质时注意三点：①各项或各因式均为正；②和或积为定值；③各项或各因式能取得相等的值．即“一正二定三相等”．(2)应用上述时，有时需先配凑成和或积为定值的情况，再应用．【做一做3】已知x ，y 都是正数，(1)如果xy ＝15，则x ＋y 的最小值是________； (2)如果x ＋y ＝15，则xy 的最大值是________．一、使用均值不等式求最值的注意事项剖析：(1)a ，b 都是正实数，即所求最值的代数式中的各项必须都是正数，否则就会得出错误答案．例如，当x ＜0时，函数f (x )＝x ＋1x ≥2x ×1x＝2，所以函数f (x )的最小值是2.由于f (－2)＝－2＋1－2＝－52＜2，很明显这是一个错误的答案．其原因是当x ＜0时，不能直接用均值不等式求f (x )＝x ＋1x 的最值．因此，利用均值不等式求最值时，首先确定所求最值的代数式中的各项是否都是正数．其实，当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝－x ＋1－x≥2(－x )×1－x＝2，此时有f (x )≤－2.因此，当所求最值的代数式中的各项不都是正数时，应利用变形，转化为各项都是正数的代数式．(2)ab 与a ＋b 有一个是定值，即当ab 是定值时，可以求a ＋b 的最值；当a ＋b 是定值时，可以求ab 的最值．如果ab 和a ＋b 都不是定值，那么就会得出错误答案．例如，当x＞1时，函数f (x )＝x ＋1x －1≥2x x －1，所以函数f (x )的最小值是2x x －1.由于2xx －1是一个与x 有关的代数式，很明显这是一个错误的答案．其原因是没有掌握均值不等式求最值的条件：ab 与a ＋b 有一个是定值．其实，当x ＞1时，有x －1＞0，则函数f (x )＝x ＋1x －1＝[(x －1)＋1x －1]＋1≥2(x －1)×1x －1＋1＝3.因此，当ab 与a ＋b 没有一个是定值时，通常把所求最值的代数式采用配凑的方法化为和或积为定值的形式．(3)等号能够成立，即存在正数a ，b 使均值不等式两边相等，也就是存在正数a ，b 使得ab ＝a ＋b 2.如果忽视这一点，就会得出错误答案．例如，当x ≥2时，函数f (x )＝x ＋1x ≥2x ×1x ＝2，所以函数f (x )的最小值是2.很明显x ＋1x中的各项都是正数，积也是定值，但是等号成立的条件是当且仅当x ＝1x ，即x ＝1，而函数的定义域是x ≥2，所以这是一个错误的答案．其原因是均值不等式中的等号不成立．其实，根据解题经验，遇到这种情况时，一般就不再用均值不等式求最值了，此时该函数的单调性是确定的，可以利用函数的单调性求得最值．利用函数单调性的定义可以证明，当x ≥2时，函数f (x )＝x ＋1x 是增函数，函数f (x )的最小值是f (2)＝2＋12＝52.因此在使用均值不等式求最值时，上面三个条件缺一不可，通常将这三个条件总结成口诀：一正、二定、三相等．二、教材中的“思考与讨论”均值不等式与不等式a 2＋b 2≥2ab 的关系如何？请对此进行讨论．剖析：(1)在a 2＋b 2≥2ab 中，a ，b ∈R ；在a ＋b ≥2ab 中，a ，b ∈R ＋.(2)两者都带有等号，等号成立的条件从形式上看是一样的，但实质不同(范围不同)． (3)证明的方法都是作差比较法． (4)都可以用来求最值．题型一利用均值不等式比较大小【例1】已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，试比较a 2＋b 2＋c 2，ab ＋bc ＋ca ，13的大小．分析：变形利用不等式找出a 2＋b 2＋c 2与ab ＋bc ＋ca 的大小，结合条件a ＋b ＋c ＝1再找两代数式与13的关系，从而确定它们的大小．反思：要想运用均值不等式，必须把题目中的条件或要解决的问题“化归”到不等式的形式并让其符合运用不等式的条件．化归的方法是把题目中给的条件配凑变形，或利用一些基本公式和一些常见的代换进行变形．题型二利用均值不等式求最值【例2】已知x ，y ∈(0，＋∞)，且2x ＋y ＝1，求1x ＋1y 的最小值．分析：1x ＋1y →(1x ＋1y )·1→(1x ＋1y)(2x ＋y )→利用均值不等式求解反思：求最值问题第一步就是“找”定值，观察、分析、构造定值是问题突破口．定值找到还要看“＝”是否成立，不管题目是否要求指出等号成立的条件，都要验证“＝”是否成立．题型三利用均值不等式证明不等式【例3】已知a ，b ，c 都是正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc .分析：注意到a ＋b ＋c ＝1，故可运用“常数代换”的策略将所证不等式的左边的“1”代换成字母形式．反思：这是一道条件不等式的证明题，充分利用条件是证题的关键，此题要注意“1”的整体代换及三个“＝”必须同时取到．题型四利用均值不等式解恒成立问题【例4】已知不等式(x ＋y )(1x ＋ay )≥9对任意正实数x ，y 恒成立，求正实数a 的最小值．分析：反思：恒成立问题是数学问题中非常重要的问题，在此类问题的解法中，利用均值不等式和不等式的传递性求解是最重要的一种方法，在高考中经常考查．题型五易错辨析【例5】已知0＜x ＜1，求f (x )＝2＋log 5x ＋5log 5x的最值．错解：f (x )＝2＋log 5x ＋5log 5x≥2＋2log 5x ·5log 5x＝2＋25，∴f (x )的最小值为2＋2 5.错因分析：a ＋b ≥2ab 的前提条件是a ，b ∈R ＋，∵0＜x ＜1，∴log 5x ＜0.∴5log 5x ＜0.∴不能直接使用均值不等式．【例6】求f (x )＝x 2＋4x 2＋3＋1的最小值．错解：因为f (x )＝x 2＋4x 2＋3＋1＝x 2＋3＋1x 2＋3＋1＝x 2＋3＋1x 2＋3＋1≥2＋1＝3，所以f (x )＝x 2＋4x 2＋3＋1的最小值为3.错因分析：忽视了等号成立的条件，事实上方程x 2＋3＝1x 2＋3无解，所以等号不成立，正确的处理方法是：利用函数的单调性求最值．1对于任意实数a ，b ，下列不等式一定成立的是( )．A ．a ＋b ≥2abB ．a ＋b2≥abC ．a 2＋b 2≥2abD ．b a ＋ab≥22已知a ，b ∈R ，且a 2＋b 2＝4，那么ab ( )． A ．有最大值2，有最小值－2 B ．有最大值2，但无最小值 C ．有最小值2，但无最大值 D ．有最大值2，有最小值03设x ，y 为正数，则(x ＋y )(1x ＋4y )的最小值为( )．A ．6B ．9C ．12D ．154若x ＞3，那么当x ＝________时，y ＝x ＋1x －3取最小值________．5已知x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为________．答案：基础知识·梳理 1．≥ a ＝b 【做一做1】B2．(1)a ＋b 2≥ab a ＝b (2)算术平均值几何平均值两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值【做一做2－1】22 x ＞0⇒x ＋2x ≥22，当且仅当x ＝2x，即x ＝2时，等号成立．【做一做2－2】112 ∵0＜x ＜13，∴1－3x ＞0.∴y ＝x (1－3x )＝13·3x (1－3x )≤13[3x ＋(1－3x )2]2＝112，当且仅当3x ＝1－3x ，即x ＝16时，等号成立．∴x ＝16时，函数取得最大值112.3．(1)x ＝y 14S 2 (2)x ＝y 2P【做一做3】(1)215 (2)2254(1)当xy ＝15时，x ＋y ≥2xy ＝215，当且仅当x ＝y ＝15时，等号成立．所以x ＋y 的最小值为215；(2)当x ＋y ＝15时，xy ≤x ＋y 2＝152，所以xy ≤2254，当且仅当x ＝y ＝152时，等号成立．所以xy 的最大值为2254.典型例题·领悟【例1】解：∵a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋c 2≥2ac ，b 2＋c 2≥2bc ， ∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2ab ＋2ac ＋2bc .① ∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋ac ＋bc .②①式两边分别加上a 2＋b 2＋c 2，得 3(a 2＋b 2＋c 2)≥(a ＋b ＋c )2＝1，∴a 2＋b 2＋c 2≥13.由②式，得3(ab ＋bc ＋ca )≤a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ＝(a ＋b ＋c )2＝1，∴ab ＋bc ＋ca ≤13.综上，知a 2＋b 2＋c 2≥13≥ab ＋bc ＋ca .【例2】解：1x ＋1y ＝(1x ＋1y )(2x ＋y )＝2＋2x y ＋y x ＋1＝3＋2x y ＋y x ≥3＋22x y ·yx＝3＋22，当且仅当2x y ＝yx，即⎩⎪⎨⎪⎧y x ＝22x ＋y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋2，y ＝22＋2时等号成立．∴1x ＋1y的最小值为3＋2 2. 【例3】证明：∵a ＋b ＋c ＝1，∴(1－a )(1－b )(1－c )＝(b ＋c )(a ＋c )(a ＋b )．又∵a ，b ，c 都是正实数， ∴a ＋b 2≥ab ＞0，b ＋c 2≥bc ＞0，a ＋c 2≥ac ＞0.∴(a ＋b )(b ＋c )(a ＋c )8≥abc .∴(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc .当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．【例4】解：∵(x ＋y )(1x ＋a y )＝1＋a ＋y x ＋axy，又x ＞0，y ＞0，a ＞0， ∴y x ＋ax y ≥2y x ·ax y＝2a ， ∴1＋a ＋y x ＋axy≥1＋a ＋2a ，∴要使(x ＋y )(1x ＋ay)≥9对任意正实数x ，y 恒成立，只需1＋a ＋2a ≥9恒成立即可．∴(a ＋1)2≥9，即a ＋1≥3，∴a ≥4， ∴正实数a 的最小值为4.【例5】正解：∵0＜x ＜1，∴log 5x ＜0.∴(－log 5x )＋(－5log 5x )≥2(－log 5x )·(－5log 5x )＝2 5.∴log 5x ＋5log 5x≤－2 5.∴f (x )≤2－2 5.当且仅当log 5x ＝5log 5x，即x ＝5－5时，等号成立，此时f (x )有最大值2－2 5.【例6】正解：f (x )＝x 2＋4x 2＋3＋1＝x 2＋3＋1x 2＋3＋1＝x 2＋3＋1x 2＋3＋1. 令t ＝x 2＋3(t ≥3)，则原函数变为f (x )＝t ＋1t ＋1，在区间[3，＋∞)上是增函数．所以当t ＝3时，f (x )＝t ＋1t ＋1取得最小值433＋1.所以当t ＝3，即x ＝0时，f (x )＝x 2＋4x 2＋3＋1取得最小值433＋1.随堂练习·巩固1．C 均值不等式要考虑正负情况，如果a ，b 不能保证是正值，则选项A ，B ，D 都不一定成立，只有选项C 对任意实数恒成立．2．A 这里没有限制a ，b 的正负，则由a 2＋b 2＝4，a 2＋b 2≥2|ab |，得|ab |≤2，所以－2≤ab ≤2，可知ab 的最大值为2，最小值为－2.3．B 因为x ，y 为正数，所以(x ＋y )(1x ＋4y )＝1＋4＋y x ＋4xy≥9，当且仅当y ＝2x 时，等号成立，故选B.4．4 5 y ＝x ＋1x －3＝x －3＋1x －3＋3≥2(x －3)×1x －3＋3＝5，当且仅当x －3＝1x －3，即x ＝4时，y 取最小值5. 5．116因为x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1，所以xy ＝14x ·4y ≤14(x ＋4y 2)2＝116，当且仅当x ＝4y ＝12，即x ＝12，y ＝18时，等号成立．所以xy 的最大值为116.。

人教版数学高二B版必修5教材习题点拨3.2均值不等式

教材习题点拨练习A1．解：不正确．因为当a ＞0，b ＞0时，a ＋b 2≥ab 成立；当a ＜0，b ＜0时，a ＋b2≤－(－a )(－b )＝－ab .2．解：[2，＋∞)3．解：(1)设这两个正数为a ，b ，则a ＞0，b ＞0，且ab ＝49，所以a ＋b ≥2ab ＝249＝14，当且仅当a ＝b ＝7时，取等号．答：当这两个正数均为7时，它们的和最小．(2)设这两个正数为a ，b ，则a ＞0，b ＞0且a ＋b ＝36，所以ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝⎝⎛⎭⎫3622＝324，当且仅当a ＝b ＝18时，取等号．答：当这两个正数均为18时，它们的积最大．4．解：设矩形不靠墙的一边长为x m ，则另一边长为(l －2x )m ⎝⎛⎭⎫0＜x ＜l2. 由题意得S ＝x (l －2x )≤12×14[2x ＋(l －2x )]2＝18l 2，当且仅当2x ＝l －2x 时取得“＝”， ∴x ＝l 4.∴l －2x ＝l2.答：当矩形长、宽各为l 2m 、l 4m 时，菜地面积最大，为l 28m 2.练习B1．解：∵a ，b ，c ，三个数为正数，故当a ＝2，b ＝8，c ＝4时，a ＋b ＋c 3＝143，3abc ＝4，则a ＋b ＋c 3＞3abc ；当a ＝b ＝c ＝3时，a ＋b ＋c 3＝3，3abc ＝3，∴a ＋b ＋c 3＝3abc .∴a ＋b ＋c 3≥3abc .2．证明：∵a ，b ∈R ＋，∴a ＋1a ≥2，b ＋1b ≥2，∴⎝⎛⎭⎫a ＋1a ⎝⎛⎭⎫b ＋1b ≥4.(当且仅当a ＝b ＝1时取“＝”)3．解：f (x )＝x 2－2x ＋3x ＝x －2＋3x ＝x ＋3x －2，∵x ＞0，∴3x ＞0.∴f (x )＝x ＋3x－2≥2x ·3x－2＝23－2. 当且仅当x ＝3x，即x ＝3时取“＝”．∴当x ＝3时，函数f (x )＝x 2－2x ＋3x 取得最小值23－2.4．解：∵点P (x ，y )在直线2x ＋y －4＝0上运动，∴y ＝4－2x . 点P 坐标为(x,4－2x )，由题意，得x (4－2x )＝12×2x (4－2x )≤12×14[2x ＋(4－2x )]2＝12×14×42＝2.当且仅当2x ＝4－2x 时取“＝”．∴4x ＝4，x ＝1.∴y ＝4－2x ＝2. 答：它的横、纵坐标之积最大值是2，此时点P 的坐标为(1,2)． 5．解：设池底一边长为x m.∵水池容积为4 800 m 3，深为3 m ，∴池底面积为4 8003＝1 600(m 2)．∴另一边长为1 600x m ．∴池壁面积为2×3x ＋2×3×1 600x ＝6x ＋9 600x .∴总造价y ＝1 600×150＋120⎝⎛⎭⎫6x ＋9 600x ＝240 000＋720x ＋1 152 000x ≥240 000＋2720x ·1 152 000x＝240 000＋2×28 800＝297 600.当且仅当720x ＝1 152 000x 时，取得“＝”，∴720x 2＝1 152 000，x 2＝1 600. ∴x ＝40，1 600x＝40.答：当水池长、宽各为40 m 时，造价最低，最低造价是297 600元．习题3－2A1．解：由图(1)得正方形面积为(a ＋b )2，八个直角三角形面积和为12·ab ·8＝4ab .∵a ≠b ，∴(a ＋b )2＞4ab ，a 2＋b 2＞2ab .由图(2)得正方形面积为(a ＋b )2，八个直角三角形面积和为4ab . ∵a ＝b ，∴(a ＋b )2＝4ab ，即a 2＋b 2＝2ab .综上所述，a 2＋b 2≥2ab . 2．解：f (θ)＝tan θ＋cot θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝sin 2 θ＋cos 2 θcos θ·sin θ＝112sin 2θ＝2sin 2θ.∵0＜θ＜π2，∴当θ＝π4时，sin 2θ有最大值1.∴当θ＝π4时，函数f (θ)有最小值2.3．解：∵f (x )＝x 2x 4＋2，∴1f (x )＝x 4＋2x 2＝x 2＋2x 2≥2x 2·2x2＝2 2. ∴f (x )≤24. 当且仅当x 2＝2x 2，即x ＝±42时，取得最大值，∴f (x )的最大值是24.4．解：设两直角边分别为a ，b ，则12ab ＝50，ab ＝100.由题意，令a ＋b 为两直角边的和S .∴S ＝a ＋b ≥2ab ＝2100＝20. 当且仅当a ＝b ，即a ＝b ＝10时，S 有最小值，最小值为20. 5．解：设矩形的长为x cm ，面积为S cm 2，则宽为(10－x )cm ，则S ＝x (10－x )≤⎝⎛⎭⎫x ＋10－x 22＝25，当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时取得“＝”．所以这个矩形的长、宽都是5 cm 时，矩形面积最大，最大为25 cm 2.6．解：设铁盒底面的长为x cm ，宽为y cm ，表面积为S cm 2，则S ＝2×2x ＋2×2y ＋xy ＝4x ＋4y ＋xy .∵2xy ＝50，∴xy ＝25.∴S ＝4x ＋4y ＋xy ≥24x ·4y ＋xy ＝216×25＋25＝65. 当且仅当x ＝y ＝5时取得最小值．∴这个铁盒底面的长为5 cm ，宽为5 cm 时，用料最少．7．解：方法一：∵－12＜x ＜32，∴－1＜2x ＜3，∴3－2x ＞0,2x ＋1＞0.∴y ＝(3－2x )(2x ＋1)≤⎝⎛⎭⎫3－2x ＋2x ＋122＝4，当且仅当3－2x ＝2x ＋1，即x ＝12时，y max ＝4.方法二：y ＝－4x 2＋4x ＋3＝－4⎝⎛⎭⎫x －122＋4≤4. ∵12∈⎝⎛⎭⎫－12，32，∴当x ＝12时，y max ＝4. 8．解：∵y ＝2－4x －x (x ＞0)，∴y ＝2－⎝⎛⎭⎫4x ＋x . 令t ＝4x＋x ≥24x ·x ＝4，当且仅当4x＝x ，即x ＝2(x ＞0)时t 有最小值4. ∴y ＝2－t ≤2－4＝－2.∴函数的最大值为－2，此时x ＝2.9．解：y ＝x ＋3x －2＝(x －2)＋3x －2＋2. ∵x ＞2，∴x －2＞0.∴原式≥2(x －2)·3x －2＋2＝23＋2.当且仅当x －2＝3x －2，即x ＝2＋3时取“＝”．∴函数y ＝x ＋3x －2(x ＞2)的最小值为23＋2，此时x ＝2＋ 3.10．解：设地面的长为x m ，宽为25xm ，总造价为y 元．由题意得墙壁面积为⎝⎛⎭⎫x ＋25x ×3×2＝⎝⎛⎭⎫6x ＋150x (m 2)，屋顶面积为25 m 2. ∴y ＝400(6x ＋150x )＋25×500＝2 400x ＋60 000x ＋12 500.由题意得x ＞0，∴y ＝2 400x ＋60 000x＋12 500≥22 400x ·60 000x＋12 500＝36 500.当且仅当2 400x ＝60 000x，即x ＝5时取“＝”．∴当地面的长为5 m ，宽为5 m 时，能使总造价最低，最低造价是36 500元．习题3－2B1．解：∵a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝1，∴a ·b ≤14，1a ＋1b ＝a ＋b ab ≥114＝4，∴1a ＋1b的最小值为4.2．解：∵a ，b ∈R ＋，且3a ＋2b ＝2，∴3a ·2b ≤14×22＝1，a ·b ≤16.当且仅当3a ＝2b ＝1，即a ＝13，b ＝12时，ab 的最大值为16.3．解：y ＝x 2－x ＋4x －1＝x (x －1)＋4x －1＝x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1.∵x ＞1，∴x －1＞0. ∴原式≥2(x －1)·4x －1＋1＝5.当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时，函数y ＝x 2－x ＋4x －1的最小值为5.4．解：∵x ＞2，y ＞4，xy ＝32，∴log 2x 2＋log 2y 4＝log 2xy8＝log 24＝2.∴log 2x 2·log 2y 4≤⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x 2＋log 2y422＝1，当且仅当log 2x 2＝log 2y 4，即x 2＝y4时取“＝”，∴2x＝y .又xy ＝32，∴x ＝4，y ＝8.∴log 2x 2·log 2y4的最大值为1，此时x ＝4，y ＝8.5．解：∵0＜θ＜π2，∴0＜2θ＜π.∴0＜sin 2θ≤1.∴f (θ)＝(sin 2θ＋2)2sin 2θ＝sin 2 2θ＋4sin 2θ＋4sin 2θ＝sin 2θ＋4sin 2θ＋4.令sin 2θ＝t ，则0＜t ≤1.∵t ＋4t 在(0,1]上单调递减，∴当t ＝1时，t ＋4t 有最小值1＋4＝5.由sin 2θ＝1得θ＝π4，∴f (θ)的最小值为5＋4＝9，此时θ＝π4.6．解：如图所示，设AB ＝x ，则AP ＝x －DP .∴DP 2＋(12－x )2＝(x －DP )2. ∴DP ＝12－72x.∴S △ADP ＝12·AD ·DP ＝12(12－x )(12－72x )＝108－(6x ＋432x )．∵x ＞0，∴6x ＋432x ≥26×432＝72 2.∴S △ADP ＝108－⎝⎛⎭⎫6x ＋432x ≤108－72 2. 当且仅当6x ＝432x 时，△ADP 面积的最大值108－722，此时x ＝6 2.。

人教新课标版数学高二-人教B版必修5学案 3.2 均值不等式 (一)

3．2 均值不等式 (一)1.理解均值不等式的内容及证明.2.能熟练运用均值不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用均值不等式证明简单的不等式．下列说法中，正确的有________． (1) a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2；(2)(a ±b )2≥0； (3) a 2＋b 2≥(a ＋b )2；(4) (a ＋b )2≥(a －b )2. 答案 (1)(2)解析当a ，b 同号时，有a 2＋b 2≤(a ＋b )2，所以(3)错误；当a ，b 异号时，有(a ＋b )2≤(a －b )2，所以(4)错误．1．重要不等式对于任意实数a ，b ，a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 2．均值定理如果a ，b ∈R ＋a ＝b 时，等号成立．3．算术平均值与几何平均值对任意两个正实数a ，b ，数a ＋b2叫做a ，b 的算术平均值，数ab 叫做a ，b 的几何平均值．故均值定理可以表述为：两个正数的算术平均值大于或等于它的几何平均值． 4．均值定理的常用推论(1)ab ≤(a ＋b 2)2≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )．(2)当ab >0时，b a ＋a b ≥2；当ab <0时，b a ＋ab ≤－2.(3)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca (a ，b ，c ∈R ).要点一均值不等式的证明例1 证明下列不等式，并指出“＝”号成立的条件：(1)a 2＋b 2≥2ab ； (2) ab ≤a ＋b2( a >0，b >0)．证明 (1) ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0， ∴a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，取“＝”．(2) ∵a ＋b －2ab ＝(a )2＋(b )2－2a ·b ＝(a －b )2≥0. ∴a ＋b ≥2ab .∴ab ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时，取“＝”．规律方法a 2＋b 2≥2ab对a 、b ∈R 都成立，a ＋b2≥ab 成立的条件是a ，b ∈R ＋，两个不等式“＝”号成立的条件都是a ＝b .跟踪演练1 还有一种证明ab ≤a ＋b2( a >0，b >0)的方法叫做分析法，下面设计了分析法证明这个不等式的过程，你能不能把过程中留的空填正确？要证：a ＋b2≥ab (a >0，b >0) ① 只要证：a ＋b ≥________② 要证②，只要证a ＋b －________≥0③ 要证③，只要证 (________－________)2≥0④显然， ④是成立的，当且仅当a ＝b 时， ④的等号成立．答案 2ab 2abab要点二均值不等式的直接应用例2 (1)已知a ，b ，c 为任意的实数，求证a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . (2)已知a ，b ，c 为不全相等的正数，求证a ＋b ＋c ＞ab ＋bc ＋ca . 证明 (1)∵ a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca . ∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋bc ＋ca )，即a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .(2)∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴a ＋b ≥2 ab ＞0，b ＋c ≥2 bc ＞0，c ＋a ≥2ca ＞0. ∴2(a ＋b ＋c )≥2(ab ＋bc ＋ca )，即a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca .由于a ，b ，c 为不全相等的正实数，故等号不成立． ∴a ＋b ＋c ＞ab ＋bc ＋ca .规律方法在利用均值不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用均值不等式．跟踪演练2 已知x ，y 都是正数．求证：(1)y x ＋xy≥2；(2)(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3)≥8x 3y 3.证明 (1)∵x ，y 都是正数， ∴x y ＞0，yx ＞0，∴x y ＋yx≥2x y ·y x ＝2，即x y ＋yx≥2.当且仅当x ＝y 时，等号成立． (2)∵x ，y 都是正数，∴x ＋y ≥2xy ＞0，x 2＋y 2≥2x 2y 2＞0，x 3＋y 3≥2x 3y 3＞0. ∴(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3)≥2xy ·2x 2y 2·2x 3y 3＝8x 3y 3.即(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3)≥8x 3y 3，当且仅当x ＝y 时，等号成立．要点三含条件的不等式的证明例3 已知a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，求证：1a ＋1b ＋1c ≥9.证明 ∵a ＋b ＋c ＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c＝3＋(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c )≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号．规律方法使用均值不等式证明问题时，要注意条件是否满足，同时注意等号能否取到，问题中若出现“1”要注意“1”的整体代换，多次使用均值不等式，要注意等号能否同时成立．跟踪演练3 已知a ，b ，x ，y ∈R ，且a 2＋b 2＝1，x 2＋y 2＝1，求证：ax ＋by ≤1.证明 ∵a 2＋x 2≥2ax ，b 2＋y 2≥2by ， ∴a 2＋x 2＋b 2＋y 2≥2ax ＋2by ，又∵a 2＋b 2＝1，x 2＋y 2＝1， ∴2ax ＋2by ≤2，∴ax ＋by ≤1.1．不等式m 2＋1≥2m 中等号成立的条件是( ) A ．m ＝1 B ．m ＝±1 C ．m ＝－1 D ．m ＝0 答案 A2．若0<a a ＋b 2>ab >bB ．b >ab >a ＋b2>aC ．b >a ＋b 2>ab >aD ．b >a >a ＋b2>ab答案 C解析 ∵0<a a ＋b ，∴b >a ＋b2.∵b >a >0，∴ab >a 2，∴ab >a .故b >a ＋b2>ab >a .3．如果0<a Q >MB ．Q >P >MC ．Q >M >PD ．M >Q >P 答案 B解析 P ＝log 12a ＋b 2，Q ＝12(log 12a ＋log 12b )＝log 12ab ，M ＝12log 12(a ＋b )＝log 12a ＋b ，∴只需比较a ＋b 2，ab ，a ＋b 的大小，显然a ＋b2>ab ，又因为a ＋b 2<a ＋b (由a ＋b >(a ＋b )24，也就是a ＋b4<1)，∴a ＋b >a ＋b 2>ab .而y ＝log 12x 为减函数，故Q >P >M ，选B.4．已知0<a <1,00，b >0，∴a ＋b ≥2ab ，a 2＋b 2≥2ab ， ∴四个数中最大数应为a ＋b 或a 2＋b 2. 又∵0<a <1,0<b <1， ∴a 2＋b 2－(a ＋b )＝a 2－a ＋b 2－b ＝a (a －1)＋b (b －1)<0， ∴a 2＋b 2<a ＋b ，∴a ＋b 最大．方法二令a ＝b ＝12，则a ＋b ＝1，2ab ＝1，a 2＋b 2＝12，2ab ＝2×12×12＝12，再令a ＝12，b ＝18，a ＋b ＝12＋18＝58，2ab ＝212·18＝12， ∴a ＋b 最大．1．两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 都是带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，取‘＝’号”这句话的含义要有正确的理解．一方面：当a ＝b 时，a ＋b2＝ab ；另一方面：当a ＋b 2＝ab 时，也有a ＝b .2．由均值不等式变形得到的常见的结论： (1)ab ≤(a ＋b 2)2≤a 2＋b 22；(2)ab ≤a ＋b2≤ a 2＋b 22(a ，b ∈R +)；(3)b a ＋ab≥2(a ，b 同号)；(4)(a ＋b )(1a ＋1b)≥4(a ，b ∈R +)；(5)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .一、基础达标1．若0<a 0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2ab D.b a ＋a b≥2 答案 D解析 ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴A 错误．对于B 、C ，当a <0，b <0时，明显错误．对于D ，∵ab >0，∴b a ＋ab≥2b a ·a b＝2. 3．若x >0，y >0，且x ＋y ＝4，则下列不等式中恒成立的是( ) A.1x ＋y ≤14 B.1x ＋1y ≥1 C.xy ≥2 D.1xy≥1 答案 B解析若x >0，y >0，由x ＋y ＝4，得x ＋y4＝1，∴1x ＋1y ＝14(x ＋y )(1x ＋1y )＝14(2＋y x ＋x y )≥14(2＋2)＝1(当且仅当x ＝y ＝2时取等号)． 4．若a >0，b >0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的个数为( ) ①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④a 3＋b 3≥3. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 C解析 ∵ab ≤(a ＋b 2)2＝1，∴①正确；∵(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ＝2＋2ab ≤2＋a ＋b ＝4，∴a ＋b ≤2，故②不正确； ∵a 2＋b 2≥(a ＋b )22＝2，∴③正确；∵a 3＋b 3＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＝2＝2(4－3ab )＝8－6ab ≥8－6＝2， ∴④不正确；故正确的为①③，共2个．故选C.5．若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________．答案恒成立，则a 的取值范围是________．答案 (－∞，2恒成立⇔ax ≤x 2＋1，x ∈(0,1恒成立． ∵x ∈(0,115，＋∞)解析令f (x )＝x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3，∵x >0，∴x ＋1x ≥2，∴f (x )≤12＋3＝15，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时等号成立，即f (x )的最大值为15.若使不等式恒成立，只需a ≥15即可．12．已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证： (1)1a ＋1b ＋1ab ≥8； (2)(1＋1a )(1＋1b)≥9.证明 (1)1a ＋1b ＋1ab ＝1a ＋1b ＋a ＋b ab ＝2(1a ＋1b )，∵a ＋b ＝1，a >0，b >0，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋a b ＋ba ≥2＋2＝4， ∴1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)．(2)方法一 ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1， ∴1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋ba ，同理，1＋1b ＝2＋a b ，∴(1＋1a )(1＋1b )＝(2＋b a )(2＋ab )＝5＋2(b a ＋ab)≥5＋4＝9.∴(1＋1a )(1＋1b )≥9(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)．方法二 (1＋1a )(1＋1b )＝1＋1a ＋1b ＋1ab .由(1)知，1a ＋1b ＋1ab ≥8，故(1＋1a )(1＋1b )＝1＋1a ＋1b ＋1ab ≥9.三、探究与创新13．已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1.求证： (1a －1)(1b －1)(1c －1)≥8. 证明 ∵a ＋b ＋c ＝1， ∴(1a －1)(1b －1)(1c－1) ＝(a ＋b ＋c a －1)(a ＋b ＋c b －1)(a ＋b ＋c c －1)＝(b a ＋c a )(a b ＋c b )(a c ＋b c ) ＝a c ＋b c ＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋2 ＝(b a ＋a b )＋(c b ＋b c )＋(c a ＋ac )＋2. ∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)， ∴b a ＋a b ≥2，c b ＋b c ≥2，c a ＋ac ≥2， ∴(b a ＋a b )＋(c b ＋b c )＋(c a ＋ac)≥6，∴(1a －1)(1b －1)(1c －1)≥8，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立.。

人教新课标版数学高二B版必修5课时作业均值不等式

一、选择题1．给出下面四个推导过程： ①∵a 、b 为正实数，∴b a ＋ab ≥2b a ·a b ＝2；②∵x 、y 为正实数，∴lg x ＋lg y ≥2lg x ·lg y ； ③∵a ∈R ，a ≠0，∴4a ＋a ≥24a ·a ＝4； ④∵x ，y ∈R ，xy <0，∴x y ＋yx ＝－≤－2 (－x y )(－yx )＝－2.其中正确的推导为( ) A ．①② B ．②③ C ．③④D ．①④【解析】 ①∵a 、b 为正实数，∴b a 、ab 为正实数，符合均值不等式的条件，故①的推导正确；②虽然x 、y 为正实数，但当x ∈(0,1)或y ∈(0,1)时，lg x 或lg y 是负数，∴②的推导过程是错误的；③∵a ∈R ，a ≠0，不符合均值不等式的条件， ∴4a ＋a ≥24a ·a ＝4是错误的； ④由xy <0，得x y 、y x 均为负数，但在推导过程中将整体x y ＋y x 提出负号后，(－xy )、(－yx )均变为正数，符合均值不等式的条件，故④正确．【答案】 D2．已知a ，b ∈R ，且a ＋b ＝3，则2a ＋2b 的最小值为( ) A ．6 B ．4 2 C ．2 3D ．2 6 【解析】 2a ＋2b ≥22a ·2b ＝22a ＋b ＝4 2.3．(2013·西安高二检测)设0<a 0，b >0，则1a ＋1b ＋2ab 的最小值是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4D ．5【解析】 ∵1a ＋1b ＋2ab ≥2ab ＋2ab ≥22×2＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ab ＝1时，取“＝”，即a ＝b ＝1时，原式取得最小值4.【答案】 C5．已知x ，y >0且x ＋y ＝1，则p ＝x ＋1x ＋y ＋1y 的最小值为( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6【解析】 p ＝x ＋x ＋y x ＋y ＋x ＋y y ＝3＋y x ＋xy ≥3＋2＝5. 当且仅当x ＝y ＝12时，取“＝”．【答案】 C 二、填空题6．已知x ，y ∈R ＋，且xy ＝100，则x ＋y 的最小值为________．【解析】 x ＋y ≥2xy ＝20，当且仅当x ＝y ＝10时取“＝”．7．设a >1，且m ＝log a (a 2＋1)，n ＝log a (a ＋1)，p ＝log a (2a )，则m ，n ，p 的大小关系是________(用“>”连接)．【解析】 ∵a >1，∴a 2＋1>2a >a ＋1， ∴log a (a 2＋1)>log a (2a )>log a (a ＋1)， ∴m >p >n .【答案】 m >p >n8．在4×□＋9×□＝60的两个□中，分别填入两个自然数，使它们的倒数和最小，应分别填上________和________．【解析】设两数为x ，y ，即4x ＋9y ＝60， 1x ＋1y ＝(1x ＋1y )4x ＋9y 60 ＝160(13＋4x y ＋9y x ) ≥160×(13＋12)＝512，当且仅当4x y ＝9yx ，且4x ＋9y ＝60，即x ＝6且y ＝4时，等号成立，故应分别填上6、4.【答案】 6,4 三、解答题9．设a ，b ，c 是不全相等的正数，求证：bc a ＋ac b ＋abc >a ＋b ＋c . 【证明】 ∵a 、b 、c >0，∴bc a ＋acb ≥2c ， bc a ＋ab c ≥2b ，ac b ＋ab c ≥2a ， ∴2(bc a ＋ac b ＋abc )≥2(a ＋b ＋c )．又∵a 、b 、c 不全相等，∴bc a ＋ac b ＋abc >a ＋b ＋c .10．(2013·泰安高二检测)已知不等式ax 2－3x ＋2<0的解集为A ＝{x |1<x 0，解得a ＝1，b ＝2.(2)由(1)知a ＝1，b ＝2， ∴A ＝{x |1<x <2}．∴f (x )＝4x ＋9x (1<x <2)，而x >0时，4x ＋9x ≥24x ·9x ＝2×6＝12.当且仅当4x ＝9x ，即x ＝32时取等号．而x ＝32∈A ，∴f (x )的最小值为12.11．已知函数f (x )＝lg x (x ∈R ＋)，若x 1，x 2∈R ＋，判断12与f (x 1＋x 22)的大小并加以证明．【解】 12≤f (x 1＋x 22)．证明如下：f (x 1)＋f (x 2) ＝lg x 1＋lg x 2＝lg(x 1·x 2)， f (x 1＋x 22)＝lg(x 1＋x 22)． ∵x 1，x 2∈R ＋，∴x 1＋x 22≥ x 1·x 2， ∴lg x 1·x 2≤lg(x 1＋x 22)，即12lg(x 1·x 2)≤lg(x 1＋x 22)， ∴12(lg x 1＋lg x 2)≤lg(x 1＋x 22)．故12≤f (x 1＋x 22).。

新高中人教B版数学必修五课时作业：3.2均植不等式(1)(含答案)

§3.2 均值不等式(一)课时目标 1.理解均值不等式的内容及其证明.2.能利用均值不等式证明简单不等式．1．如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2____2ab(当且仅当______时取“＝”号)．2．若a ，b 都为____数，那么a ＋b2____ab(当且仅当a____b 时，等号成立)，称上述不等式为______不等式，其中______称为a ，b 的算术平均值，____称为a ，b 的几何平均值．3．均值不等式的常用推论 (1)ab≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b22 (a ，b ∈R)；(2)当x>0时，x ＋1x ≥____；当x<0时，x ＋1x ≤______.(3)当ab>0时，b a ＋a b ≥____；当ab<0时，b a ＋ab ≤______.(4)a 2＋b 2＋c 2____ab ＋bc ＋ca ，(a ，b ，c ∈R)．一、选择题1．已知a>0，b>0，则a ＋b2，ab ，a 2＋b 22，2aba ＋b中最小的是( ) A.a ＋b2 B.ab C.a 2＋b 22 D.2aba ＋b2．已知m ＝a ＋1a －2 (a>2)，n ＝2212x ⎛⎫⎪⎝⎭－2212x ⎛⎫⎪⎝⎭－(x<0)，则m 、n 之间的大小关系是( )A ．m>nB ．m<nC ．m ＝nD ．m≤n 3．设a ，b ∈R ，且a≠b ，a ＋b ＝2，则必有( ) A ．1≤ab≤a 2＋b 22 B ．ab<1<a 2＋b 22C ．ab<a 2＋b 22<1 D.a 2＋b 22<ab<14．已知正数0<a<1,0<b<1，且a≠b ，则a ＋b ，2ab ，2ab ，a 2＋b 2，其中最大的一个是( ) A ．a 2＋b 2 B ．2ab C ．2ab D ．a ＋b 5．设0<a<b ，且a ＋b ＝1，在下列四个数中最大的是( )A.12B ．bC ．2abD ．a 2＋b 26．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈(]0，1恒成立，则a 的最小值为( ) A ．0 B ．－2 C ．－52 D ．－3二、填空题7．若a<1，则a ＋1a －1有最______值，为________．8．若lg x ＋lg y ＝1，则2x ＋5y的最小值为________．9．已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为________．10．若对任意x>0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围为________．三、解答题11．设a 、b 、c 都是正数，求证：bc a ＋ca b ＋abc ≥a ＋b ＋c.12．a>b>c ，n ∈N 且1a －b ＋1b －c ≥na －c ，求n 的最大值．能力提升13．已知不等式(x ＋y)⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．2 14．已知a ，b ，c 为不等正实数，且abc ＝1. 求证：a ＋b ＋c<1a ＋1b ＋1c .§3.2 均值不等式(一)答案知识梳理1．≥ a ＝b 2.正 ≥ ＝均值 a ＋b 2ab 3.(2)2 －2(3)2 －2 (4)≥ 作业设计1．D [方法一特殊值法．令a ＝4，b ＝2，则a ＋b2＝3，ab ＝8，a 2＋b 22＝10，2ab a ＋b ＝83.∴2aba ＋b 最小．方法二 2ab a ＋b ＝21a ＋1b ，由21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22，可知2aba ＋b最小．] 2．A [∵m ＝(a －2)＋1a －2＋2≥2－1a －2＋2＝4，n ＝22－x 2<22＝4.∴m>n.] 3．B [∵ab≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，a≠b ，∴ab<1，又∵a 2＋b 22>a ＋b 2>0，∴a 2＋b 22>1，∴ab<1<a 2＋b 22.] 4．D [因为a 、b ∈(0,1)，a≠b ，所以a ＋b>2ab ，a 2＋b 2>2ab ，所以，最大的只能是a 2＋b 2与a ＋b 之一．而a 2＋b 2－(a ＋b)＝a(a －1)＋b(b －1)，又0<a<1,0<b<1，所以a －1<0，b －1<0，因此a 2＋b 2<a ＋b ，所以a ＋b 最大．] 5．B [∵ab<⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，∴ab<14，∴2ab<12.∵a 2＋b 22>a ＋b2>0，∴ a 2＋b 22>12，∴a 2＋b 2>12.∵b －(a 2＋b 2)＝(b －b 2)－a 2＝b(1－b)－a 2＝ab －a 2＝a(b －a)>0，∴b>a 2＋b 2，∴b最大．]6．B [x 2＋ax ＋1≥0在x ∈(]0，1上恒成立ax≥－x 2－1a≥⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫x ＋1x max . ∵x ＋1x ≥2，∴－⎝⎛⎭⎫x ＋1x ≤－2，∴a≥－2.] 7．大－1解析 ∵a<1，∴a －1<0，∴－⎝⎛⎭⎫a －1＋1a －1＝(1－a)＋11－a ≥2(a ＝0时取等号)，∴a －1＋1a －1≤－2，∴a ＋1a －1≤－1.8．2解析 ∵lg x ＋lg y ＝1，∴xy ＝10，x>0，y>0，∴2x ＋5y ＝2x ＋x2≥2(x ＝2时取等号)．9．3解析 ∵x>0，y>0且1＝x 3＋y4≥2xy 12，∴xy≤3.当且仅当x 3＝y4时取等号． 10.⎣⎡⎭⎫15，＋∞解析 ∵x>0，∴x x 2＋3x ＋1>0，易知a>0.∴x 2＋3x ＋1x ≥1a ，∴1a ≤x ＋1x ＋3.∵x>0，x ＋1x＋3≥2x·1x ＋3＝5(x ＝1时取等号)，∴1a ≤5.∴a≥15. 11．证明 ∵a 、b 、c 都是正数，∴bc a 、ca b 、ab c 也都是正数．∴bc a ＋ca b ≥2c ，ca b ＋abc ≥2a ，bc a ＋ab c ≥2b ，三式相加得2⎝⎛⎭⎫bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c)，即bc a ＋ca b ＋abc ≥a ＋b ＋c. 12．解 ∵a>b>c ， ∴a －b>0，b －c>0，a －c>0. ∵1a －b ＋1b －c ≥na －c ，∴n≤a －c a －b ＋a －c b －c. ∵a －c ＝(a －b)＋(b －c)，∴n≤－＋－a －b＋－＋－b －c，∴n≤b －c a －b＋a －bb －c＋2. ∵b －c a －b ＋a －b b －c≥2 b －c a －ba －bb －c＝2(2b ＝a ＋c 时取等号)． ∴n≤4.∴n 的最大值是4.13．C [只需求(x ＋y)⎝⎛⎭⎫1x ＋a y 的最小值大于等于9即可，又(x ＋y)⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ＝1＋a·x y ＋y x ＋a≥a ＋1＋2a·x y ·y x ＝a ＋2 a ＋1，等号成立仅当a·x y ＝yx即可，所以(a)2＋2 a ＋1≥9，即(a)2＋2 a －8≥0求得a ≥2或a ≤－4(舍去)，所以a≥4，即a 的最小值为4.] 14．证明 ∵1a ＋1b≥21ab ＝2c ，1b ＋1c≥2 1bc ＝2a ，1c ＋1a≥2 1ac＝2b ， ∴2⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c ≥2(a ＋b ＋c)，即1a ＋1b ＋1c ≥a ＋b ＋ c.∵a ，b ，c 为不等正实数， ∴a ＋b ＋c<1a ＋1b ＋1c.。

人教B版高中数学必修5-3.2导学案2-均值不等式

3．2 均值不等式（一）一、学习目标：1．掌握均值定理的推导2．培养学生应用均值定理分析问题、解决问题的能力.二、重点难点：重点：均值定理的推导极其应用难点：均值定理在实际问题中的应用三、学习过程：（一）自学教材，填空1.正数a 、b 的算术平均数为；几何平均数为．2.均值不等式是。

其中前者是，后者是．如何给出几何解释？3.在均值不等式中a 、b 既可以表示数，又可以表示代数式，但都必须保证；另外等号成立的条件是．4.试根据均值不等式写出下列变形形式，并注明所需条件（1）a 2+b 2 （）（2）2b a （）（3）a b ＋ba （）（4）ab≤ （）（5）x ＋x 1 (x>0)（6）x ＋x1 (x<0) 5.在用均值不等式求最大值和最小值时，必须注意a+b 或ab 是否为值，并且还需要注意等号是否成立．（二）典型例题例1.已知a 、b 、c ∈（0，＋∞），且a+b+c=1，求证a 1 +b 1+c1≥9．例2.（1）一个矩形的面积为100m 2。

问这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？（2）已知矩形的周长为36m 。

问这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？（三）课堂训练1.已知a 、b ∈（0，1）且a≠b ，下列各式中最大的是（）A ．a 2+b 2B ．2abC ．2a bD ．a +b2.判断下列不等式的证明过程中的正误，并指出错因。

（1）若a 、b ∈R ，则a b ＋ba ≥2b a a b ∙＝2（）（2）若x 、y ∈R ＋，则lgx ＋lgy≥2y x lg lg ∙（）（3）x ∈R －，则x ＋x4≥－2x x 4∙＝－4（）（4）若x ∈R ，则x 2＋x -2≥2x x -∙22＝2（）3.x ∈R ，下列不等式恒成立的是（）A ．x 2+1≥xB ．112+x <1 C ．lg(x 2+1)≥lg(2x) D ．x 2+4>4x 4.设x>0，则函数y=2－x 4－x 的最大值为；此时x 的值是。

人教新课标版数学高二-B版必修5课下作业 3.2 均值不等式

第3章 3.2节(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每题5分，共20分)1．若lg x ＋lg y ＝2，则1x ＋1y 的最小值是( )A.120B.15C.12D ．2【解析】由已知得lg(xy )＝2，∴xy ＝100，且x >0，y >0， ∴1x ＋1y≥21xy ＝15，当且仅当x ＝y ＝10时取等号．【答案】 B2．设x ＞0，则y ＝3－3x －1x 的最大值是( )A ．3B ．3－3 2C ．3－2 3D ．－1【解析】 ∵y ＝3－3x －1x＝3－⎝⎛⎭⎫3x ＋1x ≤3－23x ·1x＝3－23，当且仅当3x ＝1x ，即x ＝33时取“＝”．【答案】 C3．已知5x ＋3y ＝1(x ＞0，y ＞0)，则xy 的最小值是( )A ．15B ．6C ．60D ．1【解析】 5x ＋3y ＝1≥215xy，∴xy ≥60，当且仅当3x ＝5y 时等号成立，故选C. 【答案】 C4．设x ＋3y ＝2，则函数z ＝3x ＋27y 的最小值是( ) A.23 B ．2 2 C ．3D ．6 【解析】 z ＝3x ＋33y ≥23x ·32y＝23x ＋3y ＝232＝6；当且仅当3x ＝33y 即x ＝3y ；亦即x ＝1，y ＝13时等号成立．∴z 的最小值是6. 【答案】 D二、填空题(每题5分，共10分)5．正数a 、b 满足a ＋b ＋1＝ab ，则3a ＋2b 的最小值是________．【解析】 ∵a ＋b ＋1＝ab ⇒(a －1)(b －1)＝2， ∴3a ＋2b ＝5＋3(a －1)＋2(b －1) ≥5＋23×2(a －1)(b －1)＝5＋4 3.【答案】 5＋4 36．设M ＝a ＋1a －2(2<a <3)，N ＝x (43－3x )⎝⎛⎭⎫0<x <433，则M ，N 的大小关系为________．【解析】 M ＝a －2＋1a －2＋2≥4；当且仅当a －2＝1即a ＝3时取等号．∴M >4.又N ＝13·3x (43－3x )≤13·⎝⎛⎭⎫4322＝4，当且仅当x ＝233时取等号，∴N ＝4，∴M >N【答案】 M >N三、解答题(每题10分，共20分)7．对正数x ，y 有x ＋2y ＝1，求1x ＋1y 的最小值．【解析】 ∵x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＝1， ∴1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·(x ＋2y )＝1＋2y x ＋x y ＋2＝2y x ＋x y ＋3.≥22y x ·xy＋3＝22＋3. 当且仅当2y x ＝xy 且x ＋2y ＝1，即x ＝2－1，y ＝2－22时取等号．8．某种汽车，购车费用为10万元，每年所花的保险费、养路费、汽油费为0.9万元，年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元，问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最少？【解析】设汽车使用x 年时，年平均费用最少，由题意知汽车的年维修费构成首项为0.2万元，0.2万元为公差的等差数列，∴使用x 年后的总维修费用为0.2＋0.2x2·x 万元，∴汽车的年平均费用y ＝10＋0.9x ＋0.2＋0.2x2x x ＝10＋x ＋0.1x 2x ＝1＋10x ＋x10≥1＋210x ·x10＝3(万元)．当且仅当10x ＝x10，即x ＝10时，y 最小．即汽车使用10年平均费用最少．9．(10分)某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的墙利用旧墙不花钱，正面为铁栅，每1 m 长造价40元，两侧墙砌砖，每1 m 长造价45元，顶部每1 m 2造价20元，计算：(1)仓库底面积S 的最大允许值是多少？(2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面的铁栅应设计为多长？【解析】 (1)设铁栅长为x m ，一堵砖墙长为y m ，则有S ＝xy . 由题意得40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200，应用基本不等式，得3 200≥240x ·90y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ＝120S ＋20S ，∴S ＋6S ≤160，即(S ＋16)(S －10)≤0， ∵S ＋16>0，∴S －10≤0，即S ≤100.故S 的最大允许值是100 m 2，取得此最大值的条件是40x ＝90y ，而xy ＝100. (2)由(1)求得x ＝15，即正面的铁栅长应设计为15 m ．。

高中数学人教B版五学案：第三单元 §3.2 均值不等式(一) 含答案

学必求其心得，业必贵于专精学习目标1。

理解均值不等式的内容及证明。

2.能熟练运用均值不等式来比较两个实数的大小。

3.能初步运用均值不等式证明简单的不等式．知识点一算术平均值与几何平均值思考如图，AB是圆O的直径，点Q是AB上任一点，AQ＝a，BQ＝b,过点Q作PQ垂直AB于Q，连接AP,PB。

如何用a,b表示PO,PQ的长度?梳理一般地,对于正数a,b，错误!为a，b的________平均值,错误!为a，b的________平均值．两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值，即错误!≤错误!。

其几何意义如上图中的|PO|≥｜PQ|。

知识点二均值不等式及其常见推论思考如何证明不等式错误!≤错误!（a〉0，b〉0)?梳理错误!≤错误!(a〉0，b〉0)．当对正数a，b赋予不同的值时，可得以下推论:(1）ab≤(错误!）2≤错误!(a，b∈R);（2)错误!＋错误!≥2（a，b同号);（3）当ab>0时，错误!＋错误!≥2；(4）a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca（a，b，c∈R）．类型一常见推论的证明例1证明不等式a2＋b2≥2ab（a，b∈R)．引申探究证明不等式(错误!）2≤错误!（a，b∈R)．反思与感悟(1）本例证明的不等式成立的条件是a，b∈R,与均值不等式不同．（2)本例使用的作差法与不等式性质是证明中常用的方法．跟踪训练1已知a,b，c为任意的实数，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc ＋ca.类型二用均值不等式证明不等式例2已知x、y都是正数．求证：（1）错误!＋错误!≥2;（2)(x＋y）(x2＋y2）(x3＋y3)≥8x3y3。

反思与感悟在(1)的证明中把错误!,错误!分别看作均值不等式中的a，b从而能够应用均值不等式；在（2)中三次利用了均值不等式，由于每次应用不等式时等号成立的条件相同，所以最终能取到等号．跟踪训练2已知a、b、c都是正实数，求证:(a＋b）（b＋c）·(c＋a）≥8abc.类型三用均值不等式比大小例3某工厂生产某种产品，第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，a，b，x均大于零，则(）A．x＝错误!B．x≤错误!C．x＞错误!D．x≥错误!反思与感悟均值不等式错误!≥错误!一端为和，一端为积,使用均值不等式比大小要擅于利用这个桥梁化和为积或者化积为和．跟踪训练3设a＞b＞1，P＝错误!，Q＝错误!，R＝lg 错误!，则P,Q，R的大小关系是()A．R＜P＜Q B．P＜Q＜RC．Q＜P＜R D．P＜R＜Q1．已知a〉0，b>0，则错误!＋错误!＋2错误!的最小值是（）A．2 B．2错误!C．4 D．52．若0〈a〈b,则下列不等式一定成立的是()A．a>错误!〉错误!>b B．b〉错误!〉错误!〉aC．b>错误!〉错误!〉a D．b〉a>错误!〉错误!3．设a、b是实数，且a＋b＝3,则2a＋2b的最小值是（)A．6 B．42C．2错误!D．84．设a〉0，b>0，给出下列不等式：①a2＋1〉a；②错误!错误!≥4；③（a＋b)错误!≥4；④a2＋9>6a。

人教新课标版数学高二B版必修5 3.2 均值不等式第一课时训练

1．不等式a ＋1≥2a (a ＞0)中等号成立的条件是( )A ．a ＝2B ．a ＝1C ．a ＝12D ．a ＝0 解析：选B.a ＋1≥2a 可变形为a ·1≤a ＋12等号成立的条件为a ＝1. 2．下列命题中正确的是( )A ．函数y ＝x ＋1x的最小值为2 B ．函数y ＝x 2＋3x 2＋2的最小值为2 C ．函数y ＝2－3x －4x(x >0)的最小值为2－4 3 D ．函数y ＝2－3x －4x(x >0)的最大值为2－4 3 解析：选D.对于A ，当x <0时，不成立；对于B ，若设x 2＋3x 2＋2＝2，则无解；对于C 、D ，y ＝2－3x －4x ≤2－43(x >0)，当且仅当3x ＝4x时，等号成立，所以答案选D. 3．“a ＞b ＞0”是“ab ＜a 2＋b 22”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.当a ＞b ＞0时，显然能推出a 2＋b 2＞2ab .即ab ＜a 2＋b 22，但由ab ＜a 2＋b 22，不一定能推出a ＞b ＞0，因为a ，b 可异号．4．下面四个命题：①若a ，b ∈R ，则b a ＋a b ≥2；②若x ∈(0，π)，则sin x ＋1sin x≥2；③若a ，b ∈R ＋，则lg a ＋lg b ≥2·lg a ·lg b ；④若x ∈R ，则|x ＋4x|≥4，其中正确命题的序号是________．解析：①只有在ab >0时成立；②∵x ∈(0，π)，∴sin x ∈(0,19．已知均值不等式：a ＋b 2≥ab (a ，b 都是正实数，当且仅当a ＝b 时等号成立)可以推广到n 个正实数的情况，即：对于n 个正实数a 1，a 2，a 3，…，a n 有a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n n≥n a 1a 2a 3…a n (当且仅当a 1＝a 2＝a 3＝…＝a n 时，取等号)．同理，当a ，b 都是正实数时，(a ＋b )(1a ＋1b )≥2ab ·21a ·1b＝4，可以推导出结论：对于n 个正实数a 1，a 2，a 3，…，a n 有(a 1＋a 2＋a 3)(1a 1＋1a 2＋1a 3)≥________；(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)(1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4)≥________；(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n )(1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n)≥________；如果对于n 个实数同号a 1，a 2，a 3，…，a n (同正或者同负)，那么，根据上述结论，(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n )(1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n)的取值范围是________．解析：根据所给结论及类比的方法可得：(a 1＋a 2＋a 3)·(1a 1＋1a 2＋1a 3)≥33a 1a 2a 3·331a 1a 2a 3＝9，同理，(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)(1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4)≥16；(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n )(1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n)≥n 2，当实数a 1，a 2，a 3，…，a n 都是负数时，(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n )·(1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n)≥n 2. 答案：9 16 n 2f (x 1)＋f (x 2)f (x 1)＋f (x 2)f (x 1)＋f (x 2)≤f (x 1＋x 22)． 12．若a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证： (1a －1)(1b －1)(1c －1)≥8. 证明：∵a ＋b ＋c ＝1，且a ，b ，c 均为正数，∴(1a －1)(1b －1)(1c－1) ＝(a ＋b ＋c a －1)(a ＋b ＋c b －1)(a ＋b ＋c c－1) ＝b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ≥2bc a ·2ac b ·2ab c ＝8.(当a ＝b ＝c ＝13时取“＝”)。

高三数学必修5(B版)_《均值不等式》基础练习1

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3.2均值不等式
1.若实数b a ,满足1=+b a ，则b a 33+的最小值是【】
A ．18
B ．32
C ．6
D ．36
2.已知3
10<<x ，则)31(x x -取最大值时x 的值是【】 A ．31 B ．61 C ．43 D ．3
2 3．若x >0，y >0，且182=+
y x ，则xy 有【】 A ．最大值64 B ．最小值641 C ．最小值21
D ．最小值64
4.若x>0，y>0，x ＋4y ＝20, 则xy 有最______值为______.
5.当=x ___________时，函数)2(22x x y -=有最_______值，其值是_________.
6．x <0，当x =___________时，y = 4－2x －x
3的最小值_______________. 7．0<x <41，当x =_______________时，y =)41(x x -的最大值_____________.
8．某种汽车购车时费用为10万元，每年保险、养路、汽油费用9千元；汽车的维修费各年为：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依每年2千元的增量逐年增加，则这种汽车最多使用_________年后报废最合算.（即使用多少年的年平均费用最少）注：计算总维修费可用：年数最后一年费用第一年费用⨯+2.
参考答案
1. B
2. B
3.D
4.大25
5. 1或-1 大 1
6.
4+
7.1
8
1
4
8. 10
2 / 2。

人教B版高中数学必修五 3.2 第1课时均值不等式

高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）3.2 第1课时均值不等式基础巩固一、选择题1．若x ∈R ，则下列不等式成立的是( ) A ．lg(x 2＋1)≥lg2x B ．x 2＋1>2x C.1x 2＋1<1 D ．2x ≤(x ＋1)22[答案] D[解析] A 中，x ≤0时，不等式不成立；B 中x ＝1时，不等式不成立；C 中x ＝0时，不等式不成立，故选D.2．下列函数中，最小值为4的是( ) A ．f (x )＝x ＋4x B ．f (x )＝2×x 2＋5x 2＋4C ．f (x )＝3x ＋4×3－xD ．f (x )＝lg x ＋log x 10[答案] C[解析] A 、D 选项中，不能保证两数为正，排除；B 选项不能取等号，f (x )＝2×x 2＋5x 2＋4＝2×x 2＋4＋1x 2＋4＝2×(x 2＋4＋1x 2＋4)≥4，要取等号，必须x 2＋4＝1x 2＋4，即x 2＋4＝1，这是不可以的，排除．故选C.3．(2011·陕西文)设0<a 0，即ab >a ，故选B. 4．设x ，y ∈R ，且x ＋y ＝5，则3x ＋3y 的最小值为( ) A ．10B ．6 3C ．4 6D ．18 3[答案] D[解析] x ＋y ＝5,3x ＋3y ≥23x ·3y ＝23x ＋y ＝235＝18 3. 5．函数f (x )＝xx ＋1的最大值为( ) A.25 B.12 C.22 D ．1 [答案] B[解析] 本题考查均值不等式求最值，注意均值不等式求最值时必须具备的三个条件：一正、二定、三相等．∵函数f (x )的定义域为[0，＋∞)， ∴当x ＝0时，f (0)＝0. 当x >0时，f (x )＝x x ＋1＝1x ＋1x ≤12，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时f (x )取最大值12.6．若x >4，则函数y ＝x ＋1x －4( )A ．有最在值－6B ．有最小值6C ．有最大值－2D ．有最小值2[答案] B[解析] ∵x >4，∴x －4>0，∴y ＝x －4＋1x －4＋4≥2(x －4)·1x －4＋4＝6.当且仅当x －4＝1x －4，即x －4＝1，x ＝5时，取等号．二、填空题7．设实数a 使a 2＋a －2>0成立，t >0，比较12log a t 与log a t ＋12的大小，结果为________________．[答案] 12log a t ≤log a t ＋12[解析] ∵a 2＋a －2＞0，∴a ＜－2或a ＞1 又a ＞0且a ≠1，∴a ＞1∵t ＞0，∴t ＋12≥t ，∴log a t ＋12≥log a t ＝12log a t ，∴12log a t ≤log a t ＋128．函数y ＝x ·(3－2x ) (0≤x ≤1)的最大值为______________． [答案] 98[解析] ∵0≤x ≤1 ∴3－2x ＞0 ∴y ＝122x ·(3－2x )≤12[2x ＋(3－2x )2]2＝98，当且仅当2x ＝3－2x 即x ＝34时，取“＝”号．三、解答题9．已知：a 、b 、c ∈(0，＋∞)且a ＋b ＋c ＝1，试比较a 2＋b 2＋c 2，ab ＋bc ＋ca ，13的大小．[解析] ∵a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋c 2≥2ac ，b 2＋c 2≥2bc ， ∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2ab ＋2ac ＋2bc ① ∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋ac ＋bc . ①式两边分别加入a 2＋b 2＋c 2得：3(a 2＋b 2＋c 2)≥(a ＋b ＋c )2＝1，∴a 2＋b 2＋c 2≥13，3(ab ＋bc ＋ca )≤a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＝(a ＋b ＋c )2＝1， ∴ab ＋bc ＋ca ≤13.综上知，a 2＋b 2＋c 2≥13≥ab ＋bc ＋ca .10．求函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x >－1)的最小值．[解析] ∵x >1，∴x ＋1>0..∵y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1＝(x ＋1)2＋5(x ＋1)＋4x ＋1＝(x ＋1)＋4x ＋1＋5≥2(x ＋1)·1x ＋1＋5＝9当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1时，等号成立． ∴当x ＝1时，函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x >－1)，取得最小值为9.能力提升一、选择题1．设x ＋3y ＝2，则函数z ＝3x ＋27y 的最小值是( ) A.23 B ．22 C ．3 D ．6 [答案] D[解析] ∵x ＋3y ＝2，∴x ＝2－3y . ∴z ＝3x＋27y＝32－3y＋27y ＝927y ＋27y ≥2927y ·27y ＝6，当且仅当927y ＝27y ，即27y＝3，∴33y＝3，∴3y ＝1，∴y ＝13.即x ＝1，y ＝13时，x ＝3x ＋27y 取最小值6.2．若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，则( )A ．R 0，b >0，a ＋b ＋3＝ab ，则a ＋b 的最小值为________．[答案] 6[解析] ∵a >b ，b >0，a ＋b ＋3＝ab ， ∴a ＋b ＋3＝ab ≤(a ＋b 2)2，∴(a ＋b )2－4(a ＋b )－12≥0， ∴a ＋b ≥6.4．函数y ＝a 1－x (a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0(mn >0)上，则1m ＋1n 的最小值为________．[答案] 4[解析] 函数y ＝a 1－x (a >0，a ≠1)的图象恒过定点A (1,1)． ∴m ＋n －1＝0，即m ＋n ＝1.又mn >0，∴1m ＋1n ＝(1m ＋1n )·(m ＋n )＝2＋(n m ＋mn )≥2＋2＝4，当且仅当m ＝n ＝12时，等号成立．三、解答题5．已知a <0，b <0，c <0，且a ＋b ＋c ＝－1，求1a ＋1b ＋1c 的最大值．[解析] ∵a <0，b <0，c <0且a ＋b ＋c ＝－1，∴1a ＋1b ＋1c ＝－(a ＋b ＋c )a ＋－(a ＋b ＋c )b ＋－(a ＋b ＋c )c ＝－3－(b a ＋a b ＋c a ＋a c ＋c b ＋bc )≤－3－(2＋2＋2)＝－9.当且仅当a ＝b ＝c ＝－13时，等号成立．6．设a ≥0，b ≥0，a 2＋b22＝1，求a 1＋b 2的最大值．[解析] ∵a 2＋b 22＝1，∴a 2＋1＋b 22＝32，a 1＋b 2＝2·a ·1＋b 22≤2·a 2＋1＋b 222＝2·322＝324.∴当a 2＋b 22＝1且a ＝1＋b 22，即a ＝22，b ＝63时，a 1＋b 2的最大值为324. 7．甲、乙两电脑批发商每次在同一电脑耗材厂以相同价格购进电脑芯片．甲、乙两公司共购芯片两次，每次的芯片价格不同，甲公司每次购10000片芯片，乙公司每次购10000元芯片，两次购芯片，哪一家公司平均成本低？请给出证明．[解析] 设第一、二次购芯片的价格分别是每片a 元和b 元，那么甲公司两次购芯片的平均价格为10000(a ＋b )20000＝a ＋b2，乙公司两次购芯片的平均价格为 2000010000a ＋10000b ＝21a ＋1b .∵a >0，b >0，a ≠b ， ∴a ＋b 2>ab .又1a ＋1b >21ab ＝2ab，∴21 a＋1b<ab.∴a＋b2>21a＋1b.∴乙公司的平均成本低．。

人教版数学高二B版必修5例题与探究3.2均值不等式

典题精讲例1 已知a 、b 、c 是正实数，求证：cabb ac a bc ++≥a+b+c. 思路分析：由于要证的不等式两边都是三项,而我们掌握的均值不等式只有两项,所以可以考虑多次使用均值不等式.证明：∵a 、b 、c 是正实数， ∴b ac a bc b ac a bc •≥+2=2c （当且仅当bac a bc =，即a=b 时，取等号）， a c ab b ac c ab b ac 22=•≥+（当且仅当c ab b ac =，即b=c 时，取等号）， a bc c ab a bc c ab •≥+2=2b （当且仅当cab a bc =，即a=c 时，取等号）. 上面3个不等式相加,得c abb ac a bc •+•+•222≥2a+2b+2c （当且仅当a=b=c 时，取等号）. ∴c ab b ac a bc ++≥a+b+c. 绿色通道：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，直接推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫做综合法，其逻辑关系是A ⇒B 1⇒B 2⇒B 3⇒…⇒B n-1⇒B n ⇒B. （条件）−−−−−−−−→−必要条件逐步探求不等式成立的（结论）其思路是“由因导果”，即从“已知”，推向已知的“性质”，从而逐步推向“未知”. 变式训练已知a,b,c 都是正实数，且a+b+c=1. 求证：33232323≤+++++c b a .思路分析：本题可看成求左边式子的最大值，把左边配成积的形式，同时对等号成立的条件进行估计.证明:23)23(3)23(++≤•+a a ,同理,23)23(3)23(++≤•+b b ,23)23(3)23(++≤•+c c , 三个不等式相加，得3)23(3)23(3)23(•++•++•+b b a ≤296)(3++++c b a .整理，得33232323≤+++++c b a （当且仅当a=b=c=31时,等号成立）.例2 x ＜23时，求函数y=x+328-x 的最大值.思路分析：本题是求两个式子和的最大值,但是x·328-x 并不是定值,也不能保证是正值,所以,必须使用一些技巧进行变形.可以变为y=21（2x-3）+328-x +23,再求最值.解：y=21（2x-3）+328-x +23=-（x x 238223-+-）+23， ∵当x ＜23时，3-2x ＞0，∴x x x x 2382232238223-•-≥-+-=4，当且仅当x x 238223-=-，即x=-21时,取等号. 于是y≤-4+23=25-，故函数有最大值25-. 绿色通道：本题的关键是根据分母,对整式变形，从而凑出定值，同时要兼顾到正数的前提，当然本题也可作一个代换，如令3-2x=t ，则t ＞0，把y 转化为关于t 的函数，再求最值就显得简洁明了.变式训练1 已知x ＞0，y ＞0且5x+7y=20，求xy 的最大值.思路分析：要注意均值不等式的正用和逆用，利用均值不等式求最值需三个条件：①正；②定；③相等.解：xy=351·5x·7y≤720)275(3512=+•y x . 当且仅当5x=7y ，即x=2，y=710时取等号.∴xy 的最大值为720.变式训练2 若正数a ，b 满足ab=a+b+3，则ab 的取值范围是_____________.思路分析：本题的条件中同时存在和与积的形式,而所求的为积的范围，所以保留积的式子，把积放在不等式中去考察，方法是均值不等式放缩.或者利用函数法来解决.方法一：由ab=a+b+3≥ab 2+3（等号成立条件为a=b ），整理,得ab-ab 2-3≥0，（ab -3）（ab +1）≥0.∴ab ≥3，∴ab≥9. 方法二：由ab=a+b+3，可得b=13-+a a （a ＞0，b ＞0），∴a ＞1，又ab=a·13-+a a =［（a-1）+1］13-+a a =（a+3）+13-+a a =a-1+4+9514)1(2514)1(141=+--≥+-+-=-+-a a a a a a ,等号成立条件为a-1=14-a ，即a=3. 答案：［9，+∞) 例3 求y=xx sin 22sin +（0＜x ＜π）的最小值. 思路分析：在运用基本不等式求最值时，经常会出现不满足“正数、定值、等号”的情形，这就要求通过分类、换元、凑配等方法与技巧，使问题转化为符合基本不等式的模型，对于等号取不到的情形，常要讨论函数的单调性，再作出判断.本题的关键是等号取不到时，通过代换，转化为研究新的函数的单调性，再求得原来函数的最值. 解：∵0＜x ＜π，∴0＜sinx≤1.设t=2sin x ，t ∈（0，21］，则sinx=2t ， ∴y=t+t 1（0＜t≤21）.可证明函数y=t+t 1,当t ∈（0，21］时为减函数.∴当t=21，即2sin x =21，sinx=1，x=2π时，y 有最小值2+21=25.∴y min =25.黑色陷阱：本题易忽略等号成立的条件,而得出错误的解法和答案:∵0＜x ＜π，∴0＜sinx≤1.∴y=xx x x sin 22sin 2sin 22sin •≥+=2.∴y min =2. 变式训练已知函数f （x ）=xax x ++22，x ∈［1，+∞).（1）当a=21时，求函数f （x ）的最小值；（2）若对任意x ∈［1，+∞)，f （x ）＞0恒成立，试求实数a 的取值范围.思路分析：把均值不等式与函数结合，是求函数最值的有效途径，（1）中当等号不成立时，通过研究函数的单调性求最小值.（2）中恒成立问题可转化为函数的最值问题，注意合理转化.（1）解：当a=21时，f （x ）=221++xx ， ∵f （x ）在区间［1，+∞）上为增函数， ∴f （x ）在区间［1，+∞）上的最小值为f （1）=27. （2）解法一：在区间［1，+∞）上，f （x ）=xax x ++22＞0恒成立⇔x 2+2x+a ＞0恒成立.设y=x 2+2x+a ，则y=x 2+2x+a=（x+1）2+a-1在x ∈［1，+∞）上递增， ∴当x=1时，y min =3+a.于是只需3+a ＞0时，函数f （x ）恒成立，故a ＞-3. 解法二：f （x ）=2++xax ，x ∈［1，+∞），当a≥0时，函数f （x ）的值恒为正，当a ＜0时，函数f （x ）递增，故当x=1时，f （x ）min =3+a ，于是只需3+a ＞0时，函数f （x ）＞0恒成立，故a ＞-3.解法三：在区间［1，+∞)上,f （x ）=xax x ++22＞0恒成立⇔x 2+2x+a ＞0恒成立⇒a ＞-x 2-2x恒成立.又∵x ∈［1，+∞),∴a 应大于u=-x 2-2x ，x ∈［1，+∞)的最大值, ∴a ＞-（x+1）2+1，x=1时u 取得最大值-3， ∴a ＞-3.例4 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4 800 m 3，深为3 m ，如果池底每1 m 2的造价为150元，池壁每1 m 2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元?思路分析：利用均值不等式解决有关的应用题主要是建立数学模型,构造函数及定值,然后求最值,这里主要是建立造价的函数表达式.解：设水池底面一边的长度为x m ，另一边的长度为d m ，则d=x34800. 又设水池总造价为y 元.根据题意，得y=150×34800+120（2×3x+2×3×x 34800） =240 000+720（x+x 1600）≥240 000+720×2x·x1600=297 600，当且仅当x=x1600，即x=40时，y 取得最小值297 600.答:水池底面一边长40 m 时,总造价最低为297 600元.绿色通道：实际应用问题的求解方法：①建立目标函数；②求目标函数的最值.注意根据条件和要求的结论设变量.还要注意求最值时的三个条件.如果等号成立的条件不成立，则应该从函数的性质入手，考虑函数的单调性.变式训练设计一幅宣传画，要求画面面积为4 840 cm 2,画面的宽与高的比为λ(λ＜1),画面的上、下各留8 cm 的空白，左、右各留5 cm 的空白，怎样确定画面的高与宽的尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？如果要求λ∈［32,43］，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？思路分析：建立数学模型，把问题转化为函数的最值问题来解决，主要是用均值不等式及函数的性质相结合求函数最小值.解：设画面高为x cm,宽为λx cm,则λx 2=4 840,设纸张面积为S cm 2,则S=(x+16)(λx+10)=λx 2+(16λ+10)x+160,将x=λ1022代入上式,得S=5000+)58(1044λλ+,当λλ58=,即λ=85(85＜1)时,S 取得最小值.此时高x=λ4840=88 cm,宽λx=85×88=55 cm. 如果λ∈［32,43］,可设32≤λ1＜λ2≤43,则由S 的表达式,得 S(λ1)-S(λ2)=)58)((1044)5858(104421212211λλλλλλλλ--=--+.又853221>≥λλ,故2158λλ-＞0. ∴S(λ1)-S(λ2)＜0.∴S(λ)在区间［32,43］内单调递增. 从而对于λ∈［32,43］,当λ=32时，S(λ)取得最小值.答：画面高为88 cm,宽为55 cm 时，所用纸张面积最小.如果要求λ∈［32,43］,当λ=32时，所用纸张面积最小.问题探究问题某人要买房，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高.当住第n 层楼时，上下楼造成的不满意度为n.但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随着楼层的升高，环境不满意度降低.设住第n 层楼时，环境不满意程度为n8.则此人应选第几层楼？导思：解本题的关键是基本不等式的应用. 探究：设不满意程度为y.由题意知，y=n+n8. ∵n+24828=⨯≥nn n . 当且仅当n=n8,即n=22时取等号. 但考虑到n ∈N +，∴n≈2×1.414=2.828≈3. 答：此人应选3楼，不满意度最低.。

人教新课标版数学高二B必修5学案 3.2 均值不等式(一)

明目标、知重点 1.理解均值定理的内容及证明.2.能熟练运用均值不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用均值定理证明简单的不等式．1．重要不等式对于任意实数a ，b ，a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 2．均值定理如果a ，b ∈R ＋，那么a ＋b 2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．3．算术平均值与几何平均值对任意两个正实数a ，b ，数a ＋b2叫做a ，b 的算术平均值，数ab 叫做a ，b 的几何平均值．故均值定理可以表述为：两个正数的算术平均值大于或等于它的几何平均值． 4．均值定理的常用推论(1)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b22(a ，b ∈R )； (2)b a ＋ab≥2(a ，b 同号)； (3)当ab >0时，b a ＋a b ≥2；当ab <0时，b a ＋ab ≤－2；(4)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca (a ，b ，c ∈R )．在学习等差数列和等比数列时，我们知道两个正数a ，b 的等差中项和等比中项分别为a ＋b2、ab ，那么这两个中项有什么大小关系呢？能不能相等？什么条件下相等？本节我们就来研究这个问题．探究点一重要不等式a 2＋b 2≥2ab 思考如何证明不等式a 2＋b 2≥2ab? 答证明：∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0， ∴a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，取“＝”．小结一般地，对于任意实数a 、b ，我们有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．通常我们称a 2＋b 2≥2ab 为重要不等式．探究点二基本不等式 ab ≤a ＋b2思考1 如果a >0，b >0，用a ，b 分别代替a 2＋b 2≥2ab 中的a ，b 会得到怎样的不等式？答得到a ＋b ≥2ab . 思考2 如何证明不等式ab ≤a ＋b2(a >0，b >0)? 答证明：∵a ＋b －2ab ＝(a )2＋(b )2－2a ·b ＝(a －b )2≥0. ∴a ＋b ≥2ab .∴ab ≤a ＋b2. 思考3 对任意两个正实数a ，b ，数a ＋b2叫做a ，b 的算术平均值，数ab 叫做a ，b 的几何平均值．那么均值定理如何用它们表述？答两个正数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．小结 (1)如果a ，b ∈R ＋，那么a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，称为均值不等式，也称它为基本不等式．(2)均值不等式用语言表述为：两个正数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．思考4 如果把ab 看作是正数a ，b 的等比中项，a ＋b2看作是正数a ，b 的等差中项，该定理如何叙述？答两个正数的等比中项不大于它们的等差中项．思考5 不等式a 2＋b 2≥2ab 与ab ≤a ＋b2成立的条件相同吗？如果不同各是什么？答不同，a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ；ab ≤a ＋b2成立的条件是a ，b 均为正实数．例1 已知ab >0，求证：b a ＋ab ≥2，并推导出式中等号成立的条件．证明因为ab >0，所以b a >0，ab>0，根据均值不等式，得b a ＋a b ≥2b a ·a b ＝2，即b a ＋a b≥2. 当且仅当b a ＝ab时，即a 2＝b 2时式中等号成立，因为ab >0，即a ，b 同号，所以式中等号成立的条件是a ＝b .反思与感悟证明中把b a ，ab ，分别看作均值不等式中的a ，b 从而能够应用均值不等式；在利用均值不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用均值不等式．跟踪训练1 已知a ，b ，c 为不全相等的正数，求证：a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca . 证明 ∵a >0，b >0，c >0，∴a ＋b ≥2ab >0，b ＋c ≥2bc >0，c ＋a ≥2ca >0. ∴2(a ＋b ＋c )≥2(ab ＋bc ＋ca )，即a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca .由于a ，b ，c 为不全相等的正实数，故等号不成立． ∴a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca .跟踪训练2 已知a ，b ，c 都是正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证： 1a ＋1b ＋1c≥9. 证明 ∵a ＋b ＋c ＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c＝3＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号．探究点三均值不等式的应用例2 已知函数y ＝x ＋16x ＋2，x ∈(－2，＋∞)，求此函数的最小值．解因为x >－2，所以x ＋2>0，由均值不等式，得x ＋16x ＋2＝(x ＋2)＋16x ＋2－2 ≥2(x ＋2)16x ＋2－2＝6，当且仅当x ＋2＝16x ＋2即x ＝2时，取“＝”．因此，当x ＝2时，函数有最小值6.反思与感悟应用均值不等式求函数的最值应满足的条件：(1)两数均为正数；(2)必须出现定值(和为定值或积为定值)；(3)等号要取到(等号成立取得的值要在定义域范围内)；(4)若多次应用时，则每一个等号要同时取到．跟踪训练3 已知函数y ＝x ＋1x ，x ∈(－∞，0)，求函数的最大值．解因为x <0，所以1x <0，则－x >0，1(－x )>0，x ＋1x ＝－(由均值不等式得) ≤－2(－x )1(－x )＝－2，当且仅当－x ＝1(－x )即x ＝－1时，取“＝”．因此当x ＝－1时，函数有最大值－2.1．已知a >0，b >0，则1a ＋1b ＋2ab 的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．5 答案 C2．若0<a a ＋b 2>ab >bB ．b >ab >a ＋b2>aC ．b >a ＋b 2>ab >aD ．b >a >a ＋b2>ab答案 C解析 ∵0<a a ＋b ，∴b >a ＋b2.∵b >a >0，∴ab >a 2，∴ab >a .故b >a ＋b2>ab >a .3．设a 、b 是实数，且a ＋b ＝3，则2a ＋2b 的最小值是( ) A ．6 B ．4 2 C ．2 6 D ．8 答案 B解析 ∵a ＋b ＝3， ∴2a ＋2b ≥22a ·2b ＝22a ＋b ＝28＝4 2.4．设b >a >0，且a ＋b ＝1，则此四个数12，2ab ，a 2＋b 2，b 中最大的是( )A ．bB ．a 2＋b 2C ．2ab D.12答案 A解析由a ＋b ＝1，b >a >0，得1>b >12，0<a <12，∵b －(a 2＋b 2)＝b (1－b )－a 2＝ab －a 2＝a (b －a )>0， ∴b >a 2＋b 2≥2ab ，即b 最大． 5．设a >0，b >0，给出下列不等式： ①a 2＋1>a ；②⎝⎛⎭⎫a ＋1a ⎝⎛⎭⎫b ＋1b ≥4； ③(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4；④a 2＋9>6a . 其中恒成立的是________．(填序号) 答案 ①②③解析由于a 2＋1－a ＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34>0，故①恒成立；由于a ＋1a ≥2，b ＋1b≥2.∴⎝⎛⎭⎫a ＋1a ⎝⎛⎭⎫b ＋1b ≥4，故②恒成立；由于a ＋b ≥2ab ，1a ＋1b ≥21ab，故(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4，故③恒成立；当a ＝3时，a 2＋9＝6a ，故④不恒成立．1．均值不等式a ＋b 2≥ab 与不等式a 2＋b 2≥2ab 成立的条件不同；前者是a >0，b >0，而后者是a 、b ∈R ，两个不等式中都有等号，当且仅当a ＝b 时，等号成立．2．由a 2＋b 2≥2ab (a 、b ∈R )与均值不等式a ＋b2≥ab (a >0，b >0)可得到以下几种常见变形及结论：(1)a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)； (2)ab ≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )(3)ab ≤(a ＋b2)2(a ，b ∈R )；(4)b a ＋ab≥2(ab >0) (5)a ＋ka ≥2k (a >0，k >0)；(6)21a ＋1b≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)或ab ≤(a ＋b 2)2≤a 2＋b 22(a 、b ∈R )．一、基础过关1．若a ，b ，c >0且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－23，则2a ＋b ＋c 的最小值是( ) A.3－1 B.3＋1 C ．23＋2 D ．23－2答案 D解析由a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－23⇒a (a ＋b )＋(a ＋b )c ＝(a ＋b )(a ＋c )＝4－23，而2a ＋b ＋c ＝(a ＋b )＋(a ＋c )≥2(a ＋b )(a ＋c )＝24－23＝2(3－1)．∴当且仅当a ＋b ＝a ＋c ，即b ＝c 时等号成立．2．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2ab D.b a ＋a b≥2 答案 D解析 ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴A 错误．对于B 、C ，当a <0，b <0时，明显错误．对于D ，∵ab >0，∴b a ＋ab≥2b a ·a b＝2. 3．若x >0，y >0，且x ＋y ＝4，则下列不等式中恒成立的是( ) A.1x ＋y ≤14 B.1x ＋1y ≥1 C.xy ≥2 D.1xy≥1 答案 B解析若x >0，y >0，由x ＋y ＝4，得x ＋y4＝1，∴1x ＋1y ＝14(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ＝14⎝⎛⎭⎫2＋y x ＋x y ≥14(2＋2)＝1. 4．设a >0，b >0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b 的最小值为( )A ．8B ．4C ．1 D.14答案 B解析由题意知3a ·3b ＝3，即3a ＋b ＝3，所以a ＋b ＝1. 因为a >0，b >0，所以1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b ) ＝2＋b a ＋ab≥2＋2b a ·ab＝4，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立．5．若a <1，则a ＋1a －1有最____(填“大”或“小”)值，为__________．答案大－1解析 ∵a <1，∴a －1<0，∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1＋1a －1＝(1－a )＋11－a ≥2(a ＝0时取等号)， ∴a －1＋1a －1≤－2，∴a ＋1a －1≤－1.6．若不等式x 2－ax ＋1≥0对一切x ∈(0,1恒成立 ⇔ax ≤x 2＋1，x ∈(0,1恒成立． ∵x ∈(0,1hslx3y3h ，x ＋1x≥2，∴a ≤2.7．设a 、b 、c 都是正数，求证：bc a ＋ca b ＋abc ≥a ＋b ＋c .证明 ∵a 、b 、c 都是正数，∴bc a 、ca b 、abc 也都是正数．∴bc a ＋ca b ≥2c ，ca b ＋ab c ≥2a ，bc a ＋abc ≥2b ，三式相加得2⎝⎛⎭⎫bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )，即bc a ＋ca b ＋abc ≥a ＋b ＋c . 二、能力提升8．已知a ，b ∈(0，＋∞)，则下列不等式中不成立的是( ) A ．a ＋b ＋1ab≥22 B ．(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4 C.a 2＋b 2ab ≥2abD.2ab a ＋b >ab 答案 D 解析 ∵a ＋b ＋1ab ≥2ab ＋1ab≥22，A 成立； (a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥2ab ·21ab＝4，B 成立；a 2＋b 2≥2ab >0，∴a 2＋b 2ab ≥2ab ，C 成立；a ＋b ≥2ab ，∴2ab a ＋b ≤1，2aba ＋b ≤ab .9．设0<a <12答案 C解析 ∵0<a <10，∴(－log a b )＋(－log b a )＝(－log a b )＋⎝⎛⎭⎫－1log a b ≥2， ∴log a b ＋log b a ≤－2.10．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围为________．答案 ⎣⎡⎭⎫15，＋∞ 解析 ∵x >0，∴xx 2＋3x ＋1>0，易知a >0.∴x 2＋3x ＋1x ≥1a ，∴1a ≤x ＋1x ＋3.∵x >0，x ＋1x ＋3≥2x ·1x＋3＝5(x ＝1时取等号)， ∴1a ≤5.∴a ≥15. 11．已知x >y >0，xy ＝1，求证：x 2＋y 2x －y ≥2 2.证明 ∵xy ＝1，∴x 2＋y 2x －y ＝(x －y )2＋2xy x －y ＝(x －y )2＋2x －y ＝(x －y )＋2x －y≥2(x －y )·2x －y＝2 2.当且仅当⎩⎨⎧x －y ＝2x －yxy ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋22y ＝6－22时取等号．12．已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证： (1)1a ＋1b ＋1ab ≥8；(2)⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9. 证明 (1)1a ＋1b ＋1ab ＝1a ＋1b ＋a ＋b ab ＝2⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ，∵a ＋b ＝1，a >0，b >0，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2＝4， ∴1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)． (2)方法一 ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a ，同理，1＋1b ＝2＋a b ，∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2＋b a ⎝⎛⎭⎫2＋a b ＝5＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9.∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)．方法二 ⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab . 由(1)知，1a ＋1b ＋1ab≥8，故⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab ≥9. 三、探究与拓展13．已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥8.证明 ∵a ，b ，c 均为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a，同理1b －1≥2ac b ，1c －1≥2ab c. 由于上述三个不等式两边均为正，分别相乘得 ⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥2bc a ·2ac b ·2ab c＝8. 当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．。

人教新课标版数学高二-高中数学(人教B版)必修5训练 3.2.1均值不等式

第三章 3.2 第1课时一、选择题1．若a 、b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( )A ．a 2＋b 2>2abB ．a ＋b ≥2abC ．1a ＋1b >2ab D ．b a ＋ab ≥2D∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴A 错误．对于B 、C ，当a <0，b <0时，明显错误．对于D ，∵ab >0，∴b a ＋a b ≥2ba ·ab ＝2.2．设0<a 0，即ab >a ，故选B ．3．设x 、y ∈R ，且x ＋y ＝5，则3x ＋3y 的最小值为( )A ．10B ．6 3C ．4 6D ．18 3Dx ＋y ＝5,3x ＋3y ≥23x ·3y ＝23x ＋y ＝235＝18 3.4．已知正项等差数列{a n }中，a 5＋a 16＝10则a 5a 16的最大值为() A ．100 B ．75C ．50D ．25D∵a 5>0，a 16>0，a 5＋a 16＝10，∴a 5·a 16≤(a 5＋a 162)2＝(102)2＝25，当且仅当a 5＝a 16＝5时，等号成立．5．设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b的最小值为( ) A ．8B ．4C ．1D ．14B根据题意得3a ·3b ＝3，∴a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b≥4. 当a ＝b ＝12时“＝”成立．故选B ． 6．若0<a <1,02ab ，a ＋b >2ab ，a >a 2，b >b 2，∴a ＋b >a 2＋b 2，故选D ．解法二：取a ＝12，b ＝13，则a 2＋b 2＝1336，2ab ＝63，2ab ＝13，a ＋b ＝56，显然56最大．二、填空题7．设实数a 使a 2＋a －2>0成立，t >0，比较12log a t 与log a t ＋12的大小，结果为________________． 12log a t ≤log a t ＋12∵a 2＋a －2＞0，∴a ＜－2或a ＞1，又a ＞0且a ≠1，∴a ＞1，∵t ＞0，∴t ＋12≥t ，∴log a t ＋12≥log a t ＝12log a t ， ∴12log a t ≤log a t ＋128．函数y ＝x ·(3－2x ) (0≤x ≤1)的最大值为______________． 98∵0≤x ≤1，∴3－2x ＞0，∴y ＝122x ·(3－2x )≤122x ＋(3－2x )2解析答案解析答案解析答案解析答案解析答案解析答案解析解析解析∪1＋26，＋∞)．。

【高中数学新人教B版必修5】3.2《均值不等式》测试(1)

【高中数学新人教B 版必修5】3.2《均值不等式》测试一．选择题：1．已知a 、b ∈（0，1）且a ≠b ，下列各式中最大的是（）Ａ．a 2+b 2Ｂ．２ab Ｃ．2a b Ｄ．a +b2．x ∈R ，下列不等式恒成立的是（） A ．x 2+1≥x B ．112+x <1 C ．lg(x 2+1)≥lg(2x) D ．x 2+4>4x 3．已知x+3y-1=0，则关于y x 82+的说法正确的是（）Ａ．有最大值8 Ｂ．有最小值22 Ｃ．有最小值8 Ｄ．有最大值22 4．Ａ设实数x ，y ，m ，n 满足x 2+y 2=1，m 2+n 2=3那么mx+ny 的最大值是（）Ａ．3 Ｂ．2 Ｃ．5 Ｄ．210 5．设a>0，b>0，则以下不等式中不恒成立的是（）Ａ．（a+b ）(ba 11+)≥4 Ｂ．a 3+b 3≥2ab 2 Ｃ．a 2+b 2+2≥2a+2b Ｄ．b a b a -≥-6．下列结论正确的是（） A ．当x>0且x ≠1时，lgx+x lg 1≥2 B ．当x>0时，x +x1≥2 C ．当x ≥2时，x ＋x 1 ≥2 D ．当0<x ≤2时，x －x1无最大值 7．若a 、b 、c>0且a(a+b+c)+bc=324-，则2a+b+c 的最小值为（） A ．13- B ．13+ C ．223+ D ．223- 二．填空题：8．设x>0，则函数y=2－x4－x 的最大值为；此时x 的值是。

9．若x>1，则log x 2＋log 2x 的最小值为；此时x 的值是。

10．函数y=142-+-x x x 在x>1的条件下的最小值为；此时x=_________．11．函数f(x)=242+x x (x ≠0)的最大值是；此时的x 值为_______________．三．解答题：12．函数y=log a (x+3)－1(a>0,a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx+ny+1=0上，其中mn>0，求nm 11+的最小值为。

【测控设计】高二数学人教B版必修5同步训练：3.2 均值不等式 Word版含解析[ 高考]

3.2均值不等式一、非标准1.若x,y是正数,则的最小值是()A.3B.C.4D.解析:由题意≥2=2≥2=4,“=”成立的条件为不矛盾,故“=”能成立.答案:C2.设f(x)=,a,b∈R+,A=f,G=f(),H=f,K=f,则A,G,H,K的大小关系是()A.H≤G≤A≤KB.A≤K≤H≤GC.A≤K≤G≤HD.K≤A≤G≤H解析:首先由已知条件可知f(x)在定义域内是单调递减函数,然后只需取特殊值a=1,b=2代入判断的大小即可.答案:D3.下列求最值过程中正确的是()A.若0<x<π,则y=sin x+≥2=2.所以y的最小值是2B.若0<x<π,则y=sin x++2≥2.所以y的最小值是2C.若x>0,则y=2+x+≥2+2=6.所以y的最小值是6D.若0<x<1,则y=x(4-x)≤=4.所以y的最大值为4解析:A,B,D中等号都取不到.A中需满足sin x=,即sin x=∉(0,1];B中由得sin x=∉(0,1];D中由x=4-x得x=2∉(0,1).答案:C4.设a>0,b>0.若是3a与3b的等比中项,则的最小值为()A.8B.4C.1D.解析:是3a与3b的等比中项⇒3a·3b=3⇒3a+b=3⇒a+b=1,∵a>0,b>0,∴⇒ab≤.∴=4.答案:B5.在区间上,函数f(x)=x2+bx+c(b,c∈R)与g(x)=在同一点取得相同的最小值,那么f(x)在区间上的最大值是()A. B.4 C.8 D.解析:g(x)==x++1≥3,当且仅当x=1时,等号成立,即当x=1时取最小值3,所以f(x)的对称轴是x=1,所以b=-2.再把(1,3)代入即得c=4.所以f(x)=x2-2x+4,易得在区间上的最大值是f(2)=4-4+4=4.答案:B6.若a,b,c>0,且a(a+b+c)+bc=4-2,则2a+b+c的最小值为()A.-1B.+1C.2+2D.2-2解析:因为a,b,c>0,且a(a+b+c)+bc=4-2,所以a2+ab+ac+bc=4-2,所以4-2=a2+ab+ac+bc=(4a2+4ab+4ac+2bc+2bc)≤(4a2+4ab+4ac+2bc+b2+c2).当且仅当b=c时,等号成立.所以(2-2)2≤(2a+b+c)2,则2a+b+c≥2-2.答案:D7.已知点P(x,y)在直线x+3y-2=0上,那么代数式3x+27y的最小值是.解析:根据条件可知x+3y=2,而3x+27y=3x+33y≥2=2=6,当且仅当3x=33y时取等号.答案:68.若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是.解析:令=t(t>0),由ab=a+b+3≥2+3,得t2≥2t+3.又t>0,所以,可得t≥3,即≥3,所以ab≥9.答案:ab≥99.一批救灾物资随26辆汽车从某市以v千米/时的速度匀速直达灾区,已知两地公路线长400千米,为了安全起见,两辆汽车的间距不得小于千米,那么这批物资全部到达灾区,最少需要小时.解析:从第一辆车出发到最后一辆车到达目的地共需要时间为y=≥2=10.答案:1010.求函数y=的最值.解:(1)当x>0时,y=13+x+≥13+2=25,当且仅当x=,即x=6时取等号.所以当x=6时,y min=25.(2)当x<0时,-x>0,->0,(-x)+≥2=12.所以y=13-≤13-12=1.当且仅当-x=-,即x=-6时取等号,所以当x=-6时,y max=13-12=1.11.已知a,b,c为不全相等的正数,求证:lg+lg+lg>lg a+lg b+lg c.解：证明:要证原不等式成立,只需证lg>lg abc.又y=lg x是增函数,∴只需证>abc.又已知a,b,c为不全相等的正数,所以由均值不等式,知上述三个不等式不能同时取到等号,∴>abc成立.∴原不等式成立.12.如图,树顶A离地面a m,树上另一点B离地面b m.在离地面c m的C处看此树,离此树多远时视角最大?解:过点C作CD⊥AB交AB延长线于点D.设∠BCD=α,∠ACB=β,CD=x.在△BCD中,tanα=.在△ACD中,tan(α+β)=,则tanβ=,∵在内正切函数是增函数,∴当且仅当x=,即x=时,视角最大.。

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§3.2 均值不等式(一)
一、基础过关
1．已知a >0，b >0，则1a ＋1b
＋2ab 的最小值是 ( )
A ．2
B ．2 2
C ．4
D ．5
2．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是 ( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab
C.1a ＋1b >2
ab D.b a ＋a
b ≥2
3．已知m ＝a ＋1
a －2 (a >2)，n ＝⎝⎛⎭⎫1
2x 2－2 (x <0)，则m 、n 之间的大小关系是(
) A ．m >n B ．m <n C ．m ＝n D ．m ≤n
4．设0<a <12
5．已知a ，b ∈(0，＋∞)，则下列不等式中不成立的是 (
) A ．a ＋b ＋1ab ≥2 2 B ．(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1
b ≥4 C.a 2＋b 2
ab ≥2ab D.2ab
a ＋
b >ab
6．若a <1，则a ＋1
a －1有最______(填“大”或“小”)值，为________．
7．若lg x ＋lg y ＝1，则2x ＋5
y 的最小值为________．
8．设a 、b 、c 都是正数，求证：bc a ＋ca
b ＋ab
c ≥a ＋b ＋c .
二、能力提升
9．设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1
y 的最大值为(
) A ．2 B.32 C ．1 D.1
2
10．若对任意x >0，x
x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围为________．
11．已知x >y >0，xy ＝1，求证：x 2＋y 2
x －y ≥2 2.
12．已知a ，b ，c 为不等正实数，且abc ＝1. 求证：a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1
c .
三、探究与拓展
13．已知a>b>0，求证：a2＋16
b(a－b)
≥16.
答案
1．C 2.D 3.A 4.C 5．D
6．大－1 7.2
8．证明 ∵a 、b 、c 都是正数，
∴bc a 、ca b 、ab c
也都是正数． ∴bc a ＋ca b ≥2c ，ca b ＋ab c ≥2a ，bc a ＋ab c ≥2b ，三式相加得
2⎝⎛⎭⎫bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )，
即bc a ＋ca b ＋ab c
≥a ＋b ＋c . 9．C 10.⎣⎡⎭⎫15，＋∞
11．证明 ∵xy ＝1，
∴x 2＋y 2x －y ＝(x －y )2＋2xy x －y
＝(x －y )2＋2x －y
＝(x －y )＋2x －y ≥2(x －y )·2x －y
＝2 2. 当且仅当⎩⎨⎧ x －y ＝2x －y xy ＝1
，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝
6＋22y ＝6－22时取等号． 12．证明 ∵1a ＋1b
≥21ab ＝2c ， 1b ＋1c ≥21bc
＝2a ，
1c ＋1a ≥21ac ＝2b ， ∴2⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c ≥2(a ＋b ＋c )，即1a ＋1b ＋1c
≥a ＋b ＋c . ∵a ，b ，c 为不等正实数，
∴a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c
. 13．证明 ∵a >b >0，∴a －b >0.
∴a 2＋16b (a －b )
＝2＋16b (a －b )
≥2＋16b (a －b )
＝4(a －b )b ＋16b (a －b )
≥4×2(a －b )b ×4b (a －b )
＝16. 取“＝”时当且仅当：a －b ＝b >0且(a －b )b ＝4b (a －b )
>0，即当a ＝22且b ＝2时“＝”成立．。